introduçãos as ciencias fisica 1

Maria Antonieta T. de Almeida

Mdulo 2Volume 2 3 edio

INTRODUCO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1

C E D E R J 9

AU

LA 21

M

DU

LO 3

Maria Antonieta T. de AlmeidaVolume 2 - Mdulo 23 edio

Introduo s Cincias Fsicas 1

Apoio:

Material Didtico

A447i Almeida, Maria Antonieta T. de. Introduo s cincias fsicas 1. v.2 / Maria Antonieta T. de Almeida. 3.ed. Rio de Janeiro : Fundao CECIERJ, 2010. 190p.; 21 x 29,7 cm.

ISBN: 978-85-7648-497-4

1. Movimentos. 2. Vetores. 3. Cinemtica vetorial. 4. Leis de Newton. I. Ttulo. CDD: 530.1

Referncias Bibliogrfi cas e catalogao na fonte, de acordo com as normas da ABNT.

Copyright 2005, Fundao Cecierj / Consrcio Cederj

Nenhuma parte deste material poder ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrnico, mecnico, por fotocpia e outros, sem a prvia autorizao, por escrito, da Fundao.

2010/1

ELABORAO DE CONTEDOMaria Antonieta T. de Almeida

COORDENAO DE DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONALCristine Costa Barreto

DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL E REVISO Alexandre Rodrigues AlvesMrcia PinheiroNilce P. Rangel Del Rio

COORDENAO DE LINGUAGEMMaria Anglica Alves

EDITORATereza Queiroz

REVISO TIPOGRFICAEquipe CEDERJ

COORDENAO DE PRODUOJorge Moura

PROGRAMAO VISUALKaty ArajoVera Abreu

ILUSTRAOFbio Muniz de MouraMorvan de Araujo Neto

CAPAEduardo BordoniFbio Muniz de Moura

PRODUO GRFICAOsias FerrazPatricia Seabra

Departamento de Produo

Fundao Cecierj / Consrcio CederjRua Visconde de Niteri, 1364 Mangueira Rio de Janeiro, RJ CEP 20943-001

Tel.: (21) 2334-1569 Fax: (21) 2568-0725

PresidenteMasako Oya Masuda

Vice-presidenteMirian Crapez

Coordenao do Curso de FsicaLuiz Felipe Canto

Universidades Consorciadas

Governo do Estado do Rio de Janeiro

Secretrio de Estado de Cincia e Tecnologia

Governador

Alexandre Cardoso

Srgio Cabral Filho

UENF - UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIROReitor: Almy Junior Cordeiro de Carvalho

UERJ - UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIROReitor: Ricardo Vieiralves

UNIRIO - UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO DO RIO DE JANEIROReitora: Malvina Tania Tuttman

UFRRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIROReitor: Ricardo Motta Miranda

UFRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIROReitor: Alosio Teixeira

UFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSEReitor: Roberto de Souza Salles

MDULO 2 As medidas experimentais e as observaes terrestres

Recomeando... ......................................................................................................................... 9

Aula 1 A descrio do movimento Introduo ..................................................................................................................... 11

O que sei sobre partculas, trajetrias e os vetores deslocamentos? ............................... 12

Partculas e suas trajetrias ........................................................................................... 13

Referncias, observadores e sistemas de coordenadas .................................. 16

Leituras e exerccios 1 ................................................................................... 17

Vetores .......................................................................................................... 19

Exerccios 2 .................................................................................................... 31

Exerccios programados 5 .............................................................................................. 32

Gabarito ...................................................................................................................... 33

Aula 2 Os vetores e suas bases Introduo ..................................................................................................................... 37

O que sei sobre a decomposio de vetores em bases ortogonais? .............................. 38

Decomposio de vetores .............................................................................................. 39

Exerccios 3 ................................................................................................... 48


Gabarito ...................................................................................................................... 52

Aula 3 Cinemtica vetorial Introduo .................................................................................................................... 55

O que sei sobre os vetores cinemticos e suas relaes com as trajetrias? ................. 56

Vetores cinemticos ...................................................................................................... 57

Vetor deslocamento ........................................................................................ 58

Vetor posio ................................................................................................ 59

Leituras e exerccios 4 ................................................................................... 61

Vetor velocidade ........................................................................................... 62

Vetor acelerao ........................................................................................... 67

Movimento unidimensional .......................................................................................... 70

Componentes dos vetores cinemticos ......................................................... 70

Signifi cado geomtrico da componente da velocidade e da acelerao no movimento unidimensional ...................................................................... 70 Problema inverso ......................................................................................................... 74

Movimento retilneo uniforme ....................................................................................... 75

Movimento retilneo uniformemente acelerado ............................................................. 76

Leituras e exerccios 5 ................................................................................................... 78


Gabarito ...................................................................................................................... 80

Introduo s Cincias Fsicas 1SUMRIO

Volume 2

Aula 4 O que muda o movimento Prtica 1 ............................................................................................................................ 83

Aula 5 Leis de Newton Introduo ...................................................................................................................... 89

O que sei sobre as leis do movimento e as foras? ...................................................... 90

Foras e suas caractersticas ......................................................................................... 91

Defi nio .......................................................................................................... 91

Foras de contato ............................................................................................ 92

Foras de ao a distncia ............................................................................... 95

As interaes fundamentais da Natureza ....................................................... 97

Intensidade, direo e sentido de uma fora ................................................... 98

Identifi cando as foras que atuam sobre corpos ............................................. 99

Leituras e exerccios 6 ................................................................................................ 100

As Leis de Newton ............................................................................................ 102

Primeira Lei de Newton ................................................................................ 102

As idias de Galileu sobre o movimento ...................................................... 103

Inrcia ........................................................................................................... 104

A Primeira Lei de Newton ............................................................................. 105

Leituras e exerccios 7 .................................................................................. 110

Segunda Lei de Newton ..................................................................................... 112

Leituras e exerccios 8 .................................................................................................118

Terceira Lei de Newton ...................................................................................... 119

Leituras e exerccios 9 ................................................................................................ 123

Exerccios programados 8 ............................................................................................124

Gabarito ....................................................................................................................126

Aula 6 Outros tipos de movimento Introduo ................................................................................................................... 135

O que sei sobre a fora gravitacional, a fora de atrito e os movimentos planos? ........137

Conhecendo melhor as foras gravitacionais ...............................................................138

Conhecendo melhor a fora de atrito ..........................................................................139

Leituras e exerccios 10 ...............................................................................................141 Cinemtica do movimento de um projtil e do movimento circular ............................142

Trajetrias parablicas ..................................................................................150

Leituras e exerccios 11 ...............................................................................................152

Movimento circular ........................................................................................153

Explicando a Terceira Lei de Kepler ................................................................156

Movimento de corpos onde atuam foras impulsivas ..................................................157

Leituras e exerccios 12 ................................................................................................159

Exerccios programados 9 ............................................................................................160

Gabarito ......................................................................................................................162

Aula 7 A fl utuao dos corpos .............................................................................................169 Prtica 2 .......................................................................................................................169

E para terminar... .................................................................................................................177

Complementos Complemento 1 O centro de massa .........................................................................179

Complemento 2 Propagao de erros .......................................................................181

Complemento 3 Construo de um grfi co ...............................................................185

Referncias Bibliogrfi cas ..............................................................................................187

Agradecimentos ...................................................................................................................189

Recomeando...

As medidas experimentais e as observaes terrestres

Voc est recebendo agora o material referente ao segundo mdulo da nossa disciplina.

No Mdulo 1, mostramos como a aplicao do Mtodo Cientfico permite construir as Leis da ptica Geomtrica. Foi discutida a construo de imagens em espelhos e em objetos polidos e transparentes.

Neste mdulo, estamos interessados em descrever quantitativamente os movi-mentos de sistemas simples e entender as suas causas. Nele, iniciaremos o estudo da teoria denominada Mecnica da Partcula.

A escolha dos conceitos relevantes para a descrio dos movimentos e o esta-belecimento das leis que explicam suas causas constituem um exemplo belssimo de modelagem da Natureza construda por cientistas brilhantes como Kepler, Galileu, Newton etc. As Leis da Mecnica da Partcula foram apresentadas por Newton no seu livro Philosophiae naturalis principia mathematica.

As aulas deste mdulo devem ser complementadas por leituras e exerccios dos livros de Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga: Fsica volume nico, e do Gref: Fsica 1.

Este mdulo foi programado para ter durao mdia de trs semanas e meia. constitudo de sete aulas, iniciado por este texto, Recomeando...(que voc est lendo agora) e acaba no E para terminar...

As aulas so:

1. A descrio dos movimentos

2. Os vetores e suas bases

3. Cinemtica vetorial

4. O que muda o movimento?

5. As Leis de Newton

6. Outros tipos de movimento

7. A flutuao dos corpos

Ao final do mdulo, voc encontrar tambm um complemento sobre o cen-tro de massa, outro complemento sobre incertezas experimentais e a bibliografia.

Nas Aulas de 1 a 3 sero introduzidos os conceitos necessrios descrio dos movimentos: referenciais, partculas, trajetrias, vetor deslocamento, vetor posio, vetor velocidade e vetor acelerao. A construo da trajetria de uma partcula a partir do conhecimento da sua posio inicial e da sua velocidade inicial ser realizada qualitativamente e de forma geomtrica.

A Aula 4 um experimento que tem como finalidade mostrar que as foras so vetores.

Na Aula 5 sero discutidas as causas dos movimentos e enunciadas as Leis de Newton. Elas so a base da Mecnica da Partcula. Sero apresentados alguns exemplos simples da aplicao dessas leis.

Na Aula 6 sero analisados movimentos planos, com as Leis de Newton. A Terceira Lei de Kepler ser demonstrada para rbitas circulares. Os conceitos de quantidade de movimento e de fora mdia necessrios descrio de colises tambm sero apresentados.

A Aula 7 uma prtica que tem como finalidade discutir as caractersticas da fora empuxo e fazer medidas de massas, volumes, densidades etc.

O material para os experimentos a serem utilizados no plo j est disponvel, e os tutores o conhecem bem.

Os principais conceitos abordados so:

referencial

partcula

trajetria

vetor deslocamento

vetor posio

vetor velocidade

vetor acelerao

foras

Para acompamhar as discusses feitas, voc precisa conhecer as idias bsicas de trigonometria e geometria, saber manipular funes trigonomtricas simples e expresses algbricas elementares.

A descrio do movimento

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MDULO 2 - AULA 1

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ObjetivoDefi nir alguns dos conceitos necessrios para

descrever os movimentos: referenciais, trajetrias e vetores.

Introduo

Estamos cercados por corpos que se movimentam. A ma que cai da macieira, a Lua que gira em torno da Terra, a Terra que gira em torno do seu eixo e translada em torno do Sol etc. Descrever e descobrir as causas dos movimentos dos corpos o objetivo da Mecnica.

Nesta aula definiremos alguns dos conceitos necessrios para a descrio dos movimentos. Ela composta por quatro partes:

O que sei sobre partculas, trajetrias e os vetores deslocamentos? um questionrio que tem como finalidade levantar as suas idias prvias sobre o assunto.

Partculas e suas trajetrias um texto que discute estes conceitos.

Referncias, observadores e sistemas de coordenadas um texto que discute estes conceitos.

Vetores um texto onde so discutidos os vetores e suas propriedades.

Leituras e exerccios 1 so textos e exerccios sobre os conceitos tratados nesta aula, dos livros Mecnica 1 (Gref) e Fsica Volume nico (Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga).

Bom trabalho!

A descrio do movimentoINTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1

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O que sei sobre partculas, trajetrias e os vetores deslocamentos?

As questes apresentadas a seguir tm como finalidade investigar e organizar os seus conhecimentos e idias prvias sobre partculas, trajetrias e vetores. Escreva em seu caderno, de forma organizada, as respostas s questes. No consulte livros ou notas de aulas, mas no deixe de respond-las. A comparao entre suas idias e conhecimentos sobre partculas, trajetrias e vetores antes e depois de trabalhar esta aula importante para o seu aprendizado.

Questionrio 1

1. O que uma partcula?

2. Quando um corpo pode ser tratado como partcula? D exemplos.

3. O que a trajetria de uma partcula?

4. O que um referencial?

5. O que um observador?

6. O que so coordenadas cartesianas planas?

7. O que so coordenadas cartesianas tridimensionais?

8. Qual a definio do vetor deslocamento?

9. Qual a regra para somar vetores?

10. Qual a regra para multiplicar um vetor por um nmero real?

11. Quais as propriedades da soma de vetores e da multiplicao de um vetor por um nmero real?


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MDULO 2 - AULA 1

13

Todo movimento relativo, isto , depende

de quem observa.

A escolha do ponto de observao muito importante na descrio dos movimentos dos corpos. Por exemplo, em um parque de diverses, a carrocinha (objeto de estudo) do pipoqueiro est em repouso para a criana (observador 1) que espera pacientemente a sua pipoca, est se deslocando em linha reta para a me (observador 2) que acompanha o filho no passeio do trenzinho e est girando em alta velocidade para o adolescente (observador 3) que est no crculo da morte.

Partculas e suas trajetrias

Desde os primrdios a humanidade teve grande curiosidade pelos corpos celestes. Varias teorias foram propostas para explicar o movimento dos corpos celestes, entre elas podemos citar as teorias de Ptolomeu e Coprnico sobre o Sistema Solar. A Teoria de Ptolomeu afirma que o Sol e todos os planetas giram em torno da Terra e a Teoria de Coprnico diz que so os planetas que giram em torno do Sol. Uma pessoa com pouca cultura cientfica ao ser questionada se a Terra que gira em torno do Sol ou se o Sol que gira em torno da Terra responder que o Sol que gira em torno da Terra. Todos os dias, todos observam o Sol se deslocar no cu do Leste para o Oeste.

Afinal de contas, a Terra que gira em torno do Sol ou o Sol que gira em torno da Terra?

As duas respostas esto corretas, porque a pergunta est incompleta. Para se descrever o movimento de um corpo necessrio se definir o que (objeto de estudo) est se observando e quem (observador) est observando. Na pergunta anterior, o observador no foi especificado. Para um observador fixo na Terra, o Sol que gira em torno da Terra. Todavia, para um observador fixo no Sol a Terra que gira em torno do Sol.

O que incorreto dizer que todos os planetas e o Sol giram em crculos em torno da Terra. Na Aula 1 do Mdulo 2, foi apresentado o argumento utilizado por Galileu para demonstrar que a rbita de Vnus em torno da Terra no podia ser circular.


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Portanto, podemos concluir que a descrio de um movimento diferente para diferentes observadores, isto , todo movimento relativo a um observador.

Alm disso, existem pontos de observao onde a descrio do movimento mais simples. No caso do nosso exemplo, ele mais simples para o menino que est esperando a pipoca. Por isso, quando for possvel, escolheremos o ponto de observao que permita a descrio mais simples do movimento. Do ponto de vista prtico, nem sempre possvel analisar o movimento de um ponto de observao onde a sua descrio a mais simples. Por exemplo, na ocasio em que foram feitos os estudos para descobrir qual era o movimento dos planetas, as observaes s eram possveis da Terra. No entanto, a descrio do movimento dos planetas mais simples com o ponto de observao no Sol.

Um corpo pode ter um movimento simples, como no caso de um pequeno pedao de giz que arremessado por um estudante para atingir o seu colega de classe, ou um movimento mais complicado, como um atleta de saltos ornamentais que se encolhe aps pular de um trampolim. O giz se desloca no espao sem girar e sem se deformar e o atleta se desloca no espao girando e deformando.

Figura 1 Movimento de translao. Figura 2 Movimento de translao e rotao.

PARTCULA

TRAJETRIA

AB

AB

Nesta aula, definiremos os conceitos relevantes para a descrio dos movimentos de corpos que se deslocam no espao sem girar e sem deformar (Figura 1). Neste caso, o conhecimento da forma do corpo e do movimento de um dos seus pontos (por exemplo, do ponto A) permite a descrio completa do seu movimento (Figura 1). Dizemos nesse caso que o corpo pode ser tratado como uma partcula.

PARTCULA um modelo utilizado na descrio do movimento de um corpo em que se supe que toda a massa do corpo est em um ponto. A linha gerada pelo deslocamento de uma partcula denominada de TRAJETRIA.

A descrio do movimento de corpos que transladam e giram (Figura 2) s ser apresentada na disciplina de Fsica I.

Em algumas ocasies, quando estamos interessados em descrever parcialmente o movimento de um corpo, podemos tratar sistemas que giram e deformam como partculas.

A

A

BB


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MDULO 2 - AULA 1

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Ver Aula 1 do Mdulo 2.

Sistema

Exterior

Centro de massa

Leia maisdetalhessobre o

centro demassa no

Complemento 1.

Por exemplo, na descrio da rbita da Terra em torno do Sol (ponto de observao) podemos tratar a Terra como uma partcula porque a distncia mdia da Terra ao Sol muito maior do que o raio da Terra, sendo portanto as dimenses da Terra irrelevantes para solucionar esse problema. No entanto, se quisermos analisar as estaes do ano nosso planeta no pode ser tratado como partcula.

P1 O QUE UMA PARTCULA?

P2 QUANDO UM CORPO PODE SER TRATADO COMO PARTCULA? D EXEMPLOS.

P3 O QUE A TRAJETRIA DE UMA PARTCULA?

Chamaremos, a partir de agora, o corpo ou conjunto de corpos que esto sendo observados de SISTEMA. Todo o resto do Universo ser denominado de exterior. Por exemplo, se a Terra for o nosso sistema, o EXTERIOR ser constitudo por tudo que no a Terra, por exemplo, corpos celestes, poeira csmica etc.

Na realidade, possvel demonstrar que para qualquer sistema sempre existe um ponto do espao, o CENTRO DE MASSA, que ao se deslocar gera uma curva (trajetria do centro de massa) igual da trajetria de uma partcula com a massa do sistema e que sofre as mesmas aes que o exterior exerce sobre o sistema. Por exemplo, se considerarmos a Terra como uma esfera rgida o centro de massa ser o centro da esfera. Se considerarmos que somente o Sol atua sobre a Terra, isto , que as aes dos outros corpos celestes sobre ela so desprezveis, a trajetria do centro de massa ser igual trajetria de uma partcula com a massa da Terra e que sofre apenas a ao do Sol.

A seguir, definiremos alguns dos conceitos necessrios para a descrio do movimento de uma partcula.


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REFERENCIAL

COORDENADAS CARTESIANAS PLANAS

COORDENADAS CARTESIANAS TRIDIMENSIONAIS

Figura 5 Referencial S.

Referncias, observadores e sistemas de coordenadas

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO: par ordenado que deter-mina a distncia perpendicular a dois eixos perpendiculares. Na Figura 3 as coordenadas cartesianas do ponto A so o par ordenado (XA, YA).

Figura 4 As coordentadas cartesianas do ponto A so XA,YA e ZA.

A

O

X

Y

A

AYX

Z

A

O X

Y

AYA

XA

Figura 3 Coordenadas cartesianas do ponto A.

COORDENADAS CARTESIANAS TRIDIMENSIONAIS: conjunto ordenado com 3 nmeros que medem a distncia perpendicular de um ponto aos planos formados por trs eixos perpendiculares.

REFERENCIAL: um corpo rgido em relao ao qual se podem especificar as coordenadas espaciais e temporais de eventos fsicos. Para se medir distncias utiliza-se uma rgua, e para medir tempos utilizam-se relgios. Um referencial S pode ser visualizado em termos bem concretos: por exemplo, trs barras rgidas definindo um sistema de eixos cartesianos, que podem ser tomados como comprimentos unitrios, para medidas das coordenadas e um relgio para medida de tempos (Figura 5). Na disciplina de Fsica I ser realizada uma discusso mais detalhada sobre esse conceito. comum representar os referenciais nas figuras dos livros apenas pelo seu sistema de eixos cartesianos. essa representao grfica simplificada dos referenciais que ser adotada neste mdulo.


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MDULO 2 - AULA 1

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OBSERVADOROBSERVADOR: um agente fsico em um referencial capaz de realizar medies. Ele pode ser uma pessoa ou aparelho programado para medir.

P4 O que so COORDENADAS CARTESIANAS PLANAS?

P5 O que so COORDENADAS CARTESIANAS TRIDIMENSIONAIS?

P6 O que UM REFERENCIAL?

P7 O que UM OBSERVADOR?

Leituras e exerccios 1

Leitura

Leia sobre os assuntos Conceito do movimento na seo 2.1 do Captulo 2 do livro de Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga, Fsica - volume nico. Dessa mesma seo resolva os exerccios de fixao de nmeros de 1 at 6.

Figura 6 Carrinho em um trilho de ar.

Exerccio 1

A Figura 6 uma cpia da foto estroboscpica de carrinho que se desloca em um trilho de ar da esquerda para a direita.

1. Neste movimento, o carrinho pode ser tratado como partcula? Justifique a sua resposta.

2. Escolha um dos pontos do carrinho (A) e desenhe a sua trajetria para o referencial S fixo no trilho e com os eixos coordenados OXY desenhados na Figura 6.

3. Mea na Figura 6 a coordenada x do ponto A para o sistema de referncia S representado pelos eixos coordenados OXY desenhados na Figura 6.

4. Faa um grfico de x versus t para o carrinho. O intervalo de tempo entre as fotografias o mesmo. Considere este intervalo como unitrio. Utilize papel milimetrado.

5. Repita os itens de 2 at 3 para o ponto A e para o referencial S fixo na Terra com eixos OXY.

Veja o Complemento 3 Construo de

um grfico.


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Exerccio 2

A Figura 7 uma cpia da foto estro-boscpica de uma esfera em queda livre.

1. Neste movimento, a esfera pode ser tratada como partcula? Justifique a sua resposta.

2. Escolha um dos pontos da esfera (A) e desenhe a sua trajetria para o referencial S fixo na Terra e com os eixos coordenados OXY desenhados na Figura 7.

3. Mea na Figura 7 a coordenada y do ponto A para o sistema de eixos coordenados OXY desenhado na figura.

4. Faa um grfico de y versus t da esfera em funo do tempo. O intervalo de tempo entre as fotografias o mesmo. Considere este intervalo como unitrio. Utilize papel milimetrado.

5. Repita os itens de 2 at 3 para o ponto A e para o referencial S fixo no trilho com eixos OXY.

Figura 7 Queda livre de uma esfera.

Figura 8 Esfera arremessada.

Exerccio 3

A Figura 8 uma cpia da foto estroboscpica de uma esfera que foi arremessada de uma plataforma de madeira.


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1. Neste movimento, a esfera pode ser tratada como partcula? Justifique a sua resposta.

2. Escolha um dos pontos da esfera e desenhe a sua trajetria para o referencial S fixo na Terra e representado pelos eixos coordenados OXY desenhados na figura 8.

3. Mea na Figura 8 as coordenadas (x,y) do ponto A para o referencial S. Faa os grficos x versus t e y versus t para a esfera. O intervalo de tempo entre as fotografias o mesmo. Considere este intervalo como unitrio. Utilize papel milimetrado.

4. Repita os itens de 2 at 3 para o ponto A e para o referencial S fixo na plataforma com eixos OXY.

Vetores

Vetor deslocamento

Iniciaremos a nossa discusso sobre vetores analisando deslocamentos entre dois pontos.

A

B

Figura 10- O menor caminho entre dois pontos em uma superfcie esfrica.

A

B

Figura 9 Menor caminho entre dois pontos de um plano.

Em um plano, o menor caminho entre dois pontos uma linha reta. Na Figura 9 representamos o menor caminho entre os pontos A e B localizados em um plano.

Em um espao curvo, o menor caminho entre dois pontos no uma reta. Por exemplo, em uma superfcie esfrica o menor caminho entre dois pontos um arco de crculo. A Figura 10 mostra o menor caminho entre os pontos A e B de uma superfcie esfrica.


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pedra

porto

Figura 11 Terreno onde o objeto foi enterrado.

O arco de crculo pode ser tratado aproximadamente como uma reta quando as suas dimenses so muito menores que o raio da esfera.

A superfcie da Terra pode ser considerada aproximadamente como uma esfera com raio da ordem de 6400km. As reas das cidades terrestres so muito menores do que a rea da Terra. Por isso, podemos tratar as superfcies das cidades como planos. Nelas o menor caminho entre dois pontos uma reta. Certamente, essa uma das razes pelas quais os deslocamentos retilneos adquiriram importncia no estudo do movimento dos corpos. Vamos estudar agora as propriedades relevantes desses deslocamentos.

Para entender quais as propriedades importantes de um deslocamento retilneo, vamos imaginar que, em uma gincana, a ltima tarefa da equipe consiste em encontrar um objeto que foi enterrado em um terreno com forma retangular. O terreno est completamente vazio e o seu centro foi marcado por uma pequena pedra (Figura 11). A organizao da gincana fez trs mapas sem desenhos. Os mapas s contm informaes escritas. Eles so sorteados entre as equipes e os seus contedos so:

Mapa 1: a partir do centro do terreno ande um metro. Mapa 2: a partir do centro do terreno ande um metro na direo

perpendicular ao porto.

Mapa 3: a partir do centro do terreno ande um metro, se aproximando do porto e na direo perpendicular a ele.

Quem vai encontrar o objeto primeiro? Certamente, a equipe que tem a maior chance de encontrar o objeto aquela que recebeu o mapa 3. Descrevemos a seguir os pontos indicados por cada um dos mapas.

A equipe que recebeu o mapa 1 tem que procurar o objeto enterrado em todos os pontos do crculo com raio de 1m e centro na pedra (Figura 12-a). A equipe com o mapa 2 precisa procurar o objeto apenas nos pontos A e B (Figura 12-b). Aquela com o mapa 3 pode ir direto ao local em que o objeto est enterrado, que o ponto A da Figura 12-c.


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Figura 12-a Mapa 1.

A

B

Figura 12-b Mapa 2.

A

Figura 12-c Mapa 3.

A1m

Figura 13 Deslocamento.

A discusso anterior mostra que as informaes completas sobre um deslocamento tm que conter alm do seu tamanho (1m), a sua direo (perpendicular ao muro que contm o porto) e o seu sentido (se aproximando do porto). A figura geomtrica que contm todas essas informaes um segmento de reta orientado com comprimento de 1m (Figura 13).

Para reforar que um deslocamento um segmento de reta orientado, costume represent-lo por uma letra com um segmento de reta orientado em cima, por exemplo,

. Dizemos que

a representao simblica de um deslocamento, e o segmento de reta orientado a representao geomtrica do deslocamento.


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Consideraremos iguais os deslocamentos com a mesma direo, o mesmo mdulo (tamanho) e o mesmo sentido, independente do fato de eles serem aplicados em pontos diferentes (pontos A e B da Figura 14).

Figura 14 Deslocamentos iguais.

Figura 15 Deslocamentos.

Figura 16 Soma de deslocamentos.

Apesar de o menor caminho entre dois pontos ser uma reta, nem sempre na vida prtica possvel se deslocar em linha reta entre dois pontos. Por exemplo, o muro que cerca o terreno representado da Figura 15 impede o deslocamento retilneo de uma pessoa entre os pontos C e D. Nesse caso, o menor caminho entre os pontos C e D constitudo por dois deslocamentos retilneos.

O primeiro deslocamento um segmento reta orientado que vai de C para E com tamanho

e o segundo um segmento de reta orientado que vai de E para D e tem tamanho

(Figura 16).

Dizemos que se deslocar de C para E a seguir se deslocar de E para D equivalente a se deslocar diretamente de C para D. Na Figura 16 est representado o segmento de reta orientado associado ao deslocamento de C para D (

).


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Na realidade, podemos pensar que os deslocamentos foram somados, onde somar dois deslocamentos significa encontrar um deslocamento que permita sair diretamente do ponto de origem (C) at o ponto de chegada (D). Na prtica, isto significa fazer as seguintes operaes:

1. Ligar o final do segmento de reta orientado que representa o primeiro deslocamento (parte com a seta) com o incio do segmento de reta orientado que representa o segundo deslocamento (parte sem a seta na Figura 17-a);

2. Ligar o incio do segmento de reta orientado que representa o primeiro deslocamento (parte sem a seta) com o final do segmento de reta orientado que representa o segundo deslocamento (parte com a seta).

Figura 17-b Soma de deslocamentos.

Na Figura 17-b esto representados os deslocamentos sucessivos

e

e a sua soma, que o deslocamento

.

A representao simblica da operao descrita acima

.

Atividade 1: Transforme os quatro metros de pedreiro da sua Caixa de experimentos em segmentos de reta orientados da seguinte forma: corte trs tringulos de papelo. Cole-os em uma das extremidades do metro de pedreiro. O final do segmento de reta orientado vai coincidir a ponta da seta. A ponta da seta deve coincidir com uma das extremidades do metro de pedreiro. O incio do segmento de reta orientado pode ser marcado com um palito.

Figura 18 Metro de pedreiro transformado em segmento de reta orientado.


C E D E R J 24

Atividade 2: Faa com os metros de pedreiro j transformados em segmentos de reta orientados as seguintes somas de deslocamentos:

.

Lembre-se de que somar deslocamentos repetir as operaes 1 e 2 definidas anteriormente e representadas nas Figuras 17-a e 17-b.

Os deslocamentos esto representados na Figura 19. A unidade de medida definida pelo quadriculado da Figura 19 vale 20cm.

Figura 19 Atividade 2.

A Figura 20 mostra que a aplicao sucessiva dos deslocamentos

e

ao ponto A produz o mesmo ponto D, independentemente da ordem em que os deslocamentos ocorrem.

Figura 20 Regra do paralelogramo.

Podemos deslocar com

at B e com

at D ou com

at C e

at D. Isto , a soma de dois deslocamentos comutativa.

A Figura 20 mostra que o desenho que descreve as somas

e

um paralelogramo; dizemos que os deslocamentos se somam pela regra do paralelogramo.

P8 QUAIS SO AS INFORMAES NECESSRIAS PARA CARACTERIZAR

COMPLETAMENTE UM deslocamento?

P9 COMO SE SOMAM DOIS DESLOCAMENTOS?


C E D E R J

MDULO 2 - AULA 1

25

Atividade 3: Utilize os metros de pedreiro para verifi car a veracidade da regra do paralelogramo para os deslocamentos

e

obtidos na atividade 2 (Figura 18).

Na Figura 20 est representada a soma de deslocamentos

e

. O deslocamento resultante foi obtido atravs da aplicao da regra da soma aos deslocamentos

e

, seguida da aplicao da mesma regra aos deslocamentos

e

.

Figura 21 Soma de deslocamentos sucessivos.

Figura 22-a Soma de deslocamentos sucessivos.

Figura 22-b Soma de deslocamentos sucessivos.

A observao da Figura 21 mostra que para somar deslocamentos sucessivos suficiente realizar os seguinte passos:

1. Ligar o final (parte com a seta) do deslocamento anterior com o incio (parte sem a seta) do deslocamento seguinte;

2. ligar o incio (parte sem seta) do primeiro deslocamento com o final (parte com seta) do ltimo deslocamento.


C E D E R J 26

Atividade 4: Utilize os deslocamentos representados na Figura 19 para fazer com os metros de pedreiro a soma do deslocamento

com o deslocamento

. Represente o deslocamento resultante (soma dos deslocamentos) com um quarto metro de pedreiro.

Alm da soma de deslocamentos, existe uma outra operao com os deslocamentos que relaciona deslocamentos com a mesma direo.

Produto de um Deslocamento por um Nmero Real

Vetores

Figura 23 Deslocamentos com a mesma direo.

d1

d2

d3

Na Figura 23, observamos deslocamentos com a mesma direo e comprimentos proporcionais a 1:2:3. Os dois menores tm o mesmo sentido e o maior tem sentido contrrio a eles. Podemos represent-los da seguinte forma:

Isto , podemos definir uma operao de multiplicao

de um deslocamento

por um nmero real da seguinte forma:

Se > 0 o deslocamento

tem a mesma direo do deslocamento

,o mesmo sentido e mdulo

.

Se o deslocamento

tem a mesma direo do deslocamento

, o sentido contrrio ao de

e mdulo

.

Atividade 5: Represente um deslocamento

com um dos metros de pedreiro. Construa com o outro metro de pedreiro os deslocamentos

.

P10 Qual a regra para MULTIPLICAR UM DESLOCAMENTO POR UM NMERO REAL?

As grandezas que podem ser representadas por segmentos de retas orientados, que se somam pela regra do paralelogramo e tm uma operao de multiplicao por um nmero real so denominadas VETORES.

A soma e a multiplicao de os nmeros reais tm as seguintes propriedades:

1. a + b = b + a

2. Existe e tal que a + e = a3. Existe b tal que a + b = a


C E D E R J

MDULO 2 - AULA 1

27

4. a + (b + c) = (a = b) + c

5. ab = ba

6. Existe b tal que ae = a7. Se a 0 ento existe b tal que ab = e 8. a(b + c) = ab + ac

9. ||a| |b|| |a b| |a| + |b|

So estas propriedades que permitem uma manipulao algbrica simples dos nmeros reais. Com elas podemos inverter a ordem dos fatores na soma e na multiplicao, associar e desassociar elementos de uma soma, fatorar expresses colocando os termos comuns em evidncia, distribuir o produto sobre a soma de nmeros reais, trocar de lados elementos de uma igualdade e de uma desigualdade etc.

A operao de soma

e a multiplicao de um vetor por um nmero real apresentam algumas das propriedades da soma e da multiplicao dos nmeros reais. Listamos algumas destas propriedades a seguir.

.

A comutatividade da soma de vetores j foi demonstrada. Ela permite trocar a ordem dos vetores em uma soma.

.

O vetor

o elemento neutro da soma de vetores. Ele um vetor com mdulo zero.

.

A aplicao da regra do paralelogramo aos vetores e mostra que o elemento simtrico

de um vetor o vetor .

-a

a

Figura 24-a Elemento simtrico.

Soma de um vetor com o vetor simtrico do vetor

define a subtrao de vetores. Ela denotada de forma simplificada como

. Para realiz-la suficiente aplicar a regra do paralelogramo aos vetores e .

Figura 24-b Subtrao de vetores.


C E D E R J 28

Atividade 6: Utilize os deslocamentos representados na Figura 19 para fazer com os metros de pedreiro a subtrao de deslocamentos

.

.

A propriedade de associatividade da soma de vetores facilmente observada na Figura 25.

Figura 25 Associatividade da soma de vetores.

As propriedades 1 e 4 permitem escrever a soma de vetores sem os parnteses, uma vez que a ordem em que os vetores so acionados no altera o resultado, isto ,

.

.

A verificao da propriedade 5 imediata, uma vez que:

O vetor tem a direo do vetor e o mdulo . Se o sentido de igual ao de , e se for negativo o sentido contrrio.

O vetor tem a direo do vetor , que a mesma do vetor

, e mdulo . O sentido de

ser igual ao sentido

de se , e contrrio se . Por exemplo, suponha que e

, neste caso o vetor tem o sentido contrrio ao do

vetor e o vetor tem o sentido contrrio ao do vetor , sendo

o seu sentido igual ao sentido do vetor . No caso em que e

, o vetor tem o sentido contrrio ao sentido do vetor

e o vetor tem o mesmo sentido do vetor , sendo o seu sentido

contrrio ao sentido do vetor .

O vetor tem a direo do vetor e o mdulo igual a

. O seu sentido ser igual ao sentido de

se

, e contrrio se

.

A comparao entre os mdulos, as direes e os sentidos dos vetores

e mostram que eles so iguais.


C E D E R J

MDULO 2 - AULA 1

29

A propriedade 6, que permite distribuir o produto de um nmero real sobre

a soma de vetores, fcil de demonstrar utilizando-se propriedades de tringulos

semelhantes. Vamos supor inicialmente que

.

Figura 27 Desigualdade triangular.

Figura 26 Distribuindo o produto sobre a soma de vetores.

A Figura 26 mostra o tringulo 123 construdo com vetores ,

e com o vetor

. O tringulo 146 foi construdo prolongando-se os lados e e passando pelo ponto 4, que dista do ponto 1, uma reta paralela ao vetor

. Ele semelhante ao tringulo 123, uma vez que todos os seus ngulos so iguais aos ngulos do tringulo 123. A semelhana entre os tringulos permite escrever as relaes:

Por isso, o segmento de reta orientado

o vetor

, o segmento

orientado

o vetor e o segmento orientado

o vetor . O tringulo

146 define a soma dos vetores

e tem como resultado o vetor ,

isto ,

. A propriedade 6 est demonstrada

para . A demonstrao para anloga e no ser apresentada.

P11 POR QUE OS NGULOS DO TRINGULO 123 E 146 SO IGUAIS?

.

A propriedade 7 uma conseqncia imediata da regra que define a soma de vetores e das propriedades geomtricas de um tringulo. A Figura 27 mostra o tringulo construdo com os vetores ,

e

.


C E D E R J 30

Os lados de um tringulo satisfazem a desigualdade triangular, isto , |a | |b |

|c | |a |+ |b | . A substituio do vetor

na expresso anterior d origem propriedade 7. Ela mostra claramente que em geral o mdulo de uma soma de vetores menor do que a soma dos mdulos dos vetores. A igualdade s se verifica se os vetores forem colineares (com a mesma direo e o mesmo sentido).

P12 QUAIS AS PROPRIEDADES DA SOMA DE VETORES E DA MULTIPLICAO DE

UM VETOR POR UM NMERO REAL?

P13 MOSTRE QUE QUANDO DOIS VETORES SO COLINEARES O MDULO DA

SOMA DOS VETORES IGUAL SOMA DOS MDULOS DOS VETORES.

As propriedades demonstradas anteriormente permitem a simplificao de expresses vetoriais e a decomposio dos vetores em bases ortogonais. Essa decomposio ser apresentada na aula 2 deste mdulo.

Exemplo 1. Simplifique a seguinte expresso vetorial:

.

Soluo: As propriedades discutidas anteriormente permitem fazer as seguintes simplificaes na expresso apresentada:

3 8 56 20 56 0

45 76 0

7645

+ ( ) + +( ) = + ==

a b

a b

a b

G G GG G G

G G


C E D E R J

MDULO 2 - AULA 1

31

Exerccios 2

Exerccio 4

Simplifi que a seguinte expresso:

.

Exerccio 5

Na Figura 19, repetida a seguir, esto representados alguns vetores. Realize geometricamente as operaes descritas nos itens de a at e. Quais so, em cada um dos casos, o mdulo e a direo do vetor

?

Questionrio:

Responda novamente ao questionrio 1.

Nesta aula definimos alguns dos conceitos necessrios para descrever os movimentos: referenciais, trajetrias e vetores.

Figura19 Exerccio 2.


C E D E R J 32

Exerccios programados 5

Exerccio 1Projete o ponto na direo da reta a seguir:

Exerccio 2Projete o ponto A na direo dos eixos OXY e encontre as coordenadas do

ponto.

A

A

Y

O X

O

Exerccio 3Represente os pontos alcanados por trs partculas que sofrem deslo-

camentos retilneos a partir da origem indicada a seguir.

a. A primeira se desloca 2cm da origem. Onde ela est?

b. A segunda se desloca 2cm da origem na direo da reta representada ao lado. Onde ela est?

c. A terceira se desloca 2cm da origem na direo da reta representada ao lado, de baixo para cima do papel. Onde ela est?

Concluso: Para se determinar univocamente um deslocamento necessrio fornecer: _____________________, __________________________ e _______________________.

Exerccio 4Assista minipalestra A descrio do movimento. Ela est disponvel no

site: http://tv.ufrj.br/ladif.


C E D E R J

MDULO 2 - AULA 1

33

A

Reta ao longo da qual desejamos projetar o ponto A

Projeo do ponto A

Ay

A

Ax x

y

Gabarito

Exerccio 1Projete o ponto na direo da reta a seguir:

Projetar um ponto na direo de uma dada reta traar uma reta perpen-dicular a essa reta, que passe pelo ponto que se deseja projetar. O ponto onde ocorre a interseo entre as duas retas a projeo do ponto A:

Exerccio 2

Projete o ponto A da direo dos eixos OXY e encontre as coordenadas do ponto.

Da mesma forma que no exerccio anterior, as projees do ponto A so obtidas traando retas perpendiculares aos eixos x e y, que passam pelo ponto A. As projees do ponto A so os pontos de interseo dessas retas com os eixos coordenados:

As coordenadas do ponto A so as distncias entre a origem e as projees do ponto. Por exemplo, se o ponto projetado estiver na parte negativa do eixo a coordenada ser negativa.

Se as unidades dos eixos estiverem em centmetros, basta medir com uma rgua as coordenadas do ponto:


C E D E R J 34

O

Ay

Ax

A

x

y

O

A Ay

OAxx

y

Coordenadas do ponto A no primeiro quadrante:

xA = (1,2 0,1)cmyA = (1,0 0,1)cmCoordenadas do ponto A no segundo quadrante:

xA = (-1,2 0,1)cmyA = (1,0 0,1)cm

Exerccio 3

Represente os pontos alcanados por trs partculas que sofrem deslo-camentos retilneos a partir da origem indicada a seguir.

a. A primeira se desloca 2cm da origem.

Onde ela est?

Como s foi informado o tamanho do deslocamento da partcula, ela pode estar em qualquer ponto de uma circunferncia com 2 cm de raio centrada na origem:

b. A segunda se desloca 2cm da origem na direo da reta representada abaixo. Onde ela est?

Agora sabemos o tamanho do deslocamento e tambm a direo ao longo da qual se d esse deslocamento. Mas ainda assim a partcula pode ter se deslocado 2 cm para cima ou 2 cm para baixo. Portanto ela pode estar em dois pontos, como mostrado na figura abaixo:


C E D E R J

MDULO 2 - AULA 1

35

Posio da partcula aps o deslocamento

2 cm

c. A terceira se desloca 2cm da origem na direo da reta, de baixo para cima do papel. Onde ela est?

Concluso: Para se determinar univocamente um deslocamento precisa-se fornecer: _____________________, __________________________ e _______________________.

Sabemos agora o tamanho do deslocamento (2 cm), a direo na qual se d o deslocamento (ao longo da reta desenhada) e o sentido do deslocamento (de baixo para cima). A posio final da partcula aps o deslocamento pode ser ento representada no desenho abaixo:

Portanto, para se determinar univocamente um deslocamento preciso conhecer seu mdulo (isto , seu tamanho), sua direo e seu sentido.

1.

Para o referencial S

Para qualquer ponto do carrinho, por exemplo, o ponto A no centro do

carrinho, temos que a trajetria para o referencial S uma linha paralela

ao eixo OX.

Exerccio 4Individual.

O

Os vetores e suas bases

C E D E R J

MDULO 2 - AULA 2

37


ObjetivoRepresentar os vetores de um plano utilizando

bases ortogonais.

Introduo

Na Aula 1 iniciamos a discusso do movimento dos corpos. Conclumos

que a escolha do ponto de observao muito importante na descrio dos

movimentos dos corpos. Descrevemos o movimento de alguns corpos (carrinho em

um trilho de ar, esferas etc.) tratando-os como partculas. Falamos sobre trajetrias

e deslocamentos. Nesta aula vamos defi nir os conceitos do vetor posio. Sero

discutidas tambm a decomposio de vetores em bases ortogonais.

Esta aula composta por trs partes:

O que sei sobre a decomposio de vetores em bases ortogonais? um

questionrio que tem como fi nalidade levantar as suas idias prvias sobre estes

assuntos.

Decomposio de vetores em bases ortogonais um texto no qual o assunto

discutido.

Exerccios 3 so exerccios propostos sobre vetores.

Os vetores e suas basesINTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1

C E D E R J 38

O que sei sobre a decomposio de vetores em bases ortogonais?

As questes apresentadas a seguir tm como fi nalidade investigar e

organizar os seus conhecimentos e idias prvias sobre a decomposio de vetores

em bases ortogonais. Escreva em seu caderno, de forma organizada, as respostas

s questes. No consulte livros ou notas de aulas, mas no deixe de respond-

las. A comparao entre suas idias e conhecimentos sobre a decomposio de

vetores em bases ortogonais e o vetor posio antes e depois de trabalhar esta aula

importante para o seu aprendizado.

Questionrio 2

1.O que um vetor unitrio?

2.Como se projeta um vetor na direo de um vetor unitrio ? D exemplos.

3.O que uma base de vetores ortogonais? D exemplos.

4.O que so componentes de um vetor em uma base ortogonal? D exemplos.

5.Enuncie a regra para somar vetores utilizando as suas componentes.


C E D E R J

MDULO 2 - AULA 2

39

Decomposio de vetores

Projeo de vetores

As regras para somar vetores e multiplicar vetores por nmeros reais

apresentadas na aula 1 so geomtricas. Elas tm o inconveniente de dependerem

da qualidade dos desenhos elaborados. Nesta aula, vamos transformar essas regras

em soma e multiplicao de nmeros reais. Com esta fi nalidade vamos representar

os vetores em bases apropriadas. Tal representao aparece naturalmente quando

tentamos responder s seguintes perguntas:

1. Quantos vetores existem em um plano?

2. Ser que eles esto relacionados?

O nmero de vetores em um plano infi nito. Todavia, eles esto

relacionados. Mostraremos a seguir que qualquer vetor de um plano pode ser

representado como a combinao linear de dois vetores com direes diferentes.

Na Figura 28, vemos que o vetor pode ser escrito como a soma de dois

vetores paralelos aos vetores e , isto ,

O vetor tem a mesma direo do vetor e o vetor tem a mesma

direo do vetor . Portanto, podemos escrever e .

Conseqentemente, temos que d2 +

d3 . Dizemos que a

projeo do vetor na direo do vetor e que a projeo do vetor

na direo do vetor . A soma d2 +

d3 denominada combinao linear

dos vetores e .

Figura 28 Decomposio de vetores em uma base oblqua.

d1

d2

d12

d3d13

Por uma questo de simplicidade, escolhe-se representar todos os vetores de

um plano em termos de dois vetores unitrios perpendiculares. Vetores unitrios

so aqueles que tm mdulo um. So representados por uma letra com um

acento circunfl exo em cima, por exemplo, . Dizemos, nesse caso, que os vetores

unitrios formam uma base ortogonal para os vetores do plano. Os vetores

unitrios mais utilizados so aqueles que tm a direo e o sentido dos eixos. No

caso dos eixos OX e OY eles so denominados comumente por e .

BASE DE VETORESORTOGONAIS


C E D E R J 40

componentes de um vetor

projeo de um vetor

O OX X

YY

^

^ ^

^

d1yd1

d1x

d2

d2x

d2y

Na Figura 29 esto representados o vetor , as bases e e as

projees do vetor na base escolhida. A projeo do vetor na direo do

unitrio foi denominada e aquela na direo do unitrio por .

d1 d1y

d1x^

^

Figura 29 Decomposio de vetores em uma base ortogonal.

As projees e podem ser escritas da seguinte forma:

; , onde o nmero que deve multiplicar a base para obter o vetor projetado na direo do unitrio e , o

nmero por que se deve multiplicar a base para obter . Os nmeros e

so denominados componentes do vetor nas direes dos vetores unitrios

e . Na Figura 30, observamos que as componentes , e dos vetores

e so positivas e que a componente negativa. A componente

negativa porque para se obter o vetor projetado a partir do vetor unitrio

necessrio multiplic-lo por um nmero negativo, uma vez que o sentido de

contrrio ao sentido de .

Figura 30 Sinais das componentes dos vetores.

P1 O que um VETOR UNITRIO?

P2 Como se projeta um VETOR NA DIREO DE UM VETOR UNITRIO ? D

EXEMPLOS.

P3 O que uma BASE DE VETORES ORTOGONAIS? D EXEMPLOS.

P4 O que so componentes de um vetor EM UMA BASE ORTOGONAL?

D EXEMPLOS.


C E D E R J

MDULO 2 - AULA 2

41

45

Y

O

S

X

A

B

^

^

Figura 32-a - Vetor deslocamento do carro.

Exemplo 1: A fi gura 31 mostra um carro que parte do ponto A e se desloca

at um ponto B que dista 80km de A. A reta que une os pontos A e B faz um

ngulo de 45o com o eixo OX .

a. Desenhe o vetor deslocamento do carro.

b. Desenhe os vetores projetados e .

c. Calcule as componentes e do vetor deslocamento do carro nas

direes dos vetores unitrios e .

d. Escreva os vetores projetados e em funo dos vetores unitrios

e .

Figura 31 Um carro que se desloca 80km na direo Nordeste.

Resoluo:

a. O vetor deslocamento do carro vai de A at B e est desenhado na Figura 32-a.

b. Para projetar o vetor deslocamento na direo do vetor unitrio ,

necessrio levantar duas retas perpendiculares direo do vetor unitrio ,

a partir do eixo OX , e que passem pelo incio e pelo fi nal de (Figura 32b).

O vetor projetado aquele que tem a direo do vetor unitrio , e o

mdulo igual distncia entre as retas que o projetaram e o sentido do vetor

(Figura 32 b).


C E D E R J 42

Para projetar o vetor deslocamento na direo do vetor unitrio necessrio levantar duas retas perpendiculares direo do vetor unitrio a partir do eixo OY que passem pelo incio e pelo fi nal de (Figura 32-

b). O vetor projetado aquele que tem a direo do vetor unitrio , e o

mdulo igual distncia entre as retas que o projetaram e o sentido do vetor

(Figura 32-b).

Figura 32-b Decomposio do vetor deslocamento.

c. A componente o nmero pelo qual se deve multiplicar o vetor

unitrio para se obter o vetor projetado . O mdulo da componente

igual ao mdulo do vetor projetado. O mdulo da componente

pode ser calculado por trigonometria, uma vez que

.

Como o vetor tem o mesmo sentido do vetor unitrio , a

componente positiva e igual a .

A componente o nmero pelo qual se deve multiplicar o vetor




.

Como o vetor tem o mesmo sentido do vetor unitrio , a componente

positiva e igual a .

d. Os vetores projetados escritos em funo dos unitrios e so:dx = 40

2 (km) e

dy = 40

2 (km)


C E D E R J

MDULO 2 - AULA 2

43

Resoluo:

a. O vetor deslocamento do carro vai de A at B e est desenhado na

Figura 34 a.

45

d

A

B

135

SY

O

^

^

Figura 34-a Vetor deslocamdno do carro.

Exemplo 2: A fi gura 33 mostra um carro que parte do ponto A e se desloca

at um ponto B que dista 80km de A. A reta que une os pontos A e B faz um

ngulo de 135o com o eixo OX.

Desenhe o vetor deslocamento do carro.

a. Desenhe os vetores projetados e .

b. Calcule as componentes e do vetor deslocamento do carro nas

direes dos vetores unitrios associados aos eixos representados na fi gura 33.

c. Escreva os vetores projetados e em funo dos vetores

unitrios e .

Figura 33 Exemplo 3.

b. Para projetar o vetor deslocamento na direo do vetor unitrio

necessrio levantar duas retas perpendiculares direo do vetor unitrio a

partir do eixo OX que passem pelo incio e pelo fi nal de (Figura 34-b). O vetor

projetad aquele que tem a direo do vetor unitrio , com o mdulo igual

distncia entre as retas que o projetaram e o sentido do vetor (Figura 34-b).


C E D E R J 44

c. A componente o nmero pelo qual se deve multiplicar o vetor


mdulo do vetor projetado. O mdulo da componente pode

ser calculado por trigonometria, uma vez que

.

Como o vetor tem o sentido contrrio ao do vetor unitrio a

componente negativa e igual a .

A componente o nmero pelo qual se deve multiplicar o vetor




.

Como o vetor tem o mesmo sentido do vetor unitrio , a componente

positiva e igual a +402 km .

d. Os vetores projetados escritos em funo dos unitrios e so:

e

45

d

A

B

135

SY

O

^

^

dy

dx

Para projetar o vetor deslocamento na direo do vetor unitrio

necessrio levantar duas retas perpendiculares direo do vetor unitrio a

partir do eixo OY que passem pelo incio e pelo fi nal de (Figura 34-b). O vetor

projetado aquele tem a direo do vetor unitrio , com o mdulo igual

distncia entre as retas que o projetaram e o sentido do vetor (Figura 34-b).

Figura 34-b Decomposio do vetor deslocamento.


C E D E R J

MDULO 2 - AULA 2

45

Representao polar de um vetor em um plano.

Os exemplos 2 e 3 mostram que possvel caracterizar completamente

um vetor em um plano fornecendo-se ou as suas componentes e ou o

seu mdulo (tamanho) e ngulo medido no sentido anti-horrio a partir

da direo do eixo OX (e a sua direo e sentido). A representao de um vetor

que utiliza o seu mdulo e o ngulo que ele forma com o eixo OX denominada

polar, e aquela que utiliza as componentes nas direes dos unitrios dos eixos

denominada cartesiana. A relao entre estas duas representaes de vetores pode

ser deduzida facilmente da Figura 35.

SY

O

^

^

B

ddy

dx

Y

O

^^ ax

ay

bx

cx

cy

by

a

b

c

Figura 36 Componentes de uma soma de vetores.

Figura 35 Representaes polar e cartesiana de um vetor.

Se so conhecidos e , possvel obter e com as seguintes

relaes:

Quando so conhecidos e , possvel obter e com as

seguinte relaes:

A Figura 36 mostra que as componentes da soma de dois vetores so iguais

soma das componentes, isto , se

e .

P5 ENUNCIE A REGRA PARA SOMAR VETORES UTILIZANDO AS SUAS

COMPONENTES.


C E D E R J 46

Exemplo 3: Um carro se desloca 80km entre os pontos A e B e a seguir

40km entre os pontos B e C (Figura 37). Os deslocamentos so retilneos. A reta

que une os pontos A e B tem a direo leste-oeste e aquela que une os pontos B

e C forma um ngulo de 30o com a direo leste-oeste.

A B30o

C

d1

d2d3

YS

XO

^

^

Figura 38-a Vetor deslocamento resultante do carro.

Figura 37 Exemplo 4

a. Desenhe os vetores deslocamento entre os pontos A e B , entre os

pontos B e C e entre os pontos A e C .

b. Encontre as componentes dos vetores e na direo dos eixos

OXY desenhados na Figura 37.

c. Encontre as componentes do vetor na direo dos vetores unitrios e

desenhados na Figura 37. Expresse o vetor em termos dos vetores unitrios.

d. Encontre o mdulo do deslocamento e o ngulo que ele faz com o

eixo OX.

Resoluo:

a. Os vetores deslocamentos , e esto representados na Figura 38-a.

b. A fi gura 38-b mostra que o vetor projetado igual ao vetor . O

vetor projetado nulo porque as duas retas perpendiculares ao vetor unitrio

que projetam o vetor neste eixo coincidem. Por isso, as componentes do

vetor so:


C E D E R J

MDULO 2 - AULA 2

47

Na Figura 38-b, esto representados os vetores e . Os mdulos das

componentes do vetor so:

e .

As componentes e so positivas, uma vez que os vetores

projetados e tm os mesmos sentidos dos vetores unitrios e .

Portanto, temos: .

c. As componentes do vetor deslocamento so:

d3x = d1x + d2x = (80 + 203) km = 115 km e .

Portanto, temos .

d. O mdulo do vetor O ngulo

que o vetor faz com o eixo OX pode ser obtido da seguinte forma:

.

A decomposio de vetores do espao tridimensional requer trs bases.

Uma das bases mais utilizadas aquela que utiliza os vetores unitrios ,

e nas direes dos eixos OX, OY e OZ. A Figura 39 mostra as projees do

vetor nas direes desses unitrios.

Figura 39 Base tridimensional.

A B30o

C

d2d3

YS

XO

^

^

d1 d1x=

d2y

d2x

Figura 38-b Decomposio do vetor deslocamento resultante.

Nessa base, o vetor representado por , onde ,

e so as componentes do vetor.


C E D E R J 48

P18 VERIFIQUE A VERACIDADE DA DECOMPOSIO ANTERIOR.

Existem grandezas que tm mdulo, direo e sentido e no so vetores. Por

exemplo, as rotaes em torno de um eixo. Toda rotao tem um eixo de rotao,

um ngulo de rotao e um sentido (horrio ou anti-horrio). No entanto, voc

aprender na disciplina Fsica I que duas rotaes no se somam segundo a regra

do paralelogramo.

Vrias grandezas fsicas so vetores. Na aula 3 alguns desses vetores

sero discutidos.

Exerccios 3

Exerccio 6

Na Figura 19 repetida a seguir esto representados alguns vetores. Calcule

componentes dos seguintes vetores:

Considere o tamanho do quadriculado como unidade.


C E D E R J

MDULO 2 - AULA 2

49

Exerccio 7

Uma motocicleta se desloca 40km para o Norte, 60km na direo Nordeste

e 20km na direo Oeste.

a. Desenhe os vetores deslocamentos da motocicleta. No esquea de

desenhar o deslocamento resultante.

b. Represente todos os deslocamentos utilizando os seguintes vetores unitrios:

vetor unitrio que tem direo Leste-Oeste e aponta para o Leste ( ) ; vetor unitrio que tem direo Norte-Sul e aponta para o Norte ( ) .c. Calcule o mdulo do deslocamento resultante e o ngulo que ele faz com

a direo Leste-Oeste.

Questionrio:

Responda novamente ao questionrio 2.


C E D E R J 50

Exerccios programados 6Exerccio 1

1. Projete as retas AB, CD e EF representadas na Figura 1, na direo do

eixo OX. Com uma rgua mea o tamanho da reta projetada;

Projete as retas AB, CD e EF na direo do eixo OY. Com uma rgua, mea

o tamanho da reta projetada.

Y

A B

C

D

F

E

X

Exerccio 2

1. Projete os vetoresG G Gd d d1 2 3, e representados na Figura 2, na direo do

eixo OX. Desenhe os vetores projetados na direo OX. Mea com uma rgua os

mdulos desses vetores projetados.


eixo OY. Desenhe os vetores projetados na direo OY. Mea com uma rgua os

mdulos desses vetores projetados.

Figura 1

Y

A B

C

D

F

E

X

Gd1

Gd2

Gd3

Figura 2


C E D E R J

MDULO 2 - AULA 2

51

Exerccio 3

Utilize os mdulos dos vetores projetados medidos no exerccio 2 para

responder s seguintes perguntas:

1. Escreva as componentes ( d d dx x x1 2 3, e ) e ( d d dy y y1 2 3, e ) dos vetoresG G Gd d d1 2 3, e representados na Figura 3.

Escreva os vetores projetados (G G Gd d dx x x1 2 3, e ) e (

G G Gd d dy y y1 2 3, e ) como

mltiplos dos vetores unitrios representados na Figura 3.

Y

A B

C

D

F

E

X

Gd1 G

d3

Figura 3

Gd2

Exerccio 4

Assista minipalestra Vetores e suas bases. Ela est disponvel no site:

http://tv.ufrj.br/ladif, ou voc pode copiar o CD disponvel no seu plo.


C E D E R J 52

Gabarito

Exerccio 1Projete as retas AB, CD e EF representadas na Figura 1, na direo do eixo

OX. Com uma rgua mea o tamanho da reta projetada.Y

1,0 cm

1,4 cm

1,4 cm 2,0 cmX

E

F

D

C

BA

Projete as retas AB, CD e EF na direo do eixo OY. Com uma rgua mea

o tamanho da reta projetada.

As linhas pontilhadas delimitam o tamanho das projees sobre os eixos

OX e OY de cada um dos segmentos de reta.

O tamanho da projeo da reta AB no eixo OX :( 1,4 0,1) cm

O tamanho da projeo da reta AB no eixo OY : (0,0 0,1) cm (ponto)

O tamanho da projeo da reta CD no eixo OX :( 2,0 0,1) cm

O tamanho da projeo da reta CD no eixo OY : (1,0 0,1) cm

O tamanho da projeo da reta EF no eixo OY : (1,4 0,1) cm

O tamanho da projeo da reta EF no eixo OX :( 0,0 ( 0,1) cm (ponto)

Exerccio 2


eixo OX. Desenhe os vetores projetados na direo OX.


eixo OY. Desenhe os vetores projetados na direo OY.

DenominaremosG G Gd d dx x x1 2 3, e as projees dos vetores

G G Gd d d1 2 3, e na

direo OX. DenominaremosG G Gd d dy y y1 2 3, e as projees dos vetores

G G Gd d d1 2 3, e

na direo OY.


C E D E R J

MDULO 2 - AULA 2

53

Y

X

E

F

D

BA

CGd1

Gd x1

Gd2

Gd x2

1.

Vetor Gd3 projetado em OY

Vetor Gd2 projetado em OY

Gd1d

Gd3

Gd y3

G Gd y1 0=

Y

X

E

F

D

BA

C

2.

Gd y2 G

d2

Exerccio 3

1. Escreva as componentes ( d d dx x x1 2 3, e ) e ( d d dy y y1 2 3, e ) dos vetoresG G Gd d d1 2 3, e representados na Figura 3.

As componentes dos vetoresGd1 so:

d1x =( 1,4 0,1)cm

d1y = (0,0 0,1)cm

As componentes dos vetores Gd2 so:

d2x =( 2,0 0,1)cm

d2y = (1,0 0,1)cm

G Gd x3 0=

Gd3


C E D E R J 54

As componentes dos vetores Gd3 so:

d3x = (0,0 0,1)cm

d3y =( -1,4 0,1)cm

2. Escreva os vetores projetados (G G Gd d dx x x1 2 3, e ) e (

G G Gd d dy y y1 2 3, e ) como

mltiplos dos vetores unitrios representados na fi gura 3.

Os vetores projetados, escritos como mltiplos dos vetores unitrios, so

obtidos multiplicando-se as componentes pelos vetores unitrios correspondente

aos eixos.G GG Gd cm d cm

d cm dx y

x y

1 1

2 2

1 4 0 1 0 0 0 1

2 0 0 1 1 0

= =

= =

( , , ) ( , , )

( , , ) ( ,

=

0 1

1 4 0 13 3

, )

( , , )

cm

d c= 0 00 03 (00 )11 m d cmx yG Gd3

Exerccio 4

Individual.

Cinemtica vetorial

5555 C E D E R J

MDULO 2 - AULA 3

55

Cinemtica vetorial

ObjetivosDefi nir os vetores posio, velocidade e acelerao de uma partcula e entender as suas relaes com a

trajetria da partcula.

Introduo

Nas Aulas 1 e 2 estudamos os vetores deslocamento. Nesta aula vamos

defi nir novos vetores cinemticos (vetor posio, vetor velocidade e vetor

acelerao de uma partcula) e entender suas relaes com a trajetria da

partcula. Esta aula composta por quatro partes:

O que sei sobre os vetores cinemticos e as suas relaes com a trajetria?

um questionrio que tem como fi nalidade levantar suas idias prvias sobre

estes assuntos.

Vetores cinemticos um texto onde esse tema discutido.

Movimento unidimensional um texto onde o assunto discutido.

Leituras e exerccios 4 rene textos e exerccios sobre as grandezas cinemticas

(vetor posio, vetor velocidade e vetor acelerao) dos livros Mecnica 1 (Gref) e

Fsica Volume nico (Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga).

Cinemtica vetorial

5656

INTRODUO SCINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1

C E D E R J 56

O que sei sobre os vetores cinemticos e as

relaes com as trajetrias?

As questes apresentadas a seguir tm como fi nalidade investigar e

organizar os seus conhecimentos sobre os vetores cinemticos e as suas relaes

com a trajetria. Escreva em seu caderno, de forma organizada, as respostas s

questes. No consulte livros ou notas de aulas, mas no deixe de respond-las.

A comparao entre suas idias e conhecimentos sobre os vetores cinemticos e

suas relaes com a trajetria, antes e depois de trabalhar esta aula, importante

para o seu aprendizado.

Questionrio 3

1. O que o vetor posio?

2. O que o vetor velocidade mdia?

3. O que o vetor velocidade instantnea?

4. O que o vetor acelerao mdia?

5. O que o vetor acelerao instantnea?

6. Mostre grafi camente como possvel obter o vetor posio em um instante

qualquer de tempo quando se conhece a posio inicial da partcula e a sua velocidade

instantnea em qualquer instante do tempo.

7. Mostre grafi camente como possvel obter o vetor velocidade em um

instante qualquer de tempo quando se conhece a velocidade inicial da partcula e sua

acelerao instantnea em qualquer instante do tempo.

8. Quais as equaes horrias da posio, da velocidade e da acelerao de

uma partcula que est se deslocando em um movimento retilneo uniforme sobre o

eixo OX?

9. Quais as equaes horrias da posio, da velocidade e dae acelerao de uma

partcula que est se deslocando em um movimento retilneo uniformemente acelerado

sobre o eixo OX?

Cinemtica vetorial

5757 C E D E R J

MDULO 2 - AULA 3

57

Introduo

A trajetria de uma partcula uma curva no espao. J vimos que possvel

representar a trajetria de uma partcula fornecendo as coordenadas cartesianas

dos seus pontos. Por exemplo, na fi gura 40 a reta AB representa a trajetria de

um carro no sistema de referncia S fi xo Terra.

Figura 40 Equao da trajetria no sistema de eixos coordenados OXY: y=0.

No sistema de coordenadas OXY, a equao da trajetria do carro y=0.

Por outro lado, se tivssemos utilizado um outro sistema de referncia

S fi xo na Terra com o sistema de eixos coordenados O`X`Y` a equao seria

diferente, isto , y=x/ 2 (ver Figura 41).

Y

O

S X

carro

B

1m2m

Y

AX

Figura 41 Equao da trajetria do carro no sistema de referncia S com os eixos decoordenadas OXY: y=x/ 2 .

Visivelmente, a forma da trajetria de uma partcula no depende

do sistema de eixos coordenados escolhidos. Ser que existe uma outra

representao para a trajetria mais essencial, isto , uma que no dependa

do sistema de eixos coordenados?

Existe, a representao vetorial da trajetria, que ser estudada a seguir.

Cinemtica vetorial

5858


C E D E R J 58

Vetor deslocamento

Na aula 1 aprendemos o vetor deslocamento. O vetor deslocamento no

coincide com a trajetria da partcula (ver Figura 42).

Figura 44 Poligonal construda com vrios pequenosdeslocamentos sucessivos entre os pontos A e B.

Figura 43 Vetor deslocamento entre os pontos A e B associado aduas trajetrias C1 e C2 diferentes.

Figura 42 Vetor deslocamento.O

d1

Existem vrias trajetrias possveis entre as extremidades do vetor deslocamento.

Um grande nmero de vetores deslocamento sucessivos entre os pontos A e B

fornece uma linha poligonal que parecida com a trajetria (ver Figura 44).

Conseqentemente, fcil concluir que qualquer trajetria pode ser aproximada

por um nmero muito grande de vetores deslocamento sucessivos.

Cinemtica vetorial

5959 C E D E R J

MDULO 2 - AULA 3

59

Vetor posio

Podemos caracterizar a trajetria de uma partcula utilizando o vetor

posio. O vetor posio de um ponto o vetor deslocamento da origem O

at o ponto (ver fi gura 45-a).

vetor posio

Figura 45-a Vetor posio.

P1 O que o VETOR POSIO?

A trajetria fi ca completamente defi nida quando se conhece o vetor posio

da partcula em todos os instantes do tempo.

Quando o movimento ocorre no plano, podemos expressar o vetor

posio em funo dos vetores unitrios e associados ao sistema de eixos

coordenados OXY. A fi gura 45-b mostra que as componentes e do vetor

posio coincidem com as coordenadas e do ponto onde a partcula se

encontra, isto , e .

A

rA

X

Y

yA

xAO

^

^

Figura 45-b Vetor posio do ponto A.

Por isso comum se representar o vetor posio da seguinte forma:r = x+ y .

Cinemtica vetorial

6060


C E D E R J 60

Exemplo 1: Um carro se desloca 80km entre os pontos A e B e a seguir

40km entre os pontos B e C (veja Figura 45-c). Os deslocamentos so retilneos.

A reta que une os pontos A e B tem a direo Leste-Oeste e aquela que une os

pontos B e C forma um ngulo de 30o com a direo LesteOeste. Escreva o vetor

posio do carro associado aos pontos A, B e C em funo dos vetores unitrios

e . As coordenadas do ponto A no sistema de eixos coordenados OXY so

e .

Resoluo:

Figura 45-c Exemplo 1.

A Figura 45-d mostra os vetores posio dos pontos A, B e C. As coordenadas

dos pontos B so e .

Figura 45-d Vetor deslocamento resultante.

Figura 45-e Vetor deslocamento .

Cinemtica vetorial

6161 C E D E R J

MDULO 2 - AULA 3

61

O tringulo BC1 da Figura 45-e mostra que:

cos (300) =B1BC

B1 = 40

32

= 20

3 km = 35 km

sen(300) =C1BC

C1 = 40 12

= 20 km.

Por isso, as coordenadas do ponto C so xC = 16 + 80 + 35 = 131 km eyC= 16 + 20 = 36 km . Conseqentemente, os vetores posio dos pontos A,

B e C so respectivamente iguais a

O vetor posio associado trajetria do carro (Figuras 40 e 41)

, onde s(t) a distncia do carro at a origem O e o vetor

unitrio (mdulo 1) na direo da reta que defi ne a trajetria (ver Figura 46).

O

s(t)

r(t)

Esta representao a mesma para os sistemas de eixos coordenados OXY

e OXY. Podemos concluir ento que a representao vetorial da trajetria de

uma partcula mais essencial do que a representao em coordenadas.

Leituras e exerccios 4

Leia sobre os assuntos Posio, Deslocamento nas sees 4.4 e 4.6 do texto

Fsica I-Mecnica do Gref.ff

Faa os exerccios propostos.

Figura 46 Representao da trajetria do carro com o vetor posio

Cinemtica vetorial

6262


C E D E R J 62

VELOCIDADE MDIA

Vetor velocidade

Na vida prtica importante conhecer os deslocamentos associados a um

corpo e a rapidez com que esses deslocamentos ocorrem. Por exemplo, comum

se dizer que algum se deslocou do Rio para So Paulo em seis horas. A grandeza

que est associada rapidez com que um deslocamento ocorre a velocidade. O

vetor velocidade mdia defi nido da seguinte forma:

v m(t1, t2) =d

(t2 t1) =d

(t).

A velocidade mdia um vetor porque o resultado da multiplicao

do vetor deslocamento pelo nmero real positivo . Ela tem a direo do

deslocamento, isto , a direo da reta secante trajetria. Na Figura 47 esto

representados o vetor deslocamento da partcula entre os instantes t1 t2 e o

vetor velocidade mdia entre esses instantes.

Figura 47 Vetores deslocamento e velocidade mdia.

A fi gura 47 mostra que o vetor deslocamento a diferena entre os

vetores posio nos instantes t1 e t2 , uma vez que

r (t2) = r (t1) +d d = r (t2)r (t1)

vetor deslocamento entre os pontos A e B. O vetor deslocamento dado

por d1 = 80 (km) . A diferena entre os vetores posio dos pontos A e B

. Portanto, o vetor deslocamento do

ponto A para o ponto B a diferena entre os vetores posio dos pontos B e A.

habitual denominar o vetor deslocamento por

No adotaremos essa notao nesta aula para no sobrecarregar as expresses.

Cinemtica vetorial

6363 C E D E R J

MDULO 2 - AULA 3

63

P2 O QUE O VETOR VELOCIDADE MDIA?

Exemplo 2: O carro do Exemplo 1 parte do ponto A e leva uma hora

para se deslocar do ponto A at o ponto B e meia hora para se deslocar do

ponto B at o ponto C. Calcule o vetor velocidade mdia do carro associada ao

deslocamento de A at C.

Resoluo:

A velocidade mdia

.

O conhecimento da velocidade mdia entre dois instantes permite calcular

o deslocamento entre esses instantes, isto ,d = v m(t1, t2)(t2 t1).

A velocidade mdia associada a intervalos de tempo pequenos conduz ao

conceito de velocidade instantnea. Os matemticos tm uma operao que se adapta

perfeitamente defi nio de velocidade instantnea, a operao de limite.

Na Figura 48 est representada grafi camente a operao matemtica de

limite utilizada na defi nio da velocidade instantnea.

VelocidadeInstantnea

Figura 48 Representao grfica do processo limite aplicado velocidade mdia.

Cinemtica vetorial

6464


C E D E R J 64

medida que o intervalo de tempo diminui, a velocidade mdia se

aproxima da velocidade instantnea. A velocidade mdia est mais prxima

da velocidade instantnea que a velocidade mdia . Portanto, podemos dizer

que quanto menor o intervalo de tempo melhor ser a seguinte aproximao:v m(t1, t1 + t) = v (t1).

.

A Figura 48 mostra que, medida que o intervalo de tempo diminui, a

direo da velocidade mdia se aproxima da direo da reta tangente trajetria.

Conseqentemente, podemos intuir que a direo da velocidade instantnea

igual direo da reta tangente trajetria.

P3 O que o vetor VELOCIDADE INSTANTNEA?

A trajetria de uma partcula fi ca completamente determinada quando se

conhece o vetor posio em todos os instantes de tempo.

A Figura 49 mostra que, se conhecermos o vetor posio em um

instante e o vetor deslocamento entre os instantes e , possvel

obter o vetor posio em um instante .

Figura 49 Soma do vetor posio com o vetor deslocamento.

Quando o intervalo de tempo pequeno, o vetor deslocamentod = v m(t0, t0 + t) t pode ser obtido de forma aproximada com o vetor

velocidade instantnea, isto ,

Exemplo 3: A Figura 50 mostra o vetor posio e o vetor velocidade

instantnea de uma partcula no tempo t=1s. Desenhe o vetor posio aproximado

no instante de tempo t=1,1s .

Cinemtica vetorial

6565 C E D E R J

MDULO 2 - AULA 3

65

a velocidade instantnea so muito diferentes e a aproximao empregada

anteriormente para se calcular o vetor deslocamento no pode ser

utilizada. Neste caso, necessrio obter o vetor deslocamento , somando-se

deslocamentos sucessivos (ver Figura 52, com n=6) associados a n intervalos de

tempo pequenos .

Resoluo:

O vetor deslocamento associado ao intervalo de tempo 0,1 s

dado por: d = 0, 1vm . O vetor posio no instante de tempo 1,1s

. Como o intervalo de tempo 0,1s pequeno,

podemos aproximar a velocidade mdia pela velocidade instantnea

Conseqentemente, temos que:

A representao aproximada do vetor posio est na fi gura 51.

Figura 51 Vetor posio.

Figura 52 Obteno do vetor deslocamento a partir de seis deslocamentos sucessivosassociados a tempos iguais a t/6 .

Os pequenos deslocamentos sucessivos podem ser obtidos

aproximadamente com as velocidades instantneas, isto ,

Cinemtica vetorial

6666


C E D E R J 66

O vetor deslocamento pode ser escrito com uma boa aproximao da

seguinte forma:

,

onde

.

A aproximao anterior se transforma em uma identidade quando o

nmero de intervalos n tende para infi nito, isto ,

.

Conseqentemente, podemos concluir que o conhecimento do vetor

posio inicial de uma partcula e da sua velocidade instantnea em toda

a trajetria permite obter o vetor posio no instante do tempo , uma

vez que . Como o intervalo de tempo foi escolhido

arbitrariamente, podemos concluir que possvel conhecer o vetor posio em

todo instante de tempo a partir do conhecimento do vetor posio inicial de uma

partcula e da sua velocidade instantnea em toda a trajetria.

P4 MOSTRE GRAFICAMENTE COMO POSSVEL OBTER O VETOR POSIO EM

UM INSTANTE QUALQUER DE TEMPO QUANDO SE CONHECE A POSIO INICIAL DA

PARTCULA E A SUA VELOCIDADE INSTANTNEA EM TODO INSTANTE DO TEMPO.

Cinemtica vetorial

6767 C E D E R J

MDULO 2 - AULA 3

67

Vetor acelerao

Outra informao importante associada a uma trajetria a rapidez com

que a velocidade instantnea muda. Nesse caso, temos a acelerao mdia e a

acelerao instantnea.

Figura 53 A acelerao mdia.

A acelerao mdia (Figura 53) entre dois instantes e tem a

seguinte defi nio:

Exemplo 4: O carro do Exemplo 1 se desloca entre os pontos A e B com uma

velocidade com mdulo igual a 40km/h e de B para C com uma velocidade

com mdulo igual a 40km/h. O primeiro deslocamento se d em duas horas e o

segundo em uma hora. Qual o vetor acelerao mdia do carro?

Resoluo:

A fi gura anterior mostra as velocidades do carro. As componentes dos

vetores velocidades e so:

ACELERAO MDIA

Cinemtica vetorial

6868


C E D E R J 68

O clculo das componentes da segunda velocidade realizado de

maneira anloga ao do Exemplo 1 e utiliza o tringulo BC1.

As componentes da acelerao mdia so:

av v

km h

av v

mxx x

myy y

0 33

35 403

53

0 33

0 203

2 1 2

2 1

, /

,

( ) = =

( ) = = = 2203

2km h/

O vetor acelerao mdia dado por:

a i j Km hmG G G

0 3 1 7 6 7 2, , , /( ) +( )

velocidade instantnea em um intervalo de tempo t , isto ,

A acelerao instantnea a acelerao mdia tomada em intervalos de

tempo muito pequenos e defi nida pela operao de limite.

,

onde e .

Em intervalos de tempo pequenos, temos que a acelerao mdia

aproximadamente igual acelerao instantnea.

.

Quando o intervalo de tempo pequeno, a variao de velocidade

pode ser obtida de forma aproximada com o vetor acelerao e instantnea, isto

,

a acelerao instantnea so muito diferentes e a aproximao utilizada

anteriormente para calcular a variao de velocidade no pode ser utilizada.

Nesse caso, necessrio obter a variao de velocidade somando variaes

de velocidades sucessivas (ver Figura-54,com n=6) associadas a n intervalos de

tempos pequenos .

ACELERAO INSTANTNEA

Cinemtica vetorial

6969 C E D E R J

MDULO 2 - AULA 3

69

As pequenas variaes de velocidade podem ser

obtidas aproximadamente com as aceleraes instantneas, isto ,

,

onde .

A variao de velocidade pode ser escrita como uma boa aproximao

da seguinte forma:

v = a (t0) tn

+a (t1) tn

+ . . . +a (tn1) tn. .

A aproximao anterior se transforma em uma identidade quando o

nmero de intervalos n tende para infi

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introduçãos as ciencias fisica 1