Juan M. Rodr guez P. PhD. · 2020-02-24 · Ley de Pascal: la presi on aplicada a un uido con nado aumenta la presi on en la misma cantidad. La relaci on de area A 2=A 1 se llama

Presion y estatica de fluidos

Juan M. Rodrıguez P. PhD.

Universidad EAFIT

[email protected]

2020

Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 1 / 114

Contenido

1 Presion

2 Medicion de PresionEjemplos

3 Estatica de fluidosSuperficies planas sumergidas

Ejemplos

Superficies curvas sumergidasEjemplos

4 Referencias

5 Fin


Presion

Presion

Presion: una fuerza normal ejercida por un fluido por unidad de area. Launidad de presion en sistema internacional es el Pa

1 Pa = 1 N/m2

1 bar = 105 Pa = 0.1 MPa = 100 kPa

1 atm = 101, 325 Pa = 101.325 kPa = 1.01325 bars

1 kgf/cm2 = 9.807 N/cm2 = 9.807× 104 N/m2 = 9.807× 104 Pa

= 0.9807 bar

= 0.9679 atm

Recordemos el MPa de mecanica de solidos. La presion tiene las mismasunidades del esfuerzo.


Presion

Presion

En el sistema ingles, la unidad de presion es la libra-fuerza por pulgadacuadrada (lbf /in2 o psi) y 1 atm = 14.696 psi.Se define como una fuerza normal ejercida por un fluido por unidad dearea.Se habla de presion solo cuando se trata de un gas o un lıquido


Presion

Presion

El esfuerzo normal (o ”presion”) enlos pies de una persona gordita esmucho mayor que en los pies de unapersona delgada. Algunos medidores de presion basicos


Presion

Presion

La presion tambien explica por que una persona puede caminar sobrenieve recien caıda sin hundirse si usa zapatos grandes para caminarsobre ella .

Tambien, explica como una persona corta algun objeto ejerciendopoca fuerza si usa un cuchillo afilado.


Presion

Presion

Presion absoluta: la presion real en una posicion determinada. Semide con relacion al vacıo absoluto (es decir, presion cero absoluta).

Presion manometrica: la diferencia entre la presion absoluta y lapresion atmosferica local. La mayorıa de los dispositivos de medicionde presion estan calibrados para leer cero en la atmosfera, por lo queindican la presion del manometro.

Presiones de vacıo: presiones por debajo de la presion atmosferica.


Presion

Presion

Pabs = Patm + Pman


Presion

Presion en un punto

La presion es la fuerza de compresion por unidad de area, pero no esun vector.

La presion en cualquier punto de un fluido es la misma en todas lasdirecciones.

La presion tiene magnitud pero no una direccion especıfica, y por lotanto es una cantidad escalar.

La presion es una cantidad escalar,no un vector; La presion en un puntode un fluido es la misma en todas lasdirecciones.


Presion

Presion en un punto

∑Fx = max = 0 : P1 ∆y∆z − P3 ∆yl sin θ = 0∑Fz = maz = 0 : P2 ∆y∆x − P3 ∆yl cos θ − 1

2ρg ∆x ∆y ∆z = 0

W = mg = ρg ∆x ∆y ∆z/2

∆z = l sin θ

∆x = l cos θ

P1 − P3 = 0

P2 − P3 −1

2ρg ∆z = 0

Figura: Fuerzas que actuan sobre unelemento fluido en forma de cuna enequilibrio


Presion

Variacion de la presion con la profundidad: Densidadconstante

∆P = P2 − P1 = −ρg ∆z = −γs ∆z

Pdebajo = Pencima + ρg |∆z | = Pencima + γs |∆z |P = Patm + ρgh o Pman = ρgh

Figura: La presion de un fluido en reposo incrementa con la profundidad


Presion

Variacion de la presion con la profundidad: Densidadvariable

∆P = P2 − P1 = −∫ 2

1ρg dz

La anterior ecuacion se aplica cuando se conoce la variacion de la densidadcon la profundidad.

Figura: Diagrama de cuerpo libre de un elemento fluido rectangular en equilibrio.


Presion

Presion

Figura: En un cuarto lleno con gas, lavariacion de la presion con laprofundidad es despreciable.

Figura: La presion en un lıquido enreposo aumenta linealmente con ladistancia desde la superficie libre.


Presion

Presion

Figura: La presion es a misma en todos los puntos en un plano horizontal en unfluido dado, independientemente de la geometrıa, siempre que los puntos esteninterconectados por el mismo fluido.


Presion

Principio de Pascal

Ley de Pascal: lapresion aplicada a unfluido confinadoaumenta la presion enla misma cantidad.

La relacion de areaA2/A1 se llama laventaja mecanicaideal del elevadorhidraulico.

P1 = P2 → F1A1

= F2A2

→ F2F1

= A2A1

Figura: Levantamiento de un gran peso mediante unapequena fuerza


Medicion de Presion

Medicion de Presion

La presion atmosferica se midemediante un dispositivo llamadobarometro.

La presion atmosferica a menudo sedenomina presion barometrica.

Una unidad de presion de uso frecuentees la atmosfera estandar, que se definecomo la presion producida por unacolumna de mercurio de 760 mm dealtura a 0◦C (ρHg = 13,595 kg/m3)bajo aceleracion gravitacional estandar(g = 9.807 m/s3 )

Patm = ρgh

Figura: Barometro basico


Medicion de Presion

Medicion de Presion

Figura: Barometro basico

La longitud o el area de la secciontransversal del tubo no tiene ningunefecto sobre la altura de la columnade fluido de un barometro, siempreque el diametro del tubo sea losuficientemente grande como paraevitar los efectos de tensionsuperficial (capilaridad).


Medicion de Presion

Manometro

Se usa comunmente para medir diferencias de presion pequenas ymoderadas. Un manometro contiene uno o mas fluidos como mercurio,agua, alcohol o aceite.

Figura: Manometro

P2 = Patm + ρgh


Medicion de Presion

Capas de fluido apiladas

Se usa comunmente para medir diferencias de presion pequenas ymoderadas. Un manometro contiene uno o mas fluidos como mercurio,agua, alcohol o aceite.

En las capas de fluido apiladas, elcambio de presion a traves de unacapa de fluido de densidad ρ y laaltura h es ρgh.

Patm + ρ1gh1 + ρ2gh2 + ρ3gh3 = P1


Medicion de Presion

Manometro diferencial

Medicion de la caıda de presion atraves de una seccion de flujo o undispositivo de flujo mediante unmanometro diferencial.

P1 + ρ1g(a + h)− ρ2gh − ρ1ga = P2

P1 − P2 = (ρ2 − ρ1)gh


Medicion de Presion

Estrategias solucion problemas: manometro

El cambio de presion de un lado al otro lado de la columna de fluidode altura h es ρgh.

La presion aumenta hacia debajo de un fluido dado y disminuye haciaarriba

Dos puntos a la misma altura de un fluido continuo en reposo estanen la misma presion


Medicion de Presion Ejemplos

Ejemplo 1

El agua en un tanque se presurizacon aire y se mide la presion conmanometros de fluidos multiples.Determine la presion del aire en eltanque si h1 = 0.1 m, h2 = 0.2 m yh3 = 0.35 m. Tome las densidadesdel agua, el aceite y el mercuriocomo 1000 kg/m3, 850 kg/m3 y13600 kg/m3, respectivamente. Lapresion atmosferica es 85.6 kPa.



Ejemplo 1

P1 + ρaguagh1 + ρaceitegh2 − ρHggh3 = Patm

Despejando la presion en el punto 1 P1

P1 = Patm − ρaguagh1 − ρaceitegh2 + ρHggh3

Remplazando los valores del enunciado se obtiene: P1 = 130 kPa



Ejemplo 2

Determine el diferencial de presion ∆P = PA−PB , en unidades de lbf/in2.SGHg = 13.6 y SGaceite = 0.88



Ejemplo 2

Determine el diferencial de presion ∆P = PA−PB , en unidades de lbf/in2.SGHg = 13.6 y SGaceite = 0.88

PA + ρH2Ogh10 − ρHggh3 + ρaceitegh4 − ρH2Ogh5 − ρH2Ogh8 = PB



Ejemplo 2

Determine el diferencial de presion ∆P = PA−PB , en unidades de lbf/in2.SGHg = 13.6 y SGaceite = 0.88, ρH2O = 1.94 slug/ft3

PA + ρH2Ogh10 − ρHggh3 + ρaceitegh4 − ρHggh5 − ρH2Ogh8 = PB

Despejando PA − PB

PA − PB = −ρH2Ogh10 + ρHggh3 − ρaceitegh4 + ρHggh5 + ρH2Ogh8



Ejemplo 2

Determine el diferencial de presion ∆P = PA−PB , en unidades de lbf/in2.SGHg = 13.6 y SGaceite = 0.88, ρH2O = 1.94 slug/ft3

PA − PB = −(

1.94slug

ft3

)(32.2

ft

s2

)(10

12ft

)+ 13.6

(1.94

slug

ft3

)(32.2

ft

s2

)(3

12ft

)− 0.88

(1.94

slug

ft3

)(32.2

ft

s2

)(4

12ft

)+ 13.6

(1.94

slug

ft3

)(32.2

ft

s2

)(5

12ft

)+

(1.94

slug

ft3

)(32.2

ft

s2

)(8

12ft

)= 537.64

lbf

ft2= 4.02 psi



Ejemplo 3

La presion manometrica del aire en un tanque presurizado de agua esmedida simultaneamente por un medidor de presion y un manometro. Laaltura diferencial de mercurio se determinara



Ejemplo 3


P1 + ρwghw − ρHgghHg − ρoilghoil = Patm

P1 − Patm = −ρwghw + ρHgghHg + ρoilghoil

P1,man

ρwg= SG oilhoil + SGHghHg − hw



Ejemplo 3


P1,man

ρwg= SG oilhoil + SGHghHg − hw

Remplazando los valores dados seobtiene un hHg de 0.47 m.



Ejemplo 4

El agua fresca y el agua de mar (ρsea = 1025 kg/m3) que fluye en tuberıasparalelas horizontales se conectan entre sı mediante un manometro dobleen forma de U. La diferencia de presion entre las dos tuberıas sedeterminara.



Ejemplo 4


P1 + ρwghw − ρHgghHg − ρairghair + ρseaghsea = P2



Ejemplo 4


Despejando P1 − P2

P1 − P2 = −ρwghwρ+HgghHg + ρairghair − ρseaghsea



Ejemplo 4


Se obtiene que P1 − P2 es igual a: 3.39 kPa



Ejemplo 5

La presion en una tuberıa de gas natural se mide con un manometro dobleen forma de U con uno de los brazos abierto a la atmosfera. La presionabsoluta en la tuberıa debe ser determinada.



Ejemplo 5


P1 − ρHgghHg − ρwaterghwater = Patm



Ejemplo 5


P1 = ρHgghHg + ρwaterghwater + Patm

La presion atmosferica es 14.2 psi



Ejemplo 5


P1 = 13.6

(1.94

slug

ft3

)(32.2

ft

s2

)(6

12ft

)(ft2

144 in2

)+

(1.94

slug

ft3

)(32.2

ft

s2

)(27

12ft

)(ft2

144 in2

)+ 14.2psi

= 18.12 psi

Recuerde: 1lbf=1 slug·fts2


Estatica de fluidos

Estatica de fluidos

Estatica de fluidos: trata problemas asociados con fluidos en reposo.El fluido puede ser gaseoso o lıquido.

Hidrostatica: cuando el lıquido es un lıquido.

Aerostatica: cuando el fluido es un gas.

En la estatica de fluidos, no hay movimiento relativo entre las capas defluido adyacentes, y por lo tanto no hay esfuerzos de corte (tangenciales)en el fluido que intenta deformarlo.


Estatica de fluidos

Estatica de fluidos

El unico esfuerzo con el que tratamos en la estatica de fluidos es elesfuerzo normal, que es la presion, y la variacion de la presion sedebe solo al peso del fluido.

El tema de la estatica de fluidos solo tiene importancia en los camposde gravedad.

El diseno de muchos sistemas de ingenierıa, como represas de agua ytanques de almacenamiento de lıquidos, requiere la determinacion delas fuerzas que actuan sobre las superficies utilizando estatica defluidos.


Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas

Fuerzas hidrostaticas en superficies planas sumergidas

Una placa, como la compuertade una presa, la pared de untanque de almacenamiento delıquidos o el casco de un barcoen reposo, se somete a presionde fluido distribuida sobre susuperficie cuando se expone aun lıquido.

En una superficie plana, lasfuerzas hidrostaticas forman unsistema de fuerzas paralelas, y amenudo necesitamos determinarla magnitud de la fuerza y supunto de aplicacion, que sedenomina centro de presion.

Figura: Hidroituango




Figura: Presion hidrostatica

Al analizar las fuerzas hidrostaticasen superficies sumergidas, la presionatmosferica se puede restar porsimplicidad cuando actua en amboslados de la estructura.




Figura: Fuerza hidrostatica sobre una superficie plana inclinada completamentesumergida en un lıquido.

P = P0 + ρgh = P0 + ρgy sin θ

FR=∫A P dA=

∫A (P0+ρgy sin θ) dA=P0A+ρg sin θ

∫A ydA yC= 1

A

∫A y dA

FR=(P0+ρgyC sin θ)A=(P0+ρghC )A=PCA=PavgA PC=P0+ρghC





La presion en el centroide de unasuperficie es equivalente a la presionpromedio en la superficie.




La fuerza resultante que actua sobreuna superficie plana es igual alproducto de la presion en elcentroide de la superficie y el area dela superficie, y su lınea de accionpasa a traves del centro de presion.





FR = PCA

yP = yC +Ixx ,C

[yC + P0/(ρg sin θ)]A

yP = yC +Ixx ,CyCA

Ixx ,O =

∫A

y2 dA

hP = yP sin θ Ixx ,O = Ixx ,C + y2CA

Donde Ixx ,C y Ixx ,O son el segundomomento de area sobre el eje x, conrespecto al punto C y O,respectivamente.




Centroides

Figura: Centroide

El centroide y los momentos centroidales de inercia para algunasgeometrıas comunes.Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 47 / 114


Ejemplo 1

Una placa rectangular de 4 m de altura y 5 m de ancho bloquea elextremo de un canal de agua dulce de 4 m de profundidad, como semuestra en la siguiente figura. La placa esta articulada en torno a un ejehorizontal que esta a lo largo de su borde superior y que pasa por el puntoA, y su apertura la restringe un borde fijo en el punto B. Determine lafuerza que se ejerce sobre la placa por el borde.



Ejemplo 1


La presion promedio en la superficiees la presion en el centroide, y sedetermina como sigue

Pavg = PC = ρghc = ρg(h/2)

= (1000 kg/m3)(9.81 m/s2)(4/2 m)

= 19.62kN/m2



Ejemplo 1


Luego, la fuerza hidrostatica resultante en lapared se calcula como

FR = PavgA = (19.62 kN/m2)(4 m× 5 m)

= 392kN



Ejemplo 1


La lınea de accion de la fuerza pasa a travesdel centro de presion, el cual esta ubicado a2h/3 de la superficie libre

yp =2h

3=

2× (4m)

3= 2.667m



Ejemplo 1


Suma de momentos con respecto a A seiguala 0∑

MA = 0→ FR(s + yp) = FBAB



Ejemplo 1


Resolviendo para FB y remplazando valoresobtenemos

FB = 288 kN



Ejemplo 2

El flujo de agua desde un recipiente se controla con una compuerta enforma de L y de 5 ft de ancho, articulada en el punto A, como se muestraen la siguiente figura. Si se desea que la compuerta abra cuando la alturadel agua sea 12 ft, determine el peso W necesario



Ejemplo 2


La presion promedio en la superficiees la presion en el centroide, y sedetermina como sigue

Pavg = ρghC = ρg(h/2)

=

(1.93

slug

ft3

)(32.2 ft/s2)(12/2 ft)

= 374.4 lbf/ft2



Ejemplo 2


La lınea de accion de la fuerza pasa atraves del centro de presion, el cualesta ubicado a 2h/3 de la superficielibre

yp =2h

3=

2× (12ft)

3= 8 ft



Ejemplo 2


Suma de momentos con respecto a Ase iguala 0∑

MA = 0→ FR(s + yp) = WAB



Ejemplo 2


Resolviendo para W y remplazando valoresobtenemos W = 30900 lbf.



Ejemplo 3

Se debe construir un muro de contencion contra un derrumbe de lodo conbloques rectangulares de concreto (densidad 2700 kg/m3) de 0.8 m dealtura y 0.2 m de ancho como se muestra en la figura. El coeficiente defriccion entre el suelo y los bloques es de f=0.3, y la densidad del lodo esalrededor de 1800 kg/m3. Existe la preocupacion de que los bloques deconcreto puedan resbalarse o voltearse sobre el borde izquierdo inferiorconforme suba el nivel de lodo . Determine la altura del lodo la cual a) losbloques venceran la friccion y empezaran a resbalar y b) los bloques sevoltearan.



Ejemplo 3

El peso de la pared de concreto por unidadde longitud (L=1) y la fuerza de friccionentre la pared y la tierra son

Wbloque = (2700kg/m3)(9.81m/s2)(0.2× 0.8× 1m3) = 4238N

Ffricci on = 0.3× (4238N) = 1271N



Ejemplo 4

La fuerza hidrostatica ejercida por el lodo enla pared es

FH = Fx = Pavg = ρghcA = (ρgh/2)A

= (1800kg/m3)(9.81m/s2)(h/2)(1× h)

= 8829h2N



Ejemplo 3

Igualando las fuerzas hidrostaticas y las defriccion obtenemos

FH = Ffricci on → 8829h2 = 1271→ h = 0.38m



Ejemplo 3

La lınea de accion de las fuerzashidrostaticas pasa a traves del centro depresion, el cual es 2h/3 desde la superficielibre. La lınea de accion del peso de la paredpasa a traves del plano medio de la pared.∑

MA = 0→Wbloque(t/2) = FH(h/3)

→Wbloque(t/2) = 8829h3/3Despejando h y substituyendo, la altura delodo para voltear el muro sobre el punto Aesta dado por:

h = 0.52m



Ejemplo 3

La pared de concreto deslizara antes devoltearse. Por tanto, deslizarse es mas crıticoque voltearse en este problema.



Ejemplo 3

La pared de concreto deslizara antes devoltearse. Por tanto, deslizarse es mas crıticoque voltearse en este problema.



Ejemplo 4

Un cuarto en el nivel inferior de un barco para cruceros tiene una ventanacircular de 30 cm de diametro. Si el punto medio de la ventana esta 5 mdebajo de la superficie del agua, determine la fuerza hidrostatica que actuasobre la ventana y el centro de presion. Tome la gravedad especifica delagua de mar como SG = 1.025



Ejemplo 4

La presion promedio en la superficie es lapresion en el centroide de la superficie y sedetermina como sigue

Pavg = Pc = ρghC

= (1025kg/m3)(9.81m/s2)(5m)

= 50276N/m2



Ejemplo 4

Luego la fuerza resultante hidrostatica encada ventana es:

FR = PavgA = Pavg

[πD2/4

]= 50276N/m2

[π(0.3)2/4

]= 3554N



Ejemplo 4

La lınea de accion de la fuerza pasa a travesdel centro de presion, cuya distancia verticaldesde la superficie esta determinada por

yp = yC +Ixx ,CyCA

= yc +πR4/4

yCπR2

= yC +R2

4yC= 5 +

(0.15m)2

4(5m)= 5.001m



Ejemplo 5

Un auto se sumergio a un lago por accidente y quedo sobre sus ruedas.Determine la fuerza hidrostatica sobre la puerta y la ubicacion del centrode presion si la puerta tiene una altura de 1.2 m y un ancho de 1 m, y elborde superior de la misma esta 8 m abajo de la superficie libre del agua



Ejemplo 5

La presion promedio sobre la puerta es elvalor de la presion en el centroide de lapuerta y se determina ası

Pave = PC = ρghC = ρg(s + h/2)

= (1000kg/m3)(9.81m/s2)(8 + 1.2/2)

= 84400N/m2



Ejemplo 5

El centroide de presion esta directamenteabajo del punto medio del lago, y sudistancia a la superficie del lago sedetermina de la siguiente manera

yp = s +b

2+

b2

12(s + b/2)

= 8 +1.2

2+

1.22

12(8 + 1.2/2)= 8.61m



Ejemplo 6

Una compuerta rectangular de 200 kg y 5 m de ancho, que se articula enB y se apoya contra el piso en A, formando un angulo de 45o con lahorizontal. La compuerta se va a abrir por su borde inferior por medio dela aplicacion de una fuerza normal en su centroide. Determine la fuerzamınima para abrir la compuerta



Ejemplo 6

La longitud de la compuerta y ladistancia desde el punto B hasta lasuperficie libre a lo largo de plano dela compuerta

b =3m

sin 45◦ = 4.243m

s =0.5m

sin 45◦ = 0.7071m



Ejemplo 6

La presion promedio en la superficie es lapresion en el centroide de la superficie, y simultiplicamos por el area de la placa da lafuerza hidrostatica resultante en la superficie

FR = PavgA = ρghCA

= (1000kg/m3)(9.81m/s2)(2m)(5× 4.243m2)

= 416kN



Ejemplo 6

La distancia a en centro de presion desde lasuperficie libre a lo largo del plano de lacompuerta es:

yP = s +b

2+

b2

12(s + b/2)

= 0.7071 +4.243

2+

4.3432

12(0.7071 + 4.243/2)

= 3.359 m



Ejemplo 6

La distancia del centro de presion desde labisagra en el punto B es

LP = yP − s = 3.359− 0.7071 = 2.652 m

La fuerza debido al peso de la compuerta es despreciable encomparacion a la fuerza hidrostatica



Ejemplo 6

Tomando momentos con respecto a B eigualando a 0 obtenemos∑

MB = 0→ FRLP = Fb/2

Remplazando valores obtenemos

F =2FRLP

b=

2(416kN)(2.652m)

4.243m= 520kN



Ejemplo 7

La puerta de la figura tiene 5 pies de ancho, esta articulada en el punto By descansa contra una pared lisa en el punto A. Calcule (a) la fuerza en lapuerta debido a la presion del agua de mar, (b) la fuerza horizontal Pejercida por la pared en el punto A, y (c) las reacciones en la bisagra B.



Ejemplo 7

La fuerza hidrostatica en la placa es:

F = ρghCA

= (1.98slug/ft3)(32.2ft/s2)(12ft)(50ft2)

= 38400lbf

El segundo momento de area es:

Ixx ,C =1

12bL3 =

(5ft)(10ft)3

12= 417ft4

yP = yC +Ixx ,CyCA



Ejemplo 7

yP = yC +Ixx ,CyCA

yP = yC +Ixx ,CyCA

= 20ft+417ft4

(20ft)(50ft2)

= 15.417ft

Por tanto l=0.417 ft



Ejemplo 7

La distancia desde B hasta el punto deaplicacion de la fuerza F es 4.583 ftSumando momentos alrededor de b nosqueda∑

MB = 0 = PL sin θ − F (5− L)→

P = 29300 lbf



Ejemplo 7

Con F y P conocidas, las reacciones Bx y Bz

se encontraran sumando fuerzas en la placa∑Fx = Bx + F sin θ − P = 0

Bx = 6300 lbf

y ∑Fz = Bz − F cos θ

Bz = 30700 lbf



Ejemplo 8

El agua en un deposito de 25 m de profundidad se mantiene en el interiorpor medio de un muro de 150 m de ancho cuya seccion transversal es untriangulo equilatero, como se muestra en la figura. Determine la fuerzatotal (hidrostatica mas atmosferica) que actua sobre la superficie interiordel muro y su lınea de accion.



Ejemplo 8

La longitud de la superficie de la paredsumergida bajo el agua es:

b =25 m

sin 60◦= 28.87 m

La presion promedio en una superficie es lapresion en el centroide (punto medio) de lasuperficie, y multiplicarla por el area de laplaca da la fuerza hidrostatica resultantesobre la superficie,

FR = PavgA(Patm + ρghc)A

=[1× 105N/m2 + (1000kg/m3)(9.81m/s2)(12.5 m)

](150× 28.87m2)

=9.64× 108N



Ejemplo 8

Dado que

P0

ρg sin 60◦ =

100000N/m2

(1000kg/m3)(9.81m/s2)(sin 60◦

)

= 11.77m

la distancia del centro de presion desde lasuperficie libre de agua a lo largo de lasuperficie de la pared es

yp = s +b

2+

b2

12(s + b2 + P0

ρg sin θ )

=28.87

2m+

(28.87m)2

12( 28.872 m + 11.77m)

= 17.1m


Estatica de fluidos Superficies curvas sumergidas

Fuerzas hidrostaticas en superficies curvas sumergidas

Determinacion de la fuerza hidrostatica que actua sobre una superficiecurva sumergida.

FR =√

F 2H + F 2

V α = FV /FH

Componente horizontal de la fuerza sobre superficie curva: FH = Fx

Componente vertical de la fuerza sobre superficie curva: FV = Fy ±W




En muchas estructuras de aplicacionpractica, las superficies sumergidasno son planas.




Cuando una superficie curva esta porencima del lıquido, el peso del lıquidoy el componente vertical de la fuerzahidrostatica actuan en direccionesopuestas.

La fuerza hidrostatica que actuasobre una superficie circular siemprepasa por el centro del cırculo, ya quelas fuerzas de presion son normales ala superficie y todas pasan por elcentro.



Ejemplo 1

Un cilindro solido de radio 0.8 m, articulado en el punto A se emplea comouna compuerta automatica, como se muestra en la figura. Cuando el niveldel agua llega a 5 m, la compuerta se abre girando en torno a laarticulacion en el punto A. Determine a) la fuerza hidrostatica resultanteque actua sobre el cilindro y su lınea de accion cuando la compuerta seabre, y b) el peso del cilindro por m de longitud del mismo (1 m deprofundidad)



Ejemplo 1

Se considera el diagrama de cuerpo libredel bloque de liquido encerrado por lasuperficie circular del cilindro y susproyecciones vertical y horizontal. Lafuerza hidrostatica horizontal que actuasobre la superficie vertical esta dada por:

FH = PaveA = ρghCA = ρg(s + R/2)A

= (1000 kg/m3)(9.81 m/s2)(4.6 m)(0.8m× 1m)

=36.1 kN



Ejemplo 1

La fuerza hidrostatica vertical que actuasobre la superficie horizontal esta dadapor:

Fy = PaveA = ρghCA = ρghfondoA

= (1000 kg/m3)(9.81 m/s2)(5 m)(0.8 m× 1m)

=39.2 kN

Peso del bloque de fluido por m delongitud (hacia abajo)

W = mg = ρgV = ρg(R2 − πR2/4)(1 m)

= (1000 kg/m3)(9.81 m/s2)(0.8 m2)(1− π/4)(1 m)

=1.3 kN



Ejemplo 1

Por lo tanto, la fuerza vertical neta haciaarriba es:

FV = Fy −W = 39.2− 1.3 = 37.9 kN

Entonces, la magnitud y direccion de lafuerza hidrostatica que actua sobre lasuperficie cilındrica queda:

FR =√F 2H + F 2

V =√

36.12 + 37.92 = 52.3 kN

tanθ = FV /FH = 37.9/36.1 = 1.05→ θ = 46.4◦



Ejemplo 1

Cuando el nivel del agua tiene 5 m dealtura, la compuerta esta a punto deabrirse y la fuerza de reaccion entre elcilindro y el piso es cero. Entonces, lasfuerzas que presentes son el peso queactua en el centro del cilindro y la fuerzahidrostatica del agua. Toman momentoscon respecto al punto A y igualando a 0se obtiene:

FRR sin θ −WcylR = 0

→Wcyl = FR sin θ = (52.3 kN)sin46.4

◦=37.9 kN



Ejemplo 2

Una artesa de agua de seccion transversal semicircular y con un radio de0.5 m consta de dos partes simetricas articuladas entre sı en el fondo,como se muestra en la siguiente figura. Las dos partes se mantienen juntaspor medio de cables y tensores roscados cada 3 metros a lo largo de lalongitud de la artesa. Calcule la tension de cada cable cuando la artesaesta llena hasta el borde



Ejemplo 2

Diagrama de cuerpo libre del bloquede liquido encerrado por la superficiecircular del cilindro y susproyecciones vertical y horizontal



Ejemplo 2

Fuerza horizontal sobre superficie vertical

FH = Fx = PavgA = ρghCA = ρg(R/2)A

= (1000 kg/m3)(9.81m/s2)(0.5/2 m)(0.5 m× 3 m)

=3679 N

Fuerza vertical sobre superficie horizontal es 0,porque la superficie horizontal coincide con lasuperficie libre



Ejemplo 2

El peso del bloque de fluido por 3 m de longitud(hacia abajo) es

FV = W = ρgV = ρg[w × πR2/4

]= (1000 kg/m3)(9.81 m/s2)

[(3m)π(0.5m)2/4

]= 5779 N



Ejemplo 2

La magnitud y direccion de la fuerza hidrostaticaque actua sobre la superficie cilındrica es

FR =√F 2H + F 2

V =

√(3679)2 + (57792 = 6851 N

tanθ =FVFH

=5779N

3679 N= 1.571→ θ = 57.5◦

Tomando momentos con respecto al punto A∑MA = 0→ FRR sin(90− 57.5)◦ = TR

Resolviendo para T se obtiene

T = 3680 N



Ejemplo 3

Los dos costados de una artesa de agua con forma de V estan articuladosentre si en el fondo, en donde se encuentran, como se muestra en lasiguiente figura, formando ambos costados un angulo de 45o respecto delsuelo. Cada costado mide 0.75 m de ancho y las dos partes se mantienenjuntas mediante cables y tensores colocados cada 6 m a lo largo de lalongitud de la artesa. Determine la tension en la cuerda.



Ejemplo 3

Para exponer la tension del cable, consideramosla mitad del canal cuya seccion transversal estriangular. La altura del agua h en la seccionmedia del canal y el ancho b de la superficielibre son

h = L sin θ = (0.75 m)sin45◦

= 0.53 m

b = L cos θ = (0.75 m)cos45◦

= 0.53 m



Ejemplo 3

Las fuerzas hidrostaticas actuando en en lassuperficies planas horizontales y verticales asıcomo el peso de la columna de liquido sedeterminan como sigueLa fuerza horizontal en la superficie vertical

FH = Fx = PavgA = ρghCA = ρg(h/2)A

= (1000kg/m3)(9.81m/s2)(0.53/2m)(0.53m× 6m)

= 8267N



Ejemplo 3

La fuerza vertical en la superficie horizontal escero debido a que esta coincide con la superficielibre del agua. El peso de liquido por 6-m delongitud es:

FV = W = ρgV = ρg [w × bh/2]

= (1000 kg /m3)(9.81m/s2) [(6m)(0.53m)(0.53m)/2]

= 8267N



Ejemplo 3

Tomando el momento sobre el punto A dondelas dos partes estan articuladas y igualando acero da:∑

MA = 0→Wb

3+ FH

h

3= Th


T =FH + W

3=

(8267 + 8267)N

3= 5511N



Ejemplo 4

Una compuerta de 4 m de largo con forma de un cuarto de circulo de radio3 m y de peso despreciable esta articulada alrededor de su borde superiorA, como se muestra en la figura. La compuerta controla el flujo de aguasobre el reborde B, donde esta comprimida por un resorte. Determine lafuerza mınima necesaria del resorte para mantener cerrada la compuertacuando el nivel del agua se eleva hasta A en el borde superior de lacompuerta



Ejemplo 4

1 La bisagra no tiene friccion.

2 La presion atmosferica actua a ambos lados de la puerta y, por lotanto, puede ignorarse en los calculos por conveniencia.

3 El peso de la puerta es insignificante.

Propiedades: Consideramos que la densidad del agua es de 1000 kg/m3

Consideremos el diagrama de cuerpo libre del bloque de agua encerradopor la superficie curva y sus proyecciones horizontal y vertical



Ejemplo 4

Las fuerzas hidrostaticas actuando en en lassuperficies planas horizontales y verticales asıcomo el peso de la columna de liquido sedeterminan como sigueLa fuerza horizontal en la superficie vertical

FH = FV = PaveA = ρghCA = ρg(R/2)A

= (1000kg/m3)(9.81m/s2)(3/2m)(4m× 3m)

= 176.6kN



Ejemplo 4

La fuerza vertical en la superficie horizontal(hacia arriba)

Fy = PavgA = ρghCA = ρghfondoA

= (1000kg/m3)(9.81m/s2)(3m)(4m× 3m)

= 353.2kN

El peso del fluido por 4 m de longitud (haciaabajo)

W = ρgV = ρg[w × πR2/4

]= (1000kg/m3)(9.81m/s2)

[(4m)π(3m)2/4

]= 277.4kN



Ejemplo 4

Por tanto, la fuerza vertical resultante es:

FV = Fy −W = 353.2− 277.4 = 75.8kN

A continuacion, la magnitud y la direccion de lafuerza hidrostatica que actua sobre la superficiecircular de la compuerta se calculan como sigue

FR =√F 2H + F 2

V =

√(176.6kN)2 + (75.8kN)2

= 192.2kN

tanθ =FVFH

=75.8kN

176.8kN= 0.429→ θ = 23.2

◦



Ejemplo 4

Tomado momentos con respecto a A e igualandoa cero obtenemos la fuerza en el resorte∑

MA = 0→ FRR sin(90− θ)− FresorteR = 0


Fresorte = 177kN



Ejemplo 5

Encuentre una formula analıtica para las fuerzas verticales y horizontalesen cada uno de los paneles semicirculares AB en la figura. El ancho esb.¿Que fuerza es mas grande? ¿Por que?



Ejemplo 6

El panel AB en la figura es una parabola con su maximo en el punto A.Tiene 150 cm de ancho. Desprecie la presion atmosferica. Encuentre (a) lafuerza vertical y (b) las fuerzas de agua horizontales en el panel.


Referencias

Referencias

Mecanica de Fluidos: Fundamentos y aplicaciones. Cengel y Cimbala.Mc Graw Hill. Cuarta Edicion.

Fundamentos de mecanica de fluidos. Beltran. Ediciones Uniandes.Primera Edicion.

Fluid Mechanics. White. Mc Graw Hill. Quinta Edicion.


Fin

Gracias por su atencion


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Juan M. Rodr guez P. PhD. · 2020-02-24 · Ley de Pascal: la presi on aplicada a un uido con nado aumenta la presi on en la misma cantidad. La relaci on de area A 2=A 1 se llama