Unidade IV – Probabilidade 4.1 Conceitos fundamentais e propriedades (probabilidade condicional, independência de eventos e teorema de Bayes). 4.2 Variáveis

Unidade IV – Probabilidade

4.1 Conceitos fundamentais e propriedades (probabilidade condicional, independência de eventos e teorema de Bayes).

4.2 Variáveis aleatórias: conceito, variáveis aleatórias discretas e contínuas, função de distribuição de probabilidade, esperança, variância e desvio padrão.

4.3 Distribuições discretas: Binomial, Hipergeométrica e Poisson.

4.4 Distribuições contínuas: Uniforme, Normal, Binomial com aproximação da Normal e Exponencial.

Probabilidade: é uma medida que exprima a incerteza presente em afirmações tais como “É possível que chova amanhã” ou “Não há chance de vitória”, em termos de uma escala numérica que varie do impossível ao certo. O conceito de probabilidade é fundamental para o estudo de situações em que os resultados são variáveis, mesmo quando mantidas inalteradas as condições de sua realização. Exemplo:1)jogando-se um dado, temos 6 resultados possíveis de cada vez2)A observação do sexo das crianças nascidas numa maternidade durante um mês conduz a dois resultados possíveis em cada caso: menino ou menina.3)Jogando-se duas moedas os resultados possíveis de cada vez são: cara e cara, cara e coroa, coroa e cara, coroa e coroa.

•Em ambos os casos, embora não sejamos capazes de afirmar de antemão qual resultado particular acontecerá, temos condição de escrever todos os resultados possíveis do experimento. •A sua repetição contínua mostra uma certa regularidade nos resultados o que nos permite estudar o fenômeno, apesar da incerteza nele presente.

4.1 Principais conceitos

Experimento aleatório: é qualquer processo de coleta de dados relativos a um fenômeno que acusa variabilidade em seus resultados.

Evento: é um subconjunto de um espaço amostral. Quando constituído de apenas um elemento é chamado de evento simples e quando constituído de mais de um elemento é chamado de evento composto.

Espaço amostral: é o conjunto de todos resultados possíveis de um experimento. Denotado por E.

Quando o espaço amostral consiste em um número finito ou infinito enumerável de eventos é chamado espaço amostral discreto, se consistir em todos os números reais de um intervalo é um espaço amostral contínuo.

Exemplos de Espaço amostral: 1)No lançamento do dado o espaço amostral E={1, 2, 3, 4, 5, 6}2)No lançamento de duas moedas o espaço amostral c=cara e co=coroaE={cc, cco, coc, coco}.3) No nascimento dos bebês E={menino, menina}


1)Definição clássica de Probabilidade: Só se aplica para espaços amostrais que os eventos simples são igualmente possíveis. Esse é o caso da maioria das aplicações de probabilidades aos jogos de azar.

Suponha que um experimento tenha n eventos simples diferentes, cada um dos quais com a mesma chance de ocorrer. Se o evento A pode ocorrer em s dentre as n maneiras então a Probabilidade de A acontecer é:

2) Definição frequentista de Probabilidade

Realize ou observe um experimento um grande número de vezes e conte quantas vezes o evento A ocorre efetivamente. Então a probabilidade de A acontecer é


nsAP

diferentes simples eventos de númeroocorrer podeA como maneiras de número)(

oexperiment do repetições de númeroA de socorrência de número)( AP

Lei dos grandes números: Se repete um experimento um grande número de vezes a probabilidade pela freqüência relativa de um evento tende para a probabilidade teórica.

A união de dois eventos: é o evento que consiste em todos os resultados que estão contidos em cada um dos dois eventos. Denotamos a união por E1UE2. P(E1 ou E2 )= P(ocorrência de E1 ou de E2 ou de ambos)=P(E1UE2).

A interseção de dois eventos: é o evento que consiste em todos os resultados que estão contidos nos dois eventos simultaneamente. Denotamos a interseção por E1∩E2. P(E1 e E2) = P(ocorrência de E1 e E2 simultaneamente) = P(E1∩E2).

O complemento de um evento em um espaço amostral: é o conjunto dos resultados no espaço amostral que não estão no evento. Denotamos o complemento do evento E por E’. A notação Ec é também usada em outra literatura para denotar complemento.P(E1’)=1-P(E1)P(E2’)=1-P(E2)


Axiomas de probabilidade:

Asseguram que as probabilidades atribuídas a um experimento podem ser interpretadas como freqüências relativas. As probabilidades são atribuídas como base no nosso conhecimento do sistema sob estudo.

a) P(E)=1 É uma conseqüência do fato de que um resultado do espaço amostral ocorre em cada tentativa de um experimento.

b) 0 ≤P(A) ≤1

c) Para dois Eventos E1 e E2 com E1∩E2 = Ø (E1 e E2 são mutuamente excludentes)

P(E1UE2)=P(E1)+P(E2)

Para quaisquer eventos não mutuamente excludentesP(E1UE2)=P(E1)+P(E2)-P(E1∩E2)


Princípio Fundamental da Contagem

Quais são as chances de ganhar na loteria? No Brasil, devemos escolher 6 números entre 1 e 60. Se sair a mesma combinação de 6

números escolhida o apostador receberá milhões de reais!!!

• P(A) = s/n onde s é o número de maneiras como A ode ocorrer • n é o número total de resultados possíveis.• Como calcular o número total de possibilidades?

1) Regra Fundamental da Contagem

Dados dois eventos, o primeiro dos quais pode ocorrer de m maneiras distintas e o segundo pode ocorrer de n maneiras distintas, então os dois eventos conjuntamente podem ocorrer de mxn maneiras distintas.

6! = 6 . 5. 4. 3. 2. 1 e 0! = 1


Contagem

2) Permutação

P(n) = n! = n . (n-1). (n-2). (n-3). ...1

Quantas maneiras podemos organizar um grupo de n objetos de maneiras distintas. (Essa regra traduz o fato de que o primeiro objeto pode ser escolhido de n maneiras diferentes, o segundo objeto pode ser escolhido de n-1 maneiras distintas e assim por diante...)

Notação: O símbolo fatorial! Denota o produto dos inteiros positivos em ordem decrescente, por exemplo: 4!= 4 . 3. 2. 1

6! = 6 . 5. 4. 3. 2. 1 e 0! = 1


)!(!pn

npAn

Contagem

3) Arranjos sem repetição

O número de arranjos (ou seqüências) de r elementos escolhidos dentre n elementos sem repetição é:

A regra dos arranjos exige as seguintes condições:Devemos ter um total de n elementos diferentes (A regra não se aplica se alguns dos elementos

são idênticos)Devemos selecionar r dentre os n elementos (sem repetição)Ordenações distintas dos mesmos elementos devem ser consideradas arranjos diferentes.


)!(!pn

npAn

Contagem

“Quando empregamos os termos arranjos ou seqüência está implícito que a ordem deve ser levada em conta”. O arranjo pode ser considerado como uma extensão da Regra Fundamental da Contagem.

• Exemplo: No planejamento de um programa noturno de uma rede de televisão, devem ser escolhidos 6 shows dentre 30 disponíveis. Quantas programações diferentes são possíveis?

000.518.427!24

!24.25.26.27.28.29.30)!630(

!30630

A


Contagem

4) Arranjos com repetição

Quando alguns elementos são idênticos, se há n elementos com n1 iguais a n2 iguais a nk, o número de permutações (arranjos com a totalidade de elementos) é:

•

• Exemplo: Na seqüência DDDDRRRRR temos n=9 elementos n1=4 iguais e n2=5 iguais. O número de permutações é

•

!!...3!.2!.1

!

knnnnnA

1261.2.3.4!.5!5.6.7.8.9

!5!.4!9

A


Contagem

5) Combinação

O número de combinações de r elementos extraídos de um conjunto de n elementos diferentes é:

•

A regra dos combinações exige as seguintes condições:• Devemos ter um total de n elementos diferentes • Devemos selecionar r dentre os n elementos (sem repetição)• Devemos considerar como uma mesma combinação quando os mesmos elementos são

ordenados de formas diferentes. Por exemplo (SFS, SSF, FSS)“Quando empregamos os termos combinação a ordem não deve ser levada em conta”.

!)!(!

rrnn

rCn


Contagem

5) Combinação

• Exemplo: Qual a probabilidade de ganhar na Mega-Sena?• As possibilidades de combinação de 6 números entre os valores de 1 a 60 são

calculadas através da combinação, pois a ordem deles não importam.

!)!(!

rrnn

rCn

810.99,1860.063.50

1aposta uma comacertar de adeProbabilid

860.063.501.2.3.4.5.6!54

!54.55.56.57.58.59.60!6)!660(

!60660

C


Contagem

Qual a probabilidade de ganhar na Mega-Sena ao jogar 7 números entre os valores de 1 a 60? Qual a probabilidade de ganhar na quina ou na quadra ao jogar 7 números?

Através da distribuição hipergeométrica conseguiremos calcular estas probabilidades!!!! Que faz parte a matéria de Distribuições de variáveis aleatórias discretas!!!!!


Regra da Adição

P(A ou B )= P(ocorrência de A ou de B ou de ambos)

P(A ou B) = P(A)+P(B)-P(AeB)

• P(AUB) = P(A) + P (B) – P (A∩B)

• Se A e B são mutuamente exclusivos P(AUB) = P(A) + P (B)Considere três eventos A, B e C

• P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C)Considere uma coleção de eventos E1, E2, E3, ..., Ek é denominada mutuamente excludente se para todos os pares Ei ∩ Ej = Ø para todo i,j=1, 2,..., k

• P(E1UE2UE3U...Ek)=P(E1)+P(E2)+...+P(Ek)

•

k

ii

k

iEPP U

11)()(

4.1 Propriedades

0)( para,)(

)()\(

BPBP

BAPBAP

Probabilidade Condicional

A probabilidade condicional de um evento B, dado um evento A, denotada como:

0)( para,)(

)()\( APAP

BAPABP

Regra da Multiplicação

A probabilidade da interseção do evento A e B, denotada como:• P(A∩B)=P(A\B).P(B) = P(B\A).P(A)Se A e B são independentes P(A\B)=P(A), P(B\A)=P(B) • P(A∩B)=P(A).P(B)Se E1, E2,..., Ek são independentes • P(E1∩E2 ∩..Ek)=P(E1).P(E2)...P(Ek)

4.1 Propriedades

Regra da Probabilidade TotalPara dois eventos A e B• P(B)=P(B∩A)+P(B∩A’)• P(B)=P(B\A).P(A)+P(B\A’).P(A’)

•Se E1, E2,..., Ek são mutuamente exclusivos (Ei ∩ Ej = Ø para todo i,j=1, 2,..., k)e exaustivos (E1UE2U...EK=S)• P(B)=P(B∩E1)+P(B∩E2)+...+P(B∩Ek)• P(B)=P(B\E1).P(E1)+P(B\E2).P(E2)+...+P(B\Ek).P(Ek)

4.1 Propriedades

B∩A B∩A’

B

A

A’

S

B∩E1

B∩E3

BE1

E2

E3

Ek

B∩E2B∩Ek

S

0P(B) para ,)(

)().\()\( BP

APABPBAP

Teorema de Bayes

• Para dois Eventos A e B

• Para E1, E2,..., Ek eventos mutuamente excludentes (Ei ∩ Ej = Ø para todo i,j=1, 2,..., k) e exaustivos (E1UE2U...EK=S)

0P(B) para ,)().\(...)().\()().\(

)().\()\(2211

111

kk EPEBPEPEBPEPEBPEPEBPBEP

O Teorema de Bayes é últil pois nos capacita resolver P(A\B) em termos da P(B\A). Em alguns exemplos não temos uma tabela completa de informação e utilizamos o Teorema de Bayes para calcular a probabilidade condicional.

4.1 Propriedades

Teorema de Bayes

• Exemplo: Suponha que 60% dos chips de computador de uma companhia sejam produzidos pela fábrica A e 40% pela outra fábrica (A’). Para um chip escolhido aleatoriamente a probabilidade de provir da fábrica A é 0,60. Suponha que um chip se revele defeituoso e que as taxas de defeitos das duas fábricas sejam de 35% para A e 25% para A’. Determine a probabilidade do chip defeituoso provir da fábrica A.

• A: o evento que o chip é fabricado pela fábrica A• A’: o evento que o chip é fabricado pela fábrica A’• B: o evento que o chip é defeituoso• P(A)=0,60 e P(A’)=1-0,60=0,40• P(B/A)=0,35 e P(B/A’)=0,25• P(A/B)?

6774,031,021,0

25,0.40,035,0.60,035,0.60,0

)'().'\()().\()().\()\(

APABPAPABPAPABPBAP

4.1 Propriedades

Probabilidade condicional

• Exemplo: Amostras de espuma de três fornecedores são classificados com relação a satisfazer ou não as especificações. Os resultados de 80 amostras são resumidas a seguir:

Faça A1 denotar o evento em que uma amostra seja proveniente do fornecedor1, A2 denotar o evento em que uma amostra seja proveniente do fornecedor2, A3 denotar o evento em que uma amostra seja proveniente do fornecedor3e faça B denotar o evento em que uma amostra atenda as especificações.Montar o diagrama de árvore.

Fornecedor Obedece Total

Sim Não

1 18 2 20

2 17 3 20

3 30 10 40

Total 65 15 80


• Faça A1 denotar o evento em que uma amostra seja proveniente do fornecedor1, A2 denotar o evento em que uma amostra seja proveniente do fornecedor2, A3 denotar o evento em que uma amostra seja proveniente do fornecedor3e faça B denotar o evento em que uma amostra atenda as especificações.Montar o diagrama de árvore.

P(A1) P(A2) P(A3)

P(B\A2)P(B’\A1)P(B\A1) P(B’\A2) P(B\A3) P(B’\A3)

A2A1

A3

B B’ B’ B’B B


• P(A1)=20/80=0,25• P(A2)= 20/80=0,25• P(A3)=40/80=0,50

P(B\A1)=0,9

P(A1)=0,25 P(A2)=0,25 P(A3)=0,50

P(B\A2)=0,85P(B’\A1)=0,10 P(B’\A2)=0,15

P(B\A3)=0,75P(B’\A3)=0,25

A2A1

A3

B B’ B’ B’B B

9,02018

80208018

)()()\(

1

11

APBAPABP

85,02017

80208017

)()()\(

2

22

APBAPABP

75,04030

80408030

)()()\(

3

33

APBAPABP

10,0202

8020802

)()'()'\(

1

11

APBAPABP

15,0203

8020803

)()'()'\(

2

22

APBAPABP

25,04010

80408010

)()'()'\(

3

33

APBAPABP

Abordaremos os conceitos de variável aleatória, distribuição de probabilidade, função distribuição acumulada e processos para o cálculo da média, variância e desvio padrão de uma distribuição de probabilidade.

• Uma variável aleatória é uma variável (geralmente representada por x) que tem um valor numérico único (determinado aleatoriamente) para cada resultado de um experimento.

• Uma variável aleatória tem um número para cada resultado de um experimento e uma distribuição de probabilidades que associa uma probabilidade a cada resultado numérico de um experimento.

• Exemplos de variáveis aleatórias:•x=número de acidentes com aviões da USAir dentre sete acidentes aéreos selecionados aleatoriamente,•x=número de alunos que não compareceram à aula de estatística hoje,•x=altura de um adulto do sexo feminino selecionado aleatoriamente.

4.2 Conceitos de Variáveis aleatórias

• Empregamos o termo variável aleatória para descrever o valor que corresponde ao resultado de determinado experimento. A palavra aleatória indica que em geral só conhecemos aquele valor depois do experimento ter sido realizado.

• Inicialmente fizemos uma distinção entre dados discretos e dados contínuos. As variáveis aleatórias também podem ser discretas ou contínuas, as duas definições que seguem são consistentes com as que foram dadas anteriormente.

• Uma variável aleatória discreta ou admite um número finito de valores ou tem uma quantidade enumerável de valores.

• Uma variável aleatória contínua pode tomar um número infinito de valores, e esses valores podem ser associados a mensuração em uma escala contínua, de tal forma que não haja lacunas ou interrupções.

• Quando conhecemos todos os valores de uma variável aleatória juntamente com suas respectivas probabilidades, temos uma distribuição de probabilidades, definida como segue. Uma distribuição de probabilidades dá a probabilidade de cada valor de uma variável aleatória.


x P(x)=f (x)

0 0,210

1 0,367

2 0,275

3 0,115

4 0,029

5 0,004

6 0,000

7 0,000

1f(x)0 de valoresdos um Cada

132

31

30

f(x)

assim e 2/3P(2) 1/3,P(1) 0/3,P(0): temosdada função a Paraade.probabilid de ãodistribuiç

uma define 2ou 1 0,ser pode x onde 3

)()(

xxfxP

• Uma distribuição de probabilidade de uma variável aleatória pode ser dada por uma tabela, por um gráfico ou por uma fórmula. O histograma de probabilidade permite visualizar a natureza ou a forma da distribuição.

Para uma variável aleatória X com valores possíveis x1, x2, ..., xn a função de probabilidade é f (xi) = P(X=xi)

• Condições para uma distribuição de probabilidades: 1) Σ f (xi) =1, onde xi toma todos os valores possíveis para i=1, 2, ..., n2) 0≤ f (xi) ≤1


• Função de distribuição cumulativa de uma variável aleatória discreta X, denotada por F(x), é

• Média ou valor esperado de uma de uma variável aleatória X, denotado como μ ou E(X), é

x

xfxXE )(.)(

)(FF(x) então , x se e 1F(x) 0:espropriedad seguintes as satisfazer )(

)()()(

yyxF

xixixfxXPxF


• Variância de uma variável aleatória X, denotada como σ2 ou V(X), é

• Desvio padrão de uma variável aleatória X, denotada como σ

2)(.2)(.2)(2

xfx

xxfxXV

2)(.2

xfx


Valor esperado de uma variável aleatória discreta é denotado por E e representa o valor médio dos resultados. É dado por Σx .f(x):

E (X) = Σx .f(x) • A média de uma variável aleatória discreta é o resultado médio teórico de u numero infinito de provas.

• Podemos encarar essa média como o valor esperado no sentido de que é o valor médio que esperaríamos de obter se as provas se prolongassem indefinidamente.

• As aplicações do valor esperado também chamado de esperança ou esperança matemática são extensas e variadas e desempenha papel de extrema importância em uma área de aplicação chamada teoria da decisão.

4.2 Variáveis aleatórias discretas

x P(x) x. P(x) x2 x2 P(x)

0 0,210 0,000 0 0,000

1 0,367 0,367 1 0,367

2 0,275 0,550 4 1,100

3 0,115 0,345 9 1,035

4 0,029 0,116 16 0,464

5 0,004 0,020 25 0,100

6 0,000 0,000 36 0,000

7 0,000 0,000 49 0,000

Total 1,000 1,398 3,066

Exemplo: Suponha que a USAir detenha 20% de todas as linhas aéreas domésticas, e que todos os vôos tenham a mesma chance de um acidente. Se a variável aleatória x representa o número de acidentes com a USAir dentre sete acidentes escolhidos aleatoriamente, então a distribuição de probabilidades é dada pela tabela abaixo, suponha que repitamos o experimento que consiste em selecionar sete acidentes e que a cada vez achemos o número de acidentes com a USAir. Determine o número médio de acidentes com a USAir (entre sete), a variância e o desvio-padrão.

112,1398,1066,3)(.

4,1398,1)(.2222

xPx

xPx

•Uma distribuição de probabilidade é um modelo matemático que relaciona um certo valor da variável em estudo com a sua probabilidade de ocorrência.

•Há dois tipos de distribuição de probabilidade:•1. Distribuições Contínuas: Quando a variável que está sendo medida é expressa em uma escala contínua, como no caso de uma característica dimensional.•2. Distribuições Discretas: Quando a variável que está sendo medida só pode assumir certos valores, como por exemplo os valores inteiros: 0, 1, 2, etc.

4.2 Conceitos de distribuição de probabilidade

•No caso de distribuições discretas, a probabilidade de que a variável X assuma um valor específico xo é dada por: P(X = xo ) = P( xo )•No caso de variáveis contínuas, as probabilidades são especificadas em termos de intervalos, pois a probabilidade associada a um número específico é zero.

b

adxxfbXaP )(

4.2 Conceitos de distribuição de probabilidade

1) Distribuição Uniforme Discreta

• Suponha que X seja uma variável aleatória discreta uniforme nos inteiros consecutivos a, a+1, a+2,...,b para a ≤b.

•

12

121

121212)(

2)(

)1(1)(

ab

abXV

abXE

abxf

4.3 Distribuição de probabilidade: Uniforme discreta

Continuação da Distribuição Uniforme Discreta

• Exemplo: A variável aleatória X com distribuição Uniforme discreta denota o número das 48 linhas telefônicas que estão em uso em um certo tempo. Considere que X seja uma variável aleatória discreta uniforme com um faixa de 0 a 48. Calcule a E(X) e V(X).

•

14,1412

12104812

1212)(

242

0482

)(

abXV

abXE

4.3 Distribuição de probabilidade: Uniforme discreta

2) Distribuição Binomial

•A distribuição binomial é adequada para descrever situações em que os resultados de uma variável aleatória podem ser agrupados em apenas duas classes ou categorias.

•As categorias devem ser mutuamente excludentes, de forma que não haja dúvidas na classificação do resultado da variável nas categorias e coletivamente exaustivas, de forma que não seja possível nenhum outro resultado diferente das categorias.

•Por exemplo, um produto manufaturado pode ser classificado como perfeito ou defeituoso, a resposta de um questionário pode ser verdadeira ou falsa, as chamadas telefônicas podem ser locais ou interurbanas.

4.3 Distribuição de probabilidade: Binomial

•Mesmo variáveis contínuas podem ser divididas em duas categorias, como por exemplo, a velocidade de um automóvel pode ser classificada como dentro ou fora do limite legal.

•Geralmente, denomina-se as duas categorias como sucesso ou falha. Como as duas categorias são mutuamente excludentes e coletivamente exaustivas:

•Conseqüentemente, sabendo-se que, por exemplo, a probabilidade de sucesso é P(sucesso) = 0,6, a probabilidade de falha é P(falha) = 1-0,6 = 0,4.

•Condições de aplicação:• são feitas n repetições do experimento, onde n é uma constante;• há apenas dois resultados possíveis em cada repetição, denominados sucesso e

falha• a probabilidade de sucesso (p) e de falha (1- p) permanecem constante em todas

as repetições;• as repetições são independentes, ou seja, o resultado de uma repetição não é

influenciado por outros resultados.

1)()( falhaPsucessoP


•Seja um processo composto de uma seqüência de n observações independentes com probabilidade de sucesso constante igual a p, a distribuição do número de sucessos seguirá o modelo Binomial:• • x = 0,1,....,n

•onde representa o número de combinações de n objetos tomados x de cada vez, calculado como:

P x p pxn x n x( ) ( ) 1

xn

)!(!

!

xnxnn

x


•Os parâmetros da distribuição Binomial são n e p. •A média e a variância são calculadas como:• = np• 2 = np(1 - p)•A distribuição Binomial é usada com freqüência no controle de qualidade quando a amostragem é feita sobre uma população infinita ou muito grande.

•Nas aplicações de controle da qualidade, x em geral representa o número de defeituosos observados em uma amostra de n itens.


15)!115(!1

!1511

5

3402301001510011001 1151151 ,, x ,),( x, x )P(

•Por exemplo, se p = 0,10 e n = 15, a probabilidade de obter x itens não conformes é calculada usando a equação da Binomial. Por exemplo, para x=1


Resumo da Distribuição Binomial

• Um experimento aleatório é chamado de experimento binomial, se satisfaça as seguintes condições:

a) O experimento deve comportar um número fixo de tentativas;b) As tentativas sejam independentes (o resultado de qualquer tentativa não afeta as

probabilidades das outras tentativas);c) Cada tentativa resulte em somente dois resultados possíveis classificados em duas

categorias (sucesso e falha);d) A probabilidade de um sucesso de cada tentativa, denotada por p, permaneça

constante.

• Notação: S e F (sucesso e falha) denotam as duas categorias possíveis de todas tentativas; p e q denotam as probabilidades de S e F, respectivamente, assim,

• P(S)=p• P(F) = 1-p = q• n é o número fixo de tentativas• X denota um número específico de sucessos em n tentativas, podendo ser qualquer

inteiro entre 0 e n inclusive.• p denota a probabilidade de sucesso em uma das n tentativas e q denota a probabilidade

de falha em uma das n tentativas.• P(X) denota a probabilidade de obter exatamente x sucessos em n tentativas.


Continuação Distribuição Binomial

•

• n=número de tentativas• x=número de sucessos em n tentativas• p=probabilidade de sucesso em qualquer tentativa• q=probabilidade de falha em qualquer tentativa

• Exemplo: Aplicando a fórmula da probabilidade binomial, determine a probabilidade de obter 3 estudantes canhotos em uma turma de 15 estudantes, dado que 10% da população são canhotos. Isto é determine a P(X=3), se n=15, p=0,1 e q=0,9.

129,0282429,0.001,0!3!12

!12.13.14.153159,0.31,0!3)!315(

!15)3(

XP

n ..., 2, 1, 0,k para ,.!)!(

!)(

knqkp

kknn

kXP


3) Distribuição de Poisson

•A distribuição de Poisson é adequada para descrever situações onde existe uma probabilidade de ocorrência em um campo ou intervalo contínuo, geralmente tempo ou área.

•Por exemplo, o no de acidentes por mês, no de defeitos por metro quadrado, no de clientes atendidos por hora.

•Nota-se que a variável aleatória é discreta (número de ocorrência), no entanto a unidade de medida é contínua (tempo, área).

•Além disso, as falhas não são contáveis, pois não é possível contar o número de acidentes que não ocorreram, nem tampouco o número de defeitos que não ocorreram.

4.3 Distribuição de probabilidade: Poisson

•Condições de aplicação:

• o número de ocorrências durante qualquer intervalo depende somente da extensão do intervalo;

• as ocorrências ocorrem independentemente, ou seja, um excesso ou falta de ocorrências em algum intervalo não exerce efeito sobre o número de ocorrências em outro intervalo;

• a possibilidade de duas ou mais ocorrências acontecerem em um pequeno intervalo é muito pequena quando comparada à de uma única ocorrência.


•A distribuição de Poissson fica completamente caracterizada por um único parâmetro que representa a taxa média de ocorrência por unidade de medida.

•A equação para calcular a probabilidade de x ocorrências é dada por:

• x = 0, 1, ...,n

•A média e a variância da distribuição de Poisson são:• = • ² = ²

•A aplicação típica da distribuição de Poisson no controle da qualidade é como um modelo para o número de defeitos (não-conformidades) que ocorre por unidade de produto (por m2, por volume ou por tempo, etc.).

!)(

xexP

x


•O número de defeitos de pintura segue uma distribuição de Poisson com = 2.•Então, a probabilidade que uma peça apresente mais de 4 defeitos de pintura virá dada por:

Distribuição de Poisson

%5,5055,0945,01!42141

4

0

42

x

eXP

Resumo Distribuição de Poisson

• Dado um intervalo de números reais, suponha que as contagens ocorram através do intervalo. Se o intervalo puder ser dividido em subintervalos com comprimentos suficientemente pequenos tal que1) A probabilidade de mais de uma contagem em um subintervalo seja zero.2) A probabilidade de uma contagem em um subintervalo seja a mesma para

todos os subintervalos e proporcional ao comprimento do subintervalo e3) A contagem em cada subintervalo seja independente de outros

subintervalos.Então o experimento aleatória será chamado de processo de Poisson.• λ é o número médio de contagens no intervalo para λ >0;• A função de distribuição de probabilidades de X dada por

•

• A média e a variância de X serão:

•

0,1,2,... x,!

)(

x

xexf

22 )( e )( XVXE


Continuação de Distribuição de Poisson

• Exemplo: Para o caso do fio delgado de cobre, suponha que o número de falhas siga a distribuição de Poisson, com uma média de 2,3 falhas por milímetro. Determine a probabilidade de existir exatamente 2 falhas em 1 milímetro de fio. Designe por X o número de filhas em 1 milímetro de fio. Então, E(X)=2,3 falhas e

•

• Determine a probabilidade de 10 falhas em 5 milímetros de fio. Seja X o número de falhas em 5 milímetros de fio. Então X tem uma distribuição de Poisson com

• E(X)=5 . 2,3 = 11,5 falhas

•

• Determine a probabilidade de existir, no mínimo,uma falha em 2 milímetros de fio. Seja X o número de falhas em 2 milímetros de fio. Então X tem uma distribuição de Poisson com

• E(X)=2. 2,3=4,6 falhas

265,0!2

23,23,2)2(

eXP

113,0!10

105,115,11)10(

eXP

9899,0!0

06,46,41)0(1)1(

eXPXP


•Considere o problema básico de inspeção por amostragem, em que observamos uma amostra de n itens de um lote com N itens, sendo r defeituosos. Avaliamos o número X de itens defeituosos na amostra. A variável aleatória X aparenta ser binomial, mas só é realmente binomial se:

– A seleção da amostra for aleatória (para garantir a mesma probabilidade p de sair item defeituoso em todos os ensaios);

– Com reposição (para garantir independência entre ensaios).

4.3 Distribuição de probabilidade: Hipergeométrica

•A segunda condição não costuma ser satisfeita na prática. Se a amostragem for aleatória, mas sem reposição, a distribuição de X é conhecida como hipergeométrica de parâmetros N, n e r.

•A função de probabilidade de X é expressa por:

•

• x = 0,1,....,min(r,n)

nN

xnrN

xr

xP )(


•A média e a variância são calculadas como:

•

•

pn

1)1(2

N

nNppn


980.151.71

860.063.507

!54).1.2.3.4.5.6(!54.55.56.57.58.59.60

!53!.0!53

!1!.6!7

660

053

67

660

66760

67

)6(

XP

Continuação da Distribuição Hipergeométrica

Qual a probabilidade de ganhar na Mega-Sena ao jogar 7 números entre os valores de 1 a 60? Qual a probabilidade de ganhar na quina, na quadra ao jogar os 7 números?

• Uma série de 60 números que variam de 1 a 60• 6 números são classificados como sucessos

• N-k = 60-6 = 54 classificados como falhas• Uma amostra de tamanho 7 é selecionada ao acaso, sem reposição, a partir de 60

objetos, em que 6 ≤60 e 7 ≤60. • Designe por X a variável aleatória que representa o número de sucessos na amostra.

Calcule P(X=6)• Então X tem uma distribuição hipergeométrica

981.441

860.063.50113.1

!54).1.2.3.4.5.6(!54.55.56.57.58.59.60

!52!.1!52.53

1.2!.5!5.6.7

660

153

57

660

56760

57

)5(

XP

038.11

860.063.50230.48

860.063.501378.35

!54).1.2.3.4.5.6(!54.55.56.57.58.59.60

!51!.2!51.52.53

1.2.3!4!4.5.6.7

660

253

47

660

46760

47

)4(

XP

Continuação de Distribuição Hipergeométrica

Exemplo: Uma batelada de peças contém 100 peças de um fornecedor local de tubos e 200 peças de um fornecedor de tubos de um estado vizinho. Se quatro peças forem selecionadas ao acaso e sem reposição, qual será a probabilidade de que elas sejam todas provenientes do fornecedor local?• Designe por X o número de peças na amostra do fornecedor local.• Então X tem distribuição hipergeométrica e a probabilidade requerida é

P(X=4)

•

• Qual é a probabilidade de que duas ou mais peças na amostra sejam provenientes do fornecedor local?

0119,0

!296!.4!300

!200!.0!200

!96!.4!100

4300

0200

4100

4300

44100300

4100

)4(

XP

408,00119,0098,0298,0

4300

0200

4100

4300

1200

3100

4300

2200

2100

)2(

XP


Resumo da Distribuição Hipergeométrica

• Uma série de N objetos contém • k objetos classificados como sucessos• N-k objetos classificados como falhas• Uma amostra de tamanho n objetos é selecionada ao acaso, sem

reposição, a partir de N objetos, em que k ≤N e n ≤N. • Designe por X a variável aleatória que representa o número de sucessos

na amostra. Então X tem uma distribuição hipergeométrica

• n}min{K, a ,0m x,)( NKnax

nN

xnKN

xK

xf

1

)1()(2 e )(N

nNpnpXVnpXE


Continuação de Distribuição Hipergeométrica

Exemplo: Uma batelada de peças contém 100 peças de um fornecedor local de tubos e 200 peças de um fornecedor de tubos de um estado vizinho. Se quatro peças forem selecionadas ao acaso e sem reposição, qual será a probabilidade de que elas sejam todas provenientes do fornecedor local?• Designe por X o número de peças na amostra do fornecedor local.• Então X tem distribuição hipergeométrica e a probabilidade requerida é

P(X=4)

•

• Qual é a probabilidade de que duas ou mais peças na amostra sejam provenientes do fornecedor local?

0119,0

!296!.4!300

!200!.0!200

!96!.4!100

4300

0200

4100

4300

44100300

4100

)4(

XP

408,00119,0098,0298,0

4300

0200

4100

4300

1200

3100

4300

2200

2100

)2(

XP


•A distribuição Normal é a mais importante das distribuições estatísticas, tanto na teoria como na prática:

– Representa a distribuição de freqüência de muitos fenômenos naturais;– Serve como aproximação da distribuição Binomial, quando n é grande;– As médias e as proporções de grandes amostras seguem a distribuição Normal

(Teorema do Limite Central).

•A distribuição Normal é em forma de sino, unimodal, simétrica em relação à sua média e tende cada vez mais ao eixo horizontal à medida que se afasta da média.•Ou seja, teoricamente os valores da variável aleatória podem variar de - a +.•A área abaixo da curva Normal representa 100% de probabilidade associada a uma variável. •A probabilidade de uma variável aleatória tomar um valor entre dois pontos quaisquer é igual à área compreendida entre esses dois pontos.

4.4 Distribuição de probabilidade: Normal

•A área total abaixo da curva é considerada como 100%. Isto é, a área total abaixo da curva é 1.

área=1

área= 0,5 área= 0,5


•Percentuais da distribuição Normal:

99,73%

95,44%

68,26%

2 7 . 6 2 7 . 8 2 8 2 8 . 2 2 8 . 4 2 8 . 6 2 8 . 8 2 9 2 9 . 2

-1 +1

-2 +2

-3 +3

•A distribuição Normal fica completamente caracterizada por dois parâmetros: a média e o desvio-padrão.

•Ou seja, diferentes médias e desvio-padrões originam curvas normais distintas, como se pode visualizar nos exemplos contidos na tabela abaixo onde há amostras provenientes de distribuições com média e desvios-padrões distintos.


a) da distribuição A para B muda a tendência central, mas a variabilidade é constante;b) da distribuição A para C muda a variabilidade, mas a tendência central é constante;c) da distribuição B para C muda a tendência central e a variabilidade.

A

C

B

x

f(x)

Distribuições Normal

•Uma conseqüência importante do fato de uma distribuição Normal ser completamente caracterizada por sua média e desvio-padrão é que a área sob a curva entre um ponto qualquer e a média é função somente do número de desvios-padrões que o ponto está distante da média.

•Como existem uma infinidade de distribuições normais (uma para cada média e desvio-padrão), transformamos a unidade estudada seja ela qual for (peso, espessura, tempo, etc.) na unidade Z, que indica o número de desvios-padrão a contar da média.

•Dessa forma, o cálculo de probabilidades (área sob a curva) pode ser realizado através de uma distribuição Normal padronizada, onde o parâmetro é a variável reduzida Z.

•A distribuição Normal pode ser representada por uma equação matemática dada por:


2

21

21)(

x

exf

•A distribuição Normal acumulada é obtida calculando a probabilidade de X ser menor que um dado valor x:

•A solução está apresentada em tabelas da distribuição Normal padronizada onde se entra com a variável reduzida Z (número de desvios-padrões distantes da média) e encontra-se F(Z) ou vice-versa.

Tabelado )(

ZFxZPxXP

xdxxfxFxXP )()()(


•A variável reduzida mede a magnitude do desvio em relação à média, em

unidades de desvio padrão.

• Z = 1,5 significa uma observação está desviada 1,5 desvios padrão para cima da média.

•A variável reduzida é muito útil para comparar distribuições e detectar dados atípicos.

•Dados são considerados atípicos quando Z > 3.

Z X XS


•Para sabermos o valor da probabilidade, utilizamos a tabela da distribuição Normal. Essa tabela nos fornece a área acumulada até o valor de Z

Á rea= 0, 84

1, 0

0, 84

0, 0

Z=1Z=1


•As áreas correspondentes as probabilidades da distribuição normal padrão estão tabeladas.

1 .01 .11 .21 .31 .4

0 .8 4 130 .8 6 430 .8 8 490 .9 0 320 .9 1 92

0 .8 4 3 80 .8 6 6 50 .8 8 6 90 .9 0 4 90 .9 2 0 7

0.84 6 10.86 8 60.88 8 80.90 6 60.92 2 2

0.84 8 50.87 0 80.89 0 70.90 8 20.92 3 6

0.8 50 80.8 72 90.8 92 50.9 09 90.9 25 1

0 .8 53 10 .8 74 90 .8 94 40 .9 11 50 .9 26 5

0 .8 55 4

0 .8 96 20 .9 13 10 .9 27 8

0 .8 77 00 .8 5 770 .8 7 900 .8 9 800 .9 1 470 .9 2 92

0 .8 5 990 .8 8 100 .8 9 970 .9 1 620 .9 3 06

0 .8 6 210 .8 8 300 .9 0 150 .9 1 770 .9 3 19

0 .0 0 0 .0 1 0 .0 2 0 .03 0.04 0.05 0.0 6 0 .0 7 0 .0 8 0 .0 9

P ro b a b ilid a d e d e o co rrê n c ia d e va lo re s a b a ixo d e Z

Z


•O cálculo da variável reduzida Z faz uma transformação dos valores reais em valores codificados.

•Essa transformação é feita descontando-se a média para eliminar o efeito de localização (tendência central) e dividindo-se pelo desvio-padrão para eliminar o efeito de escala (variabilidade).

•Uma vez calculada a variável reduzida Z, consulta-se a tabela Normal padronizada para identificar a probabilidade acumulada à esquerda de Z, ou seja, a probabilidade de ocorrerem valores menores ou iguais a um certo valor de Z consultado.


• Exemplo 1: Suponha que o peso de um rolo de arame seja normalmente distribuído com média 100 e desvio-padrão 10. Então o peso está em torno de 100 a uma distância as vezes maior, as vezes menor que 10.

• Queremos saber qual a probabilidade que um rolo, pego ao acaso da produção, possuir peso menor ou igual a 110: P( x <110) = P( Z < 1) = 0,8413

x

Z = 11 0

1 0 01 1 0

Z


• Se quiséssemos saber a probabilidade do peso do rolo ser maior que 111,6, iniciamos calculando o valor de Z:

• Encontramos o valor de probabilidade 0,8770.

• P( Z > 1,16) = 1 - P(Z < 1,16) = 1 - 0,8770 = 0,123

16,110

1006,111

Z


•Da mesma forma, se quiséssemos a probabilidade do peso estar entre 120 e 130, teríamos que fazer o seguinte raciocínio:•P(120 < X < 130) = P(X <130) – P(X < 120) =• P(Z< (130-100)/10) – P(Z< (120-100)/10) = P(Z<3)-P(Z<2)= •0,9987 – 0,9772 = 0,0215 •ou seja, 2,15% de chance de um rolo pesar entre 120 e 130


•Exemplo 2: A resistência à tração do papel usado em sacolas de super-mercado é uma característica de qualidade importante. •Sabe-se que essa resistência segue um modelo Normal com média 40 psi e desvio padrão 2 psi. •Se a especificação estabelece que a resistência deve ser maior que 35 psi, qual a probabilidade que uma sacola produzida com este material satisfaça a especificação?

35135 XPXP

5,22

403535

ZPZPXP



•Exemplo 3: O diâmetro do eixo principal de um disco rígido segue a distribuição Normal com média 25,08 in e desvio padrão 0,05 in. •Se as especificações para esse eixo são 25,00 0,15 in, determine o percentual de unidades produzidas em conformidades com as especificações.

•ou seja, 91,92% dentro das especificações(área cinza) e 8,08% fora das especificações.

85,2415,2515,2585,24 xPxPxP

05,0

08,2585,2405,0

08,2515,25 ZPZP

9192,00000,09192,060,440,1 ZPZP


Exemplo anterior

L E I L E Sx

= 0 , 0 5

2 4 , 8 5 2 5 , 0 8 2 5 , 1 5


•Exemplo 4: No exemplo anterior tem-se cerca de 8% de unidades não-conformes, e essas unidades são invariavelmente do tipo “eixo muito largo”. •Recalcule o percentual de unidades conformes se o processo estivesse centrado em 25,00.

05,0

00,2585,2405,0

00,2515,25 ZPZP

9973,000135,09987,00,30,3 ZPZP


•Exemplo 5: Suponha que Encontre um valor limite x, tal que P{ X > x} = 0,05. ).9 ;85(NX

05,09851}{1}{

xZPxXPxXP

95,09

85

xZP

Assim, 805,99x ;9

85645,1

x


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Unidade IV – Probabilidade 4.1 Conceitos fundamentais e propriedades (probabilidade condicional, independência de eventos e teorema de Bayes). 4.2 Variáveis