E

V

Ade

Fdp

M

Pere

MsP

Nec

Cc

Lvv

A

V

J

C

T

V

J

C

T

Entende

Vamos ver e

A cidade dedados mostempregos.

Foi realizaddiabetes naportadores e

Muitas veze

Porém, quaencontrada estringimos

Matematicamseguinte maP de ser dia

Note que aléentre os vecomo mostra

Como vimosconjunto inte

Lembrem-sevelho não pvelho é diab

A expressão

Ha

Velhos

Jovens

Crianças

TOTAL

Dia

Ha

Velhos

Jovens

Crianças

TOTAL

Di

endo o T

este assunt

e Diabetelântram que n

da uma pes populaçãoe 46 criança

es esta tabe

ndo chega dividindo-s

s o atendim

mente escraneira: P(X|abético dado

ém de ser vlhos. Lemba a figura a

s esta probaerseção [Ve

e que, os erecisa ser d

bético e nem

o acima pod

abitantes

P

d

4.400

3.300

2.300

10.000

abetelând

abitantes

P

D

p

44,00%

33,00%

23,00%

100,00%

iabetelân

Teorema

to por meio

ndia tem 10nesta cidad

squisa pelao. A pesquisas são porta

ela vem dad

ao hospitase 132 porento apena

revemos estV). Aqui X so que seja v

velho, tem qbre-se que acima totaliz

abilidade foelho Diab

eventos serdiabético e m todo diabé

deria ser ca

ortadores 

e Diabete

132

33

46

211

dia

ortadores d

Diabete na 

opulação

1,32

0,33

0,46

2,11

ndia

a de Bay

de um exem

.000 habitade está hav

Secretariasa revelou adoras. Ass

a em porce

l um velho r 4.400 (13as aos velho

ta probabilisignifica sevelho.

que ser dianesta cida

zam 4.400 –

oi calculada béticos] e di

|

r velho e seser diabéticético é velh

alculada de

e 

2%

3%

6%

1%

Observportadcidade Portantao hosprovávede diahospita

yes

mplo:

antes, sendovendo uma

a de Saúdeque 132 ve

sim:

entagens. A

(um pedaç32 4.400os.

dade CONDr diabético

abético (coitde existem– 132 = 4.26

tomando tovidido pela

∩14.4

er diabéticoco não prec

ho.

outra mane

ve que os vores de di

Diabetelâto, nesta cpital um veel aos méd

abetes entral.

o 4.400 velha desertifica

e onde se celhos são p

Assim:

ço da popul = 0,03 ou

DICIONAL e V significa

tado!). Isto m muitos ve

68 velhos s

odos os velquantidade

32400

0,03

o são INDEcisa ser vel

eira:

velhos E poiabetes) rendia (132 idade a pro

elho E portadicos do hore os paci

hos, 3.300 jação urban

constatou uportadores d

lação), a chu 3%). A c

(ser portadoa ser velho

mostra queelhos que nem a doenç

hos E diabée de velhos

3%.

EPENDENTho ou, em

ortadores dpresentam 10.000

obabilidadeador de diaspital atendentes em

Os sãocatpor

jovens, 2.3na em virtu

uma grandeda doença,

hance dele chance au

or de diabe. Dizemos,

e colocamosnão são diaça.

éticos (132)da cidade

TES. Isto soutras pala

de diabetes1,32% da = 0,0132

e (ou chancabetes é 1,3der um velhgeral que

valores eo os hategorias qrtadores de

00 criançasude da falta

e incidência, 33 jovens

ser diabétimentou po

etes E velhoa probabilid

s uma condabéticos. Es

) que estão (4.400). En

ignifica queavras, nem

s: P(velhospopulação

2 ou 1,32%ce) de cheg32%! É pouho E portad

e chegam

em vermelhbitantes due não sdiabetes.

s. Os a de

a de s são

co é orque

o) da dade

dição stes,

no tão,

e ser todo

da

%). gar uco dor ao

hos das são

2 Entendendo o Teorema de Bayes

Bertolo

| ∩

∩∩ 1,32%

44%0,03 3%.

Repetindo isto para as outras categorias podemos montar a seguinte tabela:

Cabe aqui a pergunta: Qual a probabilidade de um velho ser diabético?

Resposta: 3%. Esta é a chance de aparecer em qualquer lugar da cidade um velho que é diabético. Não precisa ter medo deles!!!! A chance é pequena e a doença não infecto-contagiosa!

Esta pergunta requer que encontremos P(X|V), certo?

Outra pergunta: Qual a probabilidade de um diabético ser velho?

É a mesma coisa que antes? 3%?

Posto de outra forma, chega ao hospital um diabético, qual a chance dele ser velho?

Agora queremos a probabilidade condicional P(V|X), ou seja, o contrário de antes. Imporemos agora uma CONDIÇÃO entre todos os diabéticos – eles devem ser velhos. Observando a figura anterior, temos que dividir nº de velhos diabéticos pelo total de diabéticos

| ∩

∩∩ 1,32%

2,11%0,6256 62,56%.

Se atentarmos para os diabéticos da cidade, a chance dele ser velho é 62,56%. É, nesta cidade, entre os diabéticos temos muitos velhos (ver figura acima).

Fica bem claro que:

I. P(X | Ai) ≠ P(Ai | X) II. P(X Ai) = P(A i X) III. Pela definição de probabilidade condicional

| ∩

Habitantes

Portadores de 

Diabetes na categoria 

P(X|Ai)

Velhos 44,00% 3,00%

Jovens 33,00% 1,00%

Crianças 23,00% 2,00%

TOTAL 100,00% 2,11%

Diabetelândia

Habitantes

Portadores de 

Diabetes na categoria 

P(X|Ai)

A Categoria dos 

Portadores de 

Diabetes P(Ai|X)

Velhos 44,00% 3,00% 62,56%

Jovens 33,00% 1,00% 15,64%

Crianças 23,00% 2,00% 21,80%

TOTAL 100,00% 2,11% 100,00%

Diabetelândia Médicos, ao chegar um paciente diabético, é muito grande (62,56%) dele ser velho.

3 Entendendo o Teorema de Bayes

Bertolo

Temos que: P(X Ai) = P(X|Ai) P(Ai). Dessa forma podemos fazer:

|∩

∩

∩ ∩ ⋯ ∩

Ou, usando a definição de probabilidade condicional:

|∩

P X|A P A

P X|A P A P X|A P A ⋯ P X|A P A

∩∑ P X|A P A

Este resultado recebe o nome de Teorema de Bayes.

USANDO TABELA De acordo com o desenvolvimento anterior poderemos realizar os cálculos por meio de uma tabela. Assim

USANDO O EXCEL Já que podemos fazer uma tabela, podemos também realizar tudo no Excel.

Abra uma pasta de trabalho e introduza os títulos conforme a figura abaixo:

Partição do 

Espaço 

Amostral Ai

Participação da 

Partição no 

Espaço Amostral 

P(Ai)

P(X|Ai) 

conhecido

P(X   Ai) = P(X|Ai).P(Ai)

P(Ai|X)

A1 P(A1) P(X|A1) P(A1) * P(X|A1) [P(A1) * P(X|A1)]/SOMA

A2 P(A2) P(X|A2) P(A2) * P(X|A2) [P(A2) * P(X|A2)]/SOMA

A3 P(A3) P(X|A3) P(A3) * P(X|A3) [P(A3) * P(X|A3)]/SOMA

...

...

...

An P(An) P(X|An) P(An) * P(X|An) [P(An) * P(X|An)]/SOMA

TOTAL 100,00% SOMA

Espaço Amostral

4

Fs

PcZ

PGja

N

N=

Spfu

V

4 Ente

Faça 100 paselecionar o

Para criarmocélulas ondeZEROS des

Para se nomG2:G101, deanela:

Na caixa No

Na c=DESLOC(P

Selecione oplanilha comunção SOM

Vamos ente

endendo o T

artições do o intervalo A

os uma plane existirem snecessário

mear um intepois na gu

ome: ProbIn

caixa PLAN1!$G$

o intervalo m dados e pMA na célula

ender o que

Teorema de

espaço amA2:A101 e c

nilha com revalores, des, pois não

ervalo de cuia Formata

nterseção

Refere-se$2;0;0;CON

G2:G101 eprecisamos a D101..

fizemos. P

e Bayes

ostral (achocolocar os tí

ecursos avaixando o refaremos cá

élulas no Ear, no grupo

e a:T.NÚM(Pla

e escolha disto para

rimeiro, por

o que fica oítulos Ai.

ançados doesto das célálculos naq

Excel, proceo Nomes De

intran1!$G$2:$G

a cor branevitarmos a

r que usar a

o suficiente,

o Excel, vamulas em brauelas linhas

demos seleefinidos, esc

roduza G$101;1)).

nca para a as referenc

a função DE

não?). Com

mos definir uanco, evitans.

ecionando ocolhemos D

a Dê OK.

fonte. Issoias circulare

ESLOC?

m isso prec

um nome ando assim c

o intervalo dDefinir Nome

seguinte

o para não es do Exce

Bertolo

isamos

o intervalo colunas com

de células e. Aparecer

fórm

poluir a nol ao introdu

o

de m

rá a

mula:

ossa uzir a

5 Entendendo o Teorema de Bayes

Bertolo

Esta função embutida do Excel retorna uma referência a um intervalo que possui um número específico de linhas e colunas com base em um referência especificada (no nosso caso se houver número e a existência ou não de números é identificado com a função CONT.NÚM que falaremos abaixo). A sintaxe da função DESLOC é: =DESLOC(ref;Lins;cols;altura;largura). Os argumentos em negrito são obrigatórios e os outros são opcionais.

A função CONT.NÚM calcula o nº de células em um intervalo que contém números. Sua sintaxe é: CONT.NÚM(valor1;valor2;....). Novamente os argumentos em negrito são obrigatórios. Aqui usamos valor2 = 1, para não retornar zero quando não encontrar número e com isso causando um erro de altura na função DESLOC.

Dessa forma a função DESLOC nomeará o intervalo na coluna G que tiver números e com isso não serão introduzidos zeros quando a célula estiver em branco na coluna D que apresenta a fórmula SOMA(DADOS) na célula D101.

Voltemos à célula D2 e introduzimos a fórmula: =SE(B2=””;””;B2*C2) e na célula E2, introduzimos: =SE(D2=””;””;D2/$D$102).

A planilha ficou pronta. Agora é só salvar e guardar com carinho para quando precisar.

DIAGRAMA DE ÁRVORE O diagrama de árvore ajuda a montar o problema e fazer as contas.

Voltemos à cidade Diabetelândia e vemos que lembremos que a população foi dividida em 3 categorias de habitantes (velhos, jovens e crianças). Algumas das pessoas de cada categoria eram portadoras de diabetes.

Então, estabelecendo que X é portador e não é portador, temos

6 Entendendo o Teorema de Bayes

Bertolo

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Uma urna A contém 3 fichas vermelhas e 2 azuis, e uma urna B contém 2 vermelhas e 8 azuis. Joga-

se uma moeda “honesta”. Se a moeda der cara, extrai-se uma ficha da urna A; se der coroa, extrai-se uma ficha da urna B. Uma ficha vermelha é extraída. Qual a probabilidade de ter saído cara no lançamento da moeda?

Solução A B

P(A) = P(Ca) = (1/2) P(V|A) = (3/5) = 60% = P(V|Ca)

P(B) = P(Co) = (1/2) P(V|B) = (2/10)= 40% = P(V|Co)

Pelo Teorema de Bayes, temos

|∩

P X|A P A

P X|A P A P X|A P A ⋯ P X|A P A

∩∑ P X|A P A

X 0,44 x 0,03 = 0,0132 ou 1,32% 0,0132

0,02110,6256 62,56%

3%

V

97%

44%

X 0,33 x 0,01 = 0,0033 ou 0,33% 0,0033

0,02110,1564 15,64%

1%

33%

J

99%

23%

X 0,23 x 0,02 = 0,0046 ou 0,46% 0,0046

0,02110,2180 21,80%

2% ______________

C 0,0211 ou 2,11%

98%

3 V

2 A

2 V

8 A

Queremos encontrar a probabilidade de sair cara dado a bola ser vermelha, isto é P(Ca|V)

2

Bertolo

|

Temos, pA por te

Na plani

Faça o e

2. A caixa Aescolhida tenha vind

Solução

A

P(A) = (

P(B) = (

Pelo Teo

|

|

Temos, extraída

Na plani

1 2 3 45 6 7 89

∩

310

portanto, er obtido

ilha Excel

exercício

A tem 9 cartao acaso e

do de A?

B

(1/2)

(1/2)

orema de B

∩

4

portanto,a da urna

ilha Excel

4 8

1 2 5

∩

0208

6080

75% de pcara no l

l, preench

usando a

tas numeraduma carta é

B

P(par|A)

P(par|B)

Bayes, tem

P X|A

∩

418

40 36180

41

, 52,63% A.

l, preench

3 4

∩P V|A

0

34

0,75

robabilidlançamento

ha apenas

árvore.

das de 1 a 9é retirada. Se

) = (4/9)=

) = (2/5)=

mos

P A P

∩P

418

18076

7

de proba

ha apenas

Queremosda urna P(A|par)

P V|A P AP A P V

5 75%

dade de quo da moeda

a área az

9. A caixa Be o número

= 44,44%

= 40%

P X|A PP X|A P A

P papar|A P A

4076

1019

abilidade

a área az

s encontrA dado q.

Entende

AV|B P B

ue a bola a.

zul:

B tem 5 carté par , qual

A⋯ P

r|A P AP par|B

0,5263 5

de que

zul:

rar a probque o seu

endo o Teor

35

12

35

12

210

vermelha

tas numerada probabilid

X|A P A

P B 49

52,63%

a carta

babilidadnúmero é

rema de Ba

12

310

310

seja extr

das de 1 adade de que

∑ P

49

12

12

25

12

de núme

de da caré par, is

7ayes

0220

3106 220

raída da u

5. Uma caa carta sort

∩X|A P A

418

418

210

ero par s

rta vir sto é

2

urna

ixa é teada

seja

3

4

8 Ente

3. Num colémulheres.homem?

Solução

A =

P(M) = 6

P(H) = 4

Pelo Teo

|

|

Temos, paltura ehomem, h

Na plani

4. Uma caixprobabilidQual a pro

Solução

A =

B =

C =

endendo o T

gio, 4% dos Um estuda

evento te

60% P

40% P

orema de B

∩

∩

0,0160,022

portanto, escolhidohá mais ho

ilha Excel

xa tem 3 moade de ocorobabilidade d

primeira

segunda m

terceira

Teorema de

s homens e ante é escol

er mais de

P(A|M) = 1

P(A|H) = 4

Bayes, tem

P X|A

∩P

62

811

0,

72,73% d ao acasoomens com

l, preench

oedas: uma rrer cara nesde que a 3ª m

moeda,

moeda,

moeda

e Bayes

1% das mulhido ao aca

e 1,75 m d

1%

4% Quer

mos

P A P

P AP A|H P H

7273 72

de probabio seja hoaltura su

ha apenas

não viciadasta moeda émoeda tenha

ulheres têm aso e tem m

de altura.

remos P(H|

P X|A PP X|A P A

|H P HP A|M

,73%

ilidade deomem. Embouperior a

a área az

a, outra comé 1/5. Uma ma sido a selec

mais de 1,7mais de 1,75

.

|A)

A⋯ P

P M0,0

e que o esora o col1,75 m do

zul:

m 2 caras emoeda é secionada?

5 m de altu5 m. Qual a

X|A P A

0,04 0,404 0,40 0,

studante cégio tenho que mulh

e uma tercelecionada ao

ra. 60% dosa probabilida

∑ P

40,01 0,60

com mais ha mais mheres.

eira viciada, o acaso na

Bertolo

s estudantesade de que

∩X|A P A

0,0160,016 0,0

de 1,75 mmulher do

de modo qcaixa. Saiu

o

s são seja

006

m de que

 

ue a cara.

5

Bertolo

P(A) = 1

P(B) = 1

P(C) = 1

Pelo Teo

|

|

Temos, p3ª moeda

Na plani

5. A probabiprobabilide C, respcomprou s

Solução

A =

B =

C =

P(A) = 3

P(B) = 1

P(C) = 1

Pelo Teo

|

1/3 P

1/3 P

1/3 P

orema de B

∩

∩

0,5

portanto, a quando e

ilha Excel

lidade de umades se os iectivamenteseja da class

classe A,

classe B,

classe C

3/4 P

1/5 P

1/20 P

orema de B

∩

|

P(Ca|A) =

P(Ca|B) =

P(Ca|C) =

Bayes, tem

P X|A

∩

0,20

5013 0,

11,76% desta for e

l, preench

m indivíduo ndivíduos co. Certa loja se B?

,

P(car|A) =

P(car|B) =

P(car|C) =

Bayes, tem

P X|A

∩

110

34

0,5714

50% ou 1/

100% ou 1

20% ou 1/

mos

P A P

∩P Ca|A

1/3

,2013 1

de probabiescolhida

ha apenas

de classe Aomprarem umvendeu um

= 1/10

= 3/5

= 3/10

mos

P A P

∩

35

15

35

15

310

57,14%

/2

1

/5

P X|A PP X|A P A

P CP A P C

113

0,5

ilidade deao acaso.

a área az

A comprar umm carro da mcarro da ma

Qu

P X|A PP X|A P A

P car|A P

120

340

Entende

Querem

A⋯ P

Ca|C P CCa|B P B

0,2050 1 0,2

e que a f.

zul:

m carro de 3marca x são arca x. Qua

ueremos P(

A⋯ P

P car|A P car|325325

3200

endo o Teor

mos P(C|Ca

X|A P A

P Ca|C P C

200,201,70

ace cara

3/4, da B é d1/10, 3/5 e 3l a probabili

(B|car)

X|A P A

B P BB P B P

325

15 24200

rema de Ba

a)

∑ P

C217

0,117

seja apre

de 1/5 e da 3/10, dado qudade de que

∑ P

P car|C P C

3325

2

9ayes

∩X|A P A

76 11,76%

esentada p

C é de 1/20ue sejam dee i indivíduo

∩X|A P A

20042

47

%

pela

0. As A, B

o que

6

10 Ente

Temos, indivídu

Na plani

6. Um certo experiêncusada, exusada, a cde 50%. Stenha sido

Solução

P(A) = 4

P(B) = 6

Pelo Teo

|

|

Temos, plimite u

Na plani

endendo o T

portanto,uo da clas

ilha Excel

programa pia tem most

xiste 75% dechance é deSe o prograo a escolhida

40% P

60% P

orema de B

∩

0,75

portanto, usando a s

ilha Excel

Teorema de

57,14% sse B.

l, preench

pode ser ustrado que a e chance de e 50%. Se o ma foi realiz

a?

P(resultad

P(resultad

Bayes, tem

P X|A

∩

0,75 0,45 0,40 0,550,00% de

sub-rotina

l, preench

e Bayes

de proba

ha apenas

ado com umsub-rotina Aque o progrprograma fo

zado dentro

do|A) = 75

do|B) = 50

mos

P A P

050 0,60

0

e probabia A.

ha apenas

abilidade

a área az

ma entre duA é usada 40rama chegu

oi realizado ddo limite de

5%

0%

P X|A PP X|A P A

∩

0,300,30 0,30lidade de

a área az

de que

zul:

as sub-rotin0% das vezee a um resudentro do lime tempo, qua

Quere

A⋯ P

P res

0,300,60

12

e que o re

zul:

o carro

as A e B, des e B é usaultado dentromite de tempoal a probabil

emos P(A|r

X|A P A

P resusultado|A P

0,5000

esultado f

foi comp

dependendo ada 60% da

o do limite do. Se B é uslidade de qu

resultado

∑ P

ultado|A PA P res

50,00%

foi atingi

Bertolo

prado por

do problemas vezes. See tempo. Sesada, a chanue a sub-roti

).

∩X|A P A

Aultado|B P

ido dentro

o

r um

ma. A e A é e B é nce é na A

B

o do

11 Entendendo o Teorema de Bayes

Bertolo

7. A urna X contém 2 bolas azuis, 2 brancas e 1 cinza, e a urna Y contém 2 bolas azuis, 1 branca e 1 cinza. Retira-se uma bola de cada urna. Calcule a probabilidade de saírem 2 bolas brancas sabendo-se que são bolas de mesma cor?

Solução

X Y

A cor da bola que sai da segunda urna não é influenciada pela cor da bola que saiu da primeira urna, isto é os eventos são independentes.

P(mesma cor) = P(BB) + P(AA) + P(C C)= P(B).P(B) + P(A).P(A) + P(C).P(C) = (2/5)(1/4) + (2/5)(2/4) + (1/5)(1/4) = (2/20)+(4/20)+(1/20) = (7/20) = 0,35 ou 35%

Agora

P BB|mesmacor ∩

2 A

2 B

1 C

2 A

1 B

1 C

Após retirar uma bola de cada urna queremos saber P(B B|mesma cor).

12 Entendendo o Teorema de Bayes

Bertolo

X 0,44 x 0,03 = 0,0132 ou 1,32% ,

,0,6256 62,56%

3%

V

97%

44%

X 0,33 x 0,01 = 0,0033 ou 0,33% ,

,0,1564 15,64%

1%

33%

J

99%

23%

13 Entendendo o Teorema de Bayes

Bertolo

X 0,23 x 0,02 = 0,0046 ou 0,46% ,

,0,2180 21,80%

2% ______________

C 0,0211 ou 2,11%

98%

Velhos

4.400 =

4.268 + 132

Jovens

3.300 =

3.267 + 33

Crianças 2.300 = 2.254 + 46

132

46

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