IV - Equações de Saint-Venantw3.ualg.pt/~rlanca/tese-mestrado/tm-04-eq-s-venant.pdf · Capítulo IV - Equações de Saint-Venant Universidade de Évora ... Assumindo que a densidade

Capítulo IV - Equações de Saint-Venant

Universidade de Évora - Mestrado em Engenharia do Solo e da Água 47

IV - Equações de Saint-Venant

O escoamento da água sobre o solo é um processo distribuído, porque o caudal,

velocidade e altura da lâmina de água variam no tempo e no espaço. O cálculo destas

variáveis pode ser efectuado através das equações de Saint-Venant. Estas são equações

diferenciais às derivadas parciais, que permitem o cálculo do caudal e da altura da lâmina de

água como funções do tempo e do espaço.

A dedução das equações de Saint-Venant baseia-se nos seguintes pressupostos:

- O escoamento é unidimensional, a profundidade e a velocidade variam só na

direcção longitudinal do canal. Isto implica que a velocidade é constante e a

superfície da água é horizontal numa secção perpendicular ao eixo longitudinal

do canal;

- O escoamento varia gradualmente ao longo do canal, podendo-se desprezar

as acelerações verticais e considerar a distribuição de pressões segundo a

vertical hidrostática;

- O eixo longitudinal do canal é aproximadamente uma linha recta;

- O declive do fundo é pequeno e o fundo não é móvel, ou seja os efeitos do

destacamento e deposição não influenciam o escoamento;

- Os coeficientes de rugosidade para o regime permanente e uniforme são

aplicáveis, sendo válidas as equações de Manning ou Chézy para os

quantificar.

- O fluido é incompressível e com densidade constante.

IV.1. Equação da continuidade

Considerando um volume de controlo elementar, com um comprimento fixo dx,

conforme esquematizado nas figuras IV.1.1, IV.1.2 e IV.1.3.


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Linha de energia

S0

Nível de referência

y

z

h

1

Figura IV.1.1 - Volume de controlo (Perfil longitudinal)

qq

qq

qq

qq

Figura IV.1.2 - Volume de controlo (Planta)

y

z

w

dw

B

h

Figura IV.1.3 - Volume de controlo (Perfil transversal)



O caudal que entra no volume de controlo é a soma do caudal Q que entra pela secção

de montante com o caudal de percurso q que entra lateralmente. O caudal q é dado em

m3/s/m assim o caudal total de percurso é dado por:

dxq ⋅ (IV.1.1)

então a entrada de massa para o volume de controlo é dada por:

( )∫∫ ⋅+⋅−=⋅⋅entrada

dxqQdAV ρρ (IV.1.2)

O sinal negativo aparece porque os caudais de entrada são considerados negativos no

teorema de transporte de Reynolds. A massa que sai do volume é dada por:

∫∫

⋅

∂∂+⋅=⋅⋅

saida

dxxQ

QdAV ρρ (IV.1.3)

em que:

xQ

∂∂

(IV.1.4)

representa a variação do caudal no volume de controlo ao longo da distância. O volume

do elemento é dado por:

dxA ⋅ (IV.1.5)

sendo A a área média da secção transversal. Assim a variação da massa armazenada

no volume de controlo é dada por:

( )∫∫∫ ∂

⋅⋅∂=∀⋅⋅t

dxAd

dtd ρρ (IV.1.6)

A saída de massa do volume de controlo é calculada por:

( ) ( ) 0=

⋅

∂∂

+⋅+⋅+⋅−∂

⋅⋅∂dx

xQ

QdxqQt

dxAρρ

ρ(IV.1.7)

Ou seja a soma da massa que sai com a variação no interior volume de controlo é igual

á massa que entra.

Assumindo que a densidade do fluido ρ é constante, a equação IV.1.7 pode ser

dividida por dx⋅ρ , de onde se obtém a equação da conservação da massa:

qtA

xQ =

∂∂+

∂∂

(IV.1.8)



IV.2. Equação da conservação da quantidade de movimento

A segunda equação de Newton:

tP

F∂∂= (IV.2.1)

em que:

F força;

P quantidade de movimento;

t tempo.

pode ser escrita na forma do teorema de transporte de Reynolds:

∫∫∫∫∫∑ ⋅⋅⋅+∀⋅⋅⋅= dAVVdVdtd

F ρρ (IV.2.2)

A equação anterior mostra que o somatório das forças aplicadas na massa de fluido

contida no interior do volume de controlo é igual á variação da quantidade de movimento no

interior do volume de controlo mais a quantidade de movimento que sai do referido volume.

As forças que actuam sobre o fluido contido no volume de controlo são:

Fg força gravitica;

Ff força de atrito com o fundo e laterais do volume de controlo;

Fe força de contracção ou expansão causada por variações bruscas da

geometria do canal;

Fw força do vento na superfície do fluido;

Fp diferença de pressão.

A componente da força gravitica que actua sobre o fluido no interior do volume de

controlo segundo a direcção do escoamento é determinada como o produto do peso

volúmico pelo volume do fluido pelo seno do ângulo que o fundo faz com a horizontal. Para

inclinações pequenas, o seno é aproximadamente igual à tangente:

dxSAgsindxAgFg ⋅⋅⋅⋅≈⋅⋅⋅⋅= 0ρθρ (IV.2.3)

A força de atrito causada pelo esforço transverso ao longo do fundo e lados do volume

de controlo é dada por:

dxP ⋅⋅− 0τ (IV.2.4)

sendo:



0τ tensão tangencial ou de arrastamento;

P perímetro molhado;

dx comprimento do volume de controlo.

A tensão tangencial ou de arrastamento 0τ é calculada por:

fSR ⋅⋅= γτ0 (IV.2.5)

sendo:

γ peso volúmico do fluido;

R raio hidráulico;

Sf declive da linha de energia.

como o peso volúmico é dado por:

g⋅= ργ (IV.2.6)

e o raio hidráulico define-se como:

PA

R = (IV.2.7)

substituindo na equação IV.2.5, a tensão tangencial define-se como:

fSPA

g ⋅⋅⋅= ρτ0 (IV.2.8)

assim a força resultante devido ao atrito é calculada por:

dxSAgF ff ⋅⋅⋅⋅−= ρ (IV.2.9)

Expansões ou contracções bruscas do canal provocam perdas de energia devido a

remoinhos. Essas perdas são proporcionais à variação da energia cinética ao longo do

comprimento do canal:

2

22

22 AgQ

gV

Ec ⋅⋅=

⋅= (IV.2.10)

As forças que causam essa perda de carga são calculadas por:

dxSAgF ee ⋅⋅⋅⋅−= ρ (IV.2.11)

sendo Se a perda de carga devida à expansão ou contracção. Se é calculado pela

seguinte expressão:



xAQ

gK

S ee ∂

∂

⋅⋅

=

2

2(IV.2.12)

em que:

Ke factor de expansão ou contracção, negativo para expansões e positivo

para contracções;

O efeito do vento é causado pela fricção entre o ar e a superfície livre do volume de

controlo e é dado por:

dxBF ww ⋅⋅= τ (IV.2.13)

sendo:

wτ tensão tangencial entre o ar e a superfície livre do volume de

controlo;

B largura superficial da secção transversal.

A tensão tangencial numa fronteira de um fluido pode ser escrita como:

2rrf

w

VVC ⋅⋅⋅−=

ρτ (IV.2.14)

sendo:

Vr velocidade relativa entre o fluido e o ar;

Cf coeficiente da tensão tangencial entre o fluido e o ar;

Como a velocidade média do escoamento é dada por:

AQ

U = (IV.2.15)

e designando a velocidade do vento por Vw , a velocidade relativa entre o ao e o fluido

é calculada por:

( )ϖcos⋅−= wr VAQ

V (IV.2.16)

em que:

ϖ é o ângulo formado entre a direcção do vento e a direcção do

escoamento;



Assim a força resultante da acção do vento sobre o fluido contido no volume de

controlo é dada por:

dxBVVC

F rrfw ⋅⋅

⋅⋅⋅−=

2

ρ(IV.2.17)

chamando:

2rrf

f

VVCW

⋅⋅= (IV.2.18)

resulta:

dxBWF fw ⋅⋅⋅−= ρ (IV.2.19)

A resultante devido à diferença de pressões hidrostáticas entre a secção de montante a

e secção de jusante do volume de controlo e à contracção ou expansão do canal, é

determinada por:

plpjpmp FFFF +−= (IV.2.20)

sendo:

Fpm resultante da pressão hidrostática actuante na secção de montante;

Fpj resultante da pressão hidrostática actuante na secção de jusante;

Fpl resultante da pressão hidrostática segundo a direcção do

escoamento nas laterais do volume de controlo;

De acordo com a figura IV.1.3, um elemento de altura dw a uma altura w medida a

partir do fundo do canal e a uma profundidade y-w, está sujeito a uma pressão hidrostática:

( )wyg −⋅⋅ρ (IV.2.21)

e consequentemente uma força hidrostática dada por:

( ) dwbwyg ⋅⋅−⋅⋅ρ (IV.2.22)

Assim, a força hidrostática actuante na secção de montante do volume de controlo é

dada por:

( )∫ ⋅⋅−⋅⋅=y

pm dwbwygF0

ρ (IV.2.23)

Consequentemente a resultante das pressões hidrostáticas actuantes na secção de

jusante do volume de controlo é dada por:

dxx

FFF pm

pmpj ⋅∂

∂+= (IV.2.24)



Aplicando a regra de Leibnitz para a primitivação de um integral, vem:

( )∫ ∫ ⋅∂∂

⋅−⋅⋅+⋅⋅∂∂

⋅⋅=∂

∂ y ypm dw

xb

wygdwbxy

gx

F

0 0

ρρ (IV.2.25)

( )∫ ⋅∂∂

⋅−⋅⋅+∂∂

⋅⋅=∂

∂ ypm dw

xb

wygxy

gx

F

0

ρρ (IV.2.26)

Como a área da secção transversal do escoamento é dada por:

∫ ⋅=y

dwbA0

(IV.2.27)

A força resultante da pressão hidrostática actuante nas laterais do volume de controlo

está relacionada com a variação da largura do canal:

xb

∂∂

(IV.2.28)

ao longo do comprimento do volume de controlo dx, e é dada por:

( ) dxdwxb

wygFy

pl ⋅

⋅

∂∂⋅−⋅⋅= ∫

0

ρ (IV.2.29)

Substituindo a equação IV.2.24 na equação IV.2.20, obtem-se:

pl

pm

pmpmp Fdxx

FFFF +

⋅

∂∂

+−= (IV.2.30)

pb

pm

p Fdxx

FF +⋅

∂

∂−= (IV.2.31)

Substituindo IV.2.26 e IV.2.29 em IV.2.31, vem:

dxxy

AgFp ⋅∂∂⋅⋅⋅−= ρ (IV.2.32)

O somatório das forças actuantes no fluido contido no volume de controlo, é dada por:

dxxy

AgdxBW

dxSAgdxSAgdxSAgF

f

ef

⋅∂∂⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=∑ρρ

ρρρ 0

(IV.2.33)

Os dois termos do lado direito da equação IV.2.33, 2ª lei de Newton escrita na forma

do teorema de transporte de Reynolds, representam a variação e a saída da quantidade de

movimento no volume de controlo respectivamente.



A entrada de massa no volume de controlo é dada por:

( )dxqQ ⋅+⋅− ρ (IV.2.34)

A quantidade de movimento associada é:

( )[ ] βρ ⋅⋅⋅+⋅− VdxqQ (2.2.35)

sendo β um factor de correcção da quantidade de movimento ou coeficiente de

Boussinesq que toma em consideração a distribuição de velocidades na secção transversal:

∫∫ ⋅⋅⋅

= dAvAV

22

1β (IV.2.36)

Segundo Chow 1959 e Henderson 1966, os valores de β variam entre 1.01 para

canais prismáticos e 1.33 para canais naturais com margens de inundação.

Assim pode-se escrever:

( )∫∫ ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅entrada

x dxqvQVdAVV ββρρ (IV.2.37)

E a quantidade de movimento que sai do volume de controlo é dada por:

( )∫∫

⋅

∂⋅⋅∂

+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅saida

dxx

QVQVdAVV

ββρρ (IV.2.38)

O balanço da quantidade de movimento é:

[ ] ( )

⋅

∂⋅⋅∂+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=

=⋅⋅⋅∫∫

dxx

QVQVdxqvQV

dAVV

x

ββρββρ

ρ.sup

(IV.2.39)

simplificando:

( )∫∫ ⋅

∂⋅⋅∂−⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅ dx

xQV

qvdAVV x

ββρρ (IV.2.40)

Como o volume do elemento é:

dxA ⋅ (IV.2.41)

então a sua quantidade de movimento é:

dxQVdxA ⋅⋅⇔⋅⋅⋅ ρρ (IV.2.42)

Assim a variação da quantidade de movimento armazenada no volume de controlo em

ordem ao tempo é:



∫∫∫ ⋅∂∂⋅=∀⋅⋅⋅ dx

tQ

dVdtd ρρ (IV.2.43)

Substituindo as forças actuantes no fluido contido no volume de controlo e os termos da

quantidade de movimento na equação IV.2.2, obtém-se:

( )dt

tQ

dxx

QVvdx

xy

Ag

dxBWdxSAgdxSAgdxSAg

x

fef

⋅∂∂⋅+⋅

∂⋅⋅∂−⋅⋅−=⋅

∂∂⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅

ρββρρ

ρρρρ 0

(IV.2.44)

Dividindo toda a equação por:

dx⋅ρ

e substituindo V por:

AQ

obtém-se a equação da quantidade de movimento na sua forma conservativa:

00

2

=⋅+⋅⋅−

++−

∂∂⋅⋅+

∂

⋅∂

+∂∂ ββ

βfxef WvqSSS

xy

Agx

AQ

tQ

(2.2.45)

Admitindo que o caudal de percurso entra no canal numa direcção perpendicular à

direcção do escoamento:

0=xv (2.2.46)

desprezando o efeito do vento:

0=fW (2.2.47)

e dividindo por A, obtém-se:

( ) 011

0

2

=−⋅−∂∂

⋅+

⋅

∂∂

⋅+∂∂

⋅ fSSgxy

gA

QxAt

QA

(2.2.48)

Resumindo as equações de Saint-Venant são duas equações diferenciais às derivadas

parciais, uma é a equação da continuidade (IV.1.18) e outra a equação da quantidade de

movimento (IV.2.48).

Os termos da equação IV.2.48 têm os seguintes significados:



tQ

A ∂∂⋅1

representa a aceleração local, que descreve a

variação da quantidade de movimento devida a variação

da velocidade em ordem ao tempo;

⋅

∂∂

⋅A

QxA

21representa a aceleração convectiva e descreve a

variação da quantidade de movimento devida a uma

mudança de velocidade do escoamento ao longo do

canal;

xy

g∂∂⋅ representa a diferença das resultantes das pressões

hidrostáticas actuantes na fronteira do volume de

controlo e é proporcional à variação da profundidade

do escoamento ao longo do canal;

0Sg ⋅ representa a acção da gravidade e é proporcional ao

declive do fundo do canal;

fSg ⋅ representa a acção do atrito com o fundo e as margens

do canal;

Os termos da aceleração local e convectiva representam os efeitos da acção de forças

inerciais no escoamento.

Quando o caudal ou a altura da lâmina de água muda num ponto num escoamento

lento, os efeitos dessa perturbação propagam-se para montante. Esses efeitos são

considerados no modelo distribuído pelos termos da aceleração local, convectiva ou

diferença de pressão.

Utilizando um modelo sintético é impossível simular esses efeitos, pois estes modelos

não possuem meios de simular este tipo de perturbações.

Existem vários modelos distribuídos que têm como base as equações de Saint-Venant,

como por exemplo o Full Equations Model, Franz, 1997 ou o FLDWAV, Fread, 1998.

Empregando a equação da continuidade e considerando todos os termos da equação

da quantidade de movimento, obtém-se o modelo de ONDA DINÂMICA.



Se se desprezar os termos inerciais da equação de quantidade de movimento obtém-se

o modelo de INERCIA NULA.

Não considerando os termos inerciais nem os termos da diferença de pressão na

equação da quantidade de movimento obtém-se o modelo de ONDA CINEMATICA.

Este modelo é aplicável quando a lâmina de água tem espessura reduzida, as forças

mais importantes aplicadas ao fluido são a gravidade e o atrito e a velocidade do escoamento

não varia consideravelmente, sendo a aceleração reduzida.

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