Al-jabr Al-jabr A história da A história da

álgebraálgebra

Embarque na máquina do tempo...Embarque na máquina do tempo...

*Primeira parada: Babilônia – *Primeira parada: Babilônia – Egito - Grécia >1700 anos Egito - Grécia >1700 anos A.C. (Período Retórico)A.C. (Período Retórico)

*Segunda parada: *Segunda parada: Grécia – Índia – Arábia Grécia – Índia – Arábia - Europa>500 anos - Europa>500 anos D.C. (Período D.C. (Período Sincopado)Sincopado)

*Terceira parada: *Terceira parada: Europa > 1500 anos Europa > 1500 anos D.C. (Período D.C. (Período Simbólico)Simbólico)

Os babilônios utilizavam o método Os babilônios utilizavam o método de substituição e principalmente o de substituição e principalmente o

método paramétrico para a método paramétrico para a resolução de sistemas. A álgebra resolução de sistemas. A álgebra grega, traduzia estes métodos de grega, traduzia estes métodos de resolução em forma de figuras resolução em forma de figuras

geométricas, segmentos de retas ou geométricas, segmentos de retas ou áreas.áreas.

Já o sistema egípcio, se comparado Já o sistema egípcio, se comparado ao dos babilônios, pode ser ao dos babilônios, pode ser

considerada um pouco primitiva, considerada um pouco primitiva, apesar de ter surgido na mesma apesar de ter surgido na mesma

época em ambos os lugares. época em ambos os lugares. Podemos citar como referencial da Podemos citar como referencial da

álgebra egípcia o Papiro Moscou e o álgebra egípcia o Papiro Moscou e o Papiro Rhind – 1850 e 1650 a. C.Papiro Rhind – 1850 e 1650 a. C.

*Álgebra Geométrica Grega:*Álgebra Geométrica Grega:

““Se uma linha reta é dividida em Se uma linha reta é dividida em duas partes quaisquer, o quadrado duas partes quaisquer, o quadrado

sobre a linha toda é igual aos sobre a linha toda é igual aos quadrados sobre as duas partes, junto quadrados sobre as duas partes, junto

com duas vezes o retângulo que as com duas vezes o retângulo que as partes contêm.” – Euclides (300 partes contêm.” – Euclides (300

a .C.)”a .C.)”

Durante este Durante este período, destacou-se período, destacou-se também Apolônio.também Apolônio.

O Estilo Sincopado:O Estilo Sincopado:Introduzido pelo grego Introduzido pelo grego

Diofanto, influenciado pelos Diofanto, influenciado pelos antigos métodos babilônicos. antigos métodos babilônicos. Aborda também a álgebra Aborda também a álgebra

hindu e arábica, com outros hindu e arábica, com outros grandes nomes como grandes nomes como

Brahmagupta ( a . C. 628), e Brahmagupta ( a . C. 628), e Bhaskara (a. C. 1150).Bhaskara (a. C. 1150).

Um fator que contribuiu para a Um fator que contribuiu para a troca de conhecimentos troca de conhecimentos

matemáticos na Índia, foram as matemáticos na Índia, foram as invasões da Pax Romana. Os invasões da Pax Romana. Os

hindus já lidavam com números hindus já lidavam com números negativos e raízes irracionais, e negativos e raízes irracionais, e

tentavam achar todas as soluções tentavam achar todas as soluções inteiras possíveis.inteiras possíveis.

Por volta de 700 a. C., com a Por volta de 700 a. C., com a conquista da Índia, Pérsia, conquista da Índia, Pérsia,

Mesopotâmia, norte da África e Mesopotâmia, norte da África e Espanha, realizada pelos árabes, Espanha, realizada pelos árabes,

aumenta-se as áreas de influencia de aumenta-se as áreas de influencia de tal estilo.tal estilo.

E a álgebra floresce na Europa...E a álgebra floresce na Europa...A praticidade que o sistema indo-A praticidade que o sistema indo-arábico possibilitava; a invenção arábico possibilitava; a invenção

da imprensa (em da imprensa (em 1450a.C.) ,padronizou o 1450a.C.) ,padronizou o simbolismo e melhorou a simbolismo e melhorou a

comunicação; e a reativação da comunicação; e a reativação da economia, atuando de forma mais economia, atuando de forma mais intensa, aumentou o intercâmbio intensa, aumentou o intercâmbio

de idéias.de idéias.

A álgebra simbólica desponta com toda a sua A álgebra simbólica desponta com toda a sua modernidade por volta de 1500...modernidade por volta de 1500...

Ela foi sendo aperfeiçoada e padronizada Ela foi sendo aperfeiçoada e padronizada gradualmente, mas para isso, muitos contribuíram...gradualmente, mas para isso, muitos contribuíram...

Girolamo Cardano: Girolamo Cardano: Em sua Em sua publicação “Ars magna”(em publicação “Ars magna”(em

1545), de estilo simbólico, 1545), de estilo simbólico, realizou os seguintes feitos: foi realizou os seguintes feitos: foi o primeiro a exibir três raízes o primeiro a exibir três raízes

de uma cúbica particular; de uma cúbica particular; percebeu a existência das raízes percebeu a existência das raízes

negativas; foi pioneiro para negativas; foi pioneiro para tentar operar números tentar operar números

complexos ou imaginários;complexos ou imaginários;

reconheceu o caso reconheceu o caso “irredutível” na solução de “irredutível” na solução de

uma cúbica; removeu o termo uma cúbica; removeu o termo x ao quadrado de uma x ao quadrado de uma

equação cúbica; afirmou que equação cúbica; afirmou que a soma das três raízes de uma a soma das três raízes de uma

cúbica é o oposto do cúbica é o oposto do coeficiente de x ao quadrado. coeficiente de x ao quadrado.

O italiano Cardano era O italiano Cardano era médico, astrólogo, médico, astrólogo,

matemático, escritor e matemático, escritor e suspeito de heresia.suspeito de heresia.

Este é François Viète. Primeiro a Este é François Viète. Primeiro a introduzir letras como coeficientes introduzir letras como coeficientes

positivos. Em 1615 faz uma publicação positivos. Em 1615 faz uma publicação importante: fornece condições para importante: fornece condições para aumentar ou multiplicar as raízes de aumentar ou multiplicar as raízes de

uma equação por uma constante; uma equação por uma constante; trabalhou com as relações entre raízes e trabalhou com as relações entre raízes e

coeficientes de equação polinomial e coeficientes de equação polinomial e com o grau.com o grau.

Ah sim... Carl Friedrich Gauss. Em Ah sim... Carl Friedrich Gauss. Em 1799, prova que toda equação 1799, prova que toda equação

algébrica de grau n (na condição de algébrica de grau n (na condição de números reais) admite n raízes ( na números reais) admite n raízes ( na condição de números complexos). condição de números complexos).

Então, depois disso entra Paolo Então, depois disso entra Paolo Ruffini (1813), Niels Henrik Abel Ruffini (1813), Niels Henrik Abel

(1824), Évariste Galois (1811-(1824), Évariste Galois (1811-1832)...1832)...

• Este é o famoso filósofo francês René Este é o famoso filósofo francês René Descartes (1596-1650).Descartes (1596-1650).

• “ “ Podemos determinar o número de raízes Podemos determinar o número de raízes verdadeiras e falsas que uma equação qualquer verdadeiras e falsas que uma equação qualquer pode ter, do seguinte modo: uma equação pode pode ter, do seguinte modo: uma equação pode ter tantas raízes verdadeiras quantas mudanças ter tantas raízes verdadeiras quantas mudanças de sinal ela contém, de + para – ou de – para de sinal ela contém, de + para – ou de – para +; e tantas raízes falsas quanto o número de +; e tantas raízes falsas quanto o número de vezes que dois sinais + ou dois sinais – se vezes que dois sinais + ou dois sinais – se acham em sucessão.”acham em sucessão.”

• E por dois séculos continuou o aprimoramento E por dois séculos continuou o aprimoramento da regra de sinais...da regra de sinais...

Este é o famoso filósofo francês René Este é o famoso filósofo francês René Descartes (1596-1650).Descartes (1596-1650).

“ “ Podemos determinar o número de Podemos determinar o número de raízes verdadeiras e falsas que uma raízes verdadeiras e falsas que uma

equação qualquer pode ter, do seguinte equação qualquer pode ter, do seguinte modo: uma equação pode ter tantas modo: uma equação pode ter tantas

raízes verdadeiras quantas mudanças de raízes verdadeiras quantas mudanças de sinal ela contém, de + para – ou de – sinal ela contém, de + para – ou de –

para +; e tantas raízes falsas quanto o para +; e tantas raízes falsas quanto o número de vezes que dois sinais + ou dois número de vezes que dois sinais + ou dois

sinais – se acham em sucessão.”sinais – se acham em sucessão.”

E por dois séculos continuou o E por dois séculos continuou o aprimoramento da regra de aprimoramento da regra de

sinais...sinais...

Esse aqui também teve uma pontinha Esse aqui também teve uma pontinha nisso tudo...Isaac Newton, publica uma nisso tudo...Isaac Newton, publica uma

obra em 1707, fornecendo dados obra em 1707, fornecendo dados precisos da regra de sinais e ainda precisos da regra de sinais e ainda

apresentouapresentou um procedimento para um procedimento para determinar o número de raízes determinar o número de raízes

imaginárias (porém, sem provas). imaginárias (porém, sem provas). Muitos outros contribuíram para Muitos outros contribuíram para

aperfeiçoar a álgebra, chegando a ela aperfeiçoar a álgebra, chegando a ela como a conhecemos hoje.como a conhecemos hoje.

Dalva N.G. Paese – 3A - 2005