Lista 1 - FUV - Resolução

Rodrigo Thiago Passos Silva

Universidade Federal do ABC – Santo André

Bacharelado em Ciência e Tecnologia

RESOLUÇÃO DA LISTA 1 DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL

Prof. Cláudio N. Meneses

1 Prove que é par o produto de um número par qualquer por um número ímpar

qualquer.

Tomando x um número par e y um número inteiro ímpar, temos que:

onde

Admitindo Certamente par ou ímpar.

Portanto xy = 2k, um número par.

□

2 Prove que a soma de dois números pares quaisquer é par.

Tomando dois números pares quaisquer x = 2k1 e y = 2k2, onde

x + y = 2k1 + 2k2 = 2(k1 + k2)

Assumindo k1 + k2 = k, temos:

x + y = 2k, portanto um número par.

□

3 Prove que a soma de três números inteiros consecutivos quaisquer é um múltiplo de

três.

Tomando três números consecutivos quaisquer x = k, y = k + 1 e z = k + 2, com .

x + y + z = k + k + 1 + k + 2 = 3k + 3 = 3(k+1)

Considerando k + 1 = r, um número, certamente, inteiro, temos que:

x + y + z =3r, um número múltiplo de três.

□

4 Sabendo que a soma e o produto de dois números inteiros são também números

inteiros, prove que a soma de dois números racionais é também um número racional.

Hipótese: A soma e o produto de dois números inteiros são também inteiros.

Considerando x e y números racionais e dados por

e

, com

.

+

Pela hipótese apresentada, são números inteiros, portanto x + y, por

ser um quociente de dois inteiros, é um número racional.

□




5 Prove que entre dois números racionais diferentes sempre existe outro racional.

Considerando x e y números racionais e dados por

e

, com

e z, um racional entre eles.

z está, certamente, entre x e y quando:

Queremos provar que z é um número

racional.

Sabemos que a soma e multiplicação de dois números inteiros resulta em, também,

números inteiros. Assim sendo, é trivial que z é um número racional, pois é o quociente

de dois números inteiros.

□

6 Prove que:

1.

Utilizando o Princípio da Indução Finita (PIF):

i) Testando a propriedade para n = 1:

A propriedade é válida para n = 1.

ii) Hipótese indutiva -

Tese -

Assumindo a hipótese como verdadeira temos:

Logo:

Portanto a P(k + 1) é verdadeira e a propriedade é válida para qualquer n ≥ 1.

□

2.

Utilizando o Princípio da Indução Finita (PIF):

i) Verificando a propriedade para n = 1:

Portanto P(1) é válida.

ii) Hipótese indutiva:

Tese:




Assumindo a hipótese indutiva como verdadeira, temos que

Logo:

Comprovada a hipótese indutiva, comprova-se que a propriedade é válida para qualquer

número natural maior ou igual a 1.

□

3.

i) Verificando o somatório para n = 1:

Portanto, a propriedade é válida para n = 1.


Tese -

Considerando verdadeira a hipótese indutiva, temos que:

Desenvolvendo o lado esquerdo da igualdade, obtemos:

A igualdade não é válida, portanto a hipótese é falsa e a propriedade inválida para

qualquer n natural maior que 1.

□

4.

i) Verificando a propriedade para n = 1:

Portanto P(1) é verdadeira.

ii) Hipótese indutiva:

Tese:




Admitindo a hipótese indutiva como verdade, temos que:

Desenvolvendo algebricamente o lado esquerdo da igualdade:

Comprovando-se a igualdade comprova-se conjuntamente a veracidade da hipótese

indutiva, e, portanto, a validade da propriedade para n ≥ 1.

□

5.

Desenvolvendo ambos os lados da igualdade

i) Verificando a igualdade para n = 1:

É trivial que a igualdade é válida, pois 1³ = 1.


Tese -

Admitindo como verdadeira a hipótese indutiva, temos que:

A primeira parcela do lado esquerdo da igualdade e o somatório do lado direito são

progressões aritméticas, portanto podem ser reescritas da seguinte forma:

Partindo, então, do lado esquerdo, temos:

Portanto, a hipótese indutiva é, de fato, verdadeira e a propriedade é válida para todo

número natural maior ou igual a 1.

□




7 Prove, usando o princípio da indução matemática, que todo inteiro maior do que 1 é

primo ou produto de primos.

i)Tomando n = 1, observa-se que a propriedade é válida, pois 1 é primo.

ii) Hipótese indutiva – P(k): k é um número primo ou produto de primos

Tese – P(k + 1): k + 1 é primo ou produto de primos

Há duas possibilidades para k + 1:

a) k + 1 é primo, logo P(k + 1) é válida.

b) k + 1 não é primo. Então k + 1 = ab, onde 1 < a < k + 1 e 1 < b < k + 1.

Pela hipótese indutiva P(2), P(3), ... ,P(n), para n ≤ k, são primos ou produto de primos,

logo a e b são também primos ou produto de primos e, finalmente, provamos que k + 1

= ab também é primo ou produto de primos.

□

8 Denote por an o número de subconjuntos de {1,2,3,..,n} (incluindo o conjunto vazio

e o próprio conjunto).

(a) Mostre que an = 2an-1 (não é necessário usar indução aqui).

Tomando o conjunto a An-1 = {1,2,..., n - 1} onde an-1 é o número de subconjuntos de An-

1.

Sendo . Todos os subconjuntos de An-1 são também subconjuntos de

An. Os demais subconjuntos são obtidos incluindo o elemento {n}. Logo an = 2an-1.

□

(b) Adivinhe a fórmula para o valor de an e use indução para provar que você está

certo.

O número de conjuntos de An é dado por 2n.

i) Para o conjunto B = {u}, de um único elemento, temos os seguintes subconjuntos: { }

e {a}. Para n = 1, an = 2, o que é confirmado pela demonstração acima.

ii) Hipótese indutiva – P(n): Um conjunto de n elementos tem 2n subconjuntos.

Tese – P(n + 1): Um conjunto de n + 1 elementos tem 2n+1

subconjuntos.

Tomando o conjunto An+1 tal que . Pela hipótese indutiva temos que an = 2

n.

Reescrevendo, sem perda de sentido, o que foi comprovado em (a) temos an+1 = 2an.

Logo, an+1 = 2 × 2n = 2

n+1, comprovando assim a tese e a propriedade P(n) para todo n ≥

1.

□

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