Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ1a Lista de Exercıcios de Estatıstica

Turma: Engenharia Prof. Vinicius Israel Maio de 2011

1. Em cada um dos seguintes casos indique se os dados podem ser considerados como qualitativos ouquantitativos. No caso de qualitativos, se eles sao nominais ou ordinais, e no caso das variaveisquantitativas, indique se sao discretas ou contınuas:(a) Numero de pulsacoes por minuto em adultos normais.(b) Lugar de nascimento de uma pessoa.(c) Causa de obito de um indivıduo.(d) Numero de atendimentos em um Pronto Socorro, em um perıodo de 24 horas.(e) Conceito obtido por um aluno numa prova (pode ser A, B , etc.)(f) Aumento de pesos em cobaias submetidas a uma determinada dieta.(g) Respostas a questoes sobre grau de satisfacao das pessoas com um determinado tipo de servico.

2. Segundo o Boletim Estatıstico do IBGE, durante o ano 1973, foram aplicadas as seguintes vacinasno Servico de Saude dos Portos do Estado do Rio de Janeiro: 81335 vacinas antivariolicas, 23012antiamarılicas, 12058 anticolericas, 2155 antitificas e 12276 de outras especies.(a) Organize esses dados em uma tabela, indicando frequencias absolutas, proporcoes e porcenta-gens.(b) Desenhe um grafico de barras verticais e um grafico de barras horizontais.(c) Desenhe um grafico de pizza, especificando os correspondentes angulos do centro.

3. Uma pesquisa e feita entre os habitantes de uma comunidade para avaliar as suas expectativasem relacao com um programa de fluoracao da agua potavel. A questao formulada e “havera umamelhoria nas condicoes odontologicas?”. 32% responderam “certamente havera uma melhoria”,24% responderam “provavelmente havera uma melhoria”, para 14% , “provavelmente nao haveramelhoria”, para 12% “certamente nao havera melhoria” enquanto que as restantes declararam naoter opiniao sobre o tema.(a) Diga o tipo de dados que esta sendo observado.(b) Faca uma tabela de porcentagens e porcentagens acumuladas. Qual a porcentagem de pessoasque acredita numa possıvel melhoria?(c) Faca um grafico de colunas.(d) Faca um grafico setorial.

4. Os dados apresentados a seguir correspondem a taxa de creatinina na urina de 24 horas (mg/100mL), em uma amostra de 36 homens normais.

Indiv. taxa Indiv. taxa Indiv. taxa Indiv. taxa1 1, 08 10 1, 44 19 1, 54 28 1, 692 1, 22 11 1, 46 20 1, 58 29 1, 733 1, 26 12 1, 46 21 1, 59 30 1, 754 1, 37 13 1, 47 22 1, 60 31 1, 765 1, 38 14 1, 49 23 1, 61 32 1, 836 1, 40 15 1, 49 24 1, 66 33 1, 867 1, 40 16 1, 51 25 1, 66 34 1, 898 1, 43 17 1, 52 26 1, 67 35 2, 029 1, 43 18 1, 52 27 1, 69 36 2, 18

Fonte: Sidia Callegari-Jacques. Bioestatıstica. Princıpios e aplicacoes. 2003

(a) Construa o Box plot e identifique a existencia de valores aberrantes.(b) Os dados sugerem simetria ou assimetria? Justifique.(c) O que voce pode dizer quanto a dispersao dos dados?

5. Uma instalacao e construıda de duas caldeiras e uma maquina. Admita que o evento A seja quea maquina esteja em boas condicoes de funcionamento, enquanto os eventos Bk (k = 1,2) sao oseventos de que a k-esima caldeira esteja em boas condicoes. O evento C e que a instalacao possafuncionar. Se a instalacao puder funcionar sempre que a maquina e pelo menos uma das caldeirasfuncionar, expresse os eventos C e C , em termos de A e dos Bk.

6. Um fabricante de chips de computador produz 60% de sua producao na fabrica A e 40% na fabricaB. A taxa de falha na producao dos chips de A e de 35% e a taxa de falha nos chips da fabrica Be de 25%. Para um chip qualquer deste fabricante comprado por um consumidor qualquer, qual aprobabilidade:

(a) Do chip ser defeituoso?

(b) Do chip ser defeituoso uma vez tenha sido produzido na fabrica A?

(c) Do chip ser defeituoso uma vez tenha sido produzido na fabrica B?

(d) Do chip ser da fabrica A dado seja defeituoso?

7. Em um estado onde os automoveis devem ser testados quanto a emissao de poluentes, 25% detodos os carros emitem quantidades excessivas de poluentes. Ao serem testados, 99% de todosos carros que emitem excesso de poluentes sao reprovados, mas 17% dos que nao acusam emissaoexcessiva de poluentes tambem sao reprovados. Qual a probabilidade de um carro reprovado noteste acusar efetivamente excesso de emissao de poluentes?

8. Discos de policarbonato sao analisados no que se refere a resistencia a arranhoes e resistencia achoque. Os resultados de 100 discos sao mostrados abaixo

resistencia a golpesalta baixa Total

resisitencia a arranhoes alta 70 9 79baixa 16 5 21Total 86 14 100

Considere o evento A de que um disco tenha alta resistencia a choques e o evento B de que eletenha alta resistencia a arranhoes.

(a) Se um disco e selecionado aleatoriamente qual e a probabilidade de que ele tenha alta re-sistencia a choque e arranhoes ?

(b) Se um disco e selecionado aleatoriamente qual e a probabilidade de que ele tenha alta re-sistencia a choque ou arranhoes ?

(c) Sao os eventos A e B mutuamente excludentes ?

(d) Determine P (A⋃B), P (A

⋃B).

(e) Determine P (A | B) e P (B | A).

9. Um lote de 100 chips semicondutores contem 20 que sao defeituosos.

(a) Dois chips sao selecionados aleatoriamente do lote, sem reposicao. Qual a probabilidade deque o segundo seja defeituoso ?

(b) Tres chips sao selecionados aleatoriamente do lote, sem reposicao. Qual a probabilidade deque todos sejam defeituosos ?

(c) Tres chips sao selecionados aleatoriamente do lote, sem reposicao. Qual a probabilidade deque um deles seja defeituoso?

10. No design preliminar de produtos sao utilizadas avaliacoes de clientes. No passado, 95% dos produ-tos de alto sucesso receberam boas avaliacoes, 60% dos produtos de sucesso moderado receberamboas avaliacoes, e 10% dos produto de pobre desempenho receberam boas avaliacoes. Alem disso,40% dos produtos tiveram alto sucesso, 35% tiveram sucesso moderado e 25% tiveram desempenhopobre.

(a) Qual e a probabilidade de que o produto consiga uma boa avaliacao ?

(b) Se um novo design obtem uma boa avaliacao, qual a probabilidade de que ele tenha altosucesso ?

(c) Se um produto nao recebe uma boa avaliacao, qual e a probabilidade de que ele tenha altosucesso?

11. Uma urna contem 12 bolas: 5 brancas, 4vermelhas, e 3 pretas. Outra contem 18 bolas: 5 brancas,6 vermelhas e 7 pretas. Uma bola e retirada de cada urna. Qual a probabilidade de que as duasbolas sejam da mesma cor?

12. A probabilidade de uma mulher estar viva daqui a 30 anos e 3/4 e de seu marido e 3/5. Calculara probabilidade de:

(a) apenas o homem estar vivo

(b) somente a mulher estar viva

(c) pelo menos um estar vivo

13. Numa certa populacao 15% das pessoas tem sangue tipo A, 88% nao tem sangue tipo B e 96% naotem sangue tipo AB. Escolhida ao acaso uma pessoa desta populacao, determine as probabilidadesde:

(a) Nao possuir sangue do tipo A

(b) Possuir sangue tipo B

(c) Possuir sangue tipo AB

(d) Possuir sangue tipo A ou B ou AB

(e) Possuir sangue tipo O

14. Uma experiencia consiste em arremessar uma moeda 3 vezes. Qual e o espaco amostral destaexperiencia? Que evento corresponde a experiencia resultante em mais caras do que coroas?

15. Sejam E, F, G tres acontecimentos. Deduza as expressoes envolvendo E, F, G para os seguintesacontecimentos: a) Somente o E ocorre; b) E e G ocorrem mas o F nao; c) pelo menos um dosacontecimentos ocorre; d) Exatamente um dos acontecimentos ocorre; e) Exatamente dois dosacontecimentos ocorrem; f) Nao mais de dois acontecimentos ocorrem simultaneamente.

16. Os dados da tabela abaixo descrevem o desempenho de alunos de graduacao na disciplina deProbabilidade e Estatıstica oferecida para alunos da UFRJ.

Sexo Aprovado Reprovado TotalMasculino 60 10 70Feminino 30 0 30

Total 90 10 100

Considerando que sera realizada a selecao aleatoria de um estudante obtenha a probabilidade deocorrencia dos seguintes eventos:

a. “O estudante e do sexo masculino”

b. “O estudante foi aprovado ”

c. “O estudante e do sexo masculino e foi aprovado”

d. “O aluno e do sexo masculino ou foi aprovado”

17. Num saco estao sete bolas numeradas de 1 a 7. Retira-se uma bola do saco dez vezes, com reposicao.Qual a probabilidade do acontecimento “A bola com o numero 5 nao sai mais de duas vezes”?

18. Uma cidade de 200000 habitantes tem a sua disposicao dois jornais diarios: “O Aurora” e o“O Conhecedor”. Um inquerito revelou os seguintes dados: 50000 pessoas leem diariamente “OAurora”, 40000 pessoas leem diariamente “O Conhecedor” e 5000 pessoas leem diariamente os doisjornais. Qual a probabilidade de ao escolhermos ao acaso um habitante desta cidade, este sejaleitor:

a) De pelo menos um dos jornais;

b) De nenhum desses jornais;

c) Exclusivamente do jornal “O Aurora”.

19. Num grupo de 1000 alunos de uma escola verificou-se que 200 praticam natacao, 250 praticamfutebol e 700 nao praticam nenhuma destas modalidades. Escolhendo ao acaso 20 destes alunos,qual e a probabilidade de que so 4 pratiquem pelo menos uma das modalidades.

20. Numa fabrica verificou-se que um certo artigo pode apresentar defeitos de dois tipos. A probabil-idade de ocorrer o defeito do tipo A e 0.1 e a probabilidade de ocorrer o defeito do tipo B e 0.05.Sabendo que os defeitos ocorrem independentemente um do outro, calcule a probabilidade de:

a) Um artigo nao ter qualquer defeito;

b) Um artigo ter defeito;

c) Um artigo com defeito ter um e um so tipo de defeito.

21. Em uma empresa de pesquisa determinou-se que a probabilidade de haver crise energetica e de 40%e que a probabilidade de haver aumento do desemprego e de 35%. Sabendo-se que a probabilidadede aumento no desemprego dado que houve crise energetica e de 70%, responda:

a) Qual a probabilidade de nao haver crise energetica e haver aumento no desemprego?

b) Qual a probabilidade de haver aumento no desemprego dado que nao houve crise energetica?

c) Qual a probabilidade de nao haver aumento no desemprego e nem crise energetica?

d) Pode-se afirmar que os eventos haver crise energetica e aumento no desemprego sao indepen-dentes? Se nao, caracterize-os como complementares ou concorrentes.

22. Uma caixa contem 5 bolas brancas e tres bolas pretas. Duas bolas sao retiradas simultaneamenteao acaso e substituıdas por tres bolas azuis. Em seguida, duas novas bolas sao retiradas ao acasoda caixa.

a) calcular a probabilidade de que essas duas ultimas bolas sejam da mesma cor

b) se as duas ultimas bolas retiradas forem uma branca e uma preta, calcular a probabilidadede que, na primeira extracao, tenham saıdo duas bolas brancas.

23. Um sistema e composto de tres componentes 1, 2 e 3, com confiabilidade 0,9; 0,8 e 0,7, respecti-vamente. O componente 1 e indispensavel ao funcionamento do sistema; se 2 ou 3 nao funcionam,o sistema funciona, mas com um rendimento infeiror. a falha simultanea de 2 e 3 implica o naofuncionamento do sistema. Supondo que os componentes funcionem independentemente, claculara confiabilidade do sistema.

24. Uma valvula a vacuo pode provir de 3 fabricantes, com probabilidade 0,25; 0,50 e 0,25. As probabil-idades de que, durante determinado perıodo de tempo, a valvula funcione bem sao, repectivamente,0,1; 0,2 e 0,4, para cada um dos fabricantes. Calcule a probabilidade de que uma valvula escolhidaao acaso funcione bem durante o perıodo de tempo especificado.

25. Sabe-se que o soro da verdade, quando ministrado a um suspeito, e 90% eficaz quando a pessoae culpada e 99% eficaz quando e inocente. Em outras palavras, 10% dos culpados sao julgadosinocentes, e 1% dos inocentes e julgado culpado. Se o suspeito foi retirado de um grupo em que95% jamais cometeram qualquer crime, e o soro indica culpado, qual a probabilidade de o suspeitoser inocente?

26. Uma bolsa contem moedas de prata e cobre em igual numero. Extrai-se ao acaso e sem reposicaoduas moedas. Calcule a probabilidade de que:

a) A segunda moeda extraıda seja de prata, sabendo que a primeira era de cobre.

b) Saia uma moeda de prata na 2a tiragem.

c) Uma e uma so das moedas seja de prata.

d) Pelo menos uma das moedas seja de cobre.

27. Suponha que 5% da populacao Brasileira sofre de hipertensao e que de entre estes, 75% ingerembebidas alcoolicas. De entre os que nao sao hipertensos 50% ingerem bebidas alcoolicas.

a) Qual a percentagem de pessoas que bebem alcool?

c) Qual a percentagem de pessoas que bebendo alcool sofrem de hipertensao?

28. Registos efectuados levaram a concluir que os motoristas que circulam em determinada estradapodem cometer dois e so dois tipos de transgressoes ditas do tipo I e do tipo II, nao se notandonenhum caso em que o motorista cometa ambas as transgressoes. De entre 500 motoristas multadosverificou-se serem 100 por transgressoes do tipo I. Sabendo que 10% dos motoristas que cometemtransgressoes do tipo I sao multados; que 1% cometem transgressoes do tipo I e que 2% cometemtransgressoes do tipo II, calcule a probabilidade de que um motorista que circule nessa estrada ecometa uma transgressao do tipo II seja multado.

29. Sendo X uma variavel seguindo o modelo Binomial com parametros n = 15 e p = 0, 4; obtenhaa funcao de probabilidade, a funcao de distribuicao acumulada, faca os graficos dessas funcoes epergunta-se:

(a) P (X ≥ 14); (d) P (X ≥ 11 ou X > 13);(b) P (8 < X ≤ 10); (e) P (X > 3 e X < 6);(c) P (X < 2 ou X ≥ 11); (f) P (X ≤ 13|X ≥ 11).

30. Um atirador fez uma aposta com um amigo: ele atiraria no alvo 10 vezes e ganharia a aposta seconseguisse acertar na mosca pelo menos 8 vezes. Sabe-se, com base no desempenho usual desseatirador, que ele costuma acertar na mosca em 70% das vezes. Qual a probabilidade do atiradorganhar a aposta?

31. Admita que o numero de chegadas de navios a um porto durante um dia se comporta segundo umadistribuicao de Poisson. Sabe-se tambem que, considerando somente os dias em que chegam nomaximo 2 navios, em 60% desses dias chega no maximo 1 navio. (a) Qual o numero medio diariode chegadas de navios a esse porto?(b) Considerando somente os dias em que chegam pelo menos 2 navios, em quantos por centodesses dias costumam chegar pelo menos 3 navios?

32. (Modelo Exponencial) Uma variavel aleatoria contınua X, assumindo valores nao negativos, segueo modelo exponencial com parametro α > 0 se sua densidade e

f(x) =

{αe−αx, x ≥ 00, caso contrario.

Notacao: X ∼ Exp(α).(a) Encontre a funcao de distribuicao acumulada para esse modelo. Lembre-se

F (x) = P (X ≤ x) =

∫ x

−∞f(s)ds.

(b) Calcule a probabilidade P (a < X < b).(c) Encontre a esperanca E(X), variancia V (X), desvio-padrao DP (X) e coeficiente de variacaoCV (X) para esse modelo.(d) Supondo que o tempo de vida de uma determinada lampada segue uma distribuicao exponencialcom tempo medio de vida de 8000 horas. Calcule a probabilidade da lampada durar mais que 5000horas.(e) Qual a probabilidade da lampada durar mais que 9000 horas, sabendo-se que ela nao queimouate a hora 5000?

33. Suponha que o tempo medio de permanencia em um hospital para pacientes com determinadadoenca e de 60 dias com desvio-padrao de 15 dias. Supor que o tempo de permanencia segueuma distribuicao aproximadamente normal. Se for sorteado 1 paciente desta populacao, calcule aprobabilidade de que seu tempo de permanencia seja:(a) Igual ou maior que 50 dias;(b) Igual ou menor que 30 dias;(c) No intervalo de 40 a 70 dias;(d) Igual ou maior que 75 dias.

34. Qual a probabilidade, numa amostra de 50 eleitores, de pelo menos 60% serem democratas? Ad-mitir que a proporcao de democratas na populacao e de p = 56% e assumir que a proporcao dedemocratas na amostra p pode ser aproximada pela distribuicao normal, p ∼ N(p, p(1− p)/n).

35. A aplicacao de fundo anti-corrosivo em chapas de aco de 1m2 e feita mecanicamente e pode produzirdefeitos (pequenas bolhas na pintura), de acordo com uma variavel aleatoria Poisson de parametroλ = 1 por m2. Uma chapa e sorteada ao acaso para ser inspecionada, pergunta-se a probabilidadede:(a) Encontrarmos pelo menos 1 defeito.(b) No maximo 2 defeitos serem encontrados.(c) Encontrarmos de 2 a 4 defeitos.(d) Encontrarmos 2 defeitos, uma vez que sorteamos entre chapas que ja tinham 1 defeito.

36. Numa certa regiao, fosseis de pequeno animais sao frequentemente encontrados e um arqueologoestabeleceu o seguinte modelo de probabilidade para o comprimento, em centımetro, desses fosseis

f(x) =

1

40x, 4 ≤ x ≤ 8,

− 1

20x+

3

5, 8 ≤ x ≤ 10,

1

10, 10 ≤ x ≤ 11,

0, caso contrario.

(a) Faca um grafico da funcao de densidade.(b) Para um fossil encontrado nessa regiao, determine a probabilidade do comprimento ser inferiora 6cm? E de ser superior a 5 e inferior a 10, 5 cm?(c) Encontre o valor esperado para o comprimento dos fosseis da regiao?

37. Numa experiencia laboratorial, mede-se a temperatura (oC) de uma reacao quımica. O erro dessamedicao e uma variavel aleatoria X com a seguinte funcao de densidade

f(x) =

{K(4− x2) −2 ≤ x ≤ 20 caso contrario.

a. Encontre K tal que seja uma funcao de densidade de probabilidade.

b. Determine a funcao de distribuicao de X

c. Determine P (0.5 ≤ X ≤ 1.6).

d. Calcule E(X) e V (X).

e. Determine a densidade de Y = X2.

38. A duracao de certos tipos de amortecedores, em km rodados e normalmente distribuıda, possuiduracao media de 4000 km e desvio-padrao de 1000 km

a. Qual a probabilidade de um amortecedor escolhido ao acaso durar entre 3500 e 5350 km?

b. Se o fabricante desejasse fixar uma garantia de quilometragem, de tal forma que se a duracaodo amortecedor fosse inferior a garantia, o amortecedor seria trocado, de quanto deveria seresta garantia para que somente 1% dos amortecedores fossem trocados?

39. Certo tipo de fusıvel tem duracao de vida que segue uma distribuicao exponencial com vida mediade 100 horas.

a. Qual e a probabilidade de um fusıvel durar mais de 150 horas?

b. Cada fusıvel tem um custo de R$ 10,00 e, se durar menos de 200 horas, existe um custoadicional de R$ 8,00. Qual e o preco justo a pagar por cada fusıvel?

40. Considere uma variavel aleatoria X cuja funcao densidade de probabilidades e dada por:

f(x) =

k(6− 2x) 0 ≤ x < 22k 2 ≤ x < 30 caso contrario

Determine:

(a) o valor da constante k;

(b) a funcao de distribuicao;

(c) P (X > 2.5 | X > 1) ;

(d) Calcule P [1.2 ≤ X ≤ 2.5]

(e) E(X) e V (X)

41. Seja X uma v. a. continua tendo a densidade f dada por

f(x) =1

2e−|x|

Obtenha P (1 <| X |< 2).