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INVESTIGAES MATEMTICAS EM SALA DE AULA COM O GEOGEBRA

Carmem Lucia Dionisio Rocha Navasconi

kalu-navasconi@hotmail.com

Wellington Hermann

eitohermann@gmail.com

LINHA DE PESQUISA Formao de Professores que ensinam Matemtica

RESUMO Neste trabalho relatamos o primeiro contato de professores de matemtica da rede estadual de ensino do estado do Paran que participaram de um curso de extenso sobre Investigaes Matemticas (IM) em sala de aula com esta tendncia. A proposta do curso era o desenvolvimento e realizao de tarefas investigativas tendo como ferramenta para investigao o software GeoGebra. Aps o curso foi proposto aos professores cursistas que desenvolvessem atividades investigativas em suas respectivas salas de aula e que apresentassem relatos das observaes sobre o desenvolvimento desta tarefa. Assim, os dados coletados por meio da observao e de questionrios nos proporcionaram reflexes a respeito do uso de tarefas exploratrio-investigativas em sala de aula, as quais compartilhamos neste relato.

Palavras-chave: Educao Matemtica. Investigaes Matemticas. GeoGebra.

INTRODUO

Em minha trajetria como Professora de matemtica da rede pblica do Estado do

Paran, constatei a dificuldade dos alunos quando entram em contato com a linguagem

algbrica. Tambm percebo a dificuldade que representa para o professor ensinar tal

contedo. Sempre procurei encaminhamentos diferenciados para minhas aulas. O mesmo

se deu quando ingressei no Programa de Desenvolvimento Educacional PDE. Buscava

algo que pudesse me ajudar a enfrentar estas dificuldades encontradas durante minha

carreira docente. Foi quando entrei em contato com estudos sobre Investigaes

Matemticas os quais trouxeram de volta o entusiasmo para ensinar matemtica, por sua

caracterstica de explorao, formulao de conjecturas, testes e demonstraes, que

trazem para sala de aula o dinamismo que ns professores esperamos. O grande desafio

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que essa metodologia proporciona que ela permite no apenas que a aprendizagem seja

compartilhada, mas que todos sejam ouvidos e possam construir o conhecimento, como

faziam e ainda fazem os matemticos.

Com o objetivo de divulgar essa metodologia para mais professores, propomos

um curso de extenso para difundi-la entre meus colegas professores de matemtica. Tendo

como aliado o GeoGebra propomos atividades que poderiam envolver a lgebra e a

geometria. Assim, pudemos observar os avanos e dificuldades dos professores cursistas

durante o Curso de extenso: Investigaes Matemticas em sala de aula com o Geogebra.

Constatamos que o aspecto instigante dessa metodologia envolve todos a propor e resolver

seus problemas e desafia de forma prazerosa a encontrar solues.

Desta forma, o texto que apresentamos aqui, o relato desta experincia de

compartilhar com meus colegas professores os encaminhamentos metodolgicos propostos

pela tendncia Investigaes Matemticas em Sala de Aula com o auxlio do software

GeoGebra.

FUNDAMENTAO TERICA

A Matemtica a cincia base de vrias reas do conhecimento, sendo assim,

fundamental seu domnio por parte dos alunos. As Diretrizes Curriculares Estaduais para a

disciplina de matemtica (DCE de Matemtica) propem que o ensino de matemtica seja

fundamentado nas tendncias metodolgicas e um dos objetivos do ensino da Matemtica

de contribuir para [...] que o estudante tenha condies de constatar regularidades matemticas, generalizaes e apropriao de linguagem adequada para descrever e interpretar fenmenos matemticos e de outras reas do conhecimento (PARAN, 2006, p. 25).

As investigaes matemticas e a resoluo de problemas coadunam com o

objetivo acima mencionado porque oportuniza ao aluno trabalhar em grupo, desenvolver

sua autonomia, ser cooperativo, comunicar-se, questionar, conjecturar, induzir, deduzir,

fazer conexes, elaborar e validar estratgias e procedimentos de resoluo, justificar

respostas, fazer uso de materiais manipulativos e tecnolgicos como calculadoras e

computador.

Segundo as DCE de Matemtica, aprender matemtica

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[...] mais do que manejar frmulas, saber fazer contas ou marcar x nas respostas: interpretar, criar significados, construir seus prprios instrumentos para resolver problemas, estar preparado para perceber estes mesmos problemas, desenvolver o raciocnio lgico, a capacidade de conceber, projetar e transcender o imediatamente sensvel (PARAN, 2006, p.66).

Nesse sentido a escola deve incentivar a prtica pedaggica em diferentes

metodologias, valorizando concepes de ensino, de aprendizagem (internalizao) e de

avaliao (PARAN, 2006, p. 15), como explicitamos anteriormente.

A seguir apresentamos nossa concepo de Investigaes Matemticas.

INVESTIGAES MATEMTICAS EM SALA DE AULA

Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2006, p. 9), em contextos de ensino e

aprendizagem [...] investigar no significa necessariamente lidar com problemas muito sofisticados na fronteira do conhecimento. Significa, to-s, que formulamos questes que nos interessam, para as quais no temos resposta pronta, e procuramos essa resposta de modo tanto quanto possvel fundamentado e rigoroso.

Como tendncia em Educao Matemtica, as Investigaes Matemticas

apresentam um potencial que pode mobilizar nos alunos seu poder investigativo e criativo.

Em sntese, podemos dizer que quando ao aluno convidado a trabalhar com atividades

investigativas ele desafiado a enfrentar situaes que se diferenciam das demais por

serem abertas e por permitirem mltiplas possibilidades de explorao.

Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2006) as Investigaes Matemticas

envolvem, naturalmente, conceitos, procedimentos e representaes matemticas, mas o

que mais fortemente as caracteriza este estilo de conjectura-teste-demonstrao.

Uma aula que promove um ambiente de investigao matemtica, conforme

afirma Castro (2004), pode ser chamada de aula investigativa. Em outras palavras, aulas

investigativas, supem o envolvimento dos alunos com tarefas investigativas, que permita

a eles realizar atividade matemtica (apud PONTE et al, 1998, p. 2).

Por meio desse mtodo investigativo, pode-se despertar nos alunos o esprito da

matemtica genuna. Essa idia citada acima por Ponte et al reforada por Ponte,

Brocardo e Oliveira (2006, p. 23): [...] o aluno chamado a agir como matemtico, no s na formulao de questes e conjecturas e na realizao de provas e refutaes, mas tambm na apresentao de resultados e na discusso e argumentao com seus colegas e o professor.

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Os problemas sempre ocuparam lugar de destaque nos currculos de Matemtica,

vistos como ferramenta para promover o desenvolvimento do raciocnio. Para Polya (1981

p. 11). Segundo ele, embora o uso de problemas rotineiros favorea alguns aspectos do

ensino da Matemtica, nem s a sua utilizao garante o desenvolvimento do aluno.

Porm, importante deixar claro a diferena entre resoluo de problemas e investigaes

matemticas. As DCE resumem a questo entre problemas e investigao: [...] um problema uma questo para a qual o aluno precisa estabelecer uma estratgia heurstica, isto , ele dispe de um mtodo que permita a sua resoluo imediata, enquanto que um exerccio uma questo que pode ser resolvida usando um mtodo j conhecido [...] [...] uma investigao um problema em aberto e por isso, as coisas acontecem de forma diferente do que na resoluo de problemas e exerccios. (PARAN, 2006, p. 23)

Ponte, Brocardo e Oliveira (2006, p. 21) apresentam quatro momentos em uma

investigao matemtica conforme apresentamos no Quadro 1 a seguir:

Momentos Caractersticas

Explorao e formulao de questes

Reconhecer uma situao problemtica

Explorar a situao problemtica;

Formular questes.

Conjecturas Organizar dados;

Formular conjecturas (e fazer afirmaes sobre uma conjectura).

Testes e reformulao Realizar testes;

Refinar uma conjectura.

Justificao e avaliao Justificar uma conjectura;

Avaliar o raciocnio ou o resultado do raciocnio.

Quadro 1: Momentos na realizao de uma investigao

Fonte: (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2006, p. 21).

O sucesso da utilizao do processo investigativo como encaminhamento

metodolgico para ensinar/aprender matemtica em sala de aula depende do preparo do

professor. Ele deve saber conduzir todo o processo sem, no entanto, dar respostas prontas

para os alunos. Ao mesmo tempo deve agir como incentivador e fomentador de idias. Ao mostrar aos alunos que possvel olhar as idias matemticas de modo interrogativo, colocando questes que podem ser investigadas e promovendo a investigao, de facto, de algumas delas o professor est a exercer um importante papel na educao no s do raciocnio matemtico dos alunos, mas tambm do modo de eles se relacionarem com o mundo (PONTE et al, 1998, p. 53).

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Como ocorre com qualquer encaminhamento, ao utilizar Investigaes

Matemticas em suas aulas, o professor deve ter objetivos a alcanar, no contrrio, corre o

risco de desperdiar seu tempo e o tempo dos alunos com atividades sem sentido.

USO DE MDIAS

Utilizamos, neste trabalho, o software GeoGebra para construir as tarefas e como

ferramenta para o auxlio durante as investigaes.

No estado do Paran temos em todas as escolas estaduais laboratrios bem

equipados com vrios computadores e acesso internet. Em todos os computadores est

instalado o GeoGebra que um software de geometria dinmica. O uso do GeoGebra pode

colaborar com a aprendizagem de matemtica, em especial, dos contedos algbricos

articulados com a aritmtica e geometria.

A insero, principalmente dos computadores e seus aplicativos no ambiente

escolar, no fcil para os professores, pois destes requer um novo olhar para sua prtica

pedaggica. Sobre a pouca utilizao dos computadores na prtica profissional Penteado

(1999, p. 298) considera: Acreditamos que, em geral, o professor enfrenta os desafios pela profisso e busca criar alternativas, porm a introduo do computador na escola altera os padres nos quais ele usualmente desenvolve sua prtica. So alteraes no mbito das emoes, das relaes e condies de trabalho, da dinmica da aula, da reorganizao do currculo, entre outras.

Ainda, hoje essas preocupaes continuam nas escolas, mesmo com a existncia

dos laboratrios de informtica que geralmente no tm computadores suficientes para

todos os alunos. Muitas vezes seu uso esbarra em questes burocrticas, como

agendamento e disponibilidade, j que outras turmas podem estar utilizando o laboratrio.

Apesar destas dificuldades, o uso do computador pode tornar as aulas mais

dinmicas. Nossa perspectiva do uso do computador como ferramenta, da forma como

explicita Valente (1993, p. 13): Segundo esta modalidade o computador no mais o instrumento que ensina o aprendiz, mas a ferramenta com a qual o aluno desenvolve algo, e, portanto, o aprendizado ocorre pelo fato de estar executando uma tarefa por intermdio do computador.

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Esta perspectiva vai ao encontro de nossos objetivos, pois a proposta era utilizar o

computador e o software como meio para a aprendizagem.

METODOLOGIA

A partir dos encaminhamentos metodolgicos das Investigaes Matemticas em

sala de aula e com o uso do Geogebra, foram trabalhadas 8 tarefas investigativas com um

grupo de 6 professores de matemtica da cidade de Goioer, em um curso de extenso, o

qual foi desenvolvido em parceria com a Faculdade Estadual de Cincias e Letras de

Campo Mouro Fecilcam.

Os participantes eram professores da rede estadual de educao, dos quais 5

atuavam junto aos alunos do Ensino Fundamental e Mdio, desses professores 2 atuavam

no ensino fundamental, 2 no ensino mdio, 1 no CEBEJA e 1 atuava como tcnico

pedaggico de matemtica junto ao NRE de Goioer. O curso foi ministrado no laboratrio

de Informtica da Escola Estadual Ribeiro de Campos - Ensino Fundamental localizada na

rea central da cidade de Goioer. Foram utilizados os computadores na plataforma Linux,

que j possuam o software Geogebra em seu sistema. A durao do curso compreendeu 8

encontros de 4 horas, tendo incio em agosto de 2010 at novembro de 2010.

Como trabalho final do curso, foi proposto que cada participante realizasse a

implementao de uma tarefa investigativa junto a seus alunos com uso do Geogebra. Aps

este trabalho os professores fizeram um relato escrito de suas experincias em sala durante

o desenvolvimento das tarefas.

No decorrer dos trabalhos, questionamos os professores cursistas sobre os motivos

que os levaram a participar deste curso. A maioria respondeu que estava em busca de

novos encaminhamentos para suas aulas, como evidencia o trecho da resposta do

participante P1:

As minhas expectativas eram para que a nova metodologia viesse a contribuir

para um melhor resultado em sala de aula. Ela me permitiu descobrir caminhos usando as

novas tecnologias que iro facilitar e ao mesmo tempo auxiliar no desenvolvimento do

contedo na sala de aula (P1).

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Durante o curso, os trabalhos foram realizados em duplas ou trios, devido ao

pequeno nmero de participantes e, muitas vezes, as tarefas exploratrio-investigativas

eram realizadas e discutidas coletivamente.

Nos dois primeiros encontros o trabalho foi realizado coletivamente. Nesse

momento foram apresentados os conceitos sobre investigaes matemticas por meio de

um texto e slides fundamentados, principalmente, na perspectiva de Ponte, Borcardo e

Oliveira (2006) que apresentam uma discusso detalhada, com inmeros exemplos

vivenciados em sala de aula, atividades de investigao e diversos tpicos como a

geometria, nmeros e estatstica. Nos 2 e 3 encontro foi apresentado o software

Geogebra e suas ferramentas e foram sugeridas algumas atividades prticas para que os

participantes pudessem se familiarizar com o software. Do 5 ao 8 encontros, foram

realizadas 8 tarefas exploratrio-investigativas as quais sero detalhadas ao longo desse

artigo.

As tarefas exploratrio-investigativas foram baseadas em artigos e livros como

Fiorentini, Fernandes e Cristovo (2004), Ponte, Brocardo, Oliveira (2006), Lins, Gimenez

(1997) e por uma atividade por ns elaborada.

Nossa coleta de dados se deu por meio da observao participante. Observamos

comportamentos e cenrios e principalmente fizemos relatrios escritos. As observaes

durante o curso proporcionaram a coleta de dados importantes para o desenvolvimento da

pesquisa. Alm disso, cada participantes relatou suas impresses num dirio de campo, no

qual cada um relatou as impresses das tarefas e as relaes com os contedos trabalhados

em sala de aula, as dificuldades na execuo das tarefas, a conduo dos raciocnios para

chegar a soluo do desafio proposto na atividade e as concluses de cada tarefa.

Alves-Mazzoti (2002, p. 166-168) afirma que, Na observao participante, o pesquisador se torna parte da situao observada, interagindo por longos perodos com os sujeitos, buscando partilhar o seu cotidiano para sentir o que significa estar naquela situao.

A seguir apresentamos algumas notas sobre as tarefas desenvolvidas e realizadas

pelos professores cursistas.

NOTAS SOBRE AS TAREFAS EXPLORATRIO-INVESTIGATIVAS

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Durante o curso, propomos uma sequncia didtica composta por oito tarefas

exploratrio-investigativas.

Como encaminhamento das aulas com enfoque investigativo, inicialmente

pensamos em utilizar a seguinte proposta de estruturao: Primeiramente solicitaramos

aos cursistas que formassem grupos e que escolhessem:

Um coordenador: responsvel pela organizao dos trabalhos e resoluo

de possveis conflitos;

Redator: responsvel pela redao final do registro a ser entregue;

Dois relatores: sero dois membros do grupo responsveis pela

apresentao (para toda a classe) dos resultados encontrados pela equipe.

Apesar da diviso acima, todos deveriam participar das etapas de realizao das

tarefas. Porm, devido ao pequeno nmero de participantes no foi possvel estruturar

grupos desta maneira e, na maioria das vezes o trabalho foi realizado por duplas de

professores cursistas. Aps a realizao, discutamos as solues coletivamente.

A seguir apresentamos um quadro sintetizando as oito tarefas que compem nossa

seqncia didtica.

Tarefa Ttulo Objetivo

1 Investigando e descobrindo

sequncias

Desenvolver de forma investigativa o

desenvolvimento do pensamento algbrico

2 Quadrados e mais quadrados Descobrir as relaes entre a rea do quadrado inicial

e a dos quadrados inscritos

3 Atividade com fsforos Possibilitar a construo do conceito de permetro.

4 Azulejos pretos e brancos Analisar a capacidade de raciocnio matemtico

5 Azulejos da piscina Promover a comunicao e capacidade de dilogo

entre os participantes

6 Com quantas bolinhas se faz um

quadrado.

Analisar a capacidade de formular, generalizar e

conduzir o raciocnio matemtico

7 Explore as figuras e suas

regularidades

Generalizar por meio de iteraes como podemos

encontrar um quadrado perfeito

8 Produtos notveis

Compreender por meio da rea dos quadrados a

relao entre soma de dois quadrados;

Investigar no Geogebra essas relaes e

generalizar as concluses;

Quadro 2: Sntese das tarefas da seqncia didtica

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Neste trabalho vamos fazer o relato do desenvolvimento de algumas destas

tarefas. Optamos por no comentar todas, pois nas anlises percebemos que as observaes

que podemos fazer sobre as tarefas que escolhemos podem ser generalizadas para as outras

tarefas.

NOTAS SOBRE A TAREFA 1

Investigando e descobrindo sequncias

Nesta tarefa os professores cursistas deveriam investigar a sequncia das figuras

para chegar a relao entre a posio da figura e a quantidades de bolas.

Figura 1: Investigando e descobrindo seqncias

Assim, pretendia-se que os professores cursistas fizessem generalizaes relativas

quantidade de pontos em cada figura e como essa sequncia formada. Cada dupla

realizou essa tarefa fazendo registro em papis e depois anotando-os em uma tabela. Como

foi proposto que eles construssem as figuras no geogebra, tambm foi sugerido que

utilizassem a tabela no prprio software.

Houve no incio muita dificuldade dos professores cursistas, que se mostraram

pouco a vontade nas investigaes, querendo prontamente encontrar a soluo, sem

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investigar a sequncia. Pensamos que isso se deva forte influncia do modelo tradicional

de ensino. Quando o professor prope as primeiras tarefas investigativas em sala de aula,

geralmente surge este tipo de comportamento. Sempre notamos que os alunos, e neste caso,

os professores cursistas, buscam uma resposta imediata ou uma frmula que d conta de

solucionar a tarefa. Porm, o professor que se prope a trabalhar em suas aulas com

investigaes no deve dar respostas prontas. Ele deve proporcionar e incentivar a

discusso entre os alunos.

Percebemos que havia dificuldades quanto utilizao do software GeoGebra e

que a maioria dos professores preferiram utilizar lpis e papel durante esta atividade.

Poucos conseguiram generalizar a sequncia e foram enfticos na concluso de que os

alunos no conseguiriam realiz-la. Pensamos que isto se deva resistncia inicial frente a

uma proposta diferenciada, o que exige dos professores sarem de sua zona de conforto.

Questionamos os participantes se as mdias informticas contribuem para o ensino

de matemtica. Segue a resposta do participante P4:

Sim! Principalmente porque estimula o professor a utilizar outras formas de

ensinar matemtica, saindo do habitual (livro, quadro e giz). Principalmente porque nos

dias de hoje a sociedade em que estamos pertencendo est includa de novas tecnologias e

ns como educadores no podemos esquecer que fazemos parte dela e que precisamos

incorporar para que os nossos alunos sintam gosto pela escola em particular pelos

contedos em que estamos trabalhando (P4).

Aqui percebemos a discordncia entre o discurso e as aes, j que os professores

preferiram utilizar lpis e papel durante a realizao desta tarefa. Porm, percebemos que a

partir da segunda tarefa os cursistas passaram a utilizar mais o software para investigar,

mas sem abandonar completamente o lpis e papel.

NOTAS SOBRE A TAREFA 3

Atividade com fsforos

Nesta tarefa, tomando o fsforo como unidade de medida, os cursistas deveriam

fazer quadrados com dimenses diferentes e encontrar a generalizao do nmero de

fsforos utilizados para construir um quadrado qualquer.

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Figura 2: Atividade com fsforos

Esta foi a tarefa que gerou a maior polmica entre os cursistas, proporcionando

discusses sobre o seu desenvolvimento. Alguns dos cursistas imaginaram que se deveria

generalizar o nmero de cabeas de fsforos e, como as atividades foram desenvolvidas no

GeoGebra, estas eram representadas por pontos. Isso gerou certa confuso entre eles, pois

se contassem as cabeas dos fsforos o resultado deveria ser o mesmo, mas como

estvamos trabalhando com o software, parecia que cada fsforo tinha duas cabeas. Uma

das professoras cursistas, P4, comenta este fato:

Observei que a dificuldade encontrada foi a maneira que o exerccio foi

interpretado... O mesmo o que ocorre constantemente com nossos alunos. Por exemplo a

tarefa 3, que foi analisada pela cabea do fsforo e no contando a quantidade de palitos

que a tarefa apresentava....um olhar diferente sobre a mesma situao (P4).

Surgiram diversas conjecturas sobre a generalizao para encontrar o nmero de

fsforos e na discusso final da tarefa no conseguimos um consenso. muito provvel

que isto tenha ocorrido devido confuso inicial sobre a realizao da tarefa. Assim,

voltamos a destacar que muito importante a introduo da tarefa, pois neste momento

que o aluno compreende o que deve fazer.

Por ter sido a tarefa mais comentada essa foi escolhida pela maioria dos

professores cursistas para ser utilizada com suas turmas em sala de aula.

CONSIDERAES FINAIS

Foi muito interessante, com o curso, detectar a vontade dos professores cursistas

de conhecer essa nova metodologia, mas ao mesmo tempo a ansiedade em provar algo

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novo. No decorrer do curso tivemos momentos de discusses, anlise, formao de

hipteses e conjecturas e, muitas vezes, esbarramos com a insegurana causada pela da

incerteza na hora da resoluo das tarefas. Como no so atividades que trazem a frmula

pronta, a maioria queria encontrar a resposta sem pensar muito e, nesse momento, o papel

de mediadora, foi de grande importncia. A interveno era necessria e em grupo

procurvamos ouvir as opinies de todos para ento encontrar uma resposta coerente para

cada situao.

Alguns relatos de professores corroboram o que afirmamos acima:

O uso das tarefas exploratrio investigativa permitiu vivenciar experincias

diferentes das vivenciadas nas aulas tradicionais de matemtica. Senti o verdadeiro valor

da investigao, como conhecer o que no se conhece, descobrindo padres e

desvendando frmulas (P1).

Percebemos que, apesar das incertezas e insegurana sentidas pelos cursistas, a

maioria acredita que o curso proporcionou a oportunidade de vivenciarem algo novo e que

provavelmente levaro para suas salas de aula, mesmo que no o faam da maneira

proposta pelos encaminhamentos das Investigaes, como apresentado no relato a seguir:

Com certeza, atravs das discusses pudemos chegar a resoluo de vrias

situaes-problemas e isto nos fez refletir sobre a nossa prtica de ensino. Descobrir que

por traz de um tema que parecia difcil, a partir das atividades trabalhadas em sala de

aula abriu novos horizontes que podero ser utilizados no dia a dia da sala de aula (P3).

A proposta inicial era investigar utilizando o GeoGebra e o computador como

meio. A resoluo deveria estar apoiada nos recursos que este software dispe. Porm,

devido dificuldade inicial dos professores cursistas em utilizar o computador permitimos

o uso de lpis e papel juntamente com o computador. Na realizao das tarefas os

professores adotaram estratgia similar quanto ao uso das mdias disponveis (lpis, papel,

computador e software). Eles realizavam clculos e desenhos no papel e aps testavam

suas conjecturas no computador.

Aps a realizao das primeiras tarefas percebemos maior uso do computador,

contudo, sem o total abandono do lpis e do papel. Acreditamos que isso seja natural, j

que estes professores no estavam acostumados, nem com tarefas exploratrio-

investigativas, nem com o uso do computador para resolver problemas desta natureza.

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REFERNCIAS

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