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Experimento
Ministério da Ciência e Tecnologia
Ministério da Educação
Secretaria de Educação a Distância
Análise de dAdos e probAbilidAde
Guia do professor
licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons
Jogo da trilha
Objetivos da unidadeDiscutir, através de um jogo, o conceito de probabilidade 1. condicional;Desenvolver a habilidade necessária para o tratamento 2. de informações através de gráficos e tabelas;Induzir o aluno à formulação de estratégias a partir de 3. seu conhecimento matemático.
Guia do professor
SinopseO Jogo da Trilha é bastante simples e exige como material apenas um dado de 6 faces. Além disso, nesta atividade a intuição dos alunos será desafiada quando eles tiverem de optar por uma estratégia que acreditam ser vencedora. Por fim, o experimento culminará em uma análise probabilística guiada pelo professor.
ConteúdosProbabilidade: Eventos Equiprováveis, Probabilidade Condicional, Representação Gráfica, Permutação e Combinação;
ObjetivosDiscutir, através de um jogo, o conceito de probabilidade condicional;1. Desenvolver a habilidade necessária para o tratamento de informações 2. através de gráficos e tabelas;Induzir o aluno à formulação de estratégias a partir de seu conhecimento 3. matemático.
DuraçãoUma aula dupla.
Jogo da trilha
Jogo da trilha Guia do professor 2 / 8
Introdução
A probabilidade é um tópico importante da Matemática que lida com o conceito de incerteza. Utilizamos a probabilidade para modelar experimentos ou observações cujo resultado não conhecemos com precisão. Para sua formalização, utilizamos o conceito de experimento (ou observação) aleatório, que é qualquer experimento cujo resultado não é conhecido exatamente. Alguns exemplos de experimento aleatório podem ser o resultado do próximo jogo de seu time, as faces observadas em dois lançamentos de um dado, a quantidade de etnias indígenas existentes no Brasil em 1500 etc. Chamamos de espaço amostral o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento aleatório. No primeiro exemplo, o espaço amostral poderia ser Ω1 = Vitoria, Empate, Derrota ou um conjunto numérico repre sentando o saldo de gols marcados pelo seu time. No segundo exemplo, denotando por (i, j) o resultado i do primeiro lançamento e o resultado j do segundo, o espaço amostral pode ser
Ω2 = (i, j) : 1 ≤ i, j ≤ 6 = (1, 1), (1, 2), . . . , (1, 6), (2, 1), (2, 2), . . . , (6, 6)
Ω2 = (i, j) : 1 ≤ i, j ≤ 6 = (1, 1), (1, 2), . . . , (1, 6), (2, 1), (2, 2), . . . , (6, 6).
Por fim, no último exemplo, o espaço amostral pode ser o conjunto dos números naturais, Ω3 = N = 1, 2, 3, . . .. Denominamos evento qualquer subconjunto do espaço amostral. Dessa forma, seguindo os exemplos anteriores, podemos dizer dos eventos que:
A = “o seu time nao perde o proximo jogo” = Vitoria, Empate “o seu time não perde o próximo jogo” A = “o seu time nao perde o proximo jogo” = Vitoria, Empate
B = “segundo lancamento e 2” = (1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2) “segundo lançamento é 2” B = “segundo lancamento e 2” = (1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2)
C = “pelo menos 200 etnias” = 200, 201, 202, . . . “pelo menos 200 etnias” C = “pelo menos 200 etnias” = 200, 201, 202, . . .
Dois eventos de um experimento aleatório são chamados de mutuamente exclusivos se eles não puderem ocorrer simultaneamente. No exemplo dos lançamentos do dado, os eventos B e
D = ((3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)) “a soma das faces é 9” D = ((3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3))
são mutuamente exclusivos, pois não podem ocorrer simultaneamente. Probabilidade é também um conceito fortemente relacionado com informação: a probabilidade de um evento representa a chance de este evento acontecer de acordo com a informação disponível ao observador. Para estar bem definida, uma probabilidade deve satisfazer certas regras.
Dizemos que P é uma função de probabilidade definida em um conjunto de eventos associados ao espaço amostral Ω se:0 ≤ P (E) ≤ 11. , para todo evento E;P (Ω) = 12. ;P (E ∪ F ) = P (E) + P (F )3. sempre que E e F forem eventos mutuamente exclusivos.
No exemplo do seu time, podemos concluir da informação disponível que, no próximo jogo,
P (Vitoria) = 0, 4
P (Empate) = 0, 3
P (Derrota) = 0, 3
Nos dois lançamentos do dado, pode ser razoável supor que todas as faces têm a mesma chance de ocorrer e, assim, nenhum par é mais provável que outro, ou seja,
P ((i, j)) = 1/36, para todo (i, j) ∈ Ω1.
Definição
Jogo da trilha Guia do professor 3 / 8
Observe que a probabilidade de o segundo lançamento ser 2, que era originalmente igual a ¹⁄6, passa a ser igual a ½ no momento em que nos é informado que a soma das faces é 3. Ao contrário, quando a nova informação não modifica a probabilidade original de um evento, dizemos que eles são independentes. Mais formalmente, dados dois eventos E, F , com P (F ) > 0, dizemos que E e F são independentes se P (E |F ) = P (E), ou seja, da definição de probabilidade condicional, E e F são independentes se
P (E ∩ F ) = P (E)P (F ) .
Esta última equação é também válida para o caso em que P (F ) = 0. Caso contrário, dizemos que E e F são eventos dependentes.
Motivação
No lançamento de um dado, a maioria das pessoas estará de acordo em que se o dado for balanceado e o lançamento for equilibrado, então a chance de obter uma face qualquer é a mesma para cada face, ¹⁄6. Neste jogo, avançamos por uma trilha de acordo com lançamentos de um dado, até chegar à oitava casa da trilha (ou passar dela). Qual é a chance de obter uma da face dada no último lançamento? Saber que o lançamento é o último, muda a chance de obter face 1 ou face 4, por exemplo? Estes eventos são dependentes ou independentes? As perguntas anteriores são primeiro respondidas a partir da observação de um grande número de jogadas, e no FechAmento sua resposta exata é obtida pela teoria, corroborando os valores empíricos obtidos.
Sobre as etnias indígenas no Brasil, um antropólogo voltado a tais estudos poderia afirmar, por exemplo, que P (C) = 0, 5. Esse quadro, contudo, pode se modificar se houver uma nova informação a respeito das probabilidades em um evento. Por exemplo, qual é a probabilidade de que seu time não perca o próximo jogo se souber que foi comprado um excelente jogador? Ou ainda, qual é a probabilidade de que o evento B ocorra se souber que ocorreu o evento
E = “a soma das faces obtidas e 3” = (1, 2), (2, 1) “a soma das faces obtidas é 3” E = “a soma das faces obtidas e 3” = (1, 2), (2, 1)?
O antropólogo Darcy Ribeiro estima que em 1957 havia 150 etnias indígenas no Brasil. Conhecendo o processo de dizimação que a popu lação indígena sofreu, poderíamos dizer que, com essa nova informação, a probabilidade de que houvesse mais de 200 etnias indígenas no Brasil em 1500 passa a ser 0,8, por exemplo. A atualização da probabilidade de um evento em face de uma nova informação é obtida pelo conceito de probabilidade condicional.
Sejam E e F eventos, tais que P (F ) > 0. Definimos a probabilidade condicional de E dado F como
P (E |F ) =P (E ∩ F )
P (F ) .
No exemplo dos lançamentos de um dado, a probabilidade de ocorrer o evento B sabendo que ocorreu P (B |E), é dada pela definição anterior
P (B |E) =P (B ∩ E)
P (E)
=P ((1, 2))
P ((1, 2), (2, 1))=
1/362/36
= 1/2.
Definição
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O time C ganhou este jogo, completando 10 pontos, enquanto que o time A completou 8 pontos e o time B, 6 pontos.
O experimento
Etapa 1 Jogando e coletando informações
Lembremos que as regras do jogo são:Cada aluno lança o dado e, por ordem decrescente do valor obtido 1. no lançamento, escolhe um dos conjuntos A = 1, 2, 3, B = 4, C = 5, 6;Inicialmente o Peão deverá ser colocado na casa “Saída”;2. O primeiro aluno lança o dado e move o peão pela trilha, de acordo com 3. o resultado obtido; repete o procedimento até que o peão alcance o fim da trilha (a oitava casa) ou passe dela;Marca um ponto o aluno que tiver escolhido o conjunto com a face 4. obtida no último lance da rodada;Vence a partida o aluno que somar 10 pontos primeiro.5.
Nesta primeira etapa, os alunos realizam jogadas, registram e analisam os resultados obtidos. Faremos tal procedimento analisando um exemplo de jogo. Na TAbelA 1, registramos os resultados de cada rodada.
Faces obtidas por rodada Total de lançamentos
Face do último lançamento
Conjunto vencedor
4 4 2 4 B5 4 2 4 B1 5 3 3 3 A6 2 2 2 A1 5 2 3 2 A4 2 6 3 6 C4 6 2 6 C4 1 5 3 5 C4 2 1 1 4 1 A6 5 2 5 C5 4 2 4 B3 3 3 3 3 A3 4 5 3 5 C1 4 2 2 4 2 A6 4 2 4 B2 1 1 1 3 5 3 A5 4 2 4 B3 3 2 3 2 A5 5 2 5 C5 5 2 5 C6 5 2 5 C1 3 4 3 4 B2 6 2 6 C2 1 6 3 6 C
tabela 1
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A variável “face obtida no último lançamento” é do tipo quantitativo discreto, pois pode assumir um número fi nito de resultados numéricos. Neste caso, o gráfi co de barras é o mais indicado, pois respeita a ordem natural dos valores observados (1 é menor que 4). O gráfi co de barras indica a frequência observada em cada categoria de acordo com a altura da barra correspondente. É indiferente se a frequência utilizada é a absoluta (11 faces 1, 10 faces 2, etc.) ou a relativa (17% de faces 1 e 16% de faces 2, etc.), pois a altura relativa entre as barras permanece a mesma. Em ambos os gráfi cos, o tamanho da amostra é sempre uma informação importante, pois amostras pequenas apresentam normalmente fl utuações maiores do que amostras grandes, quando forem representativas. Observamos no gráfi co anterior que faces maiores têm mais chance de aparecer no último lançamento.
Etapa 2 Representação gráfi ca
A TAbelA 2 resume a informação da tabela anterior, em relação às frequências observadas das faces: em cada lançamento (na 2ª linha) e apenas no último lançamento (na 3ª linha).
Desta tabela, podemos extrair algumas informações, como por exemplo que o dado é aparentemente balanceado já que as faces têm aproximadamente a mesma frequência, de acordo com a 2ª linha da tabela. Já pela 3ª linha, observamos que no último lançamento as faces maiores são mais frequentes que as menores: no último lançamento, a face 1 só apareceu uma vez em 24, enquanto que a face apareceu 5 apareceu 6 vezes em 24. Nesta etapa, os dados da TAbelA 2 são representados também grafi camente. Nos gráfi cos a seguir são representadas as frequências de cada resultado em todos os lançamentos (FiGUrA 1) e apenas no último lançamento (FiGUrA 2).
Face sorteada 1 2 3 4 5 6 Total
Frequência das faces
11 10 9 13 13 8 64
Frequência no último lançamento
1 4 3 6 6 4 24
tabela 2
1 2 3 4 5 60
2
4
6
8
10
12
1 2 3 4 5 60
1
2
3
4
5
6
FIG. 1 Todos os lançamentos
FIG. 2 Último lançamento
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Mais formalmente, denotemos por N o número de lançamentos necessários para chegar à oitava casa, por SN−1 a posição do peão antes do lançamento final, e por XN a face nele observada. Se SN−1 = 7, então o lançamento seguinte pode ser qualquer face, com mesma chance. Por outro lado, SN−1 = 6 implica que o lançamento seguinte não pode ser 1, pois se fosse 1, este não seria o último lançamento. Então deve ser qualquer uma das faces 2, 3, 4, 5, ou 6, todas com mesma probabilidade igual a ¹⁄5. Assim, pela lei da probabilidade total,
Pr(XN = 1) = Pr(SN−1 = 7)× 1/6
Pr(XN = 2) = Pr(SN−1 = 7)× 1/6 + Pr(SN−1 = 6)× 1/5 > Pr(XN = 1)
Pr(XN = 2) = Pr(SN−1 = 7)× 1/6 + Pr(SN−1 = 6)× 1/5 > Pr(XN = 1)
O mesmo raciocínio pode ser utilizado com as demais faces, obtendo assim que
Pr(XN = 6) > Pr(XN = 5) > Pr(XN = 4) > Pr(XN = 3) > Pr(XN = 2) > Pr(XN = 1)
Pr(XN = 6) > Pr(XN = 5) > Pr(XN = 4) > Pr(XN = 3) > Pr(XN = 2) > Pr(XN = 1)
Com estas desigualdades provamos que as faces maiores são mais prováveis no último lançamento. Para obter a probabilidade de cada face no último lançamento, precisamos calcular as probabilidades das possíveis posições depois do penúltimo lançamento, SN−1. O evento [SN−1 = 1] é impossível, pois nenhum resultado no dado fará do próximo o último lançamento. O evento [SN−1 = 2] ocorre se e somente se forem observadas as seguintes sequências nos lançamentos: (1, 1), (2). Portanto,
Pr(SN−1 = 2) = P (1, 1) + P (2) = 1/6 × 1/6 + 1/6 = 7/36.
Fechamento
No FechAmento, propomos a solução teórica do jogo. Na TAbelA 3, podemos ver um resumo dos resultados do último lançamento associados a cada um dos conjuntos, para o jogo do exemplo anterior. Em sala de aula, devem ser considerados os resultados das jogadas de todos os grupos.
Observamos no gráfico anterior, o primeiro indício da baixa probabilidade de obter faces pequenas no último lançamento. Este gráfico é reforçado pela TAbelA 3, com os resultados de todas as jogadas. Intuitivamente, podemos esquematizar a solução deste problema da seguinte maneira:
a face 1 só pode sair no último lançamento se o peão estiver na casa 7;
a face 2 só pode sair no último lançamento se o peão estiver nas casas 6
ou 7;a face 3 só pode sair no último lançamento se o peão estiver nas casas 6,
7 ou 8;e assim por diante até: a face 6 pode sair no último lançamento se o peão
estiver em qualquer uma das casas de 2 a 7.
Portanto, a face 6 tem mais chances de ser a última do que 5, que tem mais chances de ser a última do que a 4, e assim sucessivamente.
Último lançamento A B C Total
1 2 3 4 5 6
Frequência 1 4 3 6 6 4 24
8 6 10 24
tabela 3
Jogo da trilha Guia do professor 7 / 8
Pr(XN = 5) = 0, 24
Pr(XN = 6) = 0, 27
Logo, a probabilidade de cada conjunto marcar um ponto é:
P (conjunto A marca um ponto) = Pr(XN = 1, 2 ou 3) = 0, 29conjunto P (conjunto A marca um ponto) = Pr(XN = 1, 2 ou 3) = 0, 29 marca um pontoP (conjunto A marca um ponto) = Pr(XN = 1, 2 ou 3) = 0, 29
P (conjunto B marca um ponto) = Pr(XN = 4) = 0, 2conjunto P (conjunto B marca um ponto) = Pr(XN = 4) = 0, 2 marca um pontoP (conjunto B marca um ponto) = Pr(XN = 4) = 0, 2
P (conjunto C marca um ponto) = Pr(XN = 5 ou 6) = 0, 51conjunto P (conjunto C marca um ponto) = Pr(XN = 5 ou 6) = 0, 51 marca um pontoP (conjunto C marca um ponto) = Pr(XN = 5 ou 6) = 0, 51
Portanto, o conjunto P (conjunto C marca um ponto) = Pr(XN = 5 ou 6) = 0, 51 é a melhor opção.
Bibliografia
Feller, W. Introdução à teoria das probabilidades e suas aplicações. Editora Edgard Blucher, 1976.
Meyer, Paul. Probabilidade: Aplicações à Estatística. Livros Técnicos e Científicos Editora, 2003.
Do mesmo modo, o evento [SN−1 = 3] ocorre se e somente se forem observadas as seguintes sequências nos lançamentos: (1, 1, 1), (1, 2), (3) (1, 1, 1), (1, 2), (3)
(1, 1, 1), (1, 2), (3) ou suas possíveis permutações. Portanto,
Pr(SN−1 = 3) = P (1, 1, 1) + P (1, 2) + P (2, 1) + P (3) = 1/6 × 1/6 × 1/6 + 2× 1/6 × 1/6 + 1/6 = 49/216
Pr(SN−1 = 3) = P (1, 1, 1) + P (1, 2) + P (2, 1) + P (3) = 1/6 × 1/6 × 1/6 + 2× 1/6 × 1/6 + 1/6 = 49/216
Pr(SN−1 = 3) = P (1, 1, 1) + P (1, 2) + P (2, 1) + P (3) = 1/6 × 1/6 × 1/6 + 2× 1/6 × 1/6 + 1/6 = 49/216
Continuando com esta contagem sistematicamente, obtemos
Pr(SN−1 = 4) = 343/1296
Pr(SN−1 = 5) = 2401/7776
Pr(SN−1 = 6) = 16807/46656
Pr(SN−1 = 7) = 70993/279936
Assim, finalmente,
Pr(XN = 1) = Pr(SN−1 = 7)× 1/6 = 70993/279936 × 1/6 = 0, 04
Pr(XN = 2) = Pr(SN−1 = 7)× 1/6 + Pr(SN−1 = 6)× 1/5 = 0, 04 + 0, 06 = 0, 1
Pr(XN = 2) = Pr(SN−1 = 7)× 1/6 + Pr(SN−1 = 6)× 1/5 = 0, 04 + 0, 06 = 0, 1
Pr(XN = 3) = Pr(SN−1 = 7)× 1/6 + Pr(SN−1 = 6)× 1/5 + Pr(SN−1 = 6)× 1/4 = 0, 1 + 0, 05 = 0, 15
Pr(XN = 3) = Pr(SN−1 = 7)× 1/6 + Pr(SN−1 = 6)× 1/5 + Pr(SN−1 = 6)× 1/4 = 0, 1 + 0, 05 = 0, 15
Pr(XN = 3) = Pr(SN−1 = 7)× 1/6 + Pr(SN−1 = 6)× 1/5 + Pr(SN−1 = 6)× 1/4 = 0, 1 + 0, 05 = 0, 15
Pr(XN = 4) = 0, 2
Ficha técnica
Ministério da Ciência e Tecnologia
Ministério da Educação
Secretaria de Educação a Distância
Matemática MultimídiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de ExperimentosLeonardo Barichello
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira
Universidade Estadual de CampinasReitorJosé Tadeu JorgeVice-ReitorFernando Ferreira da Costa
Grupo Gestor de Projetos Educacionais (ggpe – unicamp)CoordenadorFernando ArantesGerente ExecutivaMiriam C. C. de Oliveira
licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons
AutoraLaura Letícia Ramos Rifo
RevisoresMatemáticaAntônio Carlos PatrocínioLíngua PortuguesaAna Cecília Agua de Melo e Carolina Bonturi PedagogiaÂngela Soligo
Projeto gráfico e ilustrações técnicasPreface Design
