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UNIVERSIDADE INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E DAS MISSÕE S

CAMPUS DE ERECHIM

JOSIANE CARLA BAIOCCO

RELAÇÃO ENTRE A ÁLGEBRA APRENDIDA NA LICENCIATURA E

A ÁLGEBRA ENSINADA NA EDUCAÇÃO BÁSICA

ERECHIM

2010

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JOSIANE CARLA BAIOCCO

RELAÇÃO ENTRE A ÁLGEBRA APRENDIDA NA LICENCIATURA E

A ÁLGEBRA ENSINADA NA EDUCAÇÃO BÁSICA

Monografia apresentada para obtenção do título de Licenciado em Matemática, no Curso de Matemática, Departamento de Ciências Exatas e da Terra da Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e das Missões - Campus de Erechim.

Orientador: Prof. Hélia Valério Thibes

ERECHIM

2010

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A minha família (Salete, Jandir e André) cujo amor

e auxílio me enriquecem a cada dia.

A minha orientadora (Prof. Hélia) pelo auxílio,

cuja amizade é um privilégio.

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RESUMO

A álgebra é uma das disciplinas de maior importância dentro de nossa educação atual, ocupando papel de destaque dentro do cenário educacional. Infelizmente pode-se notar que muitos alunos possuem certas restrições quanto à aprendizagem desta disciplina, tratando-a como uma mera mistura de letras e números. Através do resgate histórico da função que a Álgebra exercia antigamente e que a mesma exerce sobre a educação atual, percebemos o quanto esta precisa estar relacionada com situações que envolvam o dia a dia. As Licenciaturas em Matemática devem levar em consideração especialmente o ensino de temas que estejam ligados ao que o futuro educador ensinará na Educação Básica, enfatizando neste sentido a relação que o ensino de Álgebra das Licenciaturas possui com a Álgebra do Ensino Fundamental e Médio. A utilização de atividades que façam com o que o aluno estabeleça uma relação da álgebra da escola com a álgebra do dia a dia, torna-se de extrema importância. Isso pode ser verificado principalmente na resolução de problemas que possibilitam ao aluno uma melhor compreensão do mundo em que vive, assim como uma melhor relação dos cálculos algébricos com as situações problema evidenciadas no cotidiano.

Palavras-chave: Álgebra. Pensamento Algébrico. Resolução de Problemas.

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 5

2 HISTÓRIA E INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA NO DESENVOLVIM ENTO

DO PENSAMENTO ALGÉBRICO ..............................................................................

7

2.1 UM POUCO DA HISTÓRIA.................................................................................... 7

2.2 AS INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS NO DESENVOLVIMENTO DO

PENSAMENTO ALGÉBRICO.......................................................................................

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3 ORIENTAÇÕES CURRICULARES NACIONAIS (PCN) PARA A

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA .....................................................................

13

3.1 PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS PARA O ENSINO

FUNDAMENTAL E MÉDIO..........................................................................................

13

3.2 ORIENTAÇÕES CURRICULARES NACIONAIS PARA A LICENCIATURA

EM MATEMÁTICA.........................................................................................................

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4 A ÁLGEBRA APRENDIDA NAS LICENCIATURAS E A ÁLGEBRA DO

ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO .......................................................................

17

5 EDUCAÇÃO ALGÉBRICA E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ...................... 24

CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................ 30

REFERÊNCIAS.............................................................................................................. 33

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1 INTRODUÇÃO

Segundo Bussmann e Savioli (2008) uma das grandes questões enfocadas na formação do

professor é a ausência de articulação entre a formação específica e a formação pedagógica

para sua futura prática profissional. Os professores são agentes de mudanças, mas para que

estas ocorram, muitas são as questões enfatizadas para esta transformação. É preciso saber o

que se precisa para saber ensinar, que saberes devem ser aprendidos ou constituídos para

ensinar e que saberes são necessários para constituir novas práticas avaliativas que permitam

identificar avanços, dificuldades e possibilidades para reconstrução das aprendizagens dos

alunos.

A aprendizagem matemática envolve muitas variáveis que ultrapassam as questões

cognitivas, ancorando-se, muitas vezes, nas questões de uso estabelecidas nas relações de

convivência. Geralmente na Licenciatura em Matemática, um elemento importante é o

“conteúdo” que, na maioria das vezes, é visto como autônomo dentro do processo de

formação de professores.

Deveria ter-se uma conexão entre conteúdo específico e conteúdos pedagógicos. Assim os

conteúdos algébricos, que de uma forma ou de outra o professor se depara no seu trabalho na

Educação Básica, são vistos de forma isolada e aparecem em muitas das disciplinas no curso

de Matemática. É justamente nestes tópicos algébricos que se verifica um distanciamento

maior entre a formação específica e a formação pedagógica.

Fundamentando-se nesta necessidade de entender quais relações se estabelecem entre a

Álgebra aprendida no Curso de Licenciatura em Matemática e a Álgebra ensinada no Ensino

Fundamental e Médio, que esta monografia está sendo realizada. Tendo por objetivos analisar

e verificar quais são estas relações estabelecidas e identificar as perspectivas dos Parâmetros

Curriculares Nacionais para o ensino de Álgebra.

Nesta perspectiva, este trabalho está organizado em quatro capítulos, os quais enfatizam

temas importantes para um trabalho algébrico de qualidade. O seu primeiro capítulo traz uma

retomada sobre a história e investigação matemática no desenvolvimento do pensamento

algébrico, enfatizando como esta disciplina é importante no cenário educacional. Em seu

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segundo capítulo enfoca a ideia dos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino

Fundamental, Médio e as Orientações Curriculares Nacionais para a Licenciaturas em

Matemática. No terceiro capítulo encontramos a relação estabelecida entre a Álgebra

aprendida nas Licenciaturas em Matemática e a Álgebra do Ensino Fundamental e Médio. Por

fim, em seu último capítulo apresenta a relação da Álgebra com a resolução de problemas e a

importância deste ao aprendizado dos alunos.

“O estudo da Álgebra constitui um espaço bastante significativo para que o aluno

desenvolva e exercite sua capacidade de abstração e generalização.” (BRASIL, 98, p.15)

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2 HISTÓRIA E INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA NO DESENVOLVIM ENTO DO

PENSAMENTO ALGÉBRICO

Ao tratarmos de um tema de suma importância para a comunidade educacional

matemática, como as investigações matemáticas no desenvolvimento do pensamento

algébrico, torna-se imprescindível remontarmos inicialmente a história desta ciência que por

muitos é tratada apenas como uma mistura de letras em meio aos números sem muitos

significados, porém poucos consideram realmente a sua utilidade e seu grande papel dentro da

Matemática.

2.1 UM POUCO DA HISTÓRIA

A Educação Matemática compreende o estudo das relações de ensino e aprendizagens

matemáticas dentro do contexto educacional. As primeiras manifestações matemáticas

ocorreram no período paleolítico e estavam ligadas as necessidades das práticas impostas pelo

contexto social, até que seu ensino começou a ter um desenvolvimento independente. Passou

por vários períodos, desde o que a tratavam como uma ciência destinada apenas aos nobres,

aos que a consideravam fundamental para a formação dos indivíduos. Junto a Matemática

estiveram presentes as suas diversas áreas como Geometria, Cálculo e Álgebra, esta última a

qual se torna nossa referência de pesquisa.

Conforme Miorin (1998) durante muito tempo, a Álgebra foi considerada a parte da

Matemática que estuda as operações entre números, principalmente a resolução de equações.

Se levarmos em consideração que esta se inicia a partir do desenvolvimento da escrita,

podemos dizer que sua origem é tão antiga quanto à história da humanidade.

As origens da Álgebra fazem referência a antiga Babilônia onde se desenvolveu um

sistema aritmético avançado com o qual os babilônios puderam realizar os cálculos

algébricos, aplicando fórmulas e calculando soluções para incógnitas, esses cálculos são o que

hoje chamamos de equações lineares, quadráticas e indeterminadas. Os povos gregos,

egípcios, indianos e chineses dessa era, utilizavam para estes cálculos métodos

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geométricos, como uso de papiros e tabuletas de argila, que após deram a base para a

generalização de novas fórmulas, como cita Lins e Gimenez (2001) no trecho abaixo:

[...] começamos com os babilônios e os egípcios (cerca de 1700 a.C.) que desenvolveram regras eficientes para cálculos vários e para a resolução de problemas, embora não tenham desenvolvido notação alguma para apresentar essas regras de forma geral [...] (LINS e GIMENEZ, 2001, p.91)

De acordo com Lauand (2003), a Álgebra surgiu no Califato de Abássida, no seio da

“Casa da Sabedoria” de Bagdá, ciência nascida na língua árabe e criada por Al-khwarizmi.

Muhammad Ibn Musa Al-Khwarizmi foi membro da ‘Casa da Sabedoria’ e alcançou seu

esplendor sob Al-Ma’amun (califa de 813 a 833 a.C ou d.C?). A este, Al-khwarizmi dedicou

Al-kitab al-muhtasar fy hisab al-jabr wa al-muqabalah – livro breve para o cálculo de jabr

(redução – ‘força que obriga a entrar no devido lugar’) e da muqabalah (estar frente a frente) ,

o livro básico sobre cálculos por transposição e redução. Este livro é considerado como o

livro fundador da álgebra, que constituía um trabalho extremamente didático e com o objetivo

de ensinar soluções para os problemas matemáticos cotidianos de então.

A palavra Al-jabr significa reunião, conexão ou complementação, a reunião das partes

quebradas, ou analogamente, forçar cada termo a ocupar o seu devido lugar. Para um

contemporâneo de Al-khwarizmi era evidente a aplicação prática da Álgebra, entendia que

através da criação desta ciência, sua preocupação fundamental era a de atender à necessidade

da comunidade muçulmana de equacionar as prescrições do Alcorão para os problemas de

partilha de herança, naturalmente de extremo interesse da comunidade.

Devido ao significado da palavra al-jabr, este era muitas vezes utilizado para designar

outras situações. Como por exemplo, quando os mouros levaram a palavra para a Espanha,

seu significado enfatizava um algebrista que por sua vez era um restaurador ou alguém que

consertava ossos quebrados, este é citado por Miguel de Cervantes em Dom Quixote falando

de um algebrista que atendeu ao infeliz Sansão. Ou em certo tempo era comum ver em placas

de barbearia as palavras “Algebrista e Sangrador”.

Ao longo de seu desenvolvimento na história, a Álgebra percorreu diversos caminhos até

chegar ao século XIX, onde começaram a surgir as estruturações dos conjuntos numéricos dos

inteiros e racionais, e após os irracionais e reais. A estrutura destes números exigiu o

desenvolvimento de axiomas de estruturas operatórias, surgindo após as estruturas de grupo e

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corpo, através de trabalhos de Galois, e ideal e anel, por Ernest Eduard Krummer (1810 -

1893) e Souza (2004).

Quem estuda a história da Álgebra e da Matemática propriamente dita, observa que a

busca de soluções para problemas cotidianos e para dúvidas não resolvidas, nos leva a uma

série de descobertas e construções que são ampliadas ao longo do tempo. A história nos volta

há tempos antigos, onde os conhecimentos, as fórmulas, entre outros, foram constituídos

através de problemas e soluções para o dia a dia. O que conhecemos hoje sobre Álgebra e a

Matemática é fruto do trabalho de matemáticos e filósofos que tornaram possíveis, através de

suas descobertas, a melhoria de sua vida e também da sociedade.

2.2 AS INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS NO DESENVOLVIMENTO DO

PENSAMENTO ALGÉBRICO

Observar os alunos felizes e apreciando suas novas descobertas e invenções, é algo

extremamente gratificante para o professor, independente da série que este esteja trabalhando.

A possibilidade de trazer para as aulas de matemática uma forma atraente e motivante ao

aluno é uma das grandes preocupações que a maioria dos professores questiona-se ao preparar

uma aula. As investigações matemáticas são uma forma de levar os alunos à busca por

descobertas, soluções, conjecturas e de explorar idéias e pensamentos muitas vezes deixados

de lado no conteúdo propriamente dito.

Lins e Gimenez (2001) afirmam que:

[...] as propostas para sala de aula não são nunca “neutras” ou “ingênuas” em relação a pressupostos de toda ordem: relativos à natureza do processo cognitivo, relativos à natureza dos objetos que ali são apresentados ou relativos a concepções de conhecimento, para citar apenas alguns aspectos envolvidos. (LINS e GIMENEZ, 2001, p.105).

Mas ao tratarmos de um tema tão relevante é necessário que entendamos seu significado,

pois as investigações matemáticas diferenciam-se de explorações. De acordo com Ponte

(2003, apud FIORENTINI, FERNANDES e CRISTOVÃO, 2004) as explorações necessitam

de um tempo relativamente pequeno, são utilizadas para a introdução de conteúdos ou para a

problematização e produção de significados para um determinado conceito. Já as

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investigações matemáticas necessitam de um tempo maior, podendo variar de dias até um

semestre, e consideram quatro momentos: a exploração e formulação de questões

investigativas, a organização de dados e construção de conjecturas, a realização de testes,

refinamentos e sistematização das conjecturas e a construção de justificativas, argumentações

ou demonstrações, tendo como meta a validação dos resultados.

Em suma as investigações matemáticas são situações-problema desafiadoras e abertas, que

permitem aos alunos realizar de várias formas investigações e descobertas, assim o aluno é

chamado a agir como um matemático, na busca, apresentação, discussão e argumentação dos

resultados com seus colegas e professores.

Fiorentini, Fernandes e Cristovão (2004) afirmam que:

O estudo desenvolvido com utilização de investigações matemáticas, mostra que é um contexto rico de mobilização e desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos, apresentando indícios de que as investigações matemáticas apresentam um momento rico e desafiador de aprendizagem, tanto para alunos quanto para professores. (FIORENTINI, FERNANDES E CRISTOVÃO, 2004, p.1)

De acordo com Fiorentini, Miorim e Miguel (1993, apud FIORENTINI; FERNANDES e

CRISTOVÃO, 2004) há três concepções de educação algébrica que vem exercendo maior

influência no ensino de matemática elementar. A primeira conhecida como Linguístico-

pragmática predominante no século XIX e metade do século XX, entendia que o papel do

ensino da Álgebra era fornecer um instrumento técnico para a resolução de equações ou

problemas equacionáveis. Para o aluno adquirir esta capacidade era necessário inicialmente,

mesmo que de forma mecânica, dominar as técnicas requeridas pelo transformismo algébrico.

O currículo de Álgebra tinha como ponto de partida o Cálculo Literal (quatro operações

envolvendo expressões algébricas) desenvolvido através de exercícios de fixação, a fim de

capacitar os alunos no manejo das mesmas. A segunda concepção, a fundamentalista-

estrutural, predominante em 1970 e 1980, tinha por base as propriedades estruturais, servindo

para fundamentar e justificar as passagens do transformismo algébrico. Entendia que o papel

do ensino de Álgebra era fornecer fundamentos lógico-matemáticos para toda a matemática

escolar, através da introdução dos campos numéricos, teoria dos conjuntos, estruturas e

propriedades, entre outros. A terceira concepção, fundamentalista-analógica, tenta recuperar o

valor instrumental da Álgebra e preserva a preocupação fundamentalista só que não com base

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em propriedades estruturais e sim no uso de modelos analógicos ou físicos que visualizam ou

justificam as passagens do transformismo algébrico.

Porém, segundo Fiorentini (1993, apud FIORENTINI; FERNANDES e

CRISTOVÃO, 2004):

O ponto problemático e comum entre essas três concepções, é que elas praticamente reduzem o ensino da álgebra aos seus aspectos lingüísticos e transformistas, dando mais ênfase à sintaxe da linguagem algébrica que ao pensamento algébrico e seu processo de significação (a semântica). Em outras palavras, as três concepções enfatizam o ensino de uma linguagem algébrica já constituída, priorizando o domínio, por parte do aluno, de habilidades manipulativas das expressões algébricas. Além disso, a álgebra não se reduz a um instrumento técnico-formal que facilita a resolução de certos problemas. Ela é, também, uma forma específica de pensamento e de leitura do mundo. (FIORENTINI, 1993, apud FIORENTINI, FERNANDES E CRISTOVÃO, 2004, p.3)

Essas diferentes concepções nos fazem repensar o ensino da álgebra utilizando como foco

a relação entre o pensamento e a linguagem. Para muitos o pensamento algébrico só se

manifesta através de cálculos ou da linguagem simbólica utilizada na Álgebra.

Pensar algebricamente é produzir significados para situações em termos de números e operações aritméticas (e igualdades ou desigualdades) e com base nisso transformar as expressões obtidas operando sempre com as três características fundamentais: produzir significados apenas em relação a números e operações aritméticas (chamamos a isso aritmecismo), considerar números e operações apenas segundo suas propriedades e não “modelando” números em outros objetos (chamamos a isso internalismo) e operar sobre números não conhecidos como se fosse conhecidos (chamamos a isso analiticidade). (LINS e GIMENEZ, 2001, p.151).

O pensamento algébrico refere-se especialmente a simbolização, utilização e resolução de

situações matemáticas, utilizando símbolos algébricos ao estudo de estruturas (compreender

funções e relações) e modelação, implica em conhecer, compreender e utilizar esses símbolos

para representar o problema matematicamente, aplicar os procedimentos e saber avaliar os

resultados obtidos. (BARBOSA e BORRALHO, 2010)

O pensamento algébrico pode ser desenvolvido gradativamente, antes mesmo da

existência de uma linguagem algébrica simbólica, ligada também as noções aritméticas e a

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forma como as mesmas são ensinadas. Isso acontece especialmente nos primeiros anos de

escolarização, quando a criança estabelece relações e comparações entre expressões

numéricas ou padrões geométricos; percebe e tenta expressar as estruturas aritméticas de uma

situação problema; produz mais de um modelo aritmético para uma mesma situação-

problema; ou produz vários significados para uma mesma expressão numérica; interpreta uma

igualdade como equivalência entre duas grandezas ou entre duas expressões numéricas;

transforma uma expressão aritmética em outra mais simples; desenvolve algum tipo de

processo de generalização; percebe e tenta expressar regularidades ou invariâncias;

desenvolve e cria uma linguagem mais concisa ao expressar-se matematicamente. Ao longo

dos anos o desenvolvimento do pensamento algébrico e as novas noções algébricas irão sendo

aprimoradas e seu nível de dificuldade começa aumentar gradativamente. (FIORENTINI,

FERNANDES e CRISTOVÃO, 2004)

Para a realização de tarefas investigativas não existe regra, nem um manual que ensine

como criá-las. Elas são construídas juntamente com a colaboração do olhar e auxílio do outro,

um processo que só se aprende tentando. As investigações exploratório-investigativas

proporcionam um contato maior entre os alunos e o resultado que se propõem alcançar, é a

maneira de chamar a atenção destes para algo que lhes desperte o interesse, levando-os a

pensar genericamente, perceber irregularidades e exemplificá-las através de estruturas ou

expressões matemáticas, podendo ser uma alternativa de relacionamento do pensamento com

a linguagem algébrica.

Através da interação dos alunos com as atividades investigativas, estes passam a dar mais

significado à Matemática, experimentando outra relação com a mesma, uma relação mais

prazerosa de aprendizagem e motivação. Um momento em que os professores observaram os

alunos produzindo e vibrando com suas conclusões, realizando um aprendizado mais

significativo e concreto para algo que consideravam abstrato.

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3 ORIENTAÇÕES CURRICULARES NACIONAIS (PCN) PARA A L ICENCIATURA

DE MATEMÁTICA

A educação torna-se cada vez mais, papel fundamental no desenvolvimento das pessoas e

de uma sociedade, sendo foco em muitas discussões acerca de melhorias no sistema

educacional, na forma de educar e em como os educandos estão tratando essa educação.

Vivemos em um momento onde as tecnologias e os progressos científicos estão cada vez mais

presentes exigindo dos jovens um maior empenho para a conquista no mercado de trabalho.

3.1 PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS PARA O ENSINO FUNDAMENTAL

E MÉDIO

A qualidade da escola é condição essencial de inclusão e democratização de

oportunidades, o desafio de oferecer uma educação de qualidade a todos não é tarefa apenas

de poucos, mas de todos nós. Os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998) enfatizam a

importância de nossa educação para o desenvolvimento de uma sociedade, e são ferramentas

necessárias para o diálogo entre o professor e escola sobre a prática docente.

O papel fundamental da educação no desenvolvimento das pessoas e das sociedades amplia-se ainda mais no despertar de cada milênio apontando para a necessidade da construção de uma escola voltada para a formação de cidadãos. (BRASIL, 1998, p. 5)

Os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (1998) tem como finalidade

[...] fornecer elementos para ampliar o debate nacional sobre o ensino nesta área do conhecimento, socializar informações e resultados de pesquisa, levando-os ao conjunto dos professores brasileiros. Visam a construção de um referencial que oriente a prática escolar de forma a contribuir para que toda a criança e jovem brasileiro tenham acesso a um conhecimento matemático que lhes possibilite de fato

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sua inserção, como cidadão, no mundo do trabalho, das relações sociais e da cultura. Norteando a formação inicial e continuada dos professores. (BRASIL, 1998, p. 15)

Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental de Matemática

enfatizam principalmente a necessidade de um trabalho que transmita significado ao aluno

sobre o conteúdo enfatizado. Buscando evidenciar o ensino da Álgebra no currículo

educacional, os PCNs enfatizam que este estudo compreende um espaço bastante significativo

para que o aluno desenvolva e exercite sua capacidade de abstração e generalização, sendo

uma poderosa ferramenta na resolução de situações problemas. (BRASIL, 1998)

Embora nas séries iniciais do Ensino Fundamental o ensino de Álgebra já se encontra

presente juntamente com o ensino de aritmética, é nas séries finais do ensino fundamental que

as atividades algébricas serão ampliadas, com a exploração de situações-problemas que farão

com que os alunos reconheçam as diferentes funções da Álgebra e representem problemas por

meio de equações e inequações.

No ensino fundamental o conteúdo explorado sobre Álgebra engloba reconhecer que as

representações algébricas permitem representar generalizações, propriedades, interpretar

tabelas e gráficos, reproduzir estratégias de cálculo, representar situações-problemas, produzir

e interpretar diferentes escritas algébricas, observar regularidades e estabelecer leis

matemáticas que expressem relação entre as variáveis. Em continuidade os alunos passam ao

Ensino Médio onde as noções formais destes conceitos serão mais ampliadas.

Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (2006):

Ao final do ensino médio espera-se que os alunos saibam usar a Matemática para resolver problemas práticos do cotidiano; compreendem que a Matemática é uma ciência com características próprias que se organiza via teoremas e demonstrações; percebam a Matemática como um conhecimento social e historicamente construído; saibam apreciar sua importância no desenvolvimento cientifico e tecnológico. (BRASIL, 2006, p. 69)

No ensino médio o trabalho com matemática volta-se aos conceitos de Números e

Operações, Funções (dadas de forma algébrica), Geometria, Análise de dados e Probabilidade,

sendo que estes não devem ser trabalhados isoladamente, mas sim realizando sempre que

possível uma ligação entre os mesmos.

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A ligação realizada entre os conteúdos matemáticos do Ensino Médio busca a

interdisciplinaridade dos conteúdos, retomando ideias do ensino fundamental, necessária para

a construção de um novo conhecimento. De acordo com os PCNs (2006) a ampliação e o

aproveitamento da explicitação da estruturação lógica da Matemática são necessárias para o

aluno, devendo-se valorizar o pensamento matemático (intuição, imaginação, raciocínio

indutivo e lógico-dedutivo) e fornecer a construção progressiva do método dedutivo em

Matemática.

3.2 ORIENTAÇÕES CURRICULARES NACIONAIS PARA A LICENCIATURA EM

MATEMÁTICA

As aplicações e a utilização da Matemática tem se expandido cada vez mais atualmente,

porém muitas vezes nos questionamos qual a relação de alguns dos conteúdos ensinados no

curso de licenciatura em Matemática com os conteúdos trabalhados no Ensino Fundamental e

Médio.

Inicialmente precisamos ter em mente que existem os Cursos de Bacharelado em

Matemática e os Cursos de Licenciatura em Matemática, esse último o qual estaremos

enfatizando neste capítulo. Os Cursos de Bacharelado destinam-se a preparar profissionais

habilitados para o mercado de trabalho de ensino superior e pesquisa, enquanto os Cursos de

Licenciatura tem como objetivo a formação de professores para a educação básica. Estes

cursos preparam profissionais qualificados para atuarem, além das áreas de ensino, em outras

posições no mercado de trabalho fora do ambiente acadêmico, pois despertam habilidades e

competências desenvolvidas ao longo de sua formação, como raciocínio lógico, postura crítica

e capacidade de resolução de problemas, já que estes são também ferramentas necessárias em

outras áreas de nossa sociedade. (Brasil, 2001)

As Orientações Curriculares Nacionais para os Cursos de Matemática Bacharelado e

Licenciatura (2001) afirmam que:

Ao chegar à universidade o aluno já passou por um longo processo de aprendizagem escolar e construiu para si uma imagem dos conceitos matemáticos que foi exposto durante o ensino básico. Assim a formação do matemático demanda o aprofundamento da compreensão dos significados dos conceitos matemáticos, afim de que ele possa contextualizá-lo adequadamente. É preciso que estes

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conhecimentos também sejam considerados ao longo de sua formação como professores. (BRASIL, 2001, p. 4)

De acordo com Brasil (2001) o curso de Licenciatura em Matemática deve garantir que

seus egressos tenham uma visão de seu papel social como educador e capacidade de se inserir

em diversas realidades; visão de contribuição que a aprendizagem da Matemática possa

oferecer a formação dos indivíduos como cidadãos; visão de que o conhecimento matemático

pode e deve ser acessível a todos e consciência de superação dos papéis exercidos pela

Matemática na visão de muitos alunos.

O acadêmico em Matemática deverá possuir ao longo e ao final do curso, competências e

habilidades tais como: as capacidades de selecionar e produzir materiais didáticos adequados

e eficientes para o ensino; elaborar e analisar criticamente propostas curriculares de ensino

aprendizagem; desenvolver estratégias de ensino que favoreçam o desenvolvimento do aluno

em todas as suas capacidades cognitivas e intelectuais no estudo de matemática; perceber a

prática dinâmica como um processo onde os conhecimentos podem ser gerados e modificados

continuamente, de acordo com as necessidades, do meio e dos educandos em questão, e

contribuir para a realização de projetos de ensino. Ao educador matemático cabe também a

visão global dos conteúdos para uma significativa aprendizagem dos alunos, partindo dos

conhecimentos, representações e aprendizagens já adquiridos e demonstrados pelos mesmos.

Alguns dos conteúdos ensinados nas Licenciaturas em Matemática são comuns a todos os

cursos de Licenciaturas, podendo estes, serem distribuídos ao longo de cada curso de acordo

com o currículo proposto pelo Instituto de Ensino Superior (IES). Podemos citar nesta linha, o

Cálculo Diferencial e Integral, a Álgebra Linear, Fundamentos da Análise, Fundamentos da

Álgebra, Fundamentos da Geometria e Geometria Analítica. A parte comum deve ainda

incluir os conteúdos da Educação Básica nas áreas de Álgebra, Geometria e Análise; os

conteúdos das áreas afins de Matemática e conteúdos de Ciência da Educação, da História,

Filosofia da Ciência e da Matemática. (BRASIL, 2001)

Para a Licenciatura serão incluídos, no conjunto dos conteúdos profissionais, os conteúdos da Educação Básica, consideradas as Diretrizes Curriculares Nacionais para a formação de professores em nível superior, bem como as Diretrizes Nacionais para a Educação Básica e para o Ensino Médio. (BRASIL, 2001, p. 6)

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Torna-se necessário, principalmente nos dias atuais onde as escolas estão cada vez mais

informatizadas, a familiarização com o uso de tecnologias, softwares e outros mecanismos

que possam tornar o ensino mais eficaz e atraente ao aluno. Nos cursos de Licenciatura estão

presentes além de trabalhos, artigos, participação em atividades, monografias e construção de

jogos e atividades, os estágios que possibilitam aos futuros educadores um maior contato e

aproximação com os mecanismos de ensino e com a realidade encontrada nas diferentes

escolas de atuação, sendo guiados por profissionais atuantes e com conhecimentos necessários

para o crescimento e aprimoramento de cada educando.

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4 A ÁLGEBRA APRENDIDA NA LICENCIATURA E ÁLGEBRA DO EN SINO

FUNDAMENTAL E MÉDIO

Ao refletirmos sobre as atividades do mundo atual, observamos como a matemática esta

presente no nosso dia a dia, podendo encontrá-la nas mais diferentes atividades da vida

humana. Muitas dessas atividades requerem em certos momentos um conhecimento mais

específico voltado a determinados assuntos à medida que avançamos nossas relações sociais e

de produção. Em um mundo científico - tecnológico, são necessários conhecimentos

matemáticos voltados, por exemplo, a funções ou análise de gráficos, e para o

desenvolvimento dessas atividades observamos a necessidade de termos além de

conhecimentos voltados a área de cálculos, àqueles que evidenciam assuntos algébricos e ao

desenvolvimento de conjecturas que busquem alcançar o resultado procurado.

As atividades matemáticas no mundo atual requerem, desde os níveis mais básicos aos mais complexos, a capacidade de contar coleções, comparar e quantificar grandezas e realizar codificações. Ainda nesse campo, convém lembrar a necessidade de se compreender os vários significados e propriedades das operações fundamentais e de se ter o domínio dos seus algoritmos. Saber utilizar o cálculo mental, as estimativas em contagens, em medições e em cálculos e conseguir valer-se da calculadora são outras capacidades indispensáveis. Tais competências podem ser associadas a aritmética, a álgebra, e a combinatória, mas evidentemente, não são as únicas a serem visadas. (BRASIL, 2007, p. 15)

É imprescindível hoje, dentro de nosso meio social e especialmente dentro do meio

escolar, a importância que o ensino de Matemática tem perante a formação dos educandos, e

por conseqüência o ensino de álgebra. A Álgebra é um dos elementos fundamentais para a

formação do futuro professor de Matemática, porém a mesma torna-se muitas vezes, como um

temido conteúdo a ser ultrapassado, ou apenas uma disciplina que busca inserir letras no lugar

de números para obter valores desconhecidos, sem muita utilidade. Poucos são os estudantes

que entendem o papel da variável no desenvolvimento do pensamento algébrico e muitos se

formam sem reconhecer os papéis que esta variável pode assumir (incógnita, parâmetro e

variável propriamente dita).

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A linguagem algébrica envolve muitas etapas, a percepção de regularidades que leva a

criação de modelos simbólicos, e a capacidade de traduzir simbolicamente situações

problemas de nosso dia a dia devem ser gradativamente desenvolvidos de modo a se chegar

ao uso pleno da linguagem e das técnicas da álgebra. Outra função importante desenvolvida

pela álgebra está relacionada ao uso da linguagem algébrica que constituem - se propriedades

de outros campos da matemática. (BRASIL, 2007)

House (1995, apud BUSSMANN e SAVIOLI, 2008) ainda afirma que:

[...] há muito tempo a álgebra desfruta de um lugar de destaque no currículo de Matemática, representando para muitos alunos tanto a culminação de anos de estudo de aritmética como o início de mais anos de estudo de outros ramos da Matemática. Poucos contestam sua importância, embora muitos só tenham noções superficiais de seu significado e seu alcance. (HOUSE, 1995, p.1, apud BUSSMANN e SAVIOLI, 2008)

Para Souza (2009) existe uma dificuldade muito grande em achar professores para

lecionar a disciplina de Álgebra nos cursos de Licenciatura em Matemática. E quando o

professor apresenta esta matéria, a resistência dos alunos é ainda maior. O título geral de

Álgebra acaba compreendendo diversas disciplinas, como por exemplo: teoria dos conjuntos,

teoria dos números, Álgebra Linear, entre outras. Embora sua essência aponte para estruturas

operatórias, que obviamente, se juntam a outros elementos para constituir os diversos

"objetos" matemáticos.

A Álgebra está presente desde o início de nosso Ensino Fundamental, principalmente na

resolução de problemas, onde desde as crianças a utilizam, por exemplo, substituindo os

“quadradinhos” por valores ou letras que podem ocupar este lugar na atividade. Mediante esse

tipo de exercício os alunos são inseridos no mundo algébrico sem mesmo estarem conscientes

da própria Álgebra. De forma geral os professores desenvolvem desafios e situações

problemas que envolvem a ideia de “incógnita” onde os alunos são desafiados a descobrir

quais valores poderiam substituir determinada letra. A ideia de pensamento algébrico se

manifesta também na utilização de letras para representar situações matemáticas de forma

geral, constituindo assim, por exemplo, uma fórmula geral para uso em determinada

atividade.

De acordo com Moura e Souza (2004, p. 8) “o conteúdo algébrico representa algo em

torno de 50% do currículo dos Ensinos Fundamental e Médio e ao que parece muitos dos

20

alunos não compreenderam ainda que o pensamento algébrico compreenda modos de pensar

os movimentos do nosso viver”.

Perante este pouco interesse desenvolvido pelos alunos em relação à Álgebra, nos

perguntamos se o problema está compreendido no modo como esta é ensinada e na relação

com que os professores tem com esta matéria, ou nos próprios conteúdos que são ensinados

nas Licenciaturas em Matemática e na forma como estes estão ligados com a realidade do

Ensino Fundamental e Médio.

Há uma forte razão para se acreditar que as concepções dos professores sobre os conteúdos e seu ensino desempenham um papel importante no que se refere à sua prática pedagógica como mediadores do processo ensino-aprendizagem e entre o conteúdo e os alunos. Mas, muito pouco ainda é conhecido sobre o papel que estas concepções podem exercer e implicar na sua prática. A prática docente, comum aos professores que ensinam álgebra elementar, mostra-se contaminada por um ensino tradicionalista, sem preocupação para com o contexto dos alunos, com as suas experiências e sem levar em conta, principalmente, o apelo a situações do cotidiano no desenvolvimento dessa aprendizagem. Importa apenas o acúmulo de conteúdo para cumprir um programa extenso. Dessa forma, a reprovação às vezes chega a ser em massa, não dando chance ao aluno de perceber/estabelecer relações entre os conteúdos assimilados, ou simplesmente aprendidos para fazer as avaliações exigidas no dia-a-dia da sala de aula. ( SANTOS, 2007 p. 1e 2)

No Curso de Matemática têm-se as disciplinas de Introdução à Álgebra, Álgebra Linear e

Fundamentos da Álgebra. Essas disciplinas sofrem críticas, pois os estudantes não fazem

conexão entre seus conteúdos e os conteúdos de Álgebra a serem ministrados no Ensino

Médio e Fundamental. Com isso observa-se que para muitos essas disciplinas não se mostram

essenciais. O fato da Álgebra vista no ensino superior não ter aplicações imediatas de seus

tópicos assim como acontece em outras disciplinas como Cálculo, Equações Diferenciais,

Geometria Diferencial, etc., faz com que esta tenha tanta rejeição. “O estudo da Álgebra nos

cursos superiores envolve estruturas como grupos, anéis, domínio de integridade, corpos e

espaços vetoriais. Isso parece ter pouca semelhança com a Álgebra do segundo grau”

(USISKIN, 1995, p.17-18 apud BUSSMANN e SAVIOLI, 2008, p.3).

Mas quem são os responsáveis pela realização desta conexão entre os conteúdos

algébricos ensinados nas Licenciaturas e os conteúdos trabalhados no Ensino Fundamental e

Médio. Poucas pesquisas enfatizam realmente este tema que por sua vez é muito questionado

pelos educandos quando se deparam com situações que parecem não lhe serem utilizáveis

após.

21

Segundo Moreira (2005, apud BUSSMANN e SAVIOLI, 2008)

[...] a maioria dos professores da área específica argumenta que é responsabilidade dos professores da área pedagógica realizar esta conexão, e da mesma forma os professores da área pedagógica argumentam que os professores da área específica é que são responsáveis por isso. O que se nota é que nenhuma das partes estabelece tal conexão, os professores das áreas específicas, em um contexto geral, preocupam-se com o conteúdo a ser ensinado enquanto os professores da área pedagógica, também em um contexto geral, preocupam-se em ensinar metodologias que possam ajudar o futuro professor em uma sala de aula, pouco fazendo com os conteúdos pedagógicos. Obviamente que existem exceções, isto é, professores que realizam reflexões com seus alunos envolvendo tanto a parte específica como a parte pedagógica. (MOREIRA, 2005, apud BUSSMANN e SAVIOLI, 2008, p. 5)

Pesquisadores evidenciam certa preocupação em relação à aprendizagem em nível

superior. Observações cuidadosas mostram que ao falar sobre a didática relativa ao ensino da

Matemática encontramos alunos que superam barreiras para se engajar na aprendizagem.

Quando assumimos um compromisso de estarmos à frente de uma sala de aula sabemos da

complexidade que esta atividade exige, pois precisamos fazer com que o educando produza

um saber relativo ao saber instituído. (CURY, 2001)

Muitos dos acadêmicos consideram que a Álgebra ensinada nas Licenciaturas está longe

da Álgebra que será ensinada durante o Ensino Fundamental e Médio, porém muitos se

esquecem do que é trabalhado na Educação Básica sobre Álgebra, pensando somente nas

explicações mais complexas e aplicadas a qual aprendem. Durante o Ensino Fundamental as

crianças estão em contato com a Aritmética que por sua vez leva consigo os conhecimentos

algébricos, que após serão explorados e trabalhados. Ao trabalhar com situações problemas e

com a substituição de números por letras em fórmulas gerais, os alunos entram em contato

com a Álgebra propriamente dita.

Assim, de acordo com Santos (2007), o ensino de Álgebra deve considerar a construção

guiada de ferramentas conceituais e representacionais que permitem ao estudante usar a

álgebra como instrumento de resolução ou reconstrução de problemas.

Durante todo o percurso escolar os conceitos matemáticos são aprendidos e ampliados de

acordo com o nível de entendimento destinado a cada série e é na vida acadêmica que os

conhecimentos adquiridos inicialmente são agora ampliados de forma mais ampla e

complexa, desvendando conceitos e soluções antes desconhecidas ou não aprendidas durante

a fase inicial da vida escolar. O mesmo acontece com os conteúdos algébricos, ao longo dos

22

anos escolares aprendemos conhecimentos necessários para aquela etapa da vida, ao chegar à

vida acadêmica os conteúdos são mais complexos, o que fazem muitas vezes da Álgebra, esta

disciplina tão temida, e que para muitos não apresenta relação com o que aprendemos antes,

no Ensino Fundamental e Médio.

Enfatizando essa relação entre a álgebra da licenciatura e a álgebra do ensino

fundamental e médio podemos citar como exemplo, as questões relativas a propriedades da

potência, propriedades da adição, subtração, multiplicação, entre outras, todas estas possuem

sua relação de forma geral, com os conceitos algébricos que irão sendo introduzidos ao longo

dos anos. Quando tratamos das propriedades da adição observamos que “a + b = b + a”,

neste caso vemos que a álgebra mostra-se presente nas pequenas conjecturas já demonstradas

desde o início de nosso ensino fundamental.

Quando nos deparamos com a área de Licenciatura em Matemática vemos que os

conteúdos apresentam-se de forma bastante avançada, onde são estudadas as estruturas de

anéis, corpos, grupos, entre outros. Estas estruturas inicialmente não apresentam relações com

o que já foi trabalhado em outras etapas da escolaridade, porém se nos aprofundarmos dentro

das propriedades, características ou mesmo aplicações destas estruturas, veremos que estas

ligações tornam-se mais amplas.

Souza (2009) cita como exemplo as estruturas de anéis, é claro que se tomarmos por base

o conjunto dos números inteiros para desenvolver a teoria, dando exemplos que não sejam

somente o conjunto dos inteiros, o aluno deve ter as regras bem fundamentadas em sua mente,

pois se ele não entende ou não sabe que certa propriedade faz parte do conjunto dos números

inteiros, por ser um anel, dificilmente, ele consegue diante de um exemplo onde aquela

propriedade não valha, explicar o que é que funciona e o porquê. Um exemplo bem imediato é

o caso do conjunto das matrizes quadradas. Sabemos que é um anel, não comutativo, pois a

multiplicação de matrizes não é comutativa, com divisores de zero, ou seja, é possível

encontrar duas matrizes quadradas, não nulas, cujo produto seja a matriz nula. Diante de um

exemplo como este, o futuro professor tem que ter em mente as propriedades que aproximam

este conjunto do conjunto dos números inteiros e as propriedades que o distanciam deste.

Assim, um problema que poderia ser resolvido, se suas variáveis fossem os números inteiros,

só poderá ser resolvido no conjunto das matrizes quadradas, se não houver necessidade do uso

das propriedades: comutativa e não divisores de zero. Então, está claro que é fundamental um

aluno de Licenciatura em Matemática, não só saber, mas dominar as propriedades dos anéis,

saber dar exemplos, contra-exemplos, discutí-los e resolver exercícios com as propriedades

23

pertinentes. Já nas estruturas de corpos, uma das propriedades fundamentais é, por exemplo, a

de não divisores de zero. É por causa desta propriedade que podemos resolver equações do 2º

grau, cujo termo independente é nulo, sem usar a fórmula de Báskara. Por exemplo, x² - 5x =

0. Neste caso, como a variável x aparece nas duas parcelas, podemos colocar em evidência,

partindo do princípio que a operação de multiplicação está definida no conjunto em que

estamos resolvendo a equação: x . ( x - 5 ) = 0. Se este conjunto é um corpo, ele tem a

propriedade de não haver divisores de zero, ou seja, se um produto é zero, é porque uma de

suas parcelas se anula, isto é, x = 0 ou x - 5 = 0. Este tipo de procedimento é feito de maneira

automática, sem muita explicação no ensino básico, mas o professor deve ter claro em sua

mente, que uma equação deste tipo pode ter como variável não só números reais, mas

elementos de outros conjuntos, que precisamos verificar se valem estas propriedades, para se

fazer estas operações.

As estruturas de grupo, que são as que têm menos propriedades e, por isso, as mais

abstratas, podemos começar a apresentar este ponto falando sobre o grupo das permutações. E

para tornar mais interessante, antes de apresentar a definição propriamente dita, pode-se

construir uma permutação com o triângulo no plano, e mostrar quais as propriedades básicas

que essa operação obedece. A partir da identificação destas propriedades, pode-se, então

denominar todo conjunto com estas mesmas propriedades de grupo. Para obtermos um grupo

precisamos saber se este possui as propriedades associativa [ (x . y) . z = x . (y . z) ], elemento

neutro (x . e = e . x = x), se possui elemento simétrico ( x . x‘ = x‘ . x = e), e comutativa ( x .

y = y . x ). Estas propriedades são de forma superficial tratadas no Ensino Fundamental e

Médio porém não sendo muitas vezes exploradas de uma forma tão complexas.

Assim, constatando a utilidade de alguns dos conteúdos trabalhados, torna-se importante o

trabalho nas Licenciaturas com conteúdos que por sua vez, virão a ser utilizados para o ensino

na Educação Básica. Mas não basta apenas entendê-los e saber sobre os mesmos, é necessário

dominar suas propriedades, dar exemplos e contra-exemplos, discutí-los, resolver exercícios

com as propriedades pertinentes e principalmente estabelecer relações com o mundo ao seu

redor. É necessário unir todos os conhecimentos adquiridos e levá-los aos alunos de uma

forma que despertem sua curiosidade e seu interesse, e sempre que possível utilizar recursos

concretos que busquem um melhor entendimento do conteúdo trabalhado.

Lins e Gimenez (2001) nos dizem:

24

Devemos entender a contribuição que a educação algébrica tem à formação das pessoas de maneira ampla. Primeiro em sua participação na educação aritmética e na formação de um sentido numérico. Segundo e muito naturalmente, em seu papel no desenvolvimento de instrumentos para a resolução de problemas e para processos investigativos - dentro e fora da matemática [...] (LINS e GIMENEZ, 2001, p. 162)

Torna-se assim, de extrema importância o ensino de estruturas algébricas em um curso de

Licenciatura em Matemática. Pois, sem esta disciplina o aluno sairá do curso sem o alicerce

básico para ensinar os princípios fundamentais da Matemática, e da Álgebra. Faz-se

necessário, porém, uma apresentação destes princípios, mostrando ao aluno a importância dos

mesmos, chamando a atenção para os pontos relevantes e não apenas cumprir currículo e

apresentar a teoria de forma vazia e abstrata.

Finalmente como qualquer outra disciplina, a Álgebra deve ser apresentada de maneira a

fazer sentido ao aluno, mostrando a este a importância de sua presença no currículo, porém se

esta não for tratada como uma matéria cheia de significados ela poderá sim, tornar-se algo de

“temor“ e descontentamento, sem significado nenhum. (SOUZA, 2009)

25

5 EDUCAÇÃO ALGÉBRICA E A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Durante muitos anos o ensino da Matemática esteve associado a um mundo cheio de

regras e fórmulas, onde os alunos tinham apenas que aprender, mecanicamente, como

resolver cada exercício e praticar essas fórmulas em outros. Atualmente com o

aprimoramento do ensino e com uso de novas técnicas para o aprendizado o aluno é

convidado a, juntamente com o professor, construir seu conhecimento e criar novos

métodos para a resolução de situações-problema. Sendo que o aluno torna-se o centro do

trabalho e o professor o mediador dessa aprendizagem.

Marincek e Cavalcanti (2001) enfatiza que hoje é necessário ensinar muito mais do

que técnicas, números, operações, fórmulas, entre outros. Todos estes “itens“ formam o

conjunto de conteúdos que a escola deve assegurar que o aluno aprenda, mas não mais os

utilizando como memorização e sim como um conhecimento a ser construído através de

inúmeras oportunidades de estabelecer relações entre o que se sabe e o que se esta

aprendendo.

A Matemática é considerada por muitos alunos como uma disciplina que causa muitas

dificuldades, devido a muitos de seus conteúdos e das muitas regras, fórmulas e

propriedades que estão inseridas em seu contexto e precisam ser aprendidas para

construção de novos conhecimentos. Dentro destes muitos fatores está presente a questão

Algébrica, enfatizada por muitos em uma mistura de números com letras, mas que por sua

vez possuem significados muito interessantes de serem demonstradas aos alunos de uma

forma fácil e agradável. Cabe ao professor utilizar-se de métodos e maneiras que levem ao

aluno ha um entendimento mais favorável, fazendo com que este utilize a matemática da

escola na rua.

No primeiro capítulo observamos que desde os tempos mais remotos a Matemática e a

Álgebra estiveram presentes em muitos acontecimentos e situações do dia a dia. A

Álgebra era utilizada para resolução de problemas comuns entre a sociedade da época,

como temas de partilha de herança ou questões que eram de interesse comum. Hoje em

dia a Álgebra perdeu um pouco de sua importância e de seu significado tornando-se

simplesmente uma mistura de letras a números, exigindo propriedades muitas vezes

desconhecidas, e quando apresentada pela primeira vez aos alunos, estes tem uma

26

impressão negativa quanto ao uso destas letras.

A cada nova proposta governamental para a educação, os professores fazem esforços

para acompanhar essas mudanças de forma a levar os alunos a um aprendizado mais

significativo. Os livros didáticos ainda são um material de fácil aquisição para

acompanhar essas mudanças, porém em sua maioria são escritos aos alunos não dando

suporte suficiente ao trabalho do professor, pensando neste contexto o ensino de Álgebra

sofreu um processo de simplificação o que acabou por dificultar seu aprendizado.

Observa-se uma carência nos livros didáticos de situações-problema que venham a

envolver mais o aluno no conteúdo trabalhado fazendo com que este desenvolva técnicas e

questões que possibilitem uma maior aprendizagem e uma maior relação com o mundo em

que vivem. Alguns livros ainda que em pouca quantidade ou para iniciar um novo

conteúdo, vem a utilizar no caso da aprendizagem algébrica, de conteúdos relacionados a

situações-problema envolvidas no dia a dia ou apresentando formas de pesquisa que

possibilitem o aluno a uma melhor assimilação do conteúdo a ser trabalhado.

A Álgebra passou por um significativo processo desde o seu início até os dias atuais,

sendo uma disciplina considerada requisito para o ensino nas escolas. Ao mesmo tempo

seu ensino vem apresentando tantos fracassos que esta passou a ser elemento de exclusão

social, uma vez que os que não conseguem entendê-la vêem formarem-se barreiras

intransponíveis para a ascensão social. (CASTRO, 2003)

Dentro destes fatores duas opções pedagógicas podem esclarecer alguns pressupostos

em relação ao ensino desta disciplina. De acordo com Castro (2003) a primeira das opções

pedagógicas lida com as noções fundamentais da Álgebra, como se esta fosse uma espécie

de aritmética generalizada. No caso desta opção pedagógica é necessário que o aluno

saiba bastante aritmética para após ingressar no mundo algébrico, é como se a Álgebra

utiliza-se uma linguagem mais sofisticada que a aritmética, porém com o uso de mesmos

problemas e procedimentos. A segunda opção trata do “fazer matemático” ou de certo

modo pensar os problemas da matemática, pensar algebricamente. Caracteriza-se por um

conjunto de assuntos da Matemática e nos modos de abordá-los, propondo uma nova

prática para a sala de aula. Nesta opção considera-se que o aluno esta trabalhando com

Álgebra Básica se esta manipulando equações, expressões algébricas, entre outros.

Observando as duas concepções acima citadas, poderíamos considerar a importância

de ambas, pois o saber algébrico deve ser iniciado desde os primeiros anos do Ensino

Fundamental, mas de acordo com o tema proposto a Álgebra deve desenvolver-se

27

especialmente no fazer matemático, nas construções e observações dos alunos, por isso

nos caberia a segunda opção.

Podemos afirmar que fazemos Álgebra quando somos desafiados por problemas de geometria, de contagem, de finanças, de proporcionalidade, enfim, o fazer algébrico não só está presente em todos estes ramos da Matemática, como lhes é fundamental. (CASTRO, 2003, p. 1)

Planejar situações significativas que garantam realmente à aprendizagem e que

favoreçam a atividade matemática, em especial a atividade algébrica, é um dos grandes

desafios de um professor. São muitas as propostas e metodologias que podem ser

utilizadas em uma sala de aula: jogos, investigações e a resolução de problemas são uns

dos exemplos que podem ser citados.

A resolução de problemas é uma das atividades que favorecem ao aluno o

entendimento de como é possível esta relação de números com letras e como podemos

realmente utilizar este conteúdo fora da sala de aula, já que esta é uma questão muitas

vezes enfatizada pelos alunos ao aprenderem ou não um novo conteúdo.

A resolução de problemas é a atividade matemática essencial para a construção dos sentidos dos conhecimentos. Resolver problemas é o meio para a construção de conhecimentos matemáticos, é a essência da atividade matemática. É buscando respostas para problemas ainda não solucionados que os matemáticos avançam em direção a novas descobertas. (MARINCEK e CAVALCANTI, 2001, p.14)

De acordo com Marincek e Cavalcanti (2001)

Problema é toda situação em que os alunos necessitam por em jogo tudo o que sabem, mas que contêm algo novo, para o qual ainda não tem resposta e que exige a busca de soluções. É nesse movimento de busca de soluções que se estabelecem novas relações e se constroem conhecimentos que modificam os anteriores. (MARINCEK e CAVALCANTI, 2001, p. 15)

Quando desafiamos os alunos a resolver problemas estes se sentem instigados a

realizar novas descobertas. Quando estes se relacionam ou são problemas de natureza

28

algébrica, os alunos utilizam procedimentos que podem ser vistos como atividade

algébrica, onde as crianças destacam suas estratégias e o papel que esta simbologia

desempenha em seu raciocínio. E quando não compreendidas as situações-problema, são

uma ferramenta para instigar o pensamento algébrico nas crianças. Quanto mais

prestarmos atenção ao significado que os alunos atribuem para estas situações, mais

facilmente poderemos compreender suas dificuldades em Álgebra e ajudá-los a não

separarem tão fortemente o abstrato do concreto. (CASTRO, 2003)

Lins e Gimenez (2001) sugerem:

[...] a fala de uma pessoa que resolve um problema tende a explicar o “novo” e a silenciar o “dado”. Dessa forma, enquanto resolvemos um problema, falamos as coisas que estamos tentando entender ou descobrir, mas silenciamos as coisas que tomamos como certas, como dadas. (LINS e GIMENEZ, 2001, p. 122)

Através desta observação os autores consideram que a atividade algébrica e a

atividade aritmética acontecem juntas, embora em planos diferentes, e auxiliadas pelas

estratégias utilizadas na resolução de problemas.

A resolução de problemas utilizada através de números e após com modelos

matemáticos favorecem a aprendizagem e o entendimento de várias situações algébricas

pelos alunos. Realizando observações e anotações, fazendo tentativas e descobertas,

utilizando hipóteses, apresentando suas resoluções, realizando acertos e erros, fazem com

que o aluno utilize sua linguagem matemática e seu pensamento algébrico de forma mais

concreta. Assim torna-se mais fácil ao professor verificar a aprendizagem e o

entendimento do aluno, os fatores acima citados favorecem ainda mais a aprendizagem do

aluno.

A formulação de questões problemas é de responsabilidade do professor, que deve

escolher cuidadosamente o problema a fim de garantir que o aluno avance na construção

do saber e possa utilizá-lo nos momentos em que necessite. O professor é responsável

pelo alcance dos resultados de seus alunos, é ele que orienta os mesmos na busca de

soluções e que dá subsídios para que cheguem aos resultados corretos por suas próprias

conclusões.

Resolver problemas é uma das alternativas mais vantajosas para o aprendizado.

Precisa-se que a Álgebra retorne ao seu papel inicial, utilizando as “letras” para resolver

29

problemas úteis de nosso cotidiano. Castro (2003) nos diz que a ideia da Álgebra como

sendo uma atividade que envolva os alunos e faça com que estes participem da

aprendizagem sugere uma nova abordagem para seu ensino, pois as tarefas trazidas a sala

de aula são sempre transformadas pelos alunos na medida em que estes criam significados

próprios que dependem de seus objetivos. Assim ao invés de enfatizar as tarefas em si e

esperar que tenham um significado único e fixo, o professor deve tentar aproximar as

respostas dadas pelos alunos aos significados pretendidos pela tarefa.

Um dos problemas muito utilizados pelos professores é o uso da balança para

construção de noções de equações ou de equivalência. Esta situação problema já foi posta

em questão por muitos professores, pois nem todas as alternativas de equações podem ser

demonstradas com este recurso, porém este é um subsídio importante e pode ser

transformado, mesmo que em alguns casos, em uma situação problema que envolva e leve

os alunos a muitos questionamentos e os faça tentar de alguma forma chegar as

conclusões pretendidas através do raciocínio lógico e do pensamento algébrico e

aritmético.

Castro (2003) enfatiza alguns processos que o professor deve possibilitar que os

alunos realizem:

1- Permita que os alunos resolvam os problemas testando hipóteses para os valores das incógnitas; 2 - Mesmo que os alunos já apresentem as respostas corretas com o teste das hipóteses incentive-os a escrever equações sobre o comportamento do problema, e partilhem as ideias com os colegas; 3 - Convidem-os a registrarem todos os tipos de expressões produzidas (mesmo as que não estão escritas na forma algébrica); 4 - Incentivem cada aluno a apresentar sua equação explicando os detalhes de como a construiu; 5 - O professor não precisa descartar ideias incorretas do ponto de vista matemático assim que elas aparecem, deve organizá-las para fazer perguntas sobre o significado das ações dos alunos; 6 - Uma vez que os alunos tenham argumentado em favor de suas expressões, o professor poderia até promover votações entre os alunos para a escolha da equação mais adequada entre as apresentadas, a fim de tentar perceber em que direção a maioria da turma está organizando sua compreensão do problema; 7 - A resposta não precisa ser alcançada já no primeiro problema, pois uma resposta correta não indica que o aluno pensou melhor que o que obteve uma resposta errada, portanto planeja vários problemas e muitas situações, nos quais os alunos podem gradualmente exercitar sua capacidade de construir representações matemáticas e defender seus pontos de vista. (CASTRO, 2003, p. 1)

Sendo assim o autor considera que o trabalho realizado pelo professor é insubstituível em

todos os pontos citados acima, pois é assim que este cria oportunidades para o aluno aprender

30

a construir argumentos matemáticos para situações e problemas, e a justificar cada ação e se

motivar a participar das discussões nas quais a Álgebra funcione como uma ferramenta da

modelagem e resolução de problemas.

Na verdade o uso de situações-problema propõe que os alunos aprendam através da ação,

fazendo com que estes sejam capazes de tornar a Matemática, e a Álgebra necessária para

situações do dia a dia, ou como nos referem Lins e Gimenez (1997) “como recurso para

organizar o mundo“. Através destas situações propostas revela-se um número enorme de

novos modos de pensar, de novas estratégias, que podem ser ocupadas para a concretização de

novas conclusões e da própria atividade de forma que esta tenha um significado ao aluno,

estes conhecimentos podem ser em seguida tematizados e utilizados a outras situações, sem

contar que a partir desses novos modos de conhecimento é que surge a necessidade de novos

modos de pensar e de novas ferramentas para o ensino.

A educação algébrica, principalmente do fato da resolução de problemas, está fortemente

ligada à educação aritmética, e o grande objetivo destas duas educações é:

[...] encontrar o equilíbrio entre as três frentes: o desenvolvimento da capacidade de pôr em jogo nossas habilidades de resolver problemas e de investigar e explorar situações; o desenvolvimento de diferentes modos de produzir significado (pensar); o aprimoramento das habilidades técnicas, isto é, da capacidade de usar as ferramentas desenvolvidas com maior facilidade. (LINZ E GIMENEZ, 2001, p. 165)

O professor de matemática, em especial neste caso, o de Álgebra, tem em suas mãos a

responsabilidade de tornar o ensino desta disciplina mais agradável e que vá ao encontro da

Matemática presente na rua e no cotidiano. Fazendo com que os educandos encontrem

sozinhos e com satisfação o significado das “letras“ em meio a muitos números, e as

atividades de resolução de problemas são as ferramentas que maior possibilitam este encontro

da álgebra com a realidade.

31

CONSIDERAÇÕES FINAIS

O interesse fundamental deste trabalho foi compreender a relação estabelecida entre a

Álgebra ensinada nas Licenciaturas em Matemática e a Álgebra aprendida no Ensino

Fundamental e Médio, pois muitos alunos ao ingressarem nas Licenciaturas e também alguns

professores que obtiveram sua formação não tão aprofundada, questionam-se sobre qual a

importância de aprender algo que não traz agrado e muito menos será utilizado posteriormente

quando em sua área de atuação. Acredita-se que a álgebra trabalhada na Licenciatura vem

muitas vezes, “complicar” a vida de muitos estudantes, pois estes a observam como algo

abstrato, sem significado, difícil de ser entendido e sem estabelecer relações com o que se

trabalhará com os alunos.

Infelizmente muitos professores estão em sala de aula e apresentam estas mesmas

concepções sobre o ensino de Álgebra e quando se deparam com situações em que precisam

utilizá-la, tratam-na como algo abstrato, sem significado, e fazem de seu ensino algo maçante

também aos alunos. Essa dificuldade em repassar o conteúdo aos educandos pode ter sido

gerada por possíveis dificuldades obtidas quando não ocorreu um aprendizado significativo

deste conceito, ou por medo de não ser compreendido pelos alunos de outra forma.

Os alunos e professores precisam estar cientes da importância que a Álgebra e a

linguagem algébrica possuem dentro do sistema educacional. As crianças estão cada vez mais

envolvidas em um mundo onde os conhecimentos são essenciais para novas descobertas e

para a criação de novos conceitos, precisamos incentivar os alunos a desvendar o mundo em

que vivem e uma das fórmulas que inclui essa descoberta é a própria Álgebra.

Muitas pesquisas, teses, livros, entre outros, são encontrados como ferramenta de apoio ou

subsídios para possíveis pesquisas em relação ao pensamento algébrico, mas pouco se fala na

relação entre a educação algébrica superior e a educação algébrica básica. Debates, fóruns,

mesas redondas, são utilizadas cada vez mais para discussões e tomadas de decisões acerca de

temas atuais para a educação, em especial para a educação matemática, mas temas que

relacionem conteúdos e situações de aprendizagem algébrica são difíceis de serem

encontrados.

32

Autores revelam opiniões acerca do trabalho com a educação algébrica, mas poucos

revelam se concordam ou não com os conteúdos tratados nas Licenciaturas e se estes buscam

um aprendizado para o ensino na educação básica. Por muitos momentos me questionei

quanto a esta relação, porém ao iniciar um trabalho como educadora pude perceber que só

compreendemos realmente porque aprendemos determinados conceitos, quando estamos

exercendo nossa função. Muitos alunos no início de sua Educação Fundamental ouvem falar

de Álgebra e questionam-se em qual conteúdo esta está inserida, se esta possui significado, se

podemos utilizá-la em todos os momentos ou mesmo no dia a dia. Mas estes nem se dão conta

de que já a utilizam sem mesmo perceber. A linguagem algébrica está presente em muitas

situações de nosso cotidiano, em especial quando resolvemos situações de áreas, compras,

divisões de materiais em partes aproximadamente iguais, entre outras, precisamos que nossos

alunos compreendam esta “abstração” como algo concreto que é utilizado em vários

momentos e que pode ser relacionado com muitas outras situações.

Muitos dos problemas que a álgebra enfrenta estão relacionados com a maneira como os

educadores tratam-na perante seu ensino, sem ligá-la à realidade e relacionando-a realmente

apenas com letras em meio a números. Estas concepções são em sua maioria as que geram o

fracasso da Álgebra, e os alunos ao ingressarem no Ensino Superior levam consigo estas

concepções mal formadas e ao se depararem com situações mais complexas e de mais

atenção, questionam-se se há relação entre o que estão aprendendo no momento e que irão

ensinar após.

A Licenciatura em Matemática em seu ensino de Álgebra trata de tópicos mais

aprofundados, onde os alunos podem compreender como surgiram e como são constituídas as

propriedades ensinadas na Educação Básica, porque utilizamos certas regras em determinados

momentos e como devemos ter em mente esses conceitos. Ao chegar ao campo profissional é

necessário que os professores tomem consciência que não basta apenas entender o básico para

ensinar determinado conteúdo, é necessário saber identificar as propriedades, fazer

comparações e generalizações e estar capacitado para responder possíveis dúvidas que podem

surgir, mas se estas não puderem ser respondidas de imediato, que através dos materiais e dos

conhecimentos adquiridos na Licenciatura, possam ser respondidas em outro momento.

Na educação fundamental os alunos entram em contato com a Álgebra propriamente dita,

e se deparam com um emaranhado de fórmulas e conceitos que relacionados a problemas

diários tornam-se de melhor entendimento e compreensão do conteúdo em destaque. As

situações-problema são a forma mais atraente de levar o aluno a questionar-se e criar

33

conceitos através de seus conhecimentos, e em relação à Álgebra são uma forma de melhor

entender o significado do que se esta trabalhando. Buscar levar os alunos a deduções e a

generalizações de uma maneira geral, aproxima o ensino a uma maneira mais favorável de

compreensão. As pequenas relações, os problemas questionados e resolvidos com auxílio de

um pensamento algébrico, e as fórmulas deduzidas através de regularidades, são o alicerce

para a construção de futuros conceitos.

Precisamos ter consciência de que nossos conhecimentos necessitam ser aprofundados a

cada dia e que só veremos realmente porque aprendemos determinados conceitos ao

utilizarmos durante a vida profissional e ao respondermos e questionarmos os nossos

educandos. Torna-se necessário que temas como estes sejam mais pesquisados e difundidos,

para que em um futuro bem próximo não tenhamos alunos e professores questionando o papel

de determinado conteúdo, ou simplesmente a relação que este possui com o mundo em que

vivemos.

34

REFERÊNCIAS

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de Investigação em Educação e Psicologia Da Universidade de Évora. 2010 Disponível em:

<www.apm.pt/files/_Cd_Borralho_Barbosa_4a5752d698ac2.pdf.> Acessado em: 12 fev.

2010.

BRASIL, Ministério da e Educação. Guia dos livros didáticos PNLD 2008: Matemática.

Ministério da Educação - Brasília, MEC 2007. 152 p. (anos finais do ensino fundamental).

Disponível em: www.sed.sc.gov.br/secretaria/.../doc.../147-apresentacao-pnld-2008 >

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