COLÉGIO ESTADUAL EDVALDO BRANDÃO CORREIAEducador - Itamar Santos Nascimento / Disciplina - MATFINSérie: 3.ª do Ensino Médio Turmas: 3M20 - 3M26 (Matutinas); 3M48 - 3M52 (Vespertinas).

PORCENTAGEM

Definição

Se x é um número real, tem-se que x% representa a fração x /100 .

A expressão por cento vem do latim per centum e quer dizer por um cento. O símbolo % é

uma deturpação da abreviatura Cto (ciento) - usada pelos mercadores italianos do século XV nas

suas transações - e aparece, pela primeira vez, em 1685, num livro francês, Le Guide de Negotien

( O Guia do Comerciante).

Assim, por exemplo, citar 20% isoladamente é o mesmo que citar 20/100. Reciprocamente

todo número real sempre pode ser escrito como porcentagem — tome cuidado com as dízimas

infinitas periódicas ou não periódicas em relação ao uso de aproximações nas trocas de símbolos.

É uma forma de amostragem estatística, onde temos o total da amostra frente a uma

quantidade de eventos. É aplicada em grande gama de situações da química, mas

principalmente em estequiometria, soluções e orgânica.

Se tivéssemos de colocar o conceito de porcentagem numa equação matemática,

poderíamos fazer assim:

Onde % é o símbolo para porcentagem; parte é o evento que se estuda e todo é o total da amostra que se estuda.

Exemplo 01:

Numa sala de 30 pessoas temos 8 pessoas usando camisas verdes, 14 pessoas usando

azul e 8 pessoas usando camisetas brancas. Transforme estas informações em porcentagem.

Resposta: Vamos usar o conceito de porcentagem...

Porcentagem de Camisetas Verdes => %CV = 8/30 x 100 = 26% aproximadamente

Porcentagem de Camisetas Azuis => %CA = 14/30 x 100 = 46% aproximadamente

Porcentagem de Camisetas Brancas => %CB = 26% aproximadamente

Variação Percentual

É muito parecido com a porcentagem, com a diferença de usar o conceito de intervalo

amostral. Usado para calcular a porcentagem de intervalo amostral, podemos calcular desta

forma: onde ∆% é a variação percentual, 1.º valor é o primeiro valor do intervalo amostral e 2.º

valor é segundo valor do intervalo amostral.

A fórmula fica assim expressa:

∆%=( 2.º Valor−1. ºValor1. ºValor ) ∙100

TAXA PERCENTUAL (i %)

Uma breve vasculhada no mundo virtual da internet nos permite achar diversas definições

para a palavra TAXA. Veja abaixo aquela que se aproxima de fato do que usaremos em

Matemática Financeira. Seguem algumas possíveis definições como exemplos:

Taxa é, em geral, uma prestação exigida para um serviço, ou a razão de algo. Pode ser:

Taxa- Forma de tributo a ser paga para uso de serviços públicos.

Taxa (preço)- Regulamentação governamental sobre preços de serviços ou mercadorias

(fixação de preços).

Taxa (razão)- Razão sobre um valor (Exemplo: taxa de juros).

Taxa - Sinônimo de táxons. Termo em latim referente a um conjunto de táxon de uma

determinada divisão botânica, animal ou bacteriológica. Ex. subfamília Faboideae: Abrus,

Acmispon, Acosmium, Adenocarpus, Adenodolichos, Adenolobus,...

Visto posto podemos definir TAXA assim:

Taxa é a razão sobre um valor. É geralmente expresso em porcentagem ou fração

unitária. Logo, uma taxa percentual pode ser assim expressa:

TaxaPercentual(i%)=PARTECONSIDERADATODOCONSIDERADO

∙100

À guisa de exemplo: Imagine que o Colégio Edvaldo Brandão Correia promova uma pesquisa a fim de averiguar três informações importantes, são elas: quantidade de alunos homens, mulheres e surdos. Após pesquisa efetuada constatou-se no alunado:

Resolva as questões abaixo propostas:

1)  Calcule a taxa equivalente, mensal, de 41,3% a.a.

2)  Encontre a taxa equivalente, no período de 43 dias, à taxa efetiva de 16,58% ao semestre.

3)  Determine a taxa equivalente nos períodos de 20, 71, 90 e 180 dias correspondentes à taxa

efetiva de 3% am.

4)  Uma aplicação é realizada à taxa efetiva de 17,5% ao ano.  Encontre a taxa equivalente ao

mês e ao período de 99 dias.

5)  Calcule a taxa efetiva semestral correspondente a uma taxa nominal de 24% ao ano, com

capitalização mensal.

6)  Determine a taxa efetiva trimestral correspondente a uma taxa nominal de 18% ao ano, com

capitalização bimestral.

7)  Qual a taxa efetiva anual correspondente a uma taxa nominal de 6% ao ano, com capitalização

mensal?

8)  Que taxa efetiva bimestral corresponde à taxa nominal de 9% ao trimestre, com capitalização

mensal?

9)  Um financiamento é realizado pelo prazo de 115 dias, a uma taxa de juros de 26% aa + a

variação da TR.  Projetando-se, que a TR no período apresentará uma variação constante de

1,74% ao mês, determine a taxa composta da operação.

10)  Uma empresa realiza uma operação de empréstimo pelo prazo de 129 dias, à taxa de 22% aa

+ TR.  Considerando que a TR variou 6,05% no período, calcule a taxa composta desta operação.

11)  Um banco oferece recursos à taxa de 2,31% am mais variação da inflação.  Supondo um

financiamento  por 187 dias e uma variação da inflação de 6,56% no período, determine a taxa

conjunta desta operação.

12)  Uma empresa realizou um empréstimo pelo prazo de 122 dias, a uma taxa de juros mais TR,

tendo um custo efetivo de 19,4%.  Sabendo-se que a TR variou 13,8% no período, calcule a taxa

real da operação.

13)  Um cliente obteve o rendimento de 24,3% ao realizar uma aplicação em CDB, pelo prazo de

235 dias.  Considerando a inflação no período de 17,2%, determine a taxa real mensal desta

aplicação.

14)  Certa categoria profissional obteve um reajuste salarial de 19,3%.  Considerando que a

inflação, no mesmo período, foi de 21,4%, calcule qual foi a taxa real.  Obs.: interprete o resultado.

15)  Um cliente obteve, em uma aplicação financeira, um rendimento de 17,4%.  Calcule a taxa

real da operação considerando uma inflação de 12,8%.

16)  Para a captação em CDB, certo banco está pagando 24,3% bruto ao ano, em operações com

prazo de 33 dias corridos, com 25 dias úteis.  Determine a taxa over mensal da operação.

17)  Um CDB pré-fixado paga 28% ao ano para aplicações em 31 dias corridos, com 21 dias

úteis.  Calcule a taxa over mensal correspondente.

18)  Determine a taxa efetiva anual correspondente a uma taxa over de 2,01% ao mês, para uma

operação em 36 dias corridos, com 23 dias úteis.

19)  Determine a taxa anual de um CDB pré-fixado com base em uma taxa over de 4,8% ao mês.

(ndc=40 e ndu=28)

20)  A inflação nos últimos 3 meses foi de 5,4%, 4,8% e 3,9% ao mês, respectivamente, determine

a taxa acumulada no período e a taxa média mensal efetiva.

GABARITO

Tabela 1 - Gabarito das questões acima propostas

1)  2,9228602% am

2)  3,7327152% ap

3)  1,990131% ap         7,2460812% ap

      9,2727% at              19,4052297% as

4)  1,3529722% am       4,5346846% ap

5)  12,6162419% as

6)  4,5335831% at

7)  6,1677812% aa

11)  22,8618186% ap

12)  4,9209139% ap

13)  6,0580205% ap

14)  - 1,72981878% ap  (prejuízo)

15)  4,0780142% ap

16)  2,39376% am

17)  3,038307% am

18)  16,6547344% aa

8)  6,09% ab

9)  15,0220554% ap

10)  13,8823129% ap

19)  49,6124033% aa

20)  14,7671088% ap                 4,6981836% am

REGRA DE TRÊS SIMPLES

Definição: como o nome já sugere a regra de três simples incorpora três informações ou

elementos básicos conhecidos e um desconhecido. De modo simples pode-se dizer que na Regra

de Três, três termos são conhecidos e um é desconhecido. Então precisamos calculá-lo. Usa-se a

proporção para efetuar tal procedimento de cálculo.

Há dois tipos de análise quando do cálculo mediante a Regra de Três, a saber:

Caso1: Grandezas Diretamente Proporcionais

Exemplo:

Um automóvel em:

1 hora percorre 60 km.

2 horas percorre 120 km.

3 horas percorre 180 km.

É fácil perceber que podemos estabelecer as seguintes igualdades:

A ¿ 1h2h

=60km10km

B ¿ 1h3h

= 60km180km

C ¿ 2h3h

=120km180km

Assim, tempo e distância são grandezas diretamente proporcionais.

Portanto, grandezas diretamente proporcionais são aquelas que quando aumentando uma delas,

a outra aumenta na mesma razão da primeira.

Caso 2: Grandezas Inversamente Proporcionais

Um automóvel faz um percurso em:

1 hora com velocidade de 90 km / h.

2 horas com velocidade de 45 km / h.

3 horas com velocidade de 30 km / h.

A ¿ 12= 4590

B ¿ 13=3090

C ¿ 23=3045

Visto posto, tempo e velocidade são grandezas inversamente proporcionais.

Portanto, duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a

outra diminui na mesma razão da primeira.

Quaisquer problemas que envolvam duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais

podem ser resolvidos através de um método prático, chamado Regra de Três Simples.

Observe estes dois seguintes problemas resolvidos;

1) Comprei 5m de corrente por R$ 20,00. Quanto pagarei por 12m?

Solução:

Metros Reais

5 20

12 x

Note que aumentando a quantidade de metros, o valor também aumenta.

As flechas de mesmo sentido indicam grandezas diretamente proporcionais.

512

=20x⟹5 ∙ x=12∙20

5 x=240

x=2405

x=48

Respopsta: R$ 48,00.

2) Com 8 pedreiros podemos construir um, muro em 3 dias. Quantos dias levarão 6 pedreiros

para fazer o mesmo trabalho?

Pedreiros Dias

8 3

6 x

Note que diminuindo a quantidade de pedreiros, o número de dias aumenta.

As flechas de sentidos contrários indicam grandezas inversamente proporcionais. Assim

devemos inverter a grandeza “pedreiros”.

68=3

x⟹6 ∙ x=8 ∙3

6 x=24

x=246

x=4

Resposta: 4 dias.

AGORA É HORA DE PÔR EM PRÁTICA O QUE VOCÊ APRENDEU! MÃOS A OBRA!

1. Se uma vela de 36 cm de altura, diminui 1,8 mm por minuto, quanto tempo levará para se

consumir?

a) 2 horas b) 3 horas c) 2h 36 min d) 3h 20 min e) 3h 18min

2. (SESD-94) 30 operários deveriam fazer um serviço em 40 dias. 13 dias após o início das obras,

15 operários deixaram o serviço. Em quantos dias ficará pronto o restante da obra?

a) 53 b) 54 c) 56 d) 58

3. (EPCAr) Um trem com a velocidade de 45km/h, percorre certa distância em três horas e meia.

Nas mesmas condições e com

a velocidade de 60km/h, quanto tempo gastará para percorrer a mesma distância?

a) 2h30min18s b) 2h37min8s c) 2h37min30s d) 2h30min30s

e) 2h29min28s

4. (UFMG) Um relógio atrasa 1 min e 15 seg a cada hora. No final de um dia ele atrasará:

a) 24 min b) 30 min c) 32 min d) 36 min e) 50 min

5. Com 10Kg de trigo podemos fabricar 7Kg farinha. Quantos quilogramas de trigo são

necessários para fabricar 28Kg de farinha?

6. Oito pedreiros fazem um muro em 72 horas. Quanto tempo levarão 6 pedreiros para fazer o

mesmo muro?

7. Um corredor gastou 2 minutos para dar uma volta num circuito à velocidade média de 210Km/h.

Quanto tempo o corredor gastaria para percorrer o circuito à velocidade média de 140Km/h?

8. Uma torneira despeja 30 litros de água a cada 15 minutos. Quanto tempo levará para encher

um reservatório de 4m³ de volume?

9. Um, relógio adianta 40 segundos em cada 6 dias. Quantos minutos adiantará em 54 dias?

10. Com 4 latas de tinta pintei 280m² de parede. Quantos metros quadrados poderiam ser

pintados com 11 latas dessa tinta?

11. Um automóvel percorreu uma distância em 2 horas, à velocidade média de 90Km por hora.

Se a velocidade medi fosse de 45Km por hora, em quanto tempo o automóvel faria a mesma

distância?

12. Para se transportar cimento para a construção de um edifício, foram necessários 15

caminhões de 2m³ cada um. Quantos caminhões de 3m³ seriam necessários para se faze o

mesmo serviço?

Questã

o

1 2 3 4 5 6 7 8 9

40Kg 96h 3 min 2000 min 6 min

Questã

o

10 11 12

770m² 410

caminhões

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

A regra de três composta é um processo prático para resolver problemas que envolvem

mais de duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.

Exemplo:

Um fábrica, em 3 dias de trabalho, produz 360m de tecidos, fazendo funcionar 8 máquinas.

Em quantos dias poderá produzir 1 080m de tecidos, fazendo funcionar 6 máquinas?

Solução:

A B C

Dias Tecidos Máquinas

3 360 8

x 1 080 6

Note que comparando a grandeza que tem a incógnita com cada uma das outras

percebemos que:

A e B são grandezas diretamente proporcionais.

A e C são grandezas inversamente proporcionais.

Assim devemos:

1.º) Inverter os valores correspondentes da última grandeza:

3x= 3601080

=68

2.º) Igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões:

3x= 3601080

∙68ou3x=21608640

3x=14

x=12

Resposta: 12 dias.

VAMOS PRATICAR O QUE ORA FOI APRENDIDO?

1.) Dez máquinas fabricam 400m de tecidos em 16 dias. Em quantos dias 12 máquinas

que têm o mesmo rendimento que as primeiras fazem 300m desse mesmo tecido?

2.) Numa fábrica, 12 operários, trabalhando 8 horas por dia, conseguem fazer 864 caixas

de madeira. Quantas caixas serão feitas por 15 operários que trabalham 10 horas por

dia?

3.) Na merenda escolar, 40 crianças consumiram 156 litros de leite em 15 dias. Quantos

litros de leite deverão ser consumidos por 45 crianças em 20 dias?

4.) A despesa de alimentação de 12 pessoas, durante 8 dias, é de R$ 160,00. Qual será o

custo da alimentação de 15 pessoas durante 5 dias?

5.) Vinte homens fazem um certo trabalho em 6 dias, trabalhando 9 horas por dia. Para

fazer o mesmo trabalho, quantos dias levarão 12 homens, trabalhando 5 horas por dia?

6.) Um aluno resolve 300 exercícios em 10 dias, estudando 4 horas por dia. Quantos

exercícios ele resolverá em 12 dias, estudando 8 horas por dia?

7.) Uma CSA é construída, em 8 dias, por 9 pedreiros que trabalham 5 horas por dia. Em

quantos dias 12 pedreiros, trabalhando 6 horas por dia, poderiam fazer a mesma casa?

8.) Em 3 horas, 3 torneiras despejam 2 700 litros de água. Quantos litros despejam 5

dessas torneiras em 5 horas?

Questões 1 2 3 4 5 6 7 8

10

dias

1350

caixas

234

litros

R$

125,00

18

dias

720

exercícios5 dias

7 500

litros

MATEMÁTICA FINANCEIRA

CONCEITOS BÁSICOS

    A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos

matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.

    CAPITAL

O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido

como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value

(indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).

    JUROS

Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva.

Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.

   

   

JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.

JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.

   

O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das

pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro

lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e

neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve

ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação

envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para

empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de

juros.

 

QUANDO USAMOS JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS?

A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas:

compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as

aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda

fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de

curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.

 

TAXA DE JUROS

    A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um

determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da

especificação do período de tempo a que se refere:

8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).

10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).

    Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual

dividida por 100, sem o símbolo %:

0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês).

0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)

JUROS SIMPLES

    O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor

principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou

simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros.

Transformando em fórmula temos:

J=P . i . n

Onde:

J = juros

P = principal (capital)

i = taxa de juros

n = número de

períodos

   

    Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo

regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:

J = 1000 x 0.08 x 2 = 160

    Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.

   Montante = Principal + Juros   Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )

M=P .(1+i . n)

 

    Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a.

durante 145 dias.

    SOLUÇÃO:

    M = P . ( 1 + (i.n) )

    M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42

    Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos.

Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial

possui 360 dias.

   Exercícios sobre juros simples:

   1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.

    0.13 / 3 = 0.0433.. implica que 13% a.t. equivale a 4,33..% a.m.

    4 m 15 d = 4,5 m, pois 15 dias significa 0,5 m.

    Então j = 1200 x 0.0433..x 4,5 = 234

 

    2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a.,

durante 125 dias.

    Temos: J = P.i.n

    A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360  = 0,001 a.d.

    Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias,

poderemos calcular diretamente:

    J = 40000.0,001.125 = R$5000,00

 

    3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em

75 dias?

    Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)

    Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou

seja, meses. Logo,

    3500 = P. 0,012 x 2,5 = P . 0,030; 

    Daí, vem:  P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67

 

   4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para

dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?

    Objetivo: M = 2.P

    Dados: i = 150/100 = 1,5

    Fórmula: M = P (1 + i . n)

    Desenvolvimento:

2P = P (1 + 1,5 n)

2 = 1 + 1,5 n

n = 2/3 ano = 8 meses

JUROS COMPOSTOS

    O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para

cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao

principal para o cálculo dos juros do período seguinte.

    Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. Após

três meses de capitalização, temos:

    1º mês: M =P.(1 + i)

    2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i)

    3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)

    Simplificando, obtemos a fórmula:

  

M = P . (1 +  i)n

 

    Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de

juros ao mês para n meses.

    Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:

  

J = M - P

 

    Exemplo:

   Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à

taxa de 3,5% ao mês.

   Resolução:

   P = R$6.000,00

    t = 1 ano = 12 meses

    i = 3,5 % a.m. = 0,035

    M = ?

   Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos:

   M  =  6000.(1+0,035)12  =  6000. (1,035)12 = 6000.1,511 = 9066,41.

   Portanto o montante é R$9.066,41

Relação entre juros e progressões

    No regime de juros simples:

    M( n ) = P + P.i.n  ==> P.A. começando por  P e razão J = P.i.n

    No regime de juros compostos:

    M( n ) = P . ( 1 + i ) n ==> P.G. começando por P e razão ( 1 + i ) n

    Portanto:

num regime de capitalização a juros simples o saldo cresce em progressão aritmética

num regime de capitalização a juros compostos o saldo cresce em progressão

geométrica

TAXAS EQUIVALENTES

    Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período

de tempo, através de diferentes sistemas de capitalização, produzem o mesmo montante final.

Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual ia .

O montante M ao final do período de 1 ano será igual a M = P(1 + i a )

Consideremos agora, o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im .

O montante M’ ao final do período de 12 meses será igual a M’ = P(1 + im)12 .

    Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter M = M’.

    Portanto, P(1 + ia) = P(1 + im)12

    Daí concluímos que 1 + ia = (1 + im)12

    Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal conhecida.

    Exemplos:

    1 - Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre?

    Em um ano temos dois semestres, então teremos: 1 + ia = (1 + is)2

    1 + ia = 1,082 = 1,1664

    ia = 0,1664 = 16,64% a.a.

   

    2 - Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês?

    1 + ia = (1 + im)12

    1 + ia = (1,005)12 = 1,0614

    ia = 0,0617 = 6,17% a.a.

TAXAS PROPORCIONAIS

    São taxas que guardam entre si as mesmas proporções que os prazos:

8% ao ano ~ 4% ao semestre, pois 8/4 = 12/6

12% ao ano ~ 1% ao mês, pois 12/1 = 12/1

TAXAS EFETIVAS (Reais)

    A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide

com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:

- 140% ao mês com capitalização mensal.

- 250% ao semestre com capitalização semestral.

- 1250% ao ano com capitalização anual.

    Taxa Real: é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.

TAXAS NOMINAIS

    A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não

coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:

- 340% ao semestre com capitalização mensal.

- 1150% ao ano com capitalização mensal.

- 300% ao ano com capitalização trimestral.

    Exemplo:

    Uma taxa nominal de 15 % a.a., capitalização mensal, terá 16.08 % a.a. como taxa efetiva:

    Realmente, usamos a taxa proporcional : 15% a.a. é proporcional a 1,25% a.m., pois 15/12 =

1,25

    Agora, usando 1 + ia = (1 + im)12

    1 + ia  =  (1+ 0,0125)12 = 1,1608 ==>  ia  =  0,1608 a.a = 16,08% a.a

TAXAS EQUIVALENTES

    Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período

de tempo, através de diferentes sistemas de capitalização, produzem o mesmo montante final.

Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual ia .

O montante M ao final do período de 1 ano será igual a M = P(1 + i a )

Consideremos agora, o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im .

O montante M’ ao final do período de 12 meses será igual a M’ = P(1 + im)12 .

    Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter M = M’.

   

Portanto, P(1 + ia) = P(1 + im)12

    Daí concluímos que 1 + ia = (1 + im)12

    Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal conhecida.

    Exemplos:

    1 - Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre?

    Em um ano temos dois semestres, então teremos: 1 + ia = (1 + is)2

    1 + ia = 1,082 = 1,1664

    ia = 0,1664 = 16,64% a.a.

   

    2 - Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês?

    1 + ia = (1 + im)12

    1 + ia = (1,005)12 = 1,0614

    ia = 0,0617 = 6,17% a.a.

TAXAS PROPORCIONAIS

    São taxas que guardam entre si as mesmas proporções que os prazos:

8% ao ano ~ 4% ao semestre, pois 8/4 = 12/6

12% ao ano ~ 1% ao mês, pois 12/1 = 12/1

TAXAS EFETIVAS (Reais)

    A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide

com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:

- 140% ao mês com capitalização mensal.

- 250% ao semestre com capitalização semestral.

- 1250% ao ano com capitalização anual.

    Taxa Real: é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.

TAXAS NOMINAIS

    A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não

coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:

- 340% ao semestre com capitalização mensal.

- 1150% ao ano com capitalização mensal.

- 300% ao ano com capitalização trimestral.

    Exemplo:

    Uma taxa nominal de 15 % a.a., capitalização mensal, terá 16.08 % a.a. como taxa efetiva:

    Realmente, usamos a taxa proporcional : 15% a.a. é proporcional a 1,25% a.m., pois 15/12 =

1,25

    Agora, usando 1 + ia = (1 + im)12

    1 + ia  =  (1+ 0,0125)12 = 1,1608 ==>  ia  =  0,1608 a.a = 16,08% a.a

FLUXO DE CAIXA

    O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transações financeiras em um período

de tempo. O tempo é representado na horizontal dividido pelo número de períodos relevantes para

análise. As entradas ou recebimentos são representados por setas verticais apontadas para

cima e as saídas ou pagamentos são representados por setas verticais apontadas para baixo.

Observe o gráfico abaixo:

    Estes valores não podem ser simplesmente somados ou subtraídos (a não ser com juros

nulos), pois estão em tempos distintos e R$ 450 no 3º período não significam os mesmos R$450

em outros períodos; ele significa menos nos períodos anteriores e mais nos períodos seguintes,

    Por exemplo, com uma taxa de juros de 2% ao período, receber os R$450 no 3º período é

equivalente a receber R$450x1,02 = R$459 no 4º período, ou R$459x1,02 = R$468 no 5º período

ou  R$450/1,02 = R$441 no 2º período.

Problemas Propostos - Juros Simples

1) Determinar quanto renderá um capital de R$ 60.000,00 aplicado à taxa de 22% ao ano,

durante 7 meses.

R = 7.700,00

2) Um capital de R$ 150.000,00 aplicado durante 14 meses, rendeu juros de R$ 7.752,50

Determinar a taxa anual.

R = 4,43%

3) Durante 855 dias certo capital gerou um montante de R$ 64.200,00. Sabendo-se que a

taxa de juros é de 1,5% ao mês, determinar o valor do capital aplicado.

R = 44.973,73

4) Qual o valor dos juros contidos no montante de R$ 100.000,00 resultante da aplicação de

certo capital a taxa de 42% ao ano, durante 13 meses.

R = 31.271,48

5) Qual o valor a ser pago, no final de 5 meses e 18 dias, correspondente a um empréstimo

de R$ 125.000,00 sabendo-se que a taxa de juros é de 27% ao semestre.

R = 156.500,00

6) Em quanto tempo um capital de R$ 900.000,00 aplicado a taxa de 0,03% ao dia, gera um

montante de R$ 994.500,00.

R = 350 dias

7) Um capital de R$ 50.000,00 foi aplicado no dia 19/06/1997 e resgatado em 20/01/1998.

Sabendo-se que a taxa de juros da aplicação foi de 56% ao ano, calcular o valor dos juros,

considerando-se o número de dias efetivo entre as duas datas.

R = 16.722,22

8) Uma empresa aplicou R$ 2.000.000,00 no Open Market no dia 15/07/1997 e resgatou essa

aplicação no dia 21/07/1997 por R$ 2.018.000,00. Qual foi a taxa mensal de rendimento

proporcionada por essa operação.

R = 4,5% ao mês

9) Calcular o valor do capital que aplicado a taxa de 50,4% ao ano, durante 2 anos e 3

meses, produz um montante de R$ 600.000,00.

R = 281.162,14

10) Ao fim de quanto tempo o capital de R$ 40.000,00 aplicado a taxa de 3% ao mês, produz

R$ 18.600,00 de juros.

R = 15,5 meses ou 465 dias

11) Obteve-se um empréstimo de R$ 100.000,00 para ser liquidado por R$ 186.625,00 no final

de 26 meses e meio. Qual a taxa de juros anual cobrada nessa operação.

R = 46,2% ao ano

12) Em quanto tempo um capital aplicado a 48% ao ano dobra o seu valor.

R = 25 meses

13) A que taxa de juros um capital aplicado durante 10 meses rende juros igual a 14

do seu

valor.

R = 2,5% ao mês

14) Um capital emprestado gerou R$ 96.720,00 de juros. Sabendo-se que o prazo de

aplicação foi de 13 meses e a taxa de juros de 2% ao mês, calcular o valor do montante.

R = 468.720,00

15) Em quantos dias um capital de R$ 270.420,00 produzirá juros de R$ 62.196,60 a uma taxa

de 3% ao mês.

R = 230 dias

16) Determinar o capital necessário para produzir um montante de R$ 798.000,00 no final de

um ano e meio, aplicado a taxa de 15% ao trimestre.

R = 420.000,00

17) A aplicação de R$ 356.000,00 gerou um montante de R$ 661.270,00 no final de 20 meses.

Calcular a taxa anual.

R = 51,45%

18) Certo capital aplicado gerou um montante de R$ 1.000.000,00 sabendo-se que a taxa de

juros é de 5% ao mês e o prazo de 9 meses, calcular o valo dos juros.

R = 310.344,83

19) Determinar o montante correspondente a uma aplicação de R$ 450.000,00 por 225 dias, à

taxa de 2,6% ao mês.

R = 537.750,00

20) Calcular o valor do capital, que aplicado a uma taxa de 1,2% ao mês, por 174 dias,

produziu um montante de R$ 543.840,00.

R = 508.451,76

21) Um título de renda prefixada foi adquirido por R$ 980.000,00 e resgatado por R$

1.147.776,00 no final de 8 meses. Calcular a taxa mensal de juros.

R = 2,14

22) Em que prazo uma aplicação de R$ 500.000,00 possibilita o resgate de R$ 610.000,00 a

taxa de 2,2% ao mês.

R = 10 meses

23) A que taxa anual devo aplicar um capital de R$ 275.000,00 para obter juros de R$

77.293,33 no final de 186 dias.

R = 54,40%

Juro Composto

CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

Quando uma determinada soma de dinheiro está aplicada a juros simples, os juros são

sempre calculados sempre sobre o montante inicial. quando uma soma está aplicada a juros

compostos, os juros são calculados não apenas sobre o capital inicial, mas sobre este capital

acrescido dos juros já vencidos.

Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o principal acrescido dos

juros acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização a taxa varia

exponencialmente em função do tempo.

O conceito de montante é o mesmo definido para capitalização simples, ou seja, é a soma do

capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicação ou da

divida.

A simbologia é a mesma já conhecida, ou seja, M, o montante, C, o capital inicial, n, o período e i,

a taxa.

A dedução da fórmula do montante para um único pagamento é pouco mais complexa que aquela

já vista para a capitalização simples e para facilitar o entendimento, vamos admitir que

defrontamos com o seguinte problema:

Calcular o montante de um capital de R$ 1.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5

meses.

Dados: P = 1.000,00

n = 5 meses

i = 4% ao mês

M = ?

quadro a seguir permite que visualizemos claramente o cálculo do montante, mês a mês.

Mês capital inicio juros cor. montante final

(t) mês (Pt) mês (Jt) mês (mt)

1 1.000,00 1.000,00 x 0,04 = 40,00 1.040,00

2 1.040,00 1.040,00 x 0,04 = 41,60 1.081,60

3 1.081,60 1.081,60 x 0,04 = 43,26 1.124,86

4 1.124,86 1.124,86 x 0,04 = 45,00 1.169,86

5 1.169,86 1.169,86 x 0,04 = 46,79 1.216,65

O valor do montante no final do quinto mês é de R$ 1.216,65. O montante final de cada mês é o

valor do capital inicial do mês seguinte. Entretanto, essa forma de cálculo é bastante trabalhosa e

demorada. Vamos deduzir uma fórmula que permita um cálculo mais fácil e rápido, partindo do

desenvolvimento anterior, sem no entanto efetuar os cálculos ali demonstrados.

M0 = 1.000,00

M1 = 1.000,00 + 0,04 x 1.000,00 = 1.000,00(1 + 0,04) = 1.000,00 (1.04)1

M2 = 1.000,00(1,04) + 0,04 x 1.000,00 x (1,04) = 1.000,00 (1,04)(1+0,04) = 1.000,00(1,04)2

..........

M5 = 1.000,00(1,04)4 + 0,04 x 1.000,00(1,04)4= 1.000,00(1,04)4(1 + 0,04) = 1.000,00 (1,04)5

O valor do montante no final do quinto mês é dado pela expressão:M5 = 1.000,00 (1,04)5. Como

(1,04)5 = 1,21656 m = 1.000,00 x 1,21656 = 1.216,65, que confere com o valor determinado

anteriormente.

Montante

EXERCÍCIOS:

1. Determinar o montante, no final de 10 meses, resultante da aplicação de um capital de

100.000,00 `a taxa de 3,75% ao mês?

R = 144.504,39

2. Um agiota empresta 80.000,00 hoje para receber 507.294,46 no final de 2 anos. Calcular as

taxas mensal e anual deste empréstimo.

R = 8% ao mês e 151,817% ao ano.

1. Sabendo-se que a taxa trimestral de juros cobrada por uma instituição financeira é de

12,486%, determinar qual o prazo em que um empréstimo de 20.000,00 será resgatado por

36.018,23.

R = 5 trimestres ou 15 meses.

2. Quanto devo aplicar hoje, à taxa de 51,107% ao ano, para ter 1.000.000,00 no final de 19

meses?

R = 520.154,96.

3. Uma empresa obtém um empréstimo de 700.000,00 que será liquidado, de uma só vez, no

final de 2 anos. Sabendo-se que a taxa de juros é de 25% ao semestre, calcular o valor pelo

qual esse empréstimo deverá ser quitado?

R = 1.708.984,39

4. Em que prazo uma aplicação de 272.307,03 em letras de câmbio, à taxa de 3,25% ao mês,

gera um resgate de R$ 500.000,00?

R = 19 meses.

5. Um terreno está sendo oferecido por R$ 450.000,00 à vista ou R$ 150.000,00 de entrada e

mais uma parcela de R$ 350.000,00, no final de 6 meses. Sabendo-se que no mercado a taxa

média para aplicação em títulos de renda prefixada gira em torno de 3,5% ao mês, determinar

a melhor opção para um interessado que possua recursos disponíveis para comprá-lo.

R = PRAZO.

6. A que taxa de juros um capital aplicado pode ser resgatado, no final de 17 meses, pelo dobro

do seu valor?

R= 4,162% ao mês.

7. Em quanto tempo um capital pode produzir juros iguais a 50% do seu valor, se aplicado a

3,755% ao mês?

R = 11 meses.

8. A aplicação de certo capital, à taxa de 69,588% ao ano, gerou um montante de R$ 820.000,00

no final de 1 ano e 3 meses. Calcular o valor dos juros?

R = 423.711,30

9. Qual é mais vantajoso: aplicar R$ 10.000,00 por 3 anos, a juros compostos de 3% ao mês, ou

aplicar esse mesmo valor, pelo mesmo prazo, a juros simples de 5% ao mês?

R = É melhor aplicar a juros compostos de 3% a m que renderá R$982,78 a mais que a 5% de

juros simples.

10. No fim de quanto tempo um capital aplicado à taxa de 4% ao mês, quadruplica o seu valor:

no regime de capitalização composta;

no regime de capitalização simples.

R = a) 35,35 meses b) 75 meses.

11. Uma loja financia um televisor de R$ 390,00 sem entrada para pagamento em uma única

prestação de R$ 700,00 no final de cinco meses. Qual a taxa mensal de juros cobrada por

ela?

R = 12,41% a m

12. Fiz uma aplicação em CDB no valor de R$ 600.000,00 pelo prazo de 85 dias e estimo que a

rentabilidade será de 25% ao bimestre. Qual é o montante final?

R = 823.076,91.

13. Foi oferecido a um aplicador um papel com rentabilidade de 750% ao ano. Qual a taxa

mensal?

R = 19,52% a m.

14. Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 2.700,00 pelo prazo de 12

meses a uma taxa de juros de 7,50% ao mês?

R = 3.730,80.

TAXAS EQUIVALENTES

Determinar as taxas equivalentes:

1. 584,11% ao ano em 60 dias? R: 37,78%

2. 750% ao ano em 63 dias? R: 45,43%

3. 0,5% ao mês em 1 ano? R: 6,17%

4. 17,56% ao mês em 90 dias? R: 62,47%

5. 28,55% ao mês em 1 dia? R: 0,84%

6. 1 % ao dia em 1 mês? R: 34,78%

7. 67% ao bimestre em 15 dias? R: 13,68%

8. 0,1% ao dia em 1 ano? R: 43,31%

9. 15% a quinzena em 1 mês? R: 32,25%.

Valor Atual e Valor Futuro

Presente, que significa o valor necessário na data 0 para que, considerando os juros

ocorridos, represente o mesmo Capital que todas as entradas e saídas do Fluxo completo,

    Analogamente, VF é o Valor Futuro, que será igual ao valor que terei no final do fluxo, após

juros, entradas e saídas. 

    Na fórmula M = P . (1 + i)n , o principal P é também conhecido como Valor Presente (PV =

presentvalue) e o montante M é também conhecido como Valor Futuro (FV =future value). 

    Então essa fórmula pode ser escrita como  FV = PV (1 + i) n,ou simplesmente: 

    F = P (1 + i) n

    Isolando PV na fórmula temos PV = FV / (1+i)n,ou simplesmente: 

    P = F / (1+i)n

    Na HP-12C, o valor presente é representado pela tecla PV.

Com esta mesma fórmula podemos calcular o valor futuro a partir do valor presente, para

cada entrada ou saída do fluxo.

    Exemplo:

Quanto representará, daqui a 12 meses, uma aplicação de R$1.500,00 a 2% ao mês?

    Solução:

         FV = 1500.(1 + 0,02)12 = R$ 1.902,36

Num fluxo, com várias entradas e saída, calculamos cada parcela no Presente ou no

Futuro e somamos.

    Neste exemplo, com 2% ao período:

    VF = -100x1,025- 250x1,024 +150x1,023 + 450x1,022 -350x1,02 + 300 = VP x1,025 

    VP = -100- 250/1,02 +150/1,022 + 450/1,023 -350/1,024 + 300/1,025 = VF/ 1,025 

Fluxos Especiais

    Dois tipos de fluxo de caixa aparecem muitas vezes no comércio financeiro:

Fluxo UNIFORME 

   Um valor A sai (ou entra) todos os períodos de 1 a n. A Relação entre VP e A é:

   P = A/(1+i) +A/(1+i)2 +A/(1+i)3+ A/(1+i)4 +... + A/(1+i)n 

    P = A. [ (1+i)(n-1) + (1+i)(n-2) +...  (1+i)2 + (1+i)+ 1] / (1+i)n

   Entre os colchetes está a  Soma (na ordem inversa) de uma P.G com Primeiro termo = 1 e

Razão =  (1+i)  

   P/A= [ (1+i)n  - 1] / [ i.(1+i)n ]

 

   Fluxo GRADIENTE  

   Um valor G no período 2; 2G,no período 3; 3G,no quarto e assim sucessivamente, até o período

n

  A Relação entre VP e G é: 

    P = G/(1+i)2 +2G/(1+i)3+3G/(1+i)4+... + (n-1)G/(1+i)n 

    P = G. [ (1+i)(n-2) + 2(1+i)(n-3) + 3(1+i)(n-4)+ ... + (n-1)] / (1+i)n

  É possível provar que esta soma resulta em:

   P/G= [ (1+i)n  - 1 - n.i ] / [ i2.(1+i)n]

Estas relações (P/A e  P/G), bem como outras (F/A, F/G, A/G, G/A,..) são tabeladas e servem para

resolver inúmeros problemas de fluxo de caixa. 

Taxa Interna de Retorno (TIR)

A  Taxa Interna de Retorno (TIR) de um Fluxo de Caixa é a taxa que ANULA o Valor

Presente (e Futuro) deste Fluxo.

A equação f(x) = 0 resultante de x = (i + i) pode ser resolvida numericamente pelo Método

Numérico Iterativo de Newton-Raphson: X = x - f(x)/f´(x), com x inicial próximo de 1. Para mais

detalhes, ver Zeros de Funções em CAN.

Primeira Prova de MAT – CC04 – Prof. Milton – 09/set/2003

1)    Uma compra custaria R$ 2000,00 a vista, mas foi paga com R$ 400,00 depois de um mês

(como se fosse uma entrada). A outra parte foi paga com R$ 20,00 no segundo mês, R$ 40,00 no

terceiro mês, R$ 60,00 no quarto mês e assim em diante, até quando (conhecida a taxa de juros

que era de 3% a.m.)?

Quanto restou para pagar no mês seguinte ? Resposta: até o 15º mês + R$ 114,97 no 16º mês.

2)    Que depósito agora, permitirá uma retirada mensal, perpétua de R$ 300,00 , supondo uma

taxa nominal de 16 % a.a. com capitalização trimestral (pelo saldo médio) ? Resposta: R$

22.800,00.

3)    Depois de quanto tempo um capital dobra de valor, se sujeito a juros compostos numa taxa

de 0,1% a.d. ?

Resposta: 1ano 10meses 29dias.

4)    Uma companhia depositou R$ 30.000 num fundo de reserva no fim de cada ano, desde 1995,

até o ano passado. Como este fundo está pagando uma taxa de 15% a.a., quanto terá no final do

próximo ano ? 

Resposta: R$ 544.611,55.

5) Em 09 de janeiro de 2004, deve-se quitar uma dívida no valor de R$ 4.000,00.

Se pagarmos agora, gastaremos quanto? considerando um desconto de

a) 2.00 % a.m. por fora ? Resposta: R$ 3.680,00.

b) 2,25 % a.m. composto ?  Resposta: R$ 3.659,37.

c) 2,50 % a.m. por dentro ?     Resposta: R$ 3.636,36.

Sistemas de Amortização e Empréstimos

 

Empréstimos

Em termos financeiros, a dívida surge quando uma certa importância é emprestada por um

certo prazo de tempo. Quem assume a dívida obriga-se a pagá-la da seguinte forma: o valor

tomado emprestado mais os juros devidos, no prazo estipulado no acordo inicial.

Os empréstimos classificam-se em:

Curto e médio prazos: caracterizam-se por serem saldados até 3 anos.

Longo prazo: sofrem um tratamento especial por existir várias modalidades de restituição

do principal e dos juros. Tais empréstimos têm suas condições previamente estipuladas por

contrato entre as partes, ou seja, entre o credor e o devedor.

Amortização

Conceito: Ato de pagar as prestações que foram geradas mediante tomada de empréstimo.

Período de amortização: é o intervalo de tempo existente entre duas amortizações

sucessivas.

  Prazo de amortização: é o intervalo de tempo, durante o qual são pagas as amortizações.

Parcelas de amortização: corresponde às parcelas de devolução do principal, ou seja, do

capital emprestado

Nos sistemas de amortização os juros serão sempre cobrados sobre o saldo devedor,

considerando a taxa de juros compostos, sendo que, se não houver pagamento de uma parcela,

levará a um saldo devedor maior, calculando juro sobre juro.

Saldo Devedor é o estado da dívida, ou seja, o débito, em um determinado instante de

tempo.