ET720 Sistemas de Energia Eletrica I

1 Semestre 2011

Captulo 5 Linhas de transmissao Parte 1

5.1 Introducao

I Componentes de uma linha de transmissao:

(1) condutores

(2) isoladores (cadeia de isoladores de porcelana

ou vidro)

(3) estruturas de suporte (torres, postes)

(4) cabos para-raios (cabos de aco colocados no

topo da estrutura para protecao contra raios)

(1)

(2) (3)

(4)

5.2 Classes de tensao

I Sigla Denominacao Valores tpicos de tensao (de linha)

LV low voltage < 600 V

MV medium voltage 13,8 23 34,5 69 kV

HV high voltage 115 138 230 kV

EHV extra high voltage 345 440 500 600DC 765 kV

UHV ultra high voltage 1100 kV

1

5.3 Tipos de condutores

I Material

No passado: cobre

Atualmente: cobre, alumnio()

() mais barato, mais leve, requer area da secao reta maior que o cobre para asmesmas perdas

I Aereos, subterraneos

I Unidades mais comumente usadas:

comprimento: metro [m], pe (foot) [ft], milha (mile) [mi]

1 ft = 0,3048 m

1 mi = 1609 m

area da secao reta: milimetro quadrado [mm2], circular mil [CM]()

() 1 CM = area de um condutor de um milesimo de polegada (mil) de diametro

2

I Condutores de alumnio (linhas aereas):

Sigla (Ingles/Portugues) Significado (Ingles/Portugues)

AAC / CA all aluminum conductor (alumnio puro)

AAAC / AAAC all aluminum alloy conductor (liga de alumnio pura)

ACSR / CAA aluminum conductor steel reinforced (alumnio com

alma de aco)

ACAR / ACAR aluminum conductor alloy reinforced (alumnio com

alma de liga de alumnio)

outros para aplicacoes especiais

ACSR (alumnio com alma de aco): aco mais barato que alumnio, a alma de aco

o faz ser mais resistente a` tracao (admite lances maiores) e o mais utilizado

3

liga de alumnio: alumnio + magnesio/silcio, por exemplo

os condutores sao nus (nao ha camada isolante)

condutores sao torcidos para uniformizar a secao reta. Cada camada e torcida

em sentido oposto a` anterior (evita que desenrole, empacotamento e melhor)

ACSR (CAA) AAC (CA)

Cabos de cobre (linhas subterraneas): solidos ou encordoados. Condutores

isolados com papel impregnado em oleo. Existem outros tipos de isolacao

4

Cabos ACCC (Aluminum Composite Conductor Core) nucleo de carbono

envolvido por fibra de vidro. As fibras de carbono esticam menos que o aco. A

fibra de vidro nao resulta na corrosao tpica que ocorre no contato aco/alumnio

alumnio

alumnio

alma de aco compostoACSR tradicionalcondutor ACCC condutor ACCC

Mais caro

Maior capacidade de corrente

Menor sag

Sag

5

Exemplo

Determine a area de alumnio e a area externa total do condutor ACSR 26/7 Linnet em

cm2.

De acordo com a tabela A.3, o condutor Linnet apresenta as seguintes caractersticas:

Area de alumnio : 336.400 CM

Diametro externo : 0,721 in2

Calculando a area de alumnio em cm2:

1 CM = pi(0,0012

)2in2

336.400 CM = SAl

SAl = 0,264 in

2 = 1,7 cm2

que corresponderia a um condutor de alummio de 1,47 cm de diametro. A area externa

total e:

Sext = pi

(0,721

2

)2= 0,408 pol2 = 2,634 cm2

Visualizando:

diametro equivalentede alumnio1,47 cm

diametro externo1,83 cm

6

5.4 Projeto de linhas de transmissao

I Fatores eletricos:

Determinam o tipo de condutor, a area e o numero de condutores por fase

Capacidade termica: condutor nao deve exceder limite de temperatura, mesmo sob

condicoes de emergencia quando pode estar temporariamente sobrecarregado

Numero de isoladores: manter distancias fase-estrutura, fase-fase etc. Deve operar

sob condicoes anormais (raios, chaveamentos etc.) e em ambientes poludos

(umidade, sal etc.)

Esses fatores determinam os parametros da linha relacionados com o modelo da

linha

I Fatores mecanicos:

Condutores e estruturas sujeitos a forcas mecanicas (vento, neve etc.)

I Fatores ambientais:

Uso da terra (valor, populacao existente etc.)

Impacto visual (estetico)

I Fatores economicos:

Linha deve atender todos os requisitos a um mnimo custo

7

5.5 Parametros das linhas de transmissao

torre

isoladores

condutor

ifuga

i

campo eletrico

campo magnetico

I Resistencia (R)

Dissipacao de potencia ativa devido a` passagem de corrente

I Condutancia (G)

Representacao de correntes de fuga atraves dos isoladores (principal fonte de

condutancia) e do efeito corona

Depende das condicoes de operacao da linha (umidade relativa do ar, nvel de

poluicao, etc.)

O efeito corona ocorre quando campos eletricos muito intensos na superfcie do

condutor causam a ionizacao do ar, que se torna um condutor

E muito variavel, em funcao dos fatores acima

Seu efeito e em geral desprezado (sua contribuicao no comportamento geral de

operacao da linha e muito pequena)

8

I Indutancia (L)

Deve-se aos campos magneticos criados pela passagem das correntes

I Capacitancia (C)

Deve-se aos campos eletricos: carga nos condutores por unidade de diferenca de

potencial entre eles

I Com base nessas grandezas que representam fenomenos fsicos que ocorrem na

operacao das linhas, pode-se obter um circuito equivalente (modelo) para a mesma,

como por exemplo:

Fonte GG CC

R X

Carga

Linha de transmissao

5.6 Resistencia (R)

I Causa a dissipacao de potencia ativa:

R =potencia dissipada no condutor

I2ef

9

I Resistencia CC:

R0 = `

A

resistividade do material ( m)` comprimento (m)A area da secao reta (m2)

I Cobre recozido a 20: = 1,77 108 m

Alumnio a 20: = 2,83 108 m

I depende da temperatura R0 varia com a temperatura ( aumenta R0aumenta):

R2R1

=T + t2T + t1

em que a constante T depende do material:

T =

234,5 cobre recozido com 100% de condutividade

241,0 cobre tempera dura com 97,3% de condutividade

228,0 alumnio tempera dura com 61% de condutividade

t

t1

t2

R1 R2

T

R

10

I R0 aumenta de 1 a 2% para cabos torcidos (fios de alumnio torcidos, p.ex. cabos

ACSR)

Para se ter x metros de cabo, necessita-se de 1,01x a 1,02x metros de fios para

depois agrupa-los e torce-los

I Em corrente alternada a distribuicao de corrente nao e uniforme pela secao reta do

condutor a corrente concentra-se na periferia do condutor

Area util para passagem da corrente diminui RAC > R0 efeito pelicular(skin effect)

Exemplo

Um cabo AAAC Greeley (6201-T81) apresenta as seguintes caractersticas (dados de

tabela):

resistencia CC a 20 0,07133 /kmresistencia CA a 50 0,08202 /kmcoeficiente de variacao com a temperatura () 0,00347 C1

Calcule o aumento percentual da resistencia devido ao efeito pelicular, considerando a

seguinte equacao para a variacao da resistencia em funcao da temperatura:

R2 = R1 [1 + (t2 t1)]

A resistencia CC a 50 e:

R500 = R200 [1 + (50

20)]= 0,07133 [1 + 0,00347 (50 20)] = 0,07876 /km

11

A relacao entre as resistencias CA (dada) e CC (calculada) a 50 e:

R50CAR500

=0,08202

0,07876= 1,0414

ou seja, o efeito pelicular faz com que a resistencia CA aumente em 4,14%

5.7 Indutancia (L)

I Relacionada com os campos magneticos produzidos pela passagem de corrente pelo

condutor corrente produz campo magnetico

H

H

HH

i

i

12

I Fluxo concatenado com uma corrente (): e aquele que enlaca a corrente lquida

Fluxo concatenado externo ao condutor: a corrente produz um campo

magnetico (). O fluxo externo concatenado com a corrente enlaca toda a

corrente, portanto:

i

fluxo magnetico ()

=

Fluxo concatenado interno ao condutor: o fluxo interno concatenado com a

corrente a uma distancia x do centro do condutor de raio R e:

i

x

R = ( xR

)2

Assumindo densidade de corrente (distribuicao de carga por area) uniforme, a

corrente enlacada a uma distancia x e proporcional a` corrente total. Aparece

portanto na expressao de a relacao entre areas(pix2/piR2

)

13

Fluxo concatenado com uma bobina:

i

iii

i

= 3

A bobina tem 3 espiras. Logo, o fluxo concatenado enxerga tres vezes a

corrente i

I Lei de Faraday:

e =d

dt

Relacao entre tensao e corrente para o indutor:

e = Ld

dti

Dividindo uma equacao pela outra, obtem-se uma expressao para a indutancia:

L =d

di

14

Se o circuito magnetico possui permeabilidade magnetica constante:

L =

iH ()

()

L =d

di =

d

diN = N

d

diBA = NA

d

diH = NA

d

diNi

`=

N2A

`

d

dii

Se o circuito magnetico possui permeabilidade magnetica constante:

L =N2A

`

d

dii =

N2A

` (i/i)

=N2Ai

`i=

Ni

` NA

i= H

NA

i

= HNA

i=

BNA

i=

N

i=

i

5.7.1 Indutancia de um condutor

I Deve-se calcular a indutancia devido ao fluxo interno no condutor, indutancia devido

ao fluxo externo ao condutor e a indutancia total

I Consideracao: o condutor esta isolado, isto e, outros condutores estao muito

afastados e os seus campos magneticos nao o afetam

15

Indutancia devido ao fluxo interno

I Considerar um condutor solido pelo qual circula uma corrente i

I Lei de Ampe`re:

c

H d` = ic

a intensidade de campo magnetico (A/m) ao longo de qualquer contorno e igual a`

corrente que atravessa a area delimitada por este contorno

Esta expressao e valida para CC ou CA (utilizar fasores neste caso)

I Considerar a seguinte situacao (condutor visto de frente):

R

xdx

d`

I Resolvendo a equacao de Ampe`re:

H (2pi x) =pix2

piR2i H = x

2piR2i A/m

16

I Densidade de fluxo:

B = r 0H Wb/m2

em que 0 = 4pi 107 H/m e a permeabilidade do vacuo e r e a permeabilidaderelativa do material

I Considerar o elemento tubular de espessura dx e comprimento `:

dx

`

dS

H

dS = ` dx

O fluxo magnetico e igual a` densidade de fluxo B vezes a area da secao transversal

que o campo atravessa (H dS):

d = B dS Wb

Da figura tem-se dS = ` dx e:

d = roH`dx Wb

17

O fluxo por unidade de comprimento do condutor e (dividindo por `):

d = roHdx Wb/m

I O fluxo concatenado com a corrente e proporcional a` area de raio x :

d =x2

R2d

=x2

R2r0Hdx

=x2

R2r0

x

2piR2 H

idx

= r0x3

2piR4idx Wb/m

Integrando:

int =

R0

r0x3

2piR4idx =

r08pi

i Wb/m

e independe do raio do condutor, dependendo somente do material e da intensidade

da corrente

18

I A indutancia devido ao fluxo interno e dada por:

Lint =d

diint

()=

inti

Lint =r08pi

H/m

() considerando permeabilidade constante

e e constante. Para materiais como o alumnio, cobre, ar, agua, tem-se r = 1 e:

Lint =1

2 107 H/m

Outra maneira de obter a indutancia devido ao fluxo interno e atraves da energia

armazenada no campo magnetico, que e dada por:

E =1

2Linti

2 J

Considerando um cilindro de base circular com raio x e comprimento `, a energia

armazenada tambem pode ser obtida por:

d

dVE =

1

2r0H

2

em que V e o volume do cilindro:

V = pix2`

19

Portanto:

d

dxV = 2pix`

Por unidade de comprimento:

dV = 2pix dx

Logo:

dE =1

2r0H

22pix dx =1

2r0

(ix

2piR2

)22pix dx

Para a obtencao da energia, deve-se integrar de 0 a R, o que resulta em:

E =1

2r0i

2 1

8pi

que, comparando com a primeira expressao da energia fornece:

Lint =r08pi

H/m

20

Indutancia devido ao fluxo externo

I Considere a seguinte situacao em que se deseja obter o fluxo concatenado externo

ao condutor:

dxx

i

I A corrente total i e enlacada. Aplicando a Lei de Ampe`re:

c

H d` = i

2pixH = i

H =i

2pix

I Densidade de campo magnetico:

B()= 0H =

0i

2pix() r = 1 (ar)

21

I Fluxo magnetico (lembrando do elemento tubular de comprimento ` e espessura dx):

d = BdS = B`dx

I Fluxo por unidade de comprimento:

d = Bdx =0i

2pixdx

I O fluxo concatenado e igual ao fluxo pois o mesmo enlaca toda a corrente uma vez:

d = d = Bdx =0i

2pixdx

I O fluxo concatenado externo deve ser calculado entre dois pontos externos ao

condutor:

dxx

i

P1

P2

D1

D2

22

I O fluxo entre dois pontos P1 e P2 quaisquer externos ao condutor e obtido pela

integracao de d:

ext = 12 =

D2D1

d

em que D1 e D2 sao as distancias dos pontos ao condutor (considera-se que r x).Logo:

12 =

D2D1

0i

2pi

dx

x=

0i

2piln

(D2D1

)Wb/m

I Indutancia devido ao fluxo externo entre os dois pontos:

L12()=

12i

=02pi

ln

(D2D1

)= 2 107 ln

(D2D1

)H/m

() considerando permeabilidade constante

5.7.2 Indutancia de uma linha monofasica

I Considerar a linha monofasica:

D

r1 r2i i Hipotese simplificadora:

r1, r2 D

23

I O fato da corrente no condutor 1 ser i e a corrente no condutor 2 ser i faz comque o calculo de H para uma distancia maior que a distancia entre os condutores

seja nula, pois neste caso a corrente total enlacada sera nula (itotal = i + (i) = 0):

00

I Indutancia externa entre os condutores produzida pelo condutor 1:

Uma linha de fluxo com raio maior ou igual a (D + r2) e com centro no condutor

1 nao estara concatenada com o circuito, nao induzindo portanto nenhuma

tensao. Em outras palavras, a corrente enlacada por esta linha de fluxo e nula,

uma vez que a corrente no condutor 2 e igual e de sentido oposto a` do condutor

1

Uma linha de fluxo externa ao condutor 1 e com raio menor ou igual a (D r2)envolve uma vez a corrente total

As linhas de fluxo com raios entre (D r2) e (D + r2) cortam o condutor 2 envolvem uma fracao da corrente do condutor 2 que varia entre 0 e 1

24

I Simplificacoes:

Admitir D r1, r2 (D r1) (D r2) D

Considerar condutor 2 como um ponto, localizado a uma distancia D do centro

do condutor 1

Entao:

L1,ext =02pi

lnD

r1

I Indutancia externa entre os condutores produzida pelo condutor 2 (lembrar a

hipotese simplificadora r2 D e o condutor 1 e representado por um pontolocalizado no centro do condutor):

L2,ext =02pi

lnD

r2

I Indutancias internas: como considera-se que cada condutor enxerga o outro como

um ponto, o fluxo externo de um condutor nao afeta o fluxo interno do outro.

Entao:

L1,int =r08pi

=1

2 107 H/m

L2,int =r08pi

=1

2 107 H/m

25

I Indutancia total devido ao condutor 1:

L1 = L1,int + L1,ext

=r08pi

+02pi

ln

(D

r1

)

Considerando que a permeabilidade relativa dos materiais mais comuns das linhas

(cobre, alumnio) e unitaria e que o = 4pi 107 H/m:

L1 =02pi

[1

4+ ln

(D

r1

)]

= 2 107 [ln(e1/4

)+ ln

(D

r1

)]

= 2 107 [ln

(e1/4D

r1

)]

= 2 107 [ln

(D

r1e1/4

)]

= 2 107 ln(D

r 1

)H/m

A expressao acima e parecida com a do fluxo externo, so que engloba tambem o

fluxo interno. Equivale, portanto, ao fluxo externo de um condutor com raio:

r 1 = r1e1/4 = 0, 7788 r1

que e chamado de raio efetivo ou GMR Geometric Mean Radius ou RMG Raio

Medio Geometrico

26

I Indutancia total devido ao condutor 2: o procedimento e o mesmo usado para o

condutor 1, resultando em:

L2 = L2,int + L2,ext

=r08pi

+02pi

ln

(D

r2

)

= 2 107 [ln

(D

r2e1/4

)]

= 2 107 ln(D

r 2

)H/m

onde:

r 2 = r2e1/4 = 0, 7788 r2

e o raio efetivo ou GMR Geometric Mean Radius do condutor 2.

I Indutancia total: e a soma das indutancias dos condutores 1 e 2:

L = L1 + L2

= 2 107 [ln

(D

r 1

)]+ 2 107

[ln

(D

r 2

)]

= 2 107 [ln

(D2

r 1r2

)]

= 4 107 [ln

(Dr 1r

2

)]H/m

27

a indutancia depende da distancia entre os fios, dos raios dos condutores e do

meio (r e 0 estao embutidos no termo 4 107)

a indutancia independe da corrente

I Se os condutores tiverem o mesmo raio:

r 1 = r2 = r

e a indutancia sera:

L = 4 107 ln(D

r

)H/m

Exemplo

Determine a indutancia de uma linha monofasica cuja distancia entre condutores e de

1,5 m e o raio dos condutores e igual a 0,5 cm

Os dois condutores tem mesmo raio. O raio efetivo (GMR) e:

r = 0,7788 0,5 102 = 0,0039 m

A indutancia da linha vale:

L = 4 107 ln(

1,5

0,0039

)= 2,38 H/m

28

Exemplo

A corrente pela linha de transmissao monofasica do exemplo anterior e igual a

120 A (rms), 60 Hz. Uma linha telefonica, cuja distancia entre condutores e de 10 cm,

esta situada no mesmo plano dessa linha, afastada de 1 m, conforme mostra a figura a

seguir. Calcule a tensao induzida na linha telefonica em Volts por metro de condutor.

Considere que o raio dos condutores da linha telefonica e muito menor que as distancias

entre condutores do problema

1,5 m

1,0 m

10 cm

Linha de transmissao Linha telefonica

A tensao induzida na linha telefonica e o resultado de um fluxo concatenado entre os

dois condutores da linha, produzido pelas correntes nos condutores da linha de

transmissao

Neste caso, o fluxo concatenado com a linha telefonica tem duas componentes, uma

devido a` corrente do condutor 1 (i) e a outra devido a` corrente no condutor 2 (i).Lembrando que:

d =0i

2pixdx

e chamando as componentes de fluxo concatenado de 1 e 2, tem-se:

1 = 2 107 i 2,62,5

1

xdx = 2 107 i ln

(2,6

2,5

)

2 = 2 107 (i) 1,11,0

1

xdx = 2 107 i ln

(1,1

1,0

)

29

Notar que a corrente no condutor 2 tem sentido contrario a` do condutor 2. O fluxo

concatenado total e:

= 1 + 2 = 2 107 i [ln

(2,6

2,5

) ln

(1,1

1,0

)]= 1,1218 108 i Wb/m

A corrente pelos condutores vale:

i(t) = 120 2 sen (2pif t) A

em que f e a frequencia e considerou-se o angulo de fase da corrente nulo (referencia

angular) Logo a expressao do fluxo fica:

= 1,3462 106 2 sen (2pif t) Wb/m

A tensao induzida na linha por unidade de comprimento vale:

v(t) =d

dt = 2pif (1,3462)106

2cos (2pif t) = 5,0750104

2cos (2pif t) V/m

cujo valor eficaz e:

Vef = 5,0750 104 V/m = 0,5075 V/km

Este e o valor da tensao induzida na linha telefonica por unidade de comprimento da

linha de transmissao

30

5.7.3 Fluxo concatenado com um condutor de um grupo de condutores

I Considere o grupo de n condutores:

I1

I2

I3In

1

2

3

n

D1P

D2P

D3P

DnP

P

I A soma algebrica das correntes nos condutores e nula:

ni=1

Ii = 0

I Ideia: calcular o fluxo concatenado com um condutor do grupo de condutores, por

exemplo, o condutor 1

O fluxo concatenado dependera das contribuicoes das correntes I1 (do proprio con-

dutor), I2, I3 . . . In

31

I Fluxo concatenado com o condutor 1 devido a` corrente I1: e composto por duas

parcelas fluxo interno e fluxo externo

O fluxo externo sera calculado ate o ponto P somente (e um ponto de localizacao

arbitraria e nao influencia no resultado final)

De acordo com os resultados obtidos anteriormente:

1P1 = 2 107 I1 ln(D1Pr 1

)Wb/m

em que r 1 e o raio efetivo. 1P1 ja inclui os fluxos interno e externo ate o ponto P

I Fluxo concatenado com o condutor 1 devido a` corrente I2:

1P2 = 2 107 I2 ln(D2PD12

)Wb/m

A expressao geral para o fluxo concatenado com o condutor i devido a` corrente Ije:

iP j = 2 107 Ij ln(DjPDi j

)Wb/m

32

I Fluxo concatenado com o condutor 1 devido a`s correntes de todos os condutores:

1P = 2 107 [I1 ln

(D1Pr 1

)+ I2 ln

(D2PD12

)+ . . .+ In ln

(DnPD1n

)]= 2 107 [I1 ln (D1P ) + I2 ln (D2P ) + . . .+ In ln (DnP )] +

2 107 [I1 ln

(1

r 1

)+ I2 ln

(1

D12

)+ . . .+ In ln

(1

D1n

)]

Como I1 + I2 + . . .+ In = 0 In = (I1 + I2 + . . .+ In1). Entao:

1P = 2 107 [I1 ln

(D1PDnP

)+ I2 ln

(D2PDnP

)+ . . .+ In1 ln

(D(n1)1PDnP

)+

I1 ln(1

r 1

)+ I2 ln

(1

D12

)+ . . .+ In ln

(1

D1n

)]

Se considerarmos o ponto P tendendo ao infinito (P ), os termos DkP/DnPtenderao a 1 e, portanto, seus logaritmos tenderao a zero. Logo, o fluxo concate-

nado com o condutor 1 vale (fazendo P ):

1P = 2 107 [I1 ln

(1

r 1

)+ I2 ln

(1

D12

)+ . . .+ In ln

(1

D1n

)]Wb/m

I O afastamento do ponto P para o infinito e equivalente a` inclusao de todo o fluxo

concatenado com o condutor 1

33

I Lembre que a expressao do fluxo concatenado acima e a de um condutor pertencente

a um grupo de condutores cuja soma das correntes seja nula

I A expressao e valida tanto para valores instantaneos (usar correntes instantaneas)

como para fasores (usar fasores das correntes)

5.7.4 Indutancia de linhas com condutores compostos (mais de um condutor por

fase)

I Considere a seguinte linha monofasica:

a

b c

n

a

b c n

condutor X condutor Y

I Caractersticas da linha:

Condutor composto: condutores encordoados, cabos.

A fase X (condutor X) e composto por n fios identicos em paralelo e conduz uma

corrente I uniformemente distribuda pelos fios. A corrente em cada fio e I/n.

A fase Y (condutor Y) e composto por m fios identicos em paralelo e conduz

uma corrente I uniformemente distribuda pelos fios. A corrente em cada foi eI/m.

34

I Obtencao do fluxo concatenado com o fio a da fase X: deve-se levar em consi-

deracao o efeito de todas as correntes por todos os fios, inclusive o proprio fio

a.

I De acordo com os resultados anteriores:

a = 2 107 I

n(ln

1

r a+ ln

1

Dab+ . . .+ ln

1

Dan

)

fase X

2 107 Im(ln

1

Daa+ ln

1

Dab+ . . .+ ln

1

Dam

)

fase Y

que resulta em:

a = 2 107 I lnmDaaDab . . .Damn

r aDab . . . Dan

Wb/m

I Em geral considera-se: r a = Daa = 0,7788ra

I A indutancia do fio a e:

La =aI/n

= 2 n 107 lnmDaaDab . . . Damn

r aDab . . .Dan

H/m

35

I Para o fio b:

Lb = 2 n 107 lnmDbaDbb . . .DbmnDbaDbb . . . Dbn

H/m

I Para os outros fios da fase X o processo e semelhante.

I A indutancia da fase X e calculada verificando-se que os fios a, b, . . . , n estao em

paralelo:

1

LX=

ni=1

1

Li

I Utiliza-se tambem uma forma aproximada, que fornece bons resultados e simplifica

bastante as deducoes. Primeiro, calcula-se a indutancia media da fase X:

Lav =La + Lb + . . .+ Ln

n

Assume-se agora que a fase X e composta por n fios de indutancia Lav em paralelo.

Portanto, a indutancia da fase X vale:

LX =Lavn

=La + Lb + . . .+ Ln

n2H/m

36

I Esta expressao e mais conveniente pois, substituindo os valores de La, Lb, etc.

obtem-se:

LX = 2 107 lnmn

(DaaDab . . .Dam) (DbaDbb . . .Dbm) . . . (DnaDnb . . .Dnm)n2(DaaDab . . .Dan) (DbaDbb . . .Dbn) . . . (DnaDnb . . .Dnn)

H/m

I Entao:

LX = 2 107 lnDmDsX

H/m

I Numerador: produto das distancias dos fios da fase X e da fase Y:

Dm =mn

(DaaDab . . .Dam) (DbaDbb . . .Dbm) . . . (DnaDnb . . . Dnm)

Dm e a Distancia Media Geometrica DMG, ou Geometric Mean Distance GMD,

ou DMG mutua

I Denominador: produto das distancias dos fios da fase X:

DsX =n2(DaaDab . . .Dan) (DbaDbb . . .Dbn) . . . (DnaDnb . . . Dnn)

DsX e o Raio Medio Geometrico RMG, ou Geometric Mean Radius GMR, ou

DMG propria da fase X

37

I A indutancia da fase Y e obtida de maneira identica a` da fase X e resulta em LY :

LY = 2 107 lnDmDsY

H/m

I A indutancia da linha e dada por:

L = LX + LY

I Caso as fases X e Y sejam identicas, tem-se:

L = 4 107 ln DmDs

H/m

em que Ds = DsX = DsY

I Relembrando a expressao da indutancia de uma fase de uma linha monofasica com

um condutor por fase:

L1 = 2 107 ln(D

r 1

)H/m

e comparando com a indutancia da fase X da linha com condutores compostos LX,

percebe-se que a expressao de L1 e um caso particular da expressao de L1:

Condutor unico por fase Condutores multiplos por fase

Distancia entre fases (D) Distancia media geometrica DMG (Dm)

Raio efetivo do condutor (r 1) Raio medio geometrico RMG (Ds)

38

Exemplo

Calcule a indutancia da linha monofasica mostrada a seguir.

a

b

c

d

e

lado X lado Y

6 m

6 m

r = 0,25 cm r = 0,50 cm

9 m

Calculo da DMG entre os lados X e Y (Dm):

Dm =6

DadDaeDbdDbeDcdDce = 10,743 m

em que:

Dad = Dbe = 9 m

Dae = Dbd = Dce =62 + 92 =

117 m

Dcd =92 + 122 = 15 m

39

RMG do lado X (DsX):

DsX =9

DaaDabDacDbaDbbDbcDcaDcbDcc = 0,481 m

em que:

Daa = Dbb = Dcc = e1/4r = 0,7788 0,25 102 = 1,9470 103 m

Dab = Dba = Dbc = Dcb = 6 m

Dac = Dca = 12 m

RMG do lado Y (DsY ):

DsY =4

DddDdeDedDee = 0,153 m

em que:

Ddd = Dee = e1/4r = 0,7788 0,50 102 = 3,8940 103 m

Dde = Ded = 6 m

Indutancias dos lados X e Y:

LX = 2 107 lnDmDsX

= 6,212 107 H/m

LY = 2 107 lnDmDsY

= 8,503 107 H/m

40

Indutancia completa da linha por unidade de comprimento:

L = LX + LY = 14,715 107 H/m

Exerccio

Calcule a indutancia e a reatancia por unidade de comprimento a 60 Hz da linha

monofasica mostrada na figura a seguir. Verifique que a DMG e praticamente igual a`

distancia entre os centros das fases quando esta e muito maior que as distancias entre

os condutores de uma mesma fase.

a b c d

lado X lado Y

12 m

45 cm 5 cm

(Resposta: 1,9413 H/m, 0,732 m/m)

5.7.5 Uso de tabelas

I Existem tabelas com varias informacoes sobre os condutores: resistencia, reatancias,

RMG, etc.

I As tabelas fornecem a reatancia para certas frequencias (por exemplo 60 Hz), ao

inves da indutancia.

41

I A reatancia de um condutor (simples ou composto) vale:

XL = 2pif L = 2pif 2 107 lnDmDs

(

m 1609 m

1 mi

)

= 2,022 103 f ln DmDs

/mi

= 2,022 103 f ln 1Ds

Xa

+2,022 103 f lnDm Xd

/mi

em que:

Xa reatancia indutiva para espacamento unitario (por exemplo, 1 pe se esta fora unidade utilizada) depende da frequencia e do raio do condutor

Xd fator de espacamento da reatancia indutiva depende da frequencia e doespacamento entre condutores

Exemplo

Determine a reatancia indutiva por milha de uma linha monofasica com as seguintes

caractersticas:

frequencia 60 Hz

tipo dos cabos Partridge

distancia entre os centros dos cabos 20 ft

42

Tem-se portanto:

20

aco

alumnio26Al / 7St

Area = 266.800 CM

Conforme definido anteriormente:

1 CM = pi

(0,001

2

)2in2 = 0,7854 106 in2

Logo, para o cabo Partridge:

Area = 266.800 CM = 0,2095 in2

que resulta em um diametro de 0,5165 in. Da tabela de condutores obtem-se:

Diametro externo = 0,642 in > 0,5165 in !

A razao da diferenca e que a area em CM fornecida na tabela refere-se a` area de

alumnio, enquanto que o diametro e externo, o que inclui o espacamento entre os

condutores.

Alem disso, o raio e igual a 0,5165/2 = 0,2583 in, ou 0,0215 ft. Pela tabela de dados

dos condutores tem-se:

RMG = 0,0217 ft 6= (0,7788 0,0215) !

43

Razao da diferenca entre os RMG: o RMG (0,7788 0,0215) e calculado considerandoum condutor solido. No entanto, o condutor Partridge e encordoado, e o RMG deve ser

calculado por:

RMG = 2626DaaDabDac . . .

Da tabela A.3 de dados dos condutores, o RMG para o condutor e Ds = 0,0217 ft.

Pode-se utilizar diretamente a equacao da indutancia e obter a reatancia por condutor:

X = 2,022 103 60 ln 200,0217

= 0,828 /mi

e a reatancia total sera XL = 2X = 1,656 /mi

Ou entao:

da tabela A.3 a reatancia indutiva para um pe de afastamento e Xa = 0,465 /mi

da tabela A.4, para um espacamento de 20 ft o fator de espacamento eXd = 0,3635 /mi

a reatancia indutiva de um cabo sera X = Xa +Xd = 0,8285 /mi

a reatancia indutiva da linha (2 cabos): XL = 2X = 1,657 /mi

44

Exerccio

Uma linha monofasica de 2 km deve ser construda utilizando-se condutores ACSR

Linnet. Por motivos tecnicos, a indutancia total nao deve exceder 4 mH. Obtenha o

espacamento maximo entre condutores. Resolva o problema utilizando equacoes e

tabelas, e compare os resultados.

(Resposta: 1,1 m)

I Na tabela A.4, a expressao para Xd e:

Xd = 0, 2794 logd

em que d e o que chamamos de Dm (DMG) aproximado como sendo a distancia

entre os centros dos cabos e aparece a funcao log ao inves de ln. Demonstracao

da equivalencia entre as expressoes:

Se ln d = y , entao d = ey

Aplicando o logaritmo:

log d = log ey = y log e

45

x Logo:

y =1

log e log d

= 2,3026 log d = ln d

Assim, para 60 Hz:

Xd = 2,022 103 f ln d= 2,022 103 60 (2,3026 logd)= 0,2794 logd

46

5.7.6 Linhas trifasicas

I Considere linha de transmissao trifasica composta por tres fases e um condutor

neutro:

A

B

C

N

In

Ic

Ib

Ia

znn

zcc

zbb

zaa

zab

a

b

c

n

zan

zac

em que:

zi i impedancia propria do condutor da fase i

zi j impedancia mutua entre os condutores das fases i e j

47

I Define-se a matriz impedancia primitiva como:

Zprim =

zaa zab zac zanzba zbb zbc zbnzca zcb zcc zcnzna znb znc znn

A aplicacao da lei das tensoes de Kirchhoff para o ramo resulta em:

VANVBNVCNVNN

=

VanVbnVcnVnn

+

zaa zab zac zanzba zbb zbc zbnzca zcb zcc zcnzna znb znc znn

IaIbIcIn

VF = Vf + Zprim If

ou ainda:

VAVBVCVN

=

zaa zab zac zanzba zbb zbc zbnzca zcb zcc zcnzna znb znc znn

IaIbIcIn

[VFVN

]=

[ZA ZBZC ZD

][IfIn

]

Como VNN = Vnn = 0 e VN = 0, tem-se:

{VN = ZA If + ZB In0 = ZC If + ZD In

48

Da segunda equacao tem-se que(In = Z1D ZC If

), que, substituda na primeira

resulta em:

VF =(ZA ZBZ1D ZC

)If = Z If

ou:

VANVBNVCN

=

VanVbnVcn

+

Zaa Zab ZacZba Zbb ZbcZca Zcb Zcc

IaIbIc

VF = Vf + Z If

em que a matriz reduzida Z e chamada de matriz de impedancia de fase, sendo seus

elementos calculados por:

Zi j = zi j zin zniznn

O processo de reducao da dimensao da matriz primitiva de rede e conhecido como

reducao de Kron.

Sera visto adiante que, no caso particular de uma linha balanceada e completamente

transposta conectada a uma carga equilibrada (condutores formam um triangulo

equilatero), a matriz impedancia de fase sera diagonal (permitindo o desacoplamento

entre as fases), com os elementos da diagonal principal iguais entre si.

49

5.7.7 Indutancia de uma linha trifasica com espacamento simetrico

I Considere a linha trifasica:

a c

b

D

DD

em que:

os tres condutores tem raios iguais, portanto o mesmo RMG, igual a Ds

a distancia entre condutores e D

nao ha fio neutro ou o circuito e equilibrado Ia + Ib + Ic = 0

50

I Fluxo concatenado com o condutor da fase a (ha contribuicoes das tres correntes):

a = 2 107 (Ia ln

1

Ds+ Ib ln

1

D+ Ic ln

1

D

)

= 2 107 [Ia ln

1

Ds+ (Ib + Ic) ln

1

D

]

= 2 107 (Ia ln

1

Ds Ia ln

1

D

)(pois Ia = (Ib + Ic))

= 2 107 (Ia ln

1

Ds+ Ia lnD

)

= 2 107 Ia lnD

DsWb/m

I Indutancia da fase a:

La =aIa

= 2 107 ln DDs

H/m

I Por simetria, para as outras fases tem-se Lb = Lc = La

I Portanto:

La = Lb = Lc = 2 107 lnD

DsH/m

51

5.7.8 Indutancia de linhas trifasicas com espacamento assimetrico

I O fluxo concatenado e a indutancia de cada fase sao diferentes circuitodesequilibrado

I Equilbrio e obtido atraves da transposicao:

1

2

3a

a

a b

b

b c

c

c

Pos. 1

Pos. 2

Pos. 3

I Calculos considerando a transposicao sao mais simples

Linhas nao transpostas considera-se a linha como transposta e a sua indutanciacomo a media das indutancias das fases

52

I Fluxo concatenado com fase a, primeiro trecho:

D12

D23

D31

a

b

c

a1 = 2107(Ia ln

1

Ds+ Ib ln

1

D12+ Ic ln

1

D31

)

I Fluxo concatenado com fase a, segundo trecho:

D12

D23

D31 a

b

c

a2 = 2107(Ia ln

1

Ds+ Ib ln

1

D23+ Ic ln

1

D12

)

I Fluxo concatenado com fase a, terceiro trecho:

D12

D23

D31

a

b

c a3 = 2107(Ia ln

1

Ds+ Ib ln

1

D31+ Ic ln

1

D23

)

I Fluxo medio concatenado com a fase a:

a =a1 + a2 + a3

3=

2 1073

(3Ia ln

1

Ds+ Ib ln

1

D12D23D31+ Ic ln

1

D12D23D31

)

=2 107

3(3Ia ln

1

Ds Ia ln

1

D12D23D31

)(pois Ia = (Ib + Ic))

= 2 107 Ia ln3D12D23D31

DsWb/m

53

I Indutancia media por fase da linha trifasica com transposicao:

La = 2 107 lnDeqDs

H/m

em que:

Deq =3

D12D23D31

e o espacamento equilatero equivalente da linha

Exemplo

Determine a reatancia indutiva por fase a 60 Hz da linha trifasica mostrada a seguir,

composta por condutores ACSR Drake.

2020

38

Pela tabela A.3, o RMG do condutor tipo Drake e Ds = 0,0373

O espacamento equilatero da linha e:

Deq =320 20 38 = 24,7712

54

A indutancia e a reatancia por fase valem:

L = 2 107 ln 24,77120,0373

= 1,3 H/m

XL = 2pif L = 2pi 60 1,3 106 = 0,49 mH/m = 0,7884 H/mi

O problema pode ser resolvido pela utilizacao das tabelas A.3 e A.4:

tabela A.1 Xa = 0,399 /mitabela A.2 (para Deq = 24

) Xd = 0,3856 /mitabela A.2 (para Deq = 25

) Xd = 0,3906 /mi

O valor de Deq e obtido por interpolacao:

25

24

24,7712

0,3856 0,3906Xd Xd

Deq

25 240,3906 0,3856 =

24,7712 24Xd 0,3856

Xd = 0,3895 /mi

e a reatancia por fase vale:

XL = Xa +Xd = 0,399 + 0,3895 = 0,7885 /mi

55

5.7.9 Condutores multiplos por fase

I Extra-alta tensao (EAT ou EHV) por exemplo 440 kV efeito corona excessivo

Corona: descargas que se formam na superfcie do condutor quando a intensidade

do campo eletrico ultrapassa o limite de isolacao do ar. Consequencias: luz, rudo

audvel, rudo de radio (interferencia em circuitos de comunicacao), vibracao do

condutor, liberacao de ozonio, aumento das perdas de potencia (deve ser suprida

pela fonte)

I Solucao: colocacao de dois ou mais condutores por fase cabos multiplos (bundledconductors)

d

dd

D

d D

I Outras configuracoes:

ddd

d

d

56

I Outra vantagem dos cabos multiplos: reducao da reatancia (aumento do RMG). O

RMG e calculado por:

2 condutores Dbs =4

D2s d2 =

Ds d

3 condutores Dbs =9

D3s d6 = 3

Ds d2

4 condutores Dbs =16

D4s d12 22 = 1,09 4

Ds d3

I Equacoes da indutancia e reatancia sao as mesmas, substituindo-se o RMG Ds do

condutor simples por Dbs para cabos multiplos

I A corrente nao e distribuda uniformemente entre os condutores da fase, pois

reatancias por fase nao sao iguais. Essa diferenca e pequena e geralmente e

desprezada

Exemplo

Determine a reatancia da linha trifasica mostrada a seguir.

d

a b ca b c

D

Condutor ACSR Pheasant

d = 45 cm

D = 8 m

Comprimento da linha ` = 160 km

Da tabela A.3, obtem-se o RMG do condutor Pheasant:

Ds = 0,0466 0,0466 0,3048 = 0,0142 m

57

No entanto, cada fase e composta por dois condutores deve-se calcular o RMGdo cabo:

Dbs =4

0,01422 0,452 = 0,0799 m

Espacamento equilatero equivalente para a configuracao dada (DMG mutua) aproximacao considerando-se apenas as distancias entre os centros das fases:

Deq =38 8 16 = 10,0794 m

O calculo correto do espacamento equilatero equivalente neste caso seria:

DMGab = DMGbc =48 8,45 7,55 8 = 7,9937 m

DMGca =416 16,45 15,55 16 = 15,9968 m

Deq =37,9937 7,9937 15,9968 = 10,0734 m

que praticamente corresponde ao mesmo resultado anterior.

Reatancia por metro por fase:

XL = 2pi 60 2 107 ln10,0794

0,0799= 0,3647 m/m

Como a linha tem 160 km, a reatancia total por fase da linha sera:

X = XL 160000 = 58,36

58

5.7.10 Linhas trifasicas de circuitos em paralelo

I Duas linhas trifasicas identicas em paralelo possuem a mesma reatancia indutiva.

A reatancia equivalente sera igual a` metade de cada reatancia individual, desde que

a distancia entre as linhas seja tao grande que a indutancia mutua entre elas possa

ser desprezada

I Duas linhas trifasicas em paralelo na mesma torre indutancias mutuas entre oscircuitos deve ser considerada

I O metodo de calculo e semelhante ao que foi mostrado anteriormente

I Considera-se sempre que haja a transposicao, resultando em calculos mais simples

e resultados suficientemente precisos

59

Exemplo

Uma linha trifasica de circuito duplo e constituda de condutores ACSR 26/7 tipo Ostrich

de 300.000 CM dispostos de acordo com a figura a seguir. Determine a reatancia

indutiva por fase a 60 Hz em /mi.

a

b

c a

b

c

18

18

21

10

10

Pela tabela A.3, o RMG do condutor tipo Ostrich e Ds = 0,0229

DMG entre as fases a e b:

Dab =102 + 1,52 = 10,1119 = Dab

Dab =102 + 19,52 = 21,9146 = Dab

DMGab =[(10,1119 21,9146)2

]1/4= 14,8862

DMGbc = DMGab = 14,8862

60

DMG entre as fases c e a:

DMGca =[(20 18)2

]1/4= 18,9737

Espacamento equilatero equivalente:

Deq = (DMGab DMGbc DMGca)1/3 = 16,1401

RMG: lembrando que assume-se a transposicao

Trecho 1 fase a ocupando posicao original:

Daa =202 + 182 = 26,9072

RMG1 =[(0,0229 26,9072)2

]1/4= 0,7850

Trecho 2 fase a ocupando posicao originalmente ocupada por b:

Daa = 21

RMG2 =[(0,0229 21)2

]1/4= 0,6935

Trecho 3 fase a ocupando posicao originalmente ocupada por c :

RMG3 = RMG1 = 0,7850

61

x RMG da fase a:

RMG =(0,78502 0,6935

)1/3= 0,7532

Indutancia:

L = 2 107 ln(16,1401

0,7532

)= 6,1295 107 H/m

Reatancia por fase:

XL = 2pif L = 2,3108 104 /m = 0,3718 /mi

62

Exerccio

Repita o exemplo anterior para a configuracao de linha mostrada a seguir e compare os

resultados obtidos.

a

b

c c

b

a

18

18

21

10

10

(Resposta: X = 0,3962 /mi, 6,5% maior)

63