UNIVERSIDADE  FEDERAL  DO  PARANÁ  –  DEPARTAMENTO  DE  ADMINISTRAÇÃO  GERAL  E  APLICADA  MÉTODOS  QUANTITATIVOS  I  

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Jogos,  Teorema  de  Bayes  e  Árvores  de  Decisão    

Prof.  José  Roberto  Frega,  Dr.      

Jogos  e  Árvore  de  Decisão    Seja  um  jogo  como  segue,  com  os  valores  representados  em  US$  mil:    Alternativa   Descrição   Favorável   Desfavorável  1   Investir  muito   200   -­‐200  2   Investir  pouco   120   -­‐80  3   Não  investir   0   0    Esse  jogo  pode  ser  representado  por  uma  árvore  de  decisão  da  seguinte  forma:    

1) Uma  árvore  é  representada  por  nós  e  ramos.  2) Um   nó   quadrado   é   um   nó   de   decisão,   onde   se   escolhe   o   maior   valor   de   seus  

ramos  para  ser  o  valor  do  nó.  3) Um  nó  circular  é  um  nó  probabilístico,  onde  seu  valor  é  calculado  por  meio  das  

probabilidades  e  valores  de  seus  ramos  (EMV)    Assumindo   um   valor   p=0,7   para   o   estado   favorável   de   natureza,   o   jogo   apresentado  pode  ser  descrito  pela  seguinte  árvore:    

   O  ramo  “Investir  muito”  apresenta  o  maior  valor  (EMV=80)  dentre  todos  os  ramos  para  p=0,7  (“Investir  pouco”  com  EMV=60  e  “Não  investir”  com  EMV=0),  tornando-­‐se  o  ramo  (e  a  alternativa)  escolhido.      Se  o  valor  p  fosse  igual  a  0,5,  qual  seria  o  EMV  da  árvore?  

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   Observa-­‐se,  neste  caso,  a  preponderância  da  alternativa  “Investir  pouco”.    

Teorema  de  Bayes    O  Teorema  de  Bayes  trata  de  probabilidades  a  posteriori,  ou  calculadas  posteriormente.  Uma  das  possíveis  representações  para  sua  expressão  fundamental  é      

𝑃 𝐴 𝐵 ∙ 𝑃 𝐵 = 𝑃(𝐵|𝐴) ∙ 𝑃(𝐴)    que   se   lê   como   “a   probabilidade   do   evento   A   ter   acontecido   dado   que   o   evento   B  aconteceu  vezes  a  probabilidade  total  do  evento  B  é   igual  à  probabilidade  do  evento  B  ter  acontecido  dado  que  o  evento  A  aconteceu  vezes  a  probabilidade  do  evento  A”.  Por  exemplo,  se:    

1) duas  máquinas  muito  velhas  (M1  e  M2)  produzem  peças  em  uma  fábrica  e  uma  delas  (M1)  responde  por  40%  da  produção.  A  produção  restante  é  de  encargo  da  M2.  

2) O  percentual  de  peças  com  defeito  produzido  por  M1  é  10%  3) O  percentual  de  peças  com  defeito  produzido  por  M2  é  20%  

 Pergunta-­‐se:    

1) Se  uma  peça   com  defeito   for   encontrada  na   saída  da   linha  de  produção,   qual   a  probabilidade  dela  ter  sido  fabricada  pela  máquina  M1?  

2) Se  uma  peça   sem  defeito   for   encontrada  na   saída  da   linha  de  produção,   qual   a  probabilidade  dela  ter  sido  fabricada  pela  máquina  M2?  

 

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Chamando  de  A  o  evento  de  uma  peça  ter  sido  fabricada  por  uma  máquina  específica  e  de  B  o  evento  dela  ter  sido  fabricada  com  defeito,  tem-­‐se  que:    

𝑃(𝐴)𝑃 𝐵 𝐴 = 0,4 ∙ 0,1 = 0,04  𝑝𝑎𝑟𝑎  𝑎  𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎  1  𝑃(𝐴)𝑃(𝐵│𝐴) = 0,4 ∙ 0,9 = 0,36  𝑝𝑎𝑟𝑎  𝑎  𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎  1  𝑃(𝐴)𝑃 𝐵 𝐴 = 0,6 ∙ 0,2 = 0,12  𝑝𝑎𝑟𝑎  𝑎  𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎  2  𝑃(𝐴)𝑃(𝐵│𝐴) = 0,6 ∙ 0,8 = 0,48  𝑝𝑎𝑟𝑎  𝑎  𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎  2  

 Observa-­‐se  que  a  probabilidade  total  de  uma  peça  ser  fabricada  com  defeito  é  a  soma  de  P(B|A)  para  a  máquina  1  e  P(B|A)  para  a  máquina  2,  o  que  resulta  em  0,16.  Ou  seja,  a  probabilidade  de  uma  peça   ter   sido   fabricada  com  defeito  por  qualquer  uma  das  duas  máquinas   é   de   16%  que   é   P(B).   Seu   complemento   é   a   probabilidade   da   peça   ter   sido  produzida  sem  defeito  por  qualquer  uma  das  duas  máquinas,  ou  seja,  1-­‐16%=84%  Assim,   para   calcular   P(A|B)   para   a   máquina   1   (probabilidade   de   que   uma   peça   com  defeito  na  saída  da  linha  tenha  sido  produzida  pela  máquina  1),  calcula-­‐se:    

𝑃 𝐴 𝐵 =𝑃 𝐴 𝑃(𝐵|𝐴)

𝑃(𝐵) =0,040,16 = 25%  

 Similarmente,  para  calcular  a  probabilidade  de  uma  peça  sem  defeito  no  final  da  linha  de  produção  ter  sido  produzida  pela  máquina  2    

𝑃 𝐴 𝐵 =𝑃 𝐴 𝑃(𝐵|𝐴)

𝑃(𝐵)=0,480,84 = 57,1%  

 

Jogos,  Bayes  e  Árvores    Para   o   jogo   apresentado   anteriormente,   coloca-­‐se  mais   uma   etapa:   pensa-­‐se   em   fazer  uma  pesquisa  de  mercado  com  a  Scientific  Marketing,  que  vai  cobrar  US$10,000.00  (dez  mil   dólares)   pelo   serviço.   No   histórico   da   SM,   descobre-­‐se   que   ela   acertou   70%   dos  casos   de   mercado   favorável   e   80%   dos   casos   de   mercado   desfavorável.   Pede-­‐se   a  montagem  da  árvore  de  decisão  incluindo  o  trabalho  da  Scientific  Marketing.    Bem,  a  resposta  da  SM  pode  ser  um  prognóstico  de  mercado   favorável  ou  de  mercado  desfavorável.   Como   não   se   sabe   qual   a   resposta   da   empresa   nem   há   um   histórico   a  respeito  de  número  de  prognósticos   favoráveis  ou  desfavoráveis,  estamos  em  situação  de   desconhecimento   completo   a   respeito   da   resposta,   o   que   nos   obriga   a   estabelecer  uma   probabilidade   de   50%   para   um   prognóstico   favorável   da   SM   e   50%   para   um  prognóstico   desfavorável.   No   ramo   do   prognóstico   favorável   teremos   70%   a   30%   de  chance   de   acerto   para   o   prognóstico   da   SM   e   no   ramo   do   prognóstico   desfavorável  teremos  80%  a  20%  de  chance  de  acerto  para  o  prognóstico  da  SM.      É  importante  observar  que  o  custo  da  pesquisa  deve  ser  deduzido  do  valor  de  cada  ramo  associado  à  alternativa  de  efetuar  pesquisa  de  mercado.      Dessa  forma,  a  árvore  fica:    

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   Pelo  EMV  da  árvore  de  decisão,  a  opção  é  por  fazer  a  pesquisa  de  mercado,  que  é  o  ramo  que  apresenta  um  valor  esperado  de  US$35  mil.      As  probabilidades  apresentadas  são  probabilidades  a  priori,  e  podem  ser  representadas  em  forma  tabular  como  segue:    

   Est  Natureza  

   Fav   Desf  

Pesquisa   Fav   0,7   0,2  

 Desf   0,3   0,8  

 Assim,  pode-­‐se  calcular  as  probabilidades  a  posteriori,  ou  condicionais:    Pesquisa  favorável  

     Mercado  Fav   0,5   0,7   0,35   0,7800  Merc  Desf   0,5   0,2   0,1   0,2200  

     0,4500  

   Pesquisa  Desf  

     Mercado  Fav   0,5   0,3   0,15   0,2700  Merc  Desf   0,5   0,8   0,4   0,7300  

     0,5500  

   

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Desta   forma,   as   probabilidades   da   SM   apresentar   prognósticos   favoráveis   ou  desfavoráveis   são,   respectivamente,   45%   e   55%,   e   as   probabilidades   associadas   aos  estados  de  natureza  se  reajustam  conforme  apresentado.      Com   base   nas   probabilidades   a   posteriori,   os   resultados   da   árvore   podem   mudar   (e  provavelmente  mudarão),  como  se  constata  a  seguir:    

   Pelo   novo   EMV   da   árvore   de   decisão,   a   opção   é   por   fazer   a   pesquisa   de   mercado,  apresentando  um  valor  esperado  de  US$49,2  mil.