UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MONTES CLAROS - UNIMONTES

Curso de Licenciatura em Matemática

Disciplina: Equações Diferenciais Ordinárias / 2o semestre de 2010

Professor: J. Sérgio

LISTA DE EXERCÍCIOS I - Valor: 10,0 pontos

Data de entrega: 07/10/2010.

Data da Prova 1: 07/10/2010 (valor: 25,0 pontos).

OBS: Após a data combinada, cada dia de atraso implicará em 2,0 pontos a menos no valor total da lista.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM

• EXERCÍCIOS SOBRE: Ordem, classi�cação e veri�cação de soluções de Equações Diferenciais.

1. Determine a ordem das equações diferenciais abaixo e classi�que-as em lineares e não-lineares.a) t2 d2y

dt2+ tdy

dt + 2y = sen t b) (1 + y2)d2ydt2

+ tdydt + y = et

c) d4ydt4

+ d3ydt3

+ d2ydt2

+ dydt + y = 1 d) dy

dt + ty2 = 0

e) d2ydx2 + sen (x + y) = sen x f) d3y

dt3+ tdy

dt + (cos2 t) · y = t3

2. Para cada equação diferencial abaixo, veri�que se as funções indicadas são soluções.a) y′′ − y = 0; y1(x) = ex, y2(x) = cosh x

b) y′′ + 2y′ − 3y = 0; y1(t) = e−3t, y2(t) = et

c) ty′ − y = t2; y1(t) = 2t, y2(t) = 3t + t2

d) y(4) + 4y′′′ + 3y = t; y1(t) = t/3, y2(t) = e−t + t/3

e) 2t2y′′ + 3ty′ − y = 0, t > 0; y1(t) = t1/2, y2(t) = t−1

• EXERCÍCIOS SOBRE: Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem (Introdução).

3. Com a primeira técnica que estudamos em Equações Diferenciais de Primeira Ordem encontre a soluçãoda equação y′ + y/3 = 1/3.

4. Sabendo que dy/dt = sen t, determine a função y.

5. Encontre a solução geral da equação diferencial dy/dt = 4t3 + 13.

6. Construa o grá�co da solução do P.V.I: dydx = −y + 5, com y(0) = 2.

7. Resolva a equação diferencial dy/dt = −ay + b, onde a e b são números positivos.

• EXERCÍCIOS SOBRE: Fator Integrante.

8. Encontre a solução do problema de valor inicial dado.a) y′ − y = 2te2t, y(0) = 1

b) y′ + 2y = te−2t, y(1) = 0

d) ty′ + 2y = sen t, y(π/2) = 1

9. Determinar o valor de y0 para o qual a solução do problema de valor inicial permaneça �nita quandot →∞, considerando y′ − y = 1 + 3 · sen t, y(0) = y0.

10. Considere a equação diferencial

dydt + p(t)y = 0

Mostre que se y1(t) e y2(t) são soluções da equação, então y(t) = y1(t) + y2(t) também o é.

11. Resolva o problema de valor inicial abaixo:{

y′ − 12y = 2cos t

y(0) = a

• EXERCÍCIOS SOBRE: Equações Separáveis, Diferenças entre equações lineares e não-lineares.

12. Veri�que que as equações diferenciais abaixo são separáveis e as resolva.a) y′ = x2/y b) y′ = x2/y(1 + x3)

c) y′ + y2sen x = 0 d) y′ = (3x2 − 1)/(3 + 2y)

13. Determine (sem resolver o problema) um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dadocertamente existe.a) (t− 3)y′ + (ln t)y = 2t, y(1) = 2 b) (t− 2)y′ + y = 0, y(2) = 1

14. Mostre que φ(t) = e2t é uma solução de y′ − 2y = 0 e que y = c · φ(t) também é solução dessa equaçãopara qualquer valor da constante c.

15. Mostre que, se y = φ(t) é uma solução de y′ + p(t)y = 0, então y = c · φ(t) também é solução paraqualquer valor da constante c.

APLICAÇÕES DAS EDO's DE PRIMEIRA ORDEM

16. Uma determinada população, p, de ratos satisfaz a equação diferencial dp/dt = 0, 5p − 450, onde t éo tempo em meses.a) Encontre o instante em que a população é extinta se p(0) = 850.b) Encontre o instante de extinção se p(0) = p0, onde 0 < p0 < 900.

17. Um material radioativo, tal como um dos isótopos de tório, o tório-234, desintegra a uma taxa pro-porcional à quantidade presente. Se Q(t) é a quantidade presente no instante t, então dQ/dt = −rQ,onde r > 0 é a taxa de decaimento.a) Se 100 mg de tório-234 decaem a 82,04 mg em 1 semana, determine a taxa de decaimento r.b) Encontre uma equação para a quantidade de tório-234 presente em qualquer instante t.

18. A proporção de carbono-14 (radioativo) em relação ao carbono-12 presente nos seres vivos é constante.Quando um organismo morre a absorção de carbono-14 cessa e a partir de então, o carbono-14 vai setransformando em carbono-12 a uma taxa que é proporcional à quantidade presente. Como a meiavida do carbono-14 é longa (cerca de 5730 anos), podem ser medidas quantidades remanescentes domesmo, após milhares de anos.a) Monte um PVI que descreva o problema de encontrar a quantidade de carbono-14 em função dotempo, Q(t).b) Determine o valor da constante de decaimento para o carbono-14.c) Encontre uma expressão para Q(t) em qualquer instante t, se Q(0) = Q0.d) Suponha que sejam descobertos certos restos de plantas nos quais a quantidade residual atual decarbono-14 é 20% da quantidade original. Determine a idade desses restos.

19. Um circuito RC é um circuito que tem um resistor de resistênca R, um capacitor de capacitância C eum gerador que gera uma diferença de potencial V (t) ligados em série. Pode-se veri�car que a cargaQ(t) no capacitor satisfaz a equação diferencial

R · dQdt + 1

C ·Q = V (t)

Considere que em um circuito RC uma bateria gera uma diferença de potencial de 10 volts enquantoa resistência é de 103 ohms e a capacitância é de 10−4 farads. Encontre a carga Q(t) no capacitor emcada instante t, se Q(0) = 0 e o limite de Q(t) quando t tende a mais in�nito.