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REDES ELECTRICAS REDES ELECTRICAS 1
Repaso
REDES ELECTRICAS REDES ELECTRICAS 2
Contenido
1. Notación Fasorial
2. Ley de Ohm
3. Potencia y potencia compleja
4. Sistemas Trifásicos
5. Diagramas Unifilares
6. Modelos básicos a) Generadores
b) Transformadores
c) Cargas
Fasores
REDES ELECTRICAS 3
REDES ELECTRICAS REDES ELECTRICAS 4
Notación fasorial • Hipótesis de Trabajo:
– Circuitos lineales en régimen permanente
– Señales de excitación sinusoidales de la forma 𝑣 𝑡 = 𝑉𝑚𝑎𝑥. cos(𝑤𝑡 + 𝜃𝑣) – Respuestas también sinusoidales de la forma 𝑖 𝑡 = 𝐼𝑚𝑎𝑥. cos(𝑤𝑡 + 𝜃𝑖)
• Fórmula de Euler: 𝑒𝑗𝑥 = cos 𝑥 + 𝑗. 𝑠𝑒𝑛(𝑥) • Se puede reescribir la señal de excitación y la respuesta como:
– 𝑣 𝑡 = 𝑅𝑒 𝑉𝑚𝑎𝑥. 𝑒𝑗 𝑤𝑡+𝜃𝑣 = 𝑅𝑒 2. 𝑉𝑟𝑚𝑠. 𝑒
𝑗 𝑤𝑡+𝜃𝑣
– 𝑖 𝑡 = 𝑅𝑒 𝐼𝑚𝑎𝑥. 𝑒𝑗 𝑤𝑡+𝜃𝑖 = 𝑅𝑒 2. 𝐼𝑟𝑚𝑠. 𝑒
𝑗 𝑤𝑡+𝜃𝑖
• Se definen los fasores de v(t) e i(t) como 𝑉 e 𝐼 tal que:
– 𝑉 = 𝑉𝑟𝑚𝑠. 𝑒𝑗𝜃𝑣
– 𝐼 = 𝐼𝑟𝑚𝑠. 𝑒𝑗𝜃𝑖
• El fasor no es un vector, ni rota, es simplemente un número complejo con las mismas dimensiones que las señales en el tiempo.
• Notar que está implícito en la definición una única frecuencia w constante.
Ley de Ohm
REDES ELECTRICAS 5
REDES ELECTRICAS REDES ELECTRICAS 6
Ley de Ohm
• Ley de Ohm 𝐼 =𝑉
𝑍 =
𝑉.𝑒0𝑗
𝑍𝑒𝑗𝜃=
𝑉
𝑍. 𝑒−𝑗𝜃
• El origen de fases es arbitrario. En esta definición se toma el fasor 𝑉 como origen de fases: 𝑉 = 𝑉<0º = 𝑉
• θ>0, corriente atrasa a la tensión
• θ<0, corriente adelanta a la tensión
• Notar que 𝑍 =𝑉
𝐼 tiene características de fasor (número complejo) si bien no
tiene sentido asociarlo a una señal en el tiempo.
+ - V
IjZeZ
θ<0
θ>0 V
leading I
lagging IFigura 1
Figura 2
Potencia
REDES ELECTRICAS 7
REDES ELECTRICAS REDES ELECTRICAS 8
Potencia +
v(t)
-
i(t)
Figura 3 𝑣 𝑡 = 𝑉𝑝 cos 𝑤𝑡 𝑒𝑖 𝑡 = 𝐼𝑝 cos 𝑤𝑡 + 𝜃
𝑝 𝑡 = 𝑉𝑝𝐼𝑝 cos 𝑤𝑡 cos(𝑤𝑡 + 𝜃)
⋮
Haciendo cuentas
⋮
𝑝 𝑡 =𝑉𝑝
2
𝐼𝑝
2cos 𝜃 . 1 + cos(2𝑤𝑡)
𝑝𝑅(𝑡)𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎𝑞𝑢𝑒𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎𝑒𝑙𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡𝑜
+𝑉𝑝
2
𝐼𝑝
2𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑠𝑒𝑛 2𝑤𝑡
𝑝𝑥(𝑡)𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎𝑎𝑙𝑚𝑎𝑐𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎
𝑦𝑑𝑒𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑝𝑜𝑟𝑒𝑙𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡𝑜
REDES ELECTRICAS REDES ELECTRICAS 9
Potencia
• 𝑝𝑅 𝑡 =𝑉𝑝
2.𝐼𝑝
2. cos 𝜃 +
𝑉𝑝
2.𝐼𝑝
2. cos 𝜃 cos(2𝑤𝑡)
• 𝑃 = 𝑉𝑟𝑚𝑠 . 𝐼𝑟𝑚𝑠 . cos(𝜃) es la potencia consumida por la componente resistiva de la carga y se conoce como potencia activa o real (active power o real power)
• 𝑝𝑥 𝑡 = 𝑉𝐼𝑠𝑒𝑛 𝜃 . 𝑠𝑒𝑛 2𝑤𝑡 es la potencia oscilante hacia y desde la carga debido a la componente reactiva (ind/cap).
• cos 𝜃 se denomina factor de potencia
REDES ELECTRICAS REDES ELECTRICAS 10
Potencia - Ejemplo
• Sean
• Entonces:
º6025.1
cos100
Z
wttv
º60coscos8000.
º60cos80
wtwttitvtp
wtti
REDES ELECTRICAS REDES ELECTRICAS 11
Potencia - Ejemplo
0 0.005 0.01 0.015 0.02-100
-50
0
50
100v(t)=100cos(wt), i(t)=80cos(wt-60º)
Tiempo (s)
0 0.005 0.01 0.015 0.02-2000
0
2000
4000
6000p(t)=v(t).i(t)
Tiempo (s)
0 0.005 0.01 0.015 0.020
1000
2000
3000
4000pr, P
Tiempo (s)
0 0.005 0.01 0.015 0.02-4000
-2000
0
2000
4000px
Tiempo (s)
REDES ELECTRICAS
Potencia Compleja
• Dados los fasores asociados a la tensión y corriente de la figura 4: – 𝑉 = 𝑉𝑒𝑗𝜃𝑣
– 𝐼 = 𝐼𝑒𝑗𝜃𝑖
• Se define Potencia Aparente o compleja como:
– 𝑆 ≡ 𝑉 𝐼 = 𝑉. 𝐼. 𝑒𝑗(𝜃𝑣−𝜃𝑖) = 𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑗𝑉𝐼𝑠𝑒𝑛(𝜃)
– 𝜃 = 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖
• La parte real coincide con la potencia activa.
• La parte imaginaria, que coincide con el valor de pico de la potencia oscilante entre la carga y la fuente, se define como potencia reactiva representada por la letra Q.
+
v(t)
-
i(t)
Figura 4
REDES ELECTRICAS REDES ELECTRICAS 13
Unidades de la Potencia
• [P]=W, kW, MW
• [Q]=VAr, kVAr, MVAr
• [S]=VA, kVA, MVA
Sistemas Trifásicos
REDES ELECTRICAS 14
REDES ELECTRICAS
• Tensiones de fase y de línea
• Corrientes de fase y de línea
Sistemas Trifásicos
Corriente de
línea 1V
2V
3V
1Z
2Z
3Z
23U Tensión de
línea
1I
…… 𝐹𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒
…… 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎
REDES ELECTRICAS
Sistemas Trifásicos
• Fuente trifásica:
• Si V1=V2=V3, θ2=-120º, θ3=120º entonces la
fuente es equilibrada y directa
3
2
33333
22222
1111
cos
cos
cos
j
p
j
p
p
eVVwtVtv
eVVwtVtv
VVwtVtv
REDES ELECTRICAS
Sistemas Trifásicos
• Fuente trifásica:
• Si V1=V2=V3, θ2=-120º, θ3=120º entonces la
fuente es equilibrada y directa
3
2
33333
22222
1111
cos
cos
cos
j
p
j
p
p
eVVwtVtv
eVVwtVtv
VVwtVtv
REDES ELECTRICAS
Sistemas Trifásicos
• Fuente equilibrada y directa:
º120
3
º120
2
1
j
j
VeV
VeV
VV
1V
2V
3V
VU
VVU
.3
3113
REDES ELECTRICAS
Sistemas Trifásicos
• Operador a
a
aV
aV
Va
V
V
aVVeV
VaVeV
VV
j
j
22
º120
3
2º120
2
1
1
.
V
Va2
aV
3
3113
UV
VVU
2
3
2
1º120º120cosº120 jjsenea j
Sistemas Trifásicos
• Resolución con generador en estrella y
carga en estrella:
REDES ELECTRICAS 20
E
Ea2
aE
Z
Z
Z
'AAI
N 'N
LZ
LZ
LZ
A
B
C
'A
'B
'C
'BBI
'CCI
Sistemas Trifásicos
• 𝐼 𝐴𝐴′ =𝐸+𝑉 𝑁𝑁′
𝑍 𝐿+𝑍
• 𝐼 𝐵𝐵′ =𝑎2𝐸+𝑉 𝑁𝑁′
𝑍 𝐿+𝑍
• 𝐼 𝐶𝐶′ =𝑎𝐸+𝑉 𝑁𝑁′
𝑍 𝐿+𝑍
• 𝐼 𝐴𝐴′ + 𝐼 𝐵𝐵′ + 𝐼 𝐶𝐶′ =3.𝑉 𝑁𝑁′
𝑍 𝐿+𝑍 = 0
• 𝑉 𝑁𝑁′ = 0 siendo entonces 𝑉 𝑁 = 𝑉 𝑁′ • ¿Cómo cambia el razonamiento anterior si se conectaran los
puntos N y N’ a través de un conductor de impedancia nula?
REDES ELECTRICAS 21
Sistemas Trifásicos
• Como 𝑉 𝑁𝑁′ = 0
– 𝐼 𝐴𝐴′ =𝐸
𝑍 𝐿+𝑍 ; 𝐼 𝐵𝐵′ = 𝑎2𝐼 𝐴𝐴′ ; 𝐼 𝐶𝐶′ = 𝑎𝐼 𝐴𝐴′
– Notación matricial: 𝐼 =
𝐼 𝐴𝐴′
𝐼 𝐵𝐵′
𝐼 𝐶𝐶′
=𝐸
𝑍 𝐿+𝑍 .
1𝑎2
𝑎
• Alcanza con resolver el circuito equivalente de una fase:
REDES ELECTRICAS 22
E
A 'A
LZZ
Sistemas Trifásicos
• Resolución con generador en estrella y
carga en triángulo:
REDES ELECTRICAS 23
E
Ea2
aE
Z
Z
Z
'AAI
N
LZ
LZ
LZ
A
B
C
'A
'B
'C
'BBI
'CCI
Sistemas Trifásicos
• Resolviendo:
• Alcanza con resolver el circuito equivalente
de una fase:
REDES ELECTRICAS 24
a
aZ
Z
E
I
I
I
I
VV
IaIIaIZ
Z
EI
CC
BB
AA
NN
AACCAABB
L
AA
2
'
'
'
'
'''2
''
1
.
3
matricialnotación En
;;
3
E
A 'A
LZ
3
Z
REDES ELECTRICAS
Sistemas Trifásicos
• Potencia en circuitos trifásicos en general:
333
222
111
333
222
111
cos2
cos2
cos2
cos2
cos2
cos2
wtIti
wtIti
wtIti
wtVtv
wtVtv
wtVtv
333222111
i
3322113
coscoscos
:) (haciendo será medio valor El
IVIVIVP
ivivivtp
ii
f
REDES ELECTRICAS
Sistemas Trifásicos
• Potencia en circuitos trifásicos balanceados
• Tensiones
– 𝑣1 𝑡 = 2Vcos 𝑤𝑡 ; 𝑣2 𝑡 = 2𝑉 cos 𝑤𝑡 − 120º ;𝑣3 𝑡 = 2𝑉cos 𝑤𝑡 + 120º ;
• Corrientes
– 𝑖1 𝑡 = 2𝐼 cos 𝑤𝑡 + 𝜃 ; 𝑖2 𝑡 = 2𝐼 cos 𝑤𝑡 − 120º + 𝜃 ;𝑖3 𝑡 = 2 𝐼cos 𝑤𝑡 + 120º + 𝜃 ;
• 𝑝3𝑓 𝑡 = 𝑣1 𝑡 . 𝑖1 𝑡 + 𝑣2 𝑡 . 𝑖2 𝑡 + 𝑣3 𝑡 . 𝑖3 𝑡
• 𝑝3𝑓 𝑡 =
2VI[cos 𝑤𝑡 cos 𝑤𝑡 + 𝜃 +cos 𝑤𝑡 − 120º cos 𝑤𝑡 − 120º + 𝜃 +
cos 𝑤𝑡 + 120º cos 𝑤𝑡 + 120º + 𝜃 ]
• Utilizando la relación cos 𝑎 cos 𝑏 =1
2[cos(a+b)+cos(a-b)]
– 𝑝3𝑓 𝑡 = 𝑉𝐼[𝑐𝑜𝑠 2𝑤𝑡 + 𝜃 + cos 𝜃 + cos 2𝑤𝑡 − 240º + 𝜃 + cos 𝜃 + cos 2𝑤𝑡 + 240º + 𝜃 + cos 𝜃
– 𝒑𝟑𝒇 𝒕 = 𝟑𝑽𝑰𝒄𝒐𝒔 𝜽
REDES ELECTRICAS
Sistemas Trifásicos
• Potencia en circuitos trifásicos balanceados
– La potencia compleja está dada por:
UIsenVIsenQ
UIVIP
UIVIS
UIsenjUIVIsenjVIIVS
IaconjVaIaconjVaIV
IVIVIVS
33
cos3cos3
33
3cos33cos3ˆ3
ˆ
ˆˆˆ
22
332211
Diagramas unifilares
REDES ELECTRICAS 28
Diagrama Unifilar
• Los sistemas trifásicos se componen de elementos y equipos diseñados con los mismos componentes para cada una de las tres fases. – Las líneas tienen 3 conductores idénticos
– los interruptores tienen tres cámaras de corte idénticas
– los transformadores tienen 3 juegos de bobinados idénticos
– Todos los equipos tienen 3 componentes idénticos para preservar el sistema eléctrico balanceado.
• Los sistemas eléctricos de potencia son extremadamente complejos y extensos por lo que dibujarlos para cada fase, además de incluir información redundante, lo hace poco práctico.
• Por este motivo el sistema eléctrico usualmente se representa por un dibujo o esquema de una sola fase llamado Esquema o Diagrama Unifilar.
REDES ELECTRICAS 29
Diagrama Unifilar
• Es una forma concisa de representar la
ubicación e interacción de todos los
componentes del sistema eléctrico.
REDES ELECTRICAS 30
barras
Transformador
Interruptor
Generador
Línea
Carga
REDES ELECTRICAS
Modelos básicos
• Generador
• Transformador de 2 arrollamientos
• Carga
REDES ELECTRICAS
Modelos - Generador • Datos
– Tensión Nominal Vn
– Potencia nominal Sn
– Reactancia sincrónica, Xs(%)
• Símbolo unifilar:
• Modelo:
Xs Bornes de
máquina
E
REDES ELECTRICAS
Modelos - Transformador • Datos
– Tensión Nominal primaria Vn1
– Tensión Nominal primaria Vn2
– Potencia nominal Sn
– Reactancia de cortocircuito, Xcc(%)
• Símbolo unifilar:
• Modelo:
Xcc Vn1/Vn2
REDES ELECTRICAS
Modelos - Carga • Hasta ahora, las cargas fueron representadas por
impedancias complejas constantes. • En la realidad, la potencia consumida por la carga puede
variar de diversas maneras con la tensión aplicada. En un caso general se tiene: – P = f1( V, f, …) – Q = f2( V, f, …)
• f1 y f2 son funciones que relacionan la potencia activa y reactiva con la tensión.
• Los modelos más conocidos son los siguientes: – Cargas de corriente constante con la tensión – Cargas de potencia constante con la tensión – Cargas de impedancia constante con la tensión – Cargas constituidas por una combinación de las anteriores
jXRZ
REDES ELECTRICAS
Modelos - Carga • Potencia consumida por la carga en función de la tensión
aplicada.
Impedancia
constante Corriente
constante
Potencia
constante
V
S
Modelos - Carga
• Corriente constante – La corriente absorbida por la carga se puede calcular en
función de sus valores nominales
• Este modelo es recomendado para simulaciones de Estabilidad (transitorios electromecánicos) cuando no se conoce con exactitud el modelo de carga del sistema eléctrico.
REDES ELECTRICAS 36
N
N
N
N
N
N
NN
U
SU
U
SUIUIU
U
SI
33ˆ3ˆ3S
nominal corriente ˆ3
ˆ
Modelos - Carga
• Potencia constante
– La corriente absorbida por la carga es
inversamente proporcional a la tensión
aplicada:
• Este modelo es utilizado principalmente en
simulaciones de régimen permanente como
los Flujos de Carga.
REDES ELECTRICAS 37
U
jQP
U
SI NNN
ˆ3ˆ3
ˆ
Modelos - Carga • Impedancia constante
– La impedancia se puede calcular a partir de las potencias activa y reactiva consumidas por la carga a tensión nominal.
• Este modelo es utilizado principalmente en simulaciones de transitorios electromagnéticos.
• Una combinación entre los modelos Z cte y S cte se utiliza para análisis de estabilidad (Transitorios electromecánicos)
REDES ELECTRICAS 38
2
2
2
222
222
ˆˆ
carga lapor consumida potencia lay tensión la entreRelación
arctancon
cosˆˆˆ
ˆ3
33
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
NN
N
N
U
SU
U
U
Z
U
Z
US
P
Qθ
jsenS
U
S
U
S
U
S
UU
I
UZ
Transformadores Trabajar en un único nivel de tensión
REDES ELECTRICAS
• 𝐼2 =
𝑃−𝑗𝑄
𝑉 𝑐+
𝑉𝑐
𝑍𝑐
𝑉 2 = 𝑉 𝑐 + 𝑍 𝑇𝐼2
;
𝑉𝐵
𝑉2= 𝑛2
𝐼𝐵
𝐼2=
1
𝑛2
𝐼𝐵 =
𝑃−𝑗𝑄
𝑛2𝑉 𝑐+
𝑛2𝑉𝑐
𝑛22𝑍𝑐
𝑉 𝐵 = 𝑛2𝑉 𝑐 + 𝑛22𝑍 𝑇𝐼𝐵
• 𝑉 1 = 𝐸 − 𝑍 𝑔𝐼1 ;
𝑉1
𝑉𝐴= 𝑛1
𝐼1
𝐼𝐴=
1
𝑛1
𝑉 𝐴 =𝐸
𝑛1−
𝑍 𝑔
𝑛12 𝐼𝐴
39