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Universidade de BrasıliaDepartamento de Matematica
Algebra 1
Lineu Neto
1 -o/2004
Sumario
1 Nocoes de Logica Simbolica 1
Relacoes entre Proposicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Lei da Algebra das Proposicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Nocoes de Teoria dos Conjuntos 13
Leis da Algebra de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Relacoes e Funcoes 23
Princıpio da Boa Ordenacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Comentarios Finais Sobre P.B.O. e Inducao Matematica . . . . . . 45
Algumas Funcoes Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Topicos Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4 Estruturas Algebricas 67
Principais Estruturas Algebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Propriedades de Uma Operacao Binaria . . . . . . . . . . . . . . . 71
Tabua de Operacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Estruturas Algebricas Com Duas Operacoes Binarias . . . . . . . . 89
Exemplos de Aneis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Exemplos de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5 Homomorfismo Entre Estruturas Algebricas 125
Classificacao de Homomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6 Polinomios 131
Polinomios × Funcoes Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Divisibilidade e Raızes de Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Raızes de Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Curiosidades: (Historia da Matematica) . . . . . . . . . . . . . . . 141
Comentarios Finais Sobre Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7 Topicos Especiais Sobre Aneis e Grupos 150
Subestrutura Algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Aneis - Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Exercıcios Propostos 180Logica & Conjuntos & Inducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Relacoes & Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184Operacoes Binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187Homomorfismos & Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
1 Nocoes de Logica Simbolica
Definicao 1.1 (Proposicao Simples). Proposicao (simples) e uma oracaodeclarativa suscetıvel a um unico valor logico (V ou F), sem ambiguidade.
Exemplos de sentencas que nao sao proposicoes
a) 1 + 1 (nao e oracao)
b)√
2 e numero racional? (nao e afirmacao)
c) x + 1 = 0 (nao sabemos se tal sentenca e V ou F , pois tal analisedepende do valor atribuıdo a variavel x)
Definicao 1.2 (Proposicao Composta). Proposicao composta e uma pro-posicao obtida a partir de duas ou mais proposicoes simples, atraves do usode modificadores e/ou conectivos.
Notacoes. p, q, r - proposicoes simplesP, Q, R - proposicoes compostas
Observacao. Para determinar o valor logico de uma proposicao usamos umdispositivo pratico chamado de Tabela-Verdade
• Modificador: ¬ (ou ∼)
(aplica-se a uma proposicao). Le-se: nao
p - proposicao¬ p - negacao de p
Tabela-Verdade da Negacao
p ¬pV FF V
• Conectivos: (aplica-se a duas ou mais proposicoes)
1 -o) ∨ (le-se: “ou”)
Observacao. Tal conectivo nao tem carater exclusivo.
1
p, q - proposicoesp ∨ q - disjuncao de p e q
Tabela-Verdade da Disjuncao
p q p ∨ qV V VV F VF V VF F F
2 -o) ∧ (le-se: “e”)
p, q - proposicoesp ∧ q - conjuncao de p e q
Tabela-Verdade da Conjuncao
p q p ∧ qV V VV F FF V FF F F
3 -o) → (condicional simples)
p, q - proposicoes
p → q:
“se p entao q” ou“p e condicao suficiente para q” ou“q e condicao necessaria para p”
Tabela-Verdade da Condicionalp q p → qV V VV F FF V VF F V
4 -o) ↔ (bicondicional)
p, q - proposicoes
p ↔ q:
“p se e somente se q” ou“p e condicao necessaria e suficiente para q” ou“se p entao q e reciprocamente”
2
Tabela-Verdade da Bicondicionalp q p ↔ qV V VV F FF V FF F V
Observacao. p ↔ q e V quando p e q tem o mesmo valor logico(ou seja, ou ambas sao verdadeiras ou ambas sao falsas)
Exercıcio: Construa tabelas-verdade para as seguintes proposicoes:
a) p ∧ (¬p)
b) ¬(¬p)
c) (p → q) ↔ (¬p) ∨ q
d) (p → q) ↔ (¬q → ¬p) (muito importante)
e) ¬(p ∧ q) ↔ (¬p) ∨ (¬q)
f) p ∧ (q ∨ r) ↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Observacao. prioridade (de baixo pra cima):
↔→∧,∨¬
a) (contradicao)
p ¬p p ∧ (¬p)V F FF V F
b) p ¬p ¬(¬p)V F VF V F
3
c) (tautologia)
p q ¬p p → q ¬p ∨ q (p → q) ↔ (¬p ∨ q)V V F V V VV F F F F VF V V V V VF F V V V V
d) (tautologia)
p q ¬p ¬q p → q ¬q → ¬p (p → q) ↔ (¬q → ¬q)V V F F V V VV F F V F F VF V V F V V VF F V V V V V
Definicao 1.3 (Tautologia). Dizemos que uma proposicao composta e umaTautologia (ou proposicao logicamente verdadeira) se o seu valor logico esempre V, independente dos valores logicos das proposicoes simples que aconstituem.
Exemplos: c, d (exercıcio anterior)
Definicao 1.4 (Contradicao). Dizemos que uma proposicao composta euma Contradicao (ou proposicao logicamente falsa) se o seu valor logico esempre F, independentemente dos valores logicos das proposicoes simples quea constituem.
Exemplo: a (exercıcio anterior)
e) (tautologia)
p q ¬p ¬q p ∧ q ¬(p ∧ q) (¬p) ∨ (¬q) ¬(p ∧ q) ↔ (¬p) ∨ (¬q)V V F F V F F VV F F V F V V VF V V F F V V VF F V V F V V V
4
f) (tautologia)
p q r q ∨ r p ∧ q p ∧ r p ∧ (q ∨ r) (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∧ (q ∨ r) ↔(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
V V V V V V V V VV V F V V F V V VV F V V F V V V VV F F F F F F F VF V V V F F F F VF V F V F F F F VF F V V F F F F VF F F F F F F F V
Relacoes entre Proposicoes
Definicao 1.5 (Implicacao Logica). Sejam P e Q duas proposicoes (com-postas). Dizemos que P implica em Q, simbolizado por P ⇒ Q se o condi-cional P → Q e uma tautologia, isto e, se nao ocorre de P ser V e Q serF .
Observacao. Em matematica, a maioria dos Teoremas envolve uma im-plicacao logica do tipo:
HIPOTESE(S) =⇒ TESE︸ ︷︷ ︸
Teorema (proposicao cuja veracidade depende de uma demonstracao)
Hipotese(s) −→ Tese
(aquilo que temos argumento logico (conclusao, aquilo quecomo verdade) (demonstracao) queremos demonstrar)
Exemplo: P : a e um numero par; Q : a2 e um numero par; P ⇒ Q(P → Q: se a e um numero par, entao a2 tambem o e)
Demonstracao.H: a e um numero par (isto e, a = 2k)T: a2 e um numero par (isto e, a2 = 2l)De fato: a2 = (2k)2 = 4k2 = 2 (2k2)
︸ ︷︷ ︸
l
= 2l
¥
5
Definicao 1.6 (Equivalencia de Proposicao). Sejam P e Q proposicoes(compostas). Dizemos que P e equivalente a Q, simbolizado por P ⇔ Q, seo bicondicional P ↔ Q e uma tautologia, isto e, se P e Q tem a mesmatabela-verdade (mesmo valor logico).
Observacao. Em matematica, certos teoremas envolvem uma equivalenciade proposicoes. Neste caso:
HIPOTESE(S) ⇐⇒ TESE
Exemplo: P : a e um numero par; Q : a2 e um numero par; P ⇔ QP ↔ Q : a e um numero par se, e somente se, a2 tambem o e.
Demonstracao.H: a e um numero parT: a2 e um numero par(⇒) H ⇒ T (ok!)(⇐) T ⇒ HVimos que (p → q) ↔ (¬q → ¬p) e uma tautologia. Assim, (p → q) ⇔
(¬q → ¬p) (contra-positiva, contra-recıproca)Assim, mostrar que se a2 e par, entao a e par e equivalente a mostrar que
se a e ımpar, entao a2 e ımpar.De fato: (T ⇒ H) ⇔ (¬ H ⇒ ¬T)a e ımpar: a = 2k + 1a2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2 (2k2 + 2k)
︸ ︷︷ ︸
l
+1 = 2l + 1 ⇒ a2 e ımpar
¥
Definicao 1.7 (Sentenca Aberta ou Funcao Proposicional). Uma sen-tenca aberta e uma sentenca que envolve uma ou mais variaveis.
Observacao. Uma sentenca aberta NAO e uma proposicao, pois nao sabe-mos definir o seu valor logico, o qual depende da(s) variavel(is) envolvida(s).
Notacao. p (x) = sentenca aberta que depende da variavel x.
Exemplo: x + 1 = 0
x := −1︸︷︷︸
cte
(V ) x := 1 (F )
Uma sentenca aberta pode ser transformada numa proposicao atraves dedois recursos:
6
i) atribuindo-se valores constantes a(s) variavel(is) envolvida(s);
ii) usando quantificadores.
Dois quantificadores:
a) Quantificador Universal : ∀ (le-se: “para todo” ou “qualquer que seja”);
b) Quantificador Existencial :
– ∃ (“existe” ou “ existe pelo menos um”);
– ∃! (le-se: “existe um unico”);
– ∄ (le-se: “nao existe”).
Notacoes. (∀x)(p (x)); (∃x)(p (x)); (∃! x)(p (x)); (∄ x)(p (x))
Exercıcio: Considerando que todas as variaveis envolvidas sao reais, usequantificadores para tornar proposicoes verdadeiras as seguintes sentencasabertas:
a)√
x2 = x: (∃x)(√
x2) (x > o)
b) sen(x + y) = sen x cos y + sen y cos x: (∀x, y)(sen(x + y) = sen x cos y +sen y cos x)
c)x2 − 1
x − 1= x + 1: (∃x)
(x2 − 1
x − 1= x + 1
)
(x 6= 1) ou (∀x)∧ (x 6= 1)
d) |x| = −x: (∃x)(|x| = −x) (x 6 0)
e) x < x2: (∃x)(x < x2) (x < 0 ou x > 1)
f) x2 + 1 = 0: (∄ x)(x2 + 1 = 0)
Negacao de Proposicoes e Sentencas Abertas Quantificadas:
1) Negacao da negacao:
¬(¬p) ⇔ p
7
2) Negacao de conjuncao: (e ↔ ou)
¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q
Exemplo: p : a 6= 0, q : b 6= 0
p ∧ q : a 6= 0 e b 6= 0
¬(p ∧ q) : a = 0 ou b = 0
3) Negacao de uma disjuncao: (ou ↔ e)
¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q
4) Negacao de uma condicional:
¬(p → q) ⇔ p ∧ ¬q
Exercıcio: Verifique 4) de duas maneiras:
i) atraves da tebela-verdade;
p q ¬q p → q ¬(p → q) p ∧ ¬q ¬(p → q) ↔ p ∧ ¬qV V F V F F VV F V F V V VF V F V F F VF F V V F F V
ii) usando o resultado anterior: (p → q) ↔ (¬p∨ q) e uma tautologia
(p → q) ⇔ (¬p ∨ q)¬(p → q) ⇔ ¬(¬p ∨ q)¬(p → q) ⇔ p ∧ ¬q
5) Negacao de quantificadores: (∀ ↔ ∃)
¬(∀x)(p(x)) ⇔ (∃x)(¬p(x))
¬(∃x)(p(x)) ⇔ (∀x)(¬p(x))
Exemplos: (nos reais)
8
a) (∀x)(sen2 x + cos2 x = 1) (V );
negacao: (∃x)(sen2 x + cos2 x 6= 1) (F )
b) (∃x)(x2 + 1 = 0) (F )
negacao: (∀x)(x2 + 1 6= 0) (V )
Lei da Algebra das Proposicoes
Qualquer proposicao composta pode ser expressa apenas com os conecti-vos ∧ e ∨ e com o modificador ¬. Em outras palavras, os conectivos → e ↔sao “superfluos”, pois podem ser escritos em termos de ∧,∨ e ¬.Exemplo: (p → q) ⇔ (¬p ∨ q)
(p ↔ q) ⇔ (p → q) ∧ (q → p) ⇔ (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p)
• P = “colecao” de todas as proposicoes
• p, q, r = proposicoes (“elementos de P”)
• duas “operacoes” binarias: ∧,∨
• uma “operacao” unaria: ¬
• “Relacao” de equivalencia
• dois extremos universais:
{v = tautologiaf = contradicao
P = P (∧,∨,¬, v, f) (Algebra das Proposicoes)
Teorema 1.8. P satisfaz as seguintes equivalencias:
I) (Leis Associativas)
{(p ∧ q) ∧ r ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)(p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
II) (Leis Comutativas)
{p ∧ q ⇔ q ∧ pp ∨ q ⇔ q ∨ p
III) (Leis Idempotentes)
{p ∧ p ⇔ p ∧ pp ∨ p ⇔ p ∨ p
IV) (Leis de Absorcao)
{p ∧ (p ∨ q) ⇔ pp ∨ (p ∧ q) ⇔ p
9
V) (Leis Distributivas)
{p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
VI) (Extremos Universais)
p ∧ v ⇔ pp ∧ f ⇔ fp ∨ v ⇔ vp ∨ f ⇔ p
VII) (Leis de Complementacao)
¬(¬p) ⇔ pp ∧ ¬p ⇔ fp ∨ ¬p ⇔ v
VIII) (Leis de De Morgan)
{¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q
Demonstracao.
IV)(tautologia)
p q p ∨ q p ∧ (p ∨ q) p ∧ (p ∨ q) ⇔ pV V V V VV F V V VF V V F VF F F F V
I) (tautologia)
p q r p ∧ q q ∧ r (p ∧ q) ∧ r p ∧ (q ∧ r) ∧r ↔ p ∧ (q ∧ r)V V V V V V V VV V F V F F F VV F V F F F F VV F F F F F F VF V V F V F F VF V F F F F F VF F V F F F F VF F F F F F F V
10
VIII) ¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q
p q ¬p ¬q p ∧ q ¬(p ∧ q) ¬p ∧ ¬qV V F F V F FV F F V F V VF V V F F V VF F V V F V V ¥
Observacao. Seja A um “conjunto” munido de duas “operacoes” binarias(∧,∨), uma “operacao” unaria ( ’ ), uma relacao entre seus “elementos” e doisextremos universais (0,1). Dizemos que A = A(∧,∨, ’, 0, 1) e uma Algebrade Boole (ou Algebra Booleana) se A satisfaz as propriedades (leis) I a VIIIanteriores. Assim, P = P (∧,∨,¬, v, f) e uma Algebra de Boole.
Vocabulario
• Definicao
• Proposicao
• Sentenca aberta
• Teorema (Se hipoteses , entao tese )
• Lema: “pequeno” Teorema (isto e, um Teorema auxiliar para demons-trar Teoremas mais complexos)
• Corolario: consequencia de um Teorema
• Axioma (ou Postulado): proposicao cuja veracidade e aceita sem de-monstracao (intuitivo)
Exemplo: (Geometria Plana)
Por um ponto fora de uma reta, passa uma unica reta pararlela a retadada (5 -o Axioma de Euclides).
P
r
s r ‖ s
• Conceito Primitivo: base de qualquer teoria matematica (nao se define)
Exemplos: ponto, reta, plano
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Objetivo:“Demonstrar” TeoremasTres tecnicas basicas
a) Direta (H ⇒ T)
b) Indireta
b.1) contra-recıproco ( ¬ T ⇒ ¬ H)
b.2) por absurdo: consiste em negar a tese (assumindo a hipotese ver-dadeira) e desenvolver um argumento logico corrente que produzauma contradicao da hipotese.
Exemplo: Teorema:√
2 e um numero irracional.
Demonstracao. T:√
2 e um numero irracional
Suponha, por absurdo, que√
2 e racional, ou seja, que√
2 = a/b,onde a, b sao numeros inteiros, b 6= 0 e a e b nao possuem fatoresem comum (isto e, a/b e irredutıvel)√
2 =a
b⇒ (
√2)2 =
a2
b2⇒ 2 =
a2
b2
isto e, a2 = 2b2 e um numero par (∗)Lembrando que, se a2 e par, entao a e par. Logo, a = 2l (∗∗)Substituindo (∗∗) em (∗), temos
(2l)2 = 2b2 ⇒ 4l2 = 2b2 ⇒ 2l2 = b2
isto e, b2 e par. Assim, b e par, isto e, b = 2m (∗ ∗ ∗)Conclusao: De (∗∗) e (∗ ∗ ∗), a e b tem 2 como fator comum, oque contradiz nossa hipotese de a fracao a/b ser irredutıvel.
√2 e
irracional. ¥
Exercıcio: (da 1 -a Lista, pag. 180)2) Considere as afirmacoes seguintes:
• Todo automovel alemao e bom
• Se um automovel e bom, entao ele e caro
• Existem automoveis suecos bons
• Se nao choveu, entao todas as lojas estao abertas
• Se x < y, entao z = 5 ou z = 7
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Admitindo a veracidade dessas 5 afirmacoes e admitindo que existamautomoveis franceses, alemaes, suecos e coreanos, julgue os itens a seguir:
a) (V ) Se alguma loja esta fechada, entao choveu. (C-R)
b) (V ) Se um automovel nao e caro, entao ele pode ser frances. (C-R)
c) (V ) Alguns automoveis suecos sao caros.
d) (F ) Existem automoveis coreanos caros.
e) (F ) Um automovel alemao pode nao ser caro.
f) (F ) Se z 6= 5 e z 6= 7, entao x > y.
2 Nocoes de Teoria dos Conjuntos
Tres conceitos primitivos
• Conjunto: qualquer colecao de objetos;
• Elemento: objeto que constitui um conjunto;
• Pertinencia: relacao entre conjunto e elemento.
Notacao.A,B,C, . . . - conjuntosa, b, c, . . . - elementosx ∈ A (le-se: “x pertence ao conjunto A”)x /∈ A (le-se: “x nao pertence a A”)
Definicao 2.1 (Igualdade de Conjuntos). Dois conjuntos A e B saoiguais se eles tem os mesmos elementos.
Notacao. A = B ⇔ (∀ x)((x ∈ A → x ∈ B) ∧ (x ∈ B → x ∈ A))
Exemplo: A =
{1
3
}
, B =
{∫ 1
0
x2dx
}
A = B
Caracterizacao de Conjuntos:
13
i) Enumeracao dos elementos do conjunto;
ii) Atraves de uma propriedade (sentenca aberta) especıfica dos elementosdo conjunto;
iii) Atraves de um dispositivo pratico (Diagrama de Venn)
Notacao. A = {x |P (x)}
Exemplo: A = {x |x e professor ou pesquisador de Algebra do Departa-mento de Matematica}
B = {y | y e a nacionalidade dos professores de Algebra do Departamentode Matematica da UnB}
A = { Pavel Zalesski, Pavel Shumyatsky, Alexei Krassilnikov, RudolfMaier, Said Sidki, Salahoddin Shokranian, Nigel Pitt, Helder Matos, MarcusVinıcius, Hemar Godinho, Lineu Neto}
B = { russo, alemao, arabe, iraniano, ingles, brasileiro}Alguns conjuntos notaveis:
a) Universo: conjunto mais abrangente dentro de um certo contexto ma-tematico;
Notacao. E = conjunto universoEm C1, C2 e C3: E = REm VC: E = C
b) Vazio: conjunto que nao possui elementos;
Notacao. { } ou ∅
c) Unitario: conjunto que possui um unico elemento.Exemplo: A = {x |x e um mes que possui apenas 28 ou 29 dias} ={ fevereiro}
Definicao 2.2 (Inclusao). Sejam A e B conjuntos quaisquer. Dizemosque A e subconjunto de B (ou A e parte de B ou A esta contido em B ou Bcontem A) se todo elemento de A e tambem elemento de B.
Notacao. A ⊆ B (ou B ⊇ A) ⇔ (∀x)(x ∈ A → x ∈ B)
Negacao: A * B (ou B + A) ⇔ (∃x)(x ∈ A ∧ x /∈ B)
14
Dizemos que A e um subconjunto proprio de B (ou A e parte propria deB ou B contem propriamente A) se A ⊆ B e A 6= B.
Em termos de Diagrama de Venn:
A
B
Notacao. A ⊂ B(ou A $ B) ⇔ (∀ x)(x ∈ A → x ∈ B) ∧ (∃ x)(x ∈ B ∧ x /∈ A)
Observacoes. i) A = B ⇔ A ⊆ B e B ⊆ A;
ii) A ⊆ A;
iii) ∅ ⊆ A
De fato: suponha, por absurdo, que ∅ * A. Assim, (∃ x)(x ∈ ∅∧x /∈ A).Mas, como ∅ nao possui elemtos, isto e absurdo.
Definicao 2.3 (Conjunto das Partes de Um Conjunto). Dado umconjunto A, definimos o conjunto das partes de A como sendo o conjunto detodos os subconjuntos de A.
Notacao. P (A) = {X | X ⊆ A}
Observacao. X ∈ P (A) ⇔ X ⊆ A
Exemplos:
a) A = ∅ ⇒ P (A) = {∅}
b) A = {a} ⇒ P (A) = {∅, {a}}
c) A = {a, b} ⇒ P (A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}
d) A = {a, b, c} ⇒ P (A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
Observacoes. a) Dado um conjunto A, definimos a cardinalidade de Acomo sendo o numero de elementos de A.
15
Notacao. |A| (ou n(A) ou #A)
b) Se |A| = n, entao |P (A)| = 2n
Conjuntos numericos:
• N = {1, 2, 3, 4, . . .} (numeros naturais)convencao: 0 /∈ N
• Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .} (numeros inteiros)
• Q = {a/b | a, b ∈ Z e b 6= 0} (numeros racionais)- numeros com representacao decimal finita: 1/2 = 0.5- numeros com representacao decimal infinita periodica: 1/3 =0, 333 . . .
• R = Q ∪ { numeros irracionais } (numeros reais)Exemplos:
√2 ∼= 1, 41;
√3 ∼= 1, 73; π ∼= 3, 14; e ∼= 2, 71828
• C = {a + bi | a, b ∈ R e i2 = −1 ou i =√−1} (numeros complexos)
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
Operacoes com Conjuntos (A,B ⊆ E)
A) Uniao: A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}
B) Interseccao: A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
C) Complementacao: ∁EA = {x ∈ E | x /∈ A}
D) Diferenca: A − B = {x | x ∈ A e x /∈ B} ou A\B
Observacoes. a) Se B ⊆ A, entao podemos escrever A − B de umamaneira alternativa:A − B = ∁A(B)
︸ ︷︷ ︸
complementar de B em relacao a A
= {x | x ∈ A e x /∈ B}
b) Quando o conjunto universo E for explicitado (e nao houver am-biguidade), vamos omiti-lo no sımbolo do complementar. Assim,∁E(A) = ∁(A) (A ⊆ E).
c) Se A ∩ B = ∅, entao A e B sao ditos conjuntos disjuntos.
16
Em termos de Diagrama de Venn:A) Uniao:
A B
E
A B
E
AB
E
(A ∩ B = ∅) (B ⊂ A)
B) Interseccao:
A B
E
A B
E
AB
E
(A ∩ B = ∅) (B ⊂ A)
C) Complementacao:
A
E
D) Diferenca:
A B
E
AB
E
Observacoes. a) A ∪ B e o “menor” conjunto que contem simultanea-mente A e B, isto e:
a.1) A ⊆ A ∪ B e B ⊆ A ∪ B;
a.2) Se A ⊆ C e B ⊆ C, entao A ∪ B ⊆ C.
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Notacao. (Reticulado) C
A ∪ B
OO
A
DD
;;wwwwwwwwwB
ZZ444444444444444
ccGGGGGGGGG
b) A ∩B e o “maior” conjunto que esta contido simultaneamente em A eB, isto e:
b.1) A ∩ B ⊆ A e A ∩ B ⊆ B;
b.2) Se C ⊆ A e C ⊆ B, entao C ⊆ A ∩ B.
Notacao. (Reticulado) A B
A ∩ B
ccGGGGGGGGG
;;wwwwwwwww
C
ZZ444444444444444
OO
DD
Exercıcios:
1) Sejam A,B ⊆ E. Mostre que se A ⊆ B, entao ∁E(B) ⊆ ∁E(A).
2) Sejam A,B ⊆ E. Mostre que:
a) ∁E(A ∪ B) = ∁E(A) ∩ ∁E(B) (1 -a Lei de De Morgan)
b) ∁E(∁E(A)) = A
3) Sejam A,B,C,D ⊆ E tais que A ⊆ C e B ⊆ D. Mostre que:
a) A ∪ B ⊆ C ∪ D
b) A ∩ B ⊆ C ∩ D
4) De um contra-exemplo que refute a seguinte afirmacao: se A ∪ B =A ∪ C, entao B = C.
5) (Desafio) Mostre que se A∪B = A∪C e A∩B = A∩C, entao B = C
18
Demonstracao. 1)
{H: A ⊆ B ⇔ (∀ x)(x ∈ A → x ∈ B) (∗)T: ∁E(B) ⊆ ∁E(A)
Queremos mostrar que dado x ∈ ∁E(B) qualquer, entao x ∈ ∁E(A)
x ∈ ∁E(B) ⇒ x /∈ B(∗)
(C−R)+3 x /∈ A ⇒ x ∈ ∁E(A)
Como x e arbitrario, entao
(∀ x)(x ∈ ∁E(B) → x ∈ ∁E(A)), isto e, ∁E(B) ⊆ ∁E(A). ¥
Demonstracao. 2) (se algum dos conjuntos envolvidos for ∅, nao ha nadaa demonstrar)
a) Tome x ∈ ∁E(A ∪ B)
x ∈ ∁E(A ∪ B) ⇔ x /∈ A ∪ B ⇔ x /∈ A e x /∈ B ⇔ x ∈ ∁E(A) e x ∈ ∁E(B)⇔ x ∈ ∁E(A) ∩ ∁E(B)
b) Tome x ∈ ∁E(∁E(A))
x ∈ ∁E(∁E(A)) ⇔ x /∈ ∁E(A) ⇔ x ∈ A ¥
Demonstracao. 3)
H:
{A ⊆ C (∗)B ⊆ D (∗∗)
T:
{a) A ∪ B ⊆ C ∪ Db) A ∩ B ⊆ C ∩ D
a) x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ou x ∈ B(∗)⇒ x ∈ C ou x ∈ D ⇒ x ∈ C ∪ D
b) x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A e x ∈ B ⇒ x ∈ C e x ∈ D ⇒ x ∈ C ∩ D ¥
Leis da Algebra de Conjuntos
• E 6= ∅ (conjunto universo)
• A,B,C ⊆ E (isto e, A,B,C ∈ P (E))
• duas “operacoes” binarias: ∪,∩
• uma “operacao” unaria: ∁E
19
• dois extremos universais: ∅ e E
Teorema 2.4. (P (E),∪,∩, ∁E, ∅, E) e uma Algebra Booleana (ou Algebrade Boole), isto e, satisfaz as seguintes leis:
i) (associativas)
{A ∪ B(B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ CA ∩ B(B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
ii) (comutativas)
{A ∪ B = B ∪ AA ∩ B = B ∩ A
iii) (idempotentes)
{A ∪ A = AA ∩ A = A
iv) (absorcao)
{A ∪ (A ∩ B) = AA ∩ (A ∪ B) = A
v) (distributivas)
{A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
vi) (extremos universais)
A ∪ ∅ = AA ∩ ∅ = ∅A ∪ E = EA ∩ E = A
vii) (complementacao)
A ∪ ∁E(A) = EA ∩ ∁E(A) = ∅∁E(∁E(A)) = A
viii) (de Morgan)
{∁E(A ∪ B) = ∁E(A) ∩ ∁E(B)∁E(A ∩ B) = ∁E(A) ∪ ∁E(B)
Dois exemplos de Algebras Booleanas
PROPOSICOES CONJUNTOS∨ (ou) ∪∧ (e) ∩
¬ (nao) ∁E
v (taut) E (universo)f (cont) ∅
equivalencia igualdade dede proposicoes conjuntos
20
1 -a lista
6) A,B ⊆ EA △ B := (A − B) ∪ (B − A)
ii) d) Tese: A △ B = (A ∪ B) − (A ∩ B) (igualdade de conjuntos)
Demonstracao. Devemos mostrar a dupla inclusao:
I) A △ B ⊆ (A ∪ B) − (A ∩ B) eII) (A ∪ B) − (A ∩ B) ⊆ A △ B
I) A △ B ⊆ (A ∪ B) − (A ∩ B)
Se A △ B = ∅, entao nao ha nada a demonstrar. Se A △ B 6= ∅,entao tome x ∈ A △ B (qualquer).
x ∈ A △ B ⇒ x ∈ (A − B) ∪ (B − A)
⇒
x ∈ A − Bou
x ∈ B − A⇒
x ∈ A e x /∈ B (1)ou
x ∈ B e x /∈ A (2)
(1)
x ∈ Ae
x /∈ B
(∗)⇒ x ∈ A∪B e x /∈ A∩B ⇒ x ∈ (A∪B)− (A∩B)
(2)
x ∈ Be
x /∈ A
(∗∗)⇒ x ∈ A∪B e x /∈ A∩B ⇒ x ∈ (A∪B)−(A∩B)
(∗) A ⊆ A ∪ B; A ∩ B ⊆ B(∗∗) B ⊆ A ∪ B; A ∩ B ⊆ A
II) (A ∪ B) − (A ∩ B) ⊆ A △ B
Se (A ∪ B) − (A ∩ B) = ∅, entao nao ha nada a demonstrar.Se (A ∪ B) − (A ∩ B) 6= ∅, entao tome x ∈ (A ∪ B) − (A ∩ B)(qualquer).
x ∈ (A∪B)− (A∩B) ⇒
x ∈ A ∪ Be
x /∈ A ∩ B⇒
x ∈ A ou x ∈ Be
x /∈ A ou x /∈ B
dist.=⇒
(x ∈ A ou x ∈ B) e (x /∈ A)ou
(x ∈ A ou x ∈ B) e (x /∈ B)
21
dist.=⇒
(x ∈ A e x /∈ A) ou (x ∈ B e x /∈ A)ou
(x ∈ A e x /∈ B) ou (x ∈ B e x /∈ B)
⇒
x ∈ B e x /∈ Aou
x ∈ A e x /∈ B⇒ x ∈ (A − B) ∪ (B − A)
¥
9)
(⇒)
{H: A ⊆ BT: P (A) ⊆ P (B)
Queremos mostrar que P (A) ⊆ P (B), isto e (∀ X)(X ∈ P (A) → X ∈P (B)). De fato:
Tome X ∈ P (A) ⇒ X ⊆ AA ⊆ B
=⇒ X ⊆ B ⇒ X ∈ P (B).
(⇐)
{H: P (A) ⊆ P (B)T: A ⊆ B
Por hipotese, P (A) ⊆ P (B), isto e, (∀ X)(X ∈ P (A)) → (X ∈ P (B)).Em particular, tome X = A. Assim, A ∈ P (A) (pois A ⊆ A) ⇒ A ∈P (B), isto e A ⊆ B.
10) ∅ 6= A,B ⊆ E|A| < ∞; |B| < ∞Tese: a) A ∩ B = ∅ ⇒ |A ∪ B| = |A| + |B|b) A ⊆ B ⇒ |B − A| = |B| − |A|c) |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Demonstracao.
a) A = {a1, a2, . . . , am} (|A| = m ∈ N)B = {b1, b2, . . . , bn} (|B| = n ∈ N)
Se A ∩ B = ∅, entao ai 6= bj, ∀ 1 6 i 6 m, ∀ 1 6 j 6 n. Entao,A ∪ B = {a1, a2, . . . , am, b1, b2, . . . , bn}, isto e, |A ∪ B| = m + n =|A| + |B|.
b) Observe que A ∩ (B − A) = ∅.Por a), |A ∪ (B − A)| = |A| + |B − A| ⇒ |B − A| = |B| − |A|.
22
A
B
B − A
ւ
c) Usando a) (inducao),
|(A − B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B − A)|︸ ︷︷ ︸
A ∪ B
= |A − B|︸ ︷︷ ︸
I
+ |A ∩ B|︸ ︷︷ ︸
II
+ |B − A|︸ ︷︷ ︸
III
A − BB − AA ∩ B
ւ ց↓
|A| a)= |A − B| + |A ∩ B| ⇒ |A − B| = |A| − |A ∩ B| (∗)
|B| a)= |A ∩ B| + |B − A| ⇒ |B − A| = |B| − |A ∩ B| (∗∗)
A
A − B A ∩ B
B
B − AA ∩ B
Substituindo (∗) em I e (∗∗) em III, temos|A∪B| = |A|−|A∩B|+|A∩B|+|B|−|A∩B| = |A|+|B|−|A∩B|
¥
3 Relacoes e Funcoes
Conceito primitivo:
• par ordenado (a, b) (coordenada)
• igualdade de pares ordenados:
(a, b) = (c, d) ↔{
a = c eb = d
23
Observacao. Nao confundir conjunto com par ordenado.conjunto: a ordem e irrelevante {a, b} = { b, a}par ordenado: a ordem e essencial (a, b) 6= (b, a) (se a 6= b)
Definicao 3.1 (Produto Cartesiano). Sejam A,B 6= ∅, Definimos oProduto Cartesiano de A por B, simbolizado por A×B, como sendo o seguinteconjunto:
A × Bdef
:= {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B}Caso particular: A = B
A2 = A × A = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ A}
Observacoes. a) Se |A| = m e |B| = n, entao |A × B| = m · n
b) Se A = ∅ ou B = ∅, entao A × B = ∅
c) Em geral, A × B 6= B × A
Exemplo: A = {1, 2, 3}, B = {?, !}A × B = {(1, ?), (1, !), (2, ?), (2, !), (3, ?), (3, !)} 6=B × A = {(?, 1), (?, 2), (?, 3), (!, 1), (!, 2), (!, 3)}
d) Podemos generalizar produto cartesiano para n conjuntos (n ∈ N)
A1, A2, A3, . . . , An 6= ∅A1 × A2 × A3 × . . . × An = {(x1, x2, . . . , xn) | xi ∈ Ai, 1 6 i 6 n}Se A1 = A2 = . . . = An = A, entao An = A × A × . . . × A ={(x1, x2, . . . , xn) | xi ∈ A, i = 1, . . . , n}
Exemplos:
a) R2 = R × R = {(x, y) | x, y ∈ R}
R (eixo-x)
R (eixo-y)
0
b) R3 = R × R × R = {(x, y, z) | x, y, z ∈ R}
24
R (eixo-x)
R (eixo-y)
R (eixo-z)
Definicao 3.2 (Relacao). Sejam A,B 6=. Dizemos que R e uma relacao(“binaria”) de A em B se R e um subconjunto de A × B.
Simbolicamente: R e relacao de A em B ↔ R ⊆ A × B
Notacoes. • a R b ⇔ (a, b) ∈ R
(negacao: a 6R b ⇔ (a, b) /∈ R)
• D(R) = domınio da relacao R = {x ∈ A | ∃ y ∈ B, (x, y) ∈ R} ⊆ A(conjunto dos primeiros elementos dos pares ordenados de R)
• Im(R) = imagem da relacao R = {y ∈ B | ∃ x ∈ A, (x, y) ∈ R} ⊆ B(conjunto dos segundos elementos dos pares ordenados de R)
Observacoes. i) Uma relacao pode ser representada de tres maneiras:
a) atraves de uma lei de formacao que relacione elementos x ∈ A ey ∈ B (pares ordenados);
b) atraves de Diagrama de Venn (se |A| < ∞ e |B| < ∞) (“diagramasde fecha”);
c) no plano cartesiano;
ii) Se A = B, entao uma relacao R de A em B e dita relacao sobre A.R e relacao sobre A ⇔ R ⊆ A2
Exemplos:
a) A = ZR1 = {(x, y) ∈ Z2 | x2 + y2 = 1} ⊆ Z2 = Z × Z
b) A = RR2 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}
c) A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {6, 7, 8}R3 = {(x, y) ∈ A × B | x divide y}
25
d) A = {a, b, c, d}, B = {a, b, c}R3 = {(x, y) ∈ A × B | x precede y no alfabeto}
e) A = RR5 = {(x, y) ∈ R2 | x + y 6 1}
f) A = { Calculo 1, Calculo 2, Calculo 3 },B = { IAL, Calculo Numerico, EDO, VC }R6 = {(x, y) ∈ A × B | x e pre-requisito direto de y}
Em termos de graficos e/ou diagramas de flechas, tambem temos as seguintesrepresentacoes:
a) R1 = {(−1, 0), (1, 0), (0, 1), (0,−1)}y
x
0
(1, 0)
(0, 1)
(−1, 0)
(0,−1)
0 0
11
−1 −1
ZZ
D(R1) = {−1, 0, 1}Im(R1) = {−1, 0, 1}
b) (cırculo unitario)
y
x0−1
−1
1
1D(R2) = [−1, 1] = {x ∈ R | −1 6 x 6 1}Im(R2) = [−1, 1] = {y ∈ R | −1 6 y 6 1}
c) R3 = {(1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 6), (2, 8), (3, 6), (4, 8)}
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2 3 4 5
678
x
y
D(R3) = {1, 2, 3, 4}Im(R3) = {6, 7, 8}
Observacao. Sejam x, y ∈ Z. Dizemos que “x divide y” se existez ∈ Z tal que x · z = y.
26
d) R4 = {(a, b), (a, c), (b, c)}
aa
bb
cc
d
D(R4) = {a, b}Im(R4) = {b, c}
e) (semiplano inferior)
1
1
x + y = 1
x
y
D(R5) = RIm(R5) = R
f) R6 = {(C2, EDO), (C2, CN), (C3, V C)}
C1
C2
C3
IAL
CN
EDO
V C
D(R6) = {C2, C3}Im(R6) = {EDO,CN, V C}
Definicao 3.3 (Relacao de Equivalencia). Seja A 6= ∅. Seja R umarelacao sobre A (isto e, R ⊆ A × A). Dizemos que R e uma Relacao deEquivalencia se R satisfaz as seguintes condicoes:
(Reflexiva)(RE1) ∀ a ∈ A, a R a; (isto e, (a, a) ∈ R,∀ a ∈ A)
(Simetrica)(RE2) ∀ a, b ∈ A, a R b → bR a; (isto e, se (a, b) ∈ R, entao(b, a) ∈ R)
(Transitiva)(RE3) ∀ a, b, c ∈ A, (a R b) ∧ (bR c) → a R c. (isto e, se(a, b) ∈ R, (b, c) ∈ R, entao (a, c) ∈ R)
Exemplos:
1) A = { retas no plano } r, s ∈ Ar R s ⇔ r ‖ s (r ∩ s = ∅ ou r = s)
Afirmacao. R e relacao de equivalencia.
27
De fato:(RE1) r R r, pois r = r;(RE2) r R s → s R r (r ∩ s = ∅ → s ∩ r = ∅);(RE3) r R s, s R t → r R t (r ∩ s = ∅ s ∩ t = ∅ → r ∩ t = ∅)
2) A = { retas no plano } r, s ∈ Ar R s ⇔ r ⊥ s (r ∩ s = {p})Afirmacao. R nao e relacao de equivalencia.
(RE1) FALHA, pois uma reta nao e perpendicular a si mesma;(RE2) e verdadeira, pois r ⊥ s → s ⊥ r, ∀ r, s ∈ A;(RE3) FALHA, pois r ⊥ s e s ⊥ t ; r ⊥ t
3) A = { alunos de Algebra 1 (turma A) - 1 -o/2004 } x, y ∈ AxR y ⇔ x e y fazem o mesmo curso (curso (x) = curso (y))
R e relacao de equivalencia, pois:
(RE1) ∀ x ∈ A, xR x;(RE2) ∀ x, y ∈ A, se xR y, entao y R x;(RE3) ∀ x, y, z ∈ A, se xR y e y R z, entao xR z.
4) E 6= ∅A = P (E) = {X | X ⊆ E} X,Y ∈ AX R Y ⇔ X ⊆ Y (inclusao)
R NAO e relacao de equivalencia, pois
(RE1) e valida, pois X ⊆ X, ∀ x ∈ A;(RE3) e valida, pois se X ⊆ Y e Y ⊆ Z, entao X ⊆ Z, ∀ X,Y, Z ∈ A;(RE2) FALHA, pois X ⊆ Y ; Y ⊆ X.
Exemplo: E = {1, 2, 3}X = {1} ⊆ E e Y = {1, 2} ⊆ ETemos que X ⊆ Y , mas Y * X
5) A = Zx ∈ Z e par se x = 2k, k ∈ Zx ∈ Z e ımpar se x = 2k + 1, k ∈ Zx, y ∈ AxR y ⇔ x − y = 2k, k ∈ Z (isto e, x e y tem a mesma paridade)
R e relacao de equivalencia, pois:
28
(RE1) ∀ x ∈ A, xR x, pois x − x = 0 = 2 · 0(RE2) ∀ x, y ∈ A, xR y
︸ ︷︷ ︸
H
⇒ y R x︸ ︷︷ ︸
T
:
xR y ⇒ x − y = 2k×(−1)=⇒ y − x = 2
∈ Z︷ ︸︸ ︷
(−k) ⇒ y R x
(RE3) ∀ x, y, z ∈ A, (xR y) e (y R z)︸ ︷︷ ︸
H
⇒ xR z︸ ︷︷ ︸
T
:
xR y ⇒ x − y = 2ky R z ⇒ y − z = 2l
}
⇒ x − y = 2 k + l︸︷︷︸
∈ Z
⇒ xR z
Tal relacao e chamada de Congruencia Modulo 2 e e simbolizada por:x ≡ y (mod 2) (le-se: x e congruente a y modulo 2, isto e, x e y deixamo mesmo resto na divisao por 2) (dois restos possıveis {0,1})
6) (Divisibilidade)A = Z x, y ∈ Z
Dizemos que “x divide y” (ou “x e divisor de y” ou “x e fator de y”ou “y e multiplo de x” ou “y e divisıvel por x”) se existe z ∈ A tal quex · z = y
Simbolicamente:
x | y∗ ⇔ ∃ z ∈ A, x · z = y ∗(le-se: x divide y)
Propriedades:
a) 1 | a,∀ a ∈ Z (pois 1 · a = a);
b) a | 0,∀ a ∈ Z (pois a · 0 = 0);(Em particular, 0 | 0) (e ind pois 0 = 0x,∀ x ∈ A)
c) a | a,∀ a ∈ Z (pois a = a · 1);
d) a | b e b | a ⇒ a = ± b;
e) a | b e c | d ⇒ a c | b d;
f) a | b e b | c ⇒ a | c; (transitiva)
g) a | b e a | c ⇒ a | b x + c y, ∀ x, y ∈ A;“a divide qualquer combinacao linear inteira de b e c”
29
xR y ⇔ x | yR nao e relacao de equivalencia, pois:
(RE1) e verdadeira, pela propriedade c;(RE3) e verdadeira, pela propriedade f;(RE2) FALHA, pois a | b ; b | a.
Exemplo: 3 | 12 (pois 12 = 3 · 4), mas 12 ∤ 3.
Notacoes (para Relacao de Equivalencia). A 6= ∅ munido de umarelacao de equivalencia R.
• R ↔ ∼ ;(a R b ⇔ a ∼ b)
• x ∈ AA ⊇ x
def
:= {a ∈ A | a ∼ x}(classe de equivalencia de x pela relacao ∼)
• A/∼ = {x | x ∈ A}(conjunto quociente de A pela relacao ∼ ou conjunto de todas as classesde equivalencia)
Exemplos: (Voltando aos exemplos anteriores)
1) (Paralelismo)A = { retas do plano } r, s ∈ Ar ∼ s ⇔ r ‖ sr = {a ∈ A | a ∼ r} = {a ∈ A | a ‖ r} (feixe de retas paralelas a r)s = {a ∈ A | a ∼ s} = {a ∈ A | a ‖ s} (feixe de retas paralelas a s)
(Tais conjuntos r e s representam direcoes do plano, horizontal e ver-tical, respectivamente)
A/∼ = {a | a ∈ A} = { direcoes do plano } = {→, ↑,ր, . . .}
3) (Disciplina de Algebra 1)A = { alunos de Algebra 1 (turma A) - 1 -o/2004 } x, y ∈ Ax ∼ y ⇔ curso (x) = curso (y)
Jorge = {a ∈ A | a ∼ Jorge} = {a ∈ A | curso(a) = MAT} (conjuntodos alunos de MAT desta disciplina representados dor Jorge)
Eduardo = {a ∈ A | a ∼ Eduardo} = {a ∈ A | curso(a) = CIC}
30
Renan = {a ∈ A | a ∼ Renan} = {a ∈ A | curso(a) = curso (Renan)= ENE}Fernando = {a ∈ A | a ∼ Fernando} = {a ∈ A | curso(a) = EST}Felipe = {a ∈ A | a ∼ Felipe} = {a ∈ A | curso(a) = FIS}A/∼ = {a | a ∈ A} = {Jorge, Eduardo, Renan, Fernando, Felipe}{MAT, CIC, ENE, EST, FIS}
AJorge Eduardo Renan Fernando FelipeMAT CIC ENE EST FIS
(Particao de A)
Observacoes. a) As cinco classes acima sao duas a duas disjuntas,isto e, X ∩ Y = ∅ (onde X 6= Y )
b) Jorge ∪ Eduardo ∪ Renan ∪ Fernando ∪ Felipe = A
5) A = Zx ∼ y ⇔ x − y = 2k, k ∈ Z
0 = {a ∈ A | a ∼ 0} = {a ∈ Z | a − 0 = 2k} = {a ∈ Z | a = 2k} ={0,±2,±4,±6, . . .} (conjunto dos numeros pares)
1 = {a ∈ A | a ∼ 1} = {a ∈ Z | a − 1 = 2k} = {a ∈ Z | a = 2k + 1} ={±1,±3,±5,±7, . . .} (conjunto dos numeros ımpares)
A/∼ = {0, 1}0 1 A
Observe que: a) 0 ∩ 1 = ∅;
b) 0 ∪ 1 = A
Observacoes. a) X 6= ∅,∀ x ∈ A; Isto se deve ao fato de uma relacao deequivalencia ∼ satisfazer a propriedade reflexiva (RE1) ∀ x ∈ A, x ∼ x;(ou seja, x ∈ X)
b) Dois elementos sao equivalentes se , e somente se, eles representam amesma classe. (Isto e, X = Y ⇔ X ∼ Y )
31
Demonstracao. (⇒)
{H: X = YT: x ∼ y
X = {a ∈ A | a ∼ x} = {b ∈ A | b ∼ y} = Yx ∈ X (pois x ∼ x) ⇒ x ∈ Y , isto e, x ∼ yX = Y
(⇐)
{H: x ∼ yT: X = Y (igualdade de conjuntos)
Queremos mostrar uma dupla inclusao: X ⊆ Y e Y ⊆ X.Vamos mostrar apenas a 1 -a inclusao (a 2 -a e analoga, bastando trocar x
por y).Tome a ∈ X (arbitrario). Devemos mostrar que a ∈ Ya ∈ X ⇒ a ∼ x (I)Por hipotese, x ∼ y (II)De (I) e (II), segue que a ∼ y (pela propriedade transitiva (RE3)). Assim,
a ∈ Y .Conclusao: X ⊆ Y ¥
Definicao 3.4 (Particao de Um Conjunto). Seja A 6= ∅. Seja B umacolecao nao-vazia de subconjuntos de A (isto e, ∅ 6= B ⊆ P (A)). Dizemosque B e uma particao de A se:
i) ∅ /∈ B; (isto e, todo elemento de B e nao vazio)
ii) Quaisquer dois elementos distintos de B sao disjuntos (isto e, ∀ B1, B2
∈ B, se B1 6= B2, entao B1 ∩ B2 = ∅)
iii) A uniao de todos os elementos de B “reproduz” o conjunto original.⋃
Bi∈B Bi = A
Teorema 3.5. Seja A 6= ∅ munido de uma relacao de equivalencia ∼.Entao, o conjunto quociente A/∼ = {x | x ∈ A} e uma particao de A.(vide os tres exemplos anteriores)
Demonstracao. Devemos verificar que A/∼ = B satisfaz as tres condicoesde uma particao, a saber:
i) ∅ /∈ A/∼;
ii) ∀ X,Y ∈ A/∼, se X 6= Y , entao X ∩ Y = ∅;
32
iii)⋃
X = A.
De fato:
i) (ok!), pois X 6= ∅ (pois x ∈ X);
ii) Equivalentemente, pelo Contra-Recıproco (ou Contra-Positiva), vamosmostrar que se X ∩ Y 6= ∅, entao X = Y .
Tome a ∈ X ∩ Y ⇒
a ∈ Xe
a ∈ Y=⇒
a ∼ xe
a ∼ y
(RE2)=⇒
x ∼ ae
a ∼ y
(RE3)=⇒
x ∼ y ⇒ X = Y
iii) (igualdade de conjuntos)
I)⋃
X ⊆ A;De fato: ∀ x ∈ A, X ⊆ A ⇒ ⋃
X ⊆ A
II) A ⊆ ⋃X:
∀ x ∈ A, x ∈ X ⊆ ⋃X ⇒ x ∈ ⋃
X ¥
Exemplo: (exercıcio 1 da 2 -a lista, pag. 184)Determine todas as relacoes de equivalencia sobre A = {1, 2, 3} e os respec-tivos conjuntos-quociente:
• A = {1}R = { (1,1) } e a unica relacao de equivalencia sobre A1 = {a ∈ A | a ∼ 1} = {1}A/∼ = {1} = {{1}}
• A = {1, 2}R1 = { (1,1), (2,2) } e uma relacao de equivalencia sobre AR2 = { (1,1), (2,2), (1,2), (2,1) } e uma relacao de equivalencia
Analise para R1:1 = {1} e 2 = {2}A/R1 = {1, 2} = {{1}, {2}}Analise para R2:1 = {1, 2} = 2A/R2 = {1}
33
• A = {1, 2, 3}R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}R2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}R3 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 3), (3, 1)}R4 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 3), (3, 2)}R5 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2)} = A×A
Analise para R1
1 = {1}; 2 = {2}; 3 = {3}A/R1 = {1, 2, 3} = {{1}, {2}, {3}}Analise para R2
1 = {1, 2} = 2; 3 = {3}A/R2 = {1, 3} = {{1, 2}, {3}}Analise para R5
1 = 2 = 3 = {1, 2, 3}A/R5 = {I} = {{1, 2, 3}}Analise para R3:2 = {2}; 1 = 3 = {1, 3}A/R3 = {1, 2} = {{1, 3}, {2}}Analise para R4:1 = {1}; 2 = 3 = {2, 3}A/R4 = {1, 2} = {{1}, {2, 3}}
Exercıcio: Explique a razao pela qual as seguintes relacoes NAO sao deequivalencia sobre A = {1, 2, 3}
a) R∗ = { (1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1) }nao satisfaz a propriedade reflexiva para o 3 (RE1 falha)
b) R∗∗ = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2) }nao satisfaz a propriedade simetrica (falta (2, 1)) (RE2 falha)
c) R∗∗∗ = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1) }nao satisfaz a propriedade transitiva (falta (2, 3) e (3, 2)) (RE3 falha)
Definicao 3.6 (Relacao de Ordem). Seja A 6= ∅ munido de uma relacaoR (isto e, R ⊆ A × A). Dizemos que R e uma Relacao de Ordem Parcial(ou que A e parcialmente ordenado por R) se valem as seguintes condicoes:
34
(RO1) ∀ a ∈ A, a R a (isto e, (a, a) ∈ R)); (Reflexiva)
(RO2) ∀ a, b ∈ A, se a R b e bR a, entao a = b; (Anti-Simetrica)
(RO3) ∀ a, b, c ∈ A, se a R b e bR c, entao a R c. (Transitiva)
Observacao. Dizemos que R e uma relacao de ordem total (ou que A etotalmente ordenado por R) se, alem de (RO1), (RO2) e (RO3), vale umapropriedade adicional:
(RO4) ∀ a, b ∈ A, tem-se que ou a R b ou bR a; (para a 6= b)
(isto e, quaisquer dois elementos podem ser comparados)
Notacao (para Relacao de Ordem). R ↔6 (le-se: precede ou igual)
Exemplos:
1) A = N (ou Z ou Q ou R)x, y ∈ Ax 6 y ⇔ x − y 6 0 (6 = ordem natural)
x y
6 e relacao de ordem total, pois
(RO1) x 6 x,∀ x ∈ A;(RO2) ∀ x, y ∈ A, x 6 y e y 6 x ⇒ x = y;(RO3) ∀ x, y, z ∈ A, x 6 y e y 6 z ⇒ x 6 z;(RO4) ∀ x, y ∈ A, x 6 y ou y 6 x
2) E 6= ∅A = P (E) = {X | X ⊆ E}X,Y ∈ AX 6 Y ⇔ X ⊆ Y (lei de formacao)6 e uma relacao de ordem parcial (em geral, nao e total)
(RO1) ∀ X ∈ A, X ⊆ X;(RO2) ∀ X,Y ∈ A, se X ⊆ Y e Y ⊆ X, entao X = Y ; (igualdade deconjuntos)(RO3) ∀ X,Y, Z ∈ A, se X ⊆ Y e Y ⊆ Z, entao X ⊆ Z
35
Observacoes. a) Em geral tal relacao nao e total.
Exemplo: E = {1, 2}A = P (E) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}X = {1}, Y = {2}Temos que X * Y e Y * X.
b) Se A e finito, entao podemos representar graficamente uma relacaode ordem atraves de um RETICULADO. (“Teoria dos Grafos”)
Exemplo: E = {1, 2, 3}A = P (E) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}X,Y ∈ AX 6 Y ⇔ X ⊆ Y (6 ↔ ⊆)
E = {1, 2, 3}
{1, 2}
88pppppppppp
{1, 3}
OO
{2, 3}
ffNNNNNNNNNN
{1}
OO 88pppppppppppp{2}
ffNNNNNNNNNNNN
88pppppppppppp{3}
ffNNNNNNNNNNNN
OO
∅
ggNNNNNNNNNNNNNN
OO 77pppppppppppppp
Observacao. Num reticulado e possıvel visualizar quando dois ele-mentos nao sao comparaveis. Tais elementos devem estar no mesmonıvel, de maneira que nao haja aresta(s) ligando-os. No exemplo an-terior, { 1 }, { 2 }, e { 3 } estao no mesmo nıvel. Logo, nao saocomparaveis ({ 1 } * { 2 } e { 2 } * { 1 })
3) A = Nx, y ∈ Ax 6 y ⇔ x | y (isto e, x · z = y, para algum z ∈ A)6 e uma relacao de ordem parcial (nao e total):
(RO1) ∀ x ∈ A, x | x (pois x = 1 · x);(RO2) ∀ x, y ∈ A, se x | y e y | x
︸ ︷︷ ︸
H
, entao x = y︸ ︷︷ ︸
T
;
De fato:x | y ⇒ x · z1 = y (I) (z1 ∈ A)
36
y | x ⇒ y · z2 = x (II) (z2 ∈ A)(I) → (II):(x · z1) · z2 = x ⇒ z1 · z2 = 1 ⇒ z1 = 1 = z2
Assim, x = y.
(RO3) ∀ x, y, z ∈ A, se x | y e y | z︸ ︷︷ ︸
H
, entao x | z︸︷︷︸
T
x | y ⇒ x · l = y (I) (l ∈ A)y | z ⇒ y · m = z (II) (m ∈ A)(I) → (II):(x · l) · m = z ⇒ x · (l · m)
︸ ︷︷ ︸
∈ A
= z ⇒ x | z
Tal relacao NAO e total pois existem elementos em A que nao saocomparaveis.
Exemplo: x = 2, y = 3x ∤ y e y ∤ x
Exercıcios: 1)Usando a relacao de divisibilidade, construa o reticulado cor-respondente ao conjunto A = {x ∈ N | x divide 12} = D+(12)
2) Mostre que a relacao de divisibilidade em Z nao e relacao de ordem(Sugestao: verifique que (RO2) falha).
Resolucao:
1) A = D+(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}x, y ∈ Ax 6 y ⇔ x | y
12
4
??~~~~~~~~6
__@@@@@@@@
2
__@@@@@@@@
??~~~~~~~~3
^^=======
1
__@@@@@@@@
@@¢¢¢¢¢¢¢
2) A = Z x, y ∈ Ax 6 y ⇔ x | y
37
(RO1) ∀ x ∈ A, x | x;(RO2) ∃ x, y ∈ A, x | y, y | x e x 6= yx | y ⇒ y = x · z1 (z1 ∈ A) (I)y | x ⇒ x = y · z2 (z2 ∈ A) (II)(II) → (I):y = y · z2 · z1 ⇒ z2 · z1 = 1 ⇒ z1 = z2 = ±1Entao x = y ou x = −y, logo x pode ser diferente de y.
Definicao 3.7 (Elemento Mınimo e Elemento Maximo). Sejam E 6=∅ e ∅ 6= A ⊆ E (A esta ordenado por 6).
i) Dizemos que m e um elemento mınimo de A se:
a) m ∈ A;
b) m e uma cota inferior de A, isto e, m 6 a, ∀ a ∈ A.
ii) Dizemos que M e um elemento maximo de A se:
a) M ∈ A;
b) M e uma cota superior de A, isto e, a 6 M, ∀ a ∈ A.
Exemplos:
1) A = N; 6 = ordem habitualA = N = {1, 2, 3, . . .}
– A tem elemento mınimo (= 1): 1 = min(A)
– A nao tem elemento maximo (pois n < n + 1,∀ n ∈ A)
Notacao. m = min(A) e M = max(A)
2) E 6= ∅, A = P (E); 6 = inclusaoA = N = {1, 2, 3, . . .}
– A tem elemento mınimo: ∅ = min(A)
– A tem elemento maximo: E = max(A)
3) A = Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}; 6 = ordem habitual
– A nao tem mınimo nem maximo (pois n−1 < n < n+1,∀ n ∈ A)
38
4) A = {x ∈ Z | x 6 5} = {. . . ,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}; 6 = ordem habitual
– A nao tem mınimo, mas tem maximo: 5 = max(A)
5) A = (0, 1) = {x ∈ R | 0 < x < 1}; 6 = ordem habitual
– A nao tem elemento mınimo (embora seja limitado inferiormente)
Observe que A possui infinitas cotas inferiores em E = R : 0,−1,−2,−3, . . . Mas nenhum x0 ∈ A e elemento mınimo (basta tomarx1 = 1/2 x0 < x0).
– A nao tem elemento maximo.
P.B.O. (Princıpio da Boa Ordenacao)
• 1 -a versao: (para N)Todo subconjunto nao-vazio de N possui elemento mınimo (isto e,∀ ∅ 6= A ⊆ N, ∃ min(A))
• 2 -a versao: (para Z)Todo subconjunto nao-vazio e limitado inferiormente de Z possui ele-mento mınimo.
• 3 -a versao: (caso geral)Seja E 6= ∅ munido de uma ordem total 6. E e dito bem ordenado(ou 6 e uma boa ordem) se todo subconjunto nao-vazio e limitadoinferiormente de E possui elemento mınimo.
Princıpio da Inducao Matematica
INDUCAO: PARTICULAR ⇒ GERAL
Observacao. Nao confundir a inducao matematica com a inducao empırica(usada nas Ciencias Naturais). A primeira delas e utilizada para demonstrarverdades matematicas em conjuntos infinitos que possuem elemento mınimo.Tal inducao baseia-se em logica e nao pode ser refutada (apos demonstrada)A segunda delas e “mais fraca” pois tenta explicar os fenomenos naturais apartir de um numero finito de observacoes (testadas experimentalmente), asquais podem ser invalidadas com o surgimento de uma nova teoria.
39
Teorema 3.8 (Princıpio de Inducao Matematica - 1 -a versao). Sejamn0 ∈ Z fixado e P (n) uma sentenca aberta que depende de n, onde n > n0.Suponha que P (n) satisfaca duas condicoes:
i) P (n0) e V ; (Base da Inducao)
ii) Para todo n > n0, se P (n) e V , entao P (n + 1) tambem o e. (Etapada Inducao)
Entao, P (n) e V , ∀ n > n0
Observacao. Na pratica, P (n) e chamada de Hipotese de Inducao. (filainfinita de dominos)
Demonstracao. Defina A = {n ∈ Z | n > n0 e P (n) e F}. Queremosmostrar que A = ∅. Suponha, por absurdo, que A 6= ∅. Como ∅ 6= A ⊆ Z ee limitado inferiormente, entao, pelo P.B.O. (2 -a versao) ∃ b = min(A), istoe, b ∈ A e b 6 n, ∀ n ∈ A. b: primeiro ındice para o qual a sentenca abertae falsa. Como b ∈ A, segue que P (b) e F . (∗)
n0 b
Alem disso, b > n0. Por i), P (n0) e V . Assim, b(∈ A) 6= n0(/∈ A) e,portanto, b > n0
b > n0 ⇒ b > n0 + 1
⇒ b − 1 > n0
Como b − 1 < b e b e o primeiro ındice para o qual P (n) e F , entaoP (b − 1) e V .
Por ii), se P (b − 1) e V , entao P ((b − 1) + 1) = P (b) e V . (∗∗)Conclusao: de (∗) e (∗∗), P (b) e F e V (absurdo). Portanto, A = ∅.
¥
Exemplos:
1) 1 + 2 + 3 + . . . + n =n(n + 1)
2︸ ︷︷ ︸
P (n) (∗)
, ∀ n ∈ N. n0 = 1
40
i) P (1) e V :
1 =1(1 + 1)
2(ok!)
ii) Dado n ∈ N, devemos mostrar que se P (n) e V , entao P (n + 1)tambem o e, ou seja, que
1 + 2 + . . . + (n + 1) =(n + 1)(n + 2)
2
De fato: 1 + 2 + . . . + n + (n + 1)(∗)=
n(n + 1)
2+ (n + 1)
=n(n + 1) + 2(n + 1)
2=
(n + 1)(n + 2)
2(ok!)
Conclusao: de i) e ii), temos, pelo princıpio de inducao matematica que(∗) e V, ∀ n ∈ N.
2) Se f(x) = xn (n ∈ Z), entao f ′(x) = nxn−1 (= P (n)) (∗)1 -a resolucao: (sem inducao)
f ′(x) = limh→0
f(x + h) − f(x)
h= lim
h→0
(x + h)n − xn
h
(BN)= nxn−1
2 -a resolucao: (inducao)i) n0 = 0, P (0) e V :
f(x) = x0 = 1f ′(x) = 0 x 0−1 = 0
ii) Dado n > 0, devemos mostrar que se (∗) e V para n, entao elatambem e valida para n + 1, isto e, se f(x) = xn+1, entaof ′(x) = (n + 1) xn.
De fato: f(x) = xn+1 = xn x
Pela regra do produto para derivadas, temos
f ′(x) = (xn x)′ = (xn)′ x + xn (x)′(∗)= (nxn−1) x + xn 1
= nxn + xn = (n + 1) xn
Conclusao: de i) e ii), temos, pelo Princıpio de Inducao, que (∗) eV, ∀ n > 0.
41
3) (Lista) 1 + x + x2 + . . . + xn−1 =(1 − xn)
1 − x︸ ︷︷ ︸
(∗)
, ∀ n ∈ N, ∀ x ∈ R, x 6= 1
P.G.: a1 = 1 e q = x
1 -a resolucao: (2 -o grau e Calculo 2)
Sn = 1 + x + x2 + . . . + xn−1 (I)
xSn = x + x2 + x3 + . . . + xn (II)
(I) - (II): Sn − xSn = 1 − xn
Sn(1 − x) = 1 − xn x 6=1=⇒ Sn =
1 − xn
1 − x
2 -a resolucao: (usando inducao)
i) n = 1 1 =1 − x
1 − x
ii) Supondo que a hipotese de inducao (∗) e valida para n > 1, devemosmostrar a sua validade para n + 1, ou seja, que 1 + x + . . . + xn =(1 − xn+1)/(1 − x).
De fato:
1 + x + . . . + xn−1 + xn =1 − xn
1 − x+ xn =
1 − xn + xn (1 − x)
1 − x
=1 − xn + xn − xn+1
1 − x=
1 − xn+1
1 − x
De i) e ii), temos, pelo Princıpio de Inducao, que (∗) e valida ∀ n ∈ N.
4) (Exemplo onde a hipotese de inducao nao e fornecida) Problema: en-contrar a soma dos n primeiros numeros ımpares naturais.
42
n = 1 1 = 1
n = 2 1 + 3 = 4
n = 3 1 + 3 + 5 = 9
n = 4 1 + 3 + 5 + 7 = 16
n = 5 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25...
n generico: 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n − 1) = n2 (∗)(hipotese de inducao)
i) n = 1 : 1 = 12 (ok!)
ii) P (n) e V?⇒ P (n + 1) e V ;
P (n) = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n − 1) = n2 (∗)P (n + 1) : 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n + 1) = (n + 1)2 (a obter)
De fato:
(∗)︷ ︸︸ ︷
1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n − 1) +(2n + 1) = n2 + (2n + 1) =(n + 1)2
De i) e ii), (∗) e V, ∀ n ∈ N.
5) (Lista) (Desigualdade de Bernoulli)
(∗) (1 + x)n > 1 + nx, ∀ n ∈ N, ∀ x ∈ R, x > −1
i) n = 1 : 1 + x > 1 + x (ok!)
ii) P (n) e V?⇒ P (n + 1) e V
P (n) : (1 + x)n > 1 + nx (V ) (∗)P (n + 1) : (1 + x)n+1 > 1 + (n + 1) x
Como x > −1, entao x+1 > 0. Logo, multiplicando (∗) por x+1, naoalteramos o sentido da desigualdade:
(1 + x)n > 1 + nx×(x+1)=⇒ (1 + x)(1 + x)n > (1 + x)(1 + nx) ⇒
(1 + x)n+1 > 1 + nx + x + nx2 = 1 + (n + 1) x + nx2 > 1 + (n + 1) x
De i) e ii), (∗) e V, ∀ n ∈ N.
43
6) (Lista) (Geometria Plana)
(∗) dn =n(n + 3)
2, ∀ n ∈ N, n > 3
dn: numero de diagonais de um polıgono convexo de n lados (diagonal:segmento de reta unindo vertices nao adjacentes)
n = 3: 0 diagonais
(
=3(3 − 3)
2
)
A
B C
n = 4: 2 diagonais
(
=4(4 − 3)
2
)
A B
C D
1 -a resolucao: (2 -o grau)
Cn,2 − n =
(n
2
)
− n =n!
2!(n − 2)!− n =
n(n − 1)(n − 2)!
2(n − 2)!− n =
n(n − 1)
2− n =
n(n − 1) − 2n
2=
n2 − 3n
2=
n(n − 3)
2
2 -a resolucao: (usando inducao)
i) n = 3 : 0 =3(3 − 3)
2= d3 (ok!)
ii) P (n) e V ⇒ P (n + 1) e V (n > 3)P (n) : dn = n(n − 3)/2 (V )P (n + 1) : dn+1 = (n + 1)(n − 2)/2 (a obter)
AB
CD
AC, BD = dia-
gonais AB
CD
E
AC, BD, DC,
AE, BE = dia-
gonais
Ao acrescentarmos mais um vertice, temos:
44
i) as diagonais do polıgono de n lados sao preservados;
ii) um dos lados do polıgono original transforma-se numa diagonal;
iii) pelo novo vertice, ha n − 2 novas diagonais.
Conclusao:
dn+1 = dn + 1 + (n− 2)∗=
n(n − 3)
2+ (n− 1) =
n(n − 3) + 2(n − 1)
2=
n2 − n − 2
2=
(n + 1)(n − 2)
2(ok!)
De i) e ii), (∗) e V, ∀ n > 3.
7) (Lista) (Conjuntos)
Se |A| = n, entao |P (A)| = 2n (n ∈ Z+) (∗)i) n = 0 : A = ∅P (A) = {∅}|P (A)| = 1 = 20 (ok!)
ii) P (n) e V?⇒ P (n + 1) e V (n > 0)
P (n): se |A| = n, entao |P (A)| = 2n (V )P (n + 1): se |A| = n + 1, entao |P (A)| = 2n+1
A
A1
A2a1
a2
a3
an
an+1−→
ւ
{A = A1 ∪ A2 = {a1, a2, . . . , an+1}A1 ∩ A2 = ∅
Seja B ⊆ A. Queremos mostrar que ha 2n+1 possibilidades para B.Observe que ha dois casos a considerar:
1 -a) an+1 /∈ B: nesse caso, B ⊆ A1 = {a1, . . . , an}. Por (∗), ha 2n
possibilidades para B;
2 -a) an+1 ∈ B: nesse caso, B e obtido a partir dos subconjuntos de A1,acrescentando-se an+1. Assim, ha 2n possibilidades para B.
Conclusao: O numero total de possibilidades e 2n + 2n = 2 · 2n = 2n+1
Comentarios Finais Sobre P.B.O. e Inducao Matematica
45
1) As condicoes i) e ii) no princıpio de inducao (1 -a versao) sao essencias.Caso uma delas falhe, entao nao podemos aplicar a inducao.Exemplo: onde i) falha:
“Todo numero natural coincide com o seu secessor”(n = n + 1, ∀ n ∈ N) (∗)Observe que ii) e valida, ou seja, P (n) e V ⇒ P (n + 1) e V (n ∈ N)
P (n) : n = n + 1 (V )⇓
P (n + 1) : n + 1 = (n + 1) + 1 (V )
Todavia, i) falha: P (1) e F : 1 = 2 (F )Exemplo: onde ii) falha
f(n) = n2 − n + 41 (n ∈ N)
Afirmacao. f(n) e primo, ∀ n ∈ N
Definicao 3.9 (Numeors Primos e Compostos). Seja n ∈ N
a) Dizemos que n e primo se:
i) n > 1;
ii) n = a b ⇒ a = 1 ou b = 1 (a, b ∈ N)
D+(n) = {d ∈ N | d divide n} = {1, n} (divisores triviais)
b) Dizemos que n e composto se n nao e primo, ou seja, se n possuidivisores nao-triviais (6= 1, n)
Exemplos: a) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . . sao primosb) 4, 6, 8, 9, . . . sao compostos
Observe que i) e validan = 1 : f(1) = 12 − 1 + 41 = 41 e primon = 2 : f(2) = 22 − 2 + 41 = 43 e primon = 3 : f(3) = 32 − 3 + 41 = 47 e primo...n = 40 : f(40) = 402 − 40 + 41 = 1601 e primo
Todavia, para n = 41, f(n) e compostof(41) = 412 − 41 + 41 = 412
D+(412) = {1, 41, 412}
46
Assim, a condicao ii) falha, pois f(40) e V , mas f(41) e F .
2) Ha uma 2 -a versao para o Princıpio da Inducao, cuja demonstracao esimilar a da 1 -a versao.
Teorema 3.10 (Princıpio da Inducao Matematica - 2 -a versao). Se-jam n0 ∈ Z (fixo) e P (n) uma sentenca aberta que depende de n ∈ Z, onden > n0. Suponha que P (n) satisfaca as seguintes condicoes:
i) P (n0) e V ;
ii) Dado m ∈ Z, m > n0, se P (k) e V para todo n0 6 k < m, entaoP (m) e V .
Entao, P (n) e V, ∀ n > n0.
3) O elemento mınimo de um conjunto A parcialmente ordenado, quandoexiste, e unico.
De fato: (unicidade)Vamos mostrar que se m e m′ sao elementos mınimos de A, entao m = m′.
H:
m = min(A) ⇒{
a) m ∈ Ab) m 6 a, ∀ a ∈ A
m′ = min(A) ⇒{
a’) m′ ∈ Ab’) m′ 6 a, ∀ a ∈ A
T: m = m′
De fato: de b) e a’), m 6 m′
de a) e b’), m′ 6 mPor (RO2), m′ = m.
Definicao 3.11 (Funcoes). Sejam A,B 6= ∅. Seja f uma relacao de Aem B (isto e, f ⊆ A × B). Dizemos que f e uma funcao (ou aplicacao) deA em B se:
i) ∀ x ∈ A, ∃ y ∈ B | (x, y) ∈ f ;
ii) ∀ x ∈ A, ∀ y, y′ ∈ B, se (x, y) ∈ f e (x, y′) ∈ f , entao y = y′.
Em outras palavras: uma funcao f de A em B e uma Regra (ou corres-pondencia) que associa a cada elemento x ∈ A um unico elemento y ∈ B.
x ∈ A −→ FUNCAO −→ y ∈ B
entrada saıda
47
Notacao.f : A → B
x 7→ y = f(x)
• A = conjunto de partida = domınio de f (A = D(f))
• B = conjunto de chegada = contra-domınio de f (B = CD(f))
• x = variavel independente
• y = variavel dependente
• f : A → B (“funcao de A em B”)
• f(x) = imagem de x por f ou valor de f em x
• Im(f) = imagem de f = {y ∈ B | y = f(x), x ∈ A} ⊆ B
• Se A e B sao conjuntos numericos, entao definimos o grafico de f por:G(f) = {(x, y) ∈ A×B | y = f(x)} (alguns autores identificam G(f)com f)
Exemplos: a) R1 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1} e uma relacao, mas nao efuncao.
De fato:
1
1−1
−1
2
√3
2
−√
32
O
y
x
i) falha, pois “sobram” elementos no domınio que nao estao associados.
Exemplo: 2 ∈ R nao esta associado a nenhum outro elemento.
48
ii) falha, pois existem elementos no domınio com mais de uma imagem.
∀ (x) ∈ (−1, 1), existem duas imagens:
{y =
√1 − x2
y′ = −√
1 − x2
Exemplo:
(
1
2,
√3
2
)
∈ R1 e
(
1
2,−√
3
2
)
∈ R1
b) R2 = {(x, y) ∈ [−1, 1] × R | y =√
1 − x2} e funcao.f : [−1, 1] → R
x 7→ y = f(x) =√
1 − x2
1−1
y =√
1 − x2
O
y
x
Observacoes. 1) Conhecido o grafico de uma relacao R de A em B,podemos verificar se a mesma e uma funcao. Isso ocorrera se ∀ x ∈ A,existir uma reta vertical interceptando o grafico em um unico ponto.
2) Conhecido o grafico de uma funcao
f : A → Bx 7→ y
obtemos D(f) e Im(f) atraves de projecoes sobre os eixos coordenados
– D(f) = A = projecao de G(f) sobre o eixo − x
– Im(f) = projecao de G(f) sobre o eixo − y
No exemplo anterior:
{D(f) = [−1, 1]Im(f) = [0, 1]
3) Em geral, trabalharemos com funcoes reais de uma variavel real (A,B ⊂R). Quando A nao for explicitamente determinado, consideraremos odomınio como sendo o “maior” conjunto possıvel de valores para avariavel independente x.
49
Exemplo: a) f(x) =√
1 − x2
D(f) = {x ∈ R | 1 − x2 > 0} = {x ∈ R | x2 6 1} = {x ∈ R | |x| 6 1} ={x ∈ R | −1 6 x 6 1} = [−1, 1]
Quando B nao for explicitamente determinado, entao B = R.>> Toda funcao e uma relacao, mas nem toda relacao e funcao.
Definicao 3.12 (Restricao e Prolongamento de Uma Funcao). Seja
f : A → Bx 7→ y = f(x)
uma funcao. Seja A′ ⊆ A. A funcao
g : A′ → Bx 7→ y = g(x) = f(x)
e dita uma RESTRICAO de f a A′ (Dizemos tambem que f e um PRO-LONGAMENTO de g a A).
Exemplo: f : R → R (prolongamento de g)x 7→ y = f(x) = x2
g : R+ → R (restricao de f)x 7→ y = g(x) = x2
(R+ = {x ∈ R | x > 0} ⊆ R)
f g
O Ox x
y y
Notacao. g = f/A′ (le-se: g e a restricao de f a A′ ⊆ A)
Algumas Funcoes Importantes
A) (Funcao Identidade)
50
IdA : A → Ax 7→ IdA(x) = x
Em particular, se A = R
IdR : R → Rx 7→ IdR(x) = x
45o
x = y
x
y
B) (Funcao Cte)
f : A → Bx 7→ y = f(x) = b (fixo)
Im(f) = {b}Em particular, se A = B = R:
f : R → Rx 7→ f(x) = 1
y = 1
x
y
C) (Sequencia de Numeros Reais) (Calculo 2)
f : N → Rn 7→ f(n) = an
Im(f) = {an | n ∈ N} = {a1, a2, . . .}Na pratica, identificamos uma sequencia com a colecao dos an’s dispos-tos numa certa ordem.
Exemplo: (sequencia cte)
f : N → Rn 7→ f(n) = an = 1
51
Im(f) = {1, 1, 1, 1, . . .} = {1}6=
(an)n∈N = (1, 1, 1, . . . , 1, . . .)
Definicao 3.13 (Imagem Direta e Imagem Inversa).
i) (Imagem Direta)
Sejam
f : A → Bx 7→ y = f(x)
uma funcao e A′ ⊆ A.
f(A′)def
:= {f(x) | x ∈ A′} ⊆ B
(Imagem (Direta) de A′ por f)
A B
f
A′ f(A′)
Observacao. Se A′ = A, entao f(A′) = Im(f)
Exemplo:
f : R → Rx 7→ y = f(x) = x2
A = R, A′ = [1, 2]f(A′) = f([1, 2]) = {f(x) | x ∈ [1, 2]}
= {x2 | x ∈ [1, 2]} = [1, 4]1
1
2
4
A′
f(A′)
x
y
ii) (Imagem Inversa) (nao confundir com funcao inversa)
Sejamf : A → B
x 7→ y = f(x)
52
uma funcao e y ∈ B.
f−1(y)def
:= {x ∈ A | f(x) = y} ⊆ A
(Imagem Inversa ou pre-imagem de y por f)
A B
f
f-1(y)
y
Exemplos: a) f : R → Rx 7→ y = f(x) = sen x
f−1(1) = {x ∈ R | f(x) = 1} = {x ∈ R | sen x = 1}= {x ∈ R | x = π/2 + 2kπ, k ∈ Z}
1
-3π2
π2
5π2
9π2
x
y
b) f : R → Rx 7→ f(x) = |x|
f−1(3) = {x ∈ R | f(x) = 3} = {x ∈ R | |x| = 3} = {−3, 3}f−1(−1) = ∅
−1−3 3
3
x
y
Observacoes. a) Se y ∈ B e tal que y /∈ Im(f), entao f−1(y) = ∅;b) Tal conceito pode ser generalizado para conjuntos
53
f : A → B ; B′ ⊆ Bx 7→ y = f(x)
f−1(B′)def
:= {x ∈ A | f(x) ∈ B′} ⊆ A
(Imagem inversa de B′ por f)
Exemplo: f : R → Rx 7→ y = f(x) = ex (e ∼= 2, 71828)
Im(f) = (0,∞) = R∗+
B′ = (0, 1]
f−1((0, 1])
(0, 1)
O x
y
f−1(B′) = f−1((0, 1]) = {x ∈ R | f(x) ∈ (0, 1]} = (−∞, 0]= {x ∈ R | x 6 0}
Definicao 3.14 (Funcao Sobrejetora, Injetora e Bijetora). Seja
f : A → Bx 7→ y = f(x)
uma funcao.
i) (vide 1 -a questao da 1 -a lista) f e Injetora (ou Injetiva) se ∀ x1, x2 ∈A, x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2) (ou, pela contra-positiva, ∀ x1, x2 ∈A, f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2).
ii) f e Sobrejetora (ou Sobrejetiva) se Im(f) = B, isto e, ∀ y ∈ B,∃ x ∈A | y = f(x).
iii) f e Bijetora (ou Bijetiva ou Bijecao) se f e simultaneamente Injetorae Sobrejetora, isto e, ∀ y ∈ B, ∃! x ∈ A | y = f(x).
Exemplos:
54
1) A B {e sobrejetoranao e injetora
2) A B {e injetoranao e sobrejetora
3) A B {nao e injetoranao e sobrejetora
4) A Bf {e injetorae sobrejetora
⇒ e bijetora
5)
f : R → Rx 7→ f(x) = 1
1
x
y {nao e injetoranao e sobrejetora
6)
f : R → Rx 7→ f(x) = x2 0 x
y {nao e injetoranao e sobrejetora
7)
f : R+ → Rx 7→ f(x) = x2 0 x
y {e injetoranao e sobrejetora
8)
f : R → R+
x 7→ f(x) = x2 0 x
y {e sobrejetoranao e injetora
55
9)
f : R+ → R+
x 7→ f(x) = x2 0 x
y {e injetorae sobrejetora
⇒ e bijetora
Definicao 3.15 (Composicao de Funcoes). Sejam f : A → B eg : B → C, duas funcoes arbitrarias
Af //
h
ÃÃB
g // Cx 7→ f(x) 7→ y = g(f(x))Definimos a funcao composta de g com f porh : A → C
y = h(x) = g(f(x)) = (g ◦ f)(x)
Observacao. Pela nossa construcao, (g ◦ f) esta definida se CD(f) =D(g) = B.
Na pratica, basta que Im(f) ⊆ D(g).
A B Cf g
h = g ◦ f
x f(x)
Im(f)
g(f(x))
Exemplos:
1) f : R → Rx 7→ f(x) = x2
g : R → Rx 7→ g(x) = x + 1
g ◦ f : R → Rx 7→ (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x2) = x2 + 1
f ◦ g : R → Rx 7→ (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = (x + 1)2
Conclusao: g ◦ f 6= f ◦ g
56
A composicao de funcoes nao e comutativa.
Observacao. (A = B = C = R)Duas funcoes f : A → B e g : C → D sao iguais se:
a) A = C (mesmo domınio);
b) B = D (mesmo contradomınio);
c) f(x) = g(x), ∀ x ∈ A (mesma lei de associacao).
No exemplo anterior:f : R → R g : R → R
x 7→ f(x) = x2 x 7→ g(x) = x + 1
g ◦ f : R → Rx 7→ (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x2) = x2 + 1
f ◦ g : R → Rx 7→ (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = (x + 1)2
x2 + 1 6= (x + 1)2
2)
f : A → BIdA : A → AIdB : B → B
⇒ f ◦ IdA = f (1)e IdB ◦ f = f (2)De fato:(1) A
IdA //
f◦IdA
88Af // B
f ◦ IdA : A → Bx 7→ (f ◦ IdA)(x) = f(IdA(x)) = f(x)
(2) Af //
IdB◦f88B
IdB // B
IdB ◦ f : A → Bx 7→ (IdB ◦ f)(x) = IdB(f(x)) = f(x)
Definicao 3.16 (Funcao Inversa). Seja f : A → B uma funcao. Dizemosque f e inversıvel (isto e, que f tem inversa) se existe uma funcao g : B → Atal que
g ◦ f = IdA e f ◦ g = IdB
57
A Bf
g
x y
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(y) = x(f ◦ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = y
Observacao. 1)
ABf
{e sobrejetoranao e injetora
AB
∄ g (funcao)
2)
A Bf
{e injetoranao e sobrejetora
A B
nao e funcao (∄ g)
3)f : A → B
x 7→ y = f(x)e inversıvel ⇔ f e bijecao
58
Neste caso:f−1 = g : B → A
y 7→ g(y) = x
onde x e o unico elemento de A tal que f(x) = y.
Neste caso:
a) D(f) = Im(f−1);
b) Im(f) = D(f−1);
c) (x, y) ∈ f ⇔ (y, x) ∈ f−1
(Se A e B sao conjuntos numericos, entao os graficos de f e f−1
sao simetricos em relacao a reta y = x)
d) y = f(x) ⇔ x = f−1(y)
xf // y
f−1oo
Para esbocar os graficos de f e f−1 num mesmo sistema de eixos coor-denados, trocamos x por y em f−1. Assim,
x = f−1(y)↓ mudanca de variavel
y = f−1(x)
Exemplos:
a)f : R+ → R+
x 7→ f(x) = x2 (bijetora)
⇒ ∃ f−1
y = f(x) = x2 ⇒ x = ±√y
x>0=⇒ x = f−1(y) =
√y
ou y = f−1(x) =√
x
(a, b)
(b, a)
(1, 1)
x =√
y
y = x2
x
y
b)f : R → R+
x 7→ f(x) = ex (bijecao)x 6= y ⇒ ex 6= ey injCD(f) = R+ = Im(f) sob
59
⇒ ∃ f−1
y = ex ⇒ x = ln y ou y = ln x
1
1
ln x
ex
x
y
Topicos Importantes
A) Determinar o numero de funcoes f : A → B, onde A e B sao finitos:A = {a1, . . . , am} (|A| = m ∈ N)B = {b1, . . . , bn} (|B| = n ∈ N)
Notacao. • F(A,B) = {f : A → B | f e funcao}• Inj(A,B) = {f : A → B | f e injetora}• Sur(A,B) = {f : A → B | f e sobrejetora} (surjective)
• Bij(A,B) = {f : A → B | f e bijetora}
Exemplos:
a) A = {0, 1} ; B = {a, b}Objetivo: obter pares ordenados do tipo (0, ∗) e (1, ∗∗), onde ∗, ∗∗ ∈{a, b} = B
Assim, ha 22 = 4 possibilidades para escolher os pares
f1 :
{0 7→ a1 7→ a
f1 = {(0, a), (1, a)}
f2 :
{0 7→ b1 7→ b
f2 = {(0, b), (1, b)}
f3 :
{0 7→ a1 7→ b
f3 = {(0, a), (1, b)}
f4 :
{0 7→ b1 7→ a
f4 = {(0, b), (1, a)}
|F(A,B)| = 4
60
b) A = {0, 1} ; B = {a, b, c}f : A → B
0 7→ ? ( 3 escolhas para f(0))1 7→ ?? ( 3 escolhas para f(1))
Ha 32 = 9 possibilidades para escolher f(0) e f(1).
f1 :
{0 7→ a1 7→ a
f2 :
{0 7→ b1 7→ b
f3 :
{0 7→ c1 7→ c
f4 :
{0 7→ a1 7→ b
f5 :
{0 7→ a1 7→ c
f6 :
{0 7→ b1 7→ a
f7 :
{0 7→ b1 7→ c
f8 :
{0 7→ c1 7→ a
f9 :
{0 7→ c1 7→ b
|F(A,B)| = 32 = 9
c) Se |A| = m > n = |B|, entao f : A → B nao e injetora. (Equivalente-mente: se f e injetora, entao m 6 n)
A Bf
(Inj(A,B) = ∅)
d) Se |A| = m < n = |B|, entao f : A → B nao e sobrejetora. (Equiva-lentemente: se f e sobrejetora, entao m > n)
A Bf
(Sur(A,B) = ∅)
e) Se f e bijecao, m = n.
61
Observacao. Se f : A → B e bijecao, |A| < ∞ e |B| < ∞, podemos, semperda de generalidade, considerar A = B.
A = {a1, . . . , am}l l
B = {b1, . . . , bn}(am = an e bn = bm)
Assim, uma bijecao f : A → A e dita uma permutacao de A.
Notacao.
Bij(A,A) = SA =
{f : A → Af e bijecao
Observacao. |A| = n ∈ N ⇒ |SA| = n!A = {a1, . . . , an}
a1 7→ n escolhas para f(a1)a2 7→ n − 1 escolhas para f(a2)...
...an 7→ 1 escolha para f(an)
Exemplos:1) A = {1, 2} (|A| = 2)SA = S2 = {f : A → A | f e bijecao}|SA| = 2
f1 :
{1 7→ 12 7→ 2
f2 :
{1 7→ 22 7→ 1
ou f1 :
(1 21 2
)
f2 :
(1 22 1
)
2) A = {1, 2, 3} (|A| = 3)SA = S3 = {f : A → A | f e bijecao}|SA| = 3! = 6
f1 :
1 7→ 12 7→ 23 7→ 3
ou f1 :
(1 2 31 2 3
)
f2 :
1 7→ 12 7→ 33 7→ 2
ou f2 :
(1 2 31 3 2
)
f3 :
1 7→ 32 7→ 23 7→ 1
ou f3 :
(1 2 33 2 1
)
62
f4 :
1 7→ 22 7→ 13 7→ 3
ou f4 :
(1 2 32 1 3
)
f5 :
1 7→ 22 7→ 33 7→ 1
ou f5 :
(1 2 32 3 1
)
f6 :
1 7→ 32 7→ 13 7→ 2
ou f6 :
(1 2 33 1 2
)
Notacao. A = {1, 2, . . . , n}f : A → A bijecao
f =
(1 2 . . . n
f(1) f(2) f(n)
)
, onde f(i) ∈ A
B) Funcao InversaVimos que f : A → B e inversıvel (isto e, ∃ g : B → A | f ◦ g =
IdB e g ◦ f = IdA) ⇔ f e bijecao.Propriedades:
i) A inversa e unica e e denotada por f−1
ii) A composicao de duas bijecoes e uma bijecao, isto e, se f : A → B eg : B → C sao bijecoes, entao g ◦ f : A → C tambem o e. Neste caso,(g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1
De fato:i) Suponha que g : B → A e h : B → A sejam inversas de f . Vamos
mostrar que g = h.{
g e inversa de f ⇔ g ◦ f = IdA e f ◦ g = IdB
h e inversa de f ⇔ h ◦ f = IdA e f ◦ h = IdB
g = g ◦ IdB = g ◦ (f ◦ h) = (g ◦ f) ◦ h = IdA ◦ h = hAssim, f ◦ f−1 = IdB e f−1 ◦ f = IdA. Alem disso, (f−1)−1 = f .ii) Vamos mostrar que a composta de duas funcoes sobrejetoras tambem
e sobrejetora e a composta de duas funcoes injetoras tambem e injetora.De fato:
1 -o) H:
{f : A → B sobrejetorag : B → C sobrejetora
T: {g ◦ f : A → C e sobrejetora
63
Af //
g◦f>>B
g // C
x  // y  // z
Queremos mostrar que dado z ∈ C (qualquer), existe x ∈ A tal que(g ◦ f)(x) = z.
De fato: como g e sobrejetora, dado z ∈ C, existe y ∈ B tal queg(y) = z. Como f e sobrejetora, para tal y ∈ B, existe x ∈ A tal quef(x) = y. Assim, z = g(y) = g(f(x)) = (g ◦ f)(x).
2 -o) H:
{f : A → B e injetorag : B → C e injetora
T: {g ◦ f : A → C e injetora
Queremos mostrar que ∀ x, x′ ∈ A, x 6= x′ ⇒ (g ◦ f)(x) 6= (g ◦ f)(x′).Pela contrapositiva, isto e o mesmo que provar que (g ◦ f)(x) =(g ◦ f)(x′) ⇒ x = x′.
(g ◦ f)(x) = (g ◦ f)(x′) ⇒ g(f(x)) = g(f(x′))g e inj.=⇒ f(x) = f(x′)
f e inj.=⇒
x = x′
Relacao FuncaoDomınio esta contido no conjunto de par-
tida, primeiros elementos dospares ordenados
igual ao conjuntode partida
(D(R) ⊆ A) (D(f) = A)
2 -a lista
10) E 6= ∅; A = P (E) = {X | X ⊆ E}; ∅, X, Y ∈ AX ∼ Y ⇔ existe f : X → Y bijecao
Tese: ∼ define uma relacao de equivalencia sobre A. (Neste caso,dizemos que X e Y sao equipotentes, isto e, |X| = |Y |).
Demonstracao. Devemos verificar que ∼ satisfaz as tres proprie-dades de uma relacao de equivalencia:
64
(RE1) (reflexiva) X ∼ XDevemos exibir uma bijecao f : X → X. Tal bijecao (mais sim-ples) e a Funcao Identidade:
IdX : X → Xx 7→ IdX(x) = x
IdX e bijecao:
a) IdX e injetora(x, x′ ∈ X)x 6= x′ ⇒ IdX(x) 6= IdX(x′)
b) IdX e sobrejetoraCD(IdX) = X = Im(IdX)
(RE2) (simetrica) X ∼ Y?⇒ Y ∼ X
X ∼ Y ⇒ ∃ f : X ∼ Y (bijecao) (⇒ ∃ f−1)⇒ ∃ f−1 : Y → X inversa, a qual e uma bijecao⇒ Y ∼ X
f ◦ f−1 = IdY e f−1 ◦ f = IdX
(RE3) (transitiva) X ∼ Y e Y ∼ Z?⇒ X ∼ Z
X ∼ Y ⇒ ∃ f : X ∼ Y bijecaoY ∼ Z ⇒ ∃ g : Y ∼ Z bijecao
⇒ ∃ h : g ◦ f : X → Z bijecao ⇒ X ∼ Z
(pois a composicao de bijecoes e uma bijecao) ¥
11) (Aplicacao do 10) |X| = |Y |
a) X = N; Y = {y ∈ N | y e par}Y ⊆ X
Para mostrar que |X| = |Y |, devemos exibir uma bijecaof : X → Y .
Tese:f : X → Y
n 7→ f(n) = 2n
e bijecao.
De fato:
65
i) f e injetoran, n′ ∈ Xn 6= n′ ⇒ f(n) 6= f(n′)n 6= n′ ⇒ 2n 6= 2n′
ii) f e sobrejetoraCD(f) = Y = Im(f) = {2n | n ∈ X}
e) X = (−π/2, π/2); Y = R
π2-π
2
x
y
f : X → Yx 7→ y = tg x
f−1 : Y → Xx 7→ f−1(x) = arc tg x
8) Propriedades de divisibilidade
iii) H:
{a | b ⇒ ∃ m ∈ Z | a · m = b (∗)c | d ⇒ ∃ n ∈ Z | c · n = d (∗∗)
T: {a c | b d
Queremos mostrar que ∃ l ∈ Z | (ac) l = b d. Multiplicando (∗) e(∗∗) termo a termo, temos (am)(cn) = b d. Assim, tome l = mn:
(ac)(mn) = (ac) l = b d
v) a | b e b | a ⇔ |a| = |b|; (Se a, b ∈ N, entao a | b e b | a ⇔ a = b)
(⇒)
{H: a | b e b | aT: |a| = |b| (ou a = b ou − b)
1 -o caso: a = 00 | b e b | 0 ⇒ b = 0
66
2 -o caso: a 6= 0a | b ⇒ ∃ m ∈ Z | a m = b (1)b | a ⇒ ∃ n ∈ Z | b n = a (2)
(1) → (2) : (a m) n = aa 6=0=⇒ m n = 1
Se m = n = 1, a = b. se m = n = −1, a = −b.
(⇐) Idem
4 Estruturas Algebricas
Objetivo: estudar as principais estruturas algebricas e algumas aplicacoesa Geometria, Computacao e Fısica.
Definicao 4.1 (Operacao Binaria ou Lei de Composicao Interna).Seja A 6= ∅. Uma operacao binaria (ou lei de composicao interna) sobre Ae qualquer funcao de A × A em A.
Notacao.∗ : A × A → A
(a, a′) 7→ a ∗ a′
le-se: a ∗ a′ = “a operado com a′ ”
Observacoes. i) Como ∗ e uma funcao, entao ∀ (a, a′) ∈ A×A, ∃! a∗a′.Neste caso, dizemos que ∗ esta bem definida.
ii) Alem disso, queremos que a ∗ a′ ∈ A, ∀ (a, a′) ∈ A × A. Neste caso,dizemos que A e fechado com relacao a operacao ∗.
Exemplos:
i) A = N (ou Z, Q, R, C)∗ = + (adicao)
⊕ : N × N → N(a, b) 7→ a + b
︸ ︷︷ ︸
SOMA de a e b
ii) A = N (ou Z, Q, R, C)∗ = · (multiplicacao)
⊙ : N × N → N(a, b) 7→ a · b
︸︷︷︸
produto de a por b
67
Definicao 4.2 (Estrutura Algebrica). Seja A 6= ∅. Dizemos que A euma estrutura algebrica se A possui uma ou mais operacoes binarias bemdefinidas, satisfazendo determinadas propriedades.
Principais Estruturas Algebricas
• com uma operacao:
semigruposmonoidesgrupos
• com duas operacoes:
aneisdomınios de integridadecorposespacos vetoriaismodulos
• com tres operacoes: { Algebras
Exemplos:
1) E 6= ∅A = P (E) = {X | X ⊆ E}∗ = ∪ (uniao), ∩ (interseccao)
∪ : A × A → A(X,Y ) 7→ X ∪ Y
∩ : A × A → A(X,Y ) 7→ X ∩ Y
2) A = { proposicoes }∗ = ∧ (conjuncao), ∨ (disjuncao)
∧ : A × A → A(p, q) 7→ p ∧ q
∨ : A × A → A(p, q) 7→ p ∨ q
3) A = Mm×n(R) = {B = (aij)m×n | aij ∈ R}∗ = + (adicao)
+ : Mm×n(R) ×Mm×n(R) → Mm×n(R)(B,C) 7→ B + C
68
onde B + C = (bij + cij)
caso particular: + : M3×2(R) ×M3×2(R) → M3×2(R)
1 23 45 6
,
−1 37 −20 1
7−→
0 510 25 7
4) A = Mm×n(R) = { matrizes quadradas n × n com entradas reais }∗ = ·· : Mn×n(R) ×Mm×n(R) → Mm×n(R)
B,C 7→ BC
onde BC = (dij), dij =n∑
k=1
bikckj
caso particular: · : M2×2(R) ×M2×2(R) → M2×2(R)((
1 23 4
)
,
(−1 01 3
))
7−→(
1 23 4
) (−1 01 3
)
=
(1 61 12
)
2×2
5) A = N∗ = potenciacao∗ : N × N → N
(a, b) 7→ a ∗ b = ab (= a · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸
b fatores
)
6) A = Z (ou Q ou R)∗ = potenciacao
Afirmacao. ∗ NAO e operacao binaria sobre A
De fato:
– (2,−1) ∈ Z × Z, mas 2−1 /∈ Z (isto e, Z NAO e fechado para apotenciacao)
– (2, 1/2) ∈ Q × Q, mas 21/2 /∈ Q (isto e, Q NAO e fechado para apotenciacao)
– (−1, 1/2) ∈ R × R, mas (−1)1/2 /∈ R (isto e, R NAO e fechadopara a potenciacao)
Exercıcios: Verifique o fechamento (ou nao) das seguintes operacoes em B.
69
i) A = R, ∗ = +B = R − Q ⊆ A
ii) A = R, ∗ = ·B = R∗
+ = {x ∈ R | x > 0} ⊆ A
iii) A = M2×2(R), ∗ = ·B =
{(cos α − sen αsen α cos α
)
; α ∈ R}
⊆ A
(matriz de rotacao de α rad no sentido anti-horario)
iv) A = R, ∗ = −B = N
v) A = Z, ∗ = +B1 = {x ∈ Z | x e par} = {x = 2k | k ∈ Z} ⊆ AB2 = {x ∈ Z | x e ımpar} = {x = 2k + 1 | k ∈ Z} ⊆ A
Resolucao:
i) A = R, ∗ = +B = R − Q = {numeros irracionais} ⊆ A
Afirmacao. B NAO e fechado com relacao a operacao de adicao (istoe, ∗ = + nao e uma operacao binaria sobre B)
Contra-exemplo:x = π ∈ B e y = −π ∈ B, mas x + y = π + (−π) = 0 /∈ B(isto e, 0 ∈ Q)
ii) A = R, ∗ = ·B = R∗
+ = {x ∈ R | x > 0} e FECHADO com relacao a operacao∗ = ·, pois ∀ x, y > 0, x · y > 0 (∀ x, y ∈ B, x · y ∈ B)
iii) A = M2×2(R), ∗ = ·B =
{(cos α − sen αsen α cos α
)∣∣∣∣
α ∈ R}
e FECHADO com relacao a opera-
cao ∗ = ·, pois
X =
(cos α − sen αsen α cos α
)
∈ B e Y =
(cos β − sen βsen β cos β
)
∈ B
70
⇒ X · Y =
(cos α − sen αsen α cos α
) (cos β − sen βsen β cos β
)
=
(cos α cos β − sen α sen β − cos α sen β − sen α cos βsen α cos β + sen β cos α − sen α sen β + cos α cos β
)
=
(cos(α + β) − sen(α + β)sen(α + β) cos(α + β)
)
∈ B
iv) A = R, ∗ = −B = N ⊆ A NAO e fechado para ∗ = −, pois x = 1 ∈ B e y = 2 ∈ B,mas x − y = 1 − 2 = −1 /∈ B (−1 ∈ Z)
v) A = Z, ∗ = +B1 = {x ∈ Z | x = 2k, k ∈ Z} e B2 = {x ∈ Z | x = 2k + 1, k ∈ Z}B1 e FECHADO para ∗ = +, pois:{
x1 = 2k1 ∈ B1
x2 = 2k2 ∈ B1⇒ x1 + x2 = 2k1 + 2k2 = 2(k1 + k2) = 2k3 ∈ B1
B2 NAO e fechado para ∗ = +, pois:{
x1 = 2k1 + 1 ∈ B2
x2 = 2k2 + 1 ∈ B2, mas
x1 + x2 = (2k1 + 1) + (2k2 + 1)= 2(k1 + k2 + 1) = 2k3 /∈ B2
Propriedades de Uma Operacao Binaria
Seja A = ∅ munido de uma operacao binaria ∗.
A) (Associatividade)Dizemos que ∗ e associativa se ∀ x, y, z ∈ A,
(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)
Neste caso, o uso de parenteses e facultativo
B) (Comutatividade)Dizemos que ∗ e comutativa se ∀ x, y ∈ A,
x ∗ y = y ∗ x
C) (Existencia de Um Elemento Neutro)Seja e ∈ A. Dizemos que
71
i) e e um elemento neutro a esquerda com relacao a operacao ∗ se
e ∗ x = x, ∀ x ∈ A
ii) e e um elemento neutro a direita com relacao a operacao ∗ se
x ∗ e = x, ∀ x ∈ A
iii) e e um elemento neutro (bilateral) com relacao a operacao ∗ se elee simultaneamente neutro a esquerda e a direita, ou seja,
e ∗ x = x = x ∗ e, ∀ x ∈ A
Exemplos:
i) A = N (ou Z, Q, R, C)∗ = + e associativa e comutativa{
(x + y) + z = x + (y + z)x + y = y + x
; (∀ x, y, z ∈ A)
Se A = N, entao ∄ elemento neutro para ∗ = +. Se A = Z (ou Q, R, C)entao e = 0 e o elemento neutro para ∗ = +.
{0 + x = x = x + 0, ∀ x ∈ A
ii) A = N (ou Z, Q, R, C)∗ = · e associativa e comutativa{
(x · y) · z = x · (y · z)x · y = y · x ; (∀ x, y, z ∈ A)
e = 1 e o elemento neutro para ∗ = ·
1 · x = x = x · 1, ∀ x ∈ A
iii) A = { proposicoes }∗ = ∨ (disjuncao) e associativa e comutativa{
(p ∨ q) ∨ r = p ∨ (q ∨ r)p ∨ q = q ∨ p
; (∀ p, q, r ∈ A)
e = f (contradicao) e o elemento neutro para ∗ = ∨
p ∨ f = p, ∀ p ∈ A
72
∗′ = ∧ (conjuncao) e associativa e comutativa{
(p ∧ q) ∧ r = p ∧ (q ∧ r)p ∧ q = q ∧ p
; (∀ p, q, r ∈ A)
e = v (tautologia) e o elemento neutro para ∗′ = ∧
p ∧ v = v ∧ p = p, ∀ p ∈ A
iv) A = F(R, R) = {f : R → R | f e funcao}∗ = +
soma︷ ︸︸ ︷
f + g : R → Rx 7→ (f + g)(x) = f(x) + g(x)
∗ = + e associativa, comutativa e possui e = 0 (funcao constanteidenticamente nula) como elemento neutro{
(f + g) + h = f + (g + h)f + g = g + f
, ∀ f, g, h ∈ A
e ≡ 0 (isto e, e(x) = 0, ∀ x ∈ R)
(g + 0)(x) = g(x) + 0(x) = g(x) + 0 = g(x) e(0 + g)(x) = 0(x) + g(x) = 0 + g(x) = g(x)
∗′ = · :
produto︷︸︸︷
f · g : R → Rx 7→ (f · g)(x) = f(x)g(x)
∗′ = · e associativa, comutativa e possui e = 1 (funcao constante 1)como elemento neutro{
(f · g) · h = f · (g · h)f · g = g · f , ∀ f, g, h ∈ A
e ≡ 1 (isto e, e(x) = 1, ∀ x ∈ R){
(f · e)(x) = f(x)e(x) = f(x) · 1 = f(x)(e · f)(x) = e(x)f(x) = 1 · f(x) = f(x)
Exercıcios:
1) Considere A = M2×2(R). Verifique que
73
i) ∗ = + e associativa, comutativa e possui
e =
(0 00 0
)
2×2
(matriz identicamente nula) como elemento neutro para ∗ = +.
ii) ∗ = · e associativa, NAO-comutativa e possui
e =
(1 00 1
)
2×2
= I2
(matriz identidade de ordem 2) como elemento neutro para ∗ = ·
2) Julgue os itens a seguir (V ou F ), justificando.
a) (V ) A subtracao em Z possui e = 0 como elemento neutro adireita, mas nao possui elemento neutro a esquerda.
b) (V ) A potenciacao em N possui e = 1 como elemento neutro adireita, mas nao possui elemento neutro a esquerda.
c) (F ) A subtracao em Z e associativa.
d) (F ) A subtracao em Z e comutativa.
e) (F ) A potenciacao em N e associativa.
f) (F ) A potenciacao em N e comutativa.
g) (V ) Sejam E 6= ∅ e A = P (E). Entao, ∗ = ∪ e associativa,comutativa e possui e = ∅ como elemento neutro para ∗ = ∪.
h) (V ) Sejam E 6= ∅ e A = P (E). Entao, ∗ = ∩ e associativa,comutativa e possui e = E como elemento neutro para ∗ = ∪.
3) Seja A 6= ∅ munido de uma operacao binaria ∗. Mostre que se e ∈ Ae um elemento neutro (bilateral), entao ele e unico.
4) Considere A = F(R, R) = {f : R → R | f e funcao}
a) Verifique que ∗ = ◦ (composicao) e associativa
b) Verifique que ∗ = ◦ NAO e comutativa
c) Qual e o elemento neutro e para tal operacao ∗ = ◦?
74
1) A = M2×2(R)
i)
(a bc d
)
+
[(e fg h
)
+
(i jk l
)]
=
(a bc d
)
+
(e + i f + jg + k h + l
)
=
(a + e + i b + f + jc + g + k d + h + l
)
=
(a + e b + fc + g d + h
)
+
(i jk l
)
=
[(a bc d
)
+
(e fg h
)]
+
(i jk l
)
(a bc d
)
+
(e fg h
)
=
(a + e b + fc + g d + h
)
=
(e + a f + bg + c h + d
)
=
(e fg h
)
+
(a bc d
)
(a bc d
)
+
(0 00 0
)
=
(a + 0 b + 0c + 0 d + 0
)
=
(a bc d
)
=
(0 00 0
)
+
(a bc d
)
ii)
(a bc d
) [(e fg h
)(i jk l
)]
=
(a bc d
)(ei + fk ej + flgi + hk gj + hl
)
=
(aei + afk + bgi + bhk aej + afl + bgj + bhlcei + cfk + dgi + dhk cej + cfl + dgj + dhl
)
=
(ae + bg af + bhce + dg cf + dh
)(i jk l
)
=
[(a bc d
)(e fg h
)](i jk l
)
(a bc d
)(e fg h
)
=
(ae + bg af + bhce + dg cf + dh
)
6=(
e fg h
) (a bc d
)
=
(ea + fc eb + fdga + hc gb + hd
)
(a bc d
) (1 00 1
)
=
(a bc d
)
=
(1 00 1
)(a bc d
)
2) a) (V ) z − 0 = z 6= −z = 0 − z, ∀ z ∈ Z∗
b) (V ) para n ∈ N, temos n1 = n, mas se a(∈ N) 6= 1, entao an 6= n
c) (F ) contra-exemplo: (7 − 4) − 3 = 0 6= 6 = 7 − (4 − 3)
75
d) (F ) contra-exemplo: 2 − 1 = 1 6= −1 = 1 − 2
e) (F ) Seja a, b, c ∈ N, temos a(bc) 6= (ab)c = abc.Contra-exemplo: 2(34) = 281 6= 212 = (23)4
f) (F ) para a, b ∈ N, temos ab 6= ba.Contra-exemplo: 23 = 8 6= 9 = 32
g) (V ) Para X,Y, Z ∈ A, temos
X ∪ (Y ∪ Z) = (X ∪ Y ) ∪ ZX ∪ Y = Y ∪ XX ∪ ∅ = ∅ ∪ X = X
h) (V ) Para X,Y, Z ∈ A, temos
X ∩ (Y ∩ Z) = (X ∩ Y ) ∩ ZX ∩ Y = Y ∩ XX ∩ E = E ∩ X = X, pois X ⊆ E
Observacao. Se ∗ e comutativa, entao as nocoes de elemento neutro a es-querda, a direita e bilateral sao equivalentes.
3) (Unicidade do Elemento Neutro)A 6= ∅ munido de uma operacao binaria ∗. e (∈ A) = elemento neutrobilateral (caso exista).Tese: e e unico
Demonstracao.
H: e e neutroT: e e unico
Suponha que e e e′ sao dois elementos neutros. Vamos mostrar quee = e′.
(I) e (∈ A) = elemento neutro ⇔ e ∗ x = x ∗ e = x, ∀ x ∈ A(II) e′ (∈ A) = elemento neutro ⇔ e′ ∗ y = y ∗ e′ = y, ∀ y ∈ A
Em particular, tome x = e′ em (I):
e ∗ e′ = e′ ∗ e = e′
Em particular, tome y = e em (II):
e′ ∗ e = e ∗ e′ = e
Logo, e′ = e ∗ e′ = e ¥
76
4) (Importante)A = F(R, R) = {f : R → R | f e funcao}∗ = ◦ (composicao)
◦ : F(R, R) ×F(R, R) → F(R, R)(g, f) 7→ g ◦ f
Rf //
g◦f;;R
g // R Rg //
f◦g;;R
f // R
a) Tese: ∗ = ◦ e associativa, isto e, ∀ f, g, h ∈ A, (h◦g)◦f = h◦(g◦f)
Demonstracao. Vamos mostrar que as funcoes h ◦ g) ◦ f eh ◦ (g ◦ f) sao IGUAIS, ou seja:
i) D((h ◦ g) ◦ f) = D(h ◦ (g ◦ f))ii) CD((h ◦ g) ◦ f) = CD(h ◦ (g ◦ f)iii) ∀ x ∈ R, [(h ◦ g) ◦ f)](x) = [(h ◦ (g ◦ f ](x)
Rf //
(h◦g)◦f
@@Rg //
h◦g;;R h // R R
f //
h◦(g◦f)
@@g◦f
;;Rg // R h // R
Verificando iii)[(h ◦ g) ◦ f ](x) = (h ◦ g)(f(x)) = h(g(f(x)))[h ◦ (g ◦ f)](x) = h((g ◦ f)(x)) = h(g(f(x))) ¥
b) Tese: ∗ = ◦ NAO e comutativaExemplo: f(x) = sen x, g(x) = x2
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(sen x) = (sen x)2 = sen2 x(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x2) = sen x2
c) e = Funcao Identidade
IR : R → Rx 7→ IR(x) = x
f ◦ IR = f e IR ◦ f = f
D) (Existencia de Elemento Inversıvel)Seja A 6= ∅ com uma operacao binaria ∗ e elemento neutro e. Dizemosque
77
i) x ∈ A e inversıvel a esquerda se existe x′ ∈ A tal que
x′ ∗ x = e (x′ = inverso a esquerda de x)
ii) x ∈ A e inversıvel a direita se existe x′ ∈ A tal que
x ∗ x′ = e (x′ = inverso a direita de x)
iii) x ∈ A e inversıvel se ele e simultaneamente inversıvel a esquerdae a direita, ou seja, se existe x′ ∈ A tal que
x′ ∗ x = e = x ∗ x′ (x′ = inverso de x)
Observacoes. a) Se ∗ = +, denotamos x′ por −x (oposto, simetrico ouinverso aditivo)
b) Se ∗ = ·, denotamos x′ por x−1 (inverso multiplicativo de x)
c) U∗(A) = {x ∈ A | x e inversıvel com relacao a operacao ∗}U∗(A) 6= ∅, pois e ∈ U∗(A). De fato, e ∗ e = e.
Exemplos:
i) A = N, ∗ = + (0 6= N)U+(N) = ∅
ii) A = Z+ = {x ∈ Z | x > 0} = N ∪ {0}, ∗ = +e = 0
x ∈ A (dado)x′ ∈ A (a obter)x + x′ = 0
U+(Z+) = {0} (pois 0 + 0 = 0)
iii) A = Z, ∗ = +, e = 0Sabemos que dado x ∈ Z, existe −x ∈ Z tal que x + (−x) = 0U+(Z) = Z
iv) A = M2×2(R) =
{(a bc d
) ∣∣∣ a, b, c, d ∈ R
}
∗ = ·
78
(1 00 1
)
= I2 (matriz identidade de ordem 2)
X =
(1 23 6
)
(NAO e inversıvel com relacao a operacao ∗ = ·)
X ′ · X = I2(
a bc d
)(1 23 6
)
?=
(1 00 1
)
⇔
a + 3b = 12a + 6b = 0c + 3d = 02c + 6d = 1
⇒{
a + 3b = 12a + 6b = 0
e
{c + 3d = 02c + 6d = 1
⇒{
a + 3b = 1a + 3b = 0
e
{c + 3d = 0c + 3d = 1/2
Conclusao: ∄ X ′ = X−1
U·(M2×2(R)) =
{(a bc d
) ∣∣∣ ad − bc 6= 0
}
No exemplo anterior, det X = 6 − 6 = 0
v) A = F(R, R) = {f : R → R | f e funcao}, ∗ = ◦, e = IR
Exemplo: f(x) = x3 e inversıvel com relacao a operacao ∗ = ◦:
y = f(x) ⇔ x = f−1(y)
y = x3 ⇒ x = 3√
y ou y = 3√
x
g(x) = 3√
x = f−1(x), pois:
g ◦ f?= IR
ef ◦ g = IR
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x3) =3√
x3 = x(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f( 3
√x) = ( 3
√x)3 = x
U◦(F(R, R)) = Bij(R, R) = {f : R → R | f e bijecao}
vi) A = Q (ou R ou C), ∗ = ·, e = 1
79
x ∈ A (dado)x′ ∈ A (a obter)x′ · x = 1
U·(Q) = Q∗ = Q − {0}Exemplo: x = a/b ∈ Q∗ (a, b ∈ Z, b 6= 0 e a 6= 0)x−1 = b/a e o inverso de x
vii) A = Z, ∗ = ·, e = 1U·(Z) = {±1}
Observacao. x = 2 e inversıvel em Q, mas nao o e em Z2x = 1 NAO tem solucao em Z2x = 1 TEM solucao em Q : x = 1/2
E) (Lei do Cancelamento)Seja A 6= ∅ munido de uma operacao binaria ∗.
i) a ∈ A e regular a esquerda se
a ∗ x = a ∗ y ⇒ x = y, ∀ x, y ∈ A (cancelamento a esquerda)
ii) a ∈ A e regular a direita se
x ∗ a = y ∗ a ⇒ x = y, ∀ x, y ∈ A (cancelamento a direita)
iii) a ∈ A e regular se
a ∗ x = a ∗ y ⇒ x = ye
x ∗ a = y ∗ a ⇒ x = y, ∀ x, y ∈ A
Observacoes. a) Se ∗ e comutativa, tais nocoes de regular a esquerda ea direita sao iguais;
b) R∗(A) = {x ∈ A | x e regular com relacao a ∗}Observe que se e ∈ A e o elemento neutro, entao e e regular:
e ∗ x = e ∗ y ⇒ x = ye
x ∗ e = y ∗ e ⇒ x = y, ∀ x, y ∈ A
80
Exemplos: i) A = Z, ∗ = +R+(Z) = ZNeste caso, ∀ a ∈ Z, vale
a + x = a + y ⇒ x = ye
x + a = y + a ⇒ x = y, ∀ x, y ∈ Z
ii) A = Q (ou R, C), ∗ = ·R·(Q) = Q∗
Neste caso, se a ∈ Q∗, entao:
a · x = a · y ÷a⇒ x = ye
x · a = y · a ÷a⇒ x = y
, ∀ x, y ∈ Z
0 nao e regular, pois 0 · 1 = 0 · 2, mas 1 6= 2
Exercıcios: (Teoricos)
1) Seja A 6= ∅ munido de uma operacao binaria ∗ associativa e comelemento neutro e. Mostre que se x ∈ A e inversıvel, entao x′ (inversode x) e unico.
2) (1 -o exercıcio da 3 -a lista)Seja A 6= ∅ munido de uma operacao binaria ∗ associativa e comelemento neutro e. Considere U∗(A) = {x ∈ A | x e inversıvel} eR∗(A) = {x ∈ A | x e regular}. Verifique que:
a) U∗(A) 6= ∅; R∗(A) 6= ∅
b) Se x ∈ U∗(A), entao x′ ∈ U∗(A). Neste caso, (x′)′ = x
c) Se x, y ∈ U∗(A), entao x ∗ y ∈ U∗(A). Neste caso, (x ∗ y)′ = y′ ∗ x′
Observacao. (Aplicando 2) b) e c) a dois contextos diferentes)1 -o) (matrizes)
A = Mn×n(R), ∗ = ·U∗(A) = { matrizes com determinante 6= 0 }b): (B−1)−1 = B; (supondo B inversıvel)c): (B · C)−1 = C−1B−1 (supondo que B e C sao inversıveis)
2 -o) (funcoes)A = F(R, R); ∗ = ◦
81
U∗(A) = Bij(R, R)b): (f−1)−1 = f ; (supondo que f seja inversıvel)c): (f ◦ g)−1 = g−1 ◦ f−1 (supondo que f e g tem inversa)
Resolucao:
1)
H:
e∗ e associativax = elemento inversıvelx′ = inverso de x
T: { x′ e unico
Demonstracao. Suponha que x′ e x′′ sejam inversos de x:{
x′ ∗ x = e = x ∗ x′ (1)x′′ ∗ x = e = x ∗ x′′ (2)
Vamos mostrar que x′′ = x′. De fato:
x′′ = x′′ ∗ e(1)= x′′ ∗ (x ∗ x′)
assoc.= (x′′ ∗ x) ∗ x′ (2)
= e ∗ x′ = x′ ¥
2) Tese:
a) U∗(A) 6= ∅ : e ∈ U∗(A), pois e ∗ e = eR∗(A) 6= ∅ : e ∈ R∗(A)
b) H: x ∈ U∗(A)T: x′ ∈ U∗(A) e (x′)′ = x
Demonstracao. x ∈ U∗(A) ⇒ ∃ x′ ∈ A | x′ ∗ x = e = x ∗ x′
Dessa igualdade, segue que x′ ∈ U∗(A) e (x′)′ = x ¥
c) H: x, y ∈ U∗(A)T: x ∗ y ∈ U∗(A) e (x ∗ y)′ = y′ ∗ x′
Demonstracao. Como o inverso e unico (quando existe), bastamostrar que:
(x ∗ y) ∗ (y′ ∗ x′) = e e(y′ ∗ x′) ∗ (x ∗ y) = e
De fato:
82
(x ∗ y) ∗ (y′ ∗ x′) = [x ∗ (y ∗ y′)] ∗ x′ = [x ∗ e] ∗ x′ = x ∗ x′ = e(y′ ∗ x′) ∗ (x ∗ y) = [y′ ∗ (x′ ∗ x)] ∗ y = [y′ ∗ e] ∗ y = y′ ∗ y = e ¥
Tabua de Operacao
A = {a1, a2, . . . , an}∗ : A × A → A
(ai, aj) 7→ ai ∗ aj (= aij)A tabua da operacao ∗ e uma tabela n × n cujos elementos sao os “ope-
rados” ai ∗ aj, onde i, j ∈ {1, 2, . . . , n}
∗ a1 a2 a3 . . . ai . . . aj . . . an
a1 a11
a2 a22...ai aii ai ∗ aj...aj ajj...
an ann
(linha fundamental)
(diagonal principal)
տ (coluna fundamental)
Exemplos:
a) A = {−1, 1}∗ = ·
· −1 1
−1 1 −11 −1 1
b) E = {a, b}A = P (E) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}∗ = ∩
∩ ∅ {a} {b} {a, b}∅ ∅ ∅ ∅ ∅{a} ∅ {a} ∅ {a}{b} ∅ ∅ {b} {b}{a, b} ∅ {a} {b} {a, b}
83
c) E = {1, 2}A = Bij(E,E) = {f : E → E | f e bijecao}∗ = ◦
f1 :
{1 7→ 12 7→ 2
(Identidade)
f2 :
{1 7→ 22 7→ 1
f1 ◦ f1 = f1
f1 ◦ f2 = f2
f2 ◦ f1 = f2
f2 ◦ f2 = f1
◦ f1 f2
f1 f1 f2
f2 f2 f1
Em notacao matricial:
f1 :
(1 21 2
)
f2 :
(1 22 1
)
f1 ◦ f2 =
(1 21 2
)
◦(
1 22 1
)
=
(1 22 1
)
= f2
f2 ◦ f2 =
(1 22 1
)
◦(
1 22 1
)
=
(1 21 2
)
= f1
Observacao. A partir da tabua de operacao, e possıvel verificar se a mesmae comutativa, se possui elemento(s) neutro(s), se possui elemento(s) inversı-vel(is) e se possui elemento(s) regular(es).
I) Comutatividade:
ai ∗ aj = aj ∗ ai, ∀ ai, aj ∈ A
Neste caso, ∗ e comutativa se a tabua da operacao e simetrica emrelacao a diagonal principal, ou seja, os elementos em posicoes simetri-
84
cas em relacao a diagonal principal sao iguais.
∗ ai aj
a11... a22
ai aii aij...aj aji ajj
ann
Nos exemplos anteriores, ∗ e comutativa, pois:
a)
· −1 1
−1 1 −11 −1 1
b)
∩ ∅ {a} {b} {a, b}∅ ∅ ∅ ∅ ∅{a} ∅ {a} ∅ {a}{b} ∅ ∅ {b} {b}{a, b} ∅ {a} {b} {a, b}
c)
◦ f1 f2
f1 f1 f2
f2 f2 f1
II) Elemento Neutro
– e ∈ A e elemento neutro a esquerda ⇔ e ∗ ai = ai, ∀ ai ∈ A ⇔ nalinha de e aparece uma copia da linha fundamental;
– e ∈ A e elemento neutro a direita ⇔ ai ∗ e = ai, ∀ ai ∈ A ⇔ nacoluna de e aparece uma copia da coluna fundamental;
– e ∈ A e elemento neutro ⇔ a linha e a coluna de e sao copias,respectivamente, da linha e da coluna fundamental.
Nos exemplos anteriores
a) e = 1; b) e = {a, b} = E; c) e = f1
III) Elemento Inversoe = elemento neutro
– ai ∈ A e inversıvel a esquerda ⇔ ∃ a′i ∈ A | a′
i ∗ ai = e ⇔ oelemento neutro e aparece na coluna de ai;
85
– ai ∈ A e inversıvel a direita ⇔ ∃ a′i ∈ A | ai ∗ a′
i = e ⇔ o elementoneutro e aparece na linha de ai;
– ai ∈ A e inversıvel ⇔ o elemento neutro e aparece na linha e nacoluna de ai.
Nos exemplos anteriores
a)
e = 1(−1)′ = −1(1)′ = 1
b)
{e = {a, b}({a, b})′ = {a, b} c)
e = f1
(f1)′ = f1
(f2)′ = f2
IV) Elementos Regulares
– a ∈ A e regular a esquerda ⇔ a ∗ x = a ∗ y ⇒ x = y, ∀ x, y ∈A
C-P⇐⇒ (x 6= y ⇒ a ∗ x 6= a ∗ y, ∀ x, y ∈ A) ⇔ todos os elementosda linha de a sao distintos;
– a ∈ A e regular a direita ⇔ x∗a = y ∗a ⇒ x = y, ∀ x, y ∈ AC-P⇐⇒
(x 6= y ⇒ x ∗ a 6= y ∗ a, ∀ x, y ∈ A) ⇔ todos os elementos dacoluna de a sao distintos;
– a ∈ A e regular ⇔ todos os elementos da linha de a sao distintose todos os elementos da coluna de a sao distintos.
Exercıcios: Nas tabuas de operacao abaixo, verifique a comutatividade e aexistencia de elementos neutros, inversıveis e regulares:
a)
∗ a b c
a a b cb b c ac c b b
• ∗ NAO e comutativa, pois c ∗ b 6= b ∗ c
• elemento neutro : a
• elementos inversıveis: a (bilateral)
(a′ = a) a ∗ a = a
b︸︷︷︸
inv a esq de c
∗ c︸︷︷︸
inv a dir de b
= a
86
• elementos regulares: a (bilateral)
b - regular a esquerda, mas nao a direita
c - nao e regular a esquerda, mas e regular a direita.
b)
∗ a b c
a a b cb c a bc b a c
• ∗ nao e comutativa, pois a tabua nao e simetrica
• ∄ elemento neutro bilateral. a = elemento neutro a esquerda
• elementos inversıveis: ∄
• elementos regulares: a e regular bilateralmente, b e regular a esquerda,c e regular a esquerda.
c)
∗ e a1 a2 a3 a4
e e a1 a2 a3 a4
a1 a1 a2 a3 a4 ea2 a2 a3 a4 a1 a2
a3 a3 a4 a1 a2 a1
a4 a4 e a3 a4 a2
d)
∗ e a b c d
e e a b c da a b d e cb b c c b bc c d e a bd d e b d b
Definicao 4.3 (Semigrupo, Monoide, Grupo). Seja, A 6= ∅ munido deuma operacao binaria
∗ : A × A → A(a, a′) 7→ a ∗ a′
Um par (A, ∗) e dito uma Estrutura Algebrica com uma operacao binariase ∗ satisfaz determinadas propriedades
a) O par (A, ∗) e dito um Semigrupo se ∗ e associativa;
b) O par (A, ∗) e dito um Monoide se ∗ e associativa e possui elementoneutro (bilateral);
c) O par (A, ∗) e dito um Grupo se ∗ e associativa, possui elemento neutro(bilateral) e todo elemento e inversıvel, isto e:
87
i) ∀ a, b, c ∈ A, a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c;
ii) ∃ e ∈ A | e ∗ a = a = a ∗ e, ∀ a ∈ A;
iii) ∀ a ∈ A, ∃ a′ ∈ A | a′ ∗ a = e = a ∗ a′
semigrupo
monoide
grupo
Exemplos: a) (N, +) = semigrupo, mas nao e monoide (pois e = 0 /∈ N)(∄ e)
b) (N, ·) = monoide, mas nao e um grupo (pois existem elementos naoinversıveis) (e = 1)
c) (Z, +) = grupo (e = 0, (x)′ = −x)
d) (Z, ·) = monoide, mas nao e um grupo (apenas 1 e −1 sao inversıveis)(e = 1, (1)′ = 1, (−1)′ = (−1))
e) (Q∗, ·) = (R∗, ·) = (C∗, ·) = grupos (e = 1, (x)′ = 1/x)
Exercıcios: Verifique se o par (A, ∗) e um semigrupo, monoide ou grupo:
a) (N, potenciacao) = nao e nenhuma das estruturas algebricas citadas
b) (Z,−) = nao e nenhuma das estruturas algebricas citadas
c) (F(R, R), ◦) = monoide (mas nao e grupo, pois apenas as funcoesbijetoras sao inversıveis)
d) (Mm×n(R), +) = grupo (e associativa, tem o elemento neutro (matriznula) e existe inverso)
e) (Mn×n(R), ·) = monoide (mas nao e grupo pois nem toda matriz einversıvel)
f) ({v, f},∧) = monoide (mas nao e grupo pois f nao e inversıvel)
g) (P ({a, b}),∪) = monoide (nao e grupo, pois apenas ∅ tem inverso)
Resolucao:
a) potenciacao nao e associativa, pois: (22)3 = 26 6= 28 = 2(23)
b) − nao e associativa, pois:
(2 − 2) − 3 = 0 − 3 = −3 6= 3 = 2 − (−1) = 2 − (2 − 3)
88
f) e associativa, tem elemento neutro: e = v
∧ v f
v v ff f f
g) e = ∅
∪ ∅ {a} {b} {a, b}∅ ∅ {a} {b} {a, b}{a} {a} {a} {a, b} {a, b}{b} {b} {a, b} {b} {a, b}{a, b} {a, b} {a, b} {a, b} {a, b}
Teorema 4.4. Sejam (A, ∗) um monoide e U∗(A) = {x ∈ A | x e inversıvel}(⊆ A). Entao, (U∗(A), ∗) e um grupo.
Demonstracao. Como U∗(A) ⊆ A e ∗ e associativa em A, entao U∗(A)“herda” esta propriedade.
Alem disso, e (elemento neutro de A) pertence a U∗(A) (pois e ∗ e = e).Por definicao, U∗(A) e a colecao de todos os elementos inversıveis. Assim,
∀ a ∈ U∗(A), ∃ a′ ∈ U∗(A) | a ∗ a′ = e. ¥
Lembre-se: (1 -a questao da 3 -a lista){
(x′)′ = x;(x ∗ y)′ = y′ ∗ x′
Voltando aos exemplos anteriores:
a) A = Mn×n(R), ∗ = ·U∗(A) = GL(n, R) = {A = (aij)n×n ∈ Mn×n(R) | det A 6= 0}(Tal grupo e chamado Grupo Linear Geral de grau n com entradas emR)
b) A = F(R, R), ∗ = ◦U∗(A) = SR = Bij(R, R) = {f : R → R | f e bijecao}(Tal grupo e chamado Grupo Simetrico sobre R)
Estruturas Algebricas Com Duas Operacoes Binarias
89
Seja A 6= ∅, munido de duas operacoes binarias△ : A × A → A
(a, a′) 7→ a △ a′ e¤ : A × A → A
(a, a′) 7→ a ¤ a′
A tripla (A,△,¤) e uma Estrutura Algebrica Com Duas Operacoes Bi-narias se △ e ¤ satisfaz certas propriedades.
Definicao 4.5 (Distributividade).
a) Dizemos que △ e distributiva a esquerda de ¤ se ∀ x, y, z ∈A, x △ (y ¤ z) = (x △ y) ¤ (x △ z);
b) Dizemos que △ e distributiva a direita de ¤ se ∀ x, y, z ∈A, (y ¤ z) △ x = (y △ x) ¤ (z △ x);
c) Dizemos que △ e distributiva com relacao ¤ se △ e simultaneamentedistributiva a esquerda e a direita de ¤.
Observacao. Se △ e comutativa, entao as tres nocoes anteriores sao equi-valentes.
Exemplos:
a) (Apostila 1)A = { proposicoes }△ = ∧ (“e”), ¤ = ∨ (“ou”) (comutativas)
∀ p, q, r ∈ A, p ∧ (q ∨ r) = (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)e p ∨ (q ∧ r) = (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
b) (Apostila 2)E 6= ∅ (universo)A = P (E) = {X | X ⊆ E}△ = ∩, ¤ = ∪ (comutativas)
∀ X,Y, Z ∈ A, X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z)e X ∪ (Y ∩ Z) = (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z)
Definicao 4.6 (Anel, Domınio de Integridade e Corpo). Seja A 6= ∅munido de duas operacoes binarias
+ : A × A → A(a, a′) 7→ a + a′ e
· : A × A → A(a, a′) 7→ a · a′
Dizemos que a tripla (A, +, ·) e um Anel se:
90
i) (A, +) e um grupo comutativo (tambem chamado grupo abeliano)
a) (a + b) + c = a + (b + c)
b) Existe 0 ∈ A tal que 0 + a = a = a + 0
c) Para todo a ∈ A, existe a′ = −a ∈ A tal que a + (−a) = 0
d) a + b = b + a (∀ a, b ∈ A)
ii) (A, ·) e um semigrupo:(a · b) · c = a · (b · c), ∀ a, b, c ∈ A
iii) Vale a distributividade a esquerda e a direita
a · (b + c) = ab + ace
(b + c) · a = ba + ca
Observacoes. a) Se · e comutativa, entao (A, +, ·) e dito um Anel Co-mutativo.
a · b = b · a, ∀ a, b ∈ A
b) Se A possui um elemento neutro para a operacao · (= 1), entao (A, +, ·)e dito um Anel Comutativo com Identidade. (identidade = elementoneutro para ·)
c) (A, +, ·) e dito um Domınio de Integridade se A e um anel comutativocom identidade 1 6= 0 tal que ∀ a, b ∈ A, a 6= 0 e b 6= 0 ⇒ a · b 6= 0(Pela contra-positiva, isto e equivalente a ∀ a, b ∈ A, a · b = 0 ⇒ a = 0ou b = 0)
d) (A, +, ·) e dito um Corpo se A e um anel comutativo com identidade1 6= 0 tal que todo elemento nao-nulo e inversıvel para a operacao · :
∀ a ∈ A − {0}, ∃ a−1 ∈ A | a · a−1 = 1 = a−1 · a
Exemplos:
a) (Z, +, ·) = domınio de integridade, mas nao e corpo.Justificativa: nao e corpo, pois apenas 1 e −1 possuem inverso para amultiplicacao (2 nao tem inverso em Z, pois 2−1 = 1/2 /∈ Z)
b) (Q, +, ·), (R, +, ·), (C, +, ·) = corpos
91
c) (Mn×n(R), +, ·) = anel. Nao-comutativo com identidade (logo, emparticular, nao e domınio de integridade) e, alem disso, e possıvel quea · b = 0 com a 6= 0 e b 6= 0.Justificativa: n = 2
– I2 =
(1 00 1
)
e a identidade
– nao-comutativa:
a =
(0 10 0
)
∈ M2×2(R) e b =
(0 01 0
)
∈ M2×2(R)
a · b =
(0 10 0
) (0 01 0
)
=
(1 00 0
)
6=
b · a =
(0 01 0
) (0 10 0
)
=
(0 00 1
)
– a 6= 0 e b 6= 0 tal que a · b = 0
a =
(0 10 2
)
6=(
0 00 0
)
= 0
b =
(3 40 2
)
6=(
0 00 0
)
= 0
a · b =
(0 10 2
)
6=(
3 40 0
)
=
(0 00 0
)
= 0
d) (F(R, R), +, ·) = anel comutativo com identidade, mas nao e domıniode integridade, pois existem f, g ∈ F(R, R), ambas nao-nulas, tal quef · g = 0.
Observacao. f ≡ 0 ⇔ f(x) = 0, ∀ x ∈ Rf 6= 0 ⇔ ∃ x ∈ R | f(x) 6= 0
Exemplo:
f(x) =
{0, se x < 01, se x > 0
e g(x) =
{−1, se x < 00, se x > 0
f(x) · g(x) =
{0 · (−1) = 0, se x < 01 · 0 = 0, se x > 0
92
PSfrag
f(x)g(x)
1
−1O O Ox x x
y y y
Teorema 4.7. Todo corpo e um domınio de integridade.
Observacao. Nao vale a recıproca, ou seja, nem todo domınio de integri-dade e um corpo.
Exemplo: Z e um domınio de integridade, mas NAO e corpo (pois apenasos numeros 1 e −1 sao inversıveis para a multiplicacao). (Isto e, a equacaoa · x = 1 so tem solucao em Z se a = 1 ou −1)
Demonstracao.{H: (A, +, ·) e um corpoT: (A, +, ·) e um domınio de integridade
Por hipotese, (A, +, ·) e um corpo, ou seja, A e um anel comutativo comidentidade 1 6= 0 tal que ∀ a ∈ A, a 6= 0, ∃ a−1 ∈ A | a · a−1 = 1 = a−1 · a.Queremos mostrar que (A, +, ·) e um domınio de integridade. Portanto, bastamostrar que ∀ a, b ∈ A, se a · b = 0, entao a = 0 ou b = 0.
{H: a · b = 0T: a = 0 ou b = 0
Vamos mostrar que se a 6= 0, entao b = 0 (analogamente, se b 6= 0 entaoa = 0).
Por hipotese, a · b = 0 (∗), com a 6= 0. Como a 6= 0 e (A, +, ·) e um corpo,entao ∃ a−1 ∈ A | a · a−1 = 1 = a−1 · a. Assim, multiplicando (∗) por a−1:
a · b = 0 (×a−1)a−1 · (a · b) = a−1 · 0(a−1 · a) · b = 0 ⇒ 1 · b = 0 ⇒ b = 0Se b 6= 0 entao ∃ b−1 ∈ A : b · b−1 = 1 = b−1 · b, assima · b = 0(a · b) · b−1 = 0 · b−1
a · (b · b−1) = 0 ⇒ a · 1 = 0 ⇒ a = 0 ¥
Alguns exemplos classicos de aneis e grupos (aplicacoes a Fısica,Computacao, Geometria, Variaveis Complexas, Algebra Linear, etc)
A) Aneis
93
quatro exemplos:
A.1) ZA.2) Zn (anel dos inteiros modulo n)
A.3) Z[√
2] = {a + b√
2 | a, b ∈ Z} ⊆ RA.4) Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z} ⊆ C
A.1) O anel dos inteiros - Z
• (Z, +, ·) = domınio de integridade;
• 6 = ordem total;(x 6 y ⇔ x − y 6 0, ∀ x, y ∈ Z)
• P.B.O.: (2 -a versao)Todo subconjunto nao-vazio de Z, limitado inferiormente, possui ele-mento mınimo, isto e, ∀ A ⊆ Z, A 6= ∅, ∃ m = min(A), ou seja, m ∈ Ae m 6 x, ∀ x ∈ A. Logo, para tais conjuntos (“A”), vale o Princıpiode Inducao.
Teorema 4.8 (Algoritmo da Divisao de Euclides). Sejam a, b ∈ Z, comb > 0. Entao, existem unicos q, r ∈ Z tais que a = b + qr, onde 0 6 r < b.(a = dividendo, b = divisor, q = quociente, r = resto)
Geometricamente: (a, b > 0)
0 1 b 2 b q b (q + 1) ba
r = a − q b
. . .
Demonstracao. I) Existencia de q e r:Defina A = {a− bx | x ∈ Z e a− bx > 0}. Temos que A ⊆ Z+ = N∪{0}.
Afirmacao. A 6= ∅
De fato:Tome x = −|a|. Entao,
a − bx = a − b(−|a|) = a + b|a| > a + |a| > 0
Assim, tal numero a−bx, para x = −|a|, pertence a A. Logo, pelo P.B.O.,∃ min(A) = r.
Temos que:
94
a) r ∈ A ⇒ ∃ x = q ∈ Z | r = a − bx = a − bq (ou a = bq + r). Alemdisso, r > 0.
b) r 6 y, ∀ y ∈ A. Falta mostrar que r < b.Suponha, por absurdo, que r > b. Considere o numero y = a − b(q + 1).
Temos quey = a − b(q + 1) = a − bq − b = r − b < r
Por outro lado, y = r − b > 0. Assim, y ∈ A com y < r (absurdo). (poiscontradiz a minimalidade de r)
Conclusao: r < b
II) Unicidade de q e r:Vamos mostrar que se a = bq + r = bq′ + r′, com q, q′, r, r′ ∈ Z e
0 6 r, r′ < b, entao q = q′ e r = r′.
bq + r = bq′ + r′ ⇒ bq − bq′ = r′ − r ⇒ b(q − q′) = r′ − r
Se mostrarmos que q = q′, segue que r′ = r. Suponha, por absurdo, queq′ 6= q. Assim, q′ − q 6= 0. Entao,
|q′ − q| > 0 ⇒ |q′ − q| > 1 (1)
Por outro lado,{0 6 r′ < b0 6 r < b
⇒ |r′ − r| < b (2)
Voltando a igualdade anterior:
|b||q − q′| = |b(q − q′)| = |r′ − r|
b(1)
6 b|q − q′| = |r′ − r| (2)
< b (absurdo)
Conclusao: q′ = q (⇒ r′ = r) ¥
Exercıcio: Calcule q e r nos seguintes casos:
a) a = 102; b = 7
102 | 732 144
102 = 7 · 14 + 4
95
b) a = −102; b = 7−102 = 7 · 15 + 3
Corolario 4.9. Dados a, b ∈ Z, com b 6= 0, existem unicos q, r ∈ Z tais quea = bq + r, onde 0 6 r < |b|.
Demonstracao. Como b 6= 0, segue que |b| > 0. Pelo Teorema anterior,existem unicos q′, r′ ∈ Z tais que a = |b| q′ + r′, com 0 6 r < |b|.
1 -o caso: b > 0: neste caso, |b| = b. Assim, basta tomar q′ = q er′ = r : a = bq + r, com 0 6 r < b.
2 -o caso: b < 0: neste caso, |b| = −b. Assim, basta tomar q = −q′ er = r′ : a = −bq′ + r′ = b(−q′) + r′, com 0 6 r < −b. ¥
Exemplos: 102 = (−7)(−14) + 4−102 = (−7) 15 + 3
Observacao. Se r = 0, entao dizemos que a divisao e EXATA. Neste caso,a = b q e dizemos que “b divide a” ou “b e divisor de a” ou “b e fator de a”ou “a e multiplo de b” ou “a e divisıvel por b”.
Notacao. b | a ⇔ ∃ q ∈ Z | b q = a (⇔ q = a/b ∈ Z)negacao: b ∤ a
Exemplos: −3 | 12 (pois (−3)(−4) = 12)−5 | −60 (pois (−5)(12) = −60)−7 ∤ 20 (pois −7x = 20 nao tem solucao em Z)
Teorema 4.10 (Regras de Divisibilidade).
i) 1 | a; a | a; a | 0;
ii) a | 1 ⇔ a = 1 ou − 1; 0 | b ⇔ b = 0;
iii) a | b e c | d ⇒ ac | bd;
iv) a | b e b | c ⇒ a | c;
v) a | b e b | a ⇒ a = b ou a = −b;
vi) a | b e b 6= 0 ⇒ |a| 6 |b|;
vii) a | b e a | c ⇒ a | bx + cy, ∀ x, y ∈ ZEm particular, a | b + c (x = y = 1) e a | b − c (x = 1 e y = −1)
96
Demonstracao.
vi)
{H: a | b e b 6= 0T: |a| 6 |b|
a | b ⇒ ∃ q ∈ Z | a q = b
Como b 6= 0, segue que a 6= 0 e q 6= 0.
|a q| = |b||a| 6 |a| |q|
︸︷︷︸
>1
= |b|
vii)
{H: a | b e a | cT: a | bx + cy
a | b ⇒ ∃ m ∈ Z | a m = b (×x)a | c ⇒ ∃ n ∈ Z | a n = c (×y)
a m = b(×x)=⇒ a m x = bx
a n = c(×y)=⇒ a n y = cy
⊕
⇒ a m x + a n y = bx + cy ⇒ a (mx + ny)︸ ︷︷ ︸
q ∈ Z
= bx + cy ⇒ a | bx + cy
¥
Notacoes. a ∈ ZD(a) = { divisores inteiros de a }D+(a) = { divisores naturais de a }M(a) = { multiplos inteiros de a } = aZ = {ak | k ∈ Z}M+(a) = { multiplos naturais de a }
Exemplos: a) D(1) = {±1}b) D+(1) = {1}c) D(2) = {±1,±2}d) D+(2) = {1, 2}e) D(4) = {±1,±2,±4}f) D+(4) = {1, 2, 4}g) D(0) = Zh) M(0) = {0}i) M(2) = 2Z = {2k | k ∈ Z} = {0,±2,±3,±4,±6, . . .} (numeros pares)
Definicao 4.11 (Maximo Divisor Comum e Mınimo Multiplo Co-mum).
97
M.D.C. (Maximo Divisor Comum)Sejam a, b ∈ Z, nao simultaneamente nulos. Definimos o M.D.C. de a eb como sendo o numero natural d = mdc(a, b) satisfazendo as seguintescondicoes:
i) d | a e d | b;
ii) Se c ∈ N tal que c | a e c | b, entao c | d (⇒ |c| 6 |d| ⇒ c 6 d).Em outras palavras, d = max[D(a) ∩ D(b)].
M.M.C. (Mınimo Multiplo Comum)Sejam a, b ∈ Z, ambos 6= 0. Definimos o M.M.C. de a e b como sendoo numero natural m = mmc(a, b) satisfazendo as seguintes condicoes:
i) a | m e b | m;
ii) Se c ∈ N tal que a | c e b | c, entao m | c (⇒ |m| 6 |c| ⇒ m 6 c).Em outras palavras, m = min[M+(a) ∩ M+(b)].
Exemplo: a = 45 ⇒ D(45) = {±1,±3,±5,±9,±15,±45}b = 36 ⇒ D(36) = {±1,±2,±3,±4,±6,±9,±12,±18,±36}D(45) ∩ D(36) = {±1,±3,±9}d = mdc(45, 36) = max[D(45) ∩ D(36)] = 9
Observacao. Se a = 0 e b 6= 0, entao mdc(a, b) = |b|
Exemplo: a = 45 ⇒ M(45) = {45k | k ∈ Z} = {0,±45,±90,±135,±180,±225, . . .}
b = 36 ⇒ M(36) = {36k | k ∈ Z} = {0,±36,±72,±108,±144,±180,±216, . . .}
M+(45) = {45, 90, 135, 180, 225, . . .}M+(36) = {36, 72, 108, 144, 180, 216, . . .}M+(45) ∩ M+(36) = {180, 360, 540, . . .}m = min[M+(45) ∩ M+(36)] = 180
Se a = b = 0, entao D(a) = D(b) = Z, D(a) ∩ D(b) = Z, nao existeelemento maximo (∄ mdc). Se a = 0 ou b = 0, M(0) = {0}, M+(0) = ∅,nao existe elemento mınimo (∄ mmc).
Alguns resultados importantes a respeito do M.D.C. e do M.M.C. (cujasdemonstracoes sao vistas no curso de Teoria dos Numeros):
98
1) Sejam a, b ∈ Z, nao simultaneamente nulos. Seja d = mdc(a, b). Entao,existem x0, y0 ∈ Z tais que d = ax0 + by0.
2) Sejam a, b ∈ Z, ambos nao-nulos. Seja d = mdc(a, b) e m = mmc(a, b).Entao, d · m = |a · b|.
Exemplo: a = 45, b = 36d = mdc(45, 36) = 9 e m = mmc(45, 36) = 180|a b| = a b = 45 · 36 = 1620 = 9 · 180 = dm
3) (Metodo das Divisoes Sucessivas para o Calculo do M.D.C.)Sejam a, b ∈ Z, com b 6= 0. Faca r0 = |b|. Existem q1, r1 ∈ Z com a = b q1+r1,onde 0 6 r1 < |b| = r0.
Se r1 = 0, entao pare.Se r1 6= 0, entao existem q2, r2 ∈ Z com r0 = r1 q2 + r2, onde 0 6 r2 < r1.Se r2 = 0, entao pare.Se r2 6= 0, entao existem q3, r3 ∈ Z com r1 = r2 q3 + r3, onde 0 6 r3 < r2....rk−2 = rk−1 qk + rk, onde 0 6 rk < rk−1...Apos um numero finito de passos, existira n ∈ N tal que rn 6= 0 e rn+1 = 0rn−3 = rn−2 qn−1 + rn−1, onde 0 < rn−1 < rn−2
rn−2 = rn−1 qn + rn, onde 0 < rn < rn−1
rn−1 = rn qn+1 + 0︸︷︷︸
rn+1
Afirmacao. mdc = rn (ultimo resto nao nulo)
r0 > r1 > r2 > r3 > · · · > rk > · · · > 0︸ ︷︷ ︸
sequencia decrescente de inteiros nao negativos (limitada); tal sequencia converge para 0
Exemplo: d = mdc(45, 36) = 9restos →
quocientes →
9 045 36 9
1 4
Exercıcios Selecionados:
1) Considere a = 180 e b = 252
a) Calcule d = mdc(a, b) pelo metodo das divisoes sucessivas
99
b) Determine x0, y0 ∈ Z tais que d = ax0 + by0
c) Calcule m = mmc(a, b)
2) Sejam a, b ∈ Z, nao simultaneamente nulos. Dizemos que a e b sao pri-mos entre si (ou relativamente primos ou co-primos) se d = mdc(a, b) =1. Mostre que dois numeros consecutivos sao primos entre si.
3) Sejam a, b, c ∈ Z tais que a | b c e mdc(a, b) = 1. Mostre que a | c.
Resolucao:
1) a)
180 72 36 0180 252 180 72 36
0 1 2 2⇒ d = mdc(180, 252) = 36
b) 252 = 180 · 1 + 72
180 = 72 · 2 + 3672 = 36 · 2 + 036 = 180 − 72 · 2 = 180 − (252 − 180 · 1) · 2 = 3 · 180 + (−2) · 252
x0 = 3, y0 = −2
c) m = mmc(180, 252)a = 180, b = 252, d = mdc(180, 252) = 36
Segue que a · b = d · m, isto e
m =a · bd
=252 · 180
36= 1260
2) H: n, n + 1 sao dois numeros consecutivosT: d = mdc(n, n + 1) = 1
Demonstracao. De fato:
d = mdc(n, n + 1) ⇒{
d | n ed | n + 1
vii)⇒ d | (n + 1) − n = 1ii)⇒ d = 1 ou − 1
d > 0⇒ d = 1 ¥
100
3)
H:
{a | b cmdc(a, b) = 1
T: a | c
Demonstracao. a | b c ⇒ ∃ m ∈ Z | a m = b c (∗)mdc(a, b) = 1 ⇒ ∃ x0, y0 ∈ Z | ax0 + by0 = 1 (∗∗)Queremos mostrar que a | c, ou seja, ∃ l ∈ Z | a l = c
Multiplicando (∗∗) por c:
c(ax0 + by0) = c · 1 ⇒ c ax0 + c by0 = c(∗)⇒ c ax0 + a my0 = c
⇒ a (cx0 + my0)︸ ︷︷ ︸
l ∈ Z
= c ⇒ a | c
¥
Definicao 4.12 (Numero Primo e Numero Composto).
• 1 -a versao: (em N)Dizemos que n ∈ N e primo se:
i) n > 1;
ii) D+(n) = {1, n}(equivalentemente: se n = a · b, com a, b ∈ N, entao ou a = 1 oub = 1)
Dizemos que n ∈ N e composto se ele nao e primo, ou seja, n > 1 e epossıvel escrever n = a · b, com 1 < a, b < n (a, b ∈ N).
• 2 -a versao: (em Z)Dizemos que n ∈ Z e primo se:
i) n 6= 1 e n 6= −1;
ii) D(n) = {−1, 1, n,−n}
Dizemos que n ∈ Z e composto se ele nao e primo, isto e, se n 6= ±1e |D(n)| > 4.
Vamos nos restringir apenas ao caso natural.
101
Observacao. 1 e n sao ditos divisores triviais de n
Exemplos: a) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, . . . sao primosb) 4 e composto (pois D+(4) = {1, 2, 4})
6 e composto (pois D+(6) = {1, 2, 3, 6})Notacao. P = {p ∈ N | p e primo}
Exercıcios Selecionados:
1) a) Sejam p ∈ P e a, b ∈ N. Mostre que se p | a · b, entao p | a oup | b.
b) Atraves de um contra-exemplo, verifique que a) e falso se o numerofor composto.
2) Seja n ∈ N, n > 1. Mostre que existe p ∈ P tal que p | n (isto e, todonumero natural > 1 tem um primo que o divide).
Observacao. De 2), segue o Teorema Fundamental da Aritmetica:Seja n ∈ N, n > 1
a) Existem p1, p2, . . . , pr ∈ P (nao necessariamente distintos: p1 6 p2 6. . . 6 pr) tais que n = p1 . . . pr
b) Tal decomposicao e unica, ou seja, se n = p1 . . . pr = q1 . . . qs, comp1, . . . , pr ∈ P (p1 6 p2 6 . . . 6 pr) e q1, . . . , qs ∈ P (q1 6 q2 6 . . . 6qs), entao r = s e p1 = q1, p2 = q2, . . . , pr = qs.
Resolucao:
1) a) Demonstracao.
H:
{p ∈ Pp | a · b
T: p | a ou p | b
Queremos mostrar que se p | a · b, entao p | a ou p | b. Vamosmostrar que se p ∤ a, entao p | b. (analogamente, se p ∤ b, entaop | a)
De fato: p | a · b e p ∤ a.
Afirmacao. mdc(p, a) = 1
102
d = mdc(p, a) ⇒
d | ae
d | p
Como d | p e p ∈ P, entao d = 1 ou p. Temos que d 6= p, pois,do contrario, terıamos que (d =)p | a (o que contradiz a nossasuposicao inicial). Assim, d = 1. Portanto,{
p | a · bmdc(p, a) = 1
⇒ p | b¥
b) contra-exemplo: 6 /∈ P6 = 2 · 36 | 6 = 2 · 3, mas 6 ∤ 2 e 6 ∤ 3
2) H: n > 1 (n ∈ N)T: ∃ p ∈ P | p divide n
Demonstracao. A = { divisores naturais de n, maiores do que 1 }= { t ∈ N | t > 1 e t | n }A 6= ∅ (pois n ∈ A); A ⊆ NP.B.O.=⇒ ∃ p = min(A)
Afirmacao. p ∈ P
De fato: Como p ∈ A, segue que p > 1. p nao pode ser composto pois,do contrario, chegarıamos ao seguinte absurdo:
p = a · b, com 1 < a, b < p = min(A){
a | pp | n
(trans)=⇒ a | n
a | n e a > 1 ⇒ a ∈ A (absurdo), pois a < p = min(A)
Conclusao: p ∈ P ¥
Teorema 4.13 (de Euclides). P e infinito
Demonstracao. P = {x ∈ N | x e primo} = {2, 3, 5, 7, . . .}Suponha, por absurdo, que P fosse finito. P = {p1, p2, . . . , pr}Considere N = p1 p2 . . . pr + 1 > 1. Pelo exercıcio 2), existe p ∈ P | p | N .
Como P e finito, entao p = pk, onde 1 6 k 6 r.
103
{pk | N = p1 p2 . . . pk . . . pr + 1 (∗)pk | p1 p2 . . . pk . . . pr (∗∗)
Em particular, pk | (∗) − (∗∗) = N − p1 p2 . . . pk . . . pr
pk | (∗)− (∗∗) = (p1 p2 . . . pk . . . pr + 1)− (p1 p2 . . . pk . . . pr) = 1 ⇒ pk = 1ou −1
pk ∈ N
=⇒ pk = 1 (absurdo), pois pk ∈ P (logo, nao pode ser 1)Conclusao: P e infinito. ¥
A.2) O anel dos inteiros modulo n - Zn
Definicao 4.14 (Congruencia modulo n). Sejam a, b ∈ Z e n ∈ N, n >1. Dizemos que a e b sao congruentes modulo n se n | a − b.
Notacao. a ≡ b (mod n) (le-se: a e congruente a b modulo n)a ≡ b (mod n) ⇔ n | a − b, ou seja, existe k ∈ Z | nk = a − b
Exemplo pratico: Relogio digital (congruencia modulo 12)15 ≡ 3
︸︷︷︸(mod 12), pois 12 | 15 − 3
resto da divisao de 15 por 12
21 ≡ 9 (mod 12), pois 12 | 21 − 9
Observacao. A negacao de a ≡ b (mod n) e a 6≡ b (mod n)
Teorema 4.15. A congruencia modulo n define uma relacao de equivalenciasobre Z.
Demonstracao. De fato:(RE1) Reflexiva: a ≡ a (mod n) pois n | a − a = 0 (n · 0 = 0)
(RE2) Simetrica:
H︷ ︸︸ ︷
a ≡ b (mod n) ⇒T
︷ ︸︸ ︷
b ≡ a (mod n)
a ≡ b (mod n) ⇒ n | a− b ⇒ nk = a− b, para algum k ∈ Z ⇒ (
l ∈ Z
︷︸︸︷
−k )n =b − a ⇒ n | b − a, isto e, b ≡ a (mod n)
(RE3) Transitiva: a ≡ b (mod n) e b ≡ c (mod n) ⇒ a ≡ c (mod n)a ≡ b (mod n) ⇒ n | a − b ⇒ nk1 = a − b (k1 ∈ Z) (1)b ≡ c (mod n) ⇒ n | b − c ⇒ nk2 = b − c (k2 ∈ Z) (2)(1) + (2): nk1 + nk2 = a − c ⇒ n(k1 + k2) = a − c ⇒ nk3 = a − c⇒ a ≡ c (mod n) ¥
Exercıcios Selecionados:
104
1) Verifique as seguintes propriedades de congruencias: a ≡ b (mod n),c ≡ d (mod n)
a) a + c ≡ b + d (mod n)
b) a · c ≡ b · d (mod n)
c) ak ≡ bk (mod n), ∀ k ∈ N
2) Sejam a, b ∈ Z e n ∈ N, n > 1. Entao, a ≡ b (mod n) ⇔ a e bdeixam o mesmo resto na divisao por n.
3) Sejam a ∈ Z e n ∈ N, n > 1. Entao, existe um unico r ∈ Z, com0 6 r 6 n − 1 tal que a ≡ r (mod n).
Resolucao:
1) H: a ≡ b (mod n) ⇒ n | a − b ⇒ nk1 = a − b (k1 ∈ Z) (∗)c ≡ d (mod n) ⇒ n | c − d ⇒ nk2 = c − d (k2 ∈ Z) (∗∗)
a) T: a + c ≡ b + d (mod n)
Queremos mostrar que n | (a + c) − (b + d). De fato:
n | a − be
n | c − d
⇒ n | (a − b) + (c − d) (= (a + c) − (b + d))
b) T: ac ≡ bd (mod n)
Queremos mostrar que n | ac − bd, ou seja, nk3 = ac − bd paraalgum k3 ∈ Z. De fato:
ac−bd = ac−ad+ad−bd = a(c−d)+d(a−b)(∗) (∗∗)= ank2+dnk1 =
n (ak2 + dk1)︸ ︷︷ ︸
k3 ∈ Z
⇒ n | ac − bd
c) H: a ≡ b (mod n) ⇒ n | a − b ⇒ nq1 = a − b (1)T: ak ≡ bk (mod n) ⇒ n | ak − bk ⇒ nq2 = ak − bk (2)
i) k0 = 2 :
nq1 = a − b×(a + b)=⇒ n q1(a + b)
︸ ︷︷ ︸
q2
= (a − b)(a + b) = (a2 − b2) ⇒
n | a2 − b2 ⇒ a2 ≡ b2 (mod n)
105
ii) Supondo que am ≡ bm (mod n) seja valido para todo m, talque 2 6 m < k, temos que mostrar que ak ≡ bk (mod n) everdadeiro.Temos que ak−1 ≡ bk−1 (mod n) ⇒ nq3 = ak−1 − bk−1 (3)Entao,
ak − bk = ak − a bk−1 + a bk−1 − bk
= a (ak−1 − bk−1) + bk−1(a − b)(3) e (1)
= a n q3 + bk−1n q1
= n (a q3 + bk−1q1)︸ ︷︷ ︸
q4
⇒ n | ak − bk ⇒ ak ≡ bk (mod n), ∀ k ∈ Z
2) a ≡ b (mod n) ⇔ a e b deixam o mesmo resto na divisao por n.
Demonstracao. (⇐) H:
{a = n q1 + rb = n q2 + r
T: a ≡ b (mod n)
a − b = (n q1 + r) − (n q2 + r) = n q1 − n q2 = n(q1 − q2) = n q3
⇒ n | a − b ⇒ a ≡ b (mod n)(⇒) H: a ≡ b (mod n) ⇒ a = b em Zn
T: r1 = r2, onde
{r1 = a − n q1
r2 = b − n q2, 0 6 r1, r2 < n
Vamos supor que r1 6= r2. Entao 0 < |r1 − r2| < n. Temos
a = b ⇒ n q1 + r1 = n q2 + r2
⇒ n q1 + r1 = n q2 + r2 ⇒ n q1 + r1 = n q2 + r2
⇒ 0 q1 + r1 = 0 q2 + r2 ⇒ 0 + r1 = 0 + r2
⇒ r1 = r2 ⇒ r1 ≡ r2 (mod n)⇒ n | r1 − r2 ⇒ n k = r1 − r2
n(∗)6 |n||k| = |n k| = |r1 − r2| < n (absurdo)
(∗) n > 0 e |k| > 0Entao r1 = r2. ¥
106
3) H: a ∈ Z, n ∈ N, n > 1T: existe um unico r ∈ Z, com 0 6 r 6 n − 1, tal que a ≡ r (mod n)
Demonstracao. Como n ∈ N, podemos dividir a por n. PeloAlgoritmo da Divisao de Euclides, existem unicos q, r ∈ Z tais quea = nq + r, com 0 6 r < n ⇔ 0 6 r 6 n − 1
a = nq + r ⇒ a − r = nq ⇒ n | a − r ⇒ a ≡ r (mod n) ¥
Observacao. Na divisao por n, ha n restos possıveis: 0, 1, 2, . . . , n − 1.
Objetivo: “Operar” (adicionar e multiplicar) com tais congruencias.
Notacao. a ∈ Z
• a = {x ∈ Z | x ≡ a (mod n)}(classe de equivalencia de a pela congruencia modulo n ou classe deresıduo de a modulo n)a = {x ∈ Z | n | x − a} = {x ∈ Z | nk = x − a, k ∈ Z} = {x ∈ Z |x = a + nk, k ∈ Z}
• Z/∼ = Z/≡ (mod n) = Zn = {a | a ∈ Z}(conjunto dos inteiros modulo n)
Pelo exercıcio 3, tal conjunto Zn e finito, a saber: Zn ={0, 1, 2, . . . , n − 1} (classes dos resıduos, ou restos, na divisao por n)
Observacoes. a) a (a e dito um representante da classe)
a = b ⇔ a ≡ b (mod n)
b) Zn e uma particao de Z
– a 6= ∅
– a 6= b ⇒ a ∩ b = ∅
–⋃
a ∈ Z
a = Z
Exemplos:
107
a) n = 2Z2 = {0, 1}0 = {x = 0+2k = 2k, k ∈ Z} = {0,±2,±4,±6, . . . ,±2k, . . .} (pares)1 = {x = 1 + 2k, k ∈ Z} = {±1,±3,±5,±7, . . .} (ımpares)
0 1q q
{2k} {2k + 1}Z
b) n = 3 Z3 = {0, 1, 2}0 = {3k, k ∈ Z} = {0,±3,±6,±9, . . .}1 = {3k + 1, k ∈ Z} = {. . . ,−5,−2, 1, 4, . . .}2 = {3k + 2, k ∈ Z} = {. . . ,−4,−1, 2, 5, 8, . . .}
0 1 2 Z
Operacoes Binarias Modulo n
• Adicao:+ : Zn × Zn → Zn
(x, y) 7→ x + ydef
:= x + y
• Multiplicacao:· : Zn × Zn → Zn
(x, y) 7→ x · y def
:= x · y
Teorema 4.16. a) As operacoes de “+” e “ · ” acima estao bem defini-das, ou seja, independem da escolha dos representantes das classes;
b) (Z+, +, ·) e um anel comutativo com identidade (anel dos inteiros mo-dulo n);
c) (Z+, +, ·) e um domınio de integridade ⇔ n = p ∈ P;
d) Se n = p ∈ P, entao (Z+, +, ·) e um corpo.
Demonstracao.
108
a) x + y = x + yx · y = x · yPara que tais operacoes sejam validas, elas nao devem depender daescolha dos representantes x e y das classes envolvidas. Isto e, se x′ ≡ x(mod n) (isto e, x′ = x) e y′ ≡ y (mod n) (isto e, y′ = y, entaox′ + y′ = x + y e x′ · y′ = x · y.
Tal resultado segue do exercıcio 1 (pagina 105) (propriedades de con-gruencia){
x′ ≡ x (mod n)y′ ≡ y (mod n)
⇒{
x′ + y′ ≡ x + y (mod n)x′ · y′ ≡ x · y (mod n)
⇒{
x′ + y′ = x + yx′ · y′ = x · y
b) Tese: (Z+, +, ·) e um anel comutativo com identidade.De fato:
i) (Z+, +) e um grupo abeliano:(a + b) + c = a + (b + c);a + 0 = a = 0 + a;a + (−a) = 0 = (−a) + a;a + b = b + a
ii) (Z+, ·) e um semigrupo a · (b · c) = (a · b) · c;iii) Valem as leis distributivas
a · (b + c) = a · b + a · ce
(b + c) · a = b · a + c · aiv) · e comutativo a · b = b · a;
v) · possui 1 como elemento neutro: a · 1 = a = 1 · a
c) (Zn, +, ·) e DI ⇔ n = p ∈ P
(⇐) H: n = p ∈ PT: (Zn, +, ·) e DI
Queremos mostrar que (Zn, +, ·) e um Domınio de Integridade,isto e, anel comutativo com identidade tal que
a · b = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0 (a, b ∈ Zn)
109
Falta mostrar que se a · b = 0, entao a = 0 ou b = 0
(∗) Lembre-se: p ∈ P, p | a · b ⇒ p | a ou p | ba · b = 0 ⇒ a b = 0 ⇒ a b ≡ 0 (mod p) ⇒ p | a b − 0 = a b
(∗)⇒
p | aou
p | b⇒
p | a − 0ou
p | b − 0⇒
a ≡ 0 (mod p)ou
b ≡ 0 (mod p)⇒
a = 0ou
b = 0
(⇒) H: (Z+, +, ·) e DIT: n ∈ Ppela contra-positiva, (H ⇒ T) ⇔ (¬ T ⇒ ¬ H)
¬ T: n /∈ P, ou seja, n e composto: n = a b, com 1 < a, b < n.
n = a b ⇒ n = a b = a · b = 0, onde a 6= 0 e b 6= 0, pois como{
a < n, entao n ∤ a − 0 (a 6≡ 0 (mod n))b < n, entao n ∤ b − 0 (b 6≡ 0 (mod n))
d) Tese: n = p ∈ P ⇒ (Zp, +, ·) e corpo
Queremos mostrar que (Zp, +, ·) e corpo, ou seja, anel comutativocom identidade tal que todo elemento 6= 0 possui inverso multipli-cativo:
∀ a ∈ Zp, a 6= 0, ∃ (a)−1 ∈ Zp | a (a)−1 = 1
Falta mostrar que dado a ∈ Zp, a 6= 0, ∃ (a)−1 ∈ Zp | a (a)−1 = 1
De fato:
(∗) Lembre-se: p ∈ P; a ∈ Zp ∤ a ⇒ mdc(p, a) = 1
Tome a ∈ Zp, com a 6= 0. Isto equivale a dizer que a 6≡ 0 (mod p),ou seja, p ∤ a − 0 = a. Por (∗), mdc(p, a) = 1. Logo, existemx0, y0 ∈ Z: px0 + ay0 = 1.
Tomando a classe de equivalencia
px0 + ay0 = 1 ⇒ px0 + ay0 = 1 ⇒ p x0 + a y0 = 1
⇒ 0x0 + a y0 = 1 ⇒ 0 + a y0 = 1 ⇒ a y0︸︷︷︸
(a)−1
= 1
¥
Exemplos: (Construcao das tabuas de adicao e multiplicacao para Zn)
• n = 2 : Z2 = {0, 1}, onde 0 = {2k | k ∈ Z} (pares) e 1 = {1 + 2k | k ∈Z} (ımpares)
110
+ 0 1
0 0 11 1 0
· 0 1
0 0 01 0 1
• n = 3 : Z3 = {0, 1, 2}, onde
0 = {3k | k ∈ Z}1 = {1 + 3k | k ∈ Z}2 = {2 + 3k | k ∈ Z}
+ 0 1 2
0 0 1 21 1 2 02 2 0 1
· 0 1 2
0 0 0 01 0 1 22 0 2 1
• n = 4 : Z4 = {0, 1, 2, 3}, onde
0 = {4k | k ∈ Z}1 = {1 + 4k | k ∈ Z}2 = {2 + 4k | k ∈ Z}3 = {3 + 4k | k ∈ Z}
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2
· 0 1 2 3
0 0 0 0 01 0 1 2 31 0 2 0 22 0 3 2 1
• n = 5 : Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}, onde
0 = {5k | k ∈ Z}1 = {1 + 5k | k ∈ Z}2 = {2 + 5k | k ∈ Z}3 = {3 + 5k | k ∈ Z}4 = {4 + 5k | k ∈ Z}
111
+ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 13 3 4 0 1 24 4 0 1 2 3
· 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 42 0 2 4 1 33 0 3 1 4 24 0 4 3 2 1
• n = 6 : Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, onde
0 = {6k | k ∈ Z}1 = {1 + 6k | k ∈ Z}2 = {2 + 6k | k ∈ Z}3 = {3 + 6k | k ∈ Z}4 = {4 + 6k | k ∈ Z}5 = {5 + 6k | k ∈ Z}
+ 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 51 1 2 3 4 5 02 2 3 4 5 0 13 3 4 5 0 1 24 4 5 0 1 2 35 5 0 1 2 3 4
· 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 52 0 2 4 0 2 43 0 3 0 3 0 34 0 4 2 0 4 25 0 5 4 3 2 1
Exercıcio: Z6 e DI? Justifique atraves de um exemplo.Nao, pois 6 e composto. Exemplo: 2 6= 0 (pois 6 ∤ 2 − 0), 3 6= 0 (pois 6
∤ 3 − 0), mas 2 · 3 = 2 · 3 = 6 = 0
A.3) Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z e i2 = −1} ⊂ C = {a + bi | a, b ∈ R}(i = unidade imaginaria)Graficamente: C ↔ R2 (plano bidimensional)Z[i] ↔ Z2 = Z × Z = {(a, b) | a, b ∈ Z}
0 1
1
2
2
3
−1
−1
−2
−2−3
x
y
112
• Adicao:x = a + bi ∈ Z[i]y = c + di ∈ Z[i]
x + y = (a + bi) + (c + di)def= (a + c) + (b + d)i
q q q(a, b) (c, d) (a + c, b + d)
• Multiplicacao:x · y = (a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (da + bc)i
(Z[i], +, ·) e um anel comutativo com identidade0 + 0i, 1 = 1 + 0i, −(a + bi) = (−a) + (−b)i
Exercıcios:1) Mostre que (Z[i], +, ·) e um domınio de integridade.2) Mostre que U·(Z[i]) = {±1,±i} (portanto, Z[i] nao e corpo)
Observacao. O anel (Z[i], +, ·) e dito o anel dos inteiros gaussianos.
Resolucao:
1) Falta mostrar que se (a + bi) · (x + yi) = 0 (= 0 + 0i) entao a + bi = 0ou x + yi = 0De fato:Suponha que a + bi 6= 0, isto e, a 6= 0 ou b 6= 0 (analogamente,x + yi 6= 0). Vamos mostrar que x + yi = 0.
(a+bi)(x+yi) = 0 = 0+0i ⇔{
ax − by = 0ay + bx = 0
⇔{
ax − by = 0bx + ay = 0
(∗)
(∗) e um Sistema Linear Homogeneo com duas equacoes a duas incog-nitas: x, y.
Em notacao matricial:(
a −bb a
)(xy
)
=
(00
)
det A =
∣∣∣∣
a −bb a
∣∣∣∣= a2 + b2 > 0 (6= 0)
(pois (a, b) 6= (0, 0))
⇒ (∗) e um SPD, isto e, tem solucao unica, a saber: trivial (0, 0).
113
2) Tese: U·(Z[i]) = {±1,±i}Queremos resolver a seguinte equacao:
(a + bi)︸ ︷︷ ︸
(dado)
(x + yi)︸ ︷︷ ︸
(a obter)
= 1 = 1 + 0i
Como queremos que o produto seja 1, entao a + bi 6= 0 e x + yi 6= 0
(a + bi)(x + yi) = 1 = 1 + 0i ⇔{
ax − by = 1ay + bx = 0
⇔{
ax − by = 1bx + ay = 0
(a −bb a
)(xy
)
=
(10
)
Regra de Cramer
x =
∣∣∣∣
1 −b0 a
∣∣∣∣
∣∣∣∣
a −bb a
∣∣∣∣
=a
a2 + b2y =
∣∣∣∣
a 1b 0
∣∣∣∣
∣∣∣∣
a −bb a
∣∣∣∣
=−b
a2 + b2
Assim,
x + yi = (a + bi)−1 =a
a2 + b2− b
a2 + b2i ∈ Z[i]
Comoa
a2 + b2∈ Z e
−b
a2 + b2∈ Z, devemos impor que a2 + b2 = 1.
a2 + b2 = 1 tem solucao em Z ⇔
a2 = 1e
b2 = 0ou
a2 = 0e
b2 = 1
⇔
a = ±1e
b = 0ou
a = 0e
b = ±1
Assim, (1, 0), (−1, 0), (0, 1) e (0,−1) sao as unicas solucoes em Z.
A.4) Z[√
2] = {a + b√
2 | a, b ∈ Z} ⊂ R
• Adicao:(a + b
√2) + (c + d
√2) = (a + c) + (b + d)
√2
114
• Multiplicacao:(a + b
√2)(c + d
√2) = (ac + 2bd) + (ad + bc)
√2
Exercıcio: Mostre que (Z[√
2], +, ·) e um domınio de integridade.
(Z[√
2], +, ·) e DI, ou seja, e um anel comutativo com identidade 1 6= 0,tal que, se a + b
√2 6= 0 e c + d
√2 6= 0, entao (a + b
√2)(c + d
√2) 6= 0.
De fato:
i) (Z[√
2], +) e um grupo abeliano:• (a+b
√2)+[(c+d
√2)+(e+f
√2)] = [(a+b
√2)+(c+d
√2)]+(e+f
√2)
• (a + b√
2) + (0 + 0√
2) = (0 + 0√
2) + (a + b√
2) = a + b√
2• (a + b
√2) + (−a − b
√2) = (−a − b
√2) + (a + b
√2) = 0 + 0
√2
• (a + b√
2) + (c + d√
2) = (c + d√
2) + (a + b√
2)
ii) (Z[√
2], ·) e um semigrupo:• (a + b
√2)[(c + d
√2)(e + f
√2)] = [(a + b
√2)(c + d
√2)](e + f
√2)
iii) vale a distributividade a esquerda e a direita• (a+b
√2)[(c+d
√2)+(e+f
√2)] = [(c+d
√2)+(e+f
√2)](a+b
√2) =
(a + b√
2)(c + d√
2) + (a + b√
2)(e + f√
2)
iv) “ · ” e comutativa• (a + b
√2)(c + d
√2) = (c + d
√2)(a + b
√2)
v) Z[√
2] possui elemento neutro para a “ · ”• (a + b
√2)(1 + 0
√2) = (1 + 0
√2)(a + b
√2) = a + b
√2
vi) Se (a + b√
2) 6= 0 e (c + d√
2) 6= 0, entao (a + b√
2)(c + d√
2) 6= 0 ou,pela contra-recıproca, (a + b
√2)(c + d
√2) = 0 ⇒ (a + b
√2) = 0 ou
(c + d√
2) = 0. Seja (a + b√
2)(c + d√
2) = 0.
– Suponha que (a + b√
2) 6= 0, vamos mostrar que (c + d√
2) = 0.Temos
(ac + 2bd) + (ad + bc)√
2 = 0 ⇒{
ac + 2bd = 0bc + ad = 0
em notacao matricial:(a 2bb a
)(cd
)
=
(00
)
(SLH)
det
(a 2bb a
)
= a2 − 2b2
115
a2 − 2b2 = 0 ⇒ a2 = 2b2 ⇒ |a| =√
2|b|mas a, b ∈ Z, entao a2−2b2 6= 0. Daı, temos um SPD, so a solucaotrivial satisfaz o sistema, entao c + d
√2 = 0 + 0
√2 = 0
– Analogamente, se (c + d√
2) 6= 0, entao (a + b√
2) = 0.
B) GruposB.1) Grupos de Rotacoes no Plano R2
(x, y) (dado)
(x′, y′) (a obter)
θ
x
y
(Rotacao de (x, y) ao redor da origem de θ rad no sentido anti-horario)Em IAL (ou AL):
(x′
y′
)
=
(cos θ − sen θsen θ cos θ
)
︸ ︷︷ ︸
matriz de rotacao em R
(xy
)
Em R3 :
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
G =
{(cos θ − sen θsen θ cos θ
) ∣∣∣ θ ∈ R
}
e um grupo com relacao a operacao de
multiplicacao de matrizes.
• e =
(1 00 1
)
(θ = 0 ou 2π)
• fato:(a bc d
)−1
=1
ad − bc
(d −b−c a
)
, se ad − bc 6= 0
det
(cos θ − sen θsen θ cos θ
)
= cos2 θ + sen2 θ = 1 6= 0
116
(cos θ − sen θsen θ cos θ
)−1
=
(cos θ sen θ− sen θ cos θ
)
= AT
(A−1 = AT matrizes ortogonais)
B.2) Grupos & Variaveis Complexas
• G = {z ∈ C | |z| = 1} e um grupo com relacao a operacao de multi-plicacao em C. (cırculo unitario)
1
i
−1
−i
z = (x, y)
z = (x,−y)
x
y
z = cos θ + i sen θ = eiθ
(
z−1 =1
z=
z
z z=
z
|z|2 = z
)
• G = {z ∈ C | zn = 1} = {1, w, w2, . . . , wn−1}, onde w = cos(2π/n) +i sen(2π/n), e um grupo com relacao a multiplicacao em C. (raızesn-esimas da unidade)
1
ww2
w3
wn−1
B.3) Grupos & Quımica & Fısica Quantica (Grupo das Sime-trias)
Motivacao: Quımica/ Fısica: (simetrias de uma molecula ou de um cris-tal)
Exemplo: NH3 (amonia) (molecula)CH4 (metano) (molecula)
117
NaCl (cloreto de sodio) (cristal)Simetria de uma molecula: movimento em R3 que “preserve” a molecula,
ou seja, movimento que leve um atomo num atomo do mesmo elemento epreserve as valencias.
Simetria de um cristal: movimento em R3 que “preserve” o cristal (pre-servar ligacoes quımicas e propriedades dos elementos)
H H
H
H H
H H
N C
NH3 CH4
Em R2
Isometria em R2:T : R2 → R2
v 7→ T (v)
bijecao que preserva a distancia d(T(v1), T(v2)) = d(v1, v2)Em AL: as isometrias em R2 sao
• Rotacao em torno de pontos (linear)
• Reflexoes em torno de eixos (linear)
• Translacoes (nao e linear)
Seja X ⊆ R2 (por exemplo, um polıgono regular) limitado. Uma simetriade X e uma isometria que leva X em X. Neste caso, as unicas simetrias deX sao rotacoes e reflexoes.
Grupos Diedrais - Dn:Grupos das simetrias de um polıgono regular de n lados em R2:
A
B CO
120o
r
st
n = 3 : D3 = grupo diedral das simetrias de umtriangulo equilatero. (com relacao a composicao)
O = baricentro (origem fixa)(encontro das medianas)
Ha seis simetrias para o triangulo equilatero:
118
• ρ 2π3: rotacao em torno de O no sentido anti-horario de 2π/3;
• ρ 4π3: rotacao em torno de O no sentido anti-horario de 4π/3;
• ρ2π: rotacao em torno de O no sentido anti-horario de 2π;
• τr: reflexao em torno da reta r passando por A e O;
• τs: reflexao em torno da reta s passando por B e O;
• τt: reflexao em torno da reta t passando por C e O
D3 = {ρ 2π3, ρ 4π
3, ρ2π, τr, τs, τt}
ρ 2π3
=
(1 2 32 3 1
)
ρ 4π3
=
(1 2 33 1 2
)
ρ2π =
(1 2 31 2 3
)
= Id
τr =
(1 2 31 3 2
)
τs =
(1 2 33 2 1
)
τt =
(1 2 32 1 3
)
(vide 3 -a lista)
rotacao ◦ rotacao = rotacaorotacao ◦ reflexao = reflexaoreflexao ◦ reflexao = rotacao
AB
C D
O
rs
h
v
n = 4: (quadrado)
O = centro de gravidade(fixo)
Oito simetrias:
• ρπ2: rotacao de π/2 rad no sentido anti-horario em torno de O;
• ρπ: rotacao de π rad no sentido anti-horario em torno de O;
• ρ 3π2: rotacao de 3π/2 rad no sentido anti-horario em torno de O;
• ρ2π = Id: rotacao de 2π rad no sentido anti-horario em torno de O;
• τr: reflexao em torno da reta r;
• τs: reflexao em torno da reta s;
119
• τt: reflexao em torno da reta horizontal h;
• τt: reflexao em torno da reta vertical v
D4 = {I, ρπ2, ρπ, ρ 3π
2, τr, τs, τh, τv}
I =
(1 2 3 41 2 3 4
)
ρπ2
=
(1 2 3 42 3 4 1
)
ρπ =
(1 2 3 43 4 1 2
)
ρ 3π2
=
(1 2 3 44 1 2 3
)
τr =
(1 2 3 41 4 3 2
)
τs =
(1 2 3 43 2 1 4
)
τh =
(1 2 3 44 3 2 1
)
τv =
(1 2 3 42 1 4 3
)
Observacao. (Algebra 2) Pode-se mostrar que o grupo Dn (n > 3) e cons-tituıdo de 2n elementos, a saber:
• n rotacoes em torno do centro O: 2kπ/n, k = 1, . . . , n
• n reflexoes
– n ımpar: reflexao em torno de retas unindo vertices ao pontomedio do lado oposto
– n par: reflexao em torno de retas unindo vertices opostos e reflexaoem torno de retas unindo pontos medios de lados opostos
B.4) Grupos & Fısica
• Fısica Nuclear: representacao de grupos para classificar partıculas ele-mentares (quarks, anti-gearks, mesons, . . .)
interacao fracainteracao forteinteracao eletromagnetica
• Mecanica Classica & Relatividade: simetrias que preservem proprieda-des fısicas e mudancas de coordenadas
120
– (Mecanica Classica): Grupo de Newton - Galileu{
x′ = x − vtt′ = t
– (Relatividade): Grupo de Lorentz
x′ =x − vt
√
1 −(v
c
)2
t′ =t −
( v
c2
)
x√
1 −(v
c
)2
(c = velocidade da luz)
Correcao: (lista 3)
9) Lembre-se: X 6= ∅Sim(X) = Bij(X,X) = {f : X → X | f e bijecao}∗ = ◦(Grupo Simetrico sobre X)
Caso particular: X = {1, 2, . . . , n}Sn = {f : X → X | f e bijecao}
– |Sn| = n!
– X = {1, 2, 3}(n = 3) : S3 = {f1, f2, f3, f4, f5, f6}, onde
f1 =
(1 2 31 2 3
)
= e = Idx f2 =
(1 2 31 3 2
)
f3 =
(1 2 33 2 1
)
f4 =
(1 2 32 1 3
)
f5 =
(1 2 32 3 1
)
f6 =
(1 2 33 1 2
)
(S3, ◦) NAO e abeliano, isto e, ◦ nao e comutativa.
Exemplo:
f2 ◦ f5 =
(1 2 31 3 2
)
◦(
1 2 32 3 1
)
=
(1 2 33 2 1
)
= f3
f5 ◦ f2 =
(1 2 32 3 1
)
◦(
1 2 31 3 2
)
=
(1 2 32 1 3
)
= f4
Conclusao: f2 ◦ f5 6= f5 ◦ f2
121
2) d) nZ = {nk | k ∈ Z} (multiplos de n) n ∈ Nn = 1 : Zn = 2 : 2Z = {2k | k ∈ Z} (pares)
– nZ e fechado para +x = nk1 ∈ nZ (k1 ∈ Z) e y = nk2 ∈ nZ (k2 ∈ Z)x + y = nk1 + nk2 = n (k1 + k2)
︸ ︷︷ ︸
k3
∈ nZ
– nZ e fechado para ·x · y = (nk1) · (nk2) = n (k1nk2)
︸ ︷︷ ︸
k3
∈ nZ
3) A = P ({a, b}) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}∗ = ∩
∩ ∅ {a} {b} {a, b}∅ ∅ ∅ ∅ ∅{a} ∅ {a} ∅ {a}{b} ∅ ∅ {b} {b}{a, b} ∅ {a} {b} {a, b}
– ∗ = ∩ e comutativa pois a tabua e simetrica em relacao a diagonalprincipal
– e = {a, b} (conjunto universo)
– elementos inversıveis (simetrizaveis): {a, b}′ = {a, b}– elementos regulares: {a, b}
Exercıcios Selecionados:
1) a) Calcule o mdc (d) de a = 3887 e b = 637 usando o metodo dasdivisoes sucessivas.
b) Determine x0, y0 ∈ Z tais que d = ax0 + by0
2) Sejam A um domınio de integridade e a, b, c ∈ A. Mostre que se a b =a c e a 6= 0, entao b = c (lei do cancelamento)
3) Mostre que√
p e irracional, onde p ∈ P. (Sugestao: p ∈ P e p | a · b ⇒p | a ou p | b)
122
4) Explique o motivo pelo qual
a) Z NAO e corpo (Z, +, ·)b) (Z6, +, ·) nao e domınio de integridade
c) (N, +) nao e monoide
d) (Z,−) nao e semigrupo
e) (M2×2(R), +, ·) NAO e domınio de integridade
Resolucao:
1) a)
restos →
quocientes →
65 52 13 03887 637 65 52 13
6 9 1 4
d = mdc(a, b) = 13
b) x0, y0 ∈ Z =?13 = 3887x0 + 637y0
3887 = 637 · 6 + 65637 = 65 · 9 + 5265 = 52 · 1 + 1352 = 13 · 4 + 0
13 = 65 − 52 · 1 = 65 − (637 − 65 · 9) · 1 = 65 · 10 − 637 · 1= (3887 − 637 · 6) · 10 − 637 · 1 = 3887 · 10 − 637 · 61
= 3887 · 10 + 637 · (−61)
2) A = DI (anel comutativo com identidade tal que a · b = 0 ⇒ a =0 ou b = 0, ∀ a, b ∈ A)
H:
{a b = a ca 6= 0
T: b = c
Demonstracao. a b = a c ⇒ a b − a c = 0 ⇒ a (b − c) = 0A = DI=⇒ a = 0 ou b − c = 0
Como a 6= 0, segue que b − c = 0 ⇒ b = c ¥
123
3) H: p ∈ PT:
√p e irracional
Demonstracao. Suponha, por absurdo, que√
p ∈ Q. Assim,∃ a, b ∈ Z, com b 6= 0 tal que
√p = a/b. Sem perda de generalidade,
a, b ∈ N e a/b e uma fracao irredutıvel, isto e, mdc(a, b) = 1.
√p =
a
b⇒ p =
a2
b2⇒ a2 = p · b2
︸ ︷︷ ︸
(∗)
⇒ p | a2 = a · a ⇒ p | a
p | a ⇒ a = p · m︸ ︷︷ ︸
(∗∗)
para algum m ∈ N
Substituindo (∗∗) em (∗)
(p m)2 = p b2 ⇒ p2 m2 = p b(p 6= 0)⇒ pm2 = b2 ⇒ p | b2 = b · b ⇒ p | b
Conclusao: a e b tem p como fator comum o que contradiz o fato demdc(a, b) = 1.
√p /∈ Q. ¥
4) a) Pois apenas 1 e −1 tem inverso multiplicativo (U·(Z) = {±1})b) 6 /∈ P (6 = 2 · 3)
2 6= 0 e 3 6= 0, mas 2 · 3 = 6 = 0
c) ∄ elemento neutro (0 /∈ N)
d) − nao e associativaExemplo: (1−2)−3 = −1−3 = −4 6= 2 = 1−(−1) = 1−(2−3)
e) · nao e comutativaExemplo:(
0 10 0
)(0 01 0
)
=
(1 00 0
)
6=(
0 00 1
)
=
(0 01 0
)(0 10 0
)
Existem matrizes nao-nulas cujo produto e a matriz nula.
Exemplo:(
0 10 0
)(0 10 0
)
=
(0 00 0
)
124
5 Homomorfismo Entre Estruturas Algebri-
cas
Motivacao: Dados A e B duas estruturas algebricas do mesmo tipo, que-remos definir uma funcao f : A → B que “preserve” as operacoes de cadaconjunto.
Definicao 5.1 (Homomorfismo Entre Duas Estruturas Algebricas).
i) (uma operacao binaria)Sejam (A, ∗) e (B, ◦) duas estruturas algebricas com uma operacaobinaria. Dizemos que uma funcao f : A → B e um homomorfismo sef “preserva” as operacoes “∗” e “◦”, ou seja,
∀ a, a′ ∈ A, f(a ∗ a′) = f(a) ◦ f(a′)
A B
a
a′
a ∗ a′
f(a)
f(a′)
f(a ∗ a′) = f(a) ◦ f(a′)
ii) (duas operacoes binarias)Sejam (A, ∗,¤) e (B, ◦,△) duas estruturas algebricas com duas ope-racoes binarias. Dizemos que uma funcao f : A → B e um homomor-fismo se f “preserva” as primeiras operacoes “∗” e “◦” e tambem assegundas operacoes “¤” e “△” de A e B, ou seja,
∀ a, a′ ∈ A, f(a ∗ a′) = f(a) ◦ f(a′)e
f(a ¤ a′) = f(a)△ f(a′)
Classificacao de Homomorfismo
Seja f : A → B um homomorfismo
a) Se f e sobrejetora, entao f e dito um Epimorfismo;
125
b) Se f e injetora, entao f e dito um Monomorfismo;
c) Se f e bijecao, entao f e dito um Isomorfismo. Neste caso, A e B saoditos isomorfos.
Notacao. A ∼= B (le-se: A e isomorfo a B)
Casos particulares
d) Se A = B, entao f e dito um Endomorfismo
e) Se A = B e f e uma bijecao, entao f e dito um Automorfismo (=Endomorfismo Bijetor = Isomorfismo de um conjunto em si mesmo).
Exemplos:
a) E = {a, b}A = B = P (E) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}∗ = ∩ (operacao em A)◦ = ∪ (operacao em B)
f : A → B = AX 7→ f(X) = ∁E(X) = E − X
f(∅) = ∁E∅ = E − ∅ = E = {a, b}f({a}) = ∁E{a} = E − {a} = {b}f({b}) = ∁E{b} = E − {b} = {a}f(E) = ∁EE = E − E = ∅
• f e injetora• f e sobrejetora
}
⇒ f e bijecao
Afirmacao. f e um homomorfismo (entre monoides).
De fato:
X,Y ∈ A (quaisquer)f(X ∗ Y ) = f(X) ◦ f(Y )f(X ∩ Y ) = ∁E(X ∩ Y ) = ∁E(X) ∪ ∁E(Y ) = f(X) ∪ f(Y )
Conclusao: f e isomorfismo (na verdade, como A = B, e automor-fismo).
126
b) A = R, ∗ = + (grupo abeliano)B = R∗
+ = (0,∞), ◦ = · (grupo abeliano)
f : (R, +) → (R∗+, ·)
x 7→ f(x) = ex
Afirmacao. f e um isomorfismo (de grupos)
De fato:
• f e bijecao, pois
f−1 : (R∗+, ·) → (R, +)
x 7→ f−1(x) = ln x
e a inversa de f .
• f e homomorfismo: x, x′ ∈ Rf(x ∗ x′) = f(x) ◦ f(x′)f(x + x′) = ex+x′
= ex · ex′= f(x) · f(x′)
Analogamente, f−1 e um homomorfismo:
f−1(y · y′) = ln(y · y′) = ln y + ln y′ = f−1(y) + f−1(y′)
Assim, (R, +) ∼= (R∗+, ·)
c) A = GL(n, R) = grupo linear geral de dimensao (grau) n com entradasem R = {A = (aij) ∈ Mn×n(R) | A e inversıvel} = U·(Mn×n(R))∗ = ·(grupo nao abeliano)
B = R∗ = R − {0} (grupo abeliano)◦ = ·f : A → B
X 7→ f(X) = det X
Afirmacao. f e um epimorfismo (de grupos).
• f e um homomorfismo:X,Y ∈ Af(X · Y ) = det(X · Y ) = det X · det Y = f(X) · f(Y )
127
• f e sobrejetora:Dado λ ∈ B, existe X ∈ A tal que f(X) = λ
X =
λ 0 . . . 00 1 . . . 0...
.... . .
0 0 1
n×n
(matriz diagonal)
det X = λ · 1 · 1 . . . 1︸ ︷︷ ︸
n−1 vezes
= λ
Observacao. f nao e injetora, pois matrizes distintas podem ter o mesmodeterminante.
Exemplo:
X =
1
1 00 . . .
1
⇒ det X = 1
Y =
−1
−1 01
0 . . .
1
⇒ det Y = 1
X 6= Y , mas det X = 1 = det Y
Exercıcios:
1) Verifique em cada caso que f e um homomorfismo e classifique-o:
a) (A, +, ·) - anel
f : A → Ax 7→ f(x) = x
(aplicacao identidade)
b) A = ZB = Zn = {0, 1, 2, . . . , n − 1} (n ∈ N, n > 1)
128
(aneis)f : A → B
x 7→ f(x) = x
c) A = Z, ∗ = +B = 2Z = {2k | k ∈ Z}, ◦ = +(grupos abelianos)
f : A → Bx 7→ f(x) = 2x
d) (A, +, ·) = anelf : A → B = A
x 7→ f(x) = 0
(aplicacao nula)
2) Verifique sef : Z → Z
x 7→ f(x) = −x
e um homomorfismo de aneis.
Resolucao:
1) a)
{f(x + x′) = x + x′ = f(x) + f(x′)f(x · x′) = x · x′ = f(x) · f(x′)
⇒ f e homomorfismo• f e bijecaoisomorfismo (na verdade, automorfismo)
b)
{f(x + x′) = x + x′ = x + x′ = f(x) + f(x′)f(x · x′) = x · x′ = x · x′ = f(x) · f(x′)
⇒ f e homomorfismo• f e sobrejetora: CD(f) = Zn
Im(f) = {f(x) | x ∈ A} = {x | x ∈ Z} = Zn
Conclusao: f e um epimorfismo (chamado de projecao canonica)
Observacao. f nao e injetora, pois elementos distintos podem ter a mesmaimagem.
129
Exemplo: n = 2
Z2 = {0, 1}2 6= 4, mas f(2) = 2 = 0 = 4 = f(4)
c) • f(x + x′) = 2(x + x′) = 2x + 2x′ = f(x) + f(x′)⇒ f e homomorfismo de grupo• f e sobrejetora, pois Im(f) = {2x | x ∈ A} = B = CD(f)• f e injetora, pois x 6= x′
︸ ︷︷ ︸
∈ A
⇒ f(x)︸︷︷︸
∈ B
= 2x 6= 2x′ = f(x′)︸ ︷︷ ︸
∈ B
Assim, f e bijecao. Logo, f e isomorfismo (Z ∼= 2Z)
d) • f(x + x′) = 0 = 0 + 0 = f(x) + f(x′)• f(x · x′) = 0 = 0 · 0 = f(x) · f(x′)
Se A 6= {0}, entao f nao e sobrejetora. Alem disso, f nao einjetora.
2) a) f(x + x′) = −(x + x′) = −x − x′ = (−x) + (−x′) = f(x) + f(x′)
(1 -a operacao e “preservada”)
b) f(x · x′) = −(x · x′)
6=f(x) · f(x′) = (−x) · (−x′) = x · x′
(2 -a operacao NAO e “preservada”)
Conclusao: f NAO e homomorfismo de aneis.
Observacao. (Algebra Linear)
A = V = espaco vetorial sobre um corpo K
+ (adicao de vetores); · (multiplicacao por escalar)
B = W = espaco vetorial sobre um corpo K
T : V → Wv 7→ w = T (v)
e uma Transformacao Linear se T “preserva” as operacoes “+” e “ · ”, ouseja, se T e um homomorfismo entre espacos vetoriais
{T (v + v′) = T (v) + T (v′); (∀ v, v′ ∈ V )T (αv) = αT (v); (α ∈ K, v ∈ V )
130
6 Polinomios
Definicao 6.1 (Polinomio com Coeficientes num Anel A). Seja A umanel comutativo com identidade. Definimos um polinomio na indeterminadaX com coeficientes em A como sendo uma soma infinita do seguinte tipo:
a0 + a1X + a2X2 + . . . + anX
n + 0Xn+1 + 0Xn+2 + . . . + 0Xk + . . .
(onde ∃ n ∈ Z+ | aj = 0, se j > n)Por convencao, representamos apenas a parte “finita” do polinomio (sem
as infinitas parcelas de 0’s).
Notacoes. f(X) = a0 + a1X + a2X2 + . . . + anX
n
• ai’s ∈ A, 0 6 i 6 n: coeficientes do polinomio f(X) (constantes);
• X: indeterminada ou “variavel” (pode assumir qualquer valor, NAOnecessariamente em A;
• aiXi = monomio de polinomio f(X);
• A[X] = {a0+a1X+a2X2+ . . .+anX
n | ai’s ∈ A (0 6 i 6 n), n ∈ Z+}(le-se: conjunto dos polinomios na indeterminada X com coeficientesno anel A)
Observacoes. a) Definimos o polinomio identicamente nulo como sendoaquele cujos coeficientes sao todos nulos:
f(X) = 0 + 0X + 0X2 + . . . = 0 (aj’s = 0, ∀ j ∈ Z+)
b) Dois polinomios f(X) e g(X) sao iguais se os respectivos coeficientessao iguais, isto e:
f(X) = a0 + a1X + . . . + anXn (+ . . .)
g(X) = b0 + b1X + . . . + bmXm (+ . . .)f(X) = g(X) ⇔ aj = bj, ∀ j ∈ Z+
c) (Grau de Polinomio)
Seja f(X) ∈ A[X] − {0}. Entao, f(X) = a0 + a1X + . . . + anXn, coman 6= 0 e aj = 0, se j > n + 1. Definimos o grau de f(X) como sendogr(f) = n ∈ Z+. NAO se define grau para o polinomio identicamentenulo.
131
Exemplos: a) f(X) = a (a 6= 0)gr(f) = 0 (polinomio constante)
b) f(X) = b + aX1 (a 6= 0)gr(f) = 1 (polinomio do 1 -o grau)
c) f(X) = c + bX + aX2 (a 6= 0)gr(f) = 2 (polinomio do 2 -o grau)
Afirmacao. Sejam f(X), g(X) ∈ A[X] − {0}. Entao, gr(f + g︸ ︷︷ ︸
6= 0
) 6
max{gr(f), gr(g)}.
Em A[X] vamos definir duas operacoesf(X) = a0 + a1X + . . . + anX
n, com an 6= 0 (gr(f) = n)g(X) = b0 + b1X + . . . + bmXm, com bm 6= 0 (gr(g) = m
• Adicao:
f(X)+g(X) =k∑
i=0
(ai + bi)Xi
︸ ︷︷ ︸
∈ A[X]
= (a0+b0)+(a1+b1)X+. . .+(ak+bk)Xk,
onde k 6 max{n,m}
• Multiplicacao:f(X) · g(X) = a) b0 + (a0 b1 + a1 b0)X + (a0 b2 + a1 b1 + a2 b0)X
2 + . . . +(a0 bk + a1 bk−1 + . . . + aI bk−i + . . . + ak b0)X
k + . . . + an bmXn+m =n+m∑
k=0
ck Xk,
onde ck =∑k
i=0 ai bk−i
Conclusao: Como A e anel comutativo com identidade, segue que
A[X] = {a0 + a1X + . . . + anXn | ai’s ∈ A (0 6 i 6 n), n ∈ Z+}
e tambem um anel comutativo com identidade chamado de Anel de Po-linomios na Indeterminada X com Coeficientes em A.
{0 = polinomio nulo (elemento neutro de +)1 = 1 + 0X + . . . (elemento neutro de ·)
Voltando a afirmacao anterior gr(f + g) 6 max{n,m}
132
De fato:
Suponha que n > m (se n < m, o raciocınio e similar). Entao, max{n,m}= n.
f(X) = a0 + a1X + . . . + amXm + am+1Xm+1 + . . . + anX
n, com an 6= 0
g(X) = b0 + b1X + . . . + bmXm (+0Xm+1 + . . . + 0Xn), com bm 6= 0
Assim,
f(X) + g(X) = (a0 + b0) + (a1 + b1)X + . . . + (am + bm)Xm + am+1Xm+1 +
. . . + anXn
⇒ gr(f + g) = n = max{n,m}Se n = m e bn = −an, entao gr(f + g) < n = max{n,m}f(X) = a0 + a1X + . . . + anX
n
g(X) = b0 + b1X + . . . + bnXn = b0 + b1X + . . . + (−an)Xn
Teorema 6.2. Seja A um domınio de integridade. Entao:
a) Se f(X), g(X) ∈ A[X] − {0}, entao gr(f · g) = gr(f) + gr(g);
b) Se A e domınio de integridade, entao A[X] tambem o e.
Observacao. E essencial que A seja domınio de integridade.
Exemplo: A = Z4 = {0, 1, 2, 3} (nao e DI, pois 4 /∈ P)
f(x) = g(x) = 2x + 1 ∈ Z4[x]
gr(f) = gr(g) = 1
f(x) · g(x) = (2x + 1)(2x + 1) = (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1 = 0x2 + 0x + 1(constante)
gr(f · g) = 0 6= 2 = gr(f) + gr(g)
Demonstracao.
a) f(X) = a0 + a1X + . . . + anXn, onde an 6= 0 e aj = 0, j > n + 1
(gr(f) = n)
g(X) = b0 + b1X + . . . + bmXm, onde bm 6= 0 e bj = 0, j > m + 1(gr(g) = m)
f(X) · g(X) = c0 + c1X + c2X2 + . . . + ckX
k + . . ., onde
133
c0 = a0 b0
c1 = a0 b1 + a1 b0
c2 = a0 b2 + a1 b1 + a2 b0...ck = a0 bk + a1 bk−1 + . . . + ai bk−i + . . . + ak b0...
Afirmacao.
{(1) cn+m 6= 0(2) cn+m+j = 0, j > 1
(1) cn+m = (a0 bn+m + a1 bn+m−1 + . . . + an−1 bm+1) + (an bm) +(an+1 bm−1 + . . . + an+m b0) = an bm
Como A e DI, temos que se an 6= 0 e bm 6= 0, entao an bm 6= 0. Assim,cn+m = an bm 6= 0.
(2) Exercıcio
De (1) e (2), segue que gr(f · g) = n + m = gr(f) + gr(g)
b) Segue trivialmente de a) pois acabamos de mostrar que se f(X) 6= 0 eg(X) 6= 0, entao f(X) · g(X) 6= 0. ¥
Polinomios × Funcoes Polinomiais
Sejam A um anel comutativo com identidade e f(X) = a0 + a1X + . . . +anX
n ∈ A[X]. Definimos a funcao polinomial associada (ou induzida) aopolinomio f como sendo
f : A → A
u 7→ f(u) = f(u) = a0 + a1u + . . . + anun
︸ ︷︷ ︸
∈ A
{X = indeterminadau = variavel (restrito a A)
Observacao. Polinomios diferentes podem induzir a mesma funcao polino-mial.
Exemplo: A = Z2{0, 1}f(x) = x2 + x ∈ Z2[x] e g(x) = 0 ∈ Z2[x]
134
Observe que f(x) 6= g(x). Todavia, f(u) = g(u), ∀ u ∈ A = Z2 (isto e,as funcoes polinomiais induzidas sao iguais).
f : Z2 → Z2
u 7→ f(u) = f(u) = u2 + u
u = 0 : f(0) = 0 2 + 0 = 0u = 1 : f(1) = 1 2 + 1 = 1 + 1 = 0
g : Z2 → Z2
u 7→ g(u) = g(u) = 0, ∀ u ∈ Z2
Divisibilidade e Raızes de Polinomios
Problema: f(X) = a0 + a1X + . . . + anXn ∈ A[X]
g(X) = b0 + b1X + . . . + bmXm ∈ A[X] − {0}
anXn + . . . + a0 = f(X)
∣∣ g(X) = bmXm + . . . + b0
r(X) q(X) = (an/bm)Xn−m + . . .
Solucao: a partir de agora, A = K = corpo (Q, R, C, Zp, p ∈ P)
Teorema 6.3 (Algoritmo de Euclides para Divisao de Polinomios).Sejam f(X), g(X) ∈ K[X], onde K e corpo e g(X) 6= 0. Entao, ∃! q(X),r(X) ∈ K[X] tais que
f(X) = g(X) · q(X) + r(X)
onde r(X) = 0 ou gr(r) < gr(g)
Observacao. Se r(X) = 0, entao a divisao e exata. Neste caso, f(X) =g(X) · q(X)
Notacao. g(X) | f(X) (le-se: “g(X) divide f(X)” ou “g(X) e divisor (fa-tor) de f(X)” ou “f(X) e multiplo de g(X)” ou “f(X) e divisıvel por g(X)”).
Demonstracao.
I) Existencia:
1 -o caso: f(X) = 0
135
0∣∣ g(X)
? ?
Tome q(X) = 0 e r(X) = f(X) = 0
f(X) = 0 = 0 · g(X) + 0q q
q(X) r(X)
2 -o caso: f(X) 6= 0 e gr(f) < gr(g)
Neste caso,f(X) = 0 · g(X) + f(X)
q qq(X) r(X)
3 -o caso: f(X) 6= 0 e gr(f) > gr(g)
f(X) = anXn + an−1X
n−1 + . . . + a1X + a0 ∈ K[X],
com an 6= 0 (gr(f) = n)
g(X) = bmXm + bm−1Xm−1 + . . . + b1X + b0 ∈ K[X] − {0},
com bm 6= 0 (gr(g) = m)
Por hipotese, n > m.
(∗) Lembre-se: (Princıpio da Inducao - 2 -a versao)P (n) = sentenca aberta que depende de n, onde n > n0 (n0 ∈ Z fixo)
Suponha que:
i) P (n0) e V ;
ii) Dado m ∈ Z, com n0 6 m < n, se P (m) e V , entao P (n) e V .
Entao, P (n) e V, ∀ n > n0.
Vamos usar inducao sobre n = gr(f)
i) n = 0 (= n0) : f(X) = a0 6= 0
Como n > m > 0, segue que m = 0, isto e, g(X) = b0 6= 0 (⇒∃ b−1
0 ∈ K). Assim, f(X) = (a0/b0) g(X) + 0
136
ii) Suponha que para todo polinomio de grau menor que n seja validoo teorema, ou seja, conseguimos dividi-lo por g(X) para obterq(X) e r(X). Queremos mostrar que o mesmo e valido para f .
anXn + . . . + a1X + a0
∣∣ bmXm + . . . + b1X + b0
f1(X) (an/bm)Xn−m
Defina f1(X) = f(X) − g(X) (an/bm)Xn−m
(ou f(X) = g(X) (an/bm)Xn−m + f1(X))
Observe que
f1(X) = (anXn + an−1X
n−1 + . . . + a0) − (bmXm + . . . + b1X +b0) (an/bm)Xn−m
Logo, gr(f1(X)) < n = gr(f)
Por (∗), segue que existem q1(X) e r1(X) tais que
f1(X) = g(X) · q1(X) + r1(X),
onde r1(X) = 0 ou gr(r1(X)) < gr(g(X)). Assim,
f(X) = g(X) (an/bm)Xn−m + f1(X)
= g(X) (an/bm)Xn−m + (g(X) · q1(X) + r1(X))
= g(X)[(an/bm)Xn−m + q1(X)] + r1(X)
Faca q(X) = (an/bm)Xn−m + q1(X) e r(X) = r1(X)
II) Unicidade
Suponha que ∃ q1(X), q2(X), r1(X), r2(X) ∈ K[X] tal que f(X) =g(X) · q1(X) + r1(X) e f(X) = g(X) · q2(X) + r2(X), com{
r1(X) = 0 ou gr(r1) < gr(g)r2(X) = 0 ou gr(r2) < gr(g)
Tese:
{
q1(X) = q2(X)
r1(X) = r2(X)e
De fato:
g(X) · q1(X) + r1(X) = g(X) · q2(X) + r2(X)
137
g(X)[q1(X) − q2(X)] = r2(X) − r1(X) (∗∗)
Basta mostrar que q1(X) = q2(X) (⇒ r2(X) = r1(X)). Suponha, porabsurdo, que q1(X) 6= q2(X). Assim, q1(X)− q2(X) 6= 0 (⇒ gr(q1 − q2)esta bem definido). Tomando grau em (∗∗):
gr(g(X)) + gr(q1(X) − q2(X))︸ ︷︷ ︸
gr(g(X)) 6
= gr(r2(X) − r1(X))︸ ︷︷ ︸
6 max{gr(r1),gr(r2)} <gr(g)
Assim, q1(X) = q2(X) e, portanto, r1(X) = r2(X).¥
Exercıcios: Obtenha q(X) e r(X) em cada caso:
a) f(x) = 3x5 + 4x3 + 2x + 5, g(x) = 2x3 − 3x2 + 7 em Q[x] (ou R[x]);
b) f(x) = −x6 + 12x4 + 8x3 − 4x + 10, g(x) = x2 − 3 em Z[x]
c)
{f(x) = 4x5 + 3x3 − 4x2 − 2x + 3g(x) = 3x2 − 1x − 2 em Z7[x]
,
onde Z7 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Correcao dos Exercıcios:
Observacao. Se o anel de coeficientes A nao for um corpo (como em b),ainda sim e possıvel dividir f(x) por g(X), desde que bm (coeficiente da maiorpotencia de g(x)) tenha inverso multiplicativo em A.
a)
3x5 + 0x4 + 4x3 + 0x2 + 2x + 5∣∣2x3 − 3x2 + 7
−3x5 + 92x4 − 21
2x2 3
2x2 + 9
4x + 43
8
92x4 + 4x3 − 21
2x2 + 2x + 5
−92x4 + 27
4x3 − 63
4x
434x3 − 21
2x2 − 55
4x + 5
−434x3 + 129
8x2 − 301
8
458x2 − 55
4x − 261
8
{q(x) = (3/2)x2 + (9/4)x + (43/8)r(x) = (45/8)x2 − (55/4)x − (261/8)
138
b)−x6 + 12x4 + 8x3 − 4x + 10
∣∣ 1x2 − 3
x6 − 3x4 −1x4 + 9x2 + 8x + 27
9x4 + 8x3 − 4x + 10
−9x4 + 27x2
8x3 + 27x2 − 4x + 10
−8x3 + 24x
27x2 + 20x + 10
−27x2 + 81
20x + 91
{q(x) = −x4 + 9x2 + 8x + 27r(x) = 20x + 91
c)
Observacao. i) 7 ∈ P ⇒ Z7 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} e corpo ⇒ ∀ a ∈Z7; a 6= 0, ∃ b ∈ Z7 | a · b = 1
ii) k = n + k, ∀ k ∈ Z (em Zn), pois n + k ≡ k (mod n)
Exemplo: Em Z7 : −4 = −4 + 7 = 3 (pois −4 ≡ 3 (mod 7))
4x5 + 0x4 + 3x3 − 4x2 − 2x + 3∣∣ 3x2 − 1x − 2
−18x5 + 6x4 + 12x3 6x3 + 2x2 + 1x + 5
−14x5 + 6x4 + 15x3 − 4x2 − 2x + 3
−6x4 + 2x3 + 4x2
17x3 − 2x + 3
−3x3 + 1x2 + 2x
14x3 + x2 + 3
−15x2 + 5x + 10
−14x2 + 5x + 13
{q(x) = 6x3 + 2x2 + 1x + 5r(x) = 5x + 6
Raızes de Polinomios
139
Definicao 6.4 (Raiz de Um Polinomio). Sejam K um corpo e f(x) ∈K[x] − {0}. Seja α ∈ K. α e raiz de f(x) em K se f(α) = 0 ∈ K.
Obter uma raiz em K para f(x) significa resolver a equacao polinomialf(x) = 0 em K.
Tres problemas basicos:
1 -o) Existencia de solucoes;
2 -o) Contagem do numero de solucoes;
3 -o) Metodos de resolucao de equacoes polinomiais
– Geometricos;
– Algebricos;
– Numericos;
– Analıticos
Tais problemas dependem de K.
Exemplos:
1) f(x) = x2 − 2 ∈ Q[x]• K = Q : f(x) = 0 NAO tem solucao em K (isto e, f nao possui raizem K)0 solucoes (pois ±
√2 /∈ K)
• K = R (ou C) : f(x) = 0 tem 2 solucoes em K : ±√
2 ∈ K
2) f(x) = x2 + 1 ∈ Q[x]• K = Q (ou R) : f(x) = 0 NAO tem solucao em K0 solucoesDe fato: Se α ∈ K fosse raiz de f(x), entao α2 + 1 = 0. Assim,
α2︸︷︷︸
>0
= −1︸︷︷︸
<0
(absurdo)
• K = C : f(x) = 0 tem 2 solucoes em K : ± i
140
3) f(x) = x3 − 2 ∈ Q[x]• K = Q : f(x) = 0 NAO tem solucao em K0 solucoes
• K = R : f(x) = 0 tem 1 solucao: 3√
2
• K = C : f(x) = 0 tem 3 solucoes: 3√
2, 3√
2 w, 3√
2 w2, onde w =cos(2π/3) + i sen(2π/3)
Curiosidades: (Historia da Matematica)
• ∼= 1800 a.C.: Os babilonios ja sabiam resolver determinadas equacoespraticas de 2 -o grau.
Exemplo: Obter dois numeros x, y ∈ R tais que sao conhecidos{
S = x + yP = x y
(x2 − Sx + P = 0)
• Civilizacao grega: Os gregos ja sabiam resolver, por metodos geome-tricos, certas equacoes do 2 -o e 3 -o graus.
Tres Problemas “Classicos”: (geometria)(Construcao com Regua e Compasso)
1 -o) Trisseccao do Angulo:
1
x x = “abertura”do angulo 1
1
y
y = “abertura”do angulo 2
Problema: Dado x, e possıvel com regua e compasso obter y talque angulo 1 = 3· angulo 2? NAO
2 -o) Duplicacao do Cubo:
Problema: Dado a (aresta do cubo 1), e possıvel com regua ecompasso obter b (aresta do cubo 2) tal que V2 = 2 · V1? NAO
3 -o) Quadratura do Cırculo:
Problema: Dado r, e possıvel com regua e compasso obter l talque A¤ = A◦? NAO
141
a
V1 = a3
(dado)b
V2 = b3 = 2a3
(a obter)
r(dado)
l(a obter)
• Inıcio da Era Crista: Os arabes hindus aperfeicoaram os metodos an-tigos e obtiveram uma formula para obter as raızes de f(x) = ax2 +bx + c (a 6= 0)
x =−b ±
√b2 − 4ac
2a
(Formula de Bhaskara) (K = C)
• Sec. XV/XVI: quatro matematicos italianos (Scipione Del Ferro, Tar-taglia, Cardano, Ludovico Ferrari) se interessaram pela resolucao deax3 + bx2 + cx + d = 0 (a 6= 0)
ax3 + bx2 + cx + d = 0mud. var.←→ x3 + px + q = 0
x =3
√
−q
2+
√
p3
27+
q2
4+
3
√
−q
2−
√
p3
27+
q2
4
(Formula de Cardano)
• Sec. XVII: Existe uma formula (semelhante a de Bhaskara e a deCardano) para resolver
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (a 6= 0)
• 1824: Abel provou que se n = 5, entao nao existe formula para resolver
ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0 (a 6= 0)
142
• 1832: Evariste Galois (1811 - 1832) determinou condicoes necessarias esuficientes para que uma equacao polinomial f(x) = 0 (onde gr(f) > 5)tenha solucao por meio de radicais (Teoria de Galois).
Teorema 6.5 (Teorema do Resto). Sejam K um corpo e f(x) ∈ K[x].Considere g(x) = x − α, onde α ∈ K. Entao o resto da divisao de f(x) porg(x) e f(α).
Corolario 6.6 (Teorema de D’Allembert). Nas condicoes anteriores, αe raiz de f(x) ⇔ g(x) | f(x).
Observacao. Tais resultados constituem a base do Algoritmo de Briott-Ruffini para dividir f(x) por g(x).
Demonstracao. (Teorema 6.5)Como g(x) = x − α 6= 0, entao podemos dividir f(x) por g(x) usando o
Algoritmo de Euclides:
f(x) = (x − α)q(x) + r(x),
onde r(x) = 0 ou gr(r) < gr(g) = 1 (isto e, em qualquer caso, r(x) = c ∈ K(constante)). Assim, f(x) = (x − α)q(x) + c. Substituindo x por α, temos
f(α) = (α − α)q(α) + c ⇒ r(x) = c = f(α) ¥
Demonstracao. (Corolario 6.6)α e raiz de
f(x) ⇔ f(α) = 0Teo⇔ r(x) = 0 ⇔ f(x) = (x − α)q(x)⇔ (g(x) =) x − α | f(x) ¥
Exemplo: K = Rf(x) = x2 − 5x + 6f(2) = 22 − 5 · 2 + 6 = 0 ⇒ 2 e raiz de f ⇒ x − 2 | f(x)f(3) = 32 − 5 · 3 + 6 = 0 ⇒ 3 e raiz de f ⇒ x − 3 | f(x)
Teorema 6.7 (Contagem do Numero de Raızes de Um PolinomioSobre Um Corpo). Sejam K um corpo e f(x) ∈ K[x] − {0}. Sejamn = gr(f) e N o numero de raızes de f em K. Entao, N 6 n, isto e,o numero de raızes de f em K (na verdade, em qualquer corpo L, tal queL ⊇ K) e no maximo o grau do polinomio.
143
Demonstracao.
1 -o caso: Se f(x) nao possui raiz, entao nao ha nada a demonstrar.{N = 0 6 n = gr(f)
2 -o caso: Seja α raiz de f(x) em K. Neste caso, pelo Teorema deD’Allembert,
f(x) = (x − α)q(x) (∗)
onde gr(q) = n − 1. A ideia e usar inducao sobre n, supondo que oresultado que queremos mostrar seja valido para polinomios de grau< n.
i) n = 0. Neste caso, f(x) = c 6= 0 (constante). Assim, N = 0 = n.
(Podemos supor agora que f tem raiz)
ii) Se vale para grau < n, entao vale para n. Seja β ∈ K uma outraraiz de f(x) em K. Substituindo β em (∗), temos
f(β) = (β − α)︸ ︷︷ ︸
∈ K
q(β)︸︷︷︸
∈K
= 0corpo=⇒ β − α = 0 ou q(β) = 0
⇒ β = α ou β e raiz de q(x)
Como gr(q) = n − 1 < n = gr(f), segue da hipotese de inducao queq(x) tem no maximo n− 1 raızes em K. Logo, f(x) tem no maximo nraızes em K. ¥
Observacao. E essencial que K seja um corpo para que tal teorema valha.
Exemplo: f(x) = 1x2 +1x ∈ Z6[x], onde Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Como 6 /∈ P,entao Z6 nao e corpo.
n = gr(f) = 2N =?x = 0 : f(0) = 0 ⇒ 0 e raizx = 1 : f(1) = 1 2 + 1 = 2 6= 0x = 2 : f(2) = 2 2 + 2 = 6 = 0 ⇒ 2 e raizx = 3 : f(3) = 3 2 + 3 = 12 = 0 ⇒ 3 e raizx = 4 : f(4) = 4 2 + 4 = 20 = 2 6= 0x = 5 : f(5) = 5 2 + 5 = 30 = 0 ⇒ 5 e raiz
Logo, N = 4 > n = 2
144
Pergunta: Tal exemplo contraria o Teorema?Nao, pois Z6 nao e corpo.
Exercıcios Selecionados: (lista 4)
7) Seja K um corpo (isto e, K = Q ou R ou C ou Zp, p ∈ P. Dize-mos que K e algebricamente fechado se todo polinomio, nao-constante,com coeficientes em K, admite pelo menos uma raiz em K (isto e,∀ f(x) ∈ K[x], gr(f) > 1, ∃ α ∈ K | f(α) = 0). Mostre que K = Rnao e algebricamente fechado.
Exemplo: f(x) = x2 + 1 ∈ R[x], gr(f) = 2
∄ α ∈ R | f(α) = 0, pois α2 + 1 = 0 ⇒ α2 = −1 (absurdo)
Observacao. C = {a + bi | a, b ∈ R} e algebricamente fechado. Este re-sultado e chamado de Teorema Fundamentel da Algebra, demonstrado pelaprimeira vez por Karl Friedrich Gauss (1777 - 1855) em sua Tese de Douto-rado em 1796 (aos 19 anos).
10) a) Mostre que o polinomio f(x) = x2 possui infinitas raızes no anelA = M2×2(R).
b) Comente o fato do polinomio f acima ter um numero de raızesmaior que o grau.
a) f(X) = 1 X2 ∈ M2×2(R)[X]f(X) = I2 X2, onde
I2 =
(1 00 1
)
α =
(0 c0 0
)
∈ A, onde c ∈ R
f(α) = α2 = α · α =
(0 c0 0
)(0 c0 0
)
=
(0 00 0
)
= 0
⇒ α e raiz de f(X) em A.
Como c ∈ R (arbitrario), entao ha infinitas escolhas para α, istoe, f tem infinitas raızes em A.
b) Como A nao e DI, entao A nao e corpo. Logo, o Teorema arespeito do numero de raızes nao e contrariado.
145
20) a) Sejam A = Z2{0, 1} e f(x) = 1 + x + x3 ∈ Z2[x]. Determineg(x) ∈ Z2[x], g(x) 6= f(x), tal que g = f .
b) Sejam A = Z3 = {0, 1, 2}, f(x) = x, g(x) = x3, h(x) = x+5x3 +x9 ∈ Z3[x]. Mostre que f = g = h.
Lembre-se: (Polinomios vs Funcao Polinomial)• Polinomio sobre um anel A:
f(x) = anxn + . . . + a1x + a0 ∈ A[x]
{ai’s ∈ Ax = indeterminada
• Funcao polinomial (induzida por f)
f : A → A
u 7→ f(u) := f(u) = anun + . . . + a1u + a0 ∈ A
20) a) f(x) = 1 + x + x3 ∈ Z2[x]
f : Z2 → Z2
u 7→ f(u) = f(u) = 1 + u + u3
u = 0 : f(0) = f(0) = 1 + 0 + 0 3 = 1
u = 1 : f(1) = f(1) = 1 + 1 + 1 3 = 3 = 1
Assim, f e a funcao constante 1, pois ∀ u ∈ Z2, f(u) = 1. Enatural definir g(x) = 1 (polinomio constante 1). Neste caso,
g : Z2 → Z2
u 7→ g(u) = g(u) = 1
Logo, ∀ u ∈ Z2, g(u) = g(u) = 1 = f(u).
Conclusao: f(x) 6= g(x) (polinomios diferentes), mas f = g(funcoes polinomiais iguais).
b) Demonstracao. Observe que f 6= g 6= h. Queremos mostrarque as funcoes polinomiais induzidas sao iguais, isto e, f = g = h.
f : Z3 → Z3
u 7→ f(u) = f(u) = 1u
g : Z3 → Z3
u 7→ g(u) = g(u) = 1u3
146
h : Z3 → Z3
u 7→ h(u) = h(u) = 1u + 5u3 + 1u9
u = 0:f(0) = f(0) = 0g(0) = g(0) = 0 3 = 0h(0) = h(0) = 0 + 5 0 3 + 0 9 = 0
u = 1:f(1) = f(1) = 1g(1) = g(1) = 1 3 = 1h(1) = h(1) = 1 + 5 1 3 + 1 9 = 7 = 1
u = 2:f(2) = f(2) = 2g(2) = g(2) = 2 3 = 8 = 2h(2) = h(2) = 2 + 5 2 3 + 2 9 = 2 + 40 + 512 = 554 = 2 ¥
3) Seja A um domınio de integridade. Determine U·(A[x]) = {f(x) ∈A[x] | f(x) e inversıvel para a multiplicacao}.Fatos:
• A - DI ⇒ A[x] = anel de polinomios na indeterminada x com coefici-entes em A - DI. Em particular, gr(f(x) · g(x)) = gr(f(x)) + gr(g(x)).
f(x) ∈ A[x] (Observe que f 6= 0 e g 6= 0)
f(x) ∈ U·(A[x]) ⇔ ∃ g(x) ∈ A[x] | f(x) · g(x) = 1
Tomando o grau em ambos os lados, temos:
f · g = 1gr(f · g) = gr(1)
gr(f) + gr(g) = 0 ⇔gr(f) = 0
egr(g) = 0
⇔f = a0 ∈ A∗ = A − {0}
eg = b0 ∈ A∗ = A − {0}
Assim, a0 · b0 = 1, isto e, f ∈ U·(A). Assim, U·(A[x]) = U·(A).
Exemplos: i) U·(Z[x]) = U·(Z) = {±1}ii) U∗
· (R[x]) = U·(R) = R∗ = R − {0}
Comentarios Finais Sobre Polinomios
1) E possıvel definir polinomios via sequencias infinitas. Seja A um anelcomutativo com identidade.
147
• (sequencia de elementos de A)
f : Z+ → An 7→ f(n) = an
Identificamos
f = (an)n ∈ Z+ = (a0, a1, a2, . . . , an, . . .)
• f e dita sequencia quase nula em A se ∃ N ∈ Z+ | aj = 0, j > N .
Exemplos: 0 = (0, 0, 0, . . . , 0, . . .) (sequencia nula) (N = 0)1 = (1, 0, 0, . . . , 0, . . .) (N = 1)f = (a0, a1, a2, . . . , an, 0, 0, . . .) (sequencia nula) (N = n + 1)
• Operacoes com sequencias quase nulas em A:f = (a0, a1, . . . , an, 0, . . . , 0, . . .)g = (b0, b1, . . . , bm, 0, . . . , 0, . . .)
− igualdade: f = g ⇔ ai = bi, ∀ i− adicao: f + g = (c0, c1, c2, c3, . . . , 0, . . . , 0, . . .), onde ci = ai + bi, ∀ i− multiplicacao: f · g = (d0, d1, d2, . . . , 0, 0, . . .), onded0 = a0 b0
d1 = a0 b1 + a1 b0
d2 = a0 b2 + a1 b1 + a2 b0...
• Identificacao:
− a ∈ A (constante)a = (a, 0, 0, 0, . . .)
− x (indeterminada)x = (0, 1, 0, 0, . . .)
a · x = (a, 0, 0, . . .) · (0, 1, 0, . . .) = (0, a, 0, . . . , 0, . . .)x2 = x · x = (0, 1, 0, . . .) · (0, 1, 0, . . .) = (0, 0, 1, 0, . . .)... (inducao)xn = ( 0, 0, . . . , 0
︸ ︷︷ ︸
n posicoes de 0’s
, 1, 0, . . .)
Assim, para uma sequencia f = (a0, a1, a2, . . . , an, 0, . . .) generica, te-mos:
148
f = (a0, 0, 0, . . .)+(0, a1, 0, . . .)+(0, 0, a2, . . .)+(0, 0, 0, a3, 0, . . .)+ . . .+(0, 0, . . . , 0, an, 0, . . .) = a0 + a1x + a2x
2 + . . . + anxn
2) Se K e um corpo, entao K[x] possui propriedades similares a Z:Semelhancas:
A) Algoritmo de Euclides: Dados f(x), g(x) ∈ K[x], com g(x) 6= 0, exis-tem unicos q(x), r(x) ∈ K[x] tal que f(x) = g(x) · q(x) + r(x) onder(x) = 0 ou gr(r) < gr(g).
B) Polinomios Irredutıveis: (analogo dos numeros primos)f(x) ∈ K[x] e irredutıvel se:
i) gr(f) > 1;
ii) Se f(x) = g(x) · h(x) com g(x), h(x) ∈ K[x], entao g(x) = cte(gr(g) = 0) ou h(x) = cte (gr(h) = 0)
Exemplos:a) f(x) = x2 − 5x + 6 ∈ R[x] e redutıvel em R, pois:
f(x) = (x − 2)(x − 3) (gr(g) = 1 = gr(h))b) f(x) = x2 + 1 ∈ R[x]
f e irredutıvel sobre R, mas f e redutıvel sobre C, poisf(x) = (x + i)(x − i)
c) f(x) = x2 − 2 ∈ R[x]f e irredutıvel sobre Q, mas f e redutıvel sobre R, poisf(x) = (x −
√2)(x +
√2)
C) Metodos das divisoes sucessivas para o calculo do MDC:
f(x), g(x) ∈ K[x] (nao simultaneamente nulos)d = mdc(f(x), g(x)) = ultimo polinomio nao-nulo (na divisao de f porg)
D) Fatoracao unica para polinomios (analogo ao Teorema Fundamental daAlgebra)
Todo polinomio f(x) ∈ K[x], de gr(f) > 1, pode ser escrito, de formaunica, como produto de polinomios irredutıveis (a menos de constan-tes).
Exemplo: f(x) = 3x3 − 3x ∈ R[x]f(x) = 3x2 − 3x = 3x(x2 − 1) = 3x(x + 1)(x − 1)
149
7 Topicos Especiais Sobre Aneis e Grupos
Observacao. Tais topicos serao estudados com mais detalhe nos cursos deAlgebra 2 e 3).
Motivacao: Comportamento de subconjunto de um anel e de um grupocom relacao as operacoes do conjunto. Vamos introduzir a nocao de subes-trutura algebrica.
Subestrutura Algebrica
AB
A - estrutura algebrica com uma (semigrupo,monoide, grupo) ou duas (anel, domınio de integri-dade, corpo) operacoes;
B ⊆ A
Dizemos que B e uma subestrutura algebrica deA se B satisfaz as seguintes condicoes:
a) B 6= ∅;
b) B e fechado com relacao a(s) operacao(oes) de A;
c) B, com relacao a(s) operacao(oes) de A, e tambem uma estruturaalgebrica do mesmo tipo de A.
Exemplos:a) A = C (corpo); B1 = Q (corpo); B2 = R (corpo)
Q ⊆ R ⊆ CB1 e subcorpo de B2
B1 e subcorpo de AB2 e subcorpo de A
b) A = P ({a, b}) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}∗ = ∪(A, ∗) - monoideB = {∅, {a, b}} ⊆ A
∪ ∅ {a, b}∅ ∅ {a, b}
{a, b} {a, b} {a, b}e = ∅
150
Assim, B e um submonoide de A.
A partir de agora, vamos nos restringir ao estudo de aneis e grupos.
I) Aneis
Definicao 7.1 (Subanel). Seja (A, +, ·) um anel. Seja B ⊆ A. B e ditoum subanel de A se:
a) B 6= ∅;
b) ∀ x, y ∈ B, x + y ∈ B e x · y ∈ B;
c) B e um anel com relacao as operacoes de A.
Teorema 7.2 (Criterio para Determinar Subaneis). Seja A um anel.B ⊆ A e um subanel de A se, e somente se, valem as seguintes condicoes:
i) 0 ∈ B; (elemento neutro para + em A)
ii) ∀ x, y ∈ B, x − y ∈ B; (B e fechado para −)
iii) ∀ x, y ∈ B, x · y ∈ B. (B e fechado para ·)(Isto e, a), b) e c) sao equivalentes a i), ii), iii))
Demonstracao.
(⇒)
{H: a), b), c)T: i), ii), iii)
Nao ha nada a demonstrar neste caso.
(⇐)
{H: i), ii), iiiT: a), b), c)
• Por i), 0 ∈ B. Logo, B 6= ∅ (isto e, vale a)).• Vamos mostrar que se x, y ∈ B, entao x + y ∈ B. (primeira parte de
b)).De fato:Seja y ∈ B. Por i), 0 ∈ B. Assim, segue de ii), 0 − y = −y ∈ B (isto e,
se y ∈ B, entao −y ∈ B).Considere agora x ∈ B e −y ∈ B. Por ii), segue que x − (−y) ∈ B.• A segunda parte de b) (fechamento para ·) e equivalente a iii) (logo, nao
ha nada a demonstrar).• Como A e anel e B ⊆ A, entao B “herda” as propriedades associativa,
comutativa e distributiva de A. Entao, B e subanel de A. ¥
151
Exercıcios: Verifique em cada caso que B e subanel de A:
a) A = ZB = nZ = {nk | k ∈ Z} (n ∈ N)
b) A = M2×2(R) =
{(a bc d
) ∣∣∣ a, b, c, d ∈ R
}
B =
{(a 00 0
) ∣∣∣ a ∈ R
}
c) A = C = {a + bi | a, b ∈ R}B = Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z} (anel dos inteiros gaussianos)
d) A = RB = Z[
√2] = {a + b
√2 | a, b ∈ Z}
e) (Calculo 1)
A = F(R, R) = {f : R → R | f e funcao}B = P(R, R) = {p : R → R | p e funcao polinomial}C = C(R, R) = {f : R → R | f e contınua}D = D(R, R) = {f : R → R | f e derivavel}B ⊆ D ⊆ C ⊆ A
Resolucao:
a) i) 0 ∈ B, pois 0 = n · 0ii) x, y ∈ B ⇒ x − y ∈ B
x = nk1, k1 ∈ Z e y = nk2, k2 ∈ Zx − y = nk1 − nk2 = n (k1 − k2)
︸ ︷︷ ︸
= k3
∈ B
iii) x, y ∈ B ⇒ x · y ∈ Bx · y = (nk1)(nk2) = n (k1nk2)
︸ ︷︷ ︸
= k3
∈ B
b) i)
(0 00 0
)
= 0 ∈ B, pois basta tomar a = 0
152
ii) X =
(a 00 0
)
∈ B e Y =
(b 00 0
)
∈ B
X − Y =
(a 00 0
)
−(
b 00 0
)
=
(a − b 0
0 0
)
iii) X · Y =
(a 00 0
) (b 00 0
)
=
(a b 00 0
)
∈ B
c) i) 0 ∈ B, pois 0 + 0i ∈ B
ii) x = a + bi ∈ B e y = c + di ∈ Bx − y = (a + bi) − (c + di) = (a − c)
︸ ︷︷ ︸
∈ Z
+ (b − d)︸ ︷︷ ︸
∈ Z
i ∈ B
iii) x · y = (a + bi)(c + di) = (ac − bd)︸ ︷︷ ︸
∈ Z
+ (ad + bc)︸ ︷︷ ︸
∈ Z
i ∈ B
d) i) 0 ∈ B, pois 0 + 0√
2 ∈ B
ii) x = a + b√
2 ∈ B e y = c + d√
2 ∈ Bx − y = (a + b
√2) − (c + d
√2) = (a − c)
︸ ︷︷ ︸
∈ Z
+ (b − d)︸ ︷︷ ︸
∈ Z
√2 ∈ B
iii) x · y = (a + b√
2)(c + d√
2) = (ac + 2bd)︸ ︷︷ ︸
∈ Z
+ (ad + bc)︸ ︷︷ ︸
∈ Z
√2 ∈ B
e) i) 0 ∈ B (funcao constante)
ii) A diferenca entre funcoes polinomiais (respectivamente, contınuas,derivaveis) tambem e polinomial (respectivamente, contınua, de-rivavel)
iii) O produto de duas funcoes polinomiais (respectivamente, contınu-as, derivaveis) e tambem polinomial (respectivamente, contınua,derivavel)
A
B
CD
153
Exemplos: h(x) =
1, se x > 00, se x = 0−1, se x < 0
∈ A
g(x) = |x| ∈ C
f(x) = sen x ∈ D
Exercıcios:
1) Mostre que se B1 e B2 sao subaneis de A, entao B1 ∩ B2 tambem o e.
2) Vimos que se A e um anel e B ⊆ A e um subanel, entao B “herda” aspropriedades de A. Perem, se A e anel com identidade 1 6= 0, entao Bnao necessariamente possui a mesma identidade.
a) Verifique que A = Z e B = 2Z satisfazem a observacao acima.
b) Considere A = M2×2(R) e B =
{(a 00 0
) ∣∣∣ a ∈ R
}
.
Verifique que B possui identidade 1′, mas 1′ 6= 1
1 =
(1 00 1
)
∈ A e 1′ =
(1 00 0
)
∈ B
Resolucao:
1) H: B1 e B2 sao subaneis de AT: B1 ∩ B2 e subanel de A
i) 0 ∈ B1 ∩ B2, pois 0 ∈ B1 e 0 ∈ B2 (por hipotese)
ii)
x ∈ B1 ∩ B2 ⇒ x ∈ B1 e x ∈ B2
ey ∈ B1 ∩ B2 ⇒ y ∈ B1 e y ∈ B2
⇒x − y ∈ B1
ex − y ∈ B2
⇒ x − y ∈ B1 ∩ B2
iii) x · y ∈ B1 e x · y ∈ B2 ⇒ x · y ∈ B1 ∩ B2
2) a) A = Z e B = 2Z(A, +, ·) e um anel comutativo com identidade 1 6= 0B e subanel de A, mas 1 /∈ B, pois 2Z = {0,±2,±4, . . .}
154
b) A = M2×2(R) e B =
{(a 00 0
) ∣∣∣ a ∈ R
}
1A = I =
(1 00 1
)
(a bc d
)
∈ A(
a bc d
) (1 00 1
)
=
(a bc d
)
=
(1 00 1
)(a bc d
)
(a 00 0
)
∈ B; 1B =
(b 00 0
)
∈ B(
a 00 0
)(b 00 0
)
=
(b 00 0
) (a 00 0
)
=
(ab 00 0
)
=
(a 00 0
)
⇔ a b = a ⇔ b = 1
⇒ 1B =
(1 00 0
)
6= 1A
Definicao 7.3 (Ideal de um Anel). Seja A um anel. Seja I ⊆ A. Dizemosque I e um ideal de A se:
i) I e subanel de A, ou seja
0 ∈ I;x − y ∈ I (x, y ∈ I);x · y ∈ I (x, y ∈ I)
ii) ∀ a ∈ A, ∀ x ∈ I, entao a · x ∈ I e x · a ∈ I
A
I
ax
a x
x a
Observacao. Se A e comutativo, entao a · x = x · a. Neste caso, a condicaoii) transforma-se em:
ii’) ∀ a ∈ A, ∀ x ∈ I, a · x = x · a ∈ I
155
A partir de agora, A sera sempre um anel comutativo (exceto em algunsexemplos particulares)
Exemplos:
a) A = ZI = nZ = {nk | k ∈ Z} (multiplos de n ∈ N)
I e ideal de A, pois
i) I e subanel de A (veja pagina 152)
ii) Tome a ∈ Z e x ∈ I. Entao,
a x = x a = a(nk) = n (ak)︸︷︷︸
l∈Z
∈ I
b) A = M2×2(R) =
{(a bc d
) ∣∣∣ a, b, c, d ∈ R
}
I =
{(α β0 γ
) ∣∣∣ α, β, γ ∈ R
}
⊆ A
I e subanel de A, mas nao e ideal de A, pois:
(I) 0 =
(0 00 0
)
∈ I
(II) X =
(α β0 γ
)
∈ I e Y =
(λ ǫ0 φ
)
∈ I
⇒ X − Y =
(α − λ β − ǫ
0 γ − φ
)
∈ I
(III) X · Y =
(α β0 γ
)(λ ǫ0 φ
)
=
(αλ αǫ + βφ0 γφ
)
∈ I
De (I), (II) e (III), segue que I e subanel de A.
(IV) Tome X =
(1 20 3
)
e a =
(4 56 7
)
∈ A
Entao, x a =
(1 20 3
)(4 56 7
)
=
(16 1918 21
)
/∈ I
Logo, I nao e ideal de A.
156
c) A = R, I = Q ⊆ A
I e subanel de A, mas nao e ideal de A (por exemplo: tome x = 1/2 ∈ Ie a = π ∈ A. Entao, x a /∈ I).
d) A - anel comutativo (generico)
A) {0} e A sao Ideais Triviais de A.(Se I e ideal de A nao-trivial, entao I e dito ideal proprio de A){0} $ I $ A
B) x1, x2, . . . , xn ∈ A (fixos)I = {a1x1 + a2x2 + . . . + anxn | ai’s ∈ A, 1 6 i 6 n} e um idealde A chamado de ideal gerado por x1, . . . , xn
Notacao. I = (x1, x2, . . . , xn) ou 〈x1, x2, . . . , xn〉
De fato:
• 0 ∈ I, pois 0 = 0x1 + 0x2 + . . . + 0xn
•
{α = a1x1 + . . . + anxn ∈ Iβ = b1x1 + . . . + bnxn ∈ I
α − β = (a1 − b1)x1 + . . . + (an − bn)xn ∈ I
• α · β ∈ I (exercıcio)
α · β = (a1x1 + . . . + anxn)(b1x1 + . . . + bnxn) = (a1x1 + . . . +anxn)b1x1+(a1x1+. . .+anxn)b2x2+. . .+(a1x1+. . .+anxn)bnxn =(a1b1x1 + . . . + anb1xn)︸ ︷︷ ︸
∈A
x1 + (a1b2x1 + . . . + anb2xn)︸ ︷︷ ︸
∈A
x2 + . . . +
(a1bnx1 + . . . + anbnxn)︸ ︷︷ ︸
∈A
xn ∈ I
Tome α ∈ I e y ∈ A. Entao, α·y = y ·α = y(a1x1+. . .+anxn) =(ya1)︸ ︷︷ ︸
∈ A
x1 + . . . + (yan)︸ ︷︷ ︸
∈ A
xn ∈ I.
Caso particular: (um gerador apenas)
Neste caso, I = (x1) = {ax1 | a ∈ A} (ideal principal gerado porx1)
C) (Operacoes com Ideais)
I, J - ideais de A
I ∩ Jdef
:= {x ∈ A | x ∈ I e x ∈ J} (interseccao de ideais)
I + Jdef
:= {x + y | x ∈ I e y ∈ J} (adicao de ideais)
157
Afirmacao. I ∩ J e I + J sao ideais de A
A
I + J
OO
I
<<yyyyyyyyyJ
bbEEEEEEEEE
I ∩ J
bbEEEEEEEEE
<<yyyyyyyyy
{0}
OO
De fato:Vamos verificar que I ∩ J e ideal de A (o outro caso fica comoexercıcio)
• 0 ∈ I ∩ J , pois 0 ∈ I e 0 ∈ J
• x, y ∈ I ∩ J ⇒ x − y ∈ I ∩ J{
x ∈ I ∩ J ⇒ x ∈ I e x ∈ Jy ∈ I ∩ J ⇒ y ∈ I e y ∈ J
⇒ x − y ∈ I e x − y ∈ J
⇒ x − y ∈ I ∩ J
• x, y ∈ I ∩ J ⇒ x · y ∈ I ∩ J{
x ∈ I ∩ J ⇒ x ∈ I e x ∈ Jy ∈ I ∩ J ⇒ y ∈ I e y ∈ J
⇒ x · y ∈ I e x · y ∈ J
⇒ x · y ∈ I ∩ J
• x ∈ I ∩ J : a ∈ A ⇒ x a = a x ∈ I ∩ J
x ∈ I ∩ J ⇒ x ∈ I e x ∈ J
a ∈ A
Como I e ideal, entao a x ∈ I. Como J e ideal, entao, a x ∈ J .Segue que a x ∈ I ∩ J .
I + J e ideal de A• 0 ∈ I + J , pois 0 = 0
︸︷︷︸
∈ I
+ 0︸︷︷︸
∈ J
∈ I + J
• a, b ∈ I + J ⇒ a = x1 + y1 e b = x2 + y2
158
a − b = (x1 + y1) − (x2 + y2) = (x1 − x2)︸ ︷︷ ︸
= x3 ∈ I
+ (y1 − y2)︸ ︷︷ ︸
= y3 ∈ J
∈ I + J
• a · b = (x1 + y1) · (x2 + y2) = x1 x2 +∈ I ∩ J︷︸︸︷x1 y2
︸ ︷︷ ︸
∈ I
+∈ I ∩ J︷︸︸︷x2 y1 +y1 y2
︸ ︷︷ ︸
∈ J
=
x3 + y3 ∈ I + J• c ∈ A e (x + y) ∈ I + Jc (x + y) = c x
︸︷︷︸
∈ I
+ c y︸︷︷︸
∈ J
∈ I + J
(x + y) c = x c︸︷︷︸
∈ I
+ y c︸︷︷︸
∈ J
∈ I + J
Exercıcios:
1) A = ZI = 2Z = {0,±2,±4,±6,±8,±10,±12, . . .} = {2x | x ∈ Z}J = 3Z = {0,±3,±6,±9,±12, . . .} = {3x | x ∈ Z}I ∩ J =? I + J =?
I ∩ J = (mmc(2, 3)) = (6) = 6ZI + J = (mdc(2, 3)) = (1) = Z
A = I + J
I•
•ttttttttttJ
•
•JJJJJJJJJJ
I ∩ J•
•ssssssssss•
•JJJJJJJJJJJ
2) Verifique que a uniao de ideais, em geral, nao e um ideal.
Exemplo: A = ZI = 2Z = {0,±2,±4, . . .}J = 3Z = {0,±3,±6, . . .}I ∪ J nao e ideal, poisx = 2 ∈ I ⊆ I ∪ J e y = 3 ∈ J ⊆ I ∪ Jy − x = 3 − 2 = 1 /∈ I ∪ J (nao vale o fechamento pra “−”)
3) Mostre que todo ideal de Z e principal, ou seja, se I e ideal de Z, entaoI = (n) = nZ = {nk | k ∈ Z} onde n ∈ Z+.
159
Demonstracao. Seja I um ideal de Z. Se I = {0}, entao nao ha nada ademonstrar, pois I = 0Z = {0k | k ∈ Z} = {0}.
Podemos supor que I 6= {0}. Entao, ∃ x ∈ I−{0}. Como I e ideal, segueque −x ∈ I. Assim, I contem elementos positivos e negativos.
Considere S = I ∩ N = {a ∈ I | a > 0} ⊆ N, S 6= ∅ PBO⇒ ∃ n = min(S),ou seja, n ∈ S e n 6 a, ∀ a ∈ S.
Afirmacao. I = (n) = nZ (igualdade de conjuntos)
(A) nZ ⊆ ISegue do fato de nZ ser ideal de Z
n ∈ Ik ∈ Z
}
⇒ n k ∈ I ⇒ nZ ⊆ I
(B) I ⊆ nZTome a ∈ I. Queremos mostrar que a ∈ nZa ∈ I; n > 0
Podemos dividir a por n usando o Algoritmo de Euclides: a = kn + r,onde 0 6 r < n. Observe que r = a − kn ∈ I.
Afirmacao. r = 0 (⇒ a = kn)
Se r 6= 0, entao r ∈ I, r > 0 ⇒ r ∈ S = I ∩ N, o que e absurdo, poisr < n = min(S).
¥
Aneis - Quociente
Motivacao: Generalizar a nocao de congruencia para numeros inteiros.
Lembre-se: A = Zx, y ∈ Z, n ∈ Nx ≡ y (mod n) ⇔ n | x − y, ou seja, x − y = nk, para algum k ∈ Z.
Generalizando:
Sejam A um anel comutativo com identidade e I um ideal de A. Sejamx, y ∈ A. Dizemos que “x e congruente a y modulo I” se x − y ∈ I.
Notacao. x ≡ y (mod I) ⇔ x − y ∈ I (∗)
160
Observacoes. i) A congruencia em Z e um caso particular da congruenciaacima, pois:
A = Z, I = nZ = {nk | k ∈ Z} (n ∈ N)Neste caso, dados x, y ∈ Z,
x ≡ y (mod I) ⇔ x − y ∈ I = nZ⇔ x − y = nk, para algum k ∈ Z⇔ n | x − y ⇔ x ≡ y (mod n)
ii) (∗) define uma relacao de equivalencia sobre A, pois:
(RE1) (Reflexiva) x ≡ x (mod I), ∀ x ∈ ADe fato: x − x = 0 ∈ I
(RE2) (Simetrica) x ≡ y (mod I) ⇒ y ≡ x (mod I)De fato: x ≡ y (mod I) ⇒ x − y ∈ I ⇒ −(x − y) ∈ I ⇒ y − x ∈ I ⇒y ≡ x (mod I)
(RE3) (Transitiva) x ≡ y (mod I) e y ≡ z (mod I) ⇒ x ≡ z (mod I)De fato: x ≡ y (mod I) ⇒ x − y ∈ I (A)
e y ≡ z (mod I) ⇒ y − z ∈ I (B)
(A) + (B): Como I e ideal, segue que
(x − y) + (y − z) ∈ I ⇒ x − z ∈ I ⇒ x ≡ z (mod I)
iii) Usando a congruencia (∗) e possıvel construir um novo anel analogoao anel dos inteiros modulo n. Zn = {0, 1, 2, . . . , n − 1}
• A - anel (comutativo com identidade)
• ≡ (mod I)
• x = {y ∈ A | y ≡ x (mod I)} = {y ∈ A | y − x = z ∈ I} = {y ∈ A |y = x + z, com z ∈ I} = X + I = {x + z | z ∈ I}(classe de equivalencia de x modulo I)
• A/I= A/≡ = {x | x ∈ A}
(conjunto das classes de equivalencia)
161
Observe que A/Ie uma particao de A, ou seja,
a) x 6= ∅, ∀ x ∈ A;
b) x 6= y ⇒ x ∩ y = ∅
c)⋃
x∈A x = A
• Em A/I, podemos definir duas operacoes binarias (“+” e “·”) a partir
das seguintes propriedades
Se
{x ≡ x′ (mod I)y ≡ y′ (mod I)
, entao
{x + y ≡ x′ + y′ (mod I)x · y ≡ x′ · y′ (mod I)
Analogamente: Se
{x = x′
y = y′ , entao
{x + y = x′ + y′
x · y = x′ · y′
Desta maneira, podemos definir adicao e multiplicacao sa seguinte ma-neira:
+ : A/I× A/I
→ A/I
(x, y) 7→ x + ydef
:= x + y
(independe da escolha dos representantes)
· : A/I× A/I
→ A/I
(x, y) 7→ x · y def
:= x · y(independe da escolha dos representantes)
Assim, (A/I, +, ·) e um anel comutativo com identidade 1, chamado de
anel quociente de A pelo ideal I{
0 = elemento neutro para +1 = elemento neutro para ·
Exercıcios Selecionados:
1) Mostre que se K e um corpo, entao os unicos ideais de K sao os triviais:{0} e K.
2) Sejam A e B aneis. Seja f : A → B um homomorfismo, ou seja,{
f(a + a′) = f(a) + f(a′)f(a · a′) = f(a) · f(a′)
, ∀ a, a′ ∈ A
Mostre que
162
a) f(0A) = 0B;
b) f(−a) = −f(a);
c) Se A e B sao domınios de integridade entao ou f e a funcao cons-tante 0 ou f(1A) = 1B
3) Sejam A e B aneis ef : A → B
a 7→ f(a)
um homomorfismo. Definimos
• Ker(f) = {a ∈ A | f(a) = 0B} ⊆ A (nucleo de f)
• Im(f) = {f(a) | a ∈ A} ⊆ B (imagem de f)
Mostre que
a) Im(f) e um subanel de B;
b) Ker(f) e um ideal de A;
c) f e injetiva ⇔ Ker(f) = {0A} (nucleo trivial)
Resolucao:
1) H:
{K − corpoI − ideal de K
T: I = {0} ou I = K
Demonstracao. Vamos supor que I 6= {0}. Queremos mostrar queI = K.
Se I 6= {0}, entao existe a ∈ I, com a 6= 0. Como K e corpo, entaoexiste b ∈ K tal que a · b = 1. Observe que{
a ∈ Ib ∈ K
⇒ a · b = 1 ∈ I
Assim, segue que se x ∈ K, entao x ∈ I, ou seja, K ⊆ I. Como I ⊆ K,segue que I = K. ¥
2) a) H: f : A → B (homomorfismo)T: f(0A) = 0B
163
Demonstracao. 0A + 0A = 0A
f(0A + 0A) = f(0A) ⇒ f(0A) + f(0A) = f(0A) = f(0A) + 0B ⇒[f(0A) + f(0A)] + (−f(0A)) = [f(0A) + 0B] + (−f(0A)) ⇒ f(0A) +0B = 0B + 0B ⇒ f(0A) = 0B ¥
b) T: f(−a) = −f(a)
Demonstracao. a + (−a) = 0A
f(a + (−a)) = f(0A) ⇒ f(a) + f(−a) = 0B ⇒ [f(a) + f(−a)] +(−f(a)) = 0B + (−f(a)) ⇒ f(−a) = −f(a) ¥
c) H: A e B sao DIT: f ≡ 0 (funcao identidade nula) ou f(1A) = 1B
Demonstracao. Vamos supor que f 6≡ 0 e concluir quef(1A) = 1B.
De fato:
1A · 1A = 1A
f(1A · 1A) = f(1A) ⇒ f(1A)f(1A) = f(1A) ⇒ f(1A)f(1A) −f(1A) = 0B ⇒ f(1A)[f(1A) − 1B] = 0B
⇒ f(1A) = 0B ou f(1A) = 1B
Se ocorre o segundo caso, entao (ok!). Se ocorre o primeiro, entao,∀ x ∈ A,
f(x) = f(x · 1A) = f(x) · f(1A) = 0B ¥
3) Demonstracao.
a) Devemos mostrar que:i) 0B ∈ Im(f)ii) b1, b2 ∈ Im(f) ⇒ b1 − b2 ∈ Im(f)iii) b1, b2 ∈ Im(f) ⇒ b1 · b2 ∈ Im(f)
De fato:
i) Pelo exercıcio 2 (a), 0B = f(0A)
ii) b1 ∈ Im(f) ⇒ b1 = f(a1), a1 ∈ A; b2 ∈ Im(f) ⇒ b2 =f(a2), a2 ∈ AComo f e homomorfismo, entaof(a1−a2) = f(a1+(−a2)) = f(a1)+f(−a2) = f(a1)−f(a2) =b1 − b2 ∈ Im(f)
164
iii) f(a1 · a2) = f(a1)f(a2) = b1 · b2 ∈ Im(f)
b) Devemos mostrar que:i) 0A ∈ Ker(f)ii) a1, a2 ∈ Ker(f) ⇒ a1 − a2 ∈ Ker(f)iii) a1, a2 ∈ Ker(f) ⇒ a1 · a2 ∈ Ker(f)iv) a ∈ Ker(f), x ∈ A ⇒ a x ∈ Ker(f) e x a ∈ Ker(f)
De fato:
i) Pelo exercıcio 2 (a), f(0A) = 0B ⇒ 0A ∈ Ker(f)
ii) a1 ∈ Ker(f) ⇒ f(a1) = 0B; a2 ∈ Ker(f) ⇒ f(a2) = 0B
Como f e homomorfismo,f(a1−a2) = f(a1)−f(a2) = 0B−0B = 0B ⇒ a1−a2 ∈ Ker(f)
iii) a1, a2 ∈ Ker(f) ⇒ a1 − a2 ∈ Ker(f)a1 ∈ Ker(f) ⇒ f(a1) = 0a2 ∈ Ker(f) ⇒ f(a2) = 0
f(a1 − a2)(∗)= f(a1) + f(−a2)
(∗)= f(a1) − f(a2) = 0 + 0 = 0
⇒ a1 − a2 ∈ Ker(f)
iv) a ∈ Ker(f), x ∈ A ⇒ a · x ∈ Ker(f) e x · a ∈ Ker(f)a ∈ Ker(f) ⇒ f(a) = 0
f(a · x)(∗)= f(a) · f(x) = 0 · f(x) = 0
⇒ a · x ∈ Ker(f)
f(x · a)(∗)= f(x) · f(a) = f(x) · 0 = 0
x · a ∈ Ker(f)
(∗) : f e homomorfismo
c) (⇒)
{H: f e injetivaT: Ker(f) = {0A}
Por hipotese, f e injetiva, ou seja, elementos distintos tem imagensdistintas. Assim, se a ∈ A e tal que a 6= 0A, entao f(a) 6= f(0A) =0B. Portanto, ∀ a 6= 0A, a /∈ Ker(f) ⇒ Ker(f) = {0A}.
(⇐)
{H: Ker(f) = {0A}T: f e injetora
Queremos mostrar que se f(a) = f(a′), entao a = a′.
De fato: f(a) = f(a′) ⇒ f(a) − f(a′) = 0B ⇒ f(a − a′) = 0B ⇒a − a′ ∈ Ker(f) = {0A} ⇒ a − a′ = 0A, isto e, a = a′ + 0A = a′.
¥
165
Teorema 7.4 (Primeiro Teorema do Homomorfismo de Aneis). Sejaf : A → B um homomorfismo de aneis. Entao:
a) Im(f) e um subanel de B;
b) Ker(f) e um ideal de A;
c) O anel quociente A/Ker(f)e isomorfo a Im(f), isto e, A/Ker(f)
∼= Im(f)
Demonstracao. Falta apenas demonstrar c).Queremos mostrar que existe uma funcao ψ : A/Ker(f)
→ Im(f) tal que:i) ψ e bijecao;ii) ψ e homomorfismo.f : A → B (dada)
x 7→ y = f(x)
π : A → A/Ker(f)(auxiliar)
x 7→ π(x) = x
ψ : A/Ker(f)→ Im(f) (a obter)
x 7→ ψ(x) := f(x)
i) ψ e bijecao:• ψ e sobrejetora: CD(ψ) = Im(f)
Im(ψ) = {ψ(x) | x ∈ A/Ker(f)} = {f(x) | x ∈ A} = Im(f)
• ψ e injetiva: ψ(x) = ψ(y) ⇒ x = y
De fato:
ψ(x) = ψ(y) ⇒ f(x) = f(y) ⇒ f(x) − f(y) = 0B ⇒ f(x − y) = 0B ⇒x − y ∈ Ker(f) = I ⇒ x ≡ y (mod I) ⇒ x = y
ii) ψ e homomorfismo:
• ψ(x + y) = ψ(x) + ψ(y)
• ψ(x · y) = ψ(x) · ψ(y)
De fato:
• ψ(x + y) = ψ(x + y) = f(x + y) = f(x) + f(y) = ψ(x) + ψ(y)
• ψ(x · y) = ψ(x · y) = f(x · y) = f(x) · f(y) = ψ(x) · ψ(y) ¥
II) Grupos
166
Definicao 7.5 (Grupo). Seja G 6= ∅ munido de uma operacao binaria ∗.Dizemos que o par (G, ∗) e um Grupo (ou que G e um grupo) se:
a) ∗ e associativa: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c), ∀ a, b, c ∈ G
b) ∗ possui um elemento neutro e : e ∗ a = a ∗ e (∀ a ∈ G)
c) ∀ a ∈ G, ∃ a′ ∈ G | a ∗ a′ = e e a′ ∗ a = e
Observacao. Se vale tambem a propriedaded) ∀ a, b ∈ G, a ∗ b = b ∗ a,entao G e dito grupo abeliano (ou comutativo).
Convencao: A partir de agora, vamos adotar uma notacao multiplicativapara um grupo (G, ∗).
notacao abstrata notacao multiplicativa∗ ·e 1a′ a−1
Com esta notacao, podemos definir potencias inteiras de a ∈ Ga0 := 1a1 := aa2 := a · a...an = a · a · a . . . a
︸ ︷︷ ︸
n vezes
= an−1 · a (n ∈ N)
a−n = (an)−1 (n ∈ N)
Propriedades: (Lei de Expoentes){
am · an = am+n = an · am
(am)n = am·n , (m,n ∈ Z)
Lembre-se:
{(a−1)−1 = a(a · b)−1 = b−1 · a−1
Exercıcio: (Desafio)Seja (G, ·) um grupo. Mostre que se x2 = 1, ∀ x ∈ G, entao G e abeliano.
Sugestao: usar
{(x−1)−1 = x(x y)−1 = y−1x−1
167
x, y ∈ G ⇒ x · y ∈ G e (x · y)−1 ∈ G, pois (G, ·) e grupo.Como x2 = x · x = 1, ∀ x ∈ G, temos x−1 = x, ∀ x ∈ G. Entao,
x · y = (x · y)−1 = y−1 · x−1
mas, y−1 = y e x−1 = x, daı
x · y = y · x, ∀ x, y ∈ G
Observacao. Quando G e abeliano, e costume denotar ∗ por +. Neste caso:
notacao abstrata notacao aditiva∗ +e 0a′ −a
Com esta notacao, podemos definir multiplos inteiros de a ∈ G0 · a := 01 · a := a−1 · a := −an · a := a + a + a + . . . + a
︸ ︷︷ ︸
n parcelas
(n ∈ N)
−n · a := − [a + a + a + . . . + a]︸ ︷︷ ︸
n·a
(n ∈ N)
Propriedade: na + ma = (n + m)a (m,n ∈ Z)
Definicao 7.6 (Ordem de Um Grupo). Seja (G, ·) um grupo. Definimosa ordem de G como sendo a cardinalidade de G.
Notacao. ◦(G) = |G| (le-se: “ordem de G”)
Observacao. Se |G| < ∞, entao G e dito grupo finito. Caso contrario, G edito grupo infinito.
Exemplos: a) (Z, +) = grupo infinito (abeliano)b) (Zn, +) = grupo finito (|Zn| = n) (abeliano)c) (Sn, ◦) = grupo finito (|Sn| = n!) (nao-abeliano)d) (R+, ·) = grupo infinito (abeliano) (|R| = ∞)
168
Definicao 7.7 (Subgrupo). Sejam (G, ·) um grupo e H ⊆ G. Dizemosque H e um subgrupo de G se:
a) H 6= ∅ (isto e, 1 ∈ H);
b) ∀ h1, h2 ∈ H, h1 · h2 ∈ H;
c) (H, ·) e tambem um grupo
Exemplos:
a) ∀ grupo (G, ·), {1} e G sao subgrupos (subgrupos triviais)
b) G = GLn(R) = {A = (aij)n×n | aij’s ∈ R e det A 6= 0}(grupo linear geral de grau n); ∗ = ·det(A−1) = 1/ det A e det(AB) = det A · det B
H = {A ∈ GLn(R) | det A = 1} = SLn(R) ⊆ G(grupo linear especial de grau n)H e subgrupo de G (H 6 G)
Notacao. H 6 G (le-se: H e subgrupo de G)
c) G = Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, ∗ = +
H = {0, 2, 4} ⊆ G
Afirmacao. H 6 G
e = 0 ∈ H+ 0 2 4
0 0 2 42 2 4 04 4 0 2
(vale o fechamento)
(0)′ = 0, (2)′ = 4 (= −2), (4)′ = 2 (= −4)
d) G = S3 = {f : {1, 2, 3} → {1, 2, 3} | f e bijecao}= {f1, f2, f3, f4, f5, f6}, onde
f1 = e =
(1 2 31 2 3
)
f2 =
(1 2 31 3 2
)
f3 =
(1 2 33 2 1
)
169
f4 =
(1 2 32 1 3
)
f5 =
(1 2 32 3 1
)
f6 =
(1 2 33 1 2
)
H1 = {f1} 6 G (trivial)
H2 = {f1, f2} 6 G
H3 = {f1, f3} 6 G
H4 = {f1, f4} 6 G
H5 = {f1, f5, f6} 6 G
H6 = S3 6 G (trivial)
H5 6 G
De fato:
• f1 ∈ H5
◦ f1 f5 f6
f1 f1 f5 f6
f5 f5 f6 f1
f6 f6 f1 f5
f5 ◦ f5 =
(1 2 32 3 1
)
◦(
1 2 32 3 1
)
=
(1 2 33 1 2
)
= f6
f5 ◦ f6 =
(1 2 32 3 1
)
◦(
1 2 33 1 2
)
=
(1 2 31 2 3
)
= f1
f6 ◦ f5 =
(1 2 33 1 2
)
◦(
1 2 32 3 1
)
=
(1 2 31 2 3
)
= f1
f6 ◦ f6 =
(1 2 33 1 2
)
◦(
1 2 33 1 2
)
=
(1 2 32 3 1
)
= f5
(vale o fechamento)
(f1)−1 = f1, (f5)
−1 = f6, (f6)−1 = f5
• H2 = {f1, f2}◦ f1 f2
f1 f1 f2
f2 f2 f1
f2 ◦ f2 =
(1 2 31 3 2
)
◦(
1 2 31 3 2
)
=
(1 2 31 2 3
)
= f1
170
f1 ∈ H2
vale o fechamento(f1)
−1 = f1, (f2)−1 = f2
⇒ H2 6 G
• H3 = {f1, f3}◦ f1 f3
f1 f1 f3
f3 f3 f1
f3 ◦ f3 =
(1 2 33 2 1
)
◦(
1 2 33 2 1
)
=
(1 2 31 2 3
)
= f1
f1 ∈ H3
vale o fechamento(f1)
−1 = f1, (f3)−1 = f3
⇒ H3 6 G
• H4 = {f1, f4}◦ f1 f4
f1 f1 f4
f4 f4 f1
f4 ◦ f4 =
(1 2 32 1 2
)
◦(
1 2 32 1 2
)
=
(1 2 31 2 3
)
= f1
f1 ∈ H4
vale o fechamento(f1)
−1 = f1, (f4)−1 = f4
⇒ H4 6 G
e) (Subgrupo Cıcilo)(G, ·) - grupo, a ∈ GH = {ak | k ∈ Z} = 〈a〉 6 G
(subgrupo cıclico gerado por a)
Observacao. Se 〈a〉 = G, isto e, ∀ g ∈ G, g = ak, para algum k ∈ Z, entaoG e dito grupo cıclico gerado por a.
Afirmacao. H 6 GDe fato:
• e = a0 (k = 0) ∈ H
•{
h1 = ak1 ∈ Hh2 = ak2 ∈ H
⇒ h1 · h2 = ak1ak2 = ak1+k2 ∈ H
171
• (H, ·) e um grupo
− associativa− elemento neutro− (ak)−1 = a−k ∈ H
Caso particular: subgrupo cıclico com dois elementosG = R∗; a = −1∗ = ·H = {−1, 1} = 〈−1〉 = {(−1)n | n ∈ Z} ⊂ G
· −1 1
−1 1 −11 −1 1
Exercıcio: Sejam (G, ·) um grupo e H 6 G. Dados x, y ∈ G, defina:
x ≡ y (mod H) ⇔ x−1y ∈ H
Mostre que ≡ define uma relacao de equivalencia sobre G.Resolucao:
(RE 1) (Reflexiva)x ≡ x (mod H) (ok!), pois x−1x = 1 ∈ H
(RE 2) (Simetria)x ≡ y (mod H) ⇒ y ≡ x (mod H)
De fato: x ≡ y (mod H) ⇒ x−1y ∈ H ⇒ (x−1y)−1 ∈ H
(x−1y)−1 = y−1(x−1)−1 = y−1x ⇒ y ≡ x (mod H)
(RE 3) (Transitividade)x ≡ y (mod H) ⇒ x−1y ∈ Hy ≡ z (mod H) ⇒ y−1z ∈ H
Como H 6 G, (x−1y)(y−1z) ∈ H(x−1y)(y−1z) = x−1(yy−1)z = (x−11)z = x−1z ⇒ x ≡ z (mod H)
Teorema 7.8 (Teorema de Lagrange). (Tal Teorema relaciona as cardi-nalidades de H e G, onde H 6 G e |G| < ∞)
Seja (G, ·) um grupo finito. Seja H 6 G. Entao, |H| divide |G|.
172
Exemplo: G = S3; ∗ = ◦|G| = 3! = 6H1 = {f1} ⇒ |H1| = 1 | 6H2 = {f1, f2} ⇒ |H2| = 2 | 6H3 = {f1, f3} ⇒ |H3| = 2 | 6H4 = {f1, f4} ⇒ |H4| = 2 | 6H5 = {f1, f5, f6} ⇒ |H5| = 3 | 6H6 = S3 ⇒ |H6| = 6 | 6
Correcao da Lista 4
2) a) Tese: f e monomorfismo de aneis
f : C → M2×2(R)
a + b i 7→ f(a + b i) =
(a −bb a
)
Demonstracao.
I) f e homomorfismo (preserva “+” e “ · ”)
z1 = a + b i ∈ C ⇒ f(z1) =
(a −bb a
)
∈ M2×2(R)
z2 = c + d i ∈ C ⇒ f(z2) =
(c −dd c
)
∈ M2×2(R)
z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i ∈ C
f(z1 + z2) =
(a + c −(b + d)b + d a + c
)
=
(a −bb a
)
+
(c −dd c
)
= f(z1) + f(z2)
z1 · z2 = (a + b i)(c + d i) = (ac − bd) + (ad + bc)i
f(z1 · z2) =
(ac − bd −(ad + bc)ad + bc ac − bd
)
q
f(z1) · f(z2) =
(a −bb a
)(c −dd c
)
II) f e injetiva:
Ker(f) = {z ∈ C | f(z) = 0}=
{
a + b i ∈ C∣∣∣
(a −bb a
)
=
(0 00 0
)}
= {0 + 0i} = {0} ⇒ f e injetora ¥
173
11) f(x) = x2 − x ∈ A[x], onde A e DI
Tese: As unicas raızes de f em A sao 0 e 1.
Demonstracao. α ∈ A e raiz de f se f(α) = 0
f(α) = 0 ⇒ α2 − α = 0 ⇒ α(α − 1) = 0 ⇒ α = 0 ou α − 1 = 0 ⇒α = 0 ou α = 1 ¥
Teorema de Lagrange (7.8). Sejam (G, ·) um grupo finito e H 6 G.Entao, |H| divide |G| (isto e, |G| = n|H|, com n ∈ N).
Demonstracao. (do Teorema 7.8)Pelo exercıcio da pagina 172, dados x, y ∈ G, x ≡ y (mod H) ⇔ x−1y ∈
H define uma relacao de equivalencia sobre G. Assim, podemos obter x(classe de equivalencia de x), a saber:
x = {y ∈ G | x ≡ y (mod H)} = {y ∈ G | x−1y = h ∈ H}= {y ∈ G | y = xh, h ∈ H} def
= xH = {xh | h ∈ H}(xH e a classe lateral a esquerda de H determinada por x)
Observacoes. a) Poderıamos tambem ter definido uma outra relacao deequivalencia:
x ≡ y (mod H) ⇔ xy−1 ∈ H
Neste caso, x = Hx (classe lateral a direita de H determinada por x)
b) Como G e finito, segue que ha um numero finito de classes laterais aesquerda, a saber: x1H, x2H, . . . , xnH. Tais classes constituem umaparticao de G, ou seja:
i) xiH 6= ∅, ∀ i ∈ {1, . . . , n};ii) xiH 6= xjH ⇒ xiH ∩ xjH = ∅, (i 6= j);
iii) G = x1H ∪ x2H ∪ . . . ∪ xnH
c) Todas as classes laterais a esqurda tem o mesmo numero de elementos.
De fato:f : H → xH
h 7→ f(h) = xh
e uma bijecao. Logo, |xH| = |H|, ∀ x ∈ G.
174
Conclusao:
|G| = |x1H| + |x2H| + . . . + |xnH| = |H| + |H| + . . . + |H| = nH
(n = ındice de H em G = numero de distintas classes a esquerda) ¥
Exercıcios:
1) Fatore os seguintes polinomios como produto de fatores irredutıveis emR[x]:
a) f(x) = x3 + x2 + x + 1
b) f(x) = x3 + 1
c) f(x) = x3 − 1
d) f(x) = x3 − x
e) f(x) = x3 + x
f) f(x) = x4 + 1
g) f(x) = x6 − 1
2) (Multiplicidade de uma Raiz)
K = corpo (por exemplo: Q, R, C ou Zp)f(x) = anx
n + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 ∈ K[x], an 6= 0
α ∈ K - raiz de f(x) (isto e, f(α) = 0)m ∈ N
nomenclatura:
{• an = coeficiente dominante (lıder)• Se an = 1, entao f e dito monico
Dizemos que α e raiz de multiplicidade m se f(x) = (x − α)m · g(x),onde g(x) ∈ K[x] e g(α) 6= 0.
(Lembre-se: (Teorema do resto + Teorema de D’Allembert)
Mostre que α e raiz simples ⇔ f(α) = 0 e f ′(α) 6= 0. Eq: α e raizde multiplicidade m > 2 ⇔ f(α) = 0 e f ′(α) = 0. (Na verdade:f(α) = f ′(α) = . . . = f (m−1)(α) = 0 e f (m)(α) 6= 0)
Observacao.m = 1 : α e raiz simples
f(x) = (x − α)g(x)
175
m = 2 : α e raiz dupla
f(x) = (x − α)g(x)...
Resolucao:
a) Lembre-se: Todo polinomio f(x) ∈ K[x] nao-constante (isto e, gr(f) >1) pode ser decomposto como um produto de fatores irredutıveis. Taldecomposicao e unica, a menos de constantes.
b) Em C (T.F.A.), os unicos polinomios irredutıveis sao os lineares: ax+b,com a 6= 0.
c) Em R, os unicos polinomios irredutıveis sao os lineares (ax + b, coma 6= 0) e os quadraticos com ∆ < 0 (ax2 + bx + c, com a 6= 0 e∆ = b2 − 4ac < 0)
d) Se α ∈ C e raiz de f(x) ∈ R[x] entao α ∈ C tambem o e
(x − α)(x − α) = x2 − (α + α)︸ ︷︷ ︸
2 Re(α) ∈ R
x + αα︸︷︷︸
|α|2 ∈ R
1) a) f(x) = x3 + x2 + x + 1 = x2(x + 1) + (x + 1) = (x + 1) (x2 + 1)︸ ︷︷ ︸
∆ = −4 < 0
b) f(x) = x3 + 1(1)= (x + 1) (x2 − x + 1)
︸ ︷︷ ︸
∆ = −3 < 0
c) f(x) = x3 − 1(2)= (x − 1)(x2 + x + 1)
d) f(x) = x3 − x = x(x2 − 1)(3)= x(x + 1)(x − 1)
e) f(x) = x3 + x = x (x2 + 1)︸ ︷︷ ︸
∆ = −4 < 0
f) f(x) = x4 +1 = [(x2)2 +2x2 · 1+12]− 2x2 · 1 = (x2 +1)2 − 2x2︸︷︷︸
(√
2x)2
(3)=
(x2 + 1 +√
2x)(x2 + 1 −√
2x) = (x2 +√
2x + 1)︸ ︷︷ ︸
∆ = −2 < 0
(x2 −√
2x + 1)︸ ︷︷ ︸
∆ = −2 < 0
176
g) f(x) = x6 − 1(3)= (x3 − 1)(x3 + 1)
(2) e (1)= (x − 1) (x2 + x + 1)
︸ ︷︷ ︸
∆ = −3 < 0
(x + 1) (x2 − x + 1)︸ ︷︷ ︸
∆ = −3 < 0
(1) (a3 + b3) = (a + b)(a2 − ab + b2)(2) (a3 − b3) = (a − b)(a2 + ab + b2)(3) (a2 − b2) = (a + b)(a − b)
2) (Multiplicidade)
Exemplos:
a) f(x) = ax + b ∈ R[x], a 6= 0f(x) = 0 ⇒ ax + b = 0 ⇒ x = −b/a
f(x) = ax + b = a
(
x +b
a
)
= a
(
x −(
− b
a
))1
x = −b/a e raiz simples
f ′(x) = a 6= 0 (em particular, f ′(−b/a) 6= 0)
b) f(x) = ax2 + bx + c ∈ R[x], com a 6= 0
f(x) = 0 ⇒ ax2 + bx + c = 0 ⇒ x =−b ±
√b2 − 4ac
2a
∆ > 0 : x1, x2 ∈ R; x1 6= x2
∆ = 0 : x1, x2 ∈ R; x1 = x2
∆ < 0 : x1, x2 ∈ C; (x2 = x1)
Observe que se ∆ = 0, entao λ = (−b/2a) e uma raiz dupla (m =2). Assim, f(x) = a(x − x1)(x − x2) = a(x − λ)2 (λ = x1 = x2)
f ′(x) = 2ax + b
f ′′(x) = 2a 6= 0 (pois a 6= 0)
Observe que
f(λ) = 0f ′(λ) = 0f ′′(λ) 6= 0
c) f(x) = x3 ∈ R[x]x3 = (x − 0)3
x = 0 e raiz tripla (m = 3)
f(x) = x3 f ′′(x) = 6xf ′(x) = 3x2 f ′′′(x) = 6 6= 0
Observe que f(0) = f ′(0) = f ′′(0) = 0 e f ′′′(0) 6= 0.
177
3) (Pendente - veja pagina 159)
A = Z (anel dos inteiros)a, b ∈ N
I = (a) = aZ = {ax | x ∈ Z} = {0,±a,±2a, . . .}J = (b) = bZ = {by | y ∈ Z} = {0,±b,±2b, . . .}I + J = (d) = dZ = {0,±d,±2d, . . .}I ∩ J = (m) = mZ = {0,±m,±2m, . . .}
Teorema 7.9. d = mdc(a, b) e m = mmc(a, b)
(d)
(a)
=={{{{{{{{
(b)
aaBBBBBBBB
(m)
aaCCCCCCCC
==||||||||
Exemplo: a = 2, b = 3
I = (2) = 2Z = {0,±2,±4,±6,±8,±10,±12, . . .}J = (3) = 3Z = {0,±3,±6,±9,±12,±15,±18, . . .}I + J = (mdc(3, 2)) = (1) = 1Z = Z
I ∩ J = (mmc(2, 3)) = (6) = 6Z = {0,±6,±12,±18, . . .}
Definicao 7.10 (Ordem de Um Elemento de Um Grupo). Sejam (G, ·)um grupo e a ∈ G. Dizemos que a tem ordem (ou perıodo) finita se ∃ n ∈N | an = 1. O mınimo valor de n e chamado de ordem (ou perıodo) de a.
Notacao. ◦(a) = min{n ∈ N | an = 1}
Observacao. Caso nao exista tal n ∈ N, dizemos que a tem ordem infinita.
4) Calcule ◦(a) nos seguintes casos:
a) G = {±1}, ∗ = ·a = 1 ⇒ ◦(1)a = −1 ⇒ ◦(−1)
178
b) G = S3; ∗ = ◦a =
(1 2 32 3 1
)
⇒ ◦((
1 2 32 3 1
))
c) G = Z6; ∗ = +a = 2 ⇒ ◦(2)a = 3 ⇒ ◦(3)
d) G = C∗; ∗ = ·a = i ⇒ ◦(i)
Resolucao:
a) e = 1; an = 1◦(1) = 1, pois 11 = 1◦(−1) = 2, pois (−1)2 = 1
b) e =
(1 2 31 2 3
)
an = e (compor a n vezes)
a =
(1 2 32 3 1
)
6= e
a2 = a ◦ a =
(1 2 32 3 1
)
◦(
1 2 32 3 1
)
=
(1 2 33 1 2
)
6= e
a3 = a2 ◦ a =
(1 2 33 1 2
)
◦(
1 2 32 3 1
)
=
(1 2 31 2 3
)
= e
⇒ ◦(a) = 3
c) e = 0; ∗ = +
n a = 0
a = 2
1 · 2 = 2 6= 0
2 · 2 = 2 + 2 = 4 6= 0
3 · 2 = 2 + 2 + 2 = 6 = 0
◦(2) = 3
a = 3
179
1 · 3 = 3 6= 0
2 · 3 = 3 + 3 = 6 = 0
◦(3) = 2
d) e = 1; an = 1
a = i
a1 = i 6= 1
a2 = −1 6= 1
a3 = −i 6= 1
a4 = 1
◦(a) = 4
Exercıcios Propostos
Logica & Conjuntos & Inducao
(1-a Lista de Exercıcios)
1) Joao e Ricardo estudam em colegios diferentes, porem estudam juntosem casa. Por coincidencia, no dia em que Joao teve aula sobre funcaoinjetora, Ricardo tambem a teve. No caderno de Joao estava escrito:“Uma funcao e injetora quando x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2)”. Ja nocaderno de Ricardo estava escrito: “Uma funcao e injetora quandof(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2”.
Assim, comecou uma discussao:
– Seu professor errou - disse Joao.
– Foi o seu quem errou, pois o meu nao erra - respondeu Ricardo.
Com base no texto acima, qual e a sua conclusao? Justifique.
2) Considere as afirmacoes seguintes:
• Todo automovel alemao e bom
• Se um automovel e bom, entao ele e caro
180
• Existem automoveis suecos bons
• Se nao choveu, entao todas as lojas estao abertas
• Se x < y, entao z = 5 ou z = 7
Admitindo a veracidade dessas 5 afirmacoes e admitindo que existamautomoveis franceses, alemaes, suecos e coreanos, julgue os itens a se-guir:
a) ( ) Se alguma loja esta fechada, entao choveu.
b) ( ) Se um automovel nao e caro, entao ele pode ser frances.
c) ( ) Alguns automoveis suecos sao caros.
d) ( ) Existem automoveis coreanos caros.
e) ( ) Um automovel alemao pode nao ser caro.
f) ( ) Se z 6= 5 e z 6= 7, entao x > y.
3) (PAS - UnB) Em matematica, as manipulacoes algebricas sao funda-mentais e devem ser feitas com bastante cautela, a fim de que sejamevitadas operacoes incorretas. Na sequencia de igualdades abaixo, nu-meradas de I a VII, considere x e y numeros reais nao-nulos.
I) x = y
II) xy = y2
III) x2 − xy = x2 − y2
IV) x(x − y) = (x + y)(x − y)
V) x = x + y
VI) x = 2x
VII) 1 = 2
Com base nessas informacoes e admitindo I como verdadeira, julgue ositens abaixo:
a) ( ) II e consequencia de I.
b) ( ) Os processos de fatoracao usados em III para se obter IV valemapenas para x > 0.
181
c) ( ) E correta a obtencao de V a partir de IV.
d) ( ) E correta a obtencao de VII a partir de VI.
4) Sendo A = {0, 1, 2, {2}, {1, 2}}, B = {2}, C = {∅, 2} e D = { }, julgueos itens abaixo:
a) ( ) 0 ∈ A f) ( ) {1, 2} ⊆ A l) ( ) B ∈ C
b) ( ) 2 ∈ A g) ( ) ∅ ⊆ C m) ( ) D ∈ C
c) ( ) B ∈ A h) ( ) D ⊆ C n) ( ) B ⊆ C
d) ( ) B ⊆ A i) ( ) 1 ∈ A o) ( ) D ⊆ B
e) ( ) ∅ ∈ C j) ( ) ∅ ∈ A p) ( ) {1, 2} ∈ A
5) (UnB) Sejam A,B,C e D conjuntos tais que (A ∪ B) ∩ (C ∪ D) = ∅.Observe a tabela abaixo e julgue os itens a seguir:
Conjunto n-o de elementos
(A − B) ∪ (C − D) 12C 11
(A ∩ B) ∪ (C ∩ D) 10A ∩ B 4A ∪ B 17
(C − D) ∪ (D − C) 13
a) ( ) |C − D| = 5
b) ( ) |D − C| = 9
c) ( ) |C ∪ D| = 19
d) ( ) |(A − B) ∪ (B − A)| = 13
e) ( ) |B − A| = 5
6) Sejam A,B ⊆ E. Definimos a diferenca simetrica entre A e B, deno-tado por A△B, por:
A△B := (A − B) ∪ (B − A)
i) Represente A△B por meio de Diagramas de Venn.
ii) Mostre que:
182
a) A△A = ∅;
b) A△∅ = A;
c) A△B = B△A;
d) A△B = (A ∪ B) − (A ∩ B)
7) Determine os seguintes conjuntos:{
Z+ = conjunto dos inteiros nao-negativosZ− = conjunto dos inteiros nao-positivos
a) Z+ − Z− =
b) Z+ ∩ Z− =
c) Z+ ∪ Z− =
d) ∁R(Q) =
e) Z − N =
f) ∁C(R) =
8) Usando o Princıpio de Inducao, mostre que:
a) 1 + 2 + 3 + · · · + n =n(n + 1)
2, ∀ n ∈ N;
b) 12 + 22 + 32 + · · · + n2 =n(n + 1)(2n + 1)
6, ∀ n ∈ N;
c) 13 + 23 + 33 + · · · + n3 =n2(n + 1)2
4, ∀ n ∈ N;
d) 1 + x + x2 + · · · + xn−1 =1 − xn
1 − x, ∀ n ∈ N,∀ x ∈ R, x 6= 1;
e)1
1 · 2 +1
2 · 3 +1
3 · 4 + · · · + 1
n(n + 1)=
n
n + 1, ∀ n ∈ N;
f) 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + n(n + 1) =n(n + 1)(n + 2)
3, ∀ n ∈ N;
g) (1 + x)n > 1 + nx, ∀ n ∈ N, ∀ x ∈ R, x > −1;(Desigualdade de Bernoulli)
h) an−bn = (a−b)(an−1 +an−2b+an−3b2 + · · ·+abn−2 +bn−1), ∀ n ∈N, n > 2;
183
i) Sn = (n − 2) · 180◦, ∀ n ∈ N, n > 3;(Sn = soma das medidas dos angulos internos de um polıgonoconvexo de n lados)
j) dn =n(n − 3)
2, ∀ n ∈ N, n > 3;
(dn = numero de diagonais de um polıgono convexo de n lados)
l) n! > 2n, ∀ n ∈ N, n > 4;
m) Se A e um conjunto finito com n elementos, entao A possui 2n
subconjuntos. (Equivalente: se |A| = n, entao |P (A)| = 2n)
9) Sejam A,B ⊆ E. Mostre que A ⊆ B ⇔ P (A) ⊆ P (B).
10) Sejam A,B ⊆ E tais que |A| < ∞ e |B| < ∞. Mostre que:
a) Se A ∩ B = ∅, entao |A ∪ B| = |A| + |B|;b) Se A ⊆ B, entao |B − A| = |B| − |A|;c) |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Relacoes & Funcoes
(2 -a Lista de Exercıcios)
1) Determinar todas as relacoes de equivalencia R sobre o conjuntoA = {1, 2, 3} e os respectivos conjuntos-quociente A/R
.
2) Dar exemplos de relacoes R sobre o conjunto A = {1, 2, 3} tais que:
a) R satisfaz (RE1), (RE2) e (RE3);
b) R satisfaz (RE1), mas nao satisfaz (RE2) e nem (RE3);
c) R satisfaz (RE2), mas nao satisfaz (RE1) e nem (RE3);
d) R satisfaz (RE3), mas nao satisfaz (RE1) e nem (RE2);
e) R satisfaz (RE1) e (RE2), mas nao satisfaz (RE3);
f) R satisfaz (RE1) e (RE3), mas nao satisfaz (RE2);
g) R satisfaz (RE2) e (RE3), mas nao satisfaz (RE1);
Conclusao: sao independentes entre si.
184
3) Explicite a relacao dada por R = {(x, y) ∈ R × Z | 9x2 + 4y2 = 36},determinado D(R) e Im(R).
4) Seja A = Z × Z∗ (Z∗ = Z − {0}). Para (a, b), (c, d) ∈ A, defina:
(a, b) ∼ (c, d) ⇔ ad = bc
Mostre que ∼ define uma relacao de equivalencia sobre A.
5) Sejam A = Z e n ∈ N (fixado). Para x, y ∈ A, defina:
x ∼ y ⇔ n | x − y
Mostre que ∼ define uma relacao de equivalencia sobre A, chamadade congruencia modulo n e denotada por x ≡ y (mod n) (le-se: “x econgruente a y” (modulo n)).
6) Sabendo que A = {1, 2, 3} e B = {¤,△}, determine F(A,B),F(B,A), Sur(A,B), Inj(A,B), SA = Bij(A,A) e SB = Bij(B,B).
7) Mostre que se |A| = m e |B| = n, com m,n ∈ N, entao |F(A,B)| = nm.
8) Sejam A = Z e a, b, c ∈ A. Verifique as seguintes propriedades dedivisibilidade em A:
i) 1 | a; a | 0; a | a;
ii) a | b e b | c ⇒ a | c;
iii) a | b e c | d ⇒ ac | bd;
iv) a | b e a | c ⇒ a | bx + cy, ∀ x, y ∈ A;
v) a | b e b | a ⇔ |a| = |b|;vi) a | b e b 6= 0 ⇒ |a| 6 |b|;vii) a | 1 ⇔ a = ±1; 0 | b ⇔ b = 0;
Usando i, ii e v, conclua que a relacao de divisibilidade em A = Zsatisfaz as propriedades reflexiva e transitiva, mas nao a anti-simetrica.(Portanto, nao e uma relacao de ordem parcial sobre Z.)
9) Seja A = {1, 2, . . . , n}. Denotamos por SA = Bij(A,A) = Sn = {σ :A → A | σ e bijecao}. Um elemento σ ∈ SA e dito uma permutacao deA. Mostre que |SA| = n!.
185
10) Sejam E 6= ∅ e A = P (E). Para ∅ 6= X,Y ∈ A, defina:
X ∼ Y ⇔ ∃ f : X → Y bijecao
Mostre que ∼ define uma relacao de equivalencia sobre A. (Neste caso,dizemos que X e Y sao equipotentes, ou seja, |X| = |Y |.)
11) Mostre que X e Y sao equipotentes nos seguintes casos:
a) X = N, Y = {y ∈ N | y e par};b) X = Z; Y = N;
c) X = (0, 1); Y = (a, b);
d) X = R; Y = R∗+ = {y ∈ R | y > 0}
e) X = (−π/2, π/2); Y = R
Sugestao:
a) Verifique que
f : X → Yn 7→ f(n) = 2n
e uma bijecao.
b) Verifique que
f : X → Y
n 7→ f(n) =
{2n, se n > 0−2n + 1, se n 6 0
e uma bijecao.
c) Verifique que
f : X → Yx 7→ f(x) = (b − a)x + a
e uma bijecao.
d) e e): Lembre-se de duas funcoes estudadas em Calculo 1.
186
12) Seja A = N × N, onde N esta munido de sua ordem natural 6. Para(a, b), (c, d) ∈ A, defina:
(a, b) R (c, d) ⇔ a < c ou a = c e b 6 d
(ordem lexicografica). Mostre que R define uma relacao de ordem totalsobre A.
13) Seja f : A → B uma funcao, onde A,B 6= ∅. Para x, x′ ∈ A, defina:
x ∼ x′ ⇔ f(x) = f(x′)
Verifique que ∼ define uma relacao de equivalencia sobre A (∼ e arelacao de equivalencia induzida por f).
Operacoes Binarias
(3 -a Lista de Exercıcios)
1) Seja A 6= ∅ munido de uma operacao binaria ∗ associativa e comelemento neutro e. Considere U∗(A) = {x ∈ A | x e inversıvel} eR∗(A) = {x ∈ A | x e regular}. Verifique que:
a) U∗(A) 6= ∅ e R∗(A) 6= ∅;
b) Se x ∈ U∗(A), entao x′ ∈ U∗(A). Neste caso, (x′)′ = x;
c) Se x, y ∈ U∗(A), entao x ∗ y ∈ U∗(A). Neste caso, (x ∗ y)′ = y′ ∗x′;
d) U∗(A) ⊆ R∗(A).
2) Diga quais dos seguintes subconjuntos de Z sao fechados para as ope-racoes de adicao e de multiplicacao:
a) Z− = {x ∈ Z | x 6 0}b) P = {x ∈ Z | x e par}c) I = {x ∈ Z | x e ımpar}d) nZ = {x ∈ Z | x = nk, k ∈ Z} (conjunto dos multiplos de n,
n ∈ N)
3) Considere A = P ({a, b}) munido de uma operacao∗, onde X ∗ Y =X ∩ Y . Verifique, usando a tabua de operacao, se ∗ e comutativa, seexiste elemento neutro e quais sao os elementos simetrizaveis.
187
4) Determine o numero de operacoes binarias que se pode construir sobreum conjunto finito A com n elementos (n ∈ N).
5) Construa a tabua de uma operacao ∗ sobre A = {a, b, c, d} de modoque ∗ seja comutativa, a seja elemento neutro, U∗(A) = A, R∗(A) = Ae b ∗ c = a.
6) Construa a tabua de uma operacao ∗ sobre A = {e, a, b, c} de modoque ∗ seja comutativa, e seja elemento neutro, x ∗ a = a (∀ x ∈ A) eR∗(A) = A − {a}.
7) Considere A = Z e ∗ = ÷. Explique de duas maneiras distintas a razaopela qual ∗ nao e uma operacao binaria sobre A.
8) Considere A = R munido de uma operacao binaria ∗, onde x ∗ y =y, ∀ x, y ∈ A. Verifique se ∗ e associativa, comutativa e se possuielemento neutro a esquerda, a direita e bilateral.
9) Considere E = {1, 2, 3} e A = S3 = {f : E → E | f e bijecao}. Cons-trua a tabua de A com relacao a operacao de composicao de funcoes,verificando se a mesma e comutativa, se existe elemento neutro, quaiselementos sao inversıveis e quais sao regulares.
10) Determine todos os elementos neutros a esquerda no conjunto
A =
{(a b0 0
) ∣∣∣∣
a, b ∈ R}
para a operacao de multiplicacao.
11) Sejam A 6= ∅ munido de uma operacao binaria ∗ e a ∈ A. Considere
λa : A → A e ξa : A → Ax 7→ λa(x) = a ∗ x x 7→ ξa(x) = x ∗ a
Verifique que:
a) a e regular a esquerda ⇔ λa e injetora;
b) a e regular a direita ⇔ ξa e injetora.
188
Homomorfismos & Polinomios
(4-a Lista de Exercıcios)
1) Para n, k ∈ Z+, com n > k > 0, definimos o coeficiente binomial(
nk
)
por n!/k!(n − k)!, onde
n! =
{n · (n − 1) · . . . · 3 · 2 · 1 , se n ∈ N;
1 , se n = 0
a) Demonstre, usando a definicao de coeficiente binomial, a Relacaode Stiffel:
(n
k − 1
)
+
(n
k
)
=
(n + 1
k
)
(n, k ∈ Z+; n > k > 1)
b) Seja A um anel comutativo com identidade. Usando a) e inducaosobre n, mostre que e valido o desenvolvimento binomial em A:
(a + b)n =
n∑
k=0
(nk
)ak · bn−k
ou , ∀ a, b ∈ A, ∀ n ∈ Nn∑
k=0
(nk
)an−k · bk
2) Mostre que:
a) f e um monomorfismo de aneis
f : C → M2×2(R)
a + bi 7→ f(a + bi) =
(a −bb a
)
b) g e um automorfismo de aneis
g : C → Ca + bi 7→ g(a + bi) = a − bi
c) h nao e um homomorfismo de aneis
h : M2×2(R) → M2×2(R)(
a bc d
)
︸ ︷︷ ︸
A
7→ h
((a bc d
))
=
(a cb a
)
︸ ︷︷ ︸
transposta de A
189
3) Seja A um domınio de integridade. Determine U·(A[X]).
4) Calcule o quociente e o resto da divisao de f(X) por g(X) para osseguintes pares de polinomios:
i) f(X) = 3X5 + 4X3 + 2X + 5; g(X) = 2X3 − 3X2 + 7 em Q[X];
ii) f(X) = −X6 + 12X4 + 8X3 − 4X + 10; g(X) = X3 − 3 em Z[X];
iii) f(X) = 4X5 + 3X3 − 4X2 − 2X + 3; g(X) = 3X2 − 1X − 2 emZ7[X].
5) Seja f(X) = anXn + an−1X
n−1 + an−2Xn−2 + . . . + a1X + a0 ∈ Z[X],
onde gr(f) = n > 1.
a) Mostre que se r/s ∈ Q e raiz de f(X), com mdc(r, s) = 1, entaor | a0 e s | an.
b) Conclua que se r/s ∈ Q e raiz de f(X), com mdc(r, s) = 1, ean ∈ U·(Z), entao tal raiz e inteira.
6) Seja A um domınio de integridade e considere f(X) = anXn + . . . +
a2X2 + a1X + a0 ∈ A[X]. Definimos a “derivada formal” de f(X) por:
f ′(X) := nanXn−1 + . . . + 2a2X + a1 ∈ A[X]
Mostre que: (Regras de Derivacao)
a) (a · f)′ = a · f ′;
b) (f + g)′ = f ′ + g′;
c) (f · g)′ = f ′ · g + f · g′;
d) (fn)′ = nfn−1 · f ′.
(n ∈ N; f, g ∈ A[X]; a ∈ A)
7) Seja K um corpo. K e dito “algebricamente fechado” se ∀ f(X) ∈K[X], com gr(f) > 1, ∃ α ∈ K | f(α) = 0. Mostre que R nao ealgebricamente fechado.
8) a) Mostre que o polinomio f(X) = X2 − 1 possui quatro raızes noanel Z15.
190
b) Comente o fato do polinomio f acima ter um numero de raızesmaior que o grau.
9) Sejam K um corpo infinito e f(X), g(X) ∈ K[X]. Mostre que f = g ⇔f = g (isto e, dois polinomios com coeficientes num corpo infinito saoiguais se, e somente se, eles induzem a mesma funcao polinomial).
10) a) Mostre que o polinomio f(X) = X2 possui infinitas raızes no anelM2×2(R).
b) Comente o fato do polinomio f acima ter um numero de raızesmaior que o grau.
11) Considere f(X) = X2 − X ∈ A[X], onde A e um domınio de integri-dade. Mostre que as unicas raızes de f em A sao 0 e 1.
12) Mostre que todo polinomio sobre R de grau ımpar possui pelo menosuma raiz real.
13) Sejam K = C e f(X) = anXn + an−1X
n−1 + . . . + a1X + a0 ∈ K[X],onde gr(f) = n > 1. Mostre que f pode ser fatorada da seguintemaneira:
f(X) = an(X − α1)(X − α2) . . . (X − αn),
onde α1, . . . , αn ∈ K sao as raızes de f(X) (nao necessariamente dis-tintas).
14) Calcule a soma e o produto de f(X) = 2X3 + 4X2 + 3X + 3 eg(X) = 3X4 + 2X + 4 sobre Z5 e sobre Z7.
15) Calcule q(x) e r(x) tais que f(x) = g(x)q(x) + r(x), onde r(x) = 0 ougr(r) < gr(g):
a) f(x) = x5 − x3 + 3x − 5; g(x) = x2 + 7 ∈ Q[x]
b) f(x) = x5 − x3 + 3x − 5; g(x) = x − 2 ∈ Q[x]
c) f(x) = x5 − x3 + 3x − 5; g(x) = 1x + 2 ∈ Z5[x]
d) f(x) = x5 − x3 + 3x − 5; g(x) = x3 + x − 1 ∈ Z3[x]
191
16) Seja K um corpo, onde K ⊆ C. Sejam f(X) ∈ K[X] − {0}, comgr(f) = n > 1, e α ∈ C uma raiz de f(X). Entao:
α e raiz simples de f(X) ⇔ f(α) = 0 e f ′(α) 6= 0
(Equivalentemente: α e raiz de f(X) de multiplicidade > 2 ⇔ f(α) = 0e f ′(α) = 0)
17) Liste todos os polinomios de grau 6 3 em Z2[X] e todos os de grau 62 em Z3[X] (incluindo o polinomio identicamente nulo).
18) Sejam (G, ·) um grupo e g ∈ G. Defina
ψg : G → Gx 7→ ψg(x) = g−1xg
Mostre que ψg e um automorfismo de G.
19) Calcule o MDC em Q[X] entre os seguintes polinomios:
a) f(x) = x4 + x3 + 2x2 + x + 1; g(x) = x3 + 4x2 + 4x + 3
b) f(x) = 4x5 + 7x3 + 2x2 + 1; g(x) = 3x3 + x + 1
c) f(x) = x4 + x3 + 2x2 + 3x + 1; g(x) = x4 + x3 − 2x2 − x + 1
20) a) Sejam A = Z2 e f(X) = 1 + X + X3 ∈ Z2[X]. Determine g(X) ∈Z2[X], g(X) 6= f(X), tal que g = f .
b) Sejam A = Z3 e f(X) = X, g(X) = X3, h(X) = X +5X3 +X9 ∈Z3[X]. Mostre que f = g = h.
21) Verifique em cada caso se f e um homomorfismo de grupos:
a)f : (Z, +) → (C∗, ·)
n 7→ f(n) = in
b)f : (C∗, ·) → (R∗
+, ·)z 7→ f(z) = |z|
c)f : (Z, +) → (Z, +)
n 7→ f(n) = kn(k ∈ Z dado)
d)f : (R, +) → (R, +)
x 7→ f(x) = x + 1
192
e)f : (C∗, ·) → (C∗, ·)
z 7→ f(z) = z
22) Verifique em cada caso se f e um homomorfismo de aneis:
a)f : C → C
(a + bi) 7→ f(a + bi) = a − bi
b)f : Z → Z
x 7→ f(x) = x + 1
c)f : Z → Z
x 7→ f(x) = 2x
d)f : Z → Zn
x 7→ f(x) = x
e)f : Z → Z
x 7→ f(x) = −x
193
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