Leonardo Pompeu Medeiros Martins Junior

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO

CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

PROJETO DE GRADUAÇÃO

ANÁLISE TÉCNICA DE CONDIÇÕES DE PARALELISMO ENTRE TRANSFORMADORES

LEONARDO POMPEU MEDEIROS MARTINS JUNIOR

VITÓRIA – ES MARÇO/2008



Parte manuscrita do Projeto de Graduação do aluno Leonardo Pompeu Medeiros Martins Junior, apresentado ao Departamento de Engenharia Elétrica do Centro Tecnológico da Universidade Federal do Espírito Santo, para obtenção do grau de Engenheiro Eletricista.

VITÓRIA – ES MARÇO/2008



COMISSÃO EXAMINADORA: ___________________________________ Prof. Dr. Wilson Correia Pinto de Aragão Filho Orientador ___________________________________ Prof. Dr. Domingos Sávio Lyrio Simonetti Examinador ___________________________________ Prof. Dr. Paulo José Melo Menegáz Examinador

Vitória - ES, 11 de março, 2008

4

DEDICATÓRIA

Para meus pais que me acompanharam em toda a jornada de estudos, apoiaram-

me nos momentos mais difíceis e estiveram sempre presentes durante as vitórias, ou

seja, ajudaram nos momentos de aflições e posteriormente ficaram felizes ao meu lado

nos momentos de superações. Ao meu grande irmão e amigo que ficou ao meu lado

grande parte do curso e que sempre esteve presente mesmo quando ficou distante.

Dedico também a minha atenciosa namorada que sempre me apoiou nos

estudos, acreditando no meu sucesso, elogiou o meu esforço, e soube compreender

desde o início o quanto era importante chegar até este momento.

5

AGRADECIMENTOS

Primeiramente tenho de agradecer ao professor Aragão por ter acreditado na

realização deste projeto.

Devo agradecer especialmente a dois profissionais da Escelsa pela atenção e

colaboração para compor este projeto: o engenheiro eletricista Leonardo Pompeu

Medeiros Martins e o engenheiro eletricista José Romeu Dellacqua.

6

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Circuito paralelo .......................................................................................... 16

Figura 2 - Circuito paralelo em pu ............................................................................... 18

Figura 3 - Gráfico 1 ..................................................................................................... 42

Figura 4 - Gráfico 2 ..................................................................................................... 43

Figura 5 - Gráfico 3 ..................................................................................................... 44

Figura 6 - Gráfico 4 ..................................................................................................... 44

Figura 7 - Circuito a ser analisado ............................................................................... 47

Figura 8 - Circuito a ser analisado em pu .................................................................... 47

7

LISTA DE QUADROS

Quadro 1– Dados do transformador a ser instalado

...................................................37

Quadro 2– Dados do transformador

existente............................................................38

Quadro 3- Relações de transformação com comutação no sentido inverso...............39

Quadro 4 - Impedâncias percentuais a 75º

C..............................................................41

Quadro 5 - Impedâncias percentuais necessárias para a análise

................................45

Quadro 6 - Pior caso entre as relações de transformação do Quadro

3......................45

Quadro 7 - Dados disponíveis.....................................................................................55

8

SIMBOLOGIA

I b : corrente no secundário do transformador 1

I b'

: corrente no secundário do transformador 2

IC : corrente circulante nos secundários dos transformadores

I L : corrente na carga

I N1: corrente nominal do transformador 1

I N2 : corrente nominal do transformador 2

IT : corrente nominal total ( transformador 1 mais transformador 2 )

SB = potência nominal tomada como base

St : potência aparente nominal total (transformador 1 mais transformador 2)

s N1 : potência aparente nominal do transformador 1 por fase

S N2: potência aparente nominal do transformador 2 por fase

V b : tensão no secundário do transformador 1

V b' : tensão no secundário do transformador 2

V b1 = tensão tomada como base no primário dos transformadores

V b2 = tensão tomada como base no secundário dos transformadores

V NP : tensão nominal do lado primário

V NS : tensão nominal do lado secundário

9

V N1 = tensão instantânea (em funcionamento) do lado primário do

transformador 1 em volts

V N 2 = tensão instantânea (em funcionamento) do lado secundário do


V N

'

1 = tensão instantânea (em funcionamento) do lado primário do


V N

'

2 = tensão instantânea (em funcionamento) do lado secundário do

transformador 2 em

Z (pu): impedância percentual do transformador 1 tomada como base, de

tensões iguais nas derivações de ensaio e potência base igual a 15 (MVA)

Z’(pu): impedância do transformador 2 tomada como base, de tensões iguais

nas derivações de ensaio e potência base igual a 15 (MVA)

Z1: impedância percentual do transformador 1, ou seja, na sua própria base

Z 2 : impedância percentual do transformador 2, ou seja, na sua própria base

θ 1∠ : ângulo da impedância do transformador 1

θ 2∠ : ângulo da impedância do transformador 2

β 1∠ : ângulo da corrente do transformador 1

β 2∠ : ângulo da corrente do transformador 2

α A∠ : ângulo da tensão no lado primário

α B∠ : ângulo da tensão no lado secundário

10

GLOSSÁRIO

11

SUMÁRIO

DEDICATÓRIA ........................................................................................................... 4

AGRADECIMENTOS ................................................................................................ 5

LISTA DE FIGURAS .................................................................................................. 6

LISTA DE QUADROS ................................................................................................ 7

SIMBOLOGIA ............................................................................................................. 8

GLOSSÁRIO .............................................................................................................. 10

SUMÁRIO .................................................................................................................. 11

RESUMO .................................................................................................................... 13

1 INTRODUÇÃO GERAL ....................................................................................... 14

2 RELAÇÃO ENTRE IMPEDÂNCIAS DE TRANSFORMADORES EM

PARALELO ............................................................................................................... 15

2.1 Introdução: ........................................................................................................ 15

2.2 Formulação algébrica: ....................................................................................... 15

2.3 Conclusões: ....................................................................................................... 23

3 SUBDIVISÃO DE CARGA EM TRANSFORMADORES COM MESMA

RELAÇÃO DE TRANSFORMAÇÃO .................................................................... 24

3.1 Introdução: ........................................................................................................ 24

3.2 Exemplo numérico: Três transformadores com potências nominais diferentes

e impedâncias percentuais diferentes: ..................................................................... 29

3.3 CONCLUSÕES: ............................................................................................... 35

4 ESTUDO DE UM CASO: CONSIDERAÇÕES PARA A ANÁLISE DE

PARALELISMO ENTRE TRANSFORMADORES COM DERIVAÇÕES DE

TENSÃO DIFERENTES .......................................................................................... 36

4.1 Introdução: ........................................................................................................ 36

4.2 Estudo analítico de um caso prático: ................................................................ 36

4.3 Conclusões: ....................................................................................................... 59

5 FERRAMENTA COMPUTACIONAL ................................................................ 61

5.1 Introdução: ........................................................................................................ 61

5.2 Exemplos numéricos realizados através das planilhas: .................................... 61

12

5.3 Conclusões: ....................................................................................................... 74

6 CONCLUSÕES FINAIS: ....................................................................................... 75

ANEXO 1 .................................................................................................................... 77

ANEXO 2 .................................................................................................................... 79

ANEXO 3 .................................................................................................................... 82

ANEXO 4 .................................................................................................................... 85

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................... 91

13

RESUMO

O objetivo do presente projeto de graduação é apresentar alguns estudos que

permitam fazer uma avaliação prévia para utilização de transformadores disponíveis e

com características diferentes, para atender a um aumento de carga emergencial em

uma determinada área atendida por uma subestação.

São realizados estudos que apresentam métodos de cálculo que permitem

determinar facilmente a subdivisão das correntes, e, consequentemente, das cargas em

transformadores, quando ligados em paralelo, com potências e impedâncias diferentes,

mas com mesma identidade de relação de transformação. Existe ainda uma análise

técnica da viabilidade de paralelismo entre transformadores com relação de

transformação diferente, todavia esta prática certamente reduz a capacidade total do

conjunto de transformadores em paralelo, como será apresentado, porém em alguns

casos pode ser economicamente conveniente optar pela realização deste procedimento.

Essa análise será apresentada através do estudo de um caso prático abordando a teoria

de “corrente circulante”.

14

1 INTRODUÇÃO GERAL

Devido a um aumento de carga emergencial em uma determinada área

atendida por uma subestação, supõe-se que o transformador existente não consiga

suprir esse aumento. E se já existir um transformador com características diferentes,

tais como potências, impedâncias, derivações de tensão (também conhecidas através

do nome de “taps”) e aspectos construtivos, então surge a necessidade de analisar a

possibilidade de operação em paralelismo em condições não convencionais, já que se

trata de dois transformadores com propriedades diferentes.

Porém a literatura que aborda o assunto sobre transformadores não apresenta

um estudo que permite fazer uma avaliação prévia para utilização de transformadores

com características diferentes com suas eventuais conseqüências. Espera-se, portanto,

que este material sirva como fonte de orientação confiável para mostrar as

possibilidades de paralelismo entre transformadores com aspectos diferentes e suas

eventuais conseqüências.

Logo, a partir deste estudo, pode-se aproveitar a utilização de um

transformador já existente para atender a esta necessidade citada acima e

consequentemente evitar a compra de um novo transformador semelhante para atender

a esta emergência.

15

2 RELAÇÃO ENTRE IMPEDÂNCIAS DE TRANSFORMADORES EM

PARALELO

2.1 Introdução:

Será conduzido adiante, antes de apresentar os cálculos para a determinação da

repartição da carga total entre transformadores que funcionam em paralelo, uma

formulação matemática mais engenhosa, quando comparada com aquela que será

apresentada mais tarde, que demonstra a condição necessária entre as impedâncias de

transformadores ligados em paralelo a fim de que eles possam fornecer as suas

respectivas potências nominais. Esta demonstração se faz necessária, a fim de

introduzir o assunto que será abordado, evidenciando uma condição importante para o

estudo de paralelismo entre transformadores.

2.2 Formulação algébrica:

Sejam dois transformadores trifásicos com igualdade entre os ângulos de

defasamento entre secundário e primário, igualdade de sentido de rotação das fases nos

secundários e mesma relação de tensões, portanto, a fim de simplificar o estudo do

paralelismo, será considerado apenas o estudo de uma fase do conjunto, como se os

transformadores fossem monofásicos. Considerando então as grandezas nominais por

fase: potências s N1 e S N2 , e impedâncias Z1•

e Z 2•

nas respectivas bases de

potências.

Será apresentado a seguir na Figura 1 uma ilustração simples do circuito em

paralelo dos transformadores com suas respectivas potências e as tensões do lado

primário e secundário.

16

Z1

Z2

VNP VNS

S1N

= +ST S1N S2N

S2N

Figura 1 - Circuito paralelo

Considerem-se as seguintes bases:

S BASE = s N1

V PRIMÁRIOBASE− = V NP (fase-neutro)

V SECUNDÁRIOBASE− = V NS (fase-neutro)

Supõe-se que os transformadores serão capazes de desenvolver suas respectivas

potências nominais. Então as correntes de cada transformador serão representadas (em

pu) da seguinte forma:

I N1•

= VS

NP

N1 β 1∠ A

I BASE = VS

NP

N1 A

17

I N1•

= II

BASE

REAL = VS

NP

N1 β 1∠ .

SV

N

NP

1

= 1 β 1∠ pu

I N1•

= 1 β 1∠ pu (1)

I N2•

= VS

NP

N2 β 2∠ A

I N2•

= II

BASE

REAL = VS

NP

N2 β 2∠ .

SV

N

NP

1

= SS

N

N

1

2 β 2∠ pu

I N2•

= SS

N

N

1

2 β 2∠ pu (2)

As tensões no lado primário e no lado secundário, considerando os

transformadores submetidos às tensões nominais, respectivamente serão (em pu):

•

vNP = V

VNP

NP α 1∠ = 1 α 1∠ pu (3)

•

vNS = V

VNS

NS α 2∠= 1 α 2∠ pu (4)

As impedâncias dos transformadores (em pu), ficarão da seguinte forma:

z1•

= Z1 θ 1∠ pu (5)

z2•

= Z2 θ 2∠ .

SS

N

N

2

1 pu (Mudança de base para impedância) (6)

Utilizando-se as grandezas apresentadas acima, pode-se escrever as equações

das correntes, através da Lei de Ohm, da seguinte forma, como apresenta a Figura 2.

18

I N1•

=

Z

V V nsnp

1•

•−

•

=

Z1

29,011•

∠−∠ αα pu (7)

I N2•

=

Z

V V nsnp

2•

•−

•

= S N

S N

Z12.

2

29,011•

∠−∠ αα pu (8)

Daí pode-se igualar as equações de I N1.

: (1) e (7), e de I N2.

:(2) e (8) , e

fazer-se a seguinte comparação:

)8()7(

)2()1(=

=∠

∠

β

β

21

2

1 1

SS

N

N SS

ZZ

N

N

2

1

1

2 .•

•

19

SS

N

N

2

1 )( 21 ββ −∠ = S

S

Z

Z

N

N

2

1

11

22 .θ

θ∠

∠

θ

θ

11

22

∠

∠

Z

Z = 1 )21( ββ −∠

ZZ

1

2 )12( θθ −∠ = 1 )21( ββ −∠

Podem ser feitas as seguintes considerações:

ZZ

1

2 = 1 ∴ Z 1 = Z 2 (em pu)

e

θ 2 - θ 1 = ββ 21

− (9)

Agora será demonstrada a relação dos ângulos θ 2 e θ 1.

Pode-se escrever a equação da potência total entregue à carga da seguinte

forma:

•St =

•

V NS . IT*•

pu

•St = 1 α 2∠ . IT

*•

pu

Mas sabe-se que:

I T*•

= II NN*

2*

1

••

+

20

e como já foi mostrado:

I N1•

= 1 β 1∠ pu (1)

I N2•

= SS

N

N

1

2 β 2∠ pu (2)

Então tem-se:

I T*•

= 1 β−∠1 +

SS

N

N

1

2 β 2−∠

Então pode-se reescrever a equação da potência total:

•St = 1 α 2∠ . [ 1 β−∠

1 +

SS

N

N

1

2 β 2−∠ ] pu (10)

E também pode-se escrever •St (pu) de forma direta, assim:

•St =

SS

N

t1

•

pu (11)

Substituindo-se a equação (11) na equação (10), tem-se:

SS

N

t1

•

= 1 α 2∠ . [ 1 β−∠ 1 +

SS

N

N

1

2 β 2−∠ ]

21

S t•

= s N1 )12( βα −∠ + S N2)22( βα −∠ (12)

Condição de potências nominais:

St•

= δ∠+ )21( SS NN (13)

Daí iguala-se a equação (12) com a equação (13):

s N1 )12( βα −∠ + S N2)22( βα −∠ = δ∠+ )21( SS NN

Definindo-se:

βα 12 − = θ A

βα 22 − = θ B

Retoma-se então podendo reescrever:

s N1 θ A∠ + S N2 θ B∠ = δ∠+ )21( SS NN

O desenvolvimento desta equação está apresentado no Anexo 1, onde o

resultado é:

)( θθ BACOS − = 1

Continuando, para que isso seja verdade, então:

θθ BA =

22

Mas foi definido que:

βα 12 − = θ A

βα 22 − = θ B

Então resulta em:

βα 12 − = βα 22 −

β 1 = β 2

Mas, conforme foi considerado na primeira parte tem-se:

θ 2 - θ 1 = ββ 21− (9)

Daí:

ββ 21− = 0

θ 2 - θ 1 = 0

Logo:

θ 2 = θ 1

E como os módulos Z1 e Z 2 já foram considerados iguais, então se conclui

finalmente que:

θθ 2211 ∠=∠ ZZ ( impedâncias percentuais nas respectivas bases)

23

Esse resultado apresentado acima é analisado por meio da utilização da planilha

do Excel que é apresentada no capítulo 5 - página 58.

2.3 Conclusões:

Então, para que dois transformadores com potências nominais s N1 e S N2 ,

sejam capazes de desenvolver suas potências nominais, é necessário que suas

impedâncias percentuais tenham módulos e ângulos iguais nas suas respectivas bases.

Cabe ressaltar que, em termos práticos, a componente resistiva das impedâncias de

transformadores de potência é muito pequena comparada com a componente reativa.

Desta forma, a impedância é normalmente tratada como uma reatância pura, ficando

assim com ângulo igual a 90º . Daí, a conclusão alcançada a partir desta dedução é um

ponto muito importante, principalmente a que se refere à igualdade dos módulos entre

as impedâncias. Será apresentado a seguir, a partir de métodos de cálculo, a

comprovação desta importância aqui citada.

24

3 SUBDIVISÃO DE CARGA EM TRANSFORMADORES COM MESMA

RELAÇÃO DE TRANSFORMAÇÃO

3.1 Introdução:

Para uma situação ideal de ligação em paralelo de transformadores trifásicos

de mesmas freqüências nominais, é naturalmente viável o paralelismo nos casos onde

sejam satisfeitas determinadas condições, que são as seguintes:

1- Identidade de relação de transformação;

2- Identidade dos ângulos de defasamento entre secundários e primários;

3- Identidade do sentido de rotação das fases nos secundários;

4- Valores percentuais das impedâncias com pouca diferença entre si.

A situação ainda mais ideal verificar-se-ia se existisse não somente a

igualdade perfeita dos mencionados valores percentuais das impedâncias, mas

também, em separado, aquelas dos componentes ôhmicos e reativos, ou seja, da

igualdade entre os ângulos das impedâncias, como foi demonstrado no capítulo

anterior.

A primeira condição justifica-se pelo fato que, se não forem iguais as relações

de transformação, isto é, se os enrolamentos não estiverem previstos para as mesmas

tensões, com referência às linhas primária e secundária, apareceriam correntes de

circulação entre os enrolamentos em paralelo, para compensar, mediante quedas nas

impedâncias internas, as diferenças entre as forças eletromotrizes de cada

transformador e a tensão comum aos bornes de todos eles, respectivamente nos

primários e nos secundários. Estas correntes de circulação compor-se-iam

vetorialmente com a corrente de utilização, originando então diferenças notáveis na

carga própria de cada transformador e com resultado final de reduzir

consideravelmente a capacidade total do conjunto de transformadores em paralelo.

25

Porém, há casos onde a análise mais aprofundada da viabilidade de paralelismo entre

transformadores pode permitir tal procedimento, todavia esta prática certamente, como

já foi citado, reduzirá a capacidade total do conjunto de transformadores em paralelo. 0

que se pretende alcançar com este estudo é aproveitar a utilização de um

transformador já existente para atender a uma necessidade e consequentemente evitar a

compra de um novo transformador semelhante para atender a esta emergência. Essa

análise será apresentada no próximo capítulo através do estudo de um caso prático.

A necessidade de que sejam garantidas a segunda e a terceira condições é

óbvia, pois as tensões dos enrolamentos homólogos de transformadores em paralelo

devem estar em fase e em concordância de sentido de rotação. Para que isto se

verifique, como é sabido, as conexões internas dos transformadores devem pertencer

ao mesmo grupo.

Quanto à quarta condição, se não for atendida, será perdida uma parte

considerável da potência nominal instalada, não se conseguindo portanto, o

aproveitamento integral.

Os métodos de cálculo que serão expostos a seguir permitem determinar

facilmente a subdivisão das correntes, e, consequentemente, das cargas em

transformadores com mesma relação de transformação, funcionando em paralelo.

As correntes de carregamento nominais (plena carga) de dois transformadores

ligados em paralelo podem ser representadas da seguinte forma:

Potência de carregamento do transformador 1:

I NVS N * 1.11 =

I NI NZS N . * 1. 1.11 =

IZS N N2

1.11 =

26

Potência de carregamento transformador 2:

I NVS N * 2.22 =

I NI NZS N . * 2. 2.22 =

IZS N N2

2.22 =

Dividindo-se as equações das potências encontram-se as seguintes relações:

I

I

ZZ

SS

N

N

N

N

22

21

2

1

2

1 .=

ZZ

SS

I

I

N

N

N

N

1

2

2

1

22

21

.=

Quanto à corrente de saída do conjunto dos dois transformadores, ou seja, a

corrente de carga, será fasorialmente:

III ac 21arg•••

+=

Ao variar I CARGA , as correntes de I 1 e I 2 não corresponderão mais às

correntes de plena carga, todavia variarão proporcionalmente com I CARGA e, na mesma

proporção, variarão as quedas de tensão nas impedâncias internas, mantendo-se porém

constante o ângulo entre as correntes I 1 e I 2 .

Então generalizando para quaisquer valores de correntes de carregamento de n

transformadores em paralelo pode-se formular um sistema de n equações com n

incógnitas:

IIIII N =++++ ...321

27

A equação apresentada acima é de caráter fasorial: a determinação das n

correntes resulta portanto, analiticamente muito laboriosa implicando a solução de um

sistema de n equações com números complexos.

Um modo mais simples e rápido de enfrentar o problema é o de atribuir valor

unitário à corrente nominal de um dos transformadores (por exemplo, o de potência

nominal maior) do conjunto em paralelo e determinar proporcionalmente as

intensidades correspondentes aos outros transformadores. Todas estas intensidades,

diretamente proporcionais às verdadeiras sob quaisquer condições de carga, podem ser

somadas geometricamente, com procedimento analítico, tendo presente que os ângulos

que formam entre si são os mesmos que aqueles das quedas ôhmicas de curto-circuito.

00,11 =I (pu) (transformador 1 escolhido como base)

ISS

ZZI 2

11

2

2

12 ..= (pu)

ISS

ZZI 2

11

3

3

13 ..= (pu)

............................................

ISS

ZZI N

NN

21

1

1 ..= (pu)

Logo, para qualquer intensidade que se atribua ao primeiro transformador

(cuja corrente recebeu convencionalmente o valor unitário), se poderão deduzir as

intensidades que circularão nos outros, mediante simples proporcionalidade. Os

ângulos de defasamento permanecerão, em todo caso, os mesmos das sobre citadas

quedas ôhmicas.

É importante destacar que os valores de impedância e potência apresentados

nas equações de cada transformador estão em suas respectivas bases. Logo, quando for

escolhido o transformador que servirá como base do sistema do conjunto de

28

transformadores, consequentemente os outros ligados em paralelo deverão refletir seus

valores para a base escolhida (transformação de bases). O resultado fica da seguinte

forma:

Valores do transformador 1 (escolhido como base do sistema):

SS N11 =

ZZ PU )(11 =

Valores do transformador 2:

SS N22 =

ZZ PU )(22 =

SSZZ

N

NPUBASENOVAPU

2

1)(2)(2 .= (transformação da base do transformador 2 para a

base do sistema)

E da mesma forma pode-se deduzir as equações acima para mais

transformadores em paralelo. Finalmente as equações de proporcionalidade já

refletidas para a base do sistema (transformador 1) resultam em:

00,11 =I (pu) (transformador 1 escolhido como base)

ISS

ZZ

ISS

SS

ZZ

IN

N

N

N

N

N 212

1

22

(%)2

(%)121

1

2

1

2

(%)2

(%)12 .... == (pu)

ISS

ZZ

ISS

SS

ZZ

IN

N

N

N

N

N 212

1

23

(%)3

(%)121

1

3

1

3

(%)3

(%)13 .... == (pu)

............................................

ISS

ZZ

ISS

ZZ

IN

NN

NN

NN

NN

212

1

2

(%)

(%)121

1(%)

(%)1 .... == (pu)

Será apresentado um único exemplo numérico que tornará perfeitamente claro

o que foi enunciado acima [1].

29

3.2 Exemplo numérico: Três transformadores com potências nominais diferentes

e impedâncias percentuais diferentes:

Dados do transformador 1:

z1 = 4,5 %

S N1 = 300 kVA

V NP = 13,8 kV

V NS = 220/127 V


z2 = 4,0 %

S N2 = 225 kVA

V NP = 13,8 kV

V NS = 220/127 V


z3 = 3,5 %

S N3 = 150 kVA

V NP = 13,8 kV

V NS = 220/127 V

Dados da carga:

675=SCARGA kVA (somatório das potências nominais dos transformadores)

92,0. =pf

30

Utilizando-se a proporcionalidade pode-se atribuir o valor unitário à

intensidade de corrente do Transformador 1 por possuir a maior potência, assim os

valores de impedância e potência desse transformador servirão como base.

Resultando-se as seguintes relações:

00,11 =I

1.300225.

0,45,4.. 2

2

2212

1

22

(%)2

(%)12 == I

SS

ZZ

IN

N = 0,7955

5669,01.300150.

5,35,4.. 2

2

2212

1

23

(%)3

(%)13 === I

SS

ZZ

IN

N

Então a repartição das correntes (e das cargas) nos três transformadores

efetuar-se-á de acordo com a proporcionalidade:

5669,0:7955,0:00,1 321 === III

Os transformadores possuem impedâncias percentuais com módulos

diferentes. Serão considerados também ângulos de impedância diferentes. Por causa do

nível de potência dos transformadores, será escolhida uma faixa de valores percentuais

das resistências em relação às impedâncias, de 15 a 25%, pois são valores geralmente

considerados para transformadores com essas potências.

( ) ( ) ( ) 00525,0035,0.15,0.15,01 === ZTR

=R2 ( ) ( )( ) 009,0045,0.2,0.2,0 ==ZT

( ) ( ) ( ) 01375,0055,0.25,0.25,03 === ZTR

( ) 02975,0)035,0).(85,0(.85,01 === ZTX

( ) 036,0)045,0).(8,0(.8,02 === ZX T

( ) 04125,0)055,0).(75,0(.75,03 === ZTX

31

Os ângulos para cada impedância são:

67,500525,002975,0

1==βtg º99,79

1=∴β

º96,754009,0036,0

22=∴== ββtg

º57,71301375,004125,0

33 =∴=== ββtg

Logo as projeções são:

( ) 1738,01=βCOS 9848,0)(

1=βSEN

2425,0)(2=βCOS 9701,0)(

2=βSEN

( ) 3162,03=βCOS 9487,0)(

3=βSEN

Respeitando as proporcionalidades pode-se atribuir que no transformador 1

circula uma corrente de 1 pu, no transformador 2 circulará 0,7955 pu e no

transformador 3 circulará 0,5669 pu. Então, utilizando-se os valores das projeções

tem-se:

No eixo X:

( ) 1738,0)1738,0).(1(. 111 === βCOSII X

( ) 1929,0)2425,0).(7955,0(2.22 === βCOSII X

( ) 1793,0)3162,0).(5669,0(3.33 === βCOSII X

Total: 5459,0=I X pu

No eixo Y:

32

( ) 9848,0)9848,0).(1(1.11 === βSENII Y

( ) 7717,0)9701,0).(7955,0(2.22 === βSENII Y

( ) 5378,0)9487,0).(5669,0(. 333 === βSENII Y

Total: 2943,2=I Y pu

( ) ( ) 3584,22943,25459,0 2222 =+=+= III YXTOTAL pu

º15,760557,46501,06366,2

=∴== ββtg

( ) 2394,0=βCOS

( ) 9709,0=βSEN

Deve-se atender a uma carga de 675=SCARGA kVA e 92,0. =pf , então a

corrente de linha demandada pela carga será de:

42,1771220.31000.675

==I CARGA A

Para obter tal intensidade dever-se-iam carregar os três transformadores com

as seguintes intensidades de corrente:

12,7513584,21.42,1771. 1

1 ===IIIITOTAL

TCARGA A

51,5973584,27955,0.42,1771. 2

2 ===IIIITOTAL

TCARGA A

81,4253584,25669,0.42,1771. 3

3 ===IIIITOTAL

TCARGA A

Utilizando-se do mesmo procedimento a subdivisão da potência efetuar-se-ia

do seguinte modo:

33

21,2863584,21.1000.6751 ==S kVA

68,2273584,27955,0.1000.6752 ==S kVA

25,1623584,25669,0.1000.6753 ==S kVA

Em termos percentuais, cada transformador referindo-se à sua respectiva

potência nominal, resulta em:

Valor percentual (transformador 1) = 300

21,286 = 95,41 %


68,227 = 101,18 %

Valor percentual (transformador 3) =150

25,162 = 108,17 %

Observa-se neste caso que o transformador 3 resultaria em uma sobrecarga de

8,17 % sobre sua capacidade nominal, enquanto o transformador 2 resultaria 1,18 % de

sua capacidade nominal, e o transformador 1 também utilizaria 95,41 % de sua

capacidade nominal.

O transformador 3, neste caso, pode funcionar com esta sobrecarga, porém a

fim de evitar qualquer sobrecarga deve-se aproveitar o conjunto limitadamente a uma

potência de carga de:

1503584,25669,0

3 == SS CARGA .1000

=SCARGA 624 kVA

34

Então aproximadamente deve-se limitar: =SCARGA 624 (kVA), daí a mesma

seria assim repartida:

59,2643584,21.6241 ==S kVA

48,2103584,27955,0.6242 ==S kVA

1503584,25669,0.6243 ==S kVA

Em termos percentuais, cada transformador referindo-se à sua respectiva

potência nominal, resulta em:


59,264 = 88,19 %


48,210 = 93,55 %

Valor percentual (transformador 3) = 150150 = 100 %

Observa-se que como as impedâncias percentuais são diferentes em módulo,

para que não sobrecarregasse o transformador 3, foi necessário limitar a potência de

carregamento, consequentemente o conjunto dos transformadores ficou subutilizado,

tornando-se aproveitável somente:

6,92150225300

15048,21059,264=

++++

==−P

PPTOTAL

UTILIZADAUTILIZADOERCENTUAL %

Ou seja, tornam-se aproveitáveis 92,6 % da capacidade nominal do conjunto

dos transformadores (este mesmo exemplo numérico é analisado por meio da

utilização da planilha do Excel que está apresentada no Anexo 3).

35

3.3 CONCLUSÕES:

Observa-se, no exemplo numérico apresentado, onde as impedâncias

percentuais são diferentes em módulo, para que não houvesse qualquer tipo de

sobrecarga em um transformador isoladamente, no caso o transformador 3, foi

necessário limitar a potência da carga. Consequentemente o conjunto dos

transformadores ficou subutilizado, tornando-se aproveitáveis 92,6 % da capacidade

nominal do conjunto de transformadores.

Além das considerações acima, se as relações de transformação dos

transformadores são diferentes, o estudo técnico da viabilidade de paralelismo fica

muito mais laborioso. Um estudo para este caso será apresentado no próximo capítulo.

36

4 ESTUDO DE UM CASO: CONSIDERAÇÕES PARA A ANÁLISE DE

PARALELISMO ENTRE TRANSFORMADORES COM DERIVAÇÕES

DE TENSÃO DIFERENTES

4.1 Introdução:

Será realizada a análise das condições de carregamento de dois

transformadores operando em paralelo em regime permanente, sob os aspectos da

“corrente circulante”, devido a diferença entre as derivações de tensão (também

conhecidas através do nome de “taps”) e também sob o aspecto das diferenças entre

suas impedâncias percentuais.

Serão apresentados adiante os dados técnicos dos transformadores: a potência

nominal e a potência de sobrecarga (com ventilação forçada) de cada um, assim como

as respectivas derivações de tensão.

4.2 Estudo analítico de um caso prático:

No Quadro 1 são apresentadas as características técnicas do transformador a

ser instalado (T1). E no Quadro 2 são apresentadas as características técnicas do

transformador existente (T2).

37

Quadro 1– Dados do transformador a ser instalado

TRANSFORMADOR 1

Potência

Nominal

Com ventilação forçada

15 MVA

20 MVA

DERIVAÇÕES

Lado primário (kV) Lado secundário (kV)

151, 800

150, 075

148, 350

146, 625

144, 900

143, 175

141, 450

139, 725 69

138, 000 34, 5

136, 275

134, 550

132, 825

131, 100

129, 375

127, 650

125, 925

124, 200

FONTE: [2]

Nota-se que no transformador que será instalado (T1), para o lado o qual foi

estabelecido sendo o primário, existem dezessete pontos de derivação. Como no lado

38

secundário existem dois pontos de derivação: 69 ou 34,5(kV), e a carga é atendida no

lado de baixa tensão em 34,5 kV, portanto o último ponto de derivação será o

utilizado.

Quadro 2– Dados do transformador existente

TRANSFORMADOR 2

Potência

Nominal

Com ventilação forçada

15 MVA

20 MVA

DERIVAÇÕES

Lado primário (kV) Lado secundário (kV)

37, 950

37, 519

37, 088

36, 656

36, 225

35, 794

35, 363

138 34, 931

69 34, 500

34, 069

33, 678

33, 206

32, 775

32, 344

31, 913

31, 481

31, 050

FONTE: [2]

39

Existem dois pontos de derivação no lado primário: 138 ou 69 (kV), e este

lado é alimentado através de uma linha de transmissão de 138kV, portanto o ponto de

derivação utilizado é o de 138kV. Já no lado secundário existem dezessete pontos de

derivação

Então construtivamente existe uma importante diferença entre os

transformadores: enquanto o T2 possui dezessete derivações de tensão no lado

secundário, o T1 possui dezessete derivações de tensão no lado primário.

O objetivo é aproximar-se do caso ideal, ou seja, obter-se a igualdade entre as

relações de transformação entre os dois transformadores. Portanto será necessário que

os comutadores das derivações de tensão “varram” os pontos de derivação em sentido

inverso, pois desta forma a diferença entre as relações de transformação será

minimizada. Essa situação está apresentada através do Quadro 3.

Quadro 3- Relações de transformação com comutação no sentido inverso

TRAFO 1

TRAFO 2

DIFERENÇA PERCENTUAL

ENTRE A MAIOR E A MENOR

RELAÇÃO ( % )

5,348,151 =4,4

050,31138 =4,4444 PΔ =

4,44,44444,4 − =1, 009

5,34075,150 =4,35

481,31138 =4,3836 PΔ =

35,435,43836,4 − =0, 772

5,3435,148 =4, 30

913,31138 =4,3243 PΔ =

3,43,43243,4 − =0, 5651

5,34625,146 =4,25

344,32138 =4,2666 PΔ =

25,425,42666,4 − =0, 3906

5,34900,144 =4,20

775,32138 =4,2105 PΔ =

2,42,42105,4 − =0, 2500

(Ponto 1)

5,34175,143 =4,15

206,33138 =4,1559 PΔ =

15,415,41559,4 − =0, 1422

40

5,34450,141 =4,10

678,33138 =4,0976 PΔ =

0976,40976,41,4 − =0, 0586

5,34725,139 =4,05

069,34138 =4,0506 PΔ =

05,405,40506,4 − =0, 0148

5,34000,138 =4,00

500,34138 =4,0000

PΔ = 0 (Derivação central)

5,34275,136 =3,95

931,34138 =3,9506 PΔ =

95,395,39506,3 − =0, 0152

5,34550,134 =3,90

363,35138 =3,9024 PΔ =

9,39,39024,3 − =0, 0615

5,34825,132 =3,85

794,35138 =3,8554 PΔ =

85,385,38554,3 − =0, 1403

5,34100,131 =3,80

225,36138 =3,8095 PΔ =

8,38,38095,3 − =0, 2500

(Ponto 2)

5,34375,129 =3,75

656,36138 =3,7647 PΔ =

75,375,37647,3 − =0, 3920

5,34650,127 =3,70

088,37138 =3,7209 PΔ =

7,37,37209,3 − =0, 5649

5,34925,125 =3,65

519,37138 =3,6781 PΔ =

65,365,36781,3 − =0, 7699

5,34200,124 =3,60

950,37138 =3,6364 PΔ =

6,36,36364,3 − =1, 011

FONTE: [2]

Observando os dados relativos aos transformadores escolhidos para análise,

pode-se observar no Quadro 3 que, a partir da derivação central, em ambos os

sentidos, a diferença percentual entre a maior relação e a menor relação aumenta (está

indicado pelas setas), portanto nas derivações mais distantes do ponto central

encontram-se os pontos onde existe a maior diferença entre as relações de

transformação dos transformadores. Apesar das derivações de tensão do transformador

permitirem uma variação de ± 10% em relação à tensão nominal (31,05kV – 34,5kV –

41

37,95kV derivação no secundário de T2 e 124,2kV – 138kV – 151,8kV derivação no

primário de T1,), a Resolução 505 da ANEEL estabelece um limite de ± 5 (%) para

uma linha de transmissão com nível de tensão abaixo de 230kV (como é uma linha de

transmissão de 138 kV que alimenta o primário dos transformadores em paralelo,

então esse caso pertence ao grupo citado na resolução) [3]. Portanto, o limite das

derivações de tensão será reduzido (entre -5% e +5%). Desta forma, os casos que

provocam um maior desequilíbrio de potências entre transformadores são os pontos

representados pelas linhas onde os números estão assinalados em negrito no Quadro 3.

E entre os dois pontos citados acima, dar-se-á maior destaque para aquele ponto onde

há uma maior diferença entre as impedâncias percentuais; porque, como já foi

apresentado em estudos anteriores, a relação entre as impedâncias percentuais dos

transformadores em paralelo é uma característica determinante para a resposta dos

transformadores quanto ao carregamento. A seguir então será identificado o ponto que

apresenta a maior diferença entre as impedâncias percentuais.

Têm-se como dados disponíveis os valores das impedâncias percentuais em

três pontos: nas relações de transformação nas derivações centrais de tensão e nos dois

pontos extremos, como está apresentado no Quadro 4.

Quadro 4 - Impedâncias percentuais a 75º C

TRAFO 1 TRAFO 2

151, 8 / 34,5 kV: 9,83 % 138 / 37,95 kV: 9,88 %

138,0 / 34,5 kV: 9,57 % 138 / 34,5 kV: 9, 65 %

124, 2 / 34,5 kV: 9,40 % 138 / 31,05 kV: 9, 67 %

FONTE: [2]

Para possuir o valor das impedâncias percentuais nos pontos desejados de cada

transformador (ponto 1 e ponto 2) dever-se-á realizar uma regressão linear e através de

interpolação calculam-se os valores das impedâncias percentuais nos pontos desejados,

conforme é apresentado a seguir.

42

Análise do ponto 1:

Cálculo da impedância percentual do TRAFO 1:

1388,1511389,144

57,983,957,91

−−

=−−Z

7,91 =Z (%)

5,34900,144 =4,20

775,32138 =4,2105 PΔ =

2,42,42105,4 − =0, 2500

(Ponto 1)

43


05,315,34775,325,34

65,967,965,92

−−

=−−Z

66,92 =Z (%)

Análise do ponto 2:

5,34100,131 =3,80

225,36138 =3,8095 PΔ =

8,38,38095,3 − =0, 2500

(Ponto 2)

44


2,1241382,1241,131

4,957,94,91

−−

=−−Z

485,91 =Z (%)

45


5,3495,375,34225,36

65,988,965,92

−−

=−−Z

765,92 =Z (%)

No ponto 1 foram encontradas as seguintes impedâncias

percentuais: 7,91 =Z (%) e 66,92 =Z (%), enquanto que no ponto 2 foram encontradas

as impedâncias percentuais: 485,91 =Z (%) e 765,92 =Z (%) ). No ponto 2 existe a

maior diferença entre as impedâncias percentuais, então esse ponto será analisado. Os

valores encontrados das impedâncias percentuais para o ponto 2 estão apresentados no

Quadro 5.

Quadro 5 - Impedâncias percentuais necessárias para a análise

Impedância percentual do TRAFO 1 9,485 (%)

Impedância percentual do TRAFO 2 9,765(%)

FONTE: [2]

Portanto o ponto 2 é aquele que será analisado (as relações de transformação

estão apresentadas no Quadro 6).

Quadro 6 - Pior caso entre as relações de transformação do Quadro 3

Relação de transformação do TRAFO 15,341,131 =3,80

Relação de transformação do TRAFO 2225,36

138 =3,8095

FONTE: [2]

46

Após a apresentação dos dados técnicos dos transformadores, da condição

entre as relações de transformação entre eles e os valores das impedâncias percentuais,

então será iniciada a análise sob o aspecto da corrente circulante baseada nas figuras 3

e 4, onde estão representados os lados primário e secundário com as respectivas

tensões nominais e instantâneas de cada transformador, as correntes de carregamento

de cada transformador, a corrente circulante entre os transformadores e a corrente de

carga.

47

FONTE: [4]

48

Utilizando-se os elementos do circuito da Figura 4, tomados como valores-

base: VVS bbB e 21, ; e os elementos do circuito da Figura 3, representando os valores

nominais, pode-se então escrever os elementos do circuito, em pu, da seguinte forma:

As tensões em pu do lado primário e do lado secundário para o transformador

1, respectivamente, são:

)(1

11 pu

VVV

b

Nn = e

VVV

b

Nn

2

22 = pu (14)

As tensões em pu do lado primário e do lado secundário para o transformador

2, respectivamente, são:

)(1

'1'

1 puVVV

b

Nn = e

VVV

b

Nn

2

'2'

2 = pu (15)

A impedância em pu considerando a tensão no lado secundário do

transformador 1:

( ) ( ) ( )( )22

2

2

2 ..1 VZVVZZ n

b

N pupupu•••

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (16)

A impedância em pu considerando a tensão no lado secundário do

transformador 2:

( ) ( ) ( )( )2'2

2

2

'2 .. ''

2 VZVVZZ n

b

N pupupu•••

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (17)

Relação de tensão do transformador 1 utilizando as tensões em pu:

49

nVV

n

n

12

1 1=

Relação de tensão do transformador 2 utilizando as tensões em pu:

nVV

n

n

2'

2

1 1'=

Do circuito da Figura 4, têm-se:

Corrente no secundário do transformador 1:

ZZ

VbVbL

ZZ

Zb II

21

'

21

2 .•

+•

•−

•

•+

••

•

+=••

III CLb•••

+=∴ 1 (18)

Corrente no secundário do transformador 2:

ZZ

V bV bL

ZZ

Zb II

21

'

21

1' .•

+•

•−

•

•+

••

•

−=••

III CLb•••

−=∴ 2' (19)

A relação de transformação do transformador 1 também pode ser escrita

como:

V

VVVn

p

bn

n•

•

==1

21 ∴ VnV pb

••

= .1 (20)

50

A relação de transformação do transformador 2 também pode ser escrita

como:

V

VVVn

p

b

n

n

'

''

1

'

22 •

•

== ∴ VnV pb'.'

2

••

= (21)

Pode-se substituir as equações apresentadas acima na equação da corrente

circulante nos secundários dos transformadores, podendo-se então reescrever:

IC•

=

ZZ

VbVb

21

'

•+

•

•−

•

• = ( )nnVZZ

p 21..1

21

−+

•

••

Já estabelecidos os valores-base, com posse dessa equação da corrente

circulante e conhecendo-se as impedâncias percentuais de cada transformador (dados

de placa), a tensão do lado primário (tensão de alimentação) e as relações de

transformação dos transformadores que representa a maior diferença possível para o

caso a ser analisado (Quadro 4), pode-se calcular o valor da corrente circulante.

Valores tomados como base:

Sb = 20 (MVA)

Vb1 = 138 (kV)

Vb2 = 34,5 (kV)

51

Dados do Transformador 1:

R.T: 34,5 / 131,1 kV

Z (pu) = 9,485 %

Dados do Transformador 2:

R.T: 36,225 / 138 kV

Z` (pu) = 9,765 %

Daí utilizando-se a equação (16) para o Transformador 1:

09485,0)1.(09485,0 21 jZ ==•

pu

E a equação (17) para o Transformador 2:

1077,0)05,1.(09765,0 22 jZ ==•

pu

As relações de transformação ficam, no transformador 1:

05263,1138

1,1315,34

5,34

1

21 ===

VVn

n

n

52

e no transformador 2:

05,1138

1385,34

225,36

'1

'2

2 ===VVn

n

n

Considerando-se o mesmo valor, em pu, para a tensão no lado primário,então:

05,1=•

V p pu

Agora pode-se calcular a corrente circulante, que é o fator em questão para o

estudo:

IC•

= ( )nnVZZ

p 21..

21

1−

+

•

••

( )05,105263,1.05,1.1077,009485,0

1−

+=

•

jjIC

0136,0jIC =•

pu

Nota-se aqui, nesta análise, que a corrente tem um valor de apenas 1,36 (%) da

corrente de carga dos transformadores. O paralelismo é viabilizado.

Verificar-se-ão agora os carregamentos máximos permitidos nos

transformadores, para isso alguns valores referentes à carga podem ser escolhidos:

uma carga com fator de potência 0,9 (indutivo) e ainda uma sobre tensão na carga de 5

%, porque é um valor máximo permitido, de acordo com a Resolução 505 da ANEEL,

a qual já foi citada. Consideram-se então os dados de carga para realizar os cálculos:

53

Tensão na carga, como referência:

º005,1 ∠=•

V L pu

Ângulo da carga:

( ) º84,259,0 −=∴= ϕϕCOS

Portanto, sobre a corrente da carga, não se sabe seu módulo:

84,25−∠=•

II LL pu

O Transformador 1 ficará mais carregado que o Transformador 2, por possuir

menor impedância e devido ao sentido da “corrente circulante” calculada

anteriormente. Assim tem-se a corrente que circula no secundário do Transformador 1

sendo:

θθ ∠=∠=•

I

III

base

máximaalnobb

min pu

( )

( )θθθ ∠=∠=∠=

•

95238,0225,365,34

10.5,34.310.20

10.225,36.310.20

3

6

3

6

I b pu

Como foi definida como referência a tensão na carga: º005,1 ∠=•

V L pu, então

ainda não se sabe como ficará a tensão no lado primário, ficando apenas representada

como:

54

β∠=•

VV pp pu

Como já foi apresentado, a equação da corrente no secundário do

transformador 1 pode ser escrita como:

ZZ

V bV bL

ZZ

Zb II

21

'

21

2 .•

+•

•−

•

•+

••

•

+=••

(19)

Com o propósito de formar um sistema que permita encontrar o valor de

I L•

(corrente que poderá ser disponibilizada para a carga), então escrever-se-á equação

do nó 1 (indicado na Figura 4), pois dessa forma se relacionará as correntes de

carregamento dos transformadores com a corrente da carga:

03

1=∑

=ZZI

I b'•

+ I b•

- I L•

= 0

0

12

'=−+

•

••

••••−−

IZ

VV

Z

VVL

LbLb (22)

Substituindo as equações (20) e (21) (equações que relacionam as tensões no

secundário com as tensões no primário através das reações de transformação) em (19)

e (22), têm-se:

( )nnIIZZ

V pL

ZZ

Zb 21..

2121

2 −+=•

+••

+•

•

••••

(23)

55

0

1

1

2

2 ..=−+

•

••

••••−−

IZ

VVn

Z

VVnL

LpLp (24)

Para o sistema apresentado acima têm-se os seguintes valores já

conhecidos, conforme está apresentado no Quadro 7.

Quadro 7 - Dados disponíveis

Tensão na carga em pu (sobrecarga de

+ 5%) º005,1 ∠=

•

V L

Corrente na carga º84,25−∠=

•

II LL

Corrente no lado secundário para o

transformador 1 θ∠=

•

95238,0I b

Tensão no lado primário β∠=

•

VV pp

Impedância do Transformador 2 em

pu 1077,02 jZ =

•pu

Impedância do transformador 1 em pu09485,01 jZ =

•pu

Relação de transformação para o

transformador 1

05263,11 =n

Relação de transformação para o

transformador 2

05,12 =n

FONTE: [2]

Portanto as incógnitas são: θ , I L e β∠V p . Substituindo-se os dados

disponíveis, resumidos no Quadro 7, na equação (23) tem-se os cálculos a seguir:

56

( )nnIIZZ

V pL

ZZ

Zb 21..

2121

2 −+=•

+••

+•

•

••••

(23)

)05,105263,1(1077,009485,0

º84,25.1077,009485,0

1077,095238,0 −+

∠+−∠

+=∠

jjjjj V

I pL

βθ

)(012984,0)º84,25.5317,095238,0 ( βθ ∠−−∠=∠ VI pL j (23)

Substituindo-se os dados, resumidos no Quadro 7, na equação (24) tem-se os

cálculos a seguir:

0

1

1

2

2 ..=−+

•

••

••••−−

IZ

VVn

Z

VVnL

LpLp (24)

º84,2509485,0

05,1).(05263,1

1077,0

05,1)(.05,1−∠=+

−∠−∠I

j

V

j

VL

pp ββ

-j9,7493.( β∠V p ) + j9,7493 –j11,0978.( β∠V p ) + j11,07 = 84,25−∠I L

-j20,8471.( β∠V p ) = -j20,8193 + º84,25−∠I L

β∠V p = 0,9987 + j0,047968. ( 84,25−∠I L º) (24)

Levando-se (24) em (23), tem-se:

)) 25,84º-( j0,047968. + 0,9987(012984,0)º84,25.5317,095238,0 I( L∠−−∠=∠ jI Lθ

Como uma incógnita se trata de um ângulo, pode-se manipular essa equação

acima através de Trigonometria para auxiliar na resolução. Esse desenvolvimento

encontra-se no Anexo 2. O resultado será:

º54,26−=θ

57

º84,257784,1 −∠=•

I L pu

Retornando-se à equação (24) para encontrar β∠V p (a tensão no lado

primário do transformador 1), tem-se:

β∠V p = 0,9987 + j0,047968. ( 84,25−∠I L º) (24)

β∠V p = 0,9987 + j0,047968. ( 84,257784,1 −∠ º)

β∠V p = º2389,40387,1 ∠ pu

Pode-se então finalmente calcular, com mais precisão do que o cálculo

realizado anteriormente porque aqui está sendo considerada a condição de carga, qual

o módulo e ângulo da corrente circulante:

IC•

= ( )nnVZZ

p 21..1

21

−+

•

••

IC•

= ( )05,105263,1.2389,40387,1.1077,009485,0

1−∠

+ jj

IC•

= º76,850135,0 −∠ pu

Com o valor da corrente circulante pode-se verificar se a corrente que circula

pelo secundário do transformador 1 é efetivamente: θ∠•

I b = º54,2695238,0 −∠=•

I b ,

utilizando-se então a equação seguinte:

III CLb•••

+= 1 e sabe-se que II L

ZZ

ZL

••

•+

•

•

= .

21

21

58

Então:

III CL

ZZ

Zb

•••

+=•

+•

•

.

21

2

76,850135,0)84,257784,1.(1077,009485,0

1077,0−∠+−∠

+=

•

jjj

I b

º54,269524,0 −∠=•

I b pu

Ainda, para o transformador 1, pode-se encontrar outros valores como:

VnV pb••

= .1 =1,05263. º2389,40387,1 ∠ = º2389,40934,1 ∠ pu

I L1•

= I L

ZZ

Z •

•+

•

•

.

21

2 = º84,259456,0 −∠ pu

Com o valor da corrente circulante pode-se encontrar também a corrente que

circula pelo secundário do transformador 2:

III CLb•••

−= 2' e sabemos que I L2

•

= I L

ZZ

Z •

•+

•

•

.

21

1

Então:

III CL

ZZ

Zb

•••

−=•

+•

•

.

21

1'

76,850135,0)84,257784,1.(1077,009485,0

09485,0' −∠−−∠+

=•

jjj

I b

59

=•

I b' º03,258261,0 −∠ pu

Para o transformador 2, pode-se encontrar outros valores como:

VnV pb

••

= .2' =1,05. º2389,40387,1 ∠ = º2389,40906,1 ∠ pu

I L2•

= I L

ZZ

Z •

•+

•

•

.

21

1 = 84,258328,0 −∠ º pu

As potências desenvolvidas nos transformadores ficam da seguinte forma:

=S DORTRANSFORMA 1 V L•

. Ib*•

=( º005,1 ∠ ). º54,269524,0 ∠

=S DORTRANSFORMA 1º54,260,1 ∠ pu

=S DORTRANSFORMA 10,1 . 10.20 6 = 20 MVA

=S DORTRANSFORMA 2 V L'•

. Ib´*•

=( º005,1 ∠ ).( 03,258261,0 ∠ )

=S DORTRANSFORMA 2 03,258674,0 ∠ º pu

=S DORTRANSFORMA 2 8674,0 . 10.20 6 =17,35 MVA

=SCARGA V L•

.( I L1•

+ I L2•

)*. º005,1 ∠= ( º84,259456,0 ∠ + 84,258328,0 ∠ )

=SCARGA º84,258673,1 ∠ pu

=SCARGA 8673,1 34,3710.20 6 = MVA

4.3 Conclusões:

Dos resultados obtidos, pode-se concluir que o paralelismo entre os

transformadores é viável, desde que o comutador do transformador 1 caminhe no

sentido de aumentar (em relação à derivação Central), enquanto que no transformador

60

2 caminhe no sentido de diminuir e vice-versa, com o objetivo de se obter nas

derivações correspondentes, relações de transformação as mais próximas possíveis (no

caso, o máximo é 0,25% de diferença percentual).

Como pôde ser observado, o fator preponderante na redução da potência total

a ser fornecida pelos transformadores, é a diferença entre suas impedâncias

percentuais. Esta redução para o caso analisado pode chegar até:

(%)100.40

34,371(%)100.121

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−=Δ

SSS

NN

CARGAR = 6,65(%)

Ou seja, há uma redução de no máximo 6,65(%) da potência disponível nos

Transformadores em análise. Este valor tende a diminuir à medida que derivações de

tensão mais próximas da derivação central sejam solicitadas, visto que neste ponto,

diminuem tanto a diferença entre suas impedâncias quanto os efeitos da “Corrente

Circulante”.

61

5 FERRAMENTA COMPUTACIONAL

5.1 Introdução:

Através do método de proporcionalidade que foi apresentado no capítulo três,

aproveitou-se esse algoritmo e elaborou-se uma planilha eletrônica com o objetivo de

calcular como ficaria a distribuição da carga entre três transformadores ligados em

paralelo com mesma relação de transformação, mas com quaisquer potências e

impedâncias percentuais, permitindo assim calcular outros casos de maneira mais

rápida.

Foram elaboradas também, em separado, utilizando-se o mesmo procedimento

de cálculos apresentados no capítulo quatro duas planilhas eletrônicas complementares

que permitem obter-se a distribuição de carga.

5.2 Exemplos numéricos realizados através das planilhas:

Utilizando-se a primeira planilha eletrônica será analisado o caso de três

transformadores em paralelo, com mesma relação de transformação, para atender a

uma carga que solicite as potências nominais dos transformadores. Os transformadores

possuem potências nominais diferentes, mas com os módulos e ângulos das

impedâncias percentuais iguais. O objetivo aqui é utilizar a planilha eletrônica para

comprovar o que foi demonstrado através da dedução matemática do capítulo dois, e

ao mesmo tempo orientar o uso da mesma para que possa ser aplicada para outros

casos quaisquer.

Os quadros apresentados a seguir foram retirados da planilha - TRAFOS COM MESMA RELAÇÃO DE TRANSFORMAÇÃO.xls

Ao lado direito das primeiras células, são os locais onde devem ser inseridos

os dados de entrada: características de cada transformador do conjunto que funcionará

em paralelo e características da carga.

62

DADOS DO TRANSFORMADOR 1:

IMPEDÂNCIA PERCENTUAL ( % ): 4,5POTÊNCIA NOMINAL ( kVA ): 300

PERCENTUAL DA RESISTÊNCIA EM RELAÇÃO À IMPEDÂNCIA ( % ): 15

DADOS DO TRANSFORMADOR 2: IMPEDÂNCIA PERCENTUAL ( % ): 4,5POTÊNCIA NOMINAL ( kVA ): 225PERCENTUAL DA RESISTÊNCIA EM RELAÇÃO À IMPEDÂNCIA ( % ): 15

DADOS DO TRANSFORMADOR 3: IMPEDÂNCIA PERCENTUAL ( % ): 4,5POTÊNCIA NOMINAL ( kVA ): 150PERCENTUAL DA RESISTÊNCIA EM RELAÇÃO À IMPEDÂNCIA ( % ): 15

POTÊNCIA DA CARGA ( kVA ): 675TENSÃO DE LINHA DA CARGA ( V ): 220

Nesta célula seguinte deve ser colocado o número 3 caso sejam três

transformadores em paralelo.

CASO SEJAM TRÊS TRANSFORMADORES EM PARALELO, COLOQUE NA

CÉLULA À DIREITA O NÚMERO 3. SE NÃO, SERÃO

CONSIDERADOS OS DADOS DOS TRANSFORMADORES 1 E 2 . 3

63

Nas células apresentadas a seguir são exibidos os cálculos utilizados através da

metodologia de proporcionalidade que foi vista no capítulo três.

CÁLCULOS-METODOLOGIA DA PROPORCIONALIDADE

Escolha das bases de potência (foi escolhido aquele transformador de maior

potência) e de impedância. Esses valores a seguir representam uma referência para o

cálculo de proporcionalidade.

Valor base (maior potência) (kVA) 300Impedância referência (pu) 4,5

Atribui-se o valor unitário (1 pu) à intensidade de corrente do transformador de

maior potência, aqui no caso é o transformador 1 (base de referência), e juntamente com as

relações entre as potências e impedâncias, calcula-se as intensidades de correntes dos

outros dois transformadores em relação ao transformador 1.

Corrente do Transformador 1 (pu) 1Corrente doTransformador 2 (pu) 0,75Corrente doTransformador 3 (pu) 0,5

Com a relação entre a resistência e a impedância de cada transformador (dado de

entrada) tem-se o cosseno do ângulo da impedância de cada transformador. Então, para se

calcular a intensidade de corrente correspondente ao eixo real (em pu) de cada

transformador, multiplica-se cada parcela de intensidade de corrente de cada

transformador, em pu (dados localizados acima) pelo respectivo cosseno do ângulo da

impedância. Depois soma-se estas parcelas para obter-se o valor total de corrente no eixo

das abscissas - eixo X.

64

Cosseno do ângulo de impedância TRAFO 1 0,173785334Cosseno do ângulo de impedância TRAFO 2 0,173785334Cosseno do ângulo de impedância TRAFO 3 0,173785334I1 (EIXO X) (pu) 0,173785334I2 (EIXO X) (pu) 0,130339I3 (EIXO X) (pu) 0,086892667

Itotal (EIXO X) (pu) 0,391017001

Com a relação entre a resistência e a impedância de cada transformador (dado de

entrada), pode-se encontrar a relação entre a reatância e a impedância, daí tem-se o seno do

ângulo da impedância de cada transformador. Então para se calcular a intensidade de

corrente correspondente ao eixo imaginário (em pu) de cada transformador, multiplica-se

novamente cada parcela de intensidade de corrente, em pu, pelo respectivo seno do ângulo

da impedância. Depois soma-se estas parcelas para obter-se o valor total de corrente no

eixo das ordenadas (eixo Y).

Seno do ângulo de impedância TRAFO 1 0,984783559Seno do ângulo de impedância TRAFO 2 0,984783559Seno do ângulo de impedância TRAFO 3 0,984783559I1 (EIXO Y) (pu) 0,984783559I2 (EIXO Y) (pu) 0,738587669I3 (EIXO Y) (pu) 0,492391779Itotal (EIXO Y) (pu) 2,215763007

Com os valores totais das correntes correspondentes aos eixos X e Y, calcula-se a

corrente total .

Com os dados da carga calcula-se a intensidade de corrente solicitada pela mesma.

Itotal (pu) 2,25Icarga (A) 1771,415599

Se, durante a utilização do método matemático de proporcionalidade, nenhum

valor de potência nominal de qualquer transformador for ultrapassado, então o resultado do

carregamento será apresentado na parte a seguir: corrente e potência de carregamento de

cada transformador e ainda o percentual de potência utilizado em relação ao valor nominal

de potência de cada transformador. Se isso acontecer, então, na última linha, na célula à

65

direita, a seguinte mensagem estará escrita: “RESULTADO JÁ FOI APRESENTADO”.

Porém, como acontece neste caso, se algum valor de potência nominal de qualquer

transformador for ultrapassado, então o resultado será apresentado mais adiante e a

seguinte mensagem localizada na última linha, na célula à direita, indicará isso:

“RESULTADO ABAIXO”.

RESULTADOS DOS CARREGAMENTOS DOS TRANSFORMADORES SE NÃO HOUVER

SOBRECARREGAMENTO EM NENHUM DELES

De posse da corrente de carga, corrente total e mais os valores em pu das

intensidades de corrente no lado secundário (carga) de cada transformador, então pode-se

calcular o carregamento de corrente de cada transformador.

CORRENTE DE CARREGAMENTO TRANSFORMADOR 1 ( A ): 787,2958216 TRANSFORMADOR 2 ( A ): 590,4718662 TRANSFORMADOR 3 ( A ): 393,6479108

De posse da potência de carga, corrente total e mais os valores em pu das

intensidades de corrente de cada transformador, pode-se calcular o carregamento de

potência de cada transformador, já que os valores referentes às correntes podem ser

utilizados para o cálculo das potências.

POTÊNCIA DE CARREGAMENTO TRANSFORMADOR 1 ( kVA ): 300 TRANSFORMADOR 2 ( kVA ): 225 TRANSFORMADOR 3 ( kVA ): 150

Em termos percentuais, cada transformador referindo-se à sua respectiva potência

nominal carrega-se em:

66

CARREGAMENTO EM RELAÇÃO AO VALOR NOMINAL (T1) ( % ) 100

CARREGAMENTO EM RELAÇÃO AO VALOR NOMINAL (T2) ( % ) 100CARREGAMENTO EM RELAÇÃO AO VALOR NOMINAL (T3) ( % ) 100

Nota-se que não há uma sobrecarga em nenhum transformador.

Verifica-se que devido à igualdade entre os módulos e ângulos das impedâncias

dos transformadores, não existe uma sobrecarga em nenhum deles e consequentemente é

utilizado integralmente toda a capacidade total de potência do conjunto de

transformadores, conforme a apresentação da dedução do capítulo dois .

Agora será utilizada a planilha eletrônica que analisa os casos onde os

transformadores possuem diferentes relações de transformação (com derivações de tensão

distintas). Serão preservadas as características dos dois transformadores utilizados no

estudo do caso particular do capítulo quatro, e acrescentado mais um terceiro

transformador com características diferentes dos outros dois:

Os quadros apresentados a seguir forma retirados da planilha - TRAFOS COM

CORRENTE CIRCULANTE.xls

As primeiras células do lado direito são os locais onde devem ser inseridos os

dados de entrada, nesta análise necessita-se de mais detalhes das características de cada

transformador do conjunto que funcionará em paralelo. Aqui também existe uma célula

onde deve ser colocado o número 3 caso sejam três transformadores em paralelo.

INSIRA OS DADOS DE ENTRADA NAS COLUNAS À DIREITA DAS

CÉLULAS EM VERMELHO.

A RESPOSTA DO CARREGAMENTO DOS TRANSFORMADORES SERÁ

GERADA NO FINAL DA PLANILHA 2

67

DADOS DO TRANSFORMADOR 1 DADOS DO TRANSFORMADOR 2 MENOR IMPEDÂNCIA

"TAP" PRIMÁRIO (kV) 131,1 "TAP" PRIMÁRIO (kV) 138"TAP" SECUNDÁRIO (kV) 34,5 "TAP" SECUNDÁRIO (kV) 36,225

Z1 (pu) 9,485 Z2 (pu) 9,765

POTÊNCIA DE SOBRECARGA (VENTILAÇÃO FORÇADA) (kVA): 20000


TENSÃO NOMINAL DO SECUNDÁRIO (kV) : 34,5


TENSÃO DE SOBRECARGA NO SECUNDÁRIO (kV) 36,225


DADOS DO TRANSFORMADOR 3

"TAP" PRIMÁRIO (kV) 131,1 "TAP" SECUNDÁRIO (kV) 34

Z3 (pu) 9,83


NÚMERO DE TRANSFORMADORES EM PARALELO

TENSÃO NOMINAL DO SECUNDÁRIO (kV) : 34

CASO SEJAM TRÊS TRANSFORMADORES EM PARALELO, POR FAVOR DIGITE 3 AO LADO 3


Adiante os valores-base devem ser escolhidos e inseridos, assim como as

características disponíveis da carga.

VALORES-BASE CARGA

POTÊNCIA (MVA) 20

TENSÃO MÁXIMA, EM PU, QUE ALIMENTA A CARGA VL (pu): 1,05

TENSÃO NO PRIMÁRIO (kV) 138 FATOR DE POTÊNCIA 0,9

TENSÃO NO SECUNDÁRIO (kV) 34,5 CARGA INDUTIVA? SIM

68

A seguir serão apresentadas várias células que foram necessárias para a realização

dos cálculos a partir do algoritmo utilizado no capítulo quatro. A seguir estão

apresentados os primeiros cálculos realizados.

CÁLCULOS INICIAIS

TRANSFORMADOR 1 Tensão no primário (pu) 0,95 Relação de transformação (n1): 1,05263Tensão no secundário (pu) 1 Z1 referido para o secundário-lado da carga (pu-na nova base) 0,09485 TRANSFORMADOR 2 Tensão no primário (pu) 1 Relação de transformação (n2): 1,05Tensão no secundário (pu) 1,05 Z2 referido para o secundário-lado da carga (pu-na nova base) 0,10766 TRANSFORMADOR 3 Tensão no primário (pu) 0,95 Relação de transformação (n3): 1,0374Tensão no secundário (pu) 0,98551 Z2 referido para o secundário-lado da carga (pu-na nova base) 0,09547

Mais adiante é apresentada a formação da equação da corrente de carregamento no

secundário do transformador 1.

69

Carregamento dos transformadores em paralelo

CORRENTE DE CARREGAMENTO DO TRANSFORMADOR 1 EQUAÇÃO (Itotal1 = Icarga1 +Icirculante2 + Icirculante3):

ÂNGULO DA CARGA (EM RADIANOS) 0,45102681 ÂNGULO DA CARGA (EM GRAUS) 25,8419328

ÂNGULO DA CARGA CORRIGIDO DEVIDO À CARACTERÍSTICA DA CARGA (INDUTIVA, CAPACITIVA OU RESISTIVA): -25,841933

MÓDULO MÁXIMO DA CORRENTE DE CARREGAMENTO NO SECUNDÁRIO DO TRANSFORMADOR 1 (EM PU) 0,95238095 DIVISOR DE CORRENTE PARA PARCELA DA CARGA 0,34788502

PARTE REAL DO DIVISOR DE CORRENTE 0,31309651

PARTE IMAGINÁRIA DO DIVISOR DE CORRENTE -0,15164

CORRENTE CIRCULANTE ENTRE TRANSFORMADORES 1 E 2 0,01299487 CORRENTE CIRCULANTE ENTRE TRANSFORMADORES 1 E 3 0,08015668

Aplicando a Lei de Kirchoff para corrente no nó 1 (acima da carga, representado

na Figura 4), consegue-se relacionar as mesmas variáveis que foram obtidas na equação

da corrente de carregamento no secundário do transformador 1.

EQUAÇÃO DO NÓ DA CARGA PARTE IMAGINÁRIA, ACOMPANHA A TENSÃO NO PRIMÁRIO -31,716694

PARTE IMAGINÁRIA, TERMO ISOLADO -31,82118

PARTE IMAGINÁRIA 0,03152914 PARTE REAL 1,0032943

Agora o sistema já está composto por duas equações, onde uma pode ser

substituída na outra (como foi realizado na página 51).

70

ISOLANDO A TENSÃO DO PRIMÁRIO (EQUAÇÃO DO NÓ DA CARGA) E SUBSTITUINDO-O NA EQUAÇÃO DA CORRENTE DE CARREGAMENTO DO

TRANSFORMADOR 1

1º PARCELA 0,00040972 FATOR 1-2º MEMBRO -

0,093458

2º PARCELA 0,00252727 1º PARCELA FATOR 3 -

0,000179

FATOR 2-2º MEMBRO 0,350822 2º PARCELA FATOR 3 -

0,001102

FATOR 2-2º MEMBRO PARTE REAL 0,3157398 3º PARCELA FATOR 3 -

0,151640

SOMA -

0,152920

TERMO ISOLADO -

0,093458

ISOLAMENTO DO COSSENO DO ÂNGULO DA CORRENTE DE CARREGAMENTO DO TRANSFORMADOR 1 0,33152679

ISOLAMENTO DO SENO DO ÂNGULO DA CORRENTE DE CARREGAMENTO DO TRANSFORMADOR 2:

-0,160566

TERMO ISOLADO -

0,098131

É possível formar uma equação com duas incógnitas, e como uma dessas

incógnitas se trata de um ângulo, juntamente com lei trigonométrica fundamental, por

exemplo, pode-se obter os valores de θ e módulo de I L , como foi realizado no Anexo 2.

APLICANDO A LEI TRIGONOMÉTRICA sen^2(x) + cos^2(x) = 1

IL^2 0,13569138IL 0,03151306TERMO ISOLADO (Lei trigonométrica = 1) -0,9903702 MÓDULO DA CORRENTE DE CARGA 2,5879841 -2,8202248

COSSENO DO ÂNGULO DA CORRENTE DE CARREGAMENTO DO TRANSFORMADOR 1 0,85798607

COSSENO DO ÂNGULO DA CORRENTE DE CARREGAMENTO DO TRANSFORMADOR 1

71

SENO DO ÂNGULO DA CORRENTE DE CARREGAMENTO DO TRANSFORMADOR 1 -0,513673SENO DO ÂNGULO DA CORRENTE DE CARREGAMENTO DO TRANSFORMADOR 1

ÂNGULO DA CORRENTE DE CARREGAMENTO DO TRANSFORMADOR 1 (EM RADIANOS) -0,5394602ÂNGULO DA CORRENTE DE CARREGAMENTO DO TRANSFORMADOR 1 (EM GRAUS) -30,908795

Retornando-se à equação do nó, encontra-se a tensão no lado primário.

RETORNANDO À EQUAÇÃO DO NÓ PARA ENCONTRAR A TENSÃO NO LADO PRIMÁRIO

PARTE REAL 1,03886152 PARTE IMAGINÁRIA 0,07343721 MÓDULO DA TENSÃO NO PRIMÁRIO 1,04145393 ÂNGULO EM RADIANOS 0,07057269 ÂNGULO EM GRAUS 4,04351751

Agora pode-se calcular a corrente circulante:

CORRENTE CIRCULANTE DO TRAFO 1 PARA O TRAFO 2 0,0135336 PG 52 DO TRAFO 1 PARA O TRAFO 3 0,08347949 TOTAL 0,09701305 É VIÁVEL O PARALELISMO ? SIM ÂNGULO EM GRAUS -85,956482 PARTE REAL 0,00684079 PARTE IMAGINÁRIA -0,0967716

Com posse da corrente circulante, então finalmente são calculados os valores

necessários para se obter o carregamento dos três transformadores.

TRANSFORMADOR 1 MÓDULO DA TENSÃO NO SECUNDÁRIO 1,0962673 ÂNGULO 4,04351751

72

CONTRIBUÇÃO PARA A CORRENTE DE CARGA 0,90032089

CORRENTE DE CARREGAMENTO NO SECUNDÁRIO DO TRANSFORMADOR 1 0,952381

ÂNGULO EM GRAUS -25,841933 ÂNGULO EM GRAUS -30,90879PARTE REAL 0,8102888 PARTE REAL 0,8171296PARTE IMAGINÁRIA -0,3924408 PARTE IMAGINÁRIA -0,489212



CORRENTE DE CARREGAMENTO- DIVISOR DE CORRENTE ( PARA 3 TRANSFORMADORES EM PARALELO) 0,3064942

ÂNGULO EM GRAUS -25,841933

CONTRIBUÇÃO PARA A CORRENTE DE CARGA 0,793202ÂNGULO -25,84193

PARTE REAL 0,71388182 PARTE REAL 0,7138818PARTE IMAGINÁRIA -0,3457487 PARTE IMAGINÁRIA -0,345749

CORRENTE DE CARREGAMENTO ( PARA 2 TRANSFORMADORES EM PARALELO) CORRENTE CIRCULANTE 0,0135336

PARTE REAL 0,70704103 ÂNGULO -85,95648PARTE IMAGINÁRIA -0,2489772 PARTE REAL 0,0009543MÓDULO 0,74959767 PARTE IMAGINÁRIA -0,0135ÂNGULO EM RADIANOS -0,3385797 ÂNGULO EM GRAUS -19,399188 PARTE REAL 0,7129275 PARTE IMAGINÁRIA -0,332249

MÓDULO DA CORRENTE DE CARREGAMENTO 0,7865462

ÂNGULO EM RADIANOS -0,436108 ÂNGULO EM GRAUS -24,98715


73





ÂNGULO -25,84193 PARTE REAL 0,8050151 PARTE IMAGINÁRIA -0,389887

CORRENTE CIRCULANTE 0,0834795 ÂNGULO -85,95648 PARTE REAL 0,0058865 PARTE IMAGINÁRIA -0,083272 PARTE REAL 0,7991286 PARTE IMAGINÁRIA -0,306615



Então o carregamento dos três transformadores são apresentados:

RESPOSTA DOS CARREGAMENTOS STRAFO 1 (EM PU) 1 CONJUGADO DO ÂNGULO (EM GRAUS) 30,9087947 STRAFO 1 (EM MVA) 20 STRAFO 2 (EM PU) 0,82587354 CONJUGADO DO ÂNGULO (EM GRAUS) 24,9871473 STRAFO 2 (EM MVA) 16,5174707 TRANSFORMADOR SUPORTA STRAFO 3 (EM PU) 0,89872835 CONJUGADO DO ÂNGULO (EM GRAUS) 20,9911368 STRAFO 3 (EM MVA) 17,9745671 TRANSFORMADOR SUPORTA SCARGA (EM PU) 2,71738331 CONJUGADO DO ÂNGULO (EM GRAUS) 25,8419328 SCARGA (EM MVA) 54,3476661

Observa-se que os transformadores possuem em conjunto uma capacidade de 60

74

(MVA), porém devido à presença da corrente circulante e à diferença entre suas

impedâncias percentuais, a capacidade total ficou limitada à aproximadamente 54,35

(MVA), o que corresponde a utilização de aproximadamente 90,58 (%). 5.3 Conclusões:

A partir do caso calculado através da primeira planilha - Trafos com mesma

relação de transformação.xls, onde os transformadores em paralelo possuem os módulos

das impedâncias percentuais diferentes, pode-se concluir o seguinte: pouco importa a

diferença entre os ângulos das impedâncias entre os transformadores; na prática, essa

diferença, por maior que seja, não permitirá um sobrecarregamento isolado de algum

transformador do conjunto, porque a corrente de carga repartir-se-á em proporção

quadrática com as potências nominais respectivas, independentemente do valor da carga e

do seu fator de potência. Portanto quando um deles alcançar a sua capacidade nominal, os

outros também a terão alcançado. A partir do ponto em que a carga demandar uma

potência superior à capacidade nominal do conjunto, não haverá um desbalanceamento, ou

seja, um transformador sendo mais carregado que o outro, então o conjunto alcançará, ao

mesmo tempo, uma sobrecarga que a proteção de cada transformador permitirá ser

alcançada sem que danifique o equipamento.

Com a possibilidade de calcular o paralelismo entre três transformadores através

da segunda planilha, foi adicionado mais um transformador ao conjunto de dois

transformadores do caso estudado no capítulo 4-Trafos com corrente circulante.xls. Como

era esperado, a corrente circulante aumentou, mas as diferenças entre as relações de

transformação ainda não foram suficientes para impedir a possibilidade de paralelismo. É

claro que à medida que essas diferenças entre as relações de transformação aumentem,

alcançar-se-á um ponto em que a corrente circulante será tão elevada que, a partir deste

ponto, não será mais viável o paralelismo. Mas nota-se que ainda neste caso, o fator

preponderante na redução da potência a ser fornecida pelos transformadores, é a diferença

entre suas impedâncias.

75

6 CONCLUSÕES FINAIS:

Se as impedâncias percentuais dos transformadores ligados em paralelo são

diferentes em módulo, para que não ocorra qualquer tipo de sobrecarga em um

transformador isoladamente, será sempre necessário limitar a potência de carregamento,

consequentemente o conjunto dos transformadores ficará subutilizado, tornando-se

aproveitável apenas uma parte da capacidade nominal do conjunto de transformadores.

Esta situação, onde os transformadores têm impedâncias percentuais com módulos

diferentes, sempre estará presente na prática, mesmo quando os transformadores são

considerados idênticos, pois sempre haverá uma pequena diferença entre suas impedâncias,

consequentemente, na possibilidade de paralelismo, sempre haverá um subaproveitamento

da capacidade nominal do conjunto de transformadores.

No caso analisado, a viabilidade de paralelismo entre transformadores com “taps”

diferentes, foi aceita, desde que atendida à nova lógica de funcionamento do comutador

para os transformadores com características diferentes, com o objetivo de se obter nos

“taps” correspondentes, relações de transformação as mais próximas possíveis ( no caso, o

máximo é 0,25% de diferença percentual). Ou seja, o estudo através do conceito de

“corrente circulante”, permitiu a viabilidade do paralelismo no caso dos dois

transformadores em paralelo de diferentes tipos de fabricante, aspectos construtivos dos

“taps” e impedâncias. Ainda foi realizado o mesmo estudo para o caso de três

transformadores em paralelo através da utilização da planilha, e pôde-se manter a

viabilidade de paralelismo, já que ainda foi possível a aproximação dos valores das

relações de transformação dos transformadores.

Como pôde ser observado para todos os casos analisados, o fator preponderante na

redução de potência a ser fornecida pelos transformadores em paralelo é a diferença entre

suas impedâncias. Para os casos de transformadores com aspectos construtivos bem

diferentes, como comutação dos “taps”, quando se é possível minimizar as diferenças entre

as relações de transformação, pode-se então realizar uma análise prévia a partir da planilha

para saber como ficará o carregamento de cada transformador quando o objetivo for o

paralelismo.

A utilização das planilhas foi um meio mais rápido encontrado para criar uma

76

ferramenta computacional capaz de calcular a distribuição da carga de transformadores

ligados em paralelo com aspectos diferentes tais como potências, impedâncias e derivações

de tensão, a fim de analisar a viabilidade do paralelismo para casos que, devido a aumento

de carga emergencial, o transformador em funcionamento não consiga mais suprir a uma

nova demanda de carga. Portanto a utilização de um transformador disponível para

funcionar em paralelo com aquele já existente pode eventualmente suprir a esse acréscimo

de carga, então a medida é economicamente mais conveniente pois evita a compra de um

novo transformador similar àquele que já estava em funcionamento.

Uma sugestão de continuação do projeto seria a criação de um programa com uma

interface mais clara e amigável que facilitasse a utilização do programa pelo usuário

(engenheiros e/ou técnicos da área).

77

ANEXO 1

Desenvolvimento algébrico da equação do capítulo 1

s N1 θ A∠ + S N2 θ B∠ = δ∠+ )21( SS NN

s N1 COS (θ A)+ j s N1 SEN (θ A

) +S N2COS (θ B

) + jS N2SEN (θ B

) =

( s N1 + S N2) COS (δ ) + j ( s N1 + S N2

) SEN (δ )

( s N1 COS (θ A)+S N2 COS (θ B

))+j( s N1 SEN (θ A)+S N2 SEN (θ B

))

= ( s N1 + S N2) COS (δ ) + j ( s N1 + S N2

) SEN (δ )

Igualando-se separadamente as partes reais das partes imaginárias têm-se:

( s N1 COS (θ A)+S N2 COS (θ B

)) = ( s N1 + S N2 ) COS (δ )

( s N1 SEN (θ A)+S N2 SEN (θ B

)) = ( s N1 + S N2 ) SEN (δ )

Elevando-se ao quadrado as equações acima resulta-se em:

)()()(2)( 22

221

22

1 θθθθ BNBANNAN COSSSSCOSS COSCOS ++ =

)(2122)( δCOSSS NN+

)()()(2)( 22

221

22

1 θθθθ BNBANNAN SENSSSSENS SENSEN ++ =

)(2122)( δSENSS NN+

Somando-se as equações acima tem-se:

)]()([ 222

1 θθ AAN SENCOSS + + )()(2 21 θθ BANNCOSCOSSS +

)()(221 θθ BANN

SENSENSS + )]()([ 222

2 θθ BBN SENCOSS + =

)]()().[2( 222

221

2

1 δδ SENCOSSSSS NNNN+++

S N

2

1 + SS NN 212 [ )()( θθ BACOSCOS + )()( θθ BA

SENSEN ]+S N

2

2 =

SSSS NNNN

2

221

2

1 2 ++

78

SS NN 212 )( θθ BACOS − = SS NN 212

)( θθ BACOS − = 1

79

ANEXO 2

Desenvolvimento algébrico da equação do capítulo 3

)) 25,84º-( j0,047968. + 0,9987(012984,0)º84,25.5317,095238,0 I( L∠−−∠=∠ jI Lθ

Isolando-se a parte real da equação, tem-se:

)) -25,84º(( 0,0006228. ))º84,25(.5317,0.95238,0 I( LCOSCOSCOS I L +−=θ

IL 0,0005605. .4785,0.95238,0 += I LCOSθ

I LCOS .47909,0.95238,0 =θ

I LCOS .50305,0=θ

Isolando a parte imaginária da equação, tem-se:

)) -25,84º(.(j 0,0006228. + 129670,0))º84,25(..5317,0.95238,0 I( L SENjSENSENj jI L −−=θ

IL 6.j0,0002714 - 012967,0.23175,0.95238,0 jjSENj I L −−=θ

( )95238,0

012967,0.23202,0 +−= I LSENθ

( )013615,0.24362,0 +−= I LSENθ

Se θ então possui o cosseno positivo e o seno negativo, significa que este

ângulo pertence ao 4º quadrante, para continuação dos cálculos pode-se retirar o sinal

negativo do seno:

Utilizando-se então a conhecida equação para encontrar uma solução, resulta:

1)( )( 22 =+ θθ COSSEN

80

1).25306,0()000185,0.006634,0.05935,0( 22 =+++ III LLL

099981,0.006634,0.31241,0 2 =−+ II LL

)31241,0.(22494,1006634,0 ±

−=I L

)31241,0.(2

1179,1006634,0 ±−=I L

7784,1=I L

Tem-se I L , então pode-se encontrar θ substituindo na equação do cosseno ou

seno:

I LCOS .50305,0=θ

7784,1).50305,0(=θCOS

8946,0=θCOS

E

( )013615,0.24362,0 +−= I LSENθ

( )013615,0)7784,1.(24362,0 +−=θSEN

44687,0−=θSEN

Lembrando-se que θ pertence ao quarto quadrante, então:

º54,26−=θ

Daí tem-se:

º54,26−=θ

81

º84,25−∠=•

II LL

º84,257784,1 −∠=•

I L (pu)

82

ANEXO 3

Planilha 1 –TRAFOS COM MESMA RELAÇÃO DE

TRANSFORMAÇÃO.xls

INSIRA OS DADOS DOS TRANSFORMADORES E OS DADOS DA CARGA ( NÃO É NECESSÁRIO O FATOR DE POTÊNCIA ) NA

COLUNA À DIREITA DAS CÉLULAS EM VERMELHO: DADOS DO TRANSFORMADOR 1:

IMPEDÂNCIA PERCENTUAL ( % ): 4,5 POTÊNCIA NOMINAL ( kVA ): 300

PERCENTUAL DA RESISTÊNCIA EM RELAÇÃO À IMPEDÂNCIA ( % ): 5 DADOS DO TRANSFORMADOR 2: IMPEDÂNCIA PERCENTUAL ( % ): 4 POTÊNCIA NOMINAL ( kVA ): 225 PERCENTUAL DA RESISTÊNCIA EM RELAÇÃO À IMPEDÂNCIA ( % ): 10 DADOS DO TRANSFORMADOR 3: IMPEDÂNCIA PERCENTUAL ( % ): 3,5 POTÊNCIA NOMINAL ( kVA ): 150PERCENTUAL DA RESISTÊNCIA EM RELAÇÃO À IMPEDÂNCIA ( % ): 15 POTÊNCIA DA CARGA ( kVA ): 675 TENSÃO DE LINHA DA CARGA ( V ): 220

CASO SEJAM TRÊS TRANSFORMADORES EM

PARALELO, COLOQUE NA CÉLULA À DIREITA

O NÚMERO 3. SE NÃO, SERÃO CONSIDERADOS OS DADOS DOS

TRANSFORMADORES 1 E 2 . 3

CÁLCULOS-METODOLOGIA DA PROPORCIONALIDADE

Valor base (maior potência) (kVA) 300Impedância referência (pu) 4,5 Corrente do Transformador 1 (pu) 1

83

Corrente doTransformador 2 (pu) 0,795495129 Corrente doTransformador 3 (pu) 0,56694671 Cosseno do ângulo de impedância TRAFO 1 0,052558833 Cosseno do ângulo de impedância TRAFO 2 0,110431526 Cosseno do ângulo de impedância TRAFO 3 0,173785334 I1 (EIXO X) (pu) 0,052558833 I2 (EIXO X) (pu) 0,087847741 I3 (EIXO X) (pu) 0,098527023

Itotal (EIXO X) (pu) 0,238933597 Seno do ângulo de impedância TRAFO 1 0,998617829 Seno do ângulo de impedância TRAFO 2 0,993883735 Seno do ângulo de impedância TRAFO 3 0,984783559 I1 (EIXO Y) (pu) 0,998617829 I2 (EIXO Y) (pu) 0,79062967 I3 (EIXO Y) (pu) 0,558319798 Itotal (EIXO Y) (pu) 2,347567297 Itotal (pu) 2,359695209Icarga (A) 1771,415599

RESULTADOS DOS CARREGAMENTOS DOS TRANSFORMADORES SE NÃO HOUVER

SOBRECARREGAMENTO EM NENHUM DELES

CORRENTE DE CARREGAMENTO TRANSFORMADOR 1 ( A ): 750,6967815 TRANSFORMADOR 2 ( A ): 597,1756329 TRANSFORMADOR 3 ( A ): 425,6050701

POTÊNCIA DE CARREGAMENTO TRANSFORMADOR 1 ( kVA ): 286,0538927 TRANSFORMADOR 2 ( kVA ): 227,5544782 TRANSFORMADOR 3 ( kVA ): 162,1773132 CARREGAMENTO EM RELAÇÃO AO VALOR NOMINAL (T1) ( % ) 95,35129756

CARREGAMENTO EM RELAÇÃO AO VALOR NOMINAL (T2) ( % ) 101,1353236 CARREGAMENTO EM RELAÇÃO AO VALOR NOMINAL (T3) ( % ) 108,1182088 MAIOR VALOR PERCENTUAL 108,1182088 Percentual utilizado do conjunto (%) (2 TRAFOS) 97,83016588 Percentual utilizado do conjunto (%) (3 TRAFOS) 100,1163976

84

TOTAL DE POTÊNCIA DO CONJUNTO (2) (kVA): 513,6083709 TOTAL DE POTÊNCIA DO CONJUNTO (3) (kVA): 675,7856841 SOBRECARREGAMENTO ? SIM RESULTADO ABAIXO ATENDE À CARGA?

RESULTADOS DOS CARREGAMENTOS DOS TRANSFORMADORES

PARA EVITAR O SOBRECARREGAMENTO DE ALGUM TRANSFORMADOR

Potência nominal do transformador sobrecarregado

T1 T2 T3 150

Potência limitada da carga 624,3166692

POTÊNCIA DE CARREGAMENTO TRANSFORMADOR 1 ( kVA ) 264,5751311 TRANSFORMADOR 2 ( kVA ) 210,468228 TRANSFORMADOR 3 ( kVA ) 150 Valor percentual (T1) (%) 88,19171037 Valor percentual (T2) (%) 93,54143467 Valor percentual (T3) (%) 100 Percentual utilizado do conjunto (%) (2 TRAFOS) 90,48444935 Percentual utilizado do conjunto (%) (3 TRAFOS) 92,59901616 TOTAL DE POTÊNCIA DO CONJUNTO (kVA): 624,3166692 ATENDE À CARGA? NÃO

85

ANEXO 4

Retirado da planilha - TRAFOS COM CORRENTE CIRCULANTE.xls

INSIRA OS DADOS DE ENTRADA NAS COLUNAS À DIREITA DAS CÉLULAS EM VERMELHO.

A RESPOSTA DO CARREGAMENTO DOS TRANSFORMADORES SERÁ GERADA NO FINAL DA PLANILHA 2

DADOS DO TRANSFORMADOR 1 DADOS DO TRANSFORMADOR 2

MENOR IMPEDÂNCIA "TAP" PRIMÁRIO (kV) 131,1 "TAP" PRIMÁRIO (kV) 138 "TAP" SECUNDÁRIO (kV) 34,5 "TAP" SECUNDÁRIO (kV) 36,225

Z1 (pu) 9,485 Z2 (pu) 9,765







DADOS DO TRANSFORMADOR 3

"TAP" PRIMÁRIO (kV) 131,1 "TAP" SECUNDÁRIO (kV) 34

Z3 (pu) 9,83


NÚMERO DE TRANSFORMADORES EM PARALELO

TENSÃO NOMINAL DO SECUNDÁRIO (kV) : 34

CASO SEJAM TRÊS TRANSFORMADORES EM PARALELO, POR FAVOR DIGITE 3 AO LADO 3


VALORES-BASE CARGA

POTÊNCIA (MVA) 20

TENSÃO MÁXIMA, EM PU, QUE ALIMENTA A CARGA VL (pu): 1,05

TENSÃO NO PRIMÁRIO (kV) 138 FATOR DE POTÊNCIA 0,9

86

TENSÃO NO SECUNDÁRIO (kV) 34,5 CARGA INDUTIVA? SIM

CÁLCULOS INICIAIS

TRANSFORMADOR 1 Tensão no primário (pu) 0,95 Relação de transformação (n1): 1,05263 Tensão no secundário (pu) 1 Z1 referido para o secundário-lado da carga (pu-na nova base) 0,09485 TRANSFORMADOR 2 Tensão no primário (pu) 1 Relação de transformação (n2): 1,05 Tensão no secundário (pu) 1,05Z2 referido para o secundário-lado da carga (pu-na nova base) 0,10766 TRANSFORMADOR 3 Tensão no primário (pu) 0,95 Relação de transformação (n3): 1,0374 Tensão no secundário (pu) 0,98551 Z2 referido para o secundário-lado da carga (pu-na nova base) 0,09547

Carregamento dos transformadores em paralelo

CORRENTE DE CARREGAMENTO DO TRANSFORMADOR 1 EQUAÇÃO (Itotal1 = Icarga1 +Icirculante2 + Icirculante3):

ÂNGULO DA CARGA (EM RADIANOS) 0,45102681 ÂNGULO DA CARGA (EM GRAUS) 25,8419328

ÂNGULO DA CARGA CORRIGIDO DEVIDO À CARACTERÍSTICA DA CARGA (INDUTIVA, CAPACITIVA OU RESISTIVA): -25,841933

MÓDULO MÁXIMO DA CORRENTE DE CARREGAMENTO NO SECUNDÁRIO DO TRANSFORMADOR 1 (EM PU) 0,95238095 DIVISOR DE CORRENTE PARA PARCELA DA CARGA 0,34788502

PARTE REAL DO DIVISOR DE CORRENTE 0,31309651

PARTE IMAGINÁRIA DO DIVISOR DE CORRENTE -0,15164

87

CORRENTE CIRCULANTE ENTRE TRANSFORMADORES 1 E 2 0,01299487 CORRENTE CIRCULANTE ENTRE TRANSFORMADORES 1 E 3 0,08015668

EQUAÇÃO DO NÓ DA CARGA PARTE IMAGINÁRIA, ACOMPANHA A TENSÃO NO PRIMÁRIO -31,716694

PARTE IMAGINÁRIA, TERMO ISOLADO -31,82118

PARTE IMAGINÁRIA 0,03152914 PARTE REAL 1,0032943

ISOLANDO A TENSÃO DO PRIMÁRIO (EQUAÇÃO DO NÓ DA CARGA) E SUBSTITUINDO-O NA EQUAÇÃO DA CORRENTE DE CARREGAMENTO DO

TRANSFORMADOR 1 1º PARCELA 0,00040972 FATOR 1-2º MEMBRO -0,0934582º PARCELA 0,00252727 1º PARCELA FATOR 3 -0,000179FATOR 2-2º MEMBRO 0,350822 2º PARCELA FATOR 3 -0,001102FATOR 2-2º MEMBRO PARTE REAL 0,3157398 3º PARCELA FATOR 3 -0,151640 SOMA -0,152920 TERMO ISOLADO -0,093458

ISOLAMENTO DO COSSENO DO ÂNGULO DA CORRENTE DE CARREGAMENTO DO TRANSFORMADOR 1 0,33152679

ISOLAMENTO DO SENO DO ÂNGULO DA CORRENTE DE CARREGAMENTO DO TRANSFORMADOR 2: -0,160566

TERMO ISOLADO -0,098131

APLICANDO A LEI TRIGONOMÉTRICA sen^2(x) + cos^2(x) = 1

IL^2 0,13569138IL 0,03151306TERMO ISOLADO (Lei trigonométrica = 1) -0,9903702 MÓDULO DA CORRENTE DE CARGA 2,5879841 -2,8202248

COSSENO DO ÂNGULO DA CORRENTE DE CARREGAMENTO DO TRANSFORMADOR 1 0,85798607

COSSENO DO ÂNGULO DA CORRENTE DE CARREGAMENTO DO TRANSFORMADOR 1

88

SENO DO ÂNGULO DA CORRENTE DE CARREGAMENTO DO TRANSFORMADOR 1 -0,513673SENO DO ÂNGULO DA CORRENTE DE CARREGAMENTO DO TRANSFORMADOR 1

ÂNGULO DA CORRENTE DE CARREGAMENTO DO TRANSFORMADOR 1 (EM RADIANOS) -0,5394602ÂNGULO DA CORRENTE DE CARREGAMENTO DO TRANSFORMADOR 1 (EM GRAUS) -30,908795

RETORNANDO À EQUAÇÃO DO NÓ PARA ENCONTRAR A TENSÃO NO LADO PRIMÁRIO

PARTE REAL 1,03886152 PARTE IMAGINÁRIA 0,07343721 MÓDULO DA TENSÃO NO PRIMÁRIO 1,04145393 ÂNGULO EM RADIANOS 0,07057269 ÂNGULO EM GRAUS 4,04351751

CORRENTE CIRCULANTE DO TRAFO 1 PARA O TRAFO 2 0,0135336 PG 52 DO TRAFO 1 PARA O TRAFO 3 0,08347949 TOTAL 0,09701305 É VIÁVEL O PARALELISMO ? SIM ÂNGULO EM GRAUS -85,956482 PARTE REAL 0,00684079 PARTE IMAGINÁRIA -0,0967716



CORRENTE DE CARREGAMENTO NO SECUNDÁRIO DO TRANSFORMADOR 1 0,952381

ÂNGULO EM GRAUS -25,841933 ÂNGULO EM GRAUS -30,90879PARTE REAL 0,8102888 PARTE REAL 0,8171296PARTE IMAGINÁRIA -0,3924408 PARTE IMAGINÁRIA -0,489212

89





CONTRIBUÇÃO PARA A CORRENTE DE CARGA 0,793202ÂNGULO -25,84193

PARTE REAL 0,71388182 PARTE REAL 0,7138818PARTE IMAGINÁRIA -0,3457487 PARTE IMAGINÁRIA -0,345749

CORRENTE DE CARREGAMENTO ( PARA 2 TRANSFORMADORES EM PARALELO) CORRENTE CIRCULANTE 0,0135336

PARTE REAL 0,70704103 ÂNGULO -85,95648PARTE IMAGINÁRIA -0,2489772 PARTE REAL 0,0009543MÓDULO 0,74959767 PARTE IMAGINÁRIA -0,0135ÂNGULO EM RADIANOS -0,3385797 ÂNGULO EM GRAUS -19,399188 PARTE REAL 0,7129275 PARTE IMAGINÁRIA -0,332249








ÂNGULO -25,84193

90

PARTE REAL 0,8050151 PARTE IMAGINÁRIA -0,389887 CORRENTE CIRCULANTE 0,0834795 ÂNGULO -85,95648 PARTE REAL 0,0058865 PARTE IMAGINÁRIA -0,083272 PARTE REAL 0,7991286 PARTE IMAGINÁRIA -0,306615



RESPOSTA DOS CARREGAMENTOS STRAFO 1 (EM PU) 1 CONJUGADO DO ÂNGULO (EM GRAUS) 30,9087947 STRAFO 1 (EM MVA) 20 STRAFO 2 (EM PU) 0,82587354 CONJUGADO DO ÂNGULO (EM GRAUS) 24,9871473 STRAFO 2 (EM MVA) 16,5174707 TRANSFORMADOR SUPORTA STRAFO 3 (EM PU) 0,89872835 CONJUGADO DO ÂNGULO (EM GRAUS) 20,9911368 STRAFO 3 (EM MVA) 17,9745671 TRANSFORMADOR SUPORTA SCARGA (EM PU) 2,71738331 CONJUGADO DO ÂNGULO (EM GRAUS) 25,8419328 SCARGA (EM MVA) 54,3476661 RENDIMENTO DO CONJUNTO DE TRANSFORMADORES 0,99735059

91

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] ONESTI, Álvaro. Distribuição-consumo: Subdivisão da carga em

transformadores em paralelo. Mundo Elétrico, p. 26-30, 1973

[2] Energias do Brasil. ESCELSA. Dados dos transformadores da

Subestação Guarapari. Departamento de Engenharia. Divisão de Engenharia Básica

e Tecnologia de Equipamentos.

[3] Agência Nacional de Energia Elétrica - ANEEL. Resolução 505. Brasil, 26

de novembro de 2001.

[4] MARTIGNONI, Alfonso. Transformadores. 1ª Edição. Porto Alegre:

Editora Globo, 1973.

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Leonardo Pompeu Medeiros Martins Junior