LER 01 − LISTA DE EXERCICIOS RESOLVIDOS 01

Uma praga de insetos ataca uma plantacao de batatas; deseja-se controlar, biologicamente a praga,atraves de uma estrategia otima. Considerando uma margem de perda ao redor de 8% ao supor umaplantacao inicial para recolher os insetos e supondo a area de plantacao um campo retangular dedimensoes M = 122 m e N = 50 m. Faca uma Modelagem Matematica do problema de encontrara largura da faixa em torno da plantacao do campo retangular. Identifique e explique as etapas daModelagem Matematica do problema.

Solucao:

Da hipotese, temos que a producao da plantacao (1−p)MN e igual a area plantada (M − 2x)(N − 2x),isto e,

(1− 0, 08)(122)(50) = (122− 2x)(50− 2x),

ou5612 = (122− 2x)(50− 2x) = 4x2 − 344x + 6100

obtendo a expressao quadratica

x2 − 86x + 122 = 0 ⇔ x = 84, 557 ou x = 1, 443 aproximadamente.

De onde x = 1, 443 metros e a largura procurada.

Questao 2

Um trabalhador deseja circundar uma regiao proximo a um rio com uma cerca de 200 metros decomprimento para encerrar seus animais. Faca a Modelagem Matematica do problema, para determinaras dimensoes da regiao para que a area cercada seja a maior possıvel. Rpta. 100 e 10 metros.

Solucao:

Suponhamos que a regiao e representada por um retangulo (hipoteses de simplificacao) com lados x, y

Figura 2. Temos, x + 2y = 200, y = 200−x2

. A area e xy = x(200−x

2

)= 200x−x2

2= A(x), a qual deve ser

maxima, entao, o modelo matematico do problema e dado pelo seguinte problema de maximizacao:

maxx ∈ [0,200]

A(x)

x sera ponto de maximo se A′(x) = 200−2x2

= 0, isto e x = 100, logo y = 10.

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Data para submissao na Plataforma Moodle: 04/08/2014

Questao 1

Figura 1: Geometria do problema

Questao 3

Em certa especie de peixes, verificou-se que o consumo de oxigenio O(l) dos peixes por unidade de pesodiminui com o aumento de seu comprimento l atraves da relacao funcional (modelo matematico):

O(l) = kql 0 ≤ l ≤ 80,

para certos parametros k e q. Que tipo de formulacao representa o problema? Estimar k e q utilizandoas seguintes coleta de dados:

l (cm) 0 10 30 50 60 70 80

O (ml) 121 74 30 12 6,7 3,7 2

Representar os dados da tabela em um grafico de dispersao.

Solucao:

Modelo estatico. Utilizando o metodo dos mınimos quadrados para aproximar o conjunto de dados pelomodelo exponencial encontramos k ≈ 128, 54, q = e−0,05. Ver Exemplo 11 da Apostila.

Figura 2: Questao 3.

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Questao 4

A velocidade x de um carro nos primeiros 8 minutos e dado pela seguinte tabela,

t 1 2 3 4 5 6 7 8

x 5 8 7 9 11 10 14 13

Se deseja obter uma modelage matematica da velocidade do carro em tempos posteriores.

Solucao:

O problema sera modelado matematicamente atraves de um ajuste linear dos dados, com o objetivo deencontrar a melhor aproximacao linear.8∑

i=1

ti = 36,8∑

i=1

xi = 77,8∑

i=1

t2i = 204,8∑

i=1

tixi = 395. Logo, aplicando o metodo dos mınimos quadrados

obten-se a curva de regresao linear x = 1, 155t + 4, 429.

Questao 5

A tabela seguinte da informacao do censo de uma populacao (em milhoes) de um certo paıs em relacaoao tempo (anos).

Anos 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950

Populacao 23.2 31.4 39.8 50.2 62.9 76.0 92.0 105.7 122.8 131.7 151.1

a) Faca um ajuste quadratico dos dados da tabela pelo metodo dos mınimos quadrados.

b) Calcule os valores da regressao (comumente chamados de valores de tendencia) para os anos dadose comparar com os valores reais.c) Estime a populacao de 1945.d) Estime a populacao de 1960 e compare com o valor real 178, 9.

Solucao:

a) Localizamos a origem x = 0 com o ano medio 1900, e a cada uma unidade dos anos 1910, 1920, 1930,1940, 1950 e 1890, 1880, 1870, 1860, 1850 correspondem os valores x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, x5 = 5,e x7 = −1, x8 = −2, x9 = −3, x(10) = −4, x11 = −5 respectivamente onde x6 = 0. Obtemos

11∑i=1

xi = 0,11∑i=1

yi = 886.8,11∑i=1

x2i = 110,

11∑i=1

x3i = 0,

11∑i=1

x4i = 1958,

11∑i=1

xiy1 = 1429.8,11∑i=1

x2i yi = 9209

e a equacao quadratica

y = 76.64 + 13.00x + 0.3974x2

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b)

Anox1 = −5

1850

x2 = −4

1860

x3 = −3

1870

x4 = −2

1880

x5 = −1

1890Valores detendencia

21.6 31.0 41.2 52.2 64.0

Valor atual 23.2 31.4 39.8 50.2 62.9

Anox6 = 0

1900

x7 = 1

1910

x8 = 2

1920

x9 = 3

1930

x10 = 4

1940

x11 = 5

1950Valores detendencia

76.6 90.0 104.2 119.2 135.0 151.6

Valor atual 76.0 92.0 105.7 122.8 131.7 151.1

c) 1945 corresponde a x = 4.5 para o qual y = 76.64 + 13.00(4.5)2 + 0.3974(4.5)2 = 143.2.d) 1960 corresponde a x = 6 para o qual y = 76.64 + 13.00(6) + 0.3974(6)2 = 168.9; isso nao concordamuito bem com o valor real, 178.9.

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