Linearização e projetivizaçãode problemas variacionais:

duas aplicações

Diego Mano Otero

Tese apresentadaao

Instituto de Matemática e Estatísticada

Universidade de São Paulopara

obtenção do títulode

Doutor em Ciências

Programa: MatemáticaOrientador: Prof. Dr. Carlos Eduardo Durán Fernandez

Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxílio financeiro da CAPES e CNPq

São Paulo, Setembro de 2015

Linearização e projetivizaçãode problemas variacionais:

duas aplicações

Esta versão da tese contém as correções e alterações sugeridaspela Comissão Julgadora durante a defesa da versão original do trabalho,realizada em 11/08/2015. Uma cópia da versão original está disponível no

Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.

Comissão Julgadora:

• Prof. Dr. Carlos Eduardo Durán Fernández (orientador) - IME-USP

• Prof. Dr. Paolo Piccione - IME-USP

• Prof. Dr. Pedro Antonio Santoro Salomão - IME-USP

• Prof. Dr. Francesco Mercuri - IMECC-UNICAMP

• Prof. Dr. Henrique de Barros Correia Vitório - DMAT-UFPE

Agradecimentos

Agradeço à toda minha família por estar comigo durante esta longa viagem. Em especial aosmeus pais pelo apoio sentimental, ao meu tio Tadeu e minha vó Stella pelo incentivo inicial àmatemática, e aos meus avós Carmen e Pepe por me ajudarem à aprender inglês.

Agradeço ao professor Durán por todo este período de ensinamento, desde a graduação até odoutorado. Não seria possível adquirir o conhecimento da beleza simples da matemática que possuohoje se não tivesse sido guiado por ele neste longo percurso.

Agradeço aos meus amigos que estiveram comigo durante o doutorado, em especial ao Nélio,André e Clayton pelas companhias, conversas e risadas. Terei sempre boas lembranças destes mo-mentos.

Agradeço ao Eiichiro Oda por me contar a melhor história do mundo, sempre dando ensinamen-tos valiosos para vida.

Agradeço à minha noiva Pierella por estar junto nos momentos bons e maus que decorreram oprojeto. Por me acompanhar, incentivar, ajudar, e deixar nossos dias mais felizes, mostrando sempreo nosso futuro. Esta tese dedico à ela.

Agradeço todos os integrantes da banca examinadora pelas críticas, comentários, correções eincentivos.

Por fim, agradeço à CAPES e ao CNPq pelo apoio financeiro no decorrer do doutorado.

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ii

Resumo

OTERO, D. M. Linearização e projetivização de problemas variacionais: duas aplicações.2015. 68 f. Tese (Doutorado) - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo,São Paulo, 2015.

Esta tese estuda a geometria de problemas variacionais através da linearização e projetivizaçãodas suas equações de Euler - Lagrange. O processo de linearização fornece a passagem das equaçõesde Euler - Lagrange para as equações de Jacobi; a minimalidade (local) de extremais está determi-nada pelo conceito de ponto conjugado, que tem natureza projetiva. Propriedades de minimalidadelocal são transformadas em propriedades de auto-interseção de uma curva na variedade de Gras-smann adequada. Desenvolvemos este processo em duas aplicações: 1) O estudo da minimalidadelocal de extremais de problemas variacionais de ordem superior. Neste caso, encontramos uma curvanão degenerada de planos isotrópicos num espaço vetorial simplético, que, após prolongamento porderivadas, fornece uma curva degenerada de planos Lagrangeanos cujas auto-interseções determinama minimalidade. 2) No caso mais clássico de problemas de ordem um, estudamos a versão linear -projetiva do problema inverso: dada uma equação diferencial de ordem dois, quando ela é a equaçãode Euler - Lagrange de um problema variacional? Veremos que as condições do problema inversolinear - projetivo fornecem informações sobre os possíveis Lagrangeanos, por exemplo a assinatura.

Palavras-chave: cálculo das variações, geometria simplética, curvas espalhantes.

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iv

Abstract

OTERO, D. M. Linearization and projectivization of variational problems: two applica-tions. 2015. 68 f. Tese (Doutorado) - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de SãoPaulo, São Paulo, 2010.

In this work we study the geometry of high order calculus of variations through the lineariza-tion and projectivization of their Euler-Lagrange equations. The linearization process provides thepassage from the Euler-Lagrange equations to the Jacobi equations; the (local) minimality proper-ties of the extremal is determined by conjugate points, which is a projective concept. Minimaltiyproperties of the extremals are transformed into self-intersection propertie of curves in the appro-priate Grassmann manifold. We develop this process in two instances: 1) The study of minimalityproperties of extremals of higher-order variational problems. In this case, we find a non-degeneratecurve of isotropic subspaces, that, after prolongation by derivatives, gives a degenerate curve ofLagrangian planes whose self-intersections determine minimality. 2) In the classical case of orderone variational problems, we study a projective-linear version of the inverse problem: given a secondorder differential equation, when is it the Euler-Lagrange equation of a variational problem? We willsee that the conditions given by the linear-projective inverse problem provides information aboutthe possible Lagrangians, for example, its signature.

Keywords: calculus of variations, symplectic geometry, fanning curves.

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vi

Sumário

1 Introdução e Preliminares 11.1 A Hessiana de Um Problema de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Curvas na Grassmanniana Metade e Divisível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Geometria Simplética Projetiva para Funcionais Quadráticos:Caso Unidimensional 92.1 Identidade de Easwaran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Curvas de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Sistemas Hamiltonianos Lineares 153.1 Soluções Isotrópicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Pontos Conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Funcional Quadrático Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Minimalidade e Curva de Isotrópicos 194.1 Identidade de Picone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2 Identidade de Picone na Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.3 Da Equação de Jacobi para Sistemas Hamiltonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.4 Transformação de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.5 Positividade de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.6 Curvas de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.7 Prolongamentos Simpléticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.8 Casos Particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.8.1 Caso k = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.8.2 Caso k = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5 Problema Inverso Linear 375.1 Condições de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2 Referenciais Normais e Schwarziana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.3 Wronskiano e Curva de Lagrangeanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.4 Condição de Comutatividade Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

A Problemas Variacionais de Ordem Superior 51A.1 Problemas Variacionais de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51A.2 Geometria dos Espaços Tangentes de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

A.2.1 Problema Variacional de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

vii

viii SUMÁRIO

A.2.2 Equações Diferenciais e Estrutura Quase Tangente . . . . . . . . . . . . . . . 57A.2.3 Derivações Verticais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61A.2.4 Derivação de Tulczyjew . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62A.2.5 Formalismo de Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62A.2.6 Transformação de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Referências Bibliográficas 65

Capítulo 1

Introdução e Preliminares

Um tema de estudo no cálculo das variações consiste em aplicar sequencialmente operações, quechamaremos, de linearização e projetivização de um problema variacional. A linearização fornecea passagem das equações de Euler - Lagrange para as equações de Jacobi. Ponto conjugado daequação de Jacobi é um conceito projetivo; por exemplo, no caso Riemanniano se Y é um campode Jacobi com condições iniciais Y (0) = 0,∇tY (0) = V0, e tem um ponto conjugado em t = t0,então obviamente λY , λ 6= 0, também possui um ponto conjugado em t = t0.

Podemos considerar simultaneamente todos os campos de Jacobi “verticais” que satisfazemY (0) = 0, e estudar a evolução do plano gerado por eles. O que é equivalente a estudar a evo-lução do tangente as fibras verticais no duplo tangente sob o fluxo geodésico. Este processo levanaturalmente a teoria do índice de Maslov, onde se relaciona a topologia de intersecção de curvas davariedade Lagrangeana Grassmanniana com o trem estratificado de planos não transversais a umplano dado; para uma boa descrição temos estas duas referencias [GMPT99, MPT02]. Nos artigos[ÁPD09, ABR13], vemos além da topologia destas curvas, como podemos estudar a geometria deCartan - Klein, e recuperamos a curvatura (como o operador de curvatura X 7→ R((X, γ)γ). Aabordagem desta relação pode ser feita através da linearização do fluxo geodésico, considerandocurvas de Jacobi definidas por

`(p,v)(t) = DΦ−t(∆(Φt(p, v))) ,

onde ∆(Φt(p, v)) = VΦt(p,v)(TM) é a distribuição em TM dos campos verticais. Note que o espaçodos campos de Jacobi ao longo de γ que satisfazem J(0) = 0 pode ser identificado com o espaçovertical V(p,v)(TM) = Tv(TpM).

A curva `(p,v) será uma curva na Grassmanniana metade Gr(n, T(p,v)(TM)), e, por causa dofluxo geodésico ser Hamiltoniano e a condição inicial ser Lagrangeana, estará na verdade contidana Lagrangiana Grassmanniana Λn. Este ponto de vista permite estudar de maneira muito mais“limpa” não somente variedades Riemannianas (por exemplo, variedades sem pontos conjugadoscomo em [Pat99, Rug07]), mas também outras estruturas geométricas tais como variedades semi-Riemannianas ([MPT02]), sub-Riemannianas ([ABR13]) e Finsler ([JV14]).

Tendo em vista este desenvolvimento e as relações naturais do cálculo variacional com geometriasimplética, que consiste no caso particular da análise de Lagrangeanos dependendo de derivações atéprimeira ordem, o objetivo inicial do projeto foi estender esta abordagem a problemas variacionaisde ordem superior.

Para ilustrar, considere o caso de problemas variacionais de ordem k = 2 (onde a equação deEuler-Lagrange terá ordem 4 = 2 × 2). A notação e a teoria a seguir está contida no apêndice A.Considere uma equação de ordem 4 = 2 × 2 em uma variedade Q, isto é, um campo ξ : T 3Q →T (T 3Q) que satisfaz J1ξ = C1, onde J1 é a estrutura quase-tangente canônica de ordem superior e

1

2 INTRODUÇÃO E PRELIMINARES 1.0

C1 é o campo de Liouville de T 3Q, que localmente são dados por

J1 =2∑r=0

∂

∂qAr+1

⊗ dqAr , C1 =3∑r=1

qAr∂

∂qAr,

onde usamos a convenção de somatória no índice A, 1 ≤ A ≤ n = dimQ (usaremos esta convençãoao longo do texto quando for necessário). Com isso ξ localmente será dado por

ξ =2∑r=0

qA(r+1)

∂

∂qAr+ ξA

∂

∂qA3,

onde ξA : T 3Q → R. Assim toda curva q : R → Q suave cuja levantada para T 3Q seja integral docampo ξ, terá que satisfazer localmente

d4qA

dt4= ξA

(q(t),

dq

dt,d2q

dt2,d3q

dt3

), (1.1)

que é uma equação de ordem 4.Sendo φt o fluxo de ξ, a linearização da equação (1.1) será dada pela diferencial do fluxo. Fixando

um ponto j3c(0) ∈ T 3Q e X ∈ Tj3c(0)(T3Q), consideramos a seguinte curva t 7→ Xv(t) = dφt(X)

que será um campo de vetores ao longo de γ(t) = φt(j3c(0)).

Usando as coordenadas naturais de T (T 3Q) podemos escrever

Xv(t) = aA(t)∂

∂qA0

∣∣∣∣φt(j3c(0))

+ bA(t)∂

∂qA1

∣∣∣∣φt(j3c(0))

+ cA(t)∂

∂qA2

∣∣∣∣φt(j3c(0))

+ dA(t)∂

∂qA3

∣∣∣∣φt(j3c(0))

.

Observando que LξXv(t) = 0 teremos que as coordenadas aA, bA, cA, dA acima terão que satisfazero seguinte sistema diferencial linear

aA

˙bA

˙cA

dA

=

0 Id 0 00 0 Id 00 0 0 Id∂ξB

∂qA0

∂ξB

∂qA1

∂ξB

∂qA2

∂ξB

∂qA3

aA

bA

cA

dA

. (1.2)

O sistema (1.2) representa o fluxo linearizado.Agora, considerando um Lagrangeano L : T 2Q → R, o campo de Euler-Lagrange ξ = ξL pode

ser construído de tal maneira que a equação (1.1) será a equação de Euler-Lagrange com relaçãoà L. Como o sistema (1.2) é a linearização de (1.1), o sistema (1.2) será equivalente à equação deJacobi relacionada à L. O que acabamos de descrever seria o processo de linearização do problemavariacional.

O processo de projetivização, neste caso, consiste em tomar 4n soluções l.i., hi = (aAi ), i =1, . . . , 4n e construir um referencial matricial cujas linhas sejam estas soluções:

A =

hT1...hT4n

.

O referencial A é uma matriz de ordem 4n × n e, supondo algumas hipóteses sobre as condiçõesiniciais, teremos que a curva de subespaços ` : [a, b]→ Gr(n, 4n), dada pela combinação linear dascolunas de A em cada instante, será espalhante no sentido de [dAP10].

Teremos ainda que ` será um curva de subespaços isotrópicos com relação à forma simpléticacanônica ωcan em R4n de forma que as prolongações j1` e j2` serão curvas de subespaços Lagran-geanos e coisotrópicos, respectivamente.

1.1 A HESSIANA DE UM PROBLEMA DE ORDEM SUPERIOR 3

Essa curva é importante pois, como demonstramos no texto, ela dará a condição de minimalidadepara o problema variacional do Lagrangeano L. Com um pouco mais de detalhes, se tivermos quej1`(0) ∩ j1(t) = 0 para todo t ∈ (a, b] e a condição de Legendre estrita

(∂L

∂qA2 ∂qB2> 0), então a

curva φt(j3c(0)) será um mínimo do funcional

c 7→ F(c) =

∫ b

aL(j2c(t)) dt.

A questão da identificação de problemas variacionais (problema inverso do cálculo das variações)é interessante, e pode ser colocado da seguinte forma: dada uma equação de segunda ordem, quandoque tal problema provém de um problema variacional, isto é, quando que a equação é uma equaçãode Euler-Lagrange de um Lagrangeano?

No contexto da linearização e projetivização chegamos na resposta do problema em termosde curvas espalhantes na Grassmanniana metade ` : I → Gr(n; 2n). Dizemos que tal curva ` évariacional (Jacobi) quando para algum referencial A de ` a equação diferencial associada à A vemde um problema variacional. E conseguimos o seguinte resultado: sendo ` uma curva espalhante,então ` é variacional se, e somente se, existir uma forma simplética ω tal que ` é uma curva deLagrangeanos para ω. Através dos invariantes de [ÁPD09] seremos capazes de distinguir quandouma curva espalhante na Grassmanniana vem de um problema variacional.

A organização do trabalho é: logo a seguir descreveremos as preliminares básicas para poderentender os cálculos dos invariantes de curvas espalhantes na Grassmanniana metade. Um pontoimportante para salientar é que, depois de saber que o Hessiano de um problema variacional estábem definido, o restante dos cálculos pode ser feito em RN via, por exemplo, referenciais. Assim, onúcleo da tese está escrito em um RN adequado fixo, e citaremos o apêndice A para as consideraçõesda linguagem topológico-diferencial. Nos capítulos 2, 3 e 4 desenvolvemos e estudamos o análogoda curva de Jacobi para problemas de ordem superior. De maneira mais concreta, no capítulo2 descrevemos o problema unidimensional, cuja solução é baseada em identidades clássicas queaparecem no trabalho de Easwaran ([Eas76]). Isto é feito como introdução pois trata-se de umcaso combinatoriamente mais simples. Para dimensão geral conseguimos fazer os cálculos usandoa transformação de Legendre apoiados na versão Hamiltoniana encontrada no trabalho de Coppel([Cop71]). Resumimos o trabalho de Coppel no capítulo 3 para logo após, no capítulo 4, definirmosa curva de Jacobi que dará a condição de minimalidade do funcional, e este é o resultado principalda tese. No capítulo 5 voltamos ao caso padrão de Lagrangeanos de ordem um, e vimos comoos invariantes das curvas de Jacobi fornecem informação sobre o problema inverso do cálculo dasvariações.

1.1 A Hessiana de Um Problema de Ordem Superior

O problema do cálculo das variações de ordem superior em uma variedade Q consiste em des-cobrir quais são os pontos críticos do seguinte funcional

F(c) =

∫ b

aL(jkc(t)) dt,

onde L : T kQ → R é chamado de Lagrangeano de ordem k, c é uma curva em Q definida nointervalo [a, b] e jkc é o prolongamento ao espaço tangente de ordem k. Para mais detalhes de comoé construído tal prolongamento, e outras notações que usaremos neste capítulo e nos demais, comoas coordenadas locais naturais de T kQ, consulte o apêndice A.

Vamos impor ainda que o funcional F acima está definido no espaço de curvas com extremosfixos jk−1qa, j

k−1qb ∈ T k−1Q, e vamos denotar tal espaço por Ωqa,qb [a, b]. Simbolicamente

Ωqa,qb [a, b] = c : [a, b]→ Q | jk−1c(a) = jk−1qa e jk−1c(b) = jk−1qb.

4 INTRODUÇÃO E PRELIMINARES 1.2

Falando de outro modo, Ωqa,qb [a, b] é o espaço de todas as curvas c em Q tais que as k−1 derivadasno extremo a e no extremo b são iguais à valores pré fixados.

Um ponto crítico γ do funcional acima pode ser encontrado usando diferentes abordagens dentreelas citamos Gelfand-Fomin ([GF00]), que usa coordenadas locais e chega à uma equação que γ devesatisfazer, e a abordagem de Léon-Rodrigues ([dLR85]) que usa a regularidade do Lagrangeano Lpara desenvolver a geometria simplética de tal problema (mais detalhes no apêndice A).

O ponto mais importante é que para discutirmos a minimalidade de tal ponto crítico γ preci-samos analisar a Hessiana do funcional F . Seguindo o mesmo raciocínio que [Mil73, Pal63, Pal69,Pal68], a Hessiana de F no ponto crítico γ está bem definida e ela será um funcional quadráticodefinido no espaço tangente TγΩqa,qb [a, b]. Tal espaço corresponde ao espaço de campos de vetoresao longo de γ cujas k − 1 derivadas nos extremos a e b se anulam. Assim, como a Hessiana estábem definida, escolhemos um referencial de campos de vetores ao longo de γ, v1(t), . . . , vn(t) quegeram Tγ(t)Q para cada t. Em termos deste referencial cada elemento X ∈ TγΩqa,qb [a, b] pode serescrito como X(t) =

∑i hi(t)vi(t), e assim podemos identificar TγΩqa,qb [a, b] com o seguinte espaço

de curvas em Rn

C∞k ([a, b],Rn) = h ∈ C∞([a, b],Rn) |h(i)(a) = h(i)(b) = 0,∀i = 0, 1, . . . k − 1.

Portanto podemos trabalhar em coordenadas locais e chegamos na seguinte expressão da Hessianade F no ponto crítico γ

Q(h) =

∫ b

a

k∑i,j=0

h(i)TLij(t)h(j) dt,

onde cada Lij é uma curva suave de matrizes n × n que depende do Lagrangeano L e de suasderivadas até segunda ordem. Um ponto importante nesta conta é que a matriz Lkk, que acompanhaas derivadas de maior ordem na expressão de Q, vai corresponder ao Hessiano do Lagrangeano Lcom relação as k-velocidades. Se os referenciais acima forem construídos através de coordenadasnaturais teremos

Lkk =

(∂2L

∂qA(k)∂qB(k)

(jkγ(t))

).

Observe que Lkk > 0 será uma condição que não irá depender do referencial acima escolhido.Um dos objetivos deste trabalho, que será desenvolvido nos próximos capítulos, será encontrar

condições necessárias que garantam a positividade do funcional Q acima. O resultado que obtemosé que tais condições serão dadas em termos da positividade de Lkk e da não intersecção do pro-longamento de uma curva de subespaços isotrópicos (chamada de curva de Jacobi) com um certosubespaço.

É importante observar, como é feito em [GF00], que a positividade de Q irá garantir a positivi-dade forte do funcional Q, isto é, teremos que Q(h) ≥ C||h|| para alguma constante C e para umanorma apropriada no espaço de curvas em Rn que são k vezes diferenciáveis. O funcional Q sendofortemente positivo irá garantir então a minimalidade de γ com relação ao funcional F .

1.2 Curvas na Grassmanniana Metade e Divisível

Nesta seção vamos descrever de maneira resumida a teoria de curvas na variedade Grassmanni-ana que está nos trabalhos de Álvarez-Durán ([ÁPD09]) e Durán-Peixoto ([DdAP14]). No trabalhodeles um dos objetivos é resolver o problema de congruência de certas curvas, e isto é feito descre-vendo os invariantes de tais curvas: duas curvas na Grassmanniana serão congruentes se, e somentese, tiverem os mesmo invariantes. As curvas estudadas em seus trabalhos irão satisfazer uma condi-ção de regularidade genérica, chamada de espalhante (em inglês fanning). Descreveremos um poucoo trabalho deles no que segue.

Primeiramente vamos recordar que se V é um espaço vetorial real então o espaço tangenteda Grassmanniana Gr(k, V ) no ponto ` pode ser canonicamente identificado com o quociente de

1.2 CURVAS NA GRASSMANNIANA METADE E DIVISÍVEL 5

espaços vetoriais T`Gr(k, V ) ∼= Hom(`, V/`).

Definição 1. Seja I um intervalo e ` : I → Gr(k, V ) uma curva na Grassmanniana. O posto de `no instante t ∈ I é o posto de `′(t) considerado como um elemento de Hom(`, V/`).

Vamos fixar uma base de V para então identificar V ∼= Rn, e assim denotaremos a Grassmanni-ana por Gr(k, n). Dada uma curva `(t) ∈ Gr(k, n) podemos levantar tal curva para um referencialde k vetores l.i. a1(t), . . . , ak(t) de Rn de modo que eles gerem `(t) para cada t. Construímos en-tão a seguinte curva de matrizes A(t) de ordem n × k onde as colunas de A(t) são os vetoresai(t), A(t) = (a1(t)| . . . |ak(t)). Sendo A(t) um outro referencial de `, a relação entre A e A éA(t) = A(t)X(t), onde X(t) é uma curva de matrizes n×n invertível. Temos a seguinte proposição

Proposição 1. Com as notações do parágrafo anterior, teremos

posto(`(t)) = posto(A(t)|A′(t))− k

Demonstração. Fixando uma base de V e lembrando de como é a identificação canônica T`Gr(k, V ) ∼=Hom(`, V/`): dada a curva `(t), escolha matrizes idempotentes ρ(t) que representam projeções taisque a imagem de ρ(t) é `(t). Então teremos

• A derivada de ρ(t) é uma curva de endomorfismos que leva Im(ρ(t)) em ker(ρ(t)) e vice-versa.

• O quociente V/`(t0) pode ser identificado com ker ρ(t0).

Então a derivada ρ′(t0) fornece um mapa que vai de Im(ρ(t0)) = `(t0) em ker ρ(t0) ∼= V/`(t0).Se verifica que este mapa é independente da curva de projeções que representa `(t).

Fixe uma curva de matrizes ρ(t) como acima. Então, como ρ(t)A(t) = A(t) teremos

A′(t) = ρ′(t)A(t) + ρ(t)A′(t) .

Justapondo e calculando o posto chegamos em

posto(A(t)|A′(t)) = posto(A(t)|ρ′(t)A(t) + ρ(t)A′(t)) = posto(A(t)|ρ′(t)A(t)) ,

onde a última igualdade vem de Im(ρ(t)) = `(t) e então as colunas de ρ(t)A′(t) estão no subespaçogerado pelas colunas antes da barra vertical. Agora, como as colunas de A(t) são a imagem de ρ(t)e as colunas de ρ′(t)A(t) estão no núcleo de ρ(t), segue que o posto da matriz do lado direito daequação acima é k + posto(ρ′(t)A(t)) = k + posto`(t).

No caso da Grassmanniana metade, Gr(n, 2n), uma curva ` : I → Gr(n, 2n) é dita espalhantese tiver posto máximo, isto é se o posto de `(t) for igual à n para todo t. Isto é equivalente à`′(t) : `(t)→ R2n/`(t) ser invertível para todo t. Esta condição genérica é o ponto de partida parao estudo dos invariantes das curvas espalhantes em [ÁPD09]. Com esta condição é possível definir o

endomorfismo fundamental F dado pela composição F(t) : R2n → R2n/`(t)(`′(t))−1

−−−−−→ `(t) → R2n. Láos autores mostram que os invariantes lineares são completamente descritos por F e suas derivadas.

Mais precisamente, se A(t) é um referencial da curva `(t) o endomorfismo fundamental doreferencial A(t) no ponto t0 pode ser definido pelas equações abaixo devido ` ser espalhante:

F(t0)A(t0) = 0 e F(t0)A(t0) = A(t0).

Além disso o endomorfismo fundamental vai satisfazer

• Se X(t) é uma curva de matrizes n×n invertível, o endomorfismo fundamental do referencialA(t)X(t) vai coincidir com o endomorfismo fundamental de A(t).

• Se T ∈ GL(2n) então o endomorfismo fundamental de TA(t) será dado pela composiçãoTFT−1.

6 INTRODUÇÃO E PRELIMINARES 1.2

A primeira propriedade diz que o endomorfismo fundamental é um conceito intríseco à curva `, istoé, apenas depende de `, como definido no parágrafo acima.

A derivada do endomorfismo fundamental será uma curva de reflexões e com isso será possíveldefinir a curva de subespaços horizontais de `

Proposição 2. Seja F o endomorfismo fundamental do referencial A. A derivada F(t) será umacurva de reflexões de forma que o auto-espaço associado ao auto-valor −1 será gerado pelas colunasde A(t).

Definição 2. A associação que leva o parâmetro t no núcleo da projeção P(t) = (I− F(t))/2 seráchamada de curva horizontal de ` e denotada por h.

Dado um referencial A podemos construir um referencial da curva horizontal h

Definição 3. A derivada horizontal de um referencial espalhante A é

H(t) = (I−P(t))A(t).

O endomorfismo de Jacobi definido abaixo irá medir quanto a curva horizontal se desloca comrelação à `, e será o principal invariante da curva espalhante `.

Definição 4. Se ` é espalhante endomorfismo de Jacobi de ` é definido por K(t) = F(t)2/4

Agora sendo A(t) um referencial espalhante de ` teremos a seguinte relação diferenciável

A+ AP (t) +AQ(t) = 0,

onde Q(t) e P (t) são curvas de matrizes n× n. Definimos a Schwarziana de A(t) como sendo

SA(t) = Q(t)− (1/4)P (t)2 − P (t)/2. (1.3)

(A definição acima é diferente a menos de um fator 1/2 da encontrada em [ÁPD09]).

Teorema 1 (Álvarez-Durán(2009)). A Schwarziana do referencial A é caracterizada por K(t)A(t) =A(t)SA(t), e vai satisfazer as seguintes propriedades

• Se T ∈ GL(2n) então STA(t) = SA(t)

• Se X(t) é uma curva de matrizes n× n invertíveis então SAX(t) = (X(t))−1SA(t)X(t),

Com isso podemos associar cada curva espalhante à uma curva de transformações lineares S` :I → Lin(`(t); `(t)).

O teorema de congruência de curvas espalhantes será dado em termos de um referencial normalde `.

Definição 5. Um referencial espalhante B é dito normal se cada coluna de B(t) for combinaçãolinear das colunas de B(t) para todo t.

Proposição 3. Se ` é espalhante então existe um referencial normal B de ` que pode ser construídoa partir de qualquer referencial A, isto é, existe X(t) matriz n×n invertível tal que B(t) = A(t)X(t).Ainda mais, se B e B são dois referenciais normais de ` então existe uma matriz n × n invertívelfixa X0 tal que B(t) = B(t)X0.

Teorema 2 (Álvarez-Durán(2009)). Duas curvas espalhantes na Grassmanniana metade Gr(n, 2n)serão congruentes se, e somente se, as Schwarzianas de dois referencias normais delas forem con-jugadas por uma matriz n× n fixa invertível.

1.2 CURVAS NA GRASSMANNIANA METADE E DIVISÍVEL 7

Em [ÁPD09] também é estudado o problema de congruência na Lagrangeana Grassmanniana.Além dos invariantes obtidos do estudo da congruência na Grassmanniana existe um invarianteextra, que é discreto, e todos estes invariantes resolvem o problema da congruência.

Em contraste com o problema variacional de primeira ordem (cujo Lagrangeano L depende atéo 1-jato das curvas), para ordem k ≥ 2 (Lagrangeano L depende até o k-jato das curvas) iremosconstruir uma curva de subespaços Lagrangeanos cuja ausência de intersecção com um subespaçofixo irá garantir a positividade de Q. Entretanto tal curva nunca será espalhante no sentido de[ÁPD09], e assim uma outra abordagem deve ser aplicada.

Uma abordagem alternativa seria usando a teoria desenvolvida por Durán-Peixoto ([dAP10],[DdAP14]) na Grassmanniana divisível Gr(n, nk). No trabalho deles é desenvolvida a teoria dosinvariantes de curvas `(t) ∈ Gr(n, nk), e essa teoria se adapta muito bem na geometria projetiva deequações diferenciais lineares de ordem superior (por exemplo, para a equação de Euler-Lagrange deLagrangeanos quadráticos!). O conceito de curva espalhante no trabalho deles é dado pelo (k − 1)-jato da curva `: a curva `(t) ∈ Gr(n, nk) é dita espalhante se dado um referencial A de `(t), istoé, A é uma matriz kn× n tal que o espaço gerado pelas colunas é `(t) para todo t, tivermos que amatriz (A(t)|A(t)| · · · |A(n−1)(t)) é invertível para todo t. Note novamente que esta é uma condiçãogenérica de regularidade. Um importante resultado, que é consequência desta teoria de invariantes,é que a bandeira linear definida pela curva `

spanA(t) ⊂ spanA(t), A(t) ⊂ . . .

pode ser reduzida à uma bandeira de decomposição, isto é, cada subespaço acima admite um com-plementar canônico com relação ao anterior.

8 INTRODUÇÃO E PRELIMINARES 1.2

Capítulo 2

Geometria Simplética Projetiva paraFuncionais Quadráticos:Caso Unidimensional

Este capítulo tem o objetivo de introduzir as curvas de Jacobi para problemas de ordem supe-rior no caso de variedades de dimensão 1. Neste caso os cálculos são bem mais simples, dependendoessencialmente de identidades para funcionais quadráticos desenvolvidas por Eswaran [Eas76], ilus-trando a ideia geral da passagem para a projetivização e as auto-interseções de planos.

Considere o funcional quadrático de ordem k

Q(h) =

∫ b

a

k∑i,j=0

h(i)TLij(t)h(j) dt =

∫ b

a

k∑i,j=0

Lij(t)h(i)h(j) dt,

onde h : [a, b]→ R e as derivadas até ordem k − 1 se anulam em a e b, isto é, h(i)(a) = h(i)(b) = 0,i = 0, 1, . . . , k − 1.

Neste caso o funcional quadrático Q sempre poderá ser escrito em um certo formato, que cha-mamos de formato padrão, e será da forma

Q(h) =

∫ b

a

k∑i=0

Pi(t)(h(i))2dt, (2.1)

com Pk(t) = Lkk(t).Para dar uma ideia da mecânica da conta acima do formato padrão vamos deduzi-la no caso

k = 1 e k = 2.Caso k = 1Teremos o seguinte

Q(h) =

∫ b

aL00h

2 + L01hh+ L10hh+ L11h2 dt =

∫ b

aL00h

2 + (L01 + L10)hh+ L11h2 dt.

Integrando por partes o termos do meio e usando a condição nos extremos, h(a) = h(b) = 0,teremos ∫ b

a(L01 + L10)hh dt = −1

2

∫ b

a

d

dt(L01 + L10)h2 dt.

Logo denotando

P0(t) = L00 −1

2

d

dt(L01 + L10) e P1(t) = L11

9

10 GEOMETRIA SIMPLÉTICA PROJETIVA PARA FUNCIONAIS QUADRÁTICOS:CASO UNIDIMENSIONAL 2.0

teremos

Q(h) =

∫ b

aP0(t)h2 + P1(t)h2 dt.

Caso k = 2

Q(h) =

∫ b

aL00h

2 + L10hh+ L02hh+ L01hh+ L11h2 + L12hh+ L02hh+ L12hh+ L22h

2dt =

=

∫ b

a

(L00h

2 + (L10 + L01)hh+ (L02 + L20)hh+ L11h2 + (L12 + L21)hh+ L22h

2)dt.

Para prosseguir com a conta precisamos fazer algumas integrações por partes, sempre usando acondição nos extremos das funções h: h(a) = h(b) = h(a) = h(b) = 0.

Teremos o seguinte ∫ b

a(L01 + L10)hhdt = −1

2

∫ b

a

d

dt(L01 + L10)h2dt,∫ b

a(L12 + L21)hhdt = −1

2

∫ b

a

d

dt(L12 + L21)h2dt, e∫ b

a(L02 + L20)hhdt =

1

2

∫ b

a

d2

dt2(L02 + L20)h2dt−

∫ b

a(L02 + L20)h2dt.

Logo denotando

P0(t) = L00 −1

2

d

dt(L01 + L10) +

1

2

d2

dt2(L02 + L20),

P1(t) = L11 −1

2

d

dt(L12 + L21)− (L02 + L20) e

P2(t) = L22

teremos

Q(h) =

∫ b

aP0(t)h2 + P1(t)h2 + P2(t)h2dt.

Os demais casos a conta é a mesma, basta fazer integrações por partes até ficarem os fatores h comderivadas de mesma ordem em cada parcela, e assim obtemos a fórmula (2.1)

Observação 1. Nas contas acima conseguimos chegar sempre no formato padrão porque temosa comutatividade de cada parcela dentro da integral: no caso de k qualquer e n = 1, estamostrabalhando apenas com funções reais e não matrizes e vetores.

Nos casos de dimensão maior do que 1, a conta para deixar no formato padrão nem sempre épossível. Isto é, ao estudar o problema variacional com Lagrangeano L : T kQ → R com dimQ =n ≥ 2, não podemos agrupar como fizemos acima.

Em [GF00] a conta é feita no caso k = 1 para n ≥ 2 qualquer, porém é assumido a simetria dobloco da Hessiana de L que contém as coordenadas das derivadas de ordem 0 e 1, isto é, os autoresassumem o seguinte: (

∂2L

∂qA0 ∂qB1

)= L01 = LT01 =

(∂2L

∂qB0 ∂qA1

).

Para problema variacionais quaisquer não há motivo para assumirmos tais simetrias. Na verdadeapenas iremos ter (assumindo suavidade no Lagrangeano L) que a matriz Hessiana de L serásimétrica e não os blocos que possuem derivadas mistas com relação as variáveis qA0 e qB1 , comrelação as variáveis qA0 e qB2 , e assim por diante.

Como Gelfand-Fomin mencionam1 é possível chegar à condição de minimalidade, que desenvol-1Veja a nota de rodapé em [GF00] no capítulo 5, seção 29.1, página 199

2.1 IDENTIDADE DE EASWARAN 11

veremos a seguir, mesmo sem supor a simetria da matriz acima. Porém a conta fica não trivial.

2.1 Identidade de Easwaran

O artigo de Easwaran ([Eas76]) discute condições necessárias e suficientes para o funcionalquadrático (2.1) ser positivo definido. Para analisarmos tais condições precisamos do conceito depontos conjugados.

A equação de Euler-Lagrange do funcional (2.1) acima é dada por

P0h−d

dt(P1h) +

d2

dt2(P2h) + . . .+ (−1)k−1 d

k−1

dtk−1(Pk−1h

(k−1)) + (−1)kdk

dtk(Pkh

(k)) = 0. (2.2)

Quando Q é a segunda variação de um problema variacional a equação acima é chamada de equaçãode Jacobi. Note que quando o Lagrangeano L é regular, isto é Pk = Lkk = ∂2L

∂qk∂qk6= 0, a equação

acima é uma equação diferenciável de ordem 2k.Seja um conjunto (σi) de soluções l.i., i = 1, . . . , k, de (2.2) que satisfaça

σ(j)i (a) = 0, para i = 1, 2, . . . , k, e j = 0, 1, 2, . . . , k − 1, (2.3)

e defina o seguinte sub-Wronskiano

W [σ1, σ2, . . . , σk](t) = det

σ1 σ2 · · · σkσ1 σ2 · · · σk...

... · · ·...

σ1(k−1) σ2

(k−1) · · · σk(k−1)

.

Definição 6. Um ponto t∗ ∈ (a; b] é dito um ponto conjugado à a se W [σ1, σ2, . . . , σk](t∗) = 0.

Observação 2. Note que o conceito de ponto conjugado é um conceito projetivo, isto é, se tivermosoutro conjunto (ηi) de soluções l.i. de (2.2) satisfazendo as mesma condições (2.3) então

ηi =

k∑j=1

αijσj i = 1, . . . , k

com αij números reais fixos satisfazendo det(αij) 6= 0. Portanto

W [η1, η2, . . . , ηk](t) = W [σ1, σ2, . . . , σk](t) det(αij).

Para enunciar o seguinte teorema devido à Easwaran vamos supor a condição estrita de Legendreque é: Pk(t) = Lkk(t) > 0 para todo t ∈ [a, b]

Teorema 3 (Easwaran(1976)). Suponha que Pk(t) = Lkk(t) > 0 para todo t ∈ [a, b]. Se não existempontos conjugados à a em (a, b] então o funcional Q é positivo definido, isto é, Q(h) ≥ 0 e Q(h) = 0se, e somente se, h ≡ 0.

A ideia principal por trás do resultado de Easwaran é identidade enunciada no teorema abaixo.Não iremos demonstrar este teorema pois em um capítulo posterior enunciaremos e demonstraremosuma identidade generalizada que vale em dimensão qualquer.

Teorema 4 (Eastham(1973), Easwaran(1976)). Seja σ1, . . . , σk um conjunto l.i. de soluções de(2.2) satisfazendo (2.3) tal que o sub-Wronskiano satisfaça W [σ1, σ2, . . . , σk] 6= 0 no intervalo (a; b).Então para qualquer h que seja de classe Ck temos a identidade

k∑i=0

Pi(t)(h(i))2 = Pk

(W [h, σ1, σ2, . . . , σk]

W [σ1, σ2, . . . , σk]

)2

+dR

dt, (2.4)

12 GEOMETRIA SIMPLÉTICA PROJETIVA PARA FUNCIONAIS QUADRÁTICOS:CASO UNIDIMENSIONAL 2.1

onde

W [h, σ1, σ2, . . . , σk] = det

h σ1 σ2 · · · σkh σ1 σ2 · · · σk...

...... · · ·

...h(k−1) σ1

(k−1) σ2(k−1) · · · σk

(k−1)

h(k) σ1(k) σ2

(k) · · · σk(k)

,

R é uma expressão racional envolvendo σi, h(i) e Pi, tal que R(t∗) = 0 se h(i)(t∗) = 0 para i =0, 1, 2, . . . k − 1.

Assim, nas hipóteses do teorema 4 podemos reescrever o funcional (2.1) como

Q(h) =

∫ b

a

k∑i=0

Pi(t)(h(i))2 dt =

∫ b

a

(Pk

(W [h, σ1, σ2, . . . , σk]

W [σ1, σ2, . . . , σk]

)2

+dR

dt

)dt,

e o teorema segue. Notemos que, se Q(h) = 0, W [h, σ1, σ2, . . . , σk]) = 0, e então h satisfaz umaequação diferencial de ordem k com todas as condições iniciais até ordem k − 1 nulas; assim h ≡ 0no intervalo. Observemos também que, tanto neste caso como no caso de dimensão maior, podemosseguir o método usado em [GF00], e considerar para ε > 0 o funcional perturbado

Qε(h) =

∫ b

a(Pk(t)− ε)(h(k))2 +

k−1∑i=0

Pi(t)(h(i))2dt.

Se ε é suficientemente pequeno, por continuidade o funcional Qε satisfaz as hipóteses do teorema 3em [a, b]. Assim a positividade forte segue imediatamente: existe uma constante positiva ε tal queQ(h) ≥ ε

∫ ba (h(k))2(t)dt. Devido as condições iniciais h(i)(a) = 0, para 0 ≤ i ≤ k − 1, a k-ésima

derivada domina as outras e existirá constante C > 0 tal que Q(h) ≥ C‖h‖22,k, onde a norma é anorma L2 de Sobolev até ordem k no intervalo [a, b].

Identidades do tipo (2.4) foram estudadas inicialmente por Picone ([Pic10]) no caso de ordem1 (equação de Euler-Lagrange de ordem 2), seguido por Cimmino, Leighton e Kreith ([Cim30],[Lei70] [Kre73]) no caso de ordem 2 (equação de Euler-Lagrange de ordem 4) e depois, no caso deordem qualquer por Cimmino, Coppel([Cim39], [Cop71]) e por Eastham ([Eas73]), que apresentauma demonstração muito elegante neste caso geral. Todos estes resultados são válidos apenas para ocaso unidimensional e aparecem ligados à teoria de comparação de Sturm. É importante mencionarReid ([Rei80]) que desenvolve um identidade geral no caso de sistemas Hamiltonianos que generalizatodas as anteriores. Porém em nenhum destes trabalhos citados aparece o desenvolvimento que tratao funcional quadrático Q em dimensão qualquer. No capítulo 4 enunciaremos e demonstraremosuma identidade de Picone usando a ideia de Coppel ([Cop71]) no caso unidimensional.

Para finalizarmos esta seção apresentamos o resultado de Eastham da identidade de Picone queé usada na teoria de comparação de Sturm

Teorema 5. Sejam os dois operadores diferenciais de funções reais abaixo

Lv =k∑r=0

(−1)r(d

dt

)r(Prv

(r))

lu =k∑r=0

(−1)r(d

dt

)r(pru

(r))

onde Pr e pr são funções reais definidas em um intervalo [a, b].Seja u solução de lu = 0 e v1, . . . , vn soluções l.i. de Lv = 0 satisfazendo que as k− 1 primeiras

derivadas se anulam em t = a. Se não existir pontos conjugados com respeito à a em (a, b] da

2.2 CURVAS DE JACOBI 13

equação com respeito à L, a seguinte identidade é verdadeira

d

dt(Q(u)− c(u)) =

k∑r=0

(−1)r(pr − Pr)(u(r))2 + (L1u)2,

onde Q(u) é uma expressão que depende de Pr, e de u e suas derivadas, c(u) é uma expressão dedepende de pr, e de u e suas derivadas, e L1u é dado por

L1u =P

1/2n

WW [v1, . . . , vn, u],

ondeW é o sub-Wronskiano com relação à v1, . . . , vn até a derivada de ordem k−1 eW [v1, . . . , vn, u]é o sub-Wronskiano com relação à v1, . . . , vn, u até a derivada de ordem k.

2.2 Curvas de Jacobi

O teorema 3 tem característica projetiva no sentido da Observação 2. Isso significa que a condiçãode conjugação depende apenas do subespaço de soluções que se anulam nas primeiras k derivadas.

Isso nos motiva a considerar o seguinte referencial móvel C(t) de retas em R2k: sejam σi(t),i = 1, . . . , 2k, soluções l.i. da equação de Euler-Lagrange (2.2), onde as k primeiras soluções possuemderivadas até ordem k − 1 iguais à zero no ponto t = a, e então construa C como

C(t) =

σ1(t)...

σk(t)σk+1(t)

...σ2k(t)

.

Seja agora p(t) a classe de C(t) com relação à projeção em RP2k−1 = Gr(1,2k), isto é, considerea reta gerada por C(t) em R2k. Teremos o seguinte teorema

Teorema 6. A curva p(t) é espalhante.

Demonstração. Temos que verificar que a matriz formada por colunas de derivadas até ordem 2k−1do referencial C(t) é invertível. Assuma o oposto, isto é, existe uma combinação linear não-trivialtal que

∑2k−1s=0 asC(s)(t) = 0. Isso implica que para cada i = 1, . . . , 2k, a mesma relação é satisfeita

para cada σi, isto é,∑2k−1

s=0 asσ(s)i (t) = 0. Então teremos um conjunto formado pelas 2k soluções

l.i. σi(t) de uma equação diferencial linear com coeficientes constantes de ordem menor que 2k, eisso gera uma contradição.

Consideramos agora o referencial formado pelo k − 1 prolongamento de jatos no referencial C

A(t) =

σ1(t) σ′1(t) · · · σ(k−1)1 (t)

...... · · ·

...σk(t) σ′1(t) · · · σ

(k−1)k (t)

σk+1(t) σ′k+1(t) · · · σ(k−1)k+1 (t)

...... · · ·

...σ2k(t) σ′2k(t) . . . σ

(k−1)2k (t)

.

Definição 7. A curva de Jacobi `(t) é a curva gerada pelas colunas de A(t).

14 GEOMETRIA SIMPLÉTICA PROJETIVA PARA FUNCIONAIS QUADRÁTICOS:CASO UNIDIMENSIONAL 2.2

Segue pelo teorema 6 que `(t) tem dimensão k, isto é, ` é uma curva na Grassmanniana Gr(k, 2k).Se definirmos o subespaço vertical V ⊂ R2k como sendo o subespaço dos vetores em R2k que possuemas k primeiras coordenadas iguais à zero, teremos que V = `(a), e o teorema 3 se traduz em

Teorema 7. Suponha que Pk(t) = Lkk(t) > 0 para todo t ∈ [a, b]. Se `(t∗) ∩ V = 0 para todot∗ ∈ (a, b], então o funcional Q é positivo definido.

Em contraste com o caso k = 1, de problema variacionais de primeira ordem, teremos que `(t)não é espalhante, e de fato

Proposição 4. O posto da curva `(t) é um.

Demonstração. Segue de imediato o resultado calculando o posto da matriz (A(t)|A(t)). Esta matrizpossui as colunas de números k, k+ 1, . . . , 2k− 1 iguais as colunas de números 2, . . . , k, respectiva-mente, e então as k primeiras colunas junto com a última coluna corresponde ao número máximode colunas l.i. pelo teorema 6.

Uma outra importante característica da curva p(t) é sua característica simplética. Chegaremosa este resultado após aplicarmos a transformação de Legendre na equação (2.2). Isso será feito, emdimensão qualquer no capítulo 4, e veremos que a bandeira canônica dada pelas prolongações dep(t) será de subespaços isotrópicos, Lagrangeanos e coisotrópicos, dependendo da dimensão.

Capítulo 3

Sistemas Hamiltonianos Lineares

Para o caso de problemas variacionais de dimensões maiores, usaremos a teoria de sistemasHamiltonianos e a relação com um certo funcional quadrático desenvolvida por Coppel ([Cop71]).Assim vamos enunciar este desenvolvimento e depois chegar ao resultado sobre minimalidade nocaso de funcionais quadráticos dados pela Hessiana de problemas variacionais de ordem e dimensãoqualquer.

3.1 Soluções Isotrópicas

Considere (R2n, ωcan) com ωcan a forma simplética canônica, isto é, ωcan(x, y) = xTJy, onde Jé a matriz

J =

(0 Idn−Idn 0

).

No restante do texto vamos sempre admitir a decomposição de pontos (y, z) de R2n com y e zvetores de tamanho n. Denotaremos também por I ∈ R um intervalo na reta.

Um sistema Hamiltoniano linear em R2n é um sistema do seguinte tipo(yz

)=

(A(t) B(t)C(t) −A(t)T

)(yz

), (3.1)

onde A,B,C : I → Rn×n são curvas de matrizes quadradas de ordem n com B(t)T = B(t) eC(t)T = C(t) para todo t e (y(t), z(t)) : I → R2n uma curva em R2n. As condições dos blocos B eC implicam que a matriz acima estará na álgebra de Lie das matrizes simpléticas.

Definimos também o sistema matricial estendido do sistema acima:(Y

Z

)=

(A(t) B(t)C(t) −A(t)T

)(YZ

), (3.2)

com Y, Z : I → Rn×n curvas de matrizes quadradas de ordem n. Note que cada coluna da matriz(YZ

)será uma solução do sistema (3.1) acima.

Lema 1. Para soluções (Y1, Z1) e (Y2, Z2) de (3.2) teremos que

Y1(t)TZ2(t)− Z1(t)TY2(t) ≡ C

para todo t onde C é uma matriz constante.

Para demonstrar o lema acima basta derivar Y1(t)TZ2(t) − Z1(t)TY2(t) e usar que (Y1, Z1) e(Y2, Z2) são soluções de (3.2). Em particular se (Y,Z) é solução de (3.2) teremos que

Y (t)TZ(t)− Z(t)TY (t)

15

16 SISTEMAS HAMILTONIANOS LINEARES 3.2

é uma matriz constante.

Definição 8. Uma solução (Y, Z) de (3.2) é dita isotrópica se Y (t)TZ(t)− Z(t)TY (t) ≡ 0.

Observe que (Y, Z) é isotrópica se o espaço gerado pelas colunas de (Y,Z) para cada t for umsubespaço isotrópico de (R2n, ωcan).

Abaixo temos um lema que será usado quando tivermos uma (Y,Z) solução isotrópica e o blocoY for invertível para todo t.

Lema 2. Se (Y ;Z) é uma solução isotrópica de (3.2) com Y invertível para todo t então ZY −1 ésimétrica para todo t.

Demonstração. Como (Y ;Z) é isotrópica teremos Y (t)TZ(t)−Z(t)TY (t) = 0 para todo t. Isto im-plica que Z(t)(Y (t))−1−(Y (t)−1)TZ(t)T = 0 para todo o t, e por sua vez implica que (Z(t)(Y (t))−1)T =Z(t)(Y (t))−1 para todo t.

Uma propriedade de sistemas Hamiltonianos frequente em teoria de controle, e que vai implicarna não existência de pontos conjugados, é o seguinte:

Definição 9. O sistema (3.1) é dito desconjugado no intervalo I se não existir solução não-trivial(y, z) de (3.1) satisfazendo y(t1) = y(t2) = 0 onde t1 6= t2 e t1, t2 ∈ I.

Mais adiante, quando definirmos pontos conjugados neste contexto, veremos que se um sistemaé desconjugado no intervalo I então isso irá implicar que o sistema não possui pontos conjugadosem I. A recíproca também irá valer se tivermos mais hipóteses.

Antes de continuarmos vamos relembrar o conceito de positividade para matrizes simétricas:

Definição 10. Seja S uma matriz n× n simétrica:

• Escrevemos S ≥ 0 se ηTSη ≥ 0 para todo η ∈ Rn, e nesse caso chamamos S de não-negativa.

• Escrevemos S > 0 se ηTSη > 0 para todo η ∈ Rn, η 6= 0, e nesse caso chamamos S de positiva.

• Se S1 e S2 são matrizes n × n simétricas escrevemos S1 ≥ S2 se S1 − S2 ≥ 0, e S1 > S2 seS1 − S2 > 0. A relação ≥ define uma relação de ordem no espaço das matrizes simétricas.

Coppel usa as seguintes condições com relação ao sistema Hamiltoniano (3.1) dadas a seguir e,para simplificar, usaremos a seguinte simbologia:

(+) B(t) ≥ 0 para todo t ∈ I.

(D) O sistema (3.1) é desconjugado em I.

(R) A equação (3.2) tem uma solução isotrópica (Y, Z) tal que Y (t) é invertível para todo t ∈ I.

(C) A única solução (y; z) de (3.1) tal que y se anula em um subintervalo J ⊂ I é a solução nula.

Observação 3. A condição (C) é uma condição diferente da usada em [Cop71]. De fato a condiçãoenunciada lá está incorreta. Porém, todos os teoremas seguintes encontrados lá continuando válidosporque a condição (C) assumida aqui neste texto é a que é usada para demonstrar os resultadosem [Cop71].

É importante observar também que a condição (C) é chamada de condição de controle e elaaparece na teoria de oscilação de sistemas Hamiltonianos ([Kra95], [dAP10]).

É possível demonstrar as seguintes proposições importantes que relacionam as condições acima.Uma demonstração dos resultados abaixo pode ser encontrada em Coppel ([Cop71])

Proposição 5 ([Cop71]). Supondo o intervalo I compacto e que vale a condição (+). Então (D)⇒ (R).

Proposição 6 ([Cop71]). Supondo que as condições (+) e (C) valem, então (R) ⇒ (D).

3.2 PONTOS CONJUGADOS 17

3.2 Pontos Conjugados

Vamos supor nesta seção que I é um intervalo aberto e que (+) e (C) valem.Começamos esta seção com a seguinte observação importante: para todo t0 ∈ I existe um

subintervalo [t0 − δ; t0 + δ] ⊂ I, δ > 0 tal que o sistema (3.1) é desconjugado em [t0 − δ; t0 + δ].De fato, seja uma solução (Y, Z) de (3.2) tal que Y (t0) = Id e Z(t0) = 0 então Y (t) é invertível emalguma vizinhança de t0 e a solução (Y,Z) será isotrópica nesta vizinhança. Aplicando a Proposição6 teremos o resultado.

O conceito de ponto conjugado que veremos mais adiante para problemas variacionais de or-dem superior no próximo capítulo vem do conceito generalizado de pontos conjugados de sistemasHamiltonianos:

Definição 11. Dois pontos t0, t1 ∈ I, t0 < t1, são ditos conjugados se existir uma solução não-trivial(y, z) do sistema (3.1) tal que y(t0) = y(t1) = 0.

Uma condição equivalente de pontos conjugados pode ser obtida através da equação (3.2).Para isso considere (Y (t, t0), Z(t, t0)) solução isotrópica de (3.2) que satisfaz a condição inicial(Y (t0, t0), Z(t0, t0)) = (0, Id). Assim podemos definir a função de duas variáveis (Y (t, s), Z(t, s))em I × I com esta propriedade, e ela será contínua em I × I.

Lema 3. Dois pontos t0, t1 ∈ I são conjugados se, e somente se, detY (t1, t0) = 0.

Uma outra maneira de definir pontos conjugados, seria considerar um referencialA(t) =

(Y (t)Z(t)

),

onde o conjunto das colunas de A é um conjunto de soluções l.i. de (3.1) com condição inicial

A(t0) =

(0Id

).

Considerando os subespaços gerados pelas colunas de A(t) para cada tempo t, este referencialdefine uma curva ` : I → Gr(n; 2n) com `(t0) = 0×Rn. Note que na verdade a curva ` é uma curvana Lagrangeana Grassmanniana, ` : I → Λn. Com isso teremos então a seguinte caracterização depontos conjugados:

Lema 4. O ponto t1 ∈ I é conjugados à t0 se, e somente se, `(t0) ∩ `(t1) 6= 0.

Para desenvolver a equivalência de pontos conjugados e desconjugação precisamos de mais algunsresultados destes conceitos.

Seja t0 ∈ I. Denotaremos por σ(t0) = supc ∈ I, c > t0; o sistema (3.1) é desconjugado em [t0; c].Note que se σ(t0) estiver bem definido, isto é, se σ(t0) < +∞, então para todo t′0 < t0 com t′0 ∈ I,σ(t′0) também estará bem definido. E teremos ainda que σ(t′0) ≤ σ(t0).

Seja ainda t0 ∈ I. Suponha que exista um ponto t∗ ∈ I, t∗ > t0 tal que detY (t∗, t0) = 0.Definiremos ω(t0) como sendo o menor destes valores t∗, caso exista.

A relação entre σ(t0) e ω(t0) é dada a seguir, juntamente com algumas propriedades de σ:

Proposição 7. As seguintes afirmações são verdadeiras:

1. Seja t0 ∈ I. Caso σ(t0) e ω(t0) existam teremos que σ(t0) = ω(t0).

2. A função σ é crescente em seu domínio.

3. A função σ é contínua e seu domínio é um subintervalo aberto de I.

Observação 4. Suponha [a, b] ⊂ I e também a existência de pelo menos um ponto conjugado á a, eque ω(a) exista. É óbvio que se o sistema (3.1) for desconjugado em [a; b] então não existirá nenhumponto conjugado à a no intervalo (a; b]. Reciprocamente, se não existir nenhum ponto conjugado áa no intervalo (a; b] teremos que ω(a) > b e pela Proposição 7 obtemos σ(a) > b. Com isso existe ctal que b < c ≤ σ(a) tal que (3.1) é desconjugado em [a; c] e isso implicará que (3.1) é desconjugadoem [a; b].

18 SISTEMAS HAMILTONIANOS LINEARES 3.3

Portanto nas condições do parágrafo acima teremos

O sistema (3.1) é desconjugado em [a; b]

mNão existem pontos conjugados à a em (a; b].

3.3 Funcional Quadrático Hamiltoniano

A seguir apresentaremos os resultados em [Cop71] à respeito do sinal de um certo funcionalquadrático que é definido por um sistema Hamiltoniano.

Seja I = [a; b] e o funcional quadrático

Q(y; z) =

∫ b

azTBz + yTCy dt. (3.3)

Definição 12. Diremos que um par (y, z) é admissível se (y, z) satisfizer y = A(t)y + B(t)z comy(a) = y(b) = 0.

Definição 13. Q é dito não-negativo se Q ≥ 0 para todos (y; z) admissiveis. Q é dito positivo seQ for não-negativo, e se Q = 0 para algum (y; z) admissível implicar que y ≡ 0 no intervalo I.

Teremos os seguinte teoremas que relacionam as condições de desconjugação de (3.1) com osinal de Q

Teorema 8 ([Cop71]). Se (+) e (D) valem em I então Q é positivo para todos os pares (y; z)admissíveis.

A prova deste teorema será dada no próximo capítulo como aplicação da identidade de Picone.

Teorema 9 ([Cop71]). Se (C) vale e Q é positivo para todos os pares admissíveis então (+) e(D) valem em I.

Capítulo 4

Minimalidade e Curva de Isotrópicos

Ao estudar problemas variacionais, a resposta para a pergunta de quando uma curva será pontocrítico de um dado funcional é dada pelas equações de Euler-Lagrange. Para verificar a minimalidadede tal ponto crítico temos que analisar a Hessiana do funcional dado no ponto crítico. Em particular,o ponto crítico será um ponto de mínimo se a Hessiana for fortemente positiva definida.

Com as considerações feitas no capítulo 1, sem perda de generalidade, vamos desenvolver aquia análise da Hessiana do seguinte funcional

c 7→ F(c) =

∫ b

aL(j(k)c(t)) dt,

com L : T kRn → R sendo o Lagrangeano. A Hessiana de F em um ponto crítico γ : [a; b]→ Rn deF é um funcional quadrático definido nos campos h : [a, b]→ Rn ao longo de γ dado por

δ2F(h) =

∫ b

a

k∑i,j=0

h(i)TLij(t)h(j) dt (4.1)

onde h : [a; b] → Rn satisfazem jsh(a) = jsh(b) = 0 para 0 ≤ s ≤ k − 1 (chamadas de curvasadmissíveis), e as matrizes Lij(t) correspondem à blocos da Hessiana de L calculada ao longo de γ,isto é,

Lij(t) =

(∂2L

∂qAi ∂qBj

(jkγ(t))

)AB

.

As condições jsh(a) = jsh(b) = 0, para 0 ≤ s ≤ k − 1, traduzem o fato que estamos estudandoproblemas variacionais com extremos fixos até o (k − 1)-jato, portanto as variações h de γ todasterão o (k − 1)-jato igual a zero nos pontos a e b.

Nosso objetivo ao longo da seção será estudar as condições para o funcional quadrático

Q(h) =

∫ b

a

k∑i,j=0

h(i)TLij(t)h(j) dt (4.2)

ser positivo definido, com curvas h : [a, b]→ Rn satisfazendo jsh(a) = jsh(b) = 0, para 0 ≤ s ≤ k−1,onde Lij : [a, b]→ Rn×n são curvas de matrizes para i, j = 0, . . . k.

Neste capítulo apresentaremos uma curva de subespaços isotrópicos que irá medir pontos con-jugados, e portanto a minimalidade dos problemas variacionais.

No restante do capítulo vamos assumir, quando for necessário, a regularidade do funcionalquadrático, isto é, detLkk 6= 0, e a condição estrita de Legendre, isto é, Lkk positiva definida.

19

20 MINIMALIDADE E CURVA DE ISOTRÓPICOS 4.2

4.1 Identidade de Picone

Primeiramente, vamos enunciar e demonstrar a identidade de Picone para dimensão qualquerno contexto Hamiltoniano. Esta identidade será uma generalização da identidade (2.4), que serávista na próxima seção.

Teorema 10 (Identidade de Picone Generalizada). Com notações do capítulo anterior, seja (Y ;Z)solução isotrópica de (3.2) com Y (t) invertível para todo t. Considere também (y; z) satisfazendoy = A(t)y +B(t)z. Nestas condições teremos que

d

dt(yTZY −1y) = zTBz + yTCy − (z − ZY −1y)TB(z − ZY −1y). (4.3)

Demonstração. Efetuando diretamente a conta do lado esquerdo da identidade e usando as hipótesesteremos

d

dt(yTZY −1y) = yTZY −1y + yT ZY −1y + yTZ(−Y −1Y Y −1)y + yTZY −1y =

= (Ay +Bz)TZY −1y + yT (CY −ATZ)Y −1y − yTZ(Y −1(AY +BZ)Y −1)y + yTZY −1(Ay +Bz) =

= (yTA+ zTB)ZY −1y + yT (C −ATZY −1)y − yTZ(

Y −1A+ Y −1BZY −1)y + yTZY −1(Ay +Bz) =

= zTBZY −1y + yTCy − yTZY −1BZY −1y + yTZY −1Bz + zTBz − zTBz =

= zTB + yTCy + (zTBZY −1y − yTZY −1BZY −1y + yTZY −1Bz − zTBz)︸ ︷︷ ︸∆

.

Agora desenvolvendo o último termo da identidade (4.3) acima e usando que ZY −1 é simétrica(Lema 2) teremos

−(z − ZY −1y)TB(z − ZY −1y) = (yT (ZY −1)T − zT )B(z − ZY −1y) =

= (yTZY −1 − zT )B(z − ZY −1y) =

= yTZY −1Bz − yTZY −1BZY −1y − zTBz + zTBZY −1y = ∆,

portanto a identidade segue.

Podemos aplicar a identidade (4.3) para provar o Teorema 8:

Demonstração do Teorema 8. Supondo que valem (+) e (D), pela proposição (5) podemos encon-trar uma solução (Y ;Z) isotrópica de (3.2) tal que Y (t) é invertível para todo t. Pelo teorema acimaa identidade (4.3) vale para todos pares (y; z) admissíveis.

Podemos então escrever o funcional quadrático (3.3) acima como

Q =

∫ b

azTBz + yTCy dt =

∫ b

a

d

dt(yTZY −1y) + (z − ZY −1y)TB(z − ZY −1y) dt =

=

∫ b

a(z − ZY −1y)TB(z − ZY −1y) dt ≥ 0,

para todos os pares admissíveis (y; z).Se Q =

∫ ba (z − ZY −1y)TB(z − ZY −1y) dt = 0 para um certo par admissível (y; z) teremos que

B(z−ZY −1y) = 0. Como y = Ay+Bz isso implica na equação anterior que y−(A+BZY −1)y = 0.Como y satisfaz y(a) = 0 teremos que ter y ≡ 0 no intervalo I, e então Q é positivo.

4.2 Identidade de Picone na Reta

A identidade de Picone (4.3) generaliza as identidades (2.4) encontradas no artigo de Easwaranquando trabalhamos no caso n = 1. Neste caso, o funcional quadrático (4.2) é o funcional visto em

4.2 IDENTIDADE DE PICONE NA RETA 21

(2.1), que no formato padrão, é dado por

Q(h) =

∫ b

a

k∑i=0

Pi(t)(h(i))2dt,

onde h : [a, b]→ R e h(i)(a) = h(i)(b) = 0, i = 0, 1, . . . , k − 1, e Pk(t) = Lkk(t). Iremos verificar talgeneralização nos casos k = 1 e k = 2 mais adiante.

Primeiramente usaremos a transformação de Legendre para escrever a equação (2.2) como umsistema Hamiltoniano. Para uma definição formal da transformação de Legendre, consulte o apên-dice A.2.6

Para um Lagrangeano regular L a transformação de Legendre Leg : R2k → R2k calculada no(2k − 1)-jato de uma função h é dada por

Leg(h, h, . . . , h(k−1), h(k), . . . , h(2k−1)) = (y, z)

com

y =

h

h

h...

h(k−1)

e z =

z1

z2

z3...zk

onde

zi =

k∑j=i

(−1)j−i(d

dt

)j−i(Pjh

(j)).

Neste caso teremos o seguinte sistema Hamiltoniano, que é equivalente à equação (2.2),(yz

)=

(A(t) B(t)C(t) −A(t)T

)(yz

),

com A(t), B(t) e C(t) dadas por

A(t) =

0 1 0 · · · 0 00 0 1 · · · 0 0...

......

. . ....

...0 0 0 · · · 1 00 0 0 · · · 0 10 0 0 · · · 0 0

, B(t) =

0 0 0 · · · 0 00 0 0 · · · 0 0...

......

......

...0 0 0 · · · 0 00 0 0 · · · 0 00 0 0 · · · 0 (Pk)

−1

e

C(t) =

P0 0 0 · · · 0 00 P1 0 · · · 0 0...

.... . .

......

...

0 0 0. . . 0 0

0 0 0 · · · Pk−2 00 0 0 · · · 0 Pk−1

.

Observe que B(t) ≥ 0 se Pk > 0.Seja σ1, . . . , σk um conjunto l.i. de soluções de (2.2) satisfazendo

σ(j)i (a) = 0, para i = 1, 2, . . . , k, e j = 0, 1, . . . , k − 1. (4.4)

Considere agora o par de matrizes (Y, Z) dado pela transformação de Legendre das soluções

22 MINIMALIDADE E CURVA DE ISOTRÓPICOS 4.2

σ1, . . . , σk, isto é,

Y =

σ1 σ2 · · · σkσ1 σ2 · · · σk...

... · · ·...

σ1(k−1) σ2

(k−1) · · · σk(k−1)

e Z =

z1

1 z21 · · · zk1

z12 z2

2 · · · zk2...

... · · ·...

z1k z2

k · · · zkk

,

onde zji é dado por

zji =

k∑l=i

(−1)l−i(d

dt

)l−i(Plσ

(l)j ).

Definimos também os seguintes sub-Wronskianos W [σ1, σ2, . . . , σk] = detY e

W [h, σ1, σ2, . . . , σk] = det

h σ1 σ2 · · · σkh σ1 σ2 · · · σk...

...... · · ·

...h(k−1) σ1

(k−1) σ2(k−1) · · · σk

(k−1)

h(k) σ1(k) σ2

(k) · · · σk(k)

,

com h uma função de classe Ck. Com isso já podemos demonstrar a identidade de Picone na reta(2.4). Assumindo as hipóteses do teorema 4 teremos

Demonstração do teorema 4. Observe que se tivermos W [σ1, σ2, . . . , σk] 6= 0 no intervalo (a; b) en-tão a solução (Y ;Z) será isotrópica com Y (t) invertível para todo t ∈ (a; b). Observe também quepara o sistema Hamiltoniano acima todo par da forma

(y; z) = (y1, . . . , yk; z1, . . . , zk) = (h, . . . , h(k−1); 0, . . . , 0, Pkh(k))

com h de classe Ck irá satisfazer a equação da primeira linha de blocos do sistema, isto é, y =A(t)y +B(t)z. Portanto estamos nas hipóteses do teorema da identidade de Picone e vale (4.3)

zTBz + yTCy − (z − ZY −1y)TB(z − ZY −1y) =d

dt(yTZY −1y).

Não é difícil mostrar que as primeiras duas parcelas acima irão corresponder a somária daidentidade (2.4),

zTBz + yTCy =

k∑l=0

Pl(t)(h(l))2.

O termo do lado direito da igualdade, dentro do sinal de derivada, corresponderá a expressão racionalR

yTZY −1y = R,

e note que R irá satisfazer as propriedade enunciadas no teorema 4. A parte que envolve mais contasde combinatória consiste em mostrar que

(z − ZY −1y)TB(z − ZY −1y) = Pk

(W [h, σ1, σ2, . . . , σk]

W [σ1, σ2, . . . , σk]

)2

. (4.5)

Vamos verificar isso para os casos k = 1 e k = 2.Caso k = 1: A parte esquerda de (4.5) fica

(P1h− P1σ1σ1−1h)P−1

1 (P1h− P1σ1σ1−1h) = P1(h− σ1σ1

−1h).

4.3 DA EQUAÇÃO DE JACOBI PARA SISTEMAS HAMILTONIANOS 23

E a parte da direita de (4.5) fica

P1

(W [h, σ1]

W [σ1]

)2

= P1

(hσ1 − hσ1

σ1

)2

= P1(h− σ1σ1−1h).

Portanto neste caso segue.Caso k = 2: O termo (z − ZY −1y) fica

(z − ZY −1y) =

(z1

z2

)−(z1

1 z21

z12 z2

2

)1

detY

(C11 C21

C12 C22

)(y1

y2

)=

=

(z1

z2

)− 1

detY

(z1

1C11y1 + z11C21y2 + z2

1C12y1 + z21C22y2

z12C11y1 + z1

2C21y2 + z22C12y1 + z2

2C22y2

),

onde a matriz com elementos C é a matriz transposta dos cofatores de Y . Como a matriz B nestecaso é

B =

(0 0

0 P−12

)teremos que a parte esquerda de (4.5) fica

(z − ZY −1y)TB(z − ZY −1y) = P−12

(z2 −

1

detY(z1

2C11y1 + z12C21y2 + z2

2C12y1 + z22C22y2)

)2

=

= P−12

(P2h−

1

detY(P2σ1σ2h+ P2σ1(−σ2)h+ P2σ2(−σ1)h+ P2σ2σ1h)

)2

=

=P2

(detY )2(hdetY − σ1σ2h+ σ1σ2h+ σ2σ1h− σ2σ1h)2 =

=P2

(detY )2(hdetY − h(σ2σ1 − σ1σ2) + h(σ2σ1 − σ1σ2))2.

A parte da direita de (4.5) fica o mesmo resultado que acima basta desenvolver o determinanteW [h, σ1, σ2]. Portanto resultado neste caso segue.

4.3 Da Equação de Jacobi para Sistemas Hamiltonianos

Usando as ideias da seção anterior conseguiremos transformar toda equação de Jacobi em umsistema Hamiltoniano, e então obteremos o resultado para dimensão n qualquer. Conseguiremos as-sim, encontrar condições que garantam a positividade da Hessiana de tais problemas com dimensãon e ordem k quaisquer.

Antes disso vamos lembrar da fórmula do funcional quadrático que estamos estudando:

Q(h) =

∫ b

a

k∑i,j=0

h(i)TLij(t)h(j) dt (4.6)

com h : [a, b] → Rn satisfazendo jsh(a) = jsh(b) = 0, para 0 ≤ s ≤ k − 1, e vamos supor que Q éum funcional regular, isto é, detLkk 6= 0.

Note que, diferentemente do caso n = 1, não podemos escrever o funcional quadrático (4.6) noformato padrão como foi feito em (2.1). Isso por que as matrizes Lij não serão simétricas. Porémpodemos deixá-lo em um formato mais simples que facilitará as contas posteriores. Vale observarque o resultado não depende de escrever o funcional no formato abaixo, isto é, não é essencial.Porém as contas ficam mais simples em tal formato. Vamos deduzir tais contas nos casos k = 1 ek = 2:

24 MINIMALIDADE E CURVA DE ISOTRÓPICOS 4.3

Caso k = 1:

Q(h) =

∫ b

ahTL00h+ hTL01h+ hTL10h+ hTL11h dt =

∫ b

a

1

2hTM00h+ hTM01h+

1

2hTM11h dt,

comM00 = 2L00, M01 = L01 + LT10, M11 = 2L11

Caso k = 2:

Q(h) =

∫ b

ahTL00h+ hT (L01 + LT10)h+ hT (L02 + LT20)h+ hTL11h+ hT (L12 + LT21)h+ hTL22h dt.

Usando que h é admissível e integração por partes, podemos reescrever um dos termos acima como∫ b

ahT (L02 + LT20)h dt = −

∫ b

ahT (L02 + LT20)h dt−

∫ b

ahT

d

dt(L02 + LT20)h dt.

Logo o funcional quadrático acima fica

Q(h) =

∫ b

a

1

2hTM00h+ hTM01h+

1

2hTM11h+ 2hTM12h+

1

2hTM22h dt,

com

M00 = 2L00, M01 = L01 + LT10 −d

dt(L02 + LT20), M11 = 2(L11 − L02 − LT20), M12 = L12 + LT21,

M22 = 2L22.

De modo geral, para k qualquer, podemos escrever o funcional quadrático, através de manipu-lações análogas, como

Q(h) =

∫ b

aL(t, h, h, h, . . . , h(k)) dt

com

L =1

2

k∑i=0

h(i)TMiih(i) +

k−1∑i=0

h(i)TMi(i+1)h(i+1) e Mkk = Lkk.

Note ainda que, sem perda de generalidade, podemos supor as matrizes Mii simétricas já que aparte anti-simétrica de Mii não contribui para a conta do funcional, isto é:∫ b

ah(i)TMiih

(i) dt =

∫ b

ah(i)TMT

ii h(i) dt⇒

∫ b

ah(i)T (Mii −MT

ii )h(i) dt = 0.

Logo teremos o seguinte

Q(h) =

∫ b

aL(t, h, h, h, . . . , h(k)) dt (4.7)

com

L =1

2

k∑i=0

h(i)TMiih(i) +

k−1∑i=0

h(i)TMi(i+1)h(i+1), Mii = MT

ii e Mkk = Lkk.

Da mesma forma que na primeira seção, iremos considerar a equação de Euler-Lagrange (cha-mada de equação de Jacobi se vier de um problema variacional) do funcional quadrático (4.7):

∂L

∂q0(jkh(t))− d

dt

(∂L

∂q1(jkh(t))

)+ . . .+ (−1)k

dk

dtk

(∂L

∂qk(jkh(t))

)= 0. (4.8)

4.4 TRANSFORMAÇÃO DE LEGENDRE 25

As derivadas parciais na fórmula acima podem ser obtidas diretamente pela definição de L:

∂L

∂q0= M00h+M01h,

∂L

∂qj= Mjjh

(j) +MT(j−1)jh

(j−1) +Mj(j+1)h(j+1), para j = 1, . . . , k − 1,

∂L

∂qk= Mkkh

(k) +MT(k−1)kh

(k−1).

Uma outra maneira de escrever as relações acima e que será útil em contas posteriores é oseguinte

∂L∂q0...∂L

∂qk−1

= C(t)

h...

h(k−1)

+

0...

M(k−1)kM−1kk

∂L∂qk

, (4.9)

onde C é uma curva de matrizes kn× kn possuindo os blocos Mij da seguinte forma

C(t) =

M00 M01 0 0 · · · 0MT

01 M11 M12 0 · · · 00 MT

12 M22 M23 · · · 0...

.... . . . . . . . .

...0 · · · 0 MT

(k−2)(k−1) M(k−2)(k−2) M(k−2)(k−1)

0 · · · 0 0 MT(k−2)(k−1) M(k−1)(k−1) −M(k−1)kM

−1kk M

T(k−1)k

.

4.4 Transformação de Legendre

Para transformar a equação (4.8) acima em um sistema Hamiltoniano teremos que usar a trans-formação de Legendre. A transformação de Legendre será uma função Leg : R2kn → R2kn que podeser definida a partir do Lagrangeano L com o formalismo encontrado em [dLR85] (veja apêndiceA.2.6).

A transformação de Legendre aplicada ao (2k − 1)-jato de uma curva h será dada por

Leg(h, h, . . . , h(k−1), h(k), . . . , h(2k−1)) = (y, z)

com

y =

h

h

h...

h(k−1)

e z =

z1

z2

z3...zk

(4.10)

onde

zi =

k∑j=i

(−1)j−i(d

dt

)j−i( ∂L∂qj

),

com L = L(h, h, . . . , h(k))Não é difícil verificar que Leg será invertível, se e somente se, Mkk = Lkk for invertível. Na

26 MINIMALIDADE E CURVA DE ISOTRÓPICOS 4.4

verdade a transformação de Legendre aplicada ao (2k − 1)-jato de h pode ser escrita como

Leg(h, . . . , h(2k−1)) =

(yz

)=

(Id 0B1 B2

) h...

h(2k−1)

, (4.11)

onde os blocos Id, 0, B1 e B2 são matrizes kn×kn. O bloco B1 será uma matriz triangular superiorpor blocos, e o bloco B2 terá como blocos Mkk ou −Mkk na diagonal secundária e zeros abaixodesta diagonal, isto é, B2 é da forma

B2 =

∗ ∗ · · · ∗ (−1)k−1Mkk

∗ ∗ · · · (−1)k−2Mkk 0...

......

......

∗ −Mkk 0 · · · 0Mkk 0 0 · · · 0

.

Disto tiramos que cada coordenada zi vai depender (linearmente) somente de h(i−1), h(i), . . . , h(2k−i),para i = 1, . . . , k.

A transformação de Legendre levará soluções h da equação (4.8) em soluções (y, z) do sistemaHamiltoniano abaixo (

yz

)=

(A(t) B(t)C(t) −A(t)T

)(yz

), (4.12)

onde C(t) é a mesma matriz encontrada em (4.9), A(t) é dada por

A(t) =

0 Id 0 · · · 0 00 0 Id · · · 0 0...

......

. . ....

...0 0 0 · · · Id 00 0 0 · · · 0 Id0 0 0 · · · 0 −M−1

kk MT(k−1)k

,

onde os blocos Id tem tamanho n× n, e B(t) é dada por

B(t) =

0 0 0 · · · 0 00 0 0 · · · 0 0...

......

......

...0 0 0 · · · 0 00 0 0 · · · 0 00 0 0 · · · 0 (Mkk)

−1

.

Pelas expressões acima teremos que B(t)T = B(t) e C(t)T = C(t), e então a matriz que tem osblocos A, B e C na expressão (4.12) estará na álgebra de Lie simplética.

Uma outra observação encontrada em [Cop71], e que será útil adiante, é que se tivermos umafunção h ∈ Ck([a, b],Rn) e definirmos o par (y, z) por

y =

h

h...

h(k−2)

h(k−1)

e z =

z1

z2...

zk−1

zk

=

00...0

Mkkh(k) +MT

(k−1)kh(k−1)

, (4.13)

4.4 TRANSFORMAÇÃO DE LEGENDRE 27

então a relação abaixo é uma identidade

y = A(t)y(t) +B(t)z(t). (4.14)

Isto pode ser provado diretamente através das definições das matrizes A(t) e B(t) acima.Para terminar esta seção, novamente seguindo as ideias de [Cop71], vamos deduzir duas expres-

sões que serão úteis para escrever o funcional Q de outra maneira. Seja o par (y, z) definido por(4.13) para uma função h ∈ Ck([a, b],Rn). Teremos

zTBz =(zT1 · · · zTk

)

0 0 0 · · · 0 00 0 0 · · · 0 0...

......

......

...0 0 0 · · · 0 00 0 0 · · · 0 00 0 0 · · · 0 (Mkk)

−1

z1

...zk

= zTkM−1kk zk =

=(h(k)TMkk + h(k−1)TM(k−1)k

)M−1kk

(Mkkh

(k) +MT(k−1)kh

(k−1))

= (4.15)

= h(k)TMkkh(k) + 2h(k−1)TM(k−1)kh

(k) + h(k−1)TM(k−1)kM−1kk M

T(k−1)kh

(k−1),

e

yTCy = yT

∂L∂q0...∂L

∂qk−1

− 0

...M(k−1)kM

−1kk

∂L∂qk

= yT

∂L∂q0...∂L

∂qk−1

− yT 0

...M(k−1)kM

−1kk

∂L∂qk

=

=

k−1∑i=0

h(i)TMiih(i) + 2

k−2∑i=0

h(i)TMi(i+1) + h(k−1)TM(k−1)kh(k) − h(k−1)TM(k−1)kM

−1kk

∂L

∂qk=

=k−1∑i=0

h(i)TMiih(i) + 2

k−2∑i=0

h(i)TMi(i+1)h(i+1) + h(k−1)TM(k−1)kh

(k) (4.16)

−(h(k−1)TM(k−1)kh

(k) + h(k−1)TM(k−1)kM−1kk M

T(k−1)kh

(k−1))

=

=

k−1∑i=0

h(i)TMiih(i) + 2

k−2∑i=0

h(i)TMi(i+1)h(i+1) − h(k−1)TM(k−1)kM

−1kk M

T(k−1)kh

(k−1).

Somando zTBz com yTCy nos leva à

zTBz + yTCy =

k∑i=0

h(i)TMiih(i) + 2

k−1∑i=0

h(i)TMi(i+1)h(i+1) = 2L. (4.17)

Pelas contas acima, teremos a seguinte igualdade dos funcionais quadráticos para funções h ∈Ck([a, b],Rn):

Q =

∫ b

azTBz + yTCy dt = 2Q = 2

∫ b

aL(t, h(t), h(t), . . . h(k)(t)) dt.

Podemos resumir esta seção com os teoremas 11 e 12 abaixo. A demonstração do teorema 11 sedá através da transformação de Legendre, substituindo (4.10) na equação (4.12). A demonstraçãodo teorema 12 é feita pelas equações e identidades (4.13), (4.14) , (4.15), (4.16) e (4.17)

Teorema 11. Uma função h ∈ C2k([a, b],Rn) é solução de (4.8) se, e somente se, a imagem do(2k − 1)-jato de h pela transformação de Legendre é solução de (4.12).

28 MINIMALIDADE E CURVA DE ISOTRÓPICOS 4.5

Teorema 12. Seja h ∈ Ck([a, b],Rn) e considere o par (y, z) dado por

y =

h

h...

h(k−2)

h(k−1)

e z =

z1

z2...

zk−1

zk

=

00...0

Mkkh(k) +MT

(k−1)kh(k−1)

.

Então a seguinte identidade se verifica

y = A(t)y +B(t)z(t),

e temos a seguinte igualdade de funcionais quadráticos

Q =

∫ b

azTBz + yTCy dt = 2Q = 2

∫ b

aL(t, h(t), h(t), . . . h(k)(t)) dt,

onde A, B e C são curvas de matrizes descritas anteriormente.

4.5 Positividade de QAntes de demonstrarmos o teorema principal do nosso trabalho, que irá dar condições suficientes

para Q ser positivo, vamos definir o conceito de pontos conjugados para problemas de ordemsuperior.

Seja h1, . . . , hkn um conjunto l.i. de soluções de (4.8) tal que todas as derivadas até ordem (k−1)se anulam no ponto t = a. Considere o seguinte sub-Wronskiano

W [h1, . . . , hkn](t) = det

hT1 (t) h1

T(t) · · · h

(k−1)1

T(t)

hT2 (t) h2T

(t) · · · h(k−1)2

T(t)

......

......

hTkn(t) ˙hknT

(t) · · · h(k−1)kn

T(t)

Definição 14. Um ponto t∗ ∈ (a, b] é dito ponto conjugado à a da equação (4.8) se

W [h1, . . . , hkn](t∗) = 0.

De forma equivalente, podemos caracterizar pontos conjugados através do lema

Lema 5. Um ponto t∗ é conjugado à a se, e somente se, existir uma solução não nula h0 de (4.8)tal que h(i)

0 (a) = h(i)0 (t∗) = 0, para i = 0, 1, . . . , k − 1.

Agora, como no caso unidimensional, temos nosso resultado principal, dado pelo seguinte teo-rema

Teorema 13. Supondo a condição de Legendre estrita (Lkk > 0) e que não existem pontos con-jugados à a em (a, b], então o funcional Q é positivo definido para todo h ∈ Ck([a, b],Rn) comh(i)(a) = h(i)(b) = 0 para i = 0, 1, . . . , k − 1. Isto é, Q(h) ≥ 0, e Q(h) = 0 somente quando h ≡ 0.

Demonstração. Para provar usaremos a identidade de Picone generalizada (4.3) para o sistema(4.12).

Antes, considere os coeficientes da E.D.O. (4.8), de ordem 2k, definidos em um intervalo umpouco maior, digamos, [a− ε, b], de modo que:

• Mkk = Lkk é positiva definida em [a− ε, b], e

4.6 POSITIVIDADE DE Q 29

• não existem pontos conjugados à a− ε em (a− ε, b].

Podemos supor isso pela dependência contínua de E.D.Os. com o parâmetro inicial e porque as duascondições acima são abertas.

Fixe agora um conjunto h1, . . . , hkn de soluções l.i. de (4.8) satisfazendo h(i)j (a− ε) = 0 para

i = 0, 1, . . . , k − 1 e j = 1, . . . kn, e então considere a imagem pela transformação de Legendre decada (2k − 1)-jato de hj

Leg(hj , hj , . . . , h

(2k−1)j

)=

(µjζj

),

e construa a matriz 2kn× kn onde as colunas são as imagens acima(Y (t)Z(t)

)=

(µ1 · · · µknζ1 · · · ζkn

).

O bloco Y de tamanho kn × kn acima corresponde à projeção nas primeiras kn coordenadas datransformação de Legendre, e o bloco Z de tamanho kn × kn corresponde à projeção nas últimaskn coordenadas da transformação de Legendre, isto é

Y (t) =(µ1 · · · µkn

)and Z(t) =

(ζ1 · · · ζkn

).

Pelo fato que a condição inicial é satisfeita Y (a− ε) = 0, teremos pelo lema 1

Y T (t)Z(t)− Z(t)TY (t) = 0,∀t ∈ [a− ε, b].

E, como não existem pontos conjugados à a − ε em [a, b], teremos também que Y (t) é invertívelpara todo t ∈ [a, b]. Logo (Y,Z) é uma solução isotrópica do sistema matricial associado à (4.8)com Y (t) invertível para todo t ∈ [a; b].

Pelo teorema 12, estamos nas hipóteses do teorema 10. Portanto usando a identidade (4.3) com

y =

h

h...

h(k−2)

h(k−1)

e z =

z1

z2...

zk−1

zk

=

00...0

Mkkh(k) +MT

(k−1)kh(k−1)

,

teremos

2Q = Q =

∫ b

azTBz + yTCy dt =

∫ b

a

d

dt(yTZY −1y) + (z − ZY −1y)TB(z − ZY −1y) dt =

=

∫ b

a(z − ZY −1y)TB(z − ZY −1y) dt ≥ 0.

Usando as condições iniciais

h(i)(a) = h(i)(b) = 0 para i = 0, 1, . . . , k − 1⇔ y(a) = y(b) = 0,

vai implicar que

2Q = Q = 0⇔∫ b

a(z − ZY −1y)TB(z − ZY −1y) dt = 0⇔ B(z − ZY −1y) = 0⇔

y −Ay −BZY −1y = 0⇔ y = (A+BZY −1)y ⇔ y ≡ 0.

Portanto o teorema segue.

30 MINIMALIDADE E CURVA DE ISOTRÓPICOS 4.7

4.6 Curvas de Jacobi

Da mesma forma que no caso unidimensional, o desenvolvimento acima nos motiva a definir oseguinte referencial de tamanho 2kn× n

A(t) =

hT1...hTknhTkn+1

...hT2kn

, (4.18)

onde h1, . . . , h2kn é um conjunto fundamental (isto é, são l.i.) de soluções de (4.8) tais que, parai = 1, . . . , kn, cada hi tem todas as derivadas até ordem k − 1 iguais à zero em t = a.

Novamente, considerando o espaço p(t) gerado pelas colunas de A para cada t, teremos umacurva de subespaços que vai ser espalhante no sentido generalizado de [DdAP14]. Para verificarmosisso, considere a prolongamento ao (2k − 1)-jato de p escrito em termos do referencial A. E entãoo posto deste prologamento será máximo, isto é, a matriz 2kn× 2kn abaixo será não-degenerada(

A(t)∣∣∣A(t)

∣∣∣ · · · ∣∣∣A(2k−1)(t))

para cada t.

Teorema 14. A curva p(t) : [a, b]→ Gr(n, 2kn) é espalhante.

Considerando agora o prolongamento do (k − 1)-jato de p, teremos uma curva de subespaços `gerada pelas colunas da matriz 2kn× kn abaixo(

A(t)∣∣∣A(t)

∣∣∣ · · · ∣∣∣A(k−1)(t)).

Definição 15. A curva de Jacobi ` : [a, b] → Gr(kn, 2kn) é a curva de subespaços gerada pelascolunas de A(t).

Agora se definirmos o espaço vertical V2knkn ⊂ R2k como sendo o subespaço de vetores que

possuem as kn primeiras coordenadas nulas, teremos que V2knkn = `(a) e o teorema 13 se traduz em

Teorema 15. Suponha que Lkk(t) > 0 para todo t ∈ [a, b]. Se `(t∗)∩V2knkn = 0 para todo t∗ ∈ (a, b],

então o funcional Q(t) é positivo definido.

4.7 Prolongamentos Simpléticos

Outra propriedade que a curva espalhante p : [a, b]→ Gr(n, 2kn) irá satisfazer é

• o prolongamento jsp, s = 0, . . . , k − 2, será uma curva de subespaços isotrópicos com relaçãoà (R2kn, ωcan)

• o prolongamento ` = j(k−1)p, será uma curva de Lagrangeanos com relação à (R2kn, ωcan)

• o prolongamento jsp, s = k, . . . , 2k − 1, será uma curva de subespaços coisotrópicos comrelação à (R2kn, ωcan)

Para justificarmos isto considere a transformação de Legendre aplicada ao (2k − 1)-jato de p.Pela equação (4.11) teremos

Leg(h, . . . , h(2k−1)) =

(yz

)=

(Id 0B1 B2

) h...

h(2k−1)

,

4.7 PROLONGAMENTOS SIMPLÉTICOS 31

onde B1 é triangular superior e B2 é da forma

B2 =

∗ ∗ · · · ∗ (−1)k−1Mkk

∗ ∗ · · · (−1)k−2Mkk 0...

......

......

∗ −Mkk 0 · · · 0Mkk 0 0 · · · 0

.

Agora para cada hi em (4.18) considere a imagem (µi, ζi) pela transformação de Legendre do(2k − 1)-jato de hi

Leg(hi, . . . , h(2k−1)i ) =

(µiζi

),

e construa a seguinte matriz

(µ1 · · · µ2kn

ζ1 · · · ζ2kn

)=

(Id 0B1 B2

) h1 · · · h2kn...

......

h(2k−1)1 · · · h

(2k−1)2kn

.

Calculando a transposta na relação acima teremos µT1 ζT1...

...µT2kn ζT2kn

=(A(t)

∣∣∣A(t)∣∣∣ · · · ∣∣∣A(2k−1)(t)

)(Id BT1

0 BT2

)(4.19)

=(A(t)

∣∣∣A(t)∣∣∣ · · · ∣∣∣A(k−1)(t)

∣∣∣C1(t)∣∣∣ · · · ∣∣∣Ck(t)) ,

onde os blocos Ci de tamanho 2kn × n terão como colunas combinações lineares das colunas deA(i−1), . . . ,A(2k−i), para i = 1, . . . , k, e podem ser escritos como

Ci = A(i−1)Qii−1 + . . .+A(2k−i)Qi2k−i,

onde Qij são matrizes n× n e, o mais importante, Qi2k−i = ±Mkk.A matriz do lado esquerdo da igualdade (4.19) estará na grupo de Lie das matrizes simpléticas

supondo a condição inicial µT1 (a) ζT1 (a)...

...µT2kn(a) ζT2kn(a)

=

(0kn Idkn−Idkn 0kn

),

que pode ser imposta, e vai condizer com as condições iniciais de hi, pelo fato da transformaçãode Legendre ser invertível. Teremos então que as matrizes em (4.19) são simpléticas para cada t.Denotando por J a matriz da forma simplética canônica ωcan em R2kn, segue que(

A(t)∣∣∣ · · · ∣∣∣Ck(t))T J (A(t)

∣∣∣ · · · ∣∣∣Ck(t)) = J =

(0kn Idkn−Idkn 0kn

). (4.20)

A relação (4.20) acima implicaA(i−1)TJA(j−1) = 0,

para i, j = 1, . . . , k, eCiTJA(j−1) = 0

32 MINIMALIDADE E CURVA DE ISOTRÓPICOS 4.8

para 2 ≤ i ≤ k e 1 ≤ j ≤ i− 1. Desenvolvendo a segunda expressão e usando que Ci é escrito como

Ci = A(i−1)Qii−1 + . . .+A(2k−i)Qi2k−i,

com Qi2k−i = ±Mkk (que é não-degenerado), chegamos em

A(i)TJA(j) = 0,

para k ≤ i ≤ 2k − 2 e 0 ≤ j ≤ 2k − i− 2. Isso prova nosso segundo resultado principal, dado peloteorema abaixo

Teorema 16. Considerando o espaço (R2kn, ωcan), a curva p : [a, b]→ Gr(n, 2kn) definida na seçãoanterior satisfaz

• jip : [a, b]→ Gr((i+ 1)n, 2kn) é uma curva de subespaços isotrópicos i = 0, . . . , k − 2,

• ` = jk−1p : [a, b]→ Gr(kn, 2kn) é uma curva de subespaços Lagrangeanos,

• jip : [a, b]→ Gr((i+ 1)n, 2kn) é uma curva de subespaços coisotrópicos i = k, . . . , 2k − 1.

4.8 Casos Particulares

Nesta seção daremos dois exemplos das contas acima nos casos k = 1 e k = 2

4.8.1 Caso k = 1

Neste caso temos o funcional quadrático

Q(h) =

∫ b

aL(t, h, h) dt

comL =

1

2(hTM00h+ hTM11h) + hTM01h, M00 = MT

00 e M11 = L11.

A equação de Jacobi neste caso fica

∂L

∂q0(j1h(t))− d

dt

(∂L

∂q1(j1h(t))

)= 0, (4.21)

com as derivadas parciais dadas por

∂L

∂q0= M00h+M01h,

∂L

∂q1= M11h+MT

01h.

Definição 16. Um ponto t∗ ∈ (a; b] é dito um ponto conjugado à a da equação (4.21) se existirsolução não-trivial h de (4.21) com h(a) = h(t∗) = 0.

A transformação de Legendre Leg : R2n → R2n aplicada à 1-jatos de curvas h fica sendoLeg(h, h) = (y, z) com

y = h e z =∂L

∂q1= M11h+MT

01h. (4.22)

Outra maneira de escrever

Leg(h, h) =

(yz

)=

(Idn 0M01 M11

)(h

h

).

4.8 CASOS PARTICULARES 33

Pelo teorema 11 teremos que soluções h de (4.21) serão levadas em soluções (y, z) = Leg(h, h)do sistema abaixo, e vice-versa,(

yz

)=

(−M−1

11 MT01 M−1

11

M00 −M01M−111 M

T01 M01M

−111

)(yz

). (4.23)

Este sistema é Hamiltoniano com

A = −M−111 M

T01, B = M−1

11 , C = M00 −M01M−111 M

T01.

Considere um referencial da curva p : [a, b]→ Gr(n, 2n) dado por

A =

hT1hT2...hT2n

com hi sendo um conjunto fundamental de soluções de (4.21), e com as n primeiras soluções hi seanulando em t = a.

Para cada solução hi considere imagem do 1-jato pela transformação de Legendre

Leg(hi, hi) =

(µiζi

)=

(Idn 0M01 M11

)(hihi

)e construa a seguinte matriz(

µ1 · · · µnζ1 · · · ζn

)=

(Idn 0M01 M11

)(h1 · · · h2n

h1 · · · ˙h2n

).

Com isso teremos queµT1 ζT1...

...µTn ζTn

T

= (A|A)

(Idn MT

01

0 M11

)= (A|AMT

01 + AM11).

Note que as linhas da matriz à esquerda acima satisfazem a equação (4.23), portanto

d

dt(A|AMT

01 + AM11) = (A|AMT01 + AM11)

(AT CB −A

).

Supondo que em t = a que a matriz (A|AMT01 +AM11)(a) é simplética, e condizente com a condição

inicial em t = a, por exemplo,

(A|AMT01 + AM11)(a) =

(0 Idn−Idn 0

),

teremos que (A|AMT01 + AM11) será simplética para todo t, já que

(AT CB −A

)está na álgebra de

34 MINIMALIDADE E CURVA DE ISOTRÓPICOS 4.8

Lie simplética. Logo, considerando J a matriz da forma simplética canônica ωcan em R2n, teremos

(A|AMT01 + AM11)TJ(A|AMT

01 + AM11) = J(AT

M01AT +M11AT)

(JA|JAMT01 + JAM11) = J

(ATJA ATJAMT

01 +ATJAM11

M01ATJA+M11ATJA ∗

)(0 Idn−Idn 0

).

Então isso vai implicar que ATJA = 0, portanto ` = p : [a; b] → Gr(n; 2n) será uma curvaespalhante de subespaços Lagrangeanos.

4.8.2 Caso k = 2

Neste caso teremos o funcional quadrático

Q(h) =

∫ b

aL(t, h, h, h) dt

com

L =1

2(hTM00h+hTM11h+hTM22h)+hTM01h+hTM12h, M00 = MT

00, M11 = MT11, eM22 = L22.

A equação de Jacobi fica

∂L

∂q0(j2h(t))− d

dt

(∂L

∂q1(j2h(t))

)+d2

dt2

(∂L

∂q2(j2h(t))

)= 0, (4.24)

com as derivadas parciais dadas por

∂L

∂q0= M00h+M01h,

∂L

∂q1= M11h+MT

01h+M12h

∂L

∂q2= M22h+MT

12h

Definição 17. Um ponto t∗ ∈ (a; b] é dito um ponto conjugado à a da equação (4.24) se existirsolução não-trivial h de (4.24) com h(a) = h(t∗) = h(a) = h(t∗) = 0.

A transformação de Legendre Leg : R4n → R4n aplicada à 3-jatos de curvas h fica sendoLeg(h, h, h, h(3)) = (y, z) com

y =

(h

h

)e z =

(∂L∂q1− d

dt(∂L∂q2

)

∂L∂q2

)=

(M11h+MT

01h+M12h− ddt(M22h+MT

12h)

M22h+MT12h

). (4.25)

Outra maneira de escrever

Leg(h, h, h, h(3)) =

(yz

)=

Idn 0 0 00 Idn 0 0

MT01 M11 − M12

TM12 − M22 −MT

12 −M22

0 MT12 M22 0

h

h

h

h(3)

.

Pelo teorema 11 teremos que soluções h de (4.24) serão levadas em soluções (y, z) = Leg(h, h, h, h(3))

4.8 CASOS PARTICULARES 35

do sistema abaixo, e vice-versa,

(yz

)=

(

0 Idn0 −M−1

22 MT12

) (0 0

0 M−122

)(M00 M01

MT01 M11 −M12M

−122 M

T12

) (0 0

−Idn M12M−122

)(yz

). (4.26)

Este sistema é Hamiltoniano com

A =

(0 Idn0 −M−1

22 MT12

), B =

(0 0

0 M−122

), C =

(M00 M01

MT01 M11 −M12M

−122 M

T12

).

Considere um referencial da curva p : [a, b]→ Gr(n, 4n) dado por

A =

hT1hT2...hT4n

com hi sendo um conjunto fundamental de soluções de (4.24), e as 2n primeiras soluções hi seanulando até a primeira derivada em t = a.

Para cada solução hi considere sua imagem pela transformação de Legendre

Leg(hi, hi, hi, h(3)i ) =

(µiζi

)=

Idn 0 0 00 Idn 0 0

MT01 M11 − M12

TM12 − M22 −MT

12 −M22

0 MT12 M22 0

hihihi

h(3)i

.

Com isso teremos queµT1 ζT1...

...µT4n ζT4n

= (A|A|A|A(3))

Id 0 M01 0

0 Id MT11 − M12 M12

0 0 MT12 − M22 −M12 M22

0 0 −M22 0

=

= (A|A|C1|C2),

onde

C1 = AM01 + A(MT11 − M12) + A(MT

12 − M22 −M12) +A(3)(−M22), e

C2 = AM12 + AM22

Note que as linhas da matriz à esquerda acima satisfazem a equação (4.26), portanto

d

dt(A|A|C1|C2) = (A|A|C1|C2)

(AT CB −A

).

Supondo que em t = a a matriz (A|A|C1|C2)(a) é simplética, e condizente com a condição inicialem t = a, por exemplo, por exemplo,

(A|A|C1|C2)(a) =

0 0 0 Idn0 0 Idn 00 −Idn 0 0−Idn 0 0 0

,

36 MINIMALIDADE E CURVA DE ISOTRÓPICOS 4.8

teremos que (A|A|C1|C2) será simplética para todo t, já que(AT CB −A

)está na álgebra de Lie

simplética. Logo considerando J a matriz da forma simplética canônica ωcan em R4n teremos

(A|A|C1|C2)TJ(A|A|C1|C2) = JATJA ATJA ATJC1 ATJC2

ATJA ATJA ATJC1 ATJC2

C1TJA C1TJA C1TJC1 C1TJC2

C2TJA C2TJA C2TJC1 C2TJC2

=

0 0 Idn 00 0 0 Idn−Idn 0 0 0

0 −Idn 0 0.

A equação acima implica que

ATJA = ATJA = ATJA = C2TJA = 0.

Desenvolvendo a última igualdade teremos

C2TJA = 0⇒ (AM12 + AM22)TJA = 0⇒M22ATJA = 0⇒ ATJA = 0.

Portanto

• p : [a, b]→ Gr(n, 4n) é curva de subespaços isotrópicos,

• ` = j1p : [a, b]→ Gr(2n, 4n) é curva de subespaços Lagrangeanos, e

• j2p : [a, b]→ Gr(3n, 4n) é curva de subespaços coisotrópicos.

Capítulo 5

Problema Inverso Linear

O problema inverso (clássico) do cálculo das variações pode ser enunciado da seguinte forma:dado um sistema de equações diferenciais de ordem 2 quando existe um Lagrangeano L tal que osistema original é dado pelas equações de Euler-Lagrange de L? Este problema foi estudado inicial-mente por Helmholtz em 1887. No trabalho de Douglas ([Dou41]) são apresentadas e desenvolvidastais condições necessárias e suficientes, que levam o nome de condições de Helmholtz. Na linha desteestudo, Henneaux ([Hen82]) e Sarlet-Engels-Bahar ([SEB82]) melhoraram estas condições de modoa torná-las mais “calculáveis”.

A partir desses trabalhos, seguindo a linha de linearização de projetivização, usando o conceitode curvas espalhantes em [ÁPD09] (veja seção 1.2) e o desenvolvimento de Sarlet-Engels-Bahar,nós encontramos condições necessárias e suficientes para tais curvas provirem de um problemavariacional. Um resultado interessante que obtivemos é que a propriedade de vir de um problemavariacional apenas irá depender da curva projetiva associada à equação diferencial.

5.1 Condições de Helmholtz

Considere o seguinte sistema de ordem 2

x+ 2A(t)x+B(t)x = 0, (5.1)

onde A(t) e B(t) são curvas de matrizes n × n. As condições necessárias e suficientes para que(5.1) seja dada pelas equações de Euler-Lagrange de algum L : Rn ×Rn → R são conhecidas comocondições de Helmholtz, e são elas: existir uma curva Z(t) de matrizes n × n (chamado de matrizmúltipla) tal que Z(t) seja invertível para todo t e satisfaça as seguintes condições

Z0 = ZT0

Z = ATZ + ZA

ZΦ(0) = (ZΦ(0))T

,

onde Z0 = Z(t0) para algum t0 e Φ(0)(t) = B(t) − A(t)2 − A(t). Note que tal Z(t) será simétricapara todo t: a função V = Z − ZT vai satisfazer a equação diferencial linear V = ATV + V A comcondição inicial V (t0) = 0.

5.2 Referenciais Normais e Schwarziana

Considere `(t) ∈ Gr(n, 2n) uma curva espalhante e seja um referencial A de `. Teremos que oreferencial A vai satisfazer a seguinte relação diferencial

A+ 2AP (t) +AQ(t) = 0.

37

38 PROBLEMA INVERSO LINEAR 5.2

Neste caso as 2n linhas de A irão satisfazer a seguinte equação diferencial em x = x(t) ∈ Rn:

x+ 2P (t)T x+Q(t)Tx = 0. (5.2)

Os seguintes lemas indicam o que acontece com a equação diferencial quando mudamos dereferencial e quando temos referenciais congruentes:

Lema 6. Seja A outro referencial de ` que satisfaz A(t) = A(t)X(t) com X(t) matriz n × ninvertível para todo t. Então A(t) irá satisfazer

¨A+ 2 ˙AP (t) + AQ(t) = 0,

com P e Q dados porP = X−1PX −X−1X

Q = X−1QX −X−1X − 2X−1XP .(5.3)

Ainda mais, as equações diferenciais relacionadas aos referencias A e A ficam sendo respecti-vamente

x+ 2P (t)T x+Q(t)Tx = 0 (5.4)

¨x+ 2P (t)T ˙x+ Q(t)

Tx = 0, (5.5)

e teremos que x(t) é solução de (5.4) se e somente se x(t) = (X(t))Tx(t) for solução de (5.5).

Lema 7. Seja B(t) um referencial congruente à A(t), isto é, B(t) = TA(t) com T matriz 2n× 2ninvertível. Então B(t) irá satisfazer

B + 2BP (t) + BQ(t) = 0,

e a equação diferencial relacionada à B será igual à equação diferencial relacionada à A.

Resolver o problema inverso do cálculo das variações para o referencial A neste caso seriaencontrar um múltiplo Z(t) tal que a equação diferencial

Z(t)x+ 2Z(t)P (t)T x+ Z(t)Q(t)Tx = 0

seja a equação de Euler-Lagrange para algum Lagrangeano L.A Schwarziana do referencial A acima (veja 1.3) é dada por

SA(t) = Q(t)− P (t)2 − P (t)

e note que com a definição de Φ(0) acima, para este referencial teremos

Φ(0)(t) = Q(t)T − (P (t)2)T − P (t)T = SA(t)T .

Note também que pelo teorema 1 podemos associar cada curva espalhante à uma curva de trans-formações lineares S` : I → Lin(`(t); `(t)).

Um referencial normal B de ` é um referencial de ` tal que as colunas de B são combinaçõeslineares apenas das colunas de B (veja definição 5). Através de (5.3) podemos construir um referen-cial normal B a partir de qualquer referencial A de `. Para isso considere X satisfazendo a seguinteequação diferencial linear de primeira ordem

X = P (t)X, X(t0) = Id. (5.6)

5.2 REFERENCIAIS NORMAIS E SCHWARZIANA 39

Com isso P e Q serão dadas por

P = 0

Q = X−1QX −X−1X = X−1QX −X−1PX −X−1P 2X = X−1SAX = SB.(5.7)

E o referencial B = AX(t) irá satisfazer

B + BSB(t) = 0,

com equação diferencial associada¨x+ SB(t)T x = 0. (5.8)

Isso prova parte da proposição 3, e teremos o seguinte resultado:

Teorema 17. O sistema (5.2) virá de um problema variacional se e somente se o sistema (5.8) virde um problema variacional.

Demonstração. Observe que o sistema (5.2) virá de um problema variacional se e somente se existirum múltiplo Z = Z(t) com

Z0 = ZT0

Z = PZ + ZP T

Z(t)SA(t)T = SA(t)Z(t),

(5.9)

onde Z0 = Z(t0).Da mesma forma, o sistema (5.8) virá de um problema variacional se existir um múltiplo cons-

tante Z0 tal queZ0 = Z0

T

Z0SB(t)T = SB(t)Z0.(5.10)

Suponha que (5.9) vale. Então o múltiplo Z neste caso vai ser dado por

Z = XZ0XT , (5.11)

com X satisfazendo (5.6). De fato, calculando a derivada de Z

Z = XZ0XT +XZ0X

T = PXZ0XT +XZ0(PX)T = PZ + ZP T ,

e como para este Z temos Z(t0) = Z0 (pois X(t0) = Id), pelo teorema de unicidade de E.D.O.steremos que Z vai ser dada pela igualdade acima. Ainda pelo fato de Z satisfazer (5.9) teremos

XZ0XTSA(t)T = SA(t)XZ0X

T

Z0XTSA(t)TX−1T = X−1SA(t)XZ0

Z0SB(t)T = SB(t)Z0,

logo Z0 será múltiplo do sistema (5.8).Reciprocamente, se (5.10) for satisfeita então tome Z como sendo Z = XZ0X

T . E, da mesmaforma que acima, teremos que Z irá satisfazer (5.9), e então (5.2) virá de um problema variacional.

Um resultado novo que obtivemos, dado pelo teorema a seguir, é o seguinte: se algum referencialA de ` vier de um problema variacional então qualquer outro referencial A de ` também virá deum problema variacional. Isto é, a propriedade de vir de um problema variacional depende apenasde curva espalhante `.

Teorema 18. Sejam A e A dois referenciais da curva `. Então A virá de um problema variacionalse e somente se A vir de um problema variacional.

40 PROBLEMA INVERSO LINEAR 5.2

Demonstração. Tome referenciais normais B e B de ` construídos como acima a partir de A eA, respectivamente (veja proposição 3). Assim pelo teorema acima o problema ficará reduzido emmostrar que B vem de um problema variacional se, e somente se, B vem de um problema variacional.

Sabemos da proposição 3 que existe uma matriz invertível fixa X0 n× n tal que B(t) = B(t)X0

para todo t, e com isso SB = X−10 SBX0.

Supondo que o referencial B admita um múltiplo (constante) Z0 teremos

Z0 = Z0T

Z0SB(t)T = SB(t)Z0.(5.12)

Logo teremosZ0(X0SBX

−10 )T = (X0SBX

−10 )Z0

Z0(X−10 )TSTBX

T0 = X0SBX

−10 Z0

(X−10 Z0(X−1

0 )T )STB = SB(X−10 Z0(X−1

0 )T ),

(5.13)

e então B terá um múltiplo Z0 = X−10 Z0(X−1

0 )T , ou seja, B virá de um problema variacional.A recíproca é inteiramente análoga.

Isso nos leva à seguinte definição natural:

Definição 18. Uma curva espalhante ` : I → Gr(n; 2n) é dita variacional (Jacobi) se para algumreferencial A tivermos que a equação diferencial associada à A vem de um problema variacional.

Para um referencial normal B de ` trocaremos (5.10) por uma condição equivalente

W0 = W0T

SB(t)TW0 = W0SB(t),(5.14)

onde W0 = Z−10 . Note que com isso se, B(t) = B(t)X0, então pelas contas acima o múltiplo

de B será Z0 = X−10 Z0(X−1

0 )T , ou W0 = (Z0)−1 = XT0 W0X0. Note também que, pela equação

(5.11), o múltiplo do referencial normal B = AX(t) construído a partir de A será dado por Z0 =X−1Z(t)(X−1)T com X satisfazendo (5.6) ou, escrevendo de outra forma, W0 = XTW (t)X comW (t) = (Z(t))−1. Uma condição que o múltiplo (inverso) W (t) relacionado ao referencial A deverásatisfazer é

SA(t)TW (t) = W (t)SA(t).

Com as considerações acima, se tivermos dois referenciais arbitrários de uma curva espalhantevariacional `, A e A, relacionados por A = AX(t), com X(t) invertível para todo t, então osmúltiplos (inversas) W (t) e W (t) estarão relacionados por:

W (t) = X(t)TW (t)X(t)

para todo t. Logo para uma curva espalhante variacional ` fica bem definido uma curva de formasbilineares simétricas W` : I → Bsym(`(t)).

Fica claro agora o porquê de escrever a condição ter múltiplo utilizando a inversa: ao trocar dereferencial notamos uma transformação do tipo de formas bilineares, e também a relação abaixo

SA(t)TW (t) = W (t)SA(t)

é independe do referencial escolhido. Logo para uma curva espalhante variacional ` fica bem definidouma curva de formas bilineares simétricas W` : I → Bsym(`(t)). E a condição acima fica traduzidoque a Schwarziana S` deve ter auto-adjunta com relação à W` para todo t, isto é,

W`(t)(S`(t)v1(t), v2(t)) = W`(t)(v1(t), S`(t)v2(t))

5.3 WRONSKIANO E CURVA DE LAGRANGEANOS 41

para todo t e para todo v1(t), v2(t) ∈ `(t).Se B é um referencial normal da curva espalhante variacional ` então uma função Lagrangeana

L para o sistemaZ0

¨x+ Z0STB x = 0,

onde Z0 é múltiplo de B, será dada por

L =1

2( ˙xTZ0

˙x− xTZ0STB x).

Caso A seja um referencial arbitrário de ` então a função Lagrangeana fica escrita como

L =1

2xTZx+ xTPZx+

1

2xT (PZP T − ZSTA)x,

usando que x = X(t)x, Z = XZ0XT e X = PX.

5.3 Wronskiano e Curva de Lagrangeanos

Uma outra forma equivalente que encontramos de dizer se uma curva espalhante é variacionalé dada pelo seguinte teorema

Teorema 19. Seja ` uma curva espalhante. Então ` é variacional se e somente se ` é uma curvade Lagrangeanos para alguma forma simplética ω.

Para a prova deste teorema precisamos do conceito de Wronskiano para curvas de Lagrangeanosencontrado em Alvarez-Durán ([ÁPD09]).

Seja (R2n, ω) onde ω é uma forma simplética em R2n. O conjunto Λn é o conjunto de todos ossubespaços Lagrangeanos de (R2n, ω).

Se ` : I → Λn é uma curva de subespaços Lagrangeanos então dizemos que A : I → R2n×n éuma curva de referenciais Lagrangeanos se para todo t ∈ I as colunas de A(t) gerarem `(t).

Denotando também por ω a matriz 2n × 2n de ω em alguma base β de R2n, a condição de Aser uma curva de referencias Lagrangeanos se exprime em

A(t)TωA(t) = 0 e posto(A(t)) = n

para todo t ∈ I. Derivando a primeira dessas condições temos

A(t)TωA(t) +A(t)TωA(t) = 0.

Definição 19. O Wronskiano da curva de referenciais Lagrangeanos A(t) é a curva de matrizesn× n definida por W (t) = −A(t)TωA(t).

Proposição 8 (Álvarez-Durán (2009) [ÁPD09]). O Wronskiano W (t) da curva de referenciaisLagrangeanos A(t) satisfaz as seguintes propriedades

• W (t) é simétrica para todo t.

• Se X(t) é uma curva de matrizes n×n invertíveis, então o Wronskiano da curva de referenciaisLagrangeanos A(t)X(t) é dado por X(t)TW (t)X(t).

• Se S é um simplectomorfismo linear de (R2n, ω), o Wronskiano de SA(t) é também W (t).

• A curva de referenciais Lagrangeanos A(t) é espalhante se, e somente se, W (t) é invertívelpara todo t.

Note pela proposição anterior que para uma curva espalhante de Lagrangeanos ` vai ficar bemdefinida uma forma bilinear simétrica W` : I → Bsym(`(t)).

42 PROBLEMA INVERSO LINEAR 5.3

Para curvas de Jacobi o Wronskiano será essencialmente a “métrica” do problema variacional.Considere um referencial A de ` formado por linhas que são soluções l.i. da equação abaixo

d

dt(P (t)x)−Q(t)x = 0,

com P (t) e Q(t) simétricas e P (t) não-degenerada para todo t.Note que a equação acima é a equação de Euler-Lagrange do funcional quadrático∫ b

a〈Px, x〉+ 〈Qx, x〉 dt,

e teremos

Proposição 9 (Álvarez-Durán (2009) [ÁPD09]). Nas condições do parágrafo anterior, se a matriz(A(a)|A(a)P (a)

)na condição inicial t = a for simplética, então A é um referencial de subespaços

Lagrangeanos tal que o Wronskiano deste referencial é W (t) = P (t)−1.

Supondo que o funcional acima é, a Hessiana de um certo funcional com Lagrangeano (“métrica”)L, como desenvolvido em 1.1, teremos que a matriz P (t) corresponderá à Hessiana de L como rela-ção às velocidades. Disto seguirá que, por exemplo, no caso que de métricas L semi-Riemannianas,a assinatura de L será a mesma assinatura do Wronskiano obtido pela forma simplética pela trans-formação de Legendre associada à L.

Com a proposição 8 podemos demonstrar o teorema anterior:

Demonstração do Teorema 19. (⇒) Suponha que ` seja variacional. Seja então B um referencialnormal e W0 um múltiplo com relação à este referencial. Como W0 é simétrica e não-degenerada,existe uma matriz X0 invertível fixa tal que

XT0 W0X0 = In,k =

(−Ik 0

0 In−k

),

onde Ij é a matriz identidade j × j. Então, sem perda de generalidade, podemos supor W0 = In,kjá que a condição de múltiplo para referenciais normais é invariante por mudanças da forma acima.Note que neste caso teremos W−1

0 = W0 e W 20 = In.

Considere a base β de Rn formada pelas colunas de (B(t0)|B(t0)W0). Defina uma forma simplé-tica ω tal que a base β seja simplética com relação à ω ou, de outro modo, tal que a matriz de ωna base β seja dada por (

0 −InIn 0

).

Como B é normal temos B(t) + B(t)SB(t) = 0, e então temos a identidade matricial

d

dt(B(t)|B(t)W0) = (B(t)|B(t)W0)

(0 −SB(t)W0

W0 0

).

Pelo fato que STBW0 = W0SB ou, equivalentemente, W0STB = SBW0, teremos que

ω

(0 −SB(t)W0

W0 0

)+

(0 −SB(t)W0

W0 0

)Tω =

=

(0 −InIn 0

)(0 −SB(t)W0

W0 0

)+

(0 −SB(t)W0

W0 0

)T (0 −InIn 0

)= 0.

Logo a curva de matrizes acima estará na álgebra de Lie simplética, isto é,(0 −SB(t)W0

W0 0

)∈ sp(2n).

5.3 WRONSKIANO E CURVA DE LAGRANGEANOS 43

Pela identidade e observação acima teremos

d

dt(B(t)|B(t)W0)(B(t)|B(t)W0)−1 = (B(t)|B(t)W0)

(0 −SB(t)W0

W0 0

)(B(t)|B(t)W0)−1 ∈ sp(2n).

Logo

ω

(d

dt(B(t)|B(t)W0)(B(t)|B(t)W0)−1

)+

(d

dt(B(t)|B(t)W0)(B(t)|B(t)W0)−1

)Tω = 0

(B(t)|B(t)W0)Tω

(d

dt(B(t)|B(t)W0)

)+

(d

dt(B(t)|B(t)W0)

)Tω(B(t)|B(t)W0) = 0

d

dt

((B(t)|B(t)W0)Tω(B(t)|B(t)W0)

)= 0.

Como a derivada da matriz acima é zero, e em t0 temos

(B(t0)|B(t0)W0)Tω(B(t0)|B(t0)W0) = ω,

chegamos que(B(t)|B(t)W0)Tω(B(t)|B(t)W0) = ω

para todo t ∈ I. Logo (B(t)|B(t)W0) é simplética para todo t e em particular B(t)TωB(t) = 0. LogoB(t) é uma curva de referenciais Lagrangeanos para ω, e então ` é curva de Lagrangeanos.

(⇐) Se a curva espalhante ` é uma curva de subespaços Lagrangeanos para alguma forma ω,escolha uma base β de R2n tal que ω nesta base β se escreve como

ω =

(0 −InIn 0

).

Seja B um referencial normal de ` escrito na base β. Como ` é uma curva de Lagrangeanosteremos BTωB = 0. Derivando duas vezes esta expressão teremos

BTωB + BTωB = 0

BTωB + 2BTωB + BTωB = 0.

Como B é normal teremos B = −BSB. Usando isso, e que BTωB = 0, na segunda expressão acimateremos BTωB = 0.

O Wronskiano do referencial B é definido por W (t) = −B(t)TωB(t) (veja Definição 19). Calcu-lando a derivada de W (t)

d

dtW (t) = −B(t)TωB(t)− B(t)TωB(t) = B(t)TωB(t)SB = 0.

Logo W (t) = W0, onde W0 é uma matriz fixa (simétrica e invertível pela Proposição 8). Da mesmaforma que acima podemos supor que

W0 = In,k =

(−Ik 0

0 In−k

).

Calculando

(B(t)|B(t)W0)Tω(B(t)|B(t)W0) =

(B(t)TωB(t) B(t)TωB(t)W0

W T0 B(t)TωB(t) W T

0 B(t)TωB(t)W0

)=

(0 −W 2

0

(W T0 )2 0

)= ω.

Portanto (B(t)|B(t)W0) é simplética.

44 PROBLEMA INVERSO LINEAR 5.4

Como B é normal teremos

d

dt(B(t)|B(t)W0) = (B(t)|B(t)W0)

(0 −SB(t)W0

W0 0

).

Pelo fato que (B(t)|B(t)W0) é simplética, as contas acima mostram que a última matriz à direitaacima tem que estar na álgebra de Lie simplética, e isso implica que SB(t)W0 é simétrica. Equiva-lentemente

W0SB(t)T = SB(t)W0 ⇔ SB(t)TW0 = W0SB(t).

E então W0 é múltiplo do referencial B, e ` é variacional.

5.4 Condição de Comutatividade Generalizada

Além dessas condições teóricas para uma curva admitir um múltiplo, Sarlet-Engels-Bahar ([SEB82])desenvolveram um método algébrico para decidir se um dado sistema é variacional ou não. Vamosenunciar este método e obteremos como consequência que: apenas com os invariantes da curvaespalhante ` poderemos decidir se tal curva vem de um problema variacional

Usando a notação da seção anterior temos

Φ(0)(t) = Q(t)T − (P (t)2)T − P (t)T = SA(t)T .

Definimos então indutivamente as seguintes matrizes

Φ(j)(t) =[P (t)T ,Φ(j−1)

]+d

dtΦ(j−1).

Escolhendo o mesmo X(t) que em (5.6) (isto é, X(t) satisfaz X = P (t)X e X(t0) = Id)para tornar o referencial B(t) = A(t)X(t) normal, teremos que SB(t)T = (X−1SA(t)X)T =XTΦ(0)(t)(X−1)T e também

dj

dtjSB(t)T = UTΦ(j)(U−1)T .

Calculando a expressão acima em t0 ficamos com

dj

dtjSB(t)T

∣∣∣∣t=t0

= Φ(j)(t0),

isto é, as matrizes Φ(j) determinam os coeficientes da expansão em Taylor de STB em t0.E assim temos o teorema de Sarlet-Engels-Bahar

Teorema 20 (Sarlet-Engels-Bahar(1982)). Assumindo que as matrizes P e Q são analíticas pertode t0 então o sistema acima virá de um problema variacional se e somente se existir uma matrizmúltipla constante n× n invertível e simétrica W0, tal que

Φ(j)(t0)W0 = W0Φ(j)(t0)T , j = 0, 1, 2, . . .

Demonstração. Sabemos que o sistema vem de um problema variacional se, e somente se, existiruma matriz múltipla n× n invertível e simétrica W0 tal que

SB(t)TW0 = W0SB(t).

Supondo P e Q analíticas perto de t0 a matriz SB(t) vai ser analítica perto de t0. A condição acimaé verificada se, e somente se,

dj

dtjSB(t)T

∣∣∣∣t=t0

W0 = W0dj

dtjSB(t)

∣∣∣∣t=t0

,

5.4 CONDIÇÃO DE COMUTATIVIDADE GENERALIZADA 45

ou então,Φ(j)(t0)W0 = W0Φ(j)(t0)T .

As condições acima são de fato mais simples de serem verificadas: é simples de se calcular Φ(j)(t0)no ponto t0 através P (t) e Q(t) do que resolver a equação diferencial das condições de Helmholtz.Com isso testamos as condições algébricas acima e, se em algum instante essa condição falhar, osistema não virá de um problema variacional.

Os invariantes da curva espalhante na Grassmanniana permitem reconhecer se a equação linearveio de um problema variacional. Ainda mais: apenas com a primeira condição de comutatividadegeneralizada (caso j = 0 no Teorema 20), os invariantes permitirão obter informações dos possíveisLagrangeanos do problema inverso. Ilustraremos essa ideia abaixo.

Seja S = SA(t0) a Schwarziana calculada em t0 eW a matriz fixa (candidata à) múltipla. Temosque estudar a equação

STW = WS, (5.15)

e para isso vamos separar em alguns casos:

1o Caso Todos os autovalores de S reais, diferentes de zero e distintos entre si (condição genérica).Como a equação (5.15) é invariante por mudanças do tipo X−1

0 SX0 e X0WTX0, sem perda

de generalidade, podemos supor S diagonal tal que cada elemento da diagonal é número realdiferente de zero e todos estes números distintos um do outro. Neste caso, esta condição forçaW a ser do seguinte tipo

W =

w11 0 · · · 00 w22 · · · 0...

.... . . 0

0 0 · · · wnn

,

com wii sendo números reais não-nulos (W é invertível).

Neste caso não obtemos nenhuma informação à respeito do Lagrangeano. Porém ao calcularas outras condições de comutatividade poderemos obter mais informação.

2o Caso Todos os autovalores de S reais diferentes de zero. Novamente, sem perda de generalidade,podemos supor S diagonal tal que cada elemento da diagonal é um número real diferente dezero. Neste caso, a condição (5.15) força W a ser do seguinte tipo

W =

W1 0 · · · 00 W2 · · · 0...

.... . . 0

0 0 · · · Wl

,

com Wi matrizes quadradas e invertíveis.

Neste caso também não ganhamos nenhuma informação do Lagrangeano.

3o Caso Seja S matriz 4×4 com 4 autovalores não nulos: 2 autovalores reais e 2 autovalores complexos(com parte imaginária não-nula). Sem perda de generalidade, podemos supor que S se escrevecomo

S =

λ1 0 0 00 λ2 0 00 0 a −b0 0 b a

,

com λ1, λ2, a, b números reais, λ1 6= 0, λ2 6= 0, e b 6= 0. Vamos escrever a matriz W em blocos

46 PROBLEMA INVERSO LINEAR 5.4

para facilitar as contas:

W =

w11 w12 w13 w14

w12 w22 w23 w24

w13 w23 w33 w34

w14 w24 w34 w44

=

B1uT

vT

u v B2

,

onde

u =

(w13

w14

), v =

(w23

w24

)B1 =

(w11 w12

w12 w22

)e B2 =

(w33 w34

w34 w44

).

Com isso podemos desenvolver mais facilmente a condição (5.15):

STW = WSλ1 0 0 00 λ2 0 00 0 a b0 0 −b a

B1

uT

vT

u v B2

=

B1uT

vT

u v B2

λ1 0 0 00 λ2 0 00 0 a −b0 0 b a

λ1 0

0 λ2

B1

λ1uT

λ2vT a b

−b a

u

a b

−b a

v

a b

−b a

B2

=

B1

λ1 0

0 λ2

uT

a −b

b a

a −b

b a

vT

λ1u λ2v B2

a −b

b a

.

Da igualdade acima temos que ter(a b−b a

)u = λ1u e

(a b−b a

)v = λ2v,

o que implica que u = v = 0 já que b 6= 0. Ou seja, teremos w13 = w14 = w23 = w24 = 0.

Logo a matriz W fica

W =

B10 00 0

0 0B20 0

=

w11 w12 0 0w12 w22 0 00 0 w33 w34

0 0 w34 w44

,

com B1 e B2 invertíveis.

Ao comparar as matrizes acima teremos que ter também que(a b−b a

)B2 = B2

(a −bb a

)⇔ B2 =

(w33 w34

w34 −w33

)Como tr(B2) = 0 e B2 é invertível, a matriz B2 possui um autovalor negativo, e o mesmo valepara a matriz W .

5.4 CONDIÇÃO DE COMUTATIVIDADE GENERALIZADA 47

Então pelas deduções acima teremos de acima que

W =

B10 00 0

0 0B20 0

=

w11 w12 0 0w12 w22 0 00 0 w33 w34

0 0 w34 −w33

,

e o índice de W será pelo menos 1.

Neste caso sabemos informação do índice de W .

4o Caso Suponha que S é matriz 5 × 5 e S tem 1 autovalor não-nulo real e 2 autovalores complexos(com parte imaginária não nula) distintos. Sem perda de generalidade podemos supor que Sse escreve como

S =

λ 0 0 0 00 a −b 0 00 b a 0 00 0 0 c −d0 0 0 d c

.

Da mesma forma que o caso anterior vamos escrever a matriz W em blocos para facilitar ascontas:

W =

w11 w12 w13 w14 w15

w12 w22 w23 w24 w25

w13 w23 w33 w34 w35

w14 w24 w34 w44 w45

w15 w25 w35 w45 w55

=

A1 vT1 vT2

v1 B1 BT3

v2 B3 B2

,

onde

A1 = w11, v1 =

(w12

w13

), v2 =

(w14

w15

)B1 =

(w22 w23

w23 w33

), B2 =

(w44 w45

w45 w55

)e B3 =

(w24 w34

w25 w35

)Com isso, desenvolvendo (5.15) teremos:

STW = WSλ 0 0 0 00 a b 0 00 −b a 0 00 0 0 c d0 0 0 −d c

A1 vT1 vT2

v1 B1 BT3

v2 B3 B2

=

A1 vT1 vT2

v1 B1 BT3

v2 B3 B2

λ 0 0 0 00 a −b 0 00 b a 0 00 0 0 c −d0 0 0 d c

λA1 λvT1 λvT2 a b

−b a

v1

a b

−b a

B1

a b

−b a

BT3 c d

−d c

v2

c d

−d c

B3

c d

−d c

B2

=

λA1 vT1

a −b

b a

vT2

c −dd c

λv1 B1

a −b

b a

BT3

c −dd c

λv2 B3

a −b

b a

B2

c −dd c

.

48 PROBLEMA INVERSO LINEAR 5.4

Pela igualdade acima devemos ter(a b−b a

)v1 = λv1,

(c d−d c

)v2 = λv2,(

a b−b a

)B1 = B1

(a −bb a

),

(c d−d c

)B2 = B2

(c −dd c

)e

(c d−d c

)B3 = B3

(a −bb a

).

Como b 6= 0 e d 6= 0 temos que ter v1 = 0 e v2 = 0, isto é, w12 = w13 = w14 = w15 = 0. Paraa segunda linha basta analisar uma equação matricial do seguinte tipo(

C D−D C

)G = G

(A −BB A

), (5.16)

onde

G =

(x yz w

).

A equação (5.16) acima é equivalente ao seguinte sistema linear homogêneoC −A −B D 0B C −A 0 D−D 0 C −A −B

0 −D B C −A

︸ ︷︷ ︸

H

xyzw

=

0000

.

A condição equivalente para que o sistema acima possua mais de uma solução é detH = 0,isto é,

detH = (C −A)4 + 2(C −A)2B2 + 2(C −A)2D2 + (B2 −D2)2 = 0⇔ C = A e D = ±B.

E neste caso as soluções serão dadas porxyy−x

se C = A e D = B, ou

xy−yx

se C = A e D = −B

isto é, G é dado por

G =

(x yy −x

)se C = A e D = B, ou G =

(x y−y x

)se C = A e D = −B.

Este desenvolvimento implica que as matrizes B1, B2 e B3 são dadas por

B1 =

(w22 w23

w23 −w22

), B2 =

(w44 w45

w45 −w44

)e B3 =

(w24 w34

w25 w35

)=

(0 00 0

).

E então a matriz W vai ficar sendo escrita comow11 0 0 0 00 w22 w23 0 00 w23 −w22 0 00 0 0 w44 w45

0 0 0 w45 −w44

.

Note que neste caso o índice de W será pelo menos 2.

5.4 CONDIÇÃO DE COMUTATIVIDADE GENERALIZADA 49

5o Caso Suponha que S é matriz 5 × 5 e S tem 1 autovalor não-nulo real e 2 autovalores complexosiguais (com parte imaginária não nula). Sem perda de generalidade, podemos supor que S seescreve como

S =

λ 0 0 0 00 a −b 0 00 b a 0 00 0 0 a −b0 0 0 b a

.

Da mesma forma que o caso anterior vamos escrever W como :

W =

w11 w12 w13 w14 w15

w12 w22 w23 w24 w25

w13 w23 w33 w34 w35

w14 w24 w34 w44 w45

w15 w25 w35 w45 w55

=

A1 vT1 vT2

v1 B1 BT3

v2 B3 B2

,

onde a divisão em blocos é a mesma do caso anterior.

Da mesma forma, desenvolvendo (5.15) teremos:

STW = WSλ 0 0 0 00 a −b 0 00 b a 0 00 0 0 a −b0 0 0 b a

A1 vT1 vT2

v1 B1 BT3

v2 B3 B2

=

A1 vT1 vT2

v1 B1 BT3

v2 B3 B2

λ 0 0 0 00 a −b 0 00 b a 0 00 0 0 a −b0 0 0 b a

λA1 λvT1 λvT2 a b

−b a

v1

a b

−b a

B1

a b

−b a

BT3 a b

−b a

v2

a b

−b a

B3

a b

−b a

B2

=

λA1 vT1

a −b

b a

vT2

a −b

b a

λv1 B1

a −b

b a

BT3

a −b

b a

λv2 B3

a −b

b a

B2

a −b

b a

.

Como no caso anterior temos(a b−b a

)v1 = λv1,

(a b−b a

)v2 = λv2,(

a b−b a

)B1 = B1

(a −bb a

),

(a b−b a

)B2 = B2

(a −bb a

)e

(a b−b a

)B3 = B3

(a −bb a

),

e então

v1 =

(w12

w13

)=

(00

), v2 =

(w14

w15

)=

(00

)B1 =

(w22 w23

w23 −w22

), B2 =

(w44 w45

w45 −w44

)e B3 =

(w24 w25

w25 −w24

).

50 PROBLEMA INVERSO LINEAR

Logo W será escrita da seguinte formaw11 0 0 0 00

B1 B300

B3 B20

=

w11 0 0 0 00 w22 w23 w24 w25

0 w23 −w22 w25 −w24

0 w24 w25 w44 w45

0 w25 −w24 w45 −w44

.

Note que, como a matriz

Z =

w22 w23 w24 w25

w23 −w22 w25 −w24

w24 w25 w44 w45

w25 −w24 w45 −w44

é não degenerada e tr(Z) = 0, a matriz Z admite pelo menos 1 autovalor negativo, e o mesmovale para a matriz W .

6o Caso Caso geral e genérico: suponha S matriz n×n tal que todos os autovalores de S são não-nulos.Contas análogas aos casos acima podem ser feitas para concluir que W pode ser escrita daseguinte forma

W =

W1

. . .Ws

Z1

. . .Zr

,

onde s é o número de autovalores reais distintos, r é o número de autovalores complexos (comparte imaginária diferente de zero) distintos e Wi e Zj são matrizes não degeneradas comtr(Zj) = 0 para todo j. Note que nesse caso o índice de W será no mínimo o número de autovalores complexos distintos de S.

Com essa teoria desenvolvida por Sarlet-Engels-Bahar temos tiramos algumas conclusões a res-peito do problema inverso que resumem este último capítulo:

Princípio 1. Sendo ` uma curva espalhante na Grassmanniana, através dos invariantes em [ÁPD09]é possível

• dizer se tal curva é de Jacobi, isto é, se vem de um problema variacional,

• descobrir o índice mínimo de um possível Lagrangeano. Por exemplo, é possível responderde forma negativa se existe uma métrica Riemanniana ou Lorentz tal que a curva dada naGrassmanniana é a curva de Jacobi de uma tal métrica com índice pequeno, e

• genericamente, com informações da comutatividade generalizada no ponto, é possível resolvero problema inverso.

Apêndice A

Problemas Variacionais de OrdemSuperior

Seja Q uma variedade de dimensão n e um intervalo compacto [a, b] que serão fixos ao longo dotexto. Um Lagrangeano de ordem k é uma função suave L : T kQ→ R. O problema variacional deordem k para o Lagrangeano L no intervalo [a, b] consiste em encontrar curvas γ : [a, b] → Q quesejam pontos críticos do seguinte funcional

c 7→ F(c) =

∫ b

aL(jkc(t))dt,

onde c : [a, b] → Q são curvas na variedade Q e jkc(t) : [a, b] → JkQ é a prolongação ao k-jato da curva c satisfazendo j(k−1)c(a) = j(k−1)qa, e j(k−1)c(b) = j(k−1)qb para toda curva c, comj(k−1)qa, j

(k−1)qb ∈ J (k−1)Q, pontos pré-fixados.Assumindo uma certa regularidade do Lagrangeano L, o objetivo deste capítulo será desenvolver

a geometria de tais problemas variacionais. Para mais detalhes consulte [GF00] e [dLR92].

A.1 Problemas Variacionais de Primeira Ordem

No caso clássico, isto é, quando tivermos um Lagrangeano regular do tipo L : TQ → R ageometria de tais problemas será a geometria simplética dada pela transformação de Legendre([Cra83])

O problema consiste em encontrar curvas γ na variedade Q que são pontos críticos do funcional

c 7→ F(c) =

∫ b

aL(j1c(t))dt

onde c : [a; b]→ Q é uma curva na variedade Q e j1c(t) : [a; b]→ T 1Q é a prolongação ao 1-jato dacurva c. Neste caso a prolongação será simplesmente a derivada da curva c com relação à t, isto é,j1c(t) = c(t).

Uma curva γ : [a, b]→ Q será um ponto crítico F se, e somente se, a primeira variação δ1F foridenticamente nula no ponto γ

δ1F(γ) ≡ 0.

A aplicação δ1F(γ) será um funcional linear definido nos campos ao longo de γ.Os campos ao longo de γ podem ser identificados com o que chamaremos de variações da curva

γ. Uma variação Γ da curva γ é uma aplicação do tipo Γ : (−ε, ε)× → Q que satisfaz

Γ(0, t) = γ(t), Γ(s, a) = 0, Γ(s, b) = 0,

para todo s ∈ (−ε, ε). A condição nos extremos a e b é para garantir que a família de curvas

51

52 APÊNDICE A

Γs = Γ(s, ·) quando variamos o parâmetro s satisfaz a condição das curvas consideradas no problemavariacional.

A condição de γ ser ponto crítico poderá então ser expressa como

δ1F(γ)

(d

dsΓs

∣∣∣∣s=0

)=

d

ds

(F(Γs)

)∣∣∣∣s=0

= 0, (A.1)

onde Γs representa a derivada com relação ao parâmento t, Γs = ddtΓ(s, t)

Escrevendo em coordenadas locais naturais a variação Γ e sua derivada teremos

Γ(s, t) = (Γ(0)(s, t)), Γ(s, t) =

(Γ(0)(s, t),

d

dtΓ(0)(s, t)

).

Denotando por dds(Γ(0)(s, t))

∣∣s=0

= (h(t)) temos

d

dsΓ(s, t)

∣∣∣∣s=0

=d

ds

(Γ(0)(s, t),

d

dtΓ(0)(s, t)

)∣∣∣∣s=0

=

(h(t),

d

dt(h)(t)

)e assim a condição (A.1) fica

0 =d

dsF(d

dtΓs

)∣∣∣∣s=0

=

∫ b

adF

(d

ds

d

dtΓ(s, t)

∣∣∣∣s=0

)dt =

∫ b

a

∂F

∂qA(0)

(γ(t))hA(t)+∂F

∂qA(1)

(γ(t))d

dt(hA(t)) dt.

Usando integrações por partes e observando que (hA)(a) = (hA)(b) = 0 pela definição davariação Γ, a equação acima fica

0 =d

dsF(d

dtΓs

)∣∣∣∣s=0

=

∫ b

a

(∂L

∂qA(0)

(γ(t))− d

dt

(∂L

∂qA(1)

(γ(t))

))hA(t) dt.

Como a variação Γ(s, t) é arbitrária temos que γ deverá satisfazer a seguinte relação diferencial,que é chamada de equação de Euler-Lagrange

∂L

∂qA(0)

(γ(t))− d

dt

(∂L

∂qA(1)

(γ(t))

)= 0, (A.2)

para A = 1, . . . , n.A equação acima será de fato uma equação diferencial (de ordem 2) se supormos que a matriz

Hessiana de L com relação as velocidades for não-degenerada,

det

(∂2L

∂qA1 ∂qB1

)AB

6= 0.

Supondo isso a equação (A.2) pode ser escrita como

γA(t) = ΓA(γ(t), γ(t)) para A = 1 . . . n.

Com isso podemos definir um campo em TQ cuja a projeção da curva integral será γ. Este camposerá chamado de campo de Euler-Lagrange e será denotado por ξL. O campo de Euler-Lagrange édefinido localmente por

ξL(q(0), q(1)) = (q(0), q(1), q(1), ξA(q(0), q(1))).

Se φt denotar o fluxo campo ξL, seja v ∈ TQ e considere a curva φt(v) em TQ. Esta curva

PROBLEMAS VARIACIONAIS DE PRIMEIRA ORDEM 53

satisfaz a seguinte equação diferencial

d

dtφt(v) = ξL(φt(v)),

que localmente fica( ˙q(0)(t), ˙q(1)(t)) = (q(1)(t), ξ

A(q(0)(t), q(1)(t))),

e assim ˙qA(0)(t) = qA(1)(t)˙qA(1)(t) = ξA(q(0)(t), q(1)(t))

. (A.3)

Note que as equações (A.2) e (A.3) são as mesmas.Campos como o que definimos acima que dão origem à equações diferenciais na variedade base

são chamados de semi-sprays cuja definição é

Definição 20. Um campo de vetores ξ : TQ → T (TQ) é dito um semi spray se qualquer curvaintegral σ de ξ satisfizer

d

dt(pQ σ)(t) = σ(t).

Assim uma expressão local do campo ξ : TQ→ T (TQ) será

ξ = qA(1)

∂

∂qA(0)

+ ξA∂

∂qA(1)

,

e para toda curva σ que é uma curva integral de ξ, a curva projetada pQ σ na variedade Q vaisatisfazer uma equação diferencial em coordenadas locais

d2

dt2

(qA(0)

)= ξA

(q(0),

d

dtq(0)

),

onde σ(t) = (q(0), q(1)) é uma expressão local para σ.Para mostrar que o campo ξL pode ser dado de maneira intrínseca precisamos desenvolver um

pouco a geometria do espaço tangente TQ.

Definição 21. Seja E uma variedade de dimensão 2m. Se E admitir um endomorfismo J : TE →TE tal que

J2 = 0, e posto J = m,

então J é chamada de estrutura quase tangente em E.

O espaço tangente TQ admite uma estrutura quase tangente canônica. Considere a seguinteaplicação J : T (TQ)→ T (TQ) dada pela composição para cada X ∈ T (TQ)

J(X) = iv d(pQ),

onde v = pTQ(X), com pTQ : T (TQ) → TQ a projeção canônica em TQ, iv é a inclusão canônicada fibra TxQ em Tv(TQ), com x = pQ(v) e pQ : TQ→ Q a projeção canônica em Q.

Em coordenadas locais teremos que J é dado por

J

(∂

∂qA(0)

)=

∂

∂qA(1)

e J

(∂

∂qA(1)

)= 0.

Portanto J é uma estrutura quase tangente em Q.Temos também o que é chamado de campo de Liouville C : TQ → T (TQ) do espaço tangente

TQ. Ele é definido através da inclusão canônica

C(v) = iv(v),

54 APÊNDICE A

e em coordenadas locais naturaisC = qA(1)

∂

∂qA(1)

.

Neste caso ainda é importante mencionar o único fibrado vertical V(Q) que teremos, dado porV(Q) = ker d(pQ). Desta forma teremos que, em coordenadas locais naturais, ∂

∂qA(1)

gera V(Q), a

inclusão canônica iv : TxQ→ Vv(Q) é um isomorfismo no vertical Vv(Q), e C(v) ∈ Vv(Q).O seguinte lema relaciona estes dois conceitos com o conceito de semi-spray

Lema 8. Um campo ξ : TQ→ T (TQ) será um semi-spray se, e somente se, for satisfeito

J(ξ) = C.

Seguindo [Cra83], para o Lagrangeano L vamos definir a seguinte 2-forma em TQ

ωL = −d(dL J).

Teremos que ωL é fechada (pois ωL = −dθL, onde θL = (dL J)) e ωL vai ser não-degenerada se, esomente se, o Lagrangeano L for regular, isto é, se

det

(∂2L

∂qA(1)∂qB(1)

)6= 0.

Isso pode ser verificado pela expressão local de ωL,

ωL =∂2L

∂qA(1)∂qB(0)

dqA(0) ∧ dqB(0) +

∂2L

∂qA(1)∂qB(1)

dqA(0) ∧ dqB(1).

Vamos definir também a função de energia associada à L dada por

EL = dL(C)− L,

que localmente pode ser expressa por

EL =∂L

∂qA(1)

qA(1) − L.

Com estes dois elementos podemos definir o campo ξL no caso que L é regular

Teorema 21. Suponha o Lagrangeano L regular. Então a única solução que satifaz a equação abaixopara ξ

iξω = EL,

vai satisfazer

• ξ é um semi-spray, isto é, J(ξ) = C

• as curvas integrais de ξ vão satisfazer Euler-Lagrange, isto é, ξ = ξL.

Antes de passarmos para o caso geral, vamos introduzir o formalismo Hamiltoniano da mecânicaclássica. Para isso considere a seguinte função LegL : TQ→ T ∗Q dada pela seguinte relação

θL(X) = LegL(v)(d(pQ)X)

onde v = pTQ(X). Note que LegL está bem definida pela expressão local de θL.A função LegL acima é chamada de transformação de Legendre da função L, e vai satisfazer as

seguintes propriedades:

GEOMETRIA DOS ESPAÇOS TANGENTES DE ORDEM SUPERIOR 55

• τQ LegL = pQ, onde τQ : T ∗Q→ Q é a projeção canônica,

• (LegL)∗θ0 = θL e (LegL)∗ωL = ω0, onde θ0 ∈ Ω1(T ∗Q) e ω0 ∈ Ω2(T ∗Q) são as 1-forma e2-forma canônicas de T ∗Q, respectivamente, e

• a expressão local para a transformação de Legendre é dada por

LegL(qA(0), qA(1)) = (qA(0), p

(0)A ),

ondep

(0)A =

∂L

∂qA(1)

.

Com isso o seguinte resultado vale

Teorema 22. As seguintes afirmações são equivalentes

• L é regular

• ωL é simplética

• LegL é um difeomorfismo local.

A.2 Geometria dos Espaços Tangentes de Ordem Superior

Para enunciar o problema do cálculo das variações de ordem superior precisamos da genera-lização do conceito de velocidade de curvas em uma variedade. Isso é feito utilizando a ideia dejatos.

Definição 22. Considere uma variedade diferenciável Q de dimensão n e um ponto q ∈ Q. Diremosque duas curvas c1, c2 : (−ε, ε) → Q são k-relacionadas em q se c1(0) = c2(0) = q e se para todafunção f : Q → R tivermos que todas as s derivadas da função real f c1 − f c2 em t = 0 sãoiguais à 0, para s = 0, 1, . . . k.

Esta relação define uma relação de equivalência nas curvas que passam por q. Para uma curvac : (−ε, ε) → Q com c(0) = q, a classe de equivalência das curvas k-relacionadas em q com c serádenotada por jkc(0). Chamaremos tal classe de k-jato de c no ponto q.

A coleção de todos os k-jatos em q será denotada por JkqQ. E enfim chamamos de espaço tangentede ordem k a seguinte união T kQ = ∪q∈QJkqQ.

É possível mostrar que todos os espaços tangentes de ordem superior admitem uma estruturadiferencial de forma que as seguintes projeções são todas suaves

ρkr : T kQ→ T rQ, ρkr (jkc(0)) = jrc(0), s = 0, 1, . . . k.

Lema 9. O espaço tangente de ordem superior T kQ admite uma estrutura C∞ de variedade dife-renciável de modo que para cada ponto jkc(0) de T kQ, se denotarmos por (U, φ) uma carta local noponto c(0) em Q, teremos cartas locais (U , φ) em T kQ, onde U = (ρk0)−1(U) e

φ(jk c(0)) = (q(0), q(1), . . . , q(k)) = (qA(0), qA(1), . . . , q

A(k)),

para jk c(0) ∈ U , com q(s) = (qA(s)), A = 1, . . . n, e q(s) = ds

dts (φ c(t))|t=0.Note que dimT kQ = (k + 1)n e teremos ainda que as projeções ρkr serão todas diferenciáveis

com a estrutura descrita acima.

Com a notação do lema anterior as projeções ρkr nas coordenadas descritas ficam

ρkr (q(0), . . . , q(k)) = (q(0), . . . , q(r)),

56 APÊNDICE A

e suas diferenciais

dρkr (q(0), . . . , q(k), X(0), . . . , X(k)) = (q(0), . . . , q(r), X

(0), . . . , X(r)),

onde (q(0), . . . , q(r), X(0), . . . , X(r)) representa um elemento de T (T rQ) em coordenadas locais, r =

0, 1, . . . k.Os fibrados verticais de ordem superior serão dados por

Vkr (Q) = ker dρkr ⊂ T (T kQ),

e localmente podem ser expressos por

(q(0), . . . , q(k), 0, . . . , 0, X(r+1), . . . , X(k)).

Além disso podemos levantar diversos objetos de Q ao espaço T kQ. Dentre eles citaremos olevantamento de curvas e funções. Considere então uma curva c em Q. Existe um levantamentonatural para uma curva jkc em T kQ que descreveremos: a curva jkc(t) é definida por

jkc(t) = jkct(0),

onde ct é uma curva em Q para cada t dada por ct(s) = c(t+ s). Se c(t) = (q(t)) em coordenadaslocais de Q, então jkc(t) fica escrito em coordenadas locais de T kQ como

jkc(t) =

(q(t),

d

dtq(t), . . . ,

dk

dtkq(t)

).

Seja agora uma função real f : Q→ R. Definimos o r-levantamento de f para T kQ como sendouma função real f (r) : T kQ→ R dada por

f (r)(jkc(0)) =dr

dtr(f c)(0), r = 0, . . . , k.

Note que f (r) está bem definida pela definição de k-jatos.Teremos também as seguintes inclusões canônicas jr : T kQ→ T (T r−1Q), r = 1, . . . k dadas por

jr(jkc(0)) =

d

dtjr−1ct(0)

∣∣∣∣t=0

,

onde ct(s) = c(t+ s). Localmente

jr(q(0), . . . , q(k)) = (q(0), . . . , q(r−1), q(1), . . . , q(r)).

A.2.1 Problema Variacional de Ordem Superior

Analogamente ao caso de ordem 1, considere agora um Lagrangeano L : T kQ→ R de ordem k.O problema do cálculo das variações para este Lagrangeano consiste em encontrar pontos críticosdo seguinte funcional

c 7→ F(c) =

∫ b

aL(jkc(t)) dt

onde todas as curvas c : [a, b] → Q satisfazem jk−1c(a) = jk−1qa, e jk−1c(b) = jk−1qb, ondejk−1qa, j

k−1qb ∈ T k−1Q são pontos pré-fixados.Sendo c : [a, b]→ Q uma curva em Q considere uma variação Γ : (−ε, ε)× [a, b]→ Q de c, isto é

Γ(0, t) = c(t), jk−1Γ(s, a) = jk−1qa, jk−1Γ(s, b) = jk−1qb

onde a prolongação em Γ = Γ(s, t) refere-se à prolongação ao tangente de ordem k− 1 com relação

GEOMETRIA DOS ESPAÇOS TANGENTES DE ORDEM SUPERIOR 57

à variável t.Uma curva γ : [a, b]→ Q será um ponto crítico F se, e somente se, a primeira variação δ1F for

identicamente nula no ponto γδ1F(γ) ≡ 0.

A aplicação δ1F(γ) será um funcional linear definido nos campos ao longo de γ, que podemosidentificar com a derivada das variações Γ(s, t) com relação ao parâmetro s em 0. Assim, uma curvaγ será ponto crítico de F se, e somente se, para toda variação Γ de γ tivermos

δ1F(γ)

(d

dsjkΓs

∣∣∣∣s=0

)=

d

ds

(F(jkΓs)

)∣∣∣∣s=0

= 0, (A.4)

onde jkΓs é a uma família de curvas no parâmetro s construída pela prolongação ao espaço tangentede ordem k com relação à varável t de Γ(s, t).

Escrevendo em coordenadas locais naturais a variação Γ e sua prolongação teremos

Γ(s, t) = (Γ(0)(s, t)), jkΓ(s, t) =

(Γ(0)(s, t),

d

dtΓ(0)(s, t), . . . ,

dk

dtkΓ(0)(s, t)

).

Denotando por dds(Γ(0)(s, t))

∣∣s=0

= (h(t)) temos

d

dsjkΓ(s, t)

∣∣∣∣s=0

=d

ds

(Γ(0)(s, t),

d

dtΓ(0)(s, t), . . . ,

dk

dtkΓ(0)(s, t)

)∣∣∣∣s=0

=

(h(t),

d

dt(h)(t), . . . ,

dk

dtk(h)(t)

)e assim a condição (A.4) fica

0 =d

dsF(jkΓs)

∣∣∣∣s=0

=

∫ b

adF

(d

dsjkΓ(s, t)

∣∣∣∣s=0

)dt =

∫ b

a

k∑i=0

∂F

∂qA(i)(jkγ(t))

di

dti(hA)(t) dt.

Usando diversas integrações por partes e observando que di

dti(hA)(a) = di

dti(hA)(b) = 0, i =

0, 1, . . . , k − 1, a equação acima fica

0 =d

dsF(jkΓs)

∣∣∣∣s=0

=

∫ b

a

(k∑i=0

(−1)idi

dti

(∂L

∂qA(i)(jkγ(t))

))hA(t) dt.

Como a variação Γ(s, t) é arbitrária temos que γ deverá satisfazer a seguinte relação diferencial,que é chamada de equação de Euler-Lagrange

k∑i=0

(−1)idi

dti

(∂L

∂qA(i)(jkγ(t))

)= 0. (A.5)

para A = 1, . . . , n.No decorrer das seções desenvolveremos a formulação intrínseca do cálculo das variações.

A.2.2 Equações Diferenciais e Estrutura Quase Tangente

Antes de prosseguir definindo a generalização da estrutura quase tangente canônica para espaçostangentes de ordem superior, vamos definir o que seria uma equação diferencial de ordem k navariedade Q. Uma vez que a solução do problema variacional irá satisfazer uma certa equaçãodiferencial, este conceito será importante para enunciarmos de maneira intrínseca as equações deEuler-Lagrange.

Definição 23. Um campo de vetores ξ : T kQ→ T (T kQ) é dito um semi spray se qualquer curvaintegral σ satisfizer

jk(ρk0 σ)(t) = σ(t).

58 APÊNDICE A

Em coordenadas locais, a definição acima significa que cada coordenada de σ será a derivadada coordenada anterior, isto é, teremos

σ(t) = (q(0)(t), q(1)(t), q(2)(t), . . . , q(k)(t)) = (q(0)(t),d

dt(q(0)(t)),

d

dt(q(1)(t)), . . . ,

d

dt(q(k−1)(t))).

Portanto o campo ξ fica escrito localmente por

ξ =

k−1∑i=0

qA(i+1)

∂

∂qA(i)+ ξA

∂

∂qA(k)

,

onde ξA são funções em T kQ.Vamos usar as projeções ρkr−1 e os espaços verticais para construir o que são chamados de

endomorfismos verticais em T (T kQ) e uma estrutura quase tangente generalizada.Primeiramente note que Vkr−1Q é um fibrado sobre T kQ de modo que um elemento X ∈

Vkr−1(Q) ⊂ T (T kQ) pode ser escrito localmente por

(q(0), . . . , q(k), X(r), . . . , X(k)),

onde a expressão local de X em T (T kQ) é

(q(0), . . . , q(k), 0, . . . , 0, X(r), . . . , X(k)).

Assim a inclusão canônica ik−r+1 : Vkr−1Q→ T (T kQ) com relação à estas coordenadas locais fica

ik−r+1(q(0), . . . , q(k), X(r), . . . , X(k)) = (q(0), . . . , q(k), 0, . . . , 0, X

(r), . . . , X(k)).

Seja a seguinte projeção canônica pT r−1Q : T (T r−1Q) → T r−1Q e a projeção ρkr−1 : T kQ →T r−1Q definida acima. Considere o fibrado pullback de T (T r−1Q) por ρkr−1, que iremos denotarpor T kQ ×T r−1Q T (T r−1Q). Este fibrado pullback será dado pelos pares ordenados (jkc(0), X) ∈T kQ× T (T r−1Q) tais que ρkr−1(jkc(0)) = pT r−1Q(X).

O fibrado T kQ ×T r−1Q T (T r−1Q) será um fibrado vetorial sobre T kQ de forma que o seguintediagrama comuta

T kQ×T r−1Q T (T r−1Q)

T kQ T r−1Q

T (T r−1Q)

pT r−1Q

ρkr−1

Um elemento (jkc(0), X) ∈ T kQ×T r−1Q T (T r−1Q) pode ser expresso localmente por

(jkc(0), X) = (q(0), . . . , q(k), q(0), . . . , q(r−1), X(0), . . . , X(r−1)).

Além disso teremos os homomorfismos de fibrados vetoriais sk−r+1 : T (T kQ) → T kQ ×T r−1Q

T (T r−1)Q sobre T kQ dados por sk−r+1(X) = (pTkQ(X), dρkr−1(X)), e localmente por

sk−r+1(q(0), . . . , q(k), X(0), . . . , X(k)) = (q(0), . . . , q(k), q(0), . . . , q(r−1), X

(0), . . . , X(r−1)).

Assim o seguinte diagrama também irá comutar

GEOMETRIA DOS ESPAÇOS TANGENTES DE ORDEM SUPERIOR 59

T (T kQ)

T kQ×T r−1Q T (T r−1Q)

T kQ T r−1Q

T (T r−1Q)

dρkr−1sk−r+1

pTkQ

ρkr−1

pT r−1Q

Todas essas considerações foram feitas para enunciar a seguinte definição da estrutura geométricade T kQ e suas projeções

Definição 24. Temos k sequências de fibrados vetoriais dadas por

0→ Vkr−1Qik−r+1−−−−→ T (T kQ)

sk−r+1−−−−→ T kQ×T r−1Q T (T r−1Q)→ 0,

r = 1, . . . , k, de modo que cada uma delas será exata.Chamamos a sequência acima de (k − r + 1)-éssima sequência exata fundamental

Com um pouco mais de detalhes as k sequências fundamentais são

(1a) 0→ Vkk−1Qi1−→ T (T kQ)

s1−→ T kQ×Tk−1Q T (T k−1Q)→ 0

...

(ra) 0→ Vkk−rQir−→ T (T kQ)

sr−→ T kQ×Tk−rQ T (T k−1Q)→ 0

...

(ka) 0→ Vk0Qik−→ T (T kQ)

sk−→ T kQ×Q TQ→ 0

Para cada sequência acima temos um isomorfismo de fibrados vetoriais

hr : T kQ×T r−1Q T (T r−1Q)→ Vkk−rQ,

de modo que as sequências fundamentais ficam conectadas pelos diagramas

0 Vkk−rQ T (T kQ) T kQ×Tk−rQ T (T k−1Q) 0

0 Vkr−1Q T (T kQ) T kQ×T r−1Q T (T r−1Q) 0

(r)-éssima

(k − r + 1)-éssima

ir sr

sk−r+1ik−r+1

hk−r+1

hr

60 APÊNDICE A

A expressão local de hr é dada por

hr(q(0), . . . , q(k), q(0), . . . , q(r−1), X(0), . . . , X(r−1)) = (q(0), . . . , q(k), 0, . . . , 0, X

(0), . . . , X(r−1))

Através dessas sequências teremos os endomorfismos verticais

Definição 25. O r-éssimo endomorfismo vertical Jr : T (T kQ)→ T (T kQ) é dado por

Jr = ik−r+1 hk−r+1 sr, r = 1, . . . , k.

Pelas expressões locais de ik−r+1, hk−r+1 e sr, Jr será dado por

Jr(q(0), . . . , q(k), X(0), . . . , X(k)) = (q(0), . . . , q(k), 0, . . . , 0, X

(0), . . . , X(k−r)),

e teremos a seguinte proposição

Proposição 10. O r-éssimo endomorfismo vertical Jr tem posto rm e satisfaz

•

(Jr)s =

0, se rs ≥ k + 1

Jrs, se rs < k + 1

• ker Jr = Vkk−rQ = Im Jk−r+1

• Im Jk ⊂ . . . ⊂ Im J2 ⊂ Im J1.

Com isso fica claro que J1 será uma estrutura quase tangente de ordem superior em T kQ.

Definição 26. Seja E uma variedade de dimensão (k + 1)m. Se E admitir um endomorfismoJ : TE → TE tal que

Jk+1 = 0 e dim Im J = km,

então J é dita uma estrutura quase tangente de ordem k em E.

Proposição 11. O primeiro endomorfismo vertical J1 será uma estrutura quase tangente de ordemk em T kQ.

J1 é chamado de estrutura quase tangente canônica de ordem k em T kQ.

Antes de encerrar esta seção vamos definir os campos de Liouville neste contexto mais geral.

Definição 27. Considere o seguinte campo vetorial Cr em T kQ dado pela composição

Cr = hk−r+1 (Id× jk−r+1),

para r = 1, . . . k.Pela definição, Cr é de fato um campo vetorial em T kQ, e é chamado de r-éssimo campo vetorial

canônico em T kQ. O campo vetorial C1 também é chamado de campo de Lioville de ordem k.

Pelas expressões locais de hk−r+1 e jk−r+1, o r-éssimo campo vetorial canônico Cr fica escritolocalmente como

Cr =

k−r+1∑i=1

qA(i)∂

∂q(r+i−1),

e o campo de Liouville fica

C1 =

k∑i=1

qA(i)∂

∂q(i).

Através do campo de Liouville e da estrutura quase tangente conseguimos caracterizar os semi-sprays da mesma forma que em ordem 1

GEOMETRIA DOS ESPAÇOS TANGENTES DE ORDEM SUPERIOR 61

Lema 10. Um campo ξ : T kQ→ T (T kQ) será um semi-spray se, e somente se, for satisfeito

J1(ξ) = C1.

A.2.3 Derivações Verticais

Nesta seção enunciaremos resultados desenvolvidos por Leon-Rodrigues ([dLR92]) sobre o cál-culo exterior nos espaços tangente de ordem superior. Usaremos os conceitos de derivação de álgebraexterior que podem ser encontrados em [KN69].

Definição 28. Seja ω uma p-forma em T kQ, p ≥ 1. Definimos o produto interno de Jr por ω comosendo a p-forma em T kQ dada por

iJrω(X1, . . . , Xp) =

p∑i=1

ω(X1, . . . , JrXi, . . . , Xp)

Também definimos iJrf = 0 para qualquer função real f : T kQ→ R.O mapa ω 7→ iJrω é chamado de r-éssima derivação em Λ(T kQ).

A r-éssima derivação iJr estará completamente determinada pela ação nas funções e nas 1-formasexatas de T kQ

Proposição 12. O mapa ω 7→ iJrω é a única derivação de grau 0 na álgebra exterior Λ(T kQ) quesatisfaz para qualquer função f em T kQ o seguinte

• iJrf = 0

• iJr(df) = J∗r (df).

Localmente teremos

iJr(dqA(i)) =

0, se i < r

dqA(i−r), se i ≥ r

para i = 0, 1, . . . , k e A = 1, . . . , n.Com isso podemos definir uma anti-derivação de grau 1 em Λ(T kQ)

Definição 29. O seguinte mapa ω 7→ dJrω na álgebra exterior dado pelo comutador dJr = [iJr , d] =iJrd− diJr é chamado de r-éssima derivação vertical.

Proposição 13. O mapa ω 7→ dJrω é a única anti-derivação de grau 1 na álgebra exterior Λ(T kQ)que satisfaz para qualquer função f em T kQ o seguinte

• dJrf = J∗r (df)

• dJr(df) = −d(J∗r (df)).

Localmente teremos

• dJrf =∑k

i=r

∂f

∂qA(i)dqA(i−r)

• dJr(dqA(i)) = 0, i = 0, 1, . . . , k.

62 APÊNDICE A

A.2.4 Derivação de Tulczyjew

Para introduzirmos a derivação de Tulczyjew, que irá generalizar o conceito derivada com rela-ção ao parâmetro de tempo de curvas em T kQ, primeiramente precisamos encontrar uma forma derelacionar formas diferenciáveis de diferentes espaços tangentes de ordem superior. Assim consegui-remos construir uma álgebra exterior Λ que irá ser o conjunto das uniões das álgebras exteriores∪∞k=0Λ(T kQ).

Para identificar duas formas µ ∈ Λ(T kQ) e ν ∈ Λ(T k′Q) usamos a seguinte relação de equiva-

lência: µ é equivalente à ν se k′ ≤ k e µ = (ρkk′)∗ν, ou se k ≤ k′ e ν = (ρk

′k )∗µ.

Com a relação descrita acima o operador de diferenciação exterior d e o produto exterior ∧se estendem de maneira natural à Λ, e assim, Λ se torna uma álgebra graduada comutativa. Essaálgebra exterior foi construída em casos bem mais gerais por Anderson ([And]).

Para definir o operador de Tulczyjew em Λ seja primeiro uma função f : T kQ→ R. Definiremosuma função dT f : T k+1Q→ R dada por

(dT f)(jk+1c(0)) = dfjkc(0)(jk(jk+1c(0)))

onde jk : T k+1 → T (T kQ) é a inclusão canônica descrita acima. Localmente teremos

(dT f)(q(0), . . . , q(k)) =k∑i=0

∂f

∂qA(i)qA(i+1), (A.6)

e podemos estender este operador à Λ

Proposição 14. Existe um único operador ω 7→ dTω em Λ que é uma derivação de grau 0 tal quelocalmente satisfaz (A.6) e

dTdqA(i) = qA(i+1), i = 0, 1, . . . , k.

Além disso teremos que dTd = ddT , e os operadores iJr e dJr se estendem à Λ de maneiranatural.

A.2.5 Formalismo de Klein

Nesta seção apresentamos o formalismo intrínseco do problema do cálculo das variações.Seja L : T kQ → R um Lagrangeano de ordem k. Definimos a seguinte 2-forma fechada em

T 2k−1Q

ωL =

k∑i=1

(−1)idi−1T ddJiL.

Note na verdade que ω é uma forma exata. Basta observar que ω = −dθL, com θL dado por

θL =k∑i=1

(−1)i−1di−1T dJiL,

e a justificativa desta conta é porque os operadores d e dT comutam, ddT = dTd.Seja também a seguinte função E : T 2k−1Q→ R, chamada de energia de L, dada por

EL =k−1∑i=0

(−1)idiT (Ci+1L)− L.

GEOMETRIA DOS ESPAÇOS TANGENTES DE ORDEM SUPERIOR 63

As expressões locais de θL, ωL e EL são

θL =k∑r=1

k−r∑i=0

(−1)idiT

(∂L

∂qA(r+i)

)dqA(r−1)

ωL =

k∑r=1

k−r∑i=0

(−1)i+1diTd

(∂L

∂qA(r+i)

)dqA(r−1)

EL =k∑r=1

qAr

k−r∑i=0

(−1)idiT

(∂L

∂qA(r+i)

)− L.

Com estes elementos é possível expressar o que é um ponto crítico do funcional F de maneiraintrínseca

Teorema 23. Seja L : T kQ→ R um Lagrangeano de ordem k regular, isto é,

det

(∂2L

∂qA(k)∂qB(k)

)6= 0

em todo ponto de T kQ.Então existirá apenas uma única solução da equação

iξω = d(EL)

na variável ξ : T 2k−1Q→ T (T 2k−1Q).Tal solução, que denotamos por ξL e chamamos de campo de Euler-Lagrange, satisfaz

• ξL é um semi-spray, e

• as curvas integrais de ξL satisfazem a equação de Euler-Lagrange (A.5) de L.

A.2.6 Transformação de Legendre

A transformação de Legendre irá possibilitar a passagem do contexto Lagrangeano para o Ha-miltoniano. Analogamente ao caso de ordem 1, definimos a transformação de Legendre LegL :T 2k−1Q → T ∗(T k−1Q) associada ao Lagrangeano L dada pela seguinte relação para cada X ∈T (T 2k−1Q)

θL(X) = LegL(pT 2k−1Q(X))(dρ2k−1k−1 (X)).

Assim LegL irá satisfazer as seguintes propriedades

• τTk−1Q LegL = ρ2k−1k−1 , onde τTk−1Q : T ∗(T k−1Q)→ T k−1Q é a projeção canônica.

• (LegL)∗θk−1 = θL e (LegL)∗ωk−1 = ωL, onde θk−1 ∈ Ω1(T ∗(T k−1Q)) e ωk−1 ∈ Ω2(T ∗(T k−1Q))são as 1-forma e 2-forma canônicas de T ∗(T k−1Q), respectivamente.

Pela expressão local de θL a expressão local de LegL fica

LegL(qA(0), . . . , qA(2k−1)) = (qA(0), . . . , q

A(k−1), p

(0)A , . . . , p

(k−1)A ),

onde

p(s−1)A =

k−s∑i=0

(−1)idiT

(∂L

∂qA(s+i)

)para s = 1, . . . , k. Note que com isso a forma θL fica escrita como

θL =

k∑r=1

p(r−1)A dqA(r−1),

64 APÊNDICE A

e ao longo de uma curva em T 2k−1Q as coordenadas p(s−1)A ficam

p(s−1)A =

k−s∑i=0

(−1)idi

dti

(∂L

∂qA(s+i)

), s = 1, . . . , k.

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