Leonel Giacomini Delatorre - mat.ufmg.br · tes. Amo muito voces!ˆ Aos meu familiares, tios, primos, avos, padrinhos, que sempre torceram por mim, agradec¸o´ pelas orac¸oes e

Universidade Federal de Minas GeraisInstituto de Ciencias Exatas

Departamento de Matematica

Problemas de minimizacao com singularidades

Leonel Giacomini Delatorre

Belo Horizonte

2013

Universidade Federal de Minas GeraisInstituto de Ciencias Exatas

Departamento de Matematica


Leonel Giacomini Delatorre

Dissertacao apresentada ao Departamento de Matematica do Instituto de Ciencias Exa-tas da Universidade Federal de Minas Gerais, como requisito parcial para a obtencaode tıtulo de Mestre em Matematica.

Orientador: Prof. Dr. Ronaldo B. Assuncao

Belo Horizonte

2013

Delatorre, Leonel Giacomini


xii + 72 paginas. Dissertacao (Mestrado) — Universidade Federal

de Minas Gerais, Instituto de Ciencias Exatas, Departamento de Ma-

tematica

1. Operador laplaciano com singularidades.2. Problemas de minimizacao em esferas.3. Desigualdade de Caffarelli-Kohn-Nirenberg.

I. Universidade Federal de Minas Gerais. Instituto de Ciencias Exatas.

Departamento de Matematica.

Aos meus pais Maximino e Marivete e a minha irma Luana

Agradecimentos

Agradeco primeiramente a Deus por ter permitido concluir esta etapa.

Aos meus pais Maximino e Marivete por estarem sempre presentes, apesar da distancia, con-

fiando em minhas decisoes, sempre acreditando em minha capacidade, quando eu mesmo du-

vidava. Agradeco a voces pelo amor, carinho e compreensao. A minha irma Luana, que desde

pequenina, teve que aceitar, assim como meus pais, minha ausencia em momentos importan-

tes. Amo muito voces!

Aos meu familiares, tios, primos, avos, padrinhos, que sempre torceram por mim, agradeco

pelas oracoes e pelo apoio.

Aos meus grandes amigos Alexandre, Daniela, Katiele, Leticia, Marline e Thanise, que estive-

ram sempre ao meu lado. Agradeco por compreenderem minha ausencia e por serem amigos

verdadeiros. Em particular, a amiga e professora Alice Kozakevicius, por estar sempre pre-

sente, com dicas, comentarios e, claro, uma palavra amiga.

Ao orientador, professor Ronaldo Brasileiro Assuncao, agradeco pela oportunidade e pela

dedicacao e paciencia com que transmitiu seus conhecimentos.

Aos membros da comissao examinadora, professores Marcos Montenegro e Ezequiel Rodri-

gues Barbosa, agradeco por compartilharem sua experiencia, bem como pelas sugestoes e

contribuicoes, sempre pertinentes.

Aos professores e funcionarios da UFMG agradeco pela dedicacao, apoio e prontidao. Em par-

ticular, agradeco ao Professor Paulo Cesar Carriao, pelas dicas e sugestoes, e a Professora Ana

Cristina Vieira, pelo voto de confianca.

Aos meus amigos e colegas de mestrado Luciana, Natalia, Sılvia, Willian, Amanda, Guilherme,

Charles, Luiza, Flavia, entre outros, agradeco pela companhia, pelas risadas, pela forca. Voces

foram fundamentais nesta etapa! Em particular, agradeco a Daiane, amiga e colega de graduacao

e de mestrado, por todo o apoio nos momentos de dificuldades que tivemos, e nao foram pou-

cos.

Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientıfico e Tecnologico - CNPq, pelo auxılio fi-

nanceiro.

Muito obrigado!

Resumo

Esta dissertacao trata de resultados de existencia de solucoes de energia mınima para as se-

guintes classes de equacoes elıpticas semilineares degeneradas definidas em RN :

−div(|x|−2a∇u

)= |x|−bp |u|p−2 u, x ∈ RN , (P1)

e

−div(|x|−2a∇u

)+ λ |x|−2(1+a) u = |x|−bp |u|p−2 u, x ∈ RN ; λ ∈ R. (P2)

Consideramos N > 3, os parametros 0 6 a 6 (N− 2)/2, a 6 b 6 a+ 1, λ ∈ R e envolvendo

o expoente crıtico de Hardy-Sobolev p = p(a, b) := 2NN−2+2(b−a) . Procuramos solucoes para os

problemas (P1) e (P2) no espaco de Sobolev D1,2a (RN) e demonstramos versoes do lema de

concentracao e compacidade para obtermos resultados de existencia de solucoes.

Palavras-chave Operador laplaciano com singularidades; problemas de minimizacao em esfe-

ras; desigualdade de Caffarelli, Kohn e Nirenberg.

Abstract

This work is concerned with existence results of ground state solutions for the following class

of degenerate semilinear elliptic equations defined on RN :

−div(|x|−2a∇u

)= |x|−bp |u|p−2 u, x ∈ RN , (P1)

e

−div(|x|−2a∇u

)+ λ |x|−2(1+a) u = |x|−bp |u|p−2 u, x ∈ RN ; λ ∈ R. (P2)

We consider the case N > 3, the parameters 0 6 a 6 (N − 2)/2, a 6 b 6 a + 1, λ ∈ R

and involving the critical exponent of Hardy-Sobolev p = p(a, b) := 2NN−2+2(b−a) . We look for

solutions of the problems (P1) and (P2) in the Sobolev space D1,2a (RN) and we prove versions

of a Concentration-Compactness Lemma to obtain existence results.

Key-words Laplacian operator with singularities; minimization problems on spheres; Caffarelli-

Kohn-Nirenberg inequality.

ix

x

Notacoes

:= igualdade por definicao

R+ conjunto dos numeros reais positivos

x = (x1, . . . , xN) elemento de RN

|x| =(

∑Ni=1 x2

i)1/2 norma do elemento x ∈ RN

Bρ(x) bola aberta de raio ρ e centro em x ∈ RN

ωN volume da bola Bρ(x) em RN

NωN area da superfıcie esferica ∂Bρ(x) em RN

p′ :=p

p− 1expoente conjugado de p

p(a, b) := 2NN−2+2(b−a) expoente crıtico de Hardy-Sobolev

∇u(x) :=(∂u(x)

∂x1, . . . ,

∂u(x)∂xN

)gradiente da funcao u

div(u1(x), . . . , uN(x))

:=∂u1(x)

∂x1+ · · ·+ ∂uN(x)

∂xNdivergente do campo (u1(x), . . . , uN(x))

∆u(x) := div[∇u(x)

]=

N

∑i=1

∂2u(x)∂x2

ioperador laplaciano

X∗ espaco dual do espaco XLp(RN) espaco de Lebesgue

|u|p :=( ∫

RN|u(x)|p dx

)1/pnorma no espaco de Lebesgue Lp(RN)

D(RN) espaco das funcoes teste

D1,2(RN)

:=

u ∈ L2∗(RN); ∂u∂xi∈ L2(RN), i = 1, ..., N

espaco de Sobolev

D1,2a (RN) completamento do espaco D(RN) com

relacao ao produto interno (·|·)(u|v) :=

∫RN |x|−2a∇u · ∇v dx produto interno no espaco D1,2

a (RN)

‖u‖ :=(∫

RN |x|−2a |∇u|2 dx)1/2

norma no espaco de Sobolev D1,2a (RN)

H1(Ω)

:=

u ∈ L2(Ω); ∂u∂xi∈ L2(Ω), i = 1, ..., N

espaco de Hilbert

H10(Ω) espaco de Hilbert com traco nulo, definido

como o fecho de C∞0 (Ω) em H1(Ω)

Dr

:=

u ∈ D1,2(RN) : u e radial espaco das funcoes radiais

S(a, b) infu∈D1,2a (RN)

||x|−bu|p=1

∣∣∣|x|−a∇u∣∣∣22

S(a, b, λ) infu∈D1,2a (RN)

||x|−bu|p=1

∣∣∣|x|−a∇u∣∣∣22+ λ

∣∣∣|x|−(1+a) u∣∣∣22

xi

un → u convergencia forte (em norma)

un u convergencia fraca

un → u q.t.p. em X convergencia em quase todo ponto de XC0(Ω) espaco das funcoes reais contınuas

Ck(Ω) espaco das funcoes reais k-vezes continua-

mente diferenciaveis

C∞0 (RN) espaco das funcoes infinitamente diferen-

ciaveis e de suporte compacto em RN

Γ(z) :=∫ ∞

0tz−1e−t dt funcao gama

B(y, z) = Γ(y)Γ(z)Γ(y+z) funcao beta

xii

Sumario

Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

Notacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

1 Metodos variacionais em equacoes elıpticas 1

1.1 Solucoes fracas e pontos crıticos de funcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Tecnicas de minimizacao para problemas com compacidade . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Tecnicas de minimizacao para problemas sem compacidade . . . . . . . . . . . . 6

1.4 A identidade de Pohozaev e o resultado de Brezis e Nirenberg . . . . . . . . . . . 11

1.5 Resultados principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Sequencias minimizantes para S(a, b) 19

2.1 Invariancia de sequencias minimizantes por dilatacoes . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Lemas tecnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Lema de concentracao e compacidade para S(a, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4 Demonstracao do Teorema 1.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Sequencias minimizantes para S(a, b, λ) 45

3.1 Invariancia de sequencias minimizantes por dilatacoes . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2 Lema de concentracao e compacidade para S(a, b, λ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 47



A Apendice 63

A.1 Espacos de Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

A.2 Funcoes gama e beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

A.3 Resultados auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

A.4 Desigualdade de Caffarelli, Kohn e Nirenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

A.5 Definicoes e resultados de Analise Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Bibliografia 69

xiii

Indice Remissivo 70

xiv

-1- Metodos variacionais em equacoes elıpticas

1.1 Solucoes fracas e pontos crıticos de funcionais

O objetivo principal desta dissertacao e demonstrar resultados de existencia de solucoes para

uma classe de equacoes diferenciais elıpticas semilineares definidas em todo o espaco, en-

volvendo singularidadestanto no operador quanto na nao linearidade e expoentes crıticos de

Hardy-Sobolev. Nas secoes iniciais deste capıtulo, baseadas no livro de Badiale e Serra [3],

apresentamos alguns resultados basicos sobre minimizacao de funcionais visando contextua-

lizar e descrever as maiores dificuldades para demonstrar os teoremas principais enunciados

na ultima secao, baseados no artigo de Wang e Willem [19].

Comecamos apresentando uma breve introducao ao estudo de problemas elıpticos semi-

lineares atraves da aplicacao de metodos variacionais. Equacoes elıpticas semilineares sao

equacoes em que a nao linearidade envolve a funcao incognita mas nao suas derivadas. Essa

classe de equacoes e a primeira generalizacao nao linear de equacoes elıpticas lineares e surge

em uma grande variedade de contextos em geometria, fısica e engenharia. Alguns exemplos

de equacoes semilineares incluem −∆u = f (x, u), que representam estados estacionarios da

equacao nao linear do calor ut − ∆u = f (x, u) ou da equacao nao linear da onda utt − ∆u =

f (x, u). Nesses casos, u denota a funcao incognita, f representa a nao linearidade dada e ∆u e

o operador laplaciano.

Os metodos variacionais constituem um ramo do Calculo das Variacoes que visam o desen-

volvimento de resultados e tecnicas de minimizacao de funcionais e tem se mostrado bastante

apropriados para estudar equacoes elıpticas semilineares em geral.

A abordagem variacional para o estudo de equacoes elıpticas semilineares e baseada na

nocao de solucao fraca. No lugar de apresentar uma discussao geral desse conceito, nesta

dissertacao fazemos uma descricao dessa nocao apenas para algumas classes de problemas

semilineares. Comecamos com um problema que tambem servira de exemplo para diversos

casos, lembrando que as definicoes dos espacos de funcoes envolvidos estao no Apendice.

Seja Ω ⊂ RN um conjunto aberto e limitado, em que N > 3, seja q : Ω → R uma funcao tal

que q ∈ L∞(Ω) e seja f : R→ R uma funcao contınua verificando a condicao de crescimento

| f (t)| 6 a + b|t|p−1, ∀ t ∈ R (1.1)

em que a, b ∈ R+ sao constantes, p ∈ (2, 2∗] e um parametro e 2∗ = 2N/(N − 2) denota o

expoente crıtico de Sobolev. Suponhamos que devemos determinar uma funcao u : Ω → R tal

que −∆u + q(x)u = f (u), x ∈ Ω,

u(x) = 0, x ∈ ∂Ω.(1.2)

1

2 1. Metodos variacionais em equacoes elıpticas

Esse problema consiste de uma equacao elıptica semilinear e uma condicao de fronteira que

especifica os valores da funcao incognita na fronteira do domınio e e chamado de problema

homogeneo de Dirichlet.

Uma solucao classicado problema (1.2) e uma funcao u ∈ C2(Ω) que verifica as equacoes

em (1.2) para todo x ∈ Ω. Outra nocao de solucao pode ser obtida da seguinte forma: multipli-

camos a equacao diferencial em (1.2) por uma funcao v ∈ C10(Ω) e integramos sobre o domınio

Ω. Usando a formula de Green (A.9) e o fato de que a integral na fronteira se anula, pois v tem

suporte compacto, resulta que se u e uma solucao classica do problema (1.2), entao∫Ω∇u · ∇v dx +

∫Ω

q(x)uv dx =∫

Ωf (u)v dx, ∀ v ∈ C1

0(Ω). (1.3)

Observamos que a formula (1.3) faz sentido mesmo quando u nao e de classe C2(Ω); e

suficiente que u ∈ C1(Ω). Observamos tambem que as hipoteses sobre as funcoes u e v podem

ser enfraquecidas: para que as integrais sejam finitas, e suficiente que u, v ∈ L2(Ω) e que

∂u/∂xi, ∂v/∂xi ∈ L2(Ω) para 1 6 i 6 N. A partir disso, tambem nao e necessario que a funcao

q seja contınua; basta que q ∈ L∞(Ω). Isso motiva a seguinte definicao.

Definicao 1.1. Sejam q ∈ L∞(Ω) e f ∈ C(Ω). Uma solucao fraca do problema (1.2) e uma

funcao u ∈ H10(Ω) tal que∫

Ω∇u · ∇v dx +

∫Ω

q(x)uv dx =∫

Ωf (u)v dx, ∀ v ∈ H1

0(Ω). (1.4)

Observamos que se u e uma solucao classica do problema (1.2), entao u ∈ C2(Ω); logo,

u ∈ H1(Ω). Como u e contınua em Ω e u(x) = 0 para x ∈ ∂Ω, entao u ∈ H10(Ω). Alem

disso, como vale a equacao (1.3) e ja que o espaco C10(Ω) e denso em H1

0(Ω), fixada uma funcao

v ∈ H10(Ω) podemos escolher uma sequencia (vn)n∈N ⊂ C1

0(Ω) tal que vn → v fortemente em

H10(Ω). Fazendo n → ∞, obtemos que vale a igualdade (1.3) para toda v ∈ H1

0(Ω), que e a

equacao (1.4). Portanto, uma solucao classica e solucao fraca.

Suponhamos agora que temos uma solucao fraca u do problema (1.2) e que u ∈ C2(Ω). Se

q ∈ C(Ω), entao u e uma solucao classica. De fato, u ∈ H10(Ω) ∩ C2(Ω) implica que u(x) = 0

se x ∈ ∂Ω no sentido classico. Usando uma funcao v ∈ C10(Ω) na formula (1.4), segue-se que

vale a igualdade (1.3). Usando novamente a formula de Green (A.9) para reagrupar os termos,

obtemos ∫Ω(−∆u + q(x)u− f (u))v dx = 0, ∀ v ∈ C1

0(Ω).

Como o espaco C10(Ω) e denso em L2(Ω), vemos que−∆u + q(x)u = f (u) q.t.p. em Ω e u(x) =

0 em ∂Ω. E como por hipotese u ∈ C2(Ω), essas relacoes valem em todos os pontos do domınio

e u e uma solucao classica.

Uma das vantagens da abordagem de solucao fraca para o problema (1.2) e que a condicao

homogenea de fronteira ja esta englobada na escolha do espaco de funcoes pois, se u ∈ H10(Ω),

1.2. Tecnicas de minimizacao para problemas com compacidade 3

entao u(x) = 0 para todo x ∈ ∂Ω. Outra vantagem, mais fundamental ainda, e que a demons-

tracao da existencia de solucao e completamente separada da questao da regularidade. Assim,

podemos nos concentrar inicialmente em demonstrar um resultado de existencia, que e o as-

sunto principal desta dissertacao, e apenas posteriormente considerar a questao da classe de

diferenciabilidade da solucao. Essa segunda parte e conhecida como questao da regularidade e,

embora extremamente importante no estudo de equacoes elıpticas, nao sera considerada neste

trabalho; para mais detalhes, citamos os livros de Brezis [6, Caps. 8 e 9] e de Evans [11, Cap. 6].

Agora mostramos que as solucoes fracasestao relacionadas com pontos crıticos de funcio-

nais associados ao problema (1.2). Seja F : R → R uma funcao definida por F(t) =∫ t

0 f (s) ds.

Definimos o funcional J : H10(Ω)→ R por

J(u) :=12

∫Ω|∇u|2 dx +

12

∫Ω

q(x)u2 dx−∫

ΩF(u) dx,

usualmente denominado funcional de energia associado ao problema (1.2). Usando os resulta-

dos de calculo em espacos de Banach e possıvel mostrar que o funcional J e diferenciavel em

H10(Ω) e que a aplicacao J′ : H1

0(Ω)→ (H10(Ω))∗ e tal que

J′(u)v =∫

Ω∇u · ∇v dx +

∫Ω

q(x)uv dx−∫

Ωf (u)v dx, ∀ v ∈ H1

0(Ω). (1.5)

A partir dessa equacao, vemos a conexao entre solucoes fracas e pontos crıticos: a funcao u e

solucao fraca para o problema (1.2) se, e somente se, u e ponto crıtico do funcional J. Outra ma-

neira de expressar esse fato e a seguinte: a equacao de Euler-Lagrange associada ao funcional

J e a equacao diferencial do problema (1.2).

Encerramos esses comentarios mencionando que a condicao de crescimento (1.1) e essencial

para que o funcional de energia J esteja bem definido em H10(Ω). De fato, se f (t) tem um

crescimento superior a |t|2∗−1, entao F(t) tem crescimento superior a |t|2∗ ; e como H10(Ω) nao

esta imerso em Lp(Ω) quando p > 2∗, a integral de F(u) que aparece em uma das parcelas do

funcional J pode divergir para algumas funcoes u ∈ H10(Ω).

1.2 Tecnicas de minimizacao para problemas com compacidade

Nesta secao, apresentamos os fundamentos de tecnicas de minimizacao, ja que e fato bem co-

nhecido que a forma mais simples de se obter um ponto crıtico de um funcional e procurar

um extremo global, que em muitos casos e um mınimo global. Entretanto, para funcionais

indefinidos, isto e, funcionais nao limitados inferiormente, embora um ponto de mınimo glo-

bal possa nao existir, as tecnicas de minimizacao ainda podem ser convenientemente usadas

atraves da restricao do funcional a um conjunto no qual o funcional e limitado inferiormente.

Um exemplo tıpico desse tipo de conjunto sao as esferas. O aspecto que unifica os problemas

apresentados nesta secao e o fato de que todos apresentam propriedades de compacidade a

priori, o que simplifica os argumentos de convergencia.


Um conceito util na determinacao de mınimos globais de funcionais e o de convexidade.

Um funcional J : H10(Ω)→ R e convexo se para todo u, v ∈ H1

0(Ω) e para todo t ∈ [0, 1], vale a

desigualdade J(tu + (1− t)v) 6 tJ(u) + (1− t)J(v). Dizemos que o funcional J e estritamente

convexo se a desigualdade anterior e estrita.

Um resultado classico em Analise garante que se J : H10(Ω)→ R e um funcional contınuo e

convexo, entao J e fracamente semicontınuo inferiormente. Em particular, para toda sequencia

(uk)k∈N ⊂ H10(Ω) e convergente fracamente para u ∈ H1

0(Ω), vale a desigualdade J(u) 6

lim infk→∞ J(uk).

Um funcional contınuo e convexo nao possui necessariamente um mınimo, mesmo que seja

limitado inferiormente. Um exemplo classico e a funcao g : R→ R definida por g(x) := exp(x)que e contınua, convexa, limitada inferiormente mas que nao atinge o ınfimo. Uma hipotese

adicional normalmente usada para garantir a existencia de mınimo global e a de coercividade.

Um funcional J : H10(Ω) → R e coercivo se para toda sequencia (uk)k∈N ⊂ H1

0(Ω), a condicao

‖uk‖ → ∞ implica que J(uk)→ ∞.

Com essas hipoteses, consideramos um funcional I : X → R definido em um espaco de

Banach reflexivo X e definimos m = infu∈X I(u). Seja (uk)k∈N ⊂ X uma sequencia minimi-

zante, isto e, uma sequencia tal que I(uk) → m quando k → ∞. A coercividade do funcional

I garante que a sequencia (uk)k∈N ⊂ X e limitada. Como X e um espaco reflexivo, o Teo-

rema A.6 de Banach-Alaoglu garante a existencia de uma subsequencia, ainda denotada da

mesma forma, tal que uk u fracamente em X. Pela semicontinuidade inferior fraca de I, ob-

temos I(u) 6 lim infk→∞ I(uk) = m. Portanto, I(u) = m e u e um mınimo global do funcional

I. Isso demonstra o seguinte resultado.

Proposicao 1.2. Seja X um espaco de Banach reflexivo e seja I : X → R um funcional contınuo,convexo e coercivo. Entao I possui um ponto de mınimo global.

Uma aplicacao desse resultado para demonstrar a existencia de solucao de um problema

elıptico semilinear e apresentada a seguir.

Proposicao 1.3. Seja Ω ⊂ RN com N > 3 um domınio aberto e limitado. Suponhamos que q ∈L∞(Ω) verifica a condicao q(x) > 0 q.t.p. em Ω e seja f : R → R uma funcao contınua tal que valea desigualdade (1.1). Se f (t)t 6 0 e ( f (t) − f (s))(t − s) 6 0 para todo t, s ∈ R, entao para todoh ∈ L2(Ω) o problema −∆u + q(x)u = f (u) + h(x), x ∈ Ω,

u(x) = 0, x ∈ ∂Ω(1.6)

possui uma unica solucao.

A demonstracao consiste em verificar que o funcional J : H10(Ω)→ R definido por

J(u) :=12

∫Ω|∇u|2 dx +

12

∫Ω

q(x)u2 dx−∫

ΩF(u) dx−

∫Ω

h(x)u dx

1.2. Tecnicas de minimizacao para problemas com compacidade 5

e contınuo, convexo e coercivo. Como H10(Ω) e um espaco de Banach reflexivo, podemos apli-

car a Proposicao 1.2 ao funcional J. Para mais detalhes, consulte o livro de Badiale e Serra [3,

Theorem 1.6.6].

Como exemplos de funcoes f verificando as hipoteses da Proposicao 1.3, temos f (t) =

−|t|p−2t com p ∈ (1, 2∗] ou f (t) = − arctan(t).A hipotese f (t)t 6 0 previne a existencia de solucoes nao triviais no caso em que h(x) = 0.

De fato, nesse caso qualquer solucao u da equacao diferencial e tal que ‖u‖2 =∫

Ω f (u)u dx 6 0,

ou seja, u(x) := 0. A hipotese ( f (t)− f (s))(t− s) e usada para se mostrar a convexidade do

funcional J. Observamos que a hipotese de convexidade na Proposicao 1.2 e usada apenas

para deduzir a semicontinuidade inferior fraca a partir da continuidade do funcional J. Um

resultado mais geral e a seguinte versao do Teorema de Weierstrass, cuja demonstracao segue

as mesmas linhas da argumentacao apresentada anteriormente.

Proposicao 1.4. Seja X um espaco de Banach reflexivo e seja I : X → R um funcional fracamentesemicontınuo inferiormente e coercivo. Entao I possui um ponto de mınimo global.

Esse resultado e um dos pontos de partida do metodo direto do calculo das variacoes. Ob-

servamos que retirando a hipotese sobre a monotonicidade de f perdemos a convexidade do

funcional de energia; porem ainda e possıvel mostrar a semicontinuidade inferior fraca do fun-

cional e aplicar a Proposicao 1.4. Nesse caso, obtemos um resultado de existencia mas nao de

unicidade de solucoes. Para mais detalhes, consulte [3, Theorem 2.1.11].

Consideramos agora um exemplo de problema cujo funcional de energia associado nao e

limitado inferiormente, o que impossibilita o uso da Proposicao 1.2 ou da versao do Teorema

de Weierstrass. Seja p ∈ R tal que 2 < p < 2∗ e procuramos uma funcao u solucao do problema−∆u + q(x)u = |u|p−2u, x ∈ Ω,

u(x) = 0, x ∈ ∂Ω.(1.7)

Claramente o problema (1.7) admite a solucao trivial u(x) := 0, o que causa uma dificuldade

extra. Uma forma de demonstrar a existencia de solucoes nao triviais e o uso de minimizacao

em esferas. Um resultado relacionado com esse problema e o seguinte.

Proposicao 1.5. Seja Ω ⊂ RN um domınio aberto e limitado, seja p ∈ (2, 2∗) e seja q ∈ L∞(Ω) tal queq(x) > 0 q.t.p. em Ω. Entao o problema (1.7) possui pelo menos uma solucao nao trivial e nao negativa.

Como e usual nesses tipos de problemas, munimos o espaco de Hilbert H10(Ω) com o pro-

duto escalar

(u|v) :=∫

Ω∇u · ∇v dx +

∫Ω

q(x)uv dx (1.8)

e denotamos por ‖u‖ = (u|u)1/2 a norma induzida por esse produto interno, que e equivalente

a norma padrao de H10(Ω) em vista da hipotese sobre a funcao q.


O funcional de energia associado a esse problema, cuja equacao de Euler-Lagrange associ-

ada e a equacao diferencial do problema (1.7), e J : H10(Ω)→ R, definido por

J(u) :=12

∫Ω|∇u|2 dx +

12

∫Ω

q(x)u2 dx− 1p

∫Ω|u|p dx

=12‖u‖2 − 1

p|u|pp.

Esse funcional e diferenciavel e observamos que J nao e limitado inferiormente, pois fixada

uma funcao u 6= 0, temos que J(tu) = (t2/2)‖u‖2 − (tp/p)|u|pp → −∞ quando t → ∞, ja que

p > 2.

Uma forma de tentar aplicar as ideias anteriores para resolver esse problema e usar a ho-

mogeneidade das duas parcelas que definem o funcional J. Uma delas tem grau 2 e a outra tem

grau p; essa diferenca dos graus de homogeneidade desempenha um papel central na tecnica

conhecida como minimizacao em esferas.

O primeiro passo consiste em eliminar a nao limitacao do funcional J estabelecendo um

vınculo adequado no qual o funcional e limitado. Uma escolha conveniente e uma esfera no

espaco Lp(Ω). Fixado β > 0, definimos o conjunto

Eβ :=

u ∈ H10(Ω) :

∫Ω|u|p dx = β

.

Dessa forma, o funcional J restrito a esfera Eβ tem a forma J(u) = (1/2)‖u‖2 − (β/p), de

modo que fica limitado inferiormente. Para verificar que o funcional J assim restrito tem ponto

crıtico, devemos garantir que existe uma funcao u ∈ Eβ tal que mβ := infv∈Eβ‖v‖2 = ‖u‖2. Em

seguida, escolhendo um multiplo conveniente dessa funcao u, obtemos uma solucao fraca do

problema (1.7). Os detalhes da demonstracao encontram-se em [3, Subsecao 2.3.1].

A hipotese principal usada na argumentacao precedente e sobre o crescimento subcrıtico

da nao linearidade. Para p < 2∗, a imersao H10(Ω) → Lp(Ω) e compacta e isso permite ga-

rantir que a sequencia minimizante para o funcional possui uma subsequencia que converge

em Lp(Ω). Isso finalmente permite concluir que existe uma funcao que minimiza o funcional

J restrito a esfera Eβ. No caso de problemas em que a nao linearidade tem crescimento crıtico,

isto e, quando p = 2∗, a compacidade da imersao falha e o argumento nao se aplica. Mais

ainda, existem problemas que nao possuem solucao nao trivial. Esse caso e tratado com mais

detalhes na secao seguinte e e um dos pontos centrais da dissertacao.

1.3 Tecnicas de minimizacao para problemas sem compacidade

Nesta secao apresentamos alguns resultados de existencia de solucoes para problemas elıpticos

semilineares nos quais as equacoes sao definidas em todo o espaco e tambem nos casos em que

o crescimento da nao linearidade atinge o valor crıtico. Esses problemas sao denominados de

1.3. Tecnicas de minimizacao para problemas sem compacidade 7

problemas sem compacidade. A dificuldade principal para resolver esses problemas se apre-

senta atraves da possibilidade de existirem sequencias minimizantes para o funcional de ener-

gia que podem ser limitadas mas que nao possuem subsequencias convergentes nos espacos

de funcoes naturalmente associados aos problemas. Esses problemas sao bem mais difıceis de

resolver do que os problemas da secao anterior.

Para exemplificar um caso tıpico de problema sem compacidade, consideramos a nao linea-

ridade homogenea f (t) = |t|p−2t com p ∈ (2, 2∗), isto e, com crescimento ainda subcrıtico mas

com domınio Ω = RN ; em outro exemplo tambem tratamos da nao linearidade homogenea

crıtica f (t) = |t|2∗−2t atraves do metodo de minimizacao em esferas.

Consideramos inicialmente o problema−∆u + q(x)u = |u|p−2u, x ∈ RN ,

u ∈ H1(RN)(1.9)

em que p ∈ (2, 2∗) e N > 3. A condicao u ∈ H1(RN) e uma forma tıpica de substituir as

condicao de fronteira homogenea dos problemas anteriores. De fato, podemos interpreta-la

como uma forma de expressar uma condicao do tipo u(x) → 0 quando |x| → +∞, que e

naturalmente associada a equacao. Vale ressaltar que u ∈ H1(R1) nao implica que u se anula

no infinito. Frequentemente a condicao u ∈ H1(R1) juntamente com o fato de que u resolve

a equacao diferencial implicam que u(x) → 0 no infinito, mas isso deve ser demonstrado em

cada caso.

O fato de que o domınio do problema e todo o espaco RN sugere que devemos ter ausencia

de compacidade. Sem entrar nos detalhes agora, que serao tratados nos capıtulos seguintes,

suponhamos que o problema (1.9) tem uma solucao u 6= 0 que minimiza algum funcional.

Como o problema e invariante por translacoes, para todo y ∈ RN a sequencia (uk)k∈N ⊂H1(RN) definida por uk(x) = u(x + ky) e uma sequencia minimizante limitada que nao possui

subsequencia convergente em Lp(RN) para nenhum valor de p. Assim, o problema possui uma

sequencia minimizante limitada que nao converge. A razao para isso e a invariancia de RN por

translacoes, o que torna a imersao H1(RN) → Lp(RN) nao compacta para qualquer p.

Hipoteses usuais sobre a funcao contınua q : RN → R que permitem resolver o problema

sao infx∈RN q(x) > 0 e lim|x|→∞ q(x) = +∞. Por outro lado, com essas hipoteses, se u ∈H1(RN) entao uma integral da forma

∫RN q(x)u2 dx pode divergir. Isso significa que nao pode-

mos trabalhar diretamente com o espaco de funcoes H1(RN). Assim, consideramos o seguinte

subespaco X ⊂ H1(RN), definido por

X :=

u ∈ H1(RN) :∫

RNq(x)u2 dx < +∞

.

O subespaco X e um espaco de Hilbert quando munido do produto escalar definido pela

formula (1.8) e com a correspondente norma induzida pelo produto escalar. Uma solucao fraca


do problema (1.9) e uma funcao u ∈ X tal que∫RN∇u · ∇v dx +

∫RN

q(x)uv dx =∫

RN|u|p−2uv dx, ∀ v ∈ X. (1.10)

Usando as hipoteses sobre a funcao q podemos verificar que X esta imerso continuamente

em H1(RN) e, portanto, tambem em Lp(RN) para todo p ∈ [2, 2∗]. Mais ainda, e possıvel verifi-

car que a imersao X → Lp(RN) e compacta para todo p ∈ [2, 2∗). Dessa forma, os argumentos

de compacidade descritos no final da secao 1.2 podem ser aplicados e obtemos um resultado

de existencia de solucao fraca e nao negativa u ∈ X para o problema (1.9). Essa solucao verifica

a condicao (1.10). A etapa final da demonstracao do resultado de existencia consiste em veri-

ficar que essa condicao continua valida para toda funcao teste v ∈ H1(RN). Dessa maneira,

obtemos o seguinte resultado de existencia, cuja demonstracao encontra-se no livro de Badiale

e Serra [3, Sec. 3.2].

Proposicao 1.6. Seja q ∈ C0(RN) uma funcao tal que infx∈RN q(x) > 0 e lim|x|→∞ q(x) = +∞ eseja p ∈ (2, 2∗). Entao o problema (1.9) possui uma solucao fraca u > 0.

Observamos que a dificuldade principal desse tipo de problema, o ponto em que a ausencia

de compacidade se apresenta, e mostrar que uma sequencia minimizante converge em um sen-

tido suficientemente forte para que seja possıvel fazer a passagem ao limite no termo nao linear.

No caso exemplificado, a compacidade pode ser restaurada pela escolha adequada do espaco

X. Em outras situacoes, por exemplo usando hipoteses distintas sobre a funcao q, isso nao pode

ser feito e e o que torna os problemas mais difıceis. A estrategia entao e analisar cuidadosa-

mente as sequencias minimizantes, de forma a tentar classificar os possıveis comportamentos

dessas sequencias. Em seguida, tentamos eliminar todas essas possibilidades com a excessao de

uma delas, exatamente aquela que permite recuperar a compacidade e concluir a demonstracao

de existencia de solucoes fracas para os problemas.

Esse tipo de argumentacao e um exemplo de uma teoria bastante refinada que visa a classifi-

cacao de todos os possıveis comportamentos de sequencias de solucoes aproximadas, tais como

as sequencias minimizantes. A teoria foi desenvolvida por Lions [14, 15] e um dos principais

resultados e o lema de concentracao e compacidade, ferramenta crucial usada nesta dissertacao.

A seguir apresentamos um exemplo da aplicacao desse princıpio em um problema envol-

vendo uma nao linearidade com crescimento crıtico. Consideramos o problema−∆u = |u|2∗−2u, x ∈ RN ,

u ∈ D1,2(RN),(1.11)

em que N > 3. Formalmente, solucoes do problema (1.11) sao pontos crıticos do funcional

J : D1,2(RN)→ R definido por

J(u) :=12

∫RN|∇u|2 dx− 1

2∗

∫RN|u|2∗ dx. (1.12)

1.3. Tecnicas de minimizacao para problemas sem compacidade 9

A escolha do espaco D1,2(RN) se deve ao fato de que nao e conveniente considerar o funcional

J como definido em H1(RN), ja que nesse espaco a primeira parcela da integral de J nao e o

quadrado de uma norma, o que impoe serias dificuldades.

Sabemos que a imersao D1,2(RN) → L2∗(RN) e contınua mas nao e compacta, nem mesmo

em um sentido local, como veremos a seguir. Claramente, como estamos considerando todo o

espaco RN , existe a ausencia de compacidade devido a invariancia por translacoes. Entretanto,

no caso do problema (1.11) existe uma dificuldade ainda mais seria, que surge da invariancia

do problema por dilatacoes, como descrito a seguir. Seja v ∈ C∞0 (RN) uma funcao fixada; entao

v ∈ D1,2(RN). Para t ∈ R+, definimos a dilatacao

vt(x) := t(N−2)/2v(tx).

Entao a funcao vt verifica as seguintes propriedades:∫RN|∇vt|2 dx =

∫RN|∇v|2 dx, ∀ t ∈ R+

e ∫RN|vt|2

∗dx =

∫RN|v|2∗ dx, ∀ t ∈ R+.

Da primeira propriedade concluımos que vt 0 fracamente em D1,2(RN) se t → 0 ou se t →+∞; combinando essas convergencias fracas para a funcao nula com a segunda propriedade,

concluımos que a sequencia (vt)t∈N ⊂ L2∗(RN) nao possui subsequencia convergente. Isso

acontece exatamente pela presenca do expoente crıtico de Sobolev 2∗ = 2N/(N − 2).

Em relacao a essa discussao informal, reconhecemos agora que a ausencia de compacidade

nao se deve simplesmente em decorrencia da invariancia das sequencias minimizantes por

translacoes no espaco RN , mas tambem devido a invariancia por dilatacoes. De fato, supondo

que v(0) 6= 0, vemos que se t → 0 as funcoes vt ∈ C∞0 (RN) tendem a zero uniformemente,

enquanto que a integral∫

RN |vt|2∗

dx mantem-se constante. Dizemos que nesse caso ha perda de

compacidade por anulamento. Por outro lado, vemos que se t → +∞ as funcoes vt ∈ C∞0 (RN)

tendem a zero fora da origem e vt(0) → +∞, enquanto que a integral∫

RN |vt|2∗

dx novamente

mantem-se constante. Dizemos que nesse caso ha perda de compacidade por concentracao.

Em outros termos, podemos dizer que se t → 0 a “massa” devida a integral envolvendo

|vt|2∗

espalha-se por todo o espaco e se t → ∞ a “massa” concentra-se na origem. Consequen-

temente, em ambos os casos ha perda de massa na passagem ao limite e nao ha convergencia

forte no espaco L2∗(RN). Esses fenomenos acontecem em todos os problemas envolvendo cres-

cimento crıtico, ate mesmo em domınios limitados.

A principal dificuldade nas demonstracoes de resultados de existencia de solucoes para

o problema (1.11) e a analise cuidadosa das sequencias minimizantes para compreender as

consequencias do anulamento e da concentracao. Uma das primeiras etapas da solucao desse

problema e trabalhar no subespaco das funcoes radiais, o que impede o fenomeno de perda


de compacidade pela invariancia do problema por translacoes. Dessa forma, trabalhamos no

subespaco

Dr :=

u ∈ D1,2(RN) : u e radial

.

Proposicao 1.7. O problema (1.11) possui uma solucao nao negativa e nao trivial u ∈ Dr.

Apresentamos apenas as linhas gerais da demonstracao. Para mais detalhes, referimos aos

capıtulos seguintes da monografia, onde generalizacoes do problema (1.11) sao estudadas mais

cuidadosamente.

Para garantir a existencia de solucao para o problema (1.11) procuramos minimizar o fun-

cional J na esfera unitaria de L2∗(RN). Para isso, devemos garantir que o ınfimo

S := infu∈D1,2(RN)|u|2∗=1

‖u‖2 (1.13)

e atingido por uma funcao u ∈ D1,2(RN). O valor S e denominado melhor constante de Sobolev

e e a maior constante positiva tal que

S( ∫

RN|u|2∗ dx

)2/2∗

6∫

RN|∇u|2 dx, ∀ u ∈ D1,2(RN).

Devido a desigualdade de Sobolev, que e um caso particular da desigualdade (A.7) de Caffa-

relli, Kohn e Nirenberg, sabemos que S > 0.

Para analisar as sequencias minimizantes, a ideia inicial e verificar que existe uma sequencia

minimizante que seja radial, isto e, uma sequencia (vk)k∈N ⊂ Dr tal que vk > 0, |vk|2∗ = 1 e

‖vk‖ → S. Em seguida usamos a invariancia do problema por dilatacoes e obtemos uma nova

sequencia minimizante (uk)k∈N ⊂ Dr para S formada por funcoes nao negativas e uma funcao

u ∈ Dr tambem nao negativa e tais que∫|x|<1 |uk|2

∗dx = 1/2,

∫|x|>1 |uk|2

∗dx = 1/2, e com as

convergencias fracas uk u em D1,2(RN) e em L2∗(RN) e com a convergencia uk(x) → u(x)q.t.p. em RN .

A proxima etapa consiste em definir quantidades que registram as possıveis perdas de

massa tanto na origem quanto no infinito. Esta e a parte principal da argumentacao e esta

relacionada com o lema de concentracao e compacidade. De fato, constitui o esforco para se

obter informacao sobre o anulamento ou a concentracao da sequencia minimizante (uk)k∈N ⊂D1,2(RN) obtida na etapa anterior. Para isso definimos os valores

ν0 := limR→0+

(lim sup

k∈N

∫|x|<R

|uk|2∗

dx)

, ν∞ := limR→+∞

(lim sup

k∈N

∫|x|>R

|uk|2∗

dx)

,

µ0 := limR→0+

(lim sup

k∈N

∫|x|<R

|∇uk|2 dx)

, µ∞ := limR→+∞

(lim sup

k∈N

∫|x|>R

|∇uk|2 dx)

.

Esses valores sao tais que ν0, ν∞ ∈ [0, 1/2] e, alem disso, quando k → ∞ a massa original de

uk e igual a soma das contribuicoes do limite fraco, da parte que se concentra na origem e da

1.4. A identidade de Pohozaev e o resultado de Brezis e Nirenberg 11

parte que se concentra no infinito, isto e, 1 =∫

RN |u|2∗

dx + ν0 + ν∞. Tambem vale um resultado

similar para o quadrado da norma de D1,2(RN), isto e, S =∫

RN |∇u|2 dx + µ0 + µ∞. Por fim,

temos as desigualdades fundamentais para a argumentacao Sν2/2∗0 6 µ0 e Sν2/2∗

∞ 6 µ∞.

A etapa seguinte consiste em verificar que∫

RN |u|2∗

dx = 1 e que ν0 = ν∞ = 0. Dessa forma,

mostramos que existe uma funcao minimizante para a melhor constante de Sobolev S. Mas

pela semicontinuidade fraca da norma, temos que

‖u‖2 6 lim infk∈N

‖uk‖2 = S.

Pela definicao de S, resulta que ‖u‖2 = S. Logo, o ınfimo S e atingido e u e uma funcao

minimizante. Finalmente, usando um multiplo conveniente da funcao u obtemos uma solucao

para o problema (1.11).

Encerramos esta secao mencionando que e fato bem conhecido que as solucoes do pro-

blema (1.11) sao conhecidas explicitamente e podem ser escritas como multiplos de

U(x) :=c

(1 + |x|2)(N−2)/2, c := (N(N − 2))(N−2)/4,

que verifica a equacao diferencial

−∆U(x) = SU2∗−1(x), x ∈ RN .

De forma geral, todas as solucoes dessa equacao diferencial formam a famılia de funcoes

Ut,y(x) := t(N−2)/2U(t(x− y)),

em que y ∈ RN e t ∈ R+. Notamos que essa famılia de funcoes e obtida a partir da funcao Uatraves de translacoes e dilatacoes. Alem disso, temos que Ut,y ∈ L2∗(RN), ∇Ut,y ∈ L2(RN) e

‖Ut,y‖2 = |Ut,y|2∗

2∗ = SN/2.

1.4 A identidade de Pohozaev e o resultado de Brezis e Nirenberg

Se tentamos resolver um problema semelhante ao problema (1.11) em um domınio limitado

Ω ⊂ RN , a saber, se consideremos o problema−∆u = |u|2∗−2u, x ∈ Ω,

u = 0 x ∈ ∂Ω,(1.14)

entao o metodo usado anteriormente nao mais se aplica. De fato, no caso particular em que Ω e

uma bola o problema (1.14) nao possui solucao. Em outras palavras, quando nao linearidades

do tipo potencia sao consideradas, o valor crıtico 2∗ representa um limiar no qual a existencia

de solucoes nao triviais pode falhar. Nesta secao consideramos apenas a um resultado de nao

existencia de solucao positiva. Para enuncia-lo, necessitamos de uma definicao. Dizemos que


um domınio Ω ⊂ RN com fronteira ∂Ω diferenciavel e um conjunto estrelado em relacao a

origem se ν(x) · x > 0 para todo x ∈ ∂Ω, em que ν(x) denota o vetor normal unitario exterior

a ∂Ω em x.

Proposicao 1.8. Suponhamos que Ω ⊂ RN e um conjunto aberto, limitado, com fronteira ∂Ω dife-renciavel e estrelado em relacao a origem, em que N > 3. Entao o problema

−∆u = |u|2∗−2u, x ∈ Ω,

u > 0 x ∈ Ω,

u = 0 x ∈ ∂Ω,

(1.15)

nao tem solucao em H10(Ω) .

A demonstracao desse resultado e baseada em um resultado de regularidade, que afirma

que qualquer solucao fraca u ∈ H10(Ω) do problema (1.15) e de classe C2(Ω) e de uma identi-

dade integral, devida a Pohozaev, que enunciamos a seguir.

Proposicao 1.9. Seja f : R → R uma funcao contınua e seja F(t) =∫ t

0 f (s)ds. Suponhamos queΩ ⊂ RN e um conjunto aberto e limitado, em que N > 3. Se u ∈ C2(Ω) e uma solucao do problema−∆u = f (u), x ∈ Ω,

u = 0 x ∈ ∂Ω,(1.16)

entao vale a identidade

N − 22

∫Ω|∇u|2 dx− N

∫Ω

F(u)dx = −12

∫∂Ω

(∂u∂ν

)2ν(x) · x dσ. (1.17)

A igualdade (1.17) e conhecida como identidade de Pohozaev. Para a demonstracao desse

resultado, consulte o livro de Badiale e Serra [3, Theorem 3.4.26, pag. 137] ou o livro de Am-

brosetti e Malchiodi [1, Theorem 8.30, pag. 136]. Como consequencia direta da Proposicao 1.9

vemos que se Ω ⊂ RN e estrelado em relacao a origem, entao toda solucao do problema (1.16)

verifica a desigualdade

N∫

ΩF(u)dx− N − 2

2

∫Ω

u f (u)dx > 0.

Em particular, se f (u) = |u|p−2u, entao devemos ter(Np− N − 2

2

) ∫Ω|u|p dx > 0,

e, se u > 0, entao p < 2N/(N − 2) = 2∗. Esses comentarios implicam que o expoente 2∗ e

crıtico nao apenas do ponto de vista das imersoes de Sobolev como tambem do ponto de vista

de existencia de solucoes nao triviais para o problema (1.16).

1.5. Resultados principais 13

Em contraste com a Proposicao 1.8, que e um resultado de nao existencia de solucao, Brezis

e Nirenberg demonstraram em [7] que adicionando uma perturbacao de ordem inferior ao pro-

blema (1.15) podemos recuperar a existencia de solucao positiva no caso de qualquer domınio

limitado Ω ⊂ RN para perturbacoes convenientemente escolhidas. Mais precisamente, consi-

deramos o problema −∆u(x)− λu(x) = u2∗−1(x) x ∈ Ω,

u(x) > 0 x ∈ Ω,

u ∈ H10(Ω)

(1.18)

em que N > 3, Ω ⊂ RN e um conjunto aberto e limitado com fronteira ∂Ω e o espaco H10(Ω)

e equipado com a norma ‖u‖ := (∫

Ω |∇u|2 dx)1/2. As solucoes fracas do problema (1.18) sao

pontos crıticos do funcional J : H10(Ω)→ R definido por

J(u) :=12

∫Ω|∇u|2 dx− λ

2

∫Ω|u|2 dx− 1

2∗

∫Ω|u|2∗ dx.

Apresentamos agora alguns comentarios sobre o intervalo de variacao para o parametro λ

da perturbacao linear. Para isso, denotamos por λ1 o primeiro autovalor do operador laplaci-

ano L[u] := −∆u(x) em H10(Ω), isto e,

λ1 := infu∈H1

0 (Ω)u(x) 6≡0

∫Ω|∇u|2 dx∫

Ω|u|2 dx

. (1.19)

E fato conhecido que λ1 > 0 e que λ1 e atingido, isto e, existe solucao para o problema

−∆u(x) = λ1u(x).Usando novamente a Proposicao 1.9, se Ω for um domınio estrelado em relacao a origem,

entao o problema (1.18) nao possui solucao se λ 6 0. Dessa forma, para obtermos resultados

de existencia de solucoes para o problema (1.18) devemos considerar valores positivos para λ.

Proposicao 1.10. Se N > 4, entao o problema (1.18) tem uma solucao para todo λ ∈ (0, λ1), em queλ1 e o primeiro autovalor definido em (1.19).

Se N = 3, entao existe λ0 = λ0(Ω) com λ0 ∈ [0, λ1) e tal que o problema (1.18) tem solucao se,e somente se, λ ∈ (λ0, λ1). Em particular, no caso em que Ω e a bola unitaria, temos λ0 = λ1/4 e oproblema (1.18) tem solucao se, e somente se, λ ∈ (λ1/4, λ1).

Para a demonstracao, consulte o artigo original de Brezis e Nirenberg [7] ou o livro de

Ambrosetti e Malchiodi [1, Theorem 11.6, pag. 180].

1.5 Resultados principais

Nesta secao, enunciamos os teoremas principais da dissertacao, a saber, resultados de existen-

cia de solucoes para problemas elıpticos semilineares definidos em todo o espaco, envolvendo


singularidades tanto no operador quanto na nao linearidade e expoentes crıticos de Hardy-

Sobolev. A referencia basica e o trabalho de Wang e Willem [19].

Mais especificamente, estudamos resultados de existencia de solucoes de energia mınima,

conhecidas na literatura como solucoes “ground state”, para equacoes elıpticas degeneradas

definidas em RN da forma geral

−div (A (x)∇u) = f (x, u) , (x ∈ RN), (1.20)

em que A : RN → R e uma funcao nao negativa que pode ser ilimitada ou se anular em alguns

pontos. Essa classe de equacoes generaliza alguns exemplos apresentados nas secoes anteriores

e surgem no estudo de ondas estacionarias em equacoes anisotropicas de Schrodinger. Como

prototipos para estes tipos de problemas, consideramos as equacoes

−div(|x|−2a∇u

)= |x|−bp |u|p−2 u, (x ∈ RN) (1.21)

e

−div(|x|−2a∇u

)+ λ |x|−2(1+a) u = |x|−bp |u|p−2 u, (x ∈ RN , λ ∈ R). (1.22)

Seguindo algumas das ideias desenvolvidas previamente, procuramos solucoes para os

problemas (1.21) e (1.22) no espaco reflexivo D1,2a (RN), definido como o completamento do

espaco das funcoes teste D(RN) com relacao ao produto interno (·, ·) : D1,2a (RN)×D1,2

a (RN)→R definido por

(u, v) :=∫

RN|x|−2a∇u · ∇v dx

e com a correspondente norma definida por

‖u‖ := (u, u)1/2 =( ∫

RN|x|−2a |∇u|2 dx

)1/2.

Consideramos N > 3, os parametros a e b tais que

0 6 a 6 (N − 2)/2, a 6 b 6 a + 1 (1.23)

e o expoente crıtico de Hardy-Sobolev

p = p(a, b) :=2N

N − 2 + 2 (b− a). (1.24)

Utilizando a desigualdade (A.7) estabelecida por Caffarelli, Kohn e Nirenberg, esses pro-

blemas permitem formulacoes variacionais para os parametros nos intervalos especificados

e, principalmente, podemos formular os seguintes problemas de minimizacao com restricoes.

Consideramos

S(a, b) := infu∈D1,2

a (RN)

||x|−bu|p=1

∣∣∣|x|−a∇u∣∣∣22

(1.25)


para o problema (1.21) e

S(a, b, λ) := infu∈D1,2

a (RN)

||x|−bu|p=1

∣∣∣|x|−a∇u∣∣∣22+ λ

∣∣∣|x|−(1+a) u∣∣∣22

(1.26)

para o problema (1.22). Conforme vimos anteriormente, demonstrar existencia de solucoes

para os problemas (1.21) e (1.22) e equivalente a demonstrar que os valores S(a, b) e S(a, b, λ)

sao atingidos.

A desigualdade (A.7) de Caffarelli, Kohn e Nirenberg (Teorema A.3) garante que para os pa-

rametros especificados em (1.23) e (1.24), existe uma constante positiva C ∈ R+ independente

de u tal que (∫RN|x|−bp |u|p dx

)2/p

6 C∫

RN|x|−2a |∇u|2 dx, u ∈ D1,2

a (RN). (1.27)

Assim, a constante S(a, b) e positiva.

Como podemos antecipar, a principal dificuldade no estudo dos problemas (1.21) e (1.22)

e a ausencia a priori de compacidade das sequencias minimizantes, ja que ambos os proble-

mas estao definidos em todo o espaco RN e envolvem o expoente crıtico p(a, b). Portanto, as

sequencias minimizantes sao invariantes por translacoes e por dilatacoes.

Para um breve historico do problema (1.21), mencionamos que Lieb [13] demonstrou a

existencia de funcoes minimizantes, isto e, de funcoes que realizam o ınfimo S(a, b) no caso

a = 0 e 0 < b < 1. Alem disso, Chou e Chu [10] demonstraram o mesmo resultado quando

a 6 b < a + 1. Ambos mostraram tambem que S(a, a + 1) nunca e atingido. Em particular,

o valor S(0, 1) que corresponde a desigualdade de Hardy nunca e atingido. O caso a = 0 e

0 < b < 1 tambem foi estudado por Lions [15] em domınios nao limitados. O primeiro resul-

tado, relativo ao problema (1.21), e enunciado a seguir.

Teorema 1.11. Sejam N > 3, 0 6 a < (N − 2)/2, a + b > 0, a 6 b < 1 + a e p = p(a, b). Seja

(un)n∈N ⊂ D1,2a (RN) uma sequencia minimizante para S(a, b) verificando∣∣∣|x|−b un

∣∣∣p= 1,

∣∣∣|x|−a∇un

∣∣∣22→ S(a, b).

Entao existe uma sequencia (tn)n∈N ⊂ ]0, ∞[ tal que a sequencia de dilatacoes ((un)tn)n∈N ⊂ D1,2

a (RN)

definidas por (un)tn(x) := t(N−2(1+a))/2n un(tnx) possui uma subsequencia convergente. Em particular,

existe uma funcao minimizante para S(a, b).

Para demonstrar o Teorema 1.11 devemos descrever o comportamento de sequencias mi-

nimizantes para S(a, b). Mais especificamente, determinamos como essas sequencias deixam

de possuir subsequencias convergentes. Assim, resolvemos completamente o problema de

compacidade de sequencias minimizantes para S(a, b), mostrando que essas sequencias sao

relativamente compactas, a menos de dilatacoes, quando a 6 b < a + 1 e a + b > 0. O caso


a = b depende de uma estimativa diferente, pois p(a, a) = 2∗ = 2N/(N − 2) e existe uma

dilatacao duplamente invariante. O metodo utilizado por Wang e Willem [19] e diferente da-

quele utilizado por Lions [15], pois avalia quantitativamente a nao compacidade de sequencias

minimizantes.

A seguir, enunciamos dois resultados relativos ao problema (1.22).

Teorema 1.12. Sejam N > 3, 0 6 a < (N − 2)/2, a 6 b < 1 + a, p = p(a, b) e −S(a, a + 1) <

λ < 0. Seja (un)n∈N ⊂ D1,2a (RN) uma sequencia minimizante para S(a, b, λ) satisfazendo∣∣∣|x|−b un

∣∣∣p= 1,

∣∣∣|x|−a∇un

∣∣∣22+ λ

∣∣∣|x|−(1+a) un

∣∣∣22→ S(a, b, λ).


a (RN)


existe uma funcao minimizante para S(a, b, λ).

Teorema 1.13. Sejam N > 3, 0 6 a < (N − 2)/2 e p = p(a, b). Seja (un)n∈N ⊂ D1,2a (RN) uma

sequencia minimizante para S(a, b, λ) satisfazendo∣∣∣|x|−b un

∣∣∣p= 1,

∣∣∣|x|−a∇un

∣∣∣22+ λ

∣∣∣|x|−(1+a) un

∣∣∣22→ S(a, b, λ).

Suponhamos que vale um dos grupos de hipoteses a seguir:1. a < b < a + 1 e 0 < λ, ou2. 0 < a = b e 0 < λ 1.


a (RN)



Para demonstrar o Teorema 1.12 verificamos que as sequencias minimizantes para S(a, b, λ)

sao relativamente compactas a menos de dilatacoes quando a 6 b < a + 1 e−S(a, a + 1) < λ <

0. O caso a = b = 0 e −S(0, 1) < λ < 0 foi resolvido por Lions ([14]). Para demonstrar o

Teorema 1.13, em que consideramos o caso λ > 0, novamente tratamos de forma diferente os

casos a < b < a + 1 e a = b. Ao contrario do valor S(a, b), para S(a, b, λ) com λ 6= 0 nao se sabe

se existem solucoes explıcitas para o problema (1.22). O metodo aqui utilizado apresenta uma

abordagem uniforme para ambos os problemas.

Vale mencionar que Chou e Chu demonstraram em [10] que a solucao do problema (P1)

e radialmente simetrica. Alem disso, Catrina e Wang estudaram em [9] o problema (P1) para

o parametro a definido no intervalo −∞ < a < (N − 2)/2 e demonstraram, entre outros

resultados, o caso em que ocorre a quebra de simetria [9, Theorem 1.3]. Esse resultado afirma

que existe a0 6 0 e uma funcao h(a) definida para a 6 a0, satisfazendo h(a0) = a0, a < h(a) <a + 1 para a < a0, e a + 1− h(a) → 0 quando −a → ∞, de forma que para qualquer (a, b),satisfazendo a < a0 e a < b < h(a), a funcao que atinge S(a, b) e nao radial. Mais ainda,


afirma que existe um conjunto aberto H dentro da regiao a-negativa que contem o conjunto

(a, a) ∈ R2 : a < 0 de forma que, para qualquer (a, b) ∈ H com a < b, a funcao que atinge

S(a, b) e nao radial.

Finalmente, observamos que um melhor entendimento das solucoes de energia mınima

definidas em todo o espaco RN parece util para demonstrar resultados de existencia de solucoes

positivas para as equacoes correspondentes definidas em domınios limitados ou em domınios

ilimitados propriamente contidos em RN .

O restante desta dissertacao esta dividido em mais dois capıtulos e um apendice. No

capıtulo 2, demonstramos diversos resultados auxiliares, entre os quais destacamos um lema

de convergencia local e o lema de concentracao e compacidade. Em seguida, demonstramos

o Teorema 1.11. No capıtulo 3, demonstramos uma nova versao do lema de concentracao e

compacidade e concluımos com as demonstracoes dos Teoremas 1.12 e 1.13. No Apendice,

definimos os espacos de funcoes usados na dissertacao, enunciamos algumas desigualdades,

incluindo a desigualdade de Caffarelli, Kohn e Nirenberg, bem como alguns resultados de

Analise e de Analise Funcional frequentemente utilizados.


-2- Sequencias minimizantes para S(a, b)

Nosso objetivo principal neste capıtulo e demonstrar o Teorema 1.11. Para isso, devemos mos-

trar que S(a, b) e atingida. Assim, seja uma sequencia minimizante (un)n∈N ⊂ D1,2a (RN) tal

que ∣∣∣|x|−b un

∣∣∣p= 1,

∣∣∣|x|−a∇un

∣∣∣22→ S(a, b) (n→ ∞). (2.1)

Passando, se necessario, a uma subsequencia (sempre denotada da mesma forma), pode-

mos supor que un u fracamente em D1,2a (RN) quando n → ∞. Isto se justifica devido a

convergencia de∣∣∣|x|−a∇un

∣∣∣22

para S(a, b), o que torna a sequencia (un)n∈N ⊂ D1,2a (RN) li-

mitada. Como toda sequencia limitada em um espaco de Banach reflexivo possui sequencia

fracamente convergente, garantimos a existencia da funcao u ∈ D1,2a (RN) e da subsequencia

fracamente convergente.

Alem disso, como a norma e fracamente semicontınua inferiormente, tambem temos que∣∣∣|x|−a∇u∣∣∣226 lim inf

n→∞

∣∣∣|x|−a∇un

∣∣∣22= S(a, b).

A funcao u ∈ D1,2a (RN) e uma funcao minimizante para S(a, b) desde que

∣∣∣|x|−b u∣∣∣

p= 1;

porem, no momento temos apenas a desigualdade∣∣∣|x|−b u

∣∣∣p6 1. Nosso objetivo a partir de

agora e demonstrar que vale a igualdade∣∣∣|x|−b u

∣∣∣p= 1.

Para isso necessitamos de diversos resultados auxiliares, enunciados nas proximas secoes.

2.1 Invariancia de sequencias minimizantes por dilatacoes

O resultado a seguir estabelece a invariancia do problema (1.21) por dilatacoes.

Lema 2.1. Sejam v ∈ D1,2a (RN) e t ∈ R+. Definimos a dilatacao por

vt(x) := t(N−2a−2)/2v(tx) (2.2)

Entao sao validas as seguintes igualdades:1.∣∣∣|x|−a∇vt

∣∣∣2=∣∣∣|x|−a∇v

∣∣∣2,

2.∣∣∣|x|−b vt

∣∣∣p=∣∣∣|x|−b v

∣∣∣p.

Demonstracao. Para verificar a igualdade 1, comecamos calculando as derivadas parciais de vt

em relacao a xi e obtemos

∂vt(x)∂xi

=∂(t(N−2a−2)/2v(tx))

∂xi= t(N−2a−2)/2 ∂v(tx)

∂xi.

19

20 2. Sequencias minimizantes para S(a, b)

Usando a mudanca de variaveis y = tx com dy = tN dx segue-se, pela regra da cadeia, que

t(N−2a−2)/2 ∂v(tx)∂xi

= t(N−2a−2)/2 ∂v(y)∂yi

∂yi

∂xi

= t(N−2a−2)/2 ∂v(y)∂yi

t

= t(N−2a)/2 ∂v(y)∂yi

.

para 1 6 i 6 N. Assim, ∇xvt(x) = t(N−2a)/2∇yv(y) e, portanto,∣∣∣|x|−a∇vt

∣∣∣22=∫

RN|x|−2a |∇xvt|2 dx

=∫

RN

∣∣∣yt

∣∣∣−2at(N−2a) ∣∣∇yv(y)

∣∣2 t−Ndy

=∫

RN|y|−2a ∣∣∇yv(y)

∣∣2 dy

=∣∣∣|y|−a∇v

∣∣∣22

e a primeira igualdade fica demonstrada.

Para demonstrar a igualdade 2, utilizamos a mesma mudanca de variaveis e obtemos∣∣∣|x|−b vt

∣∣∣pp=∫

RN|x|−bp |vt(x)|p dx

=∫

RN|x|−bp t

p2 (N−2a−2) |v(tx)|p dx

=∫

RN

∣∣∣yt

∣∣∣−bpt

p2 (N−2a−2) |v(y)|p t−Ndy

=∫

RN|y|−bp t

p2 (N−2a−2+2b)−N |v(y)|p dy.

Pela definicao de p dada em (1.24), temos que p2 (N − 2a− 2 + 2b)− N = 0; assim,∫

RN|y|−bp t

p2 (N−2a−2+2b)−N |v(y)|p dy =

∫RN|y|−bp |v(y)|p dy =

∣∣∣|y|−b v∣∣∣p

p,

e a segunda igualdade fica demonstrada. Isso conclui a demonstracao do lema.

2.2 Lemas tecnicos

As propriedades demonstradas no Lema 2.1 garantem que o problema de encontrar funcoes

minimizantes para S(a, b) e invariante por dilatacoes. Agora devemos mostrar que a sequencia

minimizante (un)n∈N ⊂ D1,2a (RN) e relativamente compacta a menos de dilatacoes.

Para tanto, necessitamos de alguns resultados tecnicos. Comecamos considerando a funcao

u(x) :=(

1 + |x|2)− N−2

2. Aubin [2] e Talenti [17] demonstraram que essa funcao realiza a me-

2.2. Lemas tecnicos 21

lhor constante das imersoes de Sobolev, isto e,

S =

∫RN|∇u|2 dx(∫

RN|u|2

∗dx) 2

2∗.

Para mais detalhes, consulte tambem os artigos de Chou e Chu [10] e de Horiuchi [12] . Dessa

forma, parece natural estimar o ınfimo S(a, b) usando essa funcao.

Lema 2.2. Seja a ∈ R tal que 0 < a < (N − 2)/2. Definimos a funcao g : [0, (N − 2)/2]→ R por

g(a) :=

∫RN|x|−2a |∇u|2 dx(∫

RN|x|−2∗a u2∗dx

) 22∗

, (2.3)

em que u(x) :=(

1 + |x|2)− N−2

2 . Entao g′(a) < 0 para a ∈ [0, (N − 2)/2[.

Demonstracao. Reescrevendo a funcao u(x) na forma

u(x) =[1 + |x|2

]− N−22

=

[1 +

(N

∑j=1

x2j

)]− N−22

,

temos que

∂u(x)∂xj

= −(N − 2) xj

[1 +

(N

∑j=1

x2j

)]− N2

.

Sendo assim,

|∇u(x)|2 = (N − 2)2

N

∑j=1

x2j

(1 +

N

∑j=1

x2j

)−N

= (N − 2)2

(N

∑j=1

x2j

(1 + |x|2

)−N)

=(N − 2)2(1 + |x|2

)N

(N

∑j=1

x2j

)

=(N − 2)2(1 + |x|2

)N |x|2 .

Para estimar g(a), consideramos inicialmente o integrando do numerador de (2.3), que e

|x|−2a |∇u|2 = |x|−2a (N − 2)2 |x|2(1 + |x|2

)N =(N − 2)2 |x|2(1−a)(

1 + |x|2)N .


Definindo a funcao

f1(t) =(N − 2)2 t2(1−a)

(1 + t2)N ,

temos |x|−2a |∇u|2 = f1(|x|). Pela formula de integracao em coordenadas polares (Proposicao A.8),

temos ∫RN|x|−2a |∇u|2dx =

∫ ∞

0ωN f1(r)rN−1dr

= ωN(N − 2)2∫ ∞

0r2(1−a) [1 + r2]−N

rN−1dr

= ωN(N − 2)2∫ ∞

0r−2a+2+N−1 [1 + r2]−N

dr,

em que r = |x| e ωN e o volume da esfera unitaria SN−1.

Quanto ao integrando do denominador de (2.3), temos que

|x|−2∗a u2∗ = |x|−2∗a[(

1 + |x|2)− N−2

2]2∗

= |x|−2∗a[1 + |x|2

]−N.

Definindo a funcao

f2(t) = t−2∗a [1 + t2]−N,

temos |x|−2∗a u2∗ = f2(|x|). Pela formula de integracao em coordenadas polares (Proposicao A.8),

obtemos ∫RN|x|−2∗a u2∗ =

∫ ∞

0ωN f2(r)rN−1dr

= ωN

∫ ∞

0r−2∗a [1 + r2]−N

rN−1dr

= ωN

∫ ∞

0r−2∗a+N−1 [1 + r2]−N

dr,

em que r = |x| e ωN e o volume da esfera unitaria SN−1.

Combinando esses dois resultados, podemos escrever

g(a) =ωN(N − 2)2

∫ ∞

0r−2a+2+N−1 [1 + r2]−N

dr[ωN

∫ ∞

0r−2∗a+N−1 [1 + r2]−N

dr]2/2∗ . (2.4)

Agora utilizamos a seguinte formula envolvendo a funcao gama, a saber,∫ ∞

0γy−1 (1 + γ)−(y+z) dγ =

Γ(y) Γ(z)Γ(y + z)

(2.5)

para expressar ambas as integrais na formula (2.4).


Para isso, usamos a mudanca de variaveis r = y12 com dr = 1

2 γ−12 dγ. Sendo assim, o

numerador de g(a) se escreve na forma∫RN|x|−2a |∇u|2 dx = ωN(N − 2)2

∫ ∞

0r−2a+2+N−1 (1 + r2)−N

dr

=ωN

2(N − 2)2

∫ ∞

0γ−2a+2+N−1

2 (1 + γ)−N γ−12 dγ

=ωN

2(N − 2)2

∫ ∞

0γ−2a+N

2 (1 + γ)−N dγ. (2.6)

Se considerarmos y = −2a+N+22 e z = 2a+N−2

2 em (2.5), da igualdade (2.6) obtemos

ωN

2(N − 2)2

∫ ∞

0γ−2a+N

2 (1 + γ)−N dγ =ωN

2(N − 2)2

Γ(−2a + N + 2

2

)Γ(2a + N − 2

2

)Γ(N)

. (2.7)

Da mesma forma,∫RN|x|−2∗a u2∗dx = ωN

∫ ∞

0r−2∗a+N−1 (1 + r2)−N

dr

=ωN

2

∫ ∞

0γ−2∗a+N−1

2 (1 + γ)−N γ−12 dγ

=ωN

2

∫ ∞

0γ−2∗a+N−2

2 (1 + γ)−N dγ. (2.8)

Agora, se consideramos y = −2∗a+N2 e z = 2∗a+N

2 em (2.5), da igualdade (2.8) obtemos

ωN

2

∫ ∞

0γ−2∗a+N−2

2 (1 + γ)−N dγ =ωN

2

Γ(−2∗a + N

2

)Γ(2∗a + N

2

)Γ(N)

. (2.9)

Substituindo as igualdades (2.7) e (2.9) em (2.4), obtemos

g(a) =

ωN

2(N − 2)2

Γ(−2a + N + 2

2

)Γ(

2a + N − 22

)Γ(N)ωN

2

Γ(−2∗a + N

2

)Γ(

2∗a + N2

)Γ(N)

2/2∗

= (N − 2)2(ωN

2

)2/N(Γ(N))−2/N

Γ(−2a + N + 2

2

)Γ(

2a + N − 22

)[

Γ(−2∗a + N

2

)Γ(

2∗a + N2

)](N−2)/N.

E fato conhecido que a funcao gama e uma generalizacao dos numeros fatoriais e valem as

propriedades

Γ(z + 1) = zΓ(z), Γ(z− 1) =Γ(z)z− 1

, ∀ z ∈N. (2.10)


Para outras propriedades da funcao gama, consulte a secao A.2 ou o livro de Weisstein [20].

Portanto, usando as formulas (2.10), obtemos

Γ(−2a + N + 2

2

)= Γ

(N − 2a

2+ 1)=

N − 2a2

Γ(

N2− a)

e

Γ(

2a + N − 22

)= Γ

((N2+ a)− 1)=

Γ(

N2+ a)

(N2+ a)− 1

= 2Γ(

N2+ a)

N + 2a− 2.

Usando essas formulas, obtemos a expressao

g(a) = (N − 2)2(ωN

2

)2/N(Γ(N))−2/N

×(

N − 2aN − 2 + 2a

) Γ(

N2− a)

Γ(

N2+ a)

[Γ(

N2− aN

N − 2

)Γ(

N2+

aNN − 2

)](N−2)/N

= (N − 2)2(ωN

2

)2/N(Γ(N))−2/N

×(

N − 2aN − 2 + 2a

) Γ(

N2+ a)

[Γ(

N2+

aNN − 2

)](N−2)/N

Γ(

N2− a)

[Γ(

N2− aN

N − 2

)](N−2)/N.

Separando alguns dos fatores da expressao para g(a), definimos

g1(a) :=N − 2a

N − 2 + 2a,

g2(a) := Γ(

N2+ a) [

Γ(

N2+

aNN − 2

)]−(N−2)/N

,

g3(a) := Γ(

N2− a) [

Γ(

N2− aN

N − 2

)]−(N−2)/N

.

Assim sendo, a funcao g se escreve na forma g(a) = g1(a)g2(a)g3(a). Para prosseguir em nossa

analise do comportamento da funcao g, estudamos separadamente esses varios fatores.

AFIRMATIVA 1: g′1(a) < 0, para a ∈

[0, N−2

2

[.

Para verificar essa afirmativa, basta calcular a diretamente a derivada de g1(a). Assim, temos

g′1(a) = −4

(N − 1)

(N − 2 + 2a)2 < 0,

pois N > 3 e a < (N − 2)/2.


No que se segue, usamos a seguinte formula

Γ′(z)

Γ(z)= −Γ

′(1)− 1

z+

∞

∑k=1

(1k− 1

z + k

), z 6= 0,−1,−2, · · ·

que pode ser encontrada na referencia[20]. Como a constante −Γ′(1) e positiva, resulta que

Γ′(z)

Γ(z)e uma funcao estritamente crescente para z ∈ ]0, ∞[.

AFIRMATIVA 2: g′2(0) = 0 e g

′2(a) < 0, para a ∈

]0, N−2

2

[.

A derivada de g2(a) e dada por

g′2(a) =

[Γ(

N2+

aNN − 2

)]−(N−2)/N

Γ(

N2+ a)

Γ′(

N2+ a)

Γ(

N2+ a) − Γ

′(

N2+

aNN − 2

)Γ(

N2+

aNN − 2

) .

Segue-se imediatamente que g′2(0) = 0. Claramente N

2 + a < N2 + aN

N−2 e, como Γ′(z)

Γ(z) e uma

funcao estritamente crescente, temos que o termo entre chaves na derivada de g2 e negativo.

Logo g′2(a) < 0, para a ∈

]0, N−2

2

[.

AFIRMATIVA 3: g′3(0) = 0 e g

′3(a) < 0, para a ∈

]0, N−2

2

[.

A derivada de g3(a) e dada por

g′3(a) = −

[Γ(

N2− aN

N − 2

)]−(N−2)/N

Γ(

N2− a)

Γ′(

N2− a)

Γ(

N2− a) − Γ

′(

N2− aN

N − 2

)Γ(

N2− aN

N − 2

) .

Segue-se imediatamente que g′3(0) = 0. Sabemos que N

2 − a > N2 −

aNN−2 e, como Γ

′(z)

Γ(z) e uma

funcao estritamente crescente, temos que o termo entre chaves na derivada de g3 e positivo.

Logo g′3(a) < 0 para a ∈

]0, N−2

2

[.

Verificadas as afirmativas 1, 2 e 3, concluımos que a derivada da funcao g e negativa se

a ∈]0, N−2

2

[. Isso conclui a demonstracao do lema.

O proximo resultado trata de convergencia local no espaco das funcoes quadrado integraveis.

Lema 2.3. Sejam N > 3 e 0 6 a < N−22 . Seja (un)n∈N ⊂ D1,2

a (RN) uma sequencia tal que un ufracamente em D1,2

a (RN) quando n→ ∞. Entao |x|−a un → |x|−a u em L2loc(R

N) quando n→ ∞.


Demonstracao. Dado R > 0, temos que∫BR(0)

|x|−2a |u|2 dx =∫

BR(0)|x|2 |x|−2(a+1) |u|2 dx

6 R2∫

BR(0)|x|−2(a+1) |u|2 dx

6R2

S(a, a + 1)

∫BR(0)

|x|−2a |∇u|2 dx

<R2

S(a, a + 1)

∫RN|x|−2a |∇u|2 dx

=R2

S(a, a + 1)‖u‖2.

Suponhamos inicialmente que un 0 fracamente em D1,2a (RN). Entao a sequencia (un)n∈N

e limitada em D1,2a (RN), isto e, existe uma constante M > 0 tal que

‖un‖ 6 M , para todo n ∈N.

Assim, dado ε > 0, podemos escolher ρ ∈ R+ de forma que

ρ2 <S(a, a + 1)

M2 ε.

Dessa forma, obtemos∫Bρ(0)|x|−2a |un|2 dx 6

ρ2

S(a, a + 1)

∫RN|x|−2a |∇un|2 dx

6ρ2M2

S(a, a + 1)

< ε.

Com isso, mostramos que para todo numero real ε > 0, existe um raio ρ > 0 suficientemente

pequeno tal que vale a desigualdade∫Bρ(0)|x|−2a |un|2 dx 6 ε, ∀n ∈N. (2.11)

Assim, o Teorema A.7 de Rellich-Kondrachov garante que |x|−a un → 0 em L2loc(R

N \ Bρ(0))

quando n→ ∞.

No caso geral, em que un u fracamente em D1,2a (RN) quando n → ∞, consideramos a

sequencia (vn)n∈N ⊂ D1,2a (RN) definida por vn = un − u e aplicamos o Lema A.11 de Brezis e

Lieb com fn = vn.

Mais especificamente, para cada subconjunto K ⊂ RN aberto, relativamente compacto, nao

contendo a origem e com fronteira regular, temos as inclusoes compactas

D1,2a (K) → L2(K) → L1(K).

Assim sendo, se |x|−a un |x|−a u em D1,2a (K) entao |x|−a un → |x|−a u em L2(K), o que

implica que |x|−2a |un|2 → |x|−2a |u|2 em L1(K). Isto conclui a demonstracao do lema.

2.3. Lema de concentracao e compacidade para S(a, b) 27

O proximo resultado trata da convergencia da sequencia de gradientes e baseia-se na disser-

tacao de Valeriola [18]. Para enuncia-lo, usamos a notacao de Bachman-Landau f (x) = o (g(x))

quando x → x0 para indicar que limx→x0

f (x)g(x)

= 0.

Lema 2.4. Seja (un)n∈N ⊂ D1,2a (RN) uma sequencia qualquer. Se un u fracamente em D1,2

a (RN),entao ∫

RN|∇(un − u)|2 dx =

∫RN|∇un|2 dx−

∫RN|∇u|2 dx + o(1).

Demonstracao. Analisando a integral do gradiente, temos que∫RN|∇(un − u)|2 dx =

∫RN

(∇un −∇u) · (∇un −∇u) dx

=∫

RN|∇un|2 dx +

∫RN|∇u|2 dx− 2

∫RN∇un · ∇u dx.

Como un u fracamente em D1,2a (RN) quando n→ ∞, temos que ∇un ∇u fracamente em

L2(RN) quando n→ ∞.

Sendo assim, por continuidade, resulta que∫RN∇un · ∇u dx →

∫RN∇u · ∇u dx (n→ ∞).

O lema fica demonstrado.

2.3 Lema de concentracao e compacidade para S(a, b)

Nesta secao, enunciamos o lema crucial para demonstrar o Teorema 1.11. De maneira ge-

ral, o metodo de concentracao e compacidade visa classificar os possıveis comportamentos

de uma sequencia de funcoes sob a hipotese de que a sequencia e limitada em uma determi-

nada norma. No caso particular em que a sequencia em questao e uma sequencia minimizante

de um problema variacional, visamos classificar os comportamentos da sequencia levando em

consideracao o valor do ınfimo. Esse metodo tem diferentes versoes e na versao que estudamos

partimos de uma sequencia de funcoes minimizantes que sao limitadas na norma do espaco de

Sobolev D1,2a (RN). De forma grosseira, existem tres possibilidades.

1. Compacidade: a sequencia permanece localizada em um conjunto limitado, mas que, ao

fazermos a passagem ao limite, pode deslocar-se para o infinito. Notamos que este caso

nao significa que a sequencia e compacta no sentido usual; resta ainda controlar o que se

passa com o conjunto limitado. Porem, no caso de uma sequencia minimizante para um

problema localmente compacto, os dois sentidos da palavra coincidem.

2. Anulamento ou concentracao: a sequencia converge fracamente para a funcao nula, seja

porque o supremo da sequencia de funcoes tende a zero, ocasionando o anulamento, seja

porque as funcoes se concentram em um ponto, que pode inclusive deslocar-se para o

infinito ao fazermos a passagem ao limite.


3. Dicotomia: a sequencia pode se dividir em pelo menos duas partes: uma dessas partes

permanece compacta no sentido descrito acima, possivelmente apos uma translacao, e a

outra parte afasta-se da primeira, isto e, a distancia entre as partes nas quais a “massa”

se concentra tende a infinito. Esta parte pode, finalmente, se decompor em outras partes

que se analisam da mesma forma.

Vale ressaltar que a classificacao em tres casos e concernente a pelo menos uma subsequencia

da sequencia original, e nao propriamente a esta.

Para enunciar o lema de concentracao e compacidade, denotamos por M(RN) o espaco das

medidas limitadas em RN .

Lema 2.5. Seja N > 3 e sejam os parametros 0 6 a < (N− 2)/2, a 6 b 6 1 + a e p = p(a, b). Seja

(un)n∈N ⊂ D1,2a (RN) uma sequencia tal que

un u fracamente em D1,2a (RN),∣∣∣|x|−a∇(un − u)

∣∣∣2 µ fracamente em M(RN),∣∣∣|x|−b (un − u)∣∣∣2 ν fracamente em M(RN),

un → u q.t.p. em RN .

Definimos as medidas de concentracao no infinito

µ∞ := limR→∞

(limn→∞

∫|x| > R

|x|−2a |∇un|2 dx)

, (2.12)

ν∞ := limR→∞

(limn→∞

∫|x| > R

|x|−pb |un|p dx)

. (2.13)

Entao, valem os seguinte resultados:

‖ν‖2/p 6 S(a, b)−1 ‖µ‖, (2.14)

ν2/p∞ 6 S(a, b)−1 µ∞, (2.15)

limn→∞

∣∣∣|x|−a∇un

∣∣∣22=∣∣∣|x|−a∇u

∣∣∣22+ ‖µ‖+ µ∞, (2.16)

limn→∞

∣∣∣|x|−b un

∣∣∣pp=∣∣∣|x|−b u

∣∣∣pp+ ‖ν‖+ ν∞. (2.17)

Alem disso, se b < 1 + a, se u = 0 e se ‖ν‖2/p = S(a, b)−1 ‖µ‖, entao as medidas ν e µ concentram-seem um unico ponto.

Observacao 2.6. No caso em que a = b = 0, a desigualdade (2.14) deve-se a Lions [14], a

desigualdade (2.15) deve-se a Bianchi, Chabrowski e Szulkin [5] e as igualdades (2.16) e (2.17)

devem-se a Ben-Naoum, Troestler e Willem [4]. Veja tambem o artigo de Smets [16] .

Demonstracao do Lema 2.5. Organizamos a demonstracao em 6 etapas.


1

4 8 12−4−8−12

un(x)

(a) Fenomeno de anulamento.

1

4 8 12−4−8−12

un(x)

(b) Fenomeno de concentracao.

Figura 2.1: Exemplos de duas situacoes em que ocorre o fenomeno de perda de compacidade.

Em (a) o supremo das funcoes un tende a zero; em (b) a funcao concentra-se no ponto x0 = −4.

Em ambos os casos, a sequencia (un) converge fracamente para zero e nao possui subsequencia

fortemente convergente, devido a invariancia das integrais por dilatacoes; logo, ha perda de

compacidade. Podemos recuperar a compacidade efetuando dilatacoes convenientes em (a) e

compondo translacoes com dilatacoes em (b).

1

4 8 12−4−8−12

un(x)

(a) Fenomeno de anulamento com translacoes.

1

4 8 12−4−8−12

un(x)

(b) Fenomeno de concentracao com translacoes.

Figura 2.2: Exemplos de duas novas situacoes em que ocorre o fenomeno de perda de com-

pacidade. Em (a) o supremo das funcoes un tende a zero e desloca-se para o infinito com

certa velocidade; em (b) a funcao concentra-se em torno de pontos que se deslocam para o in-

finito com certa velocidade. Em ambos os casos, a sequencia (un) converge fracamente para

zero mas nao possui subsequencia fortemente convergente, devido a invariancia das integrais

por dilatacoes; logo, ha perda de compacidade. Podemos recuperar a compacidade efetuando

translacoes compostas com dilatacoes convenientes.


1

4 8 12−4−8−12

un(x)

(a) Combinacao de translacoes para a esquerda e deconcentracao com translacoes.

1

4 8 12−4−8−12

un(x)

(b) Combinacao dos diversos fenomenos descritosanteriormente.

Figura 2.3: Exemplos de duas situacoes em que nao e possıvel recuperar a perda de compa-

cidade. Em (a) as funcoes da sequencia (un) concentram a “massa” em duas regioes: uma

parte desloca-se para a esquerda com uma certa velocidade e a outra parte desloca-se para a

direita com velocidade diferente alem de concentrar-se. Assim, a distancia entre essas duas

partes tende ao infinito e temos um exemplo do caso de dicotomia. Em (b) temos um caso

mais complicado ainda, em que existem os fenomenos de anulamento (pouco perceptıvel na

figura, devido a interferencia com as outras partes), concentracao em torno do ponto x0 = −4,

translacoes para a esquerda e para a direita e concentracao com translacoes (com outra veloci-

dade).

Nas etapas 1 e 2, obtemos as desigualdades (2.14) e (2.15) no caso particular em que u = 0;

na etapa 3, demonstramos que, no caso em que b < a + 1, u = 0 e ‖ν‖2/p = S(a, b)−1 ‖µ‖,as medidas ν e µ concentram-se em um unico ponto; nas etapas 4 e 5, obtemos as desigualda-

des (2.14) e (2.15) no caso geral; finalmente, na etapa 6 encerramos a demonstracao obtendo as

igualdades (2.16) e (2.17).

ETAPA 1. Suponhamos inicialmente que u = 0. Dada uma funcao h ∈ D(RN), temos que

hun ∈ D1,2a (RN). Pela definicao de S(a, b) e usando a Proposicao A.2, resulta que

(∫RN|x|−pb |hun|pdx

)2/p

6 S(a, b)−1∫

RN|x|−2a |∇(hun)|2 dx

= S(a, b)−1∫

RN|x|−2a |h∇un + un∇h|2 dx. (2.18)

Utilizando o item 1 da Proposicao A.1 com A = |h∇un| e B = |un∇h|, segue-se que dado

ε ∈ R+ existe uma constante Cε ∈ R+ tal que

|h∇un + un∇h|2 6 (1 + ε) |h∇un|2 + Cε |un∇h|2 .


Sendo assim, o lado direito da desigualdade (2.18) e tal que

S(a, b)−1∫

RN|x|−2a |h∇un + un∇h|2 dx

6 S(a, b)−1∫

RN|x|−2a

[(1 + ε) |h∇un|2 + Cε |un∇h|2

]dx

=(1 + ε)

S(a, b)

∫RN|x|−2a |h∇un|2 dx +

Cε

S(a, b)

∫RN|x|−2a |un∇h|2 dx

=(1 + ε)

S(a, b)

∫RN|h|2

∣∣x−a∇un∣∣2 dx +

Cε

S(a, b)

∫RN|∇h|2

∣∣x−aun∣∣2 dx. (2.19)

Combinando as desigualdades (2.18) e (2.19), resulta que(∫RN|h|p

∣∣∣x−bun

∣∣∣pdx)2/p

6(1 + ε)

S(a, b)

∫RN|h|2

∣∣x−a∇un∣∣2 dx

+Cε

S(a, b)

∫RN|∇h|2

∣∣x−aun∣∣2 dx. (2.20)

Pela Definicao A.14 de convergencia em medida, temos∫RN|h|p

∣∣∣x−bun

∣∣∣pdx →∫

RN|h|p dν (2.21)∫

RN|h|2

∣∣x−a∇un∣∣2 dx →

∫RN|h|2 dµ (2.22)

quando n → ∞. Alem disso, pelo Lema 2.3 sobre convergencia local em L2(RN) e pelo Teo-

rema A.10 da convergencia dominada de Lebesgue, segue-se que∫RN|∇h|2

∣∣x−aun∣∣2 dx → 0 (2.23)

quando n→ ∞.

Consideramos agora uma sequencia (εn)n∈N ⊂ R+ tal que εn → 0 quando n→ ∞. Usando

a desigualdade (2.20) e os limites (2.21), (2.22) e (2.23), obtemos a desigualdade(∫RN|h|p dν

)2/p

6 S(a, b)−1∫

RN|h|2 dµ. (2.24)

Dessa forma, no caso em que u = 0 vale a desigualdade (2.14), a saber,

‖ν‖2/p 6 S(a, b)−1‖µ‖.

ETAPA 2. Para R > 1, consideramos uma funcao corte ψR ∈ C∞(RN) tal que 0 6 ψR 6 1 e

ψR(x) =

1, se |x| > R + 1,

0, se |x| 6 R.

Novamente pela definicao de S(a, b) e pela Proposicao A.2, temos que(∫RN|x|−pb |ψRun|pdx

)2/p

6 S(a, b)−1∫

RN|x|−2a |∇(ψRun)|2 dx

= S(a, b)−1∫

RN|x|−2a |ψR∇un + un∇ψR|2 dx.


Repetindo os mesmos argumentos usados na ETAPA 1, obtemos(∫RN|x|−pb |ψRun|pdx

)2/p

6(1 + ε)

S(a, b)

∫RN|x|−2a |ψR∇un|2 dx

+Cε

S(a, b)

∫RN|∇ψR|2

∣∣x−aun∣∣2 dx. (2.25)

Consideramos novamente uma sequencia (εn)n∈N tal que εn → 0 quando n → ∞. Usando

o limite (2.23) com h = ψR e a desigualdade (2.25) segue-se que

limn→∞

(∫RN|x|−pb |ψRun|pdx

)2/p

6 S(a, b)−1 limn→∞

∫RN|x|−2a |ψR∇un|2 dx. (2.26)

Por outro lado, pela definicao de ψR temos que∫RN|x|−2a ψ2

R |∇un|2 dx =∫|x|>R+1

|x|−2a ψ2R |∇un|2 dx +

∫|x|6R+1

|x|−2a ψ2R |∇un|2 dx

=∫|x|>R+1

|x|−2a |∇un|2 dx +∫|x|6R+1


>∫|x|>R+1

|x|−2a |∇un|2 dx

e que ∫RN|x|−2a ψ2

R |∇un|2 dx =∫|x|>R

|x|−2a ψ2R |∇un|2 dx +

∫|x|6R


=∫|x|>R


6∫|x|>R

|x|−2a |∇un|2 dx.

Combinando esses dois resultados, obtemos o par de desigualdades∫|x|>R+1

|x|−2a |∇un|2 dx 6∫

RN|x|−2a ψ2

R |∇un|2 dx 6∫|x|>R

|x|−2a |∇un|2 dx. (2.27)

Novamente pela definicao de ψR, temos que∫RN|x|−bp ψ

pR |un|p dx =

∫|x|>R+1

|x|−bp ψpR |un|p dx +

∫|x|6R+1

|x|−bp ψpR |un|p dx

=∫|x|>R+1

|x|−bp |un|p dx +∫|x|6R+1


>∫|x|>R+1

|x|−bp |un|p dx

e que ∫RN|x|−bp ψ

pR |un|p dx =

∫|x|>R

|x|−bp ψpR |un|p dx +

∫|x|6R


=∫|x|>R


6∫|x|>R

|x|−bp |un|p dx.


Combinando esses dois resultados, obtemos o par de desigualdades∫|x|>R+1

|x|−bp |un|p dx 6∫

RN|x|−bp ψ

pR |un|p dx 6

∫|x|>R

|x|−bp |un|p dx. (2.28)

Assim sendo, das desigualdades (2.27), obtemos

µ∞ := limR→∞

(limn→∞

∫|x|>R+1

|x|−2a |∇un|2 dx)

6 limR→∞

(limn→∞

∫RN|x|−2a ψ2

R |∇un|2 dx)

6 limR→∞

(limn→∞

∫|x|>R

|x|−2a |∇un|2 dx)

= µ∞.

E das desigualdades (2.28), obtemos

ν∞ := limR→∞

(limn→∞

∫|x|>R+1

|x|−bp |un|p dx)

6 limR→∞

(limn→∞

∫RN|x|−bp ψ

pR |un|p dx

)6 lim

R→∞

(limn→∞

∫|x|>R

|x|−bp |un|p dx)

= ν∞.

Pelo Teorema do confronto, concluımos que valem os sinais de igualdade nas diversas ex-

pressoes anteriores, isto e,

µ∞ = limR→∞

(limn→∞

∫RN|x|−2a ψ2

R |∇un|2 dx)

(2.29)

e

ν∞ = limR→∞

(limn→∞

∫RN|x|−bp ψ

pR |un|p dx

). (2.30)

Finalmente, aplicamos as igualdades (2.29) e (2.30) a desigualdade (2.26) e obtemos o resul-

tado. Dessa forma, no caso em que u = 0 vale a desigualdade (2.15), a saber

ν2/p∞ 6 S(a, b)−1 µ∞.

ETAPA 3. Considerando ainda o caso em que u = 0, suponhamos que b < a + 1 e que

‖ν‖2/p = S(a, b)−1‖µ‖. Aplicando a desigualdade (A.11) de Holder ao lado direito da desi-

gualdade (2.24), com os expoentes conjugados q = p/2 e q′ = p/(p − 2), temos que para


qualquer funcao h ∈ D(RN), vale(∫RN|h|p dν

)2/p

6 S(a, b)−1∫

RN|h|2 dµ

6 S(a, b)−1(∫

RN

∣∣h2∣∣p/2dµ

)2/p (∫RN

dµ

)(p−2)/p

= S(a, b)−1(∫

RN|h|p dµ

)2/p

‖µ‖(p−2)/p.

Com isso, deduzimos que vale a igualdade

ν = S(a, b)−p/2‖µ‖(p−2)/2µ. (2.31)

Para verificar essa afirmativa argumentamos por contradicao. De fato, suponhamos que nao

seja valida a igualdade (2.31). Entao existe um subconjunto aberto Ω ⊂ RN tal que vale a

desigualdade estrita

ν(Ω) < S(a, b)−p/2‖µ‖(p−2)/2µ(Ω).

Portanto, temos que

‖ν‖ = |〈ν, 1〉| =∫

Ωdν +

∫RN\Ω

dν

<∫

ΩS(a, b)−p/2‖µ‖(p−2)/2dµ +

∫RN\Ω

S(a, b)−p/2‖µ‖(p−2)/2dµ

=∫

RNS(a, b)−p/2‖µ‖(p−2)/2dµ

= S(a, b)−p/2‖µ‖p/2.

Consequentemente, tambem vale a desigualdade estrita ‖ν‖2/p < S(a, b)−1‖µ‖, o que e uma

contradicao com a hipotese ‖ν‖2/p = S(a, b)−1‖µ‖. Sendo assim, da igualdade (2.31) segue-se

que

µ = S(a, b)p/2‖µ‖−(p−2)/2ν.

Substituindo esse valor de µ na desigualdade (2.24), obtemos(∫RN|h|p dν

)2/p

6 S(a, b)−1∫

RN|h|2 dµ

= S(a, b)−1∫

RN|h|2 S(a, b)p/2‖µ‖−(p−2)/2dν

= S(a, b)(p−2)/2‖µ‖−(p−2)/2∫

RN|h|2 dν.

Essa ultima desigualdade pode ser reescrita na forma(∫RN|h|p dν

)2/p

S(a, b)−(p−2)/2‖µ‖(p−2)/2 6∫

RN|h|2 dν.


Agora notamos que

‖µ‖(p−2)/2 =(

S(a, b)‖ν‖2/p)(p−2)/2

= S(a, b)(p−2)/2‖ν‖(p−2)/p,

e, portanto,(∫RN|h|p dν

)2/p

S(a, b)−(p−2)/2‖µ‖(p−2)/2 =

(∫RN|h|p dν

)2/p

‖ν‖(p−2)/p.

Dessa forma, segue-se que(∫RN|h|p dν

)2/p

‖ν‖(p−2)/p 6∫

RN|h|2 dν.

Sendo assim, para cada conjunto aberto Ω ⊂ RN , vale a desigualdade

(ν(Ω))2/p(

ν(RN))(p−2)/p

6 ν(Ω).

Se ν(Ω) 6= 0, entao podemos reescrever essa desigualdade na forma(ν(RN)

)(p−2)/p6 (ν(Ω))(p−2)/p ,

e isso significa que ν(RN) 6 ν(Ω), ou seja, ν(RN) = ν(Ω).

Concluımos que ν(Ω) = 0 ou ν(RN) = ν(Ω). Assim, a medida ν concentra-se em um unico

ponto. Consequentemente, a medida µ tambem concentra-se em um unico ponto.

ETAPA 4. Consideramos agora o caso geral em que un u fracamente em D1,2a (RN). Definimos

a sequencia (vn)n∈N ⊂ D1,2a (RN) por vn = un − u. Assim, vn 0 fracamente em D1,2

a (RN)

quando n→ ∞.

Utilizando o Lema 2.4, temos que para qualquer funcao f ∈ D(RN) vale a igualdade∫RN

f (x) |x|−2a |∇vn|2 dx =∫

RNf (x) |x|−2a |∇(un − u)|2 dx

=∫

RNf (x) |x|−2a |∇un −∇u|2 dx

=∫

RNf (x) |x|−2a |∇un|2 dx−

∫RN

f (x) |x|−2a |∇u|2 dx + o(1)

Passando ao limite quando n→ ∞, obtemos

limn→∞

∫RN

f (x) |x|−2a |∇vn|2 dx = limn→∞

∫RN

f (x) |x|−2a |∇un|2 dx

− limn→∞

∫RN

f (x) |x|−2a |∇u|2 dx

Assim, podemos escrever∫RN

f (x) dµ = limn→∞

∫RN

f (x) |x|−2a |∇un|2 dx−∫

RNf (x) |x|−2a |∇u|2 dx.


Em outros termos,

limn→∞

∫RN

f (x) |x|−2a |∇un|2 dx =∫

RNf (x) dµ +

∫RN

f (x) |x|−2a |∇u|2 dx.

Pela Definicao A.14 de convergencia fraca em medida, obtemos

|x|−2a |∇un|2 µ + |x|−2a |∇u|2 em M(RN). (2.32)

Consideramos agora uma funcao nao negativa h ∈ D(RN). Pelo Lema A.11 de Brezis e Lieb

segue-se que∫RN

h |x|−bp |u|p dx = limn→∞

(∫RN

h |x|−bp |un|p dx−∫

RNh |x|−bp |vn|p dx

)= lim

n→∞

(∫RN

h |x|−bp |un|p dx)−∫

RNh dν.

Dessa forma,

limn→∞

∫RN

h |x|−bp |un|p dx =∫

RNh dν +

∫RN

h |x|−bp |u|p dx.

Pela Definicao A.14 de convergencia fraca em medida, temos

|x|−bp |un|p ν + |x|−bp |u|p em M(RN). (2.33)

Das convergencias fracas em medida (2.32) e (2.33), segue-se que vale a desigualdade (2.14)

no caso geral.

ETAPA 5. Utilizando o Lema 2.4, temos que

limn→∞

∫|x|>R

|x|−2a |∇vn|2 dx = limn→∞

∫|x|>R

|x|−2a |∇un|2 dx− limn→∞

∫|x|>R

|x|−2a |∇u|2 dx.

Alem disso, pelo Teorema A.10 da convergencia dominada de Lebesgue temos∫|x|>R

|x|−2a |∇u|2 dx → 0

quando R→ ∞. Portanto,

limR→∞

(limn→∞

∫|x|>R

|x|−2a |∇vn|2 dx)= lim

R→∞

(limn→∞

∫|x|>R

|x|−2a |∇un|2 dx)= µ∞. (2.34)

Novamente pelo Lema A.11 de Brezis e Lieb, temos aplicado as funcoes fn = |x|−bun e

f = |x|−bu, segue-se que∫|x|>R

|x|−bp |u|p dx = limn→∞

(∫|x|>R

|x|−bp |un|p dx−∫|x|>R

|x|−bp |vn|p dx)

.

Assim,

limR→∞

∫|x|>R

|x|−bp |u|p dx = limR→∞

(limn→∞

(∫|x|>R

|x|−bp |un|p dx−∫|x|>R

|x|−bp |vn|p dx))


Portanto,

limR→∞

∫|x|>R

|x|−bp |u|p dx = 0.

E dessa forma,

limR→∞

(limn→∞

∫|x|>R

|x|−bp |vn|p dx)= lim

R→∞

(limn→∞

∫|x|>R

|x|−bp |un|p dx)= ν∞. (2.35)

Dos limites (2.34) e (2.35), segue-se que vale a desigualdade (2.15) no caso geral.

ETAPA 6. Para todo R > 1, temos

limn→∞

∫RN|x|−2a |∇un|2 dx = lim

n→∞

∫RN

ψR2 |x|−2a |∇un|2 dx

+ limn→∞

∫RN

(1− ψR2) |x|−2a |∇un|2 dx. (2.36)

Como |x|−2a |∇un|2 µ + |x|−2a |∇u|2 fracamente em M(RN) quando n → ∞, podemos

reescrever a segunda do lado direito de (2.36) parcela na forma

limn→∞

∫RN

(1− ψR2) |x|−2a |∇un|2 dx

=∫

RN(1− ψR

2)dµ +∫

RN(1− ψR

2) |x|−2a |∇u|2 dx

=∫

RNdµ−

∫RN

ψR2dµ +

∫RN|x|−2a |∇u|2 dx−

∫RN

ψR2 |x|−2a |∇u|2 dx.

Passando ao limite quando R→ ∞ na expressao anterior, obtemos

limR→∞

(limn→∞

∫RN

(1− ψR2) |x|−2a |∇un|2 dx

)= lim

R→∞

(∫RN

dµ +∫


)− lim

R→∞

(∫RN

ψR2dµ +

∫RN

ψR2 |x|−2a |∇u|2 dx

).

Alem disso, como ψR → 0 quando R → ∞, pelo Teorema A.10 da convergencia dominada

de Lebesgue temos que

limR→∞

(∫RN

ψR2dµ

)= lim

R→∞

(∫RN

ψR2 |x|−2a |∇u|2 dx

)= 0.

Combinando esses resultados, podemos escrever

limR→∞

(limn→∞

∫RN

(1− ψR2) |x|−2a |∇un|2 dx

)= ‖µ‖+

∣∣∣|x|−a∇u∣∣∣22

. (2.37)

Finalmente, usando os limites (2.29) e (2.37) aplicados em (2.36), obtemos

limR→∞

(limn→∞

∫RN|x|−2a |∇un|2 dx

)= µ∞ + ‖µ‖+

∣∣∣|x|−a∇u∣∣∣22

.

Isso significa que vale a igualdade (2.16), a saber,

limn→∞

∣∣∣|x|−a∇un

∣∣∣22= µ∞ + ‖µ‖+

∣∣∣|x|−a∇u∣∣∣22

.


Prosseguindo em nossa analise, para todo R > 1 temos

limn→∞

∫RN|x|−bp |un|p dx = lim

n→∞

∫RN

ψRp |x|−bp |un|p dx

+ limn→∞

∫RN

(1− ψRp) |x|−bp |un|p dx. (2.38)

Como |x|−bp |un|p ν + |x|−bp |u|p fracamente em M(RN) quando n → ∞, podemos reescre-

ver a segunda parcela do lado direito de (2.38) na forma

limn→∞

∫RN

(1− ψRp) |x|−bp |un|p dx

=∫

RN(1− ψR

p)dν +∫

RN(1− ψR

p) |x|−bp |u|p dx

=∫

RNdν−

∫RN

ψRpdν +

∫RN|x|−bp |u|p dx−

∫RN

ψRp |x|−bp |∇u|p dx.

Passando ao limite quando R→ ∞ na expressao anterior, obtemos

limR→∞

(limn→∞

∫RN


)= lim

R→∞

(∫RN

dν +∫

RN|x|−bp |u|p dx

)− lim

R→∞

(∫RN

ψRpdν +

∫RN

ψRp |x|−bp |u|p dx

)Alem disso, como ψR → 0 quando R → ∞, pelo Teorema A.10 da convergencia dominada

de Lebesgue temos que

limR→∞

(∫RN

ψRpdν

)= lim

R→∞

(∫RN

ψRp |x|−bp |u|p dx

)= 0.

Combinando esses resultados, podemos escrever

limR→∞

(limn→∞

∫RN


)= ‖ν‖+

∣∣∣|x|−b u∣∣∣p

p. (2.39)

Finalmente, usando os limites (2.30) e (2.39) aplicados em (2.38), obtemos

limR→∞

(limn→∞

∫RN|x|−bp |un|p dx

)= ν∞ + ‖ν‖+

∣∣∣|x|−b u∣∣∣p

p.

Isso significa que vale igualdade (2.17), a saber,

limn→∞

∣∣∣|x|−b un

∣∣∣pp= ν∞ + ‖ν‖+

∣∣∣|x|−b u∣∣∣p

p.


2.4 Demonstracao do Teorema 1.11

Para facilitar a leitura, enunciamos novamente o principal resultado deste capıtulo.

2.4. Demonstracao do Teorema 1.11 39

Teorema 1.11. Sejam N > 3, 0 6 a < (N − 2)/2, a + b > 0, a 6 b < 1 + a e p = p(a, b). Seja

(un)n∈N ⊂ D1,2a (RN) uma sequencia minimizante para S(a, b) verificando∣∣∣|x|−b un

∣∣∣p= 1,

∣∣∣|x|−a∇un

∣∣∣22→ S(a, b).


a (RN)


existe uma funcao minimizante para S(a, b).

Demonstracao. Seja (un)n∈N ⊂ D1,2a (RN) uma sequencia minimizante para S(a, b). Para todo

numero n ∈N, existe um numero tn ∈ R+ tal que∫|x|<tn

|x|−bp |un(x)|p dx =12

.

De fato, por hipotese ∫RN|x|−bp |un|p dx = 1 ∀n ∈N.

Logo, existe uma bola centrada na origem de RN e com raio ρ = tn na qual a integral vale

exatamente 1/2.

Agora definimos a sequencia (vn)n∈N ⊂ D1,2a (RN) de dilatacoes por

vn(x) = (un)tn(x) = t(N−2a−2)/2

n un(tnx).

Usando o Lema 2.1 sobre a invariancia das integrais envolvidas, a sequencia (vn)n∈N ⊂D1,2

a (RN) tambem e sequencia minimizante, pois∣∣∣|x|−b vn

∣∣∣p=∣∣∣|x|−b un

∣∣∣p= 1∣∣∣|x|−a∇vn

∣∣∣p=∣∣∣|x|−a∇un

∣∣∣p→ S(a, b)

quando n→ ∞.

Alem disso,∫|x|<1|x|−bp |vn(x)|p dx =

∫|x|<1|x|−bp

∣∣∣t(N−2a−2)/2n un(tnx)

∣∣∣p dx

=∫|x|<1|x|−bp t

p2 (N−2a−2)n |un(tnx)|p dx

=∫| y

tn |<1

∣∣∣∣ ytn

∣∣∣∣−bp

tp2 (N−2a−2)n |un(y)|p t−Ndy

=∫|y|<tn

|y|−bp tp2 (2b+N−2a−2)−Nn |un(y)|p dy,

em que usamos a substituicao y = tnx com dy = tNn dx. Pela definicao (1.24) do expoente crıtico

p = p(a, b) temos que p2 (N − 2 + 2b− 2a)− N = 0. Assim,∫

|y|<tn

|y|−bp tp2 (2b+N−2a−2)−Nn |un(y)|p dy =

∫|y|<tn

|y|−bp |un(y)|p dy =12

,


ou seja,

∫|x|<1|x|−bp |vn(x)|p dx =

12

(n ∈N). (2.40)

Como a sequencia (vn)n∈N ⊂ D1,2a (RN) e limitada, existe uma subsequencia, ainda deno-

tada da mesma forma, e existe uma funcao v ∈ D1,2a (RN) tais que sao validas as seguintes

convergencias:

1. vn v fracamente em D1,2a (RN);

2.∣∣∣|x|−a∇(vn − v)

∣∣∣2 µ fracamente em M(RN);

3.∣∣∣|x|−b (vn − v)

∣∣∣p ν fracamente em M(RN);

4. vn → v q.t.p. em RN .

De fato, como o espaco D1,2a (RN) e reflexivo, pela limitacao da sequencia (vn)n∈N ⊂ D1,2

a (RN)

obtemos uma subsequencia, sempre denotada da mesma forma, tal que vale a convergencia

fraca do item 1. Passando, se necessario, a uma nova subsequencia, obtemos a convergencia

fraca do item 2 no espaco M(RN) das medidas limitadas e positivas em RN . Pela inclusao

contınua, resulta, apos passagem a outra subsequencia, a convergencia fraca do item 3. Fi-

nalmente, usando convergencia em quase todo ponto de bolas centradas na origem de RN e

usando o argumento diagonal de Cantor, obtemos o item 4.

Pelo Lema 2.5 de concentracao e compacidade, das igualdades (2.16) e (2.17) segue-se que

valem as igualdades

S(a, b) =∣∣∣|x|−a∇v

∣∣∣22+ ‖µ‖+ µ∞,

1 =∣∣∣|x|−b v

∣∣∣pp+ ‖ν‖+ ν∞.

Alem disso, da Proposicao A.2 e das desigualdades (2.14) e (2.15), temos que valem as desi-

gualdades

∣∣∣|x|−a∇v∣∣∣22> S(a, b)

(∣∣∣|x|−b v∣∣∣p

p

)2/p

‖µ‖ > S(a, b)‖ν‖2/p

µ∞ > S(a, b)ν2/p∞ .

Sendo assim, combinando essas diversas desigualdades obtemos

S(a, b) =∣∣∣|x|−a∇v

∣∣∣22+ ‖µ‖+ µ∞ > S(a, b)

((∣∣∣|x|−b v∣∣∣p

p

)2/p

+ ‖ν‖2/p + ν2/p∞

).

Usando o fato de que p > 2 e a concavidade da funcao α 7→ α2/p definida para α ∈ [0, 1], resulta


que α2/p > α e que vale a igualdade se, e somente se, α = 0 ou α = 1. Logo,

S(a, b) > S(a, b)

((∣∣∣|x|−b v∣∣∣p

p

)2/p

+ ‖ν‖2/p + ν2/p∞

)

> S(a, b)(∣∣∣|x|−b v

∣∣∣pp+ ‖ν‖+ ν∞

)= S(a, b).

Com isso, valem as igualdades nas expressoes acima, ou seja,(∣∣∣|x|−b v∣∣∣p

p

)2/p

+ ‖ν‖2/p + ν2/p∞ =

∣∣∣|x|−b v∣∣∣p

p+ ‖ν‖+ ν∞ = 1.

Temos entao que ocorre apenas uma das tres possibilidades a seguir:

1.∣∣∣|x|−b v

∣∣∣pp= 0, ‖ν‖ = 0 e ν∞ = 1;

2.∣∣∣|x|−b v

∣∣∣pp= 0, ‖ν‖ = 1 e ν∞ = 0;

3.∣∣∣|x|−b v

∣∣∣pp= 1, ‖ν‖ = 0 e ν∞ = 0.

A possibilidade 1 nao ocorre ja que pela igualdade (2.40), temos

ν∞ := limR→∞

(limn→∞

∫|x| > R

|x|−pb |vn|p dx)6

12< 1.

Suponhamos agora que ocorre a possibilidade 2. Pela igualdade (2.16) temos que S(a, b) =‖µ‖+ µ∞. Logo,

1 = ‖ν‖ = ‖ν‖2/p 6 S(a, b)−1‖µ‖ = ‖µ‖‖µ‖+ µ∞

6 1.

Com isso, valem as igualdades na expressao acima. Sendo assim, concluımos que µ∞ = 0 ou

seja, S(a, b) = ‖µ‖. Vale entao a igualdade

‖ν‖2/p = S(a, b)−1‖µ‖. (2.41)

Como v = 0 e b < a + 1, segue-se do Lema 2.5 de concentracao e compacidade que as medidas

ν e µ concentram-se em um unico ponto x0 ∈ RN . Alem disso, x0 6= 0 pela igualdade (2.40).

A partir de agora dividimos nossa analise em dois casos: Caso 1: a < b; e Caso 2: 0 < a = b.

Caso 1. Se a < b, entao como p < 2∗ podemos aplicar o Teorema A.7 de Rellich-Kondrachov e

obter as igualdades

0 = limn→∞

∫Br(x0)

|x|−bp |vn|p dx = ‖ν‖ = 1,

em que 0 < r < |x0|. A primeira igualdade deve-se ao fato de que vn → 0 em Lp(RN) e a ultima

deve-se a concentracao da medida ν no ponto x0. Dessa forma, obtemos uma contradicao.

Logo, a possibilidade 2 nao ocorre nesse caso.


Caso 2. Se 0 < a = b, definimos

A := limn→∞

∫Br(x0)

|x|−2a |∇vn|2 dx(∫Br(x0)

|x|−2∗a |vn|2∗

dx)2/2∗ .

Dessa forma, temos que

A = ‖µ‖ = S(a, a).

Para justificar a primeira igualdade usamos os fatos de que∫Br(x0)

|x|−2a |∇vn|2 dx → ‖µ‖

e (∫Br(x0)

|x|−2∗a |vn|2∗

dx)2/2∗

= 1,

em que o raio r e arbitrario, pois a medida ν concentra-se em um unico ponto. E para justificar

a segunda igualdade usamos a igualdade (2.41) com b = a e obtemos

1 = ‖ν‖2/p = S(a, a)−1‖µ‖,

o que implica que S(a, a) = ‖µ‖.Seja agora uma funcao η ∈ D(Br(x0)) tal que η = 1 em Br/2(x0) com r ∈ R+. Assim, temos

que

A := limn→∞

∫Br(x0)

|x|−2a |∇vn|2 dx(∫Br(x0)

|x|−2∗a |vn|2∗

dx)2/2∗ > lim

n→∞

∫Br(x0)

(|x0|+ r)−2a |∇vn|2 dx(∫Br(x0)

(|x0| − r)−2∗a |vn|2∗

dx)2/2∗

=

(|x0|+ r|x0| − r

)−2a

limn→∞

∫Br(x0)

|∇vn|2 dx(∫Br(x0)

|vn|2∗

dx)2/2∗ =

(|x0| − r|x0|+ r

)2a

limn→∞

∫Br(x0)

|∇(ηvn)|2 dx(∫Br(x0)

|ηvn|2∗

dx)2/2∗ .

Por outro lado, tambem temos que

A := limn→∞

∫Br(x0)

|x|−2a |∇vn|2 dx(∫Br(x0)

|x|−2∗a |vn|2∗

dx)2/2∗ 6 lim

n→∞

∫Br(x0)

(|x0| − r)−2a |∇vn|2 dx(∫Br(x0)

(|x0|+ r)−2∗a |vn|2∗

dx)2/2∗

=

(|x0| − r|x0|+ r

)−2a

limn→∞

∫Br(x0)

|∇vn|2 dx(∫Br(x0)

|vn|2∗

dx)2/2∗ =

(|x0|+ r|x0| − r

)2a

limn→∞

∫Br(x0)


|ηvn|2∗

dx)2/2∗ .


Combinando esses resultados, obtemos

(|x0| − r|x0|+ r

)2a

limn→∞

∫Br(x0)


|ηvn|2∗

dx)2/2∗ 6 A 6

(|x0|+ r|x0| − r

)2a

limn→∞

∫Br(x0)


|ηvn|2∗

dx)2/2∗ .

(2.42)

Usando as desigualdades (2.42) com r ∈ RN suficientemente pequeno, pelo Teorema do

confronto resulta que

A = limn→∞

∫Br(x0)


|ηvn|2∗

dx)2/2∗ .

Alem disso, pela desigualdade de Sobolev segue-se que

A = limn→∞

∫Br(x0)


|ηvn|2∗

dx)2/2∗ = lim

n→∞

∫RN|∇(ηvn)|2 dx(∫

RN|ηvn|2

∗dx)2/2∗ > S.

Assim, temos que A = S(a, a) > S. Mas pelo Lema 2.2 a funcao g e estritamente decrescente.

Como a > 0, segue-se que S = g(0) > g(a) = S(a, a) e novamente obtemos uma contradicao.

Logo, a possibilidade 2 tambem nao occorre nesse caso.

Concluımos assim que somente pode ocorrer a possibilidade 3, a saber,∣∣∣|x|−b v∣∣∣p

p= 1, ‖ν‖ = 0 e ν∞ = 0.

Dessa forma, existe uma funcao v ∈ D1,2a (RN) que verifica a igualdade

S(a, b) = limn→∞

∣∣∣|x|−a∇vn

∣∣∣22=∣∣∣|x|−a∇v

∣∣∣22

. (2.43)

Em outros termos, existe uma funcao v ∈ D1,2a (RN) que realiza o ınfimo S(a, b). Isso conclui a

demonstracao do teorema.

Observacao 2.7. A funcao v ∈ D1,2a (RN) que realiza o ınfimo S(a, b) e solucao fraca do pro-

blema

−div(|x|−2a∇v

)= S(a, b) |x|−bp |v|p−2 v. (2.44)

Portanto, ∫RN|x|−2a∇v · ∇w dx = S(a, b)

∫RN|x|−bp |v|p−2 vw dx ∀w ∈ D(RN).


Podemos agora determinar um numero θ ∈ R+ tal que a funcao u(x) = θv(x) seja solucao

fraca do problema inicial (1.21), a saber,

−div(|x|−2a∇u

)= |x|−bp |u|p−2 u.

Para isso, a funcao u deve verificar a condicao∫RN|x|−2a∇u · ∇w dx =

∫RN|x|−bp |u|p−2 uw dx ∀w ∈ D(RN).

Em particular, usando w(x) = u(x) = θv(x), devemos ter∫RN|x|−2a∇(θv) · ∇(θv) dx =

∫RN|x|−bp |θv|p−2 (θv)(θv) dx,

ou seja, ∫RN|x|−2a |∇(θv)|2 dx =

∫RN|x|−bp |θv|p dx.

Simplificando as expressoes anteriores, obtemos

θ2∫

RN|x|−2a |∇v|2 dx = θp

∫RN|x|−bp |v|p dx.

Por fim, usando as igualdades∣∣∣|x|−b v

∣∣∣pp= 1 e

∣∣∣|x|−a∇v∣∣∣22= S(a, b), resulta que

θ2S(a, b) = θp.

Portanto, devemos escolher θ = S(a, b)1/(p−2). Finalmente, concluımos que se v e solucao fraca

do problema (2.44), entao u = S(a, b)1/(p−2)v e solucao fraca do problema (1.21).

Observacao 2.8. A solucao u do problema (1.21) e conhecida na literatura como solucao de

energia mınima, ou solucao “ground state”. Essa solucao e positiva e diferenciavel em todos

os pontos exceto na origem. Essa conclusao segue da teoria de regularidade para equacoes

diferenciais elıpticas. Para mais detalhes, consulte os livros de Brezis [6, Caps. 8 e 9] e de

Evans [11, Cap. 6].

-3- Sequencias minimizantes para S(a, b, λ)

Nosso objetivo principal neste capıtulo e demonstrar os Teoremas 1.12 e 1.13. Para isso, de-

vemos mostrar que S(a, b, λ) e atingida. Assim, seja uma sequencia minimizante (un)n∈N ⊂D1,2

a (RN) tal que∣∣∣|x|−b un

∣∣∣p= 1,

∣∣∣|x|−a∇un

∣∣∣22+ λ

∣∣∣|x|−(1+a) un

∣∣∣22→ S(a, b, λ) (n→ ∞). (3.1)

Passando, se necessario, a uma subsequencia (sempre denotada da mesma forma), pode-

mos supor que un u fracamente em D1,2a (RN) quando n → ∞. A justificativa e a mesma

apresentada no inıcio do capıtulo 2. E como a norma e fracamente semicontınua inferiormente,

tambem temos que∣∣∣|x|−a∇u∣∣∣22+ λ

∣∣∣|x|−(1+a) u∣∣∣226 lim inf

n→∞

(∣∣∣|x|−a∇un

∣∣∣22+ λ

∣∣∣|x|−(1+a) un

∣∣∣22

)= S(a, b, λ).

No momento, temos apenas a desigualdade∣∣∣|x|−b u

∣∣∣p6 1. Para garantir que u ∈ D1,2

a (RN)

e uma funcao minimizante para S(a, b, λ), resta demonstrar que vale a igualdade∣∣∣|x|−b u

∣∣∣p= 1.

3.1 Invariancia de sequencias minimizantes por dilatacoes

Assim como no capıtulo 2, para v ∈ D1,2a (RN) e t ∈ R+, definimos uma famılia de dilatacoes

por vt(x) = t(N−2a−2)/2v(tx). Para mostrar que as sequencias minimizantes sao invariantes por

esse grupo de dilatacoes, devemos verificar as seguintes propriedades:

1.∣∣∣|x|−a∇vt

∣∣∣2=∣∣∣|x|−a∇v

∣∣∣2.

2.∣∣∣|x|−b vt

∣∣∣p=∣∣∣|x|−b v

∣∣∣p.

3.∣∣∣|x|−(1+a) vt

∣∣∣22=∣∣∣|x|−(1+a) v

∣∣∣22.

As duas primeiras propriedades ja foram demonstradas no Lema 2.1. Para demonstrar a

terceira propriedade, observamos que a escolha do expoente da singularidade nessa parcela

deve ser apropriada. De fato,∫RN

∣∣∣|x|θ vt(x)∣∣∣2 dx =

∫RN|x|2θ |vt(x)|2 dx =

∫RN|x|2θ

∣∣∣t(N−2a−2)/2v(tx)∣∣∣2 dx

=∫

RN|x|2θ t(N−2a−2) |v(tx)|2 dx =

∫RN

∣∣∣yt

∣∣∣2θt(N−2a−2) |v(y)|2 t−Ndy

=∫

RN|y|2θ t−2θ+(N−2a−2)−N |v(y)|2 dy =

∫RN|y|2θ t−2θ−2a−2 |v(y)|2 dy

em que utilizamos a mudanca de variaveis y = tx com dx = t−Ndy. Desta forma, para obter-

mos a invariancia das sequencias minimizantes por dilatacoes devemos escolher −2θ − 2a −2 = 0, ou seja, θ = −(1 + a). Isso conclui a verificacao da terceira propriedade e justifica a

formulacao do problema (1.22).

45

46 3. Sequencias minimizantes para S(a, b, λ)

Observacao 3.1. As hipoteses sobre o parametro λ ∈ R no problema (1.22) visam garantir que

S(a, b, λ) > 0. De fato, notamos que∫RN

∣∣∣|x|−a∇u∣∣∣2 dx + λ

∫RN

∣∣∣|x|−(a+1) u∣∣∣2 dx(∫

RN

∣∣∣|x|−b u∣∣∣p dx

)2/p

=

∫RN

∣∣∣|x|−a∇u∣∣∣2 dx(∫

RN

∣∣∣|x|−b u∣∣∣p dx

)2/p

1 + λ

∫RN

∣∣∣|x|−(a+1) u∣∣∣2 dx∫

RN

∣∣∣|x|−a∇u∣∣∣p dx

.

Assim, utilizando a Proposicao A.2 temos que para qualquer u ∈ D1,2a (RN) vale

0 < S(a, b, λ) = infu∈D1,2

a (RN)u 6=0

∣∣∣|x|−a∇u∣∣∣22+ λ

∣∣∣|x|−(1+a) u∣∣∣22∣∣∣|x|−b u

∣∣∣2p

= infu∈D1,2

a (RN)u 6=0

∫RN

∣∣∣|x|−a∇u∣∣∣2 dx + λ

∫RN

∣∣∣|x|−(a+1) u∣∣∣2 dx(∫

RN

∣∣∣|x|−b u∣∣∣p dx

)2/p

6

∫RN

∣∣∣|x|−a∇u∣∣∣2 dx + λ

∫RN

∣∣∣|x|−(a+1) u∣∣∣2 dx(∫

RN

∣∣∣|x|−b u∣∣∣p dx

)2/p

=

∫RN

∣∣∣|x|−a∇u∣∣∣2 dx(∫

RN

∣∣∣|x|−b u∣∣∣p dx

)2/p

1 + λ

∫RN

∣∣∣|x|−(a+1) u∣∣∣2 dx∫

RN

∣∣∣|x|−a∇u∣∣∣p dx

Como S(a, b) > 0, segue-se que ∫

RN

∣∣∣|x|−a∇u∣∣∣2 dx(∫

RN

∣∣∣|x|−b u∣∣∣p dx

)2/p > 0.

Portanto, devemos ter tambem

1 + λ

∫RN

∣∣∣|x|−(a+1) u∣∣∣2 dx∫

RN

∣∣∣|x|−a∇u∣∣∣p dx

> 0.

Mas essa desigualdade e equivalente a

−S(a, a + 1) = −

∫RN

∣∣∣|x|−(a+1) u∣∣∣2 dx∫

RN

∣∣∣|x|−a∇u∣∣∣p dx

< λ.

3.2. Lema de concentracao e compacidade para S(a, b, λ) 47

Portanto, se −S(a, a + 1) < λ, entao S(a, b, λ) > 0. E importante ressaltar que, com essa

condicao, garantimos que

‖u‖ =(∫

RN|x|−2a |∇u|2 dx + λ

∫RN|x|−2(1+a) |u|2 dx

)1/2

e uma norma no espaco D1,2a (RN).

3.2 Lema de concentracao e compacidade para S(a, b, λ)

Nesta secao enunciamos uma nova versao do lema de concentracao e compacidade. Esse re-

sultado e crucial nas demonstracoes dos Teoremas (1.12) e (1.13).

Lema 3.2. Seja N > 3 e sejam os parametros 0 6 a < (N − 2)/2, a 6 b 6 1 + a, p = p(a, b) e−S(a, a + 1) < λ. Seja (un)n∈N ⊂ D1,2

a (RN) uma sequencia tal que

un u fracamente em D1,2a (RN),∣∣∣|x|−a∇(un − u)

∣∣∣2 + λ |x|−2(1+a) (un − u)2 γ fracamente em M(RN),∣∣∣|x|−b (un − u)∣∣∣2 ν fracamente em M(RN),

un → u q.t.p. em RN .

Definimos as medidas de concentracao no infinito

γ∞ := limR→∞

(limn→∞

∫|x| > R

(|x|−2a |∇un|2 + λ |x|−2(1+a) u2

n

)dx)

, (3.2)

ν∞ := limR→∞

(limn→∞

∫|x| > R

|x|−pb |un|p dx)

. (3.3)

Entao valem os seguintes resultados:

‖ν‖2/p 6 S(a, b, λ)−1 ‖γ‖, (3.4)

ν2/p∞ 6 S(a, b, λ)−1 γ∞, (3.5)

limn→∞

(∣∣∣|x|−a∇un

∣∣∣22+ λ

∣∣∣|x|−(1+a) un

∣∣∣22

)=∣∣∣|x|−a∇u

∣∣∣22+ λ

∣∣∣|x|−(1+a) u∣∣∣22+ ‖γ‖+ γ∞, (3.6)

limn→∞

∣∣∣|x|−b un

∣∣∣pp=∣∣∣|x|−b u

∣∣∣pp+ ‖ν‖+ ν∞. (3.7)

Alem disso, se b < 1 + a, se u = 0 e se ‖ν‖2/p = S(a, b, λ)−1‖γ‖, entao as medidas ν e γ concentram-se em um unico ponto.

Demonstracao. Assim como na demonstracao do Lema 2.5, organizamos, a demonstracao em 6

etapas. Nas etapas 1 e 2 obtemos as desigualdades (3.4) e (3.5) no caso particular em que u = 0;

na etapa 3 demonstramos que, no caso em que b < a + 1, u = 0, e ‖ν‖2/p = S(a, b, λ)−1‖γ‖,


as medidas ν e γ concentram-se em um unico ponto; nas etapas 4 e 5 obtemos as desigualda-

des (3.4) e (3.5) no caso geral; e na etapa 6 encerramos a demonstracao obtendo as igualda-

des (3.6) e (3.7).

Ressaltamos que diversas etapas da demonstracao sao semelhantes as correspondentes eta-

pas da demonstracao do Lema 2.5. Optamos por escreve-las em detalhes para benefıcio do

leitor.

ETAPA 1. Suponhamos inicialmente que u = 0. Dada uma funcao h ∈ D(RN), temos que

hun ∈ D1,2a (RN). Pela definicao de S(a, b, λ) e usando a Proposicao A.2, resulta que(∫

RN|x|−pb |hun|pdx

)2/p

6 S(a, b, λ)−1∫

RN|x|−2a |∇(hun)|2 dx

+ λ S(a, b, λ)−1∫

RN|x|−2(1+a) |hun|2 dx

= S(a, b, λ)−1∫


+ λ S(a, b, λ)−1∫

RN|x|−2(1+a) |hun|2 dx. (3.8)

Utilizando o item 1 da desigualdade (1) com A = |h∇un| e B = |un∇h|, segue-se que dado

ε ∈ R+ existe uma constante Cε ∈ R+ tal que

|h∇un + un∇h|2 6 (1 + ε) |h∇un|2 + Cε |un∇h|2 .

Sendo assim, o lado direito da desigualdade (3.8) e tal que

S(a, b, λ)−1∫


6 S(a, b, λ)−1∫

RN|x|−2a

[(1 + ε) |h∇un|2 + Cε |un∇h|2

]dx

=(1 + ε)

S(a, b, λ)

∫RN|x|−2a |h∇un|2 dx +

Cε

S(a, b, λ)

∫RN|x|−2a |un∇h|2 dx

=(1 + ε)

S(a, b, λ)

∫RN|h|2

∣∣x−a∇un∣∣2 dx +

Cε

S(a, b, λ)

∫RN|∇h|2

∣∣x−aun∣∣2 dx (3.9)

Combinando as desigualdades (3.8) e (3.9), resulta que(∫RN|h|p

∣∣∣x−bun

∣∣∣pdx)2/p

6(1 + ε)

S(a, b, λ)

∫RN|h|2

∣∣x−a∇un∣∣2 dx +

Cε

S(a, b, λ)

∫RN|∇h|2

∣∣x−aun∣∣2 dx

+λ

S(a, b, λ)

∫RN|x|−2(1+a) |hun|2 dx. (3.10)

Pela Definicao A.14 de convergencia em medida, temos∫RN|h|p

∣∣∣x−bun

∣∣∣pdx →∫

RN|h|p dν (3.11)∫

RN|h|2

∣∣x−a∇un∣∣2 dx + λ

∫RN|h|2

∣∣∣x−(1+a)un

∣∣∣2 dx →∫

RN|h|2 dγ (3.12)


quando n → ∞. Alem disso, pelo Lema 2.3 sobre convergencia local em L2(RN) e pelo Teo-

rema A.10 da convergencia dominada de Lebesgue, segue-se que∫RN|∇h|2

∣∣x−aun∣∣2 dx → 0 (3.13)

quando n→ ∞.

Consideramos agora uma sequencia (εn)n∈N ⊂ R+ tal que εn → 0 quando n→ ∞. Usando

a desigualdade (3.10) e os limites (3.11), (3.12) e (3.13), obtemos a desigualdade

(∫RN|h|p dν

)2/p

6 S(a, b, λ)−1∫

RN|h|2 dγ (3.14)

Dessa forma, no caso em que u = 0 vale a desigualdade (3.4), a saber,

‖ν‖2/p 6 S(a, b, λ)−1 ‖γ‖.

ETAPA 2. Para R > 1, consideramos uma funcao corte ψR ∈ C∞(RN) tal que 0 6 ψR 6 1 e

ψR(x) =

1, se |x| > R + 1,

0, se |x| 6 R.

Reescrevendo a desigualdade (3.10) com h = ψR, obtemos

(∫RN|ψR|p

∣∣∣x−bun

∣∣∣pdx)2/p

6(1 + ε)

S(a, b, λ)

∫RN|ψR|2

∣∣x−a∇un∣∣2 dx

+Cε

S(a, b, λ)

∫RN|∇ψR|2

∣∣x−aun∣∣2 dx

+λ

S(a, b, λ)

∫RN|x|−2(1+a) |ψRun|2 dx. (3.15)

Novamente consideramos uma sequencia (εn)n∈N ⊂ R+ tal que εn → 0 quando n → ∞.

Usando o limite (3.13) com h = ψR e a desigualdade (3.15), segue-se que

limn→∞

(∫RN|x|−pb |ψRun|pdx

)2/p

6 S(a, b, λ)−1 limn→∞

(∫RN|x|−2a |ψR∇un|2 dx +λ

∫RN|x|−2(1+a) |ψRun|2 dx

). (3.16)

Por outro lado, como demonstramos no Lema 2.5, pela definicao de ψR temos que vale o

par de desigualdades∫|x|>R+1

|x|−2a |∇un|2 dx 6∫

RN|x|−2a ψ2

R |∇un|2 dx 6∫|x|>R

|x|−2a |∇un|2 dx. (3.17)


Prosseguindo em nossa analise, analogamente ao que fizemos na demonstracao do Lema 2.5,

pela definicao de ψR temos que∫RN|x|−2(1+a) ψ2

R |un|2 dx =∫|x|>R+1

|x|−2(1+a) ψ2R |un|2 dx +

∫|x|6R+1

|x|−2(1+a) ψ2R |un|2 dx

=∫|x|>R+1

|x|−2(1+a) |un|2 dx +∫|x|6R+1

|x|−2(1+a) ψ2R |un|2 dx

>∫|x|>R+1

|x|−2(1+a) |un|2 dx

e ∫RN|x|−2(1+a) ψ2

R |un|2 dx =∫|x|>R

|x|−2(1+a) ψ2R |un|2 dx +

∫|x|6R

|x|−2(1+a) ψ2R |un|2 dx

=∫|x|>R

|x|−2(1+a) ψ2R |un|2 dx

6∫|x|>R

|x|−2(1+a) |un|2 dx.

Segue-se entao que∫|x|>R+1

|x|−2(1+a) |un|2 dx 6∫

RN|x|−2(1+a) ψ2

R |un|2 dx 6∫|x|>R

|x|−2(1+a) |un|2 dx. (3.18)

Do par de desigualdades (3.18), temos que se λ > 0, entao valem as desigualdades

λ∫|x|>R+1

|x|−2(1+a) |un|2 dx 6 λ∫

RN|x|−2(1+a) ψ2

R |un|2 dx 6 λ∫|x|>R

|x|−2(1+a) |un|2 dx, (3.19)

Analogamente, do par de desigualdades (3.18), temos que se λ < 0 , entao valem as desigual-

dades

λ∫|x|>R

|x|−2(1+a) |un|2 dx 6 λ∫

RN|x|−2(1+a) ψ2

R |un|2 dx 6 λ∫|x|>R+1

|x|−2(1+a) |un|2 dx. (3.20)

Agora combinamos os pares de desigualdades (3.17) e (3.19) no caso em que λ > 0 e obte-

mos o par de desigualdades∫|x|>R+1

|x|−2a |∇un|2 dx+λ∫|x|>R+1

|x|−2(1+a) |un|2 dx

6∫

RN|x|−2a ψ2

R |∇un|2 dx + λ∫

RN|x|−2(1+a) ψ2

R |un|2 dx

6∫|x|>R

|x|−2a |∇un|2 dx + λ∫|x|>R

|x|−2(1+a) |un|2 dx. (3.21)

Alem disso, combinando os pares de desigualdades (3.17) e (3.20) no caso em que λ < 0 e

obtemos o par de desigualdades∫|x|>R+1

|x|−2a |∇un|2 dx+λ∫|x|>R

|x|−2(1+a) |un|2 dx

6∫

RN|x|−2a ψ2

R |∇un|2 dx + λ∫

RN|x|−2(1+a) ψ2

R |un|2 dx

6∫|x|>R

|x|−2a |∇un|2 dx + λ∫|x|>R+1

|x|−2(1+a) |un|2 dx. (3.22)


Usando o par de desigualdades (3.21), resulta que

γ∞ = limR→∞

(limn→∞

∫|x|>R+1

|x|−2a |∇un|2 dx + λ∫|x|>R+1

|x|−2(1+a) |un|2 dx)

6 limR→∞

(limn→∞

∫RN|x|−2a ψ2

R |∇un|2 dx + λ∫

RN|x|−2(1+a) ψ2

R |un|2 dx)

6 limR→∞

(limn→∞

∫|x|>R

|x|−2a |∇un|2 dx + λ∫|x|>R

|x|−2(1+a) |un|2 dx)

= γ∞.

Da mesma forma, usando o par de desigualdades (3.22), resulta que

γ∞ = limR→∞

(limn→∞

∫|x|>R+1

|x|−2a |∇un|2 dx + λ∫|x|>R

|x|−2(1+a) |un|2 dx)

6 limR→∞

(limn→∞

∫RN|x|−2a ψ2

R |∇un|2 dx + λ∫

RN|x|−2(1+a) ψ2

R |un|2 dx)

6 limR→∞

(limn→∞

∫|x|>R

|x|−2a |∇un|2 dx + λ∫|x|>R+1

|x|−2(1+a) |un|2 dx)

= γ∞.

Pelo Teorema do confronto concluımos que valem os sinais de igualdade nas diversas ex-

pressoes anteriores, isto e,

γ∞ = limR→∞

(limn→∞

∫RN|x|−2a ψ2

R |∇un|2 dx + λ∫

RN|x|−2(1+a) ψ2

R |un|2 dx)

. (3.23)

No Lema 2.5 demonstramos que

ν∞ = limR→∞

(limn→∞

∫RN|x|−bp ψ

pR |un|p dx

). (3.24)

Assim, passando ao limite quando R → ∞ na desigualdade (3.16), e usando os limites (3.23)

e (3.24) obtemos a desigualdade (3.5), a saber,

ν2/p∞ 6 S(a, b, λ)−1 γ∞.

ETAPA 3. Considerando ainda o caso u = 0, suponhamos que b < a + 1 e que ‖ν‖2/p =

S(a, b, λ)−1‖γ‖. Aplicando a desigualdade (A.11) de Holder ao lado direito da desigualdade (3.14),

com os expoentes conjugados q = p/2 e q′ = p/(p − 2), temos que para qualquer funcao

h ∈ D(RN), vale(∫RN|h|p dν

)2/p

6 S(a, b, λ)−1∫

RN|h|2 dγ

6 S(a, b, λ)−1(∫

RN

∣∣h2∣∣p/2dγ

)2/p (∫RN

dγ

)(p−2)/p

= S(a, b, λ)−1(∫

RN|h|p dγ

)2/p

‖γ‖(p−2)/p.


Com isso, deduzimos que vale a igualdade

ν = S(a, b, λ)−p/2‖γ‖(p−2)/2γ. (3.25)

Para verificar essa afirmativa argumentamos por contradicao. De fato, suponhamos que nao

seja valida a igualdade (3.25). Entao existe um subconjunto aberto Ω ⊂ RN tal que vale a

desigualdade estrita

ν(Ω) < S(a, b, λ)−p/2‖γ‖(p−2)/2γ(Ω).

Portanto, temos que

‖ν‖ = |〈ν, 1〉| =∫

Ωdν +

∫RN\Ω

dν

<∫

ΩS(a, b, λ)−p/2‖γ‖(p−2)/2dγ +

∫RN\Ω

S(a, b, λ)−p/2‖γ‖(p−2)/2dγ

=∫

RNS(a, b, λ)−p/2‖γ‖(p−2)/2dγ

= S(a, b, λ)−p/2‖γ‖p/2

Consequentemente, tambem vale a desigualdade estrita ‖ν‖2/p < S(a, b, λ)−1‖γ‖, o que e uma

contradicao com a hipotese ‖ν‖2/p = S(a, b, λ)−1‖γ‖. Sendo assim, da igualdade (3.25) segue-

se que

γ = S(a, b, λ)p/2‖γ‖−(p−2)/2ν.

Substituindo esse valor de γ na desigualdade (3.14), obtemos(∫RN|h|p dν

)2/p

6 S(a, b, λ)−1∫

RN|h|2 dγ

= S(a, b, λ)−1∫

RN|h|2 S(a, b, λ)p/2‖γ‖−(p−2)/2dν

= S(a, b, λ)(p−2)/2‖γ‖−(p−2)/2∫

RN|h|2 dν

Essa ultima desigualdade pode ser reescrita na forma(∫RN|h|p dν

)2/p

S(a, b, λ)−(p−2)/2‖γ‖(p−2)/2 6∫

RN|h|2 dν.

Agora notamos que

‖γ‖(p−2)/2 =(

S(a, b, λ)‖ν‖2/p)(p−2)/2

= S(a, b, λ)(p−2)/2‖ν‖(p−2)/p,

e, portanto,(∫RN|h|p dν

)2/p

S(a, b, λ)−(p−2)/2‖γ‖(p−2)/2 =

(∫RN|h|p dν

)2/p

‖ν‖(p−2)/p


Dessa forma, segue-se que(∫RN|h|p dν

)2/p

‖ν‖(p−2)/p 6∫

RN|h|2 dν.

Sendo assim, para cada conjunto aberto Ω ⊂ RN , vale a desigualdade

(ν(Ω))2/p(

ν(RN))(p−2)/p

6 ν(Ω).

Se ν(Ω) 6= 0, entao podemos reescrever essa desigualdade na forma(ν(RN)

)(p−2)/p6 (ν(Ω))(p−2)/p ,

e isso significa que ν(RN) 6 ν(Ω), ou seja, ν(RN) = ν(Ω).

Concluımos que ν(Ω) = 0 ou ν(RN) = ν(Ω). Assim, a medida ν concentra-se em um unico

ponto. Consequentemente, a medida γ tambem concentra-se em um unico ponto.

ETAPA 4. Consideramos agora o caso geral em que un u fracamente em D1,2a (RN). Definimos

a sequencia (vn)n∈N ⊂ D1,2a (RN) por vn = un − u. Assim, vn 0 fracamente em D1,2

a (RN)

quando n→ ∞.

Por hipotese temos que

|x|−2a |∇(un − u)|2 + λ |x|−2(1+a) (un − u)2 γ fracamente em M(RN).

Isso significa que, para qualquer f ∈ D(RN) vale o limite∫RN

f (x)dγ = limn→∞

∫RN

f (x) |x|−2a |∇(un − u)|2 dx

+ λ limn→∞

∫RN

f (x) |x|−2(1+a) (un − u)2 dx. (3.26)

Para avaliar o primeiro limite do lado direito da expressao (3.26) usamos o Lema 2.4. Por-

tanto,

limn→∞

∫RN

f (x) |x|−2a |∇(un − u)|2 dx = limn→∞

∫RN

f (x) |x|−2a |∇un|2 dx

−∫

RNf (x) |x|−2a |∇u|2 dx. (3.27)

Para avaliar o segundo limite do lado direito da expressao (3.26) usamos o Lema A.11 de

Brezis e Lieb. Portanto,

limn→∞

[∫RN

f (x) |x|−2(1+a) u2n dx−

∫RN

f (x) |x|−2(1+a) (un − u)2 dx]

=∫

RNf (x) |x|−2(1+a) u2 dx,

ou seja,

limn→∞

∫RN

f (x) |x|−2(1+a) (un − u)2 dx = limn→∞

∫RN

f (x) |x|−2(1+a) u2n dx

−∫

RNf (x) |x|−2(1+a) u2 dx. (3.28)


Usando os limites (3.27) e (3.28) para avaliar o limite (3.26), obtemos∫RN

f (x)dγ =

(limn→∞

∫RN

f (x) |x|−2a |∇un|2 dx−∫

RNf (x) |x|−2a |∇u|2 dx

)+ λ

(limn→∞

∫RN

f (x) |x|−2(1+a) u2n dx−

∫RN

f (x) |x|−2(1+a) u2 dx)

.

Reescrevendo a expressao acima, temos que para qualquer f ∈ D(RN), vale o limite

limn→∞

∫RN

f (x)(|x|−2a |∇un|2 + λ |x|−2(1+a) u2

n

)dx

=∫

RNf (x)dγ + lim

n→∞

∫RN

f (x)(|x|−2a |∇u|2 + λ |x|−2(1+a) u2

)dx

Sendo assim, segue da Definicao A.14 de convergencia fraca em medida que

|x|−2a |∇un|2 + λ |x|−2(1+a) u2n γ + |x|−2a |∇u|2 + λ |x|−2(1+a) u2 em M(RN). (3.29)

Alem disso, demonstramos no Lema 2.5 que vale (2.33), a saber,

|x|−bp |un|p ν + |x|−bp |u|p em M(RN).

Das convergencias fracas em medida (2.33) e (3.29), segue-se que vale a desigualdade (3.4) no

caso geral.

ETAPA 5 Com o objetivo de demonstrar a desigualdade (3.5) no caso geral, comecamos com as

estimativas∣∣∣∣∫|x|>R|x|−2a |∇vn|2 dx + λ

∫|x|>R

|x|−2(1+a) |vn|2 dx

−∫|x|>R

|x|−2a |∇un|2 dx− λ∫|x|>R

|x|−2(1+a) |un|2 dx∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∫|x|>R|x|−2a |∇(un − u)|2 dx + λ

∫|x|>R

|x|−2(1+a) |(un − u)|2 dx

−∫|x|>R

|x|−2a |∇un|2 dx− λ∫|x|>R

|x|−2(1+a) |un|2 dx∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∫|x|>R|x|−2a

(|∇(un − u)|2 − |∇un|2

)dx + λ

∫|x|>R

|x|−2(1+a)(|un − u|2 − |un|2

)dx∣∣∣∣

6∫|x|>R

|x|−2a∣∣∣|∇(un − u)|2 − |∇un|2

∣∣∣ dx + |λ|∫|x|>R

|x|−2(1+a)∣∣∣|un − u|2 − |un|2

∣∣∣ dx

6 ε

(∫|x|>R

|x|−2a |∇un|2 dx + |λ|∫|x|>R

|x|−2(1+a) |un|2 dx)

+ Cε

(∫|x|>R

|x|−2a |∇u|2 dx + |λ|∫|x|>R

|x|−2(1+a) |u|2 dx)

em que, na ultima passagem, utilizamos o item 2 da desigualdade (2).

Observamos que o fator multiplicado por ε e limitado, enquanto que o fator multiplicado

por Cε tende a zero quando R→ ∞, visto que as diversas parcelas sao integraveis.


Dessa forma, temos que para qualquer ε > 0, vale a desigualdade∣∣∣∣ limR→∞

limn→∞

(∫|x|>R

|x|−2a |∇vn|2 dx + λ∫|x|>R

|x|−2(1+a) |vn|2 dx)

− limR→∞

limn→∞

(∫|x|>R

|x|−2a |∇un|2 dx− λ∫|x|>R

|x|−2(1+a) |un|2 dx)∣∣∣∣ 6 εK,

isto e, ∣∣∣∣ limR→∞

limn→∞

(∫|x|>R

|x|−2a |∇vn|2 dx + λ∫|x|>R

|x|−2(1+a) |vn|2 dx)− γ∞

∣∣∣∣ 6 εK.

Logo, considerando uma sequencia (εn)n∈N ⊂ R+ tal que εn → 0 quando n→ ∞, obtemos

limR→∞

limn→∞

(∫|x|>R

|x|−2a |∇vn|2 dx + λ∫|x|>R

|x|−2(1+a) |vn|2 dx)= γ∞ (3.30)

Alem disso, na demonstracao do Lema 2.5 verificamos que vale a convergencia fraca (2.35),

a saber,

limR→∞

(limn→∞

∫|x|>R

|x|−bp |vn|p dx)= lim

R→∞

(limn→∞

∫|x|>R

|x|−bp |un|p dx)= ν∞.

Dos limites (2.35) e (3.30), segue-se que vale a desigualdade (3.5) no caso geral.

ETAPA 6. Utilizando ainda a funcao corte ψR com R > 1, escrevemos

limn→∞

∫RN

(|x|−2a |∇un|2 + |x|−2(1+a) |un|2

)dx

= limn→∞

[∫RN

ψ2R

(|x|−2a |∇un|2 + λ |x|−2(1+a) |un|2

)dx

+∫

RN(1− ψ2

R)(|x|−2a |∇un|2 + λ |x|−2(1+a) |un|2

)dx]

= limn→∞

∫RN

ψ2R

(|x|−2a |∇un|2 + λ |x|−2(1+a) |un|2

)dx

+ limn→∞

∫RN

(1− ψ2R)(|x|−2a |∇un|2 + λ |x|−2(1+a) |un|2

)dx. (3.31)

Para avaliar o limite, quando R→ ∞, da primeira parcela do lado direito da expressao (3.31)

basta usar a formula (3.23). Assim,

γ∞ = limR→∞

(limn→∞

∫RN|x|−2a ψ2

R |∇un|2 dx + λ∫

RN|x|−2(1+a) ψ2

R |un|2 dx)

.

Para avaliar o limite, quando R→ ∞, da segunda parcela do lado direito da expressao (3.31)

usamos a convergencia fraca em medida (3.29). Dessa forma, obtemos

limn→∞

∫RN

(1− ψ2R)(|x|−2a |∇un|2 + λ |x|−2(1+a) |un|2

)dx

=∫

RN(1− ψ2

R)dγ +∫

RN(1− ψ2

R)(|x|−2a |∇u|2 + λ |x|−2(1+a) |u|2

)dx

=∫

RNdγ−

∫RN

ψ2Rdγ +

∫RN

(|x|−2a |∇u|2 + λ |x|−2(1+a) |u|2

)dx

−∫

RNψ2

R

(|x|−2a |∇u|2 + λ |x|−2(1+a) |u|2

)dx.


Usando a definicao da funcao ψR e o Teorema A.10 da convergencia dominada de Lebesgue,

segue-se que

limR→∞

∫RN

ψ2Rdγ = 0

e que

limR→∞

∫RN

ψ2R

(|x|−2a |∇u|2 + λ |x|−2(1+a) |u|2

)dx = 0.

Assim, usando esses dois resultados em (3.31), obtemos

limR→∞

limn→∞

∫RN

(|x|−2a |∇un|2 + |x|−2(1+a) |un|2

)dx

= limR→∞

limn→∞

∫RN

ψ2R

(|x|−2a |∇un|2 + λ |x|−2(1+a) |un|2

)dx

+ limR→∞

limn→∞

∫RN

(1− ψ2R)(|x|−2a |∇un|2 + λ |x|−2(1+a) |un|2

)dx

= γ∞ + ‖γ‖+∣∣∣|x|−a∇u

∣∣∣22+ λ

∣∣∣|x|−(1+a) u∣∣∣22

que e a igualdade (3.6).

Por fim, na demonstracao do Lema 2.5 ja verificamos a igualdade (3.7).



Comecamos esta secao reenunciando o resultado.

Teorema 1.12. Sejam N > 3, 0 6 a < (N − 2)/2, a 6 b < 1 + a, p = p(a, b) e −S(a, a + 1) <

λ < 0. Seja (un)n∈N ⊂ D1,2a (RN) uma sequencia minimizante para S(a, b, λ) satisfazendo∣∣∣|x|−b un

∣∣∣p= 1,

∣∣∣|x|−a∇un

∣∣∣22+ λ

∣∣∣|x|−(1+a) un

∣∣∣22→ S(a, b, λ).


a (RN)



Demonstracao. Seja (un)n∈N ⊂ D1,2a (RN) uma sequencia minimizante para S(a, b, λ). Para todo

numero n ∈N, existe um numero tn ∈ R+ tal que∫|x|<tn

|x|−bp |un(x)|p dx =12

.

De fato, por hipotese ∫RN|x|−bp |un|p dx = 1 ∀n ∈N.

Logo, existe uma bola centrada na origem de RN e com raio ρ = tn na qual a integral vale

exatamente 1/2.


Agora definimos a sequencia (vn)n∈N ⊂ D1,2a (RN) de dilatacoes por

vn(x) = (un)tn(x) = t(N−2a−2)/2

n un(tnx).

Usando a invariancia das sequencias minimizantes por dilatacoes demonstrada na secao 3.1,

temos que ∣∣∣|x|−b vn

∣∣∣p=∣∣∣|x|−b un

∣∣∣p= 1

e

∣∣∣|x|−a∇vn

∣∣∣p+ λ

∣∣∣|x|−(1+a) vn

∣∣∣22=∣∣∣|x|−a∇un

∣∣∣p+ λ

∣∣∣|x|−(1+a) un

∣∣∣22→ S(a, b, λ)

quando n→ ∞. Alem disso, como ja fizemos na demonstracao do Teorema 1.11, tambem temos

que

∫|x|<1|x|−bp |vn(x)|p dx =

∫|y|<tn

|y|−bp |un(y)|p dy =12

. (3.32)

Como a sequencia (vn)n∈N ⊂ D1,2a (RN) e limitada, existe uma subsequencia, ainda deno-

tada da mesma forma, e existe uma funcao v ∈ D1,2a (RN) tais que sao validas as seguintes

convergencias:

1. vn v fracamente em D1,2a (RN);

2.∣∣∣|x|−a∇(vn − v)

∣∣∣2 + λ∣∣∣|x|−(1+a) (vn − v)

∣∣∣2 γ fracamente em M(RN);

3.∣∣∣|x|−b (vn − v)

∣∣∣p ν fracamente em M(RN);

4. vn → v q.t.p. em RN .

De fato, pela limitacao da sequencia (vn)n∈N ⊂ D1,2a (RN) e usando o fato de que o espaco

D1,2a (RN) e reflexivo, existe uma subsequencia, sempre denotada da mesma forma, tal que

vale a convergencia fraca do item 1. Passando, se necessario, a uma subsequencia, obtemos

a convergencia fraca do item 2 no espaco M(RN) das medidas limitadas e positivas em RN .

Pela inclusao contınua, resulta, apos passagem a subsequencia, a convergencia fraca do item 3.

Finalmente, usando convergencia em quase todo ponto de bolas centradas na origem de RN e

usando o argumento diagonal de Cantor, obtemos o item 4.

Pelo Lema 3.2 de concentracao e compacidade, das igualdades (3.6) e (3.7) segue-se que

valem as igualdades

S(a, b, λ) =∣∣∣|x|−a∇v

∣∣∣22+ λ

∣∣∣|x|−(1+a) v∣∣∣22+ ‖γ‖+ γ∞,

1 =∣∣∣|x|−b v

∣∣∣pp+ ‖ν‖+ ν∞.


Alem disso, da Proposicao A.2 e das desigualdades (3.4) e (3.5), temos que valem as desigual-

dades ∣∣∣|x|−a∇v∣∣∣22+ λ

∣∣∣|x|−(1+a) v∣∣∣22>(

S(a, b, λ)∣∣∣|x|−b v

∣∣∣pp

)2/p

‖γ‖ > S(a, b, λ)‖ν‖2/p

γ∞ > S(a, b, λ)ν2/p∞ .

Sendo assim, combinando essas diversas desigualdades obtemos

S(a, b, λ) =∣∣∣|x|−a∇v

∣∣∣22+ λ

∣∣∣|x|−(1+a) v∣∣∣22+ ‖γ‖+ γ∞

> S(a, b, λ)

((∣∣∣|x|−b v∣∣∣p

p

)2/p

+ ‖ν‖2/p + ν2/p∞

)

Usando o fato de que p > 2 e a concavidade da funcao α 7→ α2/p definida para α ∈ [0, 1], resulta

que α2/p > α e que vale a igualdade se, e somente se, α = 0 ou α = 1. Logo

S(a, b, λ) 6 S(a, b, λ)

((∣∣∣|x|−b v∣∣∣p

p

)2/p

+ ‖ν‖2/p + ν2/p∞

)

> S(a, b, λ)

(∣∣∣|x|−b v∣∣∣p

p+ ‖ν‖+ ν∞

)= S(a, b, λ)

Com isso, valem as igualdades nas expressoes acima, ou seja,(∣∣∣|x|−b v∣∣∣p

p

)2/p

+ ‖ν‖2/p + ν2/p∞ =

∣∣∣|x|−b v∣∣∣p

p+ ‖ν‖+ ν∞ = 1

Temos entao que ocorre apenas uma das tres possibilidades a seguir:

1.∣∣∣|x|−b v

∣∣∣pp= 0, ‖ν‖ = 0 e ν∞ = 1;

2.∣∣∣|x|−b v

∣∣∣pp= 0, ‖ν‖ = 1 e ν∞ = 0;

3.∣∣∣|x|−b v

∣∣∣pp= 1, ‖ν‖ = 0 e ν∞ = 0.

A possibilidade 1 nao ocorre ja que pela igualdade (3.32), temos

ν∞ = limR→∞

(limn→∞

∫|x| > R

|x|−pb |vn|p dx)6

12< 1.

Suponhamos agora que ocorre a possibilidade 2. Pela igualdade (3.6) temos que S(a, b, λ) =

‖γ‖+ γ∞. Logo,

1 = ‖ν‖ = ‖ν‖2/p 6 S(a, b, λ)−1‖γ‖ = ‖γ‖‖γ‖+ γ∞

6 1.


Com isso, valem as igualdades na expressao acima. Sendo assim, concluımos que γ∞ = 0, ou

seja, S(a, b, λ) = ‖γ‖. Vale entao a igualdade

‖ν‖2/p = S(a, b, λ)−1‖γ‖. (3.33)

Como v = 0 e b < a + 1, segue-se do Lema 3.2 de concentracao e compacidade que as medidas

ν e γ concentram-se em um unico ponto x0 ∈ RN . Alem disso, x0 6= 0 pela igualdade (3.32).

A partir de agora dividimos nossa analise em dois casos: Caso 1: a < b; e Caso 2: 0 < a = b.

Caso 1. Se a < b, entao como p < 2∗ podemos aplicar o Teorema A.7 de Rellich-Kondrachov e

obter as igualdades

0 = limn→∞

∫Br(x0)

|x|−bp |vn|p dx = ‖ν‖ = 1,

em que 0 < r < |x0|. A primeira igualdade deve-se ao fato de que vn → 0 em Lp e a ultima

deve-se a concentracao da medida ν no ponto x0. Dessa forma, obtemos uma contradicao.

Logo, a possibilidade 2 nao ocorre nesse caso.

Caso 2. Se 0 < a = b, definimos

A := limn→∞

∫Br(x0)

|x|−2a |∇vn|2 dx + λ∫

Br(x0)|x|−2(1+a) |vn|2 dx(∫

Br(x0)|x|−2∗a |vn|2

∗dx)2/2∗ .

Dessa forma, temos que

A = ‖γ‖ = S(a, a, λ).

Para justificar a primeira igualdade usamos os fatos de que∫Br(x0)

|x|−2a |∇vn|2 dx + λ∫

Br(x0)|x|−2(1+a) |vn|2 dx → ‖γ‖

e (∫Br(x0)

|x|−2∗a |vn|2∗

dx)2/2∗

= 1,

em que o raio r e arbitrario, pois a medida ν concentra-se em um unico ponto. E para justificar

a segunda igualdade usamos a igualdade (3.33) com b = a e obtemos

1 = ‖ν‖2/p = S(a, a, λ)−1‖γ‖,

o que implica que S(a, a, λ) = ‖γ‖.Por outro lado, como γ e uma medida finita que se concentra no ponto x0, podemos avaliar

sua norma usando uma funcao η ∈ C∞(Br/2(x0)) tal que η = 1 em Br/2(x0) e η = 0 em


RN \ Br/2(x0), em que r ∈ R+ suficientemente pequeno. Dessa forma,

A = ‖γ‖ = limn→∞

∫Br(x0)

|∇(ηvn)|2 dx + λ∫

Br(x0)|ηvn|2 dx(∫

Br(x0)|ηvn|2

∗dx)2/2∗

= limn→∞

∫RN|∇(ηvn)|2 dx + λ

∫RN|ηvn|2 dx(∫

RN|ηvn|2

∗dx)2/2∗

= limn→∞

∫RN|∇(ηvn)|2 dx(∫

RN|ηvn|2

∗dx)2/2∗ > S, (3.34)

lembrando que estamos supondo valida a possibilidade 2 e em que S = S(0, 0, 0) e a melhor

constante das imersoes de Sobolev.

No entanto, por hipotese λ < 0; logo, usando o Lema 2.2, que garante que a funcao g(a) :=

S(a, a, 0) e estritamente decrescente, segue-se que

A = S(a, a, λ) < S(a, a) = g(a) < g(0) = S,

o que e uma contradicao com a desigualdade (3.34). Logo, a possibilidade 2 tambem nao ocorre

nesse caso.

Sendo assim, concluımos que somente pode ocorrer a possibilidade 3, a saber,∣∣∣|x|−b v∣∣∣p

p= 1, ‖ν‖ = 0 e ν∞ = 0.


S(a, b, λ) = limn→∞

(∣∣∣|x|−a∇vn

∣∣∣22+ λ

∣∣∣|x|−(1+a) vn

∣∣∣22

)=∣∣∣|x|−a∇v

∣∣∣22+ λ

∣∣∣|x|−(1+a) v∣∣∣22

.

Em outros termos, existe uma funcao v ∈ D1,2a (RN) que realiza o ınfimo S(a, b, λ). Isso conclui

a demonstracao do teorema.

Observacao 3.3. A funcao v ∈ D1,2a (RN) que realiza o ınfimo S(a, b, λ) e solucao fraca do pro-

blema

−div(|x|−2a∇v

)+ λ |x|−2(1+a) v = S(a, b, λ) |x|−bp |v|p−2 v. (3.35)

Portanto,∫RN|x|−2a∇v · ∇w dx + λ

∫RN|x|−2(1+a) vwdx = S(a, b, λ)

∫RN|x|−bp |v|p−2 vw dx ∀w ∈ D(RN).

para toda w ∈ D1,2a (RN).


Podemos agora determinar um numero θ ∈ R+ tal que a funcao u(x) = θv(x) seja solucao

fraca do problema inicial (1.22), a saber,

−div(|x|−2a∇u

)+ λ |x|−2(1+a) u = |x|−bp |u|p−2 u, x ∈ RN .

Para isso, a funcao u deve verificar a condicao∫RN|x|−2a∇u · ∇w dx + λ

∫RN|x|−2(1+a) uwdx =

∫RN|x|−bp |u|p−2 uw dx,

para toda w ∈ D1,2a (RN).

Em particular, usando w(x) = u(x) = θv(x), devemos ter∫RN|x|−2a∇(θv) · ∇(θv) dx + λ

∫RN|x|−2(1+a) (θv)(θv)dx =

∫RN|x|−bp |θv|p−2 (θv)(θv) dx

ou seja, ∫RN|x|−2a |∇(θv)|2 dx + λ

∫RN|x|−2(1+a) (θv)2dx =

∫RN|x|−bp |θv|p dx.

Simplificando as expressoes anteriores, obtemos

θ2[∫

RN|x|−2a |∇v|2 dx + λ

∫RN|x|−2(1+a) v2dx

]= θp

∫RN|x|−bp |v|p dx.

Por fim, usando as igualdades∣∣∣|x|−b v

∣∣∣pp= 1 e

∣∣∣|x|−a∇v∣∣∣22+ λ

∣∣∣|x|−(1+a) v∣∣∣ = S(a, b, λ), resulta

que

θ2S(a, b, λ) = θp

ou seja,

θ = S(a, b, λ)1/(p−2).

Portanto, devemos escolher θ = S(a, b, λ)1/(p−2). Finalmente, concluımos que se v e solucao

fraca do problema (3.35), entao u = S(a, b, λ)1/(p−2)v e solucao fraca do problema (1.22), a

saber,

−div(|x|−2a∇u

)+ λ |x|−2(1+a) u = |x|−bp |u|p−2 u, (x ∈ RN , λ ∈ R).

Alem disso, usando a teoria de regularidade, segue-se que a solucao fraca u e positiva e dife-

renciavel em todos os pontos exceto na origem.


Para facilitar a leitura apresentamos novamente o enunciado do resultado.

Teorema 1.13. Sejam N > 3, 0 6 a < (N − 2)/2 e p = p(a, b). Seja (un)n∈N ⊂ D1,2a (RN) uma

sequencia minimizante para S(a, b, λ) satisfazendo∣∣∣|x|−b un

∣∣∣p= 1,

∣∣∣|x|−a∇un

∣∣∣22+ λ

∣∣∣|x|−(1+a) un

∣∣∣22→ S(a, b, λ).

Suponhamos que vale um dos grupos de hipoteses a seguir:


1. a < b < a + 1 e 0 < λ, ou2. 0 < a = b e 0 < λ 1.


a (RN)



Demonstracao. A demonstracao do Teorema 1.13 segue as mesmas ideias da demonstracao do

Teorema 1.12, incluindo a verificacao de que deve ocorrer somente uma das tres possibilidades

ja listadas. A possibilidade 1 e excluıda da mesma forma ja feita. A possibilidade 2 e analisada

seguindo dois casos similares, a saber: Caso 1: a < b e 0 < λ; e Caso 2: 0 < a = b e 0 < λ 1.

A verificacao de que o Caso 1 conduz a uma contradicao e feita da mesma forma. Para verificar

que o Caso 2 tambem conduz a uma contradicao, comecamos mostrando que A > S. Em

seguida, usamos a hipotese de que 0 < λ 1. Logo, pelo Lema 2.2, que garante que a funcao

g(a) := S(a, a, 0) e estritamente decrescente, segue-se que S(a, a) = g(a) < g(0) = S. Assim,

existe ε ∈ R+ suficientemente pequeno tal que, se 0 < λ < ε, ainda vale a desigualdade

A = S(a, a, λ) < S. Assim, obtemos uma contradicao.

Sendo assim, concluımos que somente pode ocorrer a possibilidade 3, a saber,∣∣∣|x|−b v∣∣∣p

p= 1, ‖ν‖ = 0 e ν∞ = 0.


S(a, b, λ) = limn→∞

(∣∣∣|x|−a∇vn

∣∣∣22+ λ

∣∣∣|x|−(1+a) vn

∣∣∣22

)=∣∣∣|x|−a∇v

∣∣∣22+ λ

∣∣∣|x|−(1+a) v∣∣∣22

.

Em outros termos, existe uma funcao v ∈ D1,2a (RN) que realiza o ınfimo S(a, b, λ). Isso conclui

a demonstracao do teorema.

Observacao 3.4. A funcao v ∈ D1,2a (RN) que realiza o ınfimo S(a, b, λ) e solucao fraca do pro-

blema

−div(|x|−2a∇v

)+ λ |x|−2(1+a) v = S(a, b, λ) |x|−bp |v|p−2 v. (3.36)

Dessa forma, a funcao u = S(a, b, λ)1/(p−2)v e solucao fraca do problema (1.22), a saber,

−div(|x|−2a∇u

)+ λ |x|−2(1+a) u = |x|−bp |u|p−2 u, (x ∈ RN , λ ∈ R).

Alem disso, usando a teoria de regularidade, segue-se que a solucao fraca u e positiva e dife-

renciavel em todos os pontos exceto na origem.

-A- Apendice

A.1 Espacos de Funcoes

• Ck(Ω), para k = 1, 2, ... e o espaco das funcoes u : Ω → R que sao k vezes diferenciaveis

em Ω e tais que as k-esimas derivadas sao contınuas em Ω;

• C∞(Ω) e o espaco das funcoes u : Ω→ R que sao infinitamente diferenciaveis em Ω;

• C∞0 (Ω) e o subespaco de C∞(Ω) das funcoes que possuem suporte compacto; enquanto

que Ck0(Ω) e o subespaco de Ck(Ω) que contem apenas as funcoes que possuem suporte

compacto;

• Lp(Ω) e o espaco de Lebesgue das funcoes mensuraveis u : Ω → R tal que∫Ω|u(x)|pdx < +∞, com a norma |u|p =

(∫Ω |u(x)|p

)1/p; enquanto L∞(Ω) e o espaco

das funcoes mensuraveis u : Ω → R tal que ess supx∈Ω |u(x)| < +∞, com a norma

|u|∞ = ess sup |u(x)|;

• Lploc(Ω) e o espaco das funcoes mensuraveis u : Ω → R tal que para todo conjunto

compacto K ⊂ Ω, temos |u|Lp(K) < +∞;

• H1(Ω) e o espaco de Sobolev definido por

H1(Ω) =

u ∈ L2(Ω);

∂u∂xi∈ L2(Ω), i = 1, ..., N

em que as derivadas ∂u

∂xiestao no sentido das distribuicoes;

• H10(Ω) e o fecho de C∞

0 (Ω) em H1(Ω) dotado da mesma norma de H1(Ω), a saber,

‖u‖ =(∫

Ω|∇u|2 dx +

∫Ω

u2dx)1/2

;

• D1,2(RN), para N > 3, e o espaco definido como

D1,2(RN) =

u ∈ L2∗(RN);

∂u∂xi∈ L2(RN), i = 1, ..., N

,

dotado da norma ‖u‖ =(∫

RN |∇u|2 dx)1/2

, em que as derivadas ∂u∂xi

estao no sentido das

distribuicoes;

• D(Ω) e o espaco das funcoes teste, isto e, das funcoes em C∞0 (Ω) munido com a nocao de

convergencia uniforme.

63

64 A. Apendice

A.2 Funcoes gama e beta

A funcao gama e definida pela formula

Γ(z) :=∫ ∞

0tz−1e−tdt.

Dessa forma,

Γ(1) =∫ ∞

0e−t dt = 1

e, utilizando a formula de integracao por partes, temos que para qualquer z > 0 vale

Γ(z + 1) =∫ ∞

0tze−tdt =

[tz(−e−t)

]∞0 + z

∫ ∞

0tz−1e−tdt = zΓ(z). (A.1)

Ao considerarmos somente numeros inteiros, observamos que

Γ(n + 1) = n!,

ou seja, a funcao gama generaliza o conceito de numero fatorial para o conjunto dos numeros

reais.

2

4

6

−2

−4

1 2 3 4−1−2−3−4−5

b

0!b

1!b

2!

b

3!

Γ(z)

Figura A.1: Grafico da funcao Γ, definida por Γ(z) :=∫ ∞

0 tz−1e−tdt, que generaliza o conceito

de numeros fatoriais para o conjunto dos numeros reais.

Entre outras aplicacoes, a funcao gama aparece nas formulas para o volume ωN de bolas

N-dimensionais e nas formulas para a area σN−1 de superfıcie de esferas (N− 1)-dimensionais.

Especificamente, temos

ωN(a) =πN/2aN

Γ(1 + N/2)e σN−1 =

NπN/2aN−1

Γ(1 + N/2)=

Na

ωN(a).

Alem disso, a funcao gama tambem aparece nas expressoes das melhores constantes. Ho-

riuchi [12] apresenta o valor de S(a, b), a saber,

S(a, b) = πpγ2 N

(N − γp

p− 1

)p−1 (N − p + apN − γp

) pN−pγN(

2(p− 1)γp

) pγN

×

Γ(N/γp)Γ(N( p−1γp ))

Γ(N/2)Γ(N/γ)

pγ/N

,

A.3. Resultados auxiliares 65

em que γ = 1− a + b.

Como consequencia, a melhor constante de Sobolev vale

S = S(0, 0) := 2p/Nπp/2N(

N − pp− 1

)p−1 ( p− 1p

)p/N [Γ(N/p)Γ(N(1− 1/p))Γ(N/2)Γ(N)

]p/N

.

A funcao beta e definida a partir da funcao gama pela formula

B(y, z) =Γ(y)Γ(z)Γ(y + z)

,

em que y, z ∈ R+ e pode ser reescrita nas formas

B(y, z) =∫ ∞

0γy−1(1 + γ)−(y+z)dγ =

∫ 1

0γy−1(1− γ)z−1dγ,

fato que utilizamos na demonstracao do Lema 2.2.

A.3 Resultados auxiliares

Proposicao A.1. Sejam A, B ∈ R+. Entao, para qualquer ε ∈ R+, existe uma constante Cε ∈ R+ deforma que valem as desigualdades seguintes:

1. |A + B|2 6 (1 + ε) |A|2 + Cε |B|2.2.∣∣∣|A + B|2 − |A|2

∣∣∣ 6 ε |A|2 + Cε |B|2.

Proposicao A.2. Para os ınfimos S(a, b) e S(a, b, λ) valem as seguintes igualdades:

S(a, b) : = infu∈D1,2

a (RN)

||x|−bu|p=1

∣∣∣|x|−a∇u∣∣∣22= inf

u∈D1,2a (RN)

u 6=0

∣∣∣|x|−a∇u∣∣∣22∣∣∣|x|−b u

∣∣∣2p

(A.2)

e

S(a, b, λ) : = infu∈D1,2

a (RN)

||x|−bu|p=1

∣∣∣|x|−a∇u∣∣∣22+ λ

∣∣∣|x|−(1+a) u∣∣∣22= inf

u∈D1,2a (RN)

u 6=0

∣∣∣|x|−a∇u∣∣∣22+ λ

∣∣∣|x|−(1+a) u∣∣∣22∣∣∣|x|−b u

∣∣∣2p

.

(A.3)

Demonstracao. Seja v ∈ D1,2a (RN) tal que v 6= 0. Definindo a funcao u =

v∣∣∣|x|−b v∣∣∣

p

, segue-se

que∣∣∣|x|−b u

∣∣∣p= 1. Aplicando essa funcao u nas definicoes (1.25) e (1.26) obtemos imediata-

mente as igualdades (A.2) e (A.3).

66 A. Apendice

A.4 Desigualdade de Caffarelli, Kohn e Nirenberg

Teorema A.3 (Caffarelli, Kohn e Nirenberg). Sejam r, s, t; σ, τ, η; e d numeros reais fixos (parametros)verificando as condicoes

s, t > 1, r > 0, 0 6 d 6 1 (A.4)

1s+

σ

N> 0,

1t+

τ

N> 0,

1r+

ρ

N> 0 (A.5)

em que

ρ = dη + (1− d)τ. (A.6)

Entao existe uma constante positiva C ∈ R+ tal que vale a desigualdade∣∣|x|ρ u∣∣r 6 C

∣∣|x|σ |∇u|∣∣ds

∣∣|x|τ u∣∣1−dt (A.7)

para qualquer u ∈ C∞0 (RN) se, e somente se, valem as relacoes

1r+

ρ

N= d

(1s+

σ− 1N

)+ (1− d)

(1t+

τ

N

)(A.8)

(balanco dimensional),

0 6 σ− η se d > 0, (A.9)

e

σ− η 6 1 se d > 0 e1s+

σ− 1N

=1r+

ρ

N. (A.10)

Alem disso, em qualquer conjunto compacto em um espaco de parametros em que (A.4), (A.5), (A.8) e0 6 σ− η 6 1 valem, a constante C e limitada.

Referencia: Consultar o artigo de Caffarelli, Kohn e Nirenberg [8].

Observacao A.4. Quando fazemos τ = 0, d = 1, s = 2, σ = −a, r = p e η = −b, obtemos a

desigualdade (1.27), a saber(∫RN|x|−bp |u|p dx

)2/p

6 C∫


que e valida quando satisfeitas as condicoes (1.23).

Alem disso, as desigualdades de Hardy e Sobolev sao casos particulares dessa desigual-

dade. De fato, fazendo a = 0 e b = 1 segue-se que p = 2 e obtemos a desigualdade de Hardy.

Da mesma forma, fazendo a = b = 0 segue-se que p = 2N/(N − 2) = 2∗ e obtemos a desi-

gualdade de Sobolev.

A.5. Definicoes e resultados de Analise Funcional 67

A.5 Definicoes e resultados de Analise Funcional

Proposicao A.5 (Desigualdade de Holder). Seja Ω ⊂ RN um conjunto qualquer e sejam f ∈ Lp(Ω)

e g ∈ Lp′(Ω), em que 1/p + 1/p′ = 1. Entao f g ∈ L1(Ω) e

∫Ω| f (x)g(x)| dx 6

(∫Ω| f (x)|p dx

)1/p (∫Ω|g(x)|p′ dx

)1/p′

. (A.11)

Referencia: Consulte o livro de Brezis [6, Teorema 4.6, pag. 92].

Teorema A.6 (Banach-Alaoglu). Seja X um espaco de Banach reflexivo. Se B ⊂ X e um conjuntolimitado, entao B e relativamente compacto na topologia fraca de X.

Referencia: Consulte o livro de Brezis [6, Teorema 3.16, pag. 66].

Teorema A.7 (Rellich-Kondrachov). Seja E um domınio limitado em RN de classe C1 e seja1 6 p < N. Entao a imersao D1,p(E) → Lq(E) e compacta para qualquer 1 6 q < p∗ em que1/p∗ = 1/p− 1/N.

Referencia: Consulte o livro de Brezis [6, Theorem 9.16, pag. 285].

Proposicao A.8 (Integracao em coordenadas polares). Seja f : RN → R uma funcao contınua emensuravel. Entao ∫

RNf (x)dx =

∫ ∞

0

(∫∂Br(x0)

f (x)dσ

)dr, (A.12)

para cada ponto x0 ∈ RN . Em particular, se f e uma funcao radial f (x) = f (|x|), entao∫BR(0)

f (x)dx = ωN

∫ R

0f (r)rN−1dr. (A.13)

Referencia: Consultar livro do Evans [11, Teorema 4, pag. 628].

Proposicao A.9 (Formula de Green). Seja Ω ⊂ RN um aberto com fronteira ∂Ω de classse C1 e u,v ∈ C2

0(RN). Entao

−∫

Ωv(x)∆u(x)dx =

∫Ω∇u(x) · ∇v(x)dx−

∫∂Ω

v(σ)∇u(x) · νdσ (A.14)

Referencia: Consulte o livro de Evans [Theorem 3, pag. 628][11].

Proposicao A.10 (Teorema da convergencia dominada de Lebesgue). Seja Ω ⊂ RN um domıniolimitado. Seja fnn∈N ⊂ L1(Ω) uma sequencia tal que fn → f em quase todo ponto de Ω quandon → ∞. Suponhamos que existe uma funcao g ∈ L1(Ω) tal que para todo n ∈ N vale a desigualdade

| fn(x)| 6 g(x) em quase todo ponto de Ω. Entao f ∈ L1(Ω) e tambem

limn→∞| fn − f |1 = 0 e

∫Ω

f (x)dx = limn→∞

∫Ω

fn(x)dx. (A.15)

68 A. Apendice

Referencia: Consulte o livro de Brezis [6, Theorem 4.2, pag. 90].

Lema A.11 (Brezis-Lieb). Sejam Ω ⊂ RN subconjunto aberto e ( fn)n∈N ⊂ Lp(Ω) em que 1 6 p <

∞. Suponhamos que1. ( fn)n∈N seja limitada em Lp(Ω) e2. fn → f q.t.p. em Ω.

Entao limn→∞

[‖ fn‖p

p − ‖ fn − f ‖pp]= ‖ f ‖p

p

Referencia: Consulte o livro de Willem [21, Lema 1.32, pag. 21]

Teorema A.12. Se N > 3, entao a imersao D1,2(RN) → L2∗(RN) e contınua mas nunca e compacta.

Referencia: Consulte o livro de Badiale e Serra [3, Teorema 1.2.2, pag. 7].

Definicao A.13 (Norma de uma medida finita). Se γ e uma medida finita, entao

‖γ‖ := supη∈C0(Ω)|η|∞=1

|γ(η)| .

Definicao A.14 (Convergencia fraca em medida). Sejam µ, µk, k = 1, 2, . . . medidas sobre

RN . Se limk→∞

∫RN

f dµk =∫

RNf dµ para todo f ∈ C0(RN), entao dizemos que a medida µk con-

verge fracamente para a medida µ e escrevemos µk µ.

Proposicao A.15. As seguintes afirmacao sao equivalentes:1. lim

k→∞

∫RN

f dµk =∫

RNf dµ para todo f ∈ C0(RN).

2. limk→∞

µk(K) 6 µ(K) para cada conjunto compacto K ⊂ RN e µ(U) 6 lim infk→∞

µk(U) para cada

conjunto aberto U ⊂ RN .3. lim

k→∞µk(B) = µ(B) para cada conjunto de Borel limitado B ⊂ RN com µ(∂B) = 0.

Referencia: Consulte o livro de Brezis [6, Cap. 4].

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69

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Indice Remissivo

Alaoglu

Teorema de, 4, 67

anulamento, 9, 27

argumento

diagonal de Cantor, 40, 57

ausencia de compacidade, 7, 9

Banach

Teorema de, 4, 67

Ben-Naoum, Troestler e Willem, 28

Bianchi, Chabrowski e Szulkin, 28

Brezis-Lieb

Lema de, 68

Calculo das Variacoes, 1

Caffarelli

desigualdade de, 10, 15, 66

Cantor

argumento diagonal de, 40, 57

Catrina e Wang, 16

Chou e Chu, 15, 16, 21

compacidade, 27

ausencia de, 7, 9

das sequencias minimizantes, 15

problemas com, 3

problemas sem, 6

concentracao, 9, 27

concentracao e compacidade

Lema de, 8, 27, 47

conjunto estrelado, 12

crescimento crıtico, 9

desigualdade

de Caffarelli, Kohn e Nirenberg, 10, 15, 66

de Sobolev, 10

de Holder, 67

dicotomia, 28

dilatacao

invariancia por, 19, 45

dilatacao solucoes, 9

equacao de Euler-Lagrange, 3

equacoes

elıpticas semilineares, 1

anisotropicas de Schrodinger, 14

espacos de funcoes, 63

estrelado

conjunto, 12

Euler-Lagrange

equacao, 3

existencia de solucoes, 1, 6

expoente

crıtico de Hardy-Sobolev, 14

Formula

de Green, 2, 67

funcoes

beta, 64

espacos de, 63

gama, 64

funcional

coercivo, 4

convexo, 4

minimizacao, 1

pontos crıticos, 3

71

72 Indice Remissivo

Green

Formula de, 2, 67

Holder

desigualdade de, 67

Hardy-Sobolev

expoente crıtico de, 14

Horiuchi, 21

imersao

compacta, 6, 8

nao compacta, 9

invariancia

por translacoes, 7

por dilatacoes, 9, 19, 45

Kohn


Kondrachov

Teorema de, 26, 41, 59, 67

Lebesgue

Teorema de, 67

Lema

de Brezis-Lieb, 68

de concentracao e compacidade, 8, 27, 47

Lieb, 15

Lions, 8, 15, 28

metodos variacionais, 1

mınimo global, 3

minimizacao

de funcionais, 1

em esferas, 5, 6

tecnicas de, 3

Nirenberg


Pohozaev

identidade de, 12

pontos crıticos de funcionais, 3

primeiro autovalor, 13

problema

homogeneo de Dirichlet, 2

problemas

com compacidade, 3

sem compacidade, 6

quebra de simetria, 16

regularidade, 3

Rellich

Teorema de, 26, 41, 59, 67

sequencia

minimizante, 4, 19, 45

minimizante relativamente compacta, 20

singularidades, 1, 14

Smets, 28

Sobolev

desigualdade de, 10

solucao

nao existencia de, 12

classica, 2

existencia de, 1, 6

fraca, 2, 3

regularidade, 3

tecnicas de minimizacao, 3

Teorema

de Rellich-Kondrachov, 26, 41, 59, 67

de Weierstrass, 5

de Banach-Alaoglu, 4, 67

de Lebesgue, 67

translacoes

invariancia por, 7

Wang e Willem, 14, 16

Weierstrass

Teorema de, 5

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Leonel Giacomini Delatorre - mat.ufmg.br · tes. Amo muito voces!ˆ Aos meu familiares, tios, primos, avos, padrinhos, que sempre torceram por mim, agradec¸o´ pelas orac¸oes e