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2. Problemas Resolvidos de FsicaProf. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFESProblemas Resolvidos12. Um longo grampo de cabelo formado dobrando-se um fio, como mostra a Fig. 32. Se uma corrente i de 11,5 A passar pelo fio, (a) quais sero a direo, o sentido e a intensidade de B no ponto a? (b) E no ponto b, que est muito distante de a? Considere R = 5,20 mm.(Pg. 169) Soluo. Pode-se dividir o grampo em trs setores: 1, 2 e 3. (a) O campo magntico em a (Ba) ser a soma das contribuies dos setores 1, 2 e 3. B Ba = Ba1 + Ba 2 + Ba 3 Como as contribuies dos setores 1 e 3 so exatamente iguais, temos: Ba = 2Ba1 + Ba 2 (1) O clculo de Ba1 feito por meio da equao de Biot-Savart:B0 idl r dBa1 = (2)4 r 2 De acordo com o esquema acima: dl = dxR sen =r r = ( R2 + x2 )1/ 2Agora pode-se retomar (2):________________________________________________________________________________________________________ 2a Resnick, Halliday, Krane - Fsica 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 35 - A Lei de mpere 3. Problemas Resolvidos de FsicaProf. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES 0 idx.1.sen idx.R dB a1 = k= 0k 4r24 r 3 iR dx dBa1 = 0k4 ( R + x 2 )3/ 22+ iR +dx iR x B a1 = 0 k= 0 k4 0 ( R + x )22 3/ 2 4 R ( R + x 2 )1/ 2 2 20 0i Ba1 =k (3)4 R Calculo de Ba2: B idl r dB a 2 = 04 r2 Nesse esquema tem-se:dl = ds Logo: 0 ids.1.sen( 2) i dB a 2 = k = 0 2 dsk4 R 2 4 R i R Ba 2 = 0 2 dsk 4 R 0 0i Ba 2 = k (4)4R Substituindo-se (3) e (4) em (1):ii i B a = 2 0 k + 0 k = 0 (2 + )k = (1,13708 103 T)k 4 R 4R 4 R Ba (1,14 mT) k (b) O clculo de Bb feito admitindo-se que a distncia entre a e b suficientemente grande de tal forma que o campo gerado em b equivale ao campo produzido por dois fios infinitos paralelos, eqidistantes de b e conduzindo a mesma corrente i em sentidos contrrios. i i B b = 2 0 k = 0 k = (8,8461 104 T)k2 RR Bb (0,885 mT) k Nota-se que a curvatura do grampo proporciona aumento na intensidade do campo magntico em a quando comparado ao ponto b.[Incio]________________________________________________________________________________________________________ 3a Resnick, Halliday, Krane - Fsica 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 35 - A Lei de mpere 4. Problemas Resolvidos de FsicaProf. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES15. Considere o circuito da Fig. 35. Os segmentos curvos so arcos de crculos de raios a e b. Os segmentos retilneos so radiais. Ache o campo magntico B em P, supondo uma corrente i percorrendo o circuito.(Pg. 170) Soluo. O campo magntico no ponto P dado por:B P = B P1 + B P 2 + B P 3 + B P 4 As contribuies dos setores radiais esquerdo e direito so nulas devido colinearidade entre o fio e o ponto P. Portanto: B P = B P1 + B P 3 (1) Considerando-se que o mdulo do campo magntico no centro de um circuito circular de raio R, no qual trafega uma corrente i, dado por (Eq. 16, pg. 158) iB= 0 , 2R pode-se considerar que os arcos definidos pelos raios a e b produzem campos magnticos em P que correspondem a uma frao do comprimento do crculo. Ou seja: i b 0iB P1 = 0 k = k(2) 2b 2 b 4 b 0i a 0i B P2 = k = k (3) 2a 2 a 4 a Substituindo-se (2) e (3) em (1): i i BP = 0 k 0 k 4 b4 a i 1 1 BP = 0 k4 b a [Incio] 17. (a) Mostre que B, no centro de uma espira de fio retangular, de comprimento L e largura d, percorrida por uma corrente i, dada por 20i ( L2 + d 2 )1/ 2 B= Ld(b) A que se reduz B quando L >> d? Este o resultado que se deveria esperar? (Veja o ________________________________________________________________________________________________________ 4a Resnick, Halliday, Krane - Fsica 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 35 - A Lei de mpere 5. Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFESExemplo 1.) (Pg. 170) Soluo. O campo magntico no centro da espira o resultado da sobreposio dos campos magnticos produzidos pelos quatro segmentos de fio que compem a espira, sendo que todos os segmentos contribuem com campos que possuem mesma direo e sentido. Admitindo-se que o sentido da corrente seja horrio, o campo magntico no centro da espira apontar para dentro da pgina, perpendicular ao plano do papel.iL/2 d d/2L Campo magntico produzido por uma corrente i que trafega num segmento de fio de comprimento a, a uma distncia b ortogonal ao centro do segmento (lei de Biot-Savart): a/2 b r i ds x a ds = dx 0 ds r dB = i 2 4 r ds.1.sen 0 dx.b 0ib dx dB = 0 i= i 3 = 4r 2 4 r4 (b + x 2 )3/ 22 +a / 2 ib + a / 2dx ib x B= 0 = 0 .2. 2 24 a / 2 (b + x ) 22 3/ 2 4 b (b + x 2 )1/ 2 0 0ia B= 2 b (4b + x 2 )1/ 2 2 Sobreposio dos campos de cada segmento:B = 2 Bd + 2 BL 0id 0iL B = 2. + 2.L1/ 2d1/ 2 2 4 L + d 2 2 4 d + L2 2 2 2 2 2 2 2 0i d 2 0iL 2 0i d L 2 0i ( L + d ) 2 2 B= + =+= L ( L2 + d 2 )1/ 2 d (d 2 + L2 )1/ 2 ( L2 + d 2 )1/ 2 L d dL( L2 + d 2 )1/ 2 Logo: 20i ( L2 + d 2 )1/ 2 B=dL (b) Para L >> d: ________________________________________________________________________________________________________5a Resnick, Halliday, Krane - Fsica 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 35 - A Lei de mpere 6. Problemas Resolvidos de FsicaProf. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES2 0i B=(1)d Sim. No Exemplo 1 temos dois fios longos paralelos separados por uma distncia 2d e o campo calculado a uma distncia x do ponto mdio entre os fios. A expresso obtida foi:0id ' B= (2) (d '2 x 2 ) Fazer L >> d equivale a transformar a espira retangular em dois fios longos paralelos separados por uma distncia d. Neste caso teremos d = d/2 e x = 0 em (2). Logo: d 0i B=2 d 2 2 02 2 2 0i B=.d[Incio] 30. (a) Um fio longo encurvado no formato mostrado na Fig. 41, sem contato no ponto de cruzamento P. O raio da parte circular R. Determine o mdulo, a direo e o sentido de B no centro C da poro circular, quando a corrente i tem o sentido indicado na figura. (b) A parte circular do fio girada em torno do seu dimetro (linha tracejada), perpendicular parte retilnea do fio. O momento magntico da espira circular aponta agora na direo da parte retilnea e no sentido da corrente nesta parte. Determine B em C, neste caso.(Pg. 171) Soluo. (a) O campo magntico no ponto C (B) a superposio do campo magntico produzido por uma corrente i que trafega num fio infinito (Bf), a uma distncia ortogonal R do fio, e do campo B produzido no centro de um anel de corrente i de raio R (Ba).B B = Bf + Ba O mdulo do campo magntico no centro de uma espira circular de raio R, no qual trafega uma corrente i, dado por (Eq. 16, pg. 158) i B= 0 . 2R Logo:i i B= 0 k+ 0 k 2 R2R 0i 1 B= + 1 k2R ________________________________________________________________________________________________________ 6a Resnick, Halliday, Krane - Fsica 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 35 - A Lei de mpere 7. Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES(b) i z C x y Pi B = Bf + Ba 0i i B= k+ 0 i2 R2R i 1 B = 0 i + k 2R [Incio] 36. A Fig. 46 mostra um fio longo percorrido por uma corrente i1. A espira retangular percorrida por uma corrente i2. Calcule a fora resultante sobre a espira. Suponha que a = 1,10 cm, b = 9,20 cm, L = 32,3 cm, i1 = 28,6 A e i2 = 21,8 A. (Pg. 172) Soluo. Considere o esquema abaixo:FAi1i2 Bx y FDFB zxFC A fora sobre a espira a soma das foras magnticas sobre os segmentos A, B, C e D. F = FA + FB + FC + FD A simetria envolvida na situao do problema permite-nos concluir que:FB = FD Logo: F = FA + FC F = i2 l A B A + i2 l C BC________________________________________________________________________________________________________7a Resnick, Halliday, Krane - Fsica 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 35 - A Lei de mpere 8. Problemas Resolvidos de FsicaProf. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES0i1 0i1 ii L b F = i2 L j i2 Lj= 012j 2 a2 ( a + b )2 a ( a + b )F=( 4 10 7 T.m/A ) ( 28, 6 A )( 21,8 A )( 0,323 m )2 ( 0, 0920 m ) j = ( 3, 27049 10 3 N ) j( 0, 0110 m ) ( 0, 0110 m ) + ( 0, 0920 m ) F ( 3, 27 10 3 N ) j [Incio] 42. Considere um fio longo cilndrico de raio R percorrido por uma corrente i distribuda uniformemente ao longo da sua seo reta. Encontre os dois valores da distncia ao eixo do fio para os quais a intensidade do campo magntico devido ao fio igual metade do seu valor na superfcie do fio.(Pg. 173) Soluo. O campo magntico na superfcie do fio cilndrico facilmente obtido pela lei de Ampre, por meio da construo de um circuito de Ampre circular de raio R em torno do fio. B.ds = i 0B.2 R = 0i 0i B=2 R Para r < R:B/2 rRB 2 .ds = i0 (r ) 0i r2.2 r = 0i4 R R2R r=2 Para r < R: ________________________________________________________________________________________________________ 8a Resnick, Halliday, Krane - Fsica 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 35 - A Lei de mpere 9. Problemas Resolvidos de FsicaProf. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES B/2 r R B 2 .ds = i0 0i.2 r = 0i4 R r = 2R[Incio] ________________________________________________________________________________________________________ 9a Resnick, Halliday, Krane - Fsica 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 35 - A Lei de mpere