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COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA
FUN
ÁLGEBRA TEORIA DOS CONJUNTOS
JOÃO CARLOS MOREIRA COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA
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ÁLGEBRA TEORIA DOS CONJUNTOS
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ÁLGEBRA TEORIA DOS CONJUNTOS
COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA
JOÃO CARLOS MOREIRA Professor do Instituto de Ciências Exatas e Naturais - ICENP
Universidade Federal de Uberlândia
EDITORA LIVRARIA ESCOLA DE MATEMÁTICA
COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA
Copyright © 2020 by João Carlos Moreira CAPA: João Carlos Moreira EDITOR: João Carlos Moreira DIAGRAMAÇÃO: João Carlos Moreira DISTRIBUIÇÃO: Editora Livraria Escola de Matemática COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida sejam quais forem os meios empregados sem a permissão expressa da Editora. Aos infratores aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei no 9.610, de 19 de fevereiro de 1988.
Impresso no Brasil / Printed in Brazil
COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA
Para todos os meus alunos, com carinho. João Carlos Moreira
COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA
Prefácio Este livro é fruto de um projeto intitulado Escola de Álgebra, criado em 2017, com o intuito de colaborar na melhoria do ensino e do aprendizado da Matemática e suas aplicações. A metodologia de ensino é baseada na teoria de sistemas matemáticos e no desenvolvimento de algoritmos. Esse material é inédito e propõe uma nova abordagem no ensino de matemática no Brasil. Agradeço a Deus pela missão educacional confiada a mim.
Ituiutaba, inverno de 2020.
João Carlos Moreira
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Símbolos lógicos
Símbolo Lê-se Exemplo Lê-se
∈ pertence 2 ∈ A O número dois pertence ao conjunto A.
∀ para todo (∀ a)(a ∈ ℕ) Para todo a, a pertencente a ℕ.
∃ existe (∃ x)(x ∈ A) Existe x, x pertencente ao conjunto A.
∃! existe um único (∃! x∗)(x∗ ∈ ℕ) Existe um único sucessor de x pertencente ao conjunto dos números naturais.
∧ e x ∧ y x e y ∨ ou (inclusivo) x ∨ y x ou y ∨ ou (exclusivo) x ∨ y x ou y ¬ não ¬(2 ∈ A) 2 não pertence ao
conjunto A → implica 𝑃 → 𝑄 P implica Q ↔ se, e somente se 𝑃 ↔ 𝑄 P se, e somente se, Q
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ÁLGEBRA TEORIA DOS CONJUNTOS
ORGANIZAÇÃO DA APRENDIZAGEM
Sumário
1 Abordagem histórica 01
2 Abordagem algébrica 00
2.1 Construção axiomática dos conjuntos 00
2.2 Aritmética dos conjuntos 00
2.2.1 Relações 00
2.2.2 Operações 00
3 Abordagem geométrica 00
3.1 Representação geométrica dos conjuntos 00
4 Abordagem computacional 00
4.1 Representação dos números computáveis 00
4.2 Algoritmos 00
5 Abordagem prática 00
6 Abordagem avançada 00
7 Referências bibliográficas 00
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1 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA
Fig 1. Biografia de Georg Cantor
ABORDAGEM HISTÓRICA TEORIA DOS CONJUNTOS | ESCOLA DE ÁLGEBRA
1
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918), foi um matemático russo. Dentre suas contribuições, destacamos a construção da teoria clássica dos conjuntos e o estudo da representação de funções reais por séries trigonométricas.
1 Um conjunto, de acordo com Georg Cantor (1845-1918), é qualquer coleção de objetos de um todo, definidos e separados através de nossa intuição ou nosso pensamento. Esses objetos são chamados de elementos do conjunto. A teoria dos conjuntos é o estudo das propriedades dos conjuntos, não importando a natureza de seus elementos.
3 Um grande marco para a teoria dos conjuntos foi o dia 7 de dezembro de 1873, a data da carta de Cantor à Dedekind informando-o da sua descoberta de que o infinito dos reais era diferente do infinito dos naturais.
2 Antes de Georg Cantor (1845-1918), o filósofo e matemático Bernard Bolzano (1781-1948) chegou a apresentar, em 1847, uma outra definição de conjunto e defendeu a ideia da existência de conjuntos com infinitos elementos.
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2 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA
4 Em 1874, Georg Cantor (1845-1918) publica um artigo onde mostra que a cardinalidade do conjunto dos números algébricos reais é a mesma que a cardinalidade dos naturais e a existência de uma quantidade não enumerável (muito grande) e quase desconhecida de números não algébricos reais (transcendentes).
6 Uma estrutura matemática 𝑆 = (E, A), composta de um conjunto não vazio e um conjunto de axiomas, é chamado de sistema axiomático.
5 No início do desenvolvimento da teoria dos conjuntos (1873-1897), Georg Cantor (1845-1918) utilizou apenas a intuição e não foi explicitado nenhum axioma. No entanto, em uma análise dos seus trabalhos, pode-se observar o uso de pelo menos três axiomas:
• o axioma da extensão;
• o axioma esquema da abstração; e
• o axioma da escolha.
Cantor considerou a existência de um todo, o conjunto de todos os conjuntos.
7 O uso de axiomas teve sua origem nas obras dos antigos matemáticos gregos, ganhando destaque no século III a.C., com a coleção “Elementos” de Euclides.
8 Essa coleção, continha teorias que foram desenvolvidas a partir dos seguintes axiomas:
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9 Muitos matemáticos, acreditaram ser possível provar o Axioma V. Das tentativas de se prová-lo, surgiram algumas equivalências:
• Dada uma reta e um ponto fora desta reta, podemos traçar uma única reta paralela à reta dada.
• A soma dos ângulos internos de um triângulo, é sempre igual a dois ângulos retos.
• Dados três pontos não colineares, existe uma circunferência passando por eles.
• Em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
• Todo ângulo, inscrito em um semicírculo, é sempre reto.
• Por duas retas paralelas quaisquer, é sempre possível traçar uma reta perpendicular em comum.
Geometrias não-euclidianas, como as geometrias projetiva, elíptica e a hiperbólica, surgiram da negação do Axioma V.
Axioma I. Podemos traçar uma reta ligando dois pontos quaisquer. Axioma II. Podemos prolongar uma reta limitada, continuamente, sobre uma reta. Axioma III. Podemos descrever um círculo a partir de quaisquer centro e raio dados. Axioma IV. Todos os ângulos retos são iguais (congruentes). Axioma V. Se uma reta interceptar outras duas retas e formar ângulos internos e do mesmo lado, cuja soma seja menor que dois ângulos retos, então estas duas retas, se continuadas do lado onde estão os ângulos internos, irão se encontrar em algum ponto.
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4 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA
11 Um paradoxo (antinomia ou aporium), consiste na obtenção através da derivação formal, em um sistema formal, da fórmula (𝑃 ∧ ¬𝑃) (lê-se: 𝑃 e não 𝑃) ou da fórmula (𝑃 ⟷ ¬𝑃) (lê-se: 𝑃 se, e somente se não 𝑃 ), onde 𝑃 é uma fórmula logicamente verdadeira.
12 Da definição clássica de conjunto surgiram alguns paradoxos, dentre os quais destacamos:
• Paradoxo de Cantor (1895). Se existe um conjunto 𝐴 que é o conjunto de todos os conjuntos então |𝒫(𝐴)| >|𝐴| e daí 𝐴 não seria o conjunto de todos os conjuntos.
• Paradoxo de Burali-Forti (1897). O conjunto bem ordenado 𝐴 de todos os ordinais têm um ordinal maior que todos elementos de 𝐴.
• Paradoxo de Russel (1902). Existe um conjunto 𝐴 que é o conjunto de todos os conjuntos e que não contém ele mesmo como elemento (isto é, 𝐴 = {𝑥: 𝑥 ∉ 𝑥}) , então 𝐴 ∈ 𝐴 ⟷ 𝐴 ∉ 𝐴.
10 A teoria dos conjuntos, foi inicialmente desenvolvida por Cantor, tendo como pressupostos fundamentais, não de forma explícita, os seguintes axiomas:
Axioma da extensão. Dois conjuntos são iguais, se possuem os mesmos elementos.
Axioma esquema da abstração. Toda propriedade determina um conjunto.
Axioma da escolha. Dada uma coleção de conjuntos não vazios, dois a dois disjuntos, existe um conjunto que contém exatamente um elemento de cada conjunto da coleção.
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5 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA
13 O paradoxo de Russel decorre do axioma esquema da
abstração (∃𝑦)(∀𝑥)(x ∈ y ↔ φ(x)), tomando φ(x) = (𝑥 ∉ 𝑥) e
x = y. Assim, teremos que (∃𝑦)(y ∈ y ↔ 𝑦 ∉ 𝑦 ). Esses paradoxos deram origem ao que foi chamado de “crise dos fundamentos da matemática” do século XX.
15 A busca por soluções para esses paradoxos na matemática deu origem a vários sistemas axiomáticos para o desenvolvimento da teoria dos conjuntos, dentre os quais destacamos:
• Sistema Zermelo-Fraenkel (ZF)
• Sistema Neumann-Godel-Bernays (NGB)
• Sistema Kelley-Morse (KM).
16 O surgimento de sistemas axiomáticos e o estudo da natureza do infinito constituíram uma das maiores conquistas intelectuais do século XX.
17 Em todo sistema axiomático, temos duas questões fundamentais:
• Dados dois conjuntos x e y, dizer quando x = y?
• Classificar os conjuntos em tipos, com a finalidade de viabilizar a criação de novos conjuntos.
14 Esses paradoxos deram origem ao que foi chamado de “crise dos fundamentos da matemática” do século XX.
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18 O primeiro sistema axiomático apresentado e com a finalidade de evitar os paradoxos da teoria dos conjuntos introduzida por Cantor, foi devido a Ersnt Zermelo (1871-1953) em 1908 em um artigo intitulado “Pesquisas sobre os fundamentos da teoria de conjuntos” e ficou conhecido como sistema Z (ou ZC). A existência de conjuntos aparece como um axioma desse sistema axiomático, o axioma da existência.
19 O termo classe, foi utilizado pela primeira vez no sistema
Z, em 1908. Um dos sistemas atuais mais importantes que reduziu a quantidade de axiomas a um número finito e que utiliza o conceito de classe, é o sistema axiomático de Neumann-Gödel-Bernays (NBG), que surgiu em 1925 e foi baseado no sistema de Zermelo–Fraenkel (ZF) de 1922. O sistema NBG admite a classe de todos os conjuntos, chamada de classe universal, mas não admite a classe de todos as classes.
20 Todo conjunto admite uma classe que o represente, portanto, todo o desenvolvimento da teoria clássica dos conjuntos pode ser feito substituindo conjuntos por classes.
21 Muitos outros matemáticos tentaram axiomatizar a teoria dos conjuntos, podemos destacar Adolf Fraenkel (1891-1965), John von Neumann (1903-1957), Paul Isaac Bernays (1888-1977) e Kurt Godel (1906-1978), todos foram figuras importan-tes nesse desenvolvimento. Kurt Godel (1906-1978), mostrou as limitações de qualquer teoria axiomática e que os objetivos de muitos matemáticos como Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848-1925) e David Hilbert (1862-1943) não poderiam ser al-cançados.
Neumann-Godel-Bernays Kelley-Morse
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7 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA
[2] DOMINGUES, H. H. Fundamentos de aritmética. São Paulo: Atual, 1991.
[3] LANG, S. Algebra. 3rd ed. USA: Springer, 2002.
[4] VIANNA, J. J. Elementos de Arithmetica. 15 ed. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1914.
[5] WOODBURRY, G. Elementary Algebra. USA: Addison Wesley, 2009.
[1] DESKINS, W. E. Abstract Algebra. New York: Dover
Publicaitions, 1995.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS TEORIA DOS NÚMEROS INTEIROS | ESCOLA DE ÁLGEBRA
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Natural de Garça, estado de São Paulo, bacharel em matemática pela Unesp - SP, especialista em matemática pelo IMPA-RJ, mestre em matemática aplicada pela UFRJ-RJ e doutor em matemática pela UFSCar-SP. Atualmente é professor associado na UFU-MG, campus de Ituiutaba. Sua área de pesquisa é Análise Aplicada. Fundou em 2013 a primeira Escola de Cálculo do país com sede na Universidade Federal de Uberlândia.
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