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CÁLCULO NUMÉRICO
Cálculo NuméricoConjunto de métodos
utilizados para a obtençãode resultados de
problemas matemáticosatravés de aproximações
Problema Físico
Modelo Matemático SoluçãoProblema
FísicoModelo
Matemático Solução
Cálculo Numérico
Conjunto de métodosutilizados para resolverPROBLEMAS FÍSICOS
através de aproximações
Problema Físico
Modelo Matemático Solução
Modelagem Resolução
Problema Físico
Modelo Matemático Solução
PROBLEMA FÍSICO
MODELO MATEMÁTICO
SOLUÇÃO
Cálculo Numérico
Conjunto de métodosutilizados para resolverPROBLEMAS FÍSICOS
através de aproximações
Problema Físico
Modelo Matemático Solução
Modelagem
Resolução
ConversãoArredondamentoTruncamento...
Problema Físico
Modelo Matemático Solução
PROBLEMA FÍSICO
MODELO MATEMÁTICO
SOLUÇÃO
ERROS
Erros na Resolução
Fortemente influenciados pela precisão
Relacionados à Representação numérica
Máquinas com precisão diferente com mesmo software
Avaliando o Erro
Sendo x a solução real(exata) de um dado problema e x’ o valor aproximado desta solução, obtido por um dado método mumérico, temos:
Erro absoluto: |x – x’|.
Erro relativo: |x - x’|/ |x|.
Representação Numérica
Computadores possuem memória finita. O conjunto de números que os
computadores podem representar é finito. Cada computador possui uma precisão
numérica diferente. Esta precisão é dependente do hardware,
sistema operacional, compilador, etc.
Representação Numérica
O sistema convencional é o de base 10 (dígitos de 0 a 9).
Computadores modernos usam a base numérica 2 (dígitos 0 e 1).
Mudança de Base
Divisões sucessivas (5)10 = (?)2
5/2 = 2 resto 1 2/2 = 1 resto 0
Logo (5)10 = (101)2
5 22 21
10
Mudança de Base
(17)10 = (?)2
17/2 = 8 resto 1 8/2 = 4 resto 0 4/2 = 2 resto 0 2/2 = 1 resto 0 Logo (17)10 = (10001)2
17 28 210 2
204
210
Mudança de Base
5,25 = 5 + 0,25
5 sabemos como resolver
Mas e a parte decimal?
Mudança de base
Multiplicações sucessivas
0,25 x 2 = 0,5 0,5 x 2 = 1,0
Logo (0,25)10 = (0,01)2
E (5,25)10 = (101,01)2
0,25x 2
0,50x 2
1,00
Mudança de Base
Conversão de base 2 para base 10:
(100)2 = 1x22 + 0x21 + 0x20 =4+0+0 = (4)10
(101)2 = 1x22 + 0x21 + 1x20 =4+0+1 = (5)10
(100,1)2 = 1x22 + 0x21 + 0x20+1x2-1 =
= 4+0+0+0,5 = (4,5)10
Representação Numérica
Computadores usam o Sistema de Ponto Flutuante Normalizado
±0,c1c2c3…cn x be
cn – dígitos entre 0 e b-1 (mantissa). c1 diferente de zero. b – número natural (base). e – número Inteiro (expoente).
Representação Numérica
Devido à questão da memória finita, os sistemas de ponto flutuante normalizados possuem parâmetros bem definidos durante o projeto
Número de caracteres da mantissa (n) Valor da base (b) Valores e1 e e2 : expoentes menor e maior,
respectivamente, do sistema e1 < 0 e e2 > 0
SPF(b,n,e1,e2)
Representação Numérica
Menor número positivo: x1=(0,10...0)xbe1
Maior número: x2 = (0,[b-1][b-1]...[b-1])xbe2
Quantidade de números representáveis:
2x(b-1)xb(n-1)x(e2-e1+1)+1
NSPF(b,n,e1,e2)
Representação Numérica
x1 x2-x1-x2
Representação Numérica
x1 x2-x1-x2 overflowoverflow
underflow
Representação Binária
0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
sinal mantissa Sinal do expoenteexpoente
Representação Binária
0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
sinal mantissa Sinal do expoenteexpoente
Sinal
0 = positivo,
1 = negativo
Representação Numérica
A distribuição dos números na reta real não é uniforme.
Há concentração de números em trechos da reta.
Representação NuméricaConsiderando os seguintes parâmetros, por exemplo: b=2, n=3, e1=-1 e e2=2.
Representação Numérica
Resultados de operações aritméticas em sistemas de ponto flutuante nem sempre estão corretos
Representação NuméricaAinda com os parâmetros b=2, n=3, e1=-1 e e2=2.
Representação Numérica
Propriedades aritméticas nem sempre são verificadas
Suponha x1=0,3491x104, x2=0,2345x100
(x2+x1)-x1 = x2 + (x1-x1)
A propriedade só se mantém com máquinas de precisão maior do que 7 dígitos com truncamento
Representação Numérica
Para somar x1 e x2 precisamos colocá-los na mesma base decimal
x1=0,3491x104
x2=0,2345x100=0,00002345x104
Máquinas com precisão 7 ou menos não são capazes de representar x2
(x2+x1)-x1 =(0,0000234x104+0,3491x104) -0,3491x104 = (0,3491234x104) -0,3491x104 = (0,0000234x104) = 0,234x10
x2+(x1-x1)=0,2345x10+(0,3491x104 -0,3491x104) = 0,2345x10 + 0 = 0,2345x10
Representação Numérica
Tipos de Erro de Precisão
Arredondamento.
Truncamento.
Para o Número de máquina mais próximo.
Erros de arredondamento
Os erros de arredondamento dependem de como os números são representados na máquina. A representação depende da base em que os números são escritos e da quantidade máxima de dígitos usados nessa representação. Logo, os cálculos envolvendo números que não podem ser escritos de modo finito na base escolhida geram erros.
Erros de arredondamento
Arredondar um número na casa é
desconsiderar as casas , j = 1, 2, 3, ..., de
tal forma que:
seja a última casa se .
+ 1 seja a última casa se .
id
i jd +
id
id
1 5id + <
1 5id + ³
Erro por Truncamento
São erros decorridos de processos que deveriam ser infinitos.
Calculo de séries infinitas.
Sen(x) =x - x3/3! + x5/5! – x7/7!....
Erro por truncamento
Dizimas periódicas binárias.
(0,1)10 = (0,0001100110011...)2
Calculadora do Windows – sqrt(2).
Conclusão:
Erros devem ser evitados quando possível.
Não sendo possível evitá-los:Não devem ser ignorados,Devem ser minimizados.
