Fundamentos de Geometria Espacial - mat.ufmg.br · Fundamentos de Geometria Espacial.indd 1 28/01/2013 11:09:19. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 2 28/01/2013 11:09:21. Fundamentos

Fundamentos de Geometria Espacial

Fundamentos de Geometria Espacial.indd 1 28/01/2013 11:09:19


Fundamentos de Geometria Espacial

Belo HorizonteCAED-UFMG

2013

Paulo Antônio Fonseca Machado


UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAISProfº Clélio Campolina Diniz ReitorProfª Rocksane de Carvalho Norton Vice-ReitoriaProfª Antônia Vitória Soares Aranha Pró Reitora de GraduaçãoProfº André Luiz dos Santos Cabral Pró Reitor Adjunto de Graduação

CENTRO DE APOIO DE EDUCAÇÃO À DISTÂNCIAProfº Fernando Selmar Rocha Fidalgo Diretor de Educação a Distância Prof º Wagner José Corradi Barbosa Coordenador da UAB/UFMGProfº Hormindo Pereira de Souza Junior Coordenador Adjunto da UAB/UFMG

EDITORA CAED-UFMGProfº Fernando Selmar Rocha Fidalgo

CONSELHO EDITORIAL Profª. Ângela Imaculada Loureiro de Freitas Dalben Profº. Dan Avritzer Profª. Eliane Novato Silva Profº. Hormindo Pereira de SouzaProfª. Paulina Maria Maia BarbosaProfª. Simone de Fátima Barbosa Tófani Profª. Vilma Lúcia Macagnan CarvalhoProfº. Vito Modesto de Bellis Profº. Wagner José Corradi Barbosa

COLEÇÃO EAD – MATEMÁTICA Coordenador: Dan AvritzerLIVRO: Fundamentos de Geometria PlanaAutor: Paulo Antônio Fonseca MachadoRevisão: Jussara Maria FrizzeraProjeto Gráfico: Laboratório de Arte e Tecnologia para Educação/EBA/UFMGFormatação: Sérgio Luz

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)(Luciana de Oliveira M. Cunha, CRB-6/2725)

Lima, Paulo Cupertino deL732f Fundamentos de Geometria Espacial / Paulo Antônio Fonseca Machado. – Belo Horizonte : CAED-UFMG, 2012. 119 p. : il. ; 27 cm.

Inclui bibliografia. ISBN

1. Funções (Matemática). 2. Ensino a distância. I. Universidade Federal de Minas Gerais. II. Título.

CDD 515 CDU 517.5


SuMáRIo

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

Nota do Editor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

Aula 1: o Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Elementos primitivos e axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Algumas consequências dos axiomas do grupo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Aula 2: Mais propriedades do espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Separação do espaço: semiespaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Ângulos e congruência no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 O axioma das paralelas no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5 Opcional: demonstração dos teoremas 2.1 e 2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Aula 3: Paralelismo no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 Paralelismo entre retas e planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3 Paralelismo entre planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 3.4 Algumas propriedades de paralelismo no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.5 Problemas resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Aula 4: Perpendicularismo entre retas e planos no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2 Ângulos entre retas no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.3 Perpendicularismo de retas e planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 4.4 Existência de retas perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.5 Opcional: demonstração dos teoremas 4.1 e 4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Aula 5: Ângulos entre planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.2 Ângulos entre planos: diedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.3 Planos perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.4 Construção de planos perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.5 Alguns problemas resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67


Aula 6: Lugares geométricos e poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 6.2 Distâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 6.3 Planos bissetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.4 Alguns lugares geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 6.5 Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77 6.5.1 Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 6.5.2 Paralelepípedos e cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6.5.3 Pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6.5.4 Outros poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Aula 7: Volumes de poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 7.2 Volume de regiões poliedrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 7.3 Volume de prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 7.4 Volume de pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 7.4.1 Propriedades basicas de pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 7.4.2 Cálculo do volume de uma pirâmide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97 7.5 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 7.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Aula 8: Cilindros, cones e esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 8.2 Cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 8.3 Cones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 8.4 Esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 8.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Apêndices: Axiomas da geometria plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 A.1 Axiomas: grupo I, axiomas de incidência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 A.2 Axiomas: grupo II, parte 1: métrica e ordem na reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 A.3 Axiomas: grupo III, medida de ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 A.4 Axiomas: grupo IV, congruência de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 A.5 Axiomas: grupo V, axioma das paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 A.6 Axiomas: grupo VI, axiomas sobre áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119


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Introducao

INTRODUCAO

Caras e caros alunas e alunos, neste livro apresentamos os fundamentos da geometria espacialeuclidiana, e pode ser visto como uma continuacao do livro [7]. Na verdade, o que chamamos“Fundamentos da Geometria Euclidiana” nao deveria ser separado em geometria plana egeometria espacial, pois e um so assunto, coeso. Esta separacao e apenas uma forma deapresentar a geometria euclidiana de maneira mais didatica e pratica.

Adotaremos neste texto todas as nomenclaturas, terminologias e notacoes estabelecidasem [7], em sua maioria tradicionais e utilizadas em quase todos os textos que tratam degeometria euclidiana. Suporemos que todos voces estao familiarizados com os termos utili-zados nesse livro. Em caso de duvidas, consultem-no.

Abaixo, como uma forma de refrescar a memoria, listamos as principais notacoes que utili-zaremos.

Pontos serao denotados por letras latinas maiusculas (A, B, etc.).

Retas serao em geral denotadas por letras latinas minusculas (r, s, etc.). No casoem que apresentarmos retas determinadas por dois pontos especıficos usaremos umaseta de duas pontas (←→) sobre as letras que nomeiam os pontos. Por exemplo, a reta

determinada pelos pontos A e B sera denotada por←→AB.

Para semirretas adotamos uma notacao analoga a para retas, mas as demarcaremospor uma seta com uma ponta (�→). Por exemplo, o sımbolo �→r denota a semirreta r;

e o sımbolo�→AB denota a semirreta com origem no ponto A e passando pelo ponto B.

Segmentos de reta serao demarcados por uma barra contınua sobre as letras que no-meiam os pontos que determinam o mesmo. Por exemplo, o segmento de extremos Ae B sera denotado por AB. A medida de um segmento sera denotada pelos extremosdo mesmo, sem a barra. Por exemplo, a medida de AB e AB.

Angulos serao denotados pelo sımbolo ∡. Por exemplo, um angulo chamado α seradenotado por ∡α; e um angulo determinado por tres pontos A, B, C, com origemem B, sera denotado por ∡ABC. A medida de um angulo ∡α, por exemplo, seradenotada por m(∡α).

Os nossos novos elementos, os planos, serao denotados, como manda a tradicao, porletras gregas minusculas (α, β, γ, etc.). Nao ha perigo de confundir uma letra gregaque represente um plano com a mesma que denote um angulos, pois a segunda semprevira acompanhada com o sımbolo ∡.

Para facilitar a consulta de voces listamos no apendice A os axiomas da geometria planaeuclidiana introduzidos em [7], e algumas definicoes basicas.

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NoTA Do EDIToR

A Universidade Federal de Minas Gerais atua em diversos projetos de Educação a Distância, que incluem atividades de ensino, pesquisa e extensão. Dentre elas, destacam-se as ações vinculadas ao Centro de Apoio à Educação a Distância (CAED), que iniciou suas atividades em 2003, credenciando a UFMG junto ao Ministério da Educação para a oferta de cursos a distância.

O CAED-UFMG (Centro de Apoio à Educação a Distância da Universidade Federal de Minas Gerais), Unidade Administrativa da Pró-Reitoria de Graduação, tem por objetivo administrar, coordenar e assessorar o desenvolvimento de cursos de graduação, de pós-graduação e de extensão na modalidade a distância, desenvolver estudos e pesquisas sobre educação a distância, promover a articulação da UFMG com os polos de apoio presencial, como também produzir e editar livros acadêmicos e/ou didáticos, impressos e digitais, bem como a produção de outros materiais pedagógicos sobre EAD.

Em 2007, diante do objetivo de formação inicial de professores em serviço, foi criado o Programa Pró-Licenciatura com a criação dos cursos de graduação a distância e, em 2008, com a necessidade de expansão da educação superior pública, foi criado pelo Ministério da Educação o Sistema Universidade Aberta do Brasil – UAB. A UFMG integrou-se a esses programas, visando apoiar a formação de professores em Minas Gerais, além de desenvolver um ensino superior de qualidade em municípios brasileiros desprovidos de instituições de ensino superior.

Atualmente, a UFMG oferece, através do Pró-licenciatura e da UAB, cinco cursos de graduação, quatro cursos de pós-graduação lato sensu, sete cursos de aperfeiçoamento e um de atualização.

Como um passo importante e decisivo, o CAED-UFMG decidiu, no ano de 2011, criar a Editora CAED-UFMG como forma de potencializar a produção do material didático a ser disponibilizado para os cursos em funcionamento.

Fernando Selmar Rocha FidalgoEditor


1 O Espaço

AULA1: O ESPACO

OBJETIVOSIntroduzir os conceitos elementos primitivos e de axiomas da Geometria Euclidiana noespaco. Apresentar os axiomas de “incidencia” e algumas de suas consequencias.

1.1 Introducao

Todos temos uma ideia bem intuitiva do conceito que denominamos “espaco”: e o ambi-ente em que vivemos, onde podemos nos mover para os lados, para cima e para baixo,o mundo “tridimensional”, ou seja, que possui tres dimensoes, uma a mais que o mundoplano, bidimensional. Costumamos dizer que somos seres “tridimensionais” por vivermosneste tal espaco. Pois bem, um conceito aparentemente tao simples na verdade esconde umacomplexidade filosofica, fısica e matematica que nao imaginamos1. Neste curso nao vamosdiscutir estas profundas questoes, mas abordaremos este assunto da mesma maneira que sefaz quando estudamos a geometria plana do ponto de vista axiomatico.

Figura 1.1

Nosso ponto de partida neste curso, como ja o dissemos na Introducao, e o texto [7], ondeapresentamos um modelo axiomatico para a geometria plana euclidiana. Recomendamos atodos os estudantes, portanto, que releiam este texto, principalmente as aulas um a tres.

Antes de comecarmos, vamos abordar um problema pratico que se tem quando estudamosgeometria espacial: como representar visualmente as figuras tridimensionais. Desenhar fi-guras planas e facil, pois as paginas de um livro, por exemplo, sao boa representacao de umplano. Desenhar figuras que vivem no espaco, por outro lado, representa um desafio, ja queos desenhos devem ser apresentados sobre a mesma folha de papel. Assim a imaginacao dosleitores sera muito mais exigida neste curso do que num curso de geometria plana. Vamosmostrar alguns exemplos.

Para comecar, representaremos um plano no espaco em geral como na figura 1.1 (na ver-dade, uma “porcao” de um plano – use a imaginacao!). Usaremos, em geral, letras gregasminusculas para nomear estes objetos; no nosso exemplo denotamos o plano por α.

1O leitor interessado podera estudar mais sobre isto no livro “Conceitos de espaco: a historia das teorias doespaco na fısica”, de Max Jammer, editado pela Editora Contraponto no Brasil.


11aul a 1: O EspaçO

AULA1: O ESPACO

OBJETIVOSIntroduzir os conceitos elementos primitivos e de axiomas da Geometria Euclidiana noespaco. Apresentar os axiomas de “incidencia” e algumas de suas consequencias.

1.1 Introducao

Todos temos uma ideia bem intuitiva do conceito que denominamos “espaco”: e o ambi-ente em que vivemos, onde podemos nos mover para os lados, para cima e para baixo,o mundo “tridimensional”, ou seja, que possui tres dimensoes, uma a mais que o mundoplano, bidimensional. Costumamos dizer que somos seres “tridimensionais” por vivermosneste tal espaco. Pois bem, um conceito aparentemente tao simples na verdade esconde umacomplexidade filosofica, fısica e matematica que nao imaginamos1. Neste curso nao vamosdiscutir estas profundas questoes, mas abordaremos este assunto da mesma maneira que sefaz quando estudamos a geometria plana do ponto de vista axiomatico.

Figura 1.1

Nosso ponto de partida neste curso, como ja o dissemos na Introducao, e o texto [7], ondeapresentamos um modelo axiomatico para a geometria plana euclidiana. Recomendamos atodos os estudantes, portanto, que releiam este texto, principalmente as aulas um a tres.

Antes de comecarmos, vamos abordar um problema pratico que se tem quando estudamosgeometria espacial: como representar visualmente as figuras tridimensionais. Desenhar fi-guras planas e facil, pois as paginas de um livro, por exemplo, sao boa representacao de umplano. Desenhar figuras que vivem no espaco, por outro lado, representa um desafio, ja queos desenhos devem ser apresentados sobre a mesma folha de papel. Assim a imaginacao dosleitores sera muito mais exigida neste curso do que num curso de geometria plana. Vamosmostrar alguns exemplos.

Para comecar, representaremos um plano no espaco em geral como na figura 1.1 (na ver-dade, uma “porcao” de um plano – use a imaginacao!). Usaremos, em geral, letras gregasminusculas para nomear estes objetos; no nosso exemplo denotamos o plano por α.

1O leitor interessado podera estudar mais sobre isto no livro “Conceitos de espaco: a historia das teorias doespaco na fısica”, de Max Jammer, editado pela Editora Contraponto no Brasil.


12 Fundamentos de geometria espacial

Figura 1.2

Na figura 1.2 representamos dois planos α e β que se interceptam segundo uma reta e contemdois triangulos: o triangulo △LMN contido no plano α, e o triangulo △IJK contido noplano β. Para dar a nocao de tridimensionalidade usamos linhas pontilhadas indicando aspartes da figura que estao atras e a frente dos objetos representados. No nosso exemplo,pedacos dos segmentos IK e JK estao por tras da porcao do plano α, do angulo de visaoem que desenhamos a situacao. Analogamente, partes dos segmentos LM e LN estao portras da porcao desenhada do plano β.

Figura 1.3

Na figura 1.3 representamos uma situacao mais elaborada. Desenhamos uma esfera contendoem seu interior uma piramide triangular (um tetraedro – veremos sobre isto mais adiante).Os pontos A, B, C e D sao pontos da esfera e todos os segmentos representados (AB, AC,AD, etc.) estao no interior da esfera. Na verdade os segmentos deveriam estar “escondidos”de nossa visao pela esfera, mas fica difıcil desenhar assim. Entao, neste caso, deixamos todosos segmentos representados com linhas cheias, exceto o segmento AD, para indicar que esteesta na parte de tras do tetraedro. Cabe ao leitor usar sua imaginacao e compreensaointuitiva para completar o significado da figura.

Problema 1.1. Faca uma pesquisa sobre as diversas figuras espaciais que voce ja deveconhecer (prismas, piramides, cones, cilindros, etc.) e as desenhe, tentando dar a sensacaovisual de tridimensionalidade.

1.2 Elementos primitivos e axiomas

Em [7] apresentamos os tres elementos primitivos da geometria plana: os pontos as retas eo plano. Quando passamos para o espaco “aumentamos” uma “dimensao geometrica”, istoe, passamos a ver um universo onde temos varios planos, todos essencialmente copias deum mesmo “modelo”: o plano estudado num curso de geometria plana. Do ponto de vistaformal acrescentamos mais um elemento primitivo em nossa lista. Agora nossos elementosprimitivos serao os pontos, as retas, os planos (no plural, e nao mais no singular!) e oespaco. Mas atencao! Esta nao e uma “nova geometria”. Separamos estes assuntos –geometria plana e geometria espacial – por questoes didaticas, mas sao todas partes de umconjunto unico. Em particular, todos os resultados da geometria plana continuam validos,inclusive os axiomas.

Em [7] apresentamos um sistema axiomatico da geometria plana dividido em seis grupos(veja o apendice A):

Grupo I: axiomas de incidencia.

Grupo II: axiomas de metrica na reta e ordem na reta e no plano.

Grupo III: axiomas de medidas de angulos.

Grupo IV: axiomas de congruencia de triangulos.

Grupo V: axioma das paralelas.

Grupo VI: axiomas sobre areas de figuras planas.

Para estudarmos a geometria no espaco precisaremos atualizar a lista de axiomas. Mas estaoperacao nao sera muito traumatica, pois a unica modificacao (na verdade uma extensao) queprecisa ser feita e nos axiomas do grupo I, para abarcar as inter-relacoes entre os elementosprimitivos que agora incluem planos e o espaco.

Os tres axiomas do grupo I listados em [7] permanecem como estao, apenas trocando-se apalavra plano por espaco.

Axioma I.1. Por dois pontos distintos do espaco passa uma e somente uma reta.

Observacao 1.1. Neste texto adotamos a mesma linguagem geometrica estabelecida em [7].Por exemplo, no axioma acima usamos o termo “passar” no sentido de que dados dois pontosdistintos do espaco entao existe apenas uma reta que os contem.

Axioma I.2. Toda reta do espaco possui pelo menos dois pontos distintos.

Axioma I.3. O espaco contem pelo menos tres pontos distintos que nao pertencem auma mesma reta.

Em seguida precisamos estabelecer condicoes analogas as dadas nos axiomas I.1 e I.2 paraplanos – isto e as condicoes de determinacao de um plano por pontos, e o fato de planosserem conjuntos nao vazios do espaco. Primeiro observe o que nossa experiencia nos traz:se voce toma um banco com tres pernas e o coloca no chao, vera que ele nao claudica (vejafigura 1.4).



Figura 1.2

Na figura 1.2 representamos dois planos α e β que se interceptam segundo uma reta e contemdois triangulos: o triangulo △LMN contido no plano α, e o triangulo △IJK contido noplano β. Para dar a nocao de tridimensionalidade usamos linhas pontilhadas indicando aspartes da figura que estao atras e a frente dos objetos representados. No nosso exemplo,pedacos dos segmentos IK e JK estao por tras da porcao do plano α, do angulo de visaoem que desenhamos a situacao. Analogamente, partes dos segmentos LM e LN estao portras da porcao desenhada do plano β.

Figura 1.3

Na figura 1.3 representamos uma situacao mais elaborada. Desenhamos uma esfera contendoem seu interior uma piramide triangular (um tetraedro – veremos sobre isto mais adiante).Os pontos A, B, C e D sao pontos da esfera e todos os segmentos representados (AB, AC,AD, etc.) estao no interior da esfera. Na verdade os segmentos deveriam estar “escondidos”de nossa visao pela esfera, mas fica difıcil desenhar assim. Entao, neste caso, deixamos todosos segmentos representados com linhas cheias, exceto o segmento AD, para indicar que esteesta na parte de tras do tetraedro. Cabe ao leitor usar sua imaginacao e compreensaointuitiva para completar o significado da figura.

Problema 1.1. Faca uma pesquisa sobre as diversas figuras espaciais que voce ja deveconhecer (prismas, piramides, cones, cilindros, etc.) e as desenhe, tentando dar a sensacaovisual de tridimensionalidade.

1.2 Elementos primitivos e axiomas

Em [7] apresentamos os tres elementos primitivos da geometria plana: os pontos as retas eo plano. Quando passamos para o espaco “aumentamos” uma “dimensao geometrica”, istoe, passamos a ver um universo onde temos varios planos, todos essencialmente copias deum mesmo “modelo”: o plano estudado num curso de geometria plana. Do ponto de vistaformal acrescentamos mais um elemento primitivo em nossa lista. Agora nossos elementosprimitivos serao os pontos, as retas, os planos (no plural, e nao mais no singular!) e oespaco. Mas atencao! Esta nao e uma “nova geometria”. Separamos estes assuntos –geometria plana e geometria espacial – por questoes didaticas, mas sao todas partes de umconjunto unico. Em particular, todos os resultados da geometria plana continuam validos,inclusive os axiomas.

Em [7] apresentamos um sistema axiomatico da geometria plana dividido em seis grupos(veja o apendice A):

Grupo I: axiomas de incidencia.

Grupo II: axiomas de metrica na reta e ordem na reta e no plano.

Grupo III: axiomas de medidas de angulos.

Grupo IV: axiomas de congruencia de triangulos.

Grupo V: axioma das paralelas.

Grupo VI: axiomas sobre areas de figuras planas.

Para estudarmos a geometria no espaco precisaremos atualizar a lista de axiomas. Mas estaoperacao nao sera muito traumatica, pois a unica modificacao (na verdade uma extensao) queprecisa ser feita e nos axiomas do grupo I, para abarcar as inter-relacoes entre os elementosprimitivos que agora incluem planos e o espaco.

Os tres axiomas do grupo I listados em [7] permanecem como estao, apenas trocando-se apalavra plano por espaco.

Axioma I.1. Por dois pontos distintos do espaco passa uma e somente uma reta.

Observacao 1.1. Neste texto adotamos a mesma linguagem geometrica estabelecida em [7].Por exemplo, no axioma acima usamos o termo “passar” no sentido de que dados dois pontosdistintos do espaco entao existe apenas uma reta que os contem.

Axioma I.2. Toda reta do espaco possui pelo menos dois pontos distintos.

Axioma I.3. O espaco contem pelo menos tres pontos distintos que nao pertencem auma mesma reta.

Em seguida precisamos estabelecer condicoes analogas as dadas nos axiomas I.1 e I.2 paraplanos – isto e as condicoes de determinacao de um plano por pontos, e o fato de planosserem conjuntos nao vazios do espaco. Primeiro observe o que nossa experiencia nos traz:se voce toma um banco com tres pernas e o coloca no chao, vera que ele nao claudica (vejafigura 1.4).



Figura 1.4

Entao e razoavel estabelecermos o seguinte axioma, que traduz para o mundo abstrato damatematica esta propriedade experimental: precisamos de tres pontos para determinar umplano.

Axioma I.4. Por tres pontos distintos nao colineares do espaco passa um e somenteum plano.

O axioma seguinte garante que planos fazem sentido, ou seja, que sao conjuntos nao vazios.

Axioma I.5. Todo plano do espaco contem pelo menos um ponto.

Observacao 1.2. Observe que nao exigimos que um plano contenha tres pontos, comosugeriria uma analogia com o axioma I.2, mas apenas um. Veremos mais adiante que,como consequencia dos axiomas estabelecidos, todo plano contem pelo menos tres pontosnao colineares.

Nos faltam agora as regras que realmente descrevem o espaco tridimensional. Esta “tridi-mensionalidade” sera garantida pelas propriedades descritas a seguir.

α

A

B

s

t

Figura 1.5: – Axioma I.6

Axioma I.6. Se uma reta possui dois pontos distintos em comum com um plano, entaoesta reta esta inteiramente contida no plano.

O axioma acima traduz o fato esperado: quando voce traca uma reta numa folha de papelusando uma regua e um lapis, nao tem como deixa-la perfurando a folha. Na figura 1.5 alinha designada pela letra s nao e o que se espera ser uma reta passando pelos pontos A eB do plano α, mas a linha t representa, esta sim, a reta determinada por estes pontos.

Axioma I.7. Se dois planos distintos possuem um ponto em comum entao sua intersecaoe uma reta passando por este ponto.

αt

P

β


O axioma I.7 nos diz como planos se “interpenetram” no espaco. Dados dois planos noespaco tres coisas podem acontecer:

(i) eles sao identicos, ou

(ii) eles sao distintos e possuem pontos em comum, ou

(iii) eles nao tem pontos em comum.

Na terceira possibilidade sao chamados de planos paralelos, assunto que veremos com maisdetalhes adiante. Na segunda possibilidade nossa intuicao nos diz que a intersecao delesnao pode ser muito grande. Se voce examinar as paginas deste livro, imaginando que saoplanos, pode ver que se interceptam numa reta, que e a lombada do livro – daı este axioma.Na figura 1.6 representamos dois planos α e β que tem um ponto P em comum e, portanto,possuem a reta t em comum.

Problema 1.2. Se os planos α e β da figura 1.6 possuıssem um outro ponto em comum, forade t, o que voce pode dizer sobre eles? Em quais dos itens listados acima se encaixariam?(Sugestao: veja o axioma I.4).

Axioma I.8. Para todo plano α do espaco existe pelo menos um ponto P que nao estacontido em α.

O axioma I.8 descreve formalmente o que nossa visao do espaco nos diz: podemos andarnele para os lados, para cima e para baixo, sem ficarmos presos a uma existencia plana(figura 1.7).




Figura 1.4

Entao e razoavel estabelecermos o seguinte axioma, que traduz para o mundo abstrato damatematica esta propriedade experimental: precisamos de tres pontos para determinar umplano.

Axioma I.4. Por tres pontos distintos nao colineares do espaco passa um e somenteum plano.

O axioma seguinte garante que planos fazem sentido, ou seja, que sao conjuntos nao vazios.

Axioma I.5. Todo plano do espaco contem pelo menos um ponto.

Observacao 1.2. Observe que nao exigimos que um plano contenha tres pontos, comosugeriria uma analogia com o axioma I.2, mas apenas um. Veremos mais adiante que,como consequencia dos axiomas estabelecidos, todo plano contem pelo menos tres pontosnao colineares.

Nos faltam agora as regras que realmente descrevem o espaco tridimensional. Esta “tridi-mensionalidade” sera garantida pelas propriedades descritas a seguir.

α

A

B

s

t


Axioma I.6. Se uma reta possui dois pontos distintos em comum com um plano, entaoesta reta esta inteiramente contida no plano.

O axioma acima traduz o fato esperado: quando voce traca uma reta numa folha de papelusando uma regua e um lapis, nao tem como deixa-la perfurando a folha. Na figura 1.5 alinha designada pela letra s nao e o que se espera ser uma reta passando pelos pontos A eB do plano α, mas a linha t representa, esta sim, a reta determinada por estes pontos.

Axioma I.7. Se dois planos distintos possuem um ponto em comum entao sua intersecaoe uma reta passando por este ponto.

αt

P

β


O axioma I.7 nos diz como planos se “interpenetram” no espaco. Dados dois planos noespaco tres coisas podem acontecer:

(i) eles sao identicos, ou

(ii) eles sao distintos e possuem pontos em comum, ou

(iii) eles nao tem pontos em comum.

Na terceira possibilidade sao chamados de planos paralelos, assunto que veremos com maisdetalhes adiante. Na segunda possibilidade nossa intuicao nos diz que a intersecao delesnao pode ser muito grande. Se voce examinar as paginas deste livro, imaginando que saoplanos, pode ver que se interceptam numa reta, que e a lombada do livro – daı este axioma.Na figura 1.6 representamos dois planos α e β que tem um ponto P em comum e, portanto,possuem a reta t em comum.

Problema 1.2. Se os planos α e β da figura 1.6 possuıssem um outro ponto em comum, forade t, o que voce pode dizer sobre eles? Em quais dos itens listados acima se encaixariam?(Sugestao: veja o axioma I.4).

Axioma I.8. Para todo plano α do espaco existe pelo menos um ponto P que nao estacontido em α.

O axioma I.8 descreve formalmente o que nossa visao do espaco nos diz: podemos andarnele para os lados, para cima e para baixo, sem ficarmos presos a uma existencia plana(figura 1.7).




1.3 Algumas consequencias dos axiomas do grupo I

Vamos deduzir algumas propriedades dos axiomas que apresentamos. Comecamos com aseguinte

Figura 1.8

Proposicao 1.1. Por duas retas concorrentes passa um unico plano.

Demonstracao. Sejam r e s duas retas concorrentes num ponto P . Para provar esteresultado vamos seguir os seguintes passos (veja figura 1.8):

(1) Tome os pontos A ∈ r e B ∈ s distintos de P (existem pelo axioma I.2);

(2) tome α o unico plano que passa por A, B e P (axioma I.4);

(3) a reta r esta contida em α, pois e determinada pelos pontos A e P que pertencem a α(axiomas I.1 e I.6). Analogamente prova-se que s ⊂ α.

Provamos assim que o plano α determinado pelos pontos A, B e P e o unico plano quecontem simultaneamente as retas r e s.

Figura 1.9

Problema 1.3. Adapte a demonstracao da proposicao 1.1 para provar o seguinte fato: poruma reta r e um ponto P fora de r passa um unico plano (veja figura 1.9).

Vejamos agora um resultado um pouco mais complicado.

Teorema 1.2. Todo plano possui pelo menos tres pontos nao colineares.

Demonstracao. Seja α um plano qualquer do espaco. Vamos “marcar” tres pontos naocolineares em α seguindo os passos abaixo, que voce pode acompanhar nas figuras 1.10 e1.11:

(1) Existem um ponto P ∈ α e um ponto Q fora de α, pelos axiomas I.5 e I.8, respectiva-mente.

(2) Seja r = ←→PQ. Pelo axioma I.3 existe um terceiro ponto R /∈ r. Observe que r nao estacontida em α, ja que Q /∈ α.

(3) Pelos tres pontos nao colineares P , Q e R passa um unico plano β (axioma I.4). Observeque r ⊂ β, ja que P e Q pertencem a β.

Figura 1.10 Figura 1.11

(4) Os planos α e β possuem o ponto P em comum, donde α ∩ β = s, onde s e uma retapassando por P (axioma I.7). Observe que Q /∈ s, pois s esta contida em α, e Q naopertence a α.

(5) Seja S um quarto ponto na historia, nao contido em β (novamente axioma I.8).

(6) O ponto S e a reta r determinam um plano γ (problema 1.3), distinto de α e β (porque?).

(7) Os planos α e γ possuem em comum o ponto P , logo α ∩ γ = t, uma reta passando porP .

(8) Obtemos assim duas retas concorrentes s e t contidas em α.

Para terminar tomamos dois pontos A ∈ s e B ∈ t quaisquer, distintos de P , de forma queos pontos A, B e P sao pontos de α nao colineares, como querıamos.

O estudante pode se perguntar para que demonstrar este resultado do teorema anterior, queparece tao obvio? Este e um exemplo da ingrata tarefa de se trabalhar com a formalidadede um sistema axiomatico. Nao temos nenhuma afirmacao, na lista dos axiomas I.1 a I.8,que nos garanta a existencia de mais de um ponto em um plano, logo precisamos provar queisto e verdade. O que temos e o contrario: se temos tres pontos nao colineares entao existeum plano que os contem (axioma I.4).

Chamamos tambem atencao para a tecnica utilizada na demonstracao do teorema 1.2: paramarcar os pontos desejados fomos criando planos e encontrando intersecoes entre planos eretas. Esta tecnica e usual em geometria espacial, e a utilizaremos com frequencia. Portantoconvidamos todos a estudarem com bastante atencao os passos desta demonstracao, comofica implicitamente sugerido nos problemas a seguir.

Problema 1.4. Nas figuras 1.10 e 1.10 ilustramos os passos da demonstracao do teo-rema 1.2. Diga ate qual passo a figura 1.10 corresponde.

Problema 1.5. Tente adaptar a demonstracao do teorema 1.2 para provar o seguinte fato:dada uma reta r contida num plano α, existe um ponto A ∈ α que nao pertence a r.



1.3 Algumas consequencias dos axiomas do grupo I

Vamos deduzir algumas propriedades dos axiomas que apresentamos. Comecamos com aseguinte

Figura 1.8

Proposicao 1.1. Por duas retas concorrentes passa um unico plano.

Demonstracao. Sejam r e s duas retas concorrentes num ponto P . Para provar esteresultado vamos seguir os seguintes passos (veja figura 1.8):

(1) Tome os pontos A ∈ r e B ∈ s distintos de P (existem pelo axioma I.2);

(2) tome α o unico plano que passa por A, B e P (axioma I.4);

(3) a reta r esta contida em α, pois e determinada pelos pontos A e P que pertencem a α(axiomas I.1 e I.6). Analogamente prova-se que s ⊂ α.

Provamos assim que o plano α determinado pelos pontos A, B e P e o unico plano quecontem simultaneamente as retas r e s.

Figura 1.9

Problema 1.3. Adapte a demonstracao da proposicao 1.1 para provar o seguinte fato: poruma reta r e um ponto P fora de r passa um unico plano (veja figura 1.9).

Vejamos agora um resultado um pouco mais complicado.

Teorema 1.2. Todo plano possui pelo menos tres pontos nao colineares.

Demonstracao. Seja α um plano qualquer do espaco. Vamos “marcar” tres pontos naocolineares em α seguindo os passos abaixo, que voce pode acompanhar nas figuras 1.10 e1.11:

(1) Existem um ponto P ∈ α e um ponto Q fora de α, pelos axiomas I.5 e I.8, respectiva-mente.

(2) Seja r = ←→PQ. Pelo axioma I.3 existe um terceiro ponto R /∈ r. Observe que r nao estacontida em α, ja que Q /∈ α.

(3) Pelos tres pontos nao colineares P , Q e R passa um unico plano β (axioma I.4). Observeque r ⊂ β, ja que P e Q pertencem a β.

Figura 1.10 Figura 1.11

(4) Os planos α e β possuem o ponto P em comum, donde α ∩ β = s, onde s e uma retapassando por P (axioma I.7). Observe que Q /∈ s, pois s esta contida em α, e Q naopertence a α.

(5) Seja S um quarto ponto na historia, nao contido em β (novamente axioma I.8).

(6) O ponto S e a reta r determinam um plano γ (problema 1.3), distinto de α e β (porque?).

(7) Os planos α e γ possuem em comum o ponto P , logo α ∩ γ = t, uma reta passando porP .

(8) Obtemos assim duas retas concorrentes s e t contidas em α.

Para terminar tomamos dois pontos A ∈ s e B ∈ t quaisquer, distintos de P , de forma queos pontos A, B e P sao pontos de α nao colineares, como querıamos.

O estudante pode se perguntar para que demonstrar este resultado do teorema anterior, queparece tao obvio? Este e um exemplo da ingrata tarefa de se trabalhar com a formalidadede um sistema axiomatico. Nao temos nenhuma afirmacao, na lista dos axiomas I.1 a I.8,que nos garanta a existencia de mais de um ponto em um plano, logo precisamos provar queisto e verdade. O que temos e o contrario: se temos tres pontos nao colineares entao existeum plano que os contem (axioma I.4).

Chamamos tambem atencao para a tecnica utilizada na demonstracao do teorema 1.2: paramarcar os pontos desejados fomos criando planos e encontrando intersecoes entre planos eretas. Esta tecnica e usual em geometria espacial, e a utilizaremos com frequencia. Portantoconvidamos todos a estudarem com bastante atencao os passos desta demonstracao, comofica implicitamente sugerido nos problemas a seguir.

Problema 1.4. Nas figuras 1.10 e 1.10 ilustramos os passos da demonstracao do teo-rema 1.2. Diga ate qual passo a figura 1.10 corresponde.

Problema 1.5. Tente adaptar a demonstracao do teorema 1.2 para provar o seguinte fato:dada uma reta r contida num plano α, existe um ponto A ∈ α que nao pertence a r.



1.4 Exercıcios

Figura 1.12: – Exercıcio 1.1

1.1. Analisando visualmente a figura 1.12, onde deve-se considerar que o ponto D nao estano mesmo plano que os pontos A, B e P , decida se os pontos nos conjuntos listados maisabaixo

(i) sao colineares ou

(ii) nao sao colineares, mas sao coplanares ou

(iii) nao sao coplanares.

(a) {A,B,C,D};

(b) {A,B,D};

(c) {P,D,Q};

(d) {P,B,C};

(e) {A,B,C,Q}.

1.2. Indique quantas retas podem passar por pares escolhidos dentre quatro pontos distintosA, B, C e D se

(a) A, B e C sao colineares;

(b) cada tres pontos nao sao colineares;

(c) os pontos nao sao coplanares.

Faca um desenho de cada situacao possıvel.

1.3. Vimos que tres pontos nao colineares no espaco determinam um unico plano. Proveque se os tres pontos sao colineares, entao existem infinitos planos que os contem.

1.4. Sejam A, B e C tres pontos nao colineares, e seja α o plano determinado por eles.Prove que os lados do triangulo △ABC estao contidos em α.



1.5. Sejam A, B, C e D quatro pontos do espaco. Decida se cada afirmacao a seguir everdadeira ou falsa. Justifique cada resposta com uma demonstracao ou um contraexemplo,e faca um desenho para cada situacao.

(a) Se AB e CD possuem um ponto em comum, entao sao coplanares.

(b) Se AB e CD nao possuem pontos em comum entao nao sao coplanares.

(c) Suponha que os pontos A, B e C nao sejam colineares. Seja α o plano determinado porestes pontos. Se D /∈ α entao os segmentos DA, DB e DC nao interceptam nenhum dosinteriores dos lados do triangulo △ABC.

(d) Seja, como no item anterior, α o plano determinado pelos pontos nao colineares A, B eC. Se D ∈ α entao pelo menos um dos segmentos DA, DB ou DC intercepta o interiorde algum lado de △ABC.

(e) Ainda nas condicoes do item anterior. Se um dos segmentos DA, DB ou DC interceptao interior de algum lado de △ABC entao D ∈ α.


2 Mais propriedades do espaço

AULA2: MAIS PROPRIEDADES DO ESPACO

OBJETIVOSApresentar os outros axiomas da Geometria Euclidiana no espaco. Analisar, com cuidado,as seguintes propriedades: separacao do espaco em semiespacos, congruencias no espaco, eparalelismo de retas no espaco.

2.1 Introducao

Na aula anterior apresentamos o nosso novo elemento primitivo, o espaco, e os axiomasque regem as inter-relacoes entre pontos, retas, planos e o espaco, chamados axiomas deincidencia. Estes sao, essencialmente, os unicos axiomas que precisam ser modificados emrelacao a um sistema axiomatico para a geometria plana. Os outros, como ja o dissemos,permanecem validos. Nesta aula estudaremos os axiomas dos outros grupos e veremosalgumas consequencias.

2.2 Separacao do espaco: semiespacos

Vamos comecar estabelecendo um axioma “curioso”, que sintetiza o que afirmamos na in-troducao acima:

Axioma E.1. Todos os axiomas dos grupos II, III, IV e V, apresentados em [7], saovalidos na geometria espacial, salvo algumas adaptacoes.

Queremos dizer com este axioma que todas as afirmacoes sobre propriedades da geometriaplana sao validas no espaco, com as devidas adaptacoes. Vamos entao “passar os olhos” nosaxiomas apresentados em [7], chamando a atencao para os pontos mais complicados.

Os axiomas II.1 a II.5 de [7] tratam de medida de segmentos, da ordem de pontos numa retae de semirretas. Estas propriedades sao transcritas automaticamente para o espaco, comose pode ver facilmente.

Problema 2.1. Reveja os axiomas II.1 a II.5 de [7] e tente visualiza-los no espaco.

O axioma II.6, que trata da separacao de um plano em semiplanos por retas, sera analisadocom mais detalhes. Vamos reescrever seu enunciado, dentro de nosso novo contexto.

Figura 2.1: – Axioma II.6


21Aul A 2 – MAis propriedAdes do espAço

AULA2: MAIS PROPRIEDADES DO ESPACO

OBJETIVOSApresentar os outros axiomas da Geometria Euclidiana no espaco. Analisar, com cuidado,as seguintes propriedades: separacao do espaco em semiespacos, congruencias no espaco, eparalelismo de retas no espaco.

2.1 Introducao

Na aula anterior apresentamos o nosso novo elemento primitivo, o espaco, e os axiomasque regem as inter-relacoes entre pontos, retas, planos e o espaco, chamados axiomas deincidencia. Estes sao, essencialmente, os unicos axiomas que precisam ser modificados emrelacao a um sistema axiomatico para a geometria plana. Os outros, como ja o dissemos,permanecem validos. Nesta aula estudaremos os axiomas dos outros grupos e veremosalgumas consequencias.

2.2 Separacao do espaco: semiespacos

Vamos comecar estabelecendo um axioma “curioso”, que sintetiza o que afirmamos na in-troducao acima:

Axioma E.1. Todos os axiomas dos grupos II, III, IV e V, apresentados em [7], saovalidos na geometria espacial, salvo algumas adaptacoes.

Queremos dizer com este axioma que todas as afirmacoes sobre propriedades da geometriaplana sao validas no espaco, com as devidas adaptacoes. Vamos entao “passar os olhos” nosaxiomas apresentados em [7], chamando a atencao para os pontos mais complicados.

Os axiomas II.1 a II.5 de [7] tratam de medida de segmentos, da ordem de pontos numa retae de semirretas. Estas propriedades sao transcritas automaticamente para o espaco, comose pode ver facilmente.

Problema 2.1. Reveja os axiomas II.1 a II.5 de [7] e tente visualiza-los no espaco.

O axioma II.6, que trata da separacao de um plano em semiplanos por retas, sera analisadocom mais detalhes. Vamos reescrever seu enunciado, dentro de nosso novo contexto.

Figura 2.1: – Axioma II.6



Axioma II.6. Toda reta l em um plano α determina exatamente dois subconjuntosαl e αl de α, denominados semiplanos de α em relacao a l, satisfazendo as seguintespropriedades:

(a) todos os pontos de α estao contidos em αl ∪ αl;

(b) αl ∩ αl = l;

(c) dois pontos A e B de α nao pertencentes a l estao num mesmo semiplano de α emrelacao a l se e somente se AB ∩ l = ∅;

(d) dois pontos A e B nao pertencentes a l estao em semiplanos distintos de α emrelacao a l se e somente se AB ∩ l ≠ ∅.

Problema 2.2. Compare este enunciado do axioma II.6 com o enunciado do mesmo em [7]e aponte as diferencas. Aproveite a oportunidade e reescreva os enunciados dos outrosaxiomas apresentados em [7], colocando-os no novo contexto.

Na figura 2.1 representamos dois planos α e β no espaco. Eles sao cortados pelas retas le s, respectivamente, que dividem cada um em dois semiplanos. No caso do plano α, porexemplo, os pontos A e B estao do mesmo lado1 em relacao a l, e os pontos B e C estao emlados opostos.

Problema 2.3. Na figura 2.1 identifique todos os pontos representados, dizendo de que ladoestao em cada plano α e β, em relacao as retas l e s, respectivamente.

Situacao analoga a descrita no axioma II.6 vale no espaco, isto e, um plano determina noespaco dois conjuntos com propriedades exatamente equivalentes as propriedades descritasneste axioma. No entanto, esta propriedade nao precisa ser estabelecida como um axioma,mas e consequencia do axioma II.6, como enunciamos no teorema seguinte.

Figura 2.2: – Separacao do Espaco

Teorema 2.1 (Separacao do espaco). Todo plano α do espaco determina exatamente doissubconjuntos nao vazios Eα e Eα do espaco, denominados semiespacos em relacao a α,satisfazendo as seguintes propriedades:

(a) todos os pontos do espaco estao contidos em Eα ∪ Eα;

1Lembramos que os lados de um plano α em relacao a uma reta l ⊂ α sao os conjuntos α ∖ l e α ∖ l, nanotacao do axioma II.6, onde o sımbolo “∖” – vale a pena recordar – significa diferenca de conjuntos.

(b) Eα ∩ Eα = α;

(c) dois pontos A e B do espaco nao pertencentes a α estao num mesmo semiespaco emrelacao a α se e somente se AB ∩ α = ∅;

(d) dois pontos A e B nao pertencentes a α estao em semiespacos distintos (ou opostos)em relacao a α se e somente se AB ∩ α ≠ ∅.

Nao demonstraremos este teorema agora – sua demonstracao, cuja leitura e opcional, seraapresentada na ultima secao desta aula – mas e preciso compreender bem o seu significado.Para explica-lo melhor vamos estabelecer uma terminologia, analoga a que voces ja viramnum curso de geometria plana em relacao a semiplanos:

Definicao 2.2. Se α e um plano do espaco, o conjunto dos pontos de um semiespacodeterminado por α que nao estao contidos em α e um lado do espaco em relacao a α. Oslados do espaco correspondentes aos semiespacos opostos sao chamados de lados opostos emrelacao a α.

Na figura 2.2 representamos a situacao descrita no teorema 2.1. Os pontos A e C estao deum mesmo lado do plano α, enquanto que os pontos A e B, e A e D estao em lados opostos.Usando estes dados podemos concluir que CB ∩ α ≠ ∅. De fato, se CB ∩ α = ∅, entao, peloitem (c) do teorema, os pontos C e B deveriam estar do mesmo lado do espaco em relacaoa α. Ora, entao C esta no mesmo semiespaco que A e no mesmo semiespaco que B, quesao semiespacos distintos. Logo C pertence a ambos Eα e Eα, contrariando o item (b) doteorema, ja que estamos supondo (implicitamente) que C /∈ α.

Problema 2.4. Prove, adaptando a argumentacao apresentada no paragrafo precedente que,seguindo os dados representados na figura 2.2, BD ∩ α = ∅.

2.3 Angulos e congruencia no espaco

Definimos em [7] um angulo simplesmente como sendo um par de semirretas com origemcomum. Esta definicao nao apresenta nenhum problema quando passamos a ve-la do pontode vista do espaco. No entanto devemos nos lembrar que angulos sao essencialmente objetosplanos. Por exemplo, temos a seguinte propriedade:

Figura 2.3: – Proposicao 2.3

Proposicao 2.3. Todo angulo no espaco determina um unico plano.

Problema 2.5. Demonstre a proposicao 2.3 (a figura 2.3 da uma dica de como resolvereste problema).

Precisamos tomar cuidado, no entanto, com o conceito de regiao angular. Para deixaristo claro, transcrevemos a definicao de regiao angular apresentada em [7] com as devidasmodificacoes.



Axioma II.6. Toda reta l em um plano α determina exatamente dois subconjuntosαl e αl de α, denominados semiplanos de α em relacao a l, satisfazendo as seguintespropriedades:

(a) todos os pontos de α estao contidos em αl ∪ αl;

(b) αl ∩ αl = l;

(c) dois pontos A e B de α nao pertencentes a l estao num mesmo semiplano de α emrelacao a l se e somente se AB ∩ l = ∅;

(d) dois pontos A e B nao pertencentes a l estao em semiplanos distintos de α emrelacao a l se e somente se AB ∩ l ≠ ∅.

Problema 2.2. Compare este enunciado do axioma II.6 com o enunciado do mesmo em [7]e aponte as diferencas. Aproveite a oportunidade e reescreva os enunciados dos outrosaxiomas apresentados em [7], colocando-os no novo contexto.

Na figura 2.1 representamos dois planos α e β no espaco. Eles sao cortados pelas retas le s, respectivamente, que dividem cada um em dois semiplanos. No caso do plano α, porexemplo, os pontos A e B estao do mesmo lado1 em relacao a l, e os pontos B e C estao emlados opostos.

Problema 2.3. Na figura 2.1 identifique todos os pontos representados, dizendo de que ladoestao em cada plano α e β, em relacao as retas l e s, respectivamente.

Situacao analoga a descrita no axioma II.6 vale no espaco, isto e, um plano determina noespaco dois conjuntos com propriedades exatamente equivalentes as propriedades descritasneste axioma. No entanto, esta propriedade nao precisa ser estabelecida como um axioma,mas e consequencia do axioma II.6, como enunciamos no teorema seguinte.

Figura 2.2: – Separacao do Espaco

Teorema 2.1 (Separacao do espaco). Todo plano α do espaco determina exatamente doissubconjuntos nao vazios Eα e Eα do espaco, denominados semiespacos em relacao a α,satisfazendo as seguintes propriedades:

(a) todos os pontos do espaco estao contidos em Eα ∪ Eα;

1Lembramos que os lados de um plano α em relacao a uma reta l ⊂ α sao os conjuntos α ∖ l e α ∖ l, nanotacao do axioma II.6, onde o sımbolo “∖” – vale a pena recordar – significa diferenca de conjuntos.

(b) Eα ∩ Eα = α;

(c) dois pontos A e B do espaco nao pertencentes a α estao num mesmo semiespaco emrelacao a α se e somente se AB ∩ α = ∅;

(d) dois pontos A e B nao pertencentes a α estao em semiespacos distintos (ou opostos)em relacao a α se e somente se AB ∩ α ≠ ∅.

Nao demonstraremos este teorema agora – sua demonstracao, cuja leitura e opcional, seraapresentada na ultima secao desta aula – mas e preciso compreender bem o seu significado.Para explica-lo melhor vamos estabelecer uma terminologia, analoga a que voces ja viramnum curso de geometria plana em relacao a semiplanos:

Definicao 2.2. Se α e um plano do espaco, o conjunto dos pontos de um semiespacodeterminado por α que nao estao contidos em α e um lado do espaco em relacao a α. Oslados do espaco correspondentes aos semiespacos opostos sao chamados de lados opostos emrelacao a α.

Na figura 2.2 representamos a situacao descrita no teorema 2.1. Os pontos A e C estao deum mesmo lado do plano α, enquanto que os pontos A e B, e A e D estao em lados opostos.Usando estes dados podemos concluir que CB ∩ α ≠ ∅. De fato, se CB ∩ α = ∅, entao, peloitem (c) do teorema, os pontos C e B deveriam estar do mesmo lado do espaco em relacaoa α. Ora, entao C esta no mesmo semiespaco que A e no mesmo semiespaco que B, quesao semiespacos distintos. Logo C pertence a ambos Eα e Eα, contrariando o item (b) doteorema, ja que estamos supondo (implicitamente) que C /∈ α.

Problema 2.4. Prove, adaptando a argumentacao apresentada no paragrafo precedente que,seguindo os dados representados na figura 2.2, BD ∩ α = ∅.

2.3 Angulos e congruencia no espaco

Definimos em [7] um angulo simplesmente como sendo um par de semirretas com origemcomum. Esta definicao nao apresenta nenhum problema quando passamos a ve-la do pontode vista do espaco. No entanto devemos nos lembrar que angulos sao essencialmente objetosplanos. Por exemplo, temos a seguinte propriedade:

Figura 2.3: – Proposicao 2.3

Proposicao 2.3. Todo angulo no espaco determina um unico plano.

Problema 2.5. Demonstre a proposicao 2.3 (a figura 2.3 da uma dica de como resolvereste problema).

Precisamos tomar cuidado, no entanto, com o conceito de regiao angular. Para deixaristo claro, transcrevemos a definicao de regiao angular apresentada em [7] com as devidasmodificacoes.



Definicao 2.4. A regiao angular determinada por um angulo (nao trivial) ∡A = ∡BAC eo subconjunto

R∡A = αl ∩ αr,

onde α e o plano determinado por A, B e C, l =←→AB, r =←→AC, αl e o semiplano de α relativoa l que contem o ponto C, e αr e o semiplano de α relativo a r que contem o ponto B.

Os pontos pertencentes a R∡A que nao pertencem aos lados de ∡A sao denominados pon-tos interiores a ∡A, e os pontos que nao pertencem a R∡A e nem aos lados de ∡A saodenominados pontos exteriores a ∡A.

Se D e um ponto interior a ∡A dizemos que�→AD ⊂ α divide ou separa o angulo ∡A.

Problema 2.6. Compare a definicao acima com a definicao de regiao angular apresentadaem [7], apontando as diferencas, e faca um desenho.

Observacao 2.1. As definicoes de angulo adjacente, angulo raso e angulo suplementartambem sao todas relativas ao plano determinado pelo angulo em questao, ou seja, saoobjetos planos.

Se prestarmos atencao na definicao 2.4 e na observacao acima vemos que os axiomas III.1 eIII.2 do grupo III – axiomas sobre medidas de angulos no plano – vistos em [7], sao validosno espaco sem necessidade de adaptar seus enunciados. No entanto, o axioma III.3 precisade ser reescrito, como se segue.

Axioma III.3. Para toda semirreta�→AB, todo numero real a tal que 0 < a < 180, e cada

plano ξ contendo�→AB existem exatamente duas semirretas

�→AD ⊂ ξl e

��→AD′ ∈ ξl tais que

m(∡BAD) =m(∡BAD′) = a,

onde l =←→AB e ξl, ξl sao semiplanos de ξ em relacao a l.

Figura 2.4: – Axioma III.3

Na figura 2.4 representamos a situacao descrita no axioma III.3. No plano ξ temos os pontos

D e D′ em lados opostos da reta l =←→AB como no axioma III.3, isto e, tais que


para um dado numero a com 0 < a < 180. Analogamente fica garantida a existencia de doispontos P e P ′ num outro plano α passando por l, com

m(∡BAP ) =m(∡BAP ′) = a.

Figura 2.5: – Caso LAL de congruencia de triangulos

Fechamos esta secao com algumas observacoes sobre congruencias. No sistema axiomaticode geometria plana apresentado em [7] baseamos a ideia de congruencia na ideia de medida.Estes conceitos, e os axiomas relativos, permanecem inalterados no nosso sistema para ageometria espacial. Em particular, o axioma IV em [7], que postula o caso “lado-angulo-lado” (LAL) de congruencia de triangulos e valido tambem ao se comparar triangulos emplanos distintos. Por exemplo, na figura 2.5 representamos os triangulos △ABC e △PQRnos planos α e β, respectivamente, tais que

AB ≡ PQ∡ABC ≡ ∡PQR

BC ≡ QR

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭(LAL)

Nestas condicoes, pelo caso LAL de congruencia de triangulos tem-se que △ABC ≡△PQR.

Vamos agora resolver um problema de congruencia no espaco no exemplo a seguir.

Exemplo 2.1. Na figura 2.6 sabe-se que A, B, C e D sao pontos nao coplanares, e que B,C e D estao no plano α. Se AB ⊥ BC, AB ⊥ BD e BC ≡ BD, demonstre que AC ≡ AD.

α

B

A

C

D

Figura 2.6: – Exemplo 2.1 e problema 2.7

Solucao: Os triangulos △ABD e △ABC sao congruentes pelo caso LAL, pois

AB ≡ AB Lado comum aos triangulos;

∡ABD ≡ ∡ABC Angulos retos, por hipotese;

BD ≡ BC Lados congruentes, por hipotese.

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭(LAL)

Logo os lados AD e AC sao congruentes. ⊲

Resolva voce o problema seguinte.

Problema 2.7. Novamente usando a figura 2.6 como referencia, suponha que ∡DAB ≡∡CAB, AB ⊥ BD e AB ⊥ BC. Nestas condicoes, prove que AD ≡ AC.



Definicao 2.4. A regiao angular determinada por um angulo (nao trivial) ∡A = ∡BAC eo subconjunto

R∡A = αl ∩ αr,

onde α e o plano determinado por A, B e C, l =←→AB, r =←→AC, αl e o semiplano de α relativoa l que contem o ponto C, e αr e o semiplano de α relativo a r que contem o ponto B.

Os pontos pertencentes a R∡A que nao pertencem aos lados de ∡A sao denominados pon-tos interiores a ∡A, e os pontos que nao pertencem a R∡A e nem aos lados de ∡A saodenominados pontos exteriores a ∡A.

Se D e um ponto interior a ∡A dizemos que�→AD ⊂ α divide ou separa o angulo ∡A.

Problema 2.6. Compare a definicao acima com a definicao de regiao angular apresentadaem [7], apontando as diferencas, e faca um desenho.

Observacao 2.1. As definicoes de angulo adjacente, angulo raso e angulo suplementartambem sao todas relativas ao plano determinado pelo angulo em questao, ou seja, saoobjetos planos.

Se prestarmos atencao na definicao 2.4 e na observacao acima vemos que os axiomas III.1 eIII.2 do grupo III – axiomas sobre medidas de angulos no plano – vistos em [7], sao validosno espaco sem necessidade de adaptar seus enunciados. No entanto, o axioma III.3 precisade ser reescrito, como se segue.


plano ξ contendo�→AB existem exatamente duas semirretas

�→AD ⊂ ξl e

��→AD′ ∈ ξl tais que


onde l =←→AB e ξl, ξl sao semiplanos de ξ em relacao a l.

Figura 2.4: – Axioma III.3

Na figura 2.4 representamos a situacao descrita no axioma III.3. No plano ξ temos os pontos

D e D′ em lados opostos da reta l =←→AB como no axioma III.3, isto e, tais que


para um dado numero a com 0 < a < 180. Analogamente fica garantida a existencia de doispontos P e P ′ num outro plano α passando por l, com

m(∡BAP ) =m(∡BAP ′) = a.

Figura 2.5: – Caso LAL de congruencia de triangulos

Fechamos esta secao com algumas observacoes sobre congruencias. No sistema axiomaticode geometria plana apresentado em [7] baseamos a ideia de congruencia na ideia de medida.Estes conceitos, e os axiomas relativos, permanecem inalterados no nosso sistema para ageometria espacial. Em particular, o axioma IV em [7], que postula o caso “lado-angulo-lado” (LAL) de congruencia de triangulos e valido tambem ao se comparar triangulos emplanos distintos. Por exemplo, na figura 2.5 representamos os triangulos △ABC e △PQRnos planos α e β, respectivamente, tais que

AB ≡ PQ∡ABC ≡ ∡PQR

BC ≡ QR

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭(LAL)

Nestas condicoes, pelo caso LAL de congruencia de triangulos tem-se que △ABC ≡△PQR.

Vamos agora resolver um problema de congruencia no espaco no exemplo a seguir.

Exemplo 2.1. Na figura 2.6 sabe-se que A, B, C e D sao pontos nao coplanares, e que B,C e D estao no plano α. Se AB ⊥ BC, AB ⊥ BD e BC ≡ BD, demonstre que AC ≡ AD.

α

B

A

C

D

Figura 2.6: – Exemplo 2.1 e problema 2.7

Solucao: Os triangulos △ABD e △ABC sao congruentes pelo caso LAL, pois

AB ≡ AB Lado comum aos triangulos;

∡ABD ≡ ∡ABC Angulos retos, por hipotese;

BD ≡ BC Lados congruentes, por hipotese.

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭(LAL)

Logo os lados AD e AC sao congruentes. ⊲

Resolva voce o problema seguinte.

Problema 2.7. Novamente usando a figura 2.6 como referencia, suponha que ∡DAB ≡∡CAB, AB ⊥ BD e AB ⊥ BC. Nestas condicoes, prove que AD ≡ AC.



2.4 O axioma das paralelas no espaco

Vimos em [7] que duas retas paralelas no plano sao retas que nao tem pontos em comum.No espaco, porem, temos outra situacao em que retas nao tem pontos em comum, as retasreversas:

Figura 2.7: – Retas reversas

Definicao 2.5. Duas retas no espaco sao reversas se nao estao contidas em um mesmoplano.

Na figura 2.7 representamos duas retas reversas. Para indicar em ilustracoes que as retas saoreversas, sem a necessidade de tracar um plano, faremos como na figura 2.7b, onde queremosexpressar a ideia de que a reta r passa “por tras” da reta l em relacao a nossa visao.

Problema 2.8. Como voce demonstraria a existencia de retas reversas? Isto e, tome umareta r e um ponto P /∈ r e prove que por P passam retas reversas a r.

Problema 2.9. Sejam r e s duas retas reversas. Tome A ∈ r e B ∈ s e sejam α o planodeterminado por r e B, e β o plano determinado por s e A. Desenhe a situacao descrita ediga quem e α ∩ β.

A definicao de retas paralelas fica assim:

Figura 2.8: – Retas paralelas

Definicao 2.6. Duas retas r e l no espaco sao paralelas se sao coplanares e nao possuempontos em comum. Denotaremos esta relacao, como e tradicional, por r ∥ l.

O axioma das paralelas continua valendo.

Axioma V. Dada uma reta no espaco, por cada ponto que nao lhe pertencente passa,no maximo, uma reta paralela a ela.

Como todos devem se lembrar, na geometria plana demonstramos a existencia de retasparalelas. Este fato (e sua demonstracao) sao validos no espaco. E preciso apenas ter umpequeno cuidado a mais.

Teorema 2.7. Sejam dados uma reta r e um ponto P fora de r. Entao existe uma unicareta s passando por P e paralela a r.

Demonstracao. Reduzimos o problema no espaco a um problema no plano: seja α o planodeterminado por r e P , e tome s ⊂ α a reta paralela a r passando por P , cuja existencia egarantida pelo que foi visto em geometria plana. A unicidade segue do axioma V.

Problema 2.10. Reveja a demonstracao da existencia de retas paralelas em um texto defundamentos geometria plana, como [7], por exemplo.

Duas retas paralelas determinam um unico plano. Vamos registrar este fato como umaproposicao.

Proposicao 2.8. Por duas retas paralelas r e l passa um unico plano.

Demonstracao. Observe que, por definicao, as retas paralelas r e l estao contidas em umplano α. Suponha que exista um outro plano β contendo r e l. Se P e um ponto de l,entao β e determinado por r e P . Mas α tambem e determinado por r e P donde, peloproblema 1.3, α = β.

Varias propriedades que as retas paralelas obedecem no plano se transferem para o espaco.Uma das mais importantes e a transitividade que registramos no teorema a seguir, cujademonstracao sera apresentada na secao 2.5.

α

t

r

βγ

s

Figura 2.9: – Teorema 2.9

Teorema 2.9. Se r, s e t sao retas tais que r ∥ s e s ∥ t entao r ∥ t.

Apresentamos a seguir um exemplo de aplicacao deste teorema.

Exemplo 2.2. Em geometria plana prova-se o seguinte resultado: dado um quadrilateroqualquer ◻ABCD num plano, os pontos medios de seus lados sao vertices de um paralelo-gramo. O mesmo resultado vale se os vertices do quadrilatero nao sao coplanares (veja afigura 2.10)

De fato, tome 4 pontos A, B, C e D nao coplanares, e seja α o plano determinado por A, Be D. Sejam M , N , P e Q os pontos medios dos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente.Entao temos, no triangulo △ABD, que

MP ∥ BD e MP = BD

2.



2.4 O axioma das paralelas no espaco

Vimos em [7] que duas retas paralelas no plano sao retas que nao tem pontos em comum.No espaco, porem, temos outra situacao em que retas nao tem pontos em comum, as retasreversas:

Figura 2.7: – Retas reversas

Definicao 2.5. Duas retas no espaco sao reversas se nao estao contidas em um mesmoplano.

Na figura 2.7 representamos duas retas reversas. Para indicar em ilustracoes que as retas saoreversas, sem a necessidade de tracar um plano, faremos como na figura 2.7b, onde queremosexpressar a ideia de que a reta r passa “por tras” da reta l em relacao a nossa visao.

Problema 2.8. Como voce demonstraria a existencia de retas reversas? Isto e, tome umareta r e um ponto P /∈ r e prove que por P passam retas reversas a r.

Problema 2.9. Sejam r e s duas retas reversas. Tome A ∈ r e B ∈ s e sejam α o planodeterminado por r e B, e β o plano determinado por s e A. Desenhe a situacao descrita ediga quem e α ∩ β.

A definicao de retas paralelas fica assim:

Figura 2.8: – Retas paralelas

Definicao 2.6. Duas retas r e l no espaco sao paralelas se sao coplanares e nao possuempontos em comum. Denotaremos esta relacao, como e tradicional, por r ∥ l.

O axioma das paralelas continua valendo.

Axioma V. Dada uma reta no espaco, por cada ponto que nao lhe pertencente passa,no maximo, uma reta paralela a ela.

Como todos devem se lembrar, na geometria plana demonstramos a existencia de retasparalelas. Este fato (e sua demonstracao) sao validos no espaco. E preciso apenas ter umpequeno cuidado a mais.

Teorema 2.7. Sejam dados uma reta r e um ponto P fora de r. Entao existe uma unicareta s passando por P e paralela a r.

Demonstracao. Reduzimos o problema no espaco a um problema no plano: seja α o planodeterminado por r e P , e tome s ⊂ α a reta paralela a r passando por P , cuja existencia egarantida pelo que foi visto em geometria plana. A unicidade segue do axioma V.

Problema 2.10. Reveja a demonstracao da existencia de retas paralelas em um texto defundamentos geometria plana, como [7], por exemplo.

Duas retas paralelas determinam um unico plano. Vamos registrar este fato como umaproposicao.

Proposicao 2.8. Por duas retas paralelas r e l passa um unico plano.

Demonstracao. Observe que, por definicao, as retas paralelas r e l estao contidas em umplano α. Suponha que exista um outro plano β contendo r e l. Se P e um ponto de l,entao β e determinado por r e P . Mas α tambem e determinado por r e P donde, peloproblema 1.3, α = β.

Varias propriedades que as retas paralelas obedecem no plano se transferem para o espaco.Uma das mais importantes e a transitividade que registramos no teorema a seguir, cujademonstracao sera apresentada na secao 2.5.

α

t

r

βγ

s


Teorema 2.9. Se r, s e t sao retas tais que r ∥ s e s ∥ t entao r ∥ t.

Apresentamos a seguir um exemplo de aplicacao deste teorema.

Exemplo 2.2. Em geometria plana prova-se o seguinte resultado: dado um quadrilateroqualquer ◻ABCD num plano, os pontos medios de seus lados sao vertices de um paralelo-gramo. O mesmo resultado vale se os vertices do quadrilatero nao sao coplanares (veja afigura 2.10)

De fato, tome 4 pontos A, B, C e D nao coplanares, e seja α o plano determinado por A, Be D. Sejam M , N , P e Q os pontos medios dos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente.Entao temos, no triangulo △ABD, que

MP ∥ BD e MP = BD

2.



α

A

B

D

C

O

N

P

M

Figura 2.10: – Exemplo 2.2

Analogamente, no triangulo △BCD temos

ON ∥ BD e ON = BD

2.

Assim temos que

(i) MP ∥ BD e ON ∥ BD ⇒ MP ∥ ON , pelo teorema anterior. Em particular,←�→MP e

←�→ON sao coplanares, ou seja, os quatro pontos medios pertencem a um mesmo plano.

(ii) MP ≡ ON .

Provamos entao que ◻MNOP e um quadrilatero contido num plano com dois lados paralelose congruentes, donde e um paralelogramo. ⊲

Problema 2.11. Reveja as demonstracoes dos fatos sobre paralelogramos utilizados noexemplo acima em [7] ou outra fonte qualquer.

2.5 Opcional: demonstracao dos teoremas 2.1 e 2.9

Apresentamos nesta secao as demonstracoes dos teoremas 2.1 e 2.9, cuja leitura e opcional.Comecamos pelo teorema 2.1.

Demonstracao. (Teorema 2.1) Sejam α um plano e P /∈ α um ponto (existe o pontoP pelo axioma I.8). Vamos “construir” os conjuntos Eα e Eα e provar que satisfazem aspropriedades enunciadas, seguindo os passos abaixo.

(1) Definamos Eα e Eα da seguinte forma:

Eα = {pontos X do espaco tais que XP ∩ α = ∅} ∪ {P} ∪ α

Eα = {pontos X do espaco tais que XP ∩ α ≠ ∅}

Observe que Eα ≠ ∅, pois P ∈ Eα. Para verificar que Eα ≠ ∅ tome Q ∈ α (pelo axioma

I.5) e na reta←→PQ tome R tal que P −Q −R2. Assim R ∈ Eα (veja figura 2.11).

2Lembramos que em [7] usamos a notacao P −Q −R para indicar que o ponto Q esta entre P e R, isto e,que o ponto Q pertence ao interior do segmento PR. Em particular, a existencia de R e garantida peloaxioma II.3 de [7].

Figura 2.11

(2) O item (a) do teorema e consequencia direta da definicao dos conjuntos Eα e Eα: dadoum ponto X qualquer do espaco, podem acontecer duas coisas:

(a) ou XP ∩ α = ∅, donde X ∈ Eα;

(b) ou XP ∩α ≠ ∅, donde X ∈ Eα (observe que este ultimo caso engloba a possibilidadeX ∈ α.).

Logo todos os pontos do espaco estao em Eα ∪ Eα.

(3) Para provar (b) tomemos X ∈ α. Entao X ∈ Eα por definicao, e X ∈ Eα pois, nestesegundo caso, XP ∩ α = {X} ≠ ∅. Assim α ⊂ Eα ∩ Eα.

Para verificar a continencia recıproca tomemos agora X ∈ Eα ∩ Eα. Como X ∈ Eα eP /∈ Eα entao X ≠ P . Em particular XP ∩ α = {D}, D um ponto de α. Por outro lado,como X ∈ Eα entao

(i) ou XP ∩ α = ∅, ou(ii) X = P , ou

(iii) X ∈ α.

Ora, ja vimos que os itens (i) e (ii) acima nao podem acontecer, donde so pode ser X ∈ α,ou seja, Eα ∩ Eα ⊂ α, como querıamos provar.

(4) Para a demonstracao dos itens (c) e (d) vamos chamar a atencao para o seguinte fato:se P , A e B sao tres pontos do espaco, sempre existe um plano que os contem (veja oexercıcio 1.3), e este plano pode ou nao interceptar o plano α. Posto isto, vamos analisar(c).

Primeiro suponhamos que A e B, pontos fora de α, pertencam a um mesmo semiespaco,por exemplo, A, B ∈ Eα. Neste caso, por definicao, AP e BP nao interceptam α. Seja βum plano contendo A, B e P . Se α e β nao se encontram, entao e claro que AB ∩α = ∅(veja figura 2.12d). No caso em que α e β se encontram, tomemos α∩β = l. Aplicando oaxioma II.6 ao plano β e a reta l vemos AB∩ l = ∅, donde AB∩α = ∅ (veja figura 2.12a).Se A, B ∈ Eα a demonstracao e analoga, e deixamos os detalhes por conta do leitor (vejafigura 2.12c).

Para verificar a recıproca suponhamos que AB nao intercepte α e provemos que Ae B estao num mesmo semiespaco. O argumento segue a mesma ideia do paragrafoprecedente: tome β um plano contendo A, B e P . Se β nao encontra α, entao APe BP tambem nao cortam α, donde A e B pertencem a Eα, por definicao. Se β e αse interceptam segundo uma reta l, entao AB nao encontra l donde, pelo axioma II.6aplicado a β e l, concluımos que A e B se encontram num mesmo semiplano de β emrelacao a l, ou seja, A e B se encontram num mesmo semiespaco em relacao a α.



α

A

B

D

C

O

N

P

M

Figura 2.10: – Exemplo 2.2

Analogamente, no triangulo △BCD temos

ON ∥ BD e ON = BD

2.

Assim temos que

(i) MP ∥ BD e ON ∥ BD ⇒ MP ∥ ON , pelo teorema anterior. Em particular,←�→MP e

←�→ON sao coplanares, ou seja, os quatro pontos medios pertencem a um mesmo plano.

(ii) MP ≡ ON .

Provamos entao que ◻MNOP e um quadrilatero contido num plano com dois lados paralelose congruentes, donde e um paralelogramo. ⊲

Problema 2.11. Reveja as demonstracoes dos fatos sobre paralelogramos utilizados noexemplo acima em [7] ou outra fonte qualquer.


Apresentamos nesta secao as demonstracoes dos teoremas 2.1 e 2.9, cuja leitura e opcional.Comecamos pelo teorema 2.1.

Demonstracao. (Teorema 2.1) Sejam α um plano e P /∈ α um ponto (existe o pontoP pelo axioma I.8). Vamos “construir” os conjuntos Eα e Eα e provar que satisfazem aspropriedades enunciadas, seguindo os passos abaixo.

(1) Definamos Eα e Eα da seguinte forma:

Eα = {pontos X do espaco tais que XP ∩ α = ∅} ∪ {P} ∪ α

Eα = {pontos X do espaco tais que XP ∩ α ≠ ∅}

Observe que Eα ≠ ∅, pois P ∈ Eα. Para verificar que Eα ≠ ∅ tome Q ∈ α (pelo axioma

I.5) e na reta←→PQ tome R tal que P −Q −R2. Assim R ∈ Eα (veja figura 2.11).

2Lembramos que em [7] usamos a notacao P −Q −R para indicar que o ponto Q esta entre P e R, isto e,que o ponto Q pertence ao interior do segmento PR. Em particular, a existencia de R e garantida peloaxioma II.3 de [7].

Figura 2.11

(2) O item (a) do teorema e consequencia direta da definicao dos conjuntos Eα e Eα: dadoum ponto X qualquer do espaco, podem acontecer duas coisas:

(a) ou XP ∩ α = ∅, donde X ∈ Eα;

(b) ou XP ∩α ≠ ∅, donde X ∈ Eα (observe que este ultimo caso engloba a possibilidadeX ∈ α.).

Logo todos os pontos do espaco estao em Eα ∪ Eα.

(3) Para provar (b) tomemos X ∈ α. Entao X ∈ Eα por definicao, e X ∈ Eα pois, nestesegundo caso, XP ∩ α = {X} ≠ ∅. Assim α ⊂ Eα ∩ Eα.

Para verificar a continencia recıproca tomemos agora X ∈ Eα ∩ Eα. Como X ∈ Eα eP /∈ Eα entao X ≠ P . Em particular XP ∩ α = {D}, D um ponto de α. Por outro lado,como X ∈ Eα entao

(i) ou XP ∩ α = ∅, ou(ii) X = P , ou

(iii) X ∈ α.

Ora, ja vimos que os itens (i) e (ii) acima nao podem acontecer, donde so pode ser X ∈ α,ou seja, Eα ∩ Eα ⊂ α, como querıamos provar.

(4) Para a demonstracao dos itens (c) e (d) vamos chamar a atencao para o seguinte fato:se P , A e B sao tres pontos do espaco, sempre existe um plano que os contem (veja oexercıcio 1.3), e este plano pode ou nao interceptar o plano α. Posto isto, vamos analisar(c).

Primeiro suponhamos que A e B, pontos fora de α, pertencam a um mesmo semiespaco,por exemplo, A, B ∈ Eα. Neste caso, por definicao, AP e BP nao interceptam α. Seja βum plano contendo A, B e P . Se α e β nao se encontram, entao e claro que AB ∩α = ∅(veja figura 2.12d). No caso em que α e β se encontram, tomemos α∩β = l. Aplicando oaxioma II.6 ao plano β e a reta l vemos AB∩ l = ∅, donde AB∩α = ∅ (veja figura 2.12a).Se A, B ∈ Eα a demonstracao e analoga, e deixamos os detalhes por conta do leitor (vejafigura 2.12c).

Para verificar a recıproca suponhamos que AB nao intercepte α e provemos que Ae B estao num mesmo semiespaco. O argumento segue a mesma ideia do paragrafoprecedente: tome β um plano contendo A, B e P . Se β nao encontra α, entao APe BP tambem nao cortam α, donde A e B pertencem a Eα, por definicao. Se β e αse interceptam segundo uma reta l, entao AB nao encontra l donde, pelo axioma II.6aplicado a β e l, concluımos que A e B se encontram num mesmo semiplano de β emrelacao a l, ou seja, A e B se encontram num mesmo semiespaco em relacao a α.



α

P

A

l

β

B

(a)

α

P

A

l

β

B

(b)

(d)

α

P

A

l

β

B

(c)

α

βPA

B

Figura 2.12

A analise de (d) e inteiramente analoga a realizada para (c) bastando trocar a expressao“nao interceptam” por “interceptam”, e vice-versa, nos locais adequados. Deixamos esteexercıcio ao leitor.

Agora passamos a demonstracao do teorema 2.9.

t

Q

l

P

r

α

βγs

Figura 2.13: – Demonstracao do teorema 2.9

Demonstracao. (Teorema 2.9) O caso em que as retas r, s e t sao coplanares ja foi provadoem [7]. Vamos estudar entao o caso em que as tres retas nao sao coplanares. Acompanhe ospassos abaixo na figura 2.13.

(1) Suponha, como no enunciado, que r ∥ s e s ∥ t. Sejam α o plano determinado por s e t,e β o plano determinado por s e r. Como as retas nao sao coplanares, por hipotese, osplanos α e β sao distintos. Alem disso

α ∩ β = s.

(2) Tome um ponto P ∈ r qualquer e seja γ o plano determinado por t e P . Como γ e β saodistintos e possuem o ponto P em comum, entao sua intersecao e uma reta l.

(3) As retas l e s estao contidas no plano β. Vamos provar que l ∥ s. Para isto suponhamos,por absurdo, que l e s se encontram num ponto Q. Ora, nesta situacao Q ∈ γ e Q ∈ α,donde γ e α se interceptam segundo uma reta. Mas a reta s passa por Q e esta contidaem ambos os planos, logo

γ ∩ α = s.

Porem t tambem esta contida em ambos os planos. Assim temos s = t, o que e absurdo,pois estamos supondo que as retas sao distintas. Entao o ponto Q nao pode existir, ouseja, l ∥ s.

(4) Do item anterior concluımos que as retas l = γ ∩β e r ⊂ β sao paralelas a s ⊂ β e passampor P . Logo, pelo axioma V, l = r. Em particular provamos que r ⊂ γ.

(5) Provamos que as retas r e t estao ambas contidas em γ (veja figura 2.9). Se r e t tivessemum ponto X em comum, entao este ponto pertenceria a β e a α (por que?), donde Xpertenceria a s = α∩β, ou seja, r e s teriam um ponto em comum. Mas isto e impossıvel,pois r ∥ s por hipotese. Logo r ∥ t, com querıamos provar.

Problema 2.12. Complete os detalhes das demonstracoes acima.



α

P

A

l

β

B

(a)

α

P

A

l

β

B

(b)

(d)

α

P

A

l

β

B

(c)

α

βPA

B

Figura 2.12

A analise de (d) e inteiramente analoga a realizada para (c) bastando trocar a expressao“nao interceptam” por “interceptam”, e vice-versa, nos locais adequados. Deixamos esteexercıcio ao leitor.

Agora passamos a demonstracao do teorema 2.9.

t

Q

l

P

r

α

βγs

Figura 2.13: – Demonstracao do teorema 2.9

Demonstracao. (Teorema 2.9) O caso em que as retas r, s e t sao coplanares ja foi provadoem [7]. Vamos estudar entao o caso em que as tres retas nao sao coplanares. Acompanhe ospassos abaixo na figura 2.13.

(1) Suponha, como no enunciado, que r ∥ s e s ∥ t. Sejam α o plano determinado por s e t,e β o plano determinado por s e r. Como as retas nao sao coplanares, por hipotese, osplanos α e β sao distintos. Alem disso

α ∩ β = s.

(2) Tome um ponto P ∈ r qualquer e seja γ o plano determinado por t e P . Como γ e β saodistintos e possuem o ponto P em comum, entao sua intersecao e uma reta l.

(3) As retas l e s estao contidas no plano β. Vamos provar que l ∥ s. Para isto suponhamos,por absurdo, que l e s se encontram num ponto Q. Ora, nesta situacao Q ∈ γ e Q ∈ α,donde γ e α se interceptam segundo uma reta. Mas a reta s passa por Q e esta contidaem ambos os planos, logo

γ ∩ α = s.

Porem t tambem esta contida em ambos os planos. Assim temos s = t, o que e absurdo,pois estamos supondo que as retas sao distintas. Entao o ponto Q nao pode existir, ouseja, l ∥ s.

(4) Do item anterior concluımos que as retas l = γ ∩β e r ⊂ β sao paralelas a s ⊂ β e passampor P . Logo, pelo axioma V, l = r. Em particular provamos que r ⊂ γ.

(5) Provamos que as retas r e t estao ambas contidas em γ (veja figura 2.9). Se r e t tivessemum ponto X em comum, entao este ponto pertenceria a β e a α (por que?), donde Xpertenceria a s = α∩β, ou seja, r e s teriam um ponto em comum. Mas isto e impossıvel,pois r ∥ s por hipotese. Logo r ∥ t, com querıamos provar.

Problema 2.12. Complete os detalhes das demonstracoes acima.



2.6 Exercıcios


2.1. Definimos uma regiao poliedral do espaco como sendo uma intersecao de semiespacos.Por exemplo, dois planos concorrentes determinam quatro regioes poliedrais, como ilustradona figura 2.14. Determine em quantas regioes poliedrais os planos α, β e γ representadosna figura 2.15 dividem o espaco.


2.2. Examine a figura 1.12 da aula anterior e liste todos os angulos que nela aparecem.

Figura 2.16: – Exercıcios 2.3

2.3. a Na figura 2.16 suponha que os triangulos △ABC e △DBC sao isosceles, ambos combase BC. Prove que os triangulos △DAB e △DAC sao congruentes entre si.



2.6 Exercıcios


2.1. Definimos uma regiao poliedral do espaco como sendo uma intersecao de semiespacos.Por exemplo, dois planos concorrentes determinam quatro regioes poliedrais, como ilustradona figura 2.14. Determine em quantas regioes poliedrais os planos α, β e γ representadosna figura 2.15 dividem o espaco.


2.2. Examine a figura 1.12 da aula anterior e liste todos os angulos que nela aparecem.

Figura 2.16: – Exercıcios 2.3

2.3. a Na figura 2.16 suponha que os triangulos △ABC e △DBC sao isosceles, ambos combase BC. Prove que os triangulos △DAB e △DAC sao congruentes entre si.

2.4. Ainda na figura 2.16a suponha que

∡ADB ≡∡BDC ≡∡CDA

e que todos os segmentos com uma extremidade no ponto D sejam congruentes entre si.Prove que △ABC e equilatero.

2.5. Na figura 2.16b os triangulos △ABC e △PBC sao isosceles, ambos com base BC. SeAD e bissetriz de ∡BAC, prove que PD e bissetriz de ∡BPC.

2.6. Neste exercıcio usaremos novamente a figura 2.16b como referencia. Suponha que△PBC ≡△ABC e que D e um ponto qualquer entre B e C. Nestas condicoes prove que

∡DAP ≡∡DPA.

2.7. Sejam r e s retas concorrentes e α o plano por elas determinado. Seja s′ ≠ s uma retaconcorrente com r e paralela a s. Prove que s′ ⊂ α. Conclua que todas as retas paralelas as e concorrentes com r estao contidas em α.

2.8. Sejam r e s retas reversas.

(a) Prove que existe uma reta s′ concorrente com r e paralela a s.

(b) Prove que todas as retas paralelas a s e concorrentes com r estao contidas num mesmoplano que, em particular, contem r. (Sugestao: observe que se s′ e uma reta concorrentecom r e paralela a s entao todas as retas concorrentes com r e paralelas a s sao paralelasa s′ (justifique esta afirmacao) e aplique o exercıcio anterior.)


3 Paralelismo no espaço

AULA3: PARALELISMO NO ESPACO

OBJETIVOSEstudar o paralelismo entre retas e planos, e entre planos. Estudar as posicoes relativasentre retas e planos no espaco.

3.1 Introducao

Na aula anterior fomos apresentados, na secao 2.4, as retas paralelas no espaco, e vimos oaxioma V, sobre a unicidade das paralelas, e algumas de suas consequencias. Nesta aulaaprofundaremos o estudo de paralelismo entre retas e planos no espaco, e apresentaremosnossos primeiros objetos “espaciais”.

3.2 Paralelismo entre retas e planos

Na aula anterior estudamos propriedades de paralelismo entre retas no espaco. Agora pas-samos ao proximo estagio: paralelismo entre retas e planos. A definicao e natural:

Definicao 3.1. Uma reta r e um plano α no espaco sao paralelos, relacao que sera denotadapor r ∥ α, se nao possuem pontos em comum.

E bom lembrarmos aqui uma terminologia que ja e conhecida de voces no contexto dageometria plana: dizemos que duas retas sao concorrentes ou secantes se se cortam em umponto. Esta mesma terminologia se transporta naturalmente para o espaco. Por exemplo,dizemos que uma reta e um plano sao secantes se possuem um ponto em comum, e assimpor diante.

Um primeiro fato sobre retas e planos no espaco e o seguinte:

Figura 3.1

Proposicao 3.2. Sejam r e α uma reta e um plano secantes. Entao toda reta paralela a re secante a α.

Problema 3.1. Demonstre a proposicao 3.2. (Sugestao: Em geometria plana provamos quese r ∥ s e r e concorrente com uma reta t entao s tambem e concorrente com esta mesmareta. Para demonstrar a proposicao tome uma reta s paralela a r e reduza o problema aocaso plano, utilizando o plano β determinado por r e s (veja a figura 3.1).)


35AUl A 3: PArAlelismo no esPAço

AULA3: PARALELISMO NO ESPACO

OBJETIVOSEstudar o paralelismo entre retas e planos, e entre planos. Estudar as posicoes relativasentre retas e planos no espaco.

3.1 Introducao

Na aula anterior fomos apresentados, na secao 2.4, as retas paralelas no espaco, e vimos oaxioma V, sobre a unicidade das paralelas, e algumas de suas consequencias. Nesta aulaaprofundaremos o estudo de paralelismo entre retas e planos no espaco, e apresentaremosnossos primeiros objetos “espaciais”.

3.2 Paralelismo entre retas e planos

Na aula anterior estudamos propriedades de paralelismo entre retas no espaco. Agora pas-samos ao proximo estagio: paralelismo entre retas e planos. A definicao e natural:

Definicao 3.1. Uma reta r e um plano α no espaco sao paralelos, relacao que sera denotadapor r ∥ α, se nao possuem pontos em comum.

E bom lembrarmos aqui uma terminologia que ja e conhecida de voces no contexto dageometria plana: dizemos que duas retas sao concorrentes ou secantes se se cortam em umponto. Esta mesma terminologia se transporta naturalmente para o espaco. Por exemplo,dizemos que uma reta e um plano sao secantes se possuem um ponto em comum, e assimpor diante.

Um primeiro fato sobre retas e planos no espaco e o seguinte:

Figura 3.1

Proposicao 3.2. Sejam r e α uma reta e um plano secantes. Entao toda reta paralela a re secante a α.

Problema 3.1. Demonstre a proposicao 3.2. (Sugestao: Em geometria plana provamos quese r ∥ s e r e concorrente com uma reta t entao s tambem e concorrente com esta mesmareta. Para demonstrar a proposicao tome uma reta s paralela a r e reduza o problema aocaso plano, utilizando o plano β determinado por r e s (veja a figura 3.1).)



Precisamos de criterios para decidir se uma reta e um plano sao paralelos entre si. Um deles,o mais fundamental, e dado pelo teorema a seguir.


Teorema 3.3. Um plano α e uma reta r nao contida nele sao paralelos entre si se, esomente se, existir uma reta s ⊂ α tal que s ∥ r.

Demonstracao. Para a primeira parte suponha que r ∥ α. Entao, por definicao, r∩α = ∅.Tome P ∈ α um ponto qualquer e seja β o plano determinado por r e P . Seja s a retasegundo a qual α e β se interceptam (veja figura 3.2). Entao e claro que r ∥ s (explique opor que!).

Reciprocamente, suponha que exista s ⊂ α tal que r ∥ s. Seja β o plano determinado por r es. Nesta situacao todos os pontos comuns entre α e β sao os pontos de s. Em particular, sehouvesse um ponto em comum entre r e α, este ponto deveria pertencer a s, uma contradicao,ja que supomos r ∥ s. Logo r ∥ α.

Problema 3.2. Explicite na demonstracao acima os axiomas e resultados anteriores que(implicitamente) foram utilizados.

Corolario 3.4. Dados um plano α e um ponto P fora de α, existe uma reta r passando porP e paralela a α.

Demonstracao. A demonstracao deste corolario e bem simples. Tome uma reta qualquers ⊂ α e seja β o plano determinado por P e s. Em β tome r a reta paralela a s passandopor P . Entao s ∥ α.

Figura 3.3

Vejamos um exemplo de aplicacao do teorema 3.3.

Exemplo 3.1. Vamos mostrar que se uma reta re paralela a dois planos secantes, entao e paralela aintersecao destes dois planos.

Sejam α e β planos secantes e paralelos a r. Sejal = α ∩ β. Ora, como r ∥ α, existe uma reta s ⊂ αtal que r ∥ s. Analogamente, como r ∥ β, existe umareta t ⊂ β com r ∥ t. Como consequencia temos quet ∥ s. Seja γ o plano determinado por t e s. Vamosprovar que l ∥ γ (veja figura 3.3).

De fato, suponha que l encontre γ em um ponto P . Entao os planos α, β e γ se encontramem P . Mas α∩γ = s e β ∩γ = t, donde P ∈ s∩ t, o que e um absurdo. Logo l ∥ γ, donde l ∥ te l ∥ s e, portanto, l ∥ r. ⊲

Problema 3.3. Mostre que se α, β e γ sao tres planos que se encontram em um ponto, entaonao pode existir uma reta paralela aos tres simultaneamente. (Sugestao: tome r paralela aα e β, por exemplo. Pelo exemplo anterior r e paralela a l = α ∩ β. Verifique que γ e l saosecantes e aplique a proposicao 3.2).

3.3 Paralelismo entre planos

A proxima etapa e estudar o paralelismo entre planos. A definicao natural de planos paralelose

Definicao 3.5. Dois planos α e β sao paralelos se nao possuem pontos em comum. Estarelacao sera denotada por α ∥ β.

Apresentamos um criterio para testar paralelismo de planos analogo ao teorema 3.3.

Teorema 3.6. Dois planos α e β sao paralelos entre si se e somente se existir em β umpar de retas concorrentes paralelas a α. (Ou, reciprocamente, se e somente se existir em αum par de retas concorrentes paralelas a β).

Demonstracao. A primeira parte e simples: se α ∥ β entao nenhuma reta de β interceptaα. Em particular, quaisquer retas concorrentes de β sao paralelas a α.

Figura 3.4

A recıproca e mais interessante. Sejam r e s duas retas de β concorrentes em um ponto P ,e suponha que r e s sejam paralelas a α. Vamos provar que α ∥ β. Para isto suponhamos,por absurdo, o contrario, isto e, que α e β se interceptam, e seja l a reta de intersecao dosdois planos. Ora, como l ⊂ α, e r ∥ α, s ∥ α, entao r e s sao retas passando por um ponto Pe paralelas a l. Mas isto contraria o axioma V, donde chegamos a um absurdo. Logo α ∥ β(veja figura 3.4).

Este teorema nos da uma forma de construir planos paralelos.

Teorema 3.7. Por um ponto P fora de um plano α passa um e somente um plano β paraleloa α.

Demonstracao. Para provar a existencia de β facamos a seguinte construcao:

(1) Tome em α duas retas concorrentes r e s.

(2) Tome as retas r′ e s′ passando por P e paralelas a r e s, respectivamente.

(3) Seja β o plano determinado por r′ e s′. Entao β e paralelo a α, pelo teorema anterior.



Precisamos de criterios para decidir se uma reta e um plano sao paralelos entre si. Um deles,o mais fundamental, e dado pelo teorema a seguir.


Teorema 3.3. Um plano α e uma reta r nao contida nele sao paralelos entre si se, esomente se, existir uma reta s ⊂ α tal que s ∥ r.

Demonstracao. Para a primeira parte suponha que r ∥ α. Entao, por definicao, r∩α = ∅.Tome P ∈ α um ponto qualquer e seja β o plano determinado por r e P . Seja s a retasegundo a qual α e β se interceptam (veja figura 3.2). Entao e claro que r ∥ s (explique opor que!).

Reciprocamente, suponha que exista s ⊂ α tal que r ∥ s. Seja β o plano determinado por r es. Nesta situacao todos os pontos comuns entre α e β sao os pontos de s. Em particular, sehouvesse um ponto em comum entre r e α, este ponto deveria pertencer a s, uma contradicao,ja que supomos r ∥ s. Logo r ∥ α.

Problema 3.2. Explicite na demonstracao acima os axiomas e resultados anteriores que(implicitamente) foram utilizados.

Corolario 3.4. Dados um plano α e um ponto P fora de α, existe uma reta r passando porP e paralela a α.

Demonstracao. A demonstracao deste corolario e bem simples. Tome uma reta qualquers ⊂ α e seja β o plano determinado por P e s. Em β tome r a reta paralela a s passandopor P . Entao s ∥ α.

Figura 3.3

Vejamos um exemplo de aplicacao do teorema 3.3.

Exemplo 3.1. Vamos mostrar que se uma reta re paralela a dois planos secantes, entao e paralela aintersecao destes dois planos.

Sejam α e β planos secantes e paralelos a r. Sejal = α ∩ β. Ora, como r ∥ α, existe uma reta s ⊂ αtal que r ∥ s. Analogamente, como r ∥ β, existe umareta t ⊂ β com r ∥ t. Como consequencia temos quet ∥ s. Seja γ o plano determinado por t e s. Vamosprovar que l ∥ γ (veja figura 3.3).

De fato, suponha que l encontre γ em um ponto P . Entao os planos α, β e γ se encontramem P . Mas α∩γ = s e β ∩γ = t, donde P ∈ s∩ t, o que e um absurdo. Logo l ∥ γ, donde l ∥ te l ∥ s e, portanto, l ∥ r. ⊲

Problema 3.3. Mostre que se α, β e γ sao tres planos que se encontram em um ponto, entaonao pode existir uma reta paralela aos tres simultaneamente. (Sugestao: tome r paralela aα e β, por exemplo. Pelo exemplo anterior r e paralela a l = α ∩ β. Verifique que γ e l saosecantes e aplique a proposicao 3.2).

3.3 Paralelismo entre planos

A proxima etapa e estudar o paralelismo entre planos. A definicao natural de planos paralelose

Definicao 3.5. Dois planos α e β sao paralelos se nao possuem pontos em comum. Estarelacao sera denotada por α ∥ β.

Apresentamos um criterio para testar paralelismo de planos analogo ao teorema 3.3.

Teorema 3.6. Dois planos α e β sao paralelos entre si se e somente se existir em β umpar de retas concorrentes paralelas a α. (Ou, reciprocamente, se e somente se existir em αum par de retas concorrentes paralelas a β).

Demonstracao. A primeira parte e simples: se α ∥ β entao nenhuma reta de β interceptaα. Em particular, quaisquer retas concorrentes de β sao paralelas a α.

Figura 3.4

A recıproca e mais interessante. Sejam r e s duas retas de β concorrentes em um ponto P ,e suponha que r e s sejam paralelas a α. Vamos provar que α ∥ β. Para isto suponhamos,por absurdo, o contrario, isto e, que α e β se interceptam, e seja l a reta de intersecao dosdois planos. Ora, como l ⊂ α, e r ∥ α, s ∥ α, entao r e s sao retas passando por um ponto Pe paralelas a l. Mas isto contraria o axioma V, donde chegamos a um absurdo. Logo α ∥ β(veja figura 3.4).

Este teorema nos da uma forma de construir planos paralelos.

Teorema 3.7. Por um ponto P fora de um plano α passa um e somente um plano β paraleloa α.

Demonstracao. Para provar a existencia de β facamos a seguinte construcao:

(1) Tome em α duas retas concorrentes r e s.

(2) Tome as retas r′ e s′ passando por P e paralelas a r e s, respectivamente.

(3) Seja β o plano determinado por r′ e s′. Entao β e paralelo a α, pelo teorema anterior.



Para provar a unicidade suponhamos, por absurdo, que existam dois planos distintos β e γpassando por P e paralelos a α (veja a figura 3.5). Tome t ⊂ α uma reta qualquer e seja ζ oplano determinado por t e P . Entao ζ corta β segundo uma reta r e γ segundo uma reta s.

Figura 3.5

Assim r e s sao retas distintas e paralelas a α. Em particular, r, s e t sao retas de ζ paralelasentre si. Mas r e s passam pelo mesmo ponto P , o que contradiz o axioma V. Logo nao hadois planos distintos passando por P e paralelos a α.

Problema 3.4. Justifique os passos (1) a (3) da demonstracao do teorema anterior.

3.4 Algumas propriedades de paralelismo no espaco

Listaremos nesta secao algumas propriedades de paralelismo entre retas e planos no espacoanalogas as propriedades ja conhecidas de retas paralelas no plano.


Teorema 3.8. Se uma reta corta um plano, corta tambem qualquer plano paralelo a este.

Demonstracao. Seja r uma reta secante a um plano α. Seja A o ponto em que r cortaα. Seja β um plano paralelo a α. Seja γ um plano qualquer passando por r. Em particularγ contem o ponto A e corta α segundo uma reta t. Pelo teorema 3.7 sabemos que γ naopode ser paralelo a β (por que?), donde γ e β se cortam segundo uma reta l. Assim l ∥ t e re secante a t, donde r e secante a l, por resultado ja conhecido de geometria plana. Entaoprovamos que r passa por um ponto B ∈ β.

Problema 3.5. Complete a figura 3.6 com os elementos construıdos na demonstracao doteorema 3.8.

O resultado do teorema 3.8 continua valendo se trocamos a palavra “plano” por “reta” evice-versa.


Teorema 3.9. Se um plano corta uma reta, corta tambem qualquer reta paralela a ela.

Problema 3.6. Demonstre o teorema 3.9. (Sugestao: Suponha que o plano α corta a retar em um ponto A; tome s uma reta paralela a r e seja β o plano determinado por r e s.Reduza o problema ao caso analogo entre retas paralelas num plano.)

Finalmente temos resultado analogo a estes para planos.

Teorema 3.10. Se um plano α e secante a um plano β, entao α e secante a todo planoparalelo a β.


Demonstracao. Sejam α e β planos secantes. Seja γ um plano paralelo a α. Se β fosseparalelo a γ terıamos uma contradicao com a parte da unicidade do teorema 3.7. Logo βnao pode ser paralelo a γ, e portanto β e γ sao secantes (veja figura 3.8).

Problema 3.7. Prove que as retas r e s representadas na figura 3.8 sao paralelas entre si,onde os planos α, β e γ sao como descritos na demonstracao do teorema acima.

Uma consequencia deste teorema e a transitividade de paralelismo para planos.

Corolario 3.11. Dados tres planos α, β e γ distintos tais que α ∥ β e β ∥ γ, entao α ∥ γ.



Para provar a unicidade suponhamos, por absurdo, que existam dois planos distintos β e γpassando por P e paralelos a α (veja a figura 3.5). Tome t ⊂ α uma reta qualquer e seja ζ oplano determinado por t e P . Entao ζ corta β segundo uma reta r e γ segundo uma reta s.

Figura 3.5

Assim r e s sao retas distintas e paralelas a α. Em particular, r, s e t sao retas de ζ paralelasentre si. Mas r e s passam pelo mesmo ponto P , o que contradiz o axioma V. Logo nao hadois planos distintos passando por P e paralelos a α.

Problema 3.4. Justifique os passos (1) a (3) da demonstracao do teorema anterior.

3.4 Algumas propriedades de paralelismo no espaco

Listaremos nesta secao algumas propriedades de paralelismo entre retas e planos no espacoanalogas as propriedades ja conhecidas de retas paralelas no plano.


Teorema 3.8. Se uma reta corta um plano, corta tambem qualquer plano paralelo a este.

Demonstracao. Seja r uma reta secante a um plano α. Seja A o ponto em que r cortaα. Seja β um plano paralelo a α. Seja γ um plano qualquer passando por r. Em particularγ contem o ponto A e corta α segundo uma reta t. Pelo teorema 3.7 sabemos que γ naopode ser paralelo a β (por que?), donde γ e β se cortam segundo uma reta l. Assim l ∥ t e re secante a t, donde r e secante a l, por resultado ja conhecido de geometria plana. Entaoprovamos que r passa por um ponto B ∈ β.

Problema 3.5. Complete a figura 3.6 com os elementos construıdos na demonstracao doteorema 3.8.

O resultado do teorema 3.8 continua valendo se trocamos a palavra “plano” por “reta” evice-versa.


Teorema 3.9. Se um plano corta uma reta, corta tambem qualquer reta paralela a ela.

Problema 3.6. Demonstre o teorema 3.9. (Sugestao: Suponha que o plano α corta a retar em um ponto A; tome s uma reta paralela a r e seja β o plano determinado por r e s.Reduza o problema ao caso analogo entre retas paralelas num plano.)

Finalmente temos resultado analogo a estes para planos.

Teorema 3.10. Se um plano α e secante a um plano β, entao α e secante a todo planoparalelo a β.


Demonstracao. Sejam α e β planos secantes. Seja γ um plano paralelo a α. Se β fosseparalelo a γ terıamos uma contradicao com a parte da unicidade do teorema 3.7. Logo βnao pode ser paralelo a γ, e portanto β e γ sao secantes (veja figura 3.8).

Problema 3.7. Prove que as retas r e s representadas na figura 3.8 sao paralelas entre si,onde os planos α, β e γ sao como descritos na demonstracao do teorema acima.

Uma consequencia deste teorema e a transitividade de paralelismo para planos.

Corolario 3.11. Dados tres planos α, β e γ distintos tais que α ∥ β e β ∥ γ, entao α ∥ γ.



Demonstracao. De fato, se α nao fosse paralelo a γ, ou seja, se α fosse secante a γ entao,pelo teorema anterior, α seria secante a β,uma contradicao.

3.5 Problemas resolvidos

Apresentamos nesta secao alguns problemas resolvidos utilizando os resultados desta aula,para voces se acostumarem com as tecnicas de trabalho em geometria espacial.

Figura 3.9: Problemas 3.8 e 3.9

Problema 3.8. Sejam r e s duas retas reversas. Construa um plano contendo r e paraleloa s. Mostre que este e o unico plano possıvel.

Solucao. Por um ponto qualquer X ∈ r tome a reta s′ paralela a s. Entao a solucao e oplano α determinado por r e s′ (veja figura 3.9), ja que:

(i) r ⊂ α, por construcao;

(ii) s ∥ α, pois s ∥ s′, e s′ ⊂ α, por construcao.

Para verificar que α e o unico plano com as propriedades desejadas, tome um outro planoβ passando por r. Se s e β fossem paralelos, existiria uma reta s′′ ⊂ β (pelo teorema 3.3)passando por X paralela a s, o que contradiz o axioma V.

Problema 3.9. Dadas duas retas reversas r e s construa um par de planos paralelos α e βtais que r ⊂ α e s ⊂ β. Mostre que esta e a unica solucao possıvel.

Solucao. Primeiro sigamos os seguintes passos:

(1) Usando o problema 3.8 construa o plano α contendo r e paralelo a s.

(2) Tome um ponto P qualquer de s. Por P passa um unico plano β paralelo a α.

(3) Provemos que s ⊂ β: seja γ o plano determinado por r e P . Entao γ corta β segundouma reta l que passa por P . Como β ∥ α entao l ∥ r. Assim pelo axioma V temos quel = s.

Com os passos acima construımos dois planos α e β com as propriedades desejadas. Aunicidade decorre do problema anterior.

O problema seguinte e mais complicado.

Figura 3.10

Problema 3.10. Sejam dadas tres retas r, s e t reversas duas a duas. Construa, se possıvel,uma reta paralela a t e secante a r e s simultaneamente. Prove que a solucao, se existe, eunica.

Solucao. Este problema nem sempre tem solucao, pois depende da posicao relativa dasretas. Vejamos o que pode acontecer.

Sejam α e β planos paralelos contendo r e s, respectivamente (pelo problema 3.9). Temosduas possibilidades:

(i) t e paralela a α e, consequentemente, tambem e paralela a β.

(ii) t corta α e, consequentemente, tambem corta β.

Se acontece (i) o problema nao tem solucao. De fato, se l e uma reta concorrente com r,por exemplo, e paralela a t, entao l e paralela a β, ja que t e paralela a β. Logo l nao podeser concorrente com s (veja figura 3.10).

Figura 3.11

Se acontece (ii) o problema tem solucao. Para construı-la sigamos os passos (acompanhe nafigura 3.11):

(1) Tome γ o plano paralelo a t contendo r (problema 3.8). O plano γ e secante a α e β(por que?). Temos que r = α ∩ γ. Observe ainda que se b = β ∩ γ entao r ∥ b (por que?).



Demonstracao. De fato, se α nao fosse paralelo a γ, ou seja, se α fosse secante a γ entao,pelo teorema anterior, α seria secante a β,uma contradicao.

3.5 Problemas resolvidos

Apresentamos nesta secao alguns problemas resolvidos utilizando os resultados desta aula,para voces se acostumarem com as tecnicas de trabalho em geometria espacial.

Figura 3.9: Problemas 3.8 e 3.9

Problema 3.8. Sejam r e s duas retas reversas. Construa um plano contendo r e paraleloa s. Mostre que este e o unico plano possıvel.

Solucao. Por um ponto qualquer X ∈ r tome a reta s′ paralela a s. Entao a solucao e oplano α determinado por r e s′ (veja figura 3.9), ja que:

(i) r ⊂ α, por construcao;

(ii) s ∥ α, pois s ∥ s′, e s′ ⊂ α, por construcao.

Para verificar que α e o unico plano com as propriedades desejadas, tome um outro planoβ passando por r. Se s e β fossem paralelos, existiria uma reta s′′ ⊂ β (pelo teorema 3.3)passando por X paralela a s, o que contradiz o axioma V.

Problema 3.9. Dadas duas retas reversas r e s construa um par de planos paralelos α e βtais que r ⊂ α e s ⊂ β. Mostre que esta e a unica solucao possıvel.

Solucao. Primeiro sigamos os seguintes passos:

(1) Usando o problema 3.8 construa o plano α contendo r e paralelo a s.

(2) Tome um ponto P qualquer de s. Por P passa um unico plano β paralelo a α.

(3) Provemos que s ⊂ β: seja γ o plano determinado por r e P . Entao γ corta β segundouma reta l que passa por P . Como β ∥ α entao l ∥ r. Assim pelo axioma V temos quel = s.

Com os passos acima construımos dois planos α e β com as propriedades desejadas. Aunicidade decorre do problema anterior.

O problema seguinte e mais complicado.

Figura 3.10

Problema 3.10. Sejam dadas tres retas r, s e t reversas duas a duas. Construa, se possıvel,uma reta paralela a t e secante a r e s simultaneamente. Prove que a solucao, se existe, eunica.

Solucao. Este problema nem sempre tem solucao, pois depende da posicao relativa dasretas. Vejamos o que pode acontecer.

Sejam α e β planos paralelos contendo r e s, respectivamente (pelo problema 3.9). Temosduas possibilidades:

(i) t e paralela a α e, consequentemente, tambem e paralela a β.

(ii) t corta α e, consequentemente, tambem corta β.

Se acontece (i) o problema nao tem solucao. De fato, se l e uma reta concorrente com r,por exemplo, e paralela a t, entao l e paralela a β, ja que t e paralela a β. Logo l nao podeser concorrente com s (veja figura 3.10).

Figura 3.11

Se acontece (ii) o problema tem solucao. Para construı-la sigamos os passos (acompanhe nafigura 3.11):

(1) Tome γ o plano paralelo a t contendo r (problema 3.8). O plano γ e secante a α e β(por que?). Temos que r = α ∩ γ. Observe ainda que se b = β ∩ γ entao r ∥ b (por que?).



(2) A reta s corta γ em um ponto A pois, caso contrario seria paralela a b e, portanto,paralela a r, uma contradicao. Em particular A ∈ b.

(3) Seja t′ a reta que passa por A e e paralela a t. Como t ∥ γ entao t′ esta contida em γ(por que?). Como t′ e secante a b, por construcao, e b ∥ r, entao t′ e secante a r. Assimt′ e uma solucao do problema.

Para mostrar que t′ e solucao unica, tome t′′ uma outra solucao. Entao t′′ ∥ t e t′′ econcorrente com r. Logo t′′ ⊂ γ (por que?). Mas t′′ tambem deve ser concorrente com s; noentanto s encontra γ no ponto A, donde A ∈ t′′. Assim t′′ = t′.



(2) A reta s corta γ em um ponto A pois, caso contrario seria paralela a b e, portanto,paralela a r, uma contradicao. Em particular A ∈ b.

(3) Seja t′ a reta que passa por A e e paralela a t. Como t ∥ γ entao t′ esta contida em γ(por que?). Como t′ e secante a b, por construcao, e b ∥ r, entao t′ e secante a r. Assimt′ e uma solucao do problema.

Para mostrar que t′ e solucao unica, tome t′′ uma outra solucao. Entao t′′ ∥ t e t′′ econcorrente com r. Logo t′′ ⊂ γ (por que?). Mas t′′ tambem deve ser concorrente com s; noentanto s encontra γ no ponto A, donde A ∈ t′′. Assim t′′ = t′.

3.6 Exercıcios

3.1. Sejam α, β e γ tres planos distintos. Mostre que as posicoes relativas dos tres planossao as seguintes:

(a) Os tres planos sao paralelos.

(b) Dois deles sao paralelos entre si, e o terceiro e secante a ambos, cortando-os segundoretas paralelas entre si.

(c) Os tres planos de cortam segundo uma reta.

(d) Os tres planos se cortam dois a dois segundo tres retas paralelas entre si.

(e) Os tres planos se encontram em um unico ponto.

Para cada situacao da lista acima encontre um exemplo no “mundo real”.

3.2. Sejam r e s duas retas reversas, e P um ponto que nao pertence a nenhuma das duas.Mostre que existe um unico plano α passando por P paralelo a r e s.

3.3. Na figura 3.12 os quadrilateros ◻ABCD, ◻ADEK e ◻BCEK sao paralelogramos.Demonstre que

(a) EK ∥ AD ∥ BC e

(b) ∡KAB ≡∡EDC.

Figura 3.12: – Exercıcio 3.3 Figura 3.13: – Exercıcio 3.4

3.4. Na figura 3.13 AP , BP e CP sao perpendiculares entre si; AC = BC; e D, E e F saopontos medios dos respectivos segmentos. Mostre que

∡DEF ≡∡PAB.

(Sugestao: mostre que os triangulos △APB e △EDF sao semelhantes.)

3.5. Sejam α e β dois plano paralelos entre si. Sejam r e r′ duas retas paralelas entre si esecantes a α. Se A, A′ sao os pontos em que r e r′ encontram α, respectivamente, e B, B′

sao os pontos em que r e r′ encontram β, respectivamente, prove que AB ≡ A′B′. (Sugestao:verifique que ◻AA′B′B e um paralelogramo.)


4 Perpendicularismo entre retas e planos no espaço

AULA4: PERPENDICULARISMO ENTRE RETAS

E PLANOS NO ESPACO

OBJETIVOSIntroduzir o conceito de angulo entre retas no espaco. Introduzir o conceito de perpendicu-larismo entre retas e planos no espaco.

4.1 Introducao

Na secao 2.3 estudamos um pouco sobre angulos “planos” no espaco, isto e, sobre angulosdeterminados por pares de semirretas, que ja bem conhecemos. No espaco temos comoampliar o conceito de angulo, pois podemos comparar “inclinacoes” nao entre retas e se-mirretas, como tambem entre retas e planos e entre planos. Nesta aula estudaremos sobreangulos entre retas e planos no espaco.

4.2 Angulos entre retas no espaco

Nesta secao vamos, num certo sentido, ampliar o conceito de angulos entre retas no espaco.No plano duas retas ou sao paralelas ou se cortam. No primeiro caso podemos dizer queo angulo entre elas e nulo, ou zero; no segundo caso as retas determinam no plano quatroangulos, e dizemos que o angulo entre elas e o menor deles1. O angulo entre duas retas r el e indicado por ∡(r, l), e sua medida por m(∡(r, l)).

Figura 4.1

Na figura 4.1a as retas r e l sao paralelas, e entao m(∡(r, l)) = 0. Na figura 4.1b as retas re l sao concorrentes, demarcando no plano α quatro angulos, dois a dois congruentes, comoindicado. Se m(∡a) ≤ m(∡b) (como sugere, visualmente, a figura) entao, ∡(r, l) = ∡a, oum(∡(r, l)) =m(∡a).

1Lembramos aqui que, na verdade, comparamos angulos atraves de suas medidas, ou seja, dizemos que∡ABC e menor do que ∡DEF , relacao que podemos denotar por

∡ABC <∡DEF,

se m(∡ABC) <m(∡DEF ).


45AUl A 4: PerPendicUl Arismo entre retAs e Pl Anos no esPAço

AULA4: PERPENDICULARISMO ENTRE RETAS

E PLANOS NO ESPACO

OBJETIVOSIntroduzir o conceito de angulo entre retas no espaco. Introduzir o conceito de perpendicu-larismo entre retas e planos no espaco.

4.1 Introducao

Na secao 2.3 estudamos um pouco sobre angulos “planos” no espaco, isto e, sobre angulosdeterminados por pares de semirretas, que ja bem conhecemos. No espaco temos comoampliar o conceito de angulo, pois podemos comparar “inclinacoes” nao entre retas e se-mirretas, como tambem entre retas e planos e entre planos. Nesta aula estudaremos sobreangulos entre retas e planos no espaco.

4.2 Angulos entre retas no espaco

Nesta secao vamos, num certo sentido, ampliar o conceito de angulos entre retas no espaco.No plano duas retas ou sao paralelas ou se cortam. No primeiro caso podemos dizer queo angulo entre elas e nulo, ou zero; no segundo caso as retas determinam no plano quatroangulos, e dizemos que o angulo entre elas e o menor deles1. O angulo entre duas retas r el e indicado por ∡(r, l), e sua medida por m(∡(r, l)).

Figura 4.1

Na figura 4.1a as retas r e l sao paralelas, e entao m(∡(r, l)) = 0. Na figura 4.1b as retas re l sao concorrentes, demarcando no plano α quatro angulos, dois a dois congruentes, comoindicado. Se m(∡a) ≤ m(∡b) (como sugere, visualmente, a figura) entao, ∡(r, l) = ∡a, oum(∡(r, l)) =m(∡a).

1Lembramos aqui que, na verdade, comparamos angulos atraves de suas medidas, ou seja, dizemos que∡ABC e menor do que ∡DEF , relacao que podemos denotar por

∡ABC <∡DEF,

se m(∡ABC) <m(∡DEF ).



Figura 4.2

No espaco temos ainda o caso de retas reversas, que nao sao nem concorrentes nem paralelas.Como poderıamos medir o angulo entre elas? Bem, poderıamos fazer o seguinte: “colocar”uma delas sobre a outra utilizando retas paralelas. Explicando melhor, se r e s sao reversas,tomamos, por exemplo, s′ uma reta concorrente com r e paralela a s, e definimos a medidado angulo entre r e s como sendo a medida do angulo entre r e s′. A ideia parece boa?Bem, pode ser que sim, mas temos que verificar que independe da escolha das retas paralelasauxiliares. Dito de outra forma, se, por exemplo, r′ for uma reta paralela a r e concorrentecom s, sera que m(∡(r, s′)) = m(∡(r′, s))? De fato, isto acontece, como enunciamos emnosso proximo teorema (veja a figura 4.2).

Teorema 4.1. Sejam r, s e r′, s′ dois pares de retas concorrentes tais que r ∥ r′ e s ∥ s′.Entao m(∡(r, s)) =m(∡(r′, s′)).

Figura 4.3

Na figura 4.3 representamos a situacao do teorema 4.1. Temos, na figura, que ∡a = ∡(r, s)e ∡b = ∡(r′, s′) onde r ∥ r′ e s ∥ s′. O teorema nos diz entao que ∡a ≡ ∡b. Procureentender bem o significado deste teorema, que e bem intuitivo. A sua demonstracao, deleitura opcional, sera apresentada na secao 4.5.

Problema 4.1. Demonstre o teorema 4.1 no caso em que r, s, r′ e s′ sao coplana-res.(Sugestao: consulte um livro de geometria plana como, por exemplo, [7].)

Corolario 4.2. Sejam r e s retas reversas. Se r′ ∥ r e s′ ∥ s sao retas tais que r′ econcorrente a s e s′ e concorrente a r, entao

m(∡(r, s′)) =m(∡(r′, s)).

Problema 4.2. Demonstre, usando o teorema 4.1, o corolario acima (veja a figura 4.2).

Agora podemos definir a medida de angulos entre retas reversas.

Definicao 4.3. Sejam r e s duas retas reversas no espaco. Definimos a medida do anguloentre r e s, denotada por m(∡(r, s)), como sendo m(∡(r, s′)), onde s′ e uma reta paralelaa s e concorrente a r.

Problema 4.3. Sejam r e s retas reversas, e sejam r′ ∥ r, s′ ∥ s tais que r′ seja concorrentea s e s′ concorrente a r. Prove que

m(∡(r, s)) =m(∡(r, s′)) =m(∡(r′, s)) =m(∡(r′, s′)).

4.3 Perpendicularismo de retas e planos

Como visto em um curso de geometria plana, dizemos que duas retas r e s sao perpendicula-res se sao concorrentes e os angulos que formam entre si sao retos, e esta relacao e denotadapor r ⊥ s. Esta definicao continua valendo no espaco, e claro. Veremos agora como fica oconceito de perpendicularidade entre retas e planos.

Figura 4.4

A ideia de uma reta perpendicular a um plano e bem intuitiva. Basta voce equilibrar umlapis em sua base sobre a mesa que tera a “sensacao” do que e perpendicularismo de reta(representada pelo lapis) e plano (representado pela mesa). Se voce medir o angulo entre olapis e o plano em qualquer direcao do plano vera que e aproximadamente um angulo reto(veja a figura 4.4). Formalizaremos este conceito na definicao abaixo.

Definicao 4.4. Uma reta r e um plano α sao perpendiculares entre si, relacao denotadapor r ⊥ α, se forem concorrentes em um ponto P e se toda reta de α que passa por P forperpendicular a r (veja figura 4.5). O ponto P e chamado de pe da reta r, perpendicular aoplano.

Figura 4.5

Problema 4.4. Mostre que se r ⊥ α entao para toda reta s ⊂ α tem-se que m(∡(r, s)) = 90.

Observacao 4.1. Existe uma nomenclatura tradicional para retas no espaco que fazem entresi um angulo reto. Se sao concorrentes, com ja dissemos, as chamamos de perpendiculares.Se sao reversas, dizemos que sao ortogonais. Algumas vezes utiliza-se o termo ortogonalpara indicar quaisquer pares de retas no espaco que fazem entre si um angulo reto.

Vamos agora listar algumas propriedades fundamentais de perpendicularismo entre retas eplanos no espaco analogas as propriedades entre retas perpendiculares num plano.



Figura 4.2

No espaco temos ainda o caso de retas reversas, que nao sao nem concorrentes nem paralelas.Como poderıamos medir o angulo entre elas? Bem, poderıamos fazer o seguinte: “colocar”uma delas sobre a outra utilizando retas paralelas. Explicando melhor, se r e s sao reversas,tomamos, por exemplo, s′ uma reta concorrente com r e paralela a s, e definimos a medidado angulo entre r e s como sendo a medida do angulo entre r e s′. A ideia parece boa?Bem, pode ser que sim, mas temos que verificar que independe da escolha das retas paralelasauxiliares. Dito de outra forma, se, por exemplo, r′ for uma reta paralela a r e concorrentecom s, sera que m(∡(r, s′)) = m(∡(r′, s))? De fato, isto acontece, como enunciamos emnosso proximo teorema (veja a figura 4.2).

Teorema 4.1. Sejam r, s e r′, s′ dois pares de retas concorrentes tais que r ∥ r′ e s ∥ s′.Entao m(∡(r, s)) =m(∡(r′, s′)).

Figura 4.3

Na figura 4.3 representamos a situacao do teorema 4.1. Temos, na figura, que ∡a = ∡(r, s)e ∡b = ∡(r′, s′) onde r ∥ r′ e s ∥ s′. O teorema nos diz entao que ∡a ≡ ∡b. Procureentender bem o significado deste teorema, que e bem intuitivo. A sua demonstracao, deleitura opcional, sera apresentada na secao 4.5.

Problema 4.1. Demonstre o teorema 4.1 no caso em que r, s, r′ e s′ sao coplana-res.(Sugestao: consulte um livro de geometria plana como, por exemplo, [7].)

Corolario 4.2. Sejam r e s retas reversas. Se r′ ∥ r e s′ ∥ s sao retas tais que r′ econcorrente a s e s′ e concorrente a r, entao

m(∡(r, s′)) =m(∡(r′, s)).

Problema 4.2. Demonstre, usando o teorema 4.1, o corolario acima (veja a figura 4.2).

Agora podemos definir a medida de angulos entre retas reversas.

Definicao 4.3. Sejam r e s duas retas reversas no espaco. Definimos a medida do anguloentre r e s, denotada por m(∡(r, s)), como sendo m(∡(r, s′)), onde s′ e uma reta paralelaa s e concorrente a r.

Problema 4.3. Sejam r e s retas reversas, e sejam r′ ∥ r, s′ ∥ s tais que r′ seja concorrentea s e s′ concorrente a r. Prove que

m(∡(r, s)) =m(∡(r, s′)) =m(∡(r′, s)) =m(∡(r′, s′)).

4.3 Perpendicularismo de retas e planos

Como visto em um curso de geometria plana, dizemos que duas retas r e s sao perpendicula-res se sao concorrentes e os angulos que formam entre si sao retos, e esta relacao e denotadapor r ⊥ s. Esta definicao continua valendo no espaco, e claro. Veremos agora como fica oconceito de perpendicularidade entre retas e planos.

Figura 4.4

A ideia de uma reta perpendicular a um plano e bem intuitiva. Basta voce equilibrar umlapis em sua base sobre a mesa que tera a “sensacao” do que e perpendicularismo de reta(representada pelo lapis) e plano (representado pela mesa). Se voce medir o angulo entre olapis e o plano em qualquer direcao do plano vera que e aproximadamente um angulo reto(veja a figura 4.4). Formalizaremos este conceito na definicao abaixo.

Definicao 4.4. Uma reta r e um plano α sao perpendiculares entre si, relacao denotadapor r ⊥ α, se forem concorrentes em um ponto P e se toda reta de α que passa por P forperpendicular a r (veja figura 4.5). O ponto P e chamado de pe da reta r, perpendicular aoplano.

Figura 4.5

Problema 4.4. Mostre que se r ⊥ α entao para toda reta s ⊂ α tem-se que m(∡(r, s)) = 90.

Observacao 4.1. Existe uma nomenclatura tradicional para retas no espaco que fazem entresi um angulo reto. Se sao concorrentes, com ja dissemos, as chamamos de perpendiculares.Se sao reversas, dizemos que sao ortogonais. Algumas vezes utiliza-se o termo ortogonalpara indicar quaisquer pares de retas no espaco que fazem entre si um angulo reto.

Vamos agora listar algumas propriedades fundamentais de perpendicularismo entre retas eplanos no espaco analogas as propriedades entre retas perpendiculares num plano.



Figura 4.6

Teorema 4.5. Sejam r e α uma reta e um plano perpendiculares entre si. Entao:

(a) Toda reta paralela a r tambem e perpendicular a α (veja figura 4.6).

(b) Todo plano paralelo a α tambem e perpendicular a r (veja figura 4.7).

Figura 4.7

Demonstracao. Vamos demonstrar o item (a), e deixaremos a demonstracao de (b), quee inteiramente analoga, como exercıcio.

Sejam, como no enunciado, r uma reta e α um plano tais que r ⊥ α. Seja s uma reta paralelaa r. O que temos que fazer e conferir se s satisfaz a definicao 4.4. Pelo teorema 3.9 vemosque como s ∥ r entao s ∩ α ≠ ∅. Chamemos de A e Q os pontos em que r e s encontram α,respectivamente. Seja u ⊂ α uma reta qualquer passando por Q, e tomemos u′ a reta paralelaa u passando por A. Observe entao que r, u′ e s, u estao na situacao do teorema 4.1, donde

m(∡(r, u′)) =m(∡(s, u)).

Entao como r ⊥ u′, por definicao, concluımos que s ⊥ u.Assim provamos que toda reta de α concorrente com s e perpendicular a esta reta, ou seja,s ⊥ α.

Problema 4.5. Demonstre a parte (b) do teorema anterior. (Sugestao: va trocando apalavra “reta” por “plano” na argumentacao da demonstracao do teorema, mas cuidandopara que faca sentido!)

Temos ainda o resultado abaixo, analogo ao teorema 4.5:

Teorema 4.6. As seguintes propriedades sao validas:

(a) duas retas distintas perpendiculares a um mesmo plano sao paralelas entre si, e

(b) dois planos distintos perpendiculares a uma mesma reta sao paralelos entre si.

Figura 4.8

Demonstracao. A demonstracao deste teorema e um pouquinho mais complicada que ado anterior. Como no teorema anterior, apresentaremos em detalhes a demonstracao doitem (a), deixando (b) como exercıcio.

Vamos la. Sejam α um plano e r uma reta perpendicular a α. Chamemos de A o ponto emque r encontra α. Seja s outra reta perpendicular a α, encontrando este plano em um pontoP . Queremos mostrar que r ∥ s.

Bem, sabemos que existe uma reta s′ passando por P e paralela a r. Provaremos que, naverdade, s = s′. Para isto suponhamos, por absurdo, que s ≠ s′. Neste caso s e s′ saoretas concorrentes em P e determinam um plano β. Os planos α e β contem o ponto P emcomum, logo se cortam segundo uma reta l (veja a figura 4.8). Temos entao que

(i) s ⊥ l pois, por hipotese, s ⊥ α;

(ii) s′ ⊥ l, pois s′ ∥ r por construcao donde, pelo teorema 4.5, s′ ⊥ α;

(iii) s e s′ passam por P e pertencem ao mesmo plano β.

Nestas condicoes temos que s e s′ sao retas de β passando por um ponto P e perpendicularesa uma mesma reta l, o que contradiz o fato que por um ponto num plano passa uma unicareta perpendicular a uma dada reta. Assim s e s′ nao podem ser distintas. Logo s = s′ es ∥ r.

Problema 4.6. Demonstre a parte (b) do teorema acima. (Sugestao: veja a sugestao doproblema anterior.)



Figura 4.6

Teorema 4.5. Sejam r e α uma reta e um plano perpendiculares entre si. Entao:

(a) Toda reta paralela a r tambem e perpendicular a α (veja figura 4.6).

(b) Todo plano paralelo a α tambem e perpendicular a r (veja figura 4.7).

Figura 4.7

Demonstracao. Vamos demonstrar o item (a), e deixaremos a demonstracao de (b), quee inteiramente analoga, como exercıcio.

Sejam, como no enunciado, r uma reta e α um plano tais que r ⊥ α. Seja s uma reta paralelaa r. O que temos que fazer e conferir se s satisfaz a definicao 4.4. Pelo teorema 3.9 vemosque como s ∥ r entao s ∩ α ≠ ∅. Chamemos de A e Q os pontos em que r e s encontram α,respectivamente. Seja u ⊂ α uma reta qualquer passando por Q, e tomemos u′ a reta paralelaa u passando por A. Observe entao que r, u′ e s, u estao na situacao do teorema 4.1, donde

m(∡(r, u′)) =m(∡(s, u)).

Entao como r ⊥ u′, por definicao, concluımos que s ⊥ u.Assim provamos que toda reta de α concorrente com s e perpendicular a esta reta, ou seja,s ⊥ α.

Problema 4.5. Demonstre a parte (b) do teorema anterior. (Sugestao: va trocando apalavra “reta” por “plano” na argumentacao da demonstracao do teorema, mas cuidandopara que faca sentido!)

Temos ainda o resultado abaixo, analogo ao teorema 4.5:

Teorema 4.6. As seguintes propriedades sao validas:

(a) duas retas distintas perpendiculares a um mesmo plano sao paralelas entre si, e

(b) dois planos distintos perpendiculares a uma mesma reta sao paralelos entre si.

Figura 4.8

Demonstracao. A demonstracao deste teorema e um pouquinho mais complicada que ado anterior. Como no teorema anterior, apresentaremos em detalhes a demonstracao doitem (a), deixando (b) como exercıcio.

Vamos la. Sejam α um plano e r uma reta perpendicular a α. Chamemos de A o ponto emque r encontra α. Seja s outra reta perpendicular a α, encontrando este plano em um pontoP . Queremos mostrar que r ∥ s.

Bem, sabemos que existe uma reta s′ passando por P e paralela a r. Provaremos que, naverdade, s = s′. Para isto suponhamos, por absurdo, que s ≠ s′. Neste caso s e s′ saoretas concorrentes em P e determinam um plano β. Os planos α e β contem o ponto P emcomum, logo se cortam segundo uma reta l (veja a figura 4.8). Temos entao que

(i) s ⊥ l pois, por hipotese, s ⊥ α;

(ii) s′ ⊥ l, pois s′ ∥ r por construcao donde, pelo teorema 4.5, s′ ⊥ α;

(iii) s e s′ passam por P e pertencem ao mesmo plano β.

Nestas condicoes temos que s e s′ sao retas de β passando por um ponto P e perpendicularesa uma mesma reta l, o que contradiz o fato que por um ponto num plano passa uma unicareta perpendicular a uma dada reta. Assim s e s′ nao podem ser distintas. Logo s = s′ es ∥ r.

Problema 4.6. Demonstre a parte (b) do teorema acima. (Sugestao: veja a sugestao doproblema anterior.)



4.4 Existencia de retas perpendiculares

Apresentamos nas secoes anteriores varias propriedades envolvendo retas perpendiculares aplanos, mas falta ainda uma coisa: existem retas perpendiculares a planos? Para podermosprovar a sua existencia precisaremos de uma maneira mais eficiente de aplicar a definicao 4.4,pois a frase “toda reta de α...” da definicao nos poe um problema pratico: como testar seuma reta e perpendicular a um plano? O teorema a seguir nos diz como.

Teorema 4.7. Uma reta r e perpendicular a um plano α se e somente r for perpendiculara duas retas distintas de α.

Figura 4.9

A situacao descrita no enunciado do teorema 4.7 e ilustrada na figura 4.9. O teorema dizque basta verificar a perpendicularidade de r em relacao a duas retas do plano (no caso dafigura, r ⊥ t e r ⊥ u). Isto e bem intuitivo. Faca o seguinte experimento: trace uma reta emuma folha de papel e apoie um lapis com sua base sobre esta reta, formando um angulo retocom ela; mantendo este angulo voce pode mover o lapis para um lado e para outro, comouma dobradica. Depois trace outra reta na folha, transversal a primeira e coloque a base dolapis sobre a intersecao das duas retas; observe que o lapis forma um angulo reto com cadauma delas, e que qualquer movimento que voce fizer com ele alterara um desses angulos.

Entendido o que quer dizer o resultado do teorema 4.7, vamos aplica-lo, como veremos aseguir, e deixaremos sua demonstracao como leitura opcional na secao 4.5.

Nossa primeira aplicacao do teorema 4.7 e a seguinte: construir retas perpendiculares aplanos. Na verdade temos dois problemas diferentes: (a) podemos construir um planoperpendicular a uma reta dada passando por um ponto dado e, analogamente, (b) podemosconstruir uma reta perpendicular a um plano dado passando por um ponto dado. Veja osdois teoremas a seguir.

Teorema 4.8. Dados um ponto P e uma reta r existe um unico plano α perpendicular a rpassando por P .

Demonstracao. Temos dois casos a considerar: P /∈ r e P ∈ r. A construcao do plano αpassando por P e perpendicular a r e essencialmente a mesma nos dois casos, a menos deum pequeno detalhe. Resolveremos o primeiro caso, deixando o outro como exercıcio.

Suponhamos entao que P /∈ r. Vamos construir o plano α seguindo os seguintes passos, quevoce pode acompanhar na figura 4.10:

(1) Seja β o plano que passa por P e r. Tome em β a reta t passando por P e perpendiculara r. Seja A o ponto em que t e r se encontram.

(2) Tome γ um outro plano distinto de β passando por r e, em γ, construa a reta s perpen-dicular a r por A.

Figura 4.10

(3) Entao o plano determinado por t e s e o plano α que procuramos. De fato:

(i) r ⊥ t e r ⊥ s, por construcao, donde r ⊥ α, pelo teorema 4.7;

(ii) P ∈ α, ja que P ∈ t.

Figura 4.11

Para provar a unicidade, suponha que α′ seja outro plano passando por P e perpendicular a r.Entao β, o plano determinado por P e r, corta α′ segundo uma reta t′. Em particular, comor ⊥ α′, entao t′ ⊥ r. Assim temos duas retas, t e t′, ambas passando por P e perpendicularesa r, o que e uma contradicao, ja que a perpendicular a uma reta por um ponto dado e unica.Logo o plano α e o unico plano que passa por P e e perpendicular a r (veja a figura 4.11).



4.4 Existencia de retas perpendiculares

Apresentamos nas secoes anteriores varias propriedades envolvendo retas perpendiculares aplanos, mas falta ainda uma coisa: existem retas perpendiculares a planos? Para podermosprovar a sua existencia precisaremos de uma maneira mais eficiente de aplicar a definicao 4.4,pois a frase “toda reta de α...” da definicao nos poe um problema pratico: como testar seuma reta e perpendicular a um plano? O teorema a seguir nos diz como.

Teorema 4.7. Uma reta r e perpendicular a um plano α se e somente r for perpendiculara duas retas distintas de α.

Figura 4.9

A situacao descrita no enunciado do teorema 4.7 e ilustrada na figura 4.9. O teorema dizque basta verificar a perpendicularidade de r em relacao a duas retas do plano (no caso dafigura, r ⊥ t e r ⊥ u). Isto e bem intuitivo. Faca o seguinte experimento: trace uma reta emuma folha de papel e apoie um lapis com sua base sobre esta reta, formando um angulo retocom ela; mantendo este angulo voce pode mover o lapis para um lado e para outro, comouma dobradica. Depois trace outra reta na folha, transversal a primeira e coloque a base dolapis sobre a intersecao das duas retas; observe que o lapis forma um angulo reto com cadauma delas, e que qualquer movimento que voce fizer com ele alterara um desses angulos.

Entendido o que quer dizer o resultado do teorema 4.7, vamos aplica-lo, como veremos aseguir, e deixaremos sua demonstracao como leitura opcional na secao 4.5.

Nossa primeira aplicacao do teorema 4.7 e a seguinte: construir retas perpendiculares aplanos. Na verdade temos dois problemas diferentes: (a) podemos construir um planoperpendicular a uma reta dada passando por um ponto dado e, analogamente, (b) podemosconstruir uma reta perpendicular a um plano dado passando por um ponto dado. Veja osdois teoremas a seguir.

Teorema 4.8. Dados um ponto P e uma reta r existe um unico plano α perpendicular a rpassando por P .

Demonstracao. Temos dois casos a considerar: P /∈ r e P ∈ r. A construcao do plano αpassando por P e perpendicular a r e essencialmente a mesma nos dois casos, a menos deum pequeno detalhe. Resolveremos o primeiro caso, deixando o outro como exercıcio.

Suponhamos entao que P /∈ r. Vamos construir o plano α seguindo os seguintes passos, quevoce pode acompanhar na figura 4.10:

(1) Seja β o plano que passa por P e r. Tome em β a reta t passando por P e perpendiculara r. Seja A o ponto em que t e r se encontram.

(2) Tome γ um outro plano distinto de β passando por r e, em γ, construa a reta s perpen-dicular a r por A.

Figura 4.10

(3) Entao o plano determinado por t e s e o plano α que procuramos. De fato:

(i) r ⊥ t e r ⊥ s, por construcao, donde r ⊥ α, pelo teorema 4.7;

(ii) P ∈ α, ja que P ∈ t.

Figura 4.11

Para provar a unicidade, suponha que α′ seja outro plano passando por P e perpendicular a r.Entao β, o plano determinado por P e r, corta α′ segundo uma reta t′. Em particular, comor ⊥ α′, entao t′ ⊥ r. Assim temos duas retas, t e t′, ambas passando por P e perpendicularesa r, o que e uma contradicao, ja que a perpendicular a uma reta por um ponto dado e unica.Logo o plano α e o unico plano que passa por P e e perpendicular a r (veja a figura 4.11).



Problema 4.7. Demonstre o teorema anterior no caso em que P ∈ r. (Sugestao: tome doisplanos β e γ quaisquer, distintos, passando por r, e retas t ∈ β, s ∈ γ passando por P eperpendiculares a r. Daı em diante siga os passos do teorema.)

Teorema 4.9. Dados um um ponto P e um plano α, existe uma unica reta r passando porP e perpendicular a α.

Demonstracao. Como no teorema anterior, ha dois casos a considerar: P /∈ α e P ∈ α.Faremos, como no teorema anterior, o primeiro caso, deixando o outro a cargo do leitor.

Figura 4.12

Suponhamos entao que P /∈ α. Sigamos os seguintes passos, que podem ser acompanhadosna figura 4.12:

(1) Tome uma reta t ⊂ α qualquer, e seja β o plano que passa por P e e perpendicular a t(pelo teorema 4.8).

(2) Seja l a reta em que os planos α e β se encontram. Observe que l ⊥ t (por que?). Sejaainda Q o ponto em que l e t se cortam.

(3) Trace por P a reta r perpendicular a l, e seja R o ponto de encontro entre r e l.

A reta r construıda acima e a solucao do nosso problema. Para aplicarmos a caracterizacaodada no teorema 4.7 precisamos encontrar em α duas retas concorrentes e perpendicularesa r. Uma nos ja temos: a reta l, pois r ⊥ l por construcao. Para obter outra precisamosanalisar duas possibilidades que podem acontecer:

(i) Os pontos Q e R sao coincidentes. Neste caso, como β ⊥ t e r ⊂ β, entao r ⊥ t, donder ⊥ α.

(ii) Os pontos Q e R sao distintos. Neste caso tome t′ a reta paralela a t passando porR. Entao, pelo teorema 4.5, temos que t′ ⊥ β. Em particular, r ⊥ t′, e novamenteconcluımos que r ⊥ α.

Finalmente, para mostrar que r e a unica reta perpendicular a α passando por P podemosseguir argumento analogo ao apresentado no teorema 4.8. Suponha que exista outra reta r′

passando por P e perpendicular a α, e seja γ o plano determinado por r e r′. Os planos α eγ se cortam segundo uma reta l′. Entao acabamos de apresentar duas retas perpendicularesa uma mesma reta passando por um mesmo ponto, o que e uma contradicao. Logo r′ naopode existir.

Problema 4.8. Demonstre o teorema anterior no caso em que P ∈ α. (Sugestao: tomeduas retas l e l′ contidas em α passando por P ; tome β e β′ os planos perpendiculares a le l′, respectivamente, tambem passando por P . Verifique que a reta r comum a β e β′ e areta procurada.)


A seguir apresentamos as demonstracoes dos teoremas 4.1 e 4.7. Comecamos com o primeiro.

Demonstracao. (Teorema 4.1) Esta sera nossa primeira demonstracao em que usaremos,no espaco, a congruencia de triangulos. Acompanhe na figura 4.13 os passos da argumentacaona listados abaixo.

Figura 4.13

(1) Sejam A e P os pontos em que r encontra s e que r′ encontra s′, respectivamente. TomeB ∈ r e R ∈ r′ pontos de um mesmo lado do espaco em relacao ao plano determinadopor s e s′, de forma que AB ≡ PR.

(2) Analogamente, tome C ∈ s e Q ∈ s′ pontos de um mesmo lado do espaco em relacao aoplano determinado por r e r′, de forma que AC ≡ PQ.

(3) Temos agora dois triangulos△BAC e△RPQ no espaco, em planos diferentes. Queremosmostrar que∡BAC ≡∡RPQ. Para isto vamos mostrar que BC ≡ RQ e aplicar o criterioLLL de congruencia de triangulos.

(4) Como AB ≡ PR, entao temos que←→BR ∥ ←→AP (pois estao no plano determinado por r e

r′ e sao determinadas por pontos equidistantes). Logo ◻ABRP e um paralelogramo, eportanto AP ≡ BR.

(5) Analogamente mostra-se que ◻ACQP tambem e um paralelogramo, e que AP ≡ CQ(escreva os detalhes).



Problema 4.7. Demonstre o teorema anterior no caso em que P ∈ r. (Sugestao: tome doisplanos β e γ quaisquer, distintos, passando por r, e retas t ∈ β, s ∈ γ passando por P eperpendiculares a r. Daı em diante siga os passos do teorema.)

Teorema 4.9. Dados um um ponto P e um plano α, existe uma unica reta r passando porP e perpendicular a α.

Demonstracao. Como no teorema anterior, ha dois casos a considerar: P /∈ α e P ∈ α.Faremos, como no teorema anterior, o primeiro caso, deixando o outro a cargo do leitor.

Figura 4.12

Suponhamos entao que P /∈ α. Sigamos os seguintes passos, que podem ser acompanhadosna figura 4.12:

(1) Tome uma reta t ⊂ α qualquer, e seja β o plano que passa por P e e perpendicular a t(pelo teorema 4.8).

(2) Seja l a reta em que os planos α e β se encontram. Observe que l ⊥ t (por que?). Sejaainda Q o ponto em que l e t se cortam.

(3) Trace por P a reta r perpendicular a l, e seja R o ponto de encontro entre r e l.

A reta r construıda acima e a solucao do nosso problema. Para aplicarmos a caracterizacaodada no teorema 4.7 precisamos encontrar em α duas retas concorrentes e perpendicularesa r. Uma nos ja temos: a reta l, pois r ⊥ l por construcao. Para obter outra precisamosanalisar duas possibilidades que podem acontecer:

(i) Os pontos Q e R sao coincidentes. Neste caso, como β ⊥ t e r ⊂ β, entao r ⊥ t, donder ⊥ α.

(ii) Os pontos Q e R sao distintos. Neste caso tome t′ a reta paralela a t passando porR. Entao, pelo teorema 4.5, temos que t′ ⊥ β. Em particular, r ⊥ t′, e novamenteconcluımos que r ⊥ α.

Finalmente, para mostrar que r e a unica reta perpendicular a α passando por P podemosseguir argumento analogo ao apresentado no teorema 4.8. Suponha que exista outra reta r′

passando por P e perpendicular a α, e seja γ o plano determinado por r e r′. Os planos α eγ se cortam segundo uma reta l′. Entao acabamos de apresentar duas retas perpendicularesa uma mesma reta passando por um mesmo ponto, o que e uma contradicao. Logo r′ naopode existir.

Problema 4.8. Demonstre o teorema anterior no caso em que P ∈ α. (Sugestao: tomeduas retas l e l′ contidas em α passando por P ; tome β e β′ os planos perpendiculares a le l′, respectivamente, tambem passando por P . Verifique que a reta r comum a β e β′ e areta procurada.)


A seguir apresentamos as demonstracoes dos teoremas 4.1 e 4.7. Comecamos com o primeiro.

Demonstracao. (Teorema 4.1) Esta sera nossa primeira demonstracao em que usaremos,no espaco, a congruencia de triangulos. Acompanhe na figura 4.13 os passos da argumentacaona listados abaixo.

Figura 4.13

(1) Sejam A e P os pontos em que r encontra s e que r′ encontra s′, respectivamente. TomeB ∈ r e R ∈ r′ pontos de um mesmo lado do espaco em relacao ao plano determinadopor s e s′, de forma que AB ≡ PR.

(2) Analogamente, tome C ∈ s e Q ∈ s′ pontos de um mesmo lado do espaco em relacao aoplano determinado por r e r′, de forma que AC ≡ PQ.

(3) Temos agora dois triangulos△BAC e△RPQ no espaco, em planos diferentes. Queremosmostrar que∡BAC ≡∡RPQ. Para isto vamos mostrar que BC ≡ RQ e aplicar o criterioLLL de congruencia de triangulos.

(4) Como AB ≡ PR, entao temos que←→BR ∥ ←→AP (pois estao no plano determinado por r e

r′ e sao determinadas por pontos equidistantes). Logo ◻ABRP e um paralelogramo, eportanto AP ≡ BR.

(5) Analogamente mostra-se que ◻ACQP tambem e um paralelogramo, e que AP ≡ CQ(escreva os detalhes).



(6) Agora temos que←→AP ∥ ←→BR e

←→AP ∥ ←→CQ; logo

←→BR ∥ ←→CQ. Alem disso

BR ≡ AP ≡ CQ.

Com isto mostramos que ◻BCQR tambem e um paralelogramo! Assim

BC ≡ RQ,

como querıamos verificar.

(7) Dos fatos acima concluımos que △BAC ≡△RPQ pelo criterio LLL. Em particular,

∡BAC ≡∡RPQ.

Logo m(∡(r, s)) ≡m(∡(r′, s′)).

Agora apresentamos a demonstracao do teorema 4.7.

Demonstracao. (Teorema 4.7) Se a reta r for perpendicular ao plano α entao, por de-finicao, e perpendicular a todas as retas de α que a cortam, em particular a duas retasdistintas quaisquer dentre estas.

A recıproca e um pouco mais trabalhosa. Tomemos r uma reta perpendicular a duas retass e s′ de α. Seja P o ponto em que r encontra α. Se t ⊂ α e outra reta qualquer passandopor P , queremos provar que r ⊥ t. Para isto seguiremos os passos a seguir (acompanhe nafigura 4.14).

Figura 4.14

(1) Primeiro observe que s e s′ dividem α em quatro regioes angulares, e que t passa porduas delas, correspondentes a dois angulos opostos pelo vertice. Escolha uma destasregioes e tome nas semirretas de s e s′ que a delimitam dois pontos B ∈ s e C ∈ s′ taisque PB ≡ PC. Nestas condicoes o segmento BC encontra t em um ponto K.

(2) Tome A e A′ pontos de r em lados opostos do espaco tais que PA ≡ PA′. Assim temosque

△APB ≡△A′PB ≡△APC ≡△A′PC,

sendo todas as congruencias pelo criterio LAL (complete os detalhes).

(3) Do item anterior deduzimos que

AB ≡ A′B ≡ AC ≡ A′C.

Logo △ABC ≡△A′BC donde, em particular, tiramos que

∡ABC ≡∡A′BC.

(4) Dos dados dos itens anteriores concluımos que △ABK ≡ △A′BK, pelo criterio LAL.Em particular,

AK ≡ A′K.

(5) Agora examinemos o triangulo △AKA′. Este triangulo e isosceles com base AA′, eP e ponto medio de AA′. Logo KP e altura de △AKA′ (por que?). Em particular←�→KP ⊥

←�→AA′. Como t =←�→KP e r =

←�→AA′, temos o resultado desejado.



(6) Agora temos que←→AP ∥ ←→BR e

←→AP ∥ ←→CQ; logo

←→BR ∥ ←→CQ. Alem disso

BR ≡ AP ≡ CQ.

Com isto mostramos que ◻BCQR tambem e um paralelogramo! Assim

BC ≡ RQ,

como querıamos verificar.

(7) Dos fatos acima concluımos que △BAC ≡△RPQ pelo criterio LLL. Em particular,

∡BAC ≡∡RPQ.

Logo m(∡(r, s)) ≡m(∡(r′, s′)).

Agora apresentamos a demonstracao do teorema 4.7.

Demonstracao. (Teorema 4.7) Se a reta r for perpendicular ao plano α entao, por de-finicao, e perpendicular a todas as retas de α que a cortam, em particular a duas retasdistintas quaisquer dentre estas.

A recıproca e um pouco mais trabalhosa. Tomemos r uma reta perpendicular a duas retass e s′ de α. Seja P o ponto em que r encontra α. Se t ⊂ α e outra reta qualquer passandopor P , queremos provar que r ⊥ t. Para isto seguiremos os passos a seguir (acompanhe nafigura 4.14).

Figura 4.14

(1) Primeiro observe que s e s′ dividem α em quatro regioes angulares, e que t passa porduas delas, correspondentes a dois angulos opostos pelo vertice. Escolha uma destasregioes e tome nas semirretas de s e s′ que a delimitam dois pontos B ∈ s e C ∈ s′ taisque PB ≡ PC. Nestas condicoes o segmento BC encontra t em um ponto K.

(2) Tome A e A′ pontos de r em lados opostos do espaco tais que PA ≡ PA′. Assim temosque

△APB ≡△A′PB ≡△APC ≡△A′PC,

sendo todas as congruencias pelo criterio LAL (complete os detalhes).

(3) Do item anterior deduzimos que

AB ≡ A′B ≡ AC ≡ A′C.

Logo △ABC ≡△A′BC donde, em particular, tiramos que

∡ABC ≡∡A′BC.

(4) Dos dados dos itens anteriores concluımos que △ABK ≡ △A′BK, pelo criterio LAL.Em particular,

AK ≡ A′K.

(5) Agora examinemos o triangulo △AKA′. Este triangulo e isosceles com base AA′, eP e ponto medio de AA′. Logo KP e altura de △AKA′ (por que?). Em particular←�→KP ⊥

←�→AA′. Como t =←�→KP e r =

←�→AA′, temos o resultado desejado.



4.6 Exercıcios


4.1. Na figura 4.15 os pontos A, B, C e D nao sao coplanares.

(a) Quantos planos sao determinados por estes pontos?

(b) Suponha que AD ≡ DC, BC ≡ BA e que ∡DBA e reto. Nestas condicoes pelo menosum dos segmentos indicados na figura e perpendicular a um dos planos determinadospelos pontos. Diga quais, e prove sua afirmativa.

4.2. Seja r ⊥ α; seja P o ponto comum a r e α. Prove que se t e uma reta passando por Pe perpendicular a r, entao t ⊂ α. (Sugestao: tome no plano β determinado por t e r a retat′ perpendicular a r em P e verifique que t = t′.


4.3. Na figura 4.16 os planos α e β se interceptam segundo a reta←�→KQ. Tem-se ainda que

←→AB ⊥ α, onde B ∈←�→KQ, R ∈ α e C ∈ β. Responda se verdadeiro ou falso e justifique:

(a)←→AB ⊥ ←→BR ?

(b)←→AB ⊥ ←�→KQ ?

(c)←→AB ⊥ ←→BC ?

4.4. Na figura 4.17, na qual nem todos os pontos indicados sao coplanares, tem-se queAW ≡ BW , AX ≡ BX, AY ≡ BY e AZ ≡ BZ. Prove que os pontos W , X, Y e Z sao

coplanares. (Sugestao: Se M e o ponto medio de AB mostre que←→AB e perpendicular as

retas←�→WM ,

←�→XM ,

←�→YM e

←�→ZM . Conclua, usando o exercıcio 4.2.)



4.6 Exercıcios


4.1. Na figura 4.15 os pontos A, B, C e D nao sao coplanares.

(a) Quantos planos sao determinados por estes pontos?

(b) Suponha que AD ≡ DC, BC ≡ BA e que ∡DBA e reto. Nestas condicoes pelo menosum dos segmentos indicados na figura e perpendicular a um dos planos determinadospelos pontos. Diga quais, e prove sua afirmativa.

4.2. Seja r ⊥ α; seja P o ponto comum a r e α. Prove que se t e uma reta passando por Pe perpendicular a r, entao t ⊂ α. (Sugestao: tome no plano β determinado por t e r a retat′ perpendicular a r em P e verifique que t = t′.


4.3. Na figura 4.16 os planos α e β se interceptam segundo a reta←�→KQ. Tem-se ainda que

←→AB ⊥ α, onde B ∈←�→KQ, R ∈ α e C ∈ β. Responda se verdadeiro ou falso e justifique:

(a)←→AB ⊥ ←→BR ?

(b)←→AB ⊥ ←�→KQ ?

(c)←→AB ⊥ ←→BC ?

4.4. Na figura 4.17, na qual nem todos os pontos indicados sao coplanares, tem-se queAW ≡ BW , AX ≡ BX, AY ≡ BY e AZ ≡ BZ. Prove que os pontos W , X, Y e Z sao

coplanares. (Sugestao: Se M e o ponto medio de AB mostre que←→AB e perpendicular as

retas←�→WM ,

←�→XM ,

←�→YM e

←�→ZM . Conclua, usando o exercıcio 4.2.)


Figura 4.18: – Exercıcios 4.6 e 4.7

4.5. Sejam A, B e C vertices de um triangulo equilatero contido em um plano α. Seja T ∈ αo circuncentro de △ABC. Seja r a reta perpendicular a α passando por T . Mostre que seX ∈ r entao AX = BX = CX. Faca um desenho que represente a situacao.

4.6. Na figura 4.18 o triangulo △RSQ esta contido no plano α, e←→PR ⊥ α. Se ∡PQR ≡

∡PSR, prove que ∡PQS ≡∡PSQ.

4.7. Ainda usando a figura 4.18 como referencia, se←→PR ⊥ α, PR > RS,

←→SQ ⊥ ←→RQ e

←→SQ ⊥ ←→PQ, prove que PQ > QS.


4.8. Na figura 4.19 os planos α e β sao paralelos,←→AB ⊂ β,

←�→CD ⊂ β,

←→AC ⊥ α e

←�→BD ⊥ β.

Demonstre que AD e BC se bissectam (isto e, se encontram em um ponto que e ponto mediode ambos segmentos).


5 Ângulos entre planos

AULA5: ANGULOS ENTRE PLANOS

OBJETIVOSIntroduzir o conceito de angulos entre planos: os diedros. Estudar o perpendicularismoentre planos.

5.1 Introducao

Na aula anterior estudamos um pouco sobre angulos entre retas no espaco, e tambem es-tudamos perpendicularismo entre retas e planos. A proxima etapa e estudar angulos entreretas e planos e angulos entre planos. Veremos que existe um conceito de “angulo” no espacointeiramente analogo ao de angulo no plano, um “angulo” cujos lados sao semiplanos.

5.2 Angulos entre planos: diedros

Em [7] definimos um angulo como um par de semirretas com origem comum. Podemos, demaneira natural, estender este conceito para planos no espaco, isto e, podemos “tridimensi-onalizar” o angulo determinado por semirretas. Chamamos a versao de angulo para planosde diedro, conforme a definicao mais abaixo. De agora em diante, para facilitar a exposicao,indicaremos semiplanos com um sinal de chapeu; por exemplo, α indica um semiplano doplano α.

α

β

l

Figura 5.1

Definicao 5.1. Um diedro1 e a uniao de dois semiplanos com a mesma reta de origem.Dizemos que os semiplanos que determinam o diedro sao suas faces, e a reta comum aossemiplanos a sua aresta.

O diedro determinado pelos semiplanos α e β sera denotado por ∡(α, β), onde α e β saosuas faces.

Um bom modelo de diedro e um livro ou caderno aberto parcialmente. As paginas opos-tas sao suas faces, e a sua aresta e o encontro das mesmas na lombada. Na figura 5.1representamos um diedro formado pelos semiplanos α e β com aresta l.

1A palavra diedro significa “dois lados”, ou “duas faces”, do grego di- = dois, e -edro = cadeira, face.


59AUl A 5: As ÂngUlos entre pl Anos

AULA5: ANGULOS ENTRE PLANOS

OBJETIVOSIntroduzir o conceito de angulos entre planos: os diedros. Estudar o perpendicularismoentre planos.

5.1 Introducao

Na aula anterior estudamos um pouco sobre angulos entre retas no espaco, e tambem es-tudamos perpendicularismo entre retas e planos. A proxima etapa e estudar angulos entreretas e planos e angulos entre planos. Veremos que existe um conceito de “angulo” no espacointeiramente analogo ao de angulo no plano, um “angulo” cujos lados sao semiplanos.

5.2 Angulos entre planos: diedros

Em [7] definimos um angulo como um par de semirretas com origem comum. Podemos, demaneira natural, estender este conceito para planos no espaco, isto e, podemos “tridimensi-onalizar” o angulo determinado por semirretas. Chamamos a versao de angulo para planosde diedro, conforme a definicao mais abaixo. De agora em diante, para facilitar a exposicao,indicaremos semiplanos com um sinal de chapeu; por exemplo, α indica um semiplano doplano α.

α

β

l

Figura 5.1

Definicao 5.1. Um diedro1 e a uniao de dois semiplanos com a mesma reta de origem.Dizemos que os semiplanos que determinam o diedro sao suas faces, e a reta comum aossemiplanos a sua aresta.

O diedro determinado pelos semiplanos α e β sera denotado por ∡(α, β), onde α e β saosuas faces.

Um bom modelo de diedro e um livro ou caderno aberto parcialmente. As paginas opos-tas sao suas faces, e a sua aresta e o encontro das mesmas na lombada. Na figura 5.1representamos um diedro formado pelos semiplanos α e β com aresta l.

1A palavra diedro significa “dois lados”, ou “duas faces”, do grego di- = dois, e -edro = cadeira, face.



Podemos tambem definir regiao diedral de maneira natural (veja o exercıcio 2.1).

Definicao 5.2. A regiao diedral determinada pelo diedro ∡(α, β) e a intersecao do subespaco

determinado pelo plano α no qual se encontra o semiplano β com o subespaco determinadopelo plano β no qual se encontra o semiplano α.

Problema 5.1. Identifique na figura 5.1 a regiao diedral correspondente.

Figura 5.2

Uma pergunta que surge de imediato e: como medir um diedro, ou melhor, como medir a“abertura” de um diedro? Pense novamente num livro aberto como um diedro apoiado pelaparte de baixo numa mesa. Quando voce olha de cima para baixo ve um angulo na mesadeterminado pelas paginas abertas do livro (veja a figura 5.2). Esta e a ideia que podemosusar para medir um diedro. Para descrever este modelo matematicamente tome um diedro∡(α, β) de aresta l e siga os passos abaixo (veja a figura 5.3):

(1) primeiro cortamos as duas faces do diedro com um plano γ perpendicular a reta l;

(2) o plano γ corta α e β em duas semirretas �→a e�→b , respectivamente;

(3) as semirretas �→a e�→b determinam o angulo ∡(�→a ,

�→b ) em γ.

Poderıamos definir a medida de ∡(α, β) como sendo a medida de ∡(�→a ,�→b ) construıdo

acima, mas precisamos garantir que esta medida nao depende da escolha de γ. Na verdade,ja temos este resultado, disfarcado em outro resultado: o teorema 4.1 – veja o teorema aseguir.

β

α

b

a

γ

Figura 5.3

Teorema 5.3. Seja ∡(α, β) um diedro de faces α e β, com aresta l. Sejam γ e γ′ doisplanos perpendiculares a l. Tomemos ainda

γ ∩ α =�→a , γ ∩ β =�→b , γ′ ∩ α =�→a ′, γ′ ∩ β =�→b′.

Entao m(∡(�→a ,�→b )) =m(∡(�→a ′,�→b

′))

Demonstracao. Observe que γ ∥ γ′ (por que?), donde �→a ∥ �→a ′ e �→b ∥ �→b′(por que?).

Logo, pelo teorema 4.1 concluımos que

m(∡(�→a ,�→b )) =m(∡(�→a ′,�→b

′)),

como querıamos.

Problema 5.2. (a) Faca um desenho ilustrando a situacao descrita no enunciado do teo-rema acima.

(b) Justifique os por ques na demonstracao do teorema acima.

Definicao 5.4. Usando as notacoes da figura 5.3, com base na construcao descrita napagina anterior, definimos a medida do diedro ∡(α, β) como sendo

m(∡(α, β)) =m(∡(�→a ,�→b )),

onde

(a) γ e um plano qualquer perpendicular a reta l, aresta do diedro ∡(α, β);

(b) �→a = α ∩ γ e�→b = β ∩ γ.

Agora podemos definir, de maneira natural, diedros retos...

Definicao 5.5. Dizemos que um diedro e reto se sua medida for 90.

... e congruencia de diedros.

Definicao 5.6. Dizemos que dois diedros ∡(α, β) e ∡(α′, β′) sao congruentes, relacaodenotada por

∡(α, β) ≡∡(α′, β′),

se m(∡(α, β)) =m(∡(α′, β′)).

Problema 5.3. Mostre que dois planos determinam quatro diedros dois a dois congruentes(isto e o o analogo aos angulos O.P.V. (opostos pelo vertice) da geometria plana). Emparticular, se um dos diedros for reto, todos o sao tambem.

Finalmente definimos angulos entre planos.

Definicao 5.7. Definimos a medida do angulo entre dois planos α e β, denotada porm(∡(α,β)), como sendo

(a) m(∡(α,β)) = 0, se α ∥ β;

(b) a medida do menor dos diedros por eles determinado, se α e β sao secantes.



Podemos tambem definir regiao diedral de maneira natural (veja o exercıcio 2.1).

Definicao 5.2. A regiao diedral determinada pelo diedro ∡(α, β) e a intersecao do subespaco

determinado pelo plano α no qual se encontra o semiplano β com o subespaco determinadopelo plano β no qual se encontra o semiplano α.

Problema 5.1. Identifique na figura 5.1 a regiao diedral correspondente.

Figura 5.2

Uma pergunta que surge de imediato e: como medir um diedro, ou melhor, como medir a“abertura” de um diedro? Pense novamente num livro aberto como um diedro apoiado pelaparte de baixo numa mesa. Quando voce olha de cima para baixo ve um angulo na mesadeterminado pelas paginas abertas do livro (veja a figura 5.2). Esta e a ideia que podemosusar para medir um diedro. Para descrever este modelo matematicamente tome um diedro∡(α, β) de aresta l e siga os passos abaixo (veja a figura 5.3):

(1) primeiro cortamos as duas faces do diedro com um plano γ perpendicular a reta l;

(2) o plano γ corta α e β em duas semirretas �→a e�→b , respectivamente;

(3) as semirretas �→a e�→b determinam o angulo ∡(�→a ,

�→b ) em γ.

Poderıamos definir a medida de ∡(α, β) como sendo a medida de ∡(�→a ,�→b ) construıdo

acima, mas precisamos garantir que esta medida nao depende da escolha de γ. Na verdade,ja temos este resultado, disfarcado em outro resultado: o teorema 4.1 – veja o teorema aseguir.

β

α

b

a

γ

Figura 5.3

Teorema 5.3. Seja ∡(α, β) um diedro de faces α e β, com aresta l. Sejam γ e γ′ doisplanos perpendiculares a l. Tomemos ainda

γ ∩ α =�→a , γ ∩ β =�→b , γ′ ∩ α =�→a ′, γ′ ∩ β =�→b′.

Entao m(∡(�→a ,�→b )) =m(∡(�→a ′,�→b

′))

Demonstracao. Observe que γ ∥ γ′ (por que?), donde �→a ∥ �→a ′ e �→b ∥ �→b′(por que?).

Logo, pelo teorema 4.1 concluımos que

m(∡(�→a ,�→b )) =m(∡(�→a ′,�→b

′)),

como querıamos.

Problema 5.2. (a) Faca um desenho ilustrando a situacao descrita no enunciado do teo-rema acima.

(b) Justifique os por ques na demonstracao do teorema acima.

Definicao 5.4. Usando as notacoes da figura 5.3, com base na construcao descrita napagina anterior, definimos a medida do diedro ∡(α, β) como sendo

m(∡(α, β)) =m(∡(�→a ,�→b )),

onde

(a) γ e um plano qualquer perpendicular a reta l, aresta do diedro ∡(α, β);

(b) �→a = α ∩ γ e�→b = β ∩ γ.

Agora podemos definir, de maneira natural, diedros retos...

Definicao 5.5. Dizemos que um diedro e reto se sua medida for 90.

... e congruencia de diedros.

Definicao 5.6. Dizemos que dois diedros ∡(α, β) e ∡(α′, β′) sao congruentes, relacaodenotada por

∡(α, β) ≡∡(α′, β′),

se m(∡(α, β)) =m(∡(α′, β′)).

Problema 5.3. Mostre que dois planos determinam quatro diedros dois a dois congruentes(isto e o o analogo aos angulos O.P.V. (opostos pelo vertice) da geometria plana). Emparticular, se um dos diedros for reto, todos o sao tambem.

Finalmente definimos angulos entre planos.

Definicao 5.7. Definimos a medida do angulo entre dois planos α e β, denotada porm(∡(α,β)), como sendo

(a) m(∡(α,β)) = 0, se α ∥ β;

(b) a medida do menor dos diedros por eles determinado, se α e β sao secantes.



5.3 Planos perpendiculares

Uma vez que sabemos medir angulos entre planos podemos, definir o conceito de planosperpendiculares.

Definicao 5.8. Dizemos que dois planos secantes α e β sao perpendiculares, relacao deno-tada por α ⊥ β, se

m(∡(α,β)) = 90.

Apresentamos a seguir uma outra forma, muito util, de caracterizar planos perpendiculares.

Figura 5.4

Teorema 5.9. Dois planos α e β sao perpendiculares entre si se e somente se existir umareta a ⊂ α (respectivamente, uma reta b ⊂ β) tal que a ⊥ β (respectivamente, b ⊥ α).

Demonstracao. Sejam α e β dois planos secantes, e seja l a reta em que se encontram.Facamos a primeira parte: suponhamos que exista a ⊂ α tal que a ⊥ β. Queremos provarque α ⊥ β; para isto vamos seguir os passos abaixo (acompanhe na figura 5.4):

(a) seja P o ponto em que a encontra l; tome a reta r ⊂ β que passa por P e e perpendiculara l;

(b) entao a ⊥ l (por qual hipotese?), e r ⊥ l por construcao; logo o plano γ determinado pora e r e perpendicular a l;

(c) temos ainda que a ⊥ r, pois a ⊥ β; logo a medida de quaisquer dos diedros determinadospor α e β e 90 (por que?), donde α ⊥ β.

Suponhamos agora que α ⊥ β. Podemos construir uma reta a ⊂ α perpendicular a β daseguinte forma (veja novamente a figura 5.4):

(a) tome γ um plano qualquer perpendicular a l;

(b) tome a = α ∩ γ.

Observe que a e, de fato, a reta desejada, pois:

(i) a ⊥ l, ja que a ⊂ γ e γ ⊥ l;

(ii) se r e a reta comum a β e γ entao a ⊥ r, pois estamos supondo que α ⊥ β e a medida dequaisquer dos diedros determinados por α e β e 90, exatamente a medida de quaisquerdos angulos determinados por a e r (reveja a definicao de medida de diedros);

(iii) assim a e perpendicular a duas retas de β, e portanto a ⊥ β.

Problema 5.4. Responda aos por ques da demonstracao acima.

Uma consequencia (indireta) da demonstracao do teorema acima e a propriedade seguinte,apresentada na forma de exemplo.

Exemplo 5.1. Se α ⊥ β e l = α∩ β, entao toda reta r ⊂ α perpendicular a l e perpendiculara β. De fato, seja P o ponto de encontro de l e r, e tome t ⊂ β a reta que passa por Pe e perpendicular a l. Entao o plano γ determinado por r e t e perpendicular a l. Assim,m(∡(r, t)) = 90, pela definicao de perpendicularidade de planos. Logo r ⊥ β. ⊲

Problema 5.5. Complete os detalhes do exemplo acima e faca um desenho que o ilustre.

5.4 Construcao de planos perpendiculares

A caracterizacao do teorema 5.9 permite a construcao de planos perpendiculares, em analogiaa construcao de retas perpendiculares. Explico: vimos que por um dado ponto e uma dadareta (ou dado plano) pode-se tracar uma unica reta perpendicular a reta dada (ou ao planodado). Veremos agora as construcoes analogas a estas no contexto “ponto × plano” e “reta× plano”.

Primeiro observe que por um ponto P passam infinitos planos perpendiculares a um planoα dado: basta tracar por P a reta r perpendicular a α, e todos os planos que contem rsao perpendiculares a α. Analogamente, se r e uma reta perpendicular a α, por r passaminfinitos planos perpendiculares a α, pelo mesmo argumento. Na figura 5.5 representamosestas situacoes.

Figura 5.5



5.3 Planos perpendiculares

Uma vez que sabemos medir angulos entre planos podemos, definir o conceito de planosperpendiculares.

Definicao 5.8. Dizemos que dois planos secantes α e β sao perpendiculares, relacao deno-tada por α ⊥ β, se

m(∡(α,β)) = 90.

Apresentamos a seguir uma outra forma, muito util, de caracterizar planos perpendiculares.

Figura 5.4

Teorema 5.9. Dois planos α e β sao perpendiculares entre si se e somente se existir umareta a ⊂ α (respectivamente, uma reta b ⊂ β) tal que a ⊥ β (respectivamente, b ⊥ α).

Demonstracao. Sejam α e β dois planos secantes, e seja l a reta em que se encontram.Facamos a primeira parte: suponhamos que exista a ⊂ α tal que a ⊥ β. Queremos provarque α ⊥ β; para isto vamos seguir os passos abaixo (acompanhe na figura 5.4):

(a) seja P o ponto em que a encontra l; tome a reta r ⊂ β que passa por P e e perpendiculara l;

(b) entao a ⊥ l (por qual hipotese?), e r ⊥ l por construcao; logo o plano γ determinado pora e r e perpendicular a l;

(c) temos ainda que a ⊥ r, pois a ⊥ β; logo a medida de quaisquer dos diedros determinadospor α e β e 90 (por que?), donde α ⊥ β.

Suponhamos agora que α ⊥ β. Podemos construir uma reta a ⊂ α perpendicular a β daseguinte forma (veja novamente a figura 5.4):

(a) tome γ um plano qualquer perpendicular a l;

(b) tome a = α ∩ γ.

Observe que a e, de fato, a reta desejada, pois:

(i) a ⊥ l, ja que a ⊂ γ e γ ⊥ l;

(ii) se r e a reta comum a β e γ entao a ⊥ r, pois estamos supondo que α ⊥ β e a medida dequaisquer dos diedros determinados por α e β e 90, exatamente a medida de quaisquerdos angulos determinados por a e r (reveja a definicao de medida de diedros);

(iii) assim a e perpendicular a duas retas de β, e portanto a ⊥ β.

Problema 5.4. Responda aos por ques da demonstracao acima.

Uma consequencia (indireta) da demonstracao do teorema acima e a propriedade seguinte,apresentada na forma de exemplo.

Exemplo 5.1. Se α ⊥ β e l = α∩ β, entao toda reta r ⊂ α perpendicular a l e perpendiculara β. De fato, seja P o ponto de encontro de l e r, e tome t ⊂ β a reta que passa por Pe e perpendicular a l. Entao o plano γ determinado por r e t e perpendicular a l. Assim,m(∡(r, t)) = 90, pela definicao de perpendicularidade de planos. Logo r ⊥ β. ⊲

Problema 5.5. Complete os detalhes do exemplo acima e faca um desenho que o ilustre.

5.4 Construcao de planos perpendiculares

A caracterizacao do teorema 5.9 permite a construcao de planos perpendiculares, em analogiaa construcao de retas perpendiculares. Explico: vimos que por um dado ponto e uma dadareta (ou dado plano) pode-se tracar uma unica reta perpendicular a reta dada (ou ao planodado). Veremos agora as construcoes analogas a estas no contexto “ponto × plano” e “reta× plano”.

Primeiro observe que por um ponto P passam infinitos planos perpendiculares a um planoα dado: basta tracar por P a reta r perpendicular a α, e todos os planos que contem rsao perpendiculares a α. Analogamente, se r e uma reta perpendicular a α, por r passaminfinitos planos perpendiculares a α, pelo mesmo argumento. Na figura 5.5 representamosestas situacoes.

Figura 5.5



Vejamos agora o caso mais interessante.

Teorema 5.10. Sejam dados um plano α e uma reta r nao perpendicular a α. Entao existeum unico plano perpendicular a α passando por r.

Demonstracao. A construcao e bem simples: tome um ponto P ∈ r qualquer, e por Ptrace a reta t perpendicular a α. O plano β determinado por r e t e o plano procurado (vejaa figura 5.6), pois:

(i) r ⊂ β por construcao;

(ii) β ⊥ α, pois t ⊂ β e uma reta perpendicular a α por construcao.

Figura 5.6

A unicidade tambem e simples: suponha que exista um outro plano β′ passando por r eperpendicular a α, e seja l′ = β′ ∩ α. Certamente l′ /⊂ β pois, caso contrario, β = β′. Tomet′ ⊂ β′ uma reta passando por P e perpendicular a l′. Pelo exemplo 5.1 temos que t′ ⊥ α, umacontradicao, ja que por P nao podem passar duas perpendiculares a α. Logo β e unico.

Problema 5.6. Na figura 5.6 representamos o teorema acima no caso em que a reta r e oplano α sao concorrentes. Faca desenhos que representem a situacao nos casos em que:

(a) r ∥ α;

(b) r ⊂ α.

5.5 Alguns problemas resolvidos

Vejamos agora alguns probleminhas interessantes.

Problema 5.7. Sejam α e β dois planos perpendiculares entre si. Seja r uma reta perpen-dicular a β. Prove que ou r ⊂ α ou r ∥ α.

Solucao. Como α ⊥ β, entao existe uma reta t ⊂ α perpendicular a β (teorema 5.9). Temosduas possibilidades:

(i) r e t possuem um ponto P em comum: neste caso r = t pois, caso contrario, terıamosduas retas passando por P e perpendiculares a β. Entao r ⊂ α.

(ii) r e t nao possuem pontos em comum: neste caso, pelo teorema 4.6 temos que r ∥ t,donde r ∥ α.

Problema 5.8. Faca desenhos que ilustrem o problema anterior.

Problema 5.9. Prove que se α, β e γ sao planos tais que α ∥ β e β ⊥ γ entao α ⊥ γ.

Figura 5.7

Solucao. Como β ⊥ γ, entao existe uma reta r ⊂ β tal que r ⊥ γ. Seja r′ ⊂ α uma retaparalela a r. Entao r′ ⊥ γ pelo teorema 4.5. Logo, pelo criterio estabelecido no teorema 5.9,temos que α ⊥ γ (veja a figura 5.7).

Figura 5.8

Problema 5.10. Prove que se r e s sao duas retas reversas, entao existe uma unica reta tperpendicular a ambas.



Vejamos agora o caso mais interessante.

Teorema 5.10. Sejam dados um plano α e uma reta r nao perpendicular a α. Entao existeum unico plano perpendicular a α passando por r.

Demonstracao. A construcao e bem simples: tome um ponto P ∈ r qualquer, e por Ptrace a reta t perpendicular a α. O plano β determinado por r e t e o plano procurado (vejaa figura 5.6), pois:

(i) r ⊂ β por construcao;

(ii) β ⊥ α, pois t ⊂ β e uma reta perpendicular a α por construcao.

Figura 5.6

A unicidade tambem e simples: suponha que exista um outro plano β′ passando por r eperpendicular a α, e seja l′ = β′ ∩ α. Certamente l′ /⊂ β pois, caso contrario, β = β′. Tomet′ ⊂ β′ uma reta passando por P e perpendicular a l′. Pelo exemplo 5.1 temos que t′ ⊥ α, umacontradicao, ja que por P nao podem passar duas perpendiculares a α. Logo β e unico.

Problema 5.6. Na figura 5.6 representamos o teorema acima no caso em que a reta r e oplano α sao concorrentes. Faca desenhos que representem a situacao nos casos em que:

(a) r ∥ α;

(b) r ⊂ α.

5.5 Alguns problemas resolvidos

Vejamos agora alguns probleminhas interessantes.

Problema 5.7. Sejam α e β dois planos perpendiculares entre si. Seja r uma reta perpen-dicular a β. Prove que ou r ⊂ α ou r ∥ α.

Solucao. Como α ⊥ β, entao existe uma reta t ⊂ α perpendicular a β (teorema 5.9). Temosduas possibilidades:

(i) r e t possuem um ponto P em comum: neste caso r = t pois, caso contrario, terıamosduas retas passando por P e perpendiculares a β. Entao r ⊂ α.

(ii) r e t nao possuem pontos em comum: neste caso, pelo teorema 4.6 temos que r ∥ t,donde r ∥ α.

Problema 5.8. Faca desenhos que ilustrem o problema anterior.

Problema 5.9. Prove que se α, β e γ sao planos tais que α ∥ β e β ⊥ γ entao α ⊥ γ.

Figura 5.7

Solucao. Como β ⊥ γ, entao existe uma reta r ⊂ β tal que r ⊥ γ. Seja r′ ⊂ α uma retaparalela a r. Entao r′ ⊥ γ pelo teorema 4.5. Logo, pelo criterio estabelecido no teorema 5.9,temos que α ⊥ γ (veja a figura 5.7).

Figura 5.8

Problema 5.10. Prove que se r e s sao duas retas reversas, entao existe uma unica reta tperpendicular a ambas.



Solucao. A propriedade fundamental para lidar com retas reversas e a descrita no pro-blema 3.9: existem dois planos α e β, unicos, tais que α ∥ β e r ⊂ α, s ⊂ β. Usando este fatovamos construir uma reta perpendicular a r e s, seguindo os passos abaixo (acompanhe nafigura 5.8):

(a) Tome γ o plano que passa por r e e perpendicular a β. Entao, pelo problema anterior,α ⊥ γ.

(b) Observe em seguida que s e secante a γ. De fato, se s ⊂ γ ou se s ∥ γ entao terıamoss ∥ r, o que nao e possıvel.

(c) Pelo ponto P em que s encontra γ trace a reta t perpendicular a α.

A reta t e a reta procurada. De fato, temos que t ⊂ γ pelo problema 5.7 (complete osdetalhes!); logo t e r sao secantes pois estao contidas no mesmo plano e nao sao paralelas.Finalmente, como t ⊥ α entao, em particular, t ⊥ r.Resta mostrar a unicidade. Suponha que exista outra reta t′ perpendicular a r e s. Observeque t′ ⊥ α (veja o problema a seguir), donde t′ ∥ t, pelo teorema 4.6. Seja δ o planodeterminado por t e t′. Como r e concorrente a t e t′, entao r ⊂ δ; analogamente s ⊂ δ. Ora,isto e uma contradicao, pois r e s sao reversas e portanto nao podem pertencer a um mesmoplano. Logo nao pode haver outra reta perpendicular a r e s alem de t.

Problema 5.11. Sejam r e s duas retas reversas. Sejam α o plano passando por r e paraleloa s. Se t e uma reta perpendicular simultaneamente a r e s mostre que t ⊥ α. (Sugestao: ser ∩ t = {P}, tome s′ a reta paralela a s passando por P e mostre que t ⊥ s′.)



Solucao. A propriedade fundamental para lidar com retas reversas e a descrita no pro-blema 3.9: existem dois planos α e β, unicos, tais que α ∥ β e r ⊂ α, s ⊂ β. Usando este fatovamos construir uma reta perpendicular a r e s, seguindo os passos abaixo (acompanhe nafigura 5.8):

(a) Tome γ o plano que passa por r e e perpendicular a β. Entao, pelo problema anterior,α ⊥ γ.

(b) Observe em seguida que s e secante a γ. De fato, se s ⊂ γ ou se s ∥ γ entao terıamoss ∥ r, o que nao e possıvel.

(c) Pelo ponto P em que s encontra γ trace a reta t perpendicular a α.

A reta t e a reta procurada. De fato, temos que t ⊂ γ pelo problema 5.7 (complete osdetalhes!); logo t e r sao secantes pois estao contidas no mesmo plano e nao sao paralelas.Finalmente, como t ⊥ α entao, em particular, t ⊥ r.Resta mostrar a unicidade. Suponha que exista outra reta t′ perpendicular a r e s. Observeque t′ ⊥ α (veja o problema a seguir), donde t′ ∥ t, pelo teorema 4.6. Seja δ o planodeterminado por t e t′. Como r e concorrente a t e t′, entao r ⊂ δ; analogamente s ⊂ δ. Ora,isto e uma contradicao, pois r e s sao reversas e portanto nao podem pertencer a um mesmoplano. Logo nao pode haver outra reta perpendicular a r e s alem de t.

Problema 5.11. Sejam r e s duas retas reversas. Sejam α o plano passando por r e paraleloa s. Se t e uma reta perpendicular simultaneamente a r e s mostre que t ⊥ α. (Sugestao: ser ∩ t = {P}, tome s′ a reta paralela a s passando por P e mostre que t ⊥ s′.)

5.6 Exercıcios

5.1. Sejam A e B dois pontos e α um plano. Prove que sempre existe um plano γ passandopor A e B e perpendicular a α. Em que situacao este plano e unico?

5.2. Mostre que se um plano α contem uma reta perpendicular a outro plano β, entao βcontem uma reta perpendicular a α.

5.3. Sejam α e β dois planos que se cortam em uma reta l. Prove que γ e um planoperpendicular a α e β simultaneamente se e so se γ ⊥ l.

5.4. Podemos definir diedros alternos internos de maneira analoga a definicao de angulosalternos internos. Escreva uma definicao para este conceito e marque na figura 5.9, onde osplanos α e β sao paralelos, os pares de diedros alternos internos formados. Demonstre quedois diedros alternos internos sao congruentes entre si.

Figura 5.9: – Exercıcio 5.4 Figura 5.10: – Exercıcio 5.5

5.5. Na figura 5.10 os planos α e β sao perpendiculares entre si, e os triangulos △ACD e△CBD sao isosceles, com base CD e congruentes. Alem disso M e ponto medio de AB eN e ponto medio de CD. Mostre que

(a) MN ⊥ AB e

(b) MN ⊥ CD.

(Sugestao: mostre que AN ≡ NB e CM ≡MD.)

5.6. Sejam r e s duas retas reversas. Sejam α e β planos paralelos contendo r e s, respec-tivamente. Sejam δ o plano passando por r e perpendicular a β, e γ o plano passando por se perpendicular a α. Mostre que t = δ ∩ γ e a reta perpendicular a r e s que foi apresentadano problema 5.10.

5.7. Sejam α e β dois planos concorrentes, e r ⊥ α, s ⊥ β duas retas. Mostre quem(∡(α,β)) =m(∡(r, s)).


6 Lugares geométricos e poliedros

AULA6: LUGARES GEOMETRICOS E POLIEDROS

OBJETIVOSIntroduzir o conceito de distancias entre ponto e retas ou planos, entre retas, entre retase planos, e entre planos. Apresentar alguns lugares geometricos no espaco. Introduzir oconceito de poliedros e apresentar alguns exemplos destas figuras, como prismas e piramides.

6.1 Introducao

Nesta aula estudaremos alguns lugares geometricos no espaco e apresentaremos alguns obje-tos geometricos que muitos ja conhecem: os poliedros. Comecaremos estudando o conceitode distancia no espaco: distancia entre pontos e retas, entre pontos e planos, entre retase planos, e entre planos. Em seguida apresentaremos alguns lugares geometricos, como osplanos bissetores (o equivalente a bissetrizes de angulos planos). Terminamos a aula com oestudo de poliedros, focando nos mais basicos: paralelepıpedos, cubos, prismas em geral, epiramides.

6.2 Distancias

Quando estudamos geometria plana vimos o conceito de distancia entre pontos, distancia deponto a reta e distancia entre retas. No espaco temos mais algumas entidades a introduzirnesta lista: distancia de ponto a plano, distancia de reta a plano e distancia entre planos.Vamos ver isto nesta secao.

Primeiro recordemos as definicoes de distancia entre ponto e reta:

Definicao 6.1. Definimos a distancia entre um ponto A e uma reta r como o numerodist(A, r) satisfazendo as seguintes propriedades:

(a) se A ∈ r entao dist(A, r) = 0;

(b) se A /∈ r entao dist(A, r) = AP , onde P e o pe da reta perpendicular a r passando porA.

Lembramos ainda que esta definicao e natural, pois e facil de ver que se A /∈ r entaodist(A, r) < AQ para todo ponto Q ∈ r distinto de P . A definicao de distancia entre pontoe plano e inteiramente analoga:

Definicao 6.2. Definimos a distancia entre um ponto A e um plano α como o numerodist(A,α) satisfazendo as seguintes propriedades:

(a) se A ∈ α entao dist(A,α) = 0;

(b) se A /∈ α entao dist(A,α) = AP , onde P e o pe da reta perpendicular a α passando porA.

A propriedade que garante a “naturalidade” desta definicao e a mesma que garante a na-turalidade da definicao de distancia entre ponto e reta: se A /∈ α e Q ∈ α e distinto de P ,entao AP < AQ. A demonstracao disto e inteiramente analoga a do caso entre ponto e reta,e deixamos como um problema:


69AUl A 6: lUgAres geométricos e poliedros

AULA6: LUGARES GEOMETRICOS E POLIEDROS

OBJETIVOSIntroduzir o conceito de distancias entre ponto e retas ou planos, entre retas, entre retase planos, e entre planos. Apresentar alguns lugares geometricos no espaco. Introduzir oconceito de poliedros e apresentar alguns exemplos destas figuras, como prismas e piramides.

6.1 Introducao

Nesta aula estudaremos alguns lugares geometricos no espaco e apresentaremos alguns obje-tos geometricos que muitos ja conhecem: os poliedros. Comecaremos estudando o conceitode distancia no espaco: distancia entre pontos e retas, entre pontos e planos, entre retase planos, e entre planos. Em seguida apresentaremos alguns lugares geometricos, como osplanos bissetores (o equivalente a bissetrizes de angulos planos). Terminamos a aula com oestudo de poliedros, focando nos mais basicos: paralelepıpedos, cubos, prismas em geral, epiramides.

6.2 Distancias

Quando estudamos geometria plana vimos o conceito de distancia entre pontos, distancia deponto a reta e distancia entre retas. No espaco temos mais algumas entidades a introduzirnesta lista: distancia de ponto a plano, distancia de reta a plano e distancia entre planos.Vamos ver isto nesta secao.

Primeiro recordemos as definicoes de distancia entre ponto e reta:

Definicao 6.1. Definimos a distancia entre um ponto A e uma reta r como o numerodist(A, r) satisfazendo as seguintes propriedades:

(a) se A ∈ r entao dist(A, r) = 0;

(b) se A /∈ r entao dist(A, r) = AP , onde P e o pe da reta perpendicular a r passando porA.

Lembramos ainda que esta definicao e natural, pois e facil de ver que se A /∈ r entaodist(A, r) < AQ para todo ponto Q ∈ r distinto de P . A definicao de distancia entre pontoe plano e inteiramente analoga:

Definicao 6.2. Definimos a distancia entre um ponto A e um plano α como o numerodist(A,α) satisfazendo as seguintes propriedades:

(a) se A ∈ α entao dist(A,α) = 0;

(b) se A /∈ α entao dist(A,α) = AP , onde P e o pe da reta perpendicular a α passando porA.

A propriedade que garante a “naturalidade” desta definicao e a mesma que garante a na-turalidade da definicao de distancia entre ponto e reta: se A /∈ α e Q ∈ α e distinto de P ,entao AP < AQ. A demonstracao disto e inteiramente analoga a do caso entre ponto e reta,e deixamos como um problema:



Figura 6.1

Problema 6.1. Sejam A, α e P como na definicao 6.2, com A /∈ α. Mostre que dist(A,α) =AP < AQ para todo ponto Q ∈ α distinto de P . (Sugestao: na figura 6.1 o triangulo △APQe retangulo)

Passemos agora ao estudo de distancia entre planos. Lembremos a definicao de distanciaentre retas num plano:

Definicao 6.3. A distancia entre duas retas r e s coplanares e o numero dist(r, s) definidoda seguinte maneira:

(i) dist(r, s) = 0 se r e s sao concorrentes;

(ii) dist(r, s) = dist(A, s) para algum ponto A ∈ r, se r e s sao paralelas.

Traduzimos facilmente esta definicao para o caso de distancia entre planos:

Definicao 6.4. A distancia entre dois planos α e β e o numero dist(α,β) definido daseguinte maneira:

(i) dist(α,β) = 0 se α e β sao concorrentes;

(ii) dist(α,β) = dist(A,β) para algum ponto A ∈ α, se α e β sao paralelos.

Figura 6.2

A propriedade que garante que a definicao acima e “boa”, isto e, que tem um sentidoadequado, e a propriedade descrita no problema seguinte, inteiramente analoga a que garanteo bom sentido da definicao 6.3 (veja [7]).

Problema 6.2. Sejam α e β dois planos paralelos entre si. Mostre que

dist(A,β) = dist(B,β)

para quaisquer pontos A e B de α. (Sugestao: Na figura 6.2 temos que AP e BQ saoperpendiculares a β, donde AP ∥ BQ. Mostre que ◻APQB e um retangulo e conclua.)

O leitor atento deve ter percebido que “pulamos” a definicao de distancia entre retas naocoplanares. Bem, o fato e que fica mais facil falar disto depois de introduzir o conceito dedistancia entre planos, por causa das retas reversas. Sim, como todos devem se lembrar, noespaco temos retas concorrentes, paralelas e reversas, e a definicao 6.3 sobre apenas os casosem que as retas sao coplanares (ou seja, quando sao concorrentes ou paralelas).

E como definir distancia entre retas reversas? Ora, seguindo a mesma forma de pensarque usamos ate agora para definir distancia entre varios elementos no plano e no espaco,poderıamos usar o resultado do problema resolvido 5.10: se r e s sao retas reversas entaoexiste uma unica reta t perpendicular a ambas. Mas usar isto em que sentido? Bem, vejaprimeiro o resultado seguinte:

Teorema 6.5. Sejam r e s duas retas reversas. Seja t a unica reta perpendicular a ambas.Tome t ∩ r = {R} e t ∩ s = {S}. Entao RS ≤ PQ para quaisquer pontos P ∈ r e Q ∈ s.

Figura 6.3

Demonstracao. Este resultado e uma consequencia direta do problema 6.1. Acompanhea demonstracao na figura 6.3 para o caso em que P ≠ R e Q ≠ S: sejam α e β os planos

paralelos contendo r e s, respectivamente (lembram-se?). Tome l a reta paralela a←→PQ

passando por R e seja Q′ o ponto em que l encontra β. Ora, e facil ver que RS = dist(α,β)donde, pelo problema 6.1, concluımos que

RS = dist(α,β) < RQ′ = PQ.

Problema 6.3. Prove o teorema acima para os casos que faltam: P e/ou Q coincidentescom R e/ou S.

O teorema 6.5 nos diz que a “menor distancia” entre duas retas reversas r e s e atingidajustamente nos pontos que determinam a (unica) reta perpendicular a elas, e vimos nademonstracao do teorema anterior que a distancia entre esses pontos e a distancia entre osplanos paralelos que contem r e s. Com estes dados podemos, finalmente, definir a distanciaentre retas no espaco:



Figura 6.1

Problema 6.1. Sejam A, α e P como na definicao 6.2, com A /∈ α. Mostre que dist(A,α) =AP < AQ para todo ponto Q ∈ α distinto de P . (Sugestao: na figura 6.1 o triangulo △APQe retangulo)

Passemos agora ao estudo de distancia entre planos. Lembremos a definicao de distanciaentre retas num plano:

Definicao 6.3. A distancia entre duas retas r e s coplanares e o numero dist(r, s) definidoda seguinte maneira:


(ii) dist(r, s) = dist(A, s) para algum ponto A ∈ r, se r e s sao paralelas.

Traduzimos facilmente esta definicao para o caso de distancia entre planos:

Definicao 6.4. A distancia entre dois planos α e β e o numero dist(α,β) definido daseguinte maneira:

(i) dist(α,β) = 0 se α e β sao concorrentes;

(ii) dist(α,β) = dist(A,β) para algum ponto A ∈ α, se α e β sao paralelos.

Figura 6.2

A propriedade que garante que a definicao acima e “boa”, isto e, que tem um sentidoadequado, e a propriedade descrita no problema seguinte, inteiramente analoga a que garanteo bom sentido da definicao 6.3 (veja [7]).

Problema 6.2. Sejam α e β dois planos paralelos entre si. Mostre que

dist(A,β) = dist(B,β)

para quaisquer pontos A e B de α. (Sugestao: Na figura 6.2 temos que AP e BQ saoperpendiculares a β, donde AP ∥ BQ. Mostre que ◻APQB e um retangulo e conclua.)

O leitor atento deve ter percebido que “pulamos” a definicao de distancia entre retas naocoplanares. Bem, o fato e que fica mais facil falar disto depois de introduzir o conceito dedistancia entre planos, por causa das retas reversas. Sim, como todos devem se lembrar, noespaco temos retas concorrentes, paralelas e reversas, e a definicao 6.3 sobre apenas os casosem que as retas sao coplanares (ou seja, quando sao concorrentes ou paralelas).

E como definir distancia entre retas reversas? Ora, seguindo a mesma forma de pensarque usamos ate agora para definir distancia entre varios elementos no plano e no espaco,poderıamos usar o resultado do problema resolvido 5.10: se r e s sao retas reversas entaoexiste uma unica reta t perpendicular a ambas. Mas usar isto em que sentido? Bem, vejaprimeiro o resultado seguinte:

Teorema 6.5. Sejam r e s duas retas reversas. Seja t a unica reta perpendicular a ambas.Tome t ∩ r = {R} e t ∩ s = {S}. Entao RS ≤ PQ para quaisquer pontos P ∈ r e Q ∈ s.

Figura 6.3

Demonstracao. Este resultado e uma consequencia direta do problema 6.1. Acompanhea demonstracao na figura 6.3 para o caso em que P ≠ R e Q ≠ S: sejam α e β os planos

paralelos contendo r e s, respectivamente (lembram-se?). Tome l a reta paralela a←→PQ

passando por R e seja Q′ o ponto em que l encontra β. Ora, e facil ver que RS = dist(α,β)donde, pelo problema 6.1, concluımos que

RS = dist(α,β) < RQ′ = PQ.

Problema 6.3. Prove o teorema acima para os casos que faltam: P e/ou Q coincidentescom R e/ou S.

O teorema 6.5 nos diz que a “menor distancia” entre duas retas reversas r e s e atingidajustamente nos pontos que determinam a (unica) reta perpendicular a elas, e vimos nademonstracao do teorema anterior que a distancia entre esses pontos e a distancia entre osplanos paralelos que contem r e s. Com estes dados podemos, finalmente, definir a distanciaentre retas no espaco:



Definicao 6.6. A distancia entre duas retas r e s no espaco e o numero dist(r, s) definidoda seguinte maneira:


(ii) dist(r, s) = dist(A, s) para algum ponto A ∈ r, se r ∥ s;

(iii) dist(r, s) = dist(α,β) se r e s sao reversas, onde α e β sao os unicos planos paralelospassando por r e s, respectivamente.

6.3 Planos bissetores

Na aula anterior discutimos a ideia de diedros, os “angulos espaciais”. Estes objetos possuemdiversas propriedades analogas as de angulos planos, e ja vimos algumas. Apresentaremosagora o objeto analogo as bissetrizes de angulos planos: os planos bissetores. Acompanhe aseguinte construcao na figura 6.4:

α

βσ

b

a

s

γ

l

Figura 6.4

(a) Considere o diedro ∡(α, β) com aresta l.

(b) Tome γ um plano perpendicular a l.

(c) O plano γ corta α em uma semirreta �→a e β em uma semirreta�→b , formando o angulo

∡(�→a ,�→b ).

(d) Seja s a bissetriz de ∡(�→a ,�→b ); observe que s ⊂ γ.

(e) Seja σ o plano determinado por s e l, e designemos por σ o semiplano de σ contido na

regiao diedral determinada por ∡(α, β), com origem em l.

Entao e facil verificar quem(∡(α, σ)) =m(∡(β, σ)).

Problema 6.4. Mostre que a igualdade acima e, de fato, verdadeira.

Definicao 6.7. Com a notacao da figura 6.4 e as condicoes descritas acima, definimos oplano σ como sendo o plano bissetor do diedro ∡(α, β).

Figura 6.5

Para finalizar a secao apresentamos uma propriedade interessante dos planos bissetores.

Observe a figura 6.5. Os planos concorrentes α e β determinam 4 diedros, dois a doiscongruentes:

∡(α1, β1) ≡∡(α2, β2) e ∡(α1, β2) ≡∡(α2, β1).

O plano σ1 e o plano bissetor de ∡(α1, β1) e ∡(α2, β2), e σ2 e o plano bissetor de ∡(α1, β2)e ∡(α2, β1). A propriedade que queremos mostrar e a seguinte:

Problema 6.5. Seguindo a notacao da figura 6.5, mostre que σ1 ⊥ σ2.

Solucao. Esta propriedade e inteiramente analoga a relativa a bissetrizes de angulos: duasretas concorrentes no plano determinam quatro angulos, congruentes dois a dois (sao angulosO.P.V.), e as duas bissetrizes sao perpendiculares (reveja o resultado em qualquer livro sobregeometria plana). Para demonstrar o resultado no caso de diedros, reduzimos ao caso noplano: tome γ um plano perpendicular a reta l = α ∩ β. O plano γ corta os planos α eβ em duas retas a e b, respectivamente; e corta os planos σ1 e σ2 em duas retas s1 e s2,respectivamente (veja a figura 6.6).

Figura 6.6

Da definicao de medidas de angulos diedros temos que σ1 ⊥ σ2 se somente se s1 ⊥ s2. Masesta ultima relacao e verdadeira, ja que s1 e s2 sao bissetrizes dos angulos formados por a eb.



Definicao 6.6. A distancia entre duas retas r e s no espaco e o numero dist(r, s) definidoda seguinte maneira:


(ii) dist(r, s) = dist(A, s) para algum ponto A ∈ r, se r ∥ s;

(iii) dist(r, s) = dist(α,β) se r e s sao reversas, onde α e β sao os unicos planos paralelospassando por r e s, respectivamente.

6.3 Planos bissetores

Na aula anterior discutimos a ideia de diedros, os “angulos espaciais”. Estes objetos possuemdiversas propriedades analogas as de angulos planos, e ja vimos algumas. Apresentaremosagora o objeto analogo as bissetrizes de angulos planos: os planos bissetores. Acompanhe aseguinte construcao na figura 6.4:

α

βσ

b

a

s

γ

l

Figura 6.4

(a) Considere o diedro ∡(α, β) com aresta l.

(b) Tome γ um plano perpendicular a l.

(c) O plano γ corta α em uma semirreta �→a e β em uma semirreta�→b , formando o angulo

∡(�→a ,�→b ).

(d) Seja s a bissetriz de ∡(�→a ,�→b ); observe que s ⊂ γ.

(e) Seja σ o plano determinado por s e l, e designemos por σ o semiplano de σ contido na

regiao diedral determinada por ∡(α, β), com origem em l.

Entao e facil verificar quem(∡(α, σ)) =m(∡(β, σ)).

Problema 6.4. Mostre que a igualdade acima e, de fato, verdadeira.

Definicao 6.7. Com a notacao da figura 6.4 e as condicoes descritas acima, definimos oplano σ como sendo o plano bissetor do diedro ∡(α, β).

Figura 6.5

Para finalizar a secao apresentamos uma propriedade interessante dos planos bissetores.

Observe a figura 6.5. Os planos concorrentes α e β determinam 4 diedros, dois a doiscongruentes:

∡(α1, β1) ≡∡(α2, β2) e ∡(α1, β2) ≡∡(α2, β1).

O plano σ1 e o plano bissetor de ∡(α1, β1) e ∡(α2, β2), e σ2 e o plano bissetor de ∡(α1, β2)e ∡(α2, β1). A propriedade que queremos mostrar e a seguinte:

Problema 6.5. Seguindo a notacao da figura 6.5, mostre que σ1 ⊥ σ2.

Solucao. Esta propriedade e inteiramente analoga a relativa a bissetrizes de angulos: duasretas concorrentes no plano determinam quatro angulos, congruentes dois a dois (sao angulosO.P.V.), e as duas bissetrizes sao perpendiculares (reveja o resultado em qualquer livro sobregeometria plana). Para demonstrar o resultado no caso de diedros, reduzimos ao caso noplano: tome γ um plano perpendicular a reta l = α ∩ β. O plano γ corta os planos α eβ em duas retas a e b, respectivamente; e corta os planos σ1 e σ2 em duas retas s1 e s2,respectivamente (veja a figura 6.6).

Figura 6.6

Da definicao de medidas de angulos diedros temos que σ1 ⊥ σ2 se somente se s1 ⊥ s2. Masesta ultima relacao e verdadeira, ja que s1 e s2 sao bissetrizes dos angulos formados por a eb.



6.4 Alguns lugares geometricos

Nesta secao vamos apresentar alguns lugares geometricos. Lembramos que um lugar geometricoe, em termo simples, o conjuntos dos pontos (agora no espaco) que satisfazem a alguma pro-priedade preestabelecida. Comecamos mostrando que os planos bissetores sao, em verdade,lugares geometricos, assim como as bissetrizes no plano (reveja o assunto em algum livro degeometria plana, como [7]).

Problema 6.6. Seguindo as notacoes da figura 6.5, mostre que o lugar geometrico dospontos equidistantes de α e β e justamente a uniao dos planos bissetores σ1 e σ2.

Solucao. Novamente uma propriedade analoga a de bissetrizes, que recordamos aqui: olugar geometrico dos pontos equidistantes de duas retas concorrentes e justamente a uniaodas bissetrizes dos angulos por elas formados. E a tatica para resolver o problema e a mesmado problema anterior: reduzi-lo ao caso plano.

Figura 6.7

Primeiro provemos que se P ∈ σ1 ∪ σ2 entao dist(P,α) = dist(P,β). Sem perda de generali-dade, tomemos P ∈ σ1. Seja γ o plano passando por P e perpendicular a reta l, na qual secortam os planos α e β. Usando as notacoes do problema 6.5, tomamos

a = γ ∩ α, b = γ ∩ β, s1 = γ ∩ σ1 e s2 = γ ∩ σ2.

Sejam G ∈ a e H ∈ b tais que PG ⊥ a e PH ⊥ b. Temos que, como γ ⊥ α e γ ⊥ β, entao ←→PG ⊂ γe←�→PH ⊂ γ. Reduzimos assim o problema ao caso de um angulo plano. A situacao e ilustrada

na figura 6.7, onde representamos o plano γ e os elementos acima descritos. Observe que s1e a bissetriz de um dos angulos determinados por a e b, e que

dist(P,α) = PG, dist(P,β) = PH,

donde, pelo resultado ja conhecido num plano, PG = PH, ou seja,

dist(P,α) = dist(P,β).

Passemos a recıproca, isto e, provemos que se P e um ponto equidistante de α e β, entaoP ∈ σ1 ∪ σ2. Primeiro observe que P deve pertencer a alguma das quatro regioes diedraisdeterminadas por α e β (em outras palavras, P nao pode pertencer a nenhum dos doisplanos – justifique esta afirmacao). Tome entao o plano γ passando por P e perpendicular

a l, e sejam G ∈ α, H ∈ β tais que←→PG ⊥ α e

←�→PH ⊥ β. Pelo mesmo argumento apresentado

mais acima temos que←�→PH e

←→PG estao contidas em γ. Entao

PG = dist(P,α) = dist(P,β) = PH.

Mas PG = dist(P, a) e PH = dist(P, b) donde, pelos fatos ja demonstrados para o plano,vemos que P pertence a alguma das duas bissetrizes dos angulos determinados por a e b noplano γ (voce pode visualizar a situacao na figura 6.7). Em outras palavras, P ∈ s1 ∪ s2, ouseja, P ∈ σ1 ∪ σ2.

O proximo lugar geometrico que apresentaremos e o analogo a mediatriz de um segmento.

Problema 6.7. Mostre que o lugar geometrico dos pontos equidistantes de pois pontos P eQ dados e o plano µ perpendicular a PQ, passando pelo ponto medio M deste segmento.

Solucao. Primeiro vamos mostrar que os pontos de µ sao equidistantes de P e Q. TomeN ∈ µ distinto de M . Observe que os triangulos △NMP e △NMQ sao congruentes pelocriterio LAL, pois (veja a figura 6.8):

(i) PM ≡ QM , ja que M e ponto medio de PQ;

(ii) sao retangulos em M , ja que µ ⊥ PQ; e

(iii) MN e um lado comum.

Entao NP ≡ NQ, ou seja, N e equidistante de P e Q.

Seja agora X um ponto equidistante de P e Q. Queremos provar que X ∈ µ (esta e arecıproca da afirmacao anterior). Se X = M entao X ∈ µ por definicao. Suponhamos queX ≠ M . Neste caso os triangulos △XMP e △XMQ sao congruentes pelo criterio LLL(verifique!) donde, em particular,

∡XMP ≡∡XMQ,

ou seja, ∡XMP e reto. Logo X ∈ µ (por que?).

Figura 6.8

Definicao 6.8. O plano perpendicular a um dado segmento em seu ponto medio e chamadode plano mediador do segmento.



6.4 Alguns lugares geometricos

Nesta secao vamos apresentar alguns lugares geometricos. Lembramos que um lugar geometricoe, em termo simples, o conjuntos dos pontos (agora no espaco) que satisfazem a alguma pro-priedade preestabelecida. Comecamos mostrando que os planos bissetores sao, em verdade,lugares geometricos, assim como as bissetrizes no plano (reveja o assunto em algum livro degeometria plana, como [7]).

Problema 6.6. Seguindo as notacoes da figura 6.5, mostre que o lugar geometrico dospontos equidistantes de α e β e justamente a uniao dos planos bissetores σ1 e σ2.

Solucao. Novamente uma propriedade analoga a de bissetrizes, que recordamos aqui: olugar geometrico dos pontos equidistantes de duas retas concorrentes e justamente a uniaodas bissetrizes dos angulos por elas formados. E a tatica para resolver o problema e a mesmado problema anterior: reduzi-lo ao caso plano.

Figura 6.7

Primeiro provemos que se P ∈ σ1 ∪ σ2 entao dist(P,α) = dist(P,β). Sem perda de generali-dade, tomemos P ∈ σ1. Seja γ o plano passando por P e perpendicular a reta l, na qual secortam os planos α e β. Usando as notacoes do problema 6.5, tomamos

a = γ ∩ α, b = γ ∩ β, s1 = γ ∩ σ1 e s2 = γ ∩ σ2.

Sejam G ∈ a e H ∈ b tais que PG ⊥ a e PH ⊥ b. Temos que, como γ ⊥ α e γ ⊥ β, entao ←→PG ⊂ γe←�→PH ⊂ γ. Reduzimos assim o problema ao caso de um angulo plano. A situacao e ilustrada

na figura 6.7, onde representamos o plano γ e os elementos acima descritos. Observe que s1e a bissetriz de um dos angulos determinados por a e b, e que

dist(P,α) = PG, dist(P,β) = PH,

donde, pelo resultado ja conhecido num plano, PG = PH, ou seja,

dist(P,α) = dist(P,β).

Passemos a recıproca, isto e, provemos que se P e um ponto equidistante de α e β, entaoP ∈ σ1 ∪ σ2. Primeiro observe que P deve pertencer a alguma das quatro regioes diedraisdeterminadas por α e β (em outras palavras, P nao pode pertencer a nenhum dos doisplanos – justifique esta afirmacao). Tome entao o plano γ passando por P e perpendicular

a l, e sejam G ∈ α, H ∈ β tais que←→PG ⊥ α e

←�→PH ⊥ β. Pelo mesmo argumento apresentado

mais acima temos que←�→PH e

←→PG estao contidas em γ. Entao

PG = dist(P,α) = dist(P,β) = PH.

Mas PG = dist(P, a) e PH = dist(P, b) donde, pelos fatos ja demonstrados para o plano,vemos que P pertence a alguma das duas bissetrizes dos angulos determinados por a e b noplano γ (voce pode visualizar a situacao na figura 6.7). Em outras palavras, P ∈ s1 ∪ s2, ouseja, P ∈ σ1 ∪ σ2.

O proximo lugar geometrico que apresentaremos e o analogo a mediatriz de um segmento.

Problema 6.7. Mostre que o lugar geometrico dos pontos equidistantes de pois pontos P eQ dados e o plano µ perpendicular a PQ, passando pelo ponto medio M deste segmento.

Solucao. Primeiro vamos mostrar que os pontos de µ sao equidistantes de P e Q. TomeN ∈ µ distinto de M . Observe que os triangulos △NMP e △NMQ sao congruentes pelocriterio LAL, pois (veja a figura 6.8):

(i) PM ≡ QM , ja que M e ponto medio de PQ;

(ii) sao retangulos em M , ja que µ ⊥ PQ; e

(iii) MN e um lado comum.

Entao NP ≡ NQ, ou seja, N e equidistante de P e Q.

Seja agora X um ponto equidistante de P e Q. Queremos provar que X ∈ µ (esta e arecıproca da afirmacao anterior). Se X = M entao X ∈ µ por definicao. Suponhamos queX ≠ M . Neste caso os triangulos △XMP e △XMQ sao congruentes pelo criterio LLL(verifique!) donde, em particular,

∡XMP ≡∡XMQ,

ou seja, ∡XMP e reto. Logo X ∈ µ (por que?).

Figura 6.8

Definicao 6.8. O plano perpendicular a um dado segmento em seu ponto medio e chamadode plano mediador do segmento.



Vejamos mais um lugar geometrico interessante

Problema 6.8. Sejam A, B e C tres pontos nao colineares. Mostre que o lugar geometricodos pontos equidistantes de A, B e C e a reta perpendicular ao plano determinado por estespontos passando pelo circuncentro do triangulo △ABC (veja a figura 6.9).

Figura 6.9

Solucao. Sejam α o plano determinado por A, B e C, e O o circuncentro de △ABC. Seja ta reta passando porO e perpendicular a α. Vamos provar que seX ∈ t, entaoX e equidistantede A, B e C. De fato, pela definicao de circuncentro sabemos que OA = OB = OC. Alemdisso, como t ⊥ α, temos que os angulos ∡XOA, ∡XOB e ∡XOC sao retos. Logo

△XOA ≡△XOB ≡△XOC

pelo criterio LAL, ja que OX e um lado comum aos tres triangulos listados. Assim con-cluımos que

XA =XB =XC

como querıamos. Em particular observe que se µ e o plano mediador de AC e ν e o planomediador de AB, entao

t = µ ∩ ν. (∗)

(por que?).

Para verificar a recıproca tome X um ponto qualquer equidistante de A, B e C. EntaoX pertence ao plano µ mediador de AC e ao plano ν mediador de AB por definicao, logoX ∈ µ ∩ ν. Mas entao, por (*) acima, X ∈ t, como querıamos verificar.

Problema 6.9. Justifique todos os “por ques” da solucao acima.

6.5 Poliedros

Na aula anterior estudamos um pouco sobre diedros, objeto analogo aos angulos planos.Nesta secao introduziremos os “primos” dos polıgonos, os poliedros1. Voces ja conhecemvarios deles: cubos, paralelogramos, prismas e piramides sao os mais conhecidos e estudados.Vamos estudar algumas propriedades destes e tambem conhecer alguns outros. Nesta secaoapresentaremos apenas as definicoes destes objetos, que tambem chamamos de corpos solidosou simplesmente solidos.

Figura 6.10

O primeiro objeto deste tipo do qual falaremos e o triedro, que tem tres faces: tome tresplanos passando por um ponto, como representado na figura 6.10, e considere a figuraformada pelas regioes angulares dos angulos ∡(�→r ,�→s ), ∡(�→r ,�→t ) e ∡(�→s ,�→t ). Nas notacoesda figura 6.10 dizemos que A e o vertice do triedro, as semirretas �→r , �→s e

�→t suas arestas, e

as regioes angulares correspondentes aos angulos ∡(�→r ,�→s ), ∡(�→r ,�→t ) e ∡(�→s ,�→t ) suas faces.O triedro e um poliedro aberto, como se fosse uma especie de copo infinito, e nao lhe cabebem a designacao de solido, palavra que sempre lembra um objeto de certa forma finito.

Figura 6.11

Se “tamparmos” o lado aberto de um triedro, obtemos uma figura conhecida: uma piramide,no caso de base triangular, como representado na figura 6.11. Esta piramide tambem recebeo nome de tetraedro, pois tem quatro (tetra, em grego, significa quatro) faces, que sao asregioes planas triangulares delimitadas pelos triangulos △ABC, △ABD, △BCD e △ADC.Seguindo as notacoes da figura, chamamos os pontos A, B, C e D de vertices da piramide,e os segmentos AB, AC, AD, BC, BD e CD de arestas.

Em geral, um poliedro e a regiao do espaco delimitada pela intersecao de um numero finitode regioes diedrais e de suas faces seguindo certas regras precisas que nao veremos aqui, pois

1A palavra vem do grego: poli- = muitos, varios; e -edro que significa, como ja vimos, faces.



Vejamos mais um lugar geometrico interessante

Problema 6.8. Sejam A, B e C tres pontos nao colineares. Mostre que o lugar geometricodos pontos equidistantes de A, B e C e a reta perpendicular ao plano determinado por estespontos passando pelo circuncentro do triangulo △ABC (veja a figura 6.9).

Figura 6.9

Solucao. Sejam α o plano determinado por A, B e C, e O o circuncentro de △ABC. Seja ta reta passando porO e perpendicular a α. Vamos provar que seX ∈ t, entaoX e equidistantede A, B e C. De fato, pela definicao de circuncentro sabemos que OA = OB = OC. Alemdisso, como t ⊥ α, temos que os angulos ∡XOA, ∡XOB e ∡XOC sao retos. Logo

△XOA ≡△XOB ≡△XOC

pelo criterio LAL, ja que OX e um lado comum aos tres triangulos listados. Assim con-cluımos que

XA =XB =XC

como querıamos. Em particular observe que se µ e o plano mediador de AC e ν e o planomediador de AB, entao

t = µ ∩ ν. (∗)

(por que?).

Para verificar a recıproca tome X um ponto qualquer equidistante de A, B e C. EntaoX pertence ao plano µ mediador de AC e ao plano ν mediador de AB por definicao, logoX ∈ µ ∩ ν. Mas entao, por (*) acima, X ∈ t, como querıamos verificar.

Problema 6.9. Justifique todos os “por ques” da solucao acima.

6.5 Poliedros

Na aula anterior estudamos um pouco sobre diedros, objeto analogo aos angulos planos.Nesta secao introduziremos os “primos” dos polıgonos, os poliedros1. Voces ja conhecemvarios deles: cubos, paralelogramos, prismas e piramides sao os mais conhecidos e estudados.Vamos estudar algumas propriedades destes e tambem conhecer alguns outros. Nesta secaoapresentaremos apenas as definicoes destes objetos, que tambem chamamos de corpos solidosou simplesmente solidos.

Figura 6.10

O primeiro objeto deste tipo do qual falaremos e o triedro, que tem tres faces: tome tresplanos passando por um ponto, como representado na figura 6.10, e considere a figuraformada pelas regioes angulares dos angulos ∡(�→r ,�→s ), ∡(�→r ,�→t ) e ∡(�→s ,�→t ). Nas notacoesda figura 6.10 dizemos que A e o vertice do triedro, as semirretas �→r , �→s e

�→t suas arestas, e

as regioes angulares correspondentes aos angulos ∡(�→r ,�→s ), ∡(�→r ,�→t ) e ∡(�→s ,�→t ) suas faces.O triedro e um poliedro aberto, como se fosse uma especie de copo infinito, e nao lhe cabebem a designacao de solido, palavra que sempre lembra um objeto de certa forma finito.

Figura 6.11

Se “tamparmos” o lado aberto de um triedro, obtemos uma figura conhecida: uma piramide,no caso de base triangular, como representado na figura 6.11. Esta piramide tambem recebeo nome de tetraedro, pois tem quatro (tetra, em grego, significa quatro) faces, que sao asregioes planas triangulares delimitadas pelos triangulos △ABC, △ABD, △BCD e △ADC.Seguindo as notacoes da figura, chamamos os pontos A, B, C e D de vertices da piramide,e os segmentos AB, AC, AD, BC, BD e CD de arestas.

Em geral, um poliedro e a regiao do espaco delimitada pela intersecao de um numero finitode regioes diedrais e de suas faces seguindo certas regras precisas que nao veremos aqui, pois

1A palavra vem do grego: poli- = muitos, varios; e -edro que significa, como ja vimos, faces.



o que nos interessa neste curso sao exemplos particulares de poliedros. O leitor interessadopode pesquisar sobre o assunto nos diversos livros indicados na bibliografia.

Passemos agora a uma descricao mais formal de alguns poliedros.

6.5.1 Prismas

R

Figura 6.12

Um prisma e o poliedro construıdo da seguinte maneira (acompanhe nas figuras 6.12 e 6.13):

(a) Tome dois planos α e β paralelos entre si;

(b) em um dos planos, por exemplo α, tome uma regiao poligonal R;

(c) tome uma reta l secante aos planos que nao passe pelos pontos de R;

(d) para cada ponto P ∈ R tome a reta lP que passa pelo ponto e e paralela a l; cada retalP encontra β em um ponto P ′.

(e) Entao a uniao de todos os segmentos PP ′ e chamada de prisma.

Figura 6.13

Observe que o conjunto dos pontos P ′ em β compoem uma regiao poligonal R′ congruente2a R.Os vertices de um prisma sao os vertices das regioes poligonais R e R′. As suas arestas sao:

(i) os segmentos paralelos a l que ligam os respectivos vertices de R e R′; e

(ii) os lados das regioes R e R′.

As suas faces sao as regioes poligonais determinadas pelos seus vertices consecutivos. Ge-ralmente as faces R e R′ sao chamadas de bases do prisma, e as outras de faces laterais.As bases sao categorizadas muitas vezes como base inferior, ou simplesmente base, e basesuperior, designacao que depende do nosso ponto de vista. No nosso exemplo R e a base, oubase inferior, e R′ a base superior do prisma. As arestas das faces que nao sao comuns comas bases sao chamadas de arestas laterais. A reta l e comumente denominada reta-diretrizdo prisma.

Problema 6.10. Liste os vertices, as arestas, as arestas laterais e as faces do prismailustrado na figura 6.13.

Figura 6.14

Se a reta-diretriz l for perpendicular a α, dizemos que o prisma e reto (figura 6.14).

Os prismas (e os poliedros em geral) possuem varios tipos de estruturas similares a angulos.Os principais ja conhecemos:

(i) angulos planos, que sao os angulos de suas faces;

(ii) angulos diedros, que sao os diedros determinados por cada par de faces com uma arestaem comum.

Ha eventualmente outras estruturas, como triedros, mas nao nos preocuparemos com istoagora.

Por exemplo, no prisma ilustrado na figura 6.13 temos os angulos ∡ABC, ∡BCD, etc,que pertencem a sua base inferior; os angulos ∡B′BA, ∡CC ′D, etc, que pertencem a faceslaterais. Temos tambem os diedros determinados pela face A′ABB′ e pela base R, pelasfaces B′BCC ′ e C ′CDD′ (que compartilham a aresta CC ′, etc.

2Dizemos que duas regioes poligonais sao congruentes se os polıgonos que as determinam sao congruentes;e dois polıgonos sao congruentes se os seus lados e respectivos angulos sao congruentes entre si.



o que nos interessa neste curso sao exemplos particulares de poliedros. O leitor interessadopode pesquisar sobre o assunto nos diversos livros indicados na bibliografia.

Passemos agora a uma descricao mais formal de alguns poliedros.

6.5.1 Prismas

R

Figura 6.12

Um prisma e o poliedro construıdo da seguinte maneira (acompanhe nas figuras 6.12 e 6.13):

(a) Tome dois planos α e β paralelos entre si;

(b) em um dos planos, por exemplo α, tome uma regiao poligonal R;

(c) tome uma reta l secante aos planos que nao passe pelos pontos de R;

(d) para cada ponto P ∈ R tome a reta lP que passa pelo ponto e e paralela a l; cada retalP encontra β em um ponto P ′.

(e) Entao a uniao de todos os segmentos PP ′ e chamada de prisma.

Figura 6.13

Observe que o conjunto dos pontos P ′ em β compoem uma regiao poligonal R′ congruente2a R.Os vertices de um prisma sao os vertices das regioes poligonais R e R′. As suas arestas sao:

(i) os segmentos paralelos a l que ligam os respectivos vertices de R e R′; e

(ii) os lados das regioes R e R′.

As suas faces sao as regioes poligonais determinadas pelos seus vertices consecutivos. Ge-ralmente as faces R e R′ sao chamadas de bases do prisma, e as outras de faces laterais.As bases sao categorizadas muitas vezes como base inferior, ou simplesmente base, e basesuperior, designacao que depende do nosso ponto de vista. No nosso exemplo R e a base, oubase inferior, e R′ a base superior do prisma. As arestas das faces que nao sao comuns comas bases sao chamadas de arestas laterais. A reta l e comumente denominada reta-diretrizdo prisma.

Problema 6.10. Liste os vertices, as arestas, as arestas laterais e as faces do prismailustrado na figura 6.13.

Figura 6.14

Se a reta-diretriz l for perpendicular a α, dizemos que o prisma e reto (figura 6.14).

Os prismas (e os poliedros em geral) possuem varios tipos de estruturas similares a angulos.Os principais ja conhecemos:

(i) angulos planos, que sao os angulos de suas faces;

(ii) angulos diedros, que sao os diedros determinados por cada par de faces com uma arestaem comum.

Ha eventualmente outras estruturas, como triedros, mas nao nos preocuparemos com istoagora.

Por exemplo, no prisma ilustrado na figura 6.13 temos os angulos ∡ABC, ∡BCD, etc,que pertencem a sua base inferior; os angulos ∡B′BA, ∡CC ′D, etc, que pertencem a faceslaterais. Temos tambem os diedros determinados pela face A′ABB′ e pela base R, pelasfaces B′BCC ′ e C ′CDD′ (que compartilham a aresta CC ′, etc.

2Dizemos que duas regioes poligonais sao congruentes se os polıgonos que as determinam sao congruentes;e dois polıgonos sao congruentes se os seus lados e respectivos angulos sao congruentes entre si.



Problema 6.11. Liste todos os angulos e diedros do prisma ilustrado na figura 6.13.

Problema 6.12. Mostre que os diedros entre as faces laterais e as base de um prisma retosao retos.

6.5.2 Paralelepıpedos e cubos

(a) (b)

Figura 6.15

Um importante exemplo particular de prismas sao os paralelepıpedos, os poliedros analogosaos paralelogramos. Um prisma e um paralelepıpedo se sua base e um paralelogramo. Nestecaso e facil de verificar que todas as faces tambem sao paralelogramos. Um paralelogramoe chamado de reto quando as mesmas condicoes de um prisma reto forem satisfeita, isto e,quando as arestas laterais forem perpendiculares ao plano da base.

Uma situacao mais particular ainda surge quando a base de um paralelepıpedo e um retanguloe ele e um prisma reto. Nestas condicoes o chamamos de paralelepıpedo retangulo.

Na figura 6.15a representamos um paralelepıpedo generico, enquanto que na figura 6.15brepresentamos um paralelepıpedo retangulo.

Figura 6.16

Finalmente, se as faces e as bases de um paralelepıpedo forem quadrados, ele recebe o nomede cubo. Na figura 6.16 representamos um cubo.

Problema 6.13. Mostre que todas as arestas de um cubo sao congruentes. Mostre aindaque todos os angulos e diedros de um cubo sao retos.

6.5.3 Piramides

Uma piramide e um poliedro construıdo da seguinte maneira (veja a figura 6.17):

(a) Tome uma regiao poligonal plana R e um ponto V qualquer fora do plano de R;

(b) por cada ponto Q ⊂R trace o segmento QV . Entao a uniao de todos os segmentos QVe chamada de piramide.

Figura 6.17

O ponto V e chamado de vertice ou cume da piramide, e a regiaoR de sua base. Os trianguloscom o vertice comum V sao as faces laterais da piramide. Os vertices de R sao tambemchamados de vertices da piramide, e para nao confundir com o vertice V , costumamos chama-los de vertices da base. As definicoes de arestas laterais e arestas da base sao analogas, edeixamos ao leitor o trabalho de escreve-las.

E comum denominarmos as piramides em funcao do polıgono que constitui sua base. Porexemplo, na figura 6.17 a base e um polıgono de cinco lados, e esta piramide recebe o nome depiramide pentagonal. Se a base da piramide tem quatro lados, a chamamos de quadrangular;se tem seis lados, de hexagonal, etc. No caso especial em que a base e um triangulo apiramide pode receber o nome de triangular, mas tambem e chamada de tetraedro, como jacitamos mais acima (veja a figura 6.11).

Figura 6.18

6.5.4 Outros poliedros

Existem muitos outros tipos de poliedros, como os exemplos apresentados na figura 6.18.

Uma classe importante sao os poliedros regulares, isto e, tais que todas as faces sao polıgonosregulares congruentes entre si, e todos os diedros tambem sao congruentes entre si. Podemosprovar que existem apenas cinco poliedros regulares: o tetraedro, o octaedro, o cubo, oicosaedro e o dodecaedro. Estes poliedros sao tambem conhecidos como solidos de Platao,o filosofo grego do seculo IV antes de Cristo, e tem uma grande importancia nao so paraa historia da matematica, como para a historia da filosofia e da compreensao do Cosmos.Vamos agora apresentar estes nobres senhores.



Problema 6.11. Liste todos os angulos e diedros do prisma ilustrado na figura 6.13.

Problema 6.12. Mostre que os diedros entre as faces laterais e as base de um prisma retosao retos.

6.5.2 Paralelepıpedos e cubos

(a) (b)

Figura 6.15

Um importante exemplo particular de prismas sao os paralelepıpedos, os poliedros analogosaos paralelogramos. Um prisma e um paralelepıpedo se sua base e um paralelogramo. Nestecaso e facil de verificar que todas as faces tambem sao paralelogramos. Um paralelogramoe chamado de reto quando as mesmas condicoes de um prisma reto forem satisfeita, isto e,quando as arestas laterais forem perpendiculares ao plano da base.

Uma situacao mais particular ainda surge quando a base de um paralelepıpedo e um retanguloe ele e um prisma reto. Nestas condicoes o chamamos de paralelepıpedo retangulo.

Na figura 6.15a representamos um paralelepıpedo generico, enquanto que na figura 6.15brepresentamos um paralelepıpedo retangulo.

Figura 6.16

Finalmente, se as faces e as bases de um paralelepıpedo forem quadrados, ele recebe o nomede cubo. Na figura 6.16 representamos um cubo.

Problema 6.13. Mostre que todas as arestas de um cubo sao congruentes. Mostre aindaque todos os angulos e diedros de um cubo sao retos.

6.5.3 Piramides

Uma piramide e um poliedro construıdo da seguinte maneira (veja a figura 6.17):

(a) Tome uma regiao poligonal plana R e um ponto V qualquer fora do plano de R;

(b) por cada ponto Q ⊂R trace o segmento QV . Entao a uniao de todos os segmentos QVe chamada de piramide.

Figura 6.17

O ponto V e chamado de vertice ou cume da piramide, e a regiaoR de sua base. Os trianguloscom o vertice comum V sao as faces laterais da piramide. Os vertices de R sao tambemchamados de vertices da piramide, e para nao confundir com o vertice V , costumamos chama-los de vertices da base. As definicoes de arestas laterais e arestas da base sao analogas, edeixamos ao leitor o trabalho de escreve-las.

E comum denominarmos as piramides em funcao do polıgono que constitui sua base. Porexemplo, na figura 6.17 a base e um polıgono de cinco lados, e esta piramide recebe o nome depiramide pentagonal. Se a base da piramide tem quatro lados, a chamamos de quadrangular;se tem seis lados, de hexagonal, etc. No caso especial em que a base e um triangulo apiramide pode receber o nome de triangular, mas tambem e chamada de tetraedro, como jacitamos mais acima (veja a figura 6.11).

Figura 6.18

6.5.4 Outros poliedros

Existem muitos outros tipos de poliedros, como os exemplos apresentados na figura 6.18.

Uma classe importante sao os poliedros regulares, isto e, tais que todas as faces sao polıgonosregulares congruentes entre si, e todos os diedros tambem sao congruentes entre si. Podemosprovar que existem apenas cinco poliedros regulares: o tetraedro, o octaedro, o cubo, oicosaedro e o dodecaedro. Estes poliedros sao tambem conhecidos como solidos de Platao,o filosofo grego do seculo IV antes de Cristo, e tem uma grande importancia nao so paraa historia da matematica, como para a historia da filosofia e da compreensao do Cosmos.Vamos agora apresentar estes nobres senhores.



Figura 6.19

O cubo todos ja conhecem. Suas faces sao quadrados congruentes entre si e todos os seusdiedros sao retos. Tambem ja falamos de tetraedros, que sao piramides triangulares. Otetraedro regular e uma piramide cujas faces sao todas triangulos equilateros congruentesentre si (veja a figura 6.19a).

O octaedro possui oito faces, como o nome diz. Suas faces sao tambem triangulos equilateros,e ele e “montado” com duas piramides quadrangulares cujas bases sao um quadrado, comomostramos na figura 6.19b.

Figura 6.20

O icosaedro e formado por vinte faces (icosa = vinte em grego) que, mais uma vez, saotriangulos equilateros, como mostramos na figura 6.20a.

O dodecaedro e formado por doze faces (dodeca = doze, em grego). Suas faces sao pentagonosregulares – veja a figura 6.20b.

Daremos mais alguns detalhes sobre os poliedros na nossa ultima aula.

6.6 Exercıcios

6.1. Sejam α e β dois planos paralelos, e AB um segmento perpendicular a ambos, comA ∈ α e B ∈ β. Seja M o ponto medio de AB. Mostre que o plano µ que passa por M e eperpendicular a AB e o lugar geometrico dos pontos equidistantes de α e β.

6.2. Descreva o lugar geometrico dos pontos equidistantes a duas retas paralelas.


6.3. A area total da superfıcie de um prisma e a soma das areas de todas as suas faces(incluindo as bases), e a area lateral de um prisma e a soma das areas de suas faces laterais.

(a) Calcule a area lateral e a area total da superfıcie de um cubo cuja aresta mede 2.

(b) Na figura 6.21 representamos um prisma reto cujas bases sao trapezios (ele esta visu-almente “deitado”). Os comprimentos das arestas paralelas da base sao 4 e 9, e oscomprimentos das arestas da base nao paralelas sao 5 e 6. Alem disso BF = 12. Calculea area lateral e a area total da superfıcie deste prisma.

6.4. Seguindo a notacao da figura 6.13, mostre que ◻A′ADD′ e um paralelogramo. Tentegeneralizar este resultado para todos os tipos de prismas.

6.5. Assim como observamos nos prismas, as piramides tambem possuem angulos das facese diedros. Liste todos os angulos planos e diedros da piramide ilustrada na figura 6.17.

6.6. Uma piramide cuja base e um polıgono regular e cujo vertice equidista de cada umdos vertices da base e chamada de piramide regular. Mostre que as faces laterais de umapiramide regular sao triangulos isosceles congruentes entre si.

6.7. A area lateral de uma piramide e a somas das areas de suas faces laterais, e a areatotal da superfıcie de uma piramide e a soma de sua area lateral com a area da base. Calculeas areas total e lateral nos seguintes casos:

(a) de um tetraedro regular cuja aresta mede 3.

(b) de uma piramide quadrangular regular cuja base e um quadrado de lado 2 e cuja arestalateral mede 7.



Figura 6.19

O cubo todos ja conhecem. Suas faces sao quadrados congruentes entre si e todos os seusdiedros sao retos. Tambem ja falamos de tetraedros, que sao piramides triangulares. Otetraedro regular e uma piramide cujas faces sao todas triangulos equilateros congruentesentre si (veja a figura 6.19a).

O octaedro possui oito faces, como o nome diz. Suas faces sao tambem triangulos equilateros,e ele e “montado” com duas piramides quadrangulares cujas bases sao um quadrado, comomostramos na figura 6.19b.

Figura 6.20

O icosaedro e formado por vinte faces (icosa = vinte em grego) que, mais uma vez, saotriangulos equilateros, como mostramos na figura 6.20a.

O dodecaedro e formado por doze faces (dodeca = doze, em grego). Suas faces sao pentagonosregulares – veja a figura 6.20b.

Daremos mais alguns detalhes sobre os poliedros na nossa ultima aula.

6.6 Exercıcios

6.1. Sejam α e β dois planos paralelos, e AB um segmento perpendicular a ambos, comA ∈ α e B ∈ β. Seja M o ponto medio de AB. Mostre que o plano µ que passa por M e eperpendicular a AB e o lugar geometrico dos pontos equidistantes de α e β.

6.2. Descreva o lugar geometrico dos pontos equidistantes a duas retas paralelas.


6.3. A area total da superfıcie de um prisma e a soma das areas de todas as suas faces(incluindo as bases), e a area lateral de um prisma e a soma das areas de suas faces laterais.

(a) Calcule a area lateral e a area total da superfıcie de um cubo cuja aresta mede 2.

(b) Na figura 6.21 representamos um prisma reto cujas bases sao trapezios (ele esta visu-almente “deitado”). Os comprimentos das arestas paralelas da base sao 4 e 9, e oscomprimentos das arestas da base nao paralelas sao 5 e 6. Alem disso BF = 12. Calculea area lateral e a area total da superfıcie deste prisma.

6.4. Seguindo a notacao da figura 6.13, mostre que ◻A′ADD′ e um paralelogramo. Tentegeneralizar este resultado para todos os tipos de prismas.

6.5. Assim como observamos nos prismas, as piramides tambem possuem angulos das facese diedros. Liste todos os angulos planos e diedros da piramide ilustrada na figura 6.17.

6.6. Uma piramide cuja base e um polıgono regular e cujo vertice equidista de cada umdos vertices da base e chamada de piramide regular. Mostre que as faces laterais de umapiramide regular sao triangulos isosceles congruentes entre si.

6.7. A area lateral de uma piramide e a somas das areas de suas faces laterais, e a areatotal da superfıcie de uma piramide e a soma de sua area lateral com a area da base. Calculeas areas total e lateral nos seguintes casos:

(a) de um tetraedro regular cuja aresta mede 3.

(b) de uma piramide quadrangular regular cuja base e um quadrado de lado 2 e cuja arestalateral mede 7.


7 Volumes de poliedros

AULA7: VOLUMES DE POLIEDROS

OBJETIVOSIntroduzir o conceito de volumes de solidos geometricos, mais especificamente de regioespoliedrais. Apresentar um sistema de princıpios que estabeleca com rigor adequado esteconceito; neste sistema inclui-se o Princıpio de Cavalieri. Calcular o volume de algunssolidos apresentados na aula anterior.

7.1 Introducao

Nesta aula estudaremos o conceito de volume e calcularemos os volumes de alguns solidos. Oprocedimento e analogo ao que foi feito para apresentar o conceito de area de figuras planasem [7]. Queremos medir o “tanto” que um objeto espacial ocupa um lugar no espaco. Este“tanto” e o que chamaremos de volume1.

Figura 7.1

Vejamos um exemplo. Na figura 7.1 representamos um paralelepıpedo cujas arestas medem8, 4 e 4. Cortamos entao o paralelepıpedo com varios planos paralelos, formando pequenoscubos de aresta 1. Entao o paralelepıpedo e formado de 8 × 4 × 4 = 128 destes cubos.Assim poderıamos dizer que o “tanto” (= volume) que o paralelepıpedo ocupa no espaco eequivalente a 128 cubos de aresta 1. Se dissermos que o volume do cubo de aresta 1 e 1,entao o volume do paralelepıpedo seria 128.

No exemplo acima apresentamos um paralelepıpedo cujas arestas tem comprimentos inteiros.E se nao for assim? Bem, se as arestas possuıssem comprimentos racionais, ainda seriapossıvel dividir o paralelepıpedo em cubos iguais com lados racionais. Por exemplo, se asarestas medissem 3/4, 5/7 e 2/3, entao podemos dividi-lo em 3 × 5 × 2 = 30 cubos de aresta1/84 (verifique!); e entao poderıamos dizer que o volume do paralelepıpedo corresponde aovolume de 30 cubos de aresta 1/84, ou que o seu volume e 30/84 = 5/21. Se as arestas doparalelepıpedo nao tiverem todas medidas racionais, podemos tomar aproximacoes racionaisdestas medidas e, atraves de um processo de limite, mostrar que e razoavel afirmar que ovolume de um paralelepıpedo e dado pelo produto das medidas de suas arestas.

E como poderıamos fazer para medir o volume de figuras mais gerais, como prismas que naosejam paralelepıpedos, piramides, etc.? Poderıamos “aproximar” a figura atraves de blocos

1Deixaremos, daqui por diante, a palavra “volume” em italico, ate que apresentemos este conceito com maisprecisao.


85aul a 7 : Volumes de poliedros

AULA7: VOLUMES DE POLIEDROS

OBJETIVOSIntroduzir o conceito de volumes de solidos geometricos, mais especificamente de regioespoliedrais. Apresentar um sistema de princıpios que estabeleca com rigor adequado esteconceito; neste sistema inclui-se o Princıpio de Cavalieri. Calcular o volume de algunssolidos apresentados na aula anterior.

7.1 Introducao

Nesta aula estudaremos o conceito de volume e calcularemos os volumes de alguns solidos. Oprocedimento e analogo ao que foi feito para apresentar o conceito de area de figuras planasem [7]. Queremos medir o “tanto” que um objeto espacial ocupa um lugar no espaco. Este“tanto” e o que chamaremos de volume1.

Figura 7.1

Vejamos um exemplo. Na figura 7.1 representamos um paralelepıpedo cujas arestas medem8, 4 e 4. Cortamos entao o paralelepıpedo com varios planos paralelos, formando pequenoscubos de aresta 1. Entao o paralelepıpedo e formado de 8 × 4 × 4 = 128 destes cubos.Assim poderıamos dizer que o “tanto” (= volume) que o paralelepıpedo ocupa no espaco eequivalente a 128 cubos de aresta 1. Se dissermos que o volume do cubo de aresta 1 e 1,entao o volume do paralelepıpedo seria 128.

No exemplo acima apresentamos um paralelepıpedo cujas arestas tem comprimentos inteiros.E se nao for assim? Bem, se as arestas possuıssem comprimentos racionais, ainda seriapossıvel dividir o paralelepıpedo em cubos iguais com lados racionais. Por exemplo, se asarestas medissem 3/4, 5/7 e 2/3, entao podemos dividi-lo em 3 × 5 × 2 = 30 cubos de aresta1/84 (verifique!); e entao poderıamos dizer que o volume do paralelepıpedo corresponde aovolume de 30 cubos de aresta 1/84, ou que o seu volume e 30/84 = 5/21. Se as arestas doparalelepıpedo nao tiverem todas medidas racionais, podemos tomar aproximacoes racionaisdestas medidas e, atraves de um processo de limite, mostrar que e razoavel afirmar que ovolume de um paralelepıpedo e dado pelo produto das medidas de suas arestas.

E como poderıamos fazer para medir o volume de figuras mais gerais, como prismas que naosejam paralelepıpedos, piramides, etc.? Poderıamos “aproximar” a figura atraves de blocos

1Deixaremos, daqui por diante, a palavra “volume” em italico, ate que apresentemos este conceito com maisprecisao.



Figura 7.2

de paralelepıpedos, como mostramos na figura 7.2 e, atraves de um processo de limite,aumentando o numero de paralelepıpedos, calcular o volume da figura2. No entanto naoutilizaremos este procedimento, mas um outro equivalente, conhecido como Princıpio deCavalieri, que introduziremos mais adiante.

Para finalizar esta introducao chamamos a atencao para o seguinte: poderıamos apresentaro conceito de volume com o mesmo rigor com que se apresenta o conceito de area de figurasplanas, utilizando uma serie de axiomas (veja em [7], por exemplo), mas preferimos trabalharde forma mais intuitiva pois, caso contrario, o assunto atinge complicacoes que estao alemde um texto introdutorio como este.

7.2 Volume de regioes poliedrais

Como ja dissemos na introducao, nao daremos neste texto um tratamento completamenteformal da teoria de volumes de figuras espaciais, mas procuraremos, nesta secao, apresentarde maneira sucinta como este tratamento poderia ser feito. Por isto enunciaremos as propri-edades que o volume de regioes poliedrais deve satisfazer com o tıtulo de princıpios, e naode axiomas, como seria usual.

Figura 7.3

A primeira pergunta que surge e: o que e, de fato, uma regiao poliedral? Podemos definir esteconceito de maneira inteiramente analoga a definicao usual de regiao poligonal3: uma regiaopoliedral e uma uniao finita de tetraedros que nao tem pontos interiores em comum, onde os

2O leitor atento pode perceber que este procedimento nada mais e do que uma forma de calculo integral.

3Veja em [7] ou outro texto qualquer de geometria plana como sao definidas regioes poligonais

pontos interiores de um tetraedro sao os pontos do espaco que pertencem simultaneamentea todas as seis regioes diedrais determinadas pelas faces do tetraedro. De agora para frenteutilizaremos o termo poliedro no sentido de regiao poliedral.

Todas as figuras espaciais apresentadas na secao 6.5 da aula anterior, a excecao dos triedros,podem ser seccionadas em um numero finito de tetraedros. Na figura 7.3 apresentamos umadivisao de um cubo em cinco tetraedros, e na figura 7.4, a divisao de um octaedro em quatrotetraedros.

Figura 7.4

Nosso primeiro princıpio e o da existencia:

Princıpio da Existencia do Volume. A cada regiao poliedral R esta associado umunico numero real positivo, denotado por V(R), chamado de volume do poliedro R.

Se um poliedro e seccionado em varios poliedros que nao tem pontos interiores em comum4,e natural assumir que o volume do poliedro e igual a soma dos volumes dos poliedros emque foi seccionado.

Princıpio da Soma de Volumes. Se o poliedro R se decompoe na forma

R =R1 ∪R2 ∪ . . . ∪Rn,

onde Ri sao poliedros que nao possuem pontos interiores em comum, entao

V(R) = V(R1) +V(R2) + . . . +V(Rn).

Precisamos agora dar uma “referencia” para o calculo de volumes. No caso de areas areferencia utilizada em geral e a area de um quadrado (veja, por exemplo, em [7]). Noespaco o natural e utilizar paralelepıpedos retangulares, como foi discutido na introducao.

Princıpio da Unidade para Volumes. O volume de um paralelepıpedo retangular eo produto dos comprimentos de suas tres arestas nao paralelas que se encontram em ummesmo vertice.

Na figura 7.5 representamos um paralelepıpedo retangulo cujo volume e V = a.b.h, peloprincıpio da unidade para volumes, onde AB = a, BC = b e BG = h.

4Nao definimos formalmente o que sao pontos interiores de poliedros, mas apenas o que sao pontos interioresde tetraedros. Essencialmente, um ponto interior de um poliedro e um ponto interior de um dostetraedros que o compoe.



Figura 7.2

de paralelepıpedos, como mostramos na figura 7.2 e, atraves de um processo de limite,aumentando o numero de paralelepıpedos, calcular o volume da figura2. No entanto naoutilizaremos este procedimento, mas um outro equivalente, conhecido como Princıpio deCavalieri, que introduziremos mais adiante.

Para finalizar esta introducao chamamos a atencao para o seguinte: poderıamos apresentaro conceito de volume com o mesmo rigor com que se apresenta o conceito de area de figurasplanas, utilizando uma serie de axiomas (veja em [7], por exemplo), mas preferimos trabalharde forma mais intuitiva pois, caso contrario, o assunto atinge complicacoes que estao alemde um texto introdutorio como este.

7.2 Volume de regioes poliedrais

Como ja dissemos na introducao, nao daremos neste texto um tratamento completamenteformal da teoria de volumes de figuras espaciais, mas procuraremos, nesta secao, apresentarde maneira sucinta como este tratamento poderia ser feito. Por isto enunciaremos as propri-edades que o volume de regioes poliedrais deve satisfazer com o tıtulo de princıpios, e naode axiomas, como seria usual.

Figura 7.3

A primeira pergunta que surge e: o que e, de fato, uma regiao poliedral? Podemos definir esteconceito de maneira inteiramente analoga a definicao usual de regiao poligonal3: uma regiaopoliedral e uma uniao finita de tetraedros que nao tem pontos interiores em comum, onde os

2O leitor atento pode perceber que este procedimento nada mais e do que uma forma de calculo integral.

3Veja em [7] ou outro texto qualquer de geometria plana como sao definidas regioes poligonais

pontos interiores de um tetraedro sao os pontos do espaco que pertencem simultaneamentea todas as seis regioes diedrais determinadas pelas faces do tetraedro. De agora para frenteutilizaremos o termo poliedro no sentido de regiao poliedral.

Todas as figuras espaciais apresentadas na secao 6.5 da aula anterior, a excecao dos triedros,podem ser seccionadas em um numero finito de tetraedros. Na figura 7.3 apresentamos umadivisao de um cubo em cinco tetraedros, e na figura 7.4, a divisao de um octaedro em quatrotetraedros.

Figura 7.4

Nosso primeiro princıpio e o da existencia:

Princıpio da Existencia do Volume. A cada regiao poliedral R esta associado umunico numero real positivo, denotado por V(R), chamado de volume do poliedro R.

Se um poliedro e seccionado em varios poliedros que nao tem pontos interiores em comum4,e natural assumir que o volume do poliedro e igual a soma dos volumes dos poliedros emque foi seccionado.

Princıpio da Soma de Volumes. Se o poliedro R se decompoe na forma

R =R1 ∪R2 ∪ . . . ∪Rn,

onde Ri sao poliedros que nao possuem pontos interiores em comum, entao

V(R) = V(R1) +V(R2) + . . . +V(Rn).

Precisamos agora dar uma “referencia” para o calculo de volumes. No caso de areas areferencia utilizada em geral e a area de um quadrado (veja, por exemplo, em [7]). Noespaco o natural e utilizar paralelepıpedos retangulares, como foi discutido na introducao.

Princıpio da Unidade para Volumes. O volume de um paralelepıpedo retangular eo produto dos comprimentos de suas tres arestas nao paralelas que se encontram em ummesmo vertice.

Na figura 7.5 representamos um paralelepıpedo retangulo cujo volume e V = a.b.h, peloprincıpio da unidade para volumes, onde AB = a, BC = b e BG = h.

4Nao definimos formalmente o que sao pontos interiores de poliedros, mas apenas o que sao pontos interioresde tetraedros. Essencialmente, um ponto interior de um poliedro e um ponto interior de um dostetraedros que o compoe.



Figura 7.5

Problema 7.1. Mostre que o volume de um cubo de aresta l e V = l3.

Precisamos agora de um princıpio que nos permita calcular volumes de poliedros quaisquer,sabendo como calcular volumes de paralelepıpedos retangulos, seguindo a ideia que apre-sentamos na figura 7.2. Para entender o princıpio que enunciaremos mais abaixo, imagineuma pilha de moedas como representada na figura 7.6 a esquerda. Se “entortarmos” a pilha,como representado na mesma figura a direita, o volume do conjunto nao se modifica, poiseste depende so das moedas, e nao da forma da pilha.

Figura 7.6

Agora imagine que cada moeda va sendo afinada, de forma que sua espessura diminua, eque se va colocando mais moedas, para que a forma das pilhas nao se modifique. Esteprocedimento mantem o volume das pilhas. No limite, teremos como que secoes planas nasduas pilhas com mesma area, cuja “soma” da o volume das pilhas. Esta ideia (que nadamais e do que uma forma de se pensar em integracao multipla) para se calcular volumesde solidos ocorreu a um matematico italiano chamado Bonaventura Cavalieri (1598–1647) edeu origem ao princıpio que enunciamos a seguir.

Princıpio de Cavalieri. Sejam R e R′ dois corpos solidos (por exemplo, poliedros), eα um plano qualquer. Suponha que todo plano paralelo a α que intercepte R tambemintercepte R′, e que as intersecoes sao figuras planas com areas iguais. Entao os doiscorpos possuem o mesmo volume.

Vejamos um exemplo para o Princıpio de Cavalieri. Na figura 7.7 representamos dois para-lelepıpedos cujas bases sao dois retangulos B e B′ congruentes, e cujas bases superiores Te T ′ sao coplanares. Cada plano paralelo ao plano α (plano das bases dos paralelepıpedos)que intercepta os paralelepıpedos neles determina duas secoes; na figura representamos assecoes S e S ′. Nao e difıcil de ver que estas secoes sao retangulos congruentes as bases dosrespectivos paralelepıpedos e, portanto congruentes entre si. Em particular, temos que

A(B) = A(B′) = A(S) = A(S ′) = A(T ) = A(T ′),

Figura 7.7

onde A(⋅) e a area de cada um dos polıgonos. Logo, pelo Princıpio de Cavalieri, temos queos dois paralelepıpedos tem o mesmo volume. Na secao seguinte voltaremos a este exemplo,formalizando-o de maneira mais clara.

7.3 Volume de prismas

Figura 7.8

Nesta secao iremos calcular o volume de prismas utilizando os princıpios apresentadosna secao anterior, mas antes precisamos estabelecer algumas propriedades destas figuras.Comecamos com algumas definicoes.

Definicao 7.1. A altura de um prisma e a distancia entre os planos de suas bases inferiore superior.

Na figura 7.8 indicamos por h = PP ′ a altura do prisma ilustrado.

Problema 7.2. Mostre que a distancia de qualquer dos vertices de uma das bases de umprisma ao plano da outra base e igual a sua altura.

Se cortarmos o prisma por um plano paralelo aos planos das bases, obtemos um polıgono,como mostramos na figura 7.9. Este polıgono recebe um nome especial.

Definicao 7.2. Uma secao transversal de um prisma e a intersecao do prisma com umplano paralelo aos planos das bases.

Examinando a figura 7.9 nos fica parecendo que os polıgonos R, R′ e S sao “iguais” (ou,em termos mais tecnicos, congruentes). De fato, isto e verdade, mas mostraremos apenasque tem a mesma area, que e o fato que nos interessa no momento.



Figura 7.5

Problema 7.1. Mostre que o volume de um cubo de aresta l e V = l3.

Precisamos agora de um princıpio que nos permita calcular volumes de poliedros quaisquer,sabendo como calcular volumes de paralelepıpedos retangulos, seguindo a ideia que apre-sentamos na figura 7.2. Para entender o princıpio que enunciaremos mais abaixo, imagineuma pilha de moedas como representada na figura 7.6 a esquerda. Se “entortarmos” a pilha,como representado na mesma figura a direita, o volume do conjunto nao se modifica, poiseste depende so das moedas, e nao da forma da pilha.

Figura 7.6

Agora imagine que cada moeda va sendo afinada, de forma que sua espessura diminua, eque se va colocando mais moedas, para que a forma das pilhas nao se modifique. Esteprocedimento mantem o volume das pilhas. No limite, teremos como que secoes planas nasduas pilhas com mesma area, cuja “soma” da o volume das pilhas. Esta ideia (que nadamais e do que uma forma de se pensar em integracao multipla) para se calcular volumesde solidos ocorreu a um matematico italiano chamado Bonaventura Cavalieri (1598–1647) edeu origem ao princıpio que enunciamos a seguir.

Princıpio de Cavalieri. Sejam R e R′ dois corpos solidos (por exemplo, poliedros), eα um plano qualquer. Suponha que todo plano paralelo a α que intercepte R tambemintercepte R′, e que as intersecoes sao figuras planas com areas iguais. Entao os doiscorpos possuem o mesmo volume.

Vejamos um exemplo para o Princıpio de Cavalieri. Na figura 7.7 representamos dois para-lelepıpedos cujas bases sao dois retangulos B e B′ congruentes, e cujas bases superiores Te T ′ sao coplanares. Cada plano paralelo ao plano α (plano das bases dos paralelepıpedos)que intercepta os paralelepıpedos neles determina duas secoes; na figura representamos assecoes S e S ′. Nao e difıcil de ver que estas secoes sao retangulos congruentes as bases dosrespectivos paralelepıpedos e, portanto congruentes entre si. Em particular, temos que

A(B) = A(B′) = A(S) = A(S ′) = A(T ) = A(T ′),

Figura 7.7

onde A(⋅) e a area de cada um dos polıgonos. Logo, pelo Princıpio de Cavalieri, temos queos dois paralelepıpedos tem o mesmo volume. Na secao seguinte voltaremos a este exemplo,formalizando-o de maneira mais clara.

7.3 Volume de prismas

Figura 7.8

Nesta secao iremos calcular o volume de prismas utilizando os princıpios apresentadosna secao anterior, mas antes precisamos estabelecer algumas propriedades destas figuras.Comecamos com algumas definicoes.

Definicao 7.1. A altura de um prisma e a distancia entre os planos de suas bases inferiore superior.

Na figura 7.8 indicamos por h = PP ′ a altura do prisma ilustrado.

Problema 7.2. Mostre que a distancia de qualquer dos vertices de uma das bases de umprisma ao plano da outra base e igual a sua altura.

Se cortarmos o prisma por um plano paralelo aos planos das bases, obtemos um polıgono,como mostramos na figura 7.9. Este polıgono recebe um nome especial.

Definicao 7.2. Uma secao transversal de um prisma e a intersecao do prisma com umplano paralelo aos planos das bases.

Examinando a figura 7.9 nos fica parecendo que os polıgonos R, R′ e S sao “iguais” (ou,em termos mais tecnicos, congruentes). De fato, isto e verdade, mas mostraremos apenasque tem a mesma area, que e o fato que nos interessa no momento.



Figura 7.9

Figura 7.10

Teorema 7.3. Todas as secoes transversais de um prisma triangular sao congruentes coma base.

Demonstracao. Na figura 7.10 representamos um prisma triangular cuja base e o triangulo△ABC no plano α. Seja γ um plano paralelo a α cuja intersecao com o prisma seja naovazia. Entao γ corta as arestas laterais do prisma nos pontos M , N e P , como ilustrado.Como ◻ACPM e um paralelogramo, ja que AC ∥ MP (pois γ ∥ α) e AM ∥ CP (poisas arestas laterais sao paralelas entre si), entao AC ≡ MP . Analogamente AB ≡ MN eBC ≡ NP . Logo

△ABC ≡△MNP

pelo criterio LLL.

Corolario 7.4. Todas as secoes transversais de um prisma tem a mesma area.

Demonstracao. Nao escreveremos todos os detalhes da demonstracao, mas daremos aideia. Observe na figura 7.11 que podemos dividir a base de um prisma e cada secao trans-versal em regioes triangulares ligando os vertices correspondentes. Dividimos assim o prismaem subprismas triangulares. Para cada um destes prismas as secoes triangulares correspon-dentes sao delimitadas por triangulos congruentes entre si, e portanto tem a mesma area.A area de cada secao transversal e a soma das areas das regioes triangulares em que ela foidividida, assim como a area da base. Logo todas as secoes transversais de um prisma tem amesma area que a base do mesmo.

Agora podemos calcular o volume de um prisma qualquer.

Figura 7.11

Figura 7.12

Teorema 7.5. O volume de um prisma qualquer e o produto da area de sua base pela suaaltura.

Demonstracao. Acompanhe os argumentos a seguir na figura 7.12. Tome um prisma Tqualquer de altura h e cuja base seja um polıgono R. Construa um paralelepıpedo retanguloT ′ tal que

(a) sua base seja um retangulo R′ no mesmo plano que R, e tal que

A(R) = A(R′);

(b) sua altura seja a mesma que a do prisma;

(c) estejam do mesmo lado do espaco em relacao ao plano de suas bases.

Cada plano paralelo ao plano de suas bases que corta o prisma corta o paralelepıpedo. Assecoes que este plano determina no prisma e no paralelepıpedo tem a mesma area que asrespectivas bases, como vimos no corolario 7.4. Como as areas das bases sao iguais, as areasdas secoes tambem o sao. Por exemplo, na figura 7.12,

A(S) = A(S ′).

Logo, pelo Princıpio de Cavalieri o volume dos dois solidos sao iguais. Mas V(T ′) = A(R′).hpelo Princıpio da Unidade para Volumes, donde

V(T ) = A(R).h.



Figura 7.9

Figura 7.10

Teorema 7.3. Todas as secoes transversais de um prisma triangular sao congruentes coma base.

Demonstracao. Na figura 7.10 representamos um prisma triangular cuja base e o triangulo△ABC no plano α. Seja γ um plano paralelo a α cuja intersecao com o prisma seja naovazia. Entao γ corta as arestas laterais do prisma nos pontos M , N e P , como ilustrado.Como ◻ACPM e um paralelogramo, ja que AC ∥ MP (pois γ ∥ α) e AM ∥ CP (poisas arestas laterais sao paralelas entre si), entao AC ≡ MP . Analogamente AB ≡ MN eBC ≡ NP . Logo

△ABC ≡△MNP

pelo criterio LLL.

Corolario 7.4. Todas as secoes transversais de um prisma tem a mesma area.

Demonstracao. Nao escreveremos todos os detalhes da demonstracao, mas daremos aideia. Observe na figura 7.11 que podemos dividir a base de um prisma e cada secao trans-versal em regioes triangulares ligando os vertices correspondentes. Dividimos assim o prismaem subprismas triangulares. Para cada um destes prismas as secoes triangulares correspon-dentes sao delimitadas por triangulos congruentes entre si, e portanto tem a mesma area.A area de cada secao transversal e a soma das areas das regioes triangulares em que ela foidividida, assim como a area da base. Logo todas as secoes transversais de um prisma tem amesma area que a base do mesmo.

Agora podemos calcular o volume de um prisma qualquer.

Figura 7.11

Figura 7.12

Teorema 7.5. O volume de um prisma qualquer e o produto da area de sua base pela suaaltura.

Demonstracao. Acompanhe os argumentos a seguir na figura 7.12. Tome um prisma Tqualquer de altura h e cuja base seja um polıgono R. Construa um paralelepıpedo retanguloT ′ tal que

(a) sua base seja um retangulo R′ no mesmo plano que R, e tal que

A(R) = A(R′);

(b) sua altura seja a mesma que a do prisma;

(c) estejam do mesmo lado do espaco em relacao ao plano de suas bases.

Cada plano paralelo ao plano de suas bases que corta o prisma corta o paralelepıpedo. Assecoes que este plano determina no prisma e no paralelepıpedo tem a mesma area que asrespectivas bases, como vimos no corolario 7.4. Como as areas das bases sao iguais, as areasdas secoes tambem o sao. Por exemplo, na figura 7.12,

A(S) = A(S ′).

Logo, pelo Princıpio de Cavalieri o volume dos dois solidos sao iguais. Mas V(T ′) = A(R′).hpelo Princıpio da Unidade para Volumes, donde

V(T ) = A(R).h.



7.4 Volume de piramides

O calculo de volumes de piramides e um pouco mais complicado que o calculo para prismas.Assim dividiremos esta secao em duas subsecoes, apresentando na primeira uma lista depropriedades de piramides analogas as que foram apresentadas para prismas, e na segundao calculo do volume de uma piramide.

7.4.1 Propriedades basicas de piramides

Comecamos com algumas definicoes.

Figura 7.13

Definicao 7.6. A altura de uma piramide e a distancia de seu vertice (ou cume) ao planode sua base.

Na figura 7.13 o comprimento h do segmento V J ⊥ α e a altura da piramide representada.

Figura 7.14

Definicao 7.7. Uma secao transversal de uma piramide e a intersecao da piramide comum plano paralelo ao plano de sua base.

Na figura 7.14 o plano β corta a piramide ilustrada na secao transversal S. Observe que S euma “copia” da base R, so que em tamanho menor, com todos os lados mantendo a mesmaproporcao. Esta propriedade e o que verificaremos a seguir de maneira formal. Estudaremosprimeiro o caso em que as piramides sao triangulares, e reduziremos em seguida o caso gerala este.

Teorema 7.8. Toda secao transversal de uma piramide triangular e uma regiao triangularsemelhante a sua base, e a razao de semelhanca entre seus lados e

ρ = d

h,

onde d e a distancia do vertice da piramide ao plano da secao, e h e a altura da piramide.

Figura 7.15

Demonstracao. Sejam T a piramide triangular de base △ABC e vertice V , e △A′B′C ′uma secao transversal de T , como representado na figura 7.15. Assumimos ainda que,seguindo a notacao da figura 7.15,

V P = h e a altura de T , onde P e o ponto do plano α determinado por △ABC tal queV P ⊥ α;

P ′ e o ponto do plano β da secao △A′B′C ′ em que V P o encontra. Como α ∥ β temosque V P ′ ⊥ β, donde d = V P ′ e a distancia de V a β.

Com estas notacoes o que queremos mostrar e que △A′B′C ′ ∼△ABC, com

A′B′

AB= A′C ′

AC= B′C ′

BC= d

h= ρ. (7.1)

Observe que estamos assumindo, na figura 7.15, que V P ≠ V A. Se, caso contrario, V P = V A,entao a demonstracao segue essencialmente os mesmos passos que daremos a seguir.

O primeiro passo e mostrar que△V A′P ′ ∼△V AP. (7.2)

De fato, como

(i) ∡A′V P ′ =∡AV P e

(ii) ∡V P ′A′ ≡∡V PA (pois sao ambos retos),



7.4 Volume de piramides

O calculo de volumes de piramides e um pouco mais complicado que o calculo para prismas.Assim dividiremos esta secao em duas subsecoes, apresentando na primeira uma lista depropriedades de piramides analogas as que foram apresentadas para prismas, e na segundao calculo do volume de uma piramide.

7.4.1 Propriedades basicas de piramides

Comecamos com algumas definicoes.

Figura 7.13

Definicao 7.6. A altura de uma piramide e a distancia de seu vertice (ou cume) ao planode sua base.

Na figura 7.13 o comprimento h do segmento V J ⊥ α e a altura da piramide representada.

Figura 7.14

Definicao 7.7. Uma secao transversal de uma piramide e a intersecao da piramide comum plano paralelo ao plano de sua base.

Na figura 7.14 o plano β corta a piramide ilustrada na secao transversal S. Observe que S euma “copia” da base R, so que em tamanho menor, com todos os lados mantendo a mesmaproporcao. Esta propriedade e o que verificaremos a seguir de maneira formal. Estudaremosprimeiro o caso em que as piramides sao triangulares, e reduziremos em seguida o caso gerala este.

Teorema 7.8. Toda secao transversal de uma piramide triangular e uma regiao triangularsemelhante a sua base, e a razao de semelhanca entre seus lados e

ρ = d

h,

onde d e a distancia do vertice da piramide ao plano da secao, e h e a altura da piramide.

Figura 7.15

Demonstracao. Sejam T a piramide triangular de base △ABC e vertice V , e △A′B′C ′uma secao transversal de T , como representado na figura 7.15. Assumimos ainda que,seguindo a notacao da figura 7.15,

V P = h e a altura de T , onde P e o ponto do plano α determinado por △ABC tal queV P ⊥ α;

P ′ e o ponto do plano β da secao △A′B′C ′ em que V P o encontra. Como α ∥ β temosque V P ′ ⊥ β, donde d = V P ′ e a distancia de V a β.

Com estas notacoes o que queremos mostrar e que △A′B′C ′ ∼△ABC, com

A′B′

AB= A′C ′

AC= B′C ′

BC= d

h= ρ. (7.1)

Observe que estamos assumindo, na figura 7.15, que V P ≠ V A. Se, caso contrario, V P = V A,entao a demonstracao segue essencialmente os mesmos passos que daremos a seguir.

O primeiro passo e mostrar que△V A′P ′ ∼△V AP. (7.2)

De fato, como

(i) ∡A′V P ′ =∡AV P e

(ii) ∡V P ′A′ ≡∡V PA (pois sao ambos retos),



entao (7.2) e verdadeira pelo criterio AA de semelhanca de triangulos. Em particular

V A′

V A= V P ′

V P= d

h= ρ. (7.3)

Em seguida verificamos que

△V A′B′ ∼△V AB, △V B′C ′ ∼△V BC e △ V A′C ′ ∼△V AC. (7.4)

As tres relacoes seguem do fato que A′B′ ∥ AB, A′C ′ ∥ AC e B′C ′ ∥ BC (verifique!). Logotemos que

V A′

V A= V B′

V B= A′B′

AB(7.5)

V B′

V B= V C ′

V C= B′C ′

BC(7.6)

V C ′

V C= V A′

V A= C ′A′

CA(7.7)

Observe que de (7.3), (7.5) e (7.6) obtemos

d

h= V A′

V A= V B′

V B= V C ′

V C

(verifique!). Logo, de (7.5), (7.6) e (7.7) e da relacao acima concluımos que

A′B′

AB= A′C ′

AC= B′C ′

BC= d

h= ρ.

Em particular, pelo criterio LLL de semelhanca de triangulos, temos que

△A′B′C ′ ∼△ABC,

com razao de semelhanca ρ = d/h, como querıamos provar.

Uma consequencia direta deste teorema e o corolario seguinte, que relaciona as areas da basede uma piramide triangular com a area de uma secao transversal.

Corolario 7.9. Seguindo as notacoes do teorema 7.8, temos que

A(△A′B′C ′) = d2

h2A(△ABC).

Figura 7.16

Demonstracao. Este resultado e na verdade um resultado de geometria plana ja conhe-cido. Se △A′B′C ′ ∼△ABC de tal forma que valem as proporcoes (7.1), entao e facil de verque suas alturas seguem a mesma proporcao. Em outras palavras, usando as notacoes dafigura 7.16, temos que

A′H ′

AH= d

h.

Destas condicoes segue-se que

A(△A′B′C ′) = 1

2(A′B′).(A′H ′) = 1

2(dhAB) .(d

hAH) =

= d2

h2(12(AB)(AH)) =

= d2

h2A(△ABC),

como querıamos.

Problema 7.3. Mostre o resultado de geometria plana utilizado no corolario acima: a razaoentre as alturas de dois triangulos semelhantes e a mesma razao entre os seus lados.

O corolario 7.9 vale em geral, e nao so para piramides triangulares. O teorema seguintedeixara esta afirmacao mais clara.

Teorema 7.10. Em toda piramide a razao da area de uma secao transversal pela area desua base e d2/h2, onde h e a altura da piramide e d e a distancia de seu vertice ao plano dasecao transversal.

Figura 7.17

Demonstracao. Para provar isto basta decompor a base da piramide em regioes triangu-lares T1, T2, . . ., Tn e aplicar o corolario 7.9 para cada uma das piramides formadas. Comoilustracao, veja a figura 7.17, onde representamos o caso n = 2. Neste exemplo temos que

A(T ′1 ) =d2

h2A(T1) e A(T ′2 ) =

d2

h2A(T2)



entao (7.2) e verdadeira pelo criterio AA de semelhanca de triangulos. Em particular

V A′

V A= V P ′

V P= d

h= ρ. (7.3)

Em seguida verificamos que

△V A′B′ ∼△V AB, △V B′C ′ ∼△V BC e △ V A′C ′ ∼△V AC. (7.4)

As tres relacoes seguem do fato que A′B′ ∥ AB, A′C ′ ∥ AC e B′C ′ ∥ BC (verifique!). Logotemos que

V A′

V A= V B′

V B= A′B′

AB(7.5)

V B′

V B= V C ′

V C= B′C ′

BC(7.6)

V C ′

V C= V A′

V A= C ′A′

CA(7.7)

Observe que de (7.3), (7.5) e (7.6) obtemos

d

h= V A′

V A= V B′

V B= V C ′

V C

(verifique!). Logo, de (7.5), (7.6) e (7.7) e da relacao acima concluımos que

A′B′

AB= A′C ′

AC= B′C ′

BC= d

h= ρ.

Em particular, pelo criterio LLL de semelhanca de triangulos, temos que

△A′B′C ′ ∼△ABC,

com razao de semelhanca ρ = d/h, como querıamos provar.

Uma consequencia direta deste teorema e o corolario seguinte, que relaciona as areas da basede uma piramide triangular com a area de uma secao transversal.

Corolario 7.9. Seguindo as notacoes do teorema 7.8, temos que

A(△A′B′C ′) = d2

h2A(△ABC).

Figura 7.16

Demonstracao. Este resultado e na verdade um resultado de geometria plana ja conhe-cido. Se △A′B′C ′ ∼△ABC de tal forma que valem as proporcoes (7.1), entao e facil de verque suas alturas seguem a mesma proporcao. Em outras palavras, usando as notacoes dafigura 7.16, temos que

A′H ′

AH= d

h.

Destas condicoes segue-se que

A(△A′B′C ′) = 1

2(A′B′).(A′H ′) = 1

2(dhAB) .(d

hAH) =

= d2

h2(12(AB)(AH)) =

= d2

h2A(△ABC),

como querıamos.

Problema 7.3. Mostre o resultado de geometria plana utilizado no corolario acima: a razaoentre as alturas de dois triangulos semelhantes e a mesma razao entre os seus lados.

O corolario 7.9 vale em geral, e nao so para piramides triangulares. O teorema seguintedeixara esta afirmacao mais clara.

Teorema 7.10. Em toda piramide a razao da area de uma secao transversal pela area desua base e d2/h2, onde h e a altura da piramide e d e a distancia de seu vertice ao plano dasecao transversal.

Figura 7.17

Demonstracao. Para provar isto basta decompor a base da piramide em regioes triangu-lares T1, T2, . . ., Tn e aplicar o corolario 7.9 para cada uma das piramides formadas. Comoilustracao, veja a figura 7.17, onde representamos o caso n = 2. Neste exemplo temos que

A(T ′1 ) =d2

h2A(T1) e A(T ′2 ) =

d2

h2A(T2)



donde

B′ = A(T ′1 ) +A(T ′2 ) =d2

h2(A(T1) +A(T2)) =

= d2

h2B,

onde indicamos por B e B′ as areas da base de da secao transversal da piramide, respecti-vamente. A unica diferenca desta conta para o caso geral e que aparecem n parcelas nassomas envolvidas.

Problema 7.4. Ilustre o caso n = 3 para o teorema acima.

Uma consequencia importante do teorema 7.10, que nos permitira aplicar o Princıpio deCavalieri para calcular volumes de piramides, e o teorema a seguir.

Teorema 7.11. Se duas piramides tem a mesma altura e a area de suas bases tambem e amesma, entao as secoes determinadas por um mesmo plano tem as mesmas areas.

Figura 7.18

Demonstracao. Na figura 7.18 representamos duas piramides nas condicoes enunciadasno teorema. Seguindo as notacoes da figura, pelo teorema anterior temos que

A(S) = d2

h2A(R) e A(S ′) = d2

h2A(R′).

Como A(R) = A(R′), entao deduzimos que

A(S) = A(S ′)

como desejado.

Corolario 7.12. Se duas piramides tem a mesma altura e se suas bases sao coplanares etem a mesma area, entao o volume das duas piramides e o mesmo

Demonstracao. Observe que mostramos no teorema anterior que todas as secoes trans-versais de duas piramides nestas condicoes tem a mesma area. Assim, pelo Princıpio deCavalieri, ambas possuem o mesmo volume.



donde

B′ = A(T ′1 ) +A(T ′2 ) =d2

h2(A(T1) +A(T2)) =

= d2

h2B,

onde indicamos por B e B′ as areas da base de da secao transversal da piramide, respecti-vamente. A unica diferenca desta conta para o caso geral e que aparecem n parcelas nassomas envolvidas.

Problema 7.4. Ilustre o caso n = 3 para o teorema acima.

Uma consequencia importante do teorema 7.10, que nos permitira aplicar o Princıpio deCavalieri para calcular volumes de piramides, e o teorema a seguir.

Teorema 7.11. Se duas piramides tem a mesma altura e a area de suas bases tambem e amesma, entao as secoes determinadas por um mesmo plano tem as mesmas areas.

Figura 7.18

Demonstracao. Na figura 7.18 representamos duas piramides nas condicoes enunciadasno teorema. Seguindo as notacoes da figura, pelo teorema anterior temos que

A(S) = d2

h2A(R) e A(S ′) = d2

h2A(R′).

Como A(R) = A(R′), entao deduzimos que

A(S) = A(S ′)

como desejado.

Corolario 7.12. Se duas piramides tem a mesma altura e se suas bases sao coplanares etem a mesma area, entao o volume das duas piramides e o mesmo

Demonstracao. Observe que mostramos no teorema anterior que todas as secoes trans-versais de duas piramides nestas condicoes tem a mesma area. Assim, pelo Princıpio deCavalieri, ambas possuem o mesmo volume.

7.4.2 Calculo do volume de uma piramide

Na subsecao anterior apresentamos todo o material necessario para se calcular o volume deuma piramide. Agora, vamos ao calculo efetivo.

Teorema 7.13. O volume de uma piramide qualquer e um terco do volume do prisma demesma base e mesma altura. Ou, dito de outra forma, se B e a base da piramide, e h suaaltura entao seu volume e

V = 1

3A(B).h.

Figura 7.19

Demonstracao. Observamos primeiro que basta fazer o caso em que a piramide e tri-angular (um tetraedro). De fato, dada uma piramide qualquer, construa uma outra demesma altura e cuja base seja um triangulo de mesma area da piramide dada. Assim, pelocorolario 7.12 estas duas piramides possuem o mesmo volume.

Uma outra simplificacao e a seguinte: podemos assumir que uma das arestas laterais dapiramide e perpendicular ao plano da base pois, repetimos, o volume de uma piramidedepende apenas da area de sua base e de sua altura.

Resumindo: assumimos que a piramide e triangular com uma de suas arestas laterais perpen-dicular ao plano da base, sem perda de generalidade. Agora construımos sobre esta piramideum prisma triangular reto, como apresentado na figura 7.19 (na figura 7.19a representamosa piramide original, e na figura 7.19b o prisma).

Em seguida desmembramos o prisma em tres piramides, como mostramos nas figuras 7.19be 7.20. As tres piramides sao5 ADEV , ABEV e ABCV (que e a piramide original). Mos-traremos agora que estas tres piramides possuem o mesmo volume.

(a) As piramides ADEV e ABEV possuem o mesmo volume:

Consideremos △ADE e △AEB como bases, respectivamente, destas duas piramides.Com esta escolha a distancia h de V ao plano determinado pelos triangulos △ADE e

5Utilizamos os vertices para indicar as piramides, escritos em ordem qualquer.



Figura 7.20

△AEB (preste atencao: os triangulos sao coplanares!) e a altura das duas piramides.Para finalizar, observe que△ADE ≡△AEB (verifique!), dondeA(△ADE) = A(△AEB).Logo as duas piramides possuem bases de mesma area e a mesma altura, e portanto

V(ADEV ) = V(ABEV ).

(b) As piramides ADEV e ABCV possuem o mesmo volume:

Consideremos△DEV e△ABC como bases, respectivamente, das duas piramides. Comoestes triangulos sao as bases do prisma reto que construımos, e claro que △DEV ≡△ABC. Alem disso a altura destas duas piramides relativa as bases escolhidas e exa-tamente a distancia entre os planos das bases, donde e a mesma altura. Assim saopiramides com mesma area da base e mesma altura, donde

V(ADEV ) = V(ABCV ).

(c) Concluımos entao que

V(ADEV ) = V(ABEV ) = V(ABCV ).

Para terminarmos, observamos que o volume do prisma que construımos e

V(ABCVDE) = A(B).h,

onde B = △ABC e a base do prisma; e h = V C e a altura do prisma relativa a esta base.Mas temos ainda que

V(ABCVDE) = V(ADEV ) +V(ABEV ) +V(ABCV ) == 3.V(ABCV ),

donde

V = V(ABCD) = 1

3A(B).h

7.5 Aplicacoes

Nesta secao vamos calcular volumes de alguns solidos, a tıtulo de exemplo.

Problema 7.5. Calcule o volume de um tetraedro regular de aresta l (veja figura 7.21).

Figura 7.21: – Problema 7.5

Solucao. Lembramos que um tetraedro regular e uma piramide triangular cujas faces(e base) sao triangulos equilateros congruentes. Para calcular o seu volume precisamosencontrar a area de sua base e a sua altura. Na figura 7.21 a base do tetraedro e o trianguloequilatero △ABC, cujos lados medem todos l. Assim sua altura e

AM = l√3

2. (7.8)

Logo sua area e

A = 1

2l.(AM) = l2

√3

4.

Observe agora na figura 7.21 que a altura do tetraedro ilustrado e o comprimento h dosegmento V O. Como V e equidistante dos vertices da base △ABC do tetraedro, e V O eperpendicular ao plano da base, entao pelo problema 6.8 sabemos que O e o circuncentrodo triangulo △ABC (justifique!). Ora, O tambem e o baricentro do triangulo, donde

OA = l√3

3. (7.9)

Para calcular h aplicamos o Teorema de Pitagoras ao triangulo △V OA:

h2 + (OA)2 = l2 ⇒ h = l√6

3(7.10)

Entao o volume V do tetraedro e

V = 1

3A ⋅ h = 1

3⋅ l

2√3

4⋅ l√6

3= l3√2

12.



Figura 7.20

△AEB (preste atencao: os triangulos sao coplanares!) e a altura das duas piramides.Para finalizar, observe que△ADE ≡△AEB (verifique!), dondeA(△ADE) = A(△AEB).Logo as duas piramides possuem bases de mesma area e a mesma altura, e portanto

V(ADEV ) = V(ABEV ).

(b) As piramides ADEV e ABCV possuem o mesmo volume:

Consideremos△DEV e△ABC como bases, respectivamente, das duas piramides. Comoestes triangulos sao as bases do prisma reto que construımos, e claro que △DEV ≡△ABC. Alem disso a altura destas duas piramides relativa as bases escolhidas e exa-tamente a distancia entre os planos das bases, donde e a mesma altura. Assim saopiramides com mesma area da base e mesma altura, donde

V(ADEV ) = V(ABCV ).

(c) Concluımos entao que

V(ADEV ) = V(ABEV ) = V(ABCV ).

Para terminarmos, observamos que o volume do prisma que construımos e

V(ABCVDE) = A(B).h,

onde B = △ABC e a base do prisma; e h = V C e a altura do prisma relativa a esta base.Mas temos ainda que

V(ABCVDE) = V(ADEV ) +V(ABEV ) +V(ABCV ) == 3.V(ABCV ),

donde

V = V(ABCD) = 1

3A(B).h

7.5 Aplicacoes

Nesta secao vamos calcular volumes de alguns solidos, a tıtulo de exemplo.

Problema 7.5. Calcule o volume de um tetraedro regular de aresta l (veja figura 7.21).


Solucao. Lembramos que um tetraedro regular e uma piramide triangular cujas faces(e base) sao triangulos equilateros congruentes. Para calcular o seu volume precisamosencontrar a area de sua base e a sua altura. Na figura 7.21 a base do tetraedro e o trianguloequilatero △ABC, cujos lados medem todos l. Assim sua altura e

AM = l√3

2. (7.8)

Logo sua area e

A = 1

2l.(AM) = l2

√3

4.

Observe agora na figura 7.21 que a altura do tetraedro ilustrado e o comprimento h dosegmento V O. Como V e equidistante dos vertices da base △ABC do tetraedro, e V O eperpendicular ao plano da base, entao pelo problema 6.8 sabemos que O e o circuncentrodo triangulo △ABC (justifique!). Ora, O tambem e o baricentro do triangulo, donde

OA = l√3

3. (7.9)

Para calcular h aplicamos o Teorema de Pitagoras ao triangulo △V OA:

h2 + (OA)2 = l2 ⇒ h = l√6

3(7.10)

Entao o volume V do tetraedro e

V = 1

3A ⋅ h = 1

3⋅ l

2√3

4⋅ l√6

3= l3√2

12.



Problema 7.6. Mostre que as igualdades (7.8) e (7.9) estao corretas.

Problema 7.7. Calcule o volume de um octaedro regular de aresta l (veja figura 7.22).


Solucao. Lembramos que um octaedro regular, representado na figura 7.22 e um poliedrocujas oito faces sao triangulos equilateros. O octaedro da figura pode ser seccionado em duaspiramides quadrangulares V ABCD e WABCD cuja base comum e o quadrado ◻ABCD ecujas alturas sao iguais. Entao o volume V do octaedro pode ser escrito assim:

V = V(V ABCD) +V(WABCD) = 2 ⋅V(V ABCD).

Logo basta calcular o volume V′ = V(V ABCD). Vamos la. A area A da base da piramidee a area do quadrado ◻ABCD, ou seja,

A = l2.

Para calcular a altura da piramide observe que se O e o centro de ◻ABCD (isto e, oencontro de suas diagonais), entao V O e perpendicular ao plano do quadrado, donde aaltura da piramide e h = V O. Calculamos h aplicando o Teorema de Pitagoras ao triangulo△V OA:

h2 + (OA)2 = l2 ⇒ h2 = l2 − (OA)2 = l2 − ( l√2

2)2

⇒ h = l√2

2.

Entao

V′ = 1

3A ⋅ h = l3

√2

6.

Logo o volume do octaedro e

V = 2 ⋅V′ = l3√2

3.

Problema 7.8. Mostre que, nas notacoes da figura 7.22,

(a) OA = l√2/2. (Sugestao: observe que AC e a diagonal do quadrado ◻ABCD)

(b) V O e perpendicular ao plano do quadrado ◻ABCD. (Sugestao: Mostre que O e ocircuncentro dos triangulos △ABD e △BCD e aplique o problema 6.8.)

(c) Mostre que V , O e W sao pontos alinhados.

Figura 7.23: – Tronco de piramide

Ao se seccionar uma piramide por um plano paralelo a sua base separamos a piramide emdois poliedros: um que contem o vertice da piramide, que e uma nova piramide; e outro quecontem a base da piramide, que denominamos tronco de piramide. Na figura 7.23 represen-tamos uma piramide seccionada por um plano. A parte da figura desenhada em linhas maisgrossas e seu tronco. Dizemos ainda que a base B da piramide e a secao transversal B′ saobases do tronco. A distancia h entre os planos de B e B′ e a altura do tronco.

Problema 7.9. Calcule o volume de um tronco de piramide de bases B e B′ e altura h.

Solucao. Vamos seguir aqui as notacoes da figura 7.23. Sejam VT o volume do tronco dapiramide, VP o volume da piramide maior, e V′ o volume da piramide menor. Temos entaoque

VT = VP −V′. (7.11)

Vamos calcular V′ e VP . Para isto denotaremos

B = A(B) e B′ = A(B′).

Com esta notacao obtemos:

V′ = 1

3B′ ⋅ h′ e VP =

1

3B ⋅ (h + h′).

Para eliminarmos h′ das expressoes acima aplicamos o teorema 7.10:

B′ = (h′)2

(h + h′)2⋅B. (7.12)

Apos algumas manipulacoes algebricas obtemos:

h′ = h√B′√

B −√B′

(7.13)



Problema 7.6. Mostre que as igualdades (7.8) e (7.9) estao corretas.

Problema 7.7. Calcule o volume de um octaedro regular de aresta l (veja figura 7.22).


Solucao. Lembramos que um octaedro regular, representado na figura 7.22 e um poliedrocujas oito faces sao triangulos equilateros. O octaedro da figura pode ser seccionado em duaspiramides quadrangulares V ABCD e WABCD cuja base comum e o quadrado ◻ABCD ecujas alturas sao iguais. Entao o volume V do octaedro pode ser escrito assim:

V = V(V ABCD) +V(WABCD) = 2 ⋅V(V ABCD).

Logo basta calcular o volume V′ = V(V ABCD). Vamos la. A area A da base da piramidee a area do quadrado ◻ABCD, ou seja,

A = l2.

Para calcular a altura da piramide observe que se O e o centro de ◻ABCD (isto e, oencontro de suas diagonais), entao V O e perpendicular ao plano do quadrado, donde aaltura da piramide e h = V O. Calculamos h aplicando o Teorema de Pitagoras ao triangulo△V OA:

h2 + (OA)2 = l2 ⇒ h2 = l2 − (OA)2 = l2 − ( l√2

2)2

⇒ h = l√2

2.

Entao

V′ = 1

3A ⋅ h = l3

√2

6.

Logo o volume do octaedro e

V = 2 ⋅V′ = l3√2

3.

Problema 7.8. Mostre que, nas notacoes da figura 7.22,

(a) OA = l√2/2. (Sugestao: observe que AC e a diagonal do quadrado ◻ABCD)

(b) V O e perpendicular ao plano do quadrado ◻ABCD. (Sugestao: Mostre que O e ocircuncentro dos triangulos △ABD e △BCD e aplique o problema 6.8.)

(c) Mostre que V , O e W sao pontos alinhados.

Figura 7.23: – Tronco de piramide

Ao se seccionar uma piramide por um plano paralelo a sua base separamos a piramide emdois poliedros: um que contem o vertice da piramide, que e uma nova piramide; e outro quecontem a base da piramide, que denominamos tronco de piramide. Na figura 7.23 represen-tamos uma piramide seccionada por um plano. A parte da figura desenhada em linhas maisgrossas e seu tronco. Dizemos ainda que a base B da piramide e a secao transversal B′ saobases do tronco. A distancia h entre os planos de B e B′ e a altura do tronco.

Problema 7.9. Calcule o volume de um tronco de piramide de bases B e B′ e altura h.

Solucao. Vamos seguir aqui as notacoes da figura 7.23. Sejam VT o volume do tronco dapiramide, VP o volume da piramide maior, e V′ o volume da piramide menor. Temos entaoque

VT = VP −V′. (7.11)

Vamos calcular V′ e VP . Para isto denotaremos

B = A(B) e B′ = A(B′).

Com esta notacao obtemos:

V′ = 1

3B′ ⋅ h′ e VP =

1

3B ⋅ (h + h′).

Para eliminarmos h′ das expressoes acima aplicamos o teorema 7.10:

B′ = (h′)2

(h + h′)2⋅B. (7.12)

Apos algumas manipulacoes algebricas obtemos:

h′ = h√B′√

B −√B′

(7.13)



Entao, de (7.11),

VT = 1

3(B ⋅ (h + h′) −B′ ⋅ h′) =

= 1

3(B ⋅ h + (B −B′) ⋅ h′) = 1

3(B ⋅ h + (B −B′) ⋅ h

√B′√

B −√B′) =

= 1

3(B ⋅ h + (B −B′) ⋅ h

√B′√

B −√B′⋅ (√B +√B′)

(√B +√B′)) =

= 1

3(B ⋅ h + (B −B′) ⋅ h

√B′(√B +√B′)

B −B′) =

= 1

3h(B +B′ +

√BB′).

Problema 7.10. Mostre:

(a) Como se obtem (7.12) aplicando o teorema 7.10.

(b) Como se obtem (7.13) a partir de (7.12).

7.6 Exercıcios

7.1. A altura de uma piramide de base quadrada e 10, e o comprimento de um dos ladosda base e 15. Determine a area de uma secao transversal da piramide cuja distancia6 aovertice e 6.

7.2. Uma piramide e chamada de regular se a sua base e um polıgono regular e seu verticee equidistante de cada vertice da base. Mostre que as faces de qualquer piramide triangularsao triangulos isosceles congruentes entre si.

7.3. A altura de um paralelepıpedo retangular e 7, e os lados de sua base medem 4 e 5.Calcule o volume do paralelepıpedo.

7.4. Ao se introduzir um pedaco de metal em um tanque retangular cheio de agua, dedimensoes 50 cm de frente por 37 cm de profundidade, o nıvel da agua subiu 1 cm. Qual eo volume do pedaco de metal?


7.5. Volte ao exercıcio 6.3 e calcule o volume do prisma representado na figura 6.21.

7.6. Um prisma retangular reto tem uma altura de 18 cm e uma base que mede 6 cm por8 cm. O plano determinado por uma diagonal da base e um vertice da base superior formauma piramide com as faces do prisma. Determine o volume da piramide.

6A distancia de uma secao transversal de uma piramide a seu vertice e a distancia do plano da secao aovertice.



Entao, de (7.11),

VT = 1

3(B ⋅ (h + h′) −B′ ⋅ h′) =

= 1

3(B ⋅ h + (B −B′) ⋅ h′) = 1

3(B ⋅ h + (B −B′) ⋅ h

√B′√

B −√B′) =

= 1

3(B ⋅ h + (B −B′) ⋅ h

√B′√

B −√B′⋅ (√B +√B′)

(√B +√B′)) =

= 1

3(B ⋅ h + (B −B′) ⋅ h

√B′(√B +√B′)

B −B′) =

= 1

3h(B +B′ +

√BB′).

Problema 7.10. Mostre:

(a) Como se obtem (7.12) aplicando o teorema 7.10.

(b) Como se obtem (7.13) a partir de (7.12).

7.6 Exercıcios

7.1. A altura de uma piramide de base quadrada e 10, e o comprimento de um dos ladosda base e 15. Determine a area de uma secao transversal da piramide cuja distancia6 aovertice e 6.

7.2. Uma piramide e chamada de regular se a sua base e um polıgono regular e seu verticee equidistante de cada vertice da base. Mostre que as faces de qualquer piramide triangularsao triangulos isosceles congruentes entre si.

7.3. A altura de um paralelepıpedo retangular e 7, e os lados de sua base medem 4 e 5.Calcule o volume do paralelepıpedo.

7.4. Ao se introduzir um pedaco de metal em um tanque retangular cheio de agua, dedimensoes 50 cm de frente por 37 cm de profundidade, o nıvel da agua subiu 1 cm. Qual eo volume do pedaco de metal?


7.5. Volte ao exercıcio 6.3 e calcule o volume do prisma representado na figura 6.21.

7.6. Um prisma retangular reto tem uma altura de 18 cm e uma base que mede 6 cm por8 cm. O plano determinado por uma diagonal da base e um vertice da base superior formauma piramide com as faces do prisma. Determine o volume da piramide.

6A distancia de uma secao transversal de uma piramide a seu vertice e a distancia do plano da secao aovertice.


8 Cilindros, cones e esferas

AULA8: CILINDROS, CONES E ESFERAS

OBJETIVOSApresentar os chamados solidos (ou corpos) “redondos”: cilindros, cones e esferas. Listaralgumas propriedades destes solidos e calcular seus volumes.

8.1 Introducao

Nesta aula daremos uma breve introducao ao estudos dos “corpos redondos”: cilindros,cones e esferas, cujas imagens devem ser bem conhecidas de todos. Seremos, aqui, maisinformais ainda do que ate agora, pois esperamos que, a esta altura, voces ja estejam maisfamiliarizados com a linguagem e o assunto, e que sejam capazes de completar as eventuaislacunas por conta propria.

8.2 Cilindros

Figura 8.1

Um cilindro circular, denominado simplesmente cilindro1 neste texto, e um corpo solidoanalogo a um prisma, mas cuja base2 e uma regiao circular, e nao uma regiao poligonal. Aforma de defini-lo construtivamente e inteiramente analoga a forma que definimos prismasna secao 6.5.1 – basta trocar a palavra “poliedro” por “solido” e frase “regiao poligonal R”por “regiao circularR” na descricao apresentada no inıcio da secao, e teremos um cilindro.

1Enfatizamos o termo cilindro circular porque a base do solido em questao e uma regiao circular. Podemostambem, por exemplo, definir cilindros elıpticos, caso em que a base e uma regiao de um plano delimitadapor uma elipse. Em geral, podemos escolher qualquer curva num plano e “imitar” a definicao de cilindrocircular – pensando assim, podemos dizer que um prisma e, em particular, um cilindro.

2Usaremos livremente toda a terminologia utilizada para descrever as partes de prismas (veja a secao 6.5.1).O significado de cada termo ficara claro pelo contexto e pelas figuras.


105AUl A 8: Cilindros, Cones e esferAs

AULA8: CILINDROS, CONES E ESFERAS

OBJETIVOSApresentar os chamados solidos (ou corpos) “redondos”: cilindros, cones e esferas. Listaralgumas propriedades destes solidos e calcular seus volumes.

8.1 Introducao

Nesta aula daremos uma breve introducao ao estudos dos “corpos redondos”: cilindros,cones e esferas, cujas imagens devem ser bem conhecidas de todos. Seremos, aqui, maisinformais ainda do que ate agora, pois esperamos que, a esta altura, voces ja estejam maisfamiliarizados com a linguagem e o assunto, e que sejam capazes de completar as eventuaislacunas por conta propria.

8.2 Cilindros

Figura 8.1

Um cilindro circular, denominado simplesmente cilindro1 neste texto, e um corpo solidoanalogo a um prisma, mas cuja base2 e uma regiao circular, e nao uma regiao poligonal. Aforma de defini-lo construtivamente e inteiramente analoga a forma que definimos prismasna secao 6.5.1 – basta trocar a palavra “poliedro” por “solido” e frase “regiao poligonal R”por “regiao circularR” na descricao apresentada no inıcio da secao, e teremos um cilindro.

1Enfatizamos o termo cilindro circular porque a base do solido em questao e uma regiao circular. Podemostambem, por exemplo, definir cilindros elıpticos, caso em que a base e uma regiao de um plano delimitadapor uma elipse. Em geral, podemos escolher qualquer curva num plano e “imitar” a definicao de cilindrocircular – pensando assim, podemos dizer que um prisma e, em particular, um cilindro.

2Usaremos livremente toda a terminologia utilizada para descrever as partes de prismas (veja a secao 6.5.1).O significado de cada termo ficara claro pelo contexto e pelas figuras.



Problema 8.1. Na figura 8.1 representamos um cilindro cuja base e a regiao circular doplano α delimitada pela circunferencia C, e cuja reta diretriz e a reta l secante aos planos αe β. Compare esta figura com as figuras 6.12 e 6.13 e descreva como se define um cilindro,acompanhando a definicao de prisma dada na secao 6.5.1.

Como definimos para prismas, dizemos que a altura de um cilindro e a distancia dos planosparalelos que o delimita – na figura 8.1 a altura do cilindro representado e a distancia h dosplanos α e β.

Figura 8.2

Dizemos que um cilindro e reto se sua reta-diretriz for perpendicular aos planos que delimi-tam o cilindro, como representado na figura 8.2. Quando isto nao acontece dizemos que ocilindro e oblıquo, como representado na figura 8.1.

Vejamos agora como calcular o volume de um cilindro. O “truque” e comparar um cilindrocom uma figura espacial cujo volume seja conhecido e tal que se possa aplicar o Princıpiode Cavalieri que vimos na aula anterior. A escolha natural e usar um prisma (que nadamais e que um tipo de cilindro, como ja observamos) para realizar a comparacao. Paraisto precisamos do conceito de secao transversal de um cilindro, que e analogo ao de secaotransversal de um prisma:

Figura 8.3

Definicao 8.1. A intersecao de um cilindro com um plano paralelo aos planos de suas basese uma secao transversal do mesmo.

Na figura 8.3 a regiao S e uma secao transversal do cilindro.

Uma propriedade fundamental das secoes de um cilindro, que nos permite aplicar o Princıpiode Cavalieri para calcular o seu volume e que a area de cada uma e igual a area da base docilindro, como foi demonstrado para prismas no corolario 7.4:

Teorema 8.2. Dado um cilindro, a area de cada uma de suas secoes transversais e igual aarea de sua base.

Para demonstrar este teorema siga os passos do proximo problema.

Problema 8.2. Para provar o teorema 8.2 precisamos mostrar que cada secao transversal eum cırculo com o mesmo raio da base do cilindro. Para fazer isto vamos usar neste problemaas notacoes da figura 8.3.

Seja r o raio da base do cilindro. Chamemos de γ o plano que corta o cilindro na secao S.Sejam I ponto de γ em comum com a superfıcie lateral do cilindro, O o centro da base do

cilindro, e L o ponto em que a reta←�→OO′, paralela a reta-diretriz do cilindro, corta γ. Seja

tambem C o ponto da circunferencia da base do cilindro tal que←→IC ∥

←�→OO′. Entao mostre

que

(a) o quadrilatero ◻OCIL e um paralelogramo;

(b) OC = LI = r.

Conclua que todos os pontos em que a superfıcie do cilindro corta γ estao em uma circun-ferencia de raio r contida em γ, donde as areas das secoes transversais sao todas iguais aarea da base do cilindro.

Deste teorema deduzimos o seguinte:

Teorema 8.3. O volume de um cilindro qualquer e o produto da area de sua base pela suaaltura.

Demonstracao. Sejam r o raio da base do cilindro e h sua altura. Entao a area de suabase e B = πr2. Construa um prisma de altura h e base quadrada cujo lado meca l = r

√π.

Pelo Princıpio de Cavalieri sabemos que o volume deste prisma e o volume do cilindro saoiguais (por que?), donde o volume do cilindro e

V = Bh = πr2h.

Problema 8.3. Justifique por que o cilindro e o prisma construıdo na demonstracao doteorema acima possuem o mesmo volume.

8.3 Cones

Assim como cilindros sao analogos a prismas, cones sao analogos a piramides, e a sua de-finicao e inteiramente analoga a de piramide, apresentada na secao 6.5.3, trocando-se apalavra “poliedro” por “solido” e a frase “regiao poligonal plana” por “regiao circular”3.

3Assim como observamos quando definimos um cilindro, no caso do cone tambem podemos escolher umaregiao qualquer de um plano para construir um cone. Por exemplo, se escolhemos uma regiao limitadapor uma elipse, teremos o que costumamos chamar de cone elıptico. Entao, com esta visao mais geral,podemos dizer que uma piramide e, em particular, um cone.



Problema 8.1. Na figura 8.1 representamos um cilindro cuja base e a regiao circular doplano α delimitada pela circunferencia C, e cuja reta diretriz e a reta l secante aos planos αe β. Compare esta figura com as figuras 6.12 e 6.13 e descreva como se define um cilindro,acompanhando a definicao de prisma dada na secao 6.5.1.

Como definimos para prismas, dizemos que a altura de um cilindro e a distancia dos planosparalelos que o delimita – na figura 8.1 a altura do cilindro representado e a distancia h dosplanos α e β.

Figura 8.2

Dizemos que um cilindro e reto se sua reta-diretriz for perpendicular aos planos que delimi-tam o cilindro, como representado na figura 8.2. Quando isto nao acontece dizemos que ocilindro e oblıquo, como representado na figura 8.1.

Vejamos agora como calcular o volume de um cilindro. O “truque” e comparar um cilindrocom uma figura espacial cujo volume seja conhecido e tal que se possa aplicar o Princıpiode Cavalieri que vimos na aula anterior. A escolha natural e usar um prisma (que nadamais e que um tipo de cilindro, como ja observamos) para realizar a comparacao. Paraisto precisamos do conceito de secao transversal de um cilindro, que e analogo ao de secaotransversal de um prisma:

Figura 8.3

Definicao 8.1. A intersecao de um cilindro com um plano paralelo aos planos de suas basese uma secao transversal do mesmo.

Na figura 8.3 a regiao S e uma secao transversal do cilindro.

Uma propriedade fundamental das secoes de um cilindro, que nos permite aplicar o Princıpiode Cavalieri para calcular o seu volume e que a area de cada uma e igual a area da base docilindro, como foi demonstrado para prismas no corolario 7.4:

Teorema 8.2. Dado um cilindro, a area de cada uma de suas secoes transversais e igual aarea de sua base.

Para demonstrar este teorema siga os passos do proximo problema.

Problema 8.2. Para provar o teorema 8.2 precisamos mostrar que cada secao transversal eum cırculo com o mesmo raio da base do cilindro. Para fazer isto vamos usar neste problemaas notacoes da figura 8.3.

Seja r o raio da base do cilindro. Chamemos de γ o plano que corta o cilindro na secao S.Sejam I ponto de γ em comum com a superfıcie lateral do cilindro, O o centro da base do

cilindro, e L o ponto em que a reta←�→OO′, paralela a reta-diretriz do cilindro, corta γ. Seja

tambem C o ponto da circunferencia da base do cilindro tal que←→IC ∥

←�→OO′. Entao mostre

que

(a) o quadrilatero ◻OCIL e um paralelogramo;

(b) OC = LI = r.

Conclua que todos os pontos em que a superfıcie do cilindro corta γ estao em uma circun-ferencia de raio r contida em γ, donde as areas das secoes transversais sao todas iguais aarea da base do cilindro.

Deste teorema deduzimos o seguinte:

Teorema 8.3. O volume de um cilindro qualquer e o produto da area de sua base pela suaaltura.

Demonstracao. Sejam r o raio da base do cilindro e h sua altura. Entao a area de suabase e B = πr2. Construa um prisma de altura h e base quadrada cujo lado meca l = r

√π.

Pelo Princıpio de Cavalieri sabemos que o volume deste prisma e o volume do cilindro saoiguais (por que?), donde o volume do cilindro e

V = Bh = πr2h.

Problema 8.3. Justifique por que o cilindro e o prisma construıdo na demonstracao doteorema acima possuem o mesmo volume.

8.3 Cones

Assim como cilindros sao analogos a prismas, cones sao analogos a piramides, e a sua de-finicao e inteiramente analoga a de piramide, apresentada na secao 6.5.3, trocando-se apalavra “poliedro” por “solido” e a frase “regiao poligonal plana” por “regiao circular”3.

3Assim como observamos quando definimos um cilindro, no caso do cone tambem podemos escolher umaregiao qualquer de um plano para construir um cone. Por exemplo, se escolhemos uma regiao limitadapor uma elipse, teremos o que costumamos chamar de cone elıptico. Entao, com esta visao mais geral,podemos dizer que uma piramide e, em particular, um cone.



Figura 8.4

Neste texto so trataremos de cones circulares, isto e, cuja base e uma regiao circular, comoilustrado na figura 8.4; assim o termo cone sempre designara este tipo de solido.

Problema 8.4. Na figura 8.4 representamos um cone cuja base e a regiao circular do planoα delimitada pela circunferencia C de centro O, e cujo vertice e o ponto V , externo a α.Compare esta figura com a figura 6.17 e descreva como se define um cone, acompanhando adefinicao de piramide apresentada na secao 6.5.3.

Como definimos para piramides, a altura de um cone e a distancia de seu vertice ao planode sua base. No cone representado na figura 8.4, a sua altura e o comprimento do segmentoV J , denotada por h.

Figura 8.5

Dizemos que um cone e reto se o segmento que liga seu vertice ao centro de sua base forperpendicular ao plano da base, caso contrario dizemos que o cone e oblıquo. Na figura 8.4representamos um cone oblıquo, enquanto que na figura 8.5 representamos um cone reto.

Para calcular o volume de um cone aplicaremos a mesma tecnica utilizada para calcular ovolume de um cilindro: comparamos um cone com uma figura cujo volume seja conhecido epara a qual se possa aplicar o Princıpio de Cavalieri. A escolha natural aqui e comparar umcone com uma piramide. Neste caso precisamos de um resultado analogo ao teorema 7.10para piramides, que enunciamos a seguir. Observe que, neste enunciado, usamos o termo“secao transversal de um cone”, cuja definicao formal deixamos ao leitor como exercıcio.

Teorema 8.4. Em todo cone a razao da area de uma secao transversal pela area de suabase e d2/h2, onde h e a altura do cone e d e a distancia de seu vertice ao plano da secaotransversal.

Figura 8.6

Demonstracao. Demonstraremos o teorema, por simplicidade, no caso em que o cone ereto. A demonstracao do caso geral sera deixada como exercıcio.

Seguiremos as notacoes da figura 8.6. Se S e uma secao do cone correspondente a circun-ferencia de centro O′ e raio r, e sua base e o cırculo B de centro O e raio R, queremosmostrar que

A(S)A(B)

= d2

h2.

Para ver isto observe os triangulos △V OD e △V O′D′ representados na figura, obtidoscortando-se o cone com um plano perpendicular ao plano de sua base e passando pelo seuvertice. Estes triangulos sao semelhantes, donde

V O′

V O= O′D′

OD⇒ d

h= r

R.

LogoA(S)A(B)

= πr2

πR2= ( r

R)2

= (dh)2

= d2

h2,

como querıamos.

Problema 8.5. Escreva uma definicao de secao transversal de um cone.

Problema 8.6. Na demonstracao do teorema 8.4 afirmamos que os triangulos △V OD e△V O′D′ sao semelhantes. Verifique isto com detalhes.

Agora podemos calcular o volume de um cone, aplicando o Princıpio de Cavalieri.

Teorema 8.5. O volume V de um cone de altura h e cujo raio da base e r e dado por

V = 1

3πr2h,

ou seja, corresponde a um terco do volume de um cilindro de mesma base e mesma altura.

Demonstracao. Seja T uma piramide de altura h e cuja base seja um quadrado de lador√π. Se S ′d e uma secao transversal de T cuja distancia ao vertice da piramide e d entao,



Figura 8.4

Neste texto so trataremos de cones circulares, isto e, cuja base e uma regiao circular, comoilustrado na figura 8.4; assim o termo cone sempre designara este tipo de solido.

Problema 8.4. Na figura 8.4 representamos um cone cuja base e a regiao circular do planoα delimitada pela circunferencia C de centro O, e cujo vertice e o ponto V , externo a α.Compare esta figura com a figura 6.17 e descreva como se define um cone, acompanhando adefinicao de piramide apresentada na secao 6.5.3.

Como definimos para piramides, a altura de um cone e a distancia de seu vertice ao planode sua base. No cone representado na figura 8.4, a sua altura e o comprimento do segmentoV J , denotada por h.

Figura 8.5

Dizemos que um cone e reto se o segmento que liga seu vertice ao centro de sua base forperpendicular ao plano da base, caso contrario dizemos que o cone e oblıquo. Na figura 8.4representamos um cone oblıquo, enquanto que na figura 8.5 representamos um cone reto.

Para calcular o volume de um cone aplicaremos a mesma tecnica utilizada para calcular ovolume de um cilindro: comparamos um cone com uma figura cujo volume seja conhecido epara a qual se possa aplicar o Princıpio de Cavalieri. A escolha natural aqui e comparar umcone com uma piramide. Neste caso precisamos de um resultado analogo ao teorema 7.10para piramides, que enunciamos a seguir. Observe que, neste enunciado, usamos o termo“secao transversal de um cone”, cuja definicao formal deixamos ao leitor como exercıcio.

Teorema 8.4. Em todo cone a razao da area de uma secao transversal pela area de suabase e d2/h2, onde h e a altura do cone e d e a distancia de seu vertice ao plano da secaotransversal.

Figura 8.6

Demonstracao. Demonstraremos o teorema, por simplicidade, no caso em que o cone ereto. A demonstracao do caso geral sera deixada como exercıcio.

Seguiremos as notacoes da figura 8.6. Se S e uma secao do cone correspondente a circun-ferencia de centro O′ e raio r, e sua base e o cırculo B de centro O e raio R, queremosmostrar que

A(S)A(B)

= d2

h2.

Para ver isto observe os triangulos △V OD e △V O′D′ representados na figura, obtidoscortando-se o cone com um plano perpendicular ao plano de sua base e passando pelo seuvertice. Estes triangulos sao semelhantes, donde

V O′

V O= O′D′

OD⇒ d

h= r

R.

LogoA(S)A(B)

= πr2

πR2= ( r

R)2

= (dh)2

= d2

h2,

como querıamos.

Problema 8.5. Escreva uma definicao de secao transversal de um cone.

Problema 8.6. Na demonstracao do teorema 8.4 afirmamos que os triangulos △V OD e△V O′D′ sao semelhantes. Verifique isto com detalhes.

Agora podemos calcular o volume de um cone, aplicando o Princıpio de Cavalieri.

Teorema 8.5. O volume V de um cone de altura h e cujo raio da base e r e dado por

V = 1

3πr2h,

ou seja, corresponde a um terco do volume de um cilindro de mesma base e mesma altura.

Demonstracao. Seja T uma piramide de altura h e cuja base seja um quadrado de lador√π. Se S ′d e uma secao transversal de T cuja distancia ao vertice da piramide e d entao,



pelo teorema 7.10, sabemos queA(S ′d)πr2

= d2

h2.

Analogamente, se Sd e uma secao do cone que dista de seu vertice de d entao, pelo teorema 8.4temos que

A(Sd)πr2

= d2

h2.

Logo A(S ′d) = A(Sd) donde, pelo Princıpio de Cavalieri, obtemos V(T ) = V, ou seja,

V = 1

3πr2h,

como querıamos.

8.4 Esferas

As esferas sao os objetos espaciais analogos aos cırculos no plano. Uma definicao formal e aseguinte:

Figura 8.7

Definicao 8.6. Dado um ponto O e um numero real positivo r, o conjunto de todos ospontos do espaco cuja distancia a O e no maximo r e chamado de esfera. O ponto O e ocentro da esfera, e o numero r seu raio.

Dizemos que um ponto P e interior a esfera se OP < r, e e exterior se OP > r.O conjunto dos pontos do espaco cuja distancia a O e exatamente r e chamado de superfıcieesferica.

Na figura 8.7 representamos uma esfera de raio OA = r. No desenho OM = r, donde M eum ponto da superfıcie da esfera, OK < r, donde K e um ponto interior a esfera, e OL > r,donde L e um ponto exterior a esfera.

Nosso objetivo agora e calcular o volume de uma esfera, novamente aplicando o Princıpiode Cavalieri, como fizemos em todas as secoes desta aula. Para isto precisamos analisar assecoes planas de uma esfera.

Figura 8.8

Observe a figura 8.8: representamos nela uma esfera cortada por um plano α. Intuitivamentepodemos perceber que este corte determina um cırculo contido no plano e na esfera, fato quenao demonstraremos com rigor aqui (o leitor interessado podera encontrar a demonstracaoem algumas das referencias indicadas). Vamos calcular a area desta secao plana da esferaem funcao da distancia d do plano α ao centro O da esfera e de seu raio R. Na sequenciautilizaremos as notacoes indicadas na figura 8.8.

Sejam O′ ∈ α o pe da perpendicular a α por O, e P um ponto da circunferencia que o planoα determina na superfıcie da esfera. Nestas condicoes o triangulo △OO′P e um trianguloretangulo em O′, OO′ = d, OP = R e o raio da esfera, e O′P = R′ e o raio da circunferencia.Assim, pelo Teorema de Pitagoras,

(OP )2 = (OO′)2 + (O′P )2 ⇒ R2 = d2 +R′2,

dondeR′ =

√R2 − d2.

Logo a area da secao plana que esta a uma distancia d do centro da esfera e:

Ad = π(R2 − d2). (8.1)

Para aplicar o Princıpio de Cavalieri a uma esfera de raio R precisamos encontrar um solidoS que:

(i) tenha volume conhecido, e

(ii) as secoes planas da esfera e do solido S obtidas pelo corte com um mesmo plano tenhamas mesmas areas.

Um solido S com estas caracterısticas pode ser obtido assim (acompanhe na figura 8.9):

(a) tome um cilindro de altura 2R e raio da base R;

(b) tome V o “centro” do cilindro, isto e, o ponto medio do segmento O1O2, onde O1 e O2

sao os centros das bases inferior e superior do cilindro, respectivamente;

(c) retire fora do cilindro dois cones com vertices em V , sendo a base de um deles a baseinferior do cilindro, e a base do outro a base superior do cilindro.



pelo teorema 7.10, sabemos queA(S ′d)πr2

= d2

h2.

Analogamente, se Sd e uma secao do cone que dista de seu vertice de d entao, pelo teorema 8.4temos que

A(Sd)πr2

= d2

h2.

Logo A(S ′d) = A(Sd) donde, pelo Princıpio de Cavalieri, obtemos V(T ) = V, ou seja,

V = 1

3πr2h,

como querıamos.

8.4 Esferas

As esferas sao os objetos espaciais analogos aos cırculos no plano. Uma definicao formal e aseguinte:

Figura 8.7

Definicao 8.6. Dado um ponto O e um numero real positivo r, o conjunto de todos ospontos do espaco cuja distancia a O e no maximo r e chamado de esfera. O ponto O e ocentro da esfera, e o numero r seu raio.

Dizemos que um ponto P e interior a esfera se OP < r, e e exterior se OP > r.O conjunto dos pontos do espaco cuja distancia a O e exatamente r e chamado de superfıcieesferica.

Na figura 8.7 representamos uma esfera de raio OA = r. No desenho OM = r, donde M eum ponto da superfıcie da esfera, OK < r, donde K e um ponto interior a esfera, e OL > r,donde L e um ponto exterior a esfera.

Nosso objetivo agora e calcular o volume de uma esfera, novamente aplicando o Princıpiode Cavalieri, como fizemos em todas as secoes desta aula. Para isto precisamos analisar assecoes planas de uma esfera.

Figura 8.8

Observe a figura 8.8: representamos nela uma esfera cortada por um plano α. Intuitivamentepodemos perceber que este corte determina um cırculo contido no plano e na esfera, fato quenao demonstraremos com rigor aqui (o leitor interessado podera encontrar a demonstracaoem algumas das referencias indicadas). Vamos calcular a area desta secao plana da esferaem funcao da distancia d do plano α ao centro O da esfera e de seu raio R. Na sequenciautilizaremos as notacoes indicadas na figura 8.8.

Sejam O′ ∈ α o pe da perpendicular a α por O, e P um ponto da circunferencia que o planoα determina na superfıcie da esfera. Nestas condicoes o triangulo △OO′P e um trianguloretangulo em O′, OO′ = d, OP = R e o raio da esfera, e O′P = R′ e o raio da circunferencia.Assim, pelo Teorema de Pitagoras,

(OP )2 = (OO′)2 + (O′P )2 ⇒ R2 = d2 +R′2,

dondeR′ =

√R2 − d2.

Logo a area da secao plana que esta a uma distancia d do centro da esfera e:

Ad = π(R2 − d2). (8.1)

Para aplicar o Princıpio de Cavalieri a uma esfera de raio R precisamos encontrar um solidoS que:

(i) tenha volume conhecido, e

(ii) as secoes planas da esfera e do solido S obtidas pelo corte com um mesmo plano tenhamas mesmas areas.

Um solido S com estas caracterısticas pode ser obtido assim (acompanhe na figura 8.9):

(a) tome um cilindro de altura 2R e raio da base R;

(b) tome V o “centro” do cilindro, isto e, o ponto medio do segmento O1O2, onde O1 e O2

sao os centros das bases inferior e superior do cilindro, respectivamente;

(c) retire fora do cilindro dois cones com vertices em V , sendo a base de um deles a baseinferior do cilindro, e a base do outro a base superior do cilindro.



Figura 8.9

A parte do cilindro que sobra e o solido que usaremos para calcular o volume de uma esfera deraio R. Observe que se cortarmos o solido por um plano perpendicular aos planos das basese passando pelos centros da mesma obtemos dois triangulos, representados na figura 8.9como sendo os triangulos △MVN e △PV Q. E se cortarmos o solido com um plano paraleloas bases do cilindro obtemos uma secao que e um anel circular. Na figura representamos asecao obtida com o corte por um plano cuja distancia a V e d.

Prestemos atencao agora no triangulo △V O2M . Este triangulo e reto em O2 e e isosceles,pois V O2 = R = O2M . Os pontos O e C sao os pontos em que O1O2 e VM encontram oplano da secao, respectivamente. Nao e difıcil de perceber que △V OC tambem e isosceles,com V O = d = OC. A area da secao representada do solido na figura 8.9 e dada por

A′d = π(OT )2 − π(OC)2 = πR2 − πd2 = π(R2 − d2). (8.2)

Problema 8.7. Explique por que (8.2) e a area do anel circular mostrado na figura 8.9.

Ora, de (8.1) e (8.2) vemos que as areas das secoes da esfera de raio R e do solido S construıdoacima que estao a mesma distancia do centro dos respectivos solidos sao iguais donde, peloPrincıpio de Cavalieri, ambos possuem o mesmo volume. O volume do solido S e dado por

VS = Vcil − 2Vcone

onde Vcil e o volume do cilindro e Vcone e o volume de cada um dos cones. Substituindopelos nossos dados:

VS = πR2.(2R) − 2(13πR2.R) = 4

3πR3,

que e o volume da esfera de raio R.

Problema 8.8. Mostre, com detalhes, que V O = OC, na figura 8.9.

8.5 Exercıcios

8.1. A base de um cilindro e um cırculo de diametro 8, e sua altura tambem e 8. Qual oseu volume?

8.2. Qual deve ser o comprimento de um tubo cujo diametro interno mede 2 cm, para poderconter 600 cm3 de agua?

8.3. Determine o volume de um cone de altura 12 e base de raio 3.

8.4. A altura de um cone e 9. Um plano paralelo ao plano de sua base o intercepta a umadistancia de 5 da base, determinando um pequeno cone na parte superior.

(a) Desenhe uma figura que representa a situacao.

(b) Qual a razao entre as alturas dos dois cones?

(c) Qual a razao entre os raios de suas bases?

(d) Qual a razao entre as areas de suas bases?

(e) Qual a razao entre os volumes dos dois cones?


.

8.5. Reveja o problema resolvido 7.9 e diga o que e um troncode cone, usando como referencia a figura 8.10. Em seguida,calcule o volume de um tronco de cone de altura 8 e raiosdas bases inferior e superior iguais a 4 e 6, respectivamente.(Sugestao: usando proporcoes, calcule a altura integral do conee subtraia do volume do cone maior o volume do cone menor.)

8.6. Calcule o volume de uma esfera de raio 4.

8.7. O diametro de uma certa esfera e igual ao raio de umaoutra esfera. Responda:

(a) Qual e a razao entre os raios das esferas?

(b) Qual e a razao de seus volumes?



Figura 8.9

A parte do cilindro que sobra e o solido que usaremos para calcular o volume de uma esfera deraio R. Observe que se cortarmos o solido por um plano perpendicular aos planos das basese passando pelos centros da mesma obtemos dois triangulos, representados na figura 8.9como sendo os triangulos △MVN e △PV Q. E se cortarmos o solido com um plano paraleloas bases do cilindro obtemos uma secao que e um anel circular. Na figura representamos asecao obtida com o corte por um plano cuja distancia a V e d.

Prestemos atencao agora no triangulo △V O2M . Este triangulo e reto em O2 e e isosceles,pois V O2 = R = O2M . Os pontos O e C sao os pontos em que O1O2 e VM encontram oplano da secao, respectivamente. Nao e difıcil de perceber que △V OC tambem e isosceles,com V O = d = OC. A area da secao representada do solido na figura 8.9 e dada por

A′d = π(OT )2 − π(OC)2 = πR2 − πd2 = π(R2 − d2). (8.2)

Problema 8.7. Explique por que (8.2) e a area do anel circular mostrado na figura 8.9.

Ora, de (8.1) e (8.2) vemos que as areas das secoes da esfera de raio R e do solido S construıdoacima que estao a mesma distancia do centro dos respectivos solidos sao iguais donde, peloPrincıpio de Cavalieri, ambos possuem o mesmo volume. O volume do solido S e dado por

VS = Vcil − 2Vcone

onde Vcil e o volume do cilindro e Vcone e o volume de cada um dos cones. Substituindopelos nossos dados:

VS = πR2.(2R) − 2(13πR2.R) = 4

3πR3,

que e o volume da esfera de raio R.

Problema 8.8. Mostre, com detalhes, que V O = OC, na figura 8.9.

8.5 Exercıcios

8.1. A base de um cilindro e um cırculo de diametro 8, e sua altura tambem e 8. Qual oseu volume?

8.2. Qual deve ser o comprimento de um tubo cujo diametro interno mede 2 cm, para poderconter 600 cm3 de agua?

8.3. Determine o volume de um cone de altura 12 e base de raio 3.

8.4. A altura de um cone e 9. Um plano paralelo ao plano de sua base o intercepta a umadistancia de 5 da base, determinando um pequeno cone na parte superior.

(a) Desenhe uma figura que representa a situacao.

(b) Qual a razao entre as alturas dos dois cones?

(c) Qual a razao entre os raios de suas bases?

(d) Qual a razao entre as areas de suas bases?

(e) Qual a razao entre os volumes dos dois cones?


.

8.5. Reveja o problema resolvido 7.9 e diga o que e um troncode cone, usando como referencia a figura 8.10. Em seguida,calcule o volume de um tronco de cone de altura 8 e raiosdas bases inferior e superior iguais a 4 e 6, respectivamente.(Sugestao: usando proporcoes, calcule a altura integral do conee subtraia do volume do cone maior o volume do cone menor.)

8.6. Calcule o volume de uma esfera de raio 4.

8.7. O diametro de uma certa esfera e igual ao raio de umaoutra esfera. Responda:

(a) Qual e a razao entre os raios das esferas?

(b) Qual e a razao de seus volumes?


Apêndices


115Apêndices: A XiOMAs dA GeOMeTRiA pL AnA

APENDICE A: AXIOMAS DA GEOMETRIA PLANAListamos neste apendice todos os axiomas e algumas definicoes basicas apresentados em [7],para facilitar a consulta dos leitores.

A.1 Axiomas: grupo I, axiomas de incidencia

Axioma I.1. Se A e B sao dois pontos distintos do plano, entao existe uma e uma unicareta l tal que A e B pertencem a l.

Axioma I.2. Toda reta do plano possui pelo menos dois pontos distintos.

Axioma I.3. O plano contem pelo menos tres pontos distintos que nao pertencem a umamesma reta.

A.2 Axiomas: grupo II, parte 1: metrica e ordem nareta

Axioma II.1. Para cada par de pontos A, B do plano existe um unico numero real asso-ciado, denotado por AB, satisfazendo as propriedades:

(a) AB ≥ 0;

(b) AB = 0 se e somente se A = B;

(c) AB = BA.

Definicao A.1. A distancia entre dois pontos A e B do plano e o numero AB postuladono axioma II.1.

Definicao A.2. Dados dois pontos A e B diremos que um ponto C esta entre A e B se:

(a) C ∈←→AB;

(b) AB = AC +BC.

Esta relacao sera denotada por A −C −B.

Axioma II.2. Se A, B e C sao tres pontos alinhados, entao um deles esta entre os outrosdois.

Definicao A.3. O conjunto dos pontos que estao entre dois pontos A e B, incluindo estes,

e um segmento (da reta←→AB), e sera denotado por AB, ou seja,

AB = {pontos C tais que A −C −B} ∪ {A,B}.

Os pontos A e B sao os extremos de AB, e qualquer outro ponto do intervalo distinto de seusextremos e um ponto interior de AB. Analogamente, todo ponto do plano que nao pertencea AB e um ponto exterior ao segmento. O comprimento ou medida do segmento AB e adistancia entre os seus extremos, ou seja, e o numero AB.



Definicao A.4. Dados dois pontos A e B de uma reta l, o subconjunto�→AB de l definido

por�→AB = AB ∪ {pontos P ∈ l tais que A −B − P}

e uma semirreta de l com origem em A. Dizemos tambem que l e a reta suporte de�→AB.

Axioma II.3. Dados dois pontos A e B em uma reta l, existe um ponto C de l tal que Aesta entre C e B, ou seja, tal que C −A −B.

Axioma II.4. As semirretas�→AB e

�→AC determinadas pelos pontos A, B e C de uma reta

l, com C −A −B, satisfazem as seguintes propriedades:

(a)�→AB ∪�→AC = l;

(b)�→AB ∩�→AC = {A};

(c) dois pontos P,Q ∈ l diferentes de A pertencem a uma mesma semirreta se e so se A naopertence ao segmento PQ (ou, em outras palavras, se A nao esta entre P e Q);

(d) dois pontos P,Q ∈ l diferentes de A pertencem a semirretas diferentes se e so se Apertence ao segmento PQ (ou, em outras palavras, se A esta entre P e Q).

Axioma II.5. Em qualquer semirreta�→AB e para todo numero real positivo c existe um

ponto C ∈�→AB tal que AC = c.

Axioma II.6. Toda reta l determina exatamente dois subconjuntos Pl e Pl do plano, de-nominados semiplanos em relacao a l, satisfazendo as seguintes propriedades:

(a) todos os pontos do plano estao contidos em Pl ∪ Pl;

(b) Pl ∩ Pl = l;

(c) dois pontos A e B nao pertencentes a l estao num mesmo semiplano em relacao a l see somente se AB ∩ l = ∅;

(d) dois pontos A e B nao pertencentes a l estao em semiplanos distintos se e somente seAB ∩ l ≠ ∅.

A.3 Axiomas: grupo III, medida de angulos

Axioma III.1. Para cada angulo ∡BAC do plano existe um numero real associado, deno-tado por m(∡BAC), satisfazendo as propriedades:

(a) 0 ≤m(∡BAC) ≤ 180;

(b) m(∡BAC) = 0 se e somente se ∡BAC for um angulo nulo;

(c) m(∡BAC) = 180 se e somente se ∡BAC for um angulo raso;

(d) m(∡BAC) =m(∡CAB).

Definicao A.5. O numero m(∡BAC) postulado no axioma III.1 e a medida do angulo∡BAC.

Axioma III.2. (a) Se ∡BAC e um angulo nao trivial e D e um ponto em seu interior,entao

m(∡BAC) =m(∡BAD) +m(∡DAC).

(b) Se ∡BAC e um angulo raso e D esta em um dos lados do plano determinado por←→BC

entaom(∡BAD) +m(∡DAC) = 180.


semiplano P determinado por←→AB, existe uma unica semirreta

�→AD ⊂ P tal que

m(∡BAD) = a.

A.4 Axiomas: grupo IV, congruencia de triangulos

Axioma IV. (Caso LAL de congruencia de triangulos) Se dois triangulos △ABC e △DEFforem tais que

AB ≡DE, AC ≡DF e ∡BAC ≡∡EDF

entao△ABC ≡△DEF.

A.5 Axiomas: grupo V, axioma das paralelas

Axioma V. Dada uma reta, por cada ponto que nao lhe pertencente passa, no maximo,uma reta paralela a ela.

A.6 Axiomas: grupo VI, axiomas sobre areas

Axioma VI.1. A cada regiao poligonal R esta associado um unico numero real positivo,denotado por A(R).

Definicao A.6. O numero A(R) do axioma VI.1 e a area de R.

Axioma VI.2. Se dois triangulos sao congruentes, as regioes triangulares determinadaspor eles tem a mesma area.

Axioma VI.3. Se uma regiao R e a uniao de duas regioes R1 e R2 tais que R1 e R2

se interceptam em no maximo um numero finito de segmentos e pontos, entao A(R) =A(R1) +A(R2).

Axioma VI.4. A area de um quadrado e o produto do comprimento de seus lados.


117Apêndices: A XiOMAs dA GeOMeTRiA pL AnA

Definicao A.4. Dados dois pontos A e B de uma reta l, o subconjunto�→AB de l definido

por�→AB = AB ∪ {pontos P ∈ l tais que A −B − P}

e uma semirreta de l com origem em A. Dizemos tambem que l e a reta suporte de�→AB.

Axioma II.3. Dados dois pontos A e B em uma reta l, existe um ponto C de l tal que Aesta entre C e B, ou seja, tal que C −A −B.

Axioma II.4. As semirretas�→AB e

�→AC determinadas pelos pontos A, B e C de uma reta

l, com C −A −B, satisfazem as seguintes propriedades:

(a)�→AB ∪�→AC = l;

(b)�→AB ∩�→AC = {A};

(c) dois pontos P,Q ∈ l diferentes de A pertencem a uma mesma semirreta se e so se A naopertence ao segmento PQ (ou, em outras palavras, se A nao esta entre P e Q);

(d) dois pontos P,Q ∈ l diferentes de A pertencem a semirretas diferentes se e so se Apertence ao segmento PQ (ou, em outras palavras, se A esta entre P e Q).

Axioma II.5. Em qualquer semirreta�→AB e para todo numero real positivo c existe um

ponto C ∈�→AB tal que AC = c.

Axioma II.6. Toda reta l determina exatamente dois subconjuntos Pl e Pl do plano, de-nominados semiplanos em relacao a l, satisfazendo as seguintes propriedades:

(a) todos os pontos do plano estao contidos em Pl ∪ Pl;

(b) Pl ∩ Pl = l;

(c) dois pontos A e B nao pertencentes a l estao num mesmo semiplano em relacao a l see somente se AB ∩ l = ∅;

(d) dois pontos A e B nao pertencentes a l estao em semiplanos distintos se e somente seAB ∩ l ≠ ∅.

A.3 Axiomas: grupo III, medida de angulos

Axioma III.1. Para cada angulo ∡BAC do plano existe um numero real associado, deno-tado por m(∡BAC), satisfazendo as propriedades:

(a) 0 ≤m(∡BAC) ≤ 180;

(b) m(∡BAC) = 0 se e somente se ∡BAC for um angulo nulo;

(c) m(∡BAC) = 180 se e somente se ∡BAC for um angulo raso;

(d) m(∡BAC) =m(∡CAB).

Definicao A.5. O numero m(∡BAC) postulado no axioma III.1 e a medida do angulo∡BAC.

Axioma III.2. (a) Se ∡BAC e um angulo nao trivial e D e um ponto em seu interior,entao

m(∡BAC) =m(∡BAD) +m(∡DAC).

(b) Se ∡BAC e um angulo raso e D esta em um dos lados do plano determinado por←→BC

entaom(∡BAD) +m(∡DAC) = 180.


semiplano P determinado por←→AB, existe uma unica semirreta

�→AD ⊂ P tal que

m(∡BAD) = a.

A.4 Axiomas: grupo IV, congruencia de triangulos

Axioma IV. (Caso LAL de congruencia de triangulos) Se dois triangulos △ABC e △DEFforem tais que

AB ≡DE, AC ≡DF e ∡BAC ≡∡EDF

entao△ABC ≡△DEF.

A.5 Axiomas: grupo V, axioma das paralelas

Axioma V. Dada uma reta, por cada ponto que nao lhe pertencente passa, no maximo,uma reta paralela a ela.

A.6 Axiomas: grupo VI, axiomas sobre areas

Axioma VI.1. A cada regiao poligonal R esta associado um unico numero real positivo,denotado por A(R).

Definicao A.6. O numero A(R) do axioma VI.1 e a area de R.

Axioma VI.2. Se dois triangulos sao congruentes, as regioes triangulares determinadaspor eles tem a mesma area.

Axioma VI.3. Se uma regiao R e a uniao de duas regioes R1 e R2 tais que R1 e R2

se interceptam em no maximo um numero finito de segmentos e pontos, entao A(R) =A(R1) +A(R2).

Axioma VI.4. A area de um quadrado e o produto do comprimento de seus lados.



ReferenciasReferencias Bibliograficas

[1] J. L. M. Barbosa, Geometria Euclidiana Plana, SBM, Rio de Janeiro, 1985.

[2] P. C. P. Carvalho, Introducao a Geometria Espacial, 4a ed., SBM, Rio de Janeiro,2005.

[3] O. Dolce & J. N. Pompeo, Fundamentos de Matematica Elementar, vol 9: Geome-tria Plana, 6a ed., Atual Editora, Sao Paulo, 1990.

[4] O. Dolce & J. N. Pompeo, Fundamentos de Matematica Elementar, vol 10: Geo-metria Espacial, posicao e metrica, 6a ed., Atual Editora, Sao Paulo, 2005.

[5] F. L. Downs, Jr. & E. E. Moise, Geometria Moderna, 2 volumes, Ed. Edgar Blucher,Sao Paulo, 1971.

[6] M .C. de Farias. Resolucao de Problemas Geometricos, Ed. UFMG, Belo Horizonte,2009.

[7] P. A. F. Machado. Fundamentos de Geometria Plana, preprint, 2010.

[8] A. V. Pogorelov, Geometrıa elemental, trad. para o espanhol por Carlos Vega, Ed.Mir, Moscou, 1974.

[9] M. L. B. de Queiroz & E. Q. F. Rezende, Geometria Euclidiana Plana e Cons-trucoes Geometricas, 2a ed., Ed. da Unicamp, Campinas, 2008.

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119REFERêNCIAS



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