João Vítor da Silva Teoria Geométrica da Medida e Aplicações · de Oliveira, José Deibsom da Silva, José Ederson Melo Braga, Leon Denis da Silva, Raimundo de Araújo Bastos

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ - UFC

CENTRO DE CIÊNCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA

.

João Vítor da Silva

Teoria Geométrica da Medida e Aplicações

Fortaleza

2011

João Vítor da Silva

Teoria Geométrica da Medida e Aplicações

Dissertação submetida à Coordenação do Curso de

Pós-graduação em Matemática da Universadade Federal

do Ceará, como requisito para obtenção do grau de

Mestre em Matemática.

Área de concentação: Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Eduardo Vasconcelos Oliveira

Teixeira.

Fortaleza

2011

Silva, João Vítor da

S58t Teoria geométrica da medida e aplicações/ João Vítor da Sil-

va.- - Fortaleza, 2011.

193f.

Orientador: Prof. Dr. Eduardo Vasconcelos Oliveira Teixeira

Área de concentração : Matemática

Dissertação(Mestrado) - Universidade Federal do Ceará,

Centro de ciências, Departamento de Matemática, Fortaleza,

2011.

1. Análise I. Teixeira, Eduardo Vasconcelos Oliveira (Orient.)

CDD 515

Dedicatória

Dedico este trabalho aos meus pais, Maria

Socorro Mendonça Silva e João Virgínio da

Silva, e, a Maria Selene Bezerra de Carvalho

todos estes os quais amo muito.

4

Tarde te amei, ó beleza tão antiga e tão nova!

Tarde demais eu te amei!

Eis que habitavas dentro de mim e eu te procurava do lado de fora!

Eu, disforme, lançava-me sobre as belas formas das tuas criaturas.

Estavas comigo, mas eu não estava contigo.

Retinham-me longe de ti as tuas criaturas, que não existiriam se

em ti não existissem.

Tu me chamaste, e teu grito rompeu a minha surdez.

Fulguraste e brilhaste e tua luz afugentou a minha cegueira.

Espargiste tua fragrância e, respirando-a, suspirei por ti.

Tu me tocaste, e agora estou ardendo no desejo de tua paz...

Santo Agostinho

5

Agradecimentos

Aos meus pais: Maria Socorro Mendonça Silva e João Vígínio da Silva pela criação,

amor, carinho, confiança e oportunidade de me oferecerem uma educação dígna e o caráter

o qual possuo hoje. Aos meus quatro irmão: Antônio Ednaldo da Silva, Eliana Mendonça

da Silva Lemos, Juliana Virgínia da Silva e Cícero Leond Mendonça da Silva por sempre

estarem do meu lado me apoiando em todos os momentos.

Aos amigos de graduação que estarão sempre em meu coração: Fabiano Luiz da Silva,

Antônio Emiliano Ribeiro, Cícera Ferreira dos Santos e Rosilda Benício de Sousa. Aos

professores do ensino Fundamental e Médio que contribuiram de maneira significativa para

minha formação: Ivone, Lurdes, Inês, Solange, Carlos Sérgio, Joana Angélica, Valdênia,

Raimundo Porfílio, Vanda Caciano e Rosa Maria. Aos professores da graduação na

Universidade Regional do Cariri e no IFCE os quais me estimularam a dar continuidade em

meus estudos: Evandro Carlos Ferreira dos Santos, Carlos Humberto Soares Júnior, Mário

de Assis Oliveira, Zeláber Gondim Guimarães, Carlos Alberto Soares de Almeida, Pedro

Ferreira de Lima, Fernando Luis e Juscelino Pereira Silva. Aqueles meus companheiros os

quais estiveram mais presentes em meu mestrado: Cícero Tiarlos Nogueira Cruz, Francisco

Pereira Chaves, Priscila Rodrigues de Alcântara, Maria de Fátima Cruz Tavares, Júnio

Moreira de Alencar, Francisco de Assis Benjamim Filho, Maria Wanderlândia Coriolano de

Lavor, José Loester Sá Carneiro, Antonio Wilson Rodrigues da Cunha, Filipe Mendonça

de Lima, Francisco Calvi da Cruz Júnior, João Francisco da Silva Filho, Antonio Edinardo

de Oliveira, José Deibsom da Silva, José Ederson Melo Braga, Leon Denis da Silva,

Raimundo de Araújo Bastos Júnior, Rondinelle Marcolino Batista, Tiago Mendonça

Lucena de Veras, Valéria Gerônimo Pedrosa, Ana Shirley Monteiro da Silva, Disson,

Adriano e aqueles os quais não tive a oportunidade de ser colega de turma, mas me

tornara amigo: do doutorado: Flávio França Cruz, José Nazareno Vieira Gomes, Kelton

Silva Bezerra, Marco Antonio Lázaro Velásquez ,e, do mestrado: Rachel Costa da Silva,

Elaine Sampaio, Robério Alexandre Coelho, André, Renato e Leonardo.

A todos os meus companheiros de disciplina Seminário II: Damião Júnio Gonçalves de

Araújo, Michel Pinho Rebolças, Isaías Pereira de Jesus, Raimundo Alves Leitão Júnior

e Marcelo Dário dos Santos Amaral, que foram incentivadores e contribuiram de várias

formas para o sucesso, conclusão e aperfeiçoamento deste trabalho.

Aos funcionários do departamento de matemática, principalmente a secretária da

Pós-Graduação Andrea Costa Dantas pela sua atenção e eficiente trabalho, e, aos

funcionários da biblioteca: Seu Erivan, Dona Fernanda e dona Rosilda, todos estes pelo

auxílio prestado durante todo o curso de mestrado.

A meu orientador Eduardo Vasconcelos Oliveira Teixeira pelo incentivo e confiança na

conclusão deste trabalho.

Aos professores do curso de mestrado em matemática: Luquésio Petrola de Melo

Jorge, Silvano Dias Bezerra de Menezes, Cleon da Silva Barroso, Antônio Caminha

Muniz Neto, Jorge Herbert Soares de Lira, José Othon Dantas Lopes, Aldir Chaves

Brasil Júnior, Marcos Ferreira de Melo, João Lucas Marques Barbosa, José Fábio Bezerra

Montenegro, Diego Ribeiro Moreira e Eduardo Vasconcelos Oliveira Teixeira, pela ímpar

e incomensurável contribuição, experiência e exemplo que todos esses me forneceram.

À minha querida Maria Selene Bezerra de Carvalho pelo amor, dedicação, incentivo e

compreensão nas horas mais necessárias e difíceis as quais esteve sempre do meu lado.

À FUNCAP pelo suporte financeiro.

Aos membros da banca.

A nossa Mãe do Céu, Nossa Senhora, a quem devo agradecer por sua constante

vigilância e interseção por mim perante seu amadíssimo filho, Nosso Senhor Jesus Cristo.

E acima de Tudo a Deus, o Pai e criador; Jesus Cristo, o Filho Salvador e o Espírito

Santo, santificador e luz do mundo. A Este(s) não enumero os motivos pela simples razão

de não ser possível caberem todos estes em nenhum livro.

7

Resumo

O presente trabalho de mestrado visa estudar alguns dos trabalhos do matemático

italiano Ennio De Giorgi, os quais fazem referência a existência e regularidade

de superfícies mínimas, mas estas não contextualizadas integralmente no âmbito da

Geometria Diferencial, mas sim voltadas a um campo da matemática a algumas décadas

implementada que a Teoria Geométrica da Medida. Segundo as definições de Ennio

De Giorge iremos estudar superfícies, que para o mesmo se davam como bordos de

certos conjuntos, os quais são denotados de conjuntos de Caccioppoli, homenagem

esta dada por De Giorgi a o matemático italiano Renato Caccioppoli, tais conjuntos

tem muitas propriedades geométricas interessantes, como por exemplo adimetem plano

tangente canônico em quase todo ponto, e, possuem “perímetro” finito. Os resultados

expostos constatarão que até a dimensão 7 todas as soluções do problema de Plateau são

regulares e em geral sua classe de regularidade é C1,α.

Nossos esforços se concentrarão em:

i. Definir o que é uma superfície, em geral de modo a ter-se um conceito mais amplo

que variedades, mas com alguma Geometria Diferencial;

ii. Mostrar que existem superfícies mínimas que minimizam área via um Teorema de

Compacidade;

iii. Provar a regularidade da superfície, ou seja, a superfície é uma variedade suave.

Enfim, os resultados deste trabalho em sua maioria serão baseados na obra: M¯

inimal

Surface and Function of Bounded Variation do autor Enrico Giusti, o qual resume bem

as técnicas de Teoria Geométrica da Medida referentes aos trabalhos de Ennio De Girogi

sobre teoria de regularidade de superfícios mínimas.

Esta obra tratará do problema de Plateau, que é encontrar uma hipersuperfície de área

mínima que abrange determinado limite. Foi somente em 1930-1931 que uma solução deste

problema foi encontrada por Douglas e Radó para superfícies em R3, e levou mais 30 anos

i

até que o caso em dimensões superioriores pudesse ser atacado por meio de métodos da

teoria da medida. Pioneiros destes novos métodos foram De Giorgi, Reifenberg, Almgren,

Fleming, e Federer.

Este trabalho é dedicado à representação e abordagem de Ennio De Giorgi ao estudo

de superfícies mínimas paramétricas. De Giorgi definiu hipersuperfícies admissíveis para

o problema de Plateau como limite de sequências de conjuntos de Caccioppoli. Estes

últimos são conjuntos de Borel E em Rn com a propriedade que a derivada distribucional

DχE, ou seja, no sentido das distribuições, da função característica χE é uma medida de

Radon de variação total localmente limitada. O perímetro de um conjunto de Caccioppoli

E em um aberto limitado Ω ⊂ Rn é definido como a variação total de DχE em Ω:

Per(E;Ω) =

∫

Ω

|DχE| = sup

∫

Ω

divg(x)dx;g ∈ C10(Ω;Rn), |g|L∞(Ω) ≤ 1

Com esta noção enfraquecida de “superfície” o problema de Plateau é fácilmente

solucionado no seguinte sentido: Teorema (Existência de uma solução fraca): Sejam Ω

aberto e limitado, e, L um conjunto de Caccioppoli em Rn. Então, na classe dos conjuntos

de Caccioppoli E;E−Ω = L−Ω existe um conjunto de Perímetro mínimo em Ω, o qual

denotaremos conjunto minimal em Ω. A prova da regularidade em quase toda parte, no

entanto, exige um trabalho bastante difícil. Por isso, o noção de fronteira reduzida ∂∗E

de um conjunto E é introduzida como o conjunto dos pontos x ∈ Rn para os quais existe

um vetor normal unitário generalizado ν(x) como o limite de quando ρ → 0 dos vetores

νρ(x) =

∫

B(x,ρ)

DχE

∫

B(x,ρ)

|DχE|

.

Teorema (Regularidade parcial): Para qualquer conjunto mínimal E em Ω a fronteira

reduzida Ω∩∂∗E é uma hipersuperfície analítica C1,α e o conjunto singular Ω∩(∂E−∂∗E)

tem dimensão (n−1)−dimensional de Hausdorff nula. As ferramentas para a prova destes

resultados são fornecidas a partir do capítulo 5. Nos capítulos 2-3 serão tratadas algumas

propriedades das funções de variação limitada:compacidade, semicontinuidade da variação

total, aproximação por funções suaves e traços. A prova de regularidade se encontra no

capítulo 8. Trataremos algumas poucas sessões à investigação do conjunto singular. Para

cada ponto x0 ∈ ∂E existe um cone tangente C como limite em L1loc de uma seqüência

adequada de conjuntos de expansão Et = x ∈ Rn : x0 + t(x − x0) ∈ E quando t → 0. O

cone tangente é mínimo se E é mínimal numa vizinhança de x0 e x0 pertence à fronteira

reduzida se e somente se ∂C é um hiperplano.

Teorema (Almgren, Simons): Seja F um cone em Rn cujo fronteira é suave fora do

ii

vértice. Se o primeira e a segundo variações de área de ∂F satisfazerem δA = 0 e δ2A ≥0, então ∂F é um hiperplano para n ≤ 7. n = 7 é a dimensão ótima (Bombieri, De

Giorgi, Giusti). Portanto, para n ≤ 7 a fronteira de todo conjunto mínimal E em Ω ⊂Rn é analítica. Este resultado é completado por outro teorema (Federer): A medida

s-dimensional de Hausdorff do conjunto singular é nula para qualquer s > n− 8.

A leitura deste trabalho exige um conhecimento “razoavelmente” bom em teoria da

medida e alguma familiaridade com a teoria das equações diferenciais parciais elípticas.

Em sua totalidade, o trabalho é, em sua grande maioria uma obra de representação e

exposição de Teoria Geométrica da Medida a qual é um novo ramo da Análise altamente

não trivial.

Palavras-Chaves: Funções de varição limitada, conjuntos de Perímetro finito

(conjuntos de Caccioppoli), conjuntos minimais, Superfícies Mínimas, Regularidade

de Superfícies Mínimas, Problema de Plateau, Problema de Bernstein, Teoria de De

Giorgi-Nash-Moser.

iii

Abstract

This master thesis aims to study some of the work of mathematician Italian Ennio

De Giorgi, which refer to the existence and regularity of minimal surfaces, but these

do not fully contextualized within the Differential Geometry, but focused on a field of

mathematics within a few decades implemented which is the Geometric Measure Theory.

According to the definitions of Ennio De Giorgi will study surfaces, which gave to the same

as maples certain sets, which are denoted Caccioppoli sets , its have many interesting

geometric properties, such as tangent adimetem canonical almost everywhere, and have

finite "perimeter". The above results found that up to size 7 all the solutions to the

problem of Plateau are regular and in general their class of regularity is C1,α Our efforts

will focus on:

i. Defining what is a surface in general to take up a broader concept that varieties,

but with some differential geometry;

ii. Show that there are minimal surfaces which minimize area via a compactness

theorem;

iii. Prove the regularity of the surface, ie, the surface is a smooth manifold.

Finally the results of this study are mostly based on the work: Minimal Surface

and Function of Bounded Variation of the author Enrico Giusti, which summarizes

the techniques of Geometric Measure Theory relating to the work of Ennio De Girogi on

a regularity theory of minimal surfaces.

This work will address the problem of Plateau, which is to find a hypersurface of least

area that covers certain threshold. It was only in 1930-1931 that a solution to this problem

was found by Douglas and Radó for surfaces in R3, and it took another 30 years until the

case could be in higher-dimensions attacked by methods of measure- theorteic. Pioneers

of these new methods were De Giorgi, Reifenberg, Almgren, Fleming, and Federer.

This work is dedicated to representation and Ennio De Giorgi approach to the study of

minimal surfaces parameteric. De Giorgi defined hypersurfaces admissible for the problem

iv

of Plateau as the limit of sequences of sets of Caccioppoli. These latter are útimo Borel

sets E en Rn with the property that the distributional derivative DχE , i.e., in the sense of

distributions, the characteristic function χE is a Radon measure of locally bounded total

variation. The perimeter of a Caccioppoli set E in a limited open ΩRn is defined as the

total variation of DχE in Ω:

Per(E;Ω) =

∫

Ω

|DχE| = sup

∫

Ω


With this weakened notion of “surface” the Plateau problem is easily solved in the

following sense: Theorem (existence of a weak solution): Let Ω open and bounded and

L on a set of Caccioppoli Rn. Then the class of sets Caccioppoli E, E − Ω = L − Ω is

a set of minimal perimeter in Ω, which denote the minimal set in Ω. The proof of the

regularity almost everywhere, however, requires a very difficult job. Therefore, the notion

of reduced boundary ∂∗E of a set E is introduced as the set of points x ∈ Rn for which

there exists a generalized unit normal vector ν(x) as the limit when ρ → 0 of the vectors

νρ(x) =

∫

B(x,ρ)

DχE

∫

B(x,ρ)

|DχE|

.

Theorem (partial regularity): For any minimal set E in Ω the reduced boundary Ω∩∂∗E

is an analytic hypersurface and the singular set Ω∩ (∂E− ∂∗E) has (n− 1)−dimensional

Hausdorff measure 0.

Tools for the proof of these results are provided from Chapter 5. In chapters 2-3 will

address some properties of functions of bounded variation: compactness, semicontinuity of

the total variation, approximation by smooth functions and trace. The proof of regularity

found in Chapter 8. We will try a few sessions to the investigation of the singular set.

For every point x0 ∈ ∂E there exists a tangent cone C as the limit at Lloc1 for proper

sequence of sets of expansion Et = x ∈ Rn : x0 + t(x− x0) ∈ E when t → 0. The tangent

cone is minimal if E is minimal in a neighborhood of x0 and x0 belongs to the reduced

boundary if and only if ∂C is a hyperplane.

Theorem (Almgren, Simons): Let F be a cone in Rn whose boundary is smooth outside

the vertex. If the first and second variations of area of ∂F satisfy δA = 0 and δ2A ≥ 0,

then ∂F is a hyperplane for n ≤ 7. n = 7 is optimal (Bombieri, De Giorgi, Giusti).

Therefore, for n ≤ 7 the boundary Ω∩ ∂E of every minimal set E in Ω ⊂ Rn is analytic.

This result is completed by another theorem (Federer): The s−dimensional Hausdorff

measure of the singular set vanishes for any s > n− 8.

v

Reading this work requires a knowledge “fairly” good in measure theory and some

familiarity with the theory of elliptic partial differential equations. In their totality, the

work is mostly a work of representation and exhibition of Geometric Measure Theory

which a new branch of highly nontrivial analysis.

Key Words: Functions of Bounded variation, sets of finite perimeter (Caccioppoli

sets), minimal sets, Minimal Surfaces, Regularity of Minimal Surfaces, Problem’s Plateau,

Bernstein’s Problem, Theory of De Giorgi-Nash-Moser.

vi

Conteúdo

1 Introdução 1

1.1 Um pouco de História e alguns comentários . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 As Grandes Personalidades e o Legado destas . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Preliminares 5

2.1 Algumas noções de Teoria da Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Medida de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Funções de variação limitada e conjuntos de Caccioppoli . . . . . . . . . . 19

2.3.1 Propriedades dos conjuntos de Caccioppoli . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.2 A fórmula de Gauss-Green e o Teorema Estrutural . . . . . . . . . 27

2.4 Regularizantes Simétricos (Mollifiers) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.1 Propriedades dos Regularizantes Simétricos (Mollifiers) . . . . . . . 33

2.5 Aproximação de Funções BV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6 Existência de Superfícies Mínimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.6.1 Teoremas de compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.7 Aproximação de conjuntos de Caccioppoli por funções C∞ . . . . . . . . . 42

2.8 Desigualdade de Sobolev e consequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3 Teoria do Traço para Funções de Variação Limitada 49

3.1 Traço de Funções em W1,p(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2 Traço de Funções de Variação Limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.1 O Teorema de Lebesgue-Besicovitch e o Lema de Recobrimento de

Vitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.2 O Teorema do Traço e a Fórmula de Gauss-Green para C+R . . . . . 54

4 A Fronteira Reduzida 63

4.1 Fronteira Reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.1.1 O Lema de Gauss-Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

vii

4.1.2 Densidade no sentido da medida teórica . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2 Blow-up da Fronteira Reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.3 Semi-Espaço Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5 Regularidade da Fronteira Reduzida 79

5.1 Resultados preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.1.1 A classe Γn−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2 O Teorema Estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.2.1 Conjuntos contavelmente rectificáveis e puramente não-rectificáveis 86

5.3 Regularidade C1 da Fronteira Reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.3.1 Representação localmente Lipschitz de ∂E . . . . . . . . . . . . . . 93

5.4 A medida Teórica da fronteira e o Teorema de Gauss-Green . . . . . . . . . 97

5.4.1 Medida Teórica da Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.4.2 Teorema de Gauss-Green Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.4.3 Comentários sobre Densidade-Rectificabilidade de conjuntos . . . . 100

6 Algumas Desigualdades 102

6.1 Alguns Lemas Técnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.1.1 O Desvio de Minimalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7 Aproximação de conjuntos minimais 113

7.1 O Lema de decaimento de De Giorgi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7.1.1 O Desvio de Planridade (Flatness) - O excesso de área . . . . . . . 114

7.1.2 A Filosofia do Lema de Decaimento de De Giorgi . . . . . . . . . . 120

7.2 Superfícies Mínimas e Harmônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7.2.1 Comentários sobre Espaços de Campanato . . . . . . . . . . . . . . 121

7.2.2 O lema de decaimento de De Giorgi para superfícies harmônicas . . 122

7.3 Aproximação de conjuntos de Caccioppoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

8 Regularidade de Superfícies Mínimas 141

8.1 Teoria de Regularidade Básica (Analiticidade) . . . . . . . . . . . . . . . . 142

8.1.1 Hölder continuidade da fronteira reduzida . . . . . . . . . . . . . . 147

8.2 O Teorema de Regularidade C0,α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

8.3 Pontos Singulares e Cones Mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

8.3.1 O Teorema de Simon e a regularidade em dimensões baixas (n ≤ 7) 158

8.4 Estimativa de Federer da dimensão do conjunto singular . . . . . . . . . . 159

8.5 Regularidade C1,α para hipersuperfícies Minimas . . . . . . . . . . . . . . . 160

8.5.1 O Teorema de De Giorgi-Federer-Massari-Miranda . . . . . . . . . . 160

8.5.2 Os casos p < n e p = n na análise dos teoremas de regularidade . . 162

viii

ix

8.5.3 Comentários Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

9 Teoria de De Giorgi-Nash-Moser 166

9.1 De Giorgi e o 19o problema de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

9.1.1 Subsoluções são limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

9.1.2 O Lema de Oscilação de De Gorgi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

9.2 A equivalência entre as Teorias de De Giorgi e Nash-Moser . . . . . . . . . 175

9.2.1 A Desigualdade de Harnack e o Teorema de De Giorgi-Nash-Moser 175

9.3 Uma Aplicação geométrica do Teorema de De Giorgi-Nash-Moser . . . . . 176

9.4 Regularidade básica das soluções de divA(x,Du) = 0 em Ω . . . . . . . . 177

10 Aplicação à Teoria de Variedades Mínimas 181

10.1 Teorema de Regularidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

10.2 Cones Mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

10.3 Problema de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

11 Aplicações à Problemas de Fronteira Livre 186

11.1 Problemas de Fronteira Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

11.1.1 Motivação: Problema de obstáculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

11.1.2 Existência e unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

11.1.3 Regularidade C1,α da fronteira livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

11.2 Melhoramentos dos resultados de regularidade . . . . . . . . . . . . . . . . 191

11.2.1 Soluções Q-fracas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

11.2.2 A Classe de planaridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

11.2.3 Regularidade da Fronteira Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

12 Apêndice 195

Capítulo 1

Introdução

Conteúdo

1.1 Um pouco de História e alguns comentários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 As Grandes Personalidades e o Legado destas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1 Um pouco de História e alguns comentários

Em matemática Teoria Geométrica da Medida é o estudo das propriedades geométricas

das medidas de conjuntos (geralmente em espaços euclidianos), incluindo-se coisas como

comprimento de arco e área. A mesma utiliza-se de teoria da medida a fim de generalizar

Geometria Diferencial em superfícies com singularidades suaves chamadas conjuntos

rectificáveis.

Contribuições significativas surgiram ao se utilizarem técnicas de Teoria Geométrica

da Medida, as quais podemos citar: Richard Shoen e Shing Tung Yau1 provaram de

maneira original a conjectura de positividade da massa em Cosmologia, a mesma está

relacionada a conjectura de Yamabe. Em 2000 Hutchings-Morgan-Ritoré e Ros provaram

a conjectura da Bolha Dupla: A Bolha dupla de sabão é a maneira mais economica de

se compacatar dois volumes descritos a priori. E soluções regulares para o Problema de

Plateau.

Na interface entre Geometria e Equações Diferenciais Parciais, a Teoria Geométrica

da Medida tem sido extensivamente desenvolvida desde a década de 60, iniciando com

contribuições básicas devido aos matemáticos Herbert Federer, Ennio De Giorgi, A.I.

Volpert e F. Almgren, em conexão com questões resultantes de cálculo das variações,

desigualdades isoperimétricas, etc. Tem numerosas aplicações no estudo de conjuntos

1Este trabalho (somado a outras importantes contribuições) levou Yau a ganhar a medalha Fields em1982.

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 2

singulares, fenômenos e problemas físicos: formação de bolhas de sabão, buracos negros,

cristais, defeitos de materiais, transisão de fase, fissura em mecânica, linhas de vórtices

em cristais líquidos, supercondutores e superfluidos; Sistemas Dinâmicos, processamento

de imagens e Teoria de regularidade de problemas de fronteira livre.

O problema de encontrar superfícies mínimas, isto é, de encontrar a superfície de área

mínima entre todas as quais estão delimitadas por uma dada curva, foi um das primeiras

considerações a respeito da fundamentação do cálculo das varições, e somente teve uma

resposta satisfatória a algumas décadas. Conhecido como o Problema de Plateau,

após o físico cego que fez belas experiências com películas de sabão e bolhas, tal problema

impôs resistência aos esforços de muitos matemáticos por mais de um século. Foi somente

na década de trinta que uma solução fora dada ao problema de Plateau em Espaços

Euclidianos tri-dimensionais, com o paper de Jesse Douglas[58] e Tibor Radó [59],[60].

O método aplicado por Douglas2 e Radó foi desenvolvido e extendido em dimensão 3

por vários outros, mas nenhum destes resultados se mostrou eficaz para hipersuperfícies

mínimas em dimensões elevadas, como também superfícies de dimensão e codimensão

quaisquer.

Somente 30 anos mais tarde que o problema de Plateau fora atacado com ênfase em

toda a sua generalidade, por vários matemáticos usando técnicas de medida-teórica; em

particular podemos citar De Giorgi [50][51][52][53], Reifenberg [61], Federer e Fleming

[30] e Almgren [49],[62]. Com respeito a alguns desses matemáticos temos que Federer e

Fleming definiram um superfície k−dimensional em Rn como uma k− corrente, isto é, um

funcional linear em k−formas. Tal método é tratado com detalhes no livro de Federer [63].

Quanto a Almgren e Allard tiveram uma visão diferenciada de superfície, introduziram

a noção de varifold k−dimensional, isto é, medidas de Radon em Rn × G(n, k), onde

G(n, k) denota a variedade Grassmanniana de k−planos em Rn. Por outro lado as idéias

de De Giorgi [53] nunca foram publicadas em revistas de grande circulação. Segundo o

formalismo de Ennio De Giorgi uma hipersuperfície em Rn era o bordo de um conjunto

mensurável E ⊂ Rn, cuja função característica χE possui derivadas distribucionais que

são medidas de Radon de variação total localmente finita, a esses conjuntos Ennio

De Giorgi em homenagem póstuma a Renato Caccioppoli denotou de conjuntos de

Caccioppoli (em teoria dos perímetros, conjuntos de perímetro localmente finito).

Nesse contexto a área (n− 1)−dimensional é dada como a variação total de DχE.

Com respeito a teoria dos perímetros desenvolvida segundo as idéias de Ennio De

Giorgi, é possível mostrar, sem grandes dificuldades, com o auxílio de alguns resultados

de compacidade a existência de uma solução para o problema de Plateau em algum

2Em 1936 Douglas foi laureado com a famosa medalha Fields por este trabalho conhecido comoproblema de Plateau no disco.


senso mais fraco (este é o teorema de existência de superfícies mínimas, conjuntos

de fronteira minimal). Em contrapartida é uma tarefa nada simples mostrar que

tais hipersuperfícies (e em geral toda hipersuperfície minimizante de área) são de fato

regulares (hipersuperfícies analíticas), como também com um pouco mais de esforço e uma

maquinária de teoremas sofisticados em mãos pode-se mostrar os teoremas de regularidade

de De Giorgi: A fronteira reduzida ∂∗E de um conjunto minimal E ⊂ Rn é uma variedade

(n − 1)−dimensional C1,α, exceto possivelmente em um conjunto singular fechado. As

idéias para a prova da analiticidade e da Hölder continuidade estão concentradas no paper

de De Giorgi [53], o qual fora posteriormente simplificado e completado por Miranda [74]

onde este mostrou que o conjunto singular Σ tem medida de Hausdorff (n−1)−dimensional

nula.

Referente ao trabalho de Ennio de Giorgi [53]: O mesmo mostrou que para todo x ∈ ∂E

é possível definir um vetor normal aproximado.

νρ(x) =

∫

Bρ

DχE

∫

Bρ

|DχE|

.

Podendo-se mostrar que se, para algum x ∈ ∂E e algum ρ > 0 , o vetor νρ(x) tem

comprimento sufientemente próximo de 1, então a diferença 1 − νr(x) converge a zero

quando r → 0. Está caracteriza-se como a parte mais difícil da prova, com isso se

concretiza algo relativamente fácil mostrar que ∂E é regular (analítica) na vizinhança de

x. Tal método se torna muito eficaz para o estudo regularidade em quase todo ponto.

Uma vez estabelecida a regularidade em quase todo ponto, é natural se pensar quando

o conjunto singular Σ pode existir. Dessa forma, podemos nos dirigir ao estudo do

comportamento de ∂E nas proximidades de um ponto, digamos a origem, e este é em

geral feito através de técnicas de Blow-up, isto é, por considerar os conjuntos

Ek = x ∈ Rn;x

k∈ E k = 1, 2, ...

Devido a invariância geométrica da área, todos esse conjuntos Ek são minimais, existirá

dessa forma uma subsequência desses conjuntos convergindo em medida para um conjunto

C, o qual também será minimal. Além disso C é um cone, grosseiramente falando um cone

tangente a E em 0. Dessa forma podemos observar que E é regular em uma vizinhança de

0 se e somente se ∂C é um hiperplano, com isso, segue que a existência de singularidades

em ∂E é reduzida a existência de cones mínimos singulares.

Em [49] Almgren provou a não existência de cones mínimos singulares em Rn, e em

[54], Simons extendeu este resultaso até a dimensão 7, provando assim a regularidade de


de hipersuperfícies mínimas em Rn, para n ≤ 7. Este resultado é ótimo pois o cone de

Simons

S = x ∈ R8; x21 + x2

2 + x23 + x2

4 < x25 + x2

6 + x27 + x4

8

é cone mínimo singular em R8. Tal resultado fora demonstrado por Enrico Bombieri3,

Ennio De Giorgi e Enrico Giusti [43].

Por final, baseado nos trabalhos de Simons , Herbert Federer [4] provou que a dimensão

de Hausdorff do conjunto singular não excede n− 8, e esta estimativa é ótima.

1.2 As Grandes Personalidades e o Legado destas

O legado que a Teoria Geométrica da Medida proporcionou e ainda proporciona é

substancialmente incalculável. Muitos matemáticos foram influenciados pelas escolas

matemáticas de H. Federer, E. De Giorgi, Almgren, Allard entre outros grandes nomes,

entre esse podemos citar: Luis A. Caffarelli desenvolveu o estudo de regularidade de

fronsteira livre como também conjuntos singulares de fronsteira livre [87], [88]; J.

Cheeger e T. Colding desenvolveram trabalhos na direção de variedades Riemannianas

com curvatura de Ricci não-negativa [89]; L. Simon desenvolveu trabalhos em conjuntos

singulares de aplicações harmônicas minimizantes de energia ou correntes minimizantes

de área [90], [91] ; Outros trabalhos se concentram no estudo de aplicações harmônicas

estacionárias [92], campos de Yang-Mills [93], [94], equações de Seiberg-Witten [95], [96],

[97] , e, equações de Ginzburg-Landau em dimensões mais elevadas [98], [99].

3Enrico Bombieri foi premiado, assim como outros matemáticos citados neste trabalho, com a medalhaFields em 1974 por essa e outras diversas contribuições

Capítulo 2

Preliminares

Conteúdo

2.1 Algumas noções de Teoria da Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Medida de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Funções de Variação Limitada e conjuntos de Caccioppoli . . . . . . . . . . . . 19

2.3.1 Propriedades dos conjuntos de Caccioppoli . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.2 A Fórmula de Gauss-Green e o Teorema Estrutural . . . . . . . . . . . 27

2.4 Regularizantes Simétricos (Mollifiers) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.1 Propriedades dos Regularizantes Simétricos (Mollifiers) . . . . . . . . . 33

2.5 Aproximação de Funções BV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6 Existência de Superfícies Mínimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.6.1 Teoremas de Compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.7 Aproximação de conjuntos de Caccioppoli por funções C∞ . . . . . . . . . . . . 42

2.8 Desigualdade de Sobolev e consequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Neste cápítulo estudademos algumas ferramentas essenciais para o desenvolvimento

de teoria de regularidade para conjuntos minimais: funções de variação limitada

e conjuntos de Caccioppoli. Obteremos muitas propriedades destes, em particular o

Teorema de existência de conjuntos minimais (superfícies mínimas). Estaremos em geral

a utilizar a noção de medida de Hausdorff (n−1)−dimensional a qual é a mais apropriada

para nossos objetivos.

Mas, antes de iniciarmos faremos uma pequena amostrar de resultados de Teoria da

Medida, as quais são pre-requisitos para nossos estudos.

CAPÍTULO 2. PRELIMINARES 6

2.1 Algumas noções de Teoria da Medida

Nesta seção estará uma exposição sucinta de alguns resultados de Teoria da Medida,

os quais serão utilizados no transcorrer desse texto e servirão de subsídios para a

demonstração de muitos outros.

Medidas e Funções µ−mensuráveis

Seja X um conjunto , e 2X o conjunto de partes de X.

Definição 2.1. Uma coleção F de subconjuntos de X, F ⊂ 2X, é chamado uma σ−álgebra

se

i. ∅, X ∈ F ;

ii. Se A ∈ F então X−A ∈ F; e

iii. Se Ak ∈ F , k = 1, ..., então⋃

k≥1

Ak ∈ F . Além disso, uma σ−álgebra de Borel do

Rn é a menor σ−álgebra contendo os subconjuntos abertos do Rn.

Definição 2.2. Uma aplicação µ : 2X → [0,+∞] é chamada uma medida em X se

satisfizer

i. µ(∅) = 0; e

ii. µ(A) ≤∑

k≥1

µ(Ak) sempre que A ⊂⋃

k≥1

Ak.

Além disso, seja µ uma medida sobre X e A ⊂ X. Então µ restrita a A, escreveremos da

seguinte forma, µ⌊A, será a medida definida por (µ⌊A)(B) = µ(A ∩ B) para todo B ⊂ X.

Nota 2.1. A definição (2.2) é usualmente denotada de Medida Exterior.

Definição 2.3. Um conjunto A ⊂ X é µ−mensurável (no sentido de Carathéodory) se

para cada B ⊂ X.

µ(B) = µ(B ∩A) + µ(B−A).

Definição 2.4. i. Uma medida µ sobre X é regular se para cada conjunto A ⊂ X,

existe um conjunto µ−mensuravel B tal que A ⊂ B e µ(A) = µ(B).

ii. Uma medida µ sobre Rn é chamada Borel se todo conjunto de Borel é µ−mensurável.

iii. Uma medida µ sobre o Rn é Borel regular se µ é Borel e para cada A ⊂ Rn, existe

um conjunto de Borel B tal que A ⊂ B e µ(A) = µ(B).


Definição 2.5. Uma medida µ sobre Rn é uma medida de Radon se µ é uma medida de

Borel regular e µ(K) < ∞ para todo conjunto compacto K ⊂ Rn.

Definição 2.6. Seja µ uma medida sobre X, e Y um espaço topológico. Uma função

f : X → Y é µ−mensurável se f−1(U) é µ−mensurável para cada conjunto aberto U ⊂ Y.

Teorema 2.1.1. (Egoroff) Seja µ uma medida em Rn e suponha que fk : Rn → Rm com

(k = 1, 2, ...) são µ− mensuráveis. Assuma também que A ⊆ Rn é µ− mensurável com

µ(A) < ∞ e fk → g µ− quase sempre em A. Então para cada ε > 0 existe um conjunto

µ mensurável B ⊆ A tal que

i. µ(A− B) < ε

ii. fk → g uniformemente em B.

Proof: Veja Evans-Gariepy [6] pag. 16.

Teorema 2.1.2. (Lusin) Sejam µ uma medida de Borel regular em Rn e f : Rn → Rm

uma função µ-mensurável. Assuma que A ⊂ Rn é µ-mensurável com µ(A) < ∞. Então

para cada ε > 0 fixado existe um conjunto compacto K ⊂ A tal que

i. µ(A− K) < ε e

ii. f|K é contínua.


Integrais e Teoremas de Limites

Definição 2.7. i. Dizemos que ν é uma medida com sinal sobre Rn, e denotaremos

por ν ∈ M(Rn) se existe uma medida de Radon µ sobre o Rn e uma função f ∈L1loc(R

n;µ) tal que ν = µ⌊f

ii. Dizemos que ν é uma medida vetorial sobre o Rn em Rm, e denotaremos por ν ∈M(Rn;Rm), se existe uma medida de Radon µ e uma função vetorial f = (f1, ..., fm)

com fi ∈ L1loc(R

n;µ) tal que νi = µ⌊fi (i = 1, ...,m).

Teorema 2.1.3. (Lema de Fatou) Sejam fk : X → [0,∞] funçõs µ−mensuráveis (k =

1, ...). Então ∫lim infk→∞

fkdµ ≤ lim infk→∞

∫fkdµ

Proof: Veja Evans-Gariepy [6], Teorema 1, p.19.


Teorema de Fubini

Definição 2.8. Seja µ uma medida sobre um conjunto X e ν uma medida sobre um

conjunto Y. Para cada M ⊂ X× Y definimos

(µ× ν)(M) := inf

∑

k≥1

µ(Ak)ν(Bk)

,

onde o ínfimo é tomado sobre toda sequência de conjuntos µ−mensurável Ak ⊂ X e

conjunto ν−mensurável Bk ⊂ Y (k = 1, ...) tal que M ⊂⋃

k≥1

Ak × Bk. A medida µ × ν é

chamada a medida produto de µ e ν.

Teorema 2.1.4. (Fubini) Seja µ uma medida sobre um conjunto X e seja ν uma medida

sobre um conjunto Y.

i. µ× ν é uma medida regular em X× Y.

ii. Se A ⊂ X é µ−mensurável e B ⊂ Y é ν−mensurável, então A×B é µ×ν-mensurável

e (µ× ν)(A× B) = µ(A)ν(B).

iii. Se M ⊂ X × Y é σ−finita com respeito a µ × ν (isto é, M =⋃

k≥1

Mk, onde Mk é

µ×ν−mensurável e (µ×ν)(Mk) < ∞ para k = 1, ...), então My = x : (x, y) ∈M

e µ−mensurável para ν em quase todo x é µ(My) é ν−integrável. Além disso,

(µ× ν)(M) =

∫

Y

µ(My)dν(y).

Analogamente para x e Mx = y : (x, y) ∈M.

iv. Se f : X × Y → [−∞,∞] é µ × ν−integrável e f é σ−finita com respeito a µ × ν

(em particular, se f é µ × ν−somável), então a aplicação y 7→∫Xf(x, y)dν(x) é

ν−integrável, a aplicação x 7→∫Yf(x, y)dν(y) é ν−integrável, e ainda,

∫

X×Y

fd(µ× ν) =

∫

X

(∫

Y

f(x, y)dµ(x)

)dν(y) =

∫

Y

(∫

X

f(x, y)dν(y)

)dµ(y)


Definição 2.9. i. A medida de Lebesgue 1-dimensional L1 em R é definida por

L1(A) := inf

∑

i≥1

diamCi : A ⊂⋃

i≥1

Ci, Ci ⊂ R


para todo A ⊂ R.

ii. A medida de Lebesgue n-dimensional Ln sobre Rn é definida indutivamente por

Ln := Ln−1 × L1 = L1 × ...× L1,

ou equivalentemente,

Ln := Ln−k × Lk

para qualquer k ∈ 1, ..., n− 1. Às vezes usaremos a notação |E|, alguns autores se

utilizam da notação meas E para a medida de Lebesgue de um conjunto genérico E

de Rn.

Diferenciação de Medidas de Radon

Definição 2.10. Sejam µ e ν medidas de Radon sobre Rn. Dizemos que ν é diferenciável

com respeito a µ em x se

Dµν(x) := limr→0

ν(B[x, r])

µ(B[x, r])

sempre que este limite existe e é finito. Ainda, diremos que Dµν é a densidade de ν com

respeito a µ.

Definição 2.11. i. A medida ν é absolutamente contínua com respeito µ, e

escreveremos ν≪ µ, se µ(A) = 0 implica que ν(A) = 0 para todo A ⊂ Rn.

ii. As medidas ν e µ são multuamente singulares, e escreveremos ν ⊥ µ, se existe um

conjunto de Borel B ⊂ Rn tal que µ(Rn − B) = ν(B) = 0.

Teorema 2.1.5. (Radon-Nikodym) Sejam µ, ν medidas de Radon sobre Rn com µ≪ν. Então

ν(A) =

∫

A

Dµνdµ

para todo conjunto µ-mensurável A ⊂ Rn.


Teorema 2.1.6. (Lebesgue-Besicovitch)

i. Seja µ uma medida de Radon sobre Rn e f ∈ L1loc(R

n;µ). Então

limr→0

1

µ(B(x, r))

∫

B(x,r)

fdµ = f(x)

para x ∈ Rn. µ quase sempre.


ii. Seja µ uma medida de Radon sobre Rn, 1 ≤ p < ∞ e f ∈ Lploc(R

n;µ). Então

limr→0

1

µ(B(x, r))

∫

B(x,r)

|f− f(x)|pdµ = 0 (2.1)

para x ∈ Rn µ−quase sempre.

Proof: Veja Evans-Gariepy [6], Teorema 1, p.43, e Corolário 1, p.44.

Definição 2.12. Um ponto x é dito ser um ponto de Lebesgue de f com respeito a µ, se

(2.1) é satisfeita.

Teorema de Representação de Riesz-Markov

Teorema 2.1.7. (Representação de Riesz- Markov)

i. Seja L : C0(Rn;Rm) → R um funcional linear satisfazendo

sup L(φ) : φ ∈ C0(Rn,Rm), |φ| ≤ 1, spt(φ) ⊂ K < ∞

para cada conjunto compacto K ⊂ Rn. Então existe uma única medida de Radon

vetorial µ = σ||µ|| ∈M(Rn;Rm) tal que

L(φ) =

∫

Rn

φ.dµ =

∫

Rn

φ.σd||µ|| (2.2)

para toda φ ∈ C0(Rn,Rm), onde σ : Rn → Rm é tal que |σ| = 1 ||µ||−q.s.

ii. Seja L : C0(Rn) → R um funcional linear tal que L(φ) ≥ 0 para toda φ ∈

C0(Rn), φ ≥ 0. Então existe uma medida de Radon µ em Rn tal que

L(φ) =

∫

Rn

φ.dµ

para toda φ ∈ C0(Rn)

Proof: Veja Evans-Gariepy [6], Teorema 1, p.49, e Corolário 1, p.53.

Definição 2.13. Diremos que λ é uma medida de variação se para cada conjunto aberto

V ⊂ Rn,

λ(V) = sup L(φ) : φ ∈ C0(Rn,Rm), |φ| ≤ 1, spt(φ) ⊂ V ,

onde L : C0(Rn,Rm) → R é um funcional linear limitado. Se L é como em (2.2), então

λ = ||µ||.


Convergência Fraca

Seja U um conjunto aberto do Rn

Definição 2.14. Sejam µ e µk, k = 1, ..., medidas de Radon sobre Rn. Diremos que

µk converge fracamente a µ no sentido de medida de Radon, e escrevemos µk µ em

M(Rn), se

limk→∞

∫

Rn

φ.dµk =

∫

Rn

φ.dµ

para toda φ ∈ C0(Rn).

Teorema 2.1.8. Sejam µ, µ1, µ2, ... medidas de Radon em U. Então as seguintes

afirmações são equivalentes:

i. µk µ em M(U);

ii. lim supµk(C) ≤ µ(C) para cada compacto C ⊂ U e µ(O) ≤ lim inf µk(O) para cada

aberto O ⊂ U;

iii. limk→∞

µk(B) = µ(B) para cada B ⊂ Rn conjunto Boreliano limitado com µ(∂B) = 0.

Proof: Veja Evans-Gariepy [6] Teorema 1, pag. 54.

Teorema 2.1.9. (Compacidade fraca para Medidas de Radon) Seja µkk≥1 em

M(Rn) tal que supk

µk(K) < ∞ para todo conjunto compacto K do Rn. Então existe uma

subsequência µkjj≥1 e uma medida de Radon µ tal que µkj µ em M(Rn).

Proof: Veja Evans-Gariepy [6],pag. 55.

Definição 2.15. Sejam f, fk ∈ Lp(U), k = 1, ..., e seja 1 ≤ p < ∞.

i. Diremos que fk converge fracamente em Lp(U) para f, e escrevemos fk f em

Lp(U), se ∫

U

fkφdx →∫

U

fφdx

para toda φ ∈ Lq(U), onde 1p+ 1

q= 1, 1 < q ≤∞.

ii. Diremos que fk converge fracamente em medida, ou como medida, para f se

∫

U

fkφdx →∫

U

fφdx

para toda φ ∈ C0(U)


iii. Diremos que fk converge fracamente no sentido das distribuições, ou como

distribuição, para f se ∫

U

fkφdx →∫

U

fφdx

para toda φ ∈ C∞

0 (U)

Definição 2.16. Sejam f, fk ∈ L∞(U), k = 1, .... Diremos que fk converge fraco estrela

em L∞(U) para f, e escreveremos fk−→⋆ f em L∞(U), se

∫

U

fkφdx →∫

U

fφdx

para toda φ ∈ L∞(U).

2.2 Medida de Hausdorff

Há no Rn uma “boa” medida m−dimensinal introduzida em 1918 pelo matemático

alemão Felix Hausdorff, chamada Medida de Hausdorff, a qual coincide com a noção

clássica de área para variedades mergulhadas, ou seja, subvariedades , porém está

definida para todos os subconjuntos de Rn. Quando n = m a medida de Hausdorff

coincide com a medida de Lebesgue. A medida de Hausdorff é a medida natural para

trabalhar com conjuntos que não são regulares no sentido da Geometria Diferencial. A

medida de Hausdorff Hs é o resultado de uma construção conhecida como construção de

Carathéodory (Veja Gianquinta-Modica-Soucek [82]).

Sejam A ⊂ Rn , 0 ≤ s < ∞ e 0 < δ ≤∞. Defina

Hsδ(A) = inf

∑

j>1

α(s)

(diam Cj

2

)s

;A ⊂⋃

j>1

Cj, diam Cj 6 δ

onde α(s) =πs/2

Γ( s2+ 1)

e Γ(s) =

∫∞

0

e−xxs−1dx é a função Gama de Euler.

Observação 2.1. Para δ > δ′

tem-se Hsδ(A) 6 Hs

δ′ (A). Portanto Hs

δ(.) é uma função

monótona não-crescente de δ ∈ [0,∞).

Para A e s como acima, faz sentido definirmos o limite

Hs(A) := limδ→0Hs(A) = sup

δ>0

Hs(A).

Claramente 0 6 Hs(A) 6 ∞.

Assim, denotaremos Hs a s-dimensional Medida de Hausdorff em Rn. Por Hsδ(.)

ser uma função monótona não-crescente de δ ∈ [0,∞) temos em particular para qualquer


subconjunto A ⊂ Rn, δ > 0 e s ≥ 0

Hs(A) ≥ Hsδ(A) ≥ Hs

∞(A)

Notemos que é necessário requerer δ → 0 na ordem de forçar a cobertura “concordar”

com a geometria local do conjunto A, como é ilustrado nas figuras abaixo.

Figura 2.1: A medida de Hausdorff (área) de um pedaço da superfície sendo aproximada pelainterseção de pequenas bolas as quais a recobrem.

Figura 2.2: Um recobrimento com conjuntos menores é necessário a fim de calcular ocomprimento onde a curvatura é elevada.


Teorema 2.2.1. Hs é uma Medida de Borel regular se 0 ≤ s < ∞. Além disso, se

A ⊂ Rn é Hs−mensurável com Hs(A) < ∞ então Hs⌊A é uma medida de Radon.

Proof.: Veja Evans-Gariepy [6], pag. 61 e Fanghua-Xiaoping [8], pag. 6 para a

primeira parte, e veja Evans-Gariepy [6], p.5. para a segunda parte.

Observação 2.2. Hs não é uma medida de Radon se 0 ≤ s < n, uma vez que a mesma

não é σ-finita

Teorema 2.2.2. Propriedades elementares da Medida de Hausdorff.

i. H0(.) é uma medida de contagem, ou seja, a mesma fornece a "cardinalidade" do

conjunto;

ii. H1 = L1 em R, onde L1 denota a medida de Lebesgue;

iii. Hs = 0 em Rn se s>n;

iv. Hs(λA) = λsHs(A). para todo λ > 0 e A ⊂ Rn. (Homogeneidade de grau s);

v. Hs(I(A)) = Hs(A) para cada I : Rn −→ Rn isometria linear e A ⊂ Rn, ou seja, a

mesma é em particular invariante por rotações e tranlações.

vi. Se f : Rn → Rm Lipschitziana, A ⊂ Rn, 0 ≤ s < ∞. Então

Hs(f(A)) ≤ (Lip(f))sHs(A).

onde

Lip(f) := sup

|f(x) − f(y)|

|x− y|; x, y ∈ Rn, x 6= y

Proof.: Evans-Gariepy [6], pag. 63. para (i)-(v) e pag. 75 para (vi).

Lema 2.1. Sejam A ⊂ Rn e 0 ≤ s < t < ∞.

i. Se Hs(A)<∞ então Ht(A)=0;

ii. Se Ht(A) > 0 então Hs(A) = ∞.

Proof.: Evans-Gariepy [6], pag. 65.


Motivados pelo conteúdo do Lema acima podemos então tratar da

Definição 2.17. A Dimensão de Hausdorff de um conjunto A ⊂ Rn é definida como

Hdim(A) = infs ≥ 0;Hs(A) < ∞ = infs;Hs(A) = 0

= sups;Hs(A) > 0

= sups;Hs(A) = ∞ ≤ n.

Observação 2.3. A dimensão de Hausdorff de um conjunto E ⊂ Rn coincide com a

dimensão topológica do mesmo, quando este for uma variedade topolóligica mergulhada,

ou seja, uma subvariedade.

Exemplo 2.1. (Self-similar fractals)

Ilustremos com alguns exemplos o cálculo da dimensão de Hausdorff de conjuntos

fractais.

O conjunto de Cantor clássico

O conjunto de Cantor é um fractal bem-conhecido e facilmente construtível. Podemos

construí-lo indutivamente como segue: Sejam

E0 = [0, 1],

E1 = [0 13] ∪ [ 2

3, 1],

E2 = [0, 19] ∪ [ 2

9, 13] ∪ [ 8

9, 1],

· · ·

Ek = [0, 13k] ∪ [ 2

3k, 13k−1 ] ∪ · · · ∪ [ 3

k−13k

, 1].

Então o conjunto E =⋂

k≥0

Ek é conhecido como conjunto de Cantor (Veja figura

abaixo.)

Observe que

i. Seja ψ1(x) =x3, ψ2(x) =

23+ 1

3x. Então E = ψ1(E) ∪ψ2(E);

ii. E é construído de um modo muito simples, mas as propriedades geométricas locais

são complicadas e difíceis de serem descritas em linguagem matemática clássica;

iii. Não obstante o mesmo é um conjunto bastante importante em vários sentidos:este

é não-enumerável e perfeito, isto é, E′

= E, entretanto não é conveniente medir

seu comprimento no senso normal dado que L1(E) = 0. De qualquer forma podemos

averiguar que Hdim(E) =log 2

log 3.


Figura 2.3: Conjunto de Cantor

A curva de Von Koch

Seja F0 um segmento unitário de reta. F1 é um conjunto obtido pela remoção do terço

médio da parte de F0 e a reposição deste por outros dois lados de um triângulo equilátero

cuja base é a parte removida. Assim F1 contém 4 segmentos. Aplicando-se o mesmo

procedimento a cada parte de F1 contruiremos F2. Deduzimos similarmente a obtenção de

Fk pela reposição dos terços médios de cada segmento de Fk−1 por outros dois lados de um

triângulo equilátero correspondente. Então a curva limite F = limk→∞

Fk é referida como a

curva de Von Koch (Veja figura abaixo.)

Figura 2.4: A curva de Von Koch ou Snowflake (Floco de neve)

Então temos as seguintes propriedades para a cuva de Von Koch:

i. Se puzermos ψ1(x) = x3, ψ2(x) = 1√

6x + 1

3, ψ3(x) = 1√

6x + 1√

6+ 1

6, ψ4x = 2

3+ 1

3x,

então F =4⋃

j=1

ψj(F).

ii. A curva de Von Koch tem a mesma propriedade (ii) acima do conjunto de Cantor;


iii. Um cálculo direto indica que o comprimento de Fk é(43

)k, assim o comprimento

de F é infinito. Porém a área de F no plano 2−dimensional é zero. Portanto

o comprimento e a área de F não são objetos matemáticos covenientes a fim

de descrever a “forma” de F efetivamente. De qualquer forma podemos também

averiguar que Hdim(F) =log 3

log 4

Mais self-similar fractals.

Figura 2.5: F2 é conhecido como a Esponja de Sierpinski, o memo é um exemplo de um

conjunto de dimensão fracionária. Sua dimensão de Hausdorff é log 20log 3 , cerca de

2,7. F1 é obtido por homotetias com fator de escalonamento 12 . Iniciando com um

triângulo equilátero com lado 1, na n−ésima etapa removemos 3n triângulos comlados 2−n. Portanto a dimensão de Hausdorff de F1 é log 3

log 2 .(De Studies in Geometryby Blumenthal and Manger c©1970 by W.H. Freeman and Company.)

Exemplo 2.2. O conjunto de Cantor em R (Bis)

Para qualquer intervalo J = [a, b] em R e qualquer t ∈ (2,∞), definimos

Φ(J) =

[a, a+

b− a

t

]∪[b−

b− a

t, b

].

Temos a seguinte importante identidade

|J|m =∑

S∈Φ(J)

|S|m para m =log 2

log t.

De fato a expressão do lado direito é 2 |J|m

tm. Portanto 2 = tm. Iniciemos com

H0 = [0, 1],


e tome indutivamente para j = 1, 2, ...,

Hj = ∪Φ(J); J ∈ Hj−1

Então definimos o conjunto de Cantor por

Ct =⋂

j≥0Hj

Pode-se checar que

Hdim(Ct) = m =log 2

log t,

e

Hm(Ct) =wm

2m.

Note que C3 é o conjunto de Cantor estudado em Análise Real.

Para mais informações sobre conjuntos fractais e dimensão de Hausdorff consulte Rataj

[13], Albertini [19] e Waiezsäcker [20].

Teorema 2.2.3. Hn = Ln em Rn.

Proof Veja Evans-Gariepy [6] pag. 70 ou Fanghua-Xiaoping [8] pag. 11

Exemplo 2.3. Conforme os resultados acima podemos inferir que

Figura 2.6: A medida de Hausdorff Hn−1 da esfera coincide com a medida de Lebesgue damesma, ou seja, sua área.

Além disso, temos também conforme os resultados acima expostos que Hs(Sn−1) = 0

se s > n e Hs(Sn−1) = ∞ se s < n. Analogamente para o n−toro, Hs(Tn) = 0, se s > n

e Hs(Tn) = ∞ se s < n.


Figura 2.7: Sendo o 2−toro uma subvariedade topológia, sua medida de Hausdorff Hn−1coincide com a medida de Lebesgue, istó é, sua área.

2.3 Funções de variação limitada e conjuntos de

Caccioppoli

Funções de Variação Limitada (Funções BV, do inglês Bounded Variation) são

funções cuja derivada distribucional é uma medida de Radon finita. Isto é essencialmente

a forma enfraquecida para teoria da medida de uma função ser diferenciável.

Definição 2.18. Seja Ω ⊂ Rn, n ≥ 2.

i. Uma função f ∈ L1(Ω) é dita ser de Varição Limitada e escreveremos f ∈BV(Ω), mais adiante esclareceremos o que seria tal conjunto, se o gradiente Df

, distribucional, ou seja, no sentido das distribuições é uma medida de Radon finita

em Ω.

ii. Diremos que f é uma função de variação limitada local, e denotamos f ∈ BVloc(Ω),

se f ∈ BV(V) para todo conjunto aberto V ⊂⊂ U.

Em outras palavras, f ∈ BV(Ω) se, e somente, existe Df ∈ M(Ω;Rn) finita tal que

para i = 1, ..., n, ∫

Ω

fφxi = −

∫

Ω

φd(Dif),

para toda φ ∈ C10(Ω), onde Df = (D1f, ..., Dnf) em Ω; ou equivalentemente,

∫

Ω

fdivφdx = −

∫

Ω

φ.d(Df),


para toda φ ∈ C10(Ω). Além disso, para simplificar escreveremos

∫

Ω

fdivφdx = −

∫

Ω

φ.Df

para toda φ ∈ C10(Ω).

Df portanto representa o gradiente fraco distribucional da função f. Em termos mais

gerais estamos exigindo que a função f satisfaça em um certo sentido o clássico Teorema

da Divergência (Gauss-Green).

Definição 2.19. Seja f ∈ L1loc(Ω) , definimos a Variação Total de f em Ω conjunto

aberto do Rn como:∫

Ω

|Df| = V(f;Ω) = sup

∫

Ω

f(x)divg(x)dx;g ∈ C10(Ω;Rn), |g|L∞(Ω) ≤ 1

.

Definição 2.20.

BV(Ω) =

f ∈ L1(Ω); ∃ Df ∈M(Ω;Rn),

∫

Ω

fdivφdx = −

∫

Ω

φ.Df ∀ φ ∈ C10(Ω)

.

Se munirmos BV(Ω) com a norma ‖f‖BV(Ω) = ‖f‖L1(Ω)+

∫

Ω

|Df| então este se tornará um

Espaço de Banach. Ademais∫

Ω

|Df| define uma seminorma em BV(Ω). Analogamente

se define

BVloc(Ω) =

f ∈ L1(V); ∃ Df ∈M(V ;Rn),

∫

V

fdivφdx = −

∫

V

φ.Df ∀ φ ∈ C10(V)

com V ⊂⊂ Ω

No exemplo a seguir, observaremos que para toda função f ∈ W1,1(Ω) tem variação

total finita. Em particular, veremos que toda função de Sobolev tem localmente variação

limitada.

Exemplo 2.4. Seja f uma função de Sobolev, isto é, f ∈W1,1(Ω), então temos a seguinte

igualdade ∫

Ω

|Df| =

∫

Ω

|∇f|dx.

Para cada V ⊂⊂ Ω e g ∈ C10(V ;Rn), com |g| ≤ 1 temos

∫

V

fdivg = −

∫

Ω

∇fgdx ≤∫

V

|∇f|dx <∞

Agora ao aplicarmos a definição de variação total concluiremos que

∫

Ω

|Df| ≤∫

Ω

|∇f|dx.


Aqui se tem ∇f = (f1, ..., fn) e f1....fn são as derivadas generalizadas de f. Agora é

suficiente provar a desigualdade oposta, para tanto fixe ε > 0, e escolha φ como (|∇f|)ε|∇f|

onde |∇f|ε = ηε ∗Df, ou seja, a convolução de Df com um regularizante simétrico η como

veremos nas seções seguintes; então

∫

Ω

|Df| ≥∫

Ω

fdivφdx =

∫

Ω

(|∇f|)ε.|∇f||∇f|

Passando o limite quando ε→ 0, obtemos

∫

Ω

|Df| ≥∫

Ω

|∇f|dx.

Observe também que a mesma igualdade é válida se f é de classe C1.

Mediante a definição de variação total de uma função f ∈ L1loc(Ω), note que a variação

da mesma pode ser infinita. Neste caso, veremos através do Teorema (2.3.1), que pode

ser encontrado em Ambrosio-Fusco-Pallara [10], que esta não será uma função de variação

limitada.

Teorema 2.3.1. Seja f ∈ L1(Ω). Então f ∈ BV(Ω) se, e somente se,∫

Ω

|Df| <∞. Além

disso,∫

Ω

|Df| = ||∇f||(Ω).

Proof: Suponhamos que f seja uma função de variação limitada, ou seja, f ∈ BV(Ω).

Fixemos φ ∈ C10(Ω;Rn), |φ| ≤ 1, então temos que

−

∫

Ω

fdivφdx =

∫

Ω

φ.∇f ≤∫

Ω

d||∇f||.

Uma vez que |φ| ≤ 1, segue segundo a definição que∫

Ω

|Df| ≤ ||∇f||(Ω) <∞.

Reciprocamente, definamos um funcional linear L : C10(Ω;Rn) → R por

L(φ) := −

∫

Ω

fdivφdx,

para toda φ ∈ C10(Ω;Rn). Observemos que |L(φ)| ≤ V(f;Ω)||φ||L∞ . Agora fixemos um

conjunto compacto K ⊂ Ω, e seja V um conjunto aberto tal que K ⊂ V ⊂⊂ Ω. Para cada

φ ∈ C0(Ω;Rn) com spt(φ) ⊂ K, existe uma sequência φk ∈ C10(V ;Rn), k = 1, ..., tal que

φk → φ uniformente em V. Definimos L(φ) := limk→∞

L(φk), para todo φ ∈ C0(Ω;Rn).

Pela desigualdade |L(φ)| ≤ V(f;Ω)||φ||L∞, vemos que L está bem-definido, é contínuo e,

além disso, devido ao Teorema de Hahn-Banach (Veja Apêndice) vemos que o mesmo


pode ser estendido a um operador linear L : C0(Ω;Rn) → R tal que

supL(φ) : φ ∈ C0(Ω;Rn), |φ| ≤ 1, spt(φ) ⊂ K

<∞.

Finalmente, pelo Teorema de Riesz-Markov, existe uma única medida de Radon

vetorial µ tal que

L(φ) :=

∫

Ω

φ.dµ.

Portanto, f é uma função de variação limitada, isto é, f ∈ BV(Ω). Ainda, para cada

φ ∈ C10(Ω;Rn), |φ| ≤ 1, tem-se |L(φ)| ≤ V(f;Ω), logo ||∇f||(Ω) ≤ V(f;Ω), e isto finaliza

a demonstração do Teorema.

Exemplo 2.5. Suponhamos que f ∈ W1,1(Ω), então pelo Exemplo (2.4) e o Teorema

anterior (2.3.1), f ∈ BV(Ω), logo W1,1(Ω) ⊂ BV(Ω), e analogamente, W1,1loc(Ω) ⊂

BVloc(Ω). Em particular, W1,ploc(Ω) ⊂ BVloc(Ω) para 1 ≤ p ≤ ∞. Consequentemente,

toda função de Sobolev tem variação localmente limitada.

Exemplo 2.6. Sejam g ∈ C10(Ω;Rn), E ⊆ Rn com fronteira C2 e χE a função

característica de E. Então pelo Teorema de Gauss-Green (Teorema da Divergência) segue

que∫

Ω

χEdivg(x)dx =

∫

∂E

gνdHn−1 ≤ Hn−1(∂E ∩Ω)

onde |ν(x)| = 1, sendo este o vetor normal exterior a ∂E . Se em acréscimo assumirmos

|g(x)| ≤ 1, teremos via definição de variação total que∫

Ω

|Df| = sup

∫

Ω

f(x)divg(x)dx;g ∈ C10(Ω;Rn), |g|L∞(Ω) ≤ 1≤ Hn−1(∂E ∩Ω) <∞.

Portanto χE ∈ BV(Ω). De fato se tem

∫

Ω

|Df| = Hn−1(∂E ∩Ω). (2.3)

Vejamos: Do fato de E ter fronteira C2 , ν(x) será uma função de classe C1 com

|ν(x)| = 1 . Dessa forma invocando o Teorema de Tietze diferenciável, ou Teorema

da Extensão de Whitney ou mesmo o Teorema para Aproximação de funções Lipschitz

por funções C1 (Veja Apêndice), existe uma função N, definida em todo o Rn , tal que

N ∈ C1(Rn;Rn) e |N(x)| ≤ 1 para todo x. Se escolhermos η ∈ C∞

0 (Ω) com |η| ≤ 1 e se

puzermos g = Nη teremos via o Teorema de Gauss-Green,∫

E

divg(x)dx =

∫

∂E

νdHn−1


Assim se nos utilizarmos das definições de Variação Total e Medida de Hausdorff na

última igualdade seguirá que∫

Ω

|DχE| ≥ sup

∫

∂E

νdHn−1;η ∈ C∞

0 (Ω), |η| ≤ 1

= Hn−1(∂E ∩Ω)

Observação 2.4. Pelo Exemplo (2.5) acima tem-se W1,1(Ω) ⊆ BV(Ω). Entertanto não

se terá BV(Ω) =W1,1(Ω), vejamos: Suponha que E ⊆ Rn tenha fronteira C2 e seja χE a

função característica de E. Adimitindo que E seja limitado então teremos

∫

Ω

χEdx = Ln(E ∩Ω)

onde Ln denota a medida de Lebesgue de E ∩Ω em Rn e consequentemente χE ∈ L1(Ω).

Em contrapartida χE /∈ W1,1(Ω), pois se o fosse, por χE ∈ BV(Ω), χE deveria ser

absolutamente contínua, o que facilmente é constatado sua negativa.

Para mais detalhes consute Evans-Gariepy [6] pag. 164.

Motivados pelo exemplo (2.6) acima juntamente com a observação subsequente

podemos então falar na seguinte

Definição 2.21. Sejam E um conjunto Boreliano e Ω ⊂ Rn aberto. Definimos o

Perímetro de E em Ω como:

Per(E;Ω) =

∫

Ω

|DχE| = sup

∫

Ω


Nota 2.2. A definição acima pode ser extendida a qualquer conjunto Boreliano B ⊂ Rn

ao tomarmos

Per(E;B) = inf Per(E;Ω) : B ⊂ Ω,Ω ⊂ Aberto

Moralmente, o Perímetro de um conjunto E será a medida generalizada de sua fronteira

e esta, como vimos no exemplo anterior, coincidirá com a noção clássica de área quando

a fornteira do mesmo for suficientemente regular, ou seja, suave.

Observação 2.5. Por consequência das exposições temos

i. |Df| é a medida de variação de f; |DχE| é a medida de perímetro de E; |DχE|(Ω) é

o perímetro de E em Ω;

ii. Se f ∈ BVloc(Ω) ∩ L1, então f ∈ BV(Ω) se, e somente se, |Df|(Ω) <∞ neste caso

podemos definir

||f||BV(Ω) = ||f||L1(Ω) + |Df|(Ω).


iii. Podemos conseguir via o Teorema de Riesz-Markov a seguinte representação

|Df|(V) = sup

∫

V

fdivφdx;φ ∈ C10(V ;Rn), |φ| ≤ 1,

|DχE|(V) = sup

∫

E

divφdx;φ ∈ C10(V ;Rn), |φ| ≤ 1

para cada V ⊂⊂ Ω.

A última observação ressalta nossa escolha de variação total e Perímetro do um

conjunto E.

Exemplo 2.7. Seja E ⊂⊂ Ω um conjunto aberto limitado.Suponhamos que ∂E seja uma

fronteira Lipschitz, então E tem perímetro finito. Com efeito, fixado ϕ ∈ C10(Ω;Rn), |ϕ| ≤1, pela Fórmula de Gauss-Green versão para campos suaves em domínios cujas fronteiras

são localmente o gráfico de funções Lipschitz (Veja Apêndice),

∫

E

divϕdx =

∫

∂E

ϕ.νdHn−1 <∞,

onde ν é a normal exterior a ∂E. Logo χE ∈ BV(Ω), o que implica que E é um conjunto

de perímetro finito.

Definição 2.22. Diremos que um conjunto Boreliano E é um conjunto de Caccioppoli

se, e somente se, para todo Ω ⊂ Rn aberto e limitado, este tiver Perímetro localmente

finito, isto é, Per(E;Ω) <∞.

Nota 2.3. Originalmente, conjuntos de perímetro finito foram definidos como conjuntos

que podem ser aproximados por domínios poliedrais , E ∈ P, o qual é definido como

qualquer conjunto E ⊂ Rn no qual é o fecho de um conjunto aberto cuja fronteira

topológica, ∂E, está contida em uma união finita de hiperplanos do Rn. Essa definição é

similar a definição de Lebesgue da área de uma superficie. Mais geralmente, o perímetro

de qualquer conjunto, não necessariamente mensurável, foi definido como

Per(E;Rn) := inflim infh→0

Hn−1(∂Eh);Eh ∈ P , |(E− Eh) ∪ (Eh − E)| → 0

então mostra-se que E é um conjunto mensurável, se Per(E;Rn) < ∞, e, neste caso,

o perímetro coincide com o perímetro da definição acima (Para mais detalhes veja

Gianquinta-Modica-Soucek [82]).


2.3.1 Propriedades dos conjuntos de Caccioppoli

i. Se Ω ⊆ Ω1 então Per(E;Ω) ≤ Per(E;Ω1) com igualdade quando E ⊂⊂ Ω (isto é, E

é um subconjunto compacto de Ω);

ii. Per(E1 ∪ E2;Ω) ≤ Per(E1;Ω) + Per(E2;Ω) com igualdade quando dist(E1, E2) > 0;

iii. De fato o item acima pode ser melhorado da seguinte forma

Per(E1 ∪ E2;Ω) + Per(E1 ∩ E2;Ω) ≤ Per(E1,Ω) + Per(E2,Ω)

iv. Se |E| = 0 então Per(E) = 0. Em particular se |E1E2| = |(E1−E2)∪ (E2−E1)| = 0

então Per(E1) = Per(E2).

Para uma demonstração de tais propriedades consulte Pacheco [12], pag. 39. e Ennio

de Giorgi Selected Papers. [29] pag. 221.

Vejamos uma contextualização de conjuntos de Caccioppoli:

Definição 2.23. (Partições de Caccioppoli) SejaΩ ⊂ Rn um conjunto aberto e I ⊂ N;

Diremos que uma partição Eii∈N de Ω é uma partição de Caccioppoli se∑

i∈IP(Ei,Ω) <

∞. Se diz que a partição Eii∈N é ordenada se |Ei| ≥ |Ej| sempre que i ≤ j.

Vejamos o seguinte exemplo de partição de Caccioppoli

Figura 2.8: A partição Eh do retângulo (0, x1) × (0, y1) é uma partição de Caccioppoli se e

somente se∑

(xh + yh) <∞.


Observação 2.6. Pelo Teorema de Riesz-Markov vemos que sendo E um conjunto de

Caccioppoli, então existe uma medida de Radon ω (a valores vetoriais) com variação

localmente finita tal que, para toda g ∈ C10(Ω;Rn),

∫

E

divg(x)dx =

∫g(x)d(ω) (2.4)

onde ω = −DχE. Isto justifica a definição dada de Função de Variação Limitada.

A recíproca também é verdadeira, vejamos: Suponha que exista uma medida de Radon

ω (a valores vetoriais) tal que se verifica a identidade (2.4) acima. Então, se tomarmos

g ∈ C10(Ω;Rn) com |g|L∞(Ω) ≤ 1 teremos

∫

E

divg(x)dx =

∫g(x)d(ω) ≤ |ω|(Ω) = V(ω,Ω) <∞.

Portanto aplicando a definição de Perímetro concluiremos que

Per(E;Ω) ≤ |ω|(Ω) <∞

para cada conjunto aberto e limitado Ω, e, dessa forma E é um conjunto de Caccioppoli

com ω = −DχE

Lema 2.2. O suporte (no sentido das distribuições) da medida de Radon (vetorial) DχE

é um subconjunto da fronteira de E, ou seja, spt(DχE) ⊆ ∂E.

Nota 2.4. Dada f : E −→ R tem-se spt(f) := x ∈ E; f(x) 6= 0.

Proof: Escolha x /∈ ∂E, então x ∈ (Rn − E), o qual é aberto, assim pela definição

existe uma vizinhança aberta A de x inteiramente contida em int(E) ou int(Rn − E)

Se A ⊂ int(Rn − E) = Rn − E então χE(x) = 0 em A e

∫

Ω

〈g,DχE(x)〉 = −

∫

A

χE(x)divg(x)dx = 0 ∀ g ∈ C10(A;Rn),

então x /∈ spt(DχE).Em contrapartida, se A ⊂ int(E), então χE(x) = 1 em A. Assim

∫

Ω

〈g,DχE(x)〉 = −

∫

A

divg(x)dx = 0 ∀ g ∈ C10(A;Rn).

Portanto x ∈ Rn − spt(DχE) e dessa forma o Lema está demonstado.


Na próxima subseção veremos algumas aplicações da teoria até aqui estudada.

2.3.2 A fórmula de Gauss-Green e o Teorema Estrutural

Da definição de Medida de Radon vetorial DχE e das propriedades de Perímetro,

usando o Lema (2.2) podemos escrever:∫

E

divg(x)dx = −

∫

∂E

〈g,DχE(x)〉

ou seja, temos uma versão mais geral da fórmula de Gauss-Green para conjuntos de

Caccioppoli E. De fato pela Observação (2.6) acima tais conjuntos são caracterizados por

esta propriedade.

Teorema 2.3.2. (Teorema Estrutural ou de Representação) Seja f ∈ BVloc(Ω).

Então existe uma medida de Radon µ em Ω e uma função µ-mensurável σ : Ω→ Rn tal

que

i. |σ(x)| = 1 µ− quase sempre e

ii.

∫

Ω

fdivϕ = −

∫

Ω

ϕσ para toda ϕ ∈ C10(Ω;Rn)

Proof: Defina o funcional linear L : C10(Ω;Rn) → R por L(φ) ≡ −

∫

Ω

fdivφ para

φ ∈ C10(Ω;Rn). Uma vez que f ∈ BVloc(Ω), segue que

supL(φ);φ ∈ C10(V ;Rn), |φ| ≤ 1

≡ C(V) <∞

para cada conjunto aberto V ⊂⊂ Ω, e dessa forma

|L(φ)| ≤ C(V)||φ||L∞ (2.5)

para φ ∈ C10(V ;Rn).Fixe qualquer conjunto compacto K ⊂ Ω; escolha um conjunto aberto V tal que K ⊂

V ⊂⊂ Ω. Para cada φ ∈ C0(Ω;Rn) com spt(φ) ⊂ K, escolha φk ∈ C10(V ;Rn)(k = 1, ...)

de modo que φk → φ uniformemente em V. Defina

L(φ) ≡ limk→∞

L(φk);

de acordo com (2.5) este limite existe e o mesmo é independente da escolha da sequência

φkk≥1 convergente a φ. Assim pelo Teorema de Hanh-Banach (Veja Apêndice) L se

estende unicamente a um funcional linear

L : C0(Ω;Rn) → R


e

supL(φ);φ ∈ C0(Ω;Rn), |φ| ≤ 1, spt(φ) ⊂ K

<∞

para cada conjunto compacto K ⊂ Ω. Pelo Teorema de Riesz-Markov existe uma medida

de Radon µ em Rn e uma função µ−mensurável σ : Rn → Rm tal que

i. |σ(x)| = 1 para x µ− quase sempre e

ii. L(φ) =

∫

Rn

φ.σdµ

Do ponte de vista da análise Funcional Perímetro de um conjunto é uma função

Semicontínua inferiormente, mais precisamente:

Teorema 2.3.3. (Semicontinuidade Inferior) Sejam Ω ⊆ Rn um conjunto aberto e

fj uma sequência de funções em BV(Ω) a qual converge em L1loc(Ω) a uma função f.

Então∫

Ω

|Df| ≤ lim infj→∞

∫

Ω

|Dfj|.

Proof: Seja g ∈ C10(A;Rn) com |g|L∞(Ω) ≤ 1. Então usando as definições de

convergência localmente uniforme, variação total e o Lema de Fatou segue que∫fdivgdx =

∫limj→∞

fjdivgdx = limj→∞

∫fjdivgdx ≤ lim inf

j→∞

∫

Ω

|Dfj|

Agora o resultado segue ao tomarmos o supremo sobre todas as g, ou seja,∫

Ω


∫

Ω

|Dfj|.

o que é exatamente a definição de Semicontinuidade Inferior para a Varição Total.

A igualdade no teorema acima não necessariamente é alcançada. Vejamos através do

Exemplo 2.8. Sejam Ω = (0, 2π) e fj(x) =1

jsen(jx) para x ∈ Ω e j = 1, 2, .... As

fj ∈ L1(Ω) e∫

Ω

|fj|dx =1

j

∫ 2π

0

|sen(jx)|dx ≤ 2π

j−−→j→∞0. Portanto fj converge forte a zero

em L1, ou seja, fj → 0 em L1(Ω). Em contrapartida, sendo as fj ∈ C∞(Ω) tem-se

∫

Ω

|Dfj|dx =

∫ 2π

0

|cos(jx)|dx = 4j

∫ π2j

o

cos(jx) = 4.

Vimos que sendo E ⊂ Rn com fronteira C2, então Per(E;Ω) = Hn−1(∂E ∩Ω). E se E

não for C2 por partes, tal resultado seria válido? A resposta é não! Vejamos através de

um


Exemplo 2.9. Sejam xi a sequência de todos os pontos de coordenadas racionais em

Rn e εi uma sequência de números reais positivos tais que∑

i>1

εki <∞,com k = n−1, n.

Tome E =⋃

i>1

Bi, onde Bi = B(xi, εi).Então |E| ≤∑

i>1

|Bi| = ωn

∑

i>1

εni <∞, onde ωn é a

medida da bola unitária n-dimensional. Sendo Qn denso em Rn segue que E = Rn, assim

necessariamente devemos ter |∂E| = ∞, o que nos fornece que Hn−1(∂E) = ∞.

Em contrapartida, se definirmos Ek =k⋃

i=1

Bi então Ek → E ou como preferir χEk → χE

em L1(Rn), e, sendo ∂Ek suave por partes , podemos aplicar a fórmula∫

Ω

|DχE| = Hn−1(∂E ∩Ω) a fim de obtermos

Per(Ek) = Hn−1(∂Ek) ≤ Hn−1(

k⋃

i=0

∂Bi) = nωn−1

k∑

i=0

εn−1i .

Agora nos utilizando da Semicontinuidade Inferior do Perímetro (Lembre-se:

Perímetro de um conjunto E é por definição a Variação Total da função característica

desse conjunto), assim Per(E) ≤ lim infk→∞

Per(Ek) = nωn−1

∑

i≥1εn−1i <∞

O exemplo a seguir mostra que um conjunto com perímetro finito pode ter um caráter

muito patológico.

Exemplo 2.10. Sejam Q =(x, y) ∈ R2, |x|, |y| ≤ 1

2

e rjj∈N os pontos de coordenadas

racionais de Q. Tome ε > 0 e defina E =⋃

i>1

Bi, onde Bj = B(rj, ε2j ). Da Propriedade (iii)

dos conjuntos de Caccioppoli e da Semicontinuidade Inferior é facilmente computado que

Per(E;R2) ≤∑

j

Per(Bj;R2) = 2πε,

enquanto que

|E| ≤ πε2

3

O conjunto E é aberto, assim ∂E = E− E e a medida de Lebesgue de ∂E será

|E− E| ≥ |Q|− |E| ≥ 1− πε2

3

o qual é positivo para ε > 0 pequeno. Este exemplo mostra a existência de conjuntos

abertos com perímetro arbitrariamente pequeno, mas cuja fronteira tem medida de

Lebesgue positiva. Tal fato se explica pois ao passarmos da dimensão 1 para dimensões

maiores se χE ∈ BV(Ω) então o suporte da mesma deixará de ter interior vazio.


Agora, mediante o Teorema (2.3.3) (Semicontinuidade Inferior) é fácil mostrar que o

espaço BV(Ω) é um espaço normado equipado com a norma

||f||BV(Ω) = ||f||L1(Ω) +

∫

Ω

|Df|,

De fato, BV(Ω) é um espaço de Banach. Vejamos: Quanto as propriedades da norma,

as mesmas seguem facilmente das definições de ||f||L1(Ω) e∫

Ω

|Df|, assim somente nos resta

mostrar a completude do espaço BV(Ω). Seja fj uma sequência de Cauchy em BV(Ω);

então, pela definição da norma em BV(Ω), está será uma sequência de Cauchy em L1(Ω),

segue da completude de L1(Ω) que existe uma função f ∈ L1(Ω) tal que fj → f em L1(Ω).

Dado que fj é uma sequência de Cauchy em BV(Ω), ||f||BV(Ω) é limitada. Dessa forma∫

Ω

|Dfj| é limitada quando j → ∞ e assim pela Teorema de Semicontinuidade Inferior

(2.3.3), f ∈ BV(Ω). Portanto somente nos resta mostrar que fj → f em BV(Ω) ou dado

que já temos convergência em L1(Ω), que∫

Ω

|D(fj − f)| → 0 quando j→ ∞

Dado ε > 0 existe um inteiro N tal que

j, k ≥ N ⇒ ||fj − fk||BV(Ω) < ε

⇒∫

Ω

|D(fj − fk)| < ε

Agora fk → f em L1(Ω) e assim fj − fk → fj − f em L1(Ω). Logo, pelo Teorema de

Semicontinuidade Inferior (2.3.3)

∫

Ω

|D(fj − f)| ≤ lim infk→∞

∫

Ω

|D(fj − fk)| ≤ ε.

Dada a arbitrariedade de ε > 0, segue que fj → f em BV(Ω)

Proposição 2.1. (Semicontinuidade Superior) Seja fj ⊂ BV(Ω) tal que fj → f em

L1loc(Ω) e limj→∞

∫

Ω

|Dfj| =

∫

Ω

|Df|. Então para todo conjunto aberto A ⊆ Ω∫

A∩Ω|Df| ≥ lim sup

j→∞

∫

A∩Ω|Dfj|

Em particular, se∫

∂A∩Ω|Df| = 0, então

∫

A

|Df| = limj→∞

∫

A

|Dfj|

Proof: Tome B = Ω−A = Ω∩ (A)c. Assim o mesmo será aberto e dessa forma pelo

Teorema de Semicontinuidade Inferior (2.3.3) tem-se

CAPÍTULO 2. PRELIMINARES 31∫

A


∫

A

|Dfj| e∫

B


∫

B

|Dfj|.

Por outro lado,

∫

A∩Ω|Df|+

∫

B

|Df| =

∫

Ω

|Df| =

= limj→∞

∫

A

|Dfj|

≥ lim supj→∞

∫

A∩Ω|Dfj|+ lim inf

j→∞

∫

B

|Dfj|

≥ lim supj→∞

∫

A∩Ω|Dfj|+

∫

B

|Df|

Na primeira desigualdade acima uso-se um argumento de subsequência a qual converge

para o limsup afim de obetermos a minoração,e , com isso segue-se o resultado.

Nota 2.5. Seja M(U) o conjunto das medidas de Radon com sinal em U ⊂ Rn aberto.

Diremos que uma sequância µk ⊂ M(U) é dita convergir fracamente a µ ∈ M(U),

µk µ, se∫

U

fdµk −−→k→∞

∫

U

fdµ para cada f ∈ C0(U).

Mais geralmente podemos ter o seguinte resultado ligado as definições de medida de

Radon finita, o qual engloba o Teorema de Semicontinuidade Inferior (2.3.3)e a Proposição

de Semicontinuidade Superior (2.1).

Teorema 2.3.4. Sejam µ, µ1, µ2, ... medidas de Radon em U. São equivalentes:

i. µk µ em M(U);

ii. lim supµk(C) ≤ µ(C) para cada compacto C ⊂ U e µ(O) ≤ lim inf µk(O) para cada

aberto O ⊂ U;

iii. limk→∞

µk(B) = µ(B) para cada B ⊂ Rn conjunto Boreliano limitado com µ(∂B) = 0.



2.4 Regularizantes Simétricos (Mollifiers)

Um Regularizante Simétrico (na literatura inglesa Mollifier) ou função

suavizante é uma função η(x) a qual possui as seguintes propriedades:

i. η ∈ C∞

0 (Rn);

ii. spt(η) ⊆ B(0; 1);

iii.

∫η(x)dx = 1.

O mesmo será denotado Regularizante Simétrico Positivo se em adição

tivermos:

iv. η(x) ≥ 0;

v. η(x) = µ(|x|) para alguma função µ : R+ −→ R. Geometricamente isto constata

que η é uma função radial.

Exemplo 2.11. Sejam

i.

γ(x) =

0 se |x| ≥ 1

c exp(

1|x|2−1

)se|x| < 1

a função de Cauchy infinitamente diferenciável, onde c ∈ R é escolhido de

tal sorte que∫γ(x)dx = 1;

ii. O Núcleo de Poisson Py(x) =1π

1x2+y2 definido no semi-plano superior e o

iii. Núcleo do Calor ou de Gauss-Weierstrass em Rn dado por

Kt(x) =1

(4πt)n2

e

(−|x|2

4t

)

para t > 0.

Todos estes são exemplos de regularizantes simétricos positivos. Para mais

informações e detalhes sobre regularizantes simétricos (Good Kernel e Aproximações da

Identidade) consulte Stein-Shakarchi [85], pag. 108-114.

Dado η um regularizante simétrico positivo e f ∈ L1loc(R

n) definamos para cada ε > 0

a família regularizante ηε(x) = ε−nη(xε) e a família regularizante canônica fε = ηε ∗ f,

onde ∗ denota a operação de convolução de funções, ou seja,

fε(x) = ε−n

∫

Rn

η

(x− z

ε

)f(z)dz = (−1)nε−n

∫

Rn

η(y

ε

)f(x−y)dy =

∫

Rn

η(w)f(x+εw)dw

onde acima fora aplicado duas vezes o teorema da Mudança de Variável.


2.4.1 Propriedades dos Regularizantes Simétricos (Mollifiers)

i. fε ∈ C∞(Rn), fε → f em L1loc(R

n) e se f ∈ L1(Rn) então fε → f em L1(Rn);

ii. Se A ≤ f(x) ≤ B ∀x então A ≤ fε(x) ≤ B ∀x;

iii. Se f, g ∈ L1(Rn) então∫fεgdx =

∫fgε;

iv. Se f ∈ C1(Rn) então ∂fε∂xi

=(

∂f∂xi

)ε;

v. Se spt(f) ⊂ A então spt(fε) ⊂ Aε = x;dist(x;A) ≤ ε

Para a demostração de tais propriedades consulte Evans-Gariepy [6] pag. 123 ou Evans

[2] pag. 630.

Proposição 2.2. Suponha que f ∈ BV(Ω) e se tenha A ⊂⊂ Ω conjunto aberto tal que∫

∂A

|Df| = 0. Então se fε é uma família regularizante simétrica (onde f é extendida a 0

fora de Ω se necessário),∫

A

|Df| = limε→0

∫

A

|Dfε|dx

Proof: Pela Propriedade (i) dos Regularizantes Simétricos segue do fato de

f ∈ BV(Ω), ou seja, f ∈ L1(Ω), que fε → f em L1(Rn). Pela Semicontinuidade Inferior

(2.3.3) tem-se que ∫

A

|Df| ≤ lim infε→0

∫

A

|Dfε|dx.

Tomemos agora g ∈ C10(A;Rn) com |g|L∞(Ω) ≤ 1. Então pelas Propriedades (iii) e (iv)

dos regularizantes simétricos temos as identidades∫fεdivgdx =

∫f(divg)εdx =

∫fdiv(gε)dx

Por |g|L∞(Ω) ≤ 1, segue da Propriedade (ii) dos regularizantes simétricos que

|gε|L∞(Ω) ≤ 1, e, sendo spt(g) ⊆ A a propriedaade (v) dos regularizantes simétricos nos

fornece que spt(gε) ⊆ Aε = x;dist(x;A) ≤ ε. Assim se nos utilizarmos das identidades

acima, do fato de sptgε ⊆ Aε = x;dist(x;A) ≤ ε e da definição de Variação Total

concluiremos que ∫fεdivgdx =

∫fdiv(gε)dx ≤

∫

Aε

|Df|

Ao tomarmos o supremo sobre todas as funções g com as propriedades acima teremos∫

A

|Dfε| ≤∫

Aε

|Df|. Dessa forma tomando o limsup na última sentença acima teremos

lim supε→0

∫

A

|Dfε|dx ≤ lim supε→0

∫

Aε

|Df| = limε→0

∫

Aε

|Df| =

∫

A

|Df| =

∫

A

|Df|+

∫

∂A

|Df| =

∫

A

|Df|


Portanto, lim supε→0

∫

A

|Dfε|dx ≤∫

A


∫

A

|Dfε|dx ≤ lim supε→0

∫

A

|Dfε|dx.

E dessa forma∫

A

|Df| = limε→0

∫

A

|Dfε|dx.

Observação 2.7. Se A = Rn então a Proposição acima mostra que

∫

Rn

|Df| = limε→0

∫

Rn

|Dfε|dx.

Em particular se f = χE então Per(E) = limε→0

∫

Rn

|(DχE)ε|dx = limε→0

Per(Eε)

2.5 Aproximação de Funções BV

Esta seção será dedicada a mostrar que toda função f ∈ BV(Ω) pode ser aproximada,

em algum sentido, por funções C∞. Não devemos esperar aproximação segundo a

norma-BV uma vez que o fecho de funções C∞ nesta norma é o espaço de Sobolev W1,1(Ω),

o qual foi mostrado, observação (2.4) , não ser igual a BV(Ω). Portanto, em particular não

devemos esperar encontrar fj ∈ C∞(Ω) de sorte que fj → f em L1(Ω) e∫

Ω

|D(fj − f)| → 0

Teorema 2.5.1. (Aproximação por funções suaves - Densidade - Anzellotti -

Giaquinta) Seja f ∈ BV(Ω). Então existe uma sequência de funções fj ⊂ C∞(Ω) tal

que

limj→∞

∫

Ω

|fj − f|dx = 0 e limj→∞

∫

Ω

|Dfj|dx =

∫

Ω

|Df|

Nota 2.6. Atente para o fato que tal resultado não assegura que limj→∞

∫

Ω

|Dfj −Df| = 0.

Proof: Fixado ε > 0 podemos escolher m ∈ R+ tal que se tomarmos

Ωk =

x ∈ Ω ;dist(x;∂Ω) >

1

m+ k

; k = 0, 1, 2, ...

então ∫

Ω−Ω0

|Df| < ε.

Para tanto basta tomar m suficientemente grande. Nosso objetivo agora será

construir uma partição da unidade, para tanto definamos os conjuntos Ai, i = 1, 2, ...,

construtivamente por A1 = Ω2 e para i = 2, 3, ... façamos Ai = Ωi+1−Ωi−1. Dessa forma

podemos tomar ϕi uma partição diferenciável da unidade subordinada a cobertura Ai


Lembremo-nos que dada uma variedade topológica M e uma cobertura arbitrária por

meio de abertos A = Ai de M,uma Partição da Unidade Subordinada a A é uma coleção

de aplicações contínuas ϕi : M → Ri∈N, com as seguintes propriedades:

i. 0 ≤ ϕi(x) ≤ 1 ∀ i ∈ N e x ∈ M;

ii. spt(ϕi) ⊂ Ai;

iii. O conjunto dos suportes spt(ϕi)i∈N é localmente finito;

iv.

∑

i>1

ϕi = 1;

Como nossa Partição da Unidade é diferenciável, agregando as propriedades (i)-

(iv) teremos

v. ϕi ∈ C∞

0 (Ai).

Para mais informações e detalhes sobre partições da unidade (diferenciáveis)

consulte Lee [32] pag. 49.

Tomemos agora η um Regularizante Simétrico Positivo. Pelas propriedades dos

Regularizantes Simétricos e juntamente as da Partição diferenciável da Unidade

podemos escolher para todo índice i um número εi > 0 de tal sorte que as seguintes

condições sejam verificadas:

(a) spt(ηεi ∗ (fϕi)) ⊂ Ωi+1 −Ωi−2 (Ω−1 = ∅);

(b)∫|ηεi ∗ (fϕi) − fϕi|dx < ε2−i;

(c)∫|ηεi ∗ (fDϕi) − fDϕi|dx < ε2−i

Finalmente se definirmos fε =∑

ηεi ∗ (fϕi) é de fácil verificação que

i. fε ∈ C∞(Ω);

ii. Sendo f =∑

i>1

fϕi então |fε − f|L1(Ω) < ε;

iii.∫

Ω


∫

Ω

|Dfε|dx

Vejamos:

(i) A sentença (a) acima nos fornece que a soma definindo fε é localmente finita, segue

portanto da diferenciabilidade dos regularizantes simétricos e da partição da unidade que

fε ∈ C∞(Ω);

(ii)

∫

Ω

|fε−f|dx =

∫

Ω

∣∣∣∣∣∑

i

ηεi ∗ (fϕi) −∑

i

fϕi

∣∣∣∣∣dx ≤∑

i

∫

Ω

|ηεi∗(fϕi)−fϕi|dx <∑

i≥1

ε2−i = ε


Portanto fε−→ε→0f em L1(Ω)

(iii) Segue imediataente do Teorema do Semicontinuidade Inferior (2.3.3)

Em seguida tomemos g ∈ C10(Ω;Rn) com |g| ≤ 1. Então

∫

Ω

fεdivgdx =

∫

Ω

|Df| =∑

i

∫

Ω

(ηεi ∗ (fϕi))divϕ

=∑

i

∫fϕidiv(ηεi ∗ g)

=∑

i

∫

Ω

fdiv(ϕiηεi ∗ g)dx−

∫

Ω

f(Dϕiηεi ∗ g)dx

= Iε1 + Iε2

Dado que |ϕiηεi ∗ g| ≤ 1, tem-se pela definição de Variação Total que

∫

Ω

fdiv(ϕ1ηεi ∗ g)dx ≤∫

Ω

|Df|

e tendo em vista o fato que a interseção de uma quantidade maior que 3 conjuntos Ai é

vazia segue que

∑

i≥2

∫

Ω

fdiv(ϕiηεi ∗ g)dx =∑

i≥2

∫

Ai

|Df| ≤ 3

∫

Ω−Ω0

|Df| < 3ε

Assim, Iε1 =

∫

Ω

fdiv(ϕ1ηεi ∗ g)dx+∑

i≥2

∫

Ω

fdiv(ϕiηεi ∗ g)dx ≤∫

Ω

|Df|+ 3ε e

|Iε2| ≤∫

Ω

|f(Dϕiηεi ∗ g)|dx =∑

i

∫|g(ηεi ∗ (fDϕi) − fDϕi)|dx) ≤

∑

i≥1

ε2−i = ε.

Vale ressaltar que usamos acima o fato que∑

i

Dϕi = 0. Portanto

∫fεdivgdx ≤

∫

Ω

|Df|+ 4ε.

Segue da definição de Varição Total que∫

Ω

|Dfε| ≤∫

Ω

|Df|+ 4ε. Dessa forma usando

a Semicontinuidade Inferior (2.3.3)e a definição de liminf temos∫

Ω

|Dfε| ≤∫

Ω

|Df|+ 4ε ≤ lim infε→0

∫

Ω

|Dfε|dx+ 4ε ≤∫

Ω

|Dfε|+ 4ε.

Agora basta fazer ε → 0 para enfim obter o resultado.

Teorema 2.5.2. (Aproximação fraca da Derivada) Para cada função fk como nas

hipóteses do Teorema anterior (2.5.1), defina a medida de Radon (a valores vetoriais)

µk(B) =

∫

B∩Ω

Dfkdx


para cada conjunto de Borel B ⊂ Rn. Defina também µ(B) =

∫

B∩Ω

d(|Df|)dx, então

µk µ fracamente no sentido das medidas de Radon (a valores vetoriais) no Rn.

Proof: Fixe φ ∈ C10(R

n;Rn) e ε > 0. Definamos como no Teorema precedente (2.5.1)

em Ω1 ⊂⊂ Ω as seguintes funções de corte ζ satisfazendo

ζ ≡ 1 em Ω1, spt(ζ) ⊂ Ω e 0 ≤ ζ ≤ 1.

Então,

∫

Rn

φdµk =

∫

Ω

φ.Dfkdx =

∫

Ω

ζφ.Dfkdx+

∫

Ω

(1− ζ)φ.Dfkdx =

= −

∫

Ω

div(ζφ)fkdx+

∫

Ω

(1− ζ)φ.Dfkdx. (∗)

Dado que fk → f em L1(Ω), o primeiro termo em (*) converge a

−

∫

Ω

div(ζφ)fdx =

∫

Ω

ζφ.d(Df)

=

∫

Ω

φ.d(Df) +

∫

Ω

(ζ− 1)φ.d(Df) (∗∗)

O último termo em (**) é estimado por

||φ||L∞ |Df|(Ω−Ω1) ≤ Cε.

Pelo Teorema de Semicontinuidade Inferior (2.3.3), vemos que para k suficientemente

grande, o último termo em (*) é estimado por

||φ||L∞ |Dfk|(Ω−Ω1) ≤ Cε.

Portanto

∣∣∣∣∫

Rn

φdµk −

∫

Rn

φdµ

∣∣∣∣ ≤ Cε para todo k suficientemente grande.

Observação 2.8. Para todo ε > 0, N > 0 e x0 ∈ ∂Ω,

ρ−N limρ→0

∫

B(x0,ρ)∩Ω

|fε − f|dx = 0 (2.6)

onde B(x0, ρ) = x ∈ Rn; |x− x0| < ρ. Vejamos uma prova de tal asserssão:

Seja x ∈ B(x0, ρ) ∩Ω, pela escolha do spt(ϕk) temos

fε(x) − f(x) =∑

k≥k0

[ηεk ∗ (fϕk) − fϕk], onde k0 =

⌊1

ρ

⌋−m− 2


e⌊

1ρ

⌋denota o maior inteiro que não supera 1

ρ. Então de (b) conforme o Teorema de

Aproximação (2.5.1) segue que∫

B(x0,ρ)∩Ω

|fε(x)−f(x)|dx ≤ C2−k0 e usando a relação entre

k0 e ρ conseguimos o desejado.

2.6 Existência de Superfícies Mínimas

Nesta seção trataremos dos teoremas de compacidade e existência de superfícies

mínimas, os quais segundo o formalismo de Ennio De giorgi asseguram, segundo a

concepção do mesmo sobre hipersuperfícies, a existência de conjuntos minimais, ou seja,

segundo o nosso contexto, conjuntos que minimizam o perímetro.

2.6.1 Teoremas de compacidade

Teorema 2.6.1. (Rellich-Kondrachov para funções BV) Seja Ω ⊂ Rn aberto e

limitado com fronteira Lipschitz. Dado uma sequência fj ⊂ BV(Ω) tal que |fj|BV(Ω) ≤M ∀ j, então existe uma função f ∈ BV(Ω) tal que

i.

∫

Ω

|fj − f|dx → 0;

ii.

∫

Ω

|Df| ≤M.

Em outras palavras, fj é relativamente compacta na norma induzida por L1(Ω).

Proof: Veja Brezis [37] pag.169 com as devidas adaptações.

Nota 2.7. O Teorema de Rellich-Kondrachov se concebe em contextos mais gerais, onde

se assume que o bordo de E seja C1.

Teorema 2.6.2. (Teorema de Compacidade para funções BV) Seja Ω ⊂ Rn aberto

e limitado o qual é suficientemente regular para o Teorema de Rellich-Kondrochov (É

suficiente que a fronteira de Ω seja Lipschitz contínua). Então toda família de funções

uniformemente limitada na norma do espaço BV(Ω) é relativamente compacta em L1(Ω)

Proof: Seja fj uma sequência de funções em BV(Ω) tal que |fj|BV(Ω) ≤ M. Para

cada j pelo Teorema de Aproximação (2.5.1) podemos escolher fj ∈ C∞(Ω) tal que∫

Ω

|fj − f|dx <1

je |fj|BV(Ω) ≤M+ 2.


Segue do Teorema de Rellich-Kondrachov (2.6.1) que fj é relativamente compacta em

L1(Ω). Portanto a mesma possui uma subsequência convergente a uma função f em

L1(Ω). Pelo Teorema de Semicontinuidade Inferior (2.3.3) segue que f ∈ BV(Ω). Em

resumo temos

fjk → f ∈ BV(Ω) pois∫|Df| ≤ lim inf

jk→∞

∫|Dfjk | ≤M+ 2

E este é o limite de uma subsequência de fj

Nota 2.8. Diremos mediante o Teorema de Compacidade (2.6.2) acima que BV(Ω) está

compactamente imerso em L1(Ω), e escreveremos BV(Ω) → L1(Ω).

Ennio De Giorgi pensava em uma hipersuperfície de codimensão 1 em Rn como a

fronteira de conjuntos de Caccioppoli, mais precisamente segundo o formalismo do

mesmo:

Definição 2.24. (De Giorgi) Seja M ⊂ Rn. Então M será uma superfície

(hipersuperfície) se existir um conjunto E ⊂ Rn tal que M = ∂E, onde E é um conjunto

de Caccioppoli.

Motivados por tal definição podemos então tratar do

Teorema 2.6.3. (De Giorgi - Existência de Superfícies Mínimas) Seja Ω ⊂ Rn

aberto e limitado com bordo Lipschitz. Dado um conjunto de Caccioppoli F, existe um

conjunto de Caccioppoli E coincidindo com F fora de Ω tal que para todo conjunto de

Caccioppoli L coincidindo com F fora de Ω vale:

Per(E,Ω) =

∫

Ω

|DχE| ≤∫

Ω

|DχL| = Per(L,Ω)

Proof: Sendo Ω ⊂ Rn limitado, podemos escolher r ∈ R+ tal que Ω ⊂ B(0; r). Assim,

dado qualque conjunto L coincidindo com F fora de Ω tem-se que∫|DχL| =

∫

B(0;r)

|DχL|+

∫

Rn−B(0;r)

|DχF|

Desta forma, é suficiente mostrarmos que existe um conjunto E coincidindo com F

fora de Ω tal que para todo L conjunto de Caccioppoli coincidindo com F fora de Ω vale:

∫

B(0;r)

|DχE| ≤∫

B(0;r)

|DχL| (2.7)

Sendo∫

B(0;r)

|DχF| < ∞ (F conjunto de Caccioppoli), tomando Ej uma sequência

minimizante para (2.7), temos que∫

B(0;r)

|DχEj| ≤ M para algum M > 0. Pelo Teorema

de Rellich-Kondrachov, existe uma função f ∈ BV(Ω) tal que


χEj→ f em L1(B(0; r)) e

∫

B(0;r)

|Df| ≤M

Escólio: Como χEj→ f, temos f = χE q.t.p para algum E (Para mais detalhes consulte

Folland [40] Exercício 2.36) . Pela Semicontinuidade Inferior do Perímetro temos que E

é minimizante.

Mediante o Teorema acima podemos então tratar da seguinte

Definição 2.25. (Conjuntos Minimais) Diremos que E ⊂ Rn é um Conjunto

Minimal ou tem Fronteira Mínima em Ω se,e somente se o mesmo satisfizer:

i. Per(E,Ω) < ∞

ii. Per(E,Ω) ≤ Per(F,Ω), qualquer que seja o conjunto de Caccioppoli F1 tal que (F−

E) ∪ (E− F) é relativamente compacto em Ω com E−Ω = F−Ω,

isto é, se, e somente se qualquer variação local de E em Ω produz um aumento na “área

superficial”, ou seja, no perímetro.

Figura 2.9: Conjunto Minimal

Nota 2.9. Em Teoria Geométrica da Medida muitas vezes se concebe a seguite definição:

Sejam A ⊂ Rn aberto χA a função característica de A. Diremos que a fronteira, ∂A, de A

é uma hipersuperfície orientada em Ω, Ω sendo um conjunto aberto, se as derivadas

DiχA são medidas em Ω, isto é, se χA ∈ BVloc(Ω).

Observação 2.9. i. Em algum sentido o conjunto L do Teorema de Existência

de Superfícies Mínimas (2.6.3) determina os valores de fronteira para E.

Grosseiramente falando, ∂E minimiza a área ao longo de todas as superfícies com

fronteira ∂L ∩ ∂Ω. Vejamos isso através de um exemplo

Exemplo 2.12. Em R2 seja Ω = B2 = x ∈ R2; |x| < 2 e L = x ∈ R2; (x1)2 +(x2 −

1)2 < 4. Dessa forma E será o conjunto (x1, x2) ∈ L; x2 > 12


ii. Ao contemplarmos a demonstração do Teorema de Existência de Superfícies

Mínimas (2.6.3) poderemos constatar que o caráter do conjunto L é distante de

E, pois na prova , nós observamos o caráter de L exterior a BR, o mesmo não tem

influência sobre o conjunto E ∩ Ω para o qual o nosso interesse se concentra no

interior de BR.

Observação 2.10. i. O conjunto Ω pode agir como um obstáculo forçando ∂E ao

longo da superfície mínima espandida por ∂L ∪ ∂Ω.

ii. Se nos utilizarmos do mesmo método empregado no Teorema de Existência de

Superfícies Mínimas (2.6.3) poderemos minimizar funcionais da forma

FH(E) =

∫|DχE|+

∫

E

H(x)dx.

onde em geral H(x) (veja por exemplo Massari-Miranda [26], Massari [57],

Tamanini [65], [66], Massari [68],Gonzalez-Massari [70], Pepe-Massari [75] e

Partial Differential Equations [77]) denota a curvatura média generalizada (ou

curvatura média variacional) da superfícia ∂E.

Não é tarefa difícil constatar (pelo cálculo da primeira variação do funcional FH(E))

que se E tem curvatura média variacional H, se H é contínua em x ∈ ∂E, e ∂E é

1Tal classe de conjuntos é conhecida como classe de Caccioppoli F;E−Ω = F−Ω


suave próximo de x, então os valores da curvatura média (clássica)de ∂E em x é

dado por −H(x)

n−1. Para E ⊂ Rn um conjunto de perímetro finito seja

H1 = H ∈ L1(Rn);minimiza FH(E)

O fato que todo conjunto de perímetro finito em Rn tem uma curvatura média

variacional foi observado pela primeira vez em Barozzi-Gonzalez-Tamanini [108].

2.7 Aproximação de conjuntos de Caccioppoli por

funções C∞

Nosso objetivo nesta seção é apresentar um Teorema de aproximação análogo ao do

Teorema de aproximação por funções suaves (2.5.1), entretanto nesse novo contexto

estaremos aproximando conjuntos de Caccioppoli ao invés de Funções de variação

limitada.

Teorema 2.7.1. (Fórmula da Coárea de Fleming-Rishel) Seja f ∈ BV(Ω) e defina

Ft = x ∈ Ω; f(x) < t. Então,

∫

Ω

|Df| =

∫∞

−∞

dt

∫

Ω

|DχFt | (2.8)

Proof: Seja g ∈ C10(Ω;Rn) e |g| ≤ 1. Vejamos primeiramente o caso quando f ≥ 0.

Ao observarmos que f(x) =

∫∞

0

(1− χFt(x))dt então

∫fdivgdx =

∫dt

∫∞

0

(1− χFt(x))divgdt =

∫∞

0

dt

∫divgdx−

∫χFtdivgdx

Mas, por hipótese temos g ∈ C10(Ω;Rn), logo

∫divgdx = 0. Segue disso que

∫fdivgdx = −

∫∞

0

dt

∫

Ft

divgdx ≤∫∞

0

dt

∫

Ω

|DχFt |.

Agora se tivermos f(x) ≤ 0, poderemos como acima observar que∫ 0

−∞

χFt(x)dt e obter

semelhantemente ao caso anterior

∫fdivgdx ≤

∫ 0

−∞

dt

∫

Ω

|DχFt |.


Dividindo f sobre sua parte positiva e negativa poderemos escrever

∫fdivgdx =

∫((f)++(f)−)divgdx ≤

∫∞

0

dt

∫

Ω

|DχFt |+

∫ 0

−∞

dt

∫

Ω

|DχFt | =

∫∞

−∞

dt

∫

Ω

|DχFt |

para qualquer função f ∈ BV(Ω). Ao nos utilizarmos da definição de variação total, ou

seja, tomarmos o supremo sobre todas as funções g tais que g ∈ C10(Ω;Rn) com |g| ≤ 1,

teremos ∫

Ω

|Df| ≤∫∞

−∞

dt

∫

Ω

|DχFt |.

Vejamos agora a prova da desigualdade contrária: Assuma primeiramente que a

sentença (2.8) é verificada para f ∈ C∞(Ω). Tomando f ∈ BV(Ω) seja fj uma sequência

de aproximação dada pelo Teorema de aproximação por funções suaves (2.5.1). Então,

uma vez que fj → f em L1(Ω) e pela fórmula da Coárea para tais funções tem-se

∫

Ω

|fj − f|dx =

∫∞

−∞

dt|χFjt − χFt |dx,

onde Fjt = x ∈ Ω, fj(x) < t, da qual podemos garantir a existência de uma subsequência,

ainda denotada por fj, de sorte que χFtj → χFt em L1(Ω) para quase todo t. Portanto,

segue do Lema de Fatou e do Teorema de Semicontinuidade Inferior (2.3.3) que

∫

Ω

|Df| = limj→∞

∫

Ω

|Dfj| = limj→∞

∫∞

−∞

dt

∫

Ω

|DχFjt | ≥∫∞

−∞

dt

∫

Ω

|DχFt |

Dessa forma nos resta somente mostrar (2.8) para f ∈ C∞(Ω). De fato basta

repetirmos exatamente o raciocínio acima, porém agora fazendo uma aproximação de

f ∈ C∞(Ω) por funções lineares fj pontualmente contínuas. Com efeito mostraremos

agora que (2.8) se verifica para funções lineares pontualmente contínuas.

Suponha que Ω =

N⋃

i=1

Ωi e f(x) = 〈ci, x〉+bi se x ∈ Ωi, onde ci ∈ Rn e bi ∈ R. Dessa

forma f ∈W1,1(Ω) e∫

Ω

|Df| =

N∑

i=1

|ci|.|Ωi|.

Além disso,

∫

Ωi

|DχFt | = Hn−1(x ∈ Ωi; f(x) = t) = Hn−1(x ∈ Ωi; 〈ci, x〉+ bi = t).

Assumamos agora que o eixo-x1 é perpendicular ao hiperplano x ∈ Ωi; 〈ci, x〉 + bi =

t, tal procedimento é lícito pois nossa classe de conjuntos é invariante por rotações e

translações. Assim, ao introduzirmos uma mudança de variáveis no membro direito de


(2.8), teremos

∫∞

−∞

dt

∫

Ωi

|DχFt | =

∫∞

−∞

|ci|Hn−1(x ∈ Ωi; x1 = t)dt = |ci|.|Ωi|.

Portanto,∫∞

−∞

dt

∫

Ωi

|DχFt | =

N∑

i=1

|ci|.|Ωi| =

∫

Ω

|Df|

Nota 2.10. A Fórmula da Coárea de Fleming-Rishel informa essencialmente que sendo

f ∈ BV(Ω) então Ft é um conjunto de perímetro finito para quase todo t ∈ R. Além

disso, podemos observar que a recíproca desse resultado também é verdadeira, ou seja, se

f ∈ L1(Ω) e∫∞

−∞

dt

∫

Ω

|DχFt | < ∞ então f ∈ BV(Ω). Para mais informações e detalhes

consulte Ziemer [11] pag. 231.

Lema 2.3. Seja 0 < t < 1, εj → 0 quando j → ∞ e Ej = x ∈ Rn; fεj > t, onde

fεj = ηεj ∗ χE. Então

limj→∞

∫|χEj

− χE|dx ≤1

min(t, 1− t)

∫|fεj − χE|dx

Proof: Segue da definição que

fEj− χE > t em Ej − E e χE − fEj

≥ 1− t em E− Ej,

de modo que

∫|fεj − χE|dx ≥

∫

Ej−E

|fεj − χE|dx+

∫

E−Ej

|fεj − χE|dx ≥

≥ t|Ej − E|+ (1− t)|E− Ej| ≥

≥ mint, 1− t

∫|χEj

− χE|dx

Teorema 2.7.2. Todo conjunto de Caccioppoli limitado E pode ser aproximado por uma

sequência de conjuntos Ej, C∞, tal que∫|χEj

− χE|dx → 0 e∫|DχEj

| →∫|DχE|


Proof: Sabemos do Teorema de Aproximação (2.5.1) que χE pode ser aproximado

por uma sequência de funções C∞ via a técnica de regularizante simétrico para a função

χE. Com tal técnica de regularizantes simétricos e usando a fórmula da Coárea (2.7.1)

obteremos a aproximação desejada.

Sejam ε > 0 e fε = ηε ∗ χE, onde ηε é uma família regularizante simétrica positiva.

Do fato de 0 ≤ fε ≤ 1 juntamente com a Fórmula da Coárea (2.7.1) segue que

∫|Dfε| =

∫ 1

0

dt

∫

Ω

|DχEεt |, (2.9)

onde Eεt = x; fε(x) < t. Pela observação (2.7) tem-se

∫|DχE| = lim

ε→0

∫|Dfε| (2.10)

Agora se supormos εj → 0 quando j → ∞ podemos via o Lema (2.3) concluir que

χEjt→ χE q.t.p. para cada 0 < t < 1. De fato

limj→∞

∫|χEjt

− χE|dx ≤1

min(t, 1− t)

∫|fεjt − χE|dx → 0

pois fεjt é um regularizante simétrico de χE, logo a convergência é em L1(Rn). Pela

Semicontinuidade Inferior (2.3.3) temos para cada t, lim infj→∞

∫|DχEjt

| ≥∫|DχE|. Assim,

se nos utilizarmos das equações (2.9), (2.10) e da definição de liminf segue que∫|DχE| = lim

j→∞

∫|Dfεj | = lim

j→∞

∫ 1

0

dt

∫|DχEjt

| =

∫ 1

0

dt limj→∞

∫|DχEjt

| ≥

≥∫ 1

0

dt lim infj→∞

∫|DχEjt

| = lim infj→∞

∫|DχEjt

| =

∫|DχE|

Portanto ∀ t ∈ (0, 1), temos lim infj→∞

∫|DχEjt

| =

∫|DχE|. Além disso pelo Teorema de

Morse-Sard-Federer (Veja Apêndice), temos que para todo t, ∂Ejt é uma superfície regular.

Se escolhermos um t ∈ (0, 1) tal que Fj = Ejt então pelo mostrado acima juntamente com

o Teorema de Morse-Sard-Federer tem-se

i. ∂Fj é suave no sentido clássico da Geometria Diferencial;

ii. χFj → χE em L1(Rn);

iii. lim infj→∞

∫|DχFj | =

∫|DχE|

Tomando uma subsequência de εj e mutatis mutandis podemos assegurar que a

propriedade (iii) se verifica com limj→∞

ao invés de lim infj→∞

e esse argumento finaliza a

demonstração do Teorema.


Observação 2.11. Não é possível em geral aproximar um conjunto de caccioppoli E

por conjuntos C∞ contidos no interior de E (ou mesmo no exterior). Por exemplo ,

consideremos o conjunto E do exemplo (2.9). Se F é qualquer conjunto contento E, ter-se-á

necessariamente F = Rn e portanto |F − E| = ∞ ou |∂F| = ∞ (ou ambos). Segue dessa

forma que E não pode ser aproximado de seu exterior por conjuntos suaves.

Figura 2.10: Aproximação do conjunto de Caccioppoli E por conjuntos suaves Ej.

2.8 Desigualdade de Sobolev e consequências

Agora reproduziremos a versão para o espaço BV(Ω) das clássicas Desigualdades de

Sobolev, Isoperimétrica e de Poincaré.

O próximo teorema é uma extensão da clássica desigualdade de Sobolev para funções

em W1,1.

Teorema 2.8.1. i. (Desigualdade de Sobolev) Seja f ∈ BV(Rn) tendo suporte

compacto. Então (∫|f|

nn−1dx

)n−1n

≤ c1(n)

∫|Df| (2.11)

onde c1 é uma constante universal.

É valioso observar que se f ∈ BV(Rn), então a sequência fj do Teorema de

aproximação por funções suaves (2.5.1) pode ser construída de tal sorte que cada fj

tenha suporte compacto. Dessa forma pode ser derivada para a classe de funções de

variação limitada o seguinte versão da Desigualdade de Poincaré. Mais precisamente

tem-se

ii. (Desigualdade de Poincaré) Se no entanto f ∈ BV(Bρ) e se definirmos

fρ =1

|Bρ|

∫

Bρ

fdx.


Então (∫

Bρ

|f− fρ|n

n−1dx

)n−1n

≤ c2(n)

∫

Bρ

|Df| (2.12)

Proof: As desigualdades (2.11) e (2.12) já possuem suas versões para funções nos

espaços C∞

0 (Rn) e C∞(Bρ), para tanto consulte Adams [1]. Provemos então (2.11):

Pelo Teorema de Aproximação (2.5.1) podemos escolher fj ⊂ C∞

0 (Rn) tal que

fj → f em L1(Rn) e∫

Ω

|Dfj|dx →∫

Ω

|Df|.

Tendo em vista que (2.11) é válida para as funções fj, esta nos fornece que as fj

são uniformemente limitadas na norma Ln

n−1 (Rn), e dessa forma pela reflexividade

do espaço Ln

n−1 (Rn) o Teorema de Pettis assegura que a mesma admite uma

subsequência fracamente convergente a alguma função f0 ∈ Ln

n−1 (Rn). Como fj → f

em L1(Rn), segue da unicidade do limite fraco que f0 = f e fj f em Ln

n−1 (Rn) e

assim via convergência fraca (considerações de Análise Funcional) seque que

(∫|f|

nn−1dx

)n−1n

≤ lim infj→∞

(∫|fj|

nn−1dx

)n−1n

≤ c1(n) limj→∞

∫|Dfj| = c1(n)

∫|Df|

Quanto a sentença (2.12), a mesma segue mutatis mutandis a demonstração acima.

Observação 2.12. Se tivermos f(x) = 0 então recuperaremos a clássica e também

a mais conhecida versão da Desigualdade de Poincaré:

||f||L

nn−1 (Br(x))

≤ C

∫

Br(x)

|Df|

Observação 2.13. Herbert Federer e Wendel H. Fleming monstraram em [30] que a

constante c1(n) =Γ(n

2+1)

1n

nπ12

é ótima e que a mesma é atingida por múltiplos de funções

características de bolas. É de conhecimento (Veja Massari-Miranda [26]) que c2(n) =

n− nn−1w

− 1n−1

n .

Corolário 2.1. (Desigualdades Isoperimétricas) Seja E ⊂ Rn um conjunto de

Caccioppoli limitado. Então

|E|n−1n ≤ c1(n)

∫|DχE| (2.13)


min |E ∩ Bρ|, |(Rn − E) ∩ Bρ|

n−1n ≤ c2(n)

∫

Bρ

|DχE| (2.14)

Proof: A sentença (2.13) é uma consequência imediamente da Desigualdade de

Sobolev aplicada a função χE uma vez que χE ∈ BV(Rn) e esta tem suporte compacto.

Vejamos agora a sentença (2.14). Seja f = χE. Então fρ =1

|Bρ|

∫

Bρ

fdx =|E ∩ Bρ|

|Bρ|e

dessa forma

∫

Bρ

|f− fρ|n

n−1dx =

∫

E∩Bρ

|f− fρ|n

n−1dx+

∫

(Rn−E)∩Bρ

|f− fρ|n

n−1dx

=

1−

|E ∩ Bρ|

|Bρ|

n−1n

|E ∩ Bρ|+

|E ∩ Bρ|

|Bρ|

n−1n

|(Rn − E) ∩ Bρ|

Note que |(Rn − E) ∩ Bρ| = |Bρ|1−

|E∩Bρ|

|Bρ|

. Assim,

∫

Bρ

|f− fρ|n

n−1

n−1n

dx ≥

≥ min |E ∩ Bρ|, |(Rn − E) ∩ Bρ|

n−1n

1

|Bρ|

|E ∩ Bρ|

nn−1 + |(Rn − E) ∩ Bρ|

nn−1

n−1n ≥

≥ min |E ∩ Bρ|, |(Rn − E) ∩ Bρ|

n−1n .

Observação 2.14. A sentença (2.13) é conhecida como Desigualdade Isoperimétrica, já

a sentença (2.14) é conheida na literatura como Desigualdade Isoperimétrica relatica. A

interpretação da Desigualdade Isoperimétrica é que de todos os conjuntos mensuráveis de

Perímetro finito, o perímetro da bola é o menor entre os perímetros de todos os conjuntos

com a mesma medida.

Figura 2.11: Desiguladade Isoperimétrica Relativa

Capítulo 3

Teoria do Traço para Funções de

Variação Limitada

Conteúdo

3.1 Traço de funções em W1,p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2 Traço de Funções de Variação Limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.1 O Teorema de Lebesgue-Besicovitch e o Lema de Recobrimento de Vitali 51

3.2.2 O Teorema do Traço e a Fórmula de Gauss-Green para C+R . . . . . . . 54

Neste capítulo desenvolveremos a Teoria do Traço para funções de variação Limitada.

Tais ferramentas serão bastante úteis nos capítulos subsequentes.

3.1 Traço de Funções em W1,p(Ω)

Se u ∈ C(Ω), u tem claramente valores ∂Ω no sentido usual. Entretanto, u ∈W1,p(Ω) não é em geral contínua, e, a mesma só está definida q.t.p em Ω. Como ∂Ω tem

medida n-dimensional de Lebesgue nula, não existe um significado direto o qual podemos

estabelecer a expressão ′′u restrita a ∂Ω ′′. A noção de TRAÇO resolve este problema.

Usaremos a noção de traço para dar sentido a ′′u restrita a ∂Ω ′′, a grosso modo

gostaríamos de atribuir significado aos valores dessas funções na fronteira de domínio Ω.

Teorema 3.1.1. (Teorema do Traço) Assuma que Ω é limitado e ∂Ω é C1. Então

existe um operador linear limitado T : W1,p(U) → Lp(∂U) tal que

i. Tu = u|∂Ω se u ∈W1,p(Ω) ∩ C(Ω) e

ii. ‖Tu‖Lp(∂U) ≤ C(p,Ω)‖u‖W1,p(Ω) para cada u ∈W1,p(Ω)

CAPÍTULO 3. TEORIA DO TRAÇO PARA FUNÇÕES DE VARIAÇÃO LIMITADA50

Tu é chamado o TRAÇO de u em ∂Ω.

Proof: Veja Evans [2] pag. 258.

Teorema 3.1.2. (Funções de Traço Nulo em W1,p(Ω)) Sejam Ω limitado e ∂Ω C1.

Suponha que u ∈W1,p(Ω). Então u ∈W1,p0 (Ω) se, e somente se Tu = 0 em ∂Ω.

Proof: Veja Evans [2] pag. 259.

Observação 3.1. Seja Ω limitado com bordo ∂Ω de classe C1. Uma função u ∈Lp(Ω) (1 ≤ p < ∞) não tem um traço em ∂Ω. Mais precisamente, não existe

um operador linear limitado T : W1,p → Lp(∂U) tal que Tu = u|∂Ω sempre que

u ∈ L1(Ω) ∩ C(Ω)

A resposta a esse problema é que em Lp(Ω) a norma do gradiente não pode ser em

geral limitada pela norma de u, o que deveras é sempre possível em W1,p(Ω).

Vejamos isto através do

Exemplo 3.1. Defina f : B(0, 1) ⊂ Rn → R da seguinte forma: para todo x ∈ B(0, 1−ε),

para ε≪ 1 defina 0 ≤ f(x) ≤ 1 e para x próximo da fronteira façamos a função f atingí-la

de maneira suave, como por exemplo uma função de corte (função que define a partição

da unidade, por exemplo), assim tal f construída dessa forma viola a condição (ii) da

definição de Traço (Tal situação está ilustrada através da figura abaixo).

Figura 3.1: Existência de função em Lp(Ω) que viola o operador do Traço.


3.2 Traço de Funções de Variação Limitada

Assumiremos que BV(Ω) ⊂ L1(Ω) e dessa forma consideraremos classes de

equivalência de funções em vez delas próprias. Dessa forma não faz sentido falar do

valor de uma função BV em um conjunto de medida nula, pois podemos alterar os valores

de uma função em um tal conjunto sem alterar sua classe de equivalência.

Devemos ter uma discrepância de discutir os valores de uma função BV na fronteira de

um conjunto, embora tal bordo possua medida nula. Assim a noção dos valores de uma

função em conjuntos de medida nula deve levar em consideração os valores da função em

torno de tais conjuntos ao invés de apenas o conjunto em si.

3.2.1 O Teorema de Lebesgue-Besicovitch e o Lema de

Recobrimento de Vitali

Teorema 3.2.1. (Teorema da Diferenciação de Lebesgue-Besicovitch) Seja f ∈L1(Rn). Então para q.t.p x ∈ Rn

limx→0

ρ−n

∫

Bρ

(f(x+ t) − f(x))dt = 0 (3.1)

Proof: Veja Evans-Gariepy [6], pag. 43.

Como ∂Ω tem medida nula o Teorema acima não nos permite definir de forma

inequívoca os valores de f em ∂Ω, pois pela Observação 3.1 em geral f ∈ L1(Ω) não possui

Traço sobre ∂Ω. Então o que nos falta de fato em codições mínimas para garantir que

podemos definir o Traço em ∂Ω? A resposta está intrinsecamente ligada a existência da

derivada. Veremos que se ∂Ω for Lipschtz contínuo então um poderosíssimo Teorema de

Teoria Geométrica da Medida, Teorema de Rademacher [Veja Apêndice], garante que em

tais circunstâncias ∂Ω adimite vetor gradiente Ln- quase sempre, onde Ln aqui denota

a medida n-dimensional de Lebesgue. Mais geralmente podemos definir o Traço em

hipersuperfícies fechadas S ⊂ Ω para funções BV(Ω).

Lema 3.1. (Recobrimento de Vitali) Sejam A ⊂ Rn e ρ : A → (0, 1), então existe

uma coleção enumerável de pontos xi ∈ A tais que

B(xi, ρ(xi)) ∩ B(xj, ρ(xj)) = ∅ se i 6= j (3.2)

A ⊆⋃

i≥1

B(xi, 3ρ(xi)) (3.3)


Proof: Sejam

Ak = x ∈ A; 2−k ≤ ρ(x) ≤ 21−k, k ∈ N e L

a classe de todos os subconjuntos de A1, para os quais

B(x, ρ(x)) ∩ B(x, ρ(x)) = ∅ com x, y ∈ L, x 6= y.

Ordenando tais conjuntos por inclusão e utilizando o Lema de Zorn (Veja Apêndice)

garantimos a existência de um subconjunto L1 maximal. Se M ⊂ Rn é um conjunto

compacto, então L1 ∩M é necessariamente finito (via maximalidade de L1 e compacidade

de M), e, assim o próprio L1 é enumerável.

Analogamente, seja L2 subconjunto maximal de A2, tal que

B(x, ρ(x)) ∩ B(y, ρ(y)) = ∅ para x, y ∈ L1 ∪ L2, x 6= y.

Por indução, seja Lj ⊂ Aj um subconjunto maximal satisfazendo

B(x, ρ(x)) ∩ B(x, ρ(x)) = ∅ para todos x, y ∈j⋃

i=1

Li, x 6= y.

Usando as condições de maximalidade dos Li podemos mostrar que A =⋃

i≥1

Li com união

enumerável e satisfaz

B(x, ρ(x)) ∩ B(y, ρ(y)) = ∅ ∀ x, y ∈ A, x 6= y.

Seja z ∈ A, como A =⋃

k≥1

Ak então z ∈ Ak para algum k, e, além disso, existe

x ∈k⋃

i=1

Lk tal que B(x, ρ(x)) ∩ B(x, ρ(x)) 6= ∅ (Caso contrarío isso violaria a condição

de maximalidade de Lk). Seguem portanto das definições de Ak e Li que ρ(x) ≥ 12ρ(z)

implicando que z ∈ B(x, ρ(3x)), e, dessa forma A ⊆⋃

i≥1

B(xi, 3ρ(xi))

Adotaremos as seguintes convenções

B(x, r) = z ∈ Rn; |x− z| < r A bola em Rn

B′

(y, ρ) = t ∈ Rn−1; |y− t| < ρ A bola em Rn−1

Lema 3.2. Sejam Rn+ = x ∈ Rn; xn > 0 e µ uma medida de Radon positiva em Rn

+ com

µ(Rn+) < ∞. Para ρ > 0 e y ∈ ∂Rn

+, seja


C+ρ (y) = x ∈ Rn; x = (z, t), |y− z| < ρ, 0 < t < ρ = B

′

(y, ρ)× (0, ρ).

Então para y ∈ Rn−1 Hn−1- quase sempre,

limρ→0+

ρ1−nµ(C+ρ (y)) = 0 (3.4)

Proof: Seja Ak =

y ∈ Rn−1; lim sup

ρ→0

ρ1−nµ(C+ρ (y)) >

1

k

.

É suficiente mostramos que Hn−1(Ak) = 0 para cada k, pois como A =⋃

k≥1

Ak isso

implica que Hn−1(A) ≤∑

k≥1

Hn−1(Ak) = 0.

Dado y ∈ Ak e ε > 0, existe pela definição de limsup, ρy < ε tal que

µ(C+ρy(y)) >

1

2kρy

n−1 (3.5)

Pelo Lema de Recobrimento de Vitali (3.1) podemos escolher uma sequência yi ∈ Ak

tal que B′

(yi, ρyi) são disjuntas e Ak ⊆

⋃

i

B′

(yi, ρyi). Assim utilizando (3.5) vemos que

Hn−1(Ak) ≤ wn−1

∑

i≥1

(3ρyi)n−1 ≤ 2kwn−13

n−1∑

i≥1

µ(C+ρyi

(yi))

Por outro lado dado que ρi < ε, temos

C+ρyi

(yi) ⊆ Lε = x ∈ Rn; 0 < xn < ε

e portanto

Hn−1(Ak) < 2kwn−13n−1

∑

i≥1

µ(C+ρyi

(yi)) < µ(Lε) ∀ ε > 0,

assim µ(Lε) → 0 quando ε → 0 e dessa forma Hn−1(Ak) = 0


3.2.2 O Teorema do Traço e a Fórmula de Gauss-Green para C+R

Lema 3.3. (1a versão do Teorema do Traço e da fórmula de Gauss-Green -

Miranda) Sejam C+R = B

′

(0, R)× (0, R) = B′

R× (0, R) e f ∈ BV(CR+). Então existe uma

função f+ ∈ L1(B′

R) tal que para y ∈ B′

R Hn−1- quase sempre

limρ→0

ρ−n

∫

C+ρ (y)

|f(z) − f+(y)|dz = 0 (3.6)

Mais ainda, se CR = B′

R × (0, R), então para todo g ∈ C10(CR;R

n)

∫

C+R

fdivgdx = −

∫

C+R

〈g,Df〉+∫

B′

R

f+gndHn−1 (3.7)

ou seja, temos uma versão da Fórmula de Gauss-Green para f ∈ BV(CR+).

Proof: Assumamos primeiro que f é diferenciável e para ε > 0 defina fε : B′

R → R

por

fε(y) = f(y, ε) (3.8)

Seja o seguinte cilindro Qε,ε′ = B

′

R × (ε′

, ε), 0 < ε′

< ε < R. Pela Desigualdade do

Valor Médio vem que |fε − fε ′ | ≤∫ ε

′

ε

|Dnf|dt, disto segue que

∫

B′

R

|fε − fε ′ |dHn−1 ≤∫

Qε,ε

′

|Dnf|dx (3.9)

Concluímos assim que fε é uma sequência de Cauchy em L1(B′

R). Segue portanto que

a mesma converge a uma função f+ ∈ L1(B′

R)

Tome agora g ∈ C10(CR;R

n). Usando integração por partes vem que

∫

QR,ε

fdivgdx = −

∫

QR,ε

〈g,Df〉+∫

B′

R

f+gnεdHn−1

Tomando ε → 0 obteremos a sentença (3.7)

Provemos agora a sentença (3.6)

∫

C+ρ (y)

|f(z) − f+(y)|dz =

∫

B′

ρ(y)

dη

∫ ρ

0

|f(η, t) − f+(y)|dt ≤∫

B′

ρ(y)

dη

∫ ρ

0

|f(η, t) − f+(η)|dt+

∫

B′

ρ(y)

dη

∫ ρ

0

|f+(η) − f+(y)|dt =

∫

B′

ρ(y)

dη

∫ ρ

0

|f(η, t) − f+(η)|dt+ ρ

∫

B′

ρ(y)

|f(η, t) − f+(η)|dη

(3.10)


Pelo Teorema de Lebesgue-Besicovitch (3.2.1)segue que

limρ→0

ρ1−n

∫

B′

ρ(y)

|f(z) − f+(y)|dη = 0 (3.11)

para y ∈ B′

R Hn−1-quase sempre. Em contrapartida por (3.9) usando a Fórmula da coarea

teremos

∫ ρ

0

dt

∫

B′

ρ(y)

|f(η, t) − f+(η)|dη ≤ ρ

∫

C+ρ (y)

|Df| (3.12)

Assim utilizando (3.10) e (3.12) obteremos

ρ−n

∫

C+ρ (y)

|f(z) − f+(y)|dz ≤ ρ1−n

∫

C+ρ (y)

|Df|+ ρ1−n

∫

B′

ρ(y)

|f(z) − f+(y)|dη

Como |Df| é uma medida de Radon Positiva segue do Lema anterior (3.2) que para

y ∈ B′

R Hn−1-quase sempre

limρ→0

ρ1−n

∫

C+ρ (y)

|Df| = 0 (3.13)

Para finalizar a prova basta usarmos (3.11) e assim obteremos o resultado desejado.

Observação 3.2. A função f+ é chamada o TRAÇO de f em B′

R e

f+(y) = limρ→0

1

|C+ρ (y)|

∫

C+ρ (y)

f(z)dz

A função f+ é única a menos de um conjunto de medida Hn−1⌊∂B ′

R nula.

Interpretaremos f+ como o “valor de fronteira” de f sobre ∂B′

R

Proposição 3.1. Sejam f ∈ BV(C+R ) e fj ⊂ BV(C+

R ) uma sequência convergindo a f em

L1(C+R ) tal que

limj→∞

∫

C+R

|Dfj| =

∫

C+R

|Df|.

Então limj→∞

fj+ = f+ em L1(B

′

R)

Proof: Usando (3.9) e a fórmula da coarea temos para 0 < β < R e Qβ = QR,β,

1

β

∫β

0

dt

∫

B′

R

|f+(y) − f(y, t)|dt ≤∫

Qβ

|Df|


Se fβ(t) =1

β

∫β

0

f(y, t)dt, então

∫

B′

R

|f+(y) − fβ(y)|dy ≤∫

Qβ

|Df| (3.14)

Da sentença acima segue que

∫

B′

R

|f+(y) − f+j (y)|dt ≤∫

B′

R

|f+(y) − fβ(y)|dy+

∫

B′

R

|fj,β(y) − f+j (y)|dy+

∫

B′

R

|fβ(y) − fj,β(y)|dy ≤∫

Qβ

|Df|+

∫

Qβ

|Dfj|+

∫

B′

R

|fj,β(y) − f+j (y)|dy

(3.15)

Utilizando as Propriedades da integral, o Teorema de Fubini e o fato que 0 < β < R

obteremos a seguinte expressão

∫

B′

R

|fβ(y) − fj,β(y)|dy =

∫

B′

R

∣∣∣∣1

β

∫β

0

f(y, t)dt−1

β

∫β

0

fj(y, t)dt

∣∣∣∣dy ≤1

β

∫

0

βdt

∫

B′

R

|f(y, t) − fj(y, t)|dt ≤1

β

∫

C+R

|f− fj|dx → 0 quando j → ∞

Pela Proposição (Semicontinuidade Superior) (2.1) temos

limj→∞

∫

Qβ

|Dfj| =

∫

Qβ

|Df|

para quase todos os β.

Então a útima sentença de (3.15) fica

lim supj→∞

∫

B′

R

|f+ − f+j |dy ≤ 2

∫

Qβ

|Df|

para quase todos os β. Agora basta tomar β → 0 e obteremos enfim o resultado desejado.

Observação 3.3. Sejam CR− = B

′

R × (−R, 0) e f ∈ BV(C−R ). Analogamente poderemos

definir f− ∈ L1(B′

R) o qual também satisfaz os Lemas e Proposições acima.

Proposição 3.2. (Extensão) Sejam f1 ∈ BV(C+R ) e f2 ∈ BV(C+

R ). Defina uma função

f : CR → R por


f(x) =

f1 em C+R

f2 em C−R

Então f ∈ BV(CR) e ∫

B′

R

|f+ − f−|dHn−1 =

∫

B′

R

|Df| (3.16)

Proof De (3.7) e o análogo para f2 tem-se

∫

CR

fdivgdx = −

∫

C+R

〈g,Df〉+∫

B′

R

(f+ − f−)gndHn−1

Como o lado direito da identidade acima é limitado se |g| ≤ 1 tem-se f ∈ BV(CR) e

∫

CR

fdivgdx = −

∫

CR

〈g,Df〉 = −

∫

C+R

〈g,Df〉−∫

C−R

〈g,Df〉−∫

B′

R

〈g,Df〉

de modo que −

∫

B′

R

〈g,Df〉 =∫

B′

R

(f+ − f−)gndHn−1 para g ∈ C10(CR : Rn)

Ao aplicarmos a definição de Variação total as duas sentenças acima seguirá o

resultado.

Observação 3.4. Sejam Ω ⊂ Rn conjunto aberto bom bordo ∂Ω Lipschitz contínuo

e f ∈ BV(Ω). Se x0 ∈ ∂Ω então com um movimento rígido, isto é, a composta de

uma translação com uma rotação, podemos considerar x0 = 0, e mais, suponhamos que

numa vizinhança de x0 = 0 tenhamos ∂Ω = (y, t) ∈ Rn;y ∈ A, t = w(y), onde

A é uma vizinhança de 0 em Rn−1 e w : A → R é uma função Lipschitz contínua

tal que se (y, t) ∈ Ω então t > w(y). Se puzermos ξ = (η, τ) = (y, t − w(y)) e

g(ξ) = f(η, τ + w(η)) = f(y, t), então g ∈ BV(C+R ) para algum R > 0, pois por hipótese

BV(Ω)

Se g+ é o traço de g em B′

R, então definimos o traço de f em

SR = ξ = (η,w(η));η ∈ B′

R

como

ϕ(ξ) = f+(η,w(η)) = g+(η).

Assim teremos o seguinte


Teorema 3.2.2. (Teorema do Traço) Sejam Ω ⊂ Rn conjunto aberto com bordo ∂Ω

Lipschitz contínuo e f ∈ BV(Ω). Então existe uma função Tf ∈ L1(∂Ω) tal que para

x ∈ ∂Ω Hn−1- quase sempre

limρ→0

ρ−n

∫

Bρ(x)∩Ω

|f(z) − Tf(x)|dz = 0 (3.17)

Mais ainda, para toda g ∈ C01(Rn;Rn) ,

∫

Ω

fdivgdx = −

∫

Ω

〈g,Df〉+∫

∂Ω

Tf〈g,−→η 〉dHn−1 (3.18)

onde −→η é a normal unitária exterior a ∂Ω.

Nota 3.1. A função Tf acima é chamada de Traço de f em ∂Ω, a mesma está

unicamente determinada salvo um conjunto de medida Hn−1⌊∂Ω nulo. A primeira

sentença informa que

Tf(x) = |Br(x) ∩Ω|−1

∫

Br(x)∩Ω

fdy.

Além disso temos que Tf = f|∂Ω Hn−1−quase sempre. Nós interpretaremos Tf como os

“valores de fronteira” de f em ∂Ω. A segunda sentença é uma versão da Fórmula de

Integração por partes (Teorema de Gauss-Green).

Proof: Este resultado será consequência dos seguintes fatos

i. Para Hn−1-quase sempre x ∈ ∂Ω limρ→0

ρ1−n

∫

Bρ(x)∩Ω

|Df| = 0

Esta é consequência imediata de (3.13)

ii. Fixe x ∈ ∂Ω tal que

limρ→0

ρ1−n

∫

Bρ(x)∩Ω

|Df| = 0 e limρ→0

ρ1−n

∫

Bρ(x)∩Ω

|Tf− Tf(x)|dHn−1 = 0

De acordo com o item anterior e o Teorema da Diferenciação de

Lebesgue-Besicovitch (3.2.1) x ∈ ∂Ω Hn−1-quase sempre.

Seja h = h(ρ) = 2max(1, 4Lip(γ))ρ onde γ : Rn−1 → R é tal que

max|x

′−y

′|≤ρ

|γ(y′

− xn)| ≤h

4,

x ∈ ∂Ω e existem ρ, h > 0, pois ∂Ω é Lipschitz, C(ρ) = C(x, ρ, h) cilindro.


Para ρ sufientemente pequeno, podemos obter a estimativa

∫

∂Ω∩C(r)

|Tf− Tfε|dHn−1 ≤ C

∫

C(r)∩Ω

|Df| 0 < ε <h(r)

2

Usando a fórmula da Coárea podemos obter a estimativa

∫

B(x,ρ)∩Ω

|Tf(y′

, γ(y′

))|dy ≤ Cρ

∫

C(r)∩Ω

|Df|

Portanto,

ρ−n

∫

Bρ(x)∩Ω

|f(z) − Tf(x)|dy ≤C

ρn−1

∫

Bρ(x)∩Ω

|Tf− Tf(x)|dHn−1 +C

ρn

∫

B(x,ρ)∩Ω

|Tf(y′

, γ(y′

))|dy ≤

o(1) +C

ρn−1

∫

C(r)∩Ω

|Df| = o(1) quando ρ → 0

salientamos que fora usado fortemente (3.13)

Um resultado similar a Proposição (3.1) será

Teorema 3.2.3. Sejam Ω ⊂ Rn conjunto aberto e limitado com bordo ∂Ω Lipschitz

contínuo, fj ⊂ BV(Ω) e f ∈ BV(Ω), com fj uma sequência de funções satisfazendo

limj→∞

∫

Ω


∫

Ω

|Dfj| =

∫

Ω

|Df|

Então se ϕj e ϕ são os traços de fj e f respectivamente, teremos

limj→∞

∫

∂Ω

|ϕj −ϕ|dHn−1 = 0

Proof: Mutatis mutandis a demonstração da Proposição (3.1).

Observação 3.5. Da definição de Traço, do Teorema de Aproximação (2.5.1) e da

Observação (2.8) segue que se ∂Ω é Lipschitz contínua, então para toda f ∈ BV(Ω)

existe uma sequência fj ⊂ C∞(Ω) tal que

limj→∞

∫

Ω


∫

Ω

|Dfj| =

∫

Ω

|Df|

e os traços f+j = f+ para todo j em ∂Ω.


Observação 3.6. Se A ⊂⊂ Ω é um aberto com bordo ∂A Lipschitz contínuo, então f|A e

f|Ω−A (pertencentes a BV(A) e BV(Ω−A) respectivamente) terão traços em ∂A os quais

serão denotados f|−A e f|+A respectivamente. Então:

limρ→0

ρ−n

∫

Brho(x)∩A

|f(z) − f|−A(x)|dz para x ∈ ∂A Hn−1 − quase sempre

limρ→0

ρ−n

∫

Brho(x)−A

|f(z) − f|+A(x)|dz para x ∈ ∂A Hn−1 − quase sempre

e como na demonstração da Proposição de Extensão (3.2)

∫

∂A

|(f|+A − f|−A)|dHn−1 =

∫

∂A

|Df| (3.19)

Mais precisamente da demonstração da Proposição (3.2) concluímos que

Df = (f|+A − f|−A)νdHn−1

em ∂A, onde ν é a normal unitária exterior. Ou seja, essencialmente, f|+A − f|−A é a

derivada de Radon-Nikodym de Df com respeito a medida |Df| = νdHn−1 como veremos

no próximo capítulo.

Observação 3.7. Se A e Ω são abertos com A ⊆ Ω, ∂A Lipschitz contínuo e f ∈ BV(A),

então definimos F : Ω → R por

F(x) =

f(x) se x ∈ A

0 se x ∈ Ω−A

Então F|−A = f|−A e F|+A = 0 e por (3.19)

∫

Ω

|Df| =

∫

A

|Df|+

∫

∂A∩Ω

|(f|−A)|dHn−1

Se A = Bρ, Ω = BR (ρ < R), E um conjunto de Caccioppoli e f = χE, teremos para

todo ρ (e mais precisamente àqueles ρ para os quais χ−E,ρ = χE Hn−1-quase sempre em

∂Bρ) obteremos particularmente a seguinte sentença

Per(E ∩ Bρ, BR) = Per(E, Bρ) +Hn−1(∂Bρ ∩ E). (3.20)


Idem argumento acima, se puzermos A = BR − Bρ, Ω = BR teremos

Per(E− Bρ, BR) = Per(E, BR − Bρ) +Hn−1(∂Bρ ∩ E) e (3.21)

Per(E ∪ Bρ, BR) = Per(E, BR − (E ∪ Bρ), BR)

= Per((BR − E) ∩ (BR − Bρ), BR)

= Per(E, BR − Bρ) +Hn−1(∂Bρ − E)

(3.22)

para quase todo ρ < R

Vejamos agora a recíproca do Teorema (3.2.2)

Proposição 3.3. (Gagliardo) Seja ϕ ∈ L1(B′

R) com suporte compacto. Para todo ε > 0

existe uma função f ∈W1,1(C+R ) com traço ϕ em B

′

R tal que

∫

C+R

|f|dz ≤ ε

∫

B′

R

|ϕ|dHn−1 (3.23)

∫

C+R

|Df|dz ≤ (1+ ε)

∫

B′

R

|ϕ|dHn−1 (3.24)

Proof: Seja ϕk ⊂ C∞(B′

R) tais que ϕk → ϕ em L1(B′

R). Assuma que ϕ0 = 0 e

‖ϕk‖ ≤ 2‖ϕ‖ e∑

k≥0

‖ϕk −ϕk+1‖ ≤(1+

ε

2

)‖ϕ‖, onde ‖ . ‖ denota a norma em L1(B

′

R).

Seja tk uma sequência decrescente de números reais convergindo a zero. Para z =

(x, t) ponha

f(z) = f(x, t) =

0 se t > t0

t− tk+1

tk − tk+1

ϕk(x) +tk − t

tk − tk+1

ϕk+1(x) se tk−1 < t < tk

Para tk+1 < t < tk temos

|Dif| ≤ |Diϕk|+ |Diϕk+1| i = 1, 2, ...., n− 1

|Dnf| = |ϕk −ϕk+1|(tk − tk+)−1 e portanto

∫

C+R

|Df|dz ≤∑

k≥0

‖ϕk −ϕk+1‖+∑

k≥0

(‖Dϕk‖+ ‖Dϕk+1‖)(tk − tk+1).

Mais ainda∫

C+R

|f|dz ≤∑

k≥0

(‖ϕk‖+ ‖ϕk+1‖)(tk − tk+) ≤ 4‖ϕ‖t0


Se escolhermos tK tal que 4t0 < ε e tk − tk+1 ≤ε‖ϕk‖

1+ ‖Dϕk‖+ ‖Dϕk+1‖2−k−2 teremos

de forma imediata (3.23) e (3.24)

Usando técnicas de partição diferenciável da unidade podemos demonstrar o seguinte

Teorema 3.2.4. Sejam Ω ⊂ Rn conjunto aberto e limitado com bordo ∂Ω Lipschitz

contínuo e ϕ ∈ L1(∂Ω). Para todo ε > 0 existe uma função f ∈ W1,1(Ω) tendo ϕ como

traço em ∂Ω e tal que

∫

Ω

|f|dz ≤ ε‖ϕ‖ (3.25)

∫

Ω

|Df|dz ≤ A‖ϕ‖ (3.26)

Com A = A(∂Ω).

Observação 3.8. Podemos mostrar da construção de f que o suporte da mesma pode

ser tomado numa vizinhança de ∂Ω. Se além disso ∂Ω for de classe C1, podemos tomar

A = 1+ ε

Capítulo 4

A Fronteira Reduzida

Conteúdo

4.1 Fronteira Reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.1.1 O Lema de Gauss-Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.1.2 Densidade no sentido da medida teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2 Blow-up da Fronteira Reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.3 Semi-Espaço Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Quando consideramos funções em BV de fato estaremos considerando classes de

equivalência de funções, pois não há alterações nas mesmas se de fato o que for

manipulado seja um conjunto de medida nula. Na mesma linha de pensamento

ao trabalharmos com conjuntos de Caccioppoli o perímetro e outras propriedades dos

mesmos serão imperceptíveis do ponto de vista de teoria da medida, se as alterações

forem realizadas em um conjunto de medida nula.

4.1 Fronteira Reduzida

De Giorgi definiu a chamada fronteira reduzida para conjuntos de Caccioppoli, ∂∗E,

como o conjunto de pontos x no qual derivada de Radon-Nikodym de DχE existe com

respeito a medida de variação |DχE| e é igual a νE(x) com |νE(x)| = 1, e pode ser escrito

como a união enumerável de subconjuntos compactos de hipersuperfícies de classe C1, a

menos de um conjunto de medida |DχE|−nula.

Salientamos também a importância da fronteira reduzida no estudo de Teoria de

Regularidade de Equações Diferenciais Parciais Elípticas, em particular, o estudo da

regularidade de Problemas de Fronteira Livre (Veja por exemplo Caffarelli-Salsa [87],

Caffarelli [88] e Teixeira [45].)

CAPÍTULO 4. A FRONTEIRA REDUZIDA 64

Proposição 4.1. Se E é um conjunto Boreliano, então existe um conjunto Boreliano E

equivalente a E, ou seja, difere somente por um conjunto de medida nula, tal que

0 < |E ∩ B(x, ρ)| < wnρn1 ∀ x ∈ ∂E ∀ ρ > 0 (4.1)

onde wn é a medida da bola unitária em Rn.

Proof: Defina

E0 = x ∈ Rn; ∃ρ > 0 com |E ∩ B(x, ρ)| = 0

e

E1 = x ∈ Rn; ∃ρ > 0 com |E ∩ B(x, ρ)| = |B(x, ρ)| = wnρn

Seja x ∈ E0, então existe ρ > 0 tal que |E ∩ B(x, ρ)| = 0. Seja agora y ∈ B(x, ρ),

tomando ρ0 = ρ − |x − y| > 0 tem-se B(y, ρ0) ⊆ B(x, ρ) e |B(y, ρ0) ∩ E| = 0. Assim

B(x, ρ) ⊆ E0 e segue que E0 é aberto. De modo análogo se verifica que E1 é aberto.

Afirmação: |E0 ∩ E| = 0 e |E1 − E| = 0.

Vejamos: Para cada x ∈ E0 escolha ρ > 0 tal que |E ∩ B(x, ρ)| = 0. Então

B(x, ρ); x ∈ E0

forma uma cobertura por meio de abertos de E0 e assim existe uma sequência xi em E0

tal que

E0 ⊆⋃

i≥1

B(xi, ρi)| e |E ∩ B(x, ρi)| = 0

e portanto

|E0 ∩ E| ≤ |⋃

i≥1

B(xi, ρi) ∩ E| = 0

De maneira análoga podemos mostrar que |E1 − E| = 0

Agora tomemos E = (E∪ E1) − E0. Então E é equivalente a E e, dado que E1 e E0 são

abertos, se x ∈ ∂E então x /∈ E1 ∪ E0 e portanto segue-se o resultado.

Observação 4.1. Tendo em vista a Proposição (4.1) poderemos assumir que um conjunto

de perímetro finito é um representante dessa classe; logo satisfaz a desigualdade (4.1).

Assim não haverá ambiguidade em falarmos em fronteira topológica ∂E de um conjunto

de perímetro finito E; tendo em vista nossas considerações sobre conjuntos mensuráveis

modificações em conjuntos de medida nula não terão influência.

1De fato como veremos mais adiante o conjunto E tem densidade uniformente positiva


Agora nos introduziremos um conceito devido a Ennio De Giorge2 a qual faz referência

a um subconjunto particular da fronteira de um conjunto de Caccioppoli, está será

conhecida como fronteira reduzida e será denotada por ∂∗E. A importância deste está

intrinsecamente ligada em teoria dos perímetros, ou estudo de conjuntos de Caccioppoli, ao

estudo da regularidade da fronteira de conjuntos minimizantes , conjuntos minimais. Para

os próximos capítulos nosso objetivo se concentrará em mostrar que para um conjunto

minimizante E, a fronteira reduzida ∂∗E é uma variedade (n− 1)−dimensional, analítica,

de classe C1,α. Ao final daremos uma estimativa para o “tamanho” do conjunto singular

∂E− ∂∗E, ou seja, segundo o nosso contexto, sua dimensão de Hausdorff.

Definição 4.1. Um ponto x ∈ ∂E, pertencerá a fronteira reduzida de um conjunto E, ∂∗E,

se ∫

B(x,ρ)

|DχE| > 0 ∀ ρ > 0 (4.2)

νE(x) = limρ→0

νρ(x) existe (4.3)

onde νρ =

∫

B(x,ρ)

DχE

∫

B(x,ρ)

|DχE|

e

|νE(x)| = 1 (4.4)

Note que, do Teorema de Lebesgue-Besicovitch sobre diferenciação de medidas (Veja

Apêndice) segue que νE(x) existe e |νE(x)| = 1 para x ∈ Rn |DχE|-quase sempre, pois

x ∈ ∂∗E é um ponto do conjunto de Lebesgue de νE, de fato

1

2|DχE|(Bρ(x))

∫

Bρ(x)

|νE(y) − νE(x)|2d|DχE|(y) = 1−

⟨νE(x),

|DχE|(Bρ(x))

DχE(Bρ(x))

⟩,

o que prova que x ∈ ∂∗E é um ponto do conjunto de Lebesgue de νE, relativamente a

|DχE|, e, além disso pelo Teorema de Radon-Nikodym (Decomposição Polar) temos que

DχE = ν|DχE|

ou seja, νE é essencialmente a derivada de Radon-Nikodym de DχE com respeito a medida

|DχE|. O vetor νE(x) é denotado o normal exterior unitário generalizado a E em x

2De fato Renato Caccioppoli já concebia a idéia de fronteira reduzida como a derivada deRadon-Nikodym de µ com respeito a medida de variação |µ|, onde µ é uma medida de Radon vetorial

finita a qual verifica

∫

E

divφ(x)dx =

∫

∂E

φ.dµ ∀ φC10(R

n), com E sendo um conjunto de Caccioppoli.

Porém coube a De Giorgi a formalização deste contexto conforme se encontra nesse tratado.


E v(E)

v

B(x,r)

Figura 4.1: Normal a E e a B(x,r)

Observação 4.2. De acordo com o Teorema da diferenciação de Lebesgue-Besicovitch

temos∫

Rn−∂∗E

|DχE| = 0 (Veja por um instante Wheeden- Zygmund [86])

4.1.1 O Lema de Gauss-Green

Nesta direção temos a seguinte versão preliminar mais elaborada do conhecido Teorema

de Gauss-Green (Teorema da Divergência):

Lema 4.1. Seja φ ∈ C10(R

n;Rn). Então para cada x ∈ Rn,

∫

E∩Br(x)

divφdy =

∫

Br(x)

φ.νEd(|DχE|) +

∫

E∩∂Br(x)

φ.νdHn−1

para r > 0 L1−quase sempre, aqui ν denota o vetor normal unitário exterior à ∂Br(x)

Proof: Assuma que h : Rn → R é diferenciável, então

∫

E

div(hφ)dy =

∫

E

hdivφdy+

∫

E

Dh.φdy

Assim pela versão clássica do Teorema de Gauss-Green (Teorema da Divergência)

∫

Rn

hφ.νEd(|DχE|) =

∫

E

hdivφdy+

∫

E

Dh.φdy (4.5)

Ao utilizarmos um argumento de aproximação a sentença (4.5) se verifica também

para

hε(y) = gε(|y− x|),

onde

gε(s) =

1 se 0 ≤ s ≤ r

r−s+εε

, se r ≤ s ≤ r+ ε

0, se s ≥ r+ ε


Note também que

g′

ε(s) =

0 se 0 ≤ s ≤ r ou s > r+ ε

− 1ε, se r < s < r+ ε.

E dessa forma

Dhε(y) =

0 se |y− x| < r ou |y− x| > r+ ε

− y−xε|y−x|

, se r < |y− x| < r+ ε.

Ao tomarmos h = hε em (4.5) teremos:

∫

Rn

hεφ.νEd(|DχE|) =

∫

E

hεdivφdy−1

ε

∫

E∩y;r<|y−x|<r+ε

φ.y− x

|y− x|dy

Fazendo ε → 0 na sentença acima e recordando que das coordenadas polares providas

da Fórmula da Área (Veja Evans-Gariepy [6] pag. 118) segue que

∫

Br(x)

φ.νEd(|DχE|) =

∫

E∩Br(x)

divφdy−

∫

E∩∂Br(x)

φ.νdHn−1

para L1 quase sempre r > 0.

Observação 4.3. Se ∂E é uma hipersuperfície segundo a definição de Ennio De Giorgi

então ao tomarmos |DχE| como a variação total da medida a valores vetoriais DχE =

(D1χE, ..., DnχE) teremos ν(x) como a densidade vetorial de DχE com respeito a |DχE| no

ponto x

4.1.2 Densidade no sentido da medida teórica

Definição 4.2. Seja A um subconjunto do Rn, 1 ≤ m ≤ n, x ∈ Rn. Definimos a

Densidade m−dimensional Θm(A, x) do conjunto A no ponto x como

Θm(A, x) = limρ→0

Hm(B(x, ρ))

wmρm

Note que para qualquer subconjunto A ⊂ Rn, Θm(A, x) = Θm(Hm⌊A, x), onde

Θm(Hm⌊A, x) é a medida definida por (Hm⌊A)(E) = Hm(A ∩ E).

Para todo α ∈ [0, 1], denote por Eα o conjunto de todos os x ∈ Rn de densidade α,

ou seja, tais que Θm(A, x) = α. Em particular, E1 é chamado medida interior no sentido


geométrico da medida e E0, a medida exterior no sentido geométrico da medida. Além

disso, escolhendo f = χE no Teorema de Lebesgue Besicovith obteremos

Θn(E, x) =

1, se x ∈ E

0, se x ∈ Rn − E

Assim, podemos imaginar E0 como o “exterior” de E e E1 como o “interior” de E.

Exemplo 4.1. O cone C = x2 + y2 = z2 tem densidade 2−dimensional

Θ2(C, x) =

1, para x ∈ C− 0

0, para x /∈ C√2, para x = 0

Figura 4.2: O cone x2 + y2 = z2 tem densidade 1 em quase todo ponto exceto no vértice, o

qual tem densidade√2.

Exemplo 4.2. Vejamos um exemplo gráfico:

Figura 4.3: O gráfico da função u, a qual assume valores 2h no intervalo (2−h,2−h(h2+2)

h2+1), e é 0

nos demais pontos. Sua densidade na origem é zero.


Exemplo 4.3. i. Sejam ∂E uma hipersuperfície de classe C1 e x ∈ ∂E. Assim segue

da Observação (3.6) ao tomarmos A = E e f = χE que

DχE = νdHn−1 em ∂E

onde ν é a normal unitária interior à ∂E. Além disso pelo Lema (2.2) segue que

spt(DχE) ⊆ ∂E e dessa forma

∫

B(x,ρ)

DχE =

∫

B(x,ρ)∩∂E

νdHn−1

Em contrapartida da equação (2.3)

∫

B(x,ρ)

|DχE| = Hn−1(B(x, ρ) ∩ ∂E)

e dessa forma

νρ(x) =

∫

B(x,ρ)∩∂E

νdHn−1

Hn−1(B(x, ρ) ∩ ∂E)

Portanto, dado que ν é contínua em ∂E, limρ→0

νρ(x) = ν(x). como já tínhamos

∂E ⊆ ∂∗E segue do mostrado acima que ∂E = ∂∗E e ν(x) é a normal unitária

exterior a ∂E em x desde que exijamos que ∂E seja uma hipersuperfície de classe C1

Observação 4.4. Se E é um domínio Lipschitz , ainda teremos DχE = νdHn−1

x ∈ ∂E Hn−1−quase sempre e Hn−1(∂E− ∂∗E) = 0

Ilustremos esta argumentação com o seguinte exemplo:

ii. Seja E o quadrado unitário em R2, então as condições (4.2) e (4.3) são satisfeitas

para cada x ∈ ∂E, como também (4.4) é satisfeita, exceto nos vértices do quadrado,

onde |ν| =1√2

Observação 4.5. Dado em geral um polígono regular P de n lados, ou seja, um

eneágono regular, temos que o mesmo satisfaz como acima as condições (4.2) e (4.3),

como também é satisfeita a condição (4.4) salvo nos vértices do polígono onde se tem

|ν| = cos( 180o

n) = sin(α

2), onde α =

180o(n−2)

né o ângulo interno do polígono P. De

fato sin(α2) = sin(90o− 180o

n) = sin(90o) cos(−180o

n)+ sin(−180o

n) cos(90o) = cos( 180o

n).

Tal argumentativa faz sentido, pois quando n → ∞ P se “aproxima” cada vez mais

de um círculo e neste |ν| = 1, justificando assim cos(πn) → 1 quando n → ∞.


Figura 4.4: Blow-up no Hexágono regular

Observação 4.6. As propriedades dos conjuntos os quais consederaremos são invariantes

por translações e rotações. Por essa razão assumiremos que a origem pertence à ∂E ou que

o eixo - x1 é normal à ∂E e dessa forma por rotações e translação apropriadas poderemos

provar resultados similares para quaisquer pontos em ∂E

Lema 4.2. (De Giorgi - Densidade.) Suponha E ⊆ Rn é tal que 0 ∈ ∂E e existe um

número ρ tal que para todo ρ < ρ

∫

Bρ

|DχE| > 0

|ν(0)| =

∣∣∣∣∫

Bρ

DχE

∣∣∣∣∫

Bρ

|DχE|

≥ q > 0

Então para todo ρ < ρ

ρ−n|E ∩ Bρ| ≥ C1(n, q) > 0 (4.6)

ρ−n|(Rn − E) ∩ Bρ| ≥ C2(n, q) > 0 (4.7)

0 < C3(n, q) ≤ ρ1−n

∫

Bρ

|DχE| ≤ C4(n, q), (4.8)

onde C1, C2,C3 e C4 são constantes.

Proof: De (3.18), como na prova de (3.20), podemos mostrar que para quase todo ρ < ρ


0 =

∫

D

χE∩Bρ =

∫

Bρ

DχE +

∫

∂Bρ

−→η χEdHn−1

assim segue que

∫

Bρ

|DχE| ≤∫

∂Bρ

χEdHn−1 = Hn−1(E ∩ ∂Bρ)

Por outro lado, para todo ρ < ρ, pela hipótese segue que

∫

Bρ

|DχE| ≤1

q

∣∣∣∣∫

Bρ

DχE

∣∣∣∣

Portanto, ∫

Bρ

|DχE| ≤1

qHn−1(E ∩ ∂Bρ) ≤ C4ρ

n−1

para quase todo ρ < ρ e pelo Teorema de Semicontinuidade Inferior (2.3.3) a mesma

se dará para todo ρ < ρ. Isto prova a segunda parte de (4.8). Por (3.20) se puzermos

Eρ = E ∩ Bρ ter-se-á para todo ρ

Per(Eρ) = Per(E, Bρ) +

∫

∂Bρ

χEdHn−1

Contudo, conforme acima

Per(E, Bρ) ≤1

q

∫

∂Bρ

χEdHn−1

para quase todo ρ < ρ. Assim,

Per(Eρ) ≤ C5

∫

∂Bρ

χEdHn−1

e dessa forma segue da Desigualdade Isoperimétirca (2.1) que

|Eρ|1− 1

n ≤ C6

∫

∂Bρ

χEdHn−1.

Por outro lado, se definirmos g(ρ) como a função monótona de ρ, g(ρ) = |Eρ|,

g(R) =

∫

BR

χEdx =

∫R

0

dρ

∫

∂Bρ

χEdHn−1

e assim g(ρ) é absolutamente contínua, uma vez que possui uma primitiva segundo o


Teorema Fundamental do Cálculo da Integral de Lebesgue (Veja Apêndice), com

g′

(ρ) =

∫

∂Bρ

χEdHn−1

Então segue disto juntamente com o fato que g(ρ) > 0 se ρ > 0 que

g′

(ρ) ≥ 1

C6

g(ρ)1−1n , ∀ρ < ρ

e assim

g(ρ) ≥(

ρ

nC6

)n

provando (4.6).

A prova de (4.7) é similar bastando para tanto notar que χRn−E = 1 − χE. Agora

somente nos resta provar a desigualdade do lado esquerdo de (4.8). Mas, esta segue do

que já fora provado, ou seja, (4.6), (4.7) e da Desigualdade Isoperimétrica (2.1).

Note que em particular, se 0 ∈ ∂∗E o número ρ do Lema acima existe.

Observação 4.7. A interpretação do Lema acima consiste em dizer que sendo ν(0), 0 ∈∂E, respectivamente ν(x), x ∈ ∂E não degenerado, então os pontos de ∂E tem densidade

positiva, além disso, as sentenças (4.6) e (4.7) dão uma estimativa do percentual dessa

densidade no interior e no exterior do conjunto E ∩ Bρ. A última sentença denota o

Perímetro de E normalizado em Bρ, e, este pelo resultado acima é limitado.

4.2 Blow-up da Fronteira Reduzida

Introduziremos um conceito amplamente difundido em matemática: a técnica de

Blow-up. Blow-up é uma técnica empregada em Análise e Geometria a fim de investigar,

por exemplo, as propriedades locais de vários objetos matemáticos: em suma obteremos

informações acerca do comportamento de uma superfície na proximidade de um ponto

por meio de sua observação através de escalas bem maiores, ou seja, um processo de

escalonamento do mesmo. Em alguns casos interessantes, esse “processo de aumento”

pode ser bastante útil a fim de ajudar a descobrir algumas propriedades assintóticas

notáveis.

Em teoria de conjuntos de perímetro localmente finito (conjuntos de Caccioppoli) está

técnica consiste em “alargar” um dado conjunto de perímetro finito em Rn com respeito a

um ponto x ∈ ∂∗E, assim construindo uma sequência de dilatações com “fator de aumento”


crescendo a ∞. Por meio de resultados de compacidade, poderemos obter dessa sequência

um conjunto limite F, o qual será chamado o Blow-up de E com respeito a x.

Finalmente, mostraremos que iniciendo de um ponto da fronteira reduzida , isto é,

x ∈ ∂∗E, o conjunto limite provido do Blow-up será um semi-espaço tangente a E em x.

Definição 4.3. Para z ∈ ∂∗E defina o hiperplano tangente

T(z) = x ∈ Rn; 〈ν(z), x− z〉 = 0

e os conjuntos

T+(z) = x ∈ Rn; 〈ν(z), x− z〉 > 0

T−(z) = x ∈ Rn; 〈ν(z), x− z〉 < 0

Teorema 4.2.1. (Procedimento de Blow-up da Fronteira Reduzida) Seja 0 ∈ ∂∗E

e para todo t > 0 defina

Et = x ∈ Rn; tx ∈ E.

Então quando t → 0+ o conjunto Et “converge” para T+(0) e mais ainda, para todo

conjunto A tal que Hn−1(∂A ∩ T(0)) = 0

limt→0

∫

A

|DχEt | =

∫

A

|DχT+ | = Hn−1(A ∩ T(0)) (4.9)

Proof: Pelo mesmo raciocínio empregado no Lema anterior (4.2) podemos supor sem

perda de generalidade que

ν1(0) = −1, ν2(0) = . . . = νn(0) = 0

e assim

T+ = T+(0) = x ∈ Rn; x1 < 0.

É suficiente agora mostrarmos que para toda sequência tj → 0 possui uma

subsequência sj tal que Esj → T+, e se denotarmos Ej = Esj, então

∫

A

|DχEj| =

∫

A

|DχT+ |

Agora fazendo uma mudança de variáveis temos para todo ρ > 0,

∫

Bρ

DχEt = t1−n

∫

Btρ

|DχE|, (4.10)

∫

Bρ

|DχEt | = t1−n

∫

Btρ

|DχE|, (4.11)


segue portanto da definição dada a ν(0) que

limt→0

∫

Bρ

D1χEt

∫

Bρ

|DχEt |

= ν1(0) = −1 (4.12)

limt→0

∫

Bρ

DiχEt

∫

Bρ

|DχEt |

= 0 i = 2, 3, . . . , n. (4.13)

Além disso de (4.11) e (4.8) obtemos que

lim supt→0

∫

Bρ

DχEt < ∞ (4.14)

Portanto a família de conjuntos Eρ é compacta com respeito a convergência L1(B1).

Agora suponhamos ter uma sequência tj convergindo a 0; então, por (4.14) e o Teorema

de Compacidade para funções BV (2.6.2), existirá uma subsequência sj e um conjunto

de Caccioppoli C tal que se Ej = Esj, então χEjconverge em L1

loc(Rn) para χC. Além disso,

pelo Teorema de De La Vallée Poussin (Veja Apêndice) podemos assumir que

limj→∞

∫

Bρ

DχEj=

∫

Bρ

DχC (4.15)

para quase todo ρ (em particular para àqueles ρ os quais∫

∂Bρ

|DχC| = 0). Segue de (4.12)

e (4.15) que

limj→∞

∫

Bρ

DχEj= − lim

j→∞

∫

Bρ

D1χEj= −

∫

Bρ

D1χC

assim pelo Teorema de Semicontinuidade inferior (2.3.3) tem-se

∫

Bρ

|DχC| ≤ −

∫

Bρ

D1χC (4.16)

e, pela definição de D1χC conseguimos a igualdade em (4.16). Pela diferencição das

medidas (Veja Apêndice) obtemos

|DχC|+D1χC = 0

e dessa forma DiχC = 0 i = 2, . . . , n.

Portanto χC só depende de x1 e além disso a mesma é uma função não-decrescente

nesta variável. Isto nos fornece a existência de um λ ∈ R tal que C = x ∈ Rn; x1 < λ


Afirmação: Nessas condições temos λ = 0.

Suponha por objetivo de contradição que λ < 0; uma vez que χEj→ χEC

em L1loc(R

n)

temos

0 = |C ∩ B|λ|| = limj→∞

|Ej ∩ B|λ|| = limj→∞

s−nj |E ∩ B|λ|sj |

a qual contradiz (4.6). De modo análogo se λ > 0, isso levará a uma contradição com

(4.74.6). Assim, λ = 0, C = T+ e dessa forma

∫

Bρ

|DχT+ | = limj→∞

∫

Bρ

|DχEj| (4.17)

para quase todo ρ

Para finalizarmos, tomemos A um conjunto aberto tal que

∫

∂A

|DχT+ | = Hn−1(T ∩ ∂A) = 0

Escolha ρ tal que A ⊆ Bρ no qual (4.17) seja verificado; então pela Proposição

(Semicontinuidade Superior) (2.1) nos obtemos a equação (4.9).

Figura 4.5: Blow-up do conjunto E

Nota 4.1. Nós descreveremos esse resultado por dizer que: o Blow up de E em 0 produz

o semi-espaço x; xn > 0, cuja fronteira é ortogonal ao vetor ν(0) = (0, ..., 0, 1). Neste

sentido diremos que o plano x; xn = 0 é tangente a ∂E em 0.


4.3 Semi-Espaço Tangente

O Teorema (4.2.1) da seção anterior mostra que em algum sentido, T(0) é de fato um

plano tangente à superfície ∂E em 0. Tal fato ficará mais evidente no próximo Teorema

(4.3.1) devido a De Giorgi, onde estudaremso o comportamento do conjunto E nos pontos

de ∂∗E, ou seja, constataremos que de fato T(0) é um plano tangente assintótico.

Teorema 4.3.1. (De Giorgi- Teorema do Plano Tangente Assintótico) Sejam

E ⊆ Rn e 0 ∈ ∂∗E. Para ρ, ε > 0 defina

Sρ,ε = Bρ ∩ x ∈ Rn; |〈ν(0), x〉| < ερ

Então:

limρ→0+

ρ1−n

∫

Sρ,ε

|DχE| = wn−1, (4.18)

limρ→0+

ρ−n|E ∩ Bρ ∩ T−| = 0, (4.19)

limρ→0+

ρ−n|(Bρ − E) ∩ T+| = 0, (4.20)

limρ→0+

ρ−n|Bρ ∩ E ∩ T+| =wn

2, (4.21)

onde wn−1 é a medida da bola unitária em Rn−1

Proof: De (4.11) segue que

ρ1−n

∫

Bρ

|DχE| =

∫

B1

|DχEρ |

e similarmente

ρ1−n

∫

Sρ,ε

|DχE| =

∫

S1,ε

|DχEρ |

Por (4.9) temos,

limρ→0

∫

S1,ε

|DχEρ | = Hn−1(S1,ε ∩ T(0)) = wn−1

Portanto segue a sentença (4.18).

Vejamos agora a prova de (4.19): Notemos inicialmente que

ρ−n|E ∩ Bρ ∩ T−| = |Eρ ∩ B1 ∩ T−|


segue dessa forma ao utilizarmos o Teorema anterior (4.2.1) (Eρ → T+ em L1)que

limρ→0

|Eρ ∩ B1 ∩ T−| = |T+ ∩ B1 ∩ T−| = 0.

De maneira análoga se demonstra (4.20).

Dado que B(x, ρ)∩T+(x) = ((B(x, ρ)−E)∩T+(x))∪(B(xρ)∩E∩T+(x)) temos mediante

a sentença (4.20) que

lim infρ→0+

|Bρ ∩ E|

|Bρ|≥ lim

ρ→0+

|B(x, ρ) ∩ e ∩ T+(x)|

|B(xρ)|=

1

2.

Similarmente, lim infρ→0+

|Bρ − E|

|Bρ|≥ 1

2e consequentemente,

limρ→0+

|Bρ ∩ E|

|Bρ|= lim

ρ→0+

|Bρ − E|

|Bρ|=

1

2

ET(x)

T+(x)

T−(x)

v(E,x)

x

Figura 4.6: Plano Tangente Aproximado (Assintótico).

Figura 4.7: O conjunto H1−rectificável na figura tem dendidade 1 na origem, e sua “linha”tangente é o eixo dos x.


Observação 4.8. Um vetor unitário νE(x) para o qual (4.19) e (4.20) se verifivam (com

T±(x) como definido acima) é denotado medida teórica da normal exterior a E em

x.

Observação 4.9. Note que |Bρ| = ρnwn, (4.19) nos fornece que

limρ→0

|(E ∩ T−) ∩ Bρ|

|Bρ|= 0.

Em resumo, em bolas suficientemente pequenas a maior parte do conjunto E concentra-se

em T+. De modo similar (4.20) nos fornece que em bolas suficientemente pequenas a maior

parte do conjunto Rn − E concentra-se em T−, dessa forma em bolas Bρ suficientemente

pequenas, o hiperplano T divede Bρ em duas partes as quais correspondem a E e Rn − E.

Consideremos agora (4.18) no caso onde ∂E é suave. Assim ν(0) será a normal à ∂E

em 0 e Sρ,ε será uma faixa de largura 2ερ e centro T(0) situado na bola Bρ (Veja figura

abaixo).

Dado que ∂E é suave,∫

Sρ,ε

|DχE| = Hn−1(∂E ∩ Sρ,ε) e também Hn−1(T(0) ∩ Bρ) =

ρn−1wn−1. Dessa forma (4.18) nos fornece que ao tomarmos ρ suficientemente pequeno

poderemos assegurar que a maior parte de ∂E encontra-se na faixa Sρ,ε e quase corresponde

ao hiperplano T(0).

Finalmente (4.21) implica que a densidade Θn(E, x) em um ponto x ∈ ∂∗E∩Ω é igual

a 12, ou seja, feito o procedimento de blow-up nos pontos de ∂∗E, em bolas suficientemente

pequenas, ∂E é quase flat, isto é, o semi-plano T+ na bola fatia (divide) o conjunto

E em duas partes exatamente iguais,e , ∂E quase não se distingue de T+ nessa bola

suficientemente pequena.

Capítulo 5

Regularidade da Fronteira Reduzida

Conteúdo

5.1 Resultados preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.1.1 A classe Γn−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2 O Teorema Estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.2.1 Conjuntos contavelmente rectificáveis e puramente não-rectificáveis . . . 86

5.4 A medida Teórica da fronteira e o Teorema de Gauss-Green . . . . . . . . . . . 97

5.4.1 Medida Teórica da Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.4.2 Teorema de Gauss-Green generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.3 Regularidade C1 da Fronteira Reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.3.1 Representação localmente Lipschitz de ∂E . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.4.3 Comentários sobre Densidade-Rectificabilidade de conjuntos . . . . . . . 100

O objetivo deste capítulo será estabelecer uma das mais relevantes propriedades

da fronteira reduzida ∂∗E: a mesma pode ser escrita , salvo um conjunto de

medida |DχE|−nula , como uma reunião enumerável de subconjuntos compactos de

hipersuperfícies C1 (Teorema Estrutural para conjuntos de Caccioppoli) tal resultado é

devido à Ennio De Giorgi. Como também nesse mesmo resultado mostraremos que ∂∗E é

denso em ∂E e que

∫

Ω

|DχE| = Hn−1(∂∗E ∩Ω) (5.1)

para todo conjunto aberto Ω. Portanto |DχE| é exatamente a medida de Hausdorff (n−

1)−dimensional restrita a ∂∗E.

CAPÍTULO 5. REGULARIDADE DA FRONTEIRA REDUZIDA 80

Na demonstração de (5.1) primeiro deveremos mostrar que se B ⊆ ∂∗E então

∫

B

|DχE| = Hn−1(B), (5.2)

para tanto começaremos por estabelecer a razão enter esses dois termos em (5.2).

5.1 Resultados preliminares

Lema 5.1. Sejam E ⊆ Rn um conjunto de Caccioppoli e B ⊆ ∂∗E, então existe uma

constante universal c = c(n) tal que

Hn−1(B) ≤ c(n)

∫

B

|DχE|.

Além disso c(n) pode ser efetivamente calculada, ou seja, segundo a nossa construção

c(n) = 2.3n−1

Proof: Sejam ε, η > 0. Sendo |DχE| uma medida de Radon, existe um conjunto aberto

A tal que B ⊆ A e ∫

A

|DχE| ≤∫

B

|DχE|+ η.

Do Teorema (4.3.1), equação (4.18), para cada x ∈ B existe um número ρ = ρ(x) > 0

tal que B(x, ρ) ⊆ A, ρ < ε e

∫

B(x,ρ)

|DχE| ≥1

2wn−1ρ

n−1.

Pelo Lema de Recobrimento de Vitali (3.1), podemos tomar uma sequência xi ⊆ B

tal que, se ρi = ρ(xi),

B ⊆⋃

i≥1

B(xi, 3ρi) e B(xi, ρi) ∩ B(xj, ρj) = ∅ para i 6= j.

Se usarmos que B(xi, ρi) ⊆ A e tais bolas são duas a duas disjuntas, vem que

∑

i≥1

(3ρi)n−1 ≤ 2.3n−1

wn−1

∑

i≥1

∫

B(xi,ρi)

|DχE| ≤2.3n−1

wn−1

∫

A

|DχE| ≤2.3n−1

wn−1

∫

B

|DχE|+ η

Finalmente se nos utilizarmos da arbitrariedade de ε, η > 0 e da definição de medida

de Hausdorff segue que Hn−1(B) ≤ 2.3n−1

∫

B

|DχE|


Observação 5.1. Acabamos de mostrar no Lema (5.1) acima que Hn−1 é uma medida

absolutamente contínua com respeito a medida de Radon |DχE|. Ao final do Teorema

Estrutural (5.2.1) estará demonstrado a recíproca dessa afirmativa.

5.1.1 A classe Γn−1

Definição 5.1. Γn−1 é a classe de todos os conjuntos H ⊆ Rn tal que existe um conjunto

aberto A contendo H e uma função C1 f : A → R tal que

f(x) = 0 e Df(x) 6= 0 para x ∈ H

Exemplo 5.1. i. Seja H ⊂ Rn qualquer hiperplano e v 6= 0 um vetor normal a H e

definamos f : Rn → R como f(x) = 〈v, x〉. Assim f ∈ C1(Rn) e satisfaz

f(x) = 0 e Df(x) = v 6= 0 em H.

Portanto pela definição H ∈ Γn−1

ii. Seja H agora qualquer curva sobre a esfera Sn−1 = x ∈ Rn; |x| = 1. Definamos

a função f : Rn → R dada por f(x) = |x|2 − 1. Logo f ∈ C1(Rn) e a mesma satisfaz

f(x) = 0 e Df(x) = 2x 6= 0 em H

Portanto pela definição H ∈ Γn−1

1H


Estes exemplos vem esclarecer que a classe de conjuntos Γn−1 deve conter conjuntos

de dimensão topológica no máximo n − 1, pois do contrário a obtenção de tais funções f

satisfazendo as hipóteses acima seriam improváveis. Por essa razão se adotara a notação

sugestiva Γn−1.

O próximo teorema dará uma maneira eficaz de determinar quando um conjunto está

em Γn−1

Teorema 5.1.1. (De Giorgi) Seja C um conjunto compacto e suponha que existe uma

função contínua a valores vetoriais ν : C → R tal que ν 6= 0 e

lim|x−y|→0

〈ν(x), x− y〉|x− y|−1 = 0 (5.3)

uniformenmente para x, y ∈ C. Então C ∈ Γn−1.

Proof: Pelo Teorema da Extensão de Whitney (Veja Apêndice), existe uma função

f : Rn → R a qual satisfaz f ∈ C1, f = 0 em C e Df = ν em C. Então como por hipótese

ν 6= 0 temos segundo a definição que C ∈ Γn−1.

5.2 O Teorema Estrutural

Mostrar-se-á nesta sessão o Teorema Estrutural que entre muitas coisas informa que a

fronteira reduzida de um conjunto de Caccioppoli é uma superfície (n−1)−dimensional e

a mesma é um conjunto Hn−1− contavelmente rectificável. Moralmente veremos que um

conjunto de perímetro localmente finito tem fronteira com “medida teoricamente” C1.

Teorema 5.2.1. (De Giorgi - Teorema Estrutural para conjuntos de

Caccioppoli) Se E é um conjunto de Caccioppoli, então

∂∗E =⋃

i≥1

Ci ∪N (5.4)

onde N é um conjunto |DχE|-negligenciável, ou seja,∫

N

|DχE| = 0 e cada Ci ∈ Γn−1 é

compacto; De fato cada Ci ⊂ Si, onde Si será uma subvariedade (n− 1)−dimensional, ou

seja, uma hipersuperfície, com ν|Sinormal e contínuo.

Além disso, para todo conjunto B ⊆ ∂∗E

∫

B

|DχE| = Hn−1(B). (5.5)

Para todo conjunto aberto Ω ⊆ Rn


Per(E,Ω) =

∫

Ω

|DχE| = Hn−1(∂∗E ∩Ω), (5.6)

e, finalmente e não menos importante

∂∗E = ∂E (5.7)

Proof: Para cada x ∈ ∂∗E sabemos do Teorema do Plano Tangente Assintótico (4.3.1)

que as expressões

limρ→0

ρ−n|Bρ(x) ∩ E ∩ T+(x)| = 0

limρ→0

ρ−n|(Bρ(x) − E) ∩ T+(x)| = 0(5.8)

se verificam após uma translação adequada. Pelo teorema de Egoroff, podemos escolher

conjuntos |DχE|− mensuráveis Fii≤1 tais que

|Dχ|(∂∗E−⋃

i≥1

Fi) = 0, |Dχ|(Fi) < ∞

ocorre convergencia em (5.8) uniforme para x ∈ Fi(i = 1, ...)

Além disso pelo Teorema de Lusin, para cada i podemos escolher conjuntos compactos

Ejij≥1 tais que

|Dχ|(Fi −⋃

j≥1

Eji) = 0 e

tem− se ν|E

ji

continua.

Por uma simples re-indexação, podemos dizer que Eji = Ck. Então

∂∗E =⋃

k≥1

Ck ∪N, |Dχ|(N) = 0,

ocorre convergencia em (5.8) uniforme em Ck, e

tem− se ν|Ckcontinua para (k = 1, ...).

(5.9)

Tal construção demonstra a primeira parte de (5.4) e somente nos resta mostrar que

Ci ∈ Γn−1 e que existem Sii∈N tais que Ci ⊂ Si com ν|Si normal à Si.

Defina para δ > 0

ρk(δ) ≡ sup

|〈ν(x), y− x〉|

|y− x|; 0 < |x− y| ≤ δ, x, y ∈ Ck


Afirmação: Para k = 1, ... tem-se ρk(δ) → 0 quando δ → 0.

Consideremos agora um tal Ck, digamos C1. Pela nossa escolha de C1, para todo ε

fixado com 0 < ε < 1 existe por (5.8) e (5.9) um δ tal que 0 < δ < 1 e, se ρ < 2δ e

z ∈ C1, então

|E ∩ B(z, ρ) ∩ T−(z)| <εn

2n+2wnρ

n e

|E ∩ B(z, ρ) ∩ T+(z)| >wnρ

n

2−

εnwnρn

2n+2= wnρ

n

(1

2−

εn

2n+2

).

(5.10)

Provaremos que para todo x, y ∈ C1 tal que |x− y| < σ teremos

|〈ν(x), x− y〉||x− y|−1 ≤ ε

Portanto como ε é arbitrário poderemos aplicar o teorema anterior e obter C1 ∈ Γn−1.

Sendo assim, suponha primeiro que

〈ν(x), x− y〉 ≤ −ε|x− y|.

Dado que ε < 1, temos

B(ν(x), ε|y− x|) ⊆ T−(x) ∩ B(x, 2|x− y|), (5.11)

pois se z ∈ B(y, ε|x− y|), então z = y+w, onde |w| ≤ ε|x− y|, dessa forma

〈ν(x), z− x〉 = 〈ν(x), y− x〉+ 〈ν(x), w〉 > ε|x− y|− |w| ≥ 0

logo B(ν(x), ε|y − x|) ⊆ T−(x) como claramente B(ν(x), ε|y − x|) ⊆ B(x, 2|x − y|) segue

tal inclusão.

Em contrapartida, dado que |x− y| < σ, (5.10) com z = x implica que

|E ∩ B(x, 2|x− y|) ∩ T+(x)| <εn

2n+2wn(2|x− y|)n =

εnwn

4|x− y|n, (5.12)

e agora (5.10) com z = y implica que

|E ∩ B(y, ε|x− y|)| ≥ |E ∩ B(y, ε|x− y|) ∩ T−(y)|

≥ εnwn|x− y|n

2(1−

εn

2n+1)

>εnwn

4|x− y|n.

(5.13)

Ao aplicarmos Ln⌊E, onde Ln denota a medida de Lebesgue, em ambos os lados de


(5.8) encontraremos uma estimativa (desigualdade) contraditória com (5.9) e (5.10), pois

obtemos que

|E ∩ B(x, 2|x− y|) ∩ T−(x)| <εnwn|x− y|n

4< |E ∩ B(y, ε|x− y|)|,

porém deveríamos ter uma desigualdade contrária dado que

E ∩ B(ν(x), ε|y− x|) ⊆ T−(x) ∩ B(x, 2|x− y|) ∩ E.

Portanto fica demonstrado que

〈ν(x), x− y〉 > −ε|x− y|

De um modo similar podemos provar também que 〈ν(x), x− y〉 < ε|x− y| e assim fica

demonstrado nossa afirmação. Pelo Teorema anterior C1 ∈ Γn−1.

Usando as mesmas técnicas empregadas no raciocínio acima podemos provar que Ci ∈Γn−1 para i = 2, 3, ...

Agora pelo Teorema da Extensão de Whitney (Veja Apêndice) aplicado f = 0 e d = ν

em Ck existem funções de classe C1, fk : Rn → R tais que

fk = 0 em Ck

Dfk = ν em Ck.

Seja Sk =x ∈ Rn; fk = 0, |Dfk| >

12

(k = 1, ...)

Pelo Teorema da Função Implícita Sk é uma subvariedade (n − 1)−dimensional de

classe C1. Claramente se tem Ck ⊂ Sk, e, isto finaliza a prova de (5.4).

Para a demonstração de (5.5) comece observando que pelo Lema (5.1)

Hn−1(B− Ci) ≤ 2.3n−1|DχE|(B− Ci) <2.3n−1

i

e assim é suficiente provarmos o resultado proposto para B ∩ Ci ou em outras palavras

para B ∈ Γn−1. Assuma portanto que B ⊂⋃

k≥1

Ck e de fato B ⊂ C1. Pelo já mostrado

existe uma hipersuperfície de classe C1, S1, com C1 ⊂ S1. Seja γ = Hn−1⌊S1. Dessa

forma, como S1 ∈ C1 segue das propriedades da Medida de Hausdorff que

limρ→0

ρ1−nγ(B(x, ρ)) = wn−1 para cada x ∈ B

e uma vez que x ∈ B ⊂ ∂∗E, de (4.8) obtemos


limρ→0

γ(B(x, ρ))∫

B(x,ρ)

|DχE|

= 1 para cada x ∈ B.

Dado que ambas γ e |DχE| são medidas de Radon, o Teorema de diferencição de

medidas de Radon assegura que |DχE| = Hn−1⌊∂∗E, ou seja∫

B

|DχE| = γ(B) = Hn−1(B).

Em particular Hn−1(∂∗E ∩Ω) =

∫

∂∗E∩Ω

|DχE|.

Em contrapartida, pelo Teorema de Lebesgue-Besicovitch o vetor ν(x) existe e |ν(x)| =

1, |DχE|−quase sempre em ∂E. Assim o conjunto ∂E − ∂∗E tem medida |DχE|−nula e

usando o Lema (2.2), ou seja, que spt(DχE) ⊆ ∂E, vem que

Per(E,Ω) =

∫

Ω

|DχE| =

∫

Ω∩∂E

|DχE| =

∫

Ω∩∂∗E

|DχE|.

Finalmente tome A um conjunto aberto tal que ∂∗E ∩A = ∅; então por (5.6)

∫

A

|DχE| = 0

Segue dessa forma que χE é constante em A e assim ∂E ∩A = ∅. Portanto ∂∗E = ∂E

5.2.1 Conjuntos contavelmente rectificáveis e puramente

não-rectificáveis

A seguinte noção é fundamental em Teoria Geométrica da Medida

Definição 5.2. (Conjunto contavelmente rectificável) Seja Y um espaço métrico.

Um conjunto E ⊂ Y é dito ser contavelmente Hn−rectificável se existir uma sequência

de aplicações Lipschitzianas fi : Ai → Y, Ai ⊆ Rn tais que

Hn(E−⋃

i≥1

fi(Ai)) = 0

É muito frequente tomarmos sem perda de generalidade Ai = Rn se Y for um espaço

de Banach: Isto é possível pois via o Teorema de extensão de funções Lipschitzianas (Veja

Apêndice) a igualdade acima é equivalente a

Hn(E−⋃

i≥1

fi(Rn)) = 0

Mais simplesmente temos


Definição 5.3. (Conjuntos Rectificáveis) Seja E ⊂ Rn um conjunto Hk−mensurável.

Diremos que E é contavelmente k−rectificável se existir uma sequência de aplicações

Lipschitzianas fi : Rk → Rn tais que

E ⊂⋃

i≥1

fi(Rk).

Finalmente, diremos que E é Hk−rectificável se E é contavelmente Hk−rectificável e

Hk(E) < ∞.

Exemplo 5.2. (k−gráficos Lipschitz) Seja π ⊂ Rn um k−plano e φ : π → π⊥ uma

função Lipschitz. Seja

Γ :=x ∈ Rn;φ(x) = π⊥x

o gráfico de φ. Então, escolhendo uma base ortonormal e1, ..., en de π e tomando

f(y) :=

n∑

i=1

yiei + φ(

n∑

i=1

yiei) , f : Rk → Γ

obteremos que Γ é contavelmente k−rectificável. Pelo Teorema (2.2.2) (vi) concluímos

que qualquer subconjunto compacto de Γ é Hk−rectificável.

Figura 5.1: O gráfico de uma função Lipschitz e o cone x+ KπM, com M = Lip(f)

Definição 5.4. seja π ⊂ Rn um k−plano e M ≥ 0; o cone KπM com eixo π e abertura

M é definido por

KπM; =x ∈ Rn; |π⊥x| ≤M|πx|

Note que KπM reduz-se a π se M = 0, e KπM − 0 ↑ (Rn − π⊥) quando M ↑ ∞.

Subconjuntos de um k−gráfico Lipschitz podem ser facilmente caracterizados como àqueles

conjuntos S para os quais existem um k−plano π e uma constante M satisfazendo S ⊂


x+ KπM para qualquer x ∈ S. De fato, se x1, x2 ∈ S então

|π⊥(x1 − x2)| ≤M|π(x1 − x2)|;

portanto πx1 = πx2 implicando que x1 = x2. Isto prova que para qualquer y ∈ π(S) existe

um único z ∈ π⊥ tal que y+ z ∈ S; Ao tomarmos z = φ(y) obteremos que a constante de

Lipschitz de φ não excede M. A implicação recíproca é trivial.

Assim, sobre a concepção de conjuntos contavelmente rectificáveis em Rn temos

Teorema 5.2.2. (Conjuntos contavelmente rectificáveis em Rm) Um conjunto

E ⊂ Rm é contavelmente Hn−rectificável se, e somente se existe uma sequência de

subvariedades Mk, n− dimensionais de classe C1 tais que

Hn(E−⋃

k≥1

Mk) = 0

Figura 5.2: Um conjunto rectificável 2−dimensional em R3 consistindo das superfícies geradaspor uma quantidade enumerável de bicicletas.

Paralelemente temos a seguinte

Definição 5.5. Um conjunto E ⊂ Rn Hm−mensurável é puramente m−não-rectificável

se E não contiver subconjuntos m−rectificáveis de medida Hm positiva.

Nota 5.1. Saliente que existe uma dicotomia entre conjuntos rectificáveis e puramente

não-rectificáveis. Precisamente falendo, para qualquer subconjunto A ⊂ Rn


Figura 5.3: Um conjunto 1−dimensional puramente não-rectificável.

Hm−mensurável, ao usarmos o Princípio de Maximalidade de Hausdorff1, segue que

A = B ∪ C, B ∩ C = ∅,

onde B é contavelmente m−rectificável e C é puramente m−não-rectificáveis em Rn.

Portanto, podemos concluir via as argumentações acima que a fronteira reduzida de um

conjunto de Caccioppoli é um conjunto contavelmente Hn−rectificável e assim o Teorema

Estrutural de De Giorgi se reescreveria em linguagem mais sofisticada da seguinte forma:

Teorema 5.2.3. (De Giorgi- Teorema Estrutural) Se E é um conjunto de

Caccioppoli, então a fronteira reduzida é um conjunto contavelmente Hn−rectificável, ou

seja,

∂∗E =⋃

i≥1

Ci ∪N (5.14)

onde∫

N

|DχE| = 0 e cada Ci ∈ Γn−1 é compacto. Além disso, para todo conjunto B ⊆ ∂∗E

∫

B

|DχE| = Hn−1(B), (5.15)

para todo conjunto aberto Ω ⊆ Rn

Per(E,Ω) =

∫

Ω

|DχE| = Hn−1(∂∗E ∩Ω) (5.16)

e finalmente

∂∗E = ∂E (5.17)

ou seja, ∂∗E é denso ∂E

1O Princípio de maximalidade ou maximal de Hausdorff é uma consequência do axioma da Escolha,o mesmo fora publicado pela primeira vez em um artigo em alemão de 1909, o qual não causou grandecomoção em seu primeiro momento, senão até 1935 quando Max Zorn o publicou novamente:

Se em um conjunto parcialmente ordenado toda cadeia é limitada superiormente, o conjunto tem umelemento maximal.


Nota 5.2. Observemos também que ∂∗E é um conjunto de Borel e a aplicação νE : ∂∗E →S

n−1 é Hn−1−mensurável. De fato, pelo Teorema de Lebesgue-Besicovith, existe νE(x) e

|νE(x)| = 1 para x ∈ Rn |DχE|−quase sempre. Agora, como |DχE| = Hn−1⌊∂∗E segue que

νE : ∂∗E → Sn−1 é Hn−1−mensurável. Portanto temos que a Fórmula de Gauss-Green

para conjuntos de perímetro finito em Ω pode ser reescrita na seguinte forma

∫

E

divϕdx = −

∫

∂∗E

〈νE, ϕ〉dHn−1 ∀ ϕ ∈ C10(Ω;Rn)

Observação 5.2. Não se concretiza verdade o fato da fronteira reduzida ser um

conjunto contavelmente Hn−1−rectificável, ou seja, a mesma ser escrita como uma união

enumerável de “pedaços” compactos de hipersuperfícies de classe C1 que por essa razão

esta venha a ser uma variedade regular de classe C1. Pois por exemplo conjuntos que

na literatura são conhecidos como Cantor-like sets ou memos conjuntos fractais (Self

similar fractals) em geral são altamente singulares, porém os mesmos podem “repousar”,

ou seja, estarem contidos em uma união enumerável de esferas, por exemplo, as quais

são altamente regulares. Podemos citar o clássico esponja de Sierpinski o qual é um

exemplo de um conjunto de dimensão fracionária. Sua dimensão de Hausdorff é de cerca

de 2, 7, como fora exposto no capítulo II deste trabalho. Para mais informações sobre esse

conjunto e conjuntos fractais consute Morgan [7], pag. 10.

5.3 Regularidade C1 da Fronteira Reduzida

Tratar-se-á nesta seção da regularidade C1 da fronteira reduzida, ∂∗E: serão expostos

resultados referentes a regularidade Lipschitz da fronteira topológica que servirá de

subsíduo para a demonstração da reguridade da fronteira reduzida mediante juntamente

a hipótese de continuidade do vetor normal generalizado νE.

Nota 5.3. Estaremos adotando a seguinte notação: Seja α = (α1, ..., αn) um vetor

unitário no Rn. Então denotaremos Dα =

n∑

i=1

αiDi.

Lema 5.2. Seja E ⊂ Ω um conjunto de Caccioppoli, e, sejam z ∈ Ω e ρ > 0 e suponha

que existe um número τ > 0 tal que, para todo t com 0 < t < τ, a bola B(z + tα, ρ) está

estritamente contida em Ω. Então

|E ∩ B(z+ tα, ρ)|− |E ∩ B(z, ρ)| =

∫ τ

0

dt

∫

B(z+tα,ρ)

DαχE. (5.18)


Proof: Suponha que g ∈ C∞

0 (Ω) e sptg(x − tα) ⊂⊂ Ω para todo t < τ; então pelo

Teorema Fundamental do Cálculo e aplicações dos Teoremas de Fubini e Gauss-Green

vem que

∫

E

[g(x− tα) − g(x)]dx = −

∫

E

dx

∫ τ

0

Dαg(x− tα)dt = −

∫ τ

0

dt

∫χEDαg(x− tα)dx

=

∫ τ

0

dt

∫g(x− tα)DαχE

Agora para k suficientemente grande podemos escolher funções gk ∈ C∞

0 (Ω) tais que

0 ≤ gk ≤ 1, gk = 1 em B(z, ρ−1

k) e sptgk ⊂ B(z, ρ). (Tais funções são em geral funções

de corte ou partições da unidade). Se escrevermos a equação acima para cada gk e então

passando o limite obteremos

|E ∩ B(z+ tα, ρ)|− |E ∩ B(z, ρ)| =

∫ τ

0

dt

∫

B(z+tα,ρ)

DαχE

e assim segue o resultado.

Observação 5.3. A interpretação do Lema acima nos diz que é possível ter uma

representação integral mais fraca da Fórmala da Coárea desde que B(z + tα, ρ) ⊂ Ω

estritamente, para todo 0 < t < τ, para algum τ > 0 inicialmete obtido. Tal

representação classicamente é conhecida para variedades C1 ou mesmo para conjuntos

com bordo Lipschitz.

Lema 5.3. Seja E ⊂ Ω um conjunto de Caccioppoli e suponha que existem um vetor

α ∈ Rn e p > 0 tal que

ν(x).α = limρ→0

∫

B(x,ρ)

DαχE

∫

B(x,ρ)

|DαχE|

≥ p > 0 (5.19)

para x ∈ Ω |DχE|−quase sempre. Suponha que z ∈ ∂E ∩Ω e k > 0 é tal que o segmento

[z, z+ kα] ⊆ Ω. Então z+ kα é interior a E.

Proof: Suponha por contradição que exista um z ∈ ∂E ⊆ Ω e um k > 0 tal que [z, z+

kα] ⊆ Ω, mas [z, z + kα] não interior a E. Mostraremos primeiro que [z, z + kα] ⊆ ∂E.

Suponha existir um ponto z+tα ∈ Ω−E; então escolha ρ > 0 tal que B(z+τα, ρ) ⊆ Ω−E.


Então do Lema (5.2) anterior e da desigualdade (5.19)

0 ≤∫ τ

0

dt

∫

B(z+tα,ρ)

DαχE = |E ∩ B(z+ τα, ρ)|− |E ∩ B(z, ρ)| = −|E ∩ B(z, ρ)| < 0

o que produz uma contradição.

Alternativamente, suponha que exista um ponto z + τα ∈ E − ∂E e que z + kα ∈ ∂E.

Escolha ρ > 0 tal que B(z+ τα, ρ) ∩ E = B(z, ρ). Do Lema (5.2) anterior

E ∩ B(z+ kα, ρ)|− |E ∩ B(z+ τα, ρ)| =

∫ k

τ

dt

∫

B(z+τα,ρ)

DαχE ≥ 0.

Porém, pela escolha de ρ, |E∩B(z+τα, ρ)| = wnρn e por (4.1), dado que z+kα ∈ ∂E,

|E ∩ B(z+ kα, ρ)| < wnρn e assim temos uma contradição. Assim [z, z+ kα] ⊆ ∂E.

O Lema ficará demonstrado ao mostrarmos que essa hipótese também gera uma

contradição.

Escolha ρ0 de sorte que B(z+ tα, ρ) ⊆ Ω para cada ρ ≤ ρ0 e cada 0 < t < k. Então,

pela definição de ν e DαχE e pelo Teorema (5.2.1),

∫

B(z+tα,ρ)

DαχE =

∫

B(z+tα,ρ)

ν.α|DχE| ≥ p

∫

B(z+tα,ρ)

|DχE|, por (5.19).

O Lema (4.2) asseguram que∫

B(z+tα,ρ)

|DαχE| > C3ρn−1 para cada 0 < t < k e cada

0 < ρ ≤ ρ0. Agora de (5.18), (5.19) e da sentença acima temos

|E ∩ B(z+ kα, ρ)|− |E ∩ B(z, ρ)| =

∫ k

0

dt

∫

B(z+tα,ρ)

DαχE ≥ kpC3ρn−1.

Porém o lado esquerdo é limitado superiormente por wnρn e dessa forma obteremos

wn ≥kpC3

ρ→ ∞

, ou seja, uma contradição quando ρ → 0.

Observação 5.4. Se a hipótese do lema é verificada para k < 0 em vez de k > 0, então

o mesmo argumento mostra que z+ kα está no interior de Rn − E.

O Lema acima nos diz que se existir um vetor α ∈ Rn que faz um ângulo positivo com

o normal exterior (no sentido geométrico da medida) e um ponto z ∈ ∂E ∩Ω e k > 0 de

sorte que o segmento [z, z+kα] ⊆ Ω então é possível se deslocar na direção de α sem sair

do conjunto E, ou seja, teremos nessas circunstâncias z + kα ∈ int(E), e, analogamente


para k < 0 ter-se-á z− kα ∈ int(Ec) = Rn − E.

5.3.1 Representação localmente Lipschitz de ∂E

Como |ν(x)| = 1 |DχE|− quase sempre, então o mesmo é limitado |DχE|− quase

sempre. Almejamos mostrar que se a direção de ν(x) não varia muito então o conjunto E

tem fronteira localmente Lipschitz. Como tais propriedades são invariantes por isometrias

lineares, poderemos aplicar uma rotação no conjunto E, se necessário o for, e simplismente

considerar o caso onde ν(x) está próximo do eixo dos xn.

Teorema 5.3.1. (De Giorgi - Representação localmente Lipschitziana de ∂E)

Sejam Ω ⊂ Rn aberto e convexo e E ⊂ Ω um conjunto de Caccioppoli. Suponha que

νn(x) = limρ→0

∫

B(x,ρ)

DχE

∫

B(x,ρ)

|DχE|

≥ q > 0

para alguma constante fixada q e x ∈ Ω |DχE|−quase sempre. Então existe um conjunto

aberto A ⊆ Rn−1 e uma função f : A → R tal que

∂E ∩Ω = (y, t);y ∈ A, t = f(y) (5.20)

Além disso,

|f(x) − f(y)| ≤ q−1√

1− q2|x− y| ∀ x, y ∈ A. (5.21)

ou seja, localmente ∂E ∩ Ω se escreve como o gráfico de uma função Lipschitziana de

n− 1 variáveis.

Proof Seja α = (α1, ..., αn) vetor unitário com αn > 0; então

DαχE = αnDnχE +

n−1∑

i=1

αiDiχE ≥ (αnq−√

(1− αn2)(1− q2))|DχE|.

Segue portanto que se αn >√

(1− q2) poderemos concluir pelo Lema (5.3) anterior

que, para todo z ∈ ∂E∩Ω, pontos em Ω da forma z+ tα com t > 0 pertencem ao interior

de E , e, aqueles da forma z− tα pertencem ao interior de Rn−E. Em resumo, para todo

z ∈ ∂E ∩Ω, a interseção de Ω com o cone

C =

x ∈ Rn; (xn − zn) > q−1√

(1− q2)

[n−1∑

i=1

(xi − zi)2

] 12


está no interior de E, e a interseção de Ω com o cone

C′

=

x ∈ Rn; (xn − zn) > −q−1√(1− q2)

[n−1∑

i=1

(xi − zi)2

] 12

é interior a Rn − E. Destes argumentos as equações (5.20) e (5.21) seguem

imediatamente2.

E

A

Observação 5.5. Se Ω = Bρ podemos fazer o Teorema acima um pouco mais preciso,

no mínimo supondo-se que q está bem proximo de 1 e que ∂E ∩ B(0, (1 − q)ρ) 6= ∅. Em

resumo, podemos assuimir que ν(x) está sempre próximo do eixo xn e que ∂E está próximo

do centro da bola Bρ. Por simplicidade escreveremos q = 1−σ e, para r > 0 denotaremos

Br = y ∈ Rn−1; |y| < r

Proposição 5.1. (De Giorgi) Seja E ⊂ Bρ um conjunto de Caccioppoli tal que

νn(x) ≥ 1− σ

para x ∈ Bρ |Dχ|−quase sempre, onde ε =2√2σ

1− σ<

1

2, 0 < 2σ < 1 e suponha que

∂E ∩ Bσρ 6= ∅. Então, se f e A são como no Teorema (5.3.1) anterior,

A ⊇ B(1−ε)ρ (5.22)

e

|f(y)| ≤ ερ, |Df(y)| ≤ ε

2∀ y ∈ B(1−ε)ρ (5.23)

2Geometricamente uma função f é Lipschitz contínua quando é possivel em cada ponto f(x) de seugráfico colocarmos um cone de vértice nesse ponto de sorte que o gráfico da função não visita o epigrafodo cone, em outras palavras, o gráfico da função se encontra totalmente no exterior do cone.


Proof: Temos

q−1√(1− q2) = (1− σ)−1

√2σ− σ2 ≤

√2σ

1− σ=

ε

2

Pelo Teorema de Rademacher (Veja Apêndice) f é diferenciável Ln− quase sempre,

portanto

|Df(y)| ≤ Lip(f) ≤ q−1√(1− q2) ≤ ε

2.

Tome agora z = (η, f(η)) ∈ ∂E ∩ Bσρ; então temos ambos |η| < σρ e |f(η)| < σρ , e,

dessa forma se y ∈ A,

|f(y)| ≤ |f(η)|+ |f(y) − f(η)| < σρ+ε

2(|y|+ |η|) < σρ+

ε

2(ρ+ σρ) = ρ

(σ+

ε

2+

σε

2

)

Porém, σε = ε−√2σ, de modo que

|f(y)| ≤ ρ(ε+ σ−√2σ) ≤ ερ

dado que ρ(σ−√2σ) ≤ 0 pela escolha de σ.

Dessa forma somente nos resta demonstrar (5.22). Naturamente, pela condição sobre

σ, σ+ε < 1 ⇔ σρ < (1−ε)ρ, e assim Bσρ ⊆ B(1−ε)ρ. Se η é um ponto em A determinado

como acima, então η ∈ A∩Bσρ logo A∩B(1−ε)ρ 6= ∅. Agora para finalizar a demonstração

de (5.22) basta mostrar que ∂A ∩B(1−ε)ρ = ∅. Suponha que y ∈ ∂A; então naturalmente

por (5.20) e (5.21) necessariamente temos (y, f(y)) ∈ ∂Bρ e segue que |y| + |f(y)| ≥ ρ.

Porém pela estimativa acima

|f(y)| ≤ ρ(ε+ σ−√2σ)

e dessa forma

|y| ≥ ρ(1− ε+√2σ− σ) > (1− ε)ρ

Observação 5.6. Segue de maneira natural da demonstração do Teorema (5.3.1), que

dado

∂E ∩Ω = (y, t);y ∈ A, t = f(y)

então se E é aberto

E ∩Ω = Ω ∩ (y, t);y ∈ A, t > f(y).

Além disso, como f é uma função Lipschitz contínua, a mesma é diferenciável quase

sempre em A pelo Teorema de Rademacher (Veja Apêndice) e assim semelhantemente ao


exemplo (4.3) (i), ν(x) será normal à superfície em quase todos os pontos e

νi(x) =Dif(y)√

1+ |Df(y)|2i = 1, ..., n− 1 νn(x) =

1√1+ |Df(y)|2

onde x = (y, f(y))

Teorema 5.3.2. (De Giorgi - Regularidade C1 de ∂∗E) Seja E ⊂ Ω um conjunto

de Caccioppoli tal que ν(x) existe para todo x ∈ ∂E ∩Ω e o mesmo é contínuo. Então

∂E ∩Ω é uma hipersuperfície de classe C1.

Proof: Sabemos por definição que |ν(x)| = 1 em ∂∗E e que segundo o Teorema

Estrutural (5.2.1) ∂∗E = ∂E. Portanto, como ν(x) é contínua, temos via argumento de

aproximação (densidade) que |ν(x)| = 1 em todos os pontos de ∂E. Do Teorema (5.3.1)

segue que, para todo z ∈ ∂E ∩Ω, existe uma bola tal que ∂E ∩ B tem uma representação

como uma função Lipschitz contínua f. Pela observação (5.6) temos para quase todo y

Dif(y) =νi(x)

νn(x),

onde x = (y, f(y)). Portanto a derivada de f coincidirá em quase todos os pontos com

uma função contínua e assim f será necessariamente uma função de classe C1.

Exemplo 5.3. Seja u ≥ 0 definida na bola unitária B1 ⊂ Rn. Suponha ∆u = dµ para

alguma medida de Radon µ não-negativa com spt(µ) ⊂ u = 0. Então podemos inferir

que

i. Supondo também que µ(Br(x)) ≤ Λrn−1 para algum Λ > 0 e para x ∈ spt(µ). Então

u é Lipschitz no interior de B1;

ii. Se λrn−1 ≤ µ(Br(x)) ≤ Λrn−1 para λ,Λ > 0 e x ∈ spt(µ). Então o conjunto

x ∈ B1;u(x) > 0 tem perímetro localmente finito no interior de B1, ou seja, o

mesmo é um conjunto de Caccioppoli.

iii. Pode-se dar uma estimativa aproximada de Hn−1(∂∗u > 0∩B 12) do item anterior,

segundo os resultaodos da teoria temos

Hn−1(∂∗u > 0 ∩ B r2) ≤ C(n, λ,Λ)rn−1.


O exemplo acima faz referência a Teoria de Regularidade Elíptica, em particular a

regularidade da fronteira livre. Para mais informações e detalhes sobre esta teoria consulte

Caffarelli-Salsa [87], Caffarelli [88] e Teixeira [45].

5.4 A medida Teórica da fronteira e o Teorema de

Gauss-Green

5.4.1 Medida Teórica da Fronteira

Definição 5.6. Seja x ∈ Rn. Diremos que x ∈ ∂∗E, a medida teórica da fronteira de

E, se

lim supr→0

|Br(x) ∩ E|

rn> 0 e lim sup

r→0

|Br(x) − E|

rn> 0

Observação 5.7. Alguns autores substituem a expressão medida teórica da fronteira de

E, por fronteira essencial. Moralmente, a definição acima nos diz que ∂∗E possui todos

os pontos x ∈ Rn que não são pontos de densidade 0 ou 1.

Lema 5.4. i. ∂∗E ⊂ ∂∗E

ii. Hn−1(∂∗E− ∂∗E) = 0

Proof:

i. Segue imediatamente da definição juntamente com os resultados do Lema (De

Giorgi-Densidade) (4.2) equações (4.6) e (4.7) que assegurarão que

lim infr→0

|Br(x) ∩ E|

rn> c(n) e lim inf

r→0

|Br(x) − E|

rn> c(n).

ii. Dado que a aplicação

r → |Br(x) ∩ E|

rn

é contínua, se x ∈ ∂∗E, existe 0 < α < 1 , rj → 0 tal que

|Brj(x) ∩ E|

wnrnj

= α.

Imediatamente, temos limr→0

|Br(x) − E|

wnrn= 1− α. Dessa forma

min|Brj(x) ∩ E|, |Brj(x) − E| = minα, 1− αwnrnj ,


e assim a Desigualdade Isoperimétrica relativa (2.14) fornece que

lim supr→0

rn−1

∫

Br(x)

|DχE| > 0

Uma vez que já sabemos que∫

Rn−∂∗E

|DχE| = 0, um argumento usual de recobrimento

fornece que

Hn−1(∂∗E− ∂∗E) = 0

5.4.2 Teorema de Gauss-Green Generalizado

Nessa próxima etapa provaremos que se E for um conjunto de Caccioppoli, então o

Teorema de Gauss-Green possui uma forma generalizada ao passo de considerarmos a

medida teórica da fronteira de E.

Teorema 5.4.1. (Teorema de Gauss-Green Generalizado) Seja E ⊂ Rn um

conjunto de Caccioppoli.

i. Então Hn−1(∂∗E ∩ K) < ∞ para cada compacto K ⊂ Rn;

ii. Além disso, para x ∈ ∂∗E Hn−1−quase sempre,existe uma única medida teórica da

normal exterior νE(x) tal que

∫

E

divϕdx =

∫

∂∗E

ϕ.νEdHn−1 (5.24)

para toda ϕ ∈ C10(R

n;Rn).

Proof: Pela teoria precedente,

∫

E

divφdx =

∫

Rn

φ.νEd(|DχE|)

Contudo sabemos que∫

Rn−∂∗E

|DχE| = 0, segue do Teorema Estrutural (|DχE| = Hn−1⌊∂∗E)

e do Lema anterior (Hn−1(∂∗E − ∂∗E) = 0) que |DχE| = Hn−1⌊∂∗E. Como |DχE| é uma

medida de Radon segue portanto em particular que Hn−1(∂∗E∩K) < ∞ para cada compacto

K ⊂ Rn, e isso demonstra a asserção (i).

Para finalizarmos basta notar que (5.24) segue do Lema anterior, dado que ∂∗E ⊂ ∂∗E

e a medida teórica da fronteira de E tem medida total Hn−1 em ∂∗E.


Definição 5.7. Seja E ⊂ Rn Ln−mensurável. Definimos

I ≡x ∈ Rn; lim

r→0

Ln(Br(x) − E)

rn= 0

para ser a medida teórica interior de E e

O ≡x ∈ Rn; lim

r→0

Ln(Br(x) ∩ E)

rn= 0

para ser a medida teórica exterior de E.

Nota 5.4. Note que ∂∗E = Rn − (I ∪O). Filosoficamente pensamos I como “interior” e

O como “exterior” de E.

Lema 5.5. i. I, O e ∂∗E são conjuntos Borelianos mensuráveis;

ii. Ln((I− E) ∪ (E− I)) = 0.

Proof:

i. Existe um um conjunto Boreliano C ⊂ Rn − E tal que Ln(C ∩ T) = Ln(T − E) para

conjunto T Ln−mensurável. Assim,

I ≡x ∈ Rn; lim

r→0

Ln(Br(x) − C)

rn= 0

,

e dessa forma o mesmo é mensurável à Borel. A prova para O é análoga. Portanto,

dado a mensurabilidade de I e O segue que ∂∗E é mensurável à Borel;

ii. Segue como consequência do Teorema de densidade de Lebesgue.

Teorema 5.4.2. (Critério para perímetro finito) Seja E ⊂ Rn Ln−mensurável.

Então E é um conjunto de Caccioppoli se, e somente se,

Hn−1(K ∩ ∂∗E) < ∞

para cada conjunto compacto K ⊂ Rn.

Proof: Veja Evans-Gariepy [6], pag. 222.

Definição 5.8. (Pontos de densidade t) Para todo t ∈ [0, 1] e todo conjunto E ⊂ Rn

Ln−mensurável denotaremos por Et o conjunto

x ∈ Rn; lim

ρ→0

|E ∩ B(x, ρ)|

|B(x, ρ)|= t


de todos os pontos onde E tem densidade t.

Teorema 5.4.3. (Federer) Seja E ⊂ Rn um conjunto de perímetro finito em Ω ⊂ Rn.

Então

∂∗E ∩Ω ⊂ E12 ⊂ ∂∗E e Hn−1(Ω− (E0 ∪ ∂∗E ∪ E1)) = 0.

Em particular, E tem densidade 0 ou 12

ou 1 em x ∈ Ω Hn−1−quase sempre e x ∈ ∂∗E∩Ω

Hn−1−quase sempre pertence a ∂∗E.

Proof: Veja Ziemer [11] pag. 158.

Nota 5.5. Segue do Teorema de Federer acima (5.4.3) que para conjuntos de perímetro

finito, ambos ∂∗E e E12 podem ser usadas no lugar de ∂∗E na fórmula de Gauss-Green, e,

teremos:

Per(E;Ω) = Hn−1(Ω ∩ ∂∗E) = Hn−1(Ω ∩ E12 )

Como uma outra consequência podemos reescrever a fórmula da coarea de

Fleming-Rishel usando a fronteira essencial de conjuntos de nível:

|Du|(B) =

∫∞

−∞

Hn−1(B ∩ ∂∗u > t)dt ∀ B ∈ B(Ω)

onde B(Ω) é a σ−álgebra gerada pelos conjuntos abertos de Ω.

Teorema 5.4.4. Para qualquer conjunto aberto Ω ⊂ Rn satisfazendo Hn−1(∂Ω) < ∞tem perímetro finito em Rn e |DχΩ| ≤ Hn−1⌊∂Ω. Resultado análogo se obtem se ∂Ω tem

fronteira Lipschitz.


5.4.3 Comentários sobre Densidade-Rectificabilidade de conjuntos

Em Teoria Geométrica da medida confronta-se resultados de rectificabilidade de

conjuntos com os de densidade dos mesmos a fim de se obter uma propriedade mediante a

existência da outra. Todos os resultados desse capítulo referentes a estrutura da fronteira

reduzida (Teorema Estrutural (5.2.1)) podem ser obtidos sob as hipóteses da densidade

do conjunto E em questão, como também a existência de plano tangente assintótico.

Exporemos alguns desses resultados de maneira ilustrativa, e, esclaremos para o leitor

que as demonstrações dos mesmos podem ser encontradas em Lang [16] pag. 12-13 e

Ziemer [11] pag. 83.


Teorema 5.4.5. (Existência do espaço tangente) Suponha que E ⊂ Rn é um conjunto

contavelmente Hm−rectificável e Hm−mensurável com Hm(E) < ∞. Então para x ∈ E

Hm−quase sempre o plano tangente assintótico (ou espaço tangente) existe e Θm(E, x) =

1, ou seja, o conjunto E tem densidade m−dimensional 1 em seus pontos.

Proof: Veja Lang [16], pag. 12.

Teorema 5.4.6. Suponha que E ⊂ Rn é um conjunto Hm−rectificável com Hm(E) < ∞.

Se o plano tangente assintótico (ou espaço tangente) existe para x ∈ E Hm−quase sempre,

então E é contavelmente Hm−rectificável.


Teorema 5.4.7. (Besicovitch - Marstrand -Mattila) Seja E ∈ B(Rn) com Hk(E) <

∞. Então, E é Hk−rectificável se e somente se Θk(E, x) = 1 para x ∈ E Hk−quase

sempre.


Teorema 5.4.8. (Preiss) Suponha que E ⊂ Rn é um conjunto Hm−rectificável com

Hm(E) < ∞. Se a densidade Θm(E, x) existe para x ∈ E Hm−quase sempre, então E é

contavelmente Hm−rectificável.


Capítulo 6

Algumas Desigualdades

Conteúdo

6.1 Alguns Lemas Técnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.1.1 O Desvio de Minimalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Neste capítulo introduziremos algumas notações que facilitaram a técnica empregada

para o estudo da regularidade de conjuntos com perímetro minimal. Para tanto

precisaremso de alguns Lemas preliminares. Estes lemas são de natureza essencialmente

técnica e serão de fundamental importância na etapa apropriada da prova de regularidade.

6.1 Alguns Lemas Técnicos

Provou-se no Capítulo 1 a existência de conjuntos de Caccioppoli com perímetro

minimal. Assim, em geral, o procedimento que iremos empregar será termos em mãos

um conjunto minimizante , e, em seguida, examinar sua regularidade. Ao fazer isso,

muitas vezes é necessário um argumento de aproximação para os conjuntos mínimais, e,

por essa razão é conveniente introduzir uma noção métrica de quão perto é um conjunto

de ser mínimal.

6.1.1 O Desvio de Minimalidade

Definição 6.1. (De Giorgi) Se f ∈ BV(Ω) então denotaremos

ν(f,Ω) = inf

∫

Ω

|Dg|;g ∈ BV(Ω), spt(g− f) ⊂ Ω

ψ(f,Ω) =

∫

Ω

|Df|− ν(f,Ω)

CAPÍTULO 6. ALGUMAS DESIGUALDADES 103

Observação 6.1. Se Ω = Bρ, então escreveremos ν(f, ρ) e ψ(f, ρ), e, se f = χE,

onde E ⊂ Rn é um conjunto de Caccioppoli, então escreveremos ν(E, ρ) e ψ(E, ρ)

respectivamente. Para ψ(E,A), onde A ⊂ Ω é um conjunto aberto será denotado Desvio

de Minimalidade de E em A, ou seja, a mesma é uma função de conjunto que rende

uma medida de quanto um conjunto E é de minimizar perímetro em um conjunto aberto

A ⊂ Ω .

Observação 6.2. Se E ⊂ Ω é um conjunto minimal, então ψ(E,Ω) = 0, pois poderemos

nos utilizar da seguinte definição

Per(E;B) = infPer(E;Ω);B ⊂ Ω,Ω Aberto

Portanto,

ψ(f,Ω) =

∫

Ω

|Df|− ν(f,Ω) = 0

Definição 6.2. Diremos que um conjunto E, com perímetro finito em um conjunto aberto

Ω ⊂ Rn, é (K, λ)−minimal em Ω se

∀x ∈ Ω e ρ ∈ (0, dist(x, ∂Ω)) : ψ(E, ρ) ≤ Kρn−1+λ

A definição acima nos informa que conjuntos (K, λ)−minimais em Ω são àqueles cujo

desvio de minimalidade é controlado superiormente em qualquer bola, por um múltiplo

do raio da mesma (uma constante adequada), tal desvio é não-decrescente e o mesmo é

infinitesimal em 0.

Obviamente os conjuntos de fronteiras mínimas, conjuntos minimais, são

(K, λ)−minimais para todo K ≥ 0 e λ ≥ 0 dado que os mesmos como argumentamos

acima satisfazem ψ(E,Ω) = 0

Mais geralmente, se a fronteira de E tem curvatura média HE ∈ Lp(Ω) com p > n,

então E é(||H||Lp(Ω), 1−

np

)-minimal

Para mais detalhes e informações sobre fronteiras mínimas com curvatura média prescrita

consulte Massari-Miranda [26] ou Massari [57].

Lema 6.1. Sejam f ∈ BV(BR) e 0 < ρ < r < R; então

∫

∂B1

|f−(rx) − f−(ρx)|dHn−1 ≤∫

Br−Bρ

∣∣∣∣⟨x

|x|n, Df

⟩∣∣∣∣ (6.1)


Proof: Comecemos notando primeiramente que se g ∈ C1(A;Rn) então∫

A

|〈g,Df〉|é a variação total em A da medida 〈g,Df〉, os seja, se nos utilizarmos do Teorema de

Riesz-Markov teremos a seguinte expressão

∫

A

|〈g,Df〉| = sup∫

A

fdiv(µg)dx;µ ∈ C10(A), |µ| ≤ 1

Posteriormente tomemos g(x) = x|x|−n, h qualquer função C1 e α uma função definida

por

α(x) = h(x|x|−1).

Então div(αg) = 0 em Rn − 0 e da sentença (3.18) teremos

∫

Br−Bρ

α〈g,Df〉 =

∫

∂Br

αf−〈g, x|x|〉dHn−1 −

∫

∂Bρ

αf+〈g, x|x|〉dHn−1 =

= r1−n∫

∂Br

αf−dHn−1 − ρ1−n∫

∂Bρ

αf+dHn−1 =

=

∫

∂B1

h(x)[f−(rx) − f+(ρx)]dHn−1

Observe que utilizamos na última igualdade a definição da função α(x). Agora, ao nos

restringirmos a função h a fim de que a mesma obedeça |h(x)| ≤ 1 teremos dessa forma

que |α(x)| ≤ 1, então mediante a definição de∫

A

|〈g,Df〉| teremos

∫

∂B1

h(x)[f−(rx) − f+(ρx)]dHn−1 ≤∫

Br−Bρ

|〈g,Df〉|

para qualquer função h tal que |h| ≤ 1.Proseguindo, temos para quase todo ρ < r segundo a Observação (3.6) que

∫

∂Bρ

|Df| = 0, e f+ = f− = f

assim

∫

∂B1

h(x)[f−(rx) − f−(ρx)]dHn−1 ≤∫

Br−Bρ

|〈g,Df〉| (6.2)

para quaase todo ρ < r. Logo ao tomarmos qualquer ρ < r, poderemos escolher uma

sequência ρj tal que ρj → ρ, dessa forma a sentença (6.2) se verifica para cada ρj

e f−(ρjx) → f−(ρx) convergindo em L1(∂B1). Ao tomarmos o limite quando j → ∞obteremos a sentença (6.2) para todo ρ < r. Agora para finalizarmos o Lema basta

tomarmos o supremo sobre todas as funções h tais que |h| ≤ 1 e enfim obteremos o

resultado desejado.


Observação 6.3. Similarmente podemos obter

∫

∂B1

|f+(rx) − f+(ρx)|dHn−1 ≤∫

Br−Bρ

∣∣∣∣⟨x

|x|n, Df

⟩∣∣∣∣

Lema 6.2. Sejam f ∈ BV(BR), ρ < R e ρj uma sequência tal que ρj ≤ ρ e ρj → ρ então

limj→∞

ψ(f, ρj) = ψ(f, ρ)

limj→∞

ν(f, ρj) = ν(f, ρ)(6.3)

Proof: Primeiramente vejamos que pela definição de ν(f, ρ) ao tomarmos ε > 0

podemos escolher uma função g ∈ BV(Bρ) tal que spt(g− f) ⊂ Bρ e

∫

Bρ

|Dg| ≤ ν(f, ρ) + ε.

Para j suficientemente grande temos spt(g− f) ⊂ Bρj, dessa forma

∫

Bρ

|Dg| ≥∫

Bρj

|Dg| ≥ ν(f, ρj)

Pela arbitrariedade de ε > 0 vem que

ν(f, ρ) ≥ lim supj→∞

ν(f, ρj).

Em contrapartida , para j ∈ N, podemos escolher gi ∈ BV(Bρ) tal que sqt(gj−f) ⊂ Bρje

ν(f, ρj) +1

j≥

∫

Bρj

|Dgj|.

Logo ∫

Bρj

|Dgj| =

∫

Bρ

|Dgj|−

∫

Bρ−Bρj

|Df| ≥ ν(f, ρ) −∫

Bρ−Bρj

|Df|

e dessa forma

lim infj→∞

ν(f, ρj) ≥ ν(f, ρ)

Portanto, ν(f, ρ) ≥ lim supj→∞

ν(f, ρj) ≥ lim infj→∞

ν(f, ρj) ≥ ν(f, ρ), e assim segue que

limj→∞

ν(f, ρj) = ν(f, ρ),

mostrando que ν é uma função de conjunto contínua. Da mesma forma, dado que


ψ(f,Ω) =

∫

Ω

|Df|− ν(f,Ω)

e é de conhecimento que∫

Ω

|Df| é uma função de conjunto contínua, segue juntamente do

mostrado acima que

limj→∞

ψ(f, ρj) = ψ(f, ρ),

ou seja, ψ também será uma função de conjunto contínua.

Nota 6.1. Segundo as nossas nomenclaturas as funções ν,ψ foram ditas de conjuntos

contínuas, pois dado ε > 0 existe um n0 ∈ N tal que se j > n0 então |ρj − ρ| < ε e mais

ainda limj→∞

ν(f, ρj) = ν(f, ρ), analogamente para a função ψ.

Lema 6.3. (De Giorgi) Sejam f, g ∈ BV(BR) e ρ < R. Então

|ν(f, ρ) − ν(g, ρ)| ≤∫

∂Bρ

|f− − g−|dHn−1 (6.4)

Proof: Uma vez que a sentença (6.4) é simétrica com respeito as funções f e g é

suficiente mostrarmos que

ν(f, ρ) − ν(g, ρ) ≤∫

∂Bρ

|f− − g−|dHn−1

De fato, dado ε > 0, podemos escolher ϕ ∈ BV(BR) tal que spt(ϕ− f) ⊆ Bρ e

∫

Bρ

|Dϕ| ≤ ν(f, ρ) + ε.

Seja ρj uma sequência tal que ρj ≤ ρ, ρj → ρ,

∫

∂Bρj

|Df| =

∫

∂Bρj

|Dg| = 0

e spt(f−ϕ) ⊆ Bρj. Assim, para cada j, defina

gj =

ϕ em Bρ

g em BR − Bρj

Então pela Proposição (3.2), gj ∈ BV(BR) e


ν(g, ρ) ≤∫

Bρ

|Dgj| =

∫

Bρj

|Dϕ|+

∫

Bρ−Bρj

|Dg|+

∫

∂Bρj

|f− g|dHn−1 ≤

≤∫

Bρ

|Dϕ|+

∫

Bρ−Bρj

|Dg|+

∫

∂Bρj

|f− g|dHn−1 ≤

≤ ν(f, ρ) + ε+∫

Bρ−Bρj

|Dg|+

∫

∂Bρj

|f− g|dHn−1

Dada a arbitrariedade de ε > 0 o Lema fica demonstrado ao permitirmos j→ ∞.

Observação 6.4. Em particular se ψ(f, R) = 0, temos

ν(f, ρ) =

∫

Bρ

|Df|

e segue que para todo g ∈ BV(Bρ),∫

Bρ

|Df| ≤∫

Bρ

|Dg|+

∫

∂Bρ

|f− − g−|dHn−1 (6.5)

Lema 6.4. (De Giorgi) Sejam f ∈ BV(BR) e 0 < ρ < r < R. Então

∫

Br−Bρ

∣∣∣∣⟨x

|x|n, Df

⟩∣∣∣∣2≤

∫

Br−Bρ

|x|1−n|Df|

r1−n

∫

BR

|Df|− ρ1−n∫

Bρ

|Df|+ (n− 1)

∫ r

ρ

t−nψ(f, t)dt

(6.6)

Proof: Suponhamos primeiro que f ∈ C1(BR) e para 0 < t < R definamos

ft(x) =

f(x) t < |x| < R

f(t x|x|

)|x| < t

Dessa forma teremos

∫

Bt

|Dft|dx =t

n− 1

∫

∂Bt

|Df|

1−

〈x,Df〉2|x|2|Df|2

12

dHn−1

e portanto

ν(f, t) =

∫

Bt

|Df|−ψ(f, t) ≤∫

Bt

|Dft| ≤

≤ t

n− 1

∫

∂Bt

|Df|dHn−1 −t

2(n− 1)

∫

∂Bt

〈x,Df〉2|x|2|Df|2

dHn−1.


e

1

2t1−n

∫

∂Bt

〈x,Df〉2|x|2|Df|

dHn−1 ≤ t1−n∫

∂Bt

|Df|dHn−1−

−(n− 1)t−n∫

∂Bt

|Df|dx+ (n− 1)t−nψ(f, t) =

=d

dt

(t1−n

∫

∂Bt

|Df|dx

)+ (n− 1)t−nψ(f, t).

Agora ao integrarmos por partes com respeito a t entre ρ e r teremos

1

2

∫

Br−Bρ

〈x,Df〉2|x|n+1|Df|

dx ≤ r1−n∫

BR

|Df|dx− ρ1−n∫

Bρ

|Df|dx+ (n− 1)

∫ r

ρ

t−nψ(f, t)dt

Em contrapartida, da Desigualdade de Cauchy-Schwartz vem que

∫

Br−Bρ

|〈 x|x|n

, Df〉|dx2≤

∫

Br−Bρ

|x|1−n|Df|dx

∫

Br−Bρ

〈x,Df〉2|x|n+1|Df|

dx

e dessa forma a sentença (6.6) se verifica para f ∈ C1(BR)Agora suponha que f ∈ BV(BR); então pelas Observações (3.5) e (3.6) podemos

aproximar f por funções fk de classe C1 tais que para quase todo t teremos

∫

Bt

|Dfk|dx→∫

Bt

|Df| e

∫

∂Bt

|f− fk|dHn−1 → 0.

Ao escrevermos a sentença (6.6) para as funções fk e observando que, pelo Lema (6.3),

ψ(fk, t) → ψ(f, t), vê-se que a sentença (6.6) se verifica para f ∈ BV(BR) e quase todo

ρ, r. A fim de verificar a validade da sentença (6.6) para todo ρ e r basta utilizar um

argumento de aproximação via sequências não-decrescentes ρj → ρ e rj → r, e, isso

finaliza nossa demosntração.

Nota 6.2. Com um argumento de aproximação análogo ao apresentada acima, utilizado

com sequências decrescentes a r e ρ respectivamente podemos obter a sentença (6.6) para

os conjuntos Br, Bρ ao invés de Br, Bρ.

Observação 6.5. Da sentença (6.6) segue que para todo ρ < r tem-se,

ρ1−n∫

Bρ

|Df| ≤ r1−n∫

BR

|Df|+ (n− 1)

∫ r

ρ

t−nψ(f, t)dt (6.7)


Em particular, se ψ(f, r) = 0, então

ρ1−n∫

Bρ

|Df| ≤ r1−n∫

BR

|Df| (6.8)

Portanto ρ1−n∫

Bρ

|Df| é uma função não-decrescente na variável ρ

Lema 6.5. Sejam f ∈ BV(BR) e 0 < ρ < r < R, então

∫

Br−Bρ

|x|1−n|Df| ≤1+ (n− 1)log

r

ρ

r1−n

∫

Br

|Df|+(n−1)2∫ r

ρ

s−nlogs

ρψ(f, s)ds (6.9)

Proof: Como usualmente estamos procedendo é suficiente provarmos a sentença (6.9)

para funções f ∈ C1(BR), pois o caso geral segue via um argumento de aproximação.

Vejamos que para f ∈ C1(BR) teremos

∫

Br−Bρ

|x|1−n|Df|dx =

∫ r

ρ

t1−n(∫

∂Bt

|Df|dHn−1

)dt =

∫ r

ρ

t1−nη′

(t)dt

onde η(t) =∫

∂Bt

|Df|dx. Ao integramos por partes e estimando a mesma obteremos

∫ r

ρ

t1−nη′

(t)dt ≤ r1−n∫

Br

|Df|dx+ (n− 1)

∫ r

ρ

t−n(∫

∂Bt

|Df|dx

)dt

Ao estimarmos agora esta última integral obteremos o resultado desejado. De fato,

t−n∫

Bt

|Df|dx ≤ t−1r1−n

∫

Br

|Df|dx+ (n− 1)

∫ r

t

s−nψ(f, s)ds

o qual segue de (6.7) e portanto

∫ r

ρ

t−ndt

∫

Bt

|Df|dx ≤ r1−n log rρ

∫

Bt

|Df|dx+ (n− 1)

∫ r

ρ

dt

t

∫ r

t

s−nψ(f, s)ds =

r1−n logr

ρ

∫

Br

|Df|dx+ (n− 1)

∫ r

ρ

s−n logs

ρψ(f, s)ds.

do qual a sentença (6.9) segue diretamente ao juntarmos estas duas últimas desigualdades.


Proposição 6.1. (De Giorgi) Sejam f ∈ BV(BR) e 0 < ρ < r < R, então

∣∣∣∣r1−n

∫

Br

Df− ρ1−n∫

Bρ

Df

∣∣∣∣2

≤2r1−n

(1+ (n− 1)log

r

ρ

) ∫

Br

|Df|+

+2(n− 1)2∫ r

ρ

s−nlogs

ρψ(f, s)ds

r1−n

∫

Br

|Df|− ρ1−n∫

Bρ

|Df|+ (n− 1)

∫ s

ρ

s−nψ(f, s)ds

(6.10)

Proof: A sentença (6.10) é uma consequência imediata das sentenças (6.1), (6.6) e

(6.9), bastando para tanto notar que da Observação (3.6) temos,

∫

Bt

Df =

∫

∂Bt

f−(x)x

|x|dHn−1 = t1−n

∫

∂B1

f−(tx)xdHn−1

e portanto

∣∣∣∣r1−n

∫

Br

Df− ρ1−n∫

Bρ

Df

∣∣∣∣ ≤∫

∂B1

|f−(rx) − f−(ρx)|dHn−1

Observação 6.6. Um caso particular de nosso interesse é quando f = χE e E é um

conjunto de fronteira minimizante em BR, isto é, ψ(E, R) = 0. Nesta caso temos

∫

∂B1

|χ−E (ρx) − χ−E (rx)|dHn−1

2≤

∫

Br−Bρ

|〈 x|x|n

, DχE〉|2

≤ 2∫

Br−Bρ

|x|1−n|DχE|

r1−n

∫

Br

|DχE|− ρ1−n

∫

Bρ

|DχE|

(6.11)

logo para ρ < r < R,

ρ1−n∫

Bρ

|DχE| ≤ r1−n∫

Br

|DχE| (6.12)

Além disso,

∣∣∣∣r1−n

∫

Br

DχE − ρ1−n

∫

Bρ

DχE

∣∣∣∣2

≤

≤ 2(1+ (n− 1)log

r

ρ

)r1−n

∫

Br

|DχE|

r1−n

∫

Br

|DχE|− ρ1−n

∫

Bρ

|DχE|

(6.13)

Agora escolha 0 < s < r < R e considere os conjuntos E− Bs e E ∪ Bs. Pela definição de

ψ(E, R) temos

Per(E− Bs, Br) =

∫

Br

|DχE−Bs | ≥∫

Br

|DχE| e P(E ∪ Bs, Br) =∫

Br

|DχE∪Bs | ≥∫

Br

|DχE|


Das sentenças (3.21), (3.22) da Observação (3.7) segue que

Per(E− Bs, Br) = Per(E, Br − Bs) +Hn−1(∂Bs ∩ E)

e

Per(E ∪ Bs, Br) = Per(E, Br − Bs) +Hn−1(∂Bs ∩ (Rn − E))

para quase todo s < r. Assim,

Per(E, Br) ≤ Per(E, Br − Bs) +minHn−1(∂Bs ∩ E),Hn−1(∂Bs ∩ (Rn − E)) ≤

≤ Per(E, Br − Bs) +1

2nsn−1wn.

para quase todo s. Agora se escolhermos uma sequência sj tal que a desigualdade acima

se verifica e sj → s quando j→ ∞, obteremos

∫

Br

|DχE| = ν(E, r) ≤1

2nrn−1wn. (6.14)

Se usarmos isso em (6.13) teremos

∣∣∣∣r1−n

∫

BR

DχE − ρ1−n

∫

Bρ

DχE

∣∣∣∣2

≤ nwn(1+ (n− 1)log

r

ρ

)

r1−n

∫

Br

|DχE|− ρ1−n

∫

Bρ

|DχE|

(6.15)

E se tomarmos ρ→ 0 em (6.12) e relembrando (4.18) teremos

wn−1rn−1 ≤

∫

B(x,r)

|DχE| (6.16)

para todo x ∈ ∂∗E e portanto, sendo ∂E = ∂∗E, a sentença (6.16) segue para todo x em

∂E por aproximação (densidade).

Uma desigualdade similar se verifica para o volume de E ∩ B(x, r)

Proposição 6.2. Suponha que ψ(E,Ω) = 0 e tome x0 ∈ E. Então para todo r <

dist(x0, ∂E) teremos:

|E ∩ B(x0, r)| ≥rn

2nc1(n)(6.17)

onde c1(n) é a constante isoperimétrica do Corolário (2.1).


Proof: Ao tomarmos ρ < dist(x0, ∂Ω) teremos

∫

Ω

|DχE| ≤∫

Ω

|Dχ(E−Bρ)|

e dessa forma ∫

Ω

|DχE| ≤∫

∂Bρ

χEdHn−1

Em contrapartida para quase todo ρ segue que

∫

Ω

|Dχ(E∩Bρ)| =

∫

Ω

|DχE|+

∫

∂Bρ

χEdHn−1

e portanto, ao tomarmos Eρ = E ∩ Bρ teremos

∫

Ω

|DχEρ | ≤ 2∫

∂Bρ

χEdHn−1 = 2d

dρ|Eρ|.

Ao nos utilizarmos da Desigualdade Isoperimétrica (2.13) teremos

d

dρ|Eρ| ≥

1

2c1(n)|Eρ|

n−1n

e integrando vem que

|Er| ≥rn

2nc1(n)

Observação 6.7. A proposição acima descreve (estima inferiormente) em função do raio

de B(x0, r) o “volume” (medida) de E ∩ B(x0, r).

Observação 6.8. Analogamente, dado que Ω− E também minimiza perímetro em Ω, se

x0 ∈ ∂E teremos por homogeneidade

a|Br| ≤ |Er| ≤ (1− a)|Br| (6.18)

com a−1 = 2nwnc1(n). Como Er = E ∩ Br a Proposição (6.2) e a Observação (6.8)

moralmente expressam que sendo E conjunto minimal então seus pontos terão densidade

positiva.

Capítulo 7

Aproximação de conjuntos minimais

Conteúdo

7.1 O Lema de decaimento de De Giorgi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7.1.1 O Desvio de Planridade (Flatness) - O excesso de área . . . . . . . . . . 114

7.1.2 A Filosofia do Lema de Decaimento de De Giorgi . . . . . . . . . . . . 120

7.2 Superfícies Mínimas e Harmônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7.2.1 Comentários sobre Espaços de Campanato . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7.2.2 O lema de decaimento de De Giorgi para superfícies harmônicas . . . . . 122

7.3 Aproximação de conjuntos de Caccioppoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Uma das mais importantes ferramentas na Teoria de Regularidade de conjuntos

minimais é o Lema devido a Ennio De Giorgi, Lema de decaimento de De Giorgi. Um Lema

dessa espécie está intrinsecamente ligado a vários resultados (Teoremas de regularidade),

onde em geral sua demonstração se dá via argumentos de contradição, como fora feito

originalmente no paper de De Giorgi [53]. Além disso, um resultado similar a esse está

entre as mais importantes ferramentas em Teoria de regularidade para correntes quase

mínimas (almost minimal currents) e varifolds, veja [100],[101], onde a demonstração é

ainda obtida via argumento de contradição, e [102] onde uma demonstração mais direta

é desenvolvida.

CAPÍTULO 7. APROXIMAÇÃO DE CONJUNTOS MINIMAIS 114

7.1 O Lema de decaimento de De Giorgi

Lema 7.1. (Lema de decaimento de De Giorgi) Para todo n ≥ 2 e 0 < α < 1,existe

uma constante positiva σ = σ(n,α) tal que , se E ⊂ Rn for um conjunto de Caccioppoli

e para algum ρ > 0,ψ(E, ρ) = 0,

∫

Bρ

|DχE|−

∣∣∣∣∫

Bρ

DχE

∣∣∣∣ < σ(n,α)ρn−1,

então

(CDG)

∫

Bαρ

|DχE|−

∣∣∣∣∫

Bαρ

DχE

∣∣∣∣ < αn

(∫

Bρ

|DχE|−

∣∣∣∣∫

Bρ

DχE

∣∣∣∣)

Esclarecemos que a demonstração deste somente será exposta no capítulo 8 que trata

de Regularidade de Superfícies Mínimas.

7.1.1 O Desvio de Planridade (Flatness) - O excesso de área

Vejamos uma interpretação geométrica do Lema de Decaimento de De Giorgi: Se

definirmos

Λ(E, ρ) = ρn−1∫

Bρ

|DχE|−

∣∣∣∣∫

Bρ

DχE

∣∣∣∣

e o denotarmos por Excesso de área de E em Bρ, ao nos utilizarmos das propriedades

da fronteira reduzida teremos

Λ(E, ρ) = ρn−1Hn−1(Bρ ∩ ∂∗E) −

∣∣∣∣∫

Bρ∩∂∗Eν(x)dHn−1

∣∣∣∣,

isso nos mostra que o valor Λ(E, ρ) é a medida de quanto o vetor normal varia e por

conseguinte o Lema de De Giorgi nos informa sobre tal variação, com efeito a Condição

de De Giorge (CDG) exige que tal variação, Λ(E, ρ), seja menor do que uma constante

suficientemente pequena σ(n,α). Tais resultados sobre vetores normais já nos foram úteis,

como por exemplo no Teorema de Regularidade de Hipersuperfícies (Teorema (5.3.1)).

Justamente como ψ(f,Ω) era um “índice de minimalidade”, asssimΛ(E, ρ) é um “índice

de planaridade” (ser suave localmente - flatness): claramente se ∂E é plano na vizinhança

de qualquer um de seus pontos (assim poderemos assumir que ∂∩BT = x ∈ BT ; xn = 0),

então Λ(E, ρ) =∫

BT

|DχE|−

∫

BT

DnχE = 0


Figura 7.1:

Reciprocamente, se 0 ∈ ∂E e Λ(E, ρ) = 0, então sob uma escolha de um sistema

referencial adequado teremos∫

BT

DiχE = 0 quando i = 1, ...n− 1; e∫

BT

DnχE ≥ 0

e segundo o que já fora estudado

0 <

∫

∂∗E∩BTdHn−1 =

∫

BT

DχE =

∫

BT

DnχE =

∫

∂∗E∩BTνnEdHn−1

Consequentemente, νnE = 1 Hn−1− quase sempre em ∂∗E ∩ BT o que implica

∂ ∩ BT = x ∈ BT ; xn = 0.

Vejamos alguns exemplos ilustrativos

Exemplo 7.1. i. Para o cone E = (x1, x2); |x1| < |x2| ⊂ R2 temos

ψ(E, 0, ρ) = 2(2−√2)

Λ(E, 0, ρ) = 4.

Figura 7.2:


ii. Para o Cone de Simons C = x21 + ...+ x24 < x

25 + ...+ x

28 ⊂ R8 temos

ψ(C, 0, ρ) = 0

Λ(C, 0, ρ) = const. > 0

iii. Para o epigrafo1 E = (x1, x2); x2 > |x1|1+α ⊂ R2, com 0 ≤ α ≤ 1 teremos

ψ(E, 0, ρ) = Λ(E, 0, ρ) ∼ c(α)ρ2α.

Figura 7.3: Epigrafo

A próxima proposição mostrará que alguns dos aspectos exibidos pelos exemplos

precedentes são na realidade de caráter geral, mais precisamente

Proposição 7.1. Para todo conjunto de Caccioppoli E ⊂ Rn tem-se

0 ≤ ψ(E, x, ρ) ≤ Λ(E, x, ρ) ≤ ρ1−n∫

B(x,ρ)

|DχE| ∀x ∈ Rn, ρ > 0. (7.1)

Além disso,

Λ(E, x, ρ) = o(1) ∀x ∈ ∂∗E. (7.2)

Proof: Sejam B = B(x, ρ) uma bola n−dimensional arbitrária e F tal que F E ⊂⊂ B.

Então

χE(B) =

∫

∂E

χE(y)(y− x)ρ−1dHn−1(y) =

∫

∂B

χF(y)(y− x)ρ−1dHn−1(y) = DχF(B)

de onde se obtem

∫

B

|DχE|−

∣∣∣∣∫

B

DχE

∣∣∣∣ =∫

B

|DχE|−

∣∣∣∣∫

B

DχF

∣∣∣∣ ≥∫

B

|DχE|−

∫

B

|DχF|

1O epigrafo de ϕ é o conjunto

epi(ϕ) = [x, λ] ∈ Rn × R;ϕ(x) ≤ λ


e dessa forma (7.1) segue imediatamente.

Agora recordemos que x ∈ ∂∗E se, e somente se,

∫

B(x,ρ)

|DχE| > 0 ∀ ρ > 0 (7.3)

νE(x) = limρ→0

νρ(x) existe (7.4)

onde νρ =

∫

B(x,ρ)

DχE

∫

B(x,ρ)

|DχE|

e

|νE(x)| = 1 (7.5)

quando é este o caso, temos além disso

∫

B(x,ρ)

|DχE| ∼ wn−1ρn−1 (7.6)

A conclusão de (7.2) é então clara uma vez que

Λ(E, x, ρ) = ρ1−n∫

B(x,ρ)

|DχE|

1−

∣∣∣∣∫

B(x,ρ)

DχE

∣∣∣∣∫

B(x,ρ)

|DχE|

(7.7)

Acabamos de averiguar que sendo x ∈ ∂∗E ter-se-á Λ(E, x, ρ) → 0 quando ρ → 0. É

natural nos perguntarmos: Quando a recíproca é verdadeira? Mais precisamente, sob que

hipóteses adicionais faremos sobre o caráter infinitesimal do excesso a fim de que um dado

ponto de fronteira implique a existência de um vetor “normal” νE nesse referido ponto?

Comecemos nossa análise por considerar um simples contraexemplo:

Exemplo 7.2. Seja E = (x1, x2, x3); x3 >√r ⊂ R3, com r =

√x21 + x

22

Figura 7.4:

Então 0 ∈ ∂E, e


∫

Bρ

|DχE| = 2π

∫ r(ρ)

0

√r(1+

1

4r)dr

∫

Bρ

|D1χE| =

∫

Bρ

|D2χE| = 0,

∫

Bρ

|D3χE| = πr2(ρ).

com r(ρ) = 12√1+ 4ρ2 − 1. Uma checagem imediata fornece que

Λ(E, 0, ρ) = ρ−2

2π

∫ r(ρ)

0

√r(1+

1

4r)dr− πr2(ρ)

→ 0 quando ρ→ 0, (7.8)

e que existe

νE(0) = limρ→0+

∫

Bρ

DχE

∫

Bρ

|DχE|

(7.9)

Portanto, |νE(0)| = 0 implica que 0 /∈ ∂∗E. E seguirá de (7.7), (7.8) e (7.9) que

limρ→0

ρ−2∫

Bρ

|DχE| = 0

o qual pode ser comprovado com um checagem direta.

Agora iremos supor x ∈ ∂E e que (diferentemente ao que fora solicitado no exemplo

precedente) ∫

B(x,ρ)

|DχE| ≥ c1ρn−1 ∀ ρ ∈ (0, T) (7.10)

com c1 > 0. De fato todo conjunto minimal satisfaz (7.10).

Segue de (7.7), (7.10) que se Λ(E, x, ρ) = o(1) e νE(x) existe, então o mesmo terá

comprimento unitário, e consequentemente x ∈ ∂∗E. Na ordem de assegurarmos a

existência de νE(x) nos utilizaremos da seguinte desigualdade

∣∣∣∣∣∣∣∣

∫

G1

DχE∫

G1

|DχE|

−

∫

G2

DχE∫

G2

|DχE|

∣∣∣∣∣∣∣∣≤

√√√√√Λ(E,G2)∫

G1

DχE

(7.11)

a qual se verifica ∀G1 ⊂ G2 ⊂ Rn com∫

G1

|DχE| > 0

De (7.10) e (7.11) deduzimos que


∣∣∣∣∣∣∣∣

∫

B(x,s)

DχE

∫

B(x,s)

|DχE|

−

∫

B(x,ρ)

DχE

∫

B(x,ρ)

|DχE|

∣∣∣∣∣∣∣∣≤ 2c−

12

1

√(ρs

)n−1Λ(E, x, ρ) (7.12)

para todo s, ρ tais que 0 < s < ρ < T.

Consideremos agora a situação abstrata na qual uma dada função

ν : (0, T) → B1 ⊂ Rn satisfaz

|ν(s) − ν(ρ)| ≤√(ρ

s

).g(ρ) ∀s, ρ; 0 < s < ρ < T, (7.13)

com g(ρ) = o(1). Note que (7.12) é um caso especial de (7.13).

Exemplo 7.3. Um cálculo simples mostra que a função

ν(ρ) =

(sin

(log

(log

(e

ρ

))), cos

(log

(log

(e

ρ

)))), 0 < ρ < 1

satisfaz (7.13) com T = 1, n = 2 e g(ρ) =√2

log( eρ)

= o(1).

A condição (7.13) implica a existência daquele limite, desde que tenhamos uma

hipótese “quantitativa” razoável, observada segundo a convergência de g(ρ) a 0. Este

é o caso, por um instante quando g(ρ) ≤ cρα, α > 0.Deduzimos das considerações precedentes que quando o conjunto E, o ponto x ∈ ∂E,

e os raios T > 0 são tais que:

i.

∫

B(x,ρ)

|DχE| ≥ c1ρn−1 ∀ρ ∈ (0, T), com c1 > 0, e

ii. Λ(E, x, ρ) → 0 quando ρ → 0 em algum “modo controlado”, (por exemplo, assim

como ρ2α),

então x ∈ ∂∗E.


7.1.2 A Filosofia do Lema de Decaimento de De Giorgi

Retornemos a discussão referente ao Lema de decaimento de De Giorgi. Para a

demonstração do Lema (Lema de decaimento de De Giorgi) começemos observando que

se E ∩ Bρ pode ser escrita como

E ∩ Bρ = (x, t); x ∈ A, t > f(x) ∩ Bρ

onde f ∈ C1(A) e A ⊆ Rn−1, então

∫

Bρ

|DχE| =

∫

A

√1+ |Df|2dx

Portanto nosso problema se resume agora em minimizar a integral do membro direito

sobre todas as funções f ∈ C1(A). Prosseguindo teremos que se |Df| é “pequeno”, isto é,

∂E seria quase plano em Bρ, então√1+ |Df|2 é aproximadamente igual a 1 + 1

2|Df|2 e

assim f deve quase minimizar o funcional “energia” I(f) =∫

A

|Df|2dx, então pelo Teorema

de Riemann (Veja Apêndice) segue que f deve ser quase harmônica. Contudo, segundo

o Lema (7.2) abaixo, as estimativas como aqueles do Lema de Gioegi estão disponíveis

para funções harmônicas e por isso a idéia da prova consiste no seguinte: Admita que

∂E ∈ C1 e quase plano. Então através de aproximação com funções harmônicas provamos

uma desigualdade como no Lema de De Giorgi. Mas, se ∂E /∈ C1 então aproximaremos

a mesma por superfícies as quais são C1, mas não são mínimas, somente próximo de

mínimas.

Deve ser salientado o quanto é indispensável a obtenção de estimativas para funções

harmônicas que se aproximam via seqüências de superfícies tendendo a um mínimo,

seja isso em algum sentido a ser ainda devidamente esclarecido e discutido. Da mesma

forma será também importante obtermos um técnica de aproximar via hipersuperfícies C1

quaisquer superfícies mínimas dada a priori , e, em seguida, obter estimativas de como as

mesmas se comportam.


7.2 Superfícies Mínimas e Harmônicas

7.2.1 Comentários sobre Espaços de Campanato

Dados Ω ⊂ Rn aberto e limitado, p ≥ 1, λ ≥ 0; diremos que u ∈ Lp,λ(Ω) se e somente

se

u ∈ Lp(Ω) e supx∈Ω

ρ−λ

∫

Ω∩Bρ(x)|u− ux,ρ|

pdy <∞; 0 < ρ < diam(Ω)

onde ux,ρ (também denotado ux,ρ é a média de u em Bρ(x))

ux,ρ = ux,ρ =1

|Bρ(x)|

∫

Bρ(x)

u(y)dy.

Um fato básico sobre Espaços de Campanato é que u ∈ Lp,λ(Ω) é isomorfo ao Espaço

de Hölder C0,λ−np , desde que λ ∈ (n,n+p] e ∂Ω satisfaz um condição de regularidade (por

exemplo ∂Ω é localmente Lipschitz). (Veja por exemplo Giusti [81], Capítulo 4. Teorema

1.6).

Para conveniência do Leitor relembraremos uma propriedade elementar das médias:

se A ⊂⊂ Rn , u ∈ L2(A), e uA = |A|−1∫

A

udx, então

∫

A

|u− uA|2dx =

∫

A

(|u|2 − |uA|2)dx ≤

∫

A

|u− λ|2dx ∀ λ ∈ R. (7.14)

juntamente com alguns fatos simples sobre funções harmônicas: se B = Bx,R ⊂ Rn, u ∈C1(B), e v é a função harmônica associada com u em B, isto é, satisfazendo

∆v =

n∑

i=1

vxixi = 0, em B

v = u, em ∂B.

(7.15)

então,

∫

B

〈Du,Dv〉dy =

∫

B

|Dv|2dy ≤∫

B

|Du|2dy (7.16)

∫

B

|Du−Dv|2dy =

∫

B

(|Du|2 − |Dv|2)dy (7.17)

Dux,R = Dvx,r ∀r ∈ (0, R] (7.18)


r−(n+2)

∫

Bx,r

|Dv− Dvx,r|2dy (7.19)

é uma função não-decrescente de r ∈ (0, R).

As asserções (7.16) a (7.18) são consequências do clássico Teorema de Gauss-Green.

Enquanto que para (7.19) observermos que qualquer solução fraca w de uma equação

diferencial parcial elíptica homogênea com coeficientes constantes

aijwxixj = 0

satisfaz ∫

Bs

|w− ws|2 ≤ c1

(st

)n+2 ∫

Bt

|w− wt|2

para uma constante c1 adequada (dependendo da constante de eliticidade e da dimensão),

e para todo s, t tais que 0 < s < t (Para mais detalhes e informações consulte Giusti [81],

Capítulo 4, Lema 2.2).

O fato que c1 = 1 quando w é uma função harmônica requer uma atenção adicional:

sua prova em geral é baseada em um clássico resultado acerca de aproximação de funções

harmônicas por meio de polinômios harmônicos homogêneos (como em De Giorgi [53],

veja também Umberto-Miranda [26] 2.5.2, Proposição 1).

Vejamos agora duas desigualdades algébricas elementares

a2 − b2 ≤ 2√1+ b2.

[√1+ a2 −

√1+ b2

]+

(a2 − b2)2

4(7.20)

a2 − b2 ≤ 2√1+ b2.

[√1+ a2 −

√1+ b2

](7.21)

ambas as sentenças acima válidas para todo a, b ∈ R (a prova consiste em técnicas de

cálculo diretamente).

7.2.2 O lema de decaimento de De Giorgi para superfícies

harmônicas

Vejamos agora um análogo do Lema de De Giorgi para funções harmônicas

Lema 7.2. (De Giorgi) Sejam Bρ ⊆ Rm e u ∈ C1(Bρ) harmônica em Bρ, isto é,m∑

i=1

∂2u(x)

∂x2i= 0 para x ∈ Bρ e seja

q =1

|Bρ|

∫

Bρ

Dudx.


Então para todo 0 < α < 1,

∫

Bαρ

(|Du|2 − |q|2)dx ≤ αm+2

∫

Bρ

(|Du|2 − |q|2)dx (7.22)

Proof: Um clássico resultado acerca de funções harmônicas assegura que a função

harmônica u pode ser escrita como uma soma (possivelmente infinita) de polinômios

harmônicos homogêneos ortogonais. Assim,

i. u =∑

i≥0Vi uniformenmente em Bρ.

onde Vi é um polinômio harmônico de grau i,

ii.

∫

Bαρ

〈DVj, DVk〉dx =∫

Bρ

〈DVj, DVk〉dx = 0, se k 6= j, pela homogeneidade e

iii.

∫

Bαρ

DVjdx =

∫

Bρ

DVjdx = 0 se j ≥ 2

Vejamos uma prova para as asserssões (ii) e (iii) acima

(ii) Para j 6= k, dado que Vj e Vk são homogêneos de graus j e k respectivamente,

segue do Teorema da Divergência que

∫

Bρ

〈DVj, DVk〉 =∫

∂Bρ

VjdVk

d|x|dHm−1 =

∫

∂Bρ

VkdVj

d|x|dHm−1

Mas, a k−homogeneidade de Vk fornece

dVk

d|x|= |x|−1

m∑

i=1

xiDiVk = |x|−1kVk,

e, a j−homogeneidade de Vj fornece

dVj

d|x|= |x|−1

m∑

i=1

xiDiVj = |x|−1kVj,

Portanto,

∫

Bρ

〈DVj, DVk〉dx = ρ−1k∫

∂Bρ

VjVkdHm−1 = ρ−1j

∫

∂Bρ

VjVkdHm−1.

Para j 6= k obtemos então

∫

Bρ

〈DVj, DVk〉dx = 0

Similarmente temos para todo α ∈ (0, 1) e j 6= k


∫

Bαρ

〈DVj, DVk〉dx = 0

(iii)As primeiras derivadas de Vj são polinômios homogêneos de grau j − 1 e

harmônicos, temos então para j ≥ 2∫

Bρ

DVjdx = wmρmDVj(0) = 0

e similarmente para todo α ∈ (0, 1) e j ≥ 2∫

Bαρ

DVjdx = wm(αρ)mDVj(0) = 0

Portanto q = DV1 e assim

∫

Bαρ

(|Du|2 − |q|2)dx =∑

j≥2

∫

Bαρ

|DVj|2dx =

∑

j≥2αm+2j−2

∫

Bρ

|DVj|2dx.

Mas,

∑

j≥2

∫

Bρ

|DVj|2dx =

∫

Bρ

(|Du|2 − |q|2)dx

então ∫

Bαρ

(|Du|2 − |q|2)dx ≤ αm+2

∫

Bρ

(|Du|2 − |q|2)dx

O próximo passo agora será mostrar que se possuirmos uma sequência de funções de

classe C1 cujos gradientes tendem a zero e as quais não diferem muito da função harmônica

que lhe é correspondente (no sentido que as áreas das superfícies definidas são próximas)

então poderemos provar uma deseigualdade similar a (7.22).

Lema 7.3. (De Giorgi) Sejam wj uma sequência em C1(Bρ), e βj uma sequência de

números reais positivos. Para j ∈ N seja uj a função harmônica em Bρ tal que uj = wj

em ∂Bρ, e, para qualquer função f ∈ C(Bρ) e qualquer r ≤ ρ, seja

fr =1

|Br|

∫

Br

fdx

a média de f em Br. Suponha que

limj→∞

supBρ

|Dwj| = 0, (7.23)

CAPÍTULO 7. APROXIMAÇÃO DE CONJUNTOS MINIMAIS 125∫

Bρ

√1+ |Dwj|2 −

√1+ |Dwjρ|2

dx ≤ βj, (7.24)

lim supj→∞

β−1j

∫

Bρ

√1+ |Dwj|2 −

√1+ |Duj|2

dx = 0. (7.25)


lim supj→‘∞

β−1j

∫

Bαρ

√1+ |Dwj|2 −

√1+ |Dwjαρ|2

dx ≤ αm+2. (7.26)

Proof: Da expansão em Série de Taylor de√1+ x sobre B2 temos

√1+A2 −

√1+ B2 −

(A2 − B2)

2√1+ B2

= −(A2 − B2)2

8(1+ ξ2)32

para algum ξ ∈ (A,B). Logo,

√1+A2 −

√1+ B2 ≤ (A2 − B2)

2√1+ B2

(7.27)

e, se B2 < 1 tem-se

√1+A2 −

√1+ B2 −

(A2 − B2)

2√1+ B2

≥ −(A2 − B2)2

2√1+ B2

(7.28)

Da equação (7.27) obtemos

∫

Bαρ

√1+ |Dwj|2 −

√1+ |Dwjαρ|

2

dx ≤ 1

2√

1+ |Dwjαρ|2

∫

Bαρ

[|Dwj|2−|(Dwj)αρ|

2]dx

(7.29)

Utilizando a definição dos Dwjαρ segue que

∫

Bαρ

[|Dwj|2 − |Dwjαρ|

2]dx =

∫

Bαρ

|Dwj − Dwjαρ|2dx ≤

∫

Bαρ

|Dwj − Dwjρ|2dx

e assim

lim supj→∞

β−1j

∫

Bαρ

√1+ |Dwj|2 −

√1+ |Dwj|2

dx ≤

≤ 1

2lim sup

j→∞

β−1j

∫

Bαρ

|Dwj − |Dwjρ|2dx.

(7.30)

Agora estimaremos o lado direito da equação (7.30). Vejamos que se A,B,C ∈ Rm,

então ao combinarmos a desigualdade triangular com a desigualdade de Cauchy com ε

seguirá que


|A− B|2 ≤(1+

1

ε

)|A− C|2 + (1+ ε)|B− C|2 ∀ ε > 0.

Portanto, para ε > 0 segue ao utilizarmos a desigualda acima que,

∫

Bαρ

|Dwj− |Dwjρ|2dx ≤

(1+

1

ε

) ∫

Bαρ

|Dwj−Duj|2dx+(1+ ε)

∫

Bαρ

|Duj− Dwjρ|2dx

(7.31)

Pela propriedade das funções harmônicas

Dujαρ = Dujρ = Dwjρ

e portanto segue do Lema (7.2) que,

∫

Bαρ

|Duj − Dwjρ|2dx ≤ αm+2

∫

Bρ

|Duj − Dwjρ|2dx

Além disso,

∫

Bρ

|Duj − Dwjρ|2dx ≤ (1+ ε)

∫

Bρ

|Dwj − Dwjρ|2dx+

(1+

1

ε

) ∫

Bρ

|Dwj −Duj|2dx

e assim segue que (7.31) que

∫

Bαρ

|Dwj − Dwjρ|2dx ≤ αm+2(1+ ε)2

∫

Bρ

|Dwj − Dwjρ|2dx+Q

∫

Bρ

|Dwj −Duj|2dx

(7.32)

onde Q = Q(ε, α,m)

Utilizaremos agora as sentenças (7.23), (7.24) e (7.25) para estimar o segundo termo

no lado direito da sentença (7.32). Assim, de (7.28) segue que

∫

Bρ

√1+ |Dwj|2 −

√1+ |Dwjρ|2

dx ≥

≥ 1

2√

1+ |Dwjρ|2

∫

Bρ

(|Dwj|2 − |Dwjρ|

2)dx−

∫

Bρ

(|Dwj|2 − |Dwjρ|

2)2dx

Mas,

(|Dwj|2 − |Dwjρ|

2)2 ≤ |Dwj − Dwjρ|2(sup

Bρ

|Dwj|+ |Dwjρ|)2 = mj|Dwj − Dwjρ|

2


e dessa forma

∫

Bρ

√1+ |Dwj|2 −

√1+ |Dwjρ|2

dx ≥ 1−mj

2√

1+ |Dwjρ|2

∫

Bρ

(|Dwj|2 − |Dwjρ|

2)dx

(7.33)

Das sentenças (7.33), (7.23) e (7.24) deduzimos que

lim supj→∞

β−1

∫

Bρ

(|Dwj|2 − |Dwjρ|

2)dx ≤ 2 (7.34)

Em contrapartida de sentença (7.27) segue que

∫

Bρ

(|Dwjρ|2 − |Duj|

2|)dx ≤ 2√

1+ |Dwjρ|2∫

Bρ

(√1+ |Dwjρ|2 −

√1+ |Duj|2

)dx

Ao compararmos esta com (7.33) e observando que u é harmônica segue que

∫

Bρ

|Dwj −Duj|2|dx =

∫

Bρ

(|Dwj|2 − |Duj|

2|)dx,

Logo concluímos que

∫

Bρ

|Dwj −Duj|2dx ≤ 2

√1+ |Dwjρ|2

[∫

Bρ

(√1+ |Dwj|2 −

√1+ |Duj|2

)dx+

+mj

1−mj

∫

Bρ

(

√1+ |Dwj|2 −

√1+ |Dwjρ|2)dx

]

Portanto,

limj→∞

∫

Bρ

|Dwj −Duj|2dx = 0

Tal fato juntamente com as sentenças (7.34), (7.32) e (7.30) nos fornece que

lim supj→∞

β−1

∫

Bαρ

[√1+ |Dwj|2 −

√1+ |Dwjαρ|2

]dx ≤ (1+ ε)2αm+2

Finalmente a conclusão do Lema se dá ao tomarmos ε → 0 na sentença acima.

O próximo lema é similar ao anterior, todavia agora iremos considerar conjuntos

determinados por funções suaves ao invés de considerar funções satisfazendo (7.25) e

substituir (7.25) pela condição a qual diz que os conjuntos tendem para um mínimo.


Se Bρ ⊂ Rm e w ∈ C(Bρ), definimos

W = (x, t); x ∈ Bρ, t < w(x),

Q = (x, t); x ∈ Bρ,minw− 1 < t < maxw+ 1.

Lema 7.4. (De Giorgi) Sejam wj uma sequência em C1(Bρ) e βj uma sequência de

números reais positivos tais que

∫

Bρ

√1+ |Dwj|2 −

√1+ |(Dwj)ρ|2

dx ≤ βρ, (7.35)

limj→∞

supBρ

|Dwj| = 0, (7.36)

limj→∞

β−1j ψ(Wj, Qj) = 0. (7.37)


lim supj→∞

β−1j

∫

Bαρ

√1+ |Dwj|2 −

√1+ |Dujαρ|2

dx ≤ αm+2. (7.38)

Proof: Denote por uj a função harmônica em Bρ a qual é igual a wj em ∂Bρ. Então

∫

Bρ

√1+ |Dwj|2 −

√1+ |Duj|2

dx ≤ ψ(Wj, Qj)

e a conclusão segue do Lema anterior (7.3).

Veremos agora outro resultado similar aos anteriores, todavia o mesmo agora se refirirá

a conjuntos de Caccioppoli, imporemos as condições apropriadas sobre tal resultados e

nos utilizaremos do lema precedente com m = n− 1.

Lema 7.5. (De Giorgi) Sejam Lj uma sequência de conjuntos de Caccioppoli em Rn,

βj uma sequência de números reais positivos e ρ > 0 tais que

∫

Bρ

|DχLj |−

∣∣∣∣∫

Bρ

DχLj

∣∣∣∣ ≤ βj, (7.39)

∂Lj ∩ Bρ uma hipersuperfcie de classe C1 e limj→∞

inf∂Lj∩Bρ

νjn = 1 (7.40)

onde νj(x) é a normal à Lj no ponto x,

limj→∞

β−1j ψ(Lj, ρ) = 0. (7.41)



lim supj→∞

β−1j

∫

Bαρ

|DχLj |−

∣∣∣∣∫

Bαρ

DχLj

∣∣∣∣≤ αn+1. (7.42)

Proof: Suponha que existam uma sequência Lj e α ∈ R para os quais as sentenças

(7.39), (7.40) e (7.41) se verificam, porém

limj→∞

β−1j

∫

Bαρ

|DχLj |−

∣∣∣∣∫

Bαρ

DχLj

∣∣∣∣> αn+1. (7.43)

Podemos supor que νjn(x) ≥ 12∀x ∈ ∂Lj ∩ B e ∀j. Pelos Teoremas (5.3.1) e (5.3.2)

concluímos que existem conjuntos abertos Aj ⊆ Rn−1 e funções de classe C1 wj : Aj → R

tais que

∂Lj ∩ Bρ = (y, t) ∈ Rn;y ∈ Aj, t = wj(y)

e pelas sentenças (5.21) e (7.40) temos que

limj→∞

supAj

|Dwj| = 0. (7.44)

Além disso, dado que supAj

|wj| ≤ ρ, podemos assumir (via argumento de subsequência,

se necessário) que

limj→∞

infAj

wj = c. (7.45)

Então teremos c2 < ρ2, ou seja, não poderemos ter c2 = ρ2. De fato, de outro modo

ocorrendo (7.44) teríamos para j suficientemente grande que ∂Lj∩Bαρ = ∅ o que contradiz

a sentença (7.43). Das sentenças (7.44) e (7.45) concluímos que para todo ε > 0 existe

um j′

ε tal que |wj − c| < ε para j > j′

ε, segue assim da definição dos wj que existe um jε

tal que se σ2 = ρ2 − c2 então

Bσ−ε ⊆ Aj ⊆ Bσ+ε para j > jε (7.46)

Do exemplo (2.6) temos

∫

(Bσ−ε×R)∩BρDχLj =

∫

∂Lj∩Bρνj(x)dHn−1 para j > jε.

Dessa forma mediante uma mudança de variável e nos utilizando da Observação (5.6)

para j > jε que,


∫

(Bσ−ε×R)∩BρDiχLj =

∫

Bσ−ε

Diwjdy i = 1, 2, ..., n− 1,

∫

(Bσ−ε×R)∩BρDnχLj = |Bσ−ε|,

∫

(Bσ−ε×R)∩Bρ|DχLj | =

∫

Bσ−ε

√1+ |Dwj|2dy.

Portanto,

√1+ |Dwjσ−ε|2 =

1

|Bσ−ε|

∫

(Bσ−ε×R)∩Bρ|DχLj |

e

∫

Bσ−ε

(√1+ |Dwj|2dy−

√1+ |Dwjσ−ε|2

)dy ≤

∫

Bρ

|DχLj |−

∣∣∣∣∫

Bρ

DχLj

∣∣∣∣ ≤ βj.

Segue pois do Lema (7.4) que para todo 0 < γ < 1,

limj→∞

supβ−1

∫

Bγ(σ−ε)

(√1+ |Dwj|2 −

√1+ |Dwjγ(σ−ε)|

2

)dy ≤ γn+1 (7.47)

Tomemos agora Cj = y ∈ Aj; (y,wj(y)) ∈ Bαρ, então raciocinando semelhantemente

a (7.46) podemos mostrar que existe um j′

ε tal que, para j > j′

ε, temos Cj ⊆ Bγ(σ+ε) e

dessa forma

∫

Bαρ

|DχLj |−

∣∣∣∣∫

Bαρ

DχLj

∣∣∣∣ ≤∫

Bα(σ+ε)

(√1+ |Dwj|2 −

√1+ |Dwjα(σ+ε)|

2

)dy

Em contrapartida se tomarmos γ = α

(σ+ ε

σ− ε

)(para ε suficientemente pequeno) na

sentença (7.47) obteremos

limj→∞

supβ−1

∫

Bαρ

|DχLj |−

∣∣∣∣∫

Bαρ

DχLj

∣∣∣∣≤

(α

(σ+ ε

σ− ε

))n+1

para todo ε suficientemente pequeno. Se fizermos ε→ 0 teremos uma contradição com a

sentença (7.43).


7.3 Aproximação de conjuntos de Caccioppoli

Nessa seção será trabalhado um Teorema similar ao Lema (7.5), contudo agora o

contexto será conjuntos de Caccioppoli arbitrários ao invés de somente conjuntos com

fronteira de classe C1. Na ordem dos fatos provaremos o teorema via aproximação

por conjuntos suaves e dessa forma precisamos detalhar as estimativas da aproximação.

Primeiramente faremos uma aproximação C1 segundo a técnica de regularização, a qual

fora introduzida no capítulo 2 deste trabalho. Não obstante, tais funções não produzem

os resultados requeridos, assim ao invés de produzirmos convoluções com regularizantes

simétricos positivos como fora feito no capítulo 2, faremos a convolução com as funções

ηε(x) =n+ 1

wnε−nmax

(1−

|x|

ε

), 0

=n+ 1

wnε−n

(1−

|x|

ε

)∨ 0.

Tem-se que a função η1 satisfaz as condições para um regularizante simétrico positivo

exceto que a mesma é meramente uma função Lipschitz contínua em vez de C∞ e spt(η1) =

B1 em vez de spt(η1) ⊆ B1. Não obstante qualquer uma das propriedades obtidas dos

regularizantes simétricos positivos são verificadas.

Nesta seção, dada uma função f ∈ L1loc(Rn) e ε > 0 denotemos

fε(x) =

∫ηε(x− y)f(y)dy

Lema 7.6. (De Giorgi) Sejam E um conjunto Boreliano, ε > 0 e χε = (χE)ε. Então χε

é uma função de classe C1 e para todo x ∈ Rn e ρ < 1n,

n2ρ2 < χε(x) < 1− n2ρ2

implica

dist(x, ∂E) ≤ (1− ρ)ε

Proof: Uma vez que ηε é uma função Lipschitz contínua e spt(ηε) ⊆ Bε, segue

imediatamente que χε é uma função Lipschitz contínua e dessa forma medianete o

Teorema de Rademacher (Veja Apêndice) a mesma é diferenciável em quase todo ponto.

Além disso, Dχε(x) =∫DηεχE(x− z)dz e dessa forma

|Dχε(x1) −Dχε(x2)| ≤ Cε∫

|z|<ε

|χE(x1 − z) − χE(x2 − z)|dz

Quando x1 → x2 a integral do lado direito da sentença acima tende a zero, seguindo

dessa forma que χε ∈ C1


Suponhamos que x ∈ Rn e tomemos d = dist(x, E). Assim,

χε(x) =

∫

E

ηε(x− y)dy =

=

∫

E−Bd

ηε(x− y)dy ≤ n(n+ 1)ε−n∫ ε

d

(1−

t

ε

)tn−1dt =

= 1− n(n+ 1)

(d

ε

)n [1

n−

d

ε(n+ 1)

].

Sed

ε≥ 1− ρ, então

χε(x) ≤ 1− n(n+ 1) (1− ρ)n

(1+ nρ

n(n+ 1)

)≤ 1− (1− ρ)

n(1+ nρ),

dodo que −n(n+ 1) ≤ −1 e 1n(n+1)

≤ 1, e pela Desigualdade de Bernoulli vem que

χε(x) ≤ 1− (1− ρ)n(1+ nρ) ≤ 1− (1− nρ)(1+ nρ) = nρ2

Assim, se χε(x) > nρ2 teremos dist(x, E) < ε(1− ρ).

Similarmente, se χε(x) > 1− nρ2 teremos dist(x,Rn − E) < ε(1− ρ).

Em qualquer dos casos acima segue o resultado desejado.

Lema 7.7. Sejam f ∈ BV(B1), τ < 1, ε > 0 e τ+ ε ≤ 1. Então,

∫

Bτ

|fε − f|dx ≤ ε∫

Bτ+ε

|Df|, (7.48)

∫

Bτ

|Dfε|−

∫

Bτ

|Df| ≤∫

Bτ+ε−Bτ

|Df| (7.49)

Proof: Como na demonstração da Proposição (2.2) podemos mostrar que

∫

Bτ

|Dfε| ≤∫

Bτ+ε

|Df|

e assim seguirá a sentença (7.49).

Vamos a demonstração da sentenaça (7.48): Dado que f ∈ C1(B1) então

|fε(x) − f(x)| ≤∫

Bε

ηε(z)|f(x− z) − f(x)|dz ≤∫

Bε

|z|ηε(z)dz

∫ 1

0

|Df(x− tz)|

e dessa forma


∫

Bτ

|fε − f|dx ≤∫

Bτ

ε

∫

Bε

ηε(z)dt

∫ 1

0

|Df(x− tz)|dt

dx

≤ ε∫

Bε

ηε(z)dz

∫ 1

0

dt

∫

Bτ+ε

|Df(y)|dy = ε

∫

Bτ+ε

|Df|dx.

A conclusão de (7.49) segue para qualquer f ∈ BV(B1) via o Teorema de Aproximação

de funções BV por funções suaves (2.5.1).

Nota 7.1. Mostrar-se-á no próximo teorema que se tivermos uma conjunto minimal cuja

função característica tem derivadas distribucionais as quais estão muito próximas de uma

direção, no sentido que ∫

B

(|DχE|−DnχE) ≤ γ,

então as funções regularizantes dos dois Lemas precedentes tem derivadas as quais obdecem

as mesmas propriedades acima referidas, ou seja, estão muito próximas de alguma direção.

Teorema 7.3.1. (De Giorgi) Seja E um conjunto de Caccioppoli satisfazendo

ψ(E, 1) = 0, (7.50)

∫

B1

(|DχE|−DnχE) ≤ γ. (7.51)

Então para cada inteiro p existe uma constante λ = λ(γ), convergindo a 0 quando γ

converge a 0, tal que, se ε = γp e

χ(x) =

∫ηε(x− y)χE(y)dy = (χE)ε,

então

inf

Dnχ(x)

|Dχ(x)|; |x| < 1− 2γ

12(n−1) e n2ρ2 < χ(x) < 1− n2ρ2

> 1− λ(γ). (7.52)

Proof: Seja σ = γ1

2(n−1) e suponha que |x| < 1 − 2σ. Mediante o fato que o conjunto

o qual estamos tomando o ínfimo é não-vazio, se n2γ2 > 12, poderemos então assumir que

γ < 1 e consequentemente ε = γp < σ. Assim,

Dnχ(x) =

∫ηε(x− y)DnχE(y)

|Dχ(x)| ≤∫ηε(x− y)|DχE(y)|


Nosso objetivo agora será estimar |Dχ(x)| − Dnχ(x) em termos de |Dχ(x)| a fim de

obter λ(γ), mas, para tanto estimaremos

∫

B(x,ε)

ηε(x− y)(|DχE(y)|−DnχE(y))

em termos de∫

B(x,ε)

ηε(x− y)|DχE(y)|.

Para maior facilidade da notação usaremos Br = B(x, r), sem de fato esquecermos

a dependência desta de x. A demonstração se resume essencialmente em utilizarmos

as técnicas empregadas nos dois Lemas precedentes e também de algumas desigualdades

(estas provenientes do capítulo 6 deste trabalho).

Seja δ ∈ (0, 12) uma constante a se determinar posteriormente. O procedimento agora

consistirá em estimar∫

B(x,ε)

ηε(x− y)(|DχE(y)|−DnχE(y)) em duas partes: na primeira

a estimativa será feita na bola Bε(1−2σ) e então posteriormente no restante de Bε

Por uma pequena alteração do Lema de Recobrimento de Vitali (3.1)(devemos observar

que nesse caso ρ permanece constante), podemos mostrar que existe um número finito de

pontos ξ1, ..., ξN ∈ ∂∗E ∩ Bε(1−2σ) tal que

B(ξi, δε) ∩ B(ξj, δε) = ∅ i 6= j

∂E ∩ Bε(1−2σ) ⊆N⋃

i=1

B(ξi, 2δε)

Então,∫

Bε

ηε(x− y)|DχE(y)| ≥N∑

i=1

∫

B(ξi,δε)

ηε(x− y)|DχE(y)| e

∫

Bε(1−2δ)

ηε(x− y)(|DχE(y)|−DnχE(y)) ≤N∑

i=1

∫

B(ξi,2δε)

ηε(x− y)(|DχE(y)|−DnχE(y))

Assim para cada i estimaremos∫

B(ξi,2δε)

ηε(x− y)(|DχE(y)|−DnχE(y)) em termos de∫

B(ξi,δε)

ηε(x− y)|DχE(y)|

Veja que na bola B(ξi, δε) a função ηε(x− y) tem

n+ 1

wnε−n.

(1− δ−

|x− ξi|

ε

)> 0

como cota inferior, e, dessa forma temos

∫

B(ξi,δε)

ηε(x− y)|DχE(y)| ≥n+ 1

wnε−n

(1− δ−

|x− ξi|

ε

) ∫

B(ξi,δε)

|DχE(y)|


Além disso, temos que, por (6.16)

∫

B(ξi,δε)

|DχE(y)| ≥ wn−1(δε)n−1.

Portanto,

∫

B(ξi,δε)

ηε(x− y)|DχE(y)| ≥ wn−1n+ 1

wnδn−1ε−1

(1− δ−

|x− ξi|

ε

)(7.53)

Em contrapartida, ao fazermos a estimativa superior de ηε(x− y) consiguiremos

∫

B(ξi,2δε)

ηε(x− y)(|DχE(y)|−DnχE(y)) ≤

≤ n+ 1

wnε−n

(1+ 2δ−

|x− ξi|

ε

) ∫

B(ξi,2δε)

(|DχE(y)|−DnχE(y))

Se utilizarmos (6.8) e o fato que σ > 2δε obteremos

∫

B(ξi,2δε)

(|DχE(y)|−DnχE(y)) ≤ (2δε)n−1σ1−n

∫

B(ξi,σ)

(|DχE(y)|−DnχE(y))+

+σ1−n∫

B(ξi,σ)

DnχE(y) − (2δε)1−n∫

B(ξi,2δε)

DnχE(y)

das sentenças (6.15), (7.51) e da hipótese de |x| < 1− 2σ temos

∫

B(ξi,2δε)

(|DχE(y)|−DnχE(y)) ≤

≤ (2δε)n−1 √γ+

√nwn

√1+ (n− 1)log

σ

2δε

(σ1−n

∫

B(ξi,σ)

|DχE(y)|−

−(2δε)1−n∫

B(ξi,2δε)

|DχE(y)|

) 12

Note agora que,

σ1−n∫

B(ξi,σ)

|DχE(y)|− (2δε)1−n∫

B(ξi,2δε)

|DχE(y)| =

= σ1−n∫

B(ξi,σ)

(|DχE(y)|−DnχE(y)) + σ1−n

∫

B(ξi,σ)

DnχE(y) − (2δε)1−n∫

B(ξi,2δε)

|DχE(y)|

Pela clássica Fórmula de Gauss-Green temos

σ1−n∫

B(ξi,σ)

DnχE(y) ≤ wn−1,


e ξi ∈ ∂∗E implica que

(2δε)1−n∫

B(ξi,2δε)

|DχE(y)| ≥ wn−1,

de onde se segue ao aplicarmos a desigualdade (7.51) que

∫

B(ξi,2δε)

(ηε(x− y)|DχE(y) −DnχE(y)) ≤

≤ n+ 1

wn2n−1δn−1ε−1

(1+ 2δ−

|x− ξi|

ε

)

√γ+

√nwn

(1+ (n− 1)log

σ

2δε

)4√γ

Ao comparmos esta com a sentença (7.53) e obsevarmos que

1+ 2δ− |x−ξi|

ε

1− δ− |x−ξi |

ε

= 1+3δ

1− δ− |x−ξi|

ε

≤ 1+ 3δ

δ= 4

teremos

∫

B(ξi,2δε)

ηε(x− y)(|DχE(y) −DnχE(y)) ≤

≤ 2n+1

wn−14√γ

4√γ+

√nwn

(1+ (n− 1)log

σ

2δε

)∫

B(ξi,δε)


Dessa forma se somarmos de i = 1 a N obteremos

∫

Bε(1−2δ)

ηε(x− y)(|DχE(y)|−DnχE(y)) ≤

≤ 2n+1

wn−14√γ

4√γ+

√nwn

(1+ (n− 1)log

σ

2δε

)∫

Bε


(7.54)

Agora faremos uma estimativa semelhante para a integral sobre o conjunto

C = Bε − Bε(1−2δ). Nesse conjunto, ηε(x − y) temn+ 1

wnε−n2δ como cota superior e

consequentemente tem-se

∫

C

ηε(x− y)(|DχE(y)|−DnχE(y)) ≤ 2∫

C

ηε(x− y)|DχE(y)| ≤

≤ 4n+ 1

wnε−nδ

∫

Bε

|DχE(y)| ≤

≤ 2n(n+ 1)ε−1δ por (6.14)

(7.55)

Até o presente momente somente havíamos usado a hipótese de |x| < 1− 2δ, contudo


agora introduziremos a hipótese de n2γ2 < χ(x) < 1− n2γ2

Podemos concluir do Lemma (7.6) a existência de ξ ∈ ∂∗E com |ξ − x| ≤ (1 − γ)ε.

Então se aplicarmos uma desigualdade triangular veremos que

B(ξ,γε

2) ⊆ B(x, (1− γε

2)ε)

, e, consequentemente ηε(x−y) temn+ 1

wnε−n

γ

2como cota inferior no conjunto B(ξ, γε

2).

Segue que

∫

Bε

ηε(x− y)|DχE(y)| ≥∫

B(ξ,γε2)

ηε(x− y)|DχE(y)| ≥n+ 1

wn

wn−1

2nγn−1ε−1

e comparando esta com (7.55),

∫

Bε

ηε(x− y)(|DχE(y)|−DnχE(y)) ≤ 2n+1nwn

wn−1δγ1−n

∫

Bε


Ao adicionarmos esse a sentença (7.54) teremos:

∫

Bε

ηε(x− y)(|DχE(y)|−DnχE(y)) ≤ λ(γ)∫

Bε

ηε(x− y)|DχE(y)| (7.56)

com

λ(γ) = 2n+1nwn

wn−1δγ1−n +

2n+1

wn−14√γ

4√γ+

√nwn

(1+ (n− 1)log

σ

2δε

)

A escolha σ = γn confere as propriedades solicitadas para λ(γ)

Observação 7.1. A última integral em (7.56) é naturalmente positiva para |x| < 1 − 2σ

e n2γ2 ≤ χ(x) ≤ 1− n2γ2, e, portanto para tal x tem-se:

Dnχ(x) =

∫

Bε

ηε(x− y)DnχE(y) ≥ (1− λ(γ))

∫

Bε

ηε(x− y)|DχE(y)| > 0

Em particular, o conjunto de nível de χ :

S(ϑ) = x ∈ B; |x| < 1− 2σ, χ(x) > ϑ

tem fronteira de classe C1 para n2γ2 < ϑ < 1− n2γ2.


Os próximos passos nesse trabalho serão provar um Lema do tipo De Giorge para

sequências de conjuntos de Caccioppoli. Para tanto procederemos por aproximação por

conjuntos de classe C1 e então estaremos aptos a nos utilizar dos resultados do capítulo

6 deste trabalho. Doravante é necessário mostrar que nossas sequências de aproximação

satisfazem as hipóteses do capítulo 6. De fato, já nos encontramos em posição que realizar

tal tarefa mediante os lemas precedentes, assim estaremos em curso de provar o resultado

requerido.

Lema 7.8. (De Giorgi) Seja Ej uma sequência de conjuntos de Caccioppoli tais que

ψ(Ej, 1) = 0, (7.57)

∫

B1

|DχEj |−

∫

B1

DnχEj ≤ γj, (7.58)

∑

j≥1γj <∞ (7.59)

Então para quase todo t ∈ (0, 1) existe uma sequência de conjuntos Lj tal que

limj→∞

γ−1ψ(Lj, t) = 0, (7.60)

limj→∞

γ−1j

∫

Bt

|DχLj|−

∫

Bt

|DχEj|

= 0, (7.61)

limj→∞

γ−1j

∣∣∣∣∫

Bt

DχLj −

∫

Bt

DχEj

∣∣∣∣ = 0, (7.62)

∂Lj ∩ Bt uma hipersuperfcie de classe C1, (7.63)

e para todo s < t

lim infj→∞

ν(j)n ; |x| < s, x ∈ ∂Lj = 1 (7.64)

onde ν(j) é a normal a ∂Lj em x.

Proof: Tome εj = γ4j e fj(x) =

∫ηεj(x − y)χEj(y)dy. Então de (7.48) e (6.14), se

τ < 1,

limj→∞

supγ−4j

∫

Bτ

|fj − χEj |dx ≤nwn

2(7.65)

e disso segue quando γj → 0 que existe um conjunto de conteúdo nulo N1 ⊆ (0, 1) tal que

para t ∈ (0, 1) −N1

limj→∞

γ−3j

∫

∂Bt

|fj − χ−Ej|dHn−1 = 0 (7.66)


Denotemos por µ a medida∑

j≤1γj|DχEj |. De (7.59) e (6.14),

∫

B1

dµ <∞ e dessa forma

como as funções∫

Bt

dµ é monótona não-decrescente em t e portanto segundo resultados

de teoria da medida, diferenciáveis em quase todo ponto, podemos concluir que existe um

conjunto de conteúdo nulo N2 tal que para todo t ∈ (0, 1) −N2

limj→∞

γ−4j

∫

Bτ+γ4

j−Bt

dµ <∞

Assim pela definição de µ,

limj→∞

supγ−3j

∫

Bτ+γ4

j−Bt

|DχEj | <∞ para t ∈ (0, 1) −N2

e assim de (7.49) e o fato que γj → 0,

limj→∞

supγ−2j

∫

Bt

|Dfj|−

∫

Bt

|DχEj |

≤ 0 para t ∈ (0, 1) −N2. (7.67)

Se definirmos Sj(ϑ) = x ∈ B1; fj(x) > ϑ então do Teorema (Fórmula da Coárea)

(2.7.1) teremos

∫

Bt

|Dfj| =

∫ 1

0

dϑ

∫

Bt

|DχSj(ϑ)| ≥∫ 1−n2γ2j

n2γ2j

dϑ

∫

Bt

|DχSj(ϑ)|

Portanto, segue do mostrado acima que existe um número ϑj ∈ (n2γ2j , 1 − n2γ2j ) tal

que

(1− 2n2γ2j )

∫

Bt

|DχSj(ϑj)| ≤∫

Bt

|Dfj| (7.68)

Além disso, da Observação (7.1), a fronteira de Lj = Sj(ϑj) é regular. Da sentença

(7.67) e (7.68)

limj→∞

supγ−1j

∫

Bt

|DχLj |−

∫

Bt

|DϕEj |

≤ 0 para t ∈ (0, 1) −N2 (7.69)

Em contrapartida do Lema (2.3)

∫

∂Bt

|χLj − χEj |dHn−1 ≤ (nγj)−2

∫

∂Bt

|ft − χEj | para t ∈ (0, 1)

e dessa forma da sentença (7.66)

limj→∞

γ−1j

∫

∂Bt

|χLj − χEj |dHn−1 = 0 para t ∈ (0, 1) −N1 (7.70)


Da sentenaça (7.70) e da desigualdade (6.5) da Observação (6.4) concluimos que

limj→∞

supγ−1j

∫

Bt

|DχEj |− |DχLj |

≤ 0 para t ∈ (0, 1) −N1 (7.71)

a qual juntamente com (7.69) fornece (7.61).

Em contrapartida, se f ∈ BV(B1), então pela sentença (4.19)

∫

Bt

Df =

∫

∂Bt

fx

|x|dHn−1

e dessa forma a sentença (7.62) segue de (7.70).

Finalmente, a sentença (7.60) é uma consequência de (7.70), (7.61)e Lema (6.3) , e,

(7.63), (7.64) seguem do Teorema (7.3.1).

Teorema 7.3.2. (De Giorgi) Seja Ej uma sequência de conjuntos de Caccioppoli tais

que

ψ(Ej, 1) = 0,∫

B1

|DχEj |−

∫

B1

DnχEj ≤ γj,∑

j≥1γj <∞

então para todo 0 < α < 1, temos

limj→∞

supγ−1j

∫

Bα

|DχEj|−

∣∣∣∣∫

Bα

DχEj

∣∣∣∣≤ αn+1 (7.72)

Proof: Seja Lj a sequência de conjuntos determinados pelo Lema anterior (7.8) e

suponhamos que a desigualdade deste mesmo Lema (7.8) seja verdade para t < 1. Tome

s < t positivo. Então a sequência Lj satisfaz as hipóteses do Lema (6.5) com ρ = s e

com sequência βj tal que limj→∞

βj

γj= 1. Do Lema (6.5), e das sentenças (7.61) e (7.64)

segue imediatamente que

limj→∞

supγ−1j

∫

Bα

|DχEj|−

∣∣∣∣∫

Bα

DχEj

∣∣∣∣≤

(αs

)n+1

Agora basta tomar s e t próximos de 1 e isso finaliza a demonstração do Teorema.

Capítulo 8

Regularidade de Superfícies Mínimas

Conteúdo

8.1 Teoria de Regularidade Básica (Analiticidade) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

8.1.1 Hölder continuidade da fronteira reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . 147

8.2 O Teorema de Regularidade C0,α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

8.2 Pontos Singulares e Cones Mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

8.3.1 O Teorema de Simon e a regularidade em dimensões baixas (n ≤ 7) . . . 158

8.4 Estimativa de Federer da dimensão do conjunto singular . . . . . . . . . . . . . 159

8.5 Regularidade C1,α para hipersuperfícies Minimas . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

8.5.1 O Teorema de De Giorgi-Federer-Massari-Miranda . . . . . . . . . . . . 160

8.5.2 Os casos p < n e p = n na análise dos teoremas de regularidade . . . . . 162

8.5.3 Comentários Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Neste capítulo será provado a regularidade parcial de superfícies mínimas, de fato,

mostrar-se-á que a fronteira reduzida ∂∗E é uma superfície analítica, e, as únicas

prováveis singularidades ocorreram em ∂E−∂∗E. Uma ferramenta indispensável para nosso

estudo da teoria de regularidade será o Lema de De Giorgi. Mostra-se-á que superfícies

mínimas são regulares nos pontos as quais as mesmas satisfazem aas hipóteses desse Lema.

CAPÍTULO 8. REGULARIDADE DE SUPERFÍCIES MÍNIMAS 142

8.1 Teoria de Regularidade Básica (Analiticidade)

Teorema 8.1.1. (Lema de decaimento de De Giorgi) Para todo n ≥ 2 e todo

0 < α < 1, existe uma constante σ(n,α) tal que: se E ⊂ Rn é um conjunto de Caccioppoli,

x ∈ Rn, ρ > 0 e

ψ(E, B(x, ρ)) = 0, (8.1)

(CDG)

∫

B(x,ρ)

|DχE|−

∣∣∣∣∫

B(x,ρ)

DχE

∣∣∣∣< σ(n,α)ρn−1, (8.2)

então

∫

B(x,αρ)

|DχE|−

∣∣∣∣∫

B(x,αρ)

DχE

∣∣∣∣≤ αn

∫

B(x,ρ)

|DχE|−

∣∣∣∣∫

B(x,ρ)

DχE

∣∣∣∣. (8.3)

Proof: Suponha por contradição que o Teorema não seja verdadeiro. Então deverão

existir n ≥ 2, 0 < α < 1, uma sequência Fj ⊂ Rn de conjuntos de Cacciopploli e

sequências xj ⊂ Rn e ρj, γj ⊂ R tais que

ψ(Fj, B(xj, ρj)) = 0,

∫

B(xj,ρj)

|DχFj |−

∣∣∣∣∣

∫

B(xj,ρj)

DχFj

∣∣∣∣∣ = γjρn−1j ,

∑

j≥γj <∞

e ∫

B(xj,αρj)

|DχFj |−

∣∣∣∣∣

∫

B(xj,αρj)

DχFj

∣∣∣∣∣ ≥ αnγjρ

n−1j .

Para cada j, aplicaremos uma translação aos Fj a qual leva os xj na origem,

posteriormente uma rotação a qual leva os vetores∫

B(0,αρj)

DϕFjsobre o eixo-xn e para

finalizar uma dilatação de razão ρj. Se denotarmos por Ej os conjuntos resultantes então

teremos

ψ(Ej, 1) = 0,∫

B1

|DχEj |−

∫

B1

DnχEj = γj,

∫

B1

|DχEj |−

∣∣∣∣∫

B1

DnχEj

∣∣∣∣ > αnγj.

A sequência Ej assim definida contradiz o Teorema (7.3.2). Concluímos dessa forma

que o Teorema é verdadeiro.


Veremos agora que os pontos x para os quais são satisfeitas as hipóteses do Teorema

(8.1.1) (Lema de Decaimento de De Giorgi) são de fato pontos da fronteira reduzida, ∂∗E,

sendo tal afirmativa uma consequência do que se segue.

Teorema 8.1.2. (De Giorgi) Suponha as mesmas hipóteses do Teorema anterior e

x ∈ ∂E. Então para todo s, t tais que 0 < s < t < ρ

|νs(x) − νt(x)| ≤ η(α,n)√t

ρ, (8.4)

onde η(α,n) =(2−

√α)

(1−√α)

√σ(n,α)

wn−1αn

Proof: Se fizermos as devidas transformações (translações, rotações e dilatações se

necessário) poderemos supor sem perda de generalidade que x = 0 e ρ = 1

Primeiramente, suponhamos o caso em que t = αj, s = βαj para algum j e α ≤ β < 1Sejam

uj = ναj =

∫

Bαj

DχE

∫

Bαj

|DχE|

vj = νβαj ,mj =

∫

Bαj

|DχE| e µj =

∫

Bβαj

|DχE|

Dado que |uj| ≤ 1 e |vj| ≤ 1 teremos |uj − vj| ≤√2√1− (uj, vj)

Agora

(1− (uj, vj))µj =

∫

βαj

(|DχE|− 〈uj, DχE〉) ≤

≤ mj(1− |uj|2) ≥ 2mj(1− |uj|).

Em contrapartida de (8.3) e (8.2) repetido o argumento j vezes teremos

mj(1− |uj|) ≤ αnjσ(n,α) e assim |uj − vj| ≤ 2√σ(n,α)

√αpj

µj

Entretanto, por hipótese assumimos que x = 0 ∈ ∂E, pela sentença (6.16) teremos

µj ≥ wn−1(αjβ)n−1 ≥ wn−1α(j+1)(n−1) e assim |uj − vj| ≤ 2√σ(n,α)

wn−1αn

√αj+1


Agora vejamos o caso geral para s e t, ou seja, com 0 < s < t < 1. Sejam j e k dois

inteiros tais que

αj+1 < i ≤ αj e αj+k ≤ s < αj+k−1

Assim,

|νt − νs| ≤ |νt − uj|+

k−2∑

i=0

|uj+i − uj+i+1|+ |uj+k−1 − νs| ≤

2. ≤√σ(n,α)

wn−1αn

√αj+1 +

∑

i≥0

√αj+i+1

=

=

√σ(n,α)

wn−1αn

√αj+1

1+

∑

i≥0

√αi

=

=(2−

√α)

(1−√α)

√σ(n,α)

wn−1αn

√αj+1 ≤

≤ (2−√α)

(1−√α)

√σ(n,α)

wn−1αn

√t =

= η(α,n)√t

como desejávamos.

Corolário 8.1. (De Giorgi) Suponha que x satisfaz as hipóteses do Teorema anterior

(8.1.2). Então x ∈ ∂∗E e

|ν(x) − νt(x)| ≤ η(α,n)√t

ρ

Proof: O Teorema (8.1.2) nos informa que νt(x) é uma sequência de Cauchy em

Rn. Além do mais como x satisfaz a (CDG), vale o Lema de decaimento de Diorgi. Ao

aplicarmos o mesmo j vezes teremos |ναjρ| → 1 quando j → ∞. Portanto x ∈ ∂∗E.

A estimativa obtida na desigualdade segue mutatis mutandis a desigualdade do Teorema

anterior (8.1.2), via a homogeneidade das propriedades de translação e rotação. Portanto

segue que

|ν(x) − νt(x)| ≤ η(α,n)√t

ρ

Observação 8.1. A prova da regularidade (analiticidade) de ∂∗E se dará ao passo que

mostrarmos que ∂∗E é relativamente aberto em ∂E juntamente com o fato que ν(x)

é contínuo, de fato, Hölder contínuo como veremos a seguir, utilizando para tanto

(Regularidade elíptica) Teoria de equações diferenciais parciais elípticas, como será visto

no capítulo seguinte.


Teorema 8.1.3. (De Giorgi) Sejam E ⊂ Rn um conjunto de Caccioppoli, x ∈ ∂E, ρ > 0e 0 < α < 1 tais que

ψ(E, B(x, ρ)) = 0,∫

B(x,ρ)

|DχE|−

∣∣∣∣∫

B(x,ρ)

DχE

∣∣∣∣ ≤ σ(n,α)ρn−1

Então ∂E ∩ B(x, r) é uma hipersuperfície analítica para r = ρ(α− αn

n−1 ).

Proof: Sejam z ∈ ∂E ∩ B(x, r) e R = ραn

n−1 . Como B(z, R) ⊆ B(x, αρ) dado que ,

ραn

n−1 ≤ αρ, teremos

∫

B(z,R)

|DχE|−

∣∣∣∣∫

B(z,R)

DχE

∣∣∣∣ ≤∫

B(x,αρ)

|DχE|−

∣∣∣∣∫

B(x,αρ)

DχE

∣∣∣∣ ≤ σ(n,α)αnρn−1

Disto segue de como fora tomado o R que

∫

B(z,R)

|DχE|−

∣∣∣∣∫

B(z,R)

DχE

∣∣∣∣ ≤ σ(n,α)Rn−1

Assim z satisfaz a hipótese do Corolário (8.1) e por conseguinte z ∈ ∂∗E com

|ν(z) − νt(z)| =

∣∣∣∣∣∣∣∣ν(z) −

∫

B(z,t)

DχE

∫

B(z,t)

|DχE|

∣∣∣∣∣∣∣∣≤ η(α,n)

√t

R(8.5)

A sentença (8.5) se verifica para todo z ∈ B(x, r)∩∂E. Via um argumento de integração

na sentença (8.5) podemos obter

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ν(z) −

∫ t

0

ds

∫

B(z,s)

DχE

∫ t

0

ds

∫

B(z,s)

|DχE|

∣∣∣∣∣∣∣∣∣≤ η(α,n)

√t

R(8.6)

Se analizarmos a função ν(t, z) =

∫ t

0

ds

∫

B(z,s)

DχE

∫ t

0

ds

∫

B(z,s)

|DχE|

, concluiremos que a mesma é

contínua nas variáveis t e z, e, segue da sentença (8.6) que

limt→0ν(t, z) = ν(z) uniformemente para z ∈ B(x, r),


Disso segue a continuidade de ν(z) em ∂E∩B(x, r) e dessa forma mediante o Teorema

(5.3.2) segue que ∂E ∩ B(x, r) é uma hipersuperfície de classe C1. Se nos utilizarmos

de Teoria de Regularidade para Equações Diferenciais Parciais Elípticas (Veja próximo

capítulo) consiguiremos mostrar que de fato ∂E ∩ B(x, r) é uma hipersuperfície analítica.

Teorema 8.1.4. (De Giorgi-Miranda) Seja E um conjunto Caccioppoli satisfazendo

ψ(E, 1) = 0. Então

Hn−1(∂E− ∂∗E) = 0 (8.7)

Proof: Seja K ⊂ ∂E − ∂∗E um conjunto compacto qualquer. Segue da definição de

fronteira redizida e da nota subsequente a esta que∫

K

|DχE| = 0

Dessa forma, sendo |DχE| uma medida de Radon, tem-se para todo ε > 0 dado, existe

uma conjunto aberto Aε com K ⊂ Aε ⊂ B1 tal que∫

K

|DχE| < ε

Tome η > 0. Para todo x ∈ K existe ρ < η tal que B(x, 3ρ) ⊆ Aε. Então pelo Lema

de Recobrimento de Vitali (3.1) podemos escolher uma sequência xj tal que

B(xj, ρj) ∩ B(xi, ρi) = ∅ se i 6= j⋃

j≥1B(xj, 3ρj) ⊇ K

Agora temos, ∑

j≥1

∫

B(xj,ρj)

|DχE| ≤∫

Aε

|DχE| < ε

Em contrapartida da sentença (6.16) temos

∫

B(xj,ρj)

|DχE| ≥ wn−1ρn−1j e portanto wn−1∑

j≥1ρn−1j ≤ ε

Assim, se aplicarmos a definição de medida de Hausdorff teremos Hn−1(K) ≤ 3n−1ε

e dado que o ε fora tomado arbitrariamente segue que Hn−1(K) = 0 e isso completa a

demonstração.


8.1.1 Hölder continuidade da fronteira reduzida

Proposição 8.1. i. Se A1 ⊂ A2 ⊂ Ω então ψ(E,A1) ≤ ψ(E,A2)

ii. Se x ∈ ∂∗E ∩Ω então limρ→0+

ρ1−nψ(E, Bρ(x)) = 0.

Proof: Veja Gonzalez-Massari [70] pag. 19.

Lema 8.1. (Lema de decaimento de De Giorgi versão geral) Sejam K > 0, ǫ >

0, α ∈ (0, 1); então existe uma constante positiva σ = σ(K, ǫ, α) tal que, para todo

conjunto de Caccioppoli E (K, ǫ)−minimal, x ∈ Ω, η ∈ (0, σ], 0 < ρ < dist(x, ∂Ω),

ρ < ηǫ2 temos

ψ(E, Bρ(x)) ≤ ηρn−1 ⇒ ψ(E, Bαρ(x)) ≤ αǫ2η(αρ)n−1 (8.8)

Proof: Mutatis mutandis a demonstração do Lema de decaimento de De Giorgi

apresentado nesse texto.

Aplicando h vezes (8.8) obteremos a seguinte estimativa

ψ(E, Bαhρ(x)) ≤ αhǫ2 η(αhρ)n−1 (8.9)

Como consequência deste do Lema de Decaimento de De Diorgi e em particular a

desigualdade acima (8.9) temos o seguinte

Teorema 8.1.5. Sejam K, ǫ, α, σ, E,Ω, x, η, ρ como no Lema acima e suponha que

ψ(E, Bρ(x)) ≤ ηρn−1

Então x ∈ ∂∗E ∩Ω.

Proof: Faremos uso da seguinte desigualdade : Sejam A ⊂ B subconjuntos

mensuráveis de Ω tal que∫

A

|DχE| <∞; então

∣∣∣∣∣∣∣∣

1∫

A

|DχE|

∫

A∩∂Eνd(|DχE|)(x) −

1∫

B

|DχE|

∫

B∩∂Eνd(|DχE|)(x)

∣∣∣∣∣∣∣∣≤

≤√√√√√

1∫

A

|DχE|

(∫

B

|DχE|−

∣∣∣∣∫

B∩∂Eνd(|DχE|)(x)

∣∣∣∣)

Seja, para T ∈ (0, ρ),

ν(x, t) =1∫

Bt(x)

|DχE|

∫

Bt(x)∩∂Eν(x)d(|DχE|)(x)


νj(x) = ν(x, αjρ)

e notando que νj(x) é uma sequência de Cauchy em Rn. De fato, da (K, ǫ)−minimalidade

de E segue que

∫

Bαjρ

(x)

|DχE| ≥ (αjρ)n−1wn−1 −

(n− 1)K

ǫ(αjρ)ǫ

≥ wn−1

2(αjρ)n−1 = c3ρ

n−1αj(n−1)

(8.10)

para todo j ≥ j0(K, ǫ, α, ρ). De (8.9) inferimos que para j ≥ j0 e m ∈ N

|νj+m(x) − νj(x)| ≤m−1∑

h=0

|νj+h(x) − νj+h+1(x)| ≤

≤ 2m−1∑

h=0

√ηρn−1α(j+h)(n−1+ǫ

2)

c3ρn−1α(j+h+1)(n−1)= 2

√η

c3αn−1α

jǫ4

m−1∑

h=0

αhǫ4 ≤

≤ 2√

η

c3αn−11

1− αǫ4

αjǫ4

(8.11)

Dessa forma, podemos definir ν(x) = limj→∞

νj(x). Note agora que

1− |νj(x)| =ψ(E, Bαjρ(x))∫

Bαjρ

(x)

|DχE|

≤ ηρn−1αj(n−1+ǫ2)

c3ρn−1αj(n−1)

de onde obtemos que |ν(x)| = 1.

Agora tome ρ0 = αj0ρ, t ∈ (0, ρ0) e seja j ≥ j0 de sorte que αj+1ρ ≤ t ≤ αjρ. Temos

dessa forma que

|νj(x) − ν(x, t)| ≤ 2√√√√√ψ(E, Bαjρ(x))∫

Bαjρ

(x)

|DχE|

≤ 2√ηρn−1αj(n−1+

ǫ2)

c3ρn−1α(j+1)(n−1)≤

√η

c3αn−1α

jǫ4 .

E isso mostra que x ∈ Ω ∩ ∂∗E.

Teorema 8.1.6. Sejam E ⊂ Rn um conjunto (K, ǫ)−minimal em Ω e x ∈ ∂∗E ∩ Ω.

Então existe um r > 0 tal que

Br(x) ∩ ∂∗E = Br(x) ∩ ∂E, (8.12)

isto é, ∂∗E é relativamente aberto em ∂E. Além disso,


|ν(y) − ν(z)| ≤ c2|y− z|ǫ4 ∀y, z ∈ Br(x) ∩ ∂E (8.13)

ou seja, v é uma aplicação Hölder contínua.

Proof: Seja α ∈ (0, 1); da parte (ii) da Proposição (8.1) acima obtemos a existência

de 0 < ρ < dist(x, ∂Ω), ρ < σǫ2 tal que

ψ(E, Bρ(x)) ≤ σρn−1

Sejam k ∈ N tal que kǫ2> n−1 e r

′

= ραk(1−α). Então para y ∈ Br ′ (x)∩∂E tem-se

Bαk+1ρ(y) ⊂ Bαkρ(x)

e portanto

ψ(Bαk+1ρ(y)) ≤ ψ(Bαkρ(x)) ≤ αkǫ2 σ(αkρ)n−1 = α

kǫ2−(n−1)σ(αk+1ρ)n−1 ≤ σ(αk+1ρ)n−1

(8.14)

Da sentença (8.14) conclui-se que o Teorema (8.1.5) aplicado a ρ1 = αk+1ρ ao invés

de ρ fornece que y ∈ Ω ∩ ∂∗EVejamos agora a sentença (8.13): Sejam y, z ∈ Br ′ (x) ∩ ∂E e h,m ∈ N. da sentença

(8.11) obtemos as seguintes desigualdades

|ν(y) − νh(y)| ≤ c4αhǫ4

|ν(z) − νh+m(z)| ≤ c4α(h+m)ǫ

4

segue para h ≥ h0 = h0(ǫ, ρ, k). Assim, a desigualdade (8.13) seguirá da seguinte

desigualdade elemetar

|ν(y) − ν(z)| ≤ |ν(y) − νh(y)|+ |νh(y) − νh+m(z)|+ |νh+m(z) − ν(z)|,

desde que tenhamos uma estimativa adequada para |νh(y)−νh+m(z)|. Isto é feito tomando

|y− z| ≤ αhρ1(1− αm) como Bαh+mρ1(z) ⊂ Bαhρ1(y) e notando que neste caso

|νh(y) − νh+m(z)| ≤ 2(σα

hǫ2 αh(n−1)

c3α(h+m)(n−1)

) 12

= 2

(σ

c3αm(n−1)

) 12

αhǫ4

Agora escolhamos m ∈ N de forma que α < 1−αm e portanto ρ1αk+1 < ρ1αh(1−αm).

Tome r = 12minr

′

, ρ1αh0(1 − αm). Para y, z ∈ Br(x) ∩ ∂E, y 6= z, existe h ≥ h0 tal

que

ρ1αh+2 < |y− z| < ρ1α

h(1− αm)


e portanto podemos concluir que

|ν(y) − ν(z)| ≤ c5αhǫ4 ≤ c5

(|y− z|

α2ρ1

)ǫ4

= c6|y− z|ǫ4

Figura 8.1: O comportamente de decaimento diádico na bola, segundo o Lema de decaimentode De Giorgi. Tal fenômeno somente seria possível se desde o início a função(superfície) que descreve tal processo fosse Hölder contínua. Essa interpretação sedá via a concepção de Sergio Campanato [69] sobre Hölder continuidade de funções.

8.2 O Teorema de Regularidade C0,α

Para esta seção nos desposeremos a utilizar os Lemas dos capítulos precedentes que

se referem a aproximação local por hipersuperfícies suaves e harmônicas de conjuntos

minimais, juntamente com alguns Lemas Técnicos e fundamentais para tais objetivos,

finalizando este com uma conclusão de Hölder continuidade da fornteira reduzida, ∂∗E,

segundo a caracterização desta, ou seja, Hölder continuidade segundo o ponto de vista

dos trabalhos de Sergio Campanato [69]. Mais precisamente:

Teorema 8.2.1. (Campanato - Caracterização integral de Hölder continuidade)

Seja u ∈ L1(Ω), 0 < α < 1 e suponha que exista M > 0 tal que

1

|Br|

∫

Br

|u− uBr |dx ≤Mrα

para toda bola Br ⊂ Ω. Então u ∈ C0,α(Ω) e para alguma bola BR ⊂ Ω temos

oscBR2

u ≤ c(n,α)MRα.


onde oscBR2

u = supBR2

− infBR2

.

Proof: Veja Jost [103], pag. 206.

Proposição 8.2. Considere E ⊂ Rn e α ∈ (0, 1). Então E é localmente de classe C1,α se

e somente, o mesmo for de classe C1 e

ψ(E, Bρ(x)) ≤ cρn−1+2α

para todo x ∈ ∂E e todo ρ > 0 (pequeno), onde c > 0.

Proof: Com a notação introdzida nos capítulos precedentes sejam

Bρ = x ∈ Rn; |x| < ρ,Bρ = x′

, |x′

< |ρ

e

Qρ = x ∈ Rn; x = (x′

, xn), |x′

|, |xn| < ρ = Bρ × (−ρ, ρ)

Suponha que nos fora dada u ∈ C1,α(A ′

,R), com A′

aberto em Rn−1 e 0 ∈ A ′

, tal

que u(0) = 0 e Du(0) = 0. Tais hipóteses são sempre possíveis, basta aplicar uma

transformação ortogonal em u a fim da mesma satisfazer tais suposições.

Ao tomarmos E = x ∈ Rn; x′ ∈ A ′

, xn > u(x′

) obtemos que (para ρ pequeno de sorte

que |v| < ρ):

ψ(E;Bρ) ≤ ψ(E;Qρ) =

∫

Bρ

√1+ |Du|2dx

′

− inf

∫

Bρ

√1+ |Dv|2dx

′

; spt(u− v) ⊂ Bρ

≤ 1

2

∫

Bρ

|Du|2dx′ ≤ cρn−1+2α

da qual a parte do “somente se” da proposição segue. Quanto ao caso “se”, assuma u ∈C1(A

′

;R), novamente com A′

aberto em Rn−1 e 0 ∈ A ′

, tal que u(0) = 0 e Du(0) = 0.

Agora nossa hipótese é :

ψ(E, Bρ(x)) ≤ cρn−1+2α

para todo x = (x′

, u(x′

)) e todo ρ > 0 tal que |x′

| e ρ são menores que algum R > 0, com

E como antes.

Escolha r tal que 0 < r < R2−23 , sup

B3r

|Du| <1

4, então fixados x

′

, ρ, R tais que x′ ∈ Br

e 0 < ρ < R ≤ 2r. Seja v a função harmônica associada a u em BR(x′

), satisfazendo,

∆v = 0 em BR(x′

), v = u em ∂BR(x′

), e, Duρ = |BR(x′

)|−1∫

BR(x′)

Du

Das propriedades das funções harmônicas segue-se que:


∫

BR(x′)

|Du− Duρ|2 ≤

∫

BR(x′)

|Du−Dv|2 + 2

∫

BR(x′)

|Dv− Dvρ|2

≤∫

BR(x′)

(|Du|2 − |Dv|2) + 2(ρR

)n+1.

∫

BR(x′)

|Dv− DvR|2.

Introduzindo |DvR|2 na primeira integral do lado direito e se utilizando da desigualdade:

√1+A2 −

√1+ B2 ≥ (A2 − B2) − (A2 − B2)2

2√1+ B2

vem que

∫

BR(x′)

|Du− Duρ|2 ≤ 4

√1+ |DuR|2

1−mR

.

∫

BR(x′)

(√1+ |Du|2 −

√1+ |DuR|2)

+2

∫

BR(x′)

(|DuR|2 − |Dv|2) + 2

(ρR

)n+1.

∫

BR(x′)

|Dv− DvR|2.

onde

mR =

(sup

BR(x′)

|Du|+ |DuR|

)2. (8.15)

Introduzindo√1+ |Dv|2 na primeira integral do lado direito e se utilizando da

desigualdade:√1+A2 −

√1+ B2 ≤ (A2 − B2)

2√1+ B2

e ao rearranjarmos os termos obteremos

∫

BR(x′)

|Du− Duρ|2 ≤ 6ψ(E;B√

2R(x′

, u(x′

))) +2mR

1−mR

.

∫

BR(x′)

(|Dv|2 − |DuR|2)

+2(ρ

R)n+1.

∫

BR(x′)

(|Dv|2 − |DvR|2)

≤ c1Rn−1+2α + 2[(ρ

R)n+1 +

2mR

1−mR

].

∫

BR(x′)

|Du− DuR|2.

Desta forma, tomando β = n− 1+ 2α e

ω(t) =

∫

BR(x′)

|Du− Dut|2, 0 < t ≤ 2r,

teremos:

ω(ρ) ≤ c1Rβ + 2[(ρ

R)n+1 +

2mR

1−mR

].ω(R) (8.16)


para x′ ∈ BR e para todo ρ, R tais que 0 < ρ < R ≤ 2r.Agora, veja Campanato [80], seção

6, fixados γ e τ tais que

β < γ < n+ 1, 4τn+1 < τγ

da sentença (8.16) segue então

ω(τR) ≤ c1Rβ + 2τn+1(1+

mR

1−mR

τ−n−1)ω(R)

Podemos assumir que inicialmente o raio r era tão pequeno que supB3r

|Du| ≤ τn+1

8de modo

que (veja (8.15)): mR

1−mR≤ τn+1, então

ω(τR) ≤ c1Rβ + τγ.ω(R), ∀x ′ ∈ Br e 0 < R ≤ 2r.

Prosseguindo indutivamente temos para todo k ≥ 0

ω(τkR) ≤ τkβ[c1

Rβ

τβ − τγ+ω(R)

]

do qual, dado que ∀ρ : 0 < ρ < R ≤ 2r existe k ≥ 0 tal que τk+1 ≤ ρ < τkR, usando da

monotonicidade de ω e escolhendo R = 2r, obtemos finalmente:

∫

BR(x′)

|Du− Duρ|2 ≤ c2ρn−1+2α,

para todo x′ ∈ Br e todo ρ ∈ (0, 2r), com c2 independente de x

′

e de ρ. Em vista da

caracterização de funções Hölder contínuas mediantes os resultados de Campanato [69],

isto implica que Du ∈ C0,α(Br). Portanto u ∈ C1,α(Br) como desejávamos.

Lema 8.2. (Lema Técnico) Seja E ⊂ Rn, n ≥ 2 um conjunto de Caccioppoli. Então

para todo x ∈ Rn e todo 0 < s < t segue que

(∫

|x−y|=1

|χE(x+ t(y− x)) − χE(x+ s(y− x))|dHn−1(y)

)2≤

≤ 2(∫

s≤|x−y|<t

|y− x|1−n|DχE|(y)

)(t1−n

∫

Bt(x)

|DχE|−

−s1−n∫

Bs(x)

|DχE|+ (n− 1)

∫ t

s

ρ−nψ(E, Bρ(x))dρ

)(8.17)

Proof: A demosntração é análoga ao do Lema (6.4).


Suponhamos agora que as condições sobre ψ seguem uniformemente em um conjunto

Γ ⊂ ∂E, isto é,

ψ(E, Bρ(x)) ≤ cρn−1+2α ∀x ∈ Γ, ρ ∈ (0, R) (8.18)

com constantes positivas c, α, R dadas a princípio.

Lema 8.3. (Lema de Monotonicidade) Se (8.18) se verifica, tomando c =(n− 1)c

2α,

temos para todo x ∈ Γ :

ρ1−n

∫

Bρ(x)

|DϕE|+ cρ2α (8.19)

é uma função decrescente em (0, R);

wn−1cρ2α ≤ ρ1−n

∫

Bρ(x)

|DϕE| ≤nwn

2+ ρ2α. (8.20)

Proof: Usando (8.17) e (8.18) segue imediatamente (8.19); agora, se x ∈ ∂∗E, então

limρ→0+

∫

Bρ(x)

|DχE| = wn−1,

portanto a primeira desigualdade em (8.20) segue de (8.19) ao tomarmos ρ → 0+. No

caso geral poderemos provar tal resultado via argumento de aproximação uma vez que

∂∗E = ∂E; como consequência desta segue que para todo x ∈ Γ , ρ ∈ (0, R) e τ ∈ (0, 1),

existirá um ponto z ∈ Γ ∩ ∂∗E tal que |x− z| < (1− τ)ρ. Portanto:

ρ1−n

∫

Bρ(x)

|DχE| ≥ ρ1−n

∫

Bτρ(x)

|DχE| ≥ τn−1[wn−1 − c3(τρ)2α]

da qual obtemos a relação desejada ao tomarmos τ → 1. Em contrapartida, a

segunda desigualdade em (8.20) segue de (8.16) ao utilizarmos a definição de desvio de

minimalidade e a seguinte desigualdade:

inf

∫

Bρ(x)

|DχE|; FE ⋐ Bρ(x)

≤ min

∫

Bρ(x)

|DχE∪Bτρ(x)|,

∫

Bρ(x)

|DχE−Bτρ(x)|

=

=

∫

Bρ(x)−Bτρ(x)

+min

∫

∂Bτρ(x)

χEdHn−1,

∫

∂Bτρ(x)

(1− χE)dHn−1

≤

≤∫

Bρ(x)−Bτρ(x)

+nwn

2(τρ)n−1

(8.21)

a qual se verifica para quase todo τ ∈ (0, 1).


Lema 8.4. (Procedimento de Blow-up) Se (8.18) se verifica, com 0 ∈ Γ , então ao

tomarmos ρh ↓ 0 em

Eh = ρ−1h Ex ∈ Rn; ρhx ∈ E

uma subsequência de Eh convirgirá localmente em Rn, para um cone minimal C de Rn,

com 0 ∈ ∂C.

Proof: Para um t > 0 fixado e para todo h suficientemente grande (àqueles os quais

ρht < R) teremos de (8.20):

∫

Bt

|DχEh| = ρ1−n

h

∫

Bρht

|DχE| ≤[nwn

2+ cR2α

].tn−1 (8.22)

Usando os resultados conhecidos de compacidade, existirá uma subsequência de Eh

que convirgirá para algum limite C. Em contrapartida, da invariância sob translações e

transformações ortogonais do desvio de minimalidade ψ implica que:

ψ(Eh, Bt) = ρ1−nh ψ(E, Bρht) ≤ cρ2αh tn−1+2α

onde a última desigualdade segue de (8.18). Tomando h→ ∞ e recordando que o desvio

de minimalidade ψ(E, .) é uma função de conjunto monótona (A1 ⊂ A2 ⇒ ψ(E,A1) ≤ψ(E,A2)) e que a mesma é semicontínua inferiomente (Eh → E localmente em A ⇒ψ(E,A) ≤ lim inf

h→∞

ψ(Eh, A)) obteremos: ψ(C,Bt) = 0 para todo t > 0, isto é, C tem

fronteira mínima em Rn. Além disso, de

Eh → E localmente em A e ψ(Eh, A) → ψ(E,A) ⇒∫

A′

|DχEh | →∫

A′

|DχE|, ∀ A′

⋐ A

aberto tal que∫

∂A′

|DχE| = 0 obtemos

limh→∞

∫

Bt

|DχEh | =

∫

Bt

|DχC| (8.23)

para quase t > 0. Ao tomarmos b = limt→0+

(t1−n

∫

Bt

|DχE|

)temos que wn−1 ≤ b ≤ nwn

2

em vista de (8.19) e (8.20), e obtemos de (8.22), (8.23):

t1−n∫

Bt

|DχC| = b para quase todo t > 0.

A relação (8.17) implica que∫

|y|=1

|χC(ty) − χC(sy)|dHn−1 = 0 para quase todo t > 0,

do qual concluimos que C é (equivalente a) um cone mínimo em Rn, com vértice 0 ∈ ∂C.

Lema 8.5. (Lema de Densidade) Se (8.18) se verifica, então:

|E ∩ Bρ(x)| ≥wn−1ρ

n

2n∀ x ∈ Γ, ρ ∈ (o, R) (8.24)


com R = R(α, c, n)

Proof: De (8.20), primeira desigualdade, (8.18) e (8.21) obtemos facilmente para

quase todo ρ ∈ (0, R) :

[wn−1 − c3ρ2α]ρn−1 ≤

∫

Bρ(x)

|DχE| ≤∫

∂Bρ(x)

χEdHn−1 + cρn−1+2α

isto é:

∫

∂Bρ(x)

χEdHn−1 ≥ [wn−1 − (c+ c3)t2α].tn−1 ≥ wn−1

tn−1

2(8.25)

para quase todo t ∈ (0, R) tal que t <

[αwn−1

c(n− 1+ 2α)

] 12α

= R.

O resultado segue então por integração de (8.25) entre 0 e ρ.

Para finalizarmos enunciaremos o teorema de regularidade , o qual pode ser

demonstrado usando os Lemas precedentes juntamente com o auxílio do método de De

Giorgi (Lema de decaimento de De Giorgi).

Teorema 8.2.2. (Teorema de Regularidade C1,α) Sejam Ω ⊂ Rn, n ≥ 2 um conjunto

aberto e E ⊂ Rn um conjunto de Caccioppoli satisfazendo para α ∈ (0, 1):

ψ(E, Bρ(x)) ≤ cρn−1+2α (8.26)

para todo x ∈ Ω e todo ρ ∈ (0, R), com c e R constantes positivas.

Então a fronteira reduzida é uma hipersuperfície C1,α em Ω, e

Hs((∂∗E− ∂E) ∩Ω) = 0

para todo s > n− 8.

Mais ainda,

Teorema 8.2.3. (Miranda) Assumindo que (8.26) se verifica uniformente para qualquer

Eh, com Eh localmente convergente em Ω para algum conjunto limite E∞, temos que

se xh ∈ ∂Eh para todo h, com xh convergindo para algum ponto x∞ ∈ Ω; enquanto

se x∞ ∈ ∂∗E∞, então existe um h tal que xh ∈ ∂∗Eh para todo h ≥ h, ou seja, há

convergência no sentido de Kuratowski1 , e, o vetor normal unitário exterior a ∂Eh em

xh converge para o vetor normal unitário exterior a ∂E∞ em x∞.

Vejamos alguns resultados que surgem como complementação de nossas exposições:1Diremos que uma sequência de conjuntos (Xk) converge a X no sentido de Kuratowski se

xk ∈ Xk, xk → x⇒ x ∈ X


8.3 Pontos Singulares e Cones Mínimos

Nesta seção mostraremos que pontos singulares, apesar de não terem plano tangente

associado, ou seja, falta-lhes Geometria Diferencial, os mesmos estão associados a cones

tangentes. Provaremos assim que tais cones não existem, ou seja, ao menos se a dimensão

é baixa, n ≤ 7 para ser mais preciso. Dessa forma concluiremos novamente que em

baixas dimensões os pontos singulares não podem existir. Ter-se-á ao final um resultado

devido a Bombieri, De Giorgi e Guisti onde prova-se a existência de pontos singulares em

dimensões altas, os seja, a partir de 8.

Novamente revisitaremos o famoso processo de Blow up: o qual seria descrever um

procedimento de estudo local de singularidades, o mesmo é bastante difundido em várias

partes da matemática entre elas EDP.

Lema 8.6. Seja E um conjunto minimal em B1 tal que 0 ∈ ∂E. Para t > 0 defimamos

Et = x ∈ Rn; tx ∈ E. então dada tj → 0 sequência de números reais existe uma

subsequência sj tal que Esj converge localmente em Rn a um cone mínimo C.

Proof: Veja Giusti [3] pag. 106.

Diremos que C como acima é o cone tangente a E em 0 e o procedimento acima é o

blow-up de E em 0. Observemos que sendo E regular em 0, é de fácil constatação que

C é um semi-espaço como averiguamos no capítulo 4 deste trabalho. O próximo Lema

tratará da recíproca.

Lema 8.7. (Miranda) Suponha que Ej é uma sequência de conjuntos minimais em B1

convergindo localmente a um conjunto mínimal C. Sejam x ∈ ∂∗C e xj ∈ Ej , xj → x.

Então, se j é suficientemente grande, xj é um ponto regular para ∂Ej e νEj(xj) → ν(x),

onde ν(x) é o vetor normal relativo a Ej .


Agora poderemos enfim enunciar o:

Teorema 8.3.1. Suponha que não existam cones mínimos singulares em Rn. Então, para

qualquer E ⊂ Rn mínimal em Bρ, ∂E ∩ Bρ é hipersuperfície analítica.

Proof: É suficiente provarmos que todo ponto de ∂E∩Bρ é regular. Como Ek converge

localmente a C, cone mínimo, pelo Lema (8.6), e, por hipótese, não existem cones mínimos

x ∈⇒ ∃xk ∈ Xk, xk → x.


singulares, 0 é ponto regular de C. Pelo Lema (8.7), se j é suficientemente grande, xj =x

j

é regular em Ej . Como a transformação x→ x

jpreserva regularidade, x é ponto regular

de E.

Portanto, o problema de pontos singulares fora reduzido a existência de cones em Rn.

O próximo Teorema tratará disso.

8.3.1 O Teorema de Simon e a regularidade em dimensões baixas

(n ≤ 7)Teorema 8.3.2. (Simon) Suponha que E seja um cone mínimo tal que seu bordo ∂E

seja regular em Rn − 0. Então, ou ∂E é um hiperplano ou n ≥ 8.Proof: Veja Giusti [3] pag. 125.

Um consequência imediata do Teorema de Simons é o seguinte resultado de

regularidade:

Teorema 8.3.3. Se n ≤ 7 E é mínimo em Bρ então ∂E ∩ Bρ é hipersuperfície analítica.

Proof: Basta unir o Teorema de Simons (8.3.2) e o Teorema (8.3.1) e o resultado é

imediato.

Para encerrar esta seção, o seguinte resultado dá exemplos onde o Teorema acima

falha em dimensões altas. Vejamos:

Teorema 8.3.4. (Bombieri-De Giorgi-Guisti). Seja S o cone definido por

S = x ∈ R2m; x21 + ...+ x2m < x

2m+1 + ...+ x

22m

Se m ≥ 4, S é cone mínimo singular na origem. A demosntração deste resultado pode

ser encontrada em [43]. O cone S acima definido no caso m = 4, ou seja,

S = x ∈ R8; x21 + ...+ x24 < x

25 + ...+ x

28

é dito o cone de Simons.


8.4 Estimativa de Federer da dimensão do conjunto

singular

Uma questionamento que surge naturalmente a partir dos teoremas da seção anterior

seria: existindo os pontos singulares, qual seria o tamanho máximo do conjunto singular?

Para a pergunta fazer sentido, temos que dizer o que significa “tamanho”. Mas, isto de

certa forma já fora tratado nete trabalho: nos referimos a dimensão de Hausdorff de um

conjunto. Finalmente provaremos um teorema devido a Federer segundo o qual o conjunto

singular Σ = ∂E − ∂∗E tem dimensão de Hausdorff no máximo n − 8. Resumidamente

este teorema refina o Teorema (8.1.4) de De Giorgi-Miranda. Para tanto, será necessário

a utilização de alguns Lemas.

Lema 8.8. Seja E um conjunto mínimo em Ω ⊂ R8. Então o conjunto singular Σ ∩Ωconsiste no máximo de pontos isolados.


Observação 8.2. Sob as hipóteses do Lema acima, caso E seja um cone, então o conjunto

singular tem no máximo um ponto. De fato, se tivesse mais de um ponto então, como

E é cone, toda semi-reta ligando estes dois pontos seria formada por pontos singulares,

contrariando assim a conclusão do Lema.

Lema 8.9. Suponha que E seja um conjunto mínimal em Ω tal que Hk(Σ) > 0. Então

existe C, cone mínimo em Rn, tal que Hk(∂C− ∂∗C) > 0.


Lema 8.10. Se C é cone mínimo com Hk(∂C − ∂∗C) > 0 então existe x0 6= 0 tal que

fazendo o blow-up de C em x0 obtemos um cilindro mínimo Q = A × R com Hk(∂Q −

∂∗Q) > 0. Mais ainda, A é um cone mínimo.


Finalmente poderemos enunciar o

Teorema 8.4.1. (Federer) Suponha que E seja minimal em Ω e seja Σ = (∂E−∂∗E)∩Ω.

Então Hs(Σ) = 0 ∀s > n− 8.

Proof: Seja k > 0 com Hk(Σ) > 0. Pelo Lema (8.9) podemos construir um cone

mínimo C em Rn tal que Hk(∂C − ∂∗C) > 0. Pelo Lema (8.10), existe x0 6= 0 tal que


fazendo o blow-up de C por x0 obtemos um cilindro Q = A×R com Hk(∂Q− ∂∗Q) > 0.

Logo o cone mínimo A satisfaz Hk−1(∂A − ∂∗A) > 0. Repetindo este argumento

concluiremos que para todo m ≤ k inteiro, existe cone mínimo C em Rn−m tal que

Hk−m(∂C−∂∗C) > 0. Agora, pela observação (8.2), cones mínimos em R8 tem no máximo

um ponto singular, donde, para todo m inteiro tal que k−m > 0, vale n−m > 8. Logo

k ≤ n− 8.

O cone de Simon fornece um contra-exemplo à regularidade interior de hipersuperfícies

mínimas. No entanto, a situação é bem diferente na fronteira. Na verdade, Hardt e Simon

[104] provaram, no âmbito da teoria das correntes integrais que se a variedade fronteira

M for de classe C1,α, então a solução do problema de Plateau também será de classe C1,α

em uma vizinhança de M.

Também no âmbito das correntes integrais Almgren em [46] mostrou que para

codimensão maior que 2 se tem

Hdim(Conjunto singular de T) ≤ n− 2

onde T é uma corrente n−dimensional em Rn+k

A seguir estão dois exemplos com relação aos casos k = 1 e k > 1 respectivamente

Exemplo 8.1. T = (x, y) ∈ R4 × R4; |x| = |y| ≤ 1, com n = 7, k = 1 e ∂T = S3 × S3

Exemplo 8.2. T = (z,w) ∈ C2 = R4; z2 = w3, |z|2 + |w|2 ≤ 1, com n = 2 e k = 2

8.5 Regularidade C1,α para hipersuperfícies Minimas

Poderemos enfim nesta seção resumir os resultados obtidos nos capítulos e seções

anteriores obtidos pelos matemáticos Ennio De Giorgi, Herbert Federer, Mario Miranda

e Umberto Massari a fim de podermos enunciar um Teorema que trata de regularidade e

singularidade de hipersuperfícies mínimas.

8.5.1 O Teorema de De Giorgi-Federer-Massari-Miranda

Sejam Ω ⊂ Rn aberto, ∂Ω Lipschitz, Γ ⊂ ∂Ω um subconjunto boreliano e A ∈ L1(Ω).

Definamos:

F(E) =

∫

Ω

A(x)χE(x)dx + |DχE|(Ω) +

∫

∂Ω

|χE − χΓ |dHn−1 e seja B = B(Ω) a classe

de subconjuntos de Borel de Ω. Quando |DχE|(Ω) < ∞ então χE tem um traço em

∂Ω pertencendo a L1loc(∂Ω) A função A chama-se curvatura média generalizada do

conjunto E.


Teorema 8.5.1. Para qualquer escolha de Ω, Γ,A existe E0 ∈ B(Ω) tal que

F(E0) = inf F(B) = infE∈B(Ω)

F(E)

Proof: Veja Measure Theory and the Calculus of Variations [28].

Teorema 8.5.2. (De Giorgi-Federer-Massari-Miranda) Sejam Ω, Γ,A verificando

as hipóteses acima, e, além disso suponha |A(x)| ≤ A0 < ∞, ∀x ∈ Ω, |DϕE0|(Ω) < ∞, e

satisfazendo para α ∈ (0, 1);

ψ(E0, B(x, ρ)) ≤ cρn−1+2α (8.27)

para todo x ∈ Ω e todo ρ ∈ (0, R), com c e R constantes positivas. Então existe Ω0 ⊂ Ω

tal que

i. ∂E0∩Ω0 é uma variedade (n− 1)−dimensional de classe C1,α (para algum 0 < α <

1);

ii. Hs(Ω−Ω0) = 0, ∀s > n− 8 (para n ≤ 7,Ω−Ω0 = ∅);

iii. Assumindo que (8.27) se verifica uniformente para qualquer Eh, com Eh localmente

convergente em Ω para algum conjunto limite E∞, temos que se xh ∈ ∂Eh para todo

h, com xh convergindo para algum ponto x∞ ∈ Ω; enquanto se x∞ ∈ ∂∗E∞, então

existe um h tal que xh ∈ ∂∗Eh para todo h ≥ h e o vetor normal unitário exterior a

∂Eh em xh converge para o vetor normal unitário exterior a ∂E∞ em x∞.

Nossos esforços no decorrer desse trabalho se concentraram exclusivamente em não

supor nada a respeito da curvatura do conjunto E em questão, dessa forma segundo os

estudos de Ennio De Giorge, onde o mesmo trabalho nas condições de A ≡ 0, juntamente

com Γ = ∂Ω teremos assim que E seria um conjunto de Caccioppoli, além do mais, o

mesmo segundo o Teorema (8.5.1) seria um conjunto minimal. Portanto segundo a teoria

dos Perímetros de Ennio De Giorge o Teorema acima se reescreveria da seguinte forma:

Teorema 8.5.3. Sejam Ω ⊂ Rn aberto e E ⊂ Rn um conjunto minimal. Então a fronteira

reduzida ∂∗E é

i. uma variedade (n− 1)−dimensiomnal analítica de classe C1,α;

ii. Hs((∂E− ∂∗E) ∩Ω) = 0, se s > n− 8 ((∂E− ∂∗E) ∩Ω = ∅ se < 7).

iii. Assumindo que (8.27) se verifica uniformente para qualquer Eh, com Eh localmente

convergente em Ω para algum conjunto limite E∞, temos que se xh ∈ ∂Eh para todo


h, com xh convergindo para algum ponto x∞ ∈ Ω; enquanto se x∞ ∈ ∂∗E∞, então

existe um h tal que xh ∈ ∂∗Eh para todo h ≥ h e o vetor normal unitário exterior a

∂Eh em xh converge para o vetor normal unitário exterior a ∂E∞ em x∞.

Teorema 8.5.4. Sejam Ω ⊂ Rn um conjunto aberto e E um conjunto de perímetro finito

em Ω com curvatura média generalizada em Lp(Ω), 0 ∈ Ω ∩ ∂E.

i. (Teorema de Regularidade Fraca) Seja p ≥ n; então para toda sequência λk de

números positivos λ → ∞ existe uma subsequência µk → ∞ e um conjunto minimal

E∞ ⊂ Rn dependendo da sequência λk tal que λkE → E∞ em L1loc(R

n). Para a

dendidade de E em 0 temos 0 < Θn(E, 0) < 1. No caso de n ≤ 7 os conjuntos E∞

são semi-espços e Θn(E, 0) = 12. Para n ≥ 8 isso não é mais verdade, por exemplo,

para o cone mínimo

F = x ∈ R8; 4(x21 + x2

2 + x23) > x2

4 + x25 + x2

6 + x27 + x2

8

com um simples cálculo mostra-se que Θ8(F; 0) = 4π

(13375

+ 12arctan 2

)=

0, 748971736....

ii. (Teorema de Regularidade Forte) Seja p > n; neste caso a fronteira reduzida Ω∩∂∗E

é uma variedade (n− 1)−dimensional de classe C1,α, α ≥ p−n4p

e

Hs((∂E− ∂∗E) ∩Ω) = 0, se s > n− 8

8.5.2 Os casos p < n e p = n na análise dos teoremas de

regularidade

Esta subseção é dedica a análise via exemplos ilustrativos do caso em que o Teorema

de regularidade não é válido, ou seja, nos casos de p ≤ n.

O CASO p<n

Vejamos através de alguns exemplos que o teorema de regularidade falha.

Exemplo 8.3. Sejam α > 0, S = (x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 1, |y| ≤ xα, B o disco tangente a

|y| = xα nos pontos (1, 1), (1,−1) e E = S ∪ B.. Com um simples cálculo temos que

0 < α ≤ 12⇒ HE ∈ L∞(E);

12< α ≤ 1 ⇒ HE ∈ Lp(E) se e somente se p > 3α−1

2α−1;

α > 1 ⇒ HE ∈ L∞(E) se e somente se p < α+1α

.

Exemplo 8.4. Para o conjunto E ⊂ Rn construído no exemplo (8.3) mas agora com a

função e−1

x2 no lugar de xα se vê mediante um cálculo simples que HE /∈ Lp(E) ∀ p > 1


Exemplo 8.5. Seja ak uma sequência de números positivos decrescentes a zero e

considere a função “dente de serra” f : [−a1, a1] → R definida por f(0) = 0, f(−x) = f(x)

e

f(x) =

x− ak+1 na primeira metade do intervalo [ak+1, ak]

ak − x na segunda metade

Seja E = (x, y) ∈ R2; −a1 ≤ x ≤ a1,−1 ≤ y ≤ f(x).

Sejam ck o ponto médio de [ak+1, ak], hk = f(ck) e Tk o triângulo com vértices nos

pontos (ak+1, 0), (ck, hk), (ak, 0) e seja Bk o disco com raio rk =√2hk centrado em

(ck,−hk). Temos |Tk − Bk| =(2− π

2

)h2

k e não é difícil notar que

HE(x, y) ≤ − 2rk

= −√

2hk

para (x, y) ∈ Tk − Bk

Portanto

∫

E

|HE(x, y)|pdxdy ≥ 2

∑

k

(√2

hk

)p

|Tk − Bk| = constante.∑

k

h2−pk .

Ao escolhermos a sequência ak de tal sorte que hk =1

k(log k)2para k ≥ 2, concluiremos

que HE /∈ Lp(E) ∀ p > 1.

Este exemplo mostra que mesmo para um conjunto com boas propriedades de

regularidade (observe que ∂E é Lipschitz contínua) é possível HE /∈ Lp(E) ∀ p > 1.

O CASO LIMITE p=n

A validade ou não do Teorema de Regularidade Forte para o caso p = n foi uma

questão nada palpável nos últimos anos da década de 80. Apresentaremos aqui um simples

porém elegante exemplo a esta questão. O exemplo fora sugerido por E. De Giorgi durante

uma Coferência que se realizara em Trento em julho de 1992.

No que se segue será utilizado o seguinte resultado bem conhecido:

Proposição 8.3. Sejam Ω ⊂ Rn um conjunto aberto e E um conjunto de perímetro finito

em Ω, suponha que ∂E = Z∪Γ , onde Z é um subconjunto fechado de ∂E com Hn−1(Z) = 0

e Γ é uma variedade C1 (n − 1)−dimensional. Suponha que o vetor unitário exterior

ν : Γ → Rn possa ser extendido a um campo vetorial V : Ω → Rn, V ∈W1,1(Ω)∩L∞(Ω).

A função H(x) = −divV(x) pertence a H1 (Reveja capítulo 2 § 2.6)

Proof: Veja Gonzalez-Massari [70] pag. 26

Exemplo 8.6. (Um conjunto singular em R2 com curvatura em L2) Consideremos

as seguintes “espirais antípodas” no plano-(x, y):


Γ(t) = x(t) + iy(t) = teiθ(t) e Γ(t) = x(t) + iy(t) = tei(θ(t)+π)

onde θ(t) = log(1− log(t)), 0 < t < 1.

Claramente

Γ(t) = −Γ(t), ||Γ(t)|| = t ∀ t ∈ (0, 1) e limt→1

Γ(t) = (1, 0), limt→0

Γ(t) = (0, 0).

Denotando de E = tei(θ(t)+α); 0 < t < 1, π < α < 2π o subconjunto de B1 = B1(0, 0)

situado entre as duas espirais Γ, Γ . Claramente (0, 0) = B1∩ (∂E−∂∗E), a origem sendo

o único ponto singular de B1 ∩ ∂E.

Observe que, para todo ρ ∈ (0, 1), o círculo x2 + y2 = ρ2 tem exatamente dois pontos

situados em ∂E, a saber Γ(ρ) e Γ(ρ) = −Γ(ρ). Além disso, os vetores normais exteriores

a ∂E em Γ(ρ) e Γ(ρ) coincidem; podemos dessa forma extender ν : Γ ∪ Γ → S1 a um campo

vetorial V : B1 − (0, 0) → S1 pelo requerimento óbvio

V(x, y) = ν(x(ρ), y(ρ)), x2 + y2 = ρ2

Agora é uma tarefa simples (Veja Gonzalez-Massari-Tamanini [110]) mostrar que

divV ∈ L2(B1). Além disso, da Proposição (8.3) segue que H(x, y) = −divV(x, y) é

uma curvatura para E em B1.

8.5.3 Comentários Finais

Como fora inserido acima, todos os resultados referentes a regularidade C1,α e

estimativa do conjunto singular podem ser obtidos sob as hipóteses do conjunto de

Caccioppoli E ter curvatura média A(x) generalizada limitada em Lploc(Ω) ou mesmo

em Rn, tais hipóteses são tratadas por Massari em [57], [68], [70] e [75]. Trabalhos

na linha de regularidade C1,α de fronteira reduzida minimal com obstáculo também

foram desenvolvidos com sucesso por Barozzi-Massari [73] como também a estimativa do

conjunto singular. Gonzalez-Massari-Tamanini [84] provaram resultados de regularidade

(analiticidade) de fronteiras mínimas e estimativa do conjunto singular nas hipóteses da

mesma ter um volume prescrito.

Ressaltamos que os resultados aqui expostos fazem referência ao que coloquialmente

se concebe como Geometria Diferencial fraca, pois não dispomos de resultados vinculados

a classe de diferenciabilidade dos objetos em questão por exemplo. Salientamos que

toda teoria de Superfícies mínimas segundo os contextos de Geometria Diferencial pode

ser levada, no caso adaptada, e construída, no novo contexto de Teoria Geométrica da

Medida, como fora construído nesse texto a recíproca é verdadeira, toda superfície mínima

em Teoria Geométrica da Medida será uma superfície mínima segundo o contexto e a


concepção de Geometria Diferencial.

Vejamos alguns exemplos clássicos de superfícies mínimas nas figuras abaixo.

Figura 8.2: Superfície Mínima de Celso José da Costa.

Figura 8.3: Superfície Mínima 3−nóide de Jorge-Meeks.

Capítulo 9

Teoria de De Giorgi-Nash-Moser

Conteúdo

9.1 De Giorgi e o 19o problema de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

9.1.1 Subsoluções são limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

9.1.2 O Lema de Oscilação de De Giorgi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

9.2 A equivalência entre as Teorias de De Giorgi e Nash-Moser . . . . . . . . . . . 175

9.2.1 A Desigualdade de Harnack e o Teorema de De Giorgi-Nash-Moser . . . 175

9.3 Uma aplicação geométrica do Teorema de De Giorgi-Nash-Moser . . . . . . . . 176

9.4 Regularidade básica das soluções de divA(x,Du) = 0 em Ω . . . . . . . . . . . 177

Neste capítulo desenvolveremos a Teoria de Regularidade de De Giorgi-Nash-Moser: a

mesma trata da regularidade de soluções de equações diferenciais parciais elípticas de

segunda ordem da forma divergente, nesse contexto não se exige regularidade alguma dos

coeficientes, somente que os mesmos sejam limitados, mensuráveis e elípticos. Chegaremos

a conclusão que tais soluções são Hölder contínuas.

9.1 De Giorgi e o 19o problema de Hilbert

O 19o problema de Hilbert faz o seguinte questionamento: As soluções das lagrangianas

são sempre analíticas?

E(u) =

∫

Ω

F(Du)dx → min. (9.1)

Em Cálculo das Variações se estuda o problema geral de minimização do funcional

acima, onde F é exigido ser uma função convexa. Fixado um valor de fronteira, digamos

u = f em ∂Ω, a existência de um mínimo para E em um espaçoo de Sobolev adequado,

W1,p(Ω) é uma simples consequência de reflexividade do espaço de Sobolev em questão e

a semi-continuidade inferior fraca do funcional.

166

CAPÍTULO 9. TEORIA DE DE GIORGI-NASH-MOSER 167

Analizemos agora o 19o problema de Hilbert a luz de técnicas de EDPs. Uma vez

encontrado um mínimo, u para (9.1), dado qualquer função suave ϕ com suporte em Ω

e qualquer t ∈ R, a função ut := u + tϕ “compete” com u no problema de minimização

(9.1). Assim, a função de variável real e(t) := E(u + tϕ) tem t = 0 como ponto de

mínimo. Se diferenciarmos e com respeito a t, obteremos a seguinte relação:

∫

Ω

DϕFj(Du)dx = 0

Ao integrarmos por partes obteremos a seguinte equação de Euler-Lagrange

(não-linear)

div(fj(Du)) = 0 (9.2)

Diferenciando (9.2) obteremos

∑

i,j

Fij(Du)Dij = 0 (9.3)

A convexidade do potencial F garante a elipticidade da matriz Fij. Porém , tendo u

apenas derivadas fracas, de forma independente a suavidade de F, os coeficientes da matriz

são somente mensuráveis.

Se conseguíssemos inferir regularidade Hölder contínua de Du então a teoria clássica

de Schauder aplicada a (9.3) nos forneceria regularidade C2,α para u. Portanto, F(Du)

seria C1,α e novamente via a teoria de Schauder, esta nos forneceria que u é C3,α. Se

continuarmos com tal argumento de bootstrap, concluiremos que u é de classe C∞. Dessa

forma se F fosse analítica e sendo u de classe C∞, sua analiticidade seria obtida por

argumentos padrões. Mediante a análise acima fica claro que para inferirmos regularidade

alta de u devemos de fato analisar a regularidade da primeira derivada de u. Portanto,

fixada uma direção µ é de bom tom estudarmos a equação diferencial parcial que uµ

satisfaz. Para tanto, diferenciemos (9.2) na direção µ e vejamos que

div(Fij(Du)Duµ) = 0 (9.4)

a primeira derivada de u satisfaz uma equação elíptica com coeficientes a princípio somente

mensuráveis e limitados.

Ennio De Giorgi produzira uma esplêndida demonstração para o 19o problema

de Hilbert baseado em um Teorema que atualmente é conhecido como Teorema de

regularidade de De Giorgi, o qual nos fornece Hölder continuidade de soluções de EDPs

elípticas de segunda ordem da forma divergente, diferentemente a Teoria de Shauder, sem

se assumir como hipótese a suavidade dos coeficientes. Nosso objetivo será estabelecer


Hölder continuidade para as soluções de div(Fij(Du)Duµ) = 0 quando os Fij são a

princípio somente mensuráveis e limitados.

Tais resultados serão obtidos mediante o

Teorema 9.1.1. (De Giorgi) Seja aij uma matriz uniformente elíptica, isto é, existem

constantes 0 < λ ≤ Λ < ∞ tais que λI ≤ aij(X) ≤ ΛI, e u uma solução no sentido das

distribuições de

div(aij(X)Du) = 0 em B1 (9.5)

então, existe um expoente universal 0 < α < 1 tal que u é α−Hölder contínua em B 12.Além

disso,

|u|Cα(B 12) ≤ C|u|L2(B1),

onde C é universal, isto é, depende apenas da dimensão e elipticidade.

A demonstração do Teorema de regularidade de De Giorgi será dividida em duas fases:

na primeira fase nos trabalharemos na limitação pontual da solução por sua norma L2,

e, finalmente demonstração de um lema de decaimento de oscilação também devido a De

Giorgi.

9.1.1 Subsoluções são limitadas

O primeiro passo para a demonstração do Teorema de regularidade de De Giorgi será a

análise do Lema L2 ⇒ L∞, o qual fornece controle pontual de uma subsolução em termos

de sua norma L2.

Lema 9.1. (L2 ⇒ L∞). Seja u uma solução de (9.5), isto é,

div(aij(X)Du) ≥ 0

no sentido das distribuições. Existe um δ > 0, universal tal que

||u+||L2(B1) ≤ δ implica ||u+||L∞(B 12) ≤ 1

De maneira direta podemos constatar via um argumento de renormalização que o

Lema (9.1) fornece a estimativa

||u+||L∞(B 12) ≤ δ−1||u+||L2(B1).

A demonstração deste lema é obtida como consequência da competição entre duas

desigualdades: a desigualdade de Sobolev( satisfeita para qualquer função f ∈ H10, veja


por exemplo Evans [2]) e uma estimativa de energia para subsoluções. Recorde por um

instante que a desigualdade de Sobolev assegura que dada f ∈ H10(B1) então

||f||Lp(B1) ≤ C||∇f||L2(B1),

com p =2n

n− 2> 2.

Lema 9.2. (Estimativa de Energia para subsoluções). Seja v ≥ 0 uma subsolução

de (9.5), isto é, v satisfaz

div(aij(x)Dv) ≥ 0 em B1,

no sentido das distribuições. Então, para qualquer ψ ∈ C∞

0 (B1), temos

∫

B1

|D(ψv)|2dx ≤ C sup |∇ψ|2∫

B1

(v)2dx. (9.6)

Proof: Fixado ψ ∈ C∞

0 (B1), ao utilizarmos ψ2v como função teste poderemos inferir

que ∫

B1

(ψ2v)div(aij(x)Dv)dx ≥ 0.

Ao fazermos a integraçãom por partes da sentença acima a mesma nos fornecerá

∫

B1

D(ψ2v).(aij(x)Dv)dx ≤ 0, (9.7)

como também tem-se

∫

B1

ψ2v.aij(x)Dvdx ≤∫

B1

2|ψvDψ.aij(x)Dv|dx. (9.8)

Se λ ≤ Λ forem as constantes de elipticidade de aij então

∫

B1

ψ2|Dv|2dx ≤ Λ

λ

∫

B1

2|vDψ|.|ψDv|dx ≤ Λ

λ

sup |Dψ|2

ǫ

∫B1v

2dx+ ǫ

∫

B1

ψ2|Dv|2dx

Dessa forma, se escolhermos ǫ suficientemente pequeno, poderar-se-á absorver o

segundo termo do lado direito da equação e encontrar que

∫

B1

ψ2|Dv|2dx ≤ C sup |Dψ|2∫

B1

v2dx (9.9)

Para finalizarmos a prova deste Lema basta observarmos que

|D(ψv)|2 ≤ 2(|Dψ|2v2 +ψ2|Dv|2),


e isso conclui a prova do Lema (9.2).

Iremos agora a demonstração do Lema (9.1), onde a mesma se fará segundo a

confrontação de duas desigualdades que competem com “homogeneidades” diferentes. De

fato, a estimativa de energia, Lema (9.2), é uma relação de ordem “2 ⇔ 2”, enquanto que

a desigualdade de Sobolev fornece uma relação da forma “2 ⇔ p”, para p > 2.

Proof:(Lema 9.1) A prova consiste primeiramente em construir uma família de

funções corte radiais que convergem para a função característica da bola de raio 12:

ψk(x) =

1, em B 12+2−k

0, em B1 − B 12+2−(k−1)

(9.10)

De fato é possível escolher ψ de sorte que |Dψk| ∼ 2k em B 12+2−(k−1) − B 1

2+2−k .

Além disso, observe que por construção temos ψk−1 ≡ 1 em spt(ψk).

Agora ao aplicarmos o Lema (9.2) com ψ = ψk e substituindo v por

uk = (u− [1− 2−k])+,

onde é de fácil verificação que a mesma ainda é uma subsolução.

A estratégia será verificarmos que ao se chegar em B 12

via os anéis diádicos, uk irá se

anular. Matematicamente mostraremos que uk → 0 em L2, e portanto u+ ≤ 1 em B 12.

Para tanto iremos aplicar a desigualdade de Sobolev e enfim concluir que

C

∫

B1

|D(ψkuk)2|dx ≥

[∫

B1

|ψkuk|pdx

] 2p

(9.11)

A desigualdade de Hölder fornece que

∫

B1

|ψkuk|2dx ≤ |ψkuk > 0|µ

[∫

B1

|ψkuk|pdx

] 2p

, (9.12)

para algum expoente µ > 0 explicitamente calculável, se assim o for desejado. Ao

combinarmos (9.11) e (9.12) teremos

∫

B1

|ψkuk|2dx ≤ C|ψkuk > 0|µ

∫

B1

|D(ψkuk)|2dx (9.13)

Agora denotemos Ak := ||ψkuk||2L2. Ao inserirmos agora a estimativa fornecida pelo

Lema (9.2) na desigualdade (9.13) e salientando que ψk−1 ≡ 1 em spt(ψk) e que uk ≤ uk−1


a fim de obtermos o seguinte controle

Ak ≤ 22kC|ψkuk > 0|µ∫

B1

(ψk−1uk−1)2dx (9.14)

Tendo em vista a definição da sequência uk, teremos que

x ∈ B1;uk−1(x) > 2−k ⊂ x ∈ B1;uk(x) > 0

Como ψk > 0 implica ψk−1 ≡ 1, temos ψkuk > 0 ⊂ ψk−1uk−1 > 2−k

A desigualdade de Chebyshev assegura que

|ψkuk > 0| ≤ |ψk−1uk−1 > 2−k| ≤ 22k

∫

B1

(ψk−1uk−1)2dx. (9.15)

Finalmente ao combinarmos (9.14) e (9.15) obteremos a relação recursiva não linear

Ak ≤ C[22kAk−1]µ+1 (9.16)

Observamos que não é de difícil verificação que mediante (9.16) se A0 é suficientemente

pequeno, então Ak → 0 quando k → 0 e desse modo o Lema (9.1) está demonstrado

9.1.2 O Lema de Oscilação de De Gorgi

Neste tópico iremos demostrar o decaimento geométrico da oscilação de uma solução

da equação (9.5), da qual implica em Hölder continuidade na origem. Lembremos que a

noção de oscilação é definida por

oscΩf := supΩ

f− infΩ

f

A ideia geométrica da prova será a seguinte: seja u uma solução de (9.5) entre,

digamos −1 e 1. Devido ao Lema de energia, u+ tem norma H1 controlada universalmente.

Cortamos o gráfico de u ao nível 12, isto é, definimos v1 := minu+; 1

2. Como a norma H1

mensura em termos integrais a magnitude do gradiente de uma função, é esperado que u+

requera espaço para ir do conjunto onde ele se anula para o conjunto u+ = 12 = v1 = 0.

Assim Ln(v1 = 0) é uma proporção fixa maior do que Ln(u+ = 0). Olhamos agora para

a parte de cima do truncamento, ou seja, v2 = max 12, u+. Renormalizamos a figura

para a bola unitária e aplicamos novamente o argumento acima. Repetimos o processo

indutivamente. Como a cada passo ganhamos uma proporção fixa no volume onde a

função se anula, em um número finito de passos a sequência de funções contruídas terá


norma L2 tão pequena quanto desejarmos. O Lema (9.1) garante então que para algum k0

universal, uk0−1 ≤ 12

em B 12, o que, em termos da função original, implica u+ ≤ 1− 2−k0 ,

com k0 universal. Ou seja,

oscB 12

u ≤ 2− 2−k0 = 2θ,

com θ < 1 universal.

Lema 9.3. (Lema de oscilação de De Giorgi). Seja u uma solução fraca de (9.5)

em B1. Assuma que oscB1u = 2. Então

oscB 12

≤ 2θ,

para algum θ < 1 que depende exclusivamente da dimensão e das constantes de elipticidade

de aij.

Proof: A demostração deste Lema é bastante geométrica e intuitiva. Inicialmente

adicionando uma constante se necessário, podemos assumir que

−1 ≤ u(x) ≤ 1 em B1.

Seja δ como no Lema (9.1). Observe primeiramente que se u+ quando restrito digamos

à B 34

for pequeno, ou seja, se

||u+||L2(B 34) <

δ

2,

então o Lema (9.1) nos garanteria que u+ < 12

em B 12

e assim

oscB 12

≤ 3

2,

e a prova do Lema estaria completa. Nossa estratégia será produzir esta exata situação

via um número finito (e sob controle universal) de escalonamentos e normalizações como

previsto inicialmente. Começamos com uma observação: em B 34, ou u está pelo menos

em metade do volume de B 34

acima de zero ou pelo menos em metade do volume de B 34

abaixo de zero. Sem perda de generalidade, vamos assumir que u+ = 0 em pelo menos

metade de B 34.

O controle qualitativo do espaço que uma função no H1 requer para ir de 0 a 1 é

consequência do seguinte importante Lema da teoria do potencial, também devido a De

Giorgi.

Lema 9.4. (Lema isoperimétrico de De Giorgi). Seja w uma função do H1(B1)

satisfazendo,

0 ≤ w ≤ 1 e

∫

B1

|Dw|2dx ≤ 1


. Se denotarmos A := w = 0, C := w = 1 e D := 0 < w < 1, teremos

[Ln(D)] 12 ≥ cnLn(A).[Ln(C)]n−1n ,

onde cn é uma constante dimensional.

Proof: Seja x0 um ponto genérico em C. Para cada vetor unitário σ tal que x0 + tσ

intersecta A, digamos em y = x0 + lσ escrevemos

1 = u(x0) = −

∫ l

0

Dru(x0 + rσ)dr (9.17)

Seja U ⊂ Sn−1 o conjunto de todos estes vetores unitários, isto é,

U := σ ∈ Sn−1; a linha x0 + tσ intersecta A

Ao utilizarmos coordenadas polares e posteriormente retornando às coordenadas

cartesianas, obteremos, ao integrar (9.17) em U, a seguinte estimativa

Hn−1(U) ≤∫

σ∈U

∫ 〈y−x0,σ〉

0

Dru(x0 + rσ)drdσ ≤∫

D

|∇u(y)(y− x0)|

|y− x0|n−1dy ≤

∫

D

|∇u(y)|

|y− x0|n−1dy.

(9.18)

Considerações geométricas elementares comparando o volume do cone que contem

A e a área da casca esférica delimitada por ele, U, mostra que existe uma constante

dimensional cn > 0, tal que

Ln(A) ≤ cnHn−1(U) (9.19)

Integramos agora (9.18) sobre C, levando em consideração (9.19) e concluímos

Ln(C).Ln(A) ≤ cn

∫

D|∇u(y)|

(∫

C

dx0

|y− x0|n−1

)dy (9.20)

Observamos agora que a função

x0 7→(

1|y−x0 |

)n−1

é radial e decrescente. Portanto, dentre todos os conjuntos com volume, Ln(C), sua

integral será maximizada quando C for a bola centrada em x0 e raio r0 = [w−1n Ln(C)] 1n .

Assim, se voltarmos à desigualdade (9.20), podemos estimar, com o uso da desigualdade

de Hölder, e do controle ||∇u||L2 ≤ 1,

Ln(C).Ln(A) ≤ cn

w1nn

[Ln(D)] 12 [Ln(C)] 12

o que finalmente fornece a estimativa por baixo desejada para Ln(D)


Continuamos com a prova do Lema de oscilação. Iniciamos nosso processo com u0 =

u+. Como já concordado, podemos assumir

Ln(u0 = 0 ∩ B 34) =: Ln(A0) ≥

1

2Ln(B 3

4).

Definimos então u1 := 2(u0 −

12

)+,A1 := u1 = 0 =

u0 ≤ 1

2

e indutivamente

uk := 2k(u0 − (1− 2−k))+,Ak := uk = 0 =

u0 ≤ 1−

1

2k

Observamos que cada função uk é uma subsolução da equação (9.5) e que uk(x) ≤ 1.

A estimativa da energia, Lema (9.2), fornece controle universal à norma H1 de uk em B 34.

Observamos ainda que

Ak+1 =

uk ≤

1

2

.

O Lema isoperimétrico, isto é, Lema (9.4), garante que em cada passo adicionamos uma

proporção fixa ao volume do conjunto Ak. Assim em um número finito de passos, recaimos

na situação ||uk||L2(B 34) ≤ δ

2, onde δ

2é o número do Lema (9.2) e a prova está concluída.

Para verificarmos analiticamente esta última asserção, argumentamos da seguinte forma:

Lema (9.4) fornece a seguinte estimativa recursiva

[Ln(Ak+1)]12 ≥ cnLn(Ak).Ln(uk ≥

1

2)

n−1n (9.21)

Para efeito de simplificação de notação, denotaremos

cnLn(uk ≥1

2)

n−1n =: γk

Aplicando (9.21), sucessivamente, encontramos

[Ln(Ak+1)] ≥ γekk [Ln(A0)]

2k ,

onde ek = 1+ 2ek−1, e1 = 1; ou seja, ek = 2k−1 + 2k−2 − 1≪ 2k. Como

Ln(A0 ≥1

2[Ln(B 3

4)],

concluímos que em um número finito (e universal) de passos, digamos, após k0 iterações,

Ln

(uk0 ≥

1

2

)≤ δ

2.


Mas assim, ||uk0+1||L2(B 34) ≤ δ

2,

e finalmente isto implica, em termos do Lema (9.2), que

uk0+1 ≤1

2⇔ u0 ≤ 1− 2−k0 , em B 1

2

e isso finaliza a demonstração do Lema.

9.2 A equivalência entre as Teorias de De Giorgi e

Nash-Moser

Resaltamos que subsequentemente aos trabalhos de De Giorgi, Moser e Nash em

trabalhos independentes conseguiram estabelecer Desigualdade de Harnack para as

soluções de (9.5), a qual implica em Hölder continuidade das soluções. Atualmente,

se concebe que se pode adequar a estratégia de De Girogi a fim de obter uma nova

demonstação da Desigualdade de Harnack. Portanto as teorias de De Giorgi e Nash-Moser

são dessa forma equivalentes.

9.2.1 A Desigualdade de Harnack e o Teorema de De

Giorgi-Nash-Moser

Teorema 9.2.1. (Desigualdade de Harnack) Seja u ∈W1,2loc uma solução fraca positiva

da equação

Di(aijDlu) = 0 (9.22)

em uma bola BR com coeficientes aij mensuráveis e limitados satisfazendo a desigualdade

aijξiξj ≥ ν|ξ2|, ν > 0 (9.23)

Então para todo α < 1 existe uma constante c dependendo de α, mas não de u, tal que:

supBαR

u ≤ c(α) infBαR

u (9.24)

Proof: Veja Gilbarg-Trudinger [105] pag. 199.

Como uma consequência da Desigualdade de Harnack, como já fora argumentado

acima, poderemos provar o Teorema de De Giorgi-Nash-Moser


Teorema 9.2.2. (De Giorgi-Nash-Moser) Seja u uma solução da equação (9.22) com

condições (9.23). Então u é Hölder contínua em Ω.

Proof: Sejam x0 ∈ Ω e BR(x0) ⊂⊂ Ω. Para r < R tomemos:

m(r) = infBR(x0)

u M(r) = supBR(x0)

u w(r) = M(r) −m(r)

As funções v(x) = u(x) − m(r) w(x) = M(r) − u(x) são soluções positivas de (9.22)

em BR(x0). De (9.24) com α = 12

teremos dessa forma

M( r

2

)−m(r) ≤ c

[m(

r

2) −m(r)

]M(r) −m

( r

2

)≤ c[M(r) −M

( r

2)]

Ao adicionarmos estas duas desigualdades obteremos

w(r) +w( r

2

)≤ c

[w(r) −w

( r

2

)]

e consequentemente

w( r

2

)≤ c− 1

c+ 1w(r)

. Ao tomarmos θ =c− 1

c+ 1teremos via indução que w(2−kR) ≤ θkw(R) e segue por w ser

uma função não-decrescente que

w(r) ≤ θ−1( r

R

)−logθlog2

w(R)

Tal desigualdade implica que u ∈ C0,γ, com γ = −logθ

log2

9.3 Uma Aplicação geométrica do Teorema de De

Giorgi-Nash-Moser

Uma das mais importantes e conhecidas aplicações do Teorema de regularidade de De

Giorgi-Nash-Moser confere diferenciabilidade de superfícies mínimas. De fato, o Teorema

(9.2.2) informa que uma superfície minima Lipschitz S é localmente C1,α. Vejamos uma

demosntração de tal afirmativa: Com efeito, se uma superfície mínima S puder ser escrita

(localmente) como o gráfico de uma função Lipschitz f, os seja, S ∩ Bρ = (x, f(x)), então

para quase todo x ∈ Bρ tem-se que

div

(∇f

(1+ |∇f|2)12

)= 0 (9.25)


Além disso, ao fixarmos uma direção µ e difinirmos ν = Dµf, é de fácil constatação

através de (9.25) que ν satisfará div(aijDν) = 0 onde aij é uma matriz elíptica mensurável

e limitada. Assim o Teorema de De Giorgi-Nash-Moser (9.2.2) fornece que ν é Hölder

contínuo. Em outras palavras, f é C1,α.

Observação 9.1. Em particular, vimos que dado um conjunto de Caccioppoli E se ν(x)

não varia muito então o conjunto E tem fronteira localmente Lipschitz, ou seja,

∂E ∩Ω = (y, t);y ∈ A, t = f(y),

onde A ⊆ Rn−1 é um conjunto aberto e f : A → R uma função Lipschitz. Além disso, se

tivermos x ∈ ∂E satisfazendo (CDG), ou seja, as condições do Lema de Decaimento de De

Giorge então x ∈ ∂∗E. Mediante a junção das duas alíneas acima podemos argumentar

que localmente a fronteira reduzida de um conjunto minimal é localmente o gráfico de

uma função Lipschitziana, logo satisfaz a equação das superfícies mínimas, pelo Teorema

de De Giorgi-Nash-Moser (9.2.2) isso nos fornece que a mesma é Hölder contínua, C0,α,

para algum 0 < α < 1. Mas,isso fornece, novamente, via Teoria de Equações Diferenciais

Parciais Elípticas que a fronteira reduzida ∂∗E é uma hipersuperfície de classe C0,α.

9.4 Regularidade básica das soluções de divA(x,Du) = 0

em Ω

Consideremos agora as soluções fracas da equação

divA(x,Du) = 0 em Ω; (9.26)

a saber, funções u ∈W1,2loc tais que para toda ϕ ∈ C∞

0 (Ω):

∫Ai(x,Du)Diϕdx = 0. (9.27)

O campo de vetores A(x, p) é suposto satisfazer as seguintes desigualdades:

|A(x, p)| ≤ c1|p|+ |f(x)| (9.28)

λ|ξ|2 ≤n∑

i,j=1

∂Ai

∂pi

ξiξj ≤ Λ|ξ|2 ∀ξ ∈ Rn (9.29)


com f ∈ L2loc(Ω) e λ,Λ > 0.

Em particular estaremos interessados no caso

A(p) = T(p) =p

(1+ |p|2)12

.

Teorema 9.4.1. Seja u ∈W1,2loc uma solução fraca da equação (9.27) e suponha que (9.28)

e (9.29) são satisfeitos, e além disso

∣∣∣∣∂Ai

∂xj(x, p)

∣∣∣∣ ≤ c1|p|+ |f(x)|. (9.30)

Então u ∈W2,2loc e toda derivada w = Dsu satisfaz a equação

∫

Ω

aij(x)Djw+ bi(x)Diϕdx = 0, ∀ϕ ∈ C∞

0 (Ω). (9.31)

onde aij(x) =∂Ai

∂pj

(x,Du(x)) e bi(x) =∂Ai

∂xs

(x,Du(x)).

Proof : Veja Giusti [3] pag. 227.

Vejamos agora a equação não-homogênea

∫aij(x)Dju− fiDiϕdx = 0 ϕ ∈ C∞

0 (Ω). (9.32)

Nós investigaremos a regularidade das soluções nos espaços de Sobolev Wm,2 e no

espaço de Hölder Cm,α.

Teorema 9.4.2. Seja u ∈ W1,2loc uma solução da equação (9.32), com os coeficientes aij

satisfazendo as condições de elipticidade (9.23). Se os coeficientes aij são de classe Cm e

fi ∈Wm,2loc (Ω), então u ∈Wm+1,2

loc (Ω).

Proof: Se m = 1 o resultado segue do Teorema (9.4.1). Procedemos agora via

argumento de indução. Suponhamos que tal propriedade seja válida para m e seja

aij ∈ Cm+1, e fi ∈ Wm+1,2loc . A função u está em Wm+1,2

loc (Ω), e sua derivada w = Dsu

satisfaz a equação (9.31) com

bi =∂aij

∂xs

Dju−∂fi

∂xs

∈Wm,2loc (Ω).

Portanto podemos concluir que w ∈ Wm+1,2loc e dessa forma u ∈ Wm+2,2

loc (Ω) finalizando

assim a prova por indução.


Teorema 9.4.3. Seja u ∈ W1,2loc(Ω) uma solução da equação (9.32) com condições

(9.23). Suponha que os coeficientes aij e as funções fi são de classe Cm,α(Ω). Então

u ∈ Cm+1,α(Ω).

Sketch Para o caso m = 0 o resultado é usualmente obtido por meio de uma

representação da solução. O caso geral concebese como acima via um argumento de

indução.

Observação 9.2. Uma demonstração diferenciada, com um método o qual tem sido

bastante utilizado em várias circunstâncias, é o devido a Campanato [80] e pode ser

encontrado em Giusti [81]. Em particular, se os coeficientes e as f ′is são infinitamente

diferenciáveis, a solução u será de classe C∞

Teorema 9.4.4. Seja u ∈ W1,2loc uma solução fraca da equação (9.26) com condições

(9.27) e (9.28) , e, com coeficientes independentes de x. Suponha que as funções Ai são

de classe Cm,α. Então u ∈ Cm+1,α.

Proof: Pelo Teorema (9.26) a função w = Dsu é uma solução da equação

∫aij(x)DjwDiϕdx = 0∀ ϕ ∈ C∞

0 (Ω)

com

aij(x) =∂Ai

∂pj

(Du(x)).

Pelo Teorema de De Giorgi-Nash-Moser (9.2.2), w é Hölder contínua com algum

expoente β e portanto u ∈ C1,β. Agora, seja m = 1, então temos aij ∈ C0,σ para algum σ >

0, e pelo teorema (9.4.3) u ∈ C2,σ(Ω). Mas, agora aij ∈ C0,α e novamente pelo Teorema

(9.4.3), u ∈ C2,α e o Teorema fica demonstrado para o caso m = 1. A demonstração será

via indução. Suponha agora que o resultaso seja válido para o caso geral, ou seja, m, e

seja Ai(p) ∈ Cm+1,α. A hipótese de indução nos fornece que u ∈ Cm+1,α(Ω) e dessa forma

aij ∈ Cm,α(Ω). Uma aplicação adicional do Teorema (9.4.3) fornece que w ∈ Cm+1,α e

portanto u ∈ Cm+2,α(Ω)

Observação 9.3. Em particular, via um argumento tipo bootstrap, se as funções Ai são

de classe C∞, o mesmo será verdade para u. Mais ainda, se os coeficientes são (reais)

analíticos, a solução u será analítica, um resultado cuja prova pode ser encontrada em

Morrey [64].


Observação 9.4. Em particular, segue do argumentado acima que a fornteira ∂E ∩B(x, ρ), respectivamente, a fronteira reduzida ∂∗E∩B(x, ρ), são hipersuperfícies analíticas,

pois localmente elas satisfazem as condições do Teorema (9.4.4) acima. Portanto isso

completa de fato a demonstração do Teorema (8.1.3).

Capítulo 10

Aplicação à Teoria de Variedades

Mínimas

Conteúdo

10.1 Teorema de Regularidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

10.2 Cones Mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

10.3 Problema de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

10.1 Teorema de Regularidade

Definição 10.1. Um conjunto E ⊂ Rn tem fronteira mínima em Ω se

i. Per(E,Ω) < ∞

ii. Per(E,Ω) ≤ Per(F,Ω), qualquer que seja o conjunto mensurável F tal que (F−E)∪(E− F) é relativamente compacto em Ω

Observação 10.1. Se f ∈ C2(B), onde B é um aberto de Rn e f é a solução da equação

das superfícies mínimas, isto é,

div

(gradf√

1+ |gradf|2

)(x) = 0, ∀x ∈ B

então o conjunto E = (x, t); x ∈ B, t < f(x) ⊂ Rn × R tem fronteira mínima no aberto

Ω = B×R. Para a prova deste fato são necessários alguns cálculos e pode ser encontrada

em Miranda [56].

É de fácil concepção que se ∂E é minima em Ω e se Ω ∪ ∂E é o gráfico de uma

função, então esta função é solução da equação das superfícies mínimas. Poderemos então

181

CAPÍTULO 10. APLICAÇÃO À TEORIA DE VARIEDADES MÍNIMAS 182

considerar uma formulação generalizada do problema das superfícies mínimas (Problema

de Plateau):

PROBLEMA DE PLATEAU (para fronteiras) Seja E mensurável e Ω ⊂ Rn

aberto com Per(E,Ω) < ∞. Seja A aberto e relativamente compacto em Ω. Desejamos

encontrar M conjunto mensurável tal que

i. M−A = E−A

ii. Per(M,Ω) = Per(N,Ω) para todo N mensurável com N−A = M−A.

O Problema de Plateau para fronteiras tem a seguinte solução

Teorema 10.1.1. (Existência de fronteiras mínimas) Quaisquer que sejam E, Ω e

A existe M verificando (i) e (ii)

Como fora desenvolvido, a demonstração de tal resultados se concebe mediante

resultados de compacidade, segundo se encontra no capítulo 2 deste trabalho.

Ennio De Giorgi em 1960 provou a seguinte propriedade das fronteiras mínimas

Teorema 10.1.2. (De Giorgi) Se E tem fronteira mínima no aberto Ω ⊂ Rn então

i. ∂∗E ∩Ω é uma superfície analítica (n− 1)−dimensional

ii. Hn−1((∂E− ∂∗E∩)Ω) = 0

Como vimos nos capítulos precedentes a demosntarção desse Teorema se mostrou

bastante sofisticada se utilizando principalmente para a mesma o Lema de De Giorgi e a

Teoria de Regularidade de De Giorgi-Nash-Moser. Como fora mostrado também Herbert

Federer melhorou a estimativa dos pontos singulares provando nas hipóteses do Teorema

de De Giorgi, que

Hs(∂E− ∂∗E) = 0, ∀s > n− 8

O resultado de De Giorgi-Federer foi generalizado por U. Massari (ver [57]), no caso

de fronteiras com curvatura média limitada. Na formulação do resultado de Federer está

contido o resultado que

∂E− ∂∗E = ∅ se n < 8

isto é, o fato que as fronteiras mínimas de dimensão menor ou igual a 6 não tem pontos

singulares.


10.2 Cones Mínimos

A obtenção da dimensão do conjunto singular fora um trabalho elaborado que contou

com as contribuições de W.H.Fleming, E. de Giorgi, F. Almgren e J. Simons. Para

obtê-los, a técnica usada foi o estudo de cones tangentes nos pontos de ∂E− ∂∗E

CONES TANGENTES: Como já vimos, se x ∈ ∂E− ∂∗E seja

Eρ = y; x+ ρy ∈ E, 0 < ρ < dist(x, ∂E)

Sendo ∂E mínima em Ω temos

Per(∂E ∩ Bρ(x)) ≤ nwnρn−1, ∀ ρ < dist(x, ∂E)

Então,

Per(∂Eρ ∩ B1(x)) ≤ nwn, ∀ ρ < dist(x, ∂E)

A família Eρ é compacta com respeito à convergência L1loc(B1), logo existem

sequências ρh → 0 e conjuntos E tais que

Eρh → E, em L1loc(B1).

O conjunto E tem necessariamente fronteira mínima em B1 e dessa forma deve ser

um cone! (Como fora apresentado no capítulo 8 deste trabalho). O Lema de De Giorgi

implica que se esse cone é um semi-espaço então ∂E é analítica em E. Como já vimos J.

Simons provou em 1968 que qualquer cone mínimo em Rn, n ≤ 7 é um semi-espaço. Este

resultado é suficiente para concluir que as fronteiras mínimas em Rn, n ≤ 7 são analíticas.

Finalmente, o problema da existência de pontos singulares para fronteiras mínimas em

Rn, n ≥ 8, como já fora citado foi resolvido por E. Bombieri, E. De Giorgi e E. Giusti em

1969, quando os mesmos provaram que o cone de Simons

S = x ∈ R8; x21 + ...+ x2

4 < x25 + ...+ x2

8

tem fronteira mínima. Outros resultados sobre a existência de cones mínimos singulares

foram obtidos por P. Simões [106] e B. Lawson [107].


10.3 Problema de Bernstein

Em 1915, S. Bernstein em [47] provou que as funções afins u(x) = 〈a, x〉 + b são as

únicas soluções inteiras da equação das superfícies mínimas no plano

∑

i

Di

Diu√

1+ |Du|2

= 0 em R2 (10.1)

Este teorema sugeriu o seguinte problema: Existem soluções inteiras da equação (10.1)

em Rn? Esse problema ficou conhecido como o Problema de Bernstein. Com os trabalhos

de Fleming [48], Almgren [49], De Giorgi [50],[51], [52], [53] e Simons [54] o Problema de

Bernstein foi parcialmente resolvido com o seguinte Teorema

Teorema 10.3.1. (Bernstein Problem - Parte I) Seja u : Rn → R uma solução

inteira da equação (10.1). Então n ≥ 8 ou o gráfico de (10.1)é um hiperplano.

E finalmente resolvido com os exemplos de Bombieri-De Giorgi-Giusti [43] sobre cones

mínimos.

Teorema 10.3.2. (Bernstein Problem - Parte II) Seja n ≥ 8 . Então existem

soluções inteiras da equação (10.1) cujos gáficos não são hiperplanos.

Estas soluções não são construidas explicitamente e muitos aspectos das mesmas são

desconhecidos. Por exemplo, essas soluções tem crescimento polinomial [55]? O Cone

Tangente no Infinito do gráfico de uma solução inteira de (10.1) é único?.

Vejamos um elo interessante entre cones mínimos não triviais e a equação das

superfícies mínimas.

Em 1962 W. H. Fleming provou o seguinte: Se f ∈ C2(Rn) verifica

div

(gradf√

1+ |gradf|2

)(x) = 0, ∀x ∈ Rn,

e se f não é um polinômio de grau menor ou igual que um, isto é, se gradf(x) não é

constante, então existem cones mínimos singulares em Rn+1. Mais exatamente Fleming

provou que para qualquer sequência ρh → ∞ existe uma sequência h(s) crescente de

inteiros e um cone mínimo singular E tal que

E = lims(x, t) ∈ Rn; x ∈ Rn, t < ρ−1

h(s)f(ρh(s)x)

Ennio De Giorgi provou que nas hipóteses de W.H. Fleming existem cones mínimos

singulares em Rn. As observações de De Giorgi e Fleming juntas com o resultado de


Simons fornece a prova da validade do Teorema de S. Bernstein para funções até 7

variáveis. Os já citados E. Bombieri, E. De Giorgi e E. Giusti provaram em 1965 que

existem soluções não triviais da equação das superfícies mínimas em R8

Capítulo 11

Aplicações à Problemas de Fronteira

Livre

Conteúdo

11.1 Problemas de Fronteira Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

11.1.1 Motivação: Problema de obstáculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

11.1.2 Existência e unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

11.1.3 Regularidade C1,α da fronteira livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

11.2 Melhoramentos dos resultados de regularidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

11.2.1 Soluções Q-fracas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

11.2.2 A Classe de Planaridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

11.2.3 Regularidade da Fronteira Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

11.1 Problemas de Fronteira Livre

Neste capítulo faremos um pequeno compêndio de algumas aplicações de Teoria

Geométrica da Medida à Teoria de Problemas de Fronteira Livre.

Problemas de fronteira livre são o tema central no estudo de fenômenos onde

ocorrem transições de fase. Os mesmos surgem quando se tenta descrever uma mudança

descontínua de comportamento em alguma quantidade (física ou biológica). Aplicações

aparecer no tempo de parada para um controle ótimo, hidrologia de águas subterrâneas,

teoria da plasticidade, problemas de design ótimo, problemas de supercondutividade, etc.

Exemplos típicos: mistura de gelo-água, contração de membrana em uma região, problema

obstáculo, comportamento laminar de chamas como limite assintótico para a ativação de

alta energia.

CAPÍTULO 11. APLICAÇÕES À PROBLEMAS DE FRONTEIRA LIVRE 187

11.1.1 Motivação: Problema de obstáculo

Trararemos nessa subseção de um dos mais conhecidos problemas de fronteira livre: O

Problema de obstáculo: Dada uma membrana elástica u presa a uma fronteira fixada ∂D

e um obstáculo ϕ, buscamos a posição de equilíbrio para a membrana quando a movemos

para baixo em direção ao obstáculo. Matematicamente, tal problema pode ser escrito da

seguinte forma: Dado um domínio D e funções suaves g : ∂D → R (a deformação da

fronteira fixada) e ϕ : D → R (o obstáculo), almejamos minimizar

∫

D

|∇v(x)|2dx; v ∈ H1(D), v = g em ∂D e v ≥ ϕ

(11.1)

ainda assumiremos que sup∂D

ϕ < inf∂D

g e supD

ϕ > sup∂D

g.

Ressaltamos que tal configuração modela outros problemas como: problemas em

teoria do potencial, matemática financeira (teoria de opção de preços), controle ótimo

estocástico, entre outros.

11.1.2 Existência e unicidade

Teorema 11.1.1. Existe uma única solução do problema de obstáculo (11.1). Além disso,

o minimizante u é uma função superharmônica em D e harmônica em u > ϕ.

Proof: Teixeira [45] pag. 60.

Figura 11.1: A classe de planariddade

Problema de Fronteira Livre 1 (Problema de Obstáculo normalizado local.)

Dado uma função C1,1 w definida em B1, a qual satisfaz;

i. w ≥ 0 em B1;

ii. w ≤ 1 no sentido das distribuições;

iii. No conjunto Ω(w) = w > 0, w = 1;


iv. 0 ∈ Ω(w)

o que se pode dizer sobre a fronteira livre ∂Ω(w)?

Podemos ressaltar a propriedade de reescalonamento do problema: se w satisfaz as

condições acima em B1, então para qualquer λ > 0, wλ(x) =1λ2w(λx) satisfaz as mesmas

hipóteses em Bλ.

O próximo resultado informa que a função w cresce ao longo da fronteira livre no

máximo a um taxa regida pela regularidade C1,1. Esta condição de não degenerecência é

utilizada a fim de investigar as propriedades de regularidade da fronteira livre.

Lema 11.1. (Não-degenerecência) Seja x0 ∈ Ω. Então supBr(x0)

w ≥ 1

2rr2.

Proof: A função v(x) = w(x) −1

2n|x − x0|

2 é harmônica em Ω ∩ Br(x0), v(x0) ≥ 0

e v ≤ 0 em ∂Ω ∩ Br(x0). Pelo Princípio do Máximo existe um y ∈ ∂Br(x0) ∩Ω tal que

v(y) > 0 e isso prova o lema.

Lema 11.2. (Densidade Uniformemente positiva de Ω). Seja x0 ∈ ∂Ω um ponto

da fronteira livre. Então existe uma constante universal σ > 0 tal que

|Ω ∩ Br(x0)|

rn≥ σ,

para qualquer 0 < r < dist(x0, ∂B1).

Proof: Do Lema de Não-degenerecência (11.1) existe y ∈ B r2(x0) tal que w(y) ≤ cr2.

Pela estimativa C1,1, |∇w| ≤ Cr em B r2(x0). Assim, Bcr(y) ⊂ Ω, e finalmente,

σrn = |Bcr(y) ∩ Br(x0)| ≤ |ΩBr(x0)|.

Lema 11.3. Seja x0 ∈ ∂Ω um ponto genérico da fronteira livre e Sh = 0 < w < h2.

Então

|Sh ∩ Br(x0)| ≤ C.h.rn−1.

Proof: Veja Teixeira [45] pag. 67.

Segue como consequência desta estimativa e da densidade uniformemente positiva de

Ω a finitude da medida de Hasdorff n−1 dimensional da fronteira livre, mais precisamente


Teorema 11.1.2. Seja Nδ a δ−vizinhança da fronteira livre, isto é,

Nδ = x ∈ B1;dist(x, ∂Ω) ≤ δ.

Então para qualquer bola Br(x0), centrada num ponto x0 da fronteira livre tem-se

|Nδ ∩ Br(x0)| ≤ C.δrn−1.

Em particular, a fronteira livre tem medida de Hausdorff Hn−1 localmente finita e

Hn−1(∂Ω ∩ Br(x0)) ≤ Crn−1.


11.1.3 Regularidade C1,α da fronteira livre

Nesta subseção estabeleceremos regularidade C1,α da fronteira livre ∂w > 0∩B 12

nas

proximidades dos pontos onde o conjunto de contato Λ(w) = w = 0 não é muito “fino”.

Um ponto x ∈ Rn será escrito como x = (x′

, xn), onde x′

= (x1, ..., xn−1). Nosso primeiro

resultado refere-se a suavidade da fronteira livre de soluções globais, se w é uma solução

global, 0 ∈ ∂Ω(w) = ∂w = 0 e em Λ(w) = w = 0 “adequa-se” uma bola de raio ρ,

então (próximo a origem) todas as superfícies de nível de w são uniformente (dependendo

somente de ρ) Lischitz contínuas. Mais precisamente, temos

Lema 11.4. Seja w uma solução global, 0 ∈ ∂Ω(w) = ∂w = 0. Assuma que existe

uma bola B = Bρ(−µen) ⊂ Λ(w) = w = 0, para algum 0 < µ < 12. Então para qualquer

vetor unitário σ, com σn > 0 e |σ′

| ≤ ρ8,

Dσw ≥ 0

no conjunto C = x ∈ Rn; |x′

| ≤ ρ8,−µ < xn < 1. Em particular, todas as superfícies de

nível w = λ, próximas a origem, são gráficos, xn = f(x′

, λ), de uma função Lipschitz f,

com ||f||Lip ≤ Cρ.


Lema 11.5. Sob as mesmas hipótese do Lema (11.4) ,

Denw(x) ≥ C(ρ)dist(x,Λ),


para qualquer x ∈ C′

= x ∈ Rn; |x′ ≤ ρ

16|,−µ < xn < 1. Em particular ,

Dσw(x) ≥ C(ρ)dist(x,Λ),

para qualquer vetor unitário σ satisfazendo σn > 0 e |σ′

| ≤ ρ16

.


Teorema 11.1.3. Seja D = (x′

, xn); |x′

| ≤ 1, f(x′

) < xn < 2L, para alguma função

Lipschitz f com ||f||Lip ≤ L. Sejam v1 e v2 duas soluções não-negativas de div(A(x)Df) =

0, para alguma matriz elíptica mensurável limitada A(x) em D. Assuma que v1 e v2

anulam-se continuamente em xn = f(x′

). Então. em D 12= (x1, xn); |x

′

| ≤ 12, f(x

′

) <

xn < L, o quociente

u(x) =v1(x)

v2(x)

é limitado e α−Hölder contínuo até a fronteira de xn = f(x′

). Além disso,

||u||L∞(D 12), ||u||Cα(D 1

2) ≤ C.

v1(L2en)

v2(L2en)

,

onde D 12= B 1

2∩D e C depende somente da eliticidade de A(x) e de L.

Proof: Veja Caffarelli-Salsa [87], seção §11.1.

Com o auxílie de tais resultados podemos em fim enunciar

Teorema 11.1.4. Sob as hipóteses do Lema 11.4 , as superfícies de nível xn = f(x′

, λ)

são uniformemente C1,α salvo na fronteira livre λ = 0.

Proof: Escrevamos as superfícies de nível w = λ como o gráfico de uma função

xn = f(x′

). Do Lema (11.4), f é Lipschitz contínua em C = x = (x′

, xn); |x′

| ≤ ρ8,−µ <

xn < 1. Agora seja σ qualquer vetor unitário com σn > 0. Ao aplicarmos o Lema (11.5)

ao vetor unitário σ = 1a

(ρ16σ+ en

), onde a = 1+ ( ρ

16)2 + 2( ρ

16)σn, obteremos

0 < ǫ(ρ) ≤ Dσw =1

a

( ρ

16wσ +Wen

).

Ao aplicarmos o Teorema (11.1.3) as funções wσ e wen concluiremos que

1

a

(ρ

16

wσ

wen

+ 1

)∈ C1,α.

Isto, finalmente implica que Dσf = −wσ

wen

é uniformemente Hölder contínua em C.


11.2 Melhoramentos dos resultados de regularidade

11.2.1 Soluções Q-fracas

Definição 11.1. Seja Q : Ω → R uma função Hölder contínua que satisfaz

0 < c ≤ Q(x) ≤ C, ∀x ∈ Ω (11.2)

Diremos que uma função u : Ω → R é uma solução Q− fraca se

i. u é não- negativa, não-degenerada e Lipschitz contínua. Em particular existem

constantes c, C tais que

c ≤ 1

r|∂Br(x)|

∫

∂Br(x)

udS ≤ C

para qualquer bola centrada nos pontos da fronteira livre x ∈ ∂u > 0;

ii. u = QHn−1⌊∂∗u > 0 no sentido que

∫

Ω

u(x)ψ(x)dx =

∫

∂∗u>0

QψdS

para qualquer ψ ∈ C∞

0 (Ω).

Do ponto de vista da medida-teórica, soluções Q− fracas gozam de boas propriedade.

Vejamos algumas

Lema 11.6. Seja u uma solução Q− fraca, então

Hn−1(∂u > 0− ∂∗u > 0) = 0

Proof: Isto é uma consequência do fato que para quase todos os pontos x0 ∈ ∂u >0− ∂∗u > 0 temos

|Dχu>0|(Br(x0)) = o(r

n−1)

Portanto se u0 é o limite proveniente do procedimento de blow-up da sequência uk(x) =1rku(x0 + rkx), teremos para qualquer ϕ ∈ C∞

0 (Rn)


∫

Rn

∇u0∇ϕdx =

∫

Rn

∇uk∇ϕdx+O(1)

=1

rn−1k

∫ϕ

(x− x0

rk

)Q(x)d|Dχu>0

|+O(1)

≤ C.1

rn−1k

|Dχu>0|(Brk(x0)) +O(1)

→ 0.

Logo u0 é harmônica em Rn. Dado que u0 ≥ 0 e u0(0) = 0 segue do Princípio do

Máximo que u0 ≡ 0, mas isso contradiz a não degenerecência.

11.2.2 A Classe de planaridade

Nessa subseção será explorada assim conhecida classe de planaridade. Em algum

sentido, tentaremos medir o quanto plano é a fronteira livre ao redor de um ponto x0 da

mesma. Mais precisamente, temos

Definição 11.2. (A Classe de planaridade) Sejam 0 < σ+, σ− ≤ 1 e τ > 0. Diremos

que u é de classe F(σ+, σ−, τ) em Bρ(0), se

i. u é uma solução Q−fraca, para alguma função Hölder contínua Q satisfazendo

(11.2);

ii. 0 ∈ ∂u > 0 e

u(x) = 0 para xn ≥ σ+ρ

u(x) ≥ −Q(0)(xn + σ−ρ) para xn ≤ −σ−ρ

iii. |∇u(x)| ≤ Q(0)(1+ τ) em Bρ e oscBρQ ≤ Q(0)τ.

Mais geralmente, mudando a direção en por ν e a origem por x0 na definição acima

obteremos a classe de planaridade F(σ+, σ−, τ) em Bρ(X0) na direção ν.

Observe que se u é da classe F(σ+, σ−, τ) em Bρ(0), então a fronteira livre está situada

na faixa −σρ < xn < σ+ρ. Também o conjunto de contato, u = 0 tem uma medida

positiva que não excede |Bρ ∩ xn > σ+ρ|


Figura 11.2: A classe de planariddade

Proposição 11.1. Seja x0 ∈ ∂∗u > 0. Então u ∈ F(σρ, 1;∞) em Bρ(x0) na direção

ν(x0), com σρ quando ρ→ 0.

Proof: Dado que σ− foi tomado a ser 1 e τ = ∞ , a única condição que resta

verificar é que u(x) = 0 para xn > σ+ρ, com σ+ = σρ → 0 quando ρ → 0. Isto é

uma consequência imediata do fato que qualquer limite proveniente do procedimento de

blow-up u∞ = limj→∞

1

nju(x0+njx) anula em x ∈ Rn; 〈x, ν(x0)〉 ≥ 0 (Veja por um instante

o Teorema do plano tangente assintótico (4.3.1)).

11.2.3 Regularidade da Fronteira Livre

Teorema 11.2.1. Seja u uma solução Q−fraca em D ⊂⊂ Ω. Existem constantes

positivas α,β, σ0, τ0 e C as quais dependem da dimensão, Ω,D, minQ, maxQ, da norma

e do expoente de Hölder continuidade de Q, tais que

u ∈ F(σ, 1;∞) em Bρ(x0) na direção ν, com σ ≤ σ0 e ρ ≤ τ0σ2β implica

Bρ4(x)) ∩ ∂u > 0 é uma superfície C1,α


Compare esse resultado com o Teorema de De Giorgi-Federer-Massari-Miranda (8.5.2).

Uma consequência imediata da Proposição (11.1) e do Teorema (11.2.1) é o seguinte

importante resultado:

Teorema 11.2.2. Seja u uma solução Q−fraca. Então a fronteira livre reduzida, ∂∗u >

0, é localmente uma superfície C1,α em Ω. Além disso, o possível conjunto singular é um

conjunto fechado Hn−1 negligenciável.


Novamente podemos fazer a ligação com o Teorema de De

Giorgi-Federer-Massari-Miranda (8.5.2) . Além disso, podemos segundo a estimativa de

Federer do conjunto singular conjecturar que a estimativa sharp do conjunto sigular é Hs

negligenciável, com s> n-8 (Tal estimativa sharp ainda é um problema em aberto).

Para finalizarmos, com a teoria exposta podemos enfim estudar de maneira mais

paupável o seguinte exemplo:

Exemplo 11.1. Seja u ≥ 0 definida na bola unitária B1 ⊂ Rn. Suponha ∆u = dµ para

alguma medida de Radon µ não-negativa com spt(µ) ⊂ u = 0. Então podemos inferir

que

i. Supondo também que µ(Br(x)) ≤ Λrn−1 para algum Λ > 0 e para x ∈ spt(µ). Então

u é Lipschitz no interior de B1;

ii. Se λrn−1 ≤ µ(Br(x)) ≤ Λrn−1 para λ,Λ > 0 e x ∈ spt(µ). Então o conjunto

x ∈ B1;u(x) > 0 tem perímetro localmente finito no interior de B1, ou seja, o

mesmo é um conjunto de Caccioppoli.

iii. Pode-se dar uma estimativa aproximada de Hn−1(∂∗u > 0∩B 12) do item anterior,

segundo os resultaodos da teoria temos

Hn−1(∂∗u > 0 ∩ B r2) ≤ C(n, λ,Λ)rn−1.

Capítulo 12

Apêndice

Neste capítulo se encontrarão as exposições, referências e citações feitas no decorrer

deste trabalho das quais somente foram utilizados seus resultados sem preocupação alguma

em demonstrá-los, uma vez que não prejudica o desenvolvimento do mesmo.

Teorema 12.0.3. (Hanh-Banach) Seja E um espaço vetorial sobre R e seja p : E→ R

uma aplicação tal que:

i. p(λx) ≤ λp(x), ∀x ∈ Eeλ > 0;

ii. p(x+ y) ≤ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ E

Se G é um subespaço vetorial de E e g : G→ R é uma função linear tal que:

g(x) ≤ p(x), ∀x ∈ G

então existe uma forma linear f, definida em E que prolonga g, isto é,

f(x) = g(x), ∀G e tal que f(x) ≤ p(x)∀x ∈ E

Proof: Veja Lima [67] pag. 5.

Teorema 12.0.4. (Teorema de Tietze diferenciável) Seja X um subconjunto fechado

de uma variedade M ∈ Cr. Toda aplicação f : X → Rn, de classe Ck (k ≤ r), pose ser

estendida a uma aplicação h :M→ Rn, de classe Ck defineda em toda a variedade.

Proof: Veja Lima [42] pag. 202.

Teorema 12.0.5. (Teorema da Extensão de Whitney) Sejam C ⊂ Rn um

subconjunto fechado e f : C→ R e d : C→ Rn são contínuas. Pondo

195

CAPÍTULO 12. APÊNDICE 196

i. R(y, x) =f(y) − f(x) − d(x).(y− x)

|x− y|(x, y ∈ C, x 6= y)

ii. K ⊂ C compacto, pomos ρK(δ) = sup|R(y, x)|; 0 < |x− y| ≤ δ, x, y ∈ K

Assuma também que ρK(δ) → 0 quando δ → 0. Então existe uma função f : Rn → R tal

que

i. f ∈ C1

ii. f = f,Df = d em C


Teorema 12.0.6. (Aproximação de funções Lipschitz por funções C1)

Seja f : Rn → R uma função contínua Lipschitziana. Então para cada ε > 0 existe

uma função de classe C1 f : Rn → R tal que

Ln(x; f(x) 6= f(x) ou Df(x) 6= Df(x)) ≤ ε


Teorema 12.0.7. (Teorema de Riesz-Markov) Sejam X um espaço de Hausdorff

localmente compacto e F um funcional linear positivo em C0(X). Então existe uma única

medida de Radon µ em X tal que F(f) =∫fdµ para toda f ∈ C0(X). Além disso, µ satisfaz

µ(U) = supF(f); f ∈ C0(X), f ≺ U para todo aberto U ⊂ X (12.1)

e

µ(K) = infF(f); f ∈ C0(X), f ≥ χK para todo compacto K ⊂ X (12.2)

Aqui f ≺ U denota que 0 ≤ f ≤ 1 e spt(f) ⊆ U.

Proof: Veja Folland [40] pag. 212.

Teorema 12.0.8. (Teorema de Morse-Sard-Federer) Para inteiros m > ν ≥ 0, k ≥1, seja f uma função de classe Ck de um subconjunto aberto A ⊆ Rn sobre um espaço

vetorial normado Y. Então

Hν+m−νk (f(x ∈ A; rankDf(x) ≤ ν)) = 0


Note que a versão usual deste resultado, pode ser recuperada, tendo Y = Rn, ν =

n− 1, k ≥ m− n+ 1. A mais recente melhoria foi fornecida por Bates.

Proof: Veja Morgan [7] pag. 113.

Teorema 12.0.9. (Teorema de Rademacher) Seja f : Rn → Rm uma função

localmente Lipschitziana. Então f é diferenciável em Ln−quase sempre. Aqui Ln denota

a medida n−dimensional de Lebesgue.

Proof:Veja Evans-Gariepy [6] pag. 81.

Lema 12.1. (Lema de Zorn) Todo conjunto parcialmente ordenado, indutivo,

não-vazio, admite um elemento maximal.

Proof: Veja Brezis [41] pag. 2.

Teorema 12.0.10. (Teorema de De La Vallée Poussin) Seja µk uma sequência de

medidas de Radon não-negativas com variação total uniformemente limitada, isto é,

µ(Rn) ≤M ∀ k. (12.3)

Então existe uma medida de Radon µ e uma subsequência νj = µkj tal que, para todo

g ∈ C00(R

n)

µ(g) = limj→∞

νj(g) (12.4)

Além disso, para todo conjunto Boreliano limitado E tal que µ(∂E) = 0 tem-se

µ(E) = limj→∞

νj(E) (12.5)


Teorema 12.0.11. (Teorema de Besicovitch para Diferenciação de

Medidas)Sejam µ1, µ2 medidas de Radon em Ω, onde Ω tem a propriedade simétirca

de Vitali com respeitoa µ1. Então

Dµ1µ2(x) = lim

ρ→0

µ2(Bρ(x))

µ1(Bρ(x))


existe µ1−quase sempre e é µ1− mensurável. Além disso para qualquer conjunto Boreliano

A ⊂ Ω

µ2(A) =

∫

A

Dµ1µ2dµ1 + µ∗

2(A),

onde µ∗2 = µ2 Z, é um conjunto Boreliano de µ1−medida zero (Z independente de A)

Observação 12.1. Seja µ qualquer medida de Radon em Ω. Diremos que Ω tem a

Propriedade Simétrica de Vitali relativamente a µ se para toda coleção B de bolas

que abrange o seu conjunto de centros de A = x;Bρ(x) ∈ B para algum ρ > 0

finamente, isto é, para cada x ∈ A tem-se infρ;Bρ(x) ∈ B = 0, existe uma subcoleção

enumrável disjunta B ′ ⊂ B cobrindo µ−quase todo A, desde que µ(A) < ∞

Proof: Veja Simon [9] pag. 24.

Seja Ω ⊂ Rn um corpo feito de algum material uniforme, em ∂E prescreveremos

alguma temperatura fixada f. Agora considere o seguinte: Qual é a temperatura de

equilíbrio dentro de Ω?. Matematicamente, se u denota a temperatura em Ω, então

queremos resolver a equação

∆u = 0, em Ω

u = f, na ∂Ω(12.6)

O Princípio de Dirichlet: O Princípio de Dirichlet consiste em substituir o problema

(8.6) pelo seguinte problema de minimização:

I = inf

∫

Ω

|∇v|2; v ∈ C2(Ω) tal que v = f em ∂Ω (12.7)

Qualquer função v ∈ C2(Ω) tal que v = f em ∂Ω é chamada uma função admissível.

Então diremos que ∆u = 0 é a equação de Euler-Lagrange associada ao funcional

J(v) =

∫

Ω

|∇v|2

Assim, podemos enunciar o

Teorema 12.0.12. (Teorema de Riemann) u é solução de (12.6), se e somente se, u

minimiza (12.7).

Proof: Veja Ponce [78] pag. 2.


Teorema 12.0.13. (Teorema de Extensão de aplicações Lipschitzianas) Assuma

que Ω ⊆ Rn e seja f : Ω → Rm Lipschitziana. Então existe uma aplicação Lipschitziana

f : Rn → Rm tal que

i. f = f em Ω

ii. Lip(f) ≤ √mLip(f)

onde Lip(f) = sup

|f(x) − f(y)|

|x− y|; x, y ∈ Ω, x 6= y


Teorema 12.0.14. (Teorema sobre funções Absolutamente conínuas) As seguintes

condições para uma função f a valores reais definida em um conjunto compacto [a, b] são

equivalentes:

i. f é absolutamente contínua;

ii. f tem uma derivada f′

em quase todo ponto, a derivada é integravél à Lebesgue,e

f(x) = f(a) +

∫ x

a

f′

(t)dt

para todo x ∈ [a, b];

iii. Existe uma função integrável à Lebesgue g em [a, b] tal que

f(x) = f(a) +

∫ x

a

g(t)dt

para todo x ∈ [a, b]

Se essas condições são satisfeitas então necessariamente g = f′

em quase todos os pontos.

A equivalência entre (i) e (ii) é conhecido como Teorema Fundamental do Cálculo da

integral de Lebesgue, devido à Lebesgue.

Proof: Veja Wheeden-Zygmund [86].

Teorema 12.0.15. (Fórmula de Gauss-Green) Seja U um conjunto aberto limitado

do Rn com ∂U Lipschitz. Se ϕ ∈ C1(U;Rn), então

∫

U

divϕdx =

∫

∂U

ϕνdHn−1,


onde ν é o campo normal unitário definido Hn−1−quase sempre sobre ∂U.

Proof: Veja Araújo [83], pág. 22

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João Vítor da Silva Teoria Geométrica da Medida e Aplicações · de Oliveira, José Deibsom da Silva, José Ederson Melo Braga, Leon Denis da Silva, Raimundo de Araújo Bastos