LEI NORMAL: a rainha das leis do acaso

Carlos TenreiroDepartamento de MatemáticaUniversidade de Coimbra

Lição Delfos, 14 de Abril de 2007

Plano da exposição

Lei normal: fotografia e assinatura Lei normal ou lei dos erros A lei dos grandes números O teorema central do limite de de

Moivre-Laplace Aplicação aos estudos de opinião O teorema central do limite de Laplace Aplicação ao controlo de qualidade

Observações que seguem a lei normal

Média a desvio-padrão de uma amostra

Observações

Observações que seguem a lei normal

Observações que seguem a lei normal

N(8.7,3.3)

Observações que seguem a lei normal

Observações que seguem a lei normal

N(1000.2,9.6)

Observações que seguem a lei normal

Área =~

Proporção de pacotes com peso entre 995 e 1005 gramas

Observações que seguem a lei normal

Observações que seguem a lei normal

N(1010.1,20.0)

Observações que seguem a lei normal

Área =~

Proporção de pacotes com peso entre 995 e 1005 gramas

A lei normal: fotografia e assinatura

média

desvio-padrão

A lei normal: fotografia e assinatura

A lei normal: fotografia e assinatura

Regra 68-95-99.7

Lei normal ou lei dos erros

O matemático Johann Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) tem o seu nome ligado à lei normal.

Lei normal ou lei dos erros

Grandeza observada

= Grandeza verdadeira + Erro

Erro = Grandeza observada

- Grandeza verdadeira

Lei normal ou lei dos erros

Erro = Peso observado -1000

Lei normal ou lei dos erros

Antes de Gauss era assumido que a distribuição do erro era: 1) Simétrica relativamente à origem; 2) Unimodais; 3) Suporte finito

Lei normal ou lei dos erros

As distribuições de erro habitualmente consideradas não permitiam justificar teoricamente a prática corrente de tomar a média das observações como estimativa do verdadeiro valor da grandeza desconhecida.

Lei normal ou lei dos erros

Em 1809 Gauss determina a forma que deve ter a distribuição dos erros de modo que a média das observações seja o estimador teórico da grandeza desconhecida:

Lei dos grandes números de Jacques Bernoulli (1645-1705)

Para uma qualquer experiência aleatória, quando o número de repetições desta é elevado, a proporção de ocorrências desse acontecimento aproxima-se, tanto quanto queiramos, da probabilidade desse acontecimento (1713). dado1.xls dado2.xls

Distribuição da proporção amostral

Teorema central do limite de de Moivre (1667-1754) – Laplace (1749-1827)

Quando o tamanho da amostra é grande, a proporção amostral é aproximadamente normal:

onde é a probabilidade do acontecimento em causa (1733, 1812).

Quando p=1/3 e n=10:

Teorema central do limite de de Moivre (1667-1754) – Laplace (1749-1827)

Quando p=1/3 e n=40:

Teorema central do limite de de Moivre (1667-1754) – Laplace (1749-1827)

Uma aplicação aos estudos de opinião

+

Uma aplicação aos estudos de opinião

Uma aplicação aos estudos de opinião

Para aproximadamente 95% das amostras:

Para a amostra anterior:

Uma aplicação aos estudos de opinião

Margem de erro:

No caso do PS temos:

+

+

Uma aplicação aos estudos de opinião

Intervalo de confiança a 95%:

Distribuição da média amostral

A proporção amostral é uma média:

com

Será a aproximação normal válida para uma qualquer média?

Distribuição da média amostral

Distribuição da média amostral

Distribuição da média amostral

Distribuição da média amostral

Distribuição da média amostral

Distribuição da média amostral

Distribuição da média amostral

Distribuição da média amostral

Distribuição da média amostral

Distribuição da média amostral

Distribuição da média amostral

Distribuição da média amostral

Distribuição da média amostral

Se é calculada a partir de observações independentes com média e desvio-padrão , então

Teorema central do limite de Laplace (1749-1827)

para grande (1812).

Aplicação ao controlo de qualidade

Um processo de empacotamento de açúcar está conforme se o peso médio dos pacotes for de 1000 gramas com uma variabilidade de 7 gramas:

Aplicação ao controlo de qualidade

Para obtemos

Aplicação ao controlo de qualidade

Para aproximadamente 99,7% das amostras

Carta de controlo

Carta de controlo

Carta de controlo

Carta de controlo

Carta de controlo

Carta de controlo

Carta de controlo

Carta de controlo

Carta de controlo

Carta de controlo

Carta de controlo

Carta de controlo

Carta de controlo

Carta de controlo

Carta de controlo

Carta de controlo

Carta de controlo

Carta de controlo

Carta de controlo

Carta de controlo

Modelo de Galton

Movimento Browniano

BOM TRABALHO DURANTE O FIM-DE-

SEMANA.

DIVIRTAM-SE.