Apostila de Experimentos Fatoriais 2015-1

EXPERIMENTOS FATORIAIS

INTRODUÇÃO

Nos experimentos simples, comparamos níveis de apenas um

fator, permanecendo constante os demais fatores. Assim, nesses

experimentos, quando comparamos, por exemplo, inseticidas, todos

os demais fatores, como: variedades, densidades de plantio, época de

plantio, adubações, tratos culturais, etc., devem ser mantidos

constantes, isto é, devem ser os mesmos para todos os inseticidas

estudados.

Entretanto, existem casos em que vários fatores devem ser

estudados simultaneamente, para que possam nos conduzir a

resultados de interesse. Para tanto, utiliza-se experimentos fatoriais,

que são aqueles em que se estudam simultaneamente dois ou mais

fatores, cada um deles com dois ou mais níveis.

O experimento fatorial é um tipo de esquema, ou seja, uma das

maneiras de organizar os tratamentos e não um tipo de delineamento,

que representa a maneira pela qual os tratamentos são distribuídos às

unidades experimentais. Na verdade, os experimentos fatoriais são

montados segundo um tipo de delineamento experimental, como por

exemplo: o DIC, o DBC e o DQL.

Nos experimentos fatoriais, os tratamentos são obtidos pelas

combinações dos níveis dos fatores. Num experimento fatorial

completo, cada nível de um fator combina com todos os níveis dos

outros fatores.

Os experimentos fatoriais são aplicáveis a todos os campos da

ciência. Sua principal aplicação é quando se quer saber sobre o efeito

de diversos fatores que influenciam na variável em estudo e o

relacionamento entre eles.

A simbologia comumente utilizada, para experimentos fatoriais é

indicar o produto dos níveis dos fatores em teste. Por exemplo:

Experimento Fatorial 2 x 4 x 6. O produto 2 x 4 x 6 informa que no

experimento foram testados simultaneamente 3 fatores. O primeiro

possui dois níveis, o segundo quatro níveis e o terceiro seis níveis.

Quando o número de níveis é igual para todos os fatores, pode-

se utilizar a seguinte simbologia: nF, em que:

F = no de fatores

N = no de níveis de cada fator.

Por exemplo: Experimento Fatorial 43. A potência 43, informa que o

experimento tem 3 fatores com 4 níveis cada um.

1. VANTAGENS

a) Com um único experimento, podemos estudar os efeitos

principais e os efeitos das interações sobre eles;

b) O número de graus de liberdade associado ao resíduo é alto

quando comparado com os experimentos simples dos mesmos

fatores, o que contribui para diminuir a variância residual,

aumentando a precisão do experimento.

2. DESVANTAGENS

Requer maior número de unidades experimentais em relação aos

experimentos simples.

MODELO ESTATÍSTICO

Considere um experimento fatorial, com dois fatores: o fator A

com I níveis e o fator B com J níveis, instalado segundo o DIC, com K

repetições. O modelo estatístico para um experimento como este é:

kjijijikji eβαβαmY

em que:

Yijk = é o valor observado para a variável em estudo referente a k-

ésima repetição da combinação do i-ésimo nível do fator A, com

o j-ésimo nível do fator B;

m = média de todas as unidades experimentais para a variável em

estudo;

i = é o efeito do i-ésimo nível do fator A no valor observado Yijk;

j = é o efeito do j-ésimo nível do fator B no valor observado Yijk;

()ij = é o efeito da interação do i-ésimo nível do fator A com o j-ésimo

nível do fator B;

eijk = é o erro associado a observação Yijk.

Para um experimento fatorial instalado segundo o DBC, com K

blocos, o modelo estatístico seria:

kjikjijikji ewβαβαmY

em que: wk = efeito do k-ésimo bloco na observação Yijk.

TIPOS DE EFEITOS AVALIADOS EM UM EXPERIMENTO

FATORIAL

Nos experimentos fatoriais, podem ser estudados os seguintes

efeitos:

Efeito Principal: é o efeito de cada fator sobre a variável em

estudo, independente do efeito dos outros fatores em estudo;

Efeito de Interação: é o efeito simultâneo dos fatores sobre a

variável em estudo. Dizemos que ocorre interação entre os

fatores quando os efeitos dos níveis de um fator são

modificados pelos níveis do outro fator.

O efeito da interação pode ser mais facilmente compreendido por

meio de gráficos.

Para ilustrar o efeito da interação, considere num experimento

fatorial, estudar os efeitos de 3 Variedades (V1, V2 e V3) e 2

espaçamentos (E1, E2). Então, teremos um fatorial 3 x 2, com os 6

tratamentos, que são todas as combinações possíveis entre os 3

níveis do fator Variedades e os 2 níveis do fator espaçamento. Os

tratamentos para este:

V1E1 V2E1 V3E1

V1E2 V2E2 V3E2

Suponha os seguintes resultados fictícios, para a variável altura

de plantas (cm), deste experimento, nas seguintes situações:

1) Não há interação

ESPAÇAMENTO VARIEDADE

V1 V2 V3

E1 8 10 12

E2 6 8 10

Quando não há interação a diferença entre os resultados dos

níveis de um fator são iguais para todos os níveis do outro fator.

0

2

4

6

8

10

12

14

V1 V2 V3

Alt

ura

de p

lan

tas (

cm

)

E1

E2

2) Há interação

ESPAÇAMENTO VARIEDADE

V1 V2 V3

E1 2 4 6

E2 5 10 2

Quando há interação as diferenças entre os níveis de um fator

depende dos níveis do outro fator.

0

2

4

6

8

10

12

V1 V2 V3A

ltu

ra d

e p

lan

tas (

cm)

E1

E2

QUADRO DE TABULAÇÃO DE DADOS

Uma maneira de tabular os dados de um experimento fatorial,

com dois fatores A e B, com I e J níveis, respectivamente, instalado

segundo o DIC, com K repetições, é fornecida a seguir:

A1 A2 ... AI

B1 B2 .... BJ B1 B2 .... BJ ... B1 B2 .... BJ

Y111 Y121 .... Y1J1 Y211 Y221 .... Y2J1 ... YI11 YI21 .... YIJ1

Y112 Y122 .... Y1J2 Y212 Y222 .... Y2J2 ... YI12 YI22 .... YIJ2

..... ..... .... ...... ...... ...... .... ...... ... ..... ..... .... .....

Y11k Y12k .... Y1Jk Y21k Y22k .... Y2Jk ... YI1k YI2k .... YIJk

A1B1 A1B2 .... A1BJ A2B1 A2B2 .... A2BJ ... AIB1 AIB2 .... AIBJ

Deste quadro, podem-se tirar algumas informações que

posteriormente serão úteis na análise de variância:

- Total do ij-ésimo tratamento:

K

1k

ijkij Y(AB)

- Total do i-ésimo nível do fator A:

K,J

1k , 1j

ijki YA

- Total do j-ésimo nível do fator B:

K,I

1k , 1i

ijkj YB

- Total Geral:

J

1j

j

I

1i

i

K,J,I

1k , 1j,1i

ijk BAYG

- Média do i-ésimo nível do fator A: KJ

Am̂ i

A i

- Média do j-ésimo nível do fator B: KI

Bm̂ i

B j

- Média Geral: N

Gm̂

- Número total de parcelas: N = IJK

Pode-se montar um quadro auxiliar, denominado Quadro de

Interação, composto pelos totais de tratamentos, cujos valores são

obtidos pela soma de todas as repetições para o tratamento em

questão. Este quadro facilita o cálculo das somas de quadrados da

análise de variância. Para a situação citada, o quadro é do seguinte

tipo:

Fator A Fator B

Totais de Ai 1 2 .... J

1 (AB) 11 (AB) 12 .... (AB) 1J A1

2 (AB) 21 (AB) 22 .... (AB) 2J A2

.... .... .... .... .... ....

I (AB) I1 (AB) I2 .... (AB) IJ AI

Totais de Bj B1 B2 .... BJ G

ANÁLISE DE VARIÂNCIA

A análise de variância de um experimento fatorial é feita

desdobrando-se a soma de quadrados de tratamentos nas partes

devido aos efeitos principais de cada fator e na parte devido a

interação entre os fatores.

O quadro abaixo apresenta como seria a análise de um

experimento fatorial, com 2 fatores A e B, com I e J níveis,

respectivamente, e K repetições , instalado segundo o DIC:

FV GL SQ QM F

Fator A (I-1) SQA 1)(I

SQA

QMRes

QMA

Fator B (J-1) SQB 1)(J

SQB

QMRes

QMB

Interação

(AxB) (I-1)(J-1) SQ(AXB)

1)-1)(J(I

SQ(AxB)

QMRes

(AxB)QM

(Tratamento) (IJ-1) (SQTrat) - -

Resíduo IJ(K-1) SQRes 1)(KJI

SQRes

-

Total IJK-1 SQTotal - -

As fórmulas para a obtenção das somas de quadrados são as

seguintes:

CYSQTotalK,J,I

1k , 1j,1i

2

kji

em que KJI

Y

C

2K,J,I

1k , 1j,1i

ijk

Ck

B)(AtosSQTratamen

J,I

1j,1i

2

ji

CKJ

ASQA

I

1i

2

i

CKI

BSQB

J

1j

2

j

SQInt = SQtrat - SQA - SQB

SQRes = SQTotal - SQtrat

O quadro abaixo apresenta como seria a análise de um

experimento fatorial, com 2 fatores A e B, com I e J níveis,

respectivamente, e K repetições (ou blocos), instalado segundo o

DBC:

FV GL SQ QM F

Fator A (I-1) SQA 1)(I

SQA

QMRes

QMA

Fator B (J-1) SQB 1)(J

SQB

QMRes

QMB

Interação

(AxB) (I-1) (J-1) SQ(AXB)

1)-1)(J(I

SQ(AxB)

QMRes

(AxB)QM

(Tratamento) (IJ-1) (SQTrat) - -

Blocos (K-1)

Resíduo (IJ-1) (K-1) SQRes 1)(K 1)-J(I

SQRes

-

Total IJK-1 SQTotal - -

Nesta situação,

CJI

WSQBlocos

K

1k

2

k

em que:

- total do k-ésimo bloco:

J,I

1j,1,i

kjik YW

As hipóteses estatísticas, para o teste F da análise de variância,

devem ser lançadas para cada um dos efeitos principais e também

para a interação. As hipóteses são do seguinte tipo:

- Efeito principal.

Ho: m1 = m2 = ... = mI ou seja, todos os possíveis contrastes

entre as médias dos níveis do fator, são estatisticamente

nulos, ao nível do probabilidade em que foi executado o

teste.

Ha: não Ho ou seja existe pelo menos um contraste entre as

médias dos níveis do fator, que é estatisticamente diferente

de zero, ao nível de probabilidade em que foi executado

teste.

- Interação

Ho : Os fatores atuam independentemente.

Ha : Os fatores não atuam independentemente.

Os valores de F obtidos na análise de variância para cada uma

das fontes de variação em teste devem ser comparados com os

valores de F tabelados apropriados, os quais são obtidos na tabela de

distribuição de probabilidades da variável aleatória F, de acordo com o

nível de significância desejado, graus de liberdade da fonte de

variação em teste e graus de liberdade do resíduo.

Se o F da análise de variância é maior que o valor de F tabelado

a decisão é rejeitar Ho ao nível de significância em que foi executado

o teste. Caso contrário não se rejeita Ho ao nível de significância em

que foi executado o teste.

A não rejeição de Ho para a interação implica que os fatores

atuam independentemente. Assim devem-se estudar os fatores

isoladamente. Neste caso, observa-se o resultado do teste F para

cada fator. Se for significativo e tratar-se de um fator qualitativo com

mais de 2 níveis, aplica-se um teste de médias para comparar os

níveis do fator. Se for não significativo, a aplicação do teste de médias

é desnecessária.

A rejeição de Ho para a interação implica que os fatores não

atuam independentemente. Assim não se devem estudar os fatores

isoladamente. Este resultado implica que os efeitos dos fatores atuam

de forma dependente. Neste caso as comparações entre os níveis de

um fator levam em consideração o nível do outro fator, pois o

resultado significativo para a interação indica que o efeito de um fator

depende do nível do outro fator.

Neste caso, se os fatores forem qualitativos, deve-se proceder a

comparação dos níveis de um fator, por meio de um teste de médias,

dentro de cada nível do outro fator.

Portanto, não é recomendado realizar o teste F para cada fator

isoladamente tal como foi apresentado para o caso da interação não

significativa. O procedimento recomendado é realizar o

desdobramento do efeito da interação.

Para realizar este desdobramento deve-se fazer uma nova

análise de variância em que os níveis de um fator são comparados

dentro de cada nível do outro fator, tal como apresentado nas tabelas

a seguir.

Desdobramento para comparar os níveis de A, dentro de cada nível de B, ou seja, estudar A/B, num DIC.

FV GL SQ QM F

Fator B (J – 1) -

A/B1 (I – 1) SQA/B1 1I

B/SQA 1

sReQM

B/QMA 1

A/B2 (I – 1) SQA/B2 1I

B/SQA 2

sReQM

B/QMA 2

...... ...... ...... ...... ......

A/BJ (I – 1) SQA/BJ 1I

B/SQA J

sReQM

B/QMA J

(Tratamento) (IJ - 1) (SQTrat) -


SQRes

Total IJK - 1 SQTotal -

Desdobramento para comparar os níveis de B, dentro de cada nível de A, ou seja, estudar B/A, num DIC.

FV GL SQ QM F

Fator A (I – 1) -

B/A1 (J – 1) SQB/A1 1J

A/SQB 1

sReQM

A/QMB 1

B/A2 (J – 1) SQB/A2 1J

A/SQB 2

sReQM

A/QMB 2

...... ...... ...... ...... ......

B/AI (J – 1) SQB/AI 1J

A/SQB I

sReQM

A/QMB I

(Tratamento) (IJ – 1) (SQTrat)


SQRes

Total IJK – 1

1) Seja um experimento fatorial com dois fatores: variedades de sorgo,

com 3 níveis, e tipos de adubos nitrogenados, com 4 níveis,

instalados num DBC, com 3 repetições, para a cultura de sorgo. Os

dados de produção, para os totais de produção (u.p.) são

apresentados a seguir:

Adubos (B)

Variedades (A)

1 2 3 4 Totais

1 25,4 27,8 29,6 31,4 114,2 2 23,1 25,0 27,2 29,6 104,9 3 20,5 22,8 24,8 26,8 94,9

Totais 69,0 75,6 81,6 87,8 314,0

Sabendo-se que SQResíduo = 36,2780 e usando = 5%, pede-se:

a) Analise de variância

b) Aplicar o teste Tukey;

c) Testar o contraste C = mA1 – 2mA2 + mA3 pelo teste de Scheffé e

pelo teste t.

Fator A: Fator B: H0: m1 = m2 = m3 =m H0: m1 = m2 = m3 =m4 = m H1: não H0 H1: não H0 Interação: H0: os fatores atuam independentemente. H1: os fatores não atuam independentemente. Solução:

SQA (variedades) = 5272,153.3.4

314)9,94.....2,114(

4.3

1 2

22

SQB (adubos) = 6422,213.3.4

314)8,87.....0,69(

3.3

1 2

22

SQ(AB) (trat) = 2555,373.3.4

314)8,26.....4,25(

3

1 2

22

SQInt (AxB) = 37,2555 – 1,5272 – 21,6422 = 0,0861

FV GL SQ QM F

Fator A 2 15,5272 7,7636 4,71 * Fator B 3 21,6422 7,2133 4,37 * Interação (AxB)

6 0,0861 0,0144 0,009 ns

(Tratamento) 11 37,2555 - Blocos 2 Resíduo 22 36,2780 1,6490 -

Total 35 - F0,05 (2; 22) = 3,44 F0,05 (3; 22) = 3,05 F0,05 (6; 22) = 5,55

Conclusão:

a) Não existe interação entre os fatores A e B. Isto significa que o

comportamento de um fator não depende dos níveis do outro

fator, sendo, portanto independentes. Neste caso, podemos

estudar os fatores isoladamente.

b) Existe pelo menos um contraste entre médias dos níveis do fator

A (variedades), estatisticamente diferente de zero, ao nível de

5% de probabilidade.

c) Existe pelo menos um contraste entre médias dos níveis do fator

B (adubos), estatisticamente diferente de zero, ao nível de 5% de

probabilidade.

a) Tukey

Fator A: H0: mi = mj H1: mi ≠ mj p/ i ≠ j

52,9ˆ1

Am a

74,8ˆ2

Am ab

90,7ˆ3

Am b

q0,05 (3; 22) = 3,55 32,13.4

6490,155,3

Conclusão: As médias dos níveis de A, seguidas de uma mesma letra,

não deferem entre si, ao nível de 5% de probabilidade,

pelo teste de Tukey.

Fator B:

H0: mi = mj H1: mi ≠ mj p/ i ≠ j

76,9ˆ4

Bm a

07,9ˆ3

Bm ab

40,8ˆ2

Bm ab

90,7ˆ1

Bm b

q0,05 (4; 22) = 3,93 68,13.3

6490,193,3

Conclusão: As médias dos níveis de , seguidas de uma mesma letra,

não deferem entre si, ao nível de 5% de probabilidade,

pelo teste de Tukey.

2) Seja um experimento instalado no esquema fatorial 3 x 2, sendo 3

recipientes e 2 espécies de eucaliptos, num delineamento

inteiramente casualizado (DIC), com 4 repetições. Os dados

experimentais, para a altura média das mudas, em cm, aos 80 dias

de idade, são fornecidos abaixo.

Repetições

Tratamentos 1 2 3 4 Totais

R1E1 26,2 26,0 25,0 25,4 102,6

R1E2 24,8 24,6 26,7 25,2 101,3

R2E1 25,7 26,3 25,1 26,4 103,5

R2E2 19,6 21,1 19,0 18,6 78,3

R3E1 22,8 19,4 18,8 19,2 80,2

R3E2 19,8 21,4 22,8 21,3 85,3

551,2

Pede-se: (usar α = 5%)

a) Analise de variância;

b) Aplicar o teste Tukey.

Fator A: Fator B:

H0: mA1 = m A2 = m A3 = m H0: m B1 = m B2 = m

H1: não H0 H1: não H0

Interação:

H0: os fatores atuam independentemente.

H1: os fatores não atuam independentemente.

Solução:

SQTotal = 7933,1984.3.2

2,5513,21.....2,26

222

E1 E2 Totais de R

R1 102,6 101,3 203,9

R2 103,5 78,3 181,8

R3 80,2 85,3 165,5

Totais de E 286,3 264,9 551,2

SQA (Recipiente) = 8608,924.3.2

2,551)5,165.....9,203(

4.2

1 222

SQB (Espécie) = 0817,194.3.2

3,551)9,2643,286(

4.3

1 222

SQ(AB) (Trat) = 7033,1754.3.2

2,551)3,85.....6,102(

4

1 222

SQInt (AxB) = 175,7033 – 92,8608 – 19,0817 = 63,7608

FV GL SQ QM F

Fator A 2 92,8608 46,4304 36,19 *

Fator B 1 19,0817 19,0817 14,86 *

Interação (AxB) 2 63,7608 31,8804 24,85 *

(Tratamento) (5) (175,7033)

Resíduo 18 23,0900 1,2828

Total 23 198,7933

F0,05 (2; 18) = 3,55 F0,05 (1; 18) = 4,41

Conclusão:

Existe interação entre os fatores A e B (recipientes e espécies), ao

nível de 5% de probabilidade, ou seja, os fatores não atuam

independentemente. Isto significa que o comportamento de um fator

depende dos níveis do outro fator, evidenciando uma dependência

entre os fatores. Neste caso, não podemos estudar os fatores

isoladamente, e sim, desdobrando a interação, avaliando o

comportamento de um fator em cada nível do outro fator.

Estudo do fator A (Recipiente) dentro dos níveis do fator B

(Espécies)

SQA\B1 (R\E1) = 1217,874.3

3,286)2,805,1036,102(

4

1 2222

SQA\B2 (R\E2) = 5000,694.3

9,264)3,853,783,101(

4

1 2222

FV GL SQ QM F

Fator B 1 19,0817

Fator: A\B1 2 87,1217 43,5608 33,96 *

A\B2 2 69,5000 34,7500 27,09 *

(Tratamento) (5)

Resíduo 18 23,0900 1,2828

Total 23

F0,05 (2; 18) = 3,55

Dentro de cada nível de B (Espécies) existe pelo menos um contraste

entre médias dos níveis de A (Recipiente), estatisticamente diferente

de zero, ao nível de 5% de probabilidade.

TUKEY

H0: mAi/B1 = mAj/B1 H0: mAi/B2 = mAj/B2

Ha: mAi/B1 ≠ mAj/B1 p/ i ≠ j Ha: mAi/B2 ≠ mAj/B2 p/ i ≠ j

88,25m̂ B1A2 a 32,25m̂ B2A1 a

64,25m̂ B1A1 a 32,21m̂ B2A3 b

04,20m̂ B1A3 b 57,19m̂ B2A2 b

q0,05 (3; 18) = 3,61 04,24

2828,161,3

Conclusão: Dentro de cada nível de B, as médias dos níveis de A,

seguidas de uma mesma letra, não deferem entre si, ao

nível de 5% de probabilidade, pelo teste de Tukey.

Estudo do fator B (Espécies) dentro dos níveis do fator A

(Recipiente)

SQ B\A1 (E\R1) = 2112,04.2

9,203)3,1016,102(

4

1 222

SQ B\A2 (E\R2) = 3800,794.2

8,181)3,785,103(

4

1 222

SQ B\A3 (E\R3) = 2512,34.2

5,165)3,852,80(

4

1 222

FV GL SQ QM F

Fator A 2

Fator: B\A1 1 0,2112 0,2112 0,16 ns

B\A2 1 79,3800 79,3800 61,88 *

B\A3 1 3,2512 3,2512 2,53 ns

(Tratamento) (5)

Resíduo 18 23,0900 1,2828

Total 23

F0,05 (1; 18) = 4,41

1. Dentro do nível A2 (Recipiente), existe pelo menos um contraste

entre médias dos níveis de B (Espécies), estatisticamente

diferente de zero, ao nível de 5% de probabilidade.

2. Dentro dos níveis A1 e A3 (Recipiente), todos os possíveis

contrastes entre médias dos níveis de B (Espécies), são

estatisticamente nulos, ao nível de 5% de probabilidade.

3) Seja um experimento instalado no esquema fatorial 23 de adubação

NPK em cana de açúcar, sendo 2 níveis de nitrogênio (0 e 60

kg/ha), 2 níveis de fósforo (0 e 75 kg/ha) e 2 níveis de potássio (0 e

75 kg/ha), num delineamento em blocos casualizado, com 4

repetições. As produções em ton/ha, foram:

Blocos

Tratamentos 1 2 3 4 Totais

N0P0K0 - 000 63,9 43,1 58,9 57,2 223,1

N1P0K0 - 100 N 32,5 50,3 50,3 68,4 201,5

N0P1K0 - 010 P 64,9 61,1 58,2 71,2 255,4

N0P0K1 - 001 K 46,5 40,1 56,0 51,8 194,4

N1P1K0 - 110 NP 59,7 73,2 73,7 82,7 289,3

N1P0K1 - 101 NK 45,2 58,4 53,7 76,0 233,3

N0P1K1 - 011 PK 73,6 45,3 88,8 62,7 270,4

N1P1K1 - 111 NPK 70,8 68,5 78,7 84,9 302,9

457,1 440,0 518,3 554,9 1.970,3

Proceder a analise de variância, usar o nível de 5% de probabilidade.

Fator A: Fator B: Fator C:

H0: mA1 = mA2 =mA H0: mB1 = mB2 = mB H0: mC1 = mC2 = mC

H1: não H0 H1: não H0 H1: não H0

Interações: H0: os fatores atuam independentemente.

H1: os fatores não atuam independentemente.

Solução:

SQTotal = 17,852.54.2.2.2

3,19709,84.....9,63

222

SQBlocos = 10,071.132

3,1970)9,554.....1,457(

8

1 222

SQTrat(N,P,K) = 02,781.232

3,1970)9,302.....1,223(

4

1 222

Para se proceder ao desdobramento da SQTratamentos, segundo o

esquema fatorial, organizamos os seguintes quadros auxiliares:

P0 P1 Totais

N0 417,5 525,8 943,3

N1 434,8 592,2 1.027,0

Totais 852,3 1.118,0 1.970,3

K0 K1 Totais

P0 424,6 427,7 852,3

P1 544,7 573,3 1.118,0

Totais 969,3 1.001,0 1.970,3

K0 K1 Totais

N0 478,5 464,8 943,3

N1 490,8 536,2 1.027,0

Totais 969,3 1.001,0 1.970,3

SQ(N) = 93,21832

3,1970)0,10273,943(

16

1 222

SQ(P) = 14,206.232

3,1970)0,11183,852(

16

1 222

SQ(K) = 40,3132

3,1970)0,10013,969(

16

1 222

SQ(N,P) = 40,500.232

3,1970)2,592......5,417(

8

1 222

SQ(N x P) = SQ(N,P) - SQ(N) - SQ(P) = 2.500,40 – 218,93 – 2.206,14

SQ(N x P) = 75,34

SQ(N,K) = 48,35932

3,1970)2,536......5,478(

8

1 222

SQ(N x K) = SQ(N,K) - SQ(N) - SQ(K) = 359,48 – 218,93 – 31,40

SQ(N x K) = 109,15

SQ(P,K) = 86,257.232

3,1970)3,573......6,424(

8

1 222

SQ(P x K) = SQ(P,K) - SQ(P) - SQ(K) = 2.257,86 – 2.206,14 – 31,40

SQ(P x K) = 20,32

SQ(N x P x K) = SQTrat(N,P,K) - SQ(N) - SQ(P) - SQ(K) - SQ(N x P) -

SQ(N x K) - SQ(P x K)

SQ(N x P x K) = 2.781,02 - 218,93 - 2.206,14 - 31,40 - 75,34 – 109,15

– 20,32 = 119,74

Quadro da análise de variância

FV GL SQ QM F

N 1 218,93 218,93 2,30 ns

P 1 2.206,14 2.206,14 23,16 *

K 1 31,40 31,40 0,33 ns

N x P 1 75,34 75,34 0,74 ns

N x K 1 109,15 109,15 1,15 ns

P x K 1 20,32 20,32 0,21 ns

N x P x k 1 119,74 119,74 1,26 ns

(Tratamentos) ( 7 ) (2.781,02)

Blocos 3 1.071,10

Resíduo 21 2.000,05 95,24

Total 31 5.852,17

F0,05 (1; 21) = 4,32

a) Não existe interação tripla entre os fatores N x P x K. Neste caso

verificar-se que as interações duplas entre os fatores também

foram não significativas. Isto significa que o comportamento de

um fator não depende dos níveis dos outros fatores, sendo,

portanto independentes. Neste caso, podemos estudar os

fatores isoladamente.

b) Todos os possíveis contrastes entre médias dos níveis do fator

N, são estatisticamente nulos, ao nível de 5% de probabilidade.

c) Exite pelo menos um contraste entre médias dos níveis do fator

P, estatisticamente diferente de zero, ao nível de 5% de

probabilidade.

d) Todos os possíveis contrastes entre médias dos níveis do fator

K, são estatisticamente nulos, ao nível de 5% de probabilidade.

4) Considere um experimento montado no esquema fatorial 3 x 2 x 2,

sendo o fator variedade de trigo em 3 níveis (V1; V2 e V3), o fator

calagem em 2 níveis (Ca0: 0 ton/ha de calcário e Ca1: 4,4 ton/ha de

calcário) e o fator fosfatagem em 2 níveis (P0: 0 mg de P/kg de solo

e P1: 87 mg de P/kg de solo), num delineamento inteiramente

casualizado, com 4 repetições. No qual foi estudada a eficiência da

cultura do trigo na utilização do fósforo, obtida pelo quociente do

teor de matéria seca da parte aérea pela quantidade de fósforo

absorvida, obtendo os dados abaixo:

Tratamentos

Repetições

Totais 1 2 3 4

1- V1Ca0P0 1255 1250 908 1431 4844

2- V1Ca0P1 556 476 588 500 2120

3- V1Ca1P0 714 770 667 667 2818

4- V1Ca1P1 417 454 454 385 1710

5- V2Ca0P0 1428 1444 1667 1428 5967

6- V2Ca0P1 625 526 667 526 2344

7- V2Ca1P0 769 911 1000 1254 3944

8- V2Ca1P1 370 476 417 357 1620

9- V3Ca0P0 1660 1662 1667 1667 6656

10- V3Ca0P1 526 714 588 714 2542

11- V3Ca1P0 625 909 909 667 3110

12- V3Ca1P1 526 556 400 476 1958

39623

SQTotal = 83240344.2.2.3

39623476.....1255

222

SQTrat = 786556548

39623)1958.....4844(

4

1 222

Para o cálculo das somas de quadrados correspondentes aos efeitos

principais dos fatores e às interações entre eles, devemos organizar

os quadros auxiliares relacionando os níveis dos fatores:

Quadro 1

V1 V2 V3 Totais

Ca0 6964 8311 9198 24473

Ca1 4528 5554 5068 15150

Totais 11492 13865 14266 39623

Quadro 2

V1 V2 V3 Totais

P0 7662 9901 9766 27329

P1 3830 3964 4500 12294

Totais 11492 13865 14266 39623

Quadro 3

Ca0 Ca1 Totais

P0 17467 9862 27329

P1 7006 5288 12294

Totais 24473 15150 39623

Do quadro 1, temos:

SQ(V) = 979.28048

39623)142661386511492(

16

1 2222

SQ(Ca) = 799.810.148

39623)1515024473(

24

1 222

SQ(V,Ca) = 982.192.248

39623)5068......6964(

8

1 222

SQ(V x Ca) = SQ(V,Ca) - SQ(V) - SQ(Ca)

SQ(V x Ca) = 2.192.982 – 1.810.799 – 280.979 = 101.204

Do Quadro 2, temos:

SQ(P) = 401.709.448

39623)1229427329(

24

1 222

SQ(V,P) = 914.134.548

39623)4500......7662(

8

1 222

SQ(V x P) = SQ(V,P) - SQ(V) - SQ(P)

SQ(V x P) = 5.134.914 – 280.979 – 4.709.401 = 144.534

Do Quadro 3, temos:

SQ(Ca,P) = 215.242.748

39623)5288......17467(

12

1 222

SQ(Ca x P) = SQ(Ca,P) - SQ(Ca) - SQ(P)

SQ(Ca x P) = 7.242.215 – 1.810.799 – 4.709.401 = 722.215

A soma de quadrados da interação tripla é obtida por diferença em

relação à soma de quadrados de tratamentos, isto é:

SQ(V x Ca x P) = SQTrat - SQ(V) - SQ(Ca) - SQ(P) - SQ(V x P) -

SQ(V x Ca) - SQ(Ca x P)

SQ(V x Ca x P) = 7.865.565 – 280.979 – 1.810.799 – 4.709.401 –

144.534 – 101.204 – 722.015

SQ(V x Ca x P) = 96.633

Quadro da análise de variância

FV GL SQ QM F

V 2 280.979 140.490 10,94 **

Ca 1 1.810.799 1.810.799 140,96 **

P 1 4.709.401 4.709.401 366,60 **

V x Ca 2 101.204 50.602 3,94 *

V x P 2 144.534 72.267 5,63 **

Ca x P 1 722.015 722.015 56,21 **

V x Ca x P 2 96.633 48.317 3,76 *

(Tratamentos) ( 11) (7.865.565)

Resíduo 36 462.469 12.846

Total 47 8.328.034

F0,05 (1; 36) = 4,08 F0,05 (2; 36) = 3,23

Existe interação tripla entre os fatores V x Ca x P. Isto significa que o

comportamento de um fator depende dos níveis dos outros fatores,

sendo, portanto dependentes. Neste caso, não podemos estudar os

fatores isoladamente.

A significância da interação V x Ca x P, pode ser considerada de 3

formas: interação da interação V x Ca com o fator P; interação da

interação C x P com o fator Ca; interação da interação Ca x P com o

fator V.

Vamos desdobrar a interação V x Ca x P, para estudar o

comportamento das variedades em cada combinação de níveis de Ca

e P. Podemos organizar um quadro auxiliar:

Ca0P0 Ca0P1 Ca1P0 Ca1P1 Totais

V1 4844 2120 2818 1710 11492

V2 5967 2344 3934 1620 13865

V3 6656 2542 3110 1958 14266

Totais 17467 7006 9862 5288 39623

Desse quadro calculamos:

SQ(V para int. Ca0P0) = 266.41812

17467)665659674844(

4

1 2222

SQ(V para int. Ca0P1) = 289.2212

7006)254223442120(

4

1 2222

SQ(V para int. Ca1P0) = 475.16712

9862)311039342818(

4

1 2222

SQ(V para int. Ca1P1) = 321.1512

5288)195816201710(

4

1 2222

Quadro da análise de variância para estudar o comportamento das

variedades de trigo (V) em cada combinação dos níveis de Ca e P.

FV GL SQ QM F

V\Ca0P0 2 418.266 209.133 16,28 **

V\Ca0P1 2 22.289 11.145 0,87 ns

V\Ca1P0 2 167.475 83.738 6,52 **

V\Ca1P1 2 15.321 7.661 0,60 ns

Resíduo 36 462.469 12.846 -

Verificamos que existem diferenças entre as variedades de trigo (V)

nas combinações Ca0P0 e Ca1P0. Dentro de cada combinação Ca0P0 e

Ca1P0, existe pelo menos um contraste entre médias dos níveis de V

(variedades de trigo), estatisticamente diferente de zero, ao nível de

5% de probabilidade.

Para detectar essas diferenças, vamos aplicar o teste de tukey às

médias das cultivares em cada combinação de Ca e P.

Ca0P0

H0: mCi = mCj

H1: mCi ≠ mCj p/ i ≠ j

q0,05 (3; 36) = 3,46 1964

1284646,3

Ca0P0 Ca0P1 Ca1P0 Ca1P1

V1 1211 b 530 a 705 b 428 a

V2 1492 a 586 a 984 a 405 a

V3 1664 a 636 a 778 b 490 a

Dentro de cada combinação de Ca e P, as médias dos níveis de V,

seguidas de uma mesma letra, não deferem entre si, ao nível de 5%

de probabilidade, pelo teste de Tukey.


comportamento do calcário em cada combinação de níveis de V e P.

Podemos organizar um quadro auxiliar:

V1P0 V1P1 V2P0 V2P1 V3P0 V3P1 Totais

Ca0 4844 2120 5967 2344 6656 2542 24473

Ca1 2818 1710 3934 1620 3110 1958 15150

Totais 7662 3830 9901 3964 9766 4500 39623


SQ(Ca para int. V1P0) = 085.5138

7662)28184844(

4

1 222


3830)17102120(

4

1 222


9901)39345967(

4

1 222


3964)16202344(

4

1 222

SQ(Ca para int. V3P0) = 764.571.18

9766)31106656(

4

1 222


4500)19582542(

4

1 222

Quadro da análise de variância para estudar o comportamento das

variedades de trigo (V) em cada combinação dos níveis de Ca e P.

FV GL SQ QM F

Ca\V1P0 1 513.085 513.085 39,94 **

Ca\V1P1 1 21.013 21.013 1,64 ns

Ca\V2P0 1 516.636 516.636 40,22 **

Ca\V2P1 1 65.522 65.522 5,10 *

Ca\V3P0 1 1.571.764 1.571.764 122,35 **

Ca\V3P1 1 42.632 42.632 3,32 ns

Resíduo 36 462.469 12.846 -

Verificamos que existem diferenças entre os níveis de calcário (Ca)

nas combinações V1P0, V2P0, V2P1 e V3P0. Dentro de cada combinação

dos níveis V1P0, V2P0, V2P1 e V3P0, existem pelo menos um contraste

entre médias dos níveis de Ca (calcário), estatisticamente diferente de

zero, ao nível de 5% de probabilidade.

Para detectar essas diferenças, vamos resumir às médias dos níveis

de calcário em cada combinação de V e P.

V1P0 V1P1 V2P0 V2P1 V3P0 V3P1

Ca0 1.211 a 530 a 1.492 a 586 a 1.664 a 636 a

Ca1 705 b 428 a 984 b 405 b 778 b 490 a

Dentro de cada combinação de V e P, as médias dos níveis de Ca,




comportamento do Fósforo em cada combinação de níveis de V e Ca.

Podemos organizar um quadro auxiliar:

V1Ca0 V1Ca1 V2Ca0 V2Ca1 V3Ca0 V3Ca1 Totais

P0 4844 2818 5967 3934 6656 3110 27329

P1 2120 1710 2344 1620 2542 1958 12294

Totais 6964 4528 8311 5554 9198 5068 39623


SQ(P para int. V1Ca0) = 522.9278

6964)21204844(

4

1 222


4528)17102818(

4

1 222

SQ(P para int. V2Ca0) = 766.640.18

8311)23445967(

4

1 222


5554)16203934(

4

1 222

SQ(P para int. V3Ca0) = 625.115.28

9198)25426656(

4

1 222


5068)19583110(

4

1 222

Quadro da análise de variância para estudar o comportamento do

fósforo (P) em cada combinação dos níveis de V e Ca.

FV GL SQ QM F

P\V1Ca0 1 927.522 927.522 72,20 **

P\V1Ca1 1 153.458 153.458 11,95 **

P\V2Ca0 1 1.640.766 1.640.766 127,73 **

P\V2Ca1 1 669.325 669.325 52,10 **

P\V3Ca0 1 2.115.625 2.115.625 164,69 **

P\V3Ca1 1 165.888 165.888 12,91 **

Resíduo 36 462.469 12.846 -

Verificamos que existem diferenças entre os 2 níveis de fósforo (P) em

todas as combinações de V e Ca. Ou seja, Dentro de cada

combinação dos níveis de V e Ca, existe pelo menos um contraste

entre médias dos níveis de P (fósforo), estatisticamente diferente de

zero, ao nível de 5% de probabilidade.

Para detectar essas diferenças, vamos resumir às médias dos níveis

de fósforo em cada combinação de V e Ca.

V1Ca0 V1Ca1 V2Ca0 V2Ca1 V3Ca0 V3Ca1

P0 1.211 a 705 a 1.492 a 984 a 1.664 a 778 a

P1 530 b 428 b 586 b 405 b 636 b 490 b

Dentro de cada combinação de V e Ca, as médias dos níveis de P,



Obs.: Os três desdobramentos realizados na interação tripla pode ser

utilizado qualquer um deles, dependendo apenas do interesse do

pesquisador.

Documents

Apostila de Experimentos Fatoriais 2015-1