Título do slide 1 EXPERIMENTOS FATORIAIS FRACIONÁRIOS I

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EXPERIMENTOS FATORIAIS FRACIONÁRIOS I

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Nos delineamentos fatoriais completos todas combinações de fatores e níveis são testadas, havendo réplicas. A análise dos resultados permite:

estimar todos os possíveis efeitos principais estimar todas as possíveis interações existentes concluir quais são estatisticamente significativos

REDUNDÂNCIA

Contudo, havendo um número grande de fatores existem alguns problemas em termos de sua utilização:

• o tempo despendido na sua realização é longo• o custo de execução é, por vezes, proibitivo• a interferência na produção normal é grande

É muito pouco provável (senão impossível) que todos os fatores e interações sejam significativos em um experimento. Assim, existe uma certa redundância (gasto desnecessário) na quantidade total de provas realizadas.

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Se o número de fatores é grande, mesmo cada fator tendo dois níveis, o número de tratamentos pode ser muito grande.

Planejamento fatorial 2k fracionário

Nesse caso, uma fração dos tratamentos pode ser usada com pouca ou nenhuma perda de informação sobre os efeitos principais e sobre as interações de ordem mais baixas.

Assim, planejamentos fatoriais fracionários permitem o estudo de um número grande de fatores com poucas experiências (tratamentos).

Num planejamento 2k fracionário interações de alta ordem, em geral, não são importantes.

k 2 4 5 6 8

tratamentos 4 16 32 64 256

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Exemplo: Fatorial completo 26

Num delineamento 26 fracionário um subconjunto dos tratamentos é selecionado, de modo que a maioria dos g.l. para estimação dos efeitos dos fatores é usada para a estimação dos efeitos principais e efeitos de interações de ordem baixa, com pouca perda de informação sobre os efeitos de interações de ordem alta.

Termos do modelo g.l.

Efeitos principais 6

Interações de 2ª.ordem 15





42 g.l. (interações de 3 ou + fatores = 2/3 do total de g.l)

Confundimento: Confundir os efeitos principais e os de interação de ordem baixa com os efeitos de interação de ordem alta. 2k fracionário torna-se eficiente em fornecer informação completa sobre os efeitos principais e os de interação de ordem baixa com poucas unidades experimentais (u.e.).


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Exemplo: Micróbios (conceito de confundimento)

Lembrar que:

Experimento completo 24 1 réplica: 16 u.e.

Tratamento Y Tratamento Y 1 y0000 9 y0001

2 y1000 10 y1001

3 y0100 11 y0101

4 y1100 12 y1101

5 y0010 13 y0011

6 y1010 14 y1011

7 y0110 15 y0111

8 y1110 16 y1111


Fatores:

A - Temperatura de processo ; B - Agente (conservante)

C - Umidade ; D - Acidez

Suponha que foi determinado que somente ½ (metade) dos 16 tratamentos pudessem ser usados.

Quais são os 8 escolhidos?

Pesquisador decide descartar

os tratamentos:

2, 3, 6, 7, 10, 11, 14 e 15.

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Trat Y I A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD ABCD

1 y0000 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 2 y1000 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 3 y0100 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 4 y1100 1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1 5 y0010 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 6 y1010 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 7 y0110 1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 8 y1110 1 1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 9 y0001 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -110 y1001 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 111 y0101 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 112 y1101 1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -113 y0011 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 114 y1011 1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -115 y0111 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -116 y1111 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Planejamento fatorial completo 24 Excluir: 2, 3, 6, 7, 10, 11, 14 e 15 permanecem 1, 4, 5, 8, 9, 12, 13, 16.

Planejamento fatorial 2k fracionário: Ex. Micróbios

volta

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1 y0000 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 4 y1100 1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1 5 y0010 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 8 y1110 1 1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 9 y0001 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -112 y1101 1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -113 y0011 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 116 y1111 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Planejamento fatorial 24 fracionário com ½ dos tratamentosMantidos: 1, 4, 5, 8, 9, 12, 13, 16.

Escolha ruim!!Þ colunas de A e B idênticas os efeitos principais dos fatores A e B não

poderão ser estimados separadamente. Se a análise dos dados mostrar que o efeito associado a A é ativo, não saberemos se esse resultado é devido ao efeito do fator A, do fator B ou da combinação de ambos.

Þ Dizemos que os fatores A e B estão confundidos no experimento.


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1 y0000 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 4 y1100 1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1 5 y0010 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 8 y1110 1 1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 9 y0001 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -112 y1101 1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -113 y0011 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 116 y1111 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Fatorial 24 fracionário com ½ dos tratamentos com 1, 4, 5, 8, 9, 12, 13, 16

Mas há outros 7 pares de colunas idênticas (total de 8 pares idênticos) A = B; C = ABC; D = ABD; AC = BC; AD = BD; BCD = ACD; ABCD = CD; AB = I (coluna “0”, para média geral).

Consequentemente, os dois efeitos em cada par estão confundidos e não podem ser estimados separadamente. Essas relações definem um esquema de confundimento para este planejamento fatorial .Além disso, AB está confundido com o intercepto (I), então AB é geralmente chamado de não mensurável.


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Outra escolha: manter os tratamentos 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16.

Com esta escolha, os 8 pares idênticos são: A = BCD; B = ACD; C = ABD; D = ABC; AB = CD; AC = BD; AD = BC; I = ABCD. Efeitos principais confundidos com efeitos de interação de 3ª. ordem. Efeitos de interação entre 2 fatores confundidos com outros de mesma ordem. Efeitos de interação entre os 4 fatores confundidos com a média geral.



1 y0000 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 4 y1100 1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1 6 y1010 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 7 y0110 1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 110 y1001 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 111 y0101 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 113 y0011 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 116 y1111 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

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Se efeitos de interação entre 3 fatores ou mais são desprezíveis, este planejamento é muito útil. Por exemplo, se A + BCD é significante, pode-se concluir que o efeito observado é devido ao fator A e não à interação entre os fatores B, C e D.

Nesta escolha, como os efeitos de interação entre dois fatores estão confundidos entre si, se são ativos, novos experimentos são necessários para separá-los.

Escolha dos tratamentos que são descartados/mantidos não pode ser arbitrária (tentativa e erro).

É possível definir uma relação para o esquema de confundimento.


Exemplo: Micróbios (conceito de confundimento)

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Nos delineamentos fatoriais fracionários somente uma parcela do total de possibilidades de todas as combinações é testada.

Genericamente, para dois níveis, representamos o planejamento fracionário, por

em que p 1.

Delineamento fatorial 2k fracionário

Por exemplo:

para p = 1, devemos utilizar a metade (½ ) das experiências possíveis do 2k; para p = 2, utilizaremos ¼ das experiências possíveis; e, assim, por diante ...,

ou seja, a fração de tratamentos que se pode considerar, em delineamentos fatoriais em dois níveis, é sempre de uma potência de 2.

2k-p = 2k

2p

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Responda:

1) Num planejamento fatorial completo com 5 fatores, em dois níveis (sem repetição), quantas experiências são feitas?

2) No planejamento anterior, se podemos ter duas repetições por tratamento, quantas observações teremos?

3) Se ficar decidido que no delineamento em (1) podemos realizar apenas metade das combinações possíveis (25-1), quantas experiências serão realizadas?

4) Como é representado o delineamento em (1) se pudermos realizar um quarto das experiências possíveis? Nesse caso, quantas experiências serão?

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De uma maneira geral, é necessário definir uma relação para o esquema de confundimento.

Exemplo: Micróbios

Relação de definição: I = ABCD (gerador de confundimento)

Para encontrar os efeitos principais e interações que estão confundidos, utilizaremos o produto módulo 2 (mostrado a seguir).

O esquema de confundimento é definido multiplicando a coluna de cada lado da relação de definição, I = ABCD, por sucessivas colunas da tabela de contrastes.

Como todas as colunas de contrastes são formadas por ”1” e “-1”, resultados das multiplicações das colunas são úteis.

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Propriedades da multiplicação entre colunas:

1) I I = I (pois todos elementos de I são iguais a “1”)

Assim, I I = I2 = I .

2) Colj I = Colj (pois todos os elementos de I são iguais a “1”)

3) Colj Colj = Colj 2 = I (12 = (-1)2 = 1)

Estas propriedades caracterizam o chamado produto módulo 2

Voltando a relação de definição I = ABCD, temos

A = BCD,

pois multiplicando-se por A ambos os lados da relação, segue que

AI = A e AABCD=A2BCD=BCD.

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Continuando a multiplicar ambos os lados da relação de definição por colunas sucessivas, obtemos

BI = BABCD = AB2CD = ACD (B = ACD)

CI = CABCD = ABC2D = ABD (C = ABD)

DI = DABCD = ABCD2 = ABC (D = ABC)

ABI = ABABCD = A2B2CD = CD (AB = CD)

ACI = ACABCD = A2BC2D = BD (AC = BD)

ADI = ADABCD = A2BCD2 = BC (AD = BC)

E mais nenhum outro produto é necessário, pois já foram obtidos todos os confundimentos.

As operações acima reproduziram todo o esquema de confundimento. Estas relações foram baseadas na relação de definição (gerador de confundimento) I = ABCD.

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Delineamento fatorial 2k-1

Delineamentos em fração ½

1) Definir o gerador de confundimento (relação de definição)

2) Definir o esquema de confundimento

3) O planejamento fatorial correspondente é construído:

a) Construir a tabela de contraste para o plano com todos os fatores e interações.

b) Escolher as linhas (tratamentos) para as quais a relação de definição ocorre.

c) estimar os efeitos principais e interações exatamente como no caso do planejamento fatorial completo.

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Exemplo: Micróbios

Gerador de confundimento: I = ABCD (relação de definição)

Esquema de confundimento:

Manter os tratamentos (linha l) para os quais I(l)= ABCD(l) Isto ocorre para os tratamentos 1, 4, 6, 7, 10 11, 13, 16 (em cinza no quadro).

A0 A1

B0 B1 B0 B1

C0

D0(1) (3) (2) (4)

D1(5) (7) (6) (8)

C1

D0(9) (11) (10) (12)

D1(13) (15) (14) (16)

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A = BCDB = ACDC = ABDD = ABCAB = CDAC = BDAD = BC

144 222

1

Þ Obs.: Este delineamento é denominado

Caso geral: ,Sendo k no. de fatores e p: fração

pk 2

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Outra forma de obter os tratamentos que são mantidos

Etapas:

a) escrever a tabela de contrastes do fatorial completo 23 = 24-1, sem incluir o último fator (acidez, no caso).

Exp . Tratamento A B C1 A0B0C0 -1 -1 -1

2 A1B0C0 1 -1 -1

3 A0B1C0 -1 1 -1

4 A1B1C0 1 1 -1

5 A0B0C1 -1 -1 1

6 A1B0C1 1 -1 1

7 A0B1C1 -1 1 1

8 A1B1C1 1 1 1

Exp. A B C D

1 -1 -1 -1 -1

2 1 -1 -1 1

3 -1 1 -1 1

4 1 1 -1 -15

-1 -1 1 1

6 1 -1 1 -1

7 -1 1 1 -1

8 1 1 1 1

b) Completar a tabela com o último fator (D), atribuindo-lhe os contrastes da interação mais

alta (ABC, no caso); c) Nessa conformação, identificar os contrastes de

um fatorial completo 24. d) Calcular os efeitos principais e interações

como de um fatorial completo;

e) Analisar os resultados, avaliando se os mesmos são estatisticamente significativos;

(1)(10)(11)(4)

(13)(6)(7)

(16)

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Exemplo: Micróbios

Þ Delineamento fracionário 24-1 e o gerador de confundimento foi I = ABCD, que produziu o esquema de confundimento AB = CD

AC = BDAD = BCA = BCDB = ACDC = ABDD = ABC

volta

A0 A1

B0 B1 B0 B1

C0

D0(1) (3) (2) (4)

D1(5) (7) (6) (8)

C1

D0(9) (11) (10) (12)

D1(13) (15) (14) (16)

resultando que os tratamentos que devem ser realizados são:

1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16

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Observação:

Para este delineamento 24-1 podemos ainda realizar os tratamentos 2, 3, 5, 8, 9, 12, 14, 15, que são resultantes da relação de definição I = -ABCD, produzindo o esquema de confundimento AB = - CD

AC = - BDAD = - BCA = - BCDB = - ACDC = - ABDD = - ABC

volta

A0 A1

B0 B1 B0 B1

C0

D0(1) (3) (2) (4)

D1(5) (7) (6) (8)

C1

D0(9) (11) (10) (12)

D1(13) (15) (14) (16)

ou seja, é o mesmo esquema obtido anteriormente, porém com sinal contrário, e estas experiências são a outra fração ½ do delineamento fatorial completo.

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Exercício:

Considere um delineamento fatorial fracionado 25-1, em que I = ABCDE é o gerador de confundimento. Obter todos os confundimentos para este planejamento.

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Análise Estatística dos Resultados

A avaliação quanto a significância estatística dos efeitos (principais e interações) pode ser feita pela análise de variância (ANOVA), que requerer um número de réplicas maior do que um (r >1), por experiência.

Quando não há repetições (r=1), utilizando os procedimentos gráficos vistos para delineamentos fatoriais completos (Diagrama de Pareto e Papel de Probabilidade Normal), é possível verificar a significância estatística dos efeitos principais e interações.

Observações:

1) Nos experimentos fracionários, como haverá relações de confundimento, a verificação de significância estatística será para a relação confundida e não para o efeito isoladamente.

2) Se a relação de confundimento envolve um efeito principal e uma interação de ordem alta e esta, em geral, pode ser considerada desprezível, a conclusão será para o efeito principal envolvido na relação.

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Exemplo: Micróbios (mantidos 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16)

Confundimento estimativasA = BCD -0,025B = ACD -2,99C = ABD 2,45D = ABC -0,01AB = CD -0,48AC = BD 0,365AD = BC -3,15

PPN

(ordenados)

Confundimento estimativas P

Conclusão?

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ANEXO - PERCENTIS PARA PAPEL DE PROBABILIDADE NORMAL

Ordem (i)Fatores (k)

3 4 51 7,14 3,33 1,612 21,43 10,00 4,843 35,71 16,67 8,064 50,00 23,33 11,295 64,29 30,00 14,526 78,57 36,67 17,747 92,86 43,33 20,978 50,00 24,199 56,67 27,42

10 63,33 30,6511 70,00 33,8712 76,67 37,1013 83,33 40,3214 90,00 43,5515 96,67 46,7716 50,0017 53,2318 56,5219 59,7720 62,9021 66,1322 69,3523 72,5824 75,8125 79,0326 82,2627 85,4828 88,7129 91,9430 95,1631 98,39

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