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COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA

FUN

ÁLGEBRA TEORIA DOS NÚMEROS INTEIROS

JOÃO CARLOS MOREIRA COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA






JOÃO CARLOS MOREIRA Professor do Instituto de Ciências Exatas e Naturais - ICENP

Universidade Federal de Uberlândia


Copyright © 2019 by João Carlos Moreira CAPA: João Carlos Moreira EDITOR: João Carlos Moreira DIAGRAMAÇÃO: João Carlos Moreira DISTRIBUIÇÃO: Editora Livraria Escola de Matemática COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida sejam quais forem os meios empregados sem a permissão expressa da Editora. Aos infratores aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei no 9.610, de 19 de fevereiro de 1988.

Impresso no Brasil / Printed in Brazil

https://www.escoladematematicapontal.com.br/livraria-online/

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Para todos os meus alunos, com carinho. João Carlos Moreira


Prefácio

Este livro é fruto de um projeto intitulado Escola de Álgebra, criado em 2017, com o intuito de colaborar na melhoria do ensino e do aprendizado de Álgebra e suas aplicações. A metodologia de ensino é baseada na teoria de sistemas matemáticos e no desenvolvimento de algoritmos. Esse material é inédito e propõe uma nova abordagem no ensino de matemática no Brasil. Agradeço a Deus pela missão educacional confiada a mim.

Ituiutaba, abril de 2019.

João Carlos Moreira


Símbolos

Símbolo Lê-se Exemplo Lê-se

∈ pertence 2 ∈ A O número dois pertence ao conjunto A.

∀ para todo (∀ a)(a ∈ ℕ) Para todo a, a pertencente a ℕ.

∃ existe (∃ x)(x ∈ A) Existe x, x pertencente ao conjunto A.

∃! existe um único (∃! x∗)(x∗ ∈ ℕ) Existe um único sucessor de x pertencente ao conjunto dos números naturais.

∧ e x ∧ y x e y ∨ ou (inclusivo) x ∨ y x ou y ∨ ou (exclusivo) x ∨ y x ou y ¬ não ¬(2 ∈ A) 2 não pertence ao

conjunto A → implica 𝑃 → 𝑄 P implica Q ↔ se, e somente se 𝑃 ↔ 𝑄 P se, e somente se, Q



ORGANIZAÇÃO DA APRENDIZAGEM

Sumário

1 Abordagem histórica 01

2 Abordagem algébrica 04

2.1 Construção dos números inteiros 04

2.2 Aritmética dos números inteiros 06

2.2.1 Operação de adição 06

2.2.2 Subtração 10

2.2.3 Operação de multiplicação 11

2.2.4 Divisibilidade 13

3 Abordagem geométrica 15

3.1 Representação geométrica dos números inteiros 15

4 Abordagem computacional 17

4.1 Representação dos números inteiros 17

4.2 Algoritmos 19

5 Abordagem prática 25

6 Abordagem avançada 34

Referências bibliográficas 35


1 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA

1 De acordo com Euclides, número é a quantidade composta de

unidades e unidade é aquilo segunda a qual cada uma das coisas existentes é dita uma.

2 A palavra alemã Zahl, significa número e a sua primeira letra ℤ é utilizada para representar o conjunto dos números inteiros.

3 Número é um conceito primitivo da matemática que remonta as origens da humanidade.

4 O mais antigo objeto da matemática de que se tem registro, o

osso de Lebombo, data de aproximadamente 35.000 A.C. Esse objeto, uma fíbula de um babuíno, pode ter sido utilizado pelos bosquímanos para planejar as caças, contar suas presas, medir a passagem do tempo ou como uma unidade de medida. O mesmo foi descoberto dentro de uma caverna nas montanhas de Lebombo da Suazilândia. As incisões que aparecem nesse osso, podem ter sido as primeiras representações de números na história da humanidade.

CAPÍTULO 1 ABORDAGEM HISTÓRICA

Brahmagupta (598-670), foi o principal matemático indiano de sua época. Dentre suas contribuições, destacamos as primeiras regras para a aritmética dos números negativos presentes na sua obra Brahmasphutasiddhanta.



5 Não conseguimos estabelecer uma data exata para o surgimento dos números negativos. Mas sabemos que um dos registros mais antigos do seu uso data da Dinastia Han (202 a.C. – 220) na China, e eram usados em cálculos comerciais e fiscais. Os números negativos eram representados por varetas pretas e os números positivos por varetas vermelhas.

6 Na Índia, o conceito de números negativos foi introduzido por

Brahmagupta (598-670), quando o mesmo associou as ideias de 'fortunas' e 'dívidas' com números positivos e negativos. Além disso, ele estabeleceu as primeiras regras para a aritmética dos números negativos. Na sua obra Brahmasphutasiddhanta, publicada em 628, Brahmagupta define o zero como a diferença entre um número e ele mesmo. Nessa época, um sistema numérico posicional foi estabelecido, acrescentando o zero e os negativos no sistema numérico da Índia.

7 A compreensão e a aceitação dos números negativos não

Fig. 1. Osso de Lebombo

Fig. 2. Varetas chinesas



foram um processo rápido. Grandes matemáticos, como por exemplo Stiefel (1486-1567), Cardano (1501-1576), Descartes (1596-1650) e Viète (1540-1603) renegaram a existência dos números negativos, daí o porquê os chamamos de números negativos. Outros admitiam a sua existência, mas estabeleceram como regra que durante os cálculos em que eles aparecessem, os mesmos deveriam ser eliminados no final.

8 Com o desenvolvimento da matemática formal e do comércio o mesmo passou a ser definitivamente aceito. Vários símbolos foram utilizados para representar os números negativos. No entanto, os algarismos arábicos ou numerais indianos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 ganharam maior destaque e os sinais + e – na esquerda dos números naturais, utilizados pela primeira vez em 1489 por J. Widman (1462-1498) no seu livro Behende und hupsche Rechnung auf allen kauffmanschafft de aritmética escrito em alemão, se tornaram padrão para representar os números positivos e negativos, respectivamente.

9 Os matemáticos René Descartes (1596-1650) e John Wallis (1616 - 1703) contribuíram para dar um outro significado aos números negativos inventando a linha numérica.

10 O sistema de numeração hindu-arábico democratizou a

aritmética elementar e trouxe um avanço significativo para o desenvolvimento da matemática.

11 Somente no século XIX, Giuseppe Peano, apresenta um

conjunto de axiomas para a formalização da aritmética dos

números naturais, que possibilitou uma construção formal dos números inteiros.

UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA


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FUN


Natural de Garça, estado de São Paulo, bacharel em matemática pela Unesp - SP, especialista em matemática pelo IMPA-RJ, mestre em matemática aplicada pela UFRJ-RJ e doutor em matemática pela UFSCar-SP. Atualmente é professor associado na UFU-MG, campus de Ituiutaba. Sua área de pesquisa é Análise Aplicada. Fundou em 2013 a primeira Escola de Cálculo do país com sede na Universidade Federal de Uberlândia.

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