INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE

RELATIVIDADEINTRODUÇÃO À

AULA 5/6/7 - 16/03/2020

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AULA 5/6/7 - 16/03/2020

• Primeira aula totalmente online!

• Exercícios e exemplos

• Dinâmica relativística

CONTRAÇÃO DO ESPAÇOEXEMPLO 1

• Um carro tem comprimento próprio de 12m, e viaja a uma velocidade de 4/5 da velocidade da luz. A uma certa altura o carro entra num pequeno túnel, cujo comprimento próprio é de 10m. Para responder as perguntas seguintes, vamos chamar o referencial de um observador na entrada do túnel de S, tal que a entrada do túnel está na posição x=0 e o final do túnel em x=10m. Vamos chamar o referencial do motorista do carro de S’, e colocar o ponto x’=0 na parte dianteira do carro, e assim a traseira do carro fica no ponto x’= - 12m .

S’ Sv=0.8c

L0=12m L0=10m


• Evento 1: o carro começa a entrar no túnel

Ref. S e S’: x1=x1’=0 , ct1=ct1’=0

• Evento 2: o carro começa a sair do túnel

Ref. S: x2=10m, ct2 = 10 m/(v/c) = 12.5 m

• Evento 3: a traseira do carro entra no túnel

Ref. S’: x3’=-12m , ct3’= 12m/(v/c) = 15 m

1

2

3



Ref. S e S’: x1=x1’=0 , ct1=ct1’=0


Ref. S: x2=10m, ct2 = 10 m/(v/c) = 12.5 m


Ref. S’: x3’=-12m , ct3’= 12m/(v/c) = 15 m

Note que

• Evento 2 no Ref. S’: ,

• Evento 3 no Ref S:

β =45

, γ =53

x′ 2 = γ × (10m − 4/5 × 12m) = 0 (!!!)ct′ 2 = γ × (12.5m − 4/5 × 10m) = 7.5 m

x3 = γ(−12m + 4/5 × 15m) = 0 (!!!)ct3 = γ(15m + 4/5 × (−12m)) = 9m



Ref. S e S’: x1=x1’=0 , ct1=ct1’=0


Ref. S: x2=10m, ct2 = 10 m/(v/c) = 12.5 m


Ref. S’: x3’=-12m , ct3’= 12m/(v/c) = 15 m

Note que

• Evento 2 no Ref. S’: ,

• Evento 3 no Ref S:

β =45

, γ =53

x′ 2 = γ × (10m − 4/5 × 12m) = 0 (!!!)ct′ 2 = γ × (12.5m − 4/5 × 10m) = 7.5 m

x3 = γ(−12m + 4/5 × 15m) = 0 (!!!)ct3 = γ(15m + 4/5 × (−12m)) = 9m



Ref. S e S’: x1=x1’=0 , ct1=ct1’=0


Ref. S: x2=10m, ct2 = 10 m/(v/c) = 12.5 m


Ref. S’: x3’=-12m , ct3’= 12m/(v/c) = 15 m

No Ref. S, o evento 3 (ct3=9m) ocorre antes do evento 2 (ct2=12.5m) No Ref. S’, o evento 2 (ct2’=7.5m) ocorre antes do evento 3 (ct3'=15m)


x

ct


x

ct

Entrada do túnel

Saída do túnel


x

ct

x’

ct’

Entrada do túnel

Saída do túnel


x

ct

x’

ct’

Entrada do túnel

Saída do túnel

Trase

ira

do ca

rroFr

ente

do

carro


x

ct

x’

ct’

oo

Entrada do túnel

Saída do túnel

Trase

ira

do ca

rroFr

ente

do

carro


x

ct

x’

ct’

-ct2 ct 2'

oo

Entrada do túnel

Saída do túnel

Trase

ira

do ca

rroFr

ente

do

carro


x

ct

x’

ct’ct 3

'

ct3

-ct2 ct 2'

-

oo

Entrada do túnel

Saída do túnel

Trase

ira

do ca

rroFr

ente

do

carro


x

ct

x’

ct’ct 3

'

ct3

1

2

3

No Ref. S

-ct2 ct 2'

-

oo

Entrada do túnel

Saída do túnel

Trase

ira

do ca

rroFr

ente

do

carro


x

ct

x’

ct’ct 3

'

ct3

1

2

3

No Ref. S

1

3

2

No Ref. S’

-ct2 ct 2'

-

oo

Entrada do túnel

Saída do túnel

Trase

ira

do ca

rroFr

ente

do

carro

4-VETORES NO ESPAÇO DE MINKOWSKIEXEMPLO 2


• 4-vetores no espaço de Minkowski são objetos que se transformam segundo a mesma transformação de Lorentz que se aplica para o primeiro “vetor" que encontramos — aqueles que correspondem a intervalos entre eventos:

drμ ⟶ dr′ μ = Λμνdrν




• Um 4-vetor de Minkowski (V) é um objeto que se comporta do mesmo modo:

Vμ ⟶ V′ μ = ΛμνVν




• Um 4-vetor de Minkowski (V) é um objeto que se comporta do mesmo modo:

Vμ ⟶ V′ μ = ΛμνVν

• 4-vetores de Minkowski têm um módulo que é definido por meio de um produto escalar. Esse produto escalar é dado em termos de uma métrica (a métrica de Minkowski):

| |V | |2 = ημνVμVν ⌘µ⌫ = ⌘µ⌫ =

0

BB@

�1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1

CCA

<latexit sha1_base64="Y3HdrOx/ZJIBPM8BtGISJENQLh4=">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</latexit>



• Podemos escrever a norma de 4-vetores no espaço de Minkowski de um modo mais interessante se notarmos que:

Vμ = {V0, V1, V2, V3}

Vμ = ημνVν = {−V0, V1, V2, V3}



Vμ = {V0, V1, V2, V3}

Vμ = ημνVν = {−V0, V1, V2, V3}

• Note que a operação é facilmente invertida:

Vμ = ημνVν , ημν = ημν = diag(−1,1,1,1)



Vμ = {V0, V1, V2, V3}

Vμ = ημνVν = {−V0, V1, V2, V3}

• Note que a operação é facilmente invertida:

Vμ = ημνVν , ημν = ημν = diag(−1,1,1,1)

• Desse modo, o módulo desse 4-vetor fica:

| |V | |2 = Vμ ημνVν = VμVμ = − (V0)2 + V 2



• É interessante ver como esse “novo" objeto se comporta sob transformações de Lorentz:

V′ μ = ημν V′ ν = ημν ΛναVα = ημν Λν

α ηαβ Vβ




α ηαβ Vβ

• Agora, vamos nos lembrar que as transformações de Lorentz obedecem o princípio da… invariância de Lorentz!

Λμσ ημν Λν

α = ησα




α ηαβ Vβ

• Agora, vamos nos lembrar que as transformações de Lorentz obedecem o princípio da… invariância de Lorentz!

Λμσ ημν Λν

α = ησα

• Podemos multiplicar a primeira equação acima por , levando a: Λμσ

Λμσ V′ μ = Λμ

σ ημν Λνα ηαβ Vβ = ησα ηαβ Vβ = δβ

σ Vβ = Vσ



• Ou seja, se por um lado temos que a transformação de Lorentz usual é

,V′ μ = Λμν Vν




• por outro, vemos que a transformação desse mesmo 4-vetor usando a representação alternativa é:

Λμν V′ μ = Vν ⟹ V′ μ = (Λμ

ν)−1Vν = Λ νμ Vν




• por outro, vemos que a transformação desse mesmo 4-vetor usando a representação alternativa é:

Λμν V′ μ = Vν ⟹ V′ μ = (Λμ

ν)−1Vν = Λ νμ Vν

• onde (veja a página anterior) essa inversa da matriz pode ser escrita facilmente como:

Λ

Λ βμ = ημν Λν

α ηαβ


• Vejamos isso na prática, no caso de um boost de Lorentz na direção x:

⇒

• Esse mesmo vetor pode ser representado do modo alternativo:

⇒

• Vamos verificar que isso está correto:

rμ = {ct, x, y, z}

rμ = {−ct, x, y, z}

r′ 0 = − ct′ = (−ct) × γ + x × γβ = − γ(ct − β x)

r′ 1 = x′ = (−ct) × γβ + x × γ = γ(x − β ct)

r0µ =

✓ct0

x0

◆=

✓� ��

��

◆ ✓ctx

◆

<latexit sha1_base64="ir1NAWAkI0rruGToI/AMHlzeISM=">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</latexit>

r0µ = (�ct0 x0) = (�ct x)

✓� +��

+��

◆

<latexit sha1_base64="XD8l2J231w2rGX4CGp9DwZ1V19Y=">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</latexit>



• Portanto, encontramos que

,r′ μ = Λμν rν

onde r′ μ = Λ νμ rν Λ β

μ = ημν Λνα ηαβ


• Portanto, encontramos que

,r′ μ = Λμν rν

onde r′ μ = Λ νμ rν Λ β

μ = ημν Λνα ηαβ

• Onde as matrizes de transformação são, nos dois casos:

⇤ ⌫µ =

0

BB@

� +�� 0 0+�� 0 00 0 1 00 0 0 1

1

CCA

<latexit sha1_base64="Tr96ANXZtQYWExqUW3zagdn9hYA=">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</latexit>

⇤µ⌫ =

0

BB@

� �� 0 0�� 0 00 0 1 00 0 0 1

1

CCA

<latexit sha1_base64="W+4PYvCkOGHLGd40jHQG6Bp5hDg=">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</latexit>

4-VELOCIDADE E 4-MOMENTO

ct

x


• A 4-velocidade de um corpo em movimento é dada por:

,Uμ =d xμ

dτ= γ{c, Vx, Vy, Vz}

onde é o tempo próprio, τ dτ = dt/γ(V )

ct

x



,Uμ =d xμ



• Um corpo massivo possui igualmente um 4-momento:

ct

x



,Uμ =d xμ




Pμ = m Uμ = m γ {c, V }

ct

x



,Uμ =d xμ




Pμ = m Uμ = m γ {c, V }

• Essa componente “temporal” do momento é, naturalmente, a energia (a menos de um fator de c). De fato:

P0 = m γ c = m c (1 +12

V2

c2+ …)

ct

x

�(V ) =

✓1� V 2

c2

◆�1/2

<latexit sha1_base64="tGQ+stOfxf9NpxlKdvhh3WSu65Q=">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</latexit>


• Reconhecemos essa componente como energia:

P0 ≃1c (m c2 +

12

m V2 + …)


ENERGIA CINÉTICA

(Ñ-RELATIV.)

ENERGIA DE

REPOUSO


P0 ≃1c (m c2 +

12

m V2 + …)


ENERGIA CINÉTICA

(Ñ-RELATIV.)

ENERGIA DE

REPOUSO


P0 ≃1c (m c2 +

12

m V2 + …)


• Portanto, a energia da partícula é , e assimE = m γ(V ) c2

Pμ = { Ec

, p }



• Mas e se uma partícula (e.g., fóton) não tem massa?



• Suponhamos que tomamos o limite simples , e assimm → 0

Pμ ?= 0 × Uμ ?= 0




Pμ ?= 0 × Uμ ?= 0

• Claramente isso não funciona: que partícula é essa, que não tem massa, nem energia, nem momento???




Pμ ?= 0 × Uμ ?= 0


• Podemos pensar em tomar e de tal modo que . Porém, temos de tomar cuidado para que nem que . Mas isso soa muito arbitrário: que “massa" é essa?

m → 0 V → c γ(V ) → ∞m γ ↛ 0 m γ ↛ ∞




Pμ ?= 0 × Uμ ?= 0



m → 0 V → c γ(V ) → ∞m γ ↛ 0 m γ ↛ ∞

• De fato, não precisamos pensar em nenhum desses limites: basta lembrarmos que para qualquer partícula (com ou sem massa), e portanto

. | |Uμ | |2 = − c2

| |Pμ | |2 = − m2c2




Pμ ?= 0 × Uμ ?= 0



m → 0 V → c γ(V ) → ∞m γ ↛ 0 m γ ↛ ∞

• De fato, não precisamos pensar em nenhum desses limites: basta lembrarmos que para qualquer partícula (com ou sem massa), e portanto

. | |Uμ | |2 = − c2

| |Pμ | |2 = − m2c2

• Para raios de luz, claramente temos , portanto .m = 0 | |Pμluz | |2 = 0



• Portanto, para raios de luz temos que



0 = | |Pμluz | |2 = −

E2luz

c2+ p 2

luz



0 = | |Pμluz | |2 = −

E2luz

c2+ p 2

luz

• Ou seja, a energia da luz é vinculada a seu momento, .Eluz = p luz c



0 = | |Pμluz | |2 = −

E2luz

c2+ p 2

luz


• A única propriedade de um raio



0 = | |Pμluz | |2 = −

E2luz

c2+ p 2

luz



de luz é sua energia e sua direção



0 = | |Pμluz | |2 = −

E2luz

c2+ p 2

luz




• Essas componentes são, claro,



0 = | |Pμluz | |2 = −

E2luz

c2+ p 2

luz




• Essas componentes são, claro,

diferentes dependendo do referencial!

DINÂMICA RELATIVÍSTICA E FORÇA


• Na mecânica não-relativística a lei de movimento é dada por:

F = m a



F = m a

• Mas e na relatividade? Assim como temos , podemos

definir a mudança desse estado de movimento em termos do mesmo tempo próprio, e escrever:

Uμ =d rμ

dτ

fμ =d Pμ

dτ



F = m a

• Mas e na relatividade? Assim como temos , podemos

definir a mudança desse estado de movimento em termos do mesmo tempo próprio, e escrever:

Uμ =d rμ

dτ

fμ =d Pμ

dτ

• Exercício: mostre que . Interprete a equação resultante em termos de conceitos familiares da mecânica não-relativística. (Ou seja: o que significa, fisicamente, essa equação?)

f ⋅ P = ημν fμ Pν = 0


E(n) , p (n)E(n) , p (n)


• Conservação de 4-momento

Pμtot = ∑

n

Pμ(n) E(n) , p (n)E(n) , p (n)



Pμtot = ∑

n

Pμ(n)

Conservação de energia

E(n) , p (n)E(n) , p (n)



Pμtot = ∑

n

Pμ(n)


Conservação de momento

E(n) , p (n)E(n) , p (n)



Pμtot = ∑

n

Pμ(n)



• Note que não há um invariante associado com a “massa total” do sistema! A noção do Centro de Massa, de fato, é bastante mais complexa na Relatividade!

E(n) , p (n)E(n) , p (n)



Pμtot = ∑

n

Pμ(n)



• Note que não há um invariante associado com a “massa total” do sistema! A noção do Centro de Massa, de fato, é bastante mais complexa na Relatividade!

E(n) , p (n)E(n) , p (n)

DINÂMICA RELATIVÍSTICA: INTERAÇÕES


• Espalhamento Compton

mev e

p fp ′ f

n n′



• A energia do fóton incidente é E = hν = | p f |c

• , onde é a direção de propagação do foton incidentePμf =

h νc

{1, n} n

• , onde é a direção de propagação do foton emergenteP′ μf =

h ν′

c{1, n′ } n′

mev e

p fp ′ f

n n′




mev e

p fp ′ f

n n′



• Pergunta: qual a relação entre o ângulo de espalhamento e a mudança na frequência do fóton?

• Conservação de 4- momento: = Pμf + Pμ

e P′ μf + P′ μ

e

• Ou seja, Pμf + Pμ

e −P′ μf = P′ μ

e

mev e

p fp ′ f

n n′


n

n′

θ



n

n′

θ



• Vamos tomar a norma de ambos os lados dessa expressão:

n

n′

θ




• | |Pμf + Pμ

e − P′ μf | |2 = | |P′ μ

e | |2

n

n′

θ




• | |Pμf + Pμ

e − P′ μf | |2 = | |P′ μ

e | |2

➡ | |Pμf | |2 + | |Pμ

e | |2 + | |P′ μf | |2 − 2 | |Pμ

f Pμe | | − 2 | |Pμ

f P′ μf | | − 2 | |Pμ

e P′ μf | | = | |P′ μ

e | |2

n

n′

θ




• | |Pμf + Pμ

e − P′ μf | |2 = | |P′ μ

e | |2

➡ | |Pμf | |2 + | |Pμ

e | |2 + | |P′ μf | |2 − 2 | |Pμ

f Pμe | | − 2 | |Pμ

f P′ μf | | − 2 | |Pμ

e P′ μf | | = | |P′ μ

e | |2

n

n′

θ

=0=0




• | |Pμf + Pμ

e − P′ μf | |2 = | |P′ μ

e | |2

➡ | |Pμf | |2 + | |Pμ

e | |2 + | |P′ μf | |2 − 2 | |Pμ

f Pμe | | − 2 | |Pμ

f P′ μf | | − 2 | |Pμ

e P′ μf | | = | |P′ μ

e | |2

n

n′

θ

=0=0




• | |Pμf + Pμ

e − P′ μf | |2 = | |P′ μ

e | |2

➡ | |Pμf | |2 + | |Pμ

e | |2 + | |P′ μf | |2 − 2 | |Pμ

f Pμe | | − 2 | |Pμ

f P′ μf | | − 2 | |Pμ

e P′ μf | | = | |P′ μ

e | |2

➡ | |Pμe (Pμ

f − P′ μf ) | | = | |Pμ

f P′ μf | |

n

n′

θ

=0=0


n

n′

θ

p f

p ′ f



n

n′

θ

p f

p ′ f



• Agora vamos abrir essa última expressão, | |Pμe (Pμ

f − P′ μf ) | | = | |Pμ

f P′ μf | |

n

n′

θ

p f

p ′ f




f − P′ μf ) | | = | |Pμ

f P′ μf | |

➡ P0e (P0

f − P′ 0f ) + p e ⋅ ( p f + p ′ f ) = P0

f P′ 0f − p f ⋅ p ′ f

n

n′

θ

p f

p ′ f




f − P′ μf ) | | = | |Pμ

f P′ μf | |

➡ P0e (P0

f − P′ 0f ) + p e ⋅ ( p f + p ′ f ) = P0

f P′ 0f − p f ⋅ p ′ f

• Note que , , etcP0e = Ee/c = mec P0

f = Ef /c = hν/c

n

n′

θ

p f

p ′ f




f − P′ μf ) | | = | |Pμ

f P′ μf | |

➡ P0e (P0

f − P′ 0f ) + p e ⋅ ( p f + p ′ f ) = P0

f P′ 0f − p f ⋅ p ′ f

• Note que , , etcP0e = Ee/c = mec P0

f = Ef /c = hν/c

➡ mec2 × (hν − hν′ ) = hν × hν′ − (hν n) ⋅ (hν′ n′ )

n

n′

θ

p f

p ′ f


n

n′

θ

p f

p ′ f



n

n′

θ

p f

p ′ f



• Ou seja, obtemos que

n

n′

θ

p f

p ′ f




➡

ν − ν′

νν′ =

hmec

(1 − cos θ)

n

n′

θ

p f

p ′ f




➡

ν − ν′

νν′ =

hmec

(1 − cos θ)

• Isso é geralmente usando , como:ν = c/λ

n

n′

θ

p f

p ′ f




➡

ν − ν′

νν′ =

hmec

(1 − cos θ)


➡ λ′ − λ =2hmec

sen2 θ

n

n′

θ

p f

p ′ f




➡

ν − ν′

νν′ =

hmec

(1 − cos θ)


➡ λ′ − λ =2hmec

sen2 θ

n

n′

θ

p f

p ′ f

Arthur Compton

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INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE