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UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARAN
DIRCT / DIRGRAD / DECEN
CURSO DE ENGENHARIA INDUSTRIAL MECNICA
DISCIPLINA PROJETO FINAL II
LEONARDO TERRA LOYOLA
INVESTIGAO NUMRICA DA CONVECO NATURAL EM
CAVIDADES ABERTAS HETEROGNEAS
TRABALHO DE CONCLUSO DE CURSO
CURITIBA
MAIO 2012
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LEONARDO TERRA LOYOLA
INVESTIGAO NUMRICA DA CONVECO NATURAL EM
CAVIDADES ABERTAS HETEROGNEAS
Monografia apresentada disciplina Projeto Final II, do Curso de
Engenharia Industrial Mecnica da Universidade Tecnolgica Federal do
Paran, Campus Curitiba, como requisito parcial para aprovao.
Orientador: Prof. Admilson T. Franco, Dr
Co-orientador: Prof. Slvio L. M. Junqueira, Dr
CURITIBA 2011
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TERMO DE ENCAMINHAMENTO
Venho, por meio deste termo, encaminhar para a apresentao o
trabalho
SIMULAO NUMRICA DA CONVECO NATURAL EM CAVIDADES
ABERTAS HETEROGNEAS, realizado pelo aluno LEONARDO TERRA
LOYOLA,
como requisito parcial para aprovao na disciplina Trabalho de
Concluso de Curso
2 do curso de Engenharia Mecnica da Universidade Tecnolgica
Federal do
Paran.
Orientador: Prof. Admilson T. Franco, Dr
DAMEC, UTFPR
Co-Orientador: Prof. Silvio L. M. Junqueira, Dr
DAMEC, UTFPR
Curitiba, 24 de Outubro de 2011.
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RESUMO
Neste trabalho, prope-se a investigao numrica do fenmeno de
conveco
natural em meios porosos heterogneos, em que as fases slido e
fluido so
visualmente distinguidas. Essa abordagem na soluo de escoamentos
em meios
porosos denominada abordagem microscpica. A geometria em estudo
uma
cavidade quadrada aberta para o ambiente com a presena de blocos
condutivos,
fixos e rgidos em seu interior, uniformemente distribudos. A
parede vertical interna
da cavidade mantida a uma temperatura constante maior que a do
meio, e
constitui a fonte de energia para a conveco natural. As equaes
de balano de
massa, quantidade de movimento e energia so resolvidas pelo
Mtodo dos
Volumes Finitos, atravs de um programa de DFC (dinmica dos
fluidos
computacional). O problema tratado em regime permanente, e
adota-se a hiptese
de propriedades fsicas dos constituintes como constantes, exceto
a massa
especfica do fluido na avaliao do termo de empuxo, sem o qual no
h conveco
natural. O objetivo deste trabalho analisar a influncia que os
parmetros
adimensionais: nmero de Rayleigh, razo de condutividade trmica
slido-fluido e
nmero de blocos exercem nas taxas de transferncia de calor e no
escoamento. Os
resultados das simulaes so avaliados quantitativamente com base
nos valores de
nmero de Nusselt e de vazo volumtrica adimensional de entrada na
cavidade, e
qualitativamente com base em grficos de isotermas e de linhas de
corrente.
Observou-se que, para qualquer nmero de Rayleigh, a quantidade
de calor que o
fluido capaz de transportar ao meio externo significativamente
reduzida quando
h interferncia da camada-limite trmica pela fase slida. A variao
da razo de
condutividade trmica slido-fluido possui maior importncia
justamente nesses
casos de interferncia, e blocos mais condutivos facilitam as
trocas de calor.
Palavras-chave: Conveco Natural, Cavidade Aberta, Meio
Heterogneo, Regime Transiente, DFC.
-
v
SUMRIO
LISTA DE ILUSTRAES vii
LISTA DE TABELAS x
NOMENCLATURA xi
1 INTRODUO 1
1.1 Meios porosos 1
1.2 Aplicaes de Fenmenos de Transporte em Meios Porosos 3
1.3 Formulao do Problema 6
1.4 Objetivos 8
1.5 Justificativa 9
1.6 Contedo do Trabalho 10
2 REVISO BIBLIOGRFICA 12
2.1 Camadas-limite Hidrodinmica e Trmica Conceitos 12
2.1.1 Lei de Resfriamento de Newton 13
2.1.2 Conveco Natural 14
2.2 Reviso da Literatura 19
3 MODELAGEM MATEMTICA 24
3.1 Hipteses Simplificadoras 24
3.2 Equaes Governantes da Conveco Natural 26
3.2.1 Equao de conservao da massa 26
3.2.2 Equao de conservao da quantidade de movimento 27
3.2.3 Equao da conservao da energia 28
3.3 Adimensionalizao das Equaes Governantes 28
3.3.1 Equao da conservao da massa adimensionalizada 29
3.3.2 Equao da conservao da quantidade de movimento 29
3.3.3 Equao da conservao da energia 29
3.4 Condies de contorno 30
3.5 Funo linha de corrente 32
4 MODELAGEM NUMRICA 34
5 VALIDAO DO CDIGO DO PROGRAMA DFC 37
5.1 Cavidade Fechada sem Blocos 37
5.2 Cavidade Fechada Heterognea 39
5.3 Cavidade Aberta Homognea 40
5.3.1 Escolha das dimenses do domnio computacional para a
cavidade aberta 44
6 Cavidade Aberta com Blocos 48
6.1 Teste de malha e malhas utilizadas 48
-
vi
6.1.1 Teste de malha para 510Ra e 610Ra 49
6.1.2 Teste de malha para 710Ra e 810Ra 51
6.2 Resultados e Discusses 56
6.2.1 Efeito da variao do nmero de Rayleigh 60
6.2.2 Efeito da variao do nmero de blocos 66
6.2.3 Efeito da variao da razo de condutividade trmica
slido-fluido 71
6.2.4 Anlise do nmero de Nusselt local na parede aquecida para a
conveco natural na cavidade aberta 73
6.2.5 Correlaes para nmero de Nusselt de Nusselt mdio e vazo
adimensional de entrada de fluido na cavidade 79
7 CONCLUSO 81
REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS 83
APNDICE A CAVIDADE FECHADA SEM BLOCOS 86
APNDICE B RESULTADOS PARA A CAVIDADE ABERTA COM BLOCOS 88
APNDICE C CDIGO DO PROGRAMA: ARQUIVO Q1 90
-
vii
LISTA DE ILUSTRAES
Figura 1 Exemplos de meios porosos: tecido sseo humano, pulmo
humano e
areia.
....................................................................................................................
2
Figura 2 Perfuso de nutrientes numa estrutura porosa sinttica
............................ 4
Figura 3 Etapas de manufatura para o processo RTM tpico (resin
transfer molding)
.............................................................................................................................
5
Figura 4 Desenho esquemtico do processo VARTM (vacuum assisted
resin
transfer molding)
..................................................................................................
5
Figura 5 Evoluo do escoamento de resina no molde.
........................................... 6
Figura 6 Esquema de uma cavidade aberta
..............................................................
7
Figura 7 Representao esquemtica da cavidade aberta, meio
heterogneo,
abordagem microscpica
.....................................................................................
8
Figura 8 Camada-limite hidrodinmica ( esquerda) e camada-limite
trmica (
direita) para a conveco natural laminar numa placa plana
vertical aquecida
adaptado de Incropera e De Witt (2008)
............................................................ 12
Figura 9 Configurao esquemtica da conveco natural (adaptado de
Nield e
Bejan, 2009)
.......................................................................................................
15
Figura 10 Esquema de desenvolvimento para nmero de Prandtl ( Pr
) baixo
(acima) e alto (abaixo) (adaptado de Nield e Bejan, 2009)
................................ 17
Figura 11 Representao esquemtica da cavidade aberta quadrada com
o
domnio heterogneo e condies de contorno; detalhe do bloco slido
direita.
...........................................................................................................................
31
Figura 12. Cavidade fechada horizontal. Geometria e condies de
contorno. ........ 37
Figura 13. Cavidade fechada horizontal heterognea, com a presena
de um bloco
em seu interior.
..................................................................................................
40
Figura 14. Geometria e condies de contorno para a cavidade
aberta sem blocos 41
-
viii
Figura 15 Exemplo de malha utilizada para a simulao da cavidade
aberta
(80 0 no interior da cavidade)
.........................................................................
42
Figura 16 Isotermas (acima) e linhas de corrente (abaixo) para
os domnios
3L H e 2 3L H , 310Ra e 810Ra . Obs: Apenas a regio
correspondente
ao domnio 2 3L H mostrada.
........................................................................
46
Figura 17 - Exemplo de malha: uniforme 121 121 no interior da
cavidade e 20 20
no-uniforme com 1,6n no exterior (regio 2 e 3). (a): domnio
completo; (b):
detalhe da cavidade
...........................................................................................
50
Figura 18 Distribuio da malha na cavidade aberta quadrada e nas
redondezas,
mostrando-se as diferentes regies de refinamento e a alta
concentrao de
pontos nas regies 1 e 3 Ra=107 e Ra=108
.................................................... 51
Figura 19. Isotermas para 610Ra e 710Ra , 9N e 36N . Apenas a
regio
prxima da cavidade mostrada.
......................................................................
59
Figura 20. Linhas de corrente para 610Ra e 710Ra , 9N e 36N .
Apenas a
regio prxima da cavidade mostrada.
........................................................... 59
Figura 21. Grficos mNu Ra para 0,1 , 1 , 10 e 100 .
......................... 61
Figura 22. Grficos M Ra para 0,1 , 1 , 10 e 100 .
............................ 62
Figura 23. 1 , 36N (a), (b), (c) e (d): isotermas; (e), (f), (g)
e (h): linhas de
corrente.
.............................................................................................................
63
Figura 24 Perfis de velocidade e temperatura na entrada da
cavidade para 1 65
Figura 25. Nmero de Nusselt mdio como funo do nmero de blocos
para 0,1
a 100 e 510Ra a 810Ra .
.........................................................................
67
Figura 26. Vazo volumtrica adimensional como funo do nmero de
blocos para
0,1 a 100 e 510Ra a 810Ra .
.............................................................
67
Figura 27. 710Ra , 0,1K . (a), (b) e (c): campos de temperatura;
(d), (e) e (f):
linhas de corrente.
..............................................................................................
70
-
ix
Figura 28. Isotermas (acima) e linhas de corrente (abaixo)
obtidas para 610Ra e
36N .
...............................................................................................................
72
Figura 29. Isotermas (acima) e linhas de corrente (abaixo)
obtidas para 710Ra e
9N .
.................................................................................................................
73
Figura 30 LNu como funo de Y para 0,1
..................................................... 74
Figura 31 LNu , V e como funo de Y para 710Ra , 0,1 e 10
............ 76
Figura 32 Linhas de corrente (acima) e isotermas (abaixo) para
710Ra e 64N .
...........................................................................................................................
78
-
x
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 Equaes dominantes adimensionais
..................................................... 33
Tabela 2. Valores de e S para a varivel .
..................................................... 35
Tabela 3 Comparao de mNu para refino de malha computacional
..................... 38
Tabela 4. Resultados de mNu obtidos pela presente soluo e por
solues de
referncia encontradas na literatura para a cavidade quadrada e
fechada com
um bloco.
............................................................................................................
40
Tabela 7. Resultados de mNu e m obtidos pelo programa
PHOENICS-CFD e por
Chan e Tien (1985) para a cavidade quadrada, aberta e homognea.
.............. 44
Tabela 8. Resultados de mNu e M obtidos para os domnios 2 3L H e
3L H ,
meio homogneo.
..............................................................................................
45
Tabela 9 Valores dos parmetros a serem estudados
........................................... 48
Tabela 10. Teste de malha para a cavidade aberta heterognea,
610Ra .
Resultados de mNu e M encontrados para as malhas uniformes (
144N e
10 ).
...............................................................................................................
50
Tabela 11 Teste de sensibilidade de malha para a regio 3, Figura
18. ................ 53
Tabela 12 Teste de sensibilidade de malha para a regio 1, Figura
18. ................ 53
Tabela 13 Teste de sensibilidade de malha para a regio 2, Figura
18. ................ 54
Tabela 14 Refino da malha escolhida para 710Ra e 810Ra .
............................ 55
Tabela 15 Teste de sensibilidade de malha para 810Ra , 144N e 10
. ....... 55
Tabela 16. Valores de mnN esperados para os nmeros de Rayleigh
investigados . 69
-
xi
NOMENCLATURA
Letras Romanas
A rea 2m
B Razo de aspecto da cavidade -
pc Calor especfico presso constante /J kg K
d Comprimento caracterstico dos blocos m
D Comprimento caracterstico dos blocos adimensional -
ie Vetor unitrio na direo x -
je Vetor unitrio na direo y -
ke Vetor unitrio na direo z -
E Extenso de aplicao da malha numrica m
EP Erro percentual relativo -
g Acelerao da gravidade 2/m s
Gr Nmero de Grashof -
h Coeficiente convectivo local de transferncia de calor 2/W m
K
H Altura da cavidade m
k Condutividade trmica /W m K
L Comprimento caracterstico m
m Vazo adimensional de entrada do fluido na cavidade -
n Vetor unitrio normal superfcie de referncia -
N Nmero de blocos -
Nu Nmero de Nusselt -
mNu Nmero de Nusselt mdio -
mNu Nmero de Nusselt local -
p Presso Pa
P Presso adimensional -
Pr Nmero de Prandtl -
q Posio do n na malha -
-
xii
Q Vazo volumtrica 3 /m s
''q Fluxo de calor 2/W m
'''q Gerao de energia interna 2/W m
r Grau de refinamento da malha -
Ra Nmero de Rayleigh -
t Tempo s
T Temperatura K
u Velocidade do fluido na direo x /m s
U Velocidade adimensional do fluido na direo x -
v Velocidade do fluido na direo y /m s
V Velocidade adimensional do fluido na direo y /m s
VC Nmero de volumes de controle /m s
V Vetor velocidade em coordenada cartesiana /m s
,x y Coordenadas cartesianas m
,X Y Coordenadas cartesianas adimensionais -
Smbolos Gregos
Difusividade trmica 2 /m s
Coeficiente de expanso trmica 1K
Espessura da camada-limite hidrodinmica m
T Espessura da camada-limite trmica m
Funo dissipao viscosa 3/W m
Viscosidade dinmica .Pa s
Viscosidade cinemtica do fluido 2 /m s
cal Valor calculado -
ref Valor de referncia -
Temperatura adimensional -
Massa especfica 3/kg m
Razo de capacidade trmica slido-fluido -
Temperatura adimensional -
-
xiii
Densidade de malha 3/W m
Funo linha de corrente -
Subscritos
f Fluido
F Temperatura na parede fria
in Fluido que entra no domnio numrico
mx Valor mximo
out Fluido que deixa o domnio numrico
Q Temperatura na parede quente
S Slido
Valor ambiente
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1
1 INTRODUO
Equation Chapter (Next) Section 1
Pesquisas tericas e de aplicao sobre fenmenos de transporte em
meios
porosos tm recebido ateno crescente nas ltimas trs dcadas devido
sua
importncia em diversas reas da engenharia. Devido a esse esforo,
avanos
significativos tm sido alcanados nesse campo. A modelagem de
escoamentos e
transferncia de calor e de massa apresenta hoje resultados mais
prximos do
verificado em escoamentos reais. As prprias tcnicas de medio tm
sofrido
avanos importantes recentemente, incluindo formas mais
eficientes e efetivas de
medida de propriedades termodinmicas como condutividade trmica,
alm de
melhorias e novas formas de visualizao de escoamentos. (VAFAI,
2005)
O objetivo desta introduo exemplificar aplicaes recentes da
pesquisa da
transferncia de calor e de massa em meios porosos e situar o
estudo da
transferncia de calor por conveco natural em cavidades. Sero
apresentados
ainda alguns conceitos bsicos para facilitar o entendimento do
problema.
1.1 Meios porosos
O meio poroso pode ser definido como o material formado por uma
matriz
slida, rgida ou sujeitas a pequenas deformaes, com espaos
interconectados.
Freqentemente, tanto a matriz slida quanto os vazios so
contnuos, de maneira a
formar dois meios que se interpenetram, como numa esponja de
cozinha. Os
espaos formados pela estrutura slida podem ser preenchidos por
um ou mais
fluidos. (BEJAN, 2009)
Em meios porosos naturais, a distribuio de poros com relao forma
e
tamanho irregular. Exemplos de meios porosos naturais so: a
areia da praia,
madeira, o pulmo humano, ou ainda o tecido sseo, como mostrado
na Figura 1.
Na escala do poro, as variveis de velocidade, temperatura e
presso so
nitidamente irregulares. Em experimentos, a medio dessas
variveis feita em
reas que atravessam vrios poros, e o que medido na verdade uma
mdia
espacial de valores de propriedades, de velocidade do escoamento
e de
temperatura.
-
2
Figura 1 Exemplos de meios porosos: tecido sseo humano, pulmo
humano e areia.
*Imagens retiradas de
http://casasaudavel.com.br/2010/07/31/tour-pelo-pulmao-gigante-no-recife-
acaba-amanha/,
http://www.poderdasmaos.com/site/?p=Sistema_Esqueletico_-_417631
e
http://jornale.com.br/mirian/?p=14039, respectivamente.
A forma como o escoamento de fluidos em meios porosos
tratado
basicamente uma questo de distncia entre o observador e o
fenmeno fsico.
Quando a distncia pequena, podem ser vistos apenas alguns canais
no meio, ou
algumas cavidades fechadas ou abertas. Nessa abordagem do
problema,
denominada abordagem microscpica, possvel utilizar as equaes de
balano da
mecnica dos fluidos convencional para a resoluo dos campos de
velocidade,
temperatura e presso. Quando a distncia grande a ponto de ser
difcil distinguir
poro de matriz slida, h algumas complicaes que dificultam a
soluo de maneira
convencional, como a modelagem da geometria e da alta capacidade
computacional
necessria para os balanos de massa, energia e quantidade de
movimento em
todos os pontos em estudo. Nesses casos, adota-se a abordagem
denominada
macroscpica, em que so realizadas mdias volumtricas das
propriedades termo-
fsicas do meio para descrev-lo e simplificar a modelagem. (NIELD
e BEJAN, 2009)
http://casasaudavel.com.br/2010/07/31/tour-pelo-pulmao-gigante-no-recife-acaba-amanha/http://casasaudavel.com.br/2010/07/31/tour-pelo-pulmao-gigante-no-recife-acaba-amanha/http://www.poderdasmaos.com/site/?p=Sistema_Esqueletico_-_417631http://jornale.com.br/mirian/?p=14039
-
3
1.2 Aplicaes de Fenmenos de Transporte em Meios Porosos
Uma rea rica de aplicao do conhecimento de fenmenos de
transporte em
meios porosos a biologia. Como exemplos temos o estudo da difuso
trmica em
tecido cerebral, difuso trmica durante processos de gerao de
tecidos vivos
(engenharia de tecidos), uso da ressonncia magntica por imagem
(RMI) para
caracterizar propriedades do tecido humano, perfuso de
nutrientes do sangue para
imediaes, fluxo sanguneo em tumores, etc. (VAFAI, 2005)
Outras aplicaes ocorrem na rea de sistemas geotrmicos, processos
de
fabricao de compsitos, combusto em meios porosos inertes entre
outros.
i. Engenharia de Tecidos
Como exemplo de aplicao da transferncia de calor e de massa em
meios
porosos tem-se a engenharia de tecidos, definida como um campo
multidisciplinar de
pesquisa que usa dos princpios de engenharia e das cincias
relacionadas vida
para o desenvolvimento de estruturas biolgicas substitutas que
restaurem,
mantenham, ou melhorem a funo de um tecido ou de um rgo (LANZA
et al,
2009).
A estratgia principal da engenharia de tecidos envolve a
implantao de
clulas vivas numa estrutura sinttica porosa biocompatvel e a
manuteno desse
sistema num biorreator. A funo dessa estrutura sinttica
possibilitar a formao
de um tecido em trs dimenses. Ela deve permitir a fixao e migrao
de clulas e
de molculas bioqumicas, permitir a difuso dos nutrientes
celulares e simular
certas influncias biolgicas e mecnicas para modificar o
comportamento das
clulas. Alm disso, a estrutura deve ser biodegradvel, para
evitar a necessidade
de remoo cirrgica.
Para atender a essas necessidades, essa estrutura sinttica deve
possuir
certas caractersticas quanto porosidade e tamanho de poros. Uma
estrutura muito
porosa pode prejudicar a distribuio de nutrientes para as clulas
dentro do
biorreator, ou ento submeter certas clulas a nveis exagerados de
tenso devido
ao movimento de fluidos. Hoje est claro que o metabolismo de
clulas e tecidos
influenciado pelos mecanismos de transporte de nutrientes e de
rejeitos que
regulado pela movimentao de fluidos. Em tecidos vivos, essa
movimentao
-
4
assume uma importncia significativa na morfognese, no
metabolismo e no
aparecimento de patologias (VAFAI, 2011). A Figura 2 mostra de
maneira
esquemtica um padro de distribuio tpico numa estrutura sinttica,
sendo
evidenciada a direo principal do escoamento.
Figura 2 Perfuso de nutrientes numa estrutura porosa
sinttica
*adaptado de Applications in Biological Systems and
Biotechnology, 1ed
, 2011
ii. Manufatura de Compsitos
Outro exemplo de aplicao do estudo da transferncia de calor e de
massa
em meios porosos a manufatura de compsitos, em especial o
processo Liquid
Composite Molding (LCM). Nesse processo, o polmero lquido
injetado dentro de
um molde que j contm as fibras do compsito, como fibras de
vidro, de carbono ou
de aramida. A Figura 3 e a Figura 4 apresentam algumas variantes
do processo
LCM (VAFAI, 2005).
Direo principal da perfuso
-
5
Figura 3 Etapas de manufatura para o processo RTM tpico (resin
transfer molding)
*adaptado de Handbook of Porous Media, 2ed
, 2005
Figura 4 Desenho esquemtico do processo VARTM (vacuum assisted
resin transfer molding)
*adaptado de Handbook of Porous Media, 2ed
, 2005
Uma das razes para o estudo numrico desse processo de
manufatura
investigar a melhor maneira de dispor as fibras no molde e as
melhores posies
para a injeo da resina e para a aplicao do vcuo. No realizar
esses estudos
-
6
pode levar a padres indesejados de impregnao de resina na fibra,
conforme
mostrado na Figura 5.
Figura 5 Evoluo do escoamento de resina no molde.
*adaptado de Handbook of Porous Media, 2ed
, 2005
1.3 Formulao do Problema
O problema proposto a transferncia de calor por conveco natural
em
regime permanente em cavidades abertas preenchidas por blocos
slidos quadrados
condutivos e desconexos. Os blocos simulam o meio slido do meio
poroso. Os
espaos entre os blocos so preenchidos pelo fluido em movimento.
Essa
abordagem do problema denominada abordagem microscpica, em que
ambas as
fases fluido e slido so visveis. A soluo do problema ser
realizada
numericamente, usando-se um programa comercial de Dinmica dos
Fluidos
Computacional (DFC). Essa abordagem necessria pois as equaes
diferenciais
envolvidas na transferncia de calor e de massa no possuem soluo
analtica.
A Figura 6 ilustra uma cavidade aberta. De forma simples, as
cavidades
abertas representar objetos como fornos, cmeras refrigeradas,
gabinetes de um
computador desktop ou uma geladeira.
-
7
Figura 6 Esquema de uma cavidade aberta
A geometria e o domnio numrico do problema so apresentados
esquematicamente na Figura 7. A cavidade em estudo delimitada
por uma parede
isotrmica vertical e por duas paredes adiabticas horizontais. A
razo de aspecto
da cavidade, B H L , unitria. O domnio estendido nas direes x e
y ,
2 3L H . As paredes verticais acima e abaixo da entrada so
adiabticas. Os
blocos so fixos e rgidos e participam das trocas de calor por
conduo. As linhas
tracejadas representam fronteiras por onde o fluido pode entrar
ou sair no domnio
de soluo.
As propriedades do fluido so mantidas constantes, exceto na
avaliao do
termo do empuxo, causado pela conjuno da variao da massa
especfica em
funo da temperatura e das foras de corpo originadas pela presena
da gravidade.
Slido
Cavidade
aberta
-
8
Figura 7 Representao esquemtica da cavidade aberta, meio
heterogneo, abordagem microscpica
1.4 Objetivos
Objetivo Geral
O objetivo deste trabalho a anlise numrica da transferncia de
calor por
conveco natural em uma cavidade preenchida por blocos quadrados,
fixos, rgidos
e condutivos, e aberta para o ambiente. Essa geometria foi
escolhida como
representante do meio poroso visto sob a tica da abordagem
microscpica.
Pretende-se avaliar sob que condies as trocas trmicas entre
cavidade e meio so
facilitadas ou dificultadas, e o porqu de tal comportamento.
-
9
Especificamente, ser investigado o efeito que a variao do nmero
de
blocos, da razo de condutividade trmica slido-fluido e da
intensificao da
hidrodinmica do escoamento, associada ao nmero de Rayleigh,
causam nos
resultados adimensionais nmero de Nusselt e vazo volumtrica
adimensional de
fluido na entrada da cavidade, alm da sua influncia nas
distribuies de isotermas
e linhas de corrente.
Objetivos Especficos
Pelo discutido acima, entende-se que os objetivos especficos
compreendem a
determinao de:
1. Nmero de Nusselt mdio na parede aquecida;
2. Vazo volumtrica adimensional na abertura da cavidade;
3. Campos de temperatura (isotermas);
4. Campos de linhas de corrente.
Os parmetros fsicos de soluo que sero investigados so os
mesmos
adotados por Merrick e Lage (2005) no estudo da conveco natural
numa cavidade
fechada horizontal aquecida lateralmente, tambm preenchida por
blocos slidos. A
sua definio fsica e matemtica dada no decorrer do trabalho.
1.5 Justificativa
A transferncia de calor e de massa em meios porosos est presente
em vrias
aplicaes de interesse da engenharia. Podem-se citar reservatrios
geotrmicos,
processos de fabricao, combusto em meios porosos inertes,
resfriamento de
componentes eletrnicos, isolamento trmico, sistemas biolgicos e
biotecnologia,
entre outros.
Simular numericamente o meio poroso de forma simplificada pode
auxiliar no
entendimento da transferncia de calor em meios porosos reais e
na obteno de
modelos que os representem de forma mais fiel e precisa. Isso se
mostra necessrio
devido ao grande esforo computacional realizado para se simular
o meio poroso tal
como encontrado nas diversas aplicaes da engenharia, formado por
milhares de
partculas slidas tambm porosas suscetveis movimentao devido
ao
escoamento do fluido.
-
10
Sendo assim, o presente projeto possui aplicaes que fornecem
vantagens
econmicas, tecnolgicas e de bem-estar humano. Economicamente, a
simulao
da transferncia de calor e de massa em meios porosos pode levar
a redues de
custos. Por exemplo, simulaes numricas podem substituir em parte
a explorao
de aquferos geotrmicos realizada pela perfurao de poos.
Tecnologicamente, o
estudo pode auxiliar no desenvolvimento de meios porosos para
diversos fins, como
isolantes trmicos ou dissipadores de calor, aumentando a
eficincia energtica de
sistemas em geral. Quanto ao bem estar humano, o estudo pode
resultar em meios
porosos que forneam a estrutura necessria para o desenvolvimento
de tecidos ou
rgos humanos (VAFAI, 2011).
Academicamente, o desenvolvimento deste projeto de importncia,
pois
engloba o conhecimento adquirido em diversas disciplinas do
curso, como Mecnica
dos Fluidos, Transferncia de Calor e de Massa, Mtodos Numricos e
noes de
programao e de DFC (Dinmica de Fluido Computacional).
1.6 Contedo do Trabalho
O contedo do trabalho estruturado em 6 captulos, incluindo este
captulo
introdutrio, que insere o problema no contexto da transferncia
da calor em meios
porosos.
O segundo captulo apresenta a Reviso Bibliogrfica, onde so
realizadas
algumas consideraes sobre transferncia de calor por conveco
natural,
necessrias para o desenvolvimento do estudo. So definidos os
parmetros
adimensionais de soluo e discutida sua influncia no
desenvolvimento das
camada-limites trmica e hidrodinmica. So comentados ainda alguns
trabalhos de
interesse encontrados na literatura relacionados ao tema da
conveco natural em
cavidades.
O terceiro captulo, modelagem matemtica, apresenta as
hipteses
simplificadoras adotadas para o problema e as equaes de balano
de massa, de
quantidade de movimento e de energia. Essas equaes so
adimensionalizadas e
discutidas. Ainda, so apresentadas as condies de contorno
aplicadas.
O quarto captulo apresenta brevemente alguns conceitos
importantes sobre o
mtodo numrico de soluo das equaes de balano adotado pelo
programa.
-
11
O quinto captulo trata das etapas de validao do cdigo
implementado no
programa DFC para a simulao da conveco natural na cavidade
aberta
heterognea, vista sob a ptica da abordagem microscpica. Aqui so
avaliadas as
cavidades fechadas homognea e heterognea e a cavidade aberta
homognea. A
validao realizada pela comparao da soluo obtida com solues
de
referncia encontradas na literatura, e discutem-se aspectos de
teste de
sensibilidade de malha.
O sexto captulo apresenta a discusso do problema da conveco
natural na
cavidade aberta heterognea. Esse captulo dividido em duas sees,
o teste de
malha realizado e resultados. Nesta ltima seo so avaliados os
efeitos que a
variao dos parmetros de soluo causa nas taxas de transferncia de
calor e no
escoamento.
Por fim, o stimo captulo expe as concluses do presente trabalho.
Na
seqncia, so apresentadas as referncias bibliogrficas e os
apndices. O
APNDICE A apresenta a comparao dos resultados obtidos para a
cavidade
fechada homognea e com solues de referncia da literatura. O
APNDICE B
apresenta os resultados de nmero de Nusselt e vazo volumtrica
adimensional de
entrada de fluido na cavidade encontrados para a cavidade aberta
com blocos. No
APNDICE C transcrito o cdigo de entrada de parmetros de soluo
numrica
utilizado no programa DFC para as simulaes da cavidade aberta
com blocos.
-
12
2 REVISO BIBLIOGRFICA
Equation Chapter (Next) Section 1
Nesse captulo sero apresentadas brevemente algumas definies
sobre
transferncia de calor por conveco, importantes para o
desenvolvimento do
projeto. Na seqncia sero discutidos alguns trabalhos da
literatura acerca do tema
da conveco natural em cavidades.
2.1 Camadas-limite Hidrodinmica e Trmica Conceitos
A transferncia de calor por conveco, ou simplesmente conveco,
o
estudo do transporte de calor resultante da movimentao de
fluidos (NIELD e
BEJAN, 2009).
A aplicao mais usual da conveco a interao trmica entre um fluido
e
uma superfcie slida, sob diferentes temperaturas. o caso, por
exemplo, de
cmeras frigorficas, fornos e trocadores de calor.
A conveco caracterizada pela presena das camadas-limite
hidrodinmica
e trmica. Na Figura 8 so ilustradas camadas-limites
laminares.
Figura 8 Camada-limite hidrodinmica ( esquerda) e camada-limite
trmica ( direita) para a conveco natural laminar numa placa plana
vertical aquecida adaptado de Incropera e De
Witt (2008)
-
13
Na Figura 8, representa a espessura da camada-limite
hidrodinmica e T
representa a espessura da camada-limite trmica. O subscrito
indica
propriedades do fluido nas condies do ambiente e o subscrito S
indica
propriedades da parede aquecida.
A camada-limite hidrodinmica, ou de velocidade, formada devido
ao efeito
conjunto da viscosidade do fluido e da condio de no deslizamento
na superfcie
slida. Na interface fluido/slido, as partculas fluidas e o slido
esto em contato e
possuem a mesma velocidade em relao a um referencial qualquer. A
viscosidade
e a diferena de velocidade entre camadas adjacentes de fluido
causam tenses
cisalhantes que dissipam energia cintica das partculas fluidas,
retardando-as. Isso
claramente mostrado na Figura 8 conforme nos distanciamos da
superfcie slida
( 0y ). A espessura da camada-limite hidrodinmica fica definida
pelo valor de y
em que a velocidade do fluido corresponde a 99% da velocidade da
corrente-livre, e
denotada pela letra grega .
A camada-limite trmica formada devido conduo de calor no fluido
e
diferena de temperatura entre a superfcie do slido e o fluido.
Na interface, as
partculas fluidas possuem a mesma temperatura da superfcie, esto
em equilbrio-
trmico. Por sua vez, essas partculas trocam calor com as
partculas fluidas
adjacentes, e h o desenvolvimento de gradientes de temperatura
no fluido. A regio
do fluido onde esse fenmeno se desenvolve denominada
camada-limite trmica,
e sua espessura t definida pelo valor de y em que a razo
0,99S ST T T T .
2.1.1 Lei de Resfriamento de Newton
A transferncia de calor por conveco regida pela lei de
resfriamento de
Newton, equao (2.1). Segundo essa lei, o fluxo de calor na
interface slido/fluido
diretamente proporcional ao coeficiente convectivo mdio, h , e
diferena entre a
temperatura da superfcie do slido e a temperatura do fluido
ambiente. O
coeficiente convectivo depende das condies da camada-limite, que
so
influenciadas pela geometria da superfcie, pela natureza do
escoamento, e por
-
14
vrias propriedades termodinmicas e de transporte do fluido.
(INCROPERA e DE
WITT, 2008)
'' Sq h T T (2.1)
O coeficiente convectivo mdio pode ser calculado pela integrao
do
coeficiente convectivo local h ao longo da seo da superfcie
slida analisada, de
rea SA , conforme equao (2.2). (INCROPERA e DE WITT, 2008)
1
S
S
S A
h hdAA
(2.2)
Para um problema bidimensional, a equao (2.2) se reduz a
1
L
h hdLL
(2.3)
em que L um comprimento caracterstico de interesse.
A maioria dos problemas de transferncia de calor por conveco
so
problemas de determinao do valor do coeficiente convectivo
mdio.
2.1.2 Conveco Natural
A conveco se divide em conveco forada, conveco natural e
conveco
mista. Na conveco forada o movimento relativo entre o fluido e a
superfcie
mantido por meios externos, tais como ventiladores, sopradores,
bombas. Na
conveco natural, o escoamento originado pelas foras de empuxo
decorrente de
variaes de massa especfica no fluido e presena da acelerao
gravitacional. A
conveco mista caracterizada pela ocorrncia de ambos os
fenmenos.
(INCROPERA e DE WITT, 2008)
No presente trabalho, a variao de massa especfica no fluido
causada por
diferenas de temperatura. Um esquema da conveco natural mostrado
na Figura
9. Um corpo aquecido ( 0T ) est submerso num fluido qualquer (T
). presso
constante, o fluido aquecido se expande, se torna menos denso e
mais leve, e tende
a subir. Por sua vez, o reservatrio de fluido deslocado para
baixo pela massa
aquecida de fluido, formando a clula de conveco livre
mostrada.
-
15
''q
x 0y
y
y H
''q
Resfriamento e
compresso
Movimento do
fluido
Duto
imaginrio
Fluido Frio
reservatrio
Parede
aquecida
QT
Aq
uecim
en
to
e e
xp
an
so
g
Figura 9 Configurao esquemtica da conveco natural (adaptado de
Nield e Bejan, 2009)
O fluido em movimento passa por um ciclo de aquecimento,
expanso,
resfriamento e compresso, de forma similar ao que ocorre numa
mquina trmica.
Na ausncia de trabalho realizado, o fluido se movimenta com tal
velocidade que
todo o potencial de desenvolvimento de trabalho dissipado pelas
foras viscosas
no interior do fluido e na interface com as paredes.
A questo fundamental da transferncia de calor por conveco
natural a
determinao da taxa de transferncia de calor entre a superfcie
slida e o fluido.
Quando os valores das temperaturas so conhecidos, o problema
passa a ser a
determinao do coeficiente convectivo mdio.
2.1.2.1 Aproximao de Boussinesq
Conforme explicado, no presente trabalho a diferena de massa
especfica
causada por diferenas de temperatura em camadas adjacentes de
fluido. A relao
entre as duas propriedades pode ser avaliada pela aproximao de
Boussinesq.
Matematicamente, essa aproximao dada pela equao (2.4) (NIELD e
BEJAN,
2009).
f T T (2.4)
-
16
onde representa o coeficiente de expanso trmico do fluido. A
fora motriz do
escoamento mostrada como decorrente da diferena de temperatura
entre o
reservatrio e a partcula fluida. Caso essa diferena seja nula em
todo o fluido, no
h escoamento.
2.1.2.2 Parmetros adimensionais da conveco natural
O modo de transferncia de calor por conveco abrange dois
mecanismos,
difuso e adveco. A difuso a transferncia de energia devido
movimentao
molecular aleatria. A adveco corresponde ao transporte de calor
devido ao
movimento global do fluido. Logo, o fenmeno da conveco natural
envolve um
balano entre a conduo e a adveco, como ser mostrado na
modelagem
matemtica adiante, seo 3.2.3.
H trs foras de naturezas distintas presentes na camada-limite da
conveco
natural: fora de inrcia, fora cisalhante e fora de empuxo. A
conveco natural
governada pelo balano dessas foras. A competio entre foras de
inrcia e foras
viscosas determinada pelo nmero de Prandtl, uma propriedade do
fluido definida
pela equao (2.5), em que representa a viscosidade cinemtica e
a
difusividade trmica. Fluidos com alto valor de nmero de Prandtl
formam uma
camada-limite hidrodinmica governada pelas foras viscosas e de
empuxo,
enquanto que fluidos com baixo valor de nmero de Prandtl formam
uma camada-
limite hidrodinmica governada pelas foras de inrcia e de
empuxo.(BEJAN, 2009)
Pr
(2.5)
-
17
Figura 10 Esquema de desenvolvimento para nmero de Prandtl ( Pr
) baixo (acima) e alto (abaixo) (adaptado de Nield e Bejan,
2009)
Os grficos da Figura 10 ilustram a relao entre a camada limite
trmica e a
camada limite hidrodinmica para nmeros de Prandtl baixo e alto.
Para valores de
Prandtl elevados, a espessura da camada-limite hidrodinmica
consideravelmente
maior que a espessura da camada-limite trmica, devido elevada
viscosidade.
Nesse caso, parte do fluido da camada-limite est em movimento
sem estar sob
influncia da fora de empuxo. Nessa regio, h apenas o balano da
fora de
inrcia e da fora viscosa. Na regio da camada-limite trmica, T ,
h a
predominncia da fora de empuxo e da fora viscosa.
Para valores de Prandtl baixos, no interior da camada de
espessura T o fluido
elevado pela fora de empuxo e retardado pela inrcia. Fora de T ,
onde o fluido
isotrmico e no h fora de empuxo, o fluido no sofre movimentao. O
perfil de
-
18
velocidade deve ser to largo quanto o perfil de temperatura.
Devido condio de
no deslizamento, h uma camada V de espessura mnima onde h a
predominncia da fora de empuxo e da fora viscosa.
Outro parmetro adimensional de importncia para a transferncia de
calor por
conveco natural o nmero de Grashof, definido na equao (2.6).
Esse
parmetro est relacionado intensidade do escoamento. Quanto maior
seu valor,
maiores as velocidades envolvidas. Fisicamente, o nmero de
Grashof uma
medida da razo entre a fora de empuxo e as foras viscosas que
atuam no fluido
Matematicamente, esse parmetro obtido pela adimensionalizao da
equao de
conservao de quantidade de movimento, seo 3.2.2.
3
2
Sg T T LGr
(2.6)
Na equao (2.6) g a gravidade e o coeficiente de expanso
trmica.
prtica comum em estudos de conveco natural utilizar-se o
parmetro
adimensional nmero de Rayleigh para se referir intensidade da
conveco
natural. O nmero de Rayleigh obtido pela multiplicao dos nmeros
de Prandtl e
de Grashof, equao (2.7).
3
PrQ ambg H T T
Ra Gr
(2.7)
2.1.2.3 Forma Funcional da Soluo da Conveco Natural e Nmero de
Nusselt
De acordo com Incropera e de Witt (2008), desconsiderando os
efeitos da
geometria, a soluo da conveco natural funo exclusiva do nmero
de
Grashof e do nmero de Prandtl, ou seja, , PrT f Gr .
Na superfcie de troca trmica slido-fluido, as taxas de
transferncia de calor
ou fluxo de calor por conveco e por conduo devem ser iguais. No
fluido, o fluxo
de calor por conduo pode ser avaliado pela lei de Fourier, equao
(2.8).
0
" fy
Tq k
y
(2.8)
Substituindo a equao (2.1) na equao (2.8) chega-se a
-
19
0
S f
y
Th T T k
y
(2.9)
Para obterem-se os parmetros de similaridade da camada-limite
para a
conveco natural, Incropera e de Witt (2008) sugerem a
adimensionalizao das
variveis geomtricas e de temperatura conforme as equaes (2.10) e
(2.11).
x y
X YL L
(2.10)
S
S
T T
T T
(2.11)
Substituindo as equaes (2.10) e (2.11) na equao (2.9), chega-se
relao
0Yf
hL
k Y
(2.12)
A razo fhL k denominado nmero de Nusselt local,
0Yf
hLNu
k Y
(2.13)
Esse parmetro de grande importncia no estudo da conveco natural,
pois
representa uma medida da intensidade da transferncia de calor
que ocorre em
determinado ponto na superfcie. Fisicamente, o nmero de Nusselt
diretamente
proporcional ao coeficiente h e inversamente proporcional
condutividade trmica
do fluido.
O nmero de Nusselt local pode ser integrado ao longo do
comprimento
caracterstico L , usando-se a definio de coeficiente convectivo
mdio, equao
(2.3), obtendo-se o nmero de Nusselt mdio,
0
1
Yf L
hLNu dL
k L Y
(2.14)
2.2 Reviso da Literatura
Nessa seo ser realizada uma breve reviso da literatura acerca
do
problema da transferncia de calor em cavidades. O objetivo no
revisar todos os
-
20
trabalhos j desenvolvidos sobre esse tema, apenas os artigos
considerados
relevantes e que contriburam no entendimento da conveco natural
em cavidades
abertas heterogneas.
Os efeitos da transferncia de calor por conveco natural vm
sendo
estudados desde o incio do sculo XX, tendo incio com Brnard
(1901) e Rayleigh
(1916). A partir de 1970, devido em grande parte maior
facilidade de acesso ao
computador e melhoria de tcnicas computacionais e de mtodos
numricos, alm
da importncia do fenmeno da conveco em vrias aplicaes da
engenharia,
uma grande quantidade de estudos vem sendo realizada a respeito
do tema.
Penot (1982) examinou uma cavidade isotrmica horizontal usando
a
aproximao de Boussinesq para o termo de empuxo. Le Qure et al
(1981),
estudando a mesma geometria e a mesma configurao de variveis
concluram
que, a partir de determinado nmero de Grashof (razo entre o
nmero de Rayleigh
e o nmero de Prandtl), 610Gr , as regies aquecidas prximas
parede inferior da
cavidade tornam o escoamento instvel, e o problema no mais
apresenta soluo
em regime permanente. Eles estudaram tambm os efeitos que a
mudana da
inclinao da cavidade causa na transferncia de calor. Em ambos os
estudos foram
usados domnios computacionais estendidos, tornando desnecessria
uma
avaliao mais cuidadosa das condies de contorno na entrada do
domnio.
Chan e Tien (1985a) realizaram um relevante estudo da conveco
natural
em regime laminar numa cavidade aberta bidimensional quadrada
com a parede
vertical aquecida e as paredes horizontais adiabticas. Foram
obtidos resultados
para 310Ra a 910Ra e nmero de Prandtl unitrio. Os resultados da
transferncia
de calor se aproximam daqueles encontrados para uma placa plana
vertical
aquecida, especialmente para nmeros de Rayleigh mais elevados.
Uma zona de
recirculao foi observada na regio de entrada da cavidade devido
abrupta
mudana de direo do escoamento do fluido. Abaixo da parede
isotrmica superior,
o escoamento apresentou estratificao trmica horizontal, com a
formao
subsequente de uma pluma na sada da cavidade. Devido ao no
conhecimento das
condies de contorno na entrada, o domnio numrico foi
estendido.
No mesmo ano, Chan e Tien (1985b) avaliaram a transferncia de
calor numa
cavidade aberta retangular, estendida na horizontal, com condies
de contorno
-
21
similares s utilizadas no estudo anterior (CHAN E TIEN, 1985a).
Desta vez,
entretanto, empregaram um domnio computacional restrito ao
interior da cavidade,
com a finalidade de reduo do custo computacional das simulaes.
Essa nova
abordagem fiel quanto intensidade das trocas de calor na
cavidade,
especialmente para uma cavidade alongada. Algumas discrepncias
foram
observadas na regio da entrada, onde no foram verificadas as
mudanas de
direo no fluido nem as regies de recirculao. Eles obtiveram
resultados para
310Ra a 910Ra e Pr 7 . Para baixos valores de Ra , os resultados
para nmero
de Nusselt ficaram prximos de um, indicando um processo de
transferncia de calor
predominantemente condutivo. Conforme o valor de Ra aumenta, o
nmero de
Nusselt mdio se aproxima dos obtidos para a placa vertical
plana.
House et al. (1990) fizeram um dos primeiros estudos sobre a
transferncia
de calor em cavidades heterogneas. Eles investigaram o efeito
que um bloco
condutivo slido e rgido posicionado no centro da cavidade
quadrada fechada
exerce na transferncia de calor. A anlise revelou que o
escoamento do fluido e a
intensidade das trocas trmicas so governados pelos nmeros de
Rayleigh e
Prandtl, pelo tamanho adimensional do bloco e pela razo de
condutividade trmica
slido-fluido. Eles apresentaram resultados para Pr 0,71 e para
uma ampla gama
dos demais parmetros. A intensidade da transferncia de calor,
representada pelo
nmero de Nusselt mdio, pode ser favorecida ou desfavorecida
dependendo da
razo de condutividade trmica slido-fluido, e a influncia fica
mais pronunciada
com o aumento do tamanho do bloco. Oh et al. (1997) deram
prosseguimento ao
trabalho e analisaram a cavidade com um bloco com gerao de calor
em seu
interior.
Bhave et al. (2006), no estudo de uma geometria semelhante,
verificaram a
influncia do aumento do bloco adiabtico e sem gerao de energia
no interior da
cavidade com a inteno de encontrar um tamanho timo que
intensificasse a
transferncia de calor. Eles apresentaram resultados para 310Ra a
610Ra e trs
valores de Prandtl, Pr 0,071 , Pr 0,71 e Pr 7,1 . Eles
observaram que o valor de
nmero de Nusselt mdio aumenta at um valor mximo com o aumento
do
tamanho do bloco. Aps determinado tamanho, o bloco se torna
maior que a rea
dominantemente condutiva original, diminuindo a vazo mssica de
fluido em
-
22
conveco. O valor do nmero de Nusselt pode aumentar em at 10%,
dependendo
do tamanho do bloco. Eles propuseram relaes matemticas para
predizer o
tamanho de bloco timo.
Merrikh e Lage (2005) investigaram a conveco natural em uma
cavidade
horizontal aquecida lateralmente, preenchida por obstculos
slidos quadrados
igualmente espaados, condutivos e desconexos. O efeito
dispersivo do constituinte
slido foi isolado pelo aumento do nmero de blocos mantendo uma
porosidade
constante. Eles apresentaram resultados para uma ampla gama de
nmero de
Rayleigh e de razo de condutividade trmica slido-fluido. O
efeito de obstruo do
escoamento e de influncia nas taxas de transferncia de calor se
mostrou
dependente de um nmero mnimo de blocos, para cada Ra . Uma
expresso
analtica que prediz esse nmero mnimo de blocos que causa a
interferncia da
camada limite pela fase slida foi apresentada.
De Lai et al. (2008) estudaram a mesma geometria, porm variaram
a
porosidade. Foram avaliados os efeitos que a variao da
condutividade trmica
slido-fluido, da porosidade, do nmero de blocos, e do nmero de
Rayleigh
exercem sobre a intensidade de transferncia de calor,
representada pelo nmero
de Nusselt mdio. Os resultados mostraram que uma maior
proximidade dos blocos
das paredes verticais isotrmicas, obstruindo o escoamento na
camada limite, pode
tanto aumentar ou diminuir o nmero de Nusselt, dependendo da
razo de
condutividade trmica.
Braga e de Lemos (2005) compararam duas formas de abordagem para
a
obteno de solues numricas da conveco natural ou turbulenta
dentro de uma
cavidade preenchida por uma quantidade fixa de material slido
condutivo. No
primeiro modelo, modelo do poro-contnuo ou macroscpico, o meio
slido e o meio
fluido so vistos como um meio nico, onde so aplicadas as equaes
de
transporte baseadas em mdias volumtricas. No segundo modelo,
modelo contnuo
ou microscpico, as equaes de transporte so resolvidas
separadamente para a
fase slida e para a fase fluida. Em ambas as abordagens, foi
utilizado o mtodo dos
volumes finitos para a soluo. Chegou-se concluso de que, para
mesmo nmero
de Rayleigh, os valores de nmero de Nusselt mdio para as duas
abordagens so
diferentes, e essa diferena aumenta com a diminuio do nmero de
Darcy (modelo
poro-contnuo) ou com o aumento do nmero de blocos (modelo
contnuo).
-
23
Yedder e Erchiqui (2009) investigaram a conveco natural numa
cavidade
fechada porosa aquecida por baixo e resfriada pelas laterais.
Variaram-se os
parmetros nmero de Rayleigh, razo de aspecto da cavidade e o
perfil de
temperatura na parede resfriada, que assumiu ou forma senoidal,
ou linear. Os
resultados mostram que o escoamento na cavidade basicamente
unicelular para
perfis lineares de temperatura nas paredes resfriadas. Para um
perfil senoidal, o
escoamento se torna bicelular.
Mais recentemente, Oztop et al (2011) realizaram o estudo da
conveco
natural numa cavidade parciamente aberta preenchida por um meio
poroso,
adotando-se a abordagem macroscpica. O problema foi considerado
em regime
permanente. Foi verificado que com o aumento do nmero de
Grashof, a
temperatura nas regies da parede aquecida diminuem, e
consequentemente so
observados valores maiores de nmero de Nusselt local em qualquer
ponto da
parede aquecida.
Prakash et al. (2012) voltaram ao estudo da conveco natural em
cavidades
abertas homogneas. Entretanto, a geometria do problema
tridimensional, e trs
formatos diferentes de cavidade foram investigados: cbico,
esfrico e semiesfrico.
Foi analisado o comportamento da conveco natural quando so
variados a razo
de aspecto da abertura da cavidade, a sua inclinao e o nmero de
Rayleigh. Foi
apresentada uma correlao para o nmero de Nusselt em funo
desses
parmetros.
O presente trabalho pretende, portanto, dar continuidade a esses
estudos da
transferncia de calor em cavidades abertas heterogneas. A anlise
a ser
desenvolvida muito similar quela realizada por Merrick e Lage
(2005) para a
cavidade fechada. Ser avaliado o efeito que a variao do nmero de
blocos, do
nmero de Rayleigh e da razo de condutividade trmica slido-fluido
causam nas
transferncias de calor. Alm do nmero de Nusselt, outro resultado
de interesse a
vazo volumtrica adimensional de fluido que adentra a
cavidade.
-
24
3 MODELAGEM MATEMTICA
Equation Chapter (Next) Section 1
Neste captulo sero apresentadas as equaes de conservao para
o
problema da conveco natural, quais sejam: a equao da conservao
da massa,
a equao da conservao da quantidade de movimento e a equao da
conservao da energia. A formulao ser realizada para o meio
heterogneo,
abordagem microscpica. Sero apresentadas as hipteses
simplificadores
adotadas para o problema em estudo e as condies de contorno para
as cavidades
aberta e fechada.
Pela soluo dessas equaes, fica determinado o campo de
temperatura,
presso e velocidade do problema de conveco natural.
3.1 Hipteses Simplificadoras
Nesta seo so numeradas as hipteses que sero aplicadas para
simplificar as equaes de conservao.
i) Problema bidimensional
A Figura 7 ilustra a geometria da cavidade aberta e o detalhe do
interior da
cavidade para o meio heterogneo. Conforme mostrado, o problema
est sendo
tratado como bidimensional, envolve apenas duas coordenadas, x e
y . Os
resultados obtidos por essa anlise podem ser estendidos para
aplicaes que
envolvam a terceira coordenada cartesiana caso os efeitos de
borda possam ser
negligenciados, como, por exemplo, caso a largura da cavidade
seja suficientemente
maior que sua altura e comprimento.
ii) Regime Permanente
O problema ser tratado como em regime permanente. Os termos
que
envolvem o tempo sero descartados na formulao matemtica do
problema.
iii) Escoamento laminar
De acordo com Bejan e Lage (1990), para uma placa plana
vertical, a
transio do regime de escoamento de laminar para turbulento
ocorre na posio em
-
25
que Gr aproximadamente igual a 910 . Esse critrio universal pode
ser expresso
tambm em termos do nmero de Rayleigh. Logo, para que haja regime
laminar,
9Pr 10Ra Gr (3.1)
No presente trabalho, o nmero de Prandtl ser considerado
unitrio, e sero
avaliados nmeros de Rayleigh de 510 a 810 . Apesar de essa relao
ser vlida para
uma placa plana vertical, a hiptese pode ser aplicada no estudo
da conveco em
cavidades, devido ao aquecimento da parede vertical.
iv) Fluido newtoniano
O fluido de trabalho ser tratado como newtoniano, o que equivale
a dizer que
a taxa de deformao de uma partcula fluida linearmente dependente
das tenses
cisalhantes (GRAEBEL, 2007). Vrios fluidos de aplicao na
engenharia so
considerados fluidos newtonianos em condies normais. Logo, a
presente hiptese
aplicvel e abrangente no problema da conveco natural.
v) Fluido incompressvel
A massa especfica do fluido ser tratada como constante, exceto
na
avaliao do termo de empuxo. Essa hiptese tambm pode ser
utilizada para
diversos fluidos nas condies de baixo gradiente de presso como
os encontrados
na conveco natural.
vi) Propriedades fsicas constantes
Alm da massa especfica, todas as demais propriedades do fluido,
como
viscosidade, condutividade trmica, difusividade, coeficiente de
expanso trmica,
sero tratadas como invariveis.
vii) Dissipao viscosa e trabalho de compresso desprezveis
A dissipao viscosa ocorre pela converso de energia mecnica em
energia
trmica. A dissipao viscosa consequncia das tenses cisalhantes no
fluido, e
mais pronunciada quanto maior os gradientes de velocidade
envolvidos ou quanto
maior a viscosidade do fluido. No caso da conveco natural, os
gradientes de
velocidade so baixos e a dissipao viscosa pode ser
negligenciada.
-
26
Pela hiptese de fluido incompressvel, temos que o trabalho de
compresso
nulo.
viii) No h gerao de energia
Ser considerado na equao de conservao de energia que no h
gerao de energia no problema.
ix) A gravidade atua apenas na direo y
A cavidade est sendo considerada na posio vertical. A gravidade
no
possui efeito na direo horizontal.
3.2 Equaes Governantes da Conveco Natural
Nesta seo sero apresentadas as equaes de balano para o processo
de
conveco natural, adotando-se as hipteses numeradas na seo
3.1.
3.2.1 Equao de conservao da massa
Para obter equaes locais que sejam vlidas em qualquer ponto do
fluido, um
volume de forma arbitrria abstrado, chamado volume de controle.
Um volume de
controle um artifcio usado na anlise de escoamentos de fluidos
para avaliar
balanos de massa, quantidade de movimento e energia. Possui
normalmente uma
forma fixa e referenciado a um sistema de coordenadas. A
fronteira do volume de
controle denominada superfcie de controle, por onde o fluido
pode entrar ou sair.
A massa especfica e a velocidade do fluido no interior do volume
de controle podem
variar com o espao ou com o tempo.
Um enunciado da conservao de massa a taxa lquida de fluxo de
massa
para fora da superfcie de controle somada taxa de variao de
massa dentro do
volume de controle deve ser nula. Matematicamente, esse
enunciado pode ser
escrito como (FOX e MCDONALD, 2006):
0V (3.2)
onde o operador vetorial (eq. (3.3)) e V o vetor velocidade
(equao (3.3)).
e e ei j kx x x
(3.3)
-
27
e e ei j kV u v w (3.4)
Pelas hipteses adotadas de regime permanente, fluido
incompressvel e
problema bidimensional, a equao da conservao de massa
simplificada para
0u v
x y
(3.5)
3.2.2 Equao de conservao da quantidade de movimento
A equao da conservao da quantidade de movimento pode ser obtida
pela
aplicao da segunda lei de Newton a uma partcula fluida
infinitesimal de massa
dm . Essa lei enuncia que a taxa temporal de variao da
quantidade de movimento
num sistema proporcional fora resultante aplicada.
As foras a que uma partcula fluida est submetida so de duas
naturezas
distintas: foras de corpo e foras de contato. No presente
estudo, a fora de corpo
devida ao efeito gravitacional, enquanto que a fora de contato
devida s tenses
cisalhantes e normais. Aplicando as hipteses de fluido
newtoniano, de escoamento
incompressvel e de viscosidade constante, a equao da conservao
da
quantidade de movimento pode ser escrita como (NIELD e BEJAN,
2009)
2v
vf f fD
p gDt
(3.6)
Considerando o problema como bidimensional e aplicando a
aproximao de
Boussinesq, a lei da conservao da quantidade de movimento para
uma partcula
fluida ento escrita nas direes x e y como:
na direo x
2 2
2 2
1f
f
u u p u uu v
x y x x y
(3.7)
na direo y
2 2
2 2
1f ref
f
v v p v vu v g T T
x y y x y
(3.8)
Uma vez que a gravidade atua na direo y , o termo de empuxo
aparece
apenas em (3.8).
-
28
3.2.3 Equao da conservao da energia
A primeira lei da termodinmica aplicada a um volume de controle
enuncia
que a variao da energia acumulada num volume de controle somada
ao
trabalho lquido realizado pelo volume de controle no seu
ambiente deve se
igualar transferncia de energia movimentada pelo fluido
somada
transferncia de energia por conduo e gerao de energia interna.
A
formulao da equao da conservao de energia dada por (BEJAN,
2009)
'''p fDT DP
c k T q TDt Dt
(3.9)
onde pc o calor especfico presso constante, a funo dissipao
viscosa
e '''q a taxa de gerao interna de energia.
Aplicando as hipteses de fluido incompressvel, de dissipao
viscosa
desprezvel, de propriedades do fluido constantes e de regime
permanente, a
equao (3.9) pode ser escrita para as fases fluida e slida
como
Fase fluida
2 2
2 2f
T T T Tu v
x y x y
(3.10)
Fase slida
2 2
2 20 S
T T
x y
(3.11)
Na equao (3.10) fica claro o balano entre a conveco, lado
esquerdo da
igualdade, e conduo, lado direito.
3.3 Adimensionalizao das Equaes Governantes
Nesta seo, as equaes governantes da conveco natural sero
adimensionalizadas. No final do processo de adimensionalizao
ficar claro quais
os parmetros adimensionais de interesse no problema.
Para a adimensionalizao das equaes dominantes, sero utilizados
os
seguintes parmetros adimensionais (CHAN e TIEN, 1985):
para as coordenadas espaciais
-
29
,
,x y
X YH
(3.12)
para as componentes da velocidade
,
,f
u v HU V
(3.13)
para a presso
2
2
f
pHP
(3.14)
para a temperatura
H
T T
T T
(3.15)
Substituindo as equaes (3.12) a (3.15) nas equaes de conservao
obtemos
3.3.1 Equao da conservao da massa adimensionalizada
0U V
X Y
(3.16)
3.3.2 Equao da conservao da quantidade de movimento
Na direo X :
2 2 2
2 2
VUU P U UPr
X Y X X Y
(3.17)
Na direo Y :
2 2 2
2 2
UV V P V VPr RaPr
X Y Y X Y
(3.18)
3.3.3 Equao da conservao da energia
Para a fase fluida:
-
30
2 2
2 2
U V
X Y X Y
(3.19)
Para a fase slida:
2 2
2 20
X Y
(3.20)
Pelas equaes (3.16) a (3.20), observa-se que os parmetros Ra e
Pr so
determinantes na conveco natural, conforme discutido na seo
2.1.2.
Alm desses parmetros, a equao (3.20) mostra mais dois parmetros
de
interesse, a razo de condutividade trmica slido-fluido (eq.
(3.21)), e a razo da
capacidade trmica slido-fluido (eq. (3.22)).
S
f
k
k (3.21)
p S
p f
c
c
(3.22)
3.4 Condies de contorno
A cavidade quadrada aberta e as condies de contorno so
mostradas
esquematicamente na Figura 11.
-
31
Figura 11 Representao esquemtica da cavidade aberta quadrada com
o domnio heterogneo e condies de contorno; detalhe do bloco slido
direita.
A parede vertical interna cavidade mantida isotrmica e sob a
temperatura
constante e igual a
1Q (3.23)
A energia trmica que transferida ao fluido provm dessa parede
vertical. O
fluido temperatura ambiente retira calor da parede aquecida, tem
sua massa
especfica diminuda e movimenta-se em direo contrria gravidade
devido
fora de empuxo.
As demais paredes so adiabticas, ou seja, o fluido no perde nem
recebe
calor nessas posies. Matematicamente, isso equivale a
0Y
(3.24)
0X
(3.25)
-
32
Nas aberturas horizontais, ao sul e ao norte da cavidade, so
aplicadas as
condies (CHAN e TIEN, 1985)
0U V
Y Y
(3.26)
0out inY
(3.27)
0P (3.28)
Na abertura vertical, so aplicadas condies de contorno anlogas s
das
aberturas horizontais (CHAN e TIEN, 1985)
0U
VX
(3.29)
0in (3.30)
0P (3.31)
Na interface slido-fluido, as temperaturas de ambas as fases
devem ser as
mesmas, conforme equao (3.32). Ainda, um balano de energia numa
seo
infinitesimal da superfcie do slido indica que os fluxos de
calor por conduo no
fluido e no slido devem ser iguais, o que representado pela
equao (3.33).
f s (3.32)
f Sn n
(3.33)
Em todas as paredes e nos blocos slidos foi aplicada a condio de
no
deslizamento, equao (3.34) .
0U V (3.34)
3.5 Funo linha de corrente
No decorrer do trabalho, ser utilizado o conceito de linhas de
corrente para a
visualizao do escoamento. As linhas de corrente so linhas
tangentes ao vetor
velocidade em qualquer ponto do domnio, e permitem a visualizao
da trajetria do
-
33
escoamento para um problema em regime permanente. A funo linha
de corrente
na forma adimensional definida matematicamente pela equao
(3.35).
1 1
, , 1 1,
J i
j i
Y X
i j i j i j
Y X
UdY VdX
(3.35)
sendo i e j as posies dos ns da malha nas direes x e y ,
respectivamente.
Resumo do captulo:
Neste captulo foram apresentadas as equaes governantes do
problema da
conveco natural, simplificadas pelas hipteses discutidas e
adimensionalizadas
utilizando-se parmetros sugeridos na literatura. Foram
enumeradas ainda as
condies de contorno utilizadas, tambm respaldadas na literatura.
Foi exposto que
os parmetros fsicos adimensionais de interesse so o nmero de
Prandtl, o
nmero de Rayleigh, a razo de condutividade trmica slido-fluido e
a razo de
capacidade trmica slido-fluido. A Tabela 1 e apresenta um resumo
das equaes
governantes adimensionalizadas.
Tabela 1 Equaes dominantes adimensionais
Nmero da
equao
Equao de
conservao
adimensionalizada
Expresso adimensional
(3.16) Massa 0U V
X Y
(3.17) Quantidade de
movimento na direo x
2 2 22 2
VUU P U UPr
X Y X X Y
(3.18) Quantidade de
movimento na direo y
2 2 22 2
UV V P V VPr RaPr
X Y Y X Y
(3.19) Energia para a fase
fluida
2 22 2
U V
X Y X Y
(3.20) Energia para a fase
slida
2 2
2 20
K
X Y
-
34
4 MODELAGEM NUMRICA
EQUATION CHAPTER (NEXT) SECTION 1
Nesse captulo ser apresentado o tratamento numrico das equaes
de
balano, seo 3.2, a forma de discretizao do domnio e algumas
particularidades
como esquema de interpolao e mtodos de acoplamento
presso-velocidade.
O mtodo numrico para discretizao das equaes governantes
empregado
pelo programa DFC o Mtodo dos Volumes Finitos (MVF) (PATANKAR,
1980).
Nesse mtodo, o domnio fsico dividido em diversos volumes de
controle
adjacentes. As grandezas escalares, como temperatura e presso,
so avaliadas no
centro de cada um deles, enquanto que as grandezas vetoriais so
avaliadas nas
faces. Como forma de soluo, as equaes de transporte so
integradas em cada
volume de controle, formando um sistema algbrico de equaes
lineares que pode
ser resolvido com o auxlio computacional.
As equaes de transporte para um volume de controle diferencial,
de forma
geral, podem ser escritas como
V S (4.1)
Na equao (4.1) em que cada termo possui o seguinte significado
fsico:
( )
t
Taxa temporal de acmulo da propriedade fsica associada varivel
;
V Transporte convectivo da propriedade fsica associada varivel
;
Transporte difusivo da propriedade fsica associada varivel ;
S Termo fonte, que contm o que ainda no foi representado das
equaes de
transporte.
-
35
onde pode representar uma varivel escalar ou vetorial, o
coeficiente de
difuso associado a essa varivel.
Para o escoamento de fluidos newtonianos, incompressveis e de
viscosidade
constante, o coeficiente de difuso e o termo fonte S so
definidos na Tabela 2.
Tabela 2. Valores de e S para a varivel .
Equao S
Continuidade 1 0 0
Quantidade de
movimento em x u
p
x
Quantidade de
Movimento em y v
pg T T
y
Energia para a
fase fluida T
f
f
p
k
c 0
Energia para a
fase slida T
S
S
p
k
c 0
Aps a integrao da equao (4.1) em um volume de controle,
obtm-se
(PATANKAR, 1980):
1
( ) ( )n n
f f f
f
V A J n S Vt
(4.2)
onde J representa o fluxo total da varivel pela face f ,
definido na equao (4.3)
, fA a rea da face f e fn seu vetor normal e unitrio.
fJ V (4.3)
-
36
A equao (4.2) representa, portanto, a equao integrada geral
que
efetivamente resolvida pelo programa DFC para cada volume de
controle.
Conforme apresentado na Tabela 2, as equaes de conservao de
quantidade de movimento dependem do gradiente de presso em
determinado
ponto do escoamento. Entretanto, no h equao explcita para o
clculo da
presso, o que torna necessrio um mtodo de soluo conjunta dos
campos de
presso e velocidade, denominado mtodo de acoplamento
presso-velocidade.
Basicamente, o clculo da presso realizado por sucessivas correes
de forma
que as equaes da quantidade de movimento satisfaam o balano de
massa. O
programa DFC utiliza o mtodo SIMPLEST.(PATANKAR, 1980)
Para expressar o valor da varivel nas faces e nos centros de
cada volume
de controle, utilizada uma funo de interpolao. O programa DFC
utiliza o
esquema hbrido para os termos convectivos, uma combinao dos
mtodos de
diferena centrada e Upwind. (PATANKAR, 1981).
A convergncia da soluo monitorada pelo critrio de controle de
resduos
de Spalding (1994), em que a soma dos valores absolutos dos
resduos locais entre
duas iteraes sucessivas deve ser menor que um determinado valor,
normalmente
da ordem de 510 ou 610 , para que a soluo seja considerada
convergida. No
presente trabalho adotou-se o valor 610 para a soma dos resduos
absolutos de
cada varivel (U , V , P , q ).
O APNDICE C apresenta o cdigo do arquivo de entrada para o
programa
DFC, denominado q1, onde foram realizadas as implementaes
numricas para o
presente estudo.
-
37
5 VALIDAO DO CDIGO DO PROGRAMA DFC
EQUATION CHAPTER (NEXT) SECTION 1
Nesse captulo ser realizada a etapa de validao necessria para
verificar as
rotinas numricas implementadas no programa DFC, em especial para
o clculo do
nmero de Nusselt, da funo linha de corrente e da vazo volumtrica
adimensional
de entrada de fluido na cavidade aberta, definida na seo 5.3. No
ser a inteno
nessa etapa do trabalho discutir os fenmenos fsicos que ocorrem
em cada caso
estudado. Apenas ser realizada a comparao dos resultados
encontrados no
presente trabalho com solues de referncia na literatura, e
discutidos alguns
aspectos de teste de sensibilidade de malha.
5.1 Cavidade Fechada sem Blocos
O problema da conveco natural em uma cavidade quadrada
fechada
aquecida lateralmente um problema clssico da literatura.
Normalmente, ele
utilizado como uma forma de validao das rotinas numricas
desenvolvidas para a
soluo da conveco natural em cavidades.
A Figura 12 apresenta a geometria da cavidade quadrada fechada e
as
condies de contorno adimensionais. A nica substncia presente no
interior da
cavidade o fluido em escoamento. Conforme mostrado, a cavidade
possui
dimenses unitrias. A origem das coordenadas adimensionais X e Y
est situada
no canto esquerdo inferior da geometria. A cavidade delimitada
por quatro
paredes, duas paredes verticais termicamente ativas e duas
paredes horizontais
adiabticas.
/ 0Y
/ 0Y
g
,X U
,Y V
Q
F
(0,0) (1,0)
(0,1)
Figura 12. Cavidade fechada horizontal. Geometria e condies de
contorno.
-
38
O estudo da conveco natural na cavidade quadrada fechada sem
blocos foi
feito tomando-se como base o trabalho de Hortmann et al (1990),
considerado pela
literatura uma soluo de referncia para esse problema. Esses
pesquisadores
apresentaram um procedimento multigrid para a investigao
numrica. Esse
mtodo consiste em utilizar os campos de velocidade, temperatura
e presso obtidos
em malhas imediatamente mais grossas como campos de inicializao
das
iteraes. Aps aplicado o multigrid, a malha refinada
sucessivamente at
obterem-se resultados abaixo de um erro admissvel.
Hortmann et al. (1990) apresentam resultados para mNu , mxNu
(nmero de
Nusselt local mximo na parede aquecida), maxNuY (posio em Y de
mxNu ), mxV
(componentes vertical mxima da velocidade no plano 0,5Y ) e mxU
(componentes
horizontal mxima da velocidade no plano 0,5X ). No APNDICE A so
mostrados
os resultados encontrados para essas variveis por essa soluo de
referncia e
pela presente soluo para 510Ra e 610Ra , Pr 1 .
A Tabela 3 apresenta uma comparao do nmero de Nusselt na
parede
aquecida entre a soluo de Hortmann et al (1990) e do presente
trabalho. Apenas
os valores de mNu so mostrados, por esse ser o principal
parmetro de anlise da
transferncia de calor por conveco natural.
Tabela 3 Comparao de mNu para refino de malha computacional
Ra malha Hortmann et
al. (1990) [presente] EP [%]
510
4040 4,617 4,624 0,152
8080 4,545 4,552 0,154
160160 4,528 4,522 0,133
320320 4,523 4,525 0,044
610
4040 9,422 9,416 0,064
8080 8,977 8,960 0,189
160160 8,863 8,864 0,011
320320 8,835 8,836 0,011
-
39
Na Tabela 3, EP representa o erro percentual entre a soluo do
presente
trabalho e a soluo de referncia de Hortmann et al. (1990), e
definido pela
equao (5.1).
100ref
i
ref
EP
(5.1)
onde representa o resultado de interesse e o subscrito ref est
relacionado
soluo de referncia.
Os baixos valores de EP , abaixo de 0,2%, apresentados na Tabela
3 levam
concluso de que a modelagem do problema realizada no programa
DFC vlida.
Outro ponto importante na comparao dos resultados entre a
presente
soluo e a adotada como referncia a validao da metodologia
adimensional
utilizada nas simulaes realizadas em todo este trabalho.
Hortmann et al (1990) consideraram a geometria do problema e
as
propriedades do fluido de forma dimensional. Logo, utilizando o
mesmo fluido, o
nmero de Rayleigh do escoamento s pode ser alterado pela alterao
das
dimenses da cavidade. No presente trabalho optou-se pela variao
das
propriedades do fluido, calculados em funo dos parmetros
adimensionais Ra e
Pr desejados, mantendo-se a geometria com dimenses unitrias.
Isso facilitou a
modelagem da geometria e a definio da malha numrica de todas as
cavidades
investigadas.
5.2 Cavidade Fechada Heterognea
O modelo microscpico do meio heterogneo foi verificado
levando-se em
considerao o problema clssico da cavidade horizontal quadrada e
fechada com a
presena de um bloco slido, fixo, rgido e condutivo centralizado
em seu interior. A
geometria do problema e as condies de contorno adimensionais so
mostradas na
Figura 13.
-
40
/ 0Y
/ 0Y
g
,X U
,Y V
Q
C
(0,0) (1,0)
(0,1)
D
Figura 13. Cavidade fechada horizontal heterognea, com a presena
de um bloco em seu interior.
A malha utilizada na cavidade uniforme com 320320 volumes de
controle.
A Tabela 4 mostra os resultados obtidos no programa DFC para mNu
e as solues
de referncia encontradas na literatura.
Tabela 4. Resultados de mNu obtidos pela presente soluo e por
solues de referncia
encontradas na literatura para a cavidade quadrada e fechada com
um bloco.
Ra D Zhao et
al (2007)
Das e Reddy (2006)
Lee e Ha
(2005)
Bhave et al
(2006)
Merrikh e Lage (2005)
House et al
(1990)
[presente]*
Pr =0,71
510 0,5 0,2 4,554 4,621 4,631 4,645 4,605 4,624 4,625
5 4,062 4,308 4,308 4,338 4,280 4,324 4,320
610 0,9 0,2 - - - 2,326 2,352 2,402 2,417
5 - - - - - 3,868 3,811
Nota: * Malha 320320
Pela comparao dos dados apresentados na Tabela 4, conclui-se que
o
cdigo implementado neste trabalho para a soluo da conveco
natural em meio
heterogneo sob a abordagem microscpica vlido. Os erros
percentuais ficam
menores que 1%.
5.3 Cavidade Aberta Homognea
At o presente momento, foi validada a conveco natural numa
cavidade
fechada com a presena de blocos ou no. Para a simulao da conveco
natural
-
41
na cavidade aberta com blocos, ainda necessria a validao das
condies de
contorno utilizadas nas aberturas do domnio, e um estudo das
dimenses
necessrias do ambiente externo cavidade para que o problema seja
bem
representado.
Com esse propsito, ser estudada a conveco natural numa
cavidade
aberta homognea, tomando-se como base o trabalho de Chan e Tien
(1985). A
Figura 14 apresenta a geometria do problema e as condies de
contorno
adimensionais utilizadas.
Assim como nas demais cavidades estudadas at aqui, a cavidade
quadrada
aberta apresenta dimenses unitrias. As dimenses totais do domnio
numrico so
3L H , em que 1L H . A gravidade aplicada no sentido Y . A
parede interna
vertical da cavidade mantida isotrmica 1Q . Na Figura 14 as
linhas tracejadas
representam aberturas por onde o fluido pode entrar ou sair do
domnio de soluo.
1
3
4
2
(1) e (2): 0/ X ;
(3) e (4): 0/ Y
0out inU V
PY Y Y
0inU
V PY
0U V
X X
0P
Y
2H
X
2L
H
L
2H
g Q
0out inX
Figura 14. Geometria e condies de contorno para a cavidade
aberta sem blocos
-
42
Para a soluo desse problema, foi realizado um estudo de malha
para
310Ra a 910Ra . A malha utilizada no uniforme, seguindo o modelo
de
distribuio potencial, formulado na equao (5.2)
1
3
rx q q
E VC
(5.2)
onde, para a direo x , x q a coordenada do n da posio q , VC o
nmero
de volumes de controle e E a extenso do domnio em que a malha
aplicada. O
expoente r determina o grau de distribuio da malha.
No interior da cavidade, as malhas utilizadas variam de 20 0 a
80 0
volumes de controle. O expoente r foi mantido igual a 1,6. Na
parte externa da
cavidade, tambm se utilizaram malhas no uniformes, com 1,7r . A
Figura 15
ilustra a malha usada para a conveco natural na cavidade aberta
homognea.
Figura 15 Exemplo de malha utilizada para a simulao da cavidade
aberta ( 80 0 no interior da cavidade)
18 18
-
43
A Tabela 5 e a Tabela 6 apresentam o teste de sensibilidade de
malha
realizados considerando os valores de nmero de Nusselt e vazo
adimensional na
entrada da cavidade, respectivamente. A vazo adimensional na
entrada calculada
com o auxlio da equao (5.3) (CHAN e TIEN, 1985).
1
1 1
1
se 0onde
0 se 0
X
X X
X
m UdY
U U U
U U
(5.3)
Tabela 5 Teste de sensibilidade de malha - Nmero de Nusselt,
cavidade aberta limpa
Ra 2020 EP [%] 4040 EP [%] 6060 EP [%] 8080
310 1,0720 1,7078 1,0540 0,3236 1,0506 0,076 1,0514
410 3,4294 0,6250 3,4081 0,0587 3,4061 0,050 3,4078
510 7,7256 0,2569 7,7058 0,0571 7,7014 0,013 7,7004
610 15,0120 0,2076 14,9809 0,1440 15,0025 0,013 15,0045
710 28,0954 0,3207 28,0056 0,2631 27,9321 0,036 27,9221
810 51,3025 0,0499 51,2769 0,0133 51,2701 0,231 51,1521
910 94,9650 1,2895 93,7560 0,3884 93,3933 0,244 93,1658
Tabela 6 Teste de sensibilidade de malha - vazo adimensional
cavidade aberta limpa
Ra 2020 EP [%] 4040 EP [%] 6060 EP [%] 8080
310 1,9251 0,1035 1,9231 0,4646 1,9142 0,010 1,9140
410 8,0339 0,7724 7,9723 0,2383 7,9533 0,059 7,9486
510 21,0732 0,3386 21,0021 0,0241 20,997 0,005 20,9980
610 46,8690 1,1656 46,3290 1,7092 45,5504 0,407 45,3659
710 93,4350 2,1762 91,4450 1,5535 90,046 0,200 89,8659
810 186,6464 6,8818 174,6288 1,4959 172,055 0,478 171,2369
910 385,4093 14,2110 337,4537 2,4167 329,685 0,120 329,2910
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Na Tabela 5 e na Tabela 6, os erros percentuais so calculados
entre as
malhas, e no mais em relao a uma soluo de referncia, conforme
equao
100malhagossa malhafina
malhafina
EP
(5.4)
Na simulao da cavidade aberta sem blocos foi utilzado o critrio
de erro
admissvel de 0,5% entre as malhas para Nmero de Nusselt e vazo
adimensional.
Por esse critrio, observa-se que a malha 6060 adequada.
Pelos resultados apresentados na Tabela 5 e na Tabela 6,
percebem-se
baixos erros percentuais, em especial para os valores de nmero
de Nusselt.
A Tabela 7 apresenta os resultados encontrados para mNu e m pela
soluo
de referncia de Chan e Tien (1985) e pelo presente trabalho. A
anlise dos valores
dos erros percentuais permite concluir que as condies de
contorno implementadas
no programa DFC para a conveco natural na cavidade aberta esto
corretas.
Tabela 7. Resultados de mNu e m obtidos pelo programa
PHOENICS-CFD e por Chan e Tien
(1985) para a cavidade quadrada, aberta e homognea.
Ra
mNu m
Chan e Tien (1985)
[presente] EP Chan e Tien
(1985) [presente] EP
104 3,41 3,406 0,12 8,02 7,953 0,84
105 7,69 7,701 0,14 21,1 20,997 0,49
106 15,0 15,003 0,02 47,3 45,550 3,70
Nota: *Valores obtidos com malhas 8080 no-uniformes (interior da
cavidade), eq. (5.2).
5.3.1 Escolha das dimenses do domnio computacional para a
cavidade
aberta
A escolha das dimenses do domnio computacional interfere no grau
de
influncia que as condies de contorno especificadas nas
fronteiras abertas
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exercem sobre o escoamento e sobre a intensidade da transferncia
de calor no
interior da cavidade e nas regies prximas abertura.
Com o objetivo de minimizar essa influncia, Chan e Tien (1985)
realizaram um
estudo de qual seria uma dimenso apropriada do domnio para o
estudo numrico
da cavidade aberta quadrada, sem a necessidade de um custo
computacional
elevado. Pelas suas concluses, um domnio de dimenses 3L H
suficiente (ver
Figura 14).
No presente trabalho questionou-se a possibilidade de reduo
dessas
dimenses com o fim de reduzir o tempo de simulao. Como forma de
verificao,
as solues obtidas com os domnios 3L H e 2L H para
determinados
nmeros de Rayleigh foram comparadas, tanto pelo critrio
quantitativo da avaliao
do nmero de Nusselt e da vazo adimensional de entrada na
cavidade, quanto pelo
critrio qualitativo da visualizao das isotermas e linhas de
corrente.
A Tabela 8 apresenta os resultados de mNu e m encontrados para
510Ra a
810Ra , e indica que a reduo do domnio computacional no causou
alteraes
significativas nos valores de nmero de Nusselt mdio e de vazo
adimensional de
entrada na cavidade.
Tabela 8. Resultados de mNu e M obtidos para os domnios 2 3L H e
3L H , meio
homogneo.
Ra
mNu m
Domnio
3L H *
Domnio
2L H EP
Domnio
3L H
Domnio
2L H EP
103 1,051 1,052 0,10% 1,914 1,925 0,57%
106 15,003 15,011 0,05% 45,550 45,451 0,22%
108 51,270 51,301 0,06% 172,055 171,326 0,42%
109 93,393 93,454 0,07% 329,491 328,038 0,44%
Nota: *Valores obtidos com malhas 8080 no-uniformes (interior da
cavidade), eq. (5.2).
A Figura 16 apresenta os campos de temperatura e de linha de
corrente para
310Ra e 810 . Para facilitar a comparao e enfocar a cavidade e
suas
proximidades, nas figuras referentes ao domnio 3L H apenas a
regio
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correspondente ao domnio 2L H mostrada. Pode-se observar pelas
imagens
que as configuraes das isotermas e linhas de corrente sofreram
alteraes
tambm pequenas. Para 310Ra , elas so praticamente imperceptveis.
Para
810Ra , as mudanas so mais visveis nas linhas de corrente: no
domnio
estendido, o fluido penetra a cavidade com maior inclinao na
regio prxima ao
vrtice inferior da abertura, promovendo uma recirculao mais
intensa na parede
inferior da cavidade. H tambm pequenas mudanas no topo do domnio
reduzido.
Entretanto, as mudanas so sutis. Espera-se ainda que para a
cavidade com
blocos elas sejam atenuadas. A escolha do domnio 2 3L H ,
portanto, bastante
razovel.
310Ra 810Ra
3 5L H 2L H 3 5L H 2L H
T
1.00
0.90
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
T
1.00
0.90
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
8.69
8.07
7.45
6.83
6.21
5.59
4.97
4.34
3.72
3.10
2.48
1.86
1.24
0.62
0.00
289.59
268.76
247.93
227.10
206.28
185.45
164.62
143.79
122.97
102.14
81.31
60.48
39.66
18.83
-2.00
Figura 16 Isotermas (acima) e linhas de corrente (abaixo) para
os domnios 3L H e
2 3L H , 310Ra e 810Ra . Obs: Apenas a regio correspondente ao
domnio 2 3L H mostrada.
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Neste captulo foram realizadas as etapas de validao do cdigo
numrico
