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Transformador monofásico com fator de potência constante na carga. Modelo em Simulink

Introdução

A tensão no secundário do transformador depende do valor de corrente e do fator de potência (fdp) da carga, variando de valor mesmo que a tensão no lado do primário seja mantida constante.

Se se considerar uma situação típica de um transformador a ligar duas entidades distintas, com um fornecedor de energia elétrica a ligar a rede de abastecimento ao primário e um cliente com a instalação de utilização ligada ao secundário, percebe-se que esta característica do transformador constitui um ponto a merecer especial atenção das duas entidades.

O cliente necessita de um valor de tensão adequado ás características dos equipamentos instalados, mas é ele que provoca a variação da tensão ao ligar e desligar equipamentos, por outro lado, o fornecedor, que só pode agir a partir do lado do primário, não sabe antecipadamente que equipamentos serão ligados pelo cliente nem o fdp daí resultante e assume muitas vezes compromisso contratual de manter o valor da tensão no cliente controlado, apesar das variações de carga criadas por este.

A curva teórica de variação da tensão no secundário em função da corrente e do fdp da carga, carateriza o funcionamento do transformador e constitui uma boa ferramenta de análise desta situação.

Como a tensão depende de duas variáveis, corrente e fdp, é usual, para simulação, fixar um valor para uma delas, por exemplo o fdp enquanto se faz variar a corrente desde zero até ao valor nominal. A curva assim obtida apresenta a variação da tensão relativamente à corrente, mas apenas para aquele fdp.

Repetindo o procedimento para outros valores de fdp, obtêm-se outras tantas curvas, uma para cada fdp.

Problema

Calcular a tensão no secundário, mantendo constante um valor predefinido para o fdp do secundário.

Um cálculo da tensão no secundário, baseada no circuito equivalente do transformador, com restrição de manter constantes a tensão e fdp no primário, pode realizar-se pela aplicação simples das Leis de Ohm e Kirchhoff. Contudo o valor do fdp que resulta para o secundário (carga) varia com a corrente, não permanece constante como se pretende.

A manutenção de um valor constante para o fdp da carga durante o cálculo, obriga a ajustar o modelo, para além da simples aplicação das Leis enunciadas.

Apresentam-se dois exemplos, em que se mantêm constantes a tensão e o fdp no primário e se calculam a tensão e o fdp no secundário em dois pontos de funcionamento distintos. Comparem-se no final os valores do fdp resultantes para o secundário.

Vai ser usado nos exemplos um transformador mono-fásico com as seguintes características:

𝑆 = 750 𝑉𝐴 ; 𝑉1 = 150 𝑉 ; 𝑉2 = 300 𝑉 ; 𝑅𝑒𝑞 = 1,88 𝛺 ;

𝑋𝑒𝑞 = 13,19 𝛺

O modelo de transformador (fig. 1), é o circuito equiva-lente aproximado reduzido ao primário (circuito de Steinmetz), numa versão simplificada (fig. 2) que não influencia as conclusões.

fig. 1 - Circuito equivalente aproximado do

transformador reduzido ao primário

A simplificação consiste em desprezar o ramo paralelo com a resistência de perdas no ferro e a reatância de magnetização, 𝑅𝑝 𝑒 𝑗𝑋𝑚, representados a cinzento na fig. 1.

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fig. 2 - Circuito equivalente simplificado como vai ser

considerado nos exemplos fig. 3 - Diagrama vetorial geral de correntes e tensões

correspondente ao circuito da fig. 2.

𝑉2′ e 𝐼2

′ representam a tensão e a corrente do secundário e mantêm a desfasagem observada entre 𝑉2 e 𝐼2.

A tensão e o fdp do lado do primário são mantidos constantes nos dois exemplos.

𝑉1 = 150 ∠0º

cos 𝜑1 = 0,8𝑖 (𝜑1 = −36,87º)

Exemplo 1: Cálculo da tensão e fdp no secundário para uma corrente de 2 A.

𝐼1 = 2 ∠ − 36,87º 𝐴

Aplicando a lei de Kirchhoff na malha do circuito equivalente,

𝑉2′ = 𝑉1 − (𝑅𝑒𝑞 + 𝑗𝑋𝑒𝑞)×𝐼1

𝑉2′ = 150 ∠0 − (1,88 + 𝑗13,19)×2 ∠ − 36,87 = 132,51 ∠ − 8,18º 𝑉

Como 𝐼2′ = 𝐼1, a desfasagem entre a corrente e a tensão no secundário é

𝜑2 = 𝜑(𝐼2′) − 𝜑(𝑉2

′) = −36,87 − (−8,18) = −28,69 º

No ponto de funcionamento deste exemplo, o fdp resultante para o secundário é:

cos 𝜑2 = 0,88𝑖

𝜑2 = −28,69 º

Como pode ser observado na fig. 4.

fig. 4 - Diagrama vetorial de correntes e tensões correspondente ao exemplo 1.

Exemplo 2: Cálculo da tensão e fdp no secundário para uma corrente de 5 A.

𝐼1 = 5 ∠ − 36,87 𝐴

𝑉2′ = 150 ∠0 − (1,88 + 𝑗13,19)×5 ∠ − 36,87 = 113,18 ∠ − 24,60 𝑉

Desfasagem entre a corrente e a tensão no secundário

𝜑2 = 𝜑(𝐼2′) − 𝜑(𝑉2

′) = −36,87 − (−24,60) = −12,27 º

O fdp resultante para o secundário neste exemplo é:

cos 𝜑2 = 0,98𝑖

𝜑2 = −12,27 º

Como pode ser observado na fig. 5.

fig. 5 - Diagrama vetorial de correntes e tensões

correspondente ao exemplo 2.

Conclusão: do primeiro para o segundo exemplo o objetivo de manter constante o valor do fdp do secundário não é atingido só com a aplicação das leis de Ohm e Kirchhoff.

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A variação da corrente de 2 para 5 A, teve como consequência a passagem do fdp de 0,88 para 0,98 com a correspondente variação na desfasagem entre a tensão e a corrente no secundário de -28,69º para -12,27º.

Pode ver-se na fig. 6 e na fig. 7, a variação do valor do fdp e do angulo quando a simulação é alargada a todos os

valores de corrente no secundário entre 0 e 5 A (𝐼2𝑛′ ).

fig. 6 - Variação do angulo de desfasagem entre tensão

e corrente no secundário em função da corrente no

secundário

fig. 7 - Variação do fdp do secundário em função da

corrente no secundário

solução

A solução para manter o fdp constante no secundário tem de respeitar a restrição de manter constante a tensão no primário.

Se a questão se resumisse ao cálculo num ponto de funcionamento único, a solução estaria facilitada, com o desenvolvimento de um método de cálculo iterativo e as leis de Ohm e Kirschhoff seriam suficientes.

Como se pretende desenhar uma curva e esta é obtida com os resultados da aplicação repetida do cálculo a uma elevada quantidade de pontos de funcionamento, o processo já requere uma abordagem diferente da aplicação simples das leis enunciadas.

Propõe-se uma solução que tem por base algum desenvolvimento matemático envolvendo grandezas do diagrama vetorial de tensões e correntes como o da fig. 5, trigonometria, teorema de Pitágoras e equações de grau superior a 1. Ao tornar desnecessário o cálculo iterativo, fica facilitada a implementação da solução num programa de simulação tipo Simulink, em que o modelo é repetidas vezes aplicado para se obter a curva pretendida.

Como resultado obter-se-ão algumas expressões matemáticas que constituirão o modelo de simulação, apesar de cada uma delas não representar em particular qualquer lei ou expressão do domínio da eletrotecnia.

Para maior clareza, revejam-se as variáveis e a sua localização antes de se passar ao desenvolvimento.

fig. 8 - Diagrama vetorial correspondente ao circuito equivalente

fig. 9 - Grandezas a manter constantes durante a

simulação: 𝑉1 = 150 ∠0º e 𝑐𝑜𝑠 𝜑2 = 0,8𝑖

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fig. 10 - Grandeza a calcular fig. 11 - Grandeza a variar entre os limites 0A e 5A

fig. 12 - Grandezas a variar de forma dependente 𝑉𝑍𝑒𝑞 ;

𝑉𝑅𝑒𝑞 ; 𝑉𝑋𝑒𝑞

e 𝜑1 fig. 13 – Triangulo de tensões

Passe-se à análise e observe-se em particular do triangulo de tensões formado pelos vetores [𝑉1, 𝑉2′ , 𝑉𝑍𝑒𝑞

] e os

ângulos 𝜑2 e 𝜃 da fig. 13.

𝜑2 = angulo correspondente ao fdp pretendido

𝜃 = 𝑎𝑡𝑎𝑛 (𝑋𝑒𝑞

𝑅𝑒𝑞⁄ )

São ambos independentes do ponto de funcionamento, têm por isso valores constantes durante a simulação

(Nota: neste exemplo considera-se uma carga indutiva, logo o angulo 𝜑2 de desfasagem entre a tensão e corrente no secundário é negativo e o angulo 𝜃 correspondente à impedância equivalente é positivo.)

Observem-se agora os ângulos 𝛼 e 𝛽.

𝛽 = 180º + 𝜑2 [1]

𝛼 = 360º − 𝛽 − 𝜃 [2]

Os ângulos 𝛼 e 𝛽, em consequência também mantêm valores constantes durante a simulação.

Considere-se o angulo 𝛼 dividido em dois ângulos, 𝑎1 e 𝑎2 e as variáveis assinaladas na fig. 14.

Desenvolvendo o seno do angulo α.

b c

d

a1 a2

1V

'

2V

ZeqV

fig. 14 – Diagrama com as variáveis a considerar no cálculo.

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝑎1 + 𝑎2) = 𝑠𝑒𝑛 𝑎1 𝑐𝑜𝑠 𝑎2 + 𝑠𝑒𝑛 𝑎2 𝑐𝑜𝑠 𝑎1 [3]

Como

𝑠𝑒𝑛 𝑎1 =𝑏

𝑉2′ 𝑐𝑜𝑠 𝑎1 =

𝑑

𝑉2′

𝑠𝑒𝑛 𝑎2 =𝑐

𝑉𝑍𝑒𝑞 𝑐𝑜𝑠 𝑎2 =

𝑑

𝑉𝑍𝑒𝑞

Substituindo na eq. [3].

𝑠𝑒𝑛 𝛼 =𝑏

𝑉2′

𝑑

𝑉𝑍𝑒𝑞+

𝑐

𝑉𝑍𝑒𝑞

𝑑

𝑉2′ =

𝑑(𝑏 + 𝑐)

𝑉2′𝑉𝑍𝑒𝑞

Como.

𝑉1 = 𝑏 + 𝑐 [4]

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𝑠𝑒𝑛 𝛼 =𝑉1𝑑

𝑉2′𝑉𝑍𝑒𝑞

𝑑 =𝑉2

′𝑉𝑍𝑒𝑞𝑠𝑒𝑛 𝛼

𝑉1 [5]

Aplicando agora o teorema de Pitágoras aos triângulos [𝑉2′, b, d] e [𝑉𝑍𝑒𝑞, d, c].

{𝑉2

′2= 𝑏2 + 𝑑2

𝑉𝑍𝑒𝑞2 = 𝑑2 + 𝑐2

{𝑉2′2

−𝑉𝑍𝑒𝑞2 = (𝑏2 + 𝑑2) − (𝑑2 + 𝑐2)

…{𝑉2

′2−𝑉𝑍𝑒𝑞

2 = 𝑏2 − 𝑐2

…

Substituindo 𝑏 = 𝑉1 − 𝑐, retirado da eq. [4].

{𝑉2′2

−𝑉𝑍𝑒𝑞2 = (𝑉1 − 𝑐)2 + 𝑐2

…{𝑉2

′2−𝑉𝑍𝑒𝑞

2 = 𝑉12 + 𝑐2 − 2𝑉1𝑐 + 𝑐2

…{𝑉2

′2−𝑉𝑍𝑒𝑞

2 = 𝑉12 − 2𝑉1𝑐

…

Explicitando 𝑐.

𝑐 =𝑉1

2 − 𝑉2′2

+𝑉𝑍𝑒𝑞2

2 𝑉1 [6]

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triangulo [𝑉𝑍𝑒𝑞, d, c]

𝑉𝑍𝑒𝑞2 = 𝑑2 + 𝑐2 [7]

Substituindo d e c das equações [5] e [6].

𝑉𝑍𝑒𝑞2 = (

𝑉2′𝑉𝑍𝑒𝑞𝑠𝑒𝑛 𝛼

𝑉1)

2

+ (𝑉1

2 − 𝑉2′2

+𝑉𝑍𝑒𝑞2

2 𝑉1)

2

Desenvolvendo.

𝑉𝑍𝑒𝑞2 =

𝑉2′2

𝑉𝑍𝑒𝑞2𝑠𝑒𝑛2 𝛼

𝑉12 +

(4 𝑉12) (4)

(𝑉12 − 𝑉2

′2+𝑉𝑍𝑒𝑞

2)2

4 𝑉12

(1)

4 𝑉12𝑉𝑍𝑒𝑞

2 = 4𝑉2′2

𝑉𝑍𝑒𝑞2𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + (𝑉1

2 − 𝑉2′2

+𝑉𝑍𝑒𝑞2)

2 [8]

Considerando temporariamente uma variável intermédia ℎ2.

ℎ2 = 𝑉𝑍𝑒𝑞2 − 𝑉2

′2 [9]

e substituindo 𝑉𝑍𝑒𝑞2 − 𝑉2

′2 por ℎ2 na eq. [8].

4 𝑉12𝑉𝑍𝑒𝑞

2 = 4𝑉2′2

𝑉𝑍𝑒𝑞2𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + (𝑉1

2 + ℎ2)2

4 𝑉12𝑉𝑍𝑒𝑞

2 = 4𝑉2′2

𝑉𝑍𝑒𝑞2𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + (𝑉1

2)2

+ (ℎ2)2 + 2𝑉12ℎ2

Voltando a substituir a variável temporária ℎ2 pela eq. [9].

4 𝑉12𝑉𝑍𝑒𝑞

2 = 4𝑉2′2

𝑉𝑍𝑒𝑞2𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + 𝑉1

4 + (𝑉𝑍𝑒𝑞2 − 𝑉2

′2)

2+ 2𝑉1

2(𝑉𝑍𝑒𝑞2 − 𝑉2

′2)

4 𝑉12𝑉𝑍𝑒𝑞

2 = 4𝑉2′2

𝑉𝑍𝑒𝑞2𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + 𝑉1

4 + ((𝑉𝑍𝑒𝑞2)

2+ (𝑉2

′2)

2− 2𝑉𝑍𝑒𝑞

2𝑉2′2

) + 2𝑉12𝑉𝑍𝑒𝑞

2 − 2𝑉12𝑉2

′2

4 𝑉12𝑉𝑍𝑒𝑞

2 = 4𝑉2′2

𝑉𝑍𝑒𝑞2𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + 𝑉1

4 + 𝑉𝑍𝑒𝑞4 + 𝑉2

′4− 2𝑉𝑍𝑒𝑞

2𝑉2′2

+ 2𝑉12𝑉𝑍𝑒𝑞

2 − 2𝑉12𝑉2

′2

Reordenando as parcelas para melhor clareza do passo seguinte.

𝑉2′4

+ 4𝑉2′2

𝑉𝑍𝑒𝑞2𝑠𝑒𝑛2 𝛼 − 2𝑉𝑍𝑒𝑞

2𝑉2′2

− 2𝑉12𝑉2

′2+ 𝑉1

4 + 𝑉𝑍𝑒𝑞4 + 2𝑉1

2𝑉𝑍𝑒𝑞2 − 4 𝑉1

2𝑉𝑍𝑒𝑞2 = 0

𝑉2′4

+ 4𝑉2′2

𝑉𝑍𝑒𝑞2𝑠𝑒𝑛2 𝛼 − 2𝑉𝑍𝑒𝑞

2𝑉2′2

− 2𝑉12𝑉2

′2+ 𝑉1

4 + 𝑉𝑍𝑒𝑞4 − 2𝑉1

2𝑉𝑍𝑒𝑞2 = 0 [10]

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𝑉2′4

+ 𝑉2′2

(4𝑉𝑍𝑒𝑞2𝑠𝑒𝑛2 𝛼 − 2𝑉𝑍𝑒𝑞

2 − 2𝑉12) + 𝑉1

4 + 𝑉𝑍𝑒𝑞4 − 2𝑉1

2𝑉𝑍𝑒𝑞2 = 0 [11]

Considerando temporariamente uma variável intermédia z.

𝑧 = 𝑉2′2

[12]

E duas constantes w e k.

𝑤 = 4𝑉𝑍𝑒𝑞2𝑠𝑒𝑛2 𝛼 − 2𝑉𝑍𝑒𝑞

2 − 2𝑉12

𝒌 = 𝑽𝟏𝟒 + 𝑽𝒁𝒆𝒒

𝟒 − 𝟐𝑽𝟏𝟐𝑽𝒁𝒆𝒒

𝟐

[13]

[14]

Pode reescrever-se a eq. [11].

𝑧2 + 𝑤𝑧 + 𝑘 = 0 [15]

Como equação do segundo grau tem as seguintes soluções para z:

𝑧 =−𝑤 + √𝑤2 − 4𝑘

2 [16]

𝑧 =−𝑤 − √𝑤2 − 4𝑘

2

[17]

Substituindo agora nas equações [16] e [17] 𝒛 por 𝑉2′2

da eq. [12].

𝑉2′2

=−𝑤 + √𝑤2 − 4𝑘

2

𝑉2′2

=−𝑤 − √𝑤2 − 4𝑘

2

Têm-se finalmente as soluções para a equação [11] que é do grau 4.

𝑉2′ = +√−𝑤 + √𝑤2 − 4𝑘

2 [18]

𝑉2′ = −√−𝑤 + √𝑤2 − 4𝑘

2 [19]

𝑉2′ = +√−𝑤 − √𝑤2 − 4𝑘

2 [20]

𝑉2′ = −√−𝑤 − √𝑤2 − 4𝑘

2 [21]

As quatro expressões acima constituem as raízes da equação [11] numa conceção puramente matemática, contudo, numa análise ao circuito equivalente, rapidamente se encontrarão as que não fazem sentido nesse contexto, ficando apenas naturalmente a que constitui a solução procurada.

Tome-se como exemplo um ponto de funcionamento correspondente aos seguintes dados do exemplo 1:

Elementos do circuito equivalente : 𝑅𝑒𝑞 = 1,88 𝛺; 𝑋𝑒𝑞 = 13,19 𝛺;

Tensão constante no primário : 𝑉1 = 150 𝑉;

Fator de potência pretendido para o secundário : cos 𝜑2 = 0,8𝑖 (𝜑2 = −36,87º);

Corrente no ponto de funcionamento do exemplo : 𝐼1 = 2 ∠ − 36,87º 𝐴.

Desenvolvimento do cálculo.

𝛽 = 180º + 𝜑2 = 180 + (−36,87) = 143,13º

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𝜃 = 𝑎𝑡𝑎𝑛 (𝑋𝑒𝑞

𝑅𝑒𝑞⁄ ) = (13,19

1,88⁄ ) = 81,89º

𝛼 = 360º − 𝛽 − 𝜃 = 360 − 143,13 − 81,89 = 134,98º

𝑍𝑒𝑞 = √𝑅𝑒𝑞2 + 𝑋𝑒𝑞

2 = √1,882 + 13,192 = 13,32 𝛺

𝑉𝑍𝑒𝑞 = 𝑍𝑒𝑞𝐼1 = 13,32×2 = 26,65 𝑉

𝑤 = 4𝑉𝑍𝑒𝑞2𝑠𝑒𝑛2 𝛼 − 2𝑉𝑍𝑒𝑞

2 − 2𝑉12

𝑤 = 4(26,65)2𝑠𝑒𝑛2(134,98) −2(26,65)2 − 2(150)2 = −44999,10

𝑘 = 𝑉14 + 𝑉𝑍𝑒𝑞

4 − 2𝑉12𝑉𝑍𝑒𝑞

2

𝑘 = (150)4 + (26,65)4 − 2(150)2(26,65)2 = 474802269,64

Calculando as raízes

𝑉2′ = +√−(−44999,10) + √(−44999,10)2 − 4×474802269,64

2= 167,65 𝑉

𝑉2′ = −√−(−44999,10) + √(−44999,10)2 − 4×474802269,64

2= −167,65 𝑉

𝑉2′ = +√−(−44999,10) − √(−44999,10)2 − 4×474802269,64

2= 129,98 𝑉

𝑉2′ = −√−(−44999,10) − √(−44999,10)2 − 4×474802269,64

2= −129,98 𝑉

Confrontando estes valores com o circuito equivalente, verifica-se a existência de duas raízes negativas que podem ser excluídas por não fazerem sentido no contexto. Restam os valores positivos.

Como se pode observar na fig. 15, o vetor 𝑉2′ desloca-se

sobre a linha ponteada que representa o lugar geométrico da ponta do vetor 𝑉2

′ , quando a corrente do secundário varia da situação de vazio (𝐼1 = 0 𝐴 ; 𝑉2

′ = 150 𝑉 ) até à situação de curto-circuito ( 𝑉2

′ = 0 𝑉 ), sendo por isso sempre inferior ao valor de 𝑉1 = 150 𝑉, por esse motivo pode desprezar-se o valor 167,65 V.

1V

'

2V

ZeqV

fig. 15 – Lugar geométrico da ponta do vetor 𝑉2′.

O valor procurado é 129,98 V e correspondente à equação [20] que é a que se deve usar na simulação.

Implementação em Simulink.

O modelo consiste apenas na implementação das equações [1], [2], [13], [14] e [20], todavia, no modelo da fig. 16, também foram implementadas as equações [18], [19] e [21] para se poderem observar as outras raízes.

O Clock representa o módulo de 𝐼2′ . Os valores

mínimo e máximo para a simulação são 0 e 2 como pode ver-se na fig. 17 com janela da opção:

“Simulation/Configuration Parameters …”.

fig. 16 –Modelo implementado em Simulink.

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Para facilitar a compreensão do modelo, os cálculos estão divididos em dois subsistemas: “CÁLCULO DAS CONSTANTES W; K” e “CÁLCULO DE V'2”.

Apresentam-se a seguir e crê-se que sejam suficientemente claros para dispensarem explicações adicionais.

fig. 17 – Atribuição de limites à variável 𝐼2′ .

fig. 18 – Interior do subsistema ““CÁLCULO DAS CONSTANTES W; K”” da fig. 16.

fig. 19 – Interior do subsistema “CÁLCULO DE V'2” da fig. 16.

Observe-se que na fig. 16, para 𝐼2′ = 2 𝐴 , constam os

quatro valores calculados teoricamente para 𝑉2′, dos quais

apenas interessa o correspondente à eq. [20], 𝑉2′ =

129,98 𝑉.

Alterando os limites da corrente 𝐼2′ (fig. 17) para 0 e 5,

obtém-se a curva para todos os valores de corrente.

Podem comparar-se na fig. 20 a curva de 𝑉2′ obtida com a

solução proposta para fdp constante no secundário (linha contínua), com a que se obtém com um modelo de fdp constante no primário (linha ponteada).

Para a corrente nominal, observa-se uma redução aproximada de 19,5% no valor da tensão 𝑉2

′ calculada com a solução proposta.

fig. 20 –Tensão 𝑉2′ com fdp constante no secundário

e fdp constante no primário.

Considera-se que este valor percentual (19,5%) possa ter alguma variação consoante o transformador, contudo o valor encontrado não é negligenciável e justifica a adoção de uma metodologia mais rigorosa com a da solução proposta.