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Investigação Cinética de ModosGeodésicos de Baixas Frequências em
Plasmas Magnetizados
Reneé Jordashe Franco [email protected]
Orientador: Artour Grigorievich ElfimovCo-orientador: Ricardo Magnus Osório Galvão
Universidade de São PauloInstituto de Física
29/07/2014
R. J. F. Sgalla FAP - IFUSP
Investigação Cinética de Modos Geodésicos de Baixas Frequências em Plasmas Magnetizados
Sumário
Introdução:
− Motivação (energia a fusão nuclear)
− Física de tokamaks (revisão)
Investigação de modos geodésicos:
− Rotação de equilíbrio → teoria da MHD ideal
− Efeitos diamagnéticos → modelo de dois fluidos
− Amortecimento de Landau → modelo girocinético
Conclusões e direções futuras
R. J. F. Sgalla FAP - IFUSP
Investigação Cinética de Modos Geodésicos de Baixas Frequências em Plasmas Magnetizados
Motivação
Energia por meio de fusãoConfinamento magnético (tokamak)Transporte em tokamaks(aplicação de modos de baixas frequências)
3 / 32
3/32 R. J. F. Sgalla, Investigação Cinética de Modos Geodésicos de Baixas Frequências em Plasmas Magnetizados
Esquema de obtenção de energia por meio de fusão
D
T
n
Fusao
Energia
He
Tokamak
Plasma
Gerador
Transformador
Águalíquida
Vapor de águaRede elétrica
− Reação nuclear no plasma:
D + T = He (3.5 MeV) + n (14.1 MeV) (1)(fonte de energia nuclear)
− Reação nuclear na manta de Lítio:
6Li + n→4 He + T + 5 MeV (2)(suprimento de combustível ao plasma)
Energia nuclear → Energia térmica → Energia mecânica → Energia elétrica
4/32
Aspectos sobre energia a fusão termonuclear controlada
Principais vantagens:Energia limpa, pois o produto da reaçãoé:− He → Sem impacto ambiental
Sustentabilidade (matéria primaabundante):
− D → Oceanos− Li → Crosta terrestreSegurança (comparado à fissão nuclear):
− Praticamente sem risco de acidentesnucleares de grandes proporções
− Facilidade no tratamento de dejetosradioativos
Desvantagem crucial:Incerteza com relação à possibili-
dade de realização.
Grandes desafios a serem superados:
− Engenharia de materiais(danos às estruturas do tokamak)
− Aquecimento do plasma(NBI, ICRH, ECRH)
− Perda de partículas e energia doplasma*(transporte turbulento)
* Fluxos zonais (ZF) emodos acústicos geodésicos (GAM)participam do processode supressão de turbulencia de ondas dederiva.
5/32
Confinamento do plasma no tokamak
Enr. central → plasma (Ip → JT ) → BP
Confinamento inicial → ∇rp
Bob. toroidal −−− → BT
−− → JP︸ ︷︷ ︸diamagnetismo
JP × BT + JT × BP ≈∇p︸ ︷︷ ︸
Equilíbrio MHD
6/32
Coeficiente de difusão e transporte de partículas no tokamak
Estimativa do coeficiente de difusão (perpendicular): D⊥ ∼ (∆r)2⊥/τcol.
Transporte clássico (geometria cilíndrica):
D(e)Class ∼ νeiρ
2e (3)
Transporte neoclássico (geometria toroidal):q = rBT/R0BP 1, ε = r/R0 1
q2DClass︸ ︷︷ ︸Reg. Pfirsch-Schlüter
≤ DNeo ≤q2
ε3/2DClass
︸ ︷︷ ︸Reg. Banana
, DNeo DClass (4)
Transporte turbulento
D(e)Bohm ∼
Te
eB∼ ωce
νeiDClass,
ωce
νei q2
ε3/2, DBohm DNeo (5)
7/32
Revisão da física de tokamaks
Grandezas características do plasma e do tokamakTeoria cinética e de fluidosModos acústicos geodésicos (GAM)
8 / 32
8/32 R. J. F. Sgalla, Investigação Cinética de Modos Geodésicos de Baixas Frequências em Plasmas Magnetizados
Principais comprimentos e tempos característicos do plasma
Considerações: plasma de hidrogênio (Zi = 1) , kTα → Tα(eV )
ωcα =eBmα︸ ︷︷ ︸
freq. ciclotrônica
, vTα =
√2Tαmα︸ ︷︷ ︸
vel. térmica
, ρα =vTαωcα
ρi ∼ 10−4
ρe ∼ 10−5m
︸ ︷︷ ︸raio de Larmor (térmico)
(6)
cs =
√γiTi + γeTe
mi∼ vTi
︸ ︷︷ ︸velocidade do som
,
γi = 5/3γe = 1︸ ︷︷ ︸
coeficiente adiabático
(7)
9/32
Parâmetros do tokamak
Coordenadas quasi-toroidais: (r , θ, φ)
r → posição radialθ → ângulo poloidalφ→ ângulo toroidal
a→ raio menor R0 → raio maior Ψ = Ψ(r , θ)→ superfície magnética
A =R0
a≤ 1ε︸ ︷︷ ︸
razão de aspecto
ε =rR0
β =2µ0pB2 ∼ ε
2 ∼ 10% (TCABR)︸ ︷︷ ︸
pressão cinética ÷ pressão magnética
(8)
q = q(Ψ) =dφdθ
=B ·∇φ
B ·∇θ︸ ︷︷ ︸fator de segurança (q ≥ 1→ estabilidade)
, qmáx ∼ 3.5 (TCABR)︸ ︷︷ ︸q 1→ aproximação adotada
(9)
10/32
Campo magnético e movimento de partículas em tokamaksCampo magnético em sistemas com simetria azimutal (em φ):
B = F∇φ︸ ︷︷ ︸BT
+∇φ×∇Ψ︸ ︷︷ ︸BP
Ψ = Ψ(r , θ) ≈ Ψ0(r) se ε 1F = F (Ψ, θ) ≈ F0(Ψ) se β ∼ ε2 1 (10)
Movimento do centro guia de partículas carregadas (quando E = 0)
vgα = v‖b +µαeα
b×∇ lnB︸ ︷︷ ︸Deriva grad. B
+eαe
v2‖
ωcαb× κ︸ ︷︷ ︸
Deriva curv. B
, b =BB, κ = b ·∇b︸ ︷︷ ︸
curvatura de B
(11)
Cálculo para tokamaks de secção circular e superfícies concêntricas (TCABR):
B ≈ B0(r)
1 + ε cos θ
(ε
qeθ + eφ
), vgα = v‖b−
σαωcαR0
(v2⊥2
+ v2‖
)eZ (12)
σα =
1 para α = i−1 para α = e eZ = sin θer + cos θeθ
11/32
Teoria cinética para plasmas magnetizados de laboratórioObjetivo: Obter fα (α = i , e) a partir da eq. de Boltzmann,
∂fα∂t
+ v ·∂fα∂r
+ aα ·∂fα∂v
= Cα(f ), aα =eαmα
(E + v× B) (13)
Aplicação: Cálculo de momentos da velocidade (Mn(v))
〈Mn(v)〉 =
∫v
d3vMn(v)→ (nα, vα, pα,πα, q, etc...)︸ ︷︷ ︸quantidades macroscópicas
, 〈Mnmáx (v)〉 = 0︸ ︷︷ ︸aproximação necessária
. (14)
Forma alternativa (adotada na tese)
∂f∂t
+drgdt·∂f∂rg
+dEαdt
∂f∂E
+dµdt
∂f∂µ
+dγdt
∂f∂γ
= 0
rg → Posição do centro guia
E → Energia da partícula
µ→ Momento magnético
γ → Ângulo de giração
(15)
−Processo de giro-média
−Teoria de perturbação
−Aproximação eikonal
→ Equação girocinética
12/32
Equação girocinética
x → Perturbação (temporal) x → Equilíbrio x → Operador (derivadas)
fα = eαΦ∂Fα∂Eα︸ ︷︷ ︸
Boltzmamn
+ gαe−ik⊥·ρα︸ ︷︷ ︸Parte geodésica
Fα → Função distribuição de equilíbrioEα = eαΦ + µαB + mαv2
‖/2ρα = b× v⊥/ωcα
(16)
Equação girocinética:
(∂t + vgα ·∇)gα︸ ︷︷ ︸Acopl. (m, m ± 1)
=
Bessel︷ ︸︸ ︷J0(k⊥ρα)︸ ︷︷ ︸
FLR *
(∂lnFα∂Eα
∂
∂t︸ ︷︷ ︸Boltzmann
+b×∇ lnFα
mαωcα· ik⊥︸ ︷︷ ︸
Efeitos diamagnéticos
)eα(Φ− v‖A‖)Fα (17)
E = −∇Φ−∂A‖∂t
, B⊥ = ∇×(A‖b), ∂t → −iω, ∇→ ik ≈ i(er kr +eθ kθ+bk‖)
kr → −i∂
∂r, kθ → −
ir∂
∂θ, k‖ → −
iqR0
(∂
∂θ− q
∂
∂φ
)(18)
* Efeito de raio de Larmor finito (Finite Larmour Radius)
13/32
Teoria de dois fluidosEquações de Braginskii (evolução de grandezas macroscópicas do plasma):
dαnαdt
+ nα∇ · vα = 0 (Densidade), (19)
mαnαdαvαdt
+ ∇pα + ∇ · π‖ − eαnα(E + vα × B) = 0 (Velocidade), (20)
dαpαdt
+ γpα∇ · vα + (γ − 1)∇ · qα = 0 (Pressão), (21)
dαπ‖αdt
+ p[2∇‖v‖α − 2v⊥α
]·∇ ln B − (γ − 1)∇ · vα = 0 (Viscosidade), (22)
dαdt
=∂
∂t+ vα ·∇, π‖ = π‖(bb− I/3)
︸ ︷︷ ︸Anisotropia de pressão (p⊥ 6= p‖)
(23)
14/32
Modelo analítico para ZF e GAMModelo analítico pioneiro para GAM (π‖ = 0,E‖ = 0, pργ = S(Ψ), q = 0→ p = c2s ρ︸ ︷︷ ︸
Regime adiabático
):
N. Winsor, et. al., Phys. Fluids (1968)
v =E × B
B2 + v‖b
∇ · v = 0→ ωZF = 0
∇ · v 6= 0→ ωGAM =√
2 + 1/q2cs/R0(24)
Dinâmica da densidade de corrente e obtenção da relação de dispersão:
j = j‖b +ρ
Bb×
d vdt︸ ︷︷ ︸
Corrente inercial
+b×∇p
B︸ ︷︷ ︸Corrente diamagnética
,
∫V∇ · jdV =
∫S
j⊥ · erdS = 0︸ ︷︷ ︸Quasi-neutralidade → D(ω) = 0→ ωGAM
(25)
Experimento para detectar padrões da flutuação dedensidade e velocidade:
nGAM ∝dΦr
drsin θ, nZF = 0
v‖GAM ∝1qcos θ, v‖ZF ∝ q cos θ (26)
A. Krämer-Flecken et. al., Phys. Rev. Lett. (2006)
15/32
Modos geodésicos de baixas frequências
(HFS)
(LFS)
(HFS)
(LFS)
(HFS)
(LFS)
(HFS)
(LFS)
R0
r
θ
vE = E×BB2
∇ · vE = −2vE · κ ∝ sin θ cos(ωGAM t)
p ∝∫dt∇ · vE
Er ∝ cos(ωGAM t)
BTBT
κ
κ = b · ∇b
Superfıcies magneticas
a) Instante inicial t = 0
Er > 0→ max.
vE > 0
jr = 0
c) Instante t = π/ωGAM
Er < 0→ min.
vE < 0
jr = 0
BTBT
κ
κ
BTBT
jprjpr
= 0
p max
p min
b) Instante t = π/2ωGAM
Er = 0
∂Er
∂t < 0
vE = 0
|jr| → max.
BTBT
jprjpr= 0
d) Instante t = 3π/2ωGAM
Er = 0
∂Er
∂t > 0
vE = 0
|jr| → max.
p min
p max
Frequência característica (som):
ωs =
√γiTi + γeTe
miR20
∼vTi
R0(27)
Estimativas para o TCABR:
Fluxos zonais (ZF):
ωZF ≈ VP/r ∼ 4 kHz (28)
Modos sonoros (SW):
ωSW ≈ωs
q∼ 10 kHz (29)
Modos acústicos geodésicos (GAM):
ωGAM ≈√2ωs ∼ 40 kHz (30)
16/32
Modelos de fluidos
Propriedades do equilíbrio MHD com rotaçãoEfeito de rotação poloidal e toroidal em GAM e ZFEfeitos diamagnéticos em GAM
17 / 32
17/32 R. J. F. Sgalla, Investigação Cinética de Modos Geodésicos de Baixas Frequências em Plasmas Magnetizados
Equilíbrio MHD com rotaçãoEquações da MHD ideal com fluxo de calor no equilíbrio:
V× B = −∇Φ (Lei de Ohm), (31)
V ·∇ρ+ ρ∇ · V = 0 (Conservação de massa), (32)
V ·∇p + γp∇ · V + (γ − 1)∇ · q = 0︸ ︷︷ ︸(Conservação de energia)
, q =γpγ − 1
B×∇TeB2 , (33)
ρV ·∇V + ∇p − J× B = 0 (Equação de momento), (34)
Velocidade de equilíbrio:
V =κ(Ψ)
ρB− Ω(Ψ)R2∇φ, Ω(Ψ) =
dΦ
dΨ(35)
18/32
(F , ρ, p,T )→ Q(Ψ, θ) ≈ Q0(Ψ) + Q1(Ψ, θ), |Q1|/Q0 1
∆Q =(B ·∇Q1)/Q0
(B ·∇R2)/R20, MP =
qε
V P
cs, MT =
V T
cs, Mth =
R0
ecs
dT0
dΨ︸ ︷︷ ︸Número de Mach característico
Para tokamaks de superfícies concêntricas com ε 1 (Ψ ≈ Ψ(r)):
(F = BTR, ρ, p,T )→ X ≈ X0(r)[1 + 2∆X (r)ε cos θ], ∆F = O(β) ≈ 0 (36)
(Adiabático)→ ∆p = γ∆ρ, ∆T = (γ − 1)∆ρ, Mth = 0
(Isotérmico)→ ∆p = ∆ρ, ∆T = 0, Mth > 0
(Isométrico)→ ∆ρ = 0, ∆T = (γ − 1)∆p , Mth < 0
(37)
Para MP MT , Mth ∼ M3P :
Há uma relação entre a rotação poloidal e o gradiente de temperatura
19/32
Efeito de rotação toroidal de equilíbrio em GAM e ZF
Medidas experimentais de ωZF e ωGAM permitem obter informações sobre o equilíbrio MHD
ω2GAMc2s /R2
0= 2 +
1q2
+ 4M2T +
(2q2
∆ρ
M2T
+12
)M4
T2q2 + 1
, (38)
ω2ZFc2s /R2
0=
(∆ρ −
∆p
γ
)M2
T2q2 + 1
, ∆p = γM2
T2, (39)
Se ∆ρ < M2T /2→ ZF instáveis ∆ρ = 0→ Γ = M4
T /(2q2 + 1)*︸ ︷︷ ︸Regime isométrico → ρ = ρ(Ψ)
* V. P. Lakhin et. al, Phys. Lett. A, (2010)
20/32
Rotação poloidal e toroidal em GAM, SW e ZFHá uma terceira solução (ωSW) quando há rotação poloidal Fluxo de calor (q) exerce influência apenas em ZF
ω2GAMc2s /R2
0≈ 2 +
1q2
+ M4T + MP(MP − 4MT ) (40)
ω2SWc2s /R2
0≈
1q2
+(3MP − 4MT )
q2MP (41)
V. I. Ilgisonis et. al., Plasma Phys. Control. Fusion (2011)
ω2ZFc2s /R2
0≈
0, (Regime adiabático)
M2P
q2 > 0 para M4T M2
P , (Regime isotérmico)(42)
A. G. Elfimov, Plasma Phys. Control. Fusion (2011)
Regime isométrico → estabilidade ?? Trabalho futuro
21/32
Anisotropia de pressão e efeitos diamagnéticos (dois fluidos)γi = 5/3 Reg. fluido
γe = 1 Reg. adiabático e isotérmico
π‖i 6= 0 Anisotropia de pressão iônica
ωGAM =
(74
+Te
Ti
)1/2
︸ ︷︷ ︸Ωg0
vTi
R0
︸ ︷︷ ︸γi = 5/3 → γ
(efetivo)i = 7/4 (Obtenção do resultado cinético pela teoria de fluidos)
(43)
ω2GAM ≈
Ω2
g0v2TiR2
0+
1+Te/Ti +ηiΩ2
g0ω2∗e
3/4−ηiΩ2
g0ω2∗e Instável se ηi > 3/4
, Φ±1 = ±i2
Te
Ti
vTi /R0
ωGAM ± ω∗ekrρi Φ0 (44)
ω∗e =Te
eBrLN∼ρi/LN
R0/rωGAM︸ ︷︷ ︸
Frequência diamagnética de elétrons
, ηi =LN
LTi
,1
LN=
1n0
∂n0∂r
,1q
LTi =1Ti
∂Ti
∂r(45)
R. J. F. Sgalla, Phys. Lett. A (2013)
Correções de O(q−2) → Modelo girocinético
22/32
Modelo girocinético
Procedimento para obtenção da relação de dispersãoSoluções no limite de fluidoTaxa de amortecimento não colisional(amortecimento de Landau)
23 / 32
23/32 R. J. F. Sgalla, Investigação Cinética de Modos Geodésicos de Baixas Frequências em Plasmas Magnetizados
Procedimento para obtenção da relação de dispersão
(∂t + vgα ·∇)gα = J0(k⊥ραx)
(∂lnFMα
∂Eα∂
∂t+
b×∇ lnFMα
mαωcα· ik⊥
)eαΦFMα (46)
∞∑m=−∞
[−
Ωdα
2g (α)m−1 + [1−mΩtrα]g (α)
m + iΩdα
2g (α)m+1 − (1−mΩ∗α)J0
eαΦm
TαFMα
]e−imθ = 0
Ωdα = σα
(x2
2+ y2
)TαTi
krρiΩ
, Ωtrα =
√miTαmαTi
yqΩ
, ρe ≈ 0, krρi 1, ωtre →∞
Ω∗α = σα
[1 + ηα
(x2 + y2 −
32
)]ω∗α
ω, x , y =
v⊥, v‖vTα
, Ω =R0ω
ω, FMα =
n0e−(x2+y2)
π3/2v3Tα
g (α)mmin ≈ g (α)
mmax ≈ 0︸ ︷︷ ︸Φm ∼ kmr ρ
mi Φ0
→ nα =⟨fα⟩
︸ ︷︷ ︸Int. espaço vel.
→ e(ni − ne) = 0︸ ︷︷ ︸Quasi-neutralidade
→ F(Ω) + iK(Ω) = 0︸ ︷︷ ︸Relação de dispersão
24/32
Limite de fluido e limite cinético (amortecimento de Landau)
ωtre →∞,1
1− Ωtre→ 0 (Elétrons no regime adiabático)︸ ︷︷ ︸
Resposta de Boltzamamn
(47)
⟨1
1− Ω2tri
⟩= 〈1〉+
⟨Ω2tri⟩
+⟨O(Ω4
tri)⟩
(Limite de fluidos)
∝ Z(qΩ) =1√π
∫ ∞−∞
dye−y2
y − qΩ︸ ︷︷ ︸Amortecimento de Landau
(Limite cinético) (48)
Aproximação para o tratamento analítico da relação de dispersão:
Ωsol = ΩR + iΓ, |Γ|ΩR 1
D(Ω) ≈ F(ΩR) + iK(ΩR) + iΓ(F ′(ΩR) + iK′(ΩR) = 0
F(Ω) = 0→ ΩR
Γ = − K(ΩR )F′(ΩR )
→ Γ
(49)
25/32
Soluções no limite de fluidos
ΩSOL =R0ωSOL
vTi
, Ω2g0 =
74
+Te
Ti, c2s =
(γi + γe
Te
Ti
) v2Ti
2, ηi =
∂r lnTi
∂r ln n0, LN = ∂r ln n0
GAM (para q 1, ω∗e vTi /R0):
Ω2GAM = Ωg0 + (...)
1q2
+ (...)ω2∗e
v2Ti/R2
0> Ωg0 (50)
SW (para Ti Te , ω∗e/k‖vTi 1):
Ω2SW =
12
(Te
Ti+
74
Ti
Te
)1q2
<c2s /q2R2
0v2Ti
/R20
(51)
Dia (para ω∗e/k‖vTi 1):
Ω2Dia =
34ω2∗eR2
0Ω2
g0v2Ti
+ (...) 1q2 para ηi 3/4
−Γinst ≈ −ηi(ω2∗eR2
0Ω2
g0v2Ti− 1
2q2
)para ηi 3/4 e ω2∗e > Ω2
g0/2q2
(52)
O fator q desempenha um papel importante na estabilidade (ηi 3/4 e LN < (...)q2)
26/32
Taxas de amortecimento (efeito cinético)
ΓGAM = −√π
2q5Ω4
g0
[1 + (...)
1q2
+ (...)ω2∗eR2
0v2Ti
]e−q2Ω2
GAM (53)
ΓSW = −√π
21q
[12
T 2e
T 2i
+ (...)qω∗e
vTi /R0+ (...)
q2ω2∗ev2Ti
/R20
]e−q2Ω2
SW para ω∗e/k‖vTi 1 (54)
ΓDia = −√π
234
(1 +
Te
Ti
)ω6∗eR6
0Ω6
g0v6Ti
[1 + (...)
v2Ti/R2
0
q2ω2∗e
]e−q2Ω2
Dia para ω∗e/k‖vTi 1 (55)
R. J. F. Sgalla et. al., 40th EPS (2013)Para q baixo ΩgGAM > ΓSW e para q alto ΓGAM < ΓSW
Modos diamagnéticos são fracamente amortecidos
27/32
Conclusões e direções futuras28 / 32
28/32 R. J. F. Sgalla, Investigação Cinética de Modos Geodésicos de Baixas Frequências em Plasmas Magnetizados
Conclusões
Com rotação poloidal surge um novo modo geodésico rela-cionado à de ondas de som e a frequência dos fluxos zonaissofre um aumento.A estabilidade de modos diamagnéticos depende da razão entreos gradientes de temperatura e de densidade e do produto dogradiente de densidade pelo fator de segurança
A existência de uma relação direta entre rotação poloidal e gra-dientes de temperatura permite a formulação de modelos alter-nativos que facilitam a investigação de GAM e ZF.
O amortecimento de Landau para GAM tende a ser mais intensono centro do plasma devido a valores menores de q nesta região.
Medidas experimentais da frequência de modos geodésicos po-dem fornecer informações sobre o equilíbrio MHD e sobre o perfilradial de temperatura de íons e, portanto, a área de diagnósticospode se beneficiar da investigação destes modos.
29/32
Direções futuras
Teoria de fluidos
− Efeitos eletromagnéticos: Considerar A‖ 6= 0 e segundos har-mônicos (m = ±2) para investigar a influência de gradiente detemperatura de elétrons (ηe) em modos geodésicos.
− Automodos geodésicos: Considerar termos de O(k4r ρ4i ) para
obter a equação de auto-valor (k2r → −d2/dr2) e determinar aestrutura radial do potencial eletrostático perturbado (Φ(r)) eda temperatura de íons (“espectroscopia com GAM”).
R. J. F. Sgalla et. al., 12 oEncontro Brasileiro de Física dos Plasmas (2013)
30/32
Teoria cinética
− Partículas energéticas: Investigar a influência de uma pequenafração de íons a alta temperaturas em modos geodésicos emplasmas sujeitos à injeção de partículas neutras (NBI).A. G. Elfimov et. al., 41st EPS (2014)
− Partículas aprisionadas: Importante ao estudo de transporteneoclássico especialmente no regime de Banana
− Modos geodésicos em tokamaks de baixa razão de aspecto:Adaptar o código NOVA, atualmente utilizado no estudo de mo-dos alfvênicos no NSTX (National Spherical Tokamak Experi-ment) em Prínceton (USA), para o estudo de modos geodésicosno TCABR. Projeto de Pós Doc (FAPESP)
31/32
