LiceNciATuRA em Matemática

Jocemar de Quadros ChagasLuciane Grossi

pONTA gROSSA - pARANÁ2011

MatemáticaLiceNciATuRA em

eDucAÇÃO A DiSTÂNciA

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSANúcleo de Tecnologia e Educação Aberta e a Distância - NUTEAD

Av. Gal. Carlos Cavalcanti, 4748 - CEP 84030-900 - Ponta Grossa - PRTel.: (42) 3220-3163

www.nutead.org2011

Todos os direitos reservados ao Ministério da EducaçãoSistema Universidade Aberta do Brasil

Ficha catalográfica elaborada pelo Setor de Processos Técnicos BICEN/UEPG.

Pró-Reitoria de Assuntos AdministrativosAriangelo Hauer Dias - Pró-Reitor

Pró-Reitoria de GraduaçãoGraciete Tozetto Góes - Pró-Reitor

Divisão de Educação a Distância e de Programas EspeciaisMaria Etelvina Madalozzo Ramos - Chefe

Núcleo de Tecnologia e Educação Aberta e a DistânciaLeide Mara Schmidt - Coordenadora Geral

Cleide Aparecida Faria Rodrigues - Coordenadora Pedagógica

Sistema Universidade Aberta do BrasilHermínia Regina Bugeste Marinho - Coordenadora Geral

Cleide Aparecida Faria Rodrigues - Coordenadora AdjuntaJosé Trobia - Coordenador de Curso

Mary Ângela Teixeira Brandalise - Coordenadora de Tutoria

Colaborador FinanceiroLuiz Antonio Martins Wosiak

Colaboradora de PlanejamentoSilviane Buss Tupich

Projeto GráficoAnselmo Rodrigues de Andrade Júnior

Colaboradores em EADDênia Falcão de BittencourtJucimara Roesler

Colaboradores de InformáticaCarlos Alberto VolpiCarmen Silvia Simão CarneiroAdilson de Oliveira Pimenta Júnior

Colaboradores de PublicaçãoLuiz Renato Bittencourt - RevisãoNara Lia Souza Baptista - Diagramação Paulo Sérgio Schelesky - Ilustração

Colaboradores OperacionaisCarlos Alex CavalcanteEdson Luis MarchinskiThiago Barboza Taques

cRÉDiTOS

João Carlos GomesReitor

Carlos Luciano Sant’ana VargasVice-Reitor

C433i Chagas, Jocemar de Quadros Introdução ao Cálculo diferencial e integral / Jocemar de Quadros Chagas e Luciane Grossi. Ponta Grossa : UEPG/ NUTEAD, 2011. 205p.il. Licenciatura em Matemática - Educação a Distância.

1.Matemática básica 2. Funções reais. 3. Funções algébricas. 4. Funções básicas. 5. Funções transcendentes I. Grossi, Luciane. II. T

CDD : 516.36

ApReSeNTAÇÃO iNSTiTuciONAL

A Universidade Estadual de Ponta Grossa é uma instituição de ensino

superior estadual, democrática, pública e gratuita, que tem por missão

responder aos desafios contemporâneos, articulando o global com o local,

a qualidade científica e tecnológica com a qualidade social e cumprindo,

assim, o seu compromisso com a produção e difusão do conhecimento, com a

educação dos cidadãos e com o progresso da coletividade.

No contexto do ensino superior brasileiro, a UEPG se destaca tanto

nas atividades de ensino, como na pesquisa e na extensão Seus cursos de

graduação presenciais primam pela qualidade, como comprovam os resultados

do ENADE, exame nacional que avalia o desempenho dos acadêmicos e a

situa entre as melhores instituições do país.

A trajetória de sucesso, iniciada há mais de 40 anos, permitiu que

a UEPG se aventurasse também na educação a distância, modalidade

implantada na instituição no ano de 2000 e que, crescendo rapidamente,

vem conquistando uma posição de destaque no cenário nacional.

Atualmente, a UEPG é parceira do MEC/CAPES/FNED na execução

do programas Pró-Licenciatura e do Sistema Universidade Aberta do

Brasil e atua em 38 polos de apoio presencial, ofertando, diversos cursos

de graduação, extensão e pós-graduação a distância nos estados do Paraná,

Santa Cantarina e São Paulo.

Desse modo, a UEPG se coloca numa posição de vanguarda, assumindo

uma proposta educacional democratizante e qualitativamente diferenciada e

se afirmando definitivamente no domínio e disseminação das tecnologias da

informação e da comunicação.

Os nossos cursos e programas a distância apresentam a mesma carga

horária e o mesmo currículo dos cursos presenciais, mas se utilizam de

metodologias, mídias e materiais próprios da EaD que, além de serem mais

flexíveis e facilitarem o aprendizado, permitem constante interação entre

alunos, tutores, professores e coordenação.

Esperamos que você aproveite todos os recursos que oferecemos para

promover a sua aprendizagem e que tenha muito sucesso no curso que está

realizando.

A Coordenação

PALAVRAS DOS PROFESSO ■ RES 7

OBJETIVOS E EMENT ■ A 9

uNiDADe i - mATemÁTicA BÁSicA 11SEÇÃO ■ 1 - CONjUNtOS NUMériCOS 12

SEÇÃO 2 - ■ POtENCiAçãO E rADiCiAçãO 15

SEÇÃO 3 - ■ DESiGUALDADES E MóDULOS 27

SEÇÃO 4 - ■ EqUAçõES E iNEqUAçõES MODULArES 31

SEÇÃO 5 - ■ EqUAçõES E iNEqUAçõES ExPONENCiAiS E LOGArítMiCAS 37

uNiDADe ii - fuNÇõeS ReAiS 53SEÇÃO ■ 1 - O qUE SãO FUNçõES? 55

SEÇÃO 2 - ■ OPErAçõES COM FUNçõES 62

SEÇÃO 3 - ■ tiPOS DE FUNçõES 68

uNiDADe iii - fuNÇõeS ALgÉBRicAS 81SEÇÃO ■ 1 - FUNçõES POLiNOMiAiS 82

SEÇÃO 2 - ■ FUNçõES rACiONAiS FrACiONáriAS 98

SEÇÃO 3 - ■ FUNçõES irrACiONAiS 102

uNiDADe iv - fuNÇõeS BÁSicAS 113SEÇÃO ■ 1 - FUNçõES DEFiNiDAS POr váriAS SENtENçAS 114

SEÇÃO 2 - ■ FUNçõES MODULArES 117

SEÇÃO ■ 3 - FUNçãO MAiOr iNtEirO 122

uNiDADe v - fuNÇõeS TRANSceNDeNTeS 127SEÇÃO ■ 1 - FUNçõES ExPONENCiAiS E LOGArítMiCAS 128

SEÇÃO 2 - ■ FUNçõES triGONOMétriCAS 139

SEÇÃO 3 - ■ FUNçõES triGONOMétriCAS iNvErSAS 146

SEÇÃO 4 - ■ FUNçõES hiPErBóLiCAS 150

SEÇÃO 5 - ■ FUNçõES hiPErBóLiCAS iNvErSAS 158

SumÁRiO

CONjUNtOS NUMériCOS

POtENCiAçãO E rADiCiAçãO

DESiGUALDADES E MóDULOS

EqUAçõES E iNEqUAçõES MODULArES

EqUAçõES E iNEqUAçõES ExPONENCiAiS E LOGArítMiCAS

O qUE SãO FUNçõES?

OPErAçõES COM FUNçõES

tiPOS DE FUNçõES

FUNçõES POLiNOMiAiS

FUNçõES rACiONAiS FrACiONáriAS

FUNçõES irrACiONAiS

FUNçõES DEFiNiDAS POr váriAS SENtENçAS

FUNçõES MODULArES

FUNçãO MAiOr iNtEirO

FUNçõES ExPONENCiAiS E LOGArítMiCAS

FUNçõES triGONOMétriCAS

FUNçõES triGONOMétriCAS iNvErSAS

FUNçõES hiPErBóLiCAS

FUNçõES hiPErBóLiCAS iNvErSAS

uNiDADe vi - NOÇõeS iNTuiTivAS De LimiTeS e DeRivADAS 169

SEÇÃO ■ 1 - NOçõES iNtUitivAS DE LiMitES 170

SEÇÃO 2 - ■ NOçõES iNtUitivAS DE DErivADAS 180

PALAVRAS FINAI ■ S 193

QUEM SOMOS ■ 194

REFERÊNCIAS 195 ■APÊNDICE 196 ■

NOçõES iNtUitivAS DE LiMitES

NOçõES iNtUitivAS DE DErivADAS

pALAvRAS DOS pROfeSSOReS

Caro(a) aluno(a)

Você está iniciando uma nova disciplina em seu curso de Licenciatura em Matemática, chamada Introdução ao Cálculo Diferencial e Integral. Esta disciplina foi pensada para lhe dar subsídios que permitam acompanhar as próximas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral. Aqui, você terá a oportunidade de rever alguns conceitos de Matemática Básica, e irá estudar mais profundamente o conteúdo Funções. Um bom entendimento desse conteúdo é essencial para as próximas disciplinas. Você também irá ver noções de Limite e de Derivada, dois conteúdos importantíssimos dentro da Matemática.

Durante o curso, além deste livro, você terá acesso ao Espaço Virtual de Aprendizagem – EVA, no qual outras atividades e exercícios estarão à sua espera, e irá também realizar processos de avaliação. Sempre que tiver dúvidas, recorra a seu professor tutor, que irá assessorá-lo no que for preciso.

Lembre-se: este livro é sua principal fonte de informação sobre a disciplina, é a que está mais à mão, e a de mais fácil consulta. Abra seu livro. Estude por ele. Procure entender bem as definições, acompanhar os exemplos e fazer todos os exercícios propostos. E atenção: não pule etapas. Faça um plano de estudo e procure realizá-lo. Antes de fazer as atividades avaliativas, estude as unidades relativas a essas atividades.

Este livro está dividido em unidades, e estas em seções. Você deve estudar unidade por unidade, só seguindo adiante quando se sentir seguro com o que aprendeu.

Encare esta disciplina com seriedade. Você verá que ela é necessária, e que valerá a pena dedicar-se a ela.

Bons estudos!


OBJeTivOS e emeNTA

Objetivo Geral

O objetivo da disciplina de Introdução ao Cálculo é possibilitar que você ■adquira conhecimentos e habilidades para reconhecer e trabalhar com

funções, já que é com elas que você terá que operar quando cursar as

disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral.

Objetivos Específicos

Pretende-se, com este livro, contribuir para que você consiga:

Relembrar conceitos de matemática básica. ■Identificar e analisar funções reais nas suas formas analítica e gráfica. ■Compreender os conceitos intuitivos de limite e de derivada. ■

Ementa Conjuntos numéricos. Potenciação e radiciação. Desigualdades. Módulo e ■propriedades. Intervalos. Equações e Inequações modulares, exponenciais

e logarítmicas. Funções reais: elementares, exponenciais, logarítmicas,

trigonométricas e hiperbólicas (e suas inversas). Noções sobre limites e

derivadas. Aplicações envolvendo funções polinomiais.

UN

IDA

DE I

matemática Básica

ObjetivOs de aprendizagem

Relembrar como reconhecer e utilizar diferentes conjuntos numéricos. ■

Relembrar como efetuar operações numéricas. ■

Obter soluções para equações modulares, exponenciais e logarítmicas. ■

Encontrar intervalos de soluções para inequações modulares, exponenciais e ■

logarítmicas.

rOteirO de estudOs

Seção 1 - ■ Conjuntos numéricos

Seção 2 - ■ Potenciação e radiciação

Seção 3 - ■ Desigualdades e módulos

Seção 4 - ■ Equações e inequações modulares

Seção 5 - ■ Equações e inequações exponenciais e logarítmicas

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

12UNIDADE 1

pARA iNíciO De cONveRSA

SeÇÃO 1 CONJUNTOS NUMéRICOS

Caro(a) aluno(a)

Nesta unidade, você terá a oportunidade de rever alguns conceitos de Matemática Básica, necessários para um bom aproveitamento da disciplina, e ainda aprenderá a resolver equações e inequações modulares.

Bom estudo!

Nesta seção você vai relembrar os principais conjuntos numéricos com os quais irá trabalhar neste curso, e suas respectivas notações. Repare que esse conteúdo já apareceu na disciplina Matemática Básica. Agora, você poderá retomar esse estudo em uma breve síntese.

Conjunto dos números naturais

São os primeiros números conhecidos, também chamados de números de contagem. Representa-se o conjunto dos números naturais pelo símbolo , isto é:

= {0,1,2,3,4,5,6,...}

Subconjunto especial: * = {1,2,3,4,5,6,...}

Conjunto dos números inteiros

A união dos números naturais com os inteiros negativos resulta no conjunto dos números inteiros, que é denotado por , isto é:

= {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

13UNIDADE 1

Subconjuntos especiais: * = {...,-3,-2,-1,1,2,3,...}+ = {0,1,2,3,...}

*+ = {1,2,3,...}

– = {...,-3,-2,-1,0} *− = {...,-3,-2,-1}

Conjunto dos números racionais

Os números que podem ser escritos da forma nm , com ,m n ∈ e 0n ≠ ,

formam o conjunto dos números racionais, que é denotado por , isto é:

{ }; , , 0mx | x = m n nn= ∈ ≠

Conjunto dos números irracionais

Existem números que não podem ser representados na forma nm , com m,

n ∈ e n ≠ 0, como, por exemplo, os números 2 = 1,414... , π = 3,1415..., e = 2,71..., entre outros. Esses números formam o conjunto dos números irracionais, que é denotado por . A diferença

básica entre os números racionais e irracionais, no que diz respeito à sua representação decimal, é a seguinte: todo número irracional tem notação decimal infinita e não periódica, ou seja: em um número irracional, depois da vírgula, não há algarismo ou grupo de algarismos que se repitam periodicamente.

Conjunto dos números reais

A união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais forma o conjunto mais amplo com o qual você vai trabalhar nesta disciplina, o conjunto dos números reais, denotado por , isto é:

= ∪ Observação: duas relações de inclusão importantes entre os conjuntos de números

estudados são as seguintes:⊂ ⊂ ⊂

( está contido em , que está contido em , que está contido em ); e ⊂

( está contido em ).Mas mesmo com e com sendo subconjuntos dos números reais, temos

∪ = ∅ ,ou seja, e são conjuntos disjuntos.

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

14UNIDADE 1

Axiomática dos números reais

No conjunto dos números reais existem duas operações, chamadas adição e multiplicação, que satisfazem os axiomas abaixo:

1. Fechamento

Se ,a b∈ , então ( )! a b∃ + ∈ , e ( )! ab∃ ∈ .

2. Comutatividade

Se ,a b∈ , então a b b a+ = + , e ab ba= .

3. Associatividade

Se , ,a b c∈ , então ( ) ( )a b c a b c+ + = + + , e ( ) ( )a bc ab c= .

4. Distributividade

Se , ,a b c∈ , então ( )a b c ab ac+ = + .

5. Existência de elementos neutros a∀ ∈ , 0∃ ∈ tal que 0a a+ = ; 1∃ ∈ e tal que .1a a= .

6. Existência de simétricos

a∀ ∈ , ( )a∃ − , tal que ( ) 0a a+ − = .

7. Existência de inversos

a∀ ∈ , 1a

∃

, tal que 1. 1aa

=

As operações inversas subtração e divisão são definidas usando os axiomas 6 e 7 acima, da seguinte forma:

* Subtração: se ,a b∈ , a diferença entre a e b é definida por

( )a b a b− = + − .

* Divisão: se ,a b∈ e 0a ≠ , o quociente entre b e a é definido por

1.b ba a

=

.

Axioma é um fato matemático

aceito sem demonstração.

Os axiomas são o ponto de partida

de qualquer teoria matemática.

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

15UNIDADE 1

SeÇÃO 2 POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

Nesta seção, você estudará a operação numérica potenciação e suas operações inversas. Esse estudo já foi iniciado na disciplina Matemática Básica, e deverá servir para você fixar os conceitos envolvidos.

A potenciação surgiu para simplificar a notação da multiplicação envolvendo fatores iguais. A notação que usamos hoje para raiz quadrada, raiz cúbica, etc. é devida ao matemático alemão Michel Stifel. No início do século XVII os matemáticos Jhon Napier e Jost Bürgi, trabalhando independentemente, criaram os logaritmos com a intenção de simplificar cálculos aritméticos, permitindo que se realizassem cálculos complicados em um tempo muito menor, devido à propriedade dos logaritmos transformarem potências em produtos, multiplicações em adições e divisões em subtrações.

Potenciação

Potenciação é a operação matemática na qual, dada uma base e um expoente, calcula-se uma potência. Potência é um produto de fatores iguais.

32 2.2.2 8= =

o número 2 aparece multiplicado três vezes por ele mesmo.

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

16UNIDADE 1

Na sentença 32 8= , está sendo elevada a base 2 ao expoente 3, para se obter a potência 8.

Generalizando, escreve-se na para indicar uma potência qualquer, onde a (um número real) é a base e n (um número inteiro) é o expoente.

Propriedades da potenciação

A potenciação admite as seguintes propriedades:

.m n m na a a +=

n n

na ab b

=

(se b ≠ 0)

( ). .n n na b a b=

( ) .mn n ma a= , além de outras, que serão vistas a seguir.

( ) ( ) ( )2 42 4 63 . 3 3.3 . 3.3.3.3 3.3.3.3.3.3 3 3 += = = =

2 2

2

3 3 3 3.3 34 4 4 4.4 4

x = = =

( ) ( ) ( )2 2 23.4 3.4 . 3.4 3.4.3.4 3.3.4.4 3 .4= = = =

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 3.23 3 3 62 2 . 2 2.2.2 . 2.2.2 2.2.2.2.2.2 2 2= = = = =

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

17UNIDADE 1

A potenciação é uma operação direta, assim como a adição e a multiplicação. Mas difere das duas últimas, pois tem duas operações inversas diferentes: a radiciação e a logaritmação.

Considerando que a divisão é a operação inversa da multiplicação, com base na primeira das quatro propriedades da potenciação mostradas acima podemos deduzir mais uma propriedade da potenciação:

( ):m

m nm nn

aa a aa

−= =

(se 0a ≠ )

( )17

17 1417 14 314

4 4 : 4 4 44

−= = =

Usar essa nova propriedade para calcular o valor de a0. Solução:

a0 = a(n – n) = an : an = n

n

aa =

11 = 1 (se 0a ≠ )

Este exemplo também fornece uma propriedade da potenciação: 0 1a = ,

para qualquer valor de a diferente de zero.

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

18UNIDADE 1

O valor da potência 00 é uma indeterminação, isto é, não tem um valor numérico definido. De fato, acompanhe o raciocínio:

1° argumento: 0 1a = , desde que 0a ≠ .

Se isso fosse válido para 0a = , encontraríamos 00 1= .

2° argumento: 0 0.0. .0 0n

↑

= =

zero vezes zero n vezes, desde que n ≠ 0.

Se isso fosse válido para 0n = , encontraríamos 00 0= .

Ou seja, se os dois argumentos fossem válidos, teríamos dois valores numéricos

diferentes para a mesma operação numérica: 00 1= e 00 0= , o que é um absurdo.

Logo, a potência 00 é uma indeterminação.

É para evitar esse absurdo que são necessárias as restrições 0a ≠ na propriedade que aparece no primeiro argumento, e 0n ≠ na operação que aparece no segundo argumento.

Outra propriedade da potenciação se refere ao cálculo de uma potência com

expoente inteiro negativo.

Considerando-se m = 0 na igualdade a(m – n) = n

m

aa

, tem-se

a(–n) = a(0 – n) = naa 0

= na1

,

ou seja, vale:

a(– n) = na1

, desde que 0a ≠ .

Conhecendo essas propriedades, você está apto a calcular uma potência quando o expoente é um número natural ou um número inteiro (inclusive se o expoente for zero).

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

19UNIDADE 1

Calcular 40 e 4(– 2).Soluções: 40 = 1

4(– 2) = 241

= 1

16

A potenciação tem duas operações inversas distintas: a radiciação e a logaritmação. Agora você poderá retomar esses dois conceitos. E lembre-se: se os conceitos forem bem entendidos, se torna fácil trabalhar com essas operações.

Radiciação

Radiciação é a operação matemática na qual, dado um radicando e um índice, calcula-se uma raiz.

Atenção! A operação numérica potenciação tem duas operações inversas distintas: a radiciação e a logaritmação.

16 4=

No exemplo acima, o número 16 é chamado de radicando, o número 4 é

chamado de raiz e o número 2 (que não aparece de fato, mas está ali: 216 16= ) é chamado de índice.

Como a radiciação é uma operação inversa da potenciação, podemos fazer uma ligação dela com a potenciação, da seguinte maneira:

Se na b= , então n b a= .Na operação inversa radiciação, dado um radicando (que equivale a potência

na potenciação) e um índice (que equivale ao expoente), calcula-se uma raiz (que equivale à base).

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

20UNIDADE 1

Dessa forma, quando se vai calcular uma raiz do tipo n b , deve-se perguntar:

“qual é o número a que, elevado ao expoente n resulte na potência b?”A resposta a essa questão será a raiz procurada.

Observação: a radiciação também pode ser vista como uma potência. De fato, podemos fazer a relação:

( )mn m nb b= .Conhecendo essa relação, você está apto a calcular potências também quando

o expoente é um número racional.

Já é possível responder à seguinte questão: o que acontece com a potenciação se, em vez de expoente inteiro, tivermos um expoente racional? A resposta é: a potenciação vira uma radiciação. De fato, ocorre o seguinte:

( )m n mnb b=

Propriedades da radiciação

A radiciação admite as seguintes propriedades:nnn baba .. =

( )nmn m bb =

aan n =

n

nn

ba

ba

=

mnn m aa .=

Observação: a radiciação, quando o índice é par, só está definida para radicandos não negativos.

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

21UNIDADE 1

Nas radiciações apresentadas a seguir, serão usadas as propriedades da potenciação e da radiciação para simplificar os radicais.

a) ( )3 23 62 3 3 3⋅= = ← aqui foi aplicada uma propriedade da radiciação

b) 3 6 3 6327. 27x x= ⋅ ← propriedade da radiciação

6

3 3 33 x= ⋅ ← propriedades da potenciação e da radiciação

3

233 x= ⋅

23x=

c) 3 3 6 3 3 3 6a b a b⋅ = ⋅ ← propriedade da radiciação

3 63 3a b= ⋅

2a b= ⋅

Racionalização de denominadores

Existem frações cujo denominador é irracional. Por exemplo:

21

, 3

4,

3 x2

, 37

2−

Para facilitar cálculos envolvendo tais frações, é conveniente transformá-las em uma outra fração, equivalente à primeira, mas com denominador racional. Essa transformação se chama racionalização.

Para racionalizar um denominador, você deve multiplicar ambos os termos da fração por um número ou por uma expressão conveniente. Veja algumas situações e exemplos:

1º caso: o denominador é da forma . Neste caso, basta multiplicar o numerador

e o denominador por b .

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

22UNIDADE 1

a) ( )2

4 4 3 4 3 4 333 3 3 3

= ⋅ = =

b) ( )2

1 1 3 3 3 32.3 62 3 2 3 3 2 3

= ⋅ = = =

2º caso: o denominador é da forma n mba onde n > 2. Neste caso, é necessário multiplicar o numerador e o denominador por um fator adequado, que faça com que no denominador o expoente do radicando fique igual ao índice do radical, a fim de eliminar a raiz.

a) 3 52

= ← multiplica-se o numerador e denominador por 3 25 , pois 1 + 2 = 3.

Assim:

3 2 3 2 3 2 3 2 3

3 3 3 2 3 2 3 3

2 2 5 2 5 2 5 2 5 2 255 55 5 5 5.5 5

= ⋅ = = = =

Para facilitar o entendimento, veja o mesmo exemplo, mas com o radical escrito como uma potência:

b) 13 3

2 25 5

= = ← multiplica-se por 2

35 , pois 1 + 2 = 3.

Assim:

2 2 2 3 2 33 3 3

1 1 2 1 2 3 13 3 3 3 3 3

2 2 2 5 2 5 2 5 2 5 2 255 55 5 5 5 5 5

+

⋅ ⋅= = ⋅ = = = =

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

23UNIDADE 1

Para fixar, veja um outro exemplo:

c) 5 2x

1 ← multiplica-se por 5 3x , pois 2 + 3 = 5.

Assim:

5 3 5 3 5 3 5 3 5 3

5 2 5 2 5 3 5 2 3 5 2 3 5 5

1 1 x x x x xxx x x x x x x+

= ⋅ = = = =⋅

3º caso: o denominador possui uma destas formas: ba ± , ba ± ou

ba ± .Neste caso, basta multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado

do denominador. Assim, obtém-se o produto notável “produto da soma pela diferença de dois termos”, que resulta na diferença de dois quadrados.

Você pode obter o conjugado de uma soma de dois termos mantendo o primeiro termo com o mesmo sinal e invertendo o sinal do segundo termo. Por exemplo, o conjugado da expressão

ba + é

ba − , e o conjugado de

c d− é

c d+ .

a)

( )( )( ) ( ) ( )2 2

3 21 1 3 2 3 2 3 2 3 23 2 13 2 3 2 3 2 3 2

− − − −= ⋅ = = = = −

−+ + − −b)

b)

( )( )( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )22

2 2 4. 2 2 4. 2 2 4. 2 24 4 2. 2 24 2 22 2 2 2 2 2 2 2

− − − −= ⋅ = = = = −

−+ + − −

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

24UNIDADE 1

Logaritmação

Logaritmação é a operação matemática na qual, dados uma base e um número real (potência), busca-se encontrar um logaritmo.

3 81 4=log ← isso porque 43 81= .

A palavra logaritmo tem origem grega, e foi formada pela

junção de lógos (razão, evolução,

discurso) com arithmós (número).

Logarithmo significa, literalmente, a

evolução de um número. O símbolo

log , contração de logarithm, é devido ao

astrônomo Kepler.

Na sentença 3 81 4=log , o número 81 é chamado de logaritmando, o número 3 é chamado de base, o número 4 é chamado de logaritmo. A leitura da sentença acima é a seguinte:

“O logaritmo de 81 na base 3 é igual a 4.” Como a logaritmação é também uma operação inversa da potenciação (a outra

operação inversa é a radiciação), é possível fazer uma ligação da logaritmação com a potenciação, da seguinte maneira:

Se na b= , então a b n=log .Ou seja, assim como na potenciação dada uma base e um expoente procura-se

uma potência, na operação inversa logaritmação dado um logaritmando (potência) e uma base, calcula-se um logaritmo (expoente).

Dessa forma, quando se vai calcular um logaritmo do tipo a b n=log , deve-se perguntar: “Qual é o número n que, elevando a base a ao expoente n, resulta na potência b?”

A resposta a essa questão será o logaritmo procurado.

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

25UNIDADE 1

A logaritmação é a outra operação inversa da potenciação, onde dada uma base e um logaritmando (equivalente à potência na potenciação), o objetivo é encontrar o logaritmo (equivalente ao expoente). Assim, se você souber operar bem com a potenciação, não deve encontrar muitas dificuldades para operar com logaritmos.

Lembre-se: calcular um logaritmo é equivalente a obter o expoente de uma

potência na b= .(a) 10 1000 3=log , pois 103 = 1000

(b) 2 16 4=log , pois 24 = 16

(c) 7 1 0=log , pois 70 = 1

(d) 25 25 1=log , pois 251 = 25

Propriedades da logaritmação

A logaritmação admite as seguintes propriedades:

( )a a ab c b c= +log . log log

( )a a ab b cc = −log log log

( )na ab n b=log . log

a ab c b c= ⇔ =log log

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

26UNIDADE 1

A logaritmação a blog apresenta as seguintes restrições quanto às bases e logaritmandos:

(a) *a +∈ (para que a expressão ax tenha significado para qualquer x ∈ )

(b) a ≠ 1 (pois se 1a = a blog , só teria significado para 1b = )

(c) *b +∈ (porque como 0a > , então temos que 0xa > para qualquer x ∈ ).

Observações:Chama-se ▪ sistema de logaritmos de base a ao conjunto de todos os

logaritmos na base a, com a > 0 e a ≠ 1.Quando o logaritmo tem base 10, é chamado ▪ logaritmo decimal, e é

indicado por 10log b ou apenas por log b (suprime-se a base, como se faz com o índice da raiz quadrada). Quando o logaritmo tem base e, é chamado de logaritmo

natural ou logaritmo neperiano, e indica-se por e blog ou apenas por bln .

Mudança de base

Se você conhecer bem um sistema de logaritmos em alguma base, pode obter o valor do logaritmo de um número em qualquer base, utilizando a seguinte fórmula para a mudança de base em logaritmos:

ca

c

bba

=logloglog

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

27UNIDADE 1

Dados 2 = 0,30103log e e = 0,4343log , calcule 2ln . Solução - Utilizando a fórmula de mudança de base, temos:

10

10

2 2 0 301032 0 693130 4343e e

= = = =log log ,ln ,log log ,

.

SeÇÃO 3 DESIGUALDADES E MóDULOS

Nesta seção irá aparecer o conceito de ordem, que permitirá a você dizer quando um número real é maior ou menor que outro. Em outras palavras, esta seção irá lhe apresentar a boa ordenação dos números reais.

Axioma de ordem

Em , existe um subconjunto denominado de números positivos, tal que:(i) se a ∈ , ocorre uma e apenas uma das três afirmações abaixo:

0a = ; a é positivo; a− é positivo.(ii) a soma de dois números positivos é um número positivo.(iii) o produto de dois números positivos é um número positivo.

Definição: o número real a é negativo se e somente se a− é positivo.

Desigualdades

Os símbolos < (menor que) e > (maior que) são definidos da seguinte forma:(i) a b b a< ⇔ − é positivo;(ii) a b a b> ⇔ − é positivo.

Os símbolos ≤ (menor ou igual que) e ≥ (maior ou igual que) são definidos da

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

28UNIDADE 1

seguinte forma:(i) a b b a≤ ⇔ − é positivo ou a b= ;(ii) a b a b≥ ⇔ − é positivo ou a b= .

Expressões envolvendo os símbolos definidos acima são chamadas de desigualdades; a < b e a > b são desigualdades estritas, enquanto a ≤ b e a ≥ b são desigualdades não estritas.

Propriedades das desigualdades

Sejam , , ,a b c d ∈ . Então:(i) Se a > b e b > c, então a > c;(ii) Se a > b e c > 0, então ac > bc;(iii) Se a > b e c < 0, então ac < bc;(iv) Se a > b, então a + c > b + c, para todo real c;(v) Se a > b e c > d, então a + c > b + d;(vi) Se a > b > 0 e c > d > 0, então ac > bd.

Se você tiver dificuldades para entender as citadas propriedades, faça uma comprovação numérica. Escolha números que satisfaçam a hipótese, e verifique a conclusão.

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

29UNIDADE 1

Na propriedade (iii) podemos escolher a = 5, b = 3 e c = – 2. Assim, teremos:5 . (– 2) = – 10 e 3 . (–2) = – 6.Ou seja, com as hipóteses a = 5 > b = 3, e c = – 2 < 0, então

ac = – 10 < – 6 = bc.

Essas comprovações numéricas servem apenas para que você entenda as propriedades com mais facilidade. Elas não servem como provas das propriedades. As provas das propriedades devem ser feitas usando-se as definições anteriores.

O módulo (ou valor absoluto) de um número real x é definido e representado por:

, 0| | 0, 0

, 0

x se xx se x

x se x

>= =− <

O módulo (ou valor absoluto) de um número real x é sempre não negativo. Geometricamente, o valor absoluto de um número real x é sua distância do ponto de origem, independente de sua direção.

|6 – 1| = |5| = 5, e |1 – 6| = |– 5| = |5| = 5.Neste exemplo, |6 – 1| e |1 – 6| representa a distância entre 1 e 6, sem a

preocupação com qual dos números é maior.

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

30UNIDADE 1

Propriedades do módulo

Sejam x e y dois números reais. Então: (i) |x| ≥ 0, sendo que |x| = 0 ⇔ x = 0; (ii) |x| ≥ x;

(iii) |–x| = |x|; e | |x y x y ou x y= ⇔ = = − ; (iv) |x|2 = x2 e (aqui, interessa apenas a raiz positiva); (v) |xy| = |x|.|y|; (vi) |x + y| ≤ |x| + |y| (desigualdade triangular); (vii) |x – y| ≥ |x| – |y|; (viii) |x + y| ≥ |x| – |y|; (ix) |x – y| ≤ |x| + |y|;

(x) ||||

yx

yx

= ;

(xi) Seja a um número real positivo. Então:

| | , , , ;| | , , , ;| | , , , ;| | , , , .

x a se e somente se a x ax a se e somente se a x ax a se e somente se x a ou x ax a se e somente se x a ou x a

< − < < ≤ − ≤ ≤ > > < − ≥ ≥ ≤ −

Na propriedade (vi) podemos escolher 5x = e 2y = . Assim, teremos:|5 + 2| = |7| = 7, e |5| + |2| = 5 + 2 = 7,

ou seja, temos a igualdade |5 + 2| = |5| + |2|.

Se, na mesma propriedade (vi) escolhermos 5x = − e 2y = , teremos:|–5 + 2| = |–3| = 3, e |–5| + |2| = 5 + 2 = 7,

ou seja, temos a desigualdade estrita 5 2 5 2− + < − + .Por isso, a desigualdade triangular diz que

x y x y+ ≤ +

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

31UNIDADE 1

Ressaltamos que essa comprovação numérica serve apenas para que você entenda as propriedades com mais facilidade. Ela não servem como prova da propriedade. Você pode também escolher números para as variáveis x e y e verificar as demais propriedades.

SeÇÃO 4 EQUAÇõES E INEQUAÇõES MODULARES

Nesta seção você irá estudar formas de resolução de um tipo especial de equações e de inequações: as modulares. Lembre-se que você já estudou alguns tipos de equações e inequações na disciplina Matemática Básica. Agora é hora de retomar e aprofundar esse estudo.

Equações Modulares

Equação modular é uma sentença matemática onde aparece a variável dentro de um módulo. São exemplos de equações modulares:

2 6x − = ; 2 3 28 0x x− − = ; 3 4 1x x− = − Você pode resolver uma equação modular usando a definição de módulo e as

suas propriedades. A dica para resolver esse tipo de equação é eliminar o módulo.

a) Resolver a equação modular 2 6x − = .Solução:

2 6x − = ← equação modular a resolver.

( )2 6x − = ou ( )2 6x − = − ← equações resultantes do uso da definição.

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

32UNIDADE 1

Para ( )2 6x − = encontramos como solução 8x =

Para ( )2 6x − = − encontramos como solução 4x = −

Assim, a solução da equação modular dada é { }4,8S = − .

Outra forma de resolver essa equação é utilizar a propriedade (iv) e elevar os dois lados da igualdade ao quadrado. Neste caso, temos:

2 6x − = ← equação modular a resolver.

( )2 22 6x − = ← eleva-se ao quadrado ambos os lados da igualdade.

( )2 22 6x − = ← utiliza-se a propriedade (iv) de módulos.

2 4 4 36x x− + = . 2 4 32 0x x− − = ← equação do segundo grau a resolver.

↑As soluções dessa equação do segundo grau são ' 4x = − e '' 8x =

(verifique!).

Assim, a solução da equação modular dada é { }4,8S = − .

b) Resolver a equação modular 2 3 28 0x x− − =

Solução: 2 3 28 0x x− − = 2 3 28 0x x− − = ← já que, pela propriedade (iv), .

2 3 28 0y y− − = ← equação obtida através da substituição de variáveis.

' 4y = − e '' 7y = ← raízes (ou soluções) da equação de 2º grau em y.

Lembre-se que no processo de resolução da equação foi feita a substituição de

variáveis x y= . Dessa forma, os valores encontrados devem ser substituídos nessa equação:

4x = − ← essa equação pode ser descartada, pois não existe módulo negativo.

7x = ← usando a definição de módulo, encontra-se 7x = ou 7x = − .

Assim, o resultado da equação modular dada é { }7,7S = − .

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

33UNIDADE 1

c) Resolver a equação modular 3 4 1x x− = − .

Solução: 3 4 1x x− = − Usando a definição de módulo, são obtidas duas equações de primeiro grau

distintas:

( ) ( )3 4 1x x− = − e ( ) ( )3 4 1x x− = − − . ← pela propriedade (iii)Resolução da primeira equação obtida:

3 4 1x x− = −3 2x− =

23

x = − .

Resolução da segunda equação obtida:3 4 1x x− = − +

5 4x =

45

x = Assim, o resultado da equação modular dada é

2 4,3 5

S = −

.

Inequações Modulares

Inequação modular é uma sentença matemática com um sinal de desigualdade onde aparece a variável dentro de um módulo. São exemplos de inequações modulares:

4x ≤ ; 1 2x + > ; 5 1x x− < + Você pode resolver uma equação modular usando a definição de módulo e as

suas propriedades. A dica para resolver esse tipo de equação é eliminar o módulo

Lembre-se: você soluciona uma inequação quando encontra um intervalo de números tal que qualquer número nesse intervalo, ao substituir a variável na inequação dada, mantém a desigualdade verdadeira.

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

34UNIDADE 1

Resolver a inequação modular 1 2x + > .

Solução: 1 2x + > ← inequação modular a resolver.

( )2 21 2x + > ← eleva-se ao quadrado ambos os lados da igualdade.

( )21 4x + > ← utiliza-se a propriedade (iv) de módulos.

2 2 1 4x x+ + > 2 2 3 0x x+ − > ← inequação do segundo grau a resolver.

Resolvendo a equação do segundo grau associada ( 2 2 3 0x x+ − =), encontram-se as raízes: –3 e 1. Assim, a solução da inequação modular dada é

( ) ( ), 3 1,S = −∞ − ∪ ∞ .

Você deve estar se perguntando como descobrir se o intervalo de solução da inequação está entre as raízes encontradas ou no exterior delas.

É muito simples testar.

No caso do último exemplo, note que as raízes “dividem” o conjunto

dos reais em três intervalos: ( ), 3−∞ − , ( )3,1− e ( )1,∞ . Basta pegar um valor qualquer interior a cada um dos intervalos, e substituir na inequação. Veja só: Como

( )0 3,1∈ − , substitui-se 0 na inequação 2 2 3 0x x+ − > . O resultado encontrado

é 3 0− > , que é uma sentença falsa. Pronto. Sabemos que todo o intervalo ( )3,1− não satisfaz a inequação modular original.

Agora faça você mesmo o teste, para os intervalos ( ), 3−∞ − e ( )1,∞ . Você deverá encontrar sentenças verdadeiras, o que diz que esses intervalos satisfazem a inequação modular original

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

35UNIDADE 1

Resolver a inequação modular 5 1x x− < + Solução:

5 1x x− < + ← inequação modular a resolver.

( ) ( )2 25 1x x− < + ← eleva-se ao quadrado ambos os lados da igualdade.

( ) ( )2 25 1x x− < + ← utiliza-se a propriedade (iv) de módulos.

2 210 25 2 1x x x x− + < + + 12 24x− < − ← inequação do primeiro grau a resolver.

12 24x >2x >

Assim, a solução da inequação exponencial dada é

( )2,S = ∞ .

Outra forma de resolver essa inequação é construir o quadro de sinais para as expressões que aparecem dentro de cada módulo. Neste caso, temos:

É necessário então testar cinco hipóteses para a variável x:

( ), 1x ∈ −∞ − , 1x = − , ( )1,5x ∈ − , 5x = e ( )5,x ∈ ∞

1ª hipótese: ( ), 1x ∈ −∞ −

A inequação 5 1x x− < + se torna: 5 1x x− + < − − , pois o sinal de ambas as expressões para esse intervalo é negativo. Assim, temos:

5 1x x− + < − −

5 1< − ↑ Sentença absurda.Como chegamos a uma sentença absurda, nenhuma variável no intervalo

( ), 1−∞ − satisfaz a equação modular dada.

x –1 5x – 5 – – +x + 1 – + +

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

36UNIDADE 1

Assim, a solução para a primeira hipótese é 1S = ∅ .

2ª hipótese: 1x = −

Ao testar a hipótese 1x = − na inequação 5 1x x− < + , obtemos:

1 5 1 1− − < − +

6 0− <

6 0< ↑ Sentença absurda.Como chegamos a uma sentença absurda, o valor 1x = − não satisfaz a

equação modular dada.

Assim, a solução para a segunda hipótese é 2S = ∅ .

3ª hipótese: ( )1,5x ∈ −

A inequação 5 1x x− < + se torna: 5 1x x− + < + , pois para este intervalo somente o sinal da primeira expressão é negativo. Assim, temos:

5 1x x− + < +

2 4x− < −

2 4x >

2x > ↑

O resultado obtido é ( )2,x ∈ ∞ .

Mas atenção: como o teste está sendo feito para o intervalo ( )1,5− , só interessam agora variáveis que estejam na intersecção do resultado obtido com esse intervalo.

Assim, a solução para a terceira hipótese é ( )3 2,5S = .

4ª hipótese: 5x =

Ao testar a hipótese 5x = na inequação 5 1x x− < + , obtemos:

5 5 5 1− < +

0 6<

0 6< ↑ Sentença verdadeira.

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

37UNIDADE 1

Como chegamos a uma sentença verdadeira, o valor 5x = satisfaz a equação modular dada.

Assim, a solução para a segunda hipótese é { }4 5S = .

5ª hipótese: ( )5,x ∈ ∞

A inequação 5 1x x− < + torna-se: 5 1x x− < + , pois para este intervalo ambos os sinais são positivos. Assim, temos:

5 1x x− < +

5 1− < ↑ Sentença verdadeira.Como chegamos a uma sentença verdadeira, todas as variáveis no intervalo

( )5,∞ satisfazem a equação modular dada.

Assim, a solução para a primeira hipótese é ( )5 5,S = ∞ .

Agora, preste muita atenção: o resultado final será a união das soluções obtidas em cada hipótese, ou seja:

1 2 3 4 5S S S S S S= ∪ ∪ ∪ ∪ Neste caso, teremos:

( ) { } ( )2,5 5 5,S = ∅ ∪∅ ∪ ∪ ∪ ∞ Assim, a solução para a equação modular original é

( )2,S = ∞ .

SeÇÃO 5 EQUAÇõES E INEQUAÇõES ExPONENCIAIS E LOGARíTMICAS

Nesta seção você continuará estudando equações e inequações, mas agora de um outro tipo especial: as equações e inequações exponenciais (ou potenciais) e as equações e inequações logarítmicas. Lembre-se que equações e inequações podem ser resolvidas encontrando-se suas raízes, no caso das equações, e seus intervalos de

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

38UNIDADE 1

resolução, no caso das inequações.

Equações Exponenciais

Equação exponencial é uma sentença matemática que apresenta um sinal de igual, e onde as variáveis aparecem no expoente de uma potência. São exemplos de equações exponenciais:

2 8x = ; 4 2 2x x− = ; 1 13 3 90x x+ −+ = ; 12

16x = .

Para resolver uma equação exponencial, você primeiro deve utilizar as

propriedades das potências para transformar a equação dada em uma igualdade de potências de mesma base (isto é, você deve reescrever o primeiro e segundo membro da equação como potências de bases iguais). Em seguida, basta resolver a equação que resulta da igualdade dos expoentes, quando se suprime as bases. (já que a base é a mesma, é nos expoentes que a equação que você vai resolver aparece).

a) Resolver a equação exponencial 2x = 8.Solução: 2x = 23 ← já que 23 = 8. Os termos aparecem como potências de mesma base.

x = 3 ← equação resultante da igualdade dos expoentes. ↑Neste caso, a solução da equação exponencial é S = { 3 }.

b) Resolver a equação exponencial 4x – 2x = 2.Solução: 4x – 2x = 2

22x – 2x – 2 = 0 ← já que 22 = 4, então 4x = 22x. y2 – y – 2 = 0 ← neste passo, efetua-se a substituição y = 2x. y = 2 ou y = – 1 ← raízes (ou soluções) da equação de 2º grau em y.

A solução y = – 1 não faz sentido, pois devemos ter y = 2x > 0 para qualquer x.

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

39UNIDADE 1

Então, resta y = 2. Assim: 2x = 2 ← equação resultante da substituição y = 2. x = 1 ← equação resultante da igualdade dos expoentes. ↑ O resultado da equação exponencial é S = { 1 }.

c) Resolver a equação exponencial 3x+1 + 3x-1 = 90.Solução: 3x+1 + 3x-1 = 903x . 31 + 3x . 3(– 1) = 10 . 32 ← propriedades da potenciação.3x . (3 + 1/3) = 10 . 32 ← neste passo, colocou-se em evidência o fator 3x.3x . (10/3) = 10 . 32 3x = 10 . 32 . (3/10) 3x = 33 x = 3 ← equação resultante da igualdade dos expoentes. ↑O resultado da equação exponencial é S = { 3 }.

d) Resolver a equação exponencial 7 3x =Solução: Neste caso, o número 3 não pode ser escrito como uma potência de 7. Em

casos como este, aplica-se logaritmos em ambos os lados da equação, e em seguida aplica-se a seguinte propriedade de logaritmos:

( ) ( )log .logxa ab x b= .

Assim: 7 3x =

( ) ( )10 10log 7 log 3x = ← aplica-se logaritmo nos dois lados da igualdade.

( ) ( )10 10.log 7 log 3x = ← propriedade dos logaritmos.

( )( )

10

10

log 3log 7

x =

(você pode utilizar uma calculadora para obter esses valores).

845098040,0477121255,0

=x

0,5645750344x = .

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

40UNIDADE 1

Inequações Exponenciais

Inequação exponencial é uma sentença matemática que apresenta um sinal de desigualdade, e onde as variáveis aparecem no expoente de uma potência. São exemplos de equações exponenciais:

2 8x > ; 4 2 2x x− < ; 1 13 3 90x x+ −+ ≥ ; 12

16x ≤ .

E lembre-se: resolver uma inequação é encontrar um intervalo numérico cuja substituição na inequação mantém a desigualdade verdadeira.

Antes de resolver uma equação exponencial, preste atenção na base da potência envolvida. São dois casos a considerar: base a maior que 1: 1a > ; e base a entre 0 e 1: 0 1a< < .

• Se 1a > , “conserva-se” a desigualdade ao eliminar as bases, ou seja:x ya a x y< ⇒ < .

• Se 0 1a< < , “inverte-se” a desigualdade ao eliminar as bases, ou seja:x ya a x y< ⇒ > .

Antes de resolver uma equação exponencial,

você deve prestar atenção na base da potência envolvida.

Para simplificar, considere as mesmas

restrições tomadas para a base do

logaritmo, ou seja,

considere: *a +∈ e

1a ≠ .

Com o auxílio dessas propriedades, é possível resolver uma inequação exponencial. Assim como para resolver uma equação exponencial, é necessário primeiro escrever as potências envolvidas como potências de mesma base.

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

41UNIDADE 1

a) Resolver a inequação exponencial 5 9 112 12x x− − +> .Solução: 5 9 112 12x x− − +> ← Note que a base é positiva e maior que 1.

5 9 1x x− > − + ← “conserva-se” a orientação do sinal de desigualdade.

6 10x >

53

x > ↑ Neste caso, a solução da inequação exponencial dada é

{ }53S x x= ∈ > .

b) Resolver a inequação exponencial ( ) ( )4 3 10, 2 0,2x x+ − +> .

Solução: ( ) ( )4 3 10, 2 0,2x x+ − +> ← note que a base é um número entre 0 e 1.

4 3 1x x+ < − + ← neste caso, “inverte-se” o sinal de desigualdade.

3 1 4x x+ < −

4 3x < −

34x < −

A solução da inequação exponencial dada é { }34S x x= ∈ < − .

c) Resolver a inequação exponencial 2 102 2 4x x⋅ < .

Solução: 2 102 2 4x x⋅ <

( )2 1022 2x x+ < ← primeiro, escreve-se as potências com a mesma base.

2 202 2x x+ <

2 20x x+ < ← elimina-se as bases.

2 20 0x x+ − < ← inequação do segundo grau.

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

42UNIDADE 1

Resolvendo a equação do segundo grau associada ( 2 20 0x x+ − = ), encontram-se as raízes: –5 e 4. Assim, a solução da inequação exponencial dada é

{ }5 4S x x= ∈ − < < ou ainda ( )5,4S = − .

Se você estiver se perguntando como foi encontrado esse intervalo, lembre-se que já foi vista uma situação semelhante na resolução do exemplo a) de inequações modulares. Reveja aquela resolução, e faça você mesmo a verificação do resultado apresentado para esta inequação. Você deve encontrar uma sentença verdadeira ao

testar o intervalo ( )5,4− , e sentenças falsas ao testar os intervalos ( ), 5−∞ − e

( )4,∞ .

Equações Logarítmicas

Equações logarítmicas são aquelas em que as variáveis aparecem no logaritmando.

São exemplos de equações logarítmicas:

4 2x =log ; 4x =log ; 5 2 7x+ ⋅ =log ; ( ) ( )3 13

2 1x x+ = +log log .

Para resolver uma equação logarítmica você deve transformá-la em uma equação exponencial, aplicando o fato que log a b = n se e somente se an = b. Além disso, você deve analisar os resultados obtidos de acordo com as restrições para existência dos logaritmos, para então validar os resultados ou não.

a) Calcular o valor de x em 4 2x =log .

Solução: 4 2x =log ← equação logarítmica.

24 10x = ← equação na forma exponencial associada.

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

43UNIDADE 1

4 100x =

25x = ← solução da equação logarítmica.

b) Resolver a equação 2 4x⋅ =log .

Solução: 2 4x⋅ =log ← equação logarítmica.

2x =log ← divisão de ambos os termos da equação pelo fator comum 2.

210x = ← equação na forma exponencial associada 100x = ← solução da equação logarítmica.

c) Resolver a equação ( ) ( ) ( )2 2 3 2x x x− + − =ln ln ln . Solução:

( ) ( ) ( )2 2 3 2x x x− + − =ln ln ln ← equação logarítmica original.

( ) ( )2 22 7 6x x x− + =ln ln ← após aplicar propriedades de logaritmo.

2 22 7 6x x x− + = ← equação na forma exponencial associada.

2 7 6 0x x− + = ← equação do 2° grau na variável x.

1x = ou 6x = ← soluções ou raízes da equação do 2° grau.

Análise das soluções encontradas: x = 1 não é válida na equação original, pois produz b < 0 (e a restrição é b > 0).x = 6 é a solução possível, pois x pode ser substituído por 6 na equação

original.

Inequações Logarítmicas

Inequação logarítmica é uma sentença matemática que apresenta um sinal de desigualdade, e onde as variáveis aparecem na posição da potência no logaritmo. São exemplos de inequações logarítmicas:

( )23 2 1x x− <log ; 2 8 2x x− ≤log log

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

44UNIDADE 1

Assim como na hora de resolver uma equação exponencial, também para resolver uma equação logarítmica é necessário prestar atenção na base de potência envolvida. São também dois casos a considerar: base a maior que 1: 1a > , e base a entre 0 e 1: 0 1a< < . Além disso, lembre-se que pela condição de existência, o logaritmando também tem que ser positivo.

Se 1a > , “conserva-se” a desigualdade ao eliminar os logaritmos, ou seja:

a ax y x y< ⇒ <log log .

Se 0 1a< < , “inverte-se” a desigualdade ao eliminar os logaritmos, ou seja:

a ax y x y< ⇒ >log log .

a) Resolver a inequação logarítmica ( )23 2 1x x− <log .

Solução:

Condição de existência: 2 2 0x x− > . Assim, é necessário que 0x < ou 2x > .

( )23 2 1x x− <log

( )23 32 3x x− <log log ← já que 3 3 1=log .

2 2 3x x− < ← “conserva-se” do sinal de desigualdade, pois 3 1b = > .2 2 3 0x x− − <

↑

A solução desta inequação do segundo grau é ( )1 1,3S = − (verifique!).

Confrontando 1S com a condição de existência, encontra-se a solução da

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

45UNIDADE 1

inequação logarítmica original, que é:

( ) ( )1,0 2,3S = − ∪ .

b) Resolver a inequação exponencial 2 8 2x x− ≤log log .Solução: Condição de existência: 0x > .

2 8 2x x− ≤log log ← como as bases são diferentes, é necessário igualá-las

22

2

28xx − ≤

logloglog

← muda-se a base para inserir logaritmos de mesma base

22 2

3xx − ≤

loglog ← pois 2 8 3=log

22 23

x≤

log

2 3x ≤log

2 2 8x ≤log log ← pois 2log 8 3=

8x ≤ ← ou ainda: ](1 ,8S = −∞ .

Confrontando 1S com a condição de existência, encontra-se a solução da inequação logarítmica original, que é:

( ]0,8S = .

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

46UNIDADE 1

Nesta unidade, você pôde revisar conceitos de Matemática Básica, além de verificar formas de resolução de equações e inequações modulares, exponenciais e logarítmicas. Agora é hora de rever alguns desses conceitos.

Conjunto dos números reais: a união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais forma o conjunto dos números reais: = ∪

Relações de inclusão importantes: ⊂ ⊂ ⊂ e ⊂ . Mas atenção: ∪ = ∅ .

Potenciação é a operação matemática na qual, dada uma base e um expoente,

calcula-se uma potência. Na sentença na b= , a é a base, n é o expoente e b é a potência.

Propriedades da potenciação:

.m n m na a a +=

n n

na ab b

=

(se b ≠ 0)

( ). .n n na b a b=

( ) .mn n ma a=

( ):m

m nm nn

aa a aa

−= = (se 0a ≠ )

0 1a = (se 0a ≠ )

a (– n) = na1

(se 0a ≠ )

Radiciação é a operação matemática na qual, dado um radicando e um

índice, calcula-se uma raiz. Na sentença n b a= , b é o radicando, a é a raiz e n é o índice.

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

47UNIDADE 1

Propriedades da radiciação:nnn baba .. =

( )nmn m bb =

aan n =

n

nn

ba

ba

=

mnn m aa .= Para racionalizar um denominador, você deve multiplicar ambos os termos

da fração por um número ou por uma expressão conveniente.

Logaritmação é a operação matemática na qual, dados uma base e um

logaritmando, busca-se encontrar um logaritmo. Na sentença a b n=log , b é o logaritmando, a é a base, e n é o logaritmo.

Propriedades da logaritmação:

( )a a ab c b c= +log . log log

( )a a ab b cc = −log log log

( )na ab n b=log . log

a ab c b c= ⇔ =log log

ca

c

bba

=logloglog

(mudança de base).

O módulo de um número real x é sempre não negativo, e é definido e representado por:

, 0| | 0, 0

, 0

x se xx se x

x se x

>= =− <

Equação modular é uma sentença matemática onde a variável aparece dentro de um módulo. Para resolver uma equação modular, usa-se a definição de módulo e as suas propriedades.

Inequação modular é uma sentença matemática com um sinal de desigualdade onde a variável aparece dentro de um módulo.

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

48UNIDADE 1

Equação exponencial é uma sentença matemática onde as variáveis aparecem no expoente de uma potência. Para resolver uma equação exponencial, deve-se transformá-la em uma igualdade de potências de mesma base, e em seguida resolver a equação que resulta da igualdade dos expoentes, quando se suprime as bases.

Inequação exponencial é uma sentença matemática com um sinal de desigualdade onde as variáveis aparecem no expoente de uma potência. Para resolver uma equação exponencial, deve-se prestar atenção na base da potência envolvida:

• Se 1a > , “conserva-se” a desigualdade ao eliminar as bases, ou seja:x ya a x y< ⇒ < .

• Se 0 1a< < , “inverte-se” a desigualdade ao eliminar as bases, ou seja:x ya a x y< ⇒ > .

Equações logarítmicas são aquelas em que as variáveis aparecem no

logaritmando. Para resolver uma equação logarítmica deve-se transformá-la em uma equação exponencial, aplicando-se o fato de que loga b = n se e somente se an = b. Deve-se também analisar os resultados obtidos de acordo com as restrições para existência dos logaritmos, para então validar os resultados ou não.

Inequação logarítmica é uma sentença matemática com um sinal de desigualdade onde as variáveis aparecem no logaritmando. Para resolver uma inequação logarítmica é necessário considerar que o logaritmando tem que ser positivo, e prestar atenção na base da potência envolvida:

• Se 1a > , “conserva-se” a desigualdade ao eliminar os logaritmos, ou seja:

a ax y x y< ⇒ <log log .• Se 0 1a< < , “inverte-se” a desigualdade ao eliminar os logaritmos, ou

seja:

a ax y x y< ⇒ >log log .

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

49UNIDADE 1

Após ter estudado o conteúdo desta unidade, é hora de você realizar alguns exercícios. Para uma melhor auto aprendizagem, ao final da atividade você pode comparar suas respostas com as respostas apresentadas no final deste livro didático. Caso alguma de suas respostas não coincida, reveja o exercício.

1) Resolva as equações a seguir:

a) 4 3 7x + =

b) 7 4x x= −

c) 22 3 1 28x x− + =

d) 12 8x+ =

e) 1 33

x =

f) 4

3 1 122 8

xx

− ⋅ =

g) 23

10xx ⋅

=loglog

log

h) 1 1 243 3 9

x x + + − =

ln ln ln

i) ( ) ( ) ( )5 25 54 3 2x x+ − + =log log log

2) Resolva as inequações a seguir:

a) 2 13x

− ≤

b) 4 2 6x x+ ≤ −

c) 25 4 12x< − <

d) 3 81x ≤

e) 1

2 3 155

xx

−− ≤

f) 2 22 5 2 1x x+ − ⋅ ≤ −

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

50UNIDADE 1

g) ( ) ( )7 73 3 12x x+ > −log log

h) ( )12

5 3x + >log

i) ( ) ( )21 1

3 32 4x x x− < +log log

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

51UNIDADE 1

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

52UNIDADE 1

UN

IDA

DE IIfunções Reais


Compreender o conceito de funções como a relação de dependência entre duas ■grandezas.

Determinar o campo de definição de uma função, operar com funções, e esboçar ■gráficos de funções.

rOteirO de estudOs

Seção 1 - ■ O que são funções?

Seção 2 - ■ Operações com funções

Seção 3 - ■ Tipos de funções

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

54UNIDADE 2


Caro(a) acadêmico(a)

Na disciplina Matemática Básica e na unidade I deste livro, você teve a oportunidade de estudar conjuntos numéricos e formas de resolução de alguns tipos de equações e inequações. Nesta unidade você iniciará um estudo sobre funções, que são instrumentos para verificar as relações, correspondências ou possíveis associações entre variáveis.

As funções muitas vezes são modelos matemáticos que representam e simplificam situações reais. No cotidiano ocorrem com frequência situações que relacionam duas grandezas, como por exemplo:

O valor gasto pra encher o tanque de gasolina depende do preço do litro ▪do combustível.

A área de um quadrado depende do tamanho do lado. ▪A poluição do ar pode depender do número de carros na rua. ▪

O conceito de função surgiu da necessidade do homem de entender e explicar a realidade através de leis quantitativas. Na Matemática, o termo “função” significa que há uma correspondência única, e muitas vezes exprime uma relação de dependência entre as grandezas.

Na Matemática, o conceito de função é um dos mais importantes, e ao longo dos séculos sofreu uma grande evolução, sendo que a introdução do método analítico na definição de função ocorreu apenas entre os séculos XVI e XVII, revolucionando a Matemática.

Como consequência da evolução do estudo das funções, surgiram numerosas aplicações da Matemática em outras ciências, pois os cientistas, partindo de observações, procuravam uma fórmula (uma função) para explicar os sucessivos resultados obtidos. A função era, então, o modelo matemático que explicava a relação entre as variáveis. Assim, o conceito de função que hoje parece simples é resultado de uma evolução histórica que, conduzindo cada vez mais à abstração, só no século XIX obteve sua forma atual.

Bons estudos!

Grandeza pode ser definida,

resumidamente, como sendo o

atributo físico de um corpo que pode

ser qualitativamente distinguido e

quantitativamente determinado. Por exemplo: a altura

de uma lata de refrigerante é um

dos atributos desse corpo, definido pela grandeza

comprimento, que é qualitativamente distinto de outros

atributos (como capacidade

definida pela grandeza volume)

e quantitativamente determinável (pode

ser expresso por um número).

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

55UNIDADE 2

Nesta seção, você irá estudar alguns conceitos e algumas definições importantes ao entendimento do conteúdo funções. Embora alguns conceitos já tenham sido vistos na disciplina de Fundamentos da Matemática, vale a pena relembrar. Nesta disciplina, sempre que aparecer uma função, essa função será definida sobre o conjunto dos números reais, ou seja, as variáveis com as quais você irá trabalhar serão números reais.

Definição de função

Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B . Essa relação f é uma função de A em B quando cada elemento x do conjunto A está associado a um e apenas um elemento y do conjunto B .

Para nomear funções costuma-se usar as letras minúsculas f, g, h, etc. As notações usadas são as seguintes:

:f A B→ indica uma função f que leva elementos do conjunto A no conjunto B.

( )y f x= indica que y é o elemento correspondente a x .

Acompanhe o exemplo:

Você irá trabalhar aqui com funções reais de uma variável, mas existem situações em que o valor de uma função depende de mais variáveis. Por exemplo, o volume de um cilindro depende do raio e da altura do mesmo. Neste caso, o volume é uma função de duas variáveis. Você irá estudar funções de várias variáveis quando chegar à disciplina Cálculo III.

SeÇÃO 1O QUE SÃO FUNÇõES?

Dados os conjuntos { }0,2,4A = e { }0,2,3,4,6B = , considere a relação de

A em B expressa pela fórmula 2y x= + , com x A . Essa relação está indicada graficamente pelo seguinte diagrama de Venn:

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

56UNIDADE 2

0

2

4

02346

Observação:• Todos os elementos de A estão associados a elementos de B.• A cada elemento de A está associado um único elemento de B.Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula y = x + 2 é uma função

de A em B.

Domínio, contradomínio e imagem de uma função

Segue da definição de funções (e da notação :f A B→ ) que:O ▪ domínio da função é o conjunto A e escreve-se ( )D f A= .O ▪ contradomínio da função é o conjunto B e escreve-se ( )CD f A= .O conjunto ▪ imagem da função é o subconjunto de B formado pelos

elementos que têm correspondente em A, e escreve-se Im( )f .

No exemplo anterior, pode-se dizer que o domínio de f é

{ }( ) 0, 2, 4D f A= = , o contradomínio de f é { }( ) 0, 2,3,4,6CD f B= = e a

imagem de f é { }Im( ) 2,4,6f = .

Os exemplos a seguir ilustram a utilização da notação na representação matemática das funções. Acompanhe.

a) Sejam { }1,2,3,4A = , B = (conjunto dos Inteiros) e BAf →: definida pela regra que a cada elemento de A faz corresponder o seu triplo. Então:

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

57UNIDADE 2

a regra que define a função • f é ( ) 3f x x= ou xy 3= .para encontrar a imagem basta multiplicar os elementos de • A por 3a imagem do elemento 1 é 3, a imagem de 2 é 6, etc. • o domínio de • f é ( )D f A= e o contradomínio de f é ( )CD f B=

a imagem de • f é { }Im( ) 3,6,9,12f = .

b) Considere :f → , onde a função é definida como y = x2. Então:

O domínio de f é ( )D f = , e como a regra que define f é 2xy = , a imagem será sempre um valor positivo independente do valor de x. Neste caso, a imagem de

f é ( ) [ )Im 0,f = +∞ .

Domínio natural

Se uma função :f → (função de variável real a valores reais) for definida por uma fórmula e se não houver um domínio determinado explicitamente, então subentende-se que o domínio é formado por todos os números reais que, uma vez substituídos na fórmula e efetuados os cálculos, o valor encontrado seja um número real. O conjunto de todos os números com essa qualidade é chamado de domínio natural da função.

Os exemplos a seguir ilustram a forma de se encontrar o domínio de uma função. Acompanhe.

Determine o domínio das seguintes funções:a) :f → , onde ( ) 3 2f x x= − (ou 23 −= xy ).Solução: Esta função está definida dos números reais nos números reais. Como qualquer

valor real substituído no lugar da variável x torna a expressão “ 3 2x − ” um número real, o domínio será o conjunto dos números reais. Simboliza-se o domínio desta

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

58UNIDADE 2

função com a notação ( )D f = .

Acompanhe agora o próximo exemplo, no qual a função é dada por um radical.

b) 42 −= xy Solução: Neste caso, embora não apareça explicitamente o domínio e o contradomínio,

subentende-se que a função f é dos reais nos reais. Para que esta função faça sentido, o número dentro do radical deve ser sempre positivo, pois não existe raiz quadrada de número negativo. Portanto, o domínio será formado por todos os valores de x que tornem “ 2 4x − ” um número maior ou igual a zero. A condição de existência da função é 2 4 0x − ≥ . Obtém-se o conjunto de números reais que formam o domínio da função ao resolver esta inequação.

042 ≥−x42 ≥x

2/4≥x2≥x

Dessa forma, o domínio desta função é dado por:

{ }( ) / 2 4 0D f x x= ∈ − ≥ ou { }( ) / 2D f x x= ∈ ≥ .

Outra forma possível é

)( ) 2,D f = + ∞ .

No próximo exemplo a função é apresentada por um quociente.

c) 1

2−

=x

y

Solução: Para que esta função exista, o número no denominador deve ser diferente de

zero, pois nenhuma divisão por zero é um número real. Portanto, o domínio será formado por todos os valores de x de tal forma que “ 1x − ” seja um número diferente de zero. Assim, a condição de existência é 01 ≠−x . Resolvendo esta desigualdade, encontra-se o conjunto de números reais que forma o domínio.

01 ≠−x1≠x

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

59UNIDADE 2

Assim, o domínio da função é dado por:

{ }( ) / 1 0D f x x= ∈ − ≠ ou { }( ) / 1D f x x= ∈ ≠ ou ( ) 1D f = −

Acompanhe agora o próximo exemplo, onde a função apresenta um quociente de radicais.

d) 1

3xy

x−

=−

Solução: Para encontrar o domínio é necessário analisar as condições que fazem com

que a função exista. Como no numerador existe uma raiz quadrada, a condição de existência é que o número “ 1x − ” deve ser um número maior ou igual que zero. No denominador, a condição é que “ 3 x− ” deve ser um número estritamente maior que zero, pois além da restrição da raiz quadrada, ocorre também a restrição da divisão por zero. Resumindo:

No numerador 1x − , é necessário que 1 0x − ≥ , isto é, 1x ≥ .

No denominador 3 x− , é necessário que 3 0x− > , isto é, 3x < .A solução tem que atender estas duas condições ao mesmo tempo. O intervalo

que atende as duas inequações ao mesmo tempo é 1 3x≤ < . Assim:

{ }( ) /1 3D f x x= ∈ ≤ < ou [ )( ) 1,3D f =

Agora que você sabe encontrar o domínio de uma função, é sua vez de praticar. Caso tenha dúvidas, pergunte ao seu professor tutor!

Determine o domínio das funções definidas a seguir:

a) 5y x= − b) 6 2y x= − c) 3

( 2)xy

x+

=+

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

60UNIDADE 2

Achou que foram poucas as atividades? No final desta unidade você encontrará mais exercícios para praticar o que aprendeu.

Formas de expressão de funções

As funções podem ser expressas nas formas tabular, gráfica e analítica. Na Forma tabular a correspondência entre os elementos é dada por meio de

uma tabela.

Se são conhecidas as variáveis nxxx ,,, 10 e suas respectivas imagens

0 0( ),y f x= , 1 1( ), , ( )n ny f x y f x= = pode-se construir a seguinte tabela: Por exemplo, a tabela a seguir traz a vazão semanal de água de uma empresa:

Na Forma gráfica a função pode ser expressa graficamente como:

a) Diagrama de Venn-Euler: nele, as flechas indicam que a correspondência é do conjunto A para o conjunto B.

Por exemplo, considere { }3, 1,0,2A = − − , { }1,0,1,2,3,4B = − e a função f: A → B dada pelo seguinte diagrama:

Neste caso: Função: 2)( += xxf Domínio de f: ( )D f A= ;Contradomínio de f: ( )CD f B= ;

Imagem de f: { }Im( ) 1, 1, 2,4f = − .

x 0x 1x

nx

)(xfy = 0y 1y

ny

dia segunda terça quarta quinta sexta sábado domingom3/s 360 510 870 870 950 210 0

0

2

-1

1234

-3

-10

Figura 1: Diagrama de Venn-Euler

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

61UNIDADE 2

b) Diagrama cartesiano: as retas x e y são dispostas perpendiculares entre si; a reta x é chamada eixo das abscissas e a reta y, eixo das ordenadas.

Por exemplo, para a função 2)( += xxf , o gráfico da função é apresentado a seguir sobre um diagrama cartesiano:

Figura 2: Diagrama cartesiano da função 2)( += xxf

Na Forma analítica a função é escrita segundo uma lei, denotada por

)(xfy = . Por exemplo, suponha que é necessário escrever uma função cuja imagem é

o dobro dos elementos do domínio. Esta função é escrita em linguagem matemática (forma analítica) por xxf 2)( = .

1 2 3 4-1-2-3-4

1

2

3

-1

-2

-3

x

y

O

a) Determine a relação existente entre a área de um quadrado e seu lado como uma função.

Solução:

Como a área de um quadrado é o produto dos lados, tem-se 2( )A l l=

b) O aluguel de um carro numa agência de turismo é de 15 u.m. (unidade monetária) mais 3 u.m. por km rodado. Expresse o aluguel y como função de número de x km rodados.

Solução:

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

62UNIDADE 2

Sabe-se que 15 u.m. é o gasto fixo independente da quilometragem, e que cada quilometro rodado tem um custo de 3 u. m. A função que descreve essa situação é

15 3y x= + .

Agora que você já estudou esse assunto, deve saber como expressar uma função de várias formas. Caso tenha dúvidas, pergunte ao seu professor tutor!

SeÇÃO 2OPERAÇõES COM FUNÇõES

Nesta seção, você estudará as operações básicas com funções: adição, subtração, multiplicação e divisão de funções; e também irá estudar como se faz a composição de funções. Tendo em vista que cada função possui um domínio, você verá também que é necessário determinar um novo domínio quando se realiza uma operação com funções.

Operações aritméticas com funções

Dadas duas funções f e g, as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão são definidas por:

(i) soma, denotada por f + g :

( )( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = + (ii) diferença, denotada por f – g:

( )( ) ( ) ( )f g x f x g x− = − (iii) produto, denotado por f . g:

( )( ) ( ) ( ). .f g x f x g x= (iv) quociente, denotado por f/g:

( ) ( )( )

f xf xg g x

=

, desde que 0)( ≠xg

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

63UNIDADE 2

Em cada caso, o domínio da função resultante consiste na interseção dos domínios de f e g, com a exigência adicional, no caso (iv), de que os valores de x para os quais ( ) 0g x = sejam excluídos.

Considere as funções f e g definidas por ( ) 2 1f x x= + e ( ) 4g x x= − , e determine as operações a seguir, juntamente com os respectivos domínios.

a) ( )( )f g x+ = b) ( )( )f g x− = c) ( ). ( )f g x = d) ( )f xg

=

Solução: Para encontrar o domínio de uma função é necessário analisar as condições para

ela exista. Para a função f não existe restrição sobre os valores que x pode assumir, portanto ( )D f = . Como a função g trata-se de uma raiz quadrada, tem-se a

condição 4 0x − ≥ , isto é, 4x ≥ ; logo, seu domínio é dado por [ )( ) 4,D g = +∞ . As operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão com as

duas funções dadas ficam da seguinte forma:

( )( )f g x+ = ( 12 +x ) + 4−x

( )( )f g x− = ( 12 +x ) – 4−x

( )( ).f g x = ( 12 +x ) . 4−x

( )f xg

=

412

−+

xx

Obtém-se o domínio de uma função resultante de uma operação com duas funções fazendo a interseção dos domínios das funções originais. Então, como os

domínios das funções f e g são ( )D f = e [ )( ) 4,D g = +∞ , a interseção dos dois

domínios é [ )( ) ( ) 4,D f D g∩ = +∞ . Assim:

[ )( ) ( ) ( . ) 4,D f g D f g D f g+ = − = = +∞ e ( )4,fDg

= +∞

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

64UNIDADE 2

Observe que no domínio da divisão entre as duas funções dadas o intervalo ficou aberto. De fato, no denominador a variável x deve ser maior que 4, para evitar a divisão por zero.

Composição de funções

Existem algumas situações em que duas funções se relacionam por uma composição. Tome por exemplo a situação a seguir.

Considere um desastre ambiental onde houve vazamento de óleo e suponha que uma mancha de óleo sobre uma superfície de água tenha a forma de um disco de raio r. Então, a área A da mancha é dada em função do raio, ou seja:

2( )A A r r= = π

Por outro lado, considere que o raio do disco cresça em função do tempo t (em

min), obedecendo à seguinte relação ( ) 15 0,5r r t t= = + .Se você deseja encontrar a área ocupada pela mancha como função do tempo,

deve escrever a área como função do tempo fazendo uma composição das funções da

área e do raio, ou seja, fazendo ( ) ( ( ))A A t A r t= = . Dessa forma, tem-se que:

2(15 0,5)A t= π +

Agora, veja a definição de função composta:

Para um melhor entendimento veja o diagrama a seguir:

Figura 3: Diagrama da composição da função fg

Dadas duas funções f e g com f : A → B e g: B → C, a função composta de g com f, denotada por fg : A → C, é definida por:

( fg )(x) = g(f (x))

A B Cf

x ( )y f x ( ( ))z g f x

g f

g

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

65UNIDADE 2

Notação: a função composta de g e f é indicada por g f . (lê-se: g bola f )

Observação: o domínio de g f é o conjunto de todos os pontos x do domínio de f, tais que f(x) está no domínio de g. Em notação matemática:

( ) { ( ) | ( ) ( )}D g f x D f f x D g= ∈ ∈

Para uma melhor compreensão do conceito de composição, acompanhe os exemplos resolvidos a seguir.

a) Considere as funções f : A → B definida por ( ) 3f x x= , e g : B → C

definida por 2( )g x x= . Solução: Note que o contradomínio B da função f é o mesmo domínio da função g.

Assim:

f : A → B : a cada x ∈ A associa-se um único y ∈ B, tal que y = 3x.

g : B → C : a cada y ∈ B associa-se um único z ∈ C, tal que z = 2y .

Neste caso, pode-se considerar uma terceira função, g f : A → C, que faz a composição entre as funções f e g :

g f : A → C : a cada x ∈ A associa-se um único z ∈ C, tal que

( )( )g f x = 2 2( ( )) (3 ) (3 ) 9g f x g x x x= = = . Esta é a função composta de g e f.

2) Dadas as funções ( ) 2 3f x x= + e ( ) 5g x x= , pede-se determinar

( )( )g f x e ( )( )f g x .Solução:

( ) )(xfg = ( )( )g f x = ( )2 3g x + = 5(2x + 3) = 10x + 15

( )( )f g x = ( )( )f g x = ( )5f x = 2(5x) + 3 = 10x + 3

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

66UNIDADE 2

Observação: atente para o fato de que, em geral, ( ) ( )( ) ( )g f x f g x≠ , ou seja, a operação de composição de funções não é comutativa.

Agora que você já estudou como encontrar a função composta de duas funções, é sua vez de praticar. Caso tenha dúvidas, pergunte ao seu professor tutor!

Dadas as funções f e g definidas a seguir, determine ( ) )(xfg e

( ) )(xgf .

a) f (x) = x + 1 e g(x) = 2x2 – 3 b) 3)( 2 += xxf e xxg =)(

Expressando uma função como uma composta

Muitas funções são na verdade composição de outras funções, mais simples. Identificar uma composição de funções é importante em Cálculo Diferencial, pois quando você for estudar derivadas, poderá usar uma técnica especial para funções compostas que facilitará seu trabalho.

Por exemplo, considere a função ( )3( ) 1h x x= − . Para calcular ( )h x para um dado valor de x, você deve primeiro calcular

1x − e então elevar o resultado ao cubo. Estas duas operações são executadas pelas funções.

( ) 1g x x= − e 3)( xxf = .Então, você pode expressar h em termos de f e g, da seguinte forma:

( ) [ ]33( ) 1 ( )h x x g x= − = , ou seja, ( )( ) ( ( )) ( )h x f g x f g x= = .

Para que você compreenda melhor o processo, veja a seguir alguns passos

para expressar uma função h na composição gfh = :

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

67UNIDADE 2

1º) Pense sobre como você calcularia h(x) para um valor específico de x, tentando dividir os cálculos em dois passos executados sucessivamente.

2º) A primeira operação no cálculo determinará uma g e a segunda uma função f.

3º) A fórmula para h pode, então, ser escrita como ))(()( xgfxh = .

Para uma melhor compreensão deste conceito acompanhe os exemplos resolvidos a seguir. Para facilitar, g(x) será identificada como “função de dentro”, e f (x) como “função de fora”.

Expresse as funções a seguir como compostas de duas funções:

a) ( )3cos)( xxh = Solução: Para calcular h(x) para um dado valor de x, calcula-se primeiro a parte de

dentro, que é 3x , e depois calcula-se a parte de fora, que é o cosseno. Estas duas operações são executadas pelas funções:

3( )g x x= e ( ) cos( )f x x=Então, pode-se expressar h em termos de f e g da seguinte forma:

( ) ( )3( ) cos cos ( )h x x g x= = ,

ou seja, ( )( ) ( ( )) ( )h x f g x f g x= = .

b) 3( ) cos ( )h x x= Solução:

Para calcular ( )33( ) cos ( ) cos( )h x x x= = para um dado valor de x, calcula-se

primeiro a parte de dentro, que é o cosseno, e depois a função de fora, que é 3x . Estas duas operações são executadas pelas funções:

( ) cos( )g x x= e 3( )f x x= .Então, você pode expressar h em termos de f e g da seguinte maneira:

( )33( ) cos ( ) cos( )h x x x= = ,

ou seja, ( ) ( ) ( )3( ) ( ) ( ) ( )h x g x f g x f g x= = = .

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

68UNIDADE 2

Agora que você já estudou como expressar uma função como composição de duas funções, é sua vez de praticar. Caso tenha dúvidas, pergunte ao seu professor tutor!

Expresse as funções a seguir como compostas de duas funções:

a) ( )( )h x sen x= b) ( ) 5 1h x x= + +

SeÇÃO 3TIPOS DE FUNÇõES

Nesta seção você verá como classificar certos tipos de funções de acordo com algumas características peculiares que elas apresentam.

Paridade das funções

Uma função f : A → B pode ser classificada como função par, função ímpar ou função nem par nem ímpar.

Função par: uma função :f A B→ é par se, para qualquer x ∈ A, tem-se

( ) ( )f x f x− = .Numa função par, para valores simétricos do domínio obtém-se a mesma

imagem, ou seja, o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Função ímpar: uma função :f A B→ é ímpar se, para qualquer x ∈ A, tem-se

( ) ( )f x f x− = − .

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

69UNIDADE 2

Numa função ímpar, para números simétricos do domínio obtém-se imagens opostas, ou seja, o gráfico é simétrico em relação à origem.

Para uma melhor compreensão destes conceitos acompanhe os exemplos resolvidos a seguir.

Verifique se as funções a seguir são pares ou ímpares:

a) 3x)x(f =

Solução: 3( ) ( )f x x− = −

3( )f x x− = −

Neste caso, tem-se ( ) ( )f x f x− = − . Logo, a função é ímpar.

Figura 4: 3x)x(f = é função ímpar

b) 4x)x(f =

Solução: 4( ) ( )f x x− = −

4( )f x x− =

Neste caso, tem-se ( ) ( )f x f x− = . Logo, a função é par.

1 2 3-1-2-3 O x

y

2

4

6

-4

8

10

-2

-6

-8

-10

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

70UNIDADE 2

Figura 5: 4( )f x x= é função par

b) 322 −+= xx)x(f

Solução: 2( ) ( ) 2( ) 3f x x x− = − + − −

2( ) 2 3f x x x− = − −

Aqui, ( ) ( )f x f x− ≠ e ( ) ( )f x f x− ≠ − . Logo, a função não é nem par nem ímpar.

Figura 6: 322 −+= xx)x(f não é função par nem ímpar.

1 2 3-1-2-3 x

y

O

5

10

15

20

1 2-4 -1-2-3

2

4

6

-4

-2

-5 x

y

Observação: uma função :f A B→ não é par e nem ímpar, se para qualquer

x ∈ A, nem ( ) ( )f x f x− = e nem ( ) ( )f x f x− = − são verificadas. O gráfico não é simétrico nem em relação à origem, nem em relação ao eixo y, conforme pode ser visto no gráfico apresentado na figura 6.

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

71UNIDADE 2

Funções crescentes e decrescentes

Função crescente: uma função é dita crescente num intervalo, se

para quaisquer valores de x1 e x2 neste intervalo, com 1 2x x< , ocorre

( ) ( )1 2f x f x< .

Função decrescente: uma função é dita decrescente num intervalo,

se para quaisquer valores de x1 e x2 neste intervalo, com 1 2x x< , ocorre

( ) ( )1 2f x f x> .

função crescente função decrescente

Figura 7: Gráficos de funções crescente e decrescente

1x1x 2x2x2( )f x

2( )f x

1( )f x

1( )f x( )f x( )f x

A figura a seguir traz o gráfico da função 3

( ) 43xf x x= − . Defina os intervalos

onde a função é crescente e decrescente.

2

4

6

-4

-2

x

y

-6

2 4-2-4

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

72UNIDADE 2

Solução:

Observando o gráfico é possível ver que f(x) é decrescente no intervalo ( )2,2−

e crescente nos intervalos ( ), 2−∞ − e ( )2,∞ . Para 2x = − tem-se um valor máximo local, Isto é, para x numa vizinhança pequena de 2x = − , a maior imagem é a de

2x = − . Para 2x = tem-se um valor mínimo local, isto é, numa vizinhança pequena de 2x = , a imagem de 2x = é a menor.

Função inversa

Antes de ver a definição de função inversa, é oportuno que você revise o conceito de função bijetora, que você já estudou na disciplina de Fundamentos da Matemática.

Função bijetora: a função f é denominada bijetora se satisfaz as duas condições a seguir:

• O contradomínio de f coincide com sua imagem, ou seja, todo elemento do contradomínio é correspondente de algum elemento do domínio.

• Cada elemento do contradomínio de f é imagem de um único elemento do domínio.

Definição de função inversa:

Uma função f possui inversa 1−f se f for bijetora.

Observação: os gráficos de f e de 1f − são simétricos em relação à reta

y x= . O domínio de f é a imagem de 1−f , e a imagem de f é o domínio de 1−f .

Isto é, se :f A B→ , então 1 :f B A− → .

Para obter a função inversa procede-se da seguinte forma: a) troca-se x por y na função f; b) isola-se y para obter a lei que define a função inversa.É preciso apenas tomar certo cuidado com o domínio da nova função. Para

que a definição de função seja satisfeita, em alguns casos é necessário restringir este

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

73UNIDADE 2

domínio para que a função seja bijetora. Você verá exemplos disso na unidade V, quando estudar funções trigonométricas e hiperbólicas inversas.

a) Obtenha a lei da função inversa 1−f da função f dada por y = 2x + 3.Solução: y = 2x + 3 ← função f . x = 2y + 3 ← troca-se de lugar as variáveis x e y .

3

2xy −

= ← isola-se a variável y.

Dessa forma, 32

xy −= é a lei da função inversa da função dada por

y = 2x + 3. Assim:

f (x) = 2x + 3 e 1−f (x) = 2

3−x

Veja a seguir os gráficos das funções f e 1−f , num mesmo sistema de coordenadas:

Observação: note que os gráficos das funções f e 1−f são simétricos em relação à reta y = x que contém a bissetriz do 1º e 3º quadrantes.

b) Determine a função inversa 1−g da função g(x) = 32

5−

+x

x, cujo domínio

x

y

1 2 3 4-1-2-3-4 O

1

2

3

-1

-2

-3

-4

4 ( )f x

1( )f x

y x

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

74UNIDADE 2

é 3( )2

D g = −

. (No domínio de g existe a restrição “denominador diferente

de zero”)Solução:

y = 32

5−

+x

x ← função g.

x = 32

5−

+y

y ← troca-se de lugar as variáveis x e y .

(2y – 3)x = y + 5 ← deve-se isolar a variável.2xy – 3x – y = 5y(2x – 1) = 3x + 5

y = 1253

−+

xx

Condição de existência da função: 2x – 1 ≠ 0 Þ x ≠ 21

, logo o

domínio da função 1−g é ( )1 12

D g − = −

, e a inversa procurada é

1 1 3:2 2

g − − → − , dada por 1( )g x−

= 1253

−+

xx

.

Agora é sua vez de praticar. Caso tenha dúvidas, pergunte ao seu professor tutor!

1) Dada ( ) 13xf x = + , pede-se:

a) obtenha f -1 b) calcule f -1 (0) e f -1 (5)

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

75UNIDADE 2

2) Calcule 1( )f x− para a função 2 1y x= − , e represente as duas funções no mesmo plano cartesiano

Funções periódicas

Uma função f é periódica se existe um número real p ≠ 0 tal que

( ) ( )f x p f x+ = para todo ( )x D f∈ . O menor valor de p que satisfaz

( ) ( )f x p f x+ = é chamado de período da função f. O gráfico de uma função periódica se repete a cada intervalo de comprimento |p|.

As funções ( ) ( )f x sen x= e ( ) cos( )g x x= são exemplos de funções periódicas, e ambas possuem período 2π.

Figura 8: Gráfico da função periódica ( ) ( )f x sen x=

x

y

-6 -4 -2 2 4 6

1

-1

O

Classificação das funções

As funções classificam-se em algébricas (polinomiais, racionais e irracionais) e transcendentes (exponenciais, logarítmicas, trigonométrica (diretas e inversas) e hiperbólicas (diretas e inversas)). Há também alguns casos especiais que não se enquadram nestas duas categorias, e que são chamados de funções básicas. Nas próximas unidades você trabalhará com estes três tipos de funções..

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

76UNIDADE 2

Nesta unidade, você revisou alguns conceitos de funções já aprendidos em sua vida escolar, e também estudou novas definições que envolvem as funções. Agora é hora de rever alguns desses conceitos.

Para encontrar o domínio de uma função é preciso verificar as condições de existência que satisfazem a função, ou seja, que a tornam uma sentença verdadeira.

As funções podem ser expressas de várias formas: por tabelas, diagramas, gráficos, na linguagem que falamos e na forma analítica matemática. Todas as formas são válidas. Em muitas situações usa-se mais de uma forma para a mesma função.

As operações de adição, subtração, multiplicação e divisão envolvendo as funções são definidas por:

( )( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = + ;

( )( ) ( ) ( )f g x f x g x− = − ;

( )( ) ( ) ( ). .f g x f x g x= ;

( ) ( )( )

f xf xg g x

=

, com 0)( ≠xg .

Em cada caso, o domínio da função resultante consiste na interseção dos domínios de f e g, isto é,

( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( )D f g D f g D f g D f g D f D g+ = − = = = ∩ ,com a exigência adicional de que na divisão os valores de x para os quais ( ) 0g x = sejam excluídos.

Dadas duas funções f e g com f : A → B e g : B → C , a função composta de g com f, denotada por fg : A → C, é definida por: ( fg )(x) = g(f(x)). Muitas

funções são na verdade composição de outras funções. A função 2( ) ( )h x tg x= ,

por exemplo, é a composição das funções: 2( )g x x= e ( ) ( )f x tg x= , e pode-se escrever

[ ]2( ) ( ) ( ) ( ( ))h x tg x tg g x f g x= = = = ( ) )(xgf .

Algumas funções apresentam comportamentos característicos, e recebem nomes especiais:

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

77UNIDADE 2

Função par: é a função em que se verifica a igualdade ( ) ( )f x f x− = , " x do domínio.

Função ímpar: é a função em que se verifica a igualdade

( ) ( )f x f x− = − , " x do domínio. Função crescente: é a função que " x1 e x2 do domínio com x1 < x2 ⇒

f (x1) < f (x2).Função decrescente: é a função que " x1 e x2 do domínio com x1 < x2 ⇒

f (x1) > f (x2).Função inversa: diz se que uma função f possui inversa f –1 se f for bijetora.

O gráfico de f e f –1 são simétricos em relação a reta y = x.Função periódica: é a função que se repete a cada intervalo de comprimento

|p|, sendo p ≠ 0. Diz-se que p é o período da função f. Como exemplo de funções periódicas tem-se as funções f (x) = sen(x) e g(x) = cos(x).

Caro(a) aluno(a), só prossiga para a próxima unidade após realizar as atividades de auto-avaliação e se certificar de que os conceitos vistos aqui foram bem aprendidos. Em caso de dúvidas, fale com seu tutor.

Bons estudos!

1) Classifique as funções a seguir em par, ímpar, ou nem par nem ímpar.

a) ( ) 3f x x= b) 2( ) 1f x x= + c) 3( )f x x= − d) 4 1y x= −

e) 47y x= f) 1yx

= g) 2( ) 4f x x= − h) 2( ) 2 1f x x x= + +

2) Determine o domínio das funções dadas a seguir.

a) 1( )

1f x

x=

− b) 2

2( )1

xf xx

=+

c) ( ) 2f x x= + d) 3 2( )f x x x= −

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

78UNIDADE 2

3) Sendo dadas 2( ) 2f x x= + e ( ) 3g x x= , calcule ( )( )g f x e ( )( )f g x .

4) Dadas as funções 2( ) 5 6f x x x= − + e ( ) 1g x x= + , pede-se:

a) ( )( )f g x ; b) x de modo que ( )( ) 0f g x = .

5) Considere as funções 2( ) 2 1f x x x= − + e ( ) 2 1g x x= + , e calcule:

a) ( ) )(xfg b) ( ) )(xgf c) ( )( )1f g d) ( )( )2g f

6) Dada a função 2( ) 1f x x= + , determine ( )( )2f f .

7) Determine as inversas das seguintes funções:

a) ( ) 3 5f x x= − + b) ( ) 2 3f x x= − c) 2 1( )3xg x

x−

= ( 0x ≠ )

8) Dadas as funções ( ) 8 1f x x= + , ( ) 2 5g x x= − e 2( ) 3h x x= + , calcule

( )( )( )f g h x .

9) Construa o gráfico de cada função em um sistema de coordenadas cartesianas:

a) 2( ) 9f x x= − b) ( ) 2 xf x = c) 4( )f xx

=

d) ( )2( ) logf x x= ; (sugestão: faça 18x = , 1

4x = , 12x = , 1x = ,

2x = , 4x = , 8x = )

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

79UNIDADE 2

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

80UNIDADE 2

UN

IDA

DE II

I

funções Algébricas


Identificar e analisar funções de 1º e de 2º graus. ■

Determinar o campo de definição de funções polinomiais, racionais e irracionais. ■

Esboçar e analisar gráficos de funções algébricas. ■

rOteirO de estudOs

Seção 1 - ■ Funções polinomiais

Seção 2 - ■ Funções racionais fracionárias

Seção 3 - ■ Funções irracionais

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

82UNIDADE 3



Nesta unidade, você estudará as funções ditas algébricas, bem como as características e propriedades apresentadas por cada uma delas.

SeÇÃO 1FUNÇõES POLINOMIAIS

Nesta seção, você terá a oportunidade de fazer um estudo sobre as principais funções polinimiais, tais como a função de 1º grau e a função quadrática, bem como seus respectivos gráficos.

Função polonimial

Função polinomial com uma variável, ou simplesmente função polinomial, é uma função cuja formulação matemática é expressa através de um polinômio. É uma

função :f → definida por

( ) ( )( )

10 1 1...nn

nnf x a x a x a x a−−= + + + + ,

onde 0 1, , ..., na a a ∈ são chamados coeficientes, e n é um inteiro não negativo

que determina o grau da função.

f(x) = k é uma função polinomial de grau zero.f(x) = ax + b, a ≠ 0 é uma função polinomial do 1º grau.f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 é uma função polinomial do 2º grau.f(x) = x3 + 3x é uma função polinomial do 3º grau.f(x) = 5x5 – 6x + 7 é uma função polinomial de 5º grau.

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

83UNIDADE 3

Gráfico de funções polinomiais

Se f é uma função polinomial, então o gráfico de f será o conjunto de pontos

( ),x y em 2 (ou, no plano cartesiano) para os quais ( ),x y é um par ordenado

onde ( )y f x= .

A seguir você poderá estudar algumas das principais funções polinomiais.

Função constante

Função constante é uma função do tipo ( )f x c= , que associa a qualquer número real x o mesmo número real c.

Figura 9: Gráfico da função constante f(x) = c.

A representação gráfica é uma reta paralela ao eixo dos x, passando por y = c

(essa reta corta o eixo y no ponto ( )0,c ). O domínio é ( )D f = , e a imagem é o

conjunto unitário { }Im( )f c= .

c( )f x c

Veja alguns exemplos de funções constantes:a) 2)( −=xf b) 5)( =xf

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

84UNIDADE 3

c) Dentro de uma câmera fria em um frigorífico a temperatura interna é mantida a -7o C. Determine a função que estabelece a relação entre a temperatura da câmera e o tempo decorrido.

Solução: Como a temperatura interna é mantida a -7o C para qualquer instante de tempo,

a função que descreve a temperatura em função do tempo é a função constante

( ) 7f t = − .

Agora é sua vez de praticar. Caso tenha dúvidas, pergunte ao seu professor tutor!

Construa o gráfico de cada função do exemplo anterior.

Função do 1º grau

Sejam a e b números reais, sendo 0a ≠ . Uma função do 1o grau é uma

função :f → que para cada x em associa o valor ( )f x ax b= + .

A função do 1o grau ( )f x ax b= + é também chamada função afim, na qual a é o coeficiente angular (inclinação da reta) e b é o coeficiente linear (o ponto onde a reta intercepta o eixo dos y).

O coeficiente angular (valor de a) determina se a função é crescente ou decrescente:

• A função f é crescente se a > 0.• A função f é decrescente se a < 0.

Observe o exemplo a seguir, onde aparecem duas funções com valores diferentes para a:

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

85UNIDADE 3

( ) 2 4f x x= + (a = 2 > 0) ( ) 2 4f x x= − +

(a = – 2 > 0)

x

y

O-1-2-3-4 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

-1

-2

O-1-2-3-4 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

-1

-2

x

y

Função crescente Função decrescente

Chama-se Raiz ou zero da função a todo número x que anula a função, isto é, que produz ( ) 0f x = . Assim, para determinar a raiz de uma função do 1º grau, basta resolver a equação do 1o grau associada:

ax + b = 0ax = – b

abx −

= A raiz (ou zero da função) é a abcissa do ponto de interseção do gráfico da

função com o eixo dos x, representado por ,0ba

−

.

A interseção com os eixos coordenados ocorre conforme a figura a seguir:

• Interseção com o eixo das abscissas (y = 0):

0 0 by a x b xa

−= ⇔ + = ⇔ =

• Interseção com o eixo das ordenadas (x = 0):

bybayx =⇔+=⇔= 0.0

(0 ),b

( ,0)ba

y ax b

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

86UNIDADE 3

É possível fazer um estudo do sinal da função: considerando que x = ab−

é

a raiz da função ( )f x a x b= + , observe o quadro a seguir para identificar para quais valores ocorre ( ) 0f x > ou ( ) 0f x < .

f(x) = ax + b, a ≠ 0

Raiz da função: 0a x b+ = ⇒

bxa

= −

a > 0 a < 0

xba

xba

f(x)= 0 ⇒ x = – ab

f(x)= 0 ⇒ x = – ab

f(x) > 0 ⇒ x > – ab

f(x) > 0 ⇒ x < – ab

f(x) < 0 ⇒ x < – ab

f(x) < 0 ⇒ x > – ab

O gráfico da função f(x) = ax + b é uma reta oblíqua aos eixos coordenados.

O domínio da função f(x) = ax + b é ( )D f = e o conjunto imagem é

( )Im f = .

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

87UNIDADE 3

Construa os gráficos das funções a seguir: a) ( ) 2 1f x x= −Solução:

O-1-2 1 2 3 4

1

2

3

4

5

-1

-2

x

yx y– 2 – 5 – 1 – 30 – 1 1 12 33 5

Figura 10: Gráfico da função ( ) 2 1f x x= −

b) xxf 2)( = c) xxf 3)( −= Solução: Solução:

x

y

O-1-2-3-4 1 2 3 4

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

x

y

O-1-2-3-4 1 2 3 4

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

x y– 2 – 4 – 1 – 20 01 22 4

x y– 2 6 – 1 30 01 – 32 – 6

Figura 11: Gráfico das funções ( ) 2f x x= e xxf 3)( −=

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

88UNIDADE 3

Observações: 1. Considere a função polinomial do 1o grau ( )f x ax b= + . No caso de

0b = , tem-se ( )f x ax= , que recebe o nome especial de função linear. O gráfico de uma função linear ( )f x ax= é uma reta que passa pela origem e tem inclinação a.

2. Se uma função linear tiver a = 1, ela pode ser escrita como ( )f x x= (ou y x= ), e recebe o nome de função identidade.

Determine a lei de formação da função f , cujo gráfico cartesiano é:

Solução:Como uma função do 1º grau tem a foma y a x b= + , tomam-se dois pontos

quaisquer da reta e substituem-se seus valores na equação para obter-se um sistema de equações lineares com as variáveis a e b. Pode-se por exemplo, escolher os pares ordenados com 1x = e com 2x = :

Para x = 1 e y = 1 ⇒ 1 = a . (1) + b ⇒ a + b = 1 (i)Para x = 2 e y = – 2 ⇒ – 2 = a . (2) + b ⇒ 2a + b = – 2 (ii)

Resolvendo o sistema de equações formado por (i) e (ii), obtém-se 3a = − e 4b = (verifique!) Logo, a função procurada é ( ) 3 4f x x= − + .

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

89UNIDADE 3

1) As figuras a seguir representam os gráficos de funções de em . Determine as expressões que as definem.

2) Esboce o gráfico das funções a seguir. Verifique graficamente o que acontece em cada caso quando troca-se de lugar o valor dos coeficientes angular e linear.

a) 32)( += xxf

b) 32)( +−= xxf

c) 32)( −= xxf

d) ( ) 2 3f x x= − −

e) xxf 2)( =

f) xxf 2)( −=

3) Uma loja está oferecendo uma vaga para um vendedor. O salário será de R$ 300,00 fixos mais 5% do total vendido no mês. Determine a função ou a lei matemática que estabelece uma relação entre o salário a receber em um mês e o total vendido. Quanto deverá ser vendido no mês para que o pretendente à vaga tenha um salário de R$ 1.500,00?

100

-1

Função do 2º grau

A função :f → dada por 2( )f x a x b x c= + + , com a , b e c reais e a ≠ 0, denomina-se função polinomial do 2o grau ou função quadrática. Os números representados por a , b e c são os coeficientes da função. Note que se a ≠ 0, tem-se uma função do 1o grau.

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

90UNIDADE 3

Considere a função ƒ do 2º grau em que ƒ (0) = 5, ƒ (1) = 3 e ƒ (–1) = 1. Escreva a lei de formação dessa função e calcule ƒ (5).

Solução:

Como uma função do 2º grau tem a forma 2y a x b x c= + + , com a ≠ 0, basta substituir os pontos (0, 5), (1, 3) e (-1,1) nessa expressão, para obter um sistema de três equações nas variáveis a, b e c:

Para 0x = , tem-se 5y = ⇒ ( ) ( )25 0 0a b c= + + ⇒ 5c = (i)

Para 1x = , tem-se 3y = ⇒ ( ) ( )23 1 1a b c= + + ⇒ 2a b+ = − (ii)

Para 1x = − , tem-se 1y = ⇒ ( ) ( )21 1 1a b c= − + − + ⇒ 4a b− = − (iii)

O valor de c é obtido direto, e as equações (ii) e (iii) podem ser resolvidas da seguinte forma:

602

)(4)(2

−=+

−=−−=+

a

iibaiba

Segue que 3a = − . Substituindo este valor em qualquer uma das equações do sistema, você obterá 1b = . Como os valores de a, b e c são agora conhecidos, pode-se escrever a função procurada, que é

f (x) = – 3x2 + x + 5,

e em conseqüência, o valor de f (5) será

f (5) = – 3(5)2 + 5 + 5 = – 65.

Gráfico de uma função quadrática

O gráfico de uma função polinomial do 2º grau (ou função quadrática) é uma curva aberta chamada parábola. Para obter uma boa representação gráfica, é necessário observar três importantes características do gráfico da função quadrática: concavidade, raízes e vértice.

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

91UNIDADE 3

Concavidade: dada uma função do tipo 2( )f x a x b x c= + + , o sinal de “a” determina a concavidade dessa parábola: se a > 0, a concavidade é voltada para cima; e se a < 0, a concavidade é voltada para baixo. O termo c determina o ponto onde a parábola corta o eixo dos y.

Raízes de uma função quadrática: as raízes (ou zeros) da função

quadrática 2( )f x a x b x c= + + são as raízes da equação do 2º grau associada 2 0a x b x c+ + = , ou seja, são os valores dados por

x = a

acbb2

42 −±− (fórmula de Báskara)

Considerando 2 4b ac∆ = − , podem ocorrer três situações:

• Δ > 0 ⇒ as duas raízes são reais e diferentes: 1x = a

b2

∆+− e

2x = a

b2

∆−−.

• Δ = 0 ⇒ as duas raízes são reais e iguais (raiz dupla): 1 2 2bx xa

= = − .• Δ < 0 ⇒ não há raízes reais.Geometricamente, as raízes ou zeros de uma função polinomial do 2º grau são

as abscissas dos pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x .

Vértice da parábola: uma forma de se obter o vértice ( , )V VV x y é obter

primeiramente o valor Vx , e depois o valor Vy , como segue:

• 1 2

2Vx xx +

= , pois o vértice encontra-se no eixo de simetria da parábola;

Porém, não é necessário encontrar primeiro as raízes 1x e 2x da função. É possível determinar as coordenadas do vértice da parábola de forma direta. Acompanhe:

Como 2

14

2b b acx

a− + −

= , 2

24

2b b acx

a− − −

= e 2 1

2vx xx +

= , então:

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

92UNIDADE 3

( ) ( )2 24 4

2

2v

b b ac b b ac

ax

− + − + − − − =

e, finalmente:

2vbxa

−=

• 2V V Vy a x b x c= + + , onde Vx foi obtido acima. Assim:

2

2 2vb by a b ca a

− − = + +

2( 4 )4v

b acya

−= −

e, finalmente:

4vya

∆= −

Portanto, as coordenadas do vértice ( , )V VV x y são:

2vbxa

−= e

4vya

∆= − ou ( , ) ,

2 4V VbV V x ya a

− ∆= = −

O domínio da função quadrática é todos os reais ( ( )D f = ) e sua imagem depende do sinal do coeficiente “a”:

• se 0a > , então { }Im( ) / vf y y y= ∈ ≥ , a concavidade é voltada para

cima e o ponto ( , )V VV x y é um ponto de mínimo;

• se 0a < , então { }Im( ) / vf y y y= ∈ ≤ , a concavidade é voltada para

baixo e o ponto ( , )V VV x y é um ponto de máximo.

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

93UNIDADE 3

Estudo do sinal da função quadrática

No esquema a seguir você verá um estudo do sinal da função que, levando em consideração o número de raízes e a concavidade, mostra quando os valores reais x tornam a função quadrática positiva, negativa ou nula.

Figura 12: Estudo dos sinais da função quadrática

Agora que você acompanhou esse estudo das principais características de uma parábola, você deve conseguir esboçar com mais facilidade o gráfico de uma função quadrática.

Para fixar esse conteúdo, acompanhe os exemplos resolvidos a seguir.

a) Construa o gráfico da função 2 2y x x= + , e determine sua imagem.Solução: A parábola terá concavidade voltada para cima, pois nesta equação tem-se

1 0a = > .Para encontrar as raízes da função, deve-se fazer 0y = , ou seja:

2 2 0x x+ = ⇒ ( ). 2 0x x + = ⇒ 1 0x = e 2 2x = − são as duas raízes reais.Para encontrar o ponto onde a parábola intercepta o eixo dos y deve-se fazer

0x = , ou seja: 20 2.0y = + ⇒ 0y = ⇒ ( )0,0 é tal ponto.

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

94UNIDADE 3

Para obter o vértice da parábola, deve-se calcular Vx e Vy , ou seja:

2 12 2Vbxa

= − = − = − e 4 1

4 4Vya

∆= − = − = − ⇒ o vértice é ( )1, 1V − − .

Como a parábola tem concavidade para cima e 1Vy = − , para todo y real tem-se 1y ≥ − ; ou seja, a imagem da função é dada por:

{ }Im( ) | 1f y y= ∈ ≥ − .Graficamente:

Figura 13: Gráfico da função y = x2+ 2x

b) Construa o gráfico da função 2 4 5y x x= − + − , e determine sua imagem.Solução: A parábola terá concavidade voltada para baixo, pois nesta equação tem-se

1 0a = − < .

Para encontrar as raízes da função, deve-se fazer 0y = , ou seja: 2 4 5 0x x+ − = ⇒ 4∆ = − ⇒ ∃ raízes reais.

Neste caso, a parábola não toca o eixo dos x.

Para encontrar o ponto onde a parábola intercepta o eixo dos y deve-se fazer 0x = , ou seja:

20 4.0 5y = − + − ⇒ 5y = − ⇒ ( )0, 5− é tal ponto.

Para obter o vértice da parábola, deve-se calcular Vx e Vy , ou seja:

4 22 2Vbxa

= − = − =−

e 4 1

4 4Vya

∆ −= − = − = −

− ⇒ o vértice é ( )2, 1V − .

x

y

O 1 2 3 4-1-2-3-4-5

-1

-2

1

2

3

4

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

95UNIDADE 3

Como a parábola tem concavidade para baixo e 1Vy = − , para todo x real tem-se 1y ≤ − ; ou seja, a imagem da função é dada por:

{ }Im( ) | 1f y y= ∈ ≤ − .Graficamente:

Figura 14: Gráfico da função y = – x2 + 4x – 5

Agora que você já realizou um estudo sobre as funções do 2º grau, é sua vez de praticar. Caso tenha dúvidas, pergunte ao seu professor tutor!

1) Faça o esboço do gráfico e determine o domínio e a imagem das seguintes funções:

a) 2y x= b) 26 12y x x= − − c) 2 2 4y x x= − + d) 2 2 3y x x= − −

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

96UNIDADE 3

x

y

O 1 2 3-1-2-3

5

10

-5

-10

( )D f Im( )f

2) Com base nas figuras a seguir, determine as funções:a) b) c)

Funções polinomiais de grau maior que 2

Uma função polinomial de grau n é definida como

( ) nnnn axaxaxaxf ++++= −

−1

110 ... ,

onde os coeficientes 0 1, , ..., na a a são números reais, com 0 0a ≠ .

a) 3x)x(f =

x y– 2 – 8– 1 – 1– 0 01 1 2 8

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

97UNIDADE 3

b) 4x)x(f =

c) 22)( 23 −−+= xxxxf

d) xxxx)x(f 652 234 +−−=

xO 1 2-1-2-3

y

5

10

-5

15

( )D f Im( )f

x y– 1,5 5,0625– 1 10 01 1

1,5 5,0625

x y– 3,0 – 8,0– 2,5 – 2,625– 2,0 0,0– 1,5 0,625– 1 0,0

– 0,5 – 1,125 0 – 2,0

0,5 – 1,8751 0,0

1,5 4,4

x

y

O 1-1-2-3-2

-4

-6

-8

2

4

6

8

( )D f Im( )f

x y– 2,5 24,0625– 2,0 0,0– 1,5 – 8,4375– 1 – 8

– 0,5 – 3,9375 0 0,0

0,5 1,56251 0,0

1,5 – 3,9375

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

98UNIDADE 3

SeÇÃO 2FUNÇõES RACIONAIS FRACIONáRIAS

Nesta seção, você irá estudar funções que são definidas através de um quociente de polinômios, bem como suas características e gráficos. Você voltará a ver funções desse tipo na unidade VI, quando estudar o conceito intuitivo de limite. Portanto, faça uma boa leitura, e fique atento aos detalhes.

Função racional fracionária

Uma função expressa como uma razão de dois polinômios é chamada função racional fracionária.

Se ( )P x e ( )Q x forem polinômios na variável x, então o domínio da função

racional fracionária ( )( )( )

P xf xQ x

= é formado por todos os valores de x tais que

( ) 0Q x ≠ .

É portanto fácil constatar que o domínio de uma função racional fracionária é conjunto dos números reais, excluindo os valores que façam com que ( ) 0Q x = .

São exemplos de funções racionais fracionárias:

( )1

xf xx

=+

e 2 2( ) x xh x

x+

=

O gráfico de uma função racional fracionária pode apresentar assíntotas (saltos) horizontais e verticais. Tais assíntotas podem estar sobre os eixos x ou y ou sobre retas paralelas aos eixos coordenados, de acordo com a lei da função. Não se preocupe se você ainda não sabe o que é uma assíntota; quando estudar limites de funções, você aprenderá o conceito formal.

A seguir você vai encontrar exemplos desse tipo de função, juntamente com sua representação gráfica e algumas características.

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

99UNIDADE 3

a) Analise a função f(x) = 1x

.Solução: Este exemplo certamente é a função racional fracionária mais conhecida. Para

construir o gráfico, pode-se contar com o auxílio de uma tabela de valores.

Figura 15: Gráfico da função f (x) = 1x

.

Ao analisar o gráfico desta função, é possível determinar:

Domínio: sendo f (x) = 1x

, então { }( ) | 0D f x x= ∈ ≠

Imagem: { }Im( ) | 0f y y= ∈ ≠

Raíz: não existe x ∈ tal que f(x) = 0. Ou seja, esta função não possui raízes.Intersecção com eixos: esta função não cruza com os eixos coordenados x e y. Assíntota vertical: é a reta 0x = , ou seja, o próprio eixo dos y.Assíntota horizontal: é o próprio eixo dos x.

x y– 2,5 – 0,4– 2,0 – 0,5– 1,5 – 0,7– 1 – 1,0

– 0,5 – 2,0– 0,2 – 5,0– 0,1 – 10,00,1 10,00,2 5,00,5 2,01 1,0

1,5 0,72 0,5

2,5 0,4

1 2 3-1-4-5 O x4 5-2-3

y

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

100UNIDADE 3

b) Considere a função 1( )

1f x

x=

+, cujo gráfico aparece a seguir.

Figura 16: Gráfico da função f(x) = 1

1+x

.

Em relação a esta função é possível determinar:Solução:

Domínio: { }( ) | 1D f x x= ∈ ≠ −

Imagem: { }Im( ) | 0f y y= ∈ ≠ Raíz: existe x ∈ tal que f (x) = 0. Esta função não possui raízes.Intersecção com o eixo y: quando x = 0 ⇒ y = 1.Assíntota vertical: é a reta 1x = − .Assíntota horizontal: é o próprio eixo x.

Observação: a função f (x) = 1

1+x

é uma translação da função f(x) = x1

.

c) Observe o gráfico da função ( 2)( )

( 2).( 1)xf x

x x+

=− +

, que está desenhado a seguir. Qual o domínio da função?

Solução:

1 2 3-1-4-5 x4 5-2-3

y

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

O

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

101UNIDADE 3

Figura 17: Gráfico da função ( 2)( )

( 2).( 1)xf x

x x+

=− +

Ao observar o gráfico é possível notar que a função não está definida nos valores de 1x = − e 2x = , pois estes valores anulam o denominador, ou seja,

{ }( ) | 1 2D f x x e x= ∈ ≠ − ≠ , ou { }( ) 1, 2D f = − − . As assíntotas verticais ocorrem em 1x = − e em 2x = .

x

y

O 2 4 6 8-2-4-6-8

2

4

6

8

-2

-4

-6

Nos exemplos anteriores, você observou que as assíntotas verticais sempre ocorrem sobre as restrições de existência da função? Isso é regra. Sempre que a função for racional fracionária, sobre os valores que anulam o denominador ocorrerão as assíntotas verticais. Assíntotas verticais são retas que passam por estes valores, e sobre elas o gráfico da função dá um salto. Mas cuidado: as assíntotas horizontais não têm relação nenhuma com a condição de existência da função.

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

102UNIDADE 3

Agora que você estudou as funções racionais fracionárias, é sua vez de praticar. Você pode até usar um software para construção de gráficos. Caso tenha dúvidas, pergunte ao seu professor tutor!

1) Faça o esboço do gráfico e determine o domínio e as assíntotas verticais das seguintes funções:

a) 1( )

2f x

x=

− b)

1( )2

f xx−

=−

c) 1( )

( 2).( 1)f x

x x=

− +

SeÇÃO 3FUNÇõES IRRACIONAIS

Nesta seção, você irá estudar funções cuja lei de formação contém um radical, bem como seus gráficos e algumas de suas características.

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

103UNIDADE 3

Função irracional

Toda função real definida por uma lei que apresenta um radical é uma função irracional. Para encontrar o domínio de uma função irracional, é necessário analisar as restrições, que variam de acordo com o índice do radical e com a posição da raiz.

Para uma melhor compreensão do conceito, acompanhe o exemplo resolvido a seguir.

Analise a função ( ) 1f x x= + . Solução: A condição de existência diz que é necessário que 1 0x + ≥ , ou seja,

1x ≥ − .Ao analisar o gráfico desta função, é possível determinar:

Figura 18: Gráfico da função ( ) 1f x x= +

Observação: note que, como 1y x= + , ao elevar ao quadrado ambos os lados da

equação obtém-se 2 1y x= + , cujo gráfico é uma parábola com os eixos invertidos.

Como a função original é 1y x= + , o gráfico dessa função será apenas a parte da parábola com ordenadas positivas.

1 2 6-1 7 8-2-3 O x

y

1

2

3

4

-1

-2

3 4 5

Domínio: { } [ )( ) | 1 1,D f x x= ∈ ≥ − = − ∞

Imagem: { }Im( ) | 0f y y= ∈ ≥

Raíz: é o x para o qual 01x =+ , ou seja, 1x = − .

Interseção com o eixo y: quando x = 0 ⇒ y = 1.

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

104UNIDADE 3

Agora que você fez um pequeno estudo sobre as funções irracionais, é sua vez de praticar. Você pode usar um software para construção de gráficos. Caso tenha dúvidas, pergunte ao seu professor tutor!

Analise as funções, determinando domínio, imagem e fazendo um esboço do gráfico.

a) 2 4y x= − b) 4y x= −

Observação: em geral, uma função algébrica é definida como aquela função que pode ser expressa em termos de somas, diferenças, produtos, quocientes ou potências racionais de polinômios.

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

105UNIDADE 3

Nesta unidade, você pode revisar alguns dos tipos mais comuns de funções, como as funções de 1º e de 2º graus, e também conhecer um pouco mais sobre funções racionais e irracionais. Agora é hora de rever alguns desses conceitos.

Função polinomial é a função que pode ser expressa através de um polinômio.

É uma função :f → definida por

( ) ( )( )

10 1 1...nn

nnf x a x a x a x a−−= + + + + ,

onde 0 1, , ..., na a a ∈ são chamados coeficientes, e n é um inteiro não negativo

que determina o grau da função.Se f é uma função polinomial, então o gráfico de f será o conjunto de pontos

( ),x y em 2 (ou, no plano cartesiano) para os quais ( ),x y é um par ordenado

onde ( )y f x= .

Função constante é uma função do tipo ( )f x c= , que associa a qualquer número real x o mesmo número real c.

Sejam a e b números reais, sendo 0a ≠ . Uma função do 1o grau é uma

função :f → que para cada x em associa o valor ( )f x ax b= + . A função

do 1o grau ( )f x ax b= + é também chamada função afim, na qual a é o coeficiente angular (inclinação da reta) e b é o coeficiente linear (o ponto onde a reta intercepta o eixo dos y).

O coeficiente angular (valor de a) determina se o gráfico da função de 1º grau é crescente ou decrescente: a função f é crescente se a > 0; e a função f é decrescente se a < 0.

Chama-se Raiz (ou zero) da função a todo número x que anula a função, isto é, que produz ( ) 0f x = .

A função :f → dada por 2( )f x a x b x c= + + , com a, b e c reais e a ≠ 0, denomina-se função do 2o grau ou função quadrática. Os números representados por a, b e c são os coeficientes da função.

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

106UNIDADE 3

O gráfico de uma função polinomial do 2º grau (ou função quadrática) é uma curva aberta chamada parábola. Para obter uma boa representação gráfica, é necessário observar três importantes características do gráfico da função quadrática: concavidade, raízes e vértice.

O domínio da função quadrática é todos os reais ( ( )D f = ) e sua imagem

depende do sinal do coeficiente “a”: se 0a > , então { }Im( ) / vf y y y= ∈ ≥ , a

concavidade é voltada para cima e o ponto ( , )V VV x y é um ponto de mínimo; e se

0a < , então { }Im( ) / vf y y y= ∈ ≤ , a concavidade é voltada para baixo e o

ponto ( , )V VV x y é um ponto de máximo.

Uma função polinomial de grau n é definida como

( ) nnnn axaxaxaxf ++++= −

−1

110 ... ,

onde os coeficientes 0 1, , ..., na a a são números reais, com 0 0a ≠ .

Uma função expressa como uma razão de dois polinômios é chamada função racional fracionária. Se ( )P x e ( )Q x forem polinômios na variável x, então o

domínio da função racional fracionária ( )( )( )

P xf xQ x

= é formado por todos os valores de x tais que ( ) 0Q x ≠ .

O gráfico de uma função racional fracionária pode apresentar assíntotas (saltos) horizontais e verticais. Tais assíntotas podem estar sobre os eixos x e y ou sobre retas paralelas aos eixos coordenados, de acordo com a lei da função.

Toda função real definida por uma lei que apresenta um radical é uma função irracional. Para encontrar o domínio de uma função irracional, é necessário analisar as restrições, que variam de acordo com o índice do radical e com a posição da raiz.

Uma função algébrica é definida como aquela função que pode ser expressa em termos de somas, diferenças, produtos, quocientes ou potências racionais de polinômios.


Bons estudos!

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

107UNIDADE 3

1) Escreva a função afim ( )f x ax b= + , sabendo que:

a) (1) 5f = e ( 3) 7f − = −

b) ( 1) 7f − = e (2) 1f =

c) (1) 5f = e ( 2) 4f − = −

2) Considere a função :f → definida por ( ) 5 3f x x= − e determine:a) se a função é crescente ou decrescente b) o zero da função;c) o ponto onde a função intersecta o eixo dos y;d) o gráfico da função;e) faça o estudo do sinal.

3) Determine a lei da função cuja reta intersecta os eixos em ( )8,0− e em ( )0,4 , e:a) verifique se a função é crescente ou decrescente;b) encontre a raiz da função;c) esboce o gráfico da função;

d) calcule ( 1)f − .

4) Dadas as funções de 1º grau f e g , construa seus gráficos, e encontre o ponto de intersecção das retas que as representam:

a) ( ) 2 5f x x= − + e ( ) 2 5g x x= +

b) ( ) 5f x x= e ( ) 2 6g x x= −

c) ( ) 4f x x= e ( ) 3g x x= − +

5) O aluguel de um carro numa agência de turismo é de 15 u.m. mais 3 u.m. por km rodado.

a) Expresse o aluguel y como função de número de km rodados x.b) Qual o aluguel para 100 km rodados?c) Quantos km devem ser rodados para que o aluguel seja igual a 290 u.m.?d) Construa o gráfico da função, determine o domínio e a imagem.

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

108UNIDADE 3

6) Suponha que a função ( ) 20 40C x x= + representa o custo total de produção de um artigo, onde C é o custo (em reais) e x é o número de unidades produzidas. Determine:

a) O custo de fabricação de 5 unidades desse produto.b) Quantas unidades devem ser produzidas para que o custo total seja de R$ 12.000,00.c) O gráfico dessa função, destacando o intervalo onde o problema tem interpretação prática.

7) Na fabricação de um determinado artigo, verificou-se que o custo total foi obtido através de uma taxa fixa de R$ 4.000,00, adicionada ao custo de produção, que é de R$ 50,00 por unidade. Determine:

a) a função que representa o custo total em relação à quantidade produzida;b) o gráfico dessa produção;c) o custo de fabricação de 15 unidades;d) quantas unidades devem ser produzidas para que o custo total seja de R$ 5.250,00.

8) Um vendedor de carros recebe um ordenado fixo calculado em 5 salários mínimos mais uma comissão de 2 salários para cada carro vendido. Responda:

a) Num dado mês qual foi seu ordenado total bruto?b) No mês de abril ele recebeu 13 salários mínimos. Quantos carros ele vendeu nesse mês?

9) Determine a lei da função quadrática f , sabendo que (1) 2f = , (0) 3f = e

( 1) 6f − = .

10) Considerando a função :f → , dada por 2( ) 2 6 4f x x x= − − − :a) determine o zero da função ou as raízes da função;b) indique o coeficiente linear;c) verifique a concavidade da função;d) veja o vértice da função ou vértice da parábola;e) faça um esboço do gráfico;f) observe o conjunto imagem da função.

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

109UNIDADE 3

11) O lucro mensal de uma empresa é dado pela função 2( ) 10 16L x x x= − + − , onde x é a quantidade vendida. Responda:

a) Para que valores de x o lucro é nulo?b) Para que valores de x o lucro é positivo?c) Para que valores de x o lucro é igual a 9?

12) A receita diária de um estacionamento para automóveis é 2( ) 100 5R p p p= − , onde p é o preço cobrado por dia de estacionamento por carro. Qual o preço que deve ser cobrado para dar uma receita diária de R$ 375,00?

13) Determine a imagem e o domínio da função 2( ) 4 2f x x x= + − .

14) Determine o vértice da parábola que representa a função quadrática:

a) 2( ) 2 3f x x x= − −

b) 2( ) 6f x x x= −

c) 2( ) 4f x x= −

d) 2( ) 4 1f x x= − +

15) Faça o esboço do gráfico das seguintes funções quadráticas:

a) 2( ) 4 3f x x x= + +

b) 2( ) 2 8f x x= −

c) 2( ) 2f x x x= −

d) 2( ) 2 5f x x x= − + −

e) 2( ) 6 9f x x x= − + −

16) :f → é uma função quadrática cujo gráfico está ao lado. Responda:a) Quais são as raízes da função?b) Qual é o vértice da parábola?c) Qual é o domínio e a imagem da função?d) A função tem valor máximo ou mínimo? Qual é o valor?e) Em que ponto a função corta o eixo y?f) Em que ponto a função corta o eixo x?g) Determine a função quadrática.

h) Determine (4)f .

4

1 2 4 53

3

y

x

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

110UNIDADE 3

17) :f → é uma função quadrática cujo gráfico está ao lado. Responda:a) Qual é o vértice da parábola?b) Qual é o domínio e a imagem da função?c) A função tem valor máximo ou mínimo? Qual é o valor?d) Em que ponto a função corta o eixo y?e) Em que ponto a função corta o eixo x?f) Quais são as raízes reais da função?g) Determine a função quadrática.

h) Determine ( 2)f − .

18) Deve-se construir uma caixa aberta com um pedaço retangular de cartolina de 50 76× cm, cortando-se quadrados de lado x em cada canto e dobrando-se os lados. Expresse o volume da caixa como função de x, e:

a) Determine o volume se o valor de x for 3.b) Determine o domínio da função obtida no item a).

19) Um estudo sobre eficiência de operários do turno da manhã de uma fábrica indica que um operário médio, que chega ao trabalho às 8 horas, faz a montagem, x horas

depois de ter iniciado o expediente, de ( ) 3 26 15f x x x x= + + rádios transmissores. Quantos rádios o operário terá montado às 10 horas da manhã?

20) Encontre o domínio, imagem e trace o gráfico da função 25 xy −= .

21) Construa o gráfico das funções a seguir, e determine seus domínios imagens.

a) 53 +−= xy b) 2

2xy x= + c)

12

yx

=+

d) 1 3

2y

x= −

+ e) 2y x= + f) 2 1y x= − +

x

y

-3 -2 -1 0 1

6

3

2

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

111UNIDADE 3

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

112UNIDADE 3

UN

IDA

DE IVfunções Básicas


Compreender leis de formação de funções dadas por partes. ■Determinar domínio e imagem de funções modulares, bem como traçar seus ■

gráficos.

rOteirO de estudOs

Seção 1 - ■ Funções definidas por várias sentenças

Seção 2 - ■ Funções modulares

Seção 3 - ■ Função maior inteiro

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

114UNIDADE 4


SeÇÃO 1 FUNÇõES DEFINIDAS POR VáRIAS SENTENÇAS


Nesta unidade, você estudará as funções que não se enquadram como algébricas, nem como transcendentes. Tais funções são chamadas de funções básicas: encaixam-se aqui as funções modulares, função maior inteiro e funções que são definidas por várias sentenças.

Nesta seção você irá ver que, em alguns casos, as funções podem ser representadas analiticamente por partes, isto é, podem apresentar várias leis de formação ao mesmo tempo. Você irá ver que, nas situações em que isso ocorre, é preciso ter um cuidado maior ao determinar domínios e imagens, e também ao construir e analisar os gráficos.

Função definida por várias sentenças

Uma função definida por várias sentenças é uma função da forma:

1 1

2 2

( ),( ),

( )

( ),n n

S x DS x D

f x

S x D

=

onde cada ( )iS x é uma sentença sujeita à condição Di; Ou seja, cada condição Di

representa o domínio válido para a sentença ( )iS x . Por exemplo,

1, 1( ) , 1 1

2, 1

xf x x x

x

− < −= − ≤ < ≥

é uma função definida pelas três sentenças:

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

115UNIDADE 4

1( ) 1S x = − ,

2 ( )S x x= , e

3 ( ) 2S x = ,

e suas respectivas condições:

1 : 1D x < − ,

2 : 1 1D x− ≤ < , e

3 : 1D x ≥ .

Na ilustração a seguir estão construídos, separadamente, os gráficos de cada sentença sobre seu respectivo domínio.

S1(x) = –1, se x < –1 S2(x) = x, se –1 ≤ x < 1 S3(x) = 2, se x >1.

Obtém-se o gráfico da função 1, 1

( ) , 1 12, 1

xf x x x

x

− < −= − ≤ < ≥

ao unir os gráficos anteriores num mesmo sistema de coordenadas. Neste caso, o gráfico é:

Figura 19: Gráfico da função ( )f x .

Observando a figura 19, você consegue determinar o domínio e a imagem da função? Tente encontrá-los.

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

116UNIDADE 4

Acompanhe agora o exemplo resolvido a seguir.

Construa o gráfico da função

2

1, 1( ) , 1 2

4, 2

se xf x x se x

se x

≤ −= − < < ≥

Solução: a tabela será utilizada para auxiliar na construção do gráfico. É importante que, ao olhar a função, você já tenha idéia da figura que representa cada

parte da função. Neste caso, sabe-se que 22 ( )S x x= representa uma parábola, e que

1( ) 1S x = e 3 ( ) 4S x = são retas, imagens de funções constantes. Assim:

Figura 20: Gráfico da função ( )f x

Observando a figura 20, é possível ver que ( )D f = e [ ]Im( ) 0,4f = .

1 2-1-2-3 O x3 4 5

1

2

3

5

-1

-2

4

yx y– 3 1− 2 1− 1 10 01 12 43 44 4

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

117UNIDADE 4

Agora que você já estudou o comportamento das funções definidas por várias sentenças, é sua vez de praticar. Caso tenha dúvidas, pergunte ao seu professor tutor!

Construa o gráfico e determine o domínio e a imagem das funções a seguir.

a) 3 2, 2

( )2 , 2x se x

f xx se x+ ≥ −

= − < − b)

3 10 4( ) 2 4

10 2 4

x se xf x se x

x se x

− >= = − <

SeÇÃO 2 FUNÇõES MODULARES

Nesta seção, você irá estudar funções que apresentam módulos em sua lei de formação. Na unidade I você já estudou equações e inequações modulares, agora terá oportunidade de retomar o estudo de expressões envolvendo módulos, e poderá usar o que aprendeu na unidade I.

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

118UNIDADE 4

Função modular

Uma aplicação de em que a cada x∈ associa o valor x ∈

recebe o nome de função modular. Neste caso, se escreve x)x(f = . Aplicando a definição de módulo (ou valor absoluto) de um número real, é possível reescrever essa função da seguinte forma:

x)x(f = ⇒ 0

( )0

x se xf x

x se x≥

= − <

Gráfico de x)x(f = : note que a função modular é uma função definida por

sentenças. Assim, seu gráfico é obtido a partir da construção das funções 1( )S x x=

se 0x ≥ , e 2 ( )S x x= − se 0x < , como é apresentado na figura a seguir.

1 2-1-2-3 O

y

3

1

2

3

-1

4

x

x y– 3 3– 2 2– 1 10 01 12 23 3

Figura 21: Gráfico da função x)x(f =

A função modular x)x(f = tem por domínio e por imagem, respectivamente,

( )D f = e [ )Im( ) 0,f = ∞ .

Para fixar o conceito, acompanhe os exemplos resolvidos a seguir.

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

119UNIDADE 4

a) Considere 2( ) | 4 |f x x= − . Reescreva esta função como uma função definida por várias sentenças, e construa seu gráfico.

Solução:Usando a definição de módulo, pode-se escrever:

2 2 2 22

2 2 2 2

4 4 0 4 4 0( ) | 4 |

( 4) 4 0 4 4 0x se x x se x

f x xx se x x se x

− − ≥ − − ≥ = − = = − − − < − + − <

Para construir o gráfico desta função, é necessário construir o gráfico das

funções 21( ) 4S x x= − e 2

2 ( ) 4S x x= − + , sujeitas às condições 21 : 4 0D x − ≥ e

22 : 4 0D x − < , respectivamente. É preciso, portanto, obter as soluções dessas duas

inequações, que serão os domínios de cada sentença.

No gráfico a seguir aparece um estudo de sinal para as inequações 2

1 : 4 0D x − ≥ e 22 : 4 0D x − < .

x-2 2

É possível observar que as condições 1D e 2D podem ser escritas, respectivamente, como

1 : 2 ou 2D x x≤ − ≥ e 2 : 2 2D x− < < Desta forma, pode-se reescrever a função como:

22

2

4 2 ou 2( ) | 4 |

4 2 2x se x x

f x xx se x

− ≤ − ≥= − = − + − < <

e o gráfico da função será:

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

120UNIDADE 4

Figura 22: Gráfico da função 2( ) | 4 |f x x= −

Analisando o gráfico, pode-se constatar que a função modular 2( ) | 4 |f x x= −

tem ( )D f = e [ )Im( ) 0,f = ∞ .

b) Construa o gráfico da função modular ( ) 1f x x= + , e determine seu domínio e imagem.

Solução:Ao aplicar a definição de módulo, obtém-se

1 1( ) 1

1 1x se x

f x xx se x+ ≥ −

= + = − − < −

Intersecção com o eixo dos y: quando 0x = ⇒ 1y = .Domínio: ( )D f =

Imagem: Im( )f += Gráfico:

x

y

O 1 2 3-1-2-3-4

-1

1

2

3

4

( )Im( )D f

f

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

121UNIDADE 4

c) Construa o gráfico da função 12 +−= x)x(f , e determine seu domínio e imagem.

Solução:Domínio: ( )D f =

Imagem: ( ]Im( ) , 2f = −∞ Tabela e gráfico:

x

y

O 1 2 3-1-2-3-4-5

1

2

3

-1

-2

-3

( )( ) ( , 2]D f

Im f

x y– 5 – 2– 4 – 1– 3 0– 2 1– 1 20 11 02 – 13 – 2

d) Construa o gráfico da função 13 −+−= xx)x(f , e determine seu domínio e imagem.

Solução:Domínio: ( )D f =

Imagem: [ )Im( ) 2,f = ∞Tabela e gráfico:

x

y

O-2 2 4 6 8-4

2

4

6

8

( )( ) [2, )D f

Im f

x y– 2 8– 1 60 41 22 23 24 45 66 8

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

122UNIDADE 4

Agora que você estudou as funções modulares, é sua vez de praticar. Caso tenha dúvidas, pergunte ao seu professor tutor! Uma bibliografia útil para complementar seus estudos sobre construção de gráficos de funções modulares é o livro Fundamentos da Matemática Elementar (vol. 1), dos autores Gelson Iezzi e Carlos Murakami. Nesse livro você encontrará um capítulo inteiro destinado a funções modulares.

Defina domínio e imagem, e esboce o gráfico das seguintes funções:

a) f (x) = |x - 2| b) ( ) 1|52| −−= xxg c) 2( ) | 9 |f x x= −

SeÇÃO 3 FUNÇÃO MAIOR INTEIRO

Nesta seção você irá estudar um tipo especial de função, cujo domínio é o conjunto dos números reais e que tem por imagem o conjunto dos números inteiros.

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

123UNIDADE 4

Função maior inteiro

Chama-se função maior inteiro a uma aplicação de em que a cada x∈ associa o elemento [x] que é o maior inteiro que não supera x. Isto é:

:[ ]

fx x

→→

onde [x] = maior inteiro que não supera x.

Observação: a imagem da função maior inteiro é Im( )f = .

O gráfico da função ( ) [ ]f x x= é formado por segmentos de reta de comprimento 1 (uma unidade), com extremos inteiros, fechados à esquerda e abertos

à direita, onde os extremos à esquerda são pontos da forma ( ),x x , com x ∈ .

A seguir, você pode observar a análise dos intervalos e a representação gráfica da função maior inteiro.

3 2 [ ] 32 1 [ ] 21 0 [ ] 10 1 [ ] 01 2 [ ] 10 1 [ ] 01 2 [ ] 12 3 [ ] 2

.

x y xx y xx y xx y xx y xx y xx y xx y x

etc

− ≤ < − ⇒ = = −− ≤ < − ⇒ = = −− ≤ < ⇒ = = −

≤ < ⇒ = =≤ < ⇒ = =≤ < ⇒ = =≤ < ⇒ = =≤ < ⇒ = =

Figura 23: Gráfico da função maior inteiro ( ) [ ]f x x=

No final desta unidade você encontrará uma lista de exercícios para praticar o que aprendeu. Caso tenha dúvidas, pergunte ao seu professor tutor!

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

124UNIDADE 4

Nesta unidade, você estudou alguns tipos especiais de funções, que não se enquadram nem como algébricas, nem como transcendentes. Agora é hora de rever alguns desses conceitos.

Funções definidas por várias sentenças são funções da forma:

1 1

2 2

( ),( ),

( )

( ),n n

S x DS x D

f x

S x D

=

onde cada ( )iS x é uma sentença sujeita à condição Di; Ou seja, cada condição Di

representa o domínio válido para a sentença ( )iS x .

Função modular é uma aplicação de em que a cada x∈ associa

o valor x ∈ . Escreve-se x)x(f = . Aplicando a definição de módulo, reescreve-se essa função como:

x)x(f = ⇒ 0

( )0

x se xf x

x se x≥

= − <

O Gráfico de uma função modular é construído como o de uma função definida por várias sentenças.

Função maior inteiro é uma aplicação a uma aplicação de em que a cada x∈ associa o elemento [x] que é o maior inteiro que não supera x. Isto é:

:

[ ]f

x x→→

onde [x] = maior inteiro que não supera x.

A imagem da função maior inteiro é Im( )f = , e o gráfico da função

( ) [ ]f x x= é formado por segmentos de reta de comprimento 1, com extremos inteiros, fechados à esquerda e abertos à direita, onde os extremos à esquerda são

pontos da forma ( ),x x , com x ∈ . Caro(a) aluno(a), só prossiga para a próxima unidade após realizar as

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

125UNIDADE 4

atividades de auto-avaliação e se certificar de que os conceitos vistos aqui foram bem aprendidos. Em caso de dúvidas, fale com seu tutor.

Bons estudos!

1) A partir do gráfico, determine o domínio e a imagem das funções:

2) Dada a função :f → definida por ( ) 3 4f x x= − + , calcule:

a) (8)f b) ( 1)f − c) (3)f d) (0)f

3) Construa o gráfico da função definida por ( ) 3 4f x x= − + e determine ( )D f e Im( )f .

4) Construa o gráfico da função definida por ( ) 1 1f x x= − − , e determine ( )D f e Im( )f .

-3

-2

1

2

x

y

O

-2 3

3

1

x

y

Ox

y

O 1-1

4

2

x

y

O1 2

4

a) b) c) d)

-3

-2

x

y

O

x

y

Ox

y

O

x

y

O

e) f) g) h)

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

126UNIDADE 4

UN

IDA

DE Vfunções

Transcendentes


Identificar funções: exponenciais; logarítmicas; trigonométricas e hiperbólicas, e ■

relacioná-las com seus respectivos gráficos.

Determinar o campo de definição de uma função trigonométrica (circular e ■

hiperbólica) inversa, e esboçar seu gráfico.

rOteirO de estudOs

Seção 1 - ■ Funções exponenciais e logarítmicas

Seção 2 - ■ Funções trigonométricas

Seção 3 - ■ Funções trigonométricas inversas

Seção 4 - ■ Funções hiperbólicas

Seção 5 - ■ Funções hiperbólicas inversas

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

128UNIDADE 5

129UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

128UNIDADE 5

129UNIDADE 5



Nesta unidade, você irá recordar as funções trigonométricas que já estudou na disciplina de Fundamentos da Matemática, e também estudar funções exponenciais e logarítmicas, funções hiperbólicas e funções hiperbólicas inversas.

As funções exponenciais e logarítmicas são muito importantes, pois modelam muitos problemas, em áreas como a biologia, a física, e até na economia.

As funções trigonométricas serão construídas a partir do círculo trigonométrico unitário, enquanto as funções hiperbólicas serão construídas a partir de uma hipérbole, também unitária.

Bons estudos!

SeÇÃO 1FUNÇõES ExPONENCIAIS E LOGARíTMICAS

Nesta seção, você irá estudar os conceitos envolvidos na construção das funções exponenciais e logarítmicas. Na disciplina de Matemática Básica e na primeira unidade deste livro, você já teve oportunidade de estudar potências, logaritmos, e equações e inequações exponenciais e logarítmicas. Agora, terá oportunidade de usar o conhecimento adquirido para facilitar o estudo desses tipos de funções.

Função exponencial

Uma função f de em que associa a cada x real o número real xa , isto

é, que faz ( ) xf x a= , é chamada função exponencial de base a (restrição: a ≠ 1 e a > 0). Escreve-se:

:x

fx y a

→

=

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

128UNIDADE 5

129UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

128UNIDADE 5

129UNIDADE 5

São exemplos de funções exponenciais:

a) f(x) = 4x b) f(x) x

=

21 c) f(x) = 10x d) f(x) = ( 2)x

As restrições a > 0 e a ≠ 1 dadas na definição são necessárias, pois:

Para a = 0 e ▪ x < 0, não existiria ax (a função não seria definida em ).Observe:

a) 20 0=

b) 22

1 100 0

− = = (e não é possível uma divisão por zero).

Para ▪ 0a < e 12

x = , por exemplo, não haveria ax (a função não seria definida em ).

Observe:

a) ( )129 9− = − , mas 9− ∉ .

Para ▪ 1a = e x um número real qualquer, ocorreria 1xa = (função constante).

Observe:a) 51 1=

Por essas razões, na definição de função exponencial tem-se ( ) xf x a= , com 1a ≠ e 0a > .

Gráfico de funções exponenciais

O comportamento do gráfico de uma função exponencial está ligado com a base a. São dois casos a considerar: 1a > e 0 1a< < .

Acompanhe os dois exemplos a seguir. Eles ilustram o comportamento do gráfico de uma função exponencial para cada um dos dois casos citados acima.

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

130UNIDADE 5

131UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

130UNIDADE 5

131UNIDADE 5

a) Construa o gráfico da função x)x(f 2= Solução:Tabela e gráfico:

x

y

O 1 2-1-2-3

1

2

3

4

*

( )Im( )D f

f

0função crescente

a

Neste caso, tem-se 1a > . O gráfico da função é crescente, e o domínio e a

imagem são, respectivamente, ( )D f = e *Im( )f += .

b) Construa o gráfico da função x

)x(f

=

21

Solução:Tabela e gráfico:

Figura 24: Gráfico da função x)x(f 2=

Figura 25: Gráfico da função x

)x(f

=

21

x

y

O 1 2-1-2-3

1

2

3

4

*

( )Im( )D f

f

0 1função decrescente

a

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

130UNIDADE 5

131UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

130UNIDADE 5

131UNIDADE 5

Neste caso, tem-se 0 1a< < . O gráfico da função é decrescente, e o domínio

e a imagem são, respectivamente, ( )D f = e *Im( )f += .

Em relação ao gráfico da função ( ) xaxf = , pode-se afirmar que:A curva que o representa está toda acima do eixo das abcissas, pois ▪

0>= xay para todo x∈ ;

O gráfico intercepta o eixo das ordenadas (eixo dos y) no ponto ▪ ( )0,1 ;

Quando ▪ 1a > , o gráfico da função exponencial ( ) xaxf = é crescente.

Quando ▪ 0 1a< < , o gráfico da função exponencial ( ) xaxf = é decrescente.

O número irracional e e a função exponencial ex

Um número irracional importante dentro da Matemática é o número de Neper e . Esse número tem muitas aplicações, especialmente nas engenharias, e seu valor numérico é

...7182818284,2=e

Atribui-se ao matemático escocês John Napier (1550–1617) a descoberta do número de Neper. O número de Neper é um importante número irracional, que é estudado em Cálculo Diferencial e Integral, e surge como limite da sucessão

n

n

+

11 , para valores muito grandes de n. A título de curiosidade, observe sua

construção:

Ao substituir n na expressão n

n

+

11 pelos valores {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}, obtém-se a sequência:

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

132UNIDADE 5

133UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

132UNIDADE 5

133UNIDADE 5

1 2 3 10 100 10001 1 1 1 1 11 , 1 , 1 , , 1 , , 1 , , 1 ,1 2 3 10 100 1000

+ + + + + +

Fazendo a adição dentro de cada parêntesis, e calculando a respectiva potência, obtém-se a sequência

( )2,000; 2,250; 2,370; 2,594; 2,705; 2,715;

Quando n aumenta indefinidamente, a expressão n

n

+

11 tende ao número irracional

...7182818284,2=e

Você irá estudar séries e suas condições de convergência na disciplina Cálculo Diferencial e Integral III.

Uma função exponencial muito importante na matemática é aquela cuja base é o número e , ou seja:

( ) xf x e=

Gráfico de funções exponenciais com base e

Para construir o gráfico desta função exponencial, você poderá usar uma calculadora científica para atribuir valores para x, e assim encontrar a imagem correspondente a esses valores. Alguns valores são mostrados a seguir:

1

0

1

2

( 1) 0,37(0) 1

( ) (1) 2,71(2) 7,39

x

f ef e

f x e f ef e

− − = =

= == = = = = =

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

132UNIDADE 5

133UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

132UNIDADE 5

133UNIDADE 5

1 2 3-1-2-3-4 x

y

O 4

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

1 2 3-1-2-3-4 x

y

O 4

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

( ) xf x e ( ) xf x e

A ilustração a seguir mostra o comportamento da função exponencial

( ) xf x e= para valores positivos e negativos no expoente.

( ) xf x e= ( ) xf x e−=

Figura 26: Gráfico das funções ( ) xf x e= e ( ) xf x e−=

Observação: note que o gráfico da função ( ) xf x e−= é decrescente, enquanto

que o gráfico da função ( ) xf x e= é crescente, como era de se esperar, já que a base

e é maior que um ( ...7182818284,2=e ). Mas, o gráfico da função ( ) xf x e−= não deveria ser crescente também, já que a base é a mesma? O que acontece com a

função ( ) xf x e−= para que seu gráfico seja decrescente? A resposta é simples: ela pode ser escrita como

( )1

11 1 1( ) ( )

xx x

xxf x e e

e ee− − = = = = =

,

e como 1 1e

< , o gráfico da função ( ) xf x e−= é decrescente.

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

134UNIDADE 5

135UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

134UNIDADE 5

135UNIDADE 5

Na figura a seguir aparecem os gráficos das funções 1( ) 3xf x = , 2 ( ) 5xf x = ,

3 ( ) 7xf x = , 4 ( ) 1xf x = e 5 ( ) 0f x = .

3

2

1

4

5

Determine quais dos gráficos não são funções exponenciais.Solução:As funções f4(x) = 1x e f5(x) = 0 não são exponenciais, pois contrariam a

definição de função exponencial, que é f(x) = ax (com a ≠ 1 e a > 0). Além disso, analisando o gráfico, dá pra ver que f4(x) = 1 e f5(x) = 0 são funções constantes.

Agora que você estudou as funções exponenciais, é sua vez de praticar. Você pode usar um software para construção de gráficos. Caso tenha dúvidas, pergunte ao seu professor tutor!

1) Observe o gráfico de uma função definida de em , mostrado a seguir, e responda:

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

134UNIDADE 5

135UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

134UNIDADE 5

135UNIDADE 5

2( ) 3xf x

x

y

O 1 2 3 4-1-2-3-4

1

2

3

4

5

-1

-2

a) A função é crescente ou decrescente?

b) Qual é Im( )f e ( )D f ?

c) Em que ponto a função corta o eixo dos y?

d) Faça um esboço da função

3xy = . O que ocorre com o

gráfico da função 3 2xy = − em

relação à função 3xy = ?

e) Determine a imagem para 1x =

2) Faça um esboço dos gráficos das funções ( ) 2xf x = , 1( ) 2 1xf x = + ,

2 ( ) 2 2xf x = + , 3 ( ) 2 3xf x = + e 4 ( ) 2 4xf x = + . O que ocorre com o gráfico das

funções 1( )f x , 2 ( )f x , 3 ( )f x e 4 ( )f x em relação a ( ) 2xf x = ?

Função logarítmica

As funções logarítmicas, juntamente com suas inversas (as funções exponenciais), apresentam propriedades notáveis, que as qualificam como modelos ideais para inúmeras situações que ocorrem na natureza, com importância suficiente para justificar o estudo das funções exponenciais e logarítmicas.

Antes de estudar funções logarítmicas, é bom que você recorde a definição e as propriedades dos logaritmos. Você já estudou como operar com potências e logaritmos na disciplina Matemática Básica e na unidade I deste livro. Caso esteja inseguro, reveja a unidade I.

Função logarítmica de base a é uma função *:f + → , definida por

( ) = logaf x x (com 1≠ a > 0).

A escala Richter é uma escala logarítmica de medição da energia liberada pelos terremotos sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Usa-se logaritmo decimal, na Física, para a definição da intensidade auditiva ou nível sonoro. Na Astronomia, o brilho das estrelas é também medido por uma escala logarítmica.

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

136UNIDADE 5

137UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

136UNIDADE 5

137UNIDADE 5

Gráfico da função logarítmica

Quanto ao gráfico das funções logarítmicas, convém destacar que:A função é crescente se ▪ 1a > e decrescente se 0 1a< < .O gráfico não intercepta o eixo dos ▪ y, e corta o eixo dos x em (1, 0).

O domínio é ▪ D(f) = ∗+ e a imagem Im(f) = .

Observe a seguir o comportamento dos gráficos de duas funções logarítmicas, no primeiro caso com base 1a > , e no segundo com 0 1a< < .

2) ( ) loga f x x= a > 1: Função Crescente

x

y

O 1 2 3 4-1 5

2

4

-2

-4

-6

-8

-10

*( ) ( )D f Im f

b) ( )1

2( ) logf x x= 0 < a < 1: Função Decrescente

xO 1 2 3 4-1 5

y

2

4

-2

-2

6

8

*( ) ( )D f Im f

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

136UNIDADE 5

137UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

136UNIDADE 5

137UNIDADE 5

Logaritmo natural ou logaritmo neperiano

O logaritmo natural é o logaritmo de base e. A função ( ) ln( )f x x= é, portanto, a função inversa da função exponencial e, como função inversa, o seu gráfico é uma curva simétrica à reta y x= , com relação ao gráfico da função exponencial.

O logaritmo de base e é indicado por ln, ou seja:

ln( ) log ( )ex x= Uma propriedade importante é a seguinte:

ln yy x e x= ⇔ =

Observe o gráfico a seguir, onde aparecem no mesmo sistema cartesiano os gráficos da função logarítmica natural e da função exponencial de base e.

Gráfico das funções logaritma natural ( ) lng x x= e exponencial

( ) xf x e= :

f x( )

g x( )

O gráfico da função exponencial é obtido pela reflexão do gráfico da função Logaritmo natural em relação à identidade dada pela reta y = x.

Observe que:

D (f) = D (g) = *+

Im (f) = *+ Im (g) =

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

138UNIDADE 5

139UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

138UNIDADE 5

139UNIDADE 5

Agora que você estudou as funções exponenciais e logarítmicas, é sua vez de praticar. Você pode usar um software para construção de gráficos. Caso tenha dúvidas, pergunte ao seu professor tutor!

1) Trace num mesmo sistema cartesiano o esboço dos gráficos das funções ( ) 2xf x =

, 2( ) logg x x= e ( )h x x= . Que conclusão você pode tirar?

2) Trace num mesmo sistema cartesiano o esboço dos gráficos das funções

1( )3

x

f x =

, 13

( ) logg x x

= e ( )h x x= . Que conclusão você pode tirar?

3) Desenhe os gráficos das funções:

a) ( ) xf x e= e ( ) xf x e−=

b) ( )( ) lnf x x= e ( )( ) lnf x x= − .

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

138UNIDADE 5

139UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

138UNIDADE 5

139UNIDADE 5

( )( )f x sen x=

SeÇÃO 2FUNÇõES TRIGONOMéTRICAS

As funções trigonométricas têm considerável importância no estudo do Cálculo Diferencial e Integral. Na disciplina de Fundamentos da Matemática I, você teve a oportunidade de acompanhar a construção da trigonometria conhecida como circular. Agora você poderá retomar esse estudo.

A presença das funções periódicas no cotidiano é percebida quando, por exemplo, observamos um eletrocardiograma, o lançamento de uma pedra no lago, ou sinais de ondas de rádio, etc. Esses fenômenos geralmente são expressos como funções através de uma função trigonométrica.

Função Seno

Denomina-se função seno à função que a cada número real x faz corresponder o número

( )y sen x=

Para facilitar a construção de seu gráfico, pode-se atribuir valores para x, e obter assim uma tabela de pontos.

Propriedades da função seno:

- Domínio: ( )D sen = .

- Imagem: { }Im( ) | 1 1sen y y= ∈ − ≤ ≤

- Periodicidade: A função tem período 2 radπ ( rad - radianos).

Observação: como ( ) ( )sen x sen x− = − , para todo x real, pode-se afirmar que a função seno é ímpar.

x

1

-1

y

2 3

2

2

23 22

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

140UNIDADE 5

141UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

140UNIDADE 5

141UNIDADE 5

( )( ) cosf x x=

Função Cosseno

Denomina-se função cosseno à função que a cada número real x faz corresponder o número

( )cosy x=

Gráfico da função cosseno:

Propriedades da função coseno:

- Domínio: (cos)D = .

- Imagem: { }Im(cos) | 1 1y y= ∈ − ≤ ≤

- Periodicidade: A função tem período 2 radπ ( rad - radianos).

Observação: como cos( ) cos( )x x− = , para todo x real, pode-se afirmar que a função cosseno é par.

Função Tangente

Denomina-se função tangente à função que a cada número real x, para

,2

x k kπ≠ π + ∈ , faz corresponder o número

( )y tg x=

Gráfico da função tangente:

x

1

-1

y

2 3

2

2

23 22

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

140UNIDADE 5

141UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

140UNIDADE 5

141UNIDADE 5

Observação: na tabela da função tangente aparecem algumas vezes a soma ou subtração de um valor com o símbolo ε (épsilon). Por exemplo, a expressão

2π − ε

simboliza um valor próximo de 2

π pela esquerda ( ou seja, um valor menor

que 2π ), e a expressão 2

π + ε simboliza um valor próximo de 2π pela direita (ou

seja, um valor maior que 2π ).

Propriedades da função tangente:

- Domínio: ( ) |2

D tg x x k π = ∈ ≠ π +

.

- Imagem: Im( )tg = - Periodicidade: a função tem período π rad.

( )( )f x tg x=

2 3

2

2

23 x

y

O

Função Cotangente

Denomina-se função cotangente à função que a cada número real x, para ,x k k≠ π ∈ , faz corresponder o número

( )y cotg x=

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

142UNIDADE 5

143UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

142UNIDADE 5

143UNIDADE 5

Propriedades da função cotangente:

- Domínio: { }( ) |D cotg x x k= ∈ ≠ π . - Imagem: Im( )cotg = - Periodicidade: a função tem período π rad.

Função Secante

Denomina-se função secante à função que a cada número real x,

/ ,2

x x k kπ∈ ≠ π + ∈ , faz corresponder o número

( )secy x=

( )( )f x cotg x=

( )( ) secf x x=

2 3

2

2 2 x

y

O

y

x2

2 O

1

-1

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

142UNIDADE 5

143UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

142UNIDADE 5

143UNIDADE 5

Propriedades da função secante:

- Domínio: (sec) |2

D x x k π = ∈ ≠ π +

.

- Imagem: Im(sec) ( , 1] [1, )= −∞ − ∪ ∞ - Periodicidade: a função tem período 2 π rad.

Função Cossecante Denomina-se função cossecante à função que a cada número real x, para ,x k k≠ π ∈ , faz corresponder o número

( )cossecy x=

Propriedades da função cossecante:

- Domínio: { }(cossec) |D x x k= ∈ ≠ π .

- Imagem: Im(cossec) ( , 1] [1, )= −∞ − ∪ ∞ - Periodicidade: a função tem período 2 π rad.

( ) cossec( )f x x=

y

x22

O

1

-1

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

144UNIDADE 5

145UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

144UNIDADE 5

145UNIDADE 5

a) Determine o domínio e a imagem da função ( )2cosy = θ , e construa o

gráfico desta função, referente ao intervalo [0, 2 ]π .Solução:

A função ( )cos θ existe para qualquer θ , logo ( )D f = . Como para

qualquer valor de θ o ( )cos θ varia entre –1 e 1, e na função tem-se os valores de

( )cos θ multiplicados por 2, então a imagem da função ( )2cosy = θ varia entre –2

e 2, ou seja, { }Im( ) | 2 2f y y= ∈ − ≤ ≤ .

Para construir o gráfico, primeiramente deve-se montar uma tabela com os

principais valores de θ e dos respectivos valores de y. Para a função ( )2cosy = θ pode-se montar a seguinte tabela e respectivo gráfico:

x

2

O

y

2 3

2

2

23 22

-2

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

144UNIDADE 5

145UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

144UNIDADE 5

145UNIDADE 5

b) Encontre o domínio e a imagem, e trace o gráfico da função 1 sen( )y x= − .Solução: Antes de esboçar o gráfico, é necessário montar uma tabela com valores do

argumento x e respectivas imagens y.

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

146UNIDADE 5

147UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

146UNIDADE 5

147UNIDADE 5

Olhando a tabela, é possível visualizar a imagem. Você consegue? Então, construa o gráfico, pois agora é sua vez de praticar. Você pode usar um software para construção de gráficos. Caso tenha dúvidas, pergunte ao seu professor tutor!

SeÇÃO 3FUNÇõES TRIGONOMéTRICAS INVERSAS

Quando você estudou sobre funções inversas na unidade II, viu que uma

função f possui inversa 1−f somente se f for bijetora. Portanto, para que as funções trigonométricas admitam função inversa, é necessário restringir o domínio das funções de forma que nesse domínio elas sejam bijetoras. Nesta seção, você verá que para construir o gráfico das funções trigonométricas inversas, é necessário primeiro estudar o gráfico da função trigonométrica original, limitada a um domínio onde ela seja bijetora.

Função inversa do seno

A função inversa do seno é definida e denotada por

( )( )f x arcsen x=

se, e somente se, x seny= , com 1 1x− ≤ ≤ e 2 2

yπ π− ≤ ≤ .

Gráfico da função inversa do seno:A seguir você encontra, na segunda coluna e em linha contínua, o gráfico da

função inversa do seno, juntamente com seu domínio e imagem. Na primeira coluna, aparece a função seno restrita a um intervalo onde a função seno é bijetora.

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

146UNIDADE 5

147UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

146UNIDADE 5

147UNIDADE 5

( )y sen x= ( )y arcsen x=

[ ]( ) 2, 2D f = − π + π

[ ]Im( ) 1, 1f = − +

[ ]( ) 1, 1D f = − +

[ ]Im( ) 2, 2f = − π + π

2 x

1

O

y

2

-1

2

xO

y

2

Figura 27: Gráfico das funções ( )y sen x= e ( )y arcsen x=

Função inversa do cosseno

A função inversa do cosseno é definida e denotada por

( )( ) arccosf x x= ,

se, e somente se, cosx y= , com 1 1x− ≤ ≤ e 0 y≤ ≤ π .

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

148UNIDADE 5

149UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

148UNIDADE 5

149UNIDADE 5

cos( )y x= arccos( )y x=

[ ]( ) 0,D f = + π

[ ]Im( ) 1, 1f = − +

[ ]( ) 1, 1D f = − +

[ ]Im( ) 0,f = + π

2 x

1

O

y

2

-1

2

x1O

y

2

-1

23

Figura 28: Gráfico das funções cos( )y x= e arccos( )y x=

Função inversa da tangente

A função inversa da tangente é definida e denotada por

( )( )f x arctg x= ,

se, e somente se, ( )x tg y= , com x ∈ e 2 2

yπ π− ≤ ≤ .

Gráfico da função inversa do cosseno:

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

148UNIDADE 5

149UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

148UNIDADE 5

149UNIDADE 5

( )y tg x= ( )y arctg x=

[ ]( ) 2, 2D f = − π + π

( )Im( ) ,f = −∞ + ∞

( )( ) ,D f = −∞ + ∞

[ ]Im( ) 2, 2f = − π + π

Figura 29: Gráfico das funções ( )y tg x= e ( )y arctg x=

2

2 xO

y

2

xO

y2

Função Inversa da Secante

A função inversa da secante é definida e denotada por

( )( ) secf x arc x= ,

se, e somente se, ( )secx y= , com ( ] [ ), 11 1,x ∈ −∞ − ∪ +∞ e 0, ,2 2

y π π ∈ ∪ π .

Observação: 1( ) sec arccosf x arc xx

= =

, para 1x ≥ .

Gráfico da função inversa da tangente:

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

150UNIDADE 5

151UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

150UNIDADE 5

151UNIDADE 5

sec( )y x= sec( )y arc x=

( ) 0, ,2 2

D f π π = ∪ π

( ] [ )Im( ) , 1 1,f = −∞ − ∪ +∞

( ] [ )( ) , 1 1,D f = −∞ − ∪ +∞

Im( ) 0, ,2 2

f π π = ∪ π

Figura 30: Gráfico das funções sec( )y x= e sec( )y arc x=

x

2

-1

y

2

-2

O

1

x-1

y

2

O 1

Você já relembrou as funções trigonométricas na seção anterior, e acabou de ver algumas das funções trigonométricas inversas. Agora é sua vez. Tente encontrar as funções inversa da cotangente e inversa da cossecante. Você pode pesquisar em alguns livros ou até mesmo utilizar a internet para auxiliá-lo. Você pode também usar um software para construção de gráficos. Caso tenha dúvidas, pergunte ao seu professor tutor!

SeÇÃO 4FUNÇõES HIPERBóLICAS

O gráfico das funções hiperbólicas pode ser observado na natureza quando o meio ambiente absorve energia mecânica gradualmente. A mais conhecida entre as

Gráfico da função inversa da secante:

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

150UNIDADE 5

151UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

150UNIDADE 5

151UNIDADE 5

curvas descritas por funções hiperbólicas é a catenária (do latim catena = cadeia), que pode ser observada, por exemplo, quando um fio de alta tensão está suspenso com as extremidades presas a dois postes. Por proporcionar beleza e resistência, estruturas em forma de catenária são utilizadas por arquitetos em diversas construções, como o Gateway Arch, em Saint Louis, nos Estados Unidos, e a Ponte de Lupu, em Xangai, na China, conforme figura 31. (As fotos da figura 31 foram extraídas dos sítios www.nps.gov/jeff e www.chinapage.org/bridge/lupu.html )

Nesta seção você estudará as funções hiperbólicas, e poderá observar que muitas das propriedades da trigonometria circular podem ser transferidas para a trigonometria hiperbólica. Você também perceberá que, para construir a chamada trigonometria hiperbólica, é necessário utilizar uma parametrização da

hipérbole unitária descrita pela equação 2 2 1x y− = . A figura a seguir apresenta tal hipérbole e um ponto sobre o ramo direito da hipérbole, de coordenadas

( )cosh( ), ( )t senh t .

x

y

( , )cosh t senh t

2 2 1x y

Figura 32: Gráfico da hipérbole x2 y2 = 1

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

152UNIDADE 5

153UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

152UNIDADE 5

153UNIDADE 5

Observação: Para identificar a parametrização da hipérbole, basta decompor a

função exponencial, et, como soma de uma função par 2

t te e−+ com uma função

ímpar 2

t te e−−. Esta decomposição é dada pela igualdade

2 2

t t t tt e e e ee

− −+ −= + .

Você seria capaz de verificar que a igualdade 2 2 1x y− = se mantém, para

todo t ∈ R, quando 2

t te ex−+

= e 2

t te ey−−

= ? Faça isso!

Função seno hiperbólico

A função seno hiperbólico, denotada por

( )y senh x= ,é definida como a função que associa a cada número real x o valor

( )12

x xe e−− , ou seja:

( )2

x xe esenh x−−

=

O gráfico de ( )y senh x= pode ser construído com o auxílio dos gráficos das

funções ( )12

xy e= e ( )12

xy e −= − . Veja a seguir tal construção:

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

152UNIDADE 5

153UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

152UNIDADE 5

153UNIDADE 5

_

Figura 33: Gráfico da função seno hiperbólico ( ) ( )f x senh x=

Como a função exponencial é definida para todos os valores de x, o domínio

da função seno hiperbólico é o conjunto dos números reais, ou seja, ( )D senh = . Com o auxílio do gráfico da função seno hiperbólico, pode-se concluir também que

Im( )senh = . Também verifica-se que a função seno hiperbólico é ímpar, pois

( ) ( )senh x senh x− = − .

Função cosseno hiperbólico

A função coseno hiperbólico, denotada por

cosh( )y x= ,

é definida como a função que associa a cada número real x o valor

( )12

x xe e−+ , ou seja:

cosh( )2

x xe ex−+

=

O gráfico de cosh( )y x= pode ser construído com o auxílio dos gráficos das

funções ( )12

xy e= e ( )12

xy e −= .

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

154UNIDADE 5

155UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

154UNIDADE 5

155UNIDADE 5

xO-1-2-3-4 1 2 3 4 5-5

y

1

2

3

-1

4

2

xey 2

xey

y cosh x

Figura 34: Gráfico da função seno hiperbólico ( ) cos ( )f x h x=

Sobre a função cosseno hiperbólico, pode-se concluir que (cosh)D = e

[ )Im(cosh) 1,= +∞ Também, a função cosseno hiperbólico é uma função par, pois

cosh( ) cosh( )x x− = . Funções tangente, cotangente, secante e cossecante hiperbólicas

As funções tangente, cotangente, secante e cossecante hiperbólicas são definidas, respectivamente, da seguinte forma:

Figura 35: Gráfico da função tangente hiperbólica ( ) ( )f x tgh x=

( ) ( )( )cosh

x x

x x

senh x e etgh xx e e

−

−

−= =

+

D(tgh)= Im(tgh) = (-1; 1)

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

154UNIDADE 5

155UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

154UNIDADE 5

155UNIDADE 5

Figura 36: Gráfico da função cotangente hiperbólica ( ) cot ( )f x gh x=

Figura 37: Gráfico da função secante hiperbólica ( ) sec ( )f x h x=

Figura 38: Gráfico da função cossecante hiperbólica ( ) cossec ( )f x h x=

( ) ( )( )

coshcot

x x

x x

x e egh xsenh x e e

−

−

+= =

−

D(cotgh) = *

Im(cotgh) = (- ∞ , -1) ∪ (1, + ∞ )

( )1sec ( )

coshh x

x=

2x xe e−=

+

D(sech) = Im(sech) = (0, 1]

( ) ( )1cossec h x

senh x=

2x xe e−=

−

D(cossech) = *

Im(cossech) = *

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

156UNIDADE 5

157UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

156UNIDADE 5

157UNIDADE 5

Considere M um ponto sobre o

círculo 122 =+ yx , θ o ângulo AÔM, e uma reta AR tangente ao círculo em A.

Define-se:

ON = ( )cos θ

NM = ( )sen θ

AR = ( )tg θ

Fazendo ( )cosx = θ e

( )y sen= θ , e substituindo esses valores na equação do círculo unitário, obtém-se a relação fundamental da trigonometria circular:

( ) ( )2 2cos 1senθ + θ =

Considere M um ponto sobre o

ramo direito da hipérbole 2 2 1x y− = , θ o ângulo AÔM, e uma reta AR tangente à curva no ponto A.

Define-se:

ON = ( )cosh θ

NM = ( )senh θ

AR = ( )tgh θ

Fazendo ( )coshx = θ e

( )y senh= θ , e substituindo esses valores na equação da hipérbole unitária, obtém-se a relação fundamental da trigonometria hiperbólica:

( ) ( )2 2cosh 1senhθ − θ =

Relação entre a circunferência unitária e a hipérbole unitária

As funções (trigonométricas) hiperbólicas são definidas de mesma maneira que as funções trigonométricas (circulares), utilizando-se neste caso a hipérbole como geratriz. A seguir serão comparadas algumas relações trigonométricas das funções circulares e hiperbólicas. Acompanhe no quadro as figuras e as relações retiradas das mesmas.

O N A

MRy

x

O NA

MRy

x

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

156UNIDADE 5

157UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

156UNIDADE 5

157UNIDADE 5

Praticamente todas as propriedades da trigonometria circular podem ser transladadas para a trigonometria hiperbólica, com o cuidado de observar muitas vezes a troca do sinal de "+" pelo sinal de "–". Acompanhe a seguir alguns exemplos:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )

( )( )

( )

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

158UNIDADE 5

159UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

158UNIDADE 5

159UNIDADE 5

Determinar as inversas hiperbólicas não é tarefa das mais simples: assim como se faz com as inversas trigonométricas, é necessário definir um domínio onde a função é bijetora e, além disso, deve-se fazer uma mudança de variável que requer cálculos laboriosos. Por isso, você apenas encontrará nesta seção as funções já determinadas e seu respectivo gráfico. Se você quiser saber mais sobre as funções hiperbólicas, no final da seção você encontrará uma bibliografia auxiliar.

Função inversa do seno hiperbólico: É a função :f → definida por

( ) ( )2( ) ln 1f x arg sen h x x x= = + + ,

chamada de argumento do seno hiperbólico.

SeÇÃO 5FUNÇõES HIPERBóLICAS INVERSAS

x

y

O 1 2 3 4-1-2-3-4

1

2

3

-1

-2

-3

Figura 39: Gráfico da inversa do seno hiperbólico

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

158UNIDADE 5

159UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

158UNIDADE 5

159UNIDADE 5

Função inversa da tangente hiperbólica: É a função : ( 1,1)f − → definida por

( ) ( )( )

11( ) ln2 1

xf x arg tg h x

x +

= = − ,

chamada de argumento da tangente hiperbólica.

x

y

O 1 2-1-2

1

2

3

-1

-2

-3

Figura 41: Gráfico da inversa da tangente hiperbólica

Função inversa do cosseno hiperbólico: É a função [ ) [ ): 1, 0,f +∞ → +∞ definida por

( ) ( )2( ) cos ln 1f x arg h x x x= = + − ,

chamada de argumento do cosseno hiperbólico.

x

y

O 1 2 3 4-1

1

2

3

-1

Figura 40: Gráfico da inversa do cosseno hiperbólico

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

160UNIDADE 5

161UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

160UNIDADE 5

161UNIDADE 5

Função inversa da secante hiperbólica: É a função *: (0,1]f → definida por

( )21 1( ) ln xf x arg sec h x

x

+ −= =

,

chamada de argumento da secante hiperbólica.

x

y

O 1 2-1

1

2

3

-1

4

Figura 43: Gráfico da inversa da secante hiperbólica

Função inversa da cotangente hiperbólica: É a função *: ( ,1) (1, )f −∞ ∪ +∞ → definida por

( ) ( )( )

11( ) ln2 1

xf x arg cot h x

x +

= = − ,

chamada de argumento da cotangente hiperbólica.

x

y

O 1 2 3 4-1-2-3-4

1

2

3

-1

-2

-3

Figura 42: Gráfico da inversa da cotangente hiperbólica

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

160UNIDADE 5

161UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

160UNIDADE 5

161UNIDADE 5

Inversa da cossecante hiperbólica: É a função * *:f → definida por

( )21 1( ) ln

| |xf x arg cossec h x

x x

+= = +

,

chamada de argumento da cossecante hiperbólica.

x

y

O 1 2-1-2

1

2

-1

-2

Figura 44: Gráfico da inversa da cosecante hiperbólica

Nesta seção, você apenas pode visualizar as definições e os gráficos das funções hiperbólicas, pois seu estudo demanda um aprofundamento maior. Caso você tenha interesse em saber mais sobre essas funções, você pode procurar nos sites:

(http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trighip/trighip.htm)

e

(http://www.deetc.isel.ipl.pt/matematica/AMIMI/0809/A6.%20Funcoes%20%20hiperbolicas.pdf).

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

162UNIDADE 5

163UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

162UNIDADE 5

163UNIDADE 5

Ao estudar esta unidade, você recordou as funções trigonométricas que já havia estudado na disciplina de Fundamentos da Matemática, e também estudou funções exponenciais e logarítmicas, funções hiperbólicas e funções hiperbólicas inversas. Agora é hora de rever alguns desses conceitos.

Uma função f de em que associa a cada x real o número real xa , isto

é, que faz ( ) xf x a= , é chamada função exponencial de base a (restrição: a ≠ 1 e a > 0). O comportamento do gráfico de uma função exponencial está ligado com a base a. São dois casos a considerar: se 1a > o gráfico da função é crescente; e se 0 1a< < , o gráfico da função é decrescente.

Uma função exponencial muito importante na matemática é aquela cuja base

é o número e , ou seja: ( ) xf x e= . Observe que o gráfico da função ( ) xf x e= é

crescente, mas o gráfico da função ( ) xf x e−= é decrescente.

Função logarítmica de base a é a função *:f + → , definida por

( ) = logaf x x (com 1≠ a > 0). O gráfico de uma função logarítmica é crescente para 1a > e decrescente para 0 1a< < ; não intercepta o eixo dos y; e corta o eixo

dos x em ( )1,0 .

O logaritmo natural é o logaritmo de base e. A função ( ) ln( )f x x= é, portanto, a função inversa da função exponencial e, como função inversa, o seu gráfico é uma curva simétrica à reta y x= , com relação ao gráfico da função exponencial.

Denomina-se função seno à função que a cada número real x faz corresponder o número

( )y sen x=

Denomina-se função cosseno à função que a cada número real x faz corresponder o número

( )cosy x=

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

162UNIDADE 5

163UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

162UNIDADE 5

163UNIDADE 5

Denomina-se função tangente à função que a cada número real x, para

,2

x k kπ≠ π + ∈ , faz corresponder o número

( )y tg x=

Denomina-se função cotangente à função que a cada número real x, para ,x k k≠ π ∈ , faz corresponder o número

( )y cotg x=

Denomina-se função secante à função que a cada número real x,

/ ,2

x x k kπ∈ ≠ π + ∈ , faz corresponder o número

( )secy x=

Denomina-se função cossecante à função que a cada número real x, para ,x k k≠ π ∈ , faz corresponder o número

( )cossecy x=

Para que as funções trigonométricas admitam função inversa, é necessário restringir o domínio das funções de forma que nesse domínio elas sejam bijetoras.

A função inversa do seno é definida e denotada por

( )( )f x arcsen x=

se, e somente se, x seny= , com 1 1x− ≤ ≤ e 2 2

yπ π− ≤ ≤ .

A função inversa do cosseno é definida e denotada por

( )( ) arccosf x x= ,

se, e somente se, cosx y= , com 1 1x− ≤ ≤ e 0 y≤ ≤ π .,

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

164UNIDADE 5

165UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

164UNIDADE 5

165UNIDADE 5

A função inversa da tangente é definida e denotada por

( )( )f x arctg x= ,

se, e somente se, ( )x tg y= , com x ∈ e 2 2

yπ π− ≤ ≤ .

A função inversa da secante é definida e denotada por

( )( ) secf x arc x= ,

se, e somente se, ( )secx y= , com ( ] [ ), 11 1,x ∈ −∞ − ∪ +∞ e 0, ,2 2

y π π ∈ ∪ π .

As funções (trigonométricas) hiperbólicas são definidas de mesma maneira que as funções trigonométricas (circulares), porém, utilizando uma hipérbole unitária como geratriz.

A função seno hiperbólico, denotada por

( )y senh x= ,é definida como a função que associa a cada número real x o valor

( )12

x xe e−− , ou seja:

( )2

x xe esenh x−−

=

O gráfico de ( )y senh x= pode ser construído com o auxílio dos gráficos das

funções ( )12

xy e= e ( )12

xy e −= − .

A função coseno hiperbólico, denotada por

cosh( )y x= ,é definida como a função que associa a cada número real x o valor

( )12

x xe e−+ , ou seja:

cosh( )2

x xe ex−+

=

O gráfico de cosh( )y x= pode ser construído com o auxílio dos gráficos das

funções ( )12

xy e= e ( )12

xy e −= .

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

164UNIDADE 5

165UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

164UNIDADE 5

165UNIDADE 5

As funções tangente, cotangente, secante e cossecante hiperbólicas são definidas, respectivamente, da seguinte forma:

( ) ( )( )cosh

x x

x x

senh x e etgh xx e e

−

−

−= =

+

( ) ( )( )

coshcot

x x

x x

x e egh xsenh x e e

−

−

+= =

−

( )1sec ( )

coshh x

x= = xx ee −+

2

( ) ( )1cossec h x

senh x= = xx ee −−

2

Função inversa do seno hiperbólico: É a função :f → definida por

( ) ( )2( ) ln 1f x arg sen h x x x= = + + ,

chamada de argumento do seno hiperbólico.

Função inversa do cosseno hiperbólico: É a função [ ) [ ): 1, 0,f +∞ → +∞ definida por

( ) ( )2( ) cos ln 1f x arg h x x x= = + − ,

chamada de argumento do cosseno hiperbólico.

Função inversa da tangente hiperbólica: É a função : ( 1,1)f − → definida por

( ) ( )( )

11( ) ln2 1

xf x arg tg h x

x +

= = − ,

chamada de argumento da tangente hiperbólica.

Função inversa da cotangente hiperbólica: É a função *: ( ,1) (1, )f −∞ ∪ +∞ → definida por

( ) ( )( )

11( ) ln2 1

xf x arg cot h x

x +

= = − ,

chamada de argumento da cotangente hiperbólica.

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

166UNIDADE 5

167UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

166UNIDADE 5

167UNIDADE 5

Função inversa da secante hiperbólica: É a função *: (0,1]f → definida por

( )21 1( ) ln xf x arg sec h x

x

+ −= =

,

chamada de argumento da secante hiperbólica.

Inversa da cossecante hiperbólica: É a função * *:f → definida por

( )21 1( ) ln

| |xf x arg cossec h x

x x

+= = +

,

chamada de argumento da cossecante hiperbólica.


Bons estudos!

ATIVIDADES DE AUTO-AVALIAÇÃO

1) Qual é o ponto comum aos gráficos de ( )1( ) 4 xf x −= e ( ) 2 xg x = ?

2) Dada a função exponencial ( ) 4 xf x = , determine:

a) (3)f b) ( 1)f −

c) ( )12f − d) x tal que ( ) 1024f x =

e) 3( ) 32f x =

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

166UNIDADE 5

167UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

166UNIDADE 5

167UNIDADE 5

x

y

O 1 2 3-1-2-3-4

1

2

3

4

5

6

-1

1( ) 4xf x

3) Observe o gráfico da função definida de em , e responda:a) A função é crescente ou decrescente?

b) Qual é Im( )f e ( )D f ?c) Em que ponto a função corta o eixo dos y?d) Em que ponto a função corta o eixo dos x?e) Determine a imagem para 1x = −

f) Determine x de modo que ( ) 5f x = .

4) Ache o domínio das funções a seguir:

a) ( ) ( )lnf x x=

b) ( ) ( )ln 1f x x= +

c) ( ) ( )2ln 1f x x= −

d) ( ) ( )2ln 1f x x= +

e) ( ) 1ln xf xx− =

5) Encontre o domínio, imagem e trace o gráfico da função ( )xy 2cos= .

6) Encontre o domínio, imagem e trace o gráfico da função ( )xseny −= 1 .

7) Construa o gráfico das funções a seguir, e determine seus domínios imagens.

a) 2 2xy −= + b) ln( ) 1y x= +

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

168UNIDADE 5

169UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

168UNIDADE 5

169UNIDADE 5

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

169UNIDADE 6

UN

IDA

DE V

I

Noções intuitivas de Limites e Derivadas


Compreender o conceito de limites e derivadas de funções de forma intuitiva, ■

explorando tabelas, gráficos, retas tangentes e taxas de variações.

rOteirO de estudOs

Seção 1 - ■ Noções intuitivas de limites

Seção 2 - ■ Noções intuitivas de derivadas

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

170UNIDADE 6


Nas unidades anteriores, você relembrou conceitos de Matemática Básica e estudou como reconhecer e trabalhar com os vários tipos de funções. Agora, você terá um primeiro contato com dois dos principais assuntos matemáticos que tratam de funções: limites e derivadas.

O conceito de limite constitui um dos fundamentos do Cálculo Infinitesimal, uma vez que ele é utilizado para definir derivada, continuidade, integral, etc. Por esse motivo, o estudo do cálculo inicia pelo estudo de limite. Entretanto, historicamente ocorreu o oposto. Por muitos séculos, a noção de limite resumiu-se a idéias vagas relativas ao infinito. O termo “limite” no sentido moderno foi desenvolvido na Europa entre os séculos XVIII e XIX. Apesar de os gregos já falarem sobre ele, a definição moderna de limite tem menos de 150 anos.

Nesta seção, você terá as noções iniciais sobre o conteúdo limite. A teoria dos limites tem por finalidade estudar o comportamento de uma função (ou melhor, de sua imagem), quando a variável se aproxima de um número real, podendo a função estar ou não definida para este número.

Limite de uma variável Ao trabalhar com funções reais, as variáveis que você terá serão números

reais. Dessa forma, quando aparecer uma variável x, você saberá que se trata de um número real: x ∈ .

A primeira idéia a considerar é a de uma variável x ∈ aproximando-se de um valor limite. Essa idéia aparece de forma clara no paradoxo de Zenão.

SeÇÃO 1NOÇõES INTUITIVAS DE LIMITES

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

171UNIDADE 6

Paradoxo de Zenão

A primeira vez que a idéia de limite apareceu foi em um dos paradoxos de Zenão, que envolvia o herói da guerra de Tróia Aquiles: se Aquiles desloca-se de um ponto A para um ponto B ele deve primeiro viajar a metade da distância, então a metade novamente, e assim por diante. Supondo-se que a distância de A para B é 1, a distância que Aquiles deve percorrer é dada pela série

1 1 1 1 1 1 ...2 4 8 16 32 64

+ + + + + +

Sabendo-se que há uma infinidade de termos nessa série, conclui-se que Aquiles jamais chegará ao seu destino.

Zenão de Eléa foi um filósofo grego (501 – 425 a.C.) que ficou conhecido pela elaboração de quatro paradoxos envolvendo o infinito. No paradoxo da dicotomia, Zenão discute o movimento de um objeto que se move entre dois pontos A e B que estão fixados, situados a uma distância finita um do outro. Considerando uma sequência infinita de intervalos de tempo (T0, T1, T2,..., Tn,...), cada um deles sendo o tempo gasto para percorrer a metade da distância que ainda resta a ser percorrida, Zenão concluiu que o objeto nunca chegaria no ponto B.

Ao tomar como variável a soma dos primeiros termos da série que aparece no paradoxo de Zenão, encontramos a idéia de uma variável aproximando-se de um valor limite. Observe:

Primeiro termo: 12

Soma dos dois primeiros termos: 1 1 32 4 4

+ =

Soma dos três primeiros termos: 1 1 1 72 4 8 8

+ + =

Soma dos quarto primeiros termos: 1 1 1 1 152 4 8 16 16

+ + + =

Soma dos cinco primeiros termos: 1 1 1 1 1 312 4 8 16 32 32

+ + + + =

Assim, obtém-se a sequência 1 3 7 15 31 63, , , , , ...2 4 8 16 32 64

, cujos termos

se aproximam cada vez mais do valor 1.

É possível, pois, dizer que a variável x, que representa a soma dos n primeiros termos da série, aproxima-se do valor 1, ou então, que a variável x tem o limite 1, ou ainda, que x tende a 1, e em linguagem matemática escreve-se:

1x → .Podem também acontecer casos em que os termos da sequência que representam

os valores da variável x não se aproximam de um número real. Dizemos, então, que a variável x não tem limite, ou que o limite da variável x é o infinito.

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

172UNIDADE 6

a) 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... Neste caso o limite da seqüência é o infinito, e escreve-se x → ∞ .

b) 1 , 10 , 100 , 1000 , 10000 , ...− − − − − Neste caso o limite da seqüência é menos infinito, e escreve-se x → −∞ .

Limite de uma função O próximo passo é estudar o comportamento da imagem de uma função

quando a variável x tende para um limite (número real ou limite no infinito).Para isso, observe os exemplos a seguir. Ao analisá-los, você conseguirá

entender o significado da expressão “limite de uma função”, ou melhor: “limite de uma função quando a variável x tende para um limite”.

Note que, na frase acima, a palavra “limite” foi usada duas vezes: para indicar que a variável x está se aproximando de um valor específico, e para indicar o que acontece com a imagem da função quando a variável x se aproxima desse valor.

Estudar o comportamento da função ( ) 2 3f x x= + , quando a variável x se aproxima do valor 1.

É necessário estudar o que acontece com a imagem da função quando a variável x se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita, com valores cada vez mais próximos de 1.

Para analisar o comportamento da função ( ) 2 3f x x= + nas vizinhanças do ponto 1x = , podem-se construir duas tabelas onde os valores das variáveis devem se aproximar cada vez mais do valor limite 1: uma para valores de x à esquerda de 1 ( 1x < ), e outra para valores de x à direita de 1 ( 1x > ).

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

173UNIDADE 6

Para 1x < :

Observando essa tabela, você pode ver que quando a variável x se aproxima de 1 pela esquerda, os valores da imagem da função se aproximam de 5. E você pode

ainda deixar a diferença entre ( )f x e 5 tão pequena quanto você queira, bastando para isso fazer com que x esteja suficientemente próximo de 1.

Neste caso, diz-se que o limite à esquerda da função ( ) 2 3f x x= + quando x tende a 1 é 5, e escreve-se

( )1

lim 2 3 5x

x−→

+ =

O símbolo “–” na expressão 1x −→ significa que a variável x está se aproximando do valor 1 pela esquerda, isto é, por valores menores que 1.

Para 1x > :

Nesta tabela, você pode ver que quando a variável x se aproxima de 1 pela

direita, os valores da imagem da função também se aproximam de 5.

Neste caso, diz-se que o limite à direita da função ( ) 2 3f x x= + quando x tende a 1 também é 5, e escreve-se

( )1

lim 2 3 5x

x+→

+ =

O símbolo “+” na expressão 1x +→ significa que a variável x está se aproximando do valor 1 pela direita, isto é, por valores maiores que 1.

Agora, preste atenção: se a função ( ) 2 3f x x= + se aproximasse de valores distintos à medida que a variável x se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita,

então o limite da função ( )f x não existiria nesse ponto, e se escreveria

( )1

lim 2 3x

x→

∃ +

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

174UNIDADE 6

Mas, como os limites laterais à esquerda e à direita existem e são iguais,

então se diz que o limite da função ( ) 2 3f x x= + quando x se aproxima de 1 é 5, e escreve-se

( )1

lim 2 3 5x

x→

+ = .

A seguir, você pode ver o gráfico que representa a função ( ) 2 3f x x= + , e sobre ele o limite da função quando 1x → .

x

y

O 1 2 3-1-2-3

1

2

3

4

5

6

-1

-2

( )y f x

Estude o comportamento da função 22 3( )

1x xf x

x+ −

=−

, com x tendendo a 1.

É necessário estudar o comportamento da função quando x tende a 1, pela esquerda e pela direita. Note que, agora, o valor 1x = não está no campo de definição

da função ( )f x . Porém, ainda é possível estudar o comportamento da imagem da função quando x tende a 1, pois para construir as tabelas usam-se valores cada vez mais próximos de 1, sem, no entanto, alcançar 1.

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

175UNIDADE 6

Para simplificar a notação, podemos reescrever a função da seguinte forma:

( ) ( )2 2 3 12 3( ) 2 31 1

x xx xf x xx x

+ ⋅ −+ −= = = +

− −

Ou seja, considerando a restrição no domínio da função original, podemos reescrever a função de maneira mais simples, como:

( ) 2 3, 1f x x x= + ≠

O limite da função ( ) 2 3f x x= + quando x tende a 1 já foi analisado no exemplo anterior, e você já sabe que seu limite é 5. Então é possível escrever:

2

1

2 3lim 51x

x xx→

+ −= −

.

Note que o ponto 1x = não pertence ao domínio da função f , mas mesmo

assim podemos calcular o limite de ( )f x quando x se aproxima de 1. De fato, para calcular um limite, não é necessário que a função esteja definida no ponto que a variável aproxima. Basta que a função esteja definida numa vizinhança desse ponto.

Reveja o primeiro exemplo de limite de uma função. Lá, consta a frase: “Você

pode ainda deixar a diferença entre ( )f x e 5 tão pequena quanto você queira, bastando para isso fazer com que x esteja suficientemente próximo de 1”

Para representar matematicamente as noções introduzidas, de “diferença tão pequena quanto você queira” e de “suficientemente próximo”, são usadas as letras gregas ε e δ .

Para “diferença (entre imagem da função e limite) tão pequena quanto você queira” é usado o símbolo ε , da seguinte forma:

( ) 5f x − < ε ,E para “(variável) suficientemente próxima (do valor que ela aproxima)” é

usado o símbolo δ , da seguinte maneira:

0 1x< − < δ .

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

176UNIDADE 6

Diz-se, então, que o limite de uma função ( )f x quando x se aproxima de um valor a é um valor L se, dado qualquer 0ε > (pequeno), existe um valor (pequeno) 0δ > tal que se a distância entre x e a é menor que δ , então a distância

entre ( )f x e L é menor que ε . Neste caso, escreve-se lim ( )x a

f x L→

= .

No exemplo apresentado a seguir, você verá algumas situações especiais que podem ocorrer quando se trabalha com limites. São os chamados limites no infinito e limites infinitos. Preste bastante atenção aos exemplos, pois esses casos ocorrem com bastante frequência.

Considere a função 1( ) xf x

x+

= . Note que { }( ) 0D f = − .

a) Encontre intuitivamente o limite da função f quando x → ∞ , ou seja, quando a variável x cresce indefinidamente.

Neste caso, só é possível construir uma tabela, com valores de x cada vez maiores:

Observando a tabela, você pode ver que quando a variável x cresce indefinidamente, os valores da imagem da função se aproximam de 1, sem, no entanto, atingirem esse valor.

Diz-se então que o limite da função 1( ) xf x

x+

= quando x → ∞ é 1, e escreve-se

1lim 1x

xx→∞

+ =

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

177UNIDADE 6

Observando a tabela, você pode ver que quando a variável x cresce indefinidamente, os valores da imagem da função se aproximam de 1, sem, no entanto, atingirem esse valor.

Diz-se então que o limite da função 1( ) xf x

x+

= quando x → −∞ é 1, e escreve-se

1lim 1x

xx→∞

+ =

A diferença para o caso anterior é que aqui o valor 1 é aproximado por valores menores, e antes o valor 1 era aproximado por valores maiores. Estes dois casos são exemplos de limite no infinito.

b) Encontrar intuitivamente o limite da função f quando x → −∞ , ou seja, quando a variável x decresce indefinidamente.

Neste caso também só é possível construir uma tabela, com valores de x cada vez menores:

c) Encontrar intuitivamente o limite da função f quando 0x +→ , ou seja, quando a variável x se aproxima de 0 por valores maiores que 0 .

Neste caso, constrói-se uma tabela com x aproximando 0 por valores positivos.

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

178UNIDADE 6

Observando a tabela, pode-se verificar que quando a variável x se aproxima de 0 por valores positivos, os valores da imagem da função crescem indefinidamente. Neste caso, diz-se que o limite é infinito (na verdade, como infinito não é um número real, o correto seria dizer que esse limite não existe), e escreve-se

0

1limx

xx+→

+ = +∞

d) Encontrar intuitivamente o limite da função f quando 0x −→ , ou seja, quando a variável x se aproxima de 0 por valores menores que 0 .

Neste caso, constrói-se uma tabela com x aproximando 0 por valores negativos.

Observando a tabela, você pode ver que quando a variável x se aproxima de 0 por valores negativos, os valores da imagem da função decrescem indefinidamente. Neste caso, diz-se que o limite é menos infinito, e escreve-se

0

1limx

xx−→

+ = −∞

Os dois últimos casos são exemplos de limites infinitos.

Há uma diferença entre limites no infinito e limites

infinitos. “Limites no infinito” é

quando a variável está crescendo

ou decrescendo indefinidamente; e “limites infinitos” é quando a imagem da função cresce

ou decresce indefinidamente.

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

179UNIDADE 6

A seguir, você pode ver o gráfico que representa a função 1( ) xf x

x+

= , e verificar visualmente os limites analisados neste exemplo.

x

y

O

1

Cálculo de um limite

Além da construção de tabelas para estudar intuitivamente o comportamento da imagem da função quando a variável está se aproximando de um limite, você também pode calcular limites utilizando o método de substituição direta: Na expressão

lim ( )x a

f x→

=

substitui-se o valor de x na função ( )f x pelo valor limite a que a variável aproxima, e efetuam-se os cálculos. No caso de o resultado ser um número real (ou ±∞ ), esse será o limite procurado.

a) Calcular o limite da função ( ) 2 3f x x= + , quando a variável x se aproxima de 1.

Solução:

( ) ( )1

lim 2 3 2 1 3 5x

x→

+ = ⋅ + =

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

180UNIDADE 6

b) Calcular o limite da função 3( ) 2 3f x x x= + − , quando a variável x se aproxima de 2.

Solução:

( ) ( ) ( )33

2lim 2 3 2 2 2 3 8 4 3 9x

x x→

+ − = + ⋅ − = + − =

c) Calcular o limite da função 1( )

1f x

x=

+, quando a variável x se aproxima

de 3.Solução:

3

1 1 1 1lim21 3 1 4x x→

= = = + +

Solução do paradoxo de Zenão

Se você ficou curioso com o paradoxo de Zenão, enunciado no início desta seção, saiba que a solução clássica para ele envolve a utilização dos conceitos de limite e de convergência de séries numéricas (que você ainda não viu). Por ora, basta saber que o paradoxo surge ao supor intuitivamente que a soma de infinitos intervalos de tempo é infinita, de tal forma que seria necessário passar um tempo infinito para Aquiles alcançar o seu destino. No entanto, os infinitos intervalos de tempo descritos no paradoxo formam uma progressão geométrica e sua soma converge para um valor finito, em que Aquiles encontra o seu destino.

O Cálculo Diferencial é o ramo da matemática que tem como foco o estudo do movimento e da variação desse movimento. Sua intenção é medir incrementos ou variações de grandezas, ou seja, o Cálculo Diferencial é uma ferramenta para resolver problemas do tipo: “dada uma função, medir seu incremento”. Seu objeto de estudo são as funções.

SeÇÃO 2NOÇõES INTUITIVAS DE DERIVADAS

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

181UNIDADE 6

Taxa de variação e incremento

Considere uma função ( )f x y= , definida sobre um determinado intervalo, e ainda um ponto x neste intervalo. Se for dado um pequeno acréscimo x∆ a x ( x∆ é chamado de incremento da variável independente x ), então a imagem da função também sofrerá um acréscimo, como segue:

( )f x x y y+ ∆ = + ∆ ,

onde y∆ é o incremento da função ( )f x y= .

É interessante encontrar uma expressão adequada para o incremento y∆ , e isso pode ser feito facilmente. Acompanhe:

( )y y f x x+ ∆ = + ∆

( )y f x x y∆ = + ∆ −

( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ −

A última expressão é a mais adequada para escrever o incremento y∆ , pois o expressa em termos da função f .

Se a expressão ( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ − for dividida pelo incremento x∆ da variável independente, obtém-se

( ) ( )y f x x f xx x

∆ + ∆ −=

∆ ∆,

que é denominada a taxa de variação média de y em relação a x .

É possível visualizar geometricamente o significado da taxa de variação média

yx

∆∆ . Imagine uma função ( )y f x= , e sobre seu gráfico dois pontos: um ponto

P com coordenadas ( , )P x y , e um ponto Q com coordenadas ( , )Q x x y y+ ∆ + ∆ .

A expressão yx

∆∆ representa a inclinação da reta secante que intersecta o

gráfico da função ( )y f x= nos pontos P e Q , e significa que enquanto a variável independente x se desloca x∆ unidades (para a esquerda ou para a direita, de acordo com o sinal de x∆ ) a variável dependente y se desloca y∆ unidades (para cima ou para baixo, de acordo com o sinal de y∆ ). A reta secante mencionada acima aparece na ilustração a seguir.

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

182UNIDADE 6

Ocorre uma situação interessante quando se mantém fixo o ponto P , mas diminui-se constantemente o módulo de x∆ , fazendo 0x∆ → . Neste caso o ponto Q aproxima-se cada vez mais do ponto P ; e no caso limite o ponto Q coincide com o ponto P , transformando a reta secante ao gráfico da função numa reta tangente ao gráfico da função no ponto P .

x

y

O x

y P

Q

x x

y y

( )y f x

Note que yx

∆∆ representa a inclinação da reta secante (que corta a curva em

P e em Q ). Quando se faz x∆ muito pequeno, isto é, quando 0x∆ → , o ponto Q tende para o ponto P , e a inclinação da reta secante tende para a inclinação m da reta tangente ao gráfico no ponto P , ou seja:

( ) ( )0 0

lim limx x

f x x f xymx x∆ → ∆ →

+ ∆ −∆= =

∆ ∆

Observação: a inclinação m da reta tangente ao gráfico no ponto P é igual à tangente do ângulo α formado entre o eixo dos x e a reta tangente.

A inclinação da reta tangente ao gráfico da função ( )y f x= no ponto ( , ( ))P x f x é dada por

( ) ( )0

limx

f x x f xm

x∆ →

+ ∆ −=

∆.

Esse limite é também conhecido como taxa de variação instantânea.

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

183UNIDADE 6

O valor m é também denominado coeficiente angular da reta tangente à

curva ( )xfy = no ponto P . Esta reta só contém o ponto ( ),P x y em comum

com a curva ( )y f x= , e sua equação é:

y mx b= +

Observação: se a função e o ponto de tangência forem conhecidos, é possível calcular os valores de m e b , e em conseqüência exibir a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto dado. Também é possível converter o coeficiente angular m no ângulo α , e vice-versa, da seguinte forma:

( ) ( )tan arctanm m= α ⇔ α =

a) Dada a função 2 2y x= + , determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função, no ponto (2,6)P .

Solução: Em primeiro lugar, calcula-se o valor do coeficiente angular m :

0

( ) ( )limx

f x x f xmx∆ →

+ ∆ −=

∆

( ) ( )2 2

0

2 2 2 2limx

xm

x∆ →

+ ∆ + − + =∆

( ) ( )2

0

4 4 2 4 2limx

x xm

x∆ →

+ ∆ + ∆ + − + =∆

2

0

4limx

x xmx∆ →

∆ + ∆=

∆

0lim 4x

m x∆ →

= ∆ +

4m =

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

184UNIDADE 6

Como um ponto da reta tangente é conhecido, neste caso (2,6)P , usam-se as suas coordenadas na equação y mx b= + no lugar de x e y , juntamente com o valor encontrado para m , para obter o valor b :

y mx b= +

6 4 2 b= ⋅ +

6 8b = − 2b = −

Assim, a equação da reta tangente ao gráfico de 2 2y x= + no ponto (2,6)P é 4 2y x= − .

O gráfico desta função e respectiva reta tangente é o apresentado a seguir.

b) Dada a função 2 2y x= + , determinar a inclinação da reta tangente ao

gráfico da função, em um ponto qualquer de coordenadas 0 0( , )P x y .Solução: A função dada é a mesma do exemplo anterior, porém agora os cálculos devem

ser feitos levando em consideração um ponto genérico 0 0( , )P x y .

0

( ) ( )limx

f x x f xmx∆ →

+ ∆ −=

∆

( ) ( )2 20 0

0

2 2limx

x x xm

x∆ →

+ ∆ + − + =∆

( ) ( )2 2 20 0 0

0

2 2 2limx

x x x x xm

x∆ →

+ ∆ + ∆ + − + =∆

20

0

2limx

x x xmx∆ →

∆ + ∆=

∆

00lim 2x

m x x∆ →

= ∆ +

02m x=

x

y

O 1 2 3 4

2

4

6

8

10

12

14

(2,6)P

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

185UNIDADE 6

Neste caso, ainda foi possível calcular o valor do coeficiente angular m ,

porém como o ponto usado foi um ponto genérico 0 0( , )P x y , o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função neste ponto genérico dado é também uma

função de x . Ou seja, para cada valor tomado para 0x , será obtido um valor do coeficiente angular m .

Se você substituir 0x por 2 , encontrará o valor 4m = , obtido no exemplo anterior.

Observação: pode-se também usar as notações 1x e 2x no lugar de x e x∆ na

expressão que define m , sendo que 2 1x x x∆ = − . Neste caso, escreve-se:

( ) ( )2 1

2 1

2 1lim

x x

f x f xm

x x→

−=

−

Derivada de uma função

O coeficiente angular m de uma reta tangente ao gráfico de uma função é uma das interpretações possíveis para a derivada de uma função. Dessa forma, dada uma função ( )y f x= , representa-se a sua derivada por ' '( )y f x= , e escreve-se:

( )0

limx

yf x mx∆ →

∆′ = =∆

ou ainda:

( )0

( ) ( )limx

f x x f xf xx∆ →

+ ∆ −′ =∆

Observação: a derivada de uma função é também uma função. O domínio da função

derivada ( )xf ′ é o conjunto de todos os números x do domínio de ( )xf para os

quais o limite 0

limx

yx∆ →

∆∆

existe.

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

186UNIDADE 6

a) Encontrar a derivada da função ( ) 2xxf = .Solução:

( )0

( ) ( )limx


+ ∆ −′ =∆2 2

0

( )'( ) limx

x x xf xx∆ →

+ ∆ −=

∆

( )2 2 2

0

2limx

x x x x xf xx∆ →

+ ∆ + ∆ −′ =∆

( )0

'( ) lim 2x

f x x x∆ →

= + ∆

( ) xxf 2=′ Este caso é bastante similar com os exemplos anteriores. De fato, os cálculos

são os mesmos, porém agora está se considerando uma variável x genérica, sem o índice 0. E o resultado obtido é também uma função da mesma variável x .

b) Calcular a derivada da função 3)( −= xxf . Solução:

( )0

( ) ( )limx


+ ∆ −′ =∆

0

( ) 3 3'( ) lim

x

x x xf x

x∆ →

+ ∆ − − −=

∆

( ) ( )( )0

3 3 3 3'( ) lim

3 3x

x x x x x xf x

x x x x∆ →

+ ∆ − − − + ∆ − + −= ⋅

∆ + ∆ − + − ← racionalização

( ) ( )( )0

3 3'( ) lim

3 3x

x x xf x

x x x x∆ →

+ ∆ − − − = ∆ ⋅ + ∆ − + −

← produto notável

( )0'( ) lim

3 3x

xf xx x x x∆ →

∆ = ∆ ⋅ + ∆ − + −

( )0

1'( ) lim3 3x

f xx x x∆ →

= + ∆ − + −

1'( )2 3

f xx

=−

← passagem ao limite

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

187UNIDADE 6

Assim, a derivada da função 3)( −= xxf é

1'( )2 3

f xx

=−

.

Observação: as derivadas nos exemplos anteriores foram obtidas através do processo de cálculo, usando-se a definição de derivadas. Mais adiante em seu curso você irá aprender outras formas de calcular a derivada de uma função.

Limite de uma variável: ao trabalhar com funções reais, as variáveis são números reais: x ∈ . Considera-se uma variável x ∈ aproximando-se de um valor limite a . Escreve-se x a→ e lê-se x tende a a. Podem ocorrer também casos nos quais a variável x tende para mais ou menos infinito.

Limite de uma função: é o que ocorre com a imagem da função quando a quando a variável x tende para um limite (número real ou limite no infinito), sem necessariamente atingir esse valor.

Limites laterais: o símbolo “–” na expressão x a−→ significa que a variável x está se aproximando do valor a pela esquerda. O símbolo “+” na

expressão x a+→ significa que a variável x está se aproximando do valor a pela direita. Se uma função se aproxima de valores distintos à medida que a variável x se

aproxima do limite a pela esquerda e pela direita, então o limite da função ( )f x não existe nesse ponto. Se uma função se aproxima do mesmo valor L à medida que a variável x se aproxima do limite a pela esquerda e pela direita, então o limite

da função ( )f x existe, e se escreve

( )lim ( )x a

f x L→

= .

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

188UNIDADE 6

Alguns casos especiais que podem ocorrer são os limites no infinito e os limites infinitos. Há uma diferença entre limites no infinito e limites infinitos. “Limites no infinito” é quando a variável x está crescendo ou decrescendo indefinidamente; e “limites infinitos” é quando a imagem da função cresce ou decresce indefinidamente.

Cálculo de um limite: método de substituição direta. Na expressão

lim ( )x a

f x→

=

substitui-se o valor de x na função ( )f x pelo valor limite a que a variável aproxima, e efetuam-se os cálculos. No caso do resultado ser um número real (ou ±∞ ), esse será o limite procurado.

Taxa de variação e incremento: dada uma função ( )f x y= , se for dado um incremento x∆ na variável independente x, então a imagem da função também

sofrerá um acréscimo, como segue: ( )f x x y y+ ∆ = + ∆ , onde y∆ é o incremento da função ( )f x y= . Escreve-se:

( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ −

Se a expressão ( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ − for dividida pelo incremento x∆ da variável independente, obtém-se

( ) ( )y f x x f xx x

∆ + ∆ −=

∆ ∆,

que é denominada a taxa de variação média de y em relação a x .

A inclinação da reta tangente ao gráfico da função ( )y f x= no ponto ( , ( ))P x f x é dada por

( ) ( )0

limx

f x x f xm

x∆ →

+ ∆ −=

∆.

onde o valor m é denominado coeficiente angular da reta tangente à curva

( )xfy = no ponto P . Esta reta só contém o ponto ( ),P x y em comum com a

curva ( )y f x= , e sua equação é:y mx b= +

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

189UNIDADE 6

Derivada de uma função: o coeficiente angular m de uma reta tangente ao gráfico de uma função é uma das interpretações possíveis para a derivada de uma função. Dada uma função ( )y f x= , representa-se a sua derivada por ' '( )y f x= , e escreve-se:

( )0

( ) ( )limx


+ ∆ −′ =∆

A derivada de uma função é também uma função. O domínio da função

derivada ( )xf ′ é o conjunto de todos os números x do domínio de ( )xf para os

quais o limite 0

limx

yx∆ →

∆∆

existe.

Após ter estudado o conteúdo desta unidade, é hora de você realizar alguns exercícios. Ao final da atividade, compare suas respostas com as respostas apresentadas no final deste livro didático.

1) Encontre os limites abaixo, de forma intuitiva:

a) ( )2

2lim 6x

x x→

− − =

b) 1lim

2x x→−∞

= −

c) 3

2limx

x→

=

d) 2

lim 1x

x→

− =

e) 2lim

2x

xx→∞

=−

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

190UNIDADE 6

2) Encontre os limites abaixo, usando o método da substituição:

a) ( )2

2lim 6x

x x→

− − =

b) 1lim

2x x→−∞

= −

c) 3

2limx

x→

=

d) 2

lim 1x

x→

− =

e) 2lim

x

xx→∞

=

3) Considere a função 1( )f xx

= .

a) Determine o coeficiente angular da reta tangente à curva dada, no ponto com abcissa 1x =b) Encontre a inclinação da reta tangente ao gráfico da função no ponto mencionado.

4) Considere a curva dada por y x= . Escreva a equação da reta tangente à curva de forma que essa reta seja paralela à reta dada por 3y x= − + .

5) Calcule as derivadas das funções abaixo, usando a definição:

a) 3( )f x x=

b) 2( ) 6f x x x= − −

c) ( ) 1f x x= −

d) 1

2 1y

x=

−

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

191UNIDADE 6

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

192UNIDADE 6

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

193PALAVRAS FINAIS

pALAvRAS fiNAiS

Caro(a) aluno(a)

Parabéns!

Você acaba de completar a disciplina Introdução ao Cálculo. E foi mais fácil do que você pensava, não é mesmo? Com o conhecimento que você desenvolveu enquanto estudava o conteúdo funções, você está apto a iniciar as disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral, que irão aparecer logo em seguida no seu curso de Licenciatura em Matemática, e cujos principais objetos de estudo são justamente as funções.

E lembre-se: este livro é seu, e agora que você já terminou a disciplina,

guarde-o com cuidado. E consulte-o quando aparecerem dúvidas nas próximas disciplinas, afinal, as respostas para elas podem estar aqui. Por isso é sempre bom conhecer o material que você tem. Se você conhecer bem seus livros, saberá onde buscar as informações de que necessitar.

Continue a se dedicar e a estudar, sempre!

Queremos vê-lo(a) formado(a)!

Os professores autores


Quem SOmOS

Jocemar de Quadros Chagas É mestre em Matemática e Computação Científica pela Universidade Federal

de Santa Catarina, UFSC. É graduado em Licenciatura Plena em Matemática pela Universidade de Passo Fundo, UPF. Trabalhou como professor colaborador na UDESC. Atua como professor assistente da Universidade Estadual de Ponta Grossa, UEPG, desde 2007. Ministra disciplinas na área de matemática para licenciaturas e bacharelados. Também é ator e dramaturgo há 11 anos.

Luciane Grossi É doutora e mestre em Ciência da Computação e Matemática Computacional

pela Universidade de São Paulo, USP. É graduada em Licenciatura Plena em Matemática pela Universidade Federal de Mato Grosso, UFMT. Trabalhou como professora colaboradora na UFMT, na UFSCar e na UEL, e como professora efetiva na UNIFIL. Atua como professora adjunta da Universidade Estadual de Ponta Grossa, UEPG, desde 2006. Ministra disciplinas na área de matemática para as licenciaturas e engenharias. Trabalha como pesquisadora e orientadora de iniciação científica no grupo de pesquisa da UEPG em Análise Numérica.

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

195AUTOR

BOULOS, Paulo. Pré-Cálculo. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001.

CHAGAS, Jocemar de Q.; BOMBACINI, Luciane Grossi; Matemática Básica. Ponta Grossa: UEPG/NUTEAD, 2009.

FLEMMING, Diva Marilia; LUZ, Elisa Flemming; WAGNER, Christian. Cálculo I. 5 ed. Palhoça: UnisulVirtual, 2004.

IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, funções. 8 ed. São Paulo: Moderna, 2004. vol. 1. IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo. Fundamentos de Matemática Elementar: Logaritmos. 8 ed. São Paulo: Moderna, 2005. vol. 2.

MACHADO, Antonio dos Santos. Matemática na escola de 2º grau. São Paulo: Atual, 1998.

MUNHOZ, Ainda F. da S.; IKIEZAKI, Iracema M. Elementos de Matemática – 2º grau. São Paulo: Saraiva, 1983. vol. 1. SAMPAIO, José L. Pereira; LAPA, Nilton; CAVALLANTTE, Sidney Luiz. Estudos de Matemática – segundo grau. São Paulo: Moderna, 1977.

ISEL-DEETC – Departamento de Engenharia de Electrónica e Telecomunicações e de Computadores. Disponível em <http://www.deetc.isel.ipl.pt/matematica>. Acesso em: 17/05/2010

MATEMÁTICA Essencial – ensino: fundamental, médio e superior. Disponível em <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/>. Acesso em: 17/05/2010

RefeRêNciAS

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

196APÊNDICE

ApêNDice RESPOSTAS DAS ATIVIDADES

UNIDADE I

1) a) 1x = e 52x = − b) 2

3x = − e 12x = c) 3x = − e 9

2x =

d) 2x = e) 1x = − f) 72x = −

g) 3x = h) 53x = i) 2x = −

2) a) [ ]3,9x∈ b) ( [ )2, 10,3x ∈ −∞ ∪ ∞ c) ( ) ( )4, 3 3,4x∈ − − ∪

d) ( ],4x∈ −∞ e) ( 4, 3x ∈ −∞ f) [ ]2,0x∈ −

g) ( )154, 2x∈ h) ( )395, 8x∈ − − i) ( ) ( ), 1 4,x∈ −∞ − ∪ ∞

UNIDADE II

1) a), c) e f) ímpar b) , e) e g) par d) e h) nem par e nem ímpar

2) a) { }( ) | 1D f x x= ∈ ≠ b) ( )D f =

c) { }( ) | 2D f x x= ∈ ≥ − d) ( )D f =

3) ( )( ) 23 6g f x x= + e ( )( ) 29 2f g x x= +

4) a) ( )( ) 2 3 2f g x x x= − + b) 1x = ou 2x =

5) a) 22 4 3x x− + b) 24x c) 4 d) 3

6) ( )( )2 26f f =

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

197APÊNDICE

7) a) 1 5( )3

xf x− − += b) 1 3( )

2xf x− +

= c) 1 1 2( ) , 33 2g x x

x− −

= ≠−

8) 2

2

2 2

2 2

( ( ( ))) ( ( 3)))( )( ) (2( 3) 5)( )( ) (2 6 5) (2 1)( )( ) 8(2 1) 1 16 9

f g h x f g xf g h x f xf g h x f x f xf g h x x x

= +

= + −

= + − = +

= + + = +

9)

UNIDADE III

1) a) ( ) 3 2f x x= + b) ( ) 2 5f x x= − + c) ( ) 3 2f x x= +

2) a) crescente b) 35x =

c) 3y = − d) ( )3 ,5 ∞ , 35x = , ( )3, 5−∞

O-3 3

-9

x

y

O x

y

O x

y

O x

y

a) b)

c) d)

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

198APÊNDICE

3) lei da função: ( ) 42xf x = +

a) crescente b) 8x = − c) 7( 1) 2f − =

4)

5) a) ( ) 15 3f x x= + b) 315 reais c) 91,67 km

6) a) (5)C = R$ 140 b) 598x =

7) a) ( ) 50 4000C x x= + c) (15)C = R$ 4750 d) 25x =

8) a) ( ) 2 5f x x= + b) 4x =

9) 2 2 3x x− +

10) a) ' 1x = − ; '' 2x = − b) 4y = − c) para baixo

d) 32vx = − e

12vy = f) { }1Im( ) | 2f y y= ∈ ≤

11) a) 8x = ou 2x = b) 2 8x< < c) 5x =

12) 15p = ou 5p =

13) a) { }Im( ) | 6f y y= ∈ ≥ − e ( )D f =

( ) 2 5f x x

(0,5)

0-2,5 2,5

y

x

( ) 2 5f x x

( ) 2 6f x x ( ) 5f x x

0

y

x3

-6

( 2, 10) ( ) 3f x x

( ) 4f x x

(0,6;2,4)

0

y

x3

a) b) c)

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

199APÊNDICE

14) a) ( )1, 4V − b) ( )3, 9V − c) ( )0, 4V − d) ( )0,1V

15)

16) a) ' 1x = e '' 5x = b) ( )3,4V )

c) ( )D f = e { }Im( ) | 4f y y= ∈ ≤ d) máximo; 4y =

e) 5y = − f) 1x = e 5x =

g) 2( ) 6 5f x x x= − + − h) (4) 3f =

17) a) ( )1,2V − b) ( )D f = e { }Im( ) | 2f y y= ∈ ≤

c) mínimo; 2y = d) 3y = e) não corta f) não possui raízes reais

g) 2( ) 2 3f x x x= + + h) ( 2) 3f − =

18) a) 2 33800 252 4V x x x= − + b) 9240 m3 c) 19) 62 rádios

0 x

y

0 x

y

3

-1-3 -2-1

0 x

y

2-2

-8

0 x

y

1

-1

2

0 x

y

1

-4-5

-9

3

a) b) c)

d) e)

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

200APÊNDICE

20) A função é 25 xy −= , mas ainda é preciso estudar a condição de existência desta função. Como envolve uma raiz quadrada, deve-se ter

2 25 0 5x x− ≥ ⇒ ≤ . Por propriedade de módulo, tem-se que 2x x= , então 2 5 5 5 5x x x≤ ⇒ ≤ ⇒ − ≤ ≤ + , que representa o domínio da

função. Constrói-se uma tabela tomando-se alguns valores para x, para auxiliar na construção do gráfico:

Então, conclui-se que { }( ) | 5 5D f x x= ∈ − ≤ ≤ e

{ }Im( ) | 0 5f y y= ∈ ≤ ≤ .

21) a) ( )D f = e Im( )f = . b) ( )D f = e ( )D f =

25y x

5

5

y

x5 0

3 5y x

x

y

1

2

5

x

y

0

-1

-2 -1 1

2

2xy x

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

201APÊNDICE

c) { }( ) 2D f = − − d) { }( ) 2D f = − −

*Im( )f = { }Im( ) 3f = − −

e) [ )( ) 2,D f = − ∞ f) ( ]( ) , 2D f = −∞

Im( )f += [ )Im( ) 1,f = ∞

UNIDADE IV

1) a) ( )2,2D = − e ( )Im 3,1= − b) ( )2,3D = − e [ ]Im 1,3=

c) [ ]1,4D = e [ ]Im 1,2= − d) [ )1,2D = − e ( ]Im 1,4=

e) ( )3,D = − ∞ e ( )Im 2,= − ∞ f) D = e Im =

g) D = e Im += h) D = e *Im +=

2) a) 9 b) 8 c) 4 d) 7

x

y

0-1-2-3-4-5-6 1 2 3 4

1234

-1-2-3-4

0-2-4-6 2 4-8

y

x

-2

-4

-6

2

4

1 2 3 4-1-2-3-1

2

3

1

1 2 3-1-2-3-1

2

3

1

-4 x

yy

x

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

202APÊNDICE

3) D = 4) D =

{ }Im | 4y y= ∈ ≥ { }Im | 1y y= ∈ ≤

UNIDADE V

1) ( )2,4

2) a) 64 b) 14 c) 1

2 d) 5 e) 56

3) a) crescente b) ( ) ( )Im 0,f = ∞ c) 2y =

d) nunca corta e) 5( 1) 4f − = f) 1x =

4) a) ( )lny x= é uma função logarítmica e a condição para que esta função exista é que o logaritmando seja maior que zero, ou seja 0x > , logo

( ) *( ) 0,D f += ∞ =

b) ( )ln 1y x= + é uma função logarítmica e a condição para que esta função exista é que o logaritmando seja maior que zero, ou seja,

1 0x + > ⇒ 1x > − . Então ( )( ) 1,D f = − ∞

c) a condição de existência da função ( )2ln 1y x= − é 2 1 0x − > . Como

o gráfico de 2( ) 1f x x= − é uma parábola com concavidade voltada para cima, e os zeros dessa função são ' 1x = − e '' 1x = , tem-se que a função é positiva para

1x < − e 1x > . Logo, { }( ) | 1 1D f x x ou x= ∈ < − >

0 3

4

1

1

0

x

y

x

y

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

203APÊNDICE

d) a condição de existência da função ( )2ln 1y x= + é 2 1 0x + > . Como

para qualquer valor de x real a desigualdade é verdadeira, então ( )D f = .

e) a condição de existência da função 1( ) ln xf x

x− =

é

1 0xx−

> . Resolvendo essa inequação, encontra-se

{ }( ) | 0 1D f x x ou x= ∈ < > (verifique!)

5)

6)

( )D f = e { }Im( ) | 0 2f y y= ∈ ≤ ≤

x

y

0

1

-1

4

2 3

4 5

4 3

2 7

4 2

( )D f = e { }Im( ) | 1 1f y y= ∈ − ≤ ≤

x

y

2 3

2 2 5

2 3 7

2 4

21

Univ

ers

ida

de

Ab

ert

a d

o B

rasi

l

204APÊNDICE

7) a) ( )D f = b) *( )D f +=

[ )Im( ) 2,f = ∞ Im( )f =

UNIDADE VI

1) a) 4− b) 0 c) 8 d) 1 e) 2 Obs: Você deve encontrar esses valores após a construção de tabelas, como

nos exemplos.

2) a) 4− b) 0 c) 8 d) 1 e) 2

3) a) 12

m −=

Obs: Você deve encontrar esse valor trabalhando com a equação

0

( ) ( )limx

f x x f xmx∆ →

+ ∆ −=

∆

b) 1( ) ( ) 26,562

om tg tgx

−= α ⇒ = α ⇒ α

4) 14y x= − −

x

y

-1-2-3-4 1 2 3 4 5 6 7

-2-1

123

4567

0

x

y

-1-2 1 2 3 4 5 6 7

-5

-3-2-1

123

0 8 9

-4

Intr

od

uçã

o a

o C

álc

ulo

Dife

renci

al e

Inte

gra

l

205APÊNDICE

5) a) 2'( ) 3f x x= b) '( ) 2 1f x x= −

c) 1'( )2 1

f xx

=−

d) ( )3

1'( )4 1

f xx

−=

−

Obs: Você deve encontrar essas derivadas usando a definição:

0

( ) ( )'( ) limx


+ ∆ −=

∆

Documents

LiceNciATuRA em Matemática