José Francisco Gómez González Benjamín González Díaz María de la Peña Fabiani Bendicho Ernesto Pereda de Pablo

PUNTOS OBJETO DE ESTUDIO Fundamentos. Corriente alterna senoidal: caracterización e importancia. Fasores. Circuitos de ca básicos. Impedancias y admitancias. Circuitos de ca en general. Potencia en ca: activa, reactiva y aparente. Concepto de factor de potencia y su modificación. Concepto de filtros. Características. Filtros pasabaja,

pasaalta, pasabanda y de rechazo de banda.

3

FUNDAMENTOS Corriente continua: no

varía frente al tiempo. Corriente alterna (ca): su

sentido cambia con el tiempo.

Corriente alterna periódica: su valor se repite al cabo de un cierto tiempo T (periodo).

Onda: expresión gráfica de la variación periódica en amplitud y tiempo.

4

Corriente continua Corriente alterna

5

Corriente alterna senoidal (I)

Volta

je (V

)

Tiempo (s)Vo

ltaje

(V)

Tiempo (s)

0( )v t V= 0( ) cos( )v t V wt ϕ= +

Vm=Valor máximo= valor de pico=valor de cresta.

V(t)= Valor instantáneo. T=Periodo: tiempo de un

ciclo completo (s). f= Frecuencia (lineal)=

ciclos por segundo=1/T[Hz]

ω= Pulsación (frecuencia angular): ωT=2π=> ω= 2πf (rads-1).

ϕ=Ángulo de fase (rad) aunque se expresa en º

6

Corriente alterna senoidal (II)

0( ) cos( )v t V wt ϕ= +

Análogamente para la intensidad

CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL (III) Ventajas de una corriente alterna senoidal:

Función simple y bien definida. Cualquier función periódica se puede expresar como una

suma de senos y cosenos de distintas frecuencias. Fácil de producir y transformar.

7

VALOR MEDIO

8

Los valores medios no dan información sobre las corrientes alternas.

∫=T

0

1 dtIT

I

∫=T

0

1 dtVT

V

∫=T

0

1 dtfT

f

ωπω 2Tcon cosVV o == tSi

[ ]∫ ===T

0

/20 0

21t cos

2ωπω

πω

πω tsenVdtVV oo

[ ]∫ ===T

0

/20 0

21t cos

2ωπω

πω

πω tsenIdtII oo

2ffef =

2VVef =

2IIef =

Los voltímetros y amperímetros están diseñados para medir valores eficaces de la corriente o la tensión.

∫ ∫ ==+

==T

0

202

/2

0

2222

22

21

2212cos

2t cos

2VVdttVdtVV ooo ω

ππωω

πωω

πω ωπ

2o

efVV =

∫ ∫ ==+

==T

0

202

/2

0

2222

22

21

2212cos

2t cos

2IIdttIdtII ooo ω

ππωω

πωω

πω ωπ

2o

efII =

9

CARACTERIZACIÓN DE LAS CORRIENTES ALTERNAS UTILIZANDO VALORES EFICACES

SIGNIFICADO FÍSICO DE VALOR EFICAZ Si tenemos una resistencia R que es atravesada por una

corriente

Entonces la energía disipada es

Por lo que, ¿cuánto vale la corriente continua que debe circular por R para disipar en un tiempo t la misma energía?

10

𝑖 𝑡 = 𝐼𝑚 ∙ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡

𝑊 𝐴𝐴 = 𝑅𝑖2𝑡

0

𝜏 𝑑𝜏

𝑊 𝐷𝐴 = 𝑅𝐼2𝑡

0

𝑑𝜏 = 𝑅𝐼2𝑡; 𝑆𝑖 𝑊𝐷𝐴 =𝑊𝐴𝐴 ⇒ 𝑅𝐼2𝑡 = 𝑅𝑖2𝑡

0

𝜏 𝑑𝜏

𝐼 =1𝑇𝑅𝑖2𝑡

0

𝜏 𝑑𝜏 = 𝐼𝑒𝑒𝑒

Siendo v(t) conocido, se quiere calcular i(t).

v(t)=vL+vC+vR

La ecuación resulta

11

Circuitos en alterna

Ldiv Ldt

=0

1 ( )t

Ct

v i dC

τ τ= ∫ Rv Ri=

0

1( ) ( )t

t

div t L i d Ridt C

τ τ= + +∫

2

2

( ) 1dv t d i diL i Rdt dt C dt

= + +

Se resuelve mediante: Respuesta transitoria

Respuesta permanente

NOTACIÓN FASORIAL (I) En un circuito de corriente alterna, ω es la misma en todos los

puntos del circuito, tanto para las corrientes como para los voltajes.

El valor de cada magnitud en un instante viene determinado por su amplitud y su fase.

12

NOTACIÓN FASORIAL (II)

13

Y=A√2 cos(ωt+δ) ≡ Y= A∠δ

14

NÚMEROS IMAGINARIOS

θ

r

a

b

Re

Im

Coordenadas cartesianas jbaz +=

Coordenadas polares θ ∠= rz

Cambio de coordenadas

Cartesianas a polares abtgarc

bar

22

=

+=

θ

Polares a cartesianas θθ

senrbra cos

==

Fórmula de Euler θθθ senjrrre j cos ±=±

RELACIÓN Partimos de:

En notación fasorial

Multiplicamos por

Relación de Euler

Una función sinuidal es representado unívocamente por su fasor.

15

0( ) 2 cos( )v t V tω ϕ= +

0 0jv V V e ϕϕ= ∠ =

( )0 0 0 (cos( ) sin( )j j t j tV e e V e V t j tϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω+⋅ = = + + +

( )0 02 Re( ) 2 cos( )j tV e V tϕ ω ϕ ω+ = +

j te ω

OPERACIONES CON FASORES 1. http://www.youtube.com/watch?v=dBV4FLtA8ls 2. http://www.frro.utn.edu.ar/repositorio/catedras/elec

trica/2_anio/electrotecnica1/trabajos_practicos/Ejercicos_fasores.pdf

3. http://www.uco.es/users/mr.ortega/fisica/archivos/guias/A01_Numeros_complejos.pdf

16

CIRCUITOS RESISTIVOS (I)

Sólo varía el módulo no la fase -> vR(t) e iR(t) están en fase. Ley de Ohm en alterna con los valores de la amplitud

17

𝑣𝑅(𝑡)= V; ⇒ 𝑖𝑅 𝑡 =𝑣0 𝑡

R=𝑣0R𝑐𝑠𝑠(𝑐𝑡)

CIRCUITOS RESISTIVOS (II) Si escribimos el voltaje como

La transformación fasorial de este voltaje es

18

( )[ ] ( ) ( )imimim tVtRItIRRiv θωθωθω +=+=+== coscoscos

ijm m iV RI e RIθ θ= = ∠

IRV =

CIRCUITOS INDUCTIVOS (I)

vL(t) e iL(t) desfasadas en π/2 radianes, con la corriente retrasada. Relación I-V: reactancia inductiva (depende de la frecuencia)

19

( ) 0; ( ) cos( ) ( )2

o oLo L

V VdiL V sen t i t t sen tdt L L

πω ω ωω ω

− + = = − = −

LL

L

vX Li

ω= =

CIRCUITOS INDUCTIVOS (II)

20

( )[ ] ( ) ( )oimim

im tLItsenLIdt

tIdLdtdiLv 90coscos

−+−=+−=+

== θωωθωωθω

( ) ( )90 90o oi i i

i

j j jjm m m

jm

V LI e LI e e LI e j

j LI e j LI

θ θ θ

θ

ω ω ω

ω ω

− −= − = − = − − =

= =

ILjV ω=

( )( ) ( )oimim

o LIILV 9090 +∠=∠∠= θωθω

CIRCUITOS CAPACITIVOS (I) vC(t) e iC(t)

desfasadas en π/2 radianes, con la corriente adelantada

Relación I-V: reactancia capacitiva (depende de la frecuencia)

21

En el condensador q=Cv = C ( )

Como ( ) ( ) cos( ) ( )2

o

c c o

V sen tdqi t i t C V t C Vsen tdt

ωπω ω ω ω= ⇒ = = +

1CC

C

vXi Cω

= =

CIRCUITOS CAPACITIVOS (II)

22

( )[ ] ( ) ( )ovmvm

vm tCVtsenCVdt

tVdCdtdvCi 90coscos

−+−=+−=+

== θωωθωωθω

( ) ( )90 90o ov v

v

j jj v jm m m

jm

I CV e CV e e CV e j

j CV e j CV

θ θθ

θ

ω ω ω

ω ω

− −= − = − = − − =

= =

ICj

Vω1

=

( ) ( )oimim

o IC

IC

V 901901−∠=∠

−∠= θ

ωθ

ω

IMPEDANCIA (I) En los tres casos anteriores tenemos que se puede establecer una

relación entre la corriente fasorial y la corriente fasorial.

Impedancia: Cociente entre el fasor tensión y el fasor corriente

Por lo tanto se cumple la ley de Ohm. Z es un número complejo, pero no un fasor, ya que no se

corresponde con ninguna función sinusoidal en el dominio temporal. 23

V RIV j LI

jV IC

ω

ω

==−

=

El fasor tensión puede expresarse como el producto de una cantidad compleja por el fasorcorriente

V ZI=

IMPEDANCIA Y REACTANCIA Resistencia Bobina Condensador

24

RZ R=LZ j Lω=

CjZ

Cω−

=

[ ]Z R jX= + ΩRe(Z)= R: Resistencia [Ω]

Re(Z)= X: Reactancia [Ω]

01 0

L

L

X L

XC

ω

ω

= >

= − <

LEYES DE KIRCHHOFF EN CORRIENTE ALTERNA Las LK: conservación de la energía en una malla (LKM)

y de la carga en un nudo (LKN). Estas leyes de conservación son principios físicos de

validez universal, y no dependen del tipo de corriente que se tenga.

Por tanto, las LK también se cumplen en el caso de la corriente alterna.

25

CIRCUITOS RLC EN CA (GENERAL) (I)

Gráficamente, obtenemos Vo sumando los fasores.

- Si calculamos Vo analíticamente:

26

2 2 2 2 21( ) I ( )o R L C oV v v v R LC

ωω

= + − = + −

CIRCUITOS RLC EN CA (GENERAL) (II)

27

:

( ) ( ) 0º

( ) ( ) º

( ) 0 º ; ( )

( ) 0 º ;( )

m m

m m

m

m

El desfase se mide de I con respecto aV

v t V sen t V V

i t I sen t I I

i t atrasa I I L

i t adelanta I I C

ϕ

ω

ω ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

= ≡ = ∠

= ≡ = ∠

⇒ > ⇒ = ∠−

⇒ < ⇒ = ∠+

;

Re( ) cos es la resistencia.1Im( ) es la reactancia; X=L -

- Si X>0 L Reactancia inductiva. - Si X<0 C Reactancia capacitiva.

Z R jX

R Z Z

X Z Z senC

ϕ

ϕ ωω

= +

= =

= =

⇒ ⇒⇒ ⇒

PARA CUALQUIER ELEMENTO EN CA

28

1

(Ley de Ohm generalizada)

º [ ] es la impedancia

1 º [ Siemens]es la admitancia

m

m

m

m

V Z IVVZIIIYVZ

ϕ

ϕ −

=

= = ± Ω

= = Ω =

;

Re( ) cos es la resistencia.1Im( ) es la reactancia; X=L -

- Si X>0 L Reactancia inductiva. - Si X<0 C Reactancia capacitiva.

Z R jX

R Z Z

X Z Z senC

ϕ

ϕ ωω

= +

= =

= =

⇒ ⇒⇒ ⇒

La relación entre ambas magnitudes:

-En forma binómica:

Circuito: V, R, L, C. tVtV ωcos)( max=

ε

ω

RMK

Fasor

Número complejo Ecuación Diferencial de 2º orden:

dtdVI

CdtdIR

dtIdL =++

12

2

Solución con dos parámetros

Solución 1 Solución 2

)cos()( max φω −= tItI

C, impedancia

Ζφ

φZZ =

CA=CC+C

NO SI

Fasor

Ley de Ohm

Valores eficaces

Número complejo

φ: Desfase ZVI max

max =

ZVI =

Ohm

29

TEOREMAS DE CIRCUITOS EN CA Teorema de superposición

Válido con las fuentes de alterna Teoremas de Thevenin y de Norton

Válidos sustituyendo R por Z Los parámetros se hayan de la misma manera

Vth: voltaje en abierto entre los terminales IN: intensidad de cortocircuito, ICC. Rth=RN= Vth/ICC.

Máxima transferencia de potencia ZL=Z*

th (complejo conjugado de la Zth equivalente entre los terminales)

30

POTENCIA EN CORRIENTE ALTERNA En cualquier elemento, P=VI

A través de las reglas trigonométricas

Obtenemos que la potencia instantánea es:

31

( )( )tIi

tVv

m

ivm

ωθθω

coscos

=−+= ( )( ) ( )( )

( ) ( )ttIVptItVvip

ivmm

mivm

ωθθωωθθω

coscoscos*cos

−+=−+==

( ) ( )βαβαβα ++−= cos21cos

21coscos ( ) βαβαβα sensen−=+ coscoscos

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

cos cos

cos cos cos 2 22 2 2

cos cos cos 2 2

m m v i

m m m m m mv i v i v i

f f v i f f v i f f v i

p V I t tV I V I V It ses sen t

V I V I t V I sen sen t

ω θ θ ω

θ θ θ θ ω θ θ ω

θ θ θ θ ω θ θ ω

= + − =

= − + − − − =

= − + − − −

POTENCIA INSTANTÁNEA La potencia instantánea pasa a través de dos ciclos

completos por cada ciclo ya sea de voltaje o la corriente. La potencia instantánea puede ser negativa durante una porción de cada ciclo.

En una red completamente pasiva, la potencia negativa implica que la energía almacenada en los inductores o capacitores se está extrayendo.

El hecho de que la potencia instantánea varíe con el tiempo en la operación de estado permanente senoidal de un circuito explica por qué algunos aparatos accionados por motor (tales como los refrigeradores) experimente vibraciones y requieran montajes flexibles del motor para evitar la vibración excesiva

32

POTENCIA ACTIVA (PROMEDIO) Y REACTIVA

Donde es la potencia activa o promedio, unidades en vatios (W).

Y es la potencia reactiva, unidades en voltio-amperio reactivos (VAR).

Se puede ver que P es la potencia promedio de la potencia instantánea donde T es el periodo de una onda senoidal.

33

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

cos cos cos 2 2

cos 2 2f f v i f f v i f f v ip V I V I t V I ses sen t

P P t Qsen t

θ θ θ θ ω θ θ ω

ω ω

= − + − − − =

= + −

( )cosf f v iP V I θ θ= −

( )ivff senIVQ θθ −=

∫+

=Tt

t

o

o

pdtT

P 1

PARA UNA RESISTENCIA (R) En este caso la corriente y el voltaje están en fase, lo que significa que

Y la potencia real instantánea es

Nunca será negativa, por lo que la potencia no puede extraerse de una red puramente resistiva, sino que toda la energía se disipa en la forma de energía térmica (efecto Joule).

34

0=− iv θθ

ff IVP =

0=Q

tPPp ω2cos+=

POTENCIAS EN CIRCUITOS PURAMENTE INDUCTIVOS En este caso el voltaje adelanta a la corriente en 90º, La potencia activa o promedio es:

la potencia reactiva es

Y la potencia real instantánea es

En este caso la potencia promedio (activa es cero), por lo que no se produce un trabajo efectivo, es decir, no ocurre ninguna transformación de energía de la forma eléctrica a la no eléctrica.

La potencia instantánea en los terminales del circuito continuamente se está intercambiando entre el circuito y la fuente que activa a este mismo, a una frecuencia 2ω. Cuando es positiva, la energía se está almacenando en los campos magnéticos asociados a las inductancias, y cuando es negativa, se está extrayendo de los campos magnéticos.

35

0=P

ff IVQ =

tsenQp ω2−=

oiv 90=−θθ

POTENCIAS EN CIRCUITOS PURAMENTE CAPACITIVOS En este caso el voltaje retrasa respecto a la corriente en 90º,

La potencia activa o promedio es: La potencia reactiva es

Y la potencia real instantánea es

En este caso la potencia promedio (activa es cero), por lo que no se produce un trabajo efectivo, es decir, no ocurre ninguna transformación de energía de la forma eléctrica a la no eléctrica.

La potencia se intercambia continuamente entre la fuente que excita el circuito y el campo eléctrico asociado con los elementos capacitativos.

36

0=P

tsenQp ω2=

oiv 90−=−θθ

ff IVQ −=

CASO GENERAL

37

2

( ) ( ); ( ) ( );( ) ( ) ( )

( ( ) cos ( ) cos( ) )cos

m m

m m

m m

med ef ef

V t V sen t I t I sen tP t V sen t I sen t

V I sen t sen t t senP V I

ω ω ϕω ω ϕ

ω ϕ ω ω ϕϕ

= = −= − =

= −=

El valor medio depende del desfase entre V e I

EL FACTOR DE POTENCIA

El ángulo se conoce como ángulo del factor de potencia, y se denomina factor de potencia (FP, fdp) a

Como vemos el FP es positivo tanto en circuito

puramente capacitativos como inductivos por lo que para describir complemente este ángulo, utilizaremos frases descriptivas como: factor de potencia retrasado (o inductivo) y factor de potencia adelantado (o capacitativo).

38

iv θθ −

( )ivFP θθ −= cos

POTENCIA APARENTE O COMPLEJA Tomando para V e I valores eficaces, definimos:

entonces su módulo es la potencia aparente, S:

La parte real es la potencia activa, P:

La parte imaginaria es la potencia reactiva, Q:

39

* 2(cos ) ºef ef ef ef efS V I V I jsen I Z V Iϕ ϕ ϕ= = + = = ∠

2 [ ]ef ef efS S V I I Z VA= = =

( ) 2 2Re cos cos [ ]ef ef ef efS V I I Z I R Wϕ ϕ= = =

( ) 2 2Im [ ]ef ef ef efS V I sen I Z sen I X VArϕ ϕ= = =

TRIÁNGULO DE POTENCIA

40

**

21

ff IVIVjQPS ==+=

2 2

cossin

S P QP SQ S

ϕϕ

= +

==

S

P

Q

j

¿Cómo sería un triángulo de potencia en un circuito capacitivo?

CORRECCIÓN DEL FACTOR DE POTENCIA (I) S es la potencia total entregada a la impedancia P es la potencia consumida en las resistencias

Componente de I en fase con V (P(t)med) Es la potencia que se aprovecha -->A maximizar

Q es la potencia intercambiada con L y C Componente de I desfasada de V en 90º (π/2 rad) Necesaria para que L y C “funcionen”

Factor de potencia (FP, FP): cos j (entre 0 y 1) Indica la potencia aprovechable. En atraso: Z=R+jXL (bobina). En adelanto: Z=R-jXC (condensador).

41

CORRECCIÓN DEL FACTOR DE POTENCIA (II) Un FP bajo:

Aumenta la corriente consumida Aumentan las pérdidas en las líneas Disminuye el rendimiento Aumenta la caída de tensión en las líneas Aumenta la potencia aparente consumida

Es conveniente trabajar con factores de potencia próximos a la unidad

Algunas cargas pueden necesitar para su funcionamiento potencia reactiva (generalmente son de tipo inductivo= alimentación de motores)

Es necesario compensar el consumo de potencia reactiva mediante baterías de condensadores

42

CORRECCIÓN DEL FACTOR DE POTENCIA (III) Normalmente FP en atraso (motores, inducción) Debe corregirse (j-> 0) con C en paralelo.

en la que

P es la potencia activa. Q es la potencia reactiva inductiva de la carga. Qc es la potencia reactiva capacitiva de los condensadores.

ϕm es el valor del ángulo que fija en nuevo factor de potencia.

43

PQm

jm

j0

Q0S0

Sm

QC(tan tan )C o mQ P ϕ ϕ= −

FILTROS Los circuitos analizados han sido con fuentes

senoidales de frecuencia constante. ¿Qué pasa cuando se varía la frecuencia?

Modificación de la impedancia de capacitores e inductores, ya que la impedancia de estos elementos es una función de la frecuencia

44

1L

C

X L

XC

ω

ω

=

=

FILTRO PASA-BAJA

45

L1 0.1H

R16.38 ohm

ACSweep

ac

Vi Vo

max21 AA= ( )21log20

LR

c =ω

FILTRO PASA-ALTA

46

RCc1

=ω

FILTRO PASABANDA

47

Este filtro deja pasar voltajes dentro de una banda de frecuencias. Los filtros de paso banda ideales tienen dos frecuencias de corte, las cuales identifican a la banda de paso. En a) tenemos el circuito equivalente cuando la frecuencia es cero, en este caso el condensador tiene una impedancia muy elevada y no circula corriente y la caída en la resistencia es cero. Cuando la frecuencia es infinita caso b) la impedancia de la bobina es muy elevado y tampoco circula corriente. Por lo que vemos que para frecuencias altas y bajas no hay salida, es decir, hay un ancho de banda de frecuencia intermedias entre las que si tenemos una salida.

FILTRO RECHAZO DE BANDA

48

Este filtro deja pasar voltajes fuera de la banda entre dos frecuencias de corte. Para frecuencias altas tenemos el circuito equivalente a) en donde la bobina tiene una impedancia muy elevada, por lo que el voltaje de la entrada pasa a la salida. Para frecuencias bajas, el condensador tiene una impedancia muy alta y otra vez el voltaje de la entrada pasa a la salida. En cambio, para frecuencias intermedias la impedancia de la bobina y el condensador son bajas y el voltaje a la salida es pequeño.