Álgebra Linear: Lista 1 IFBA – INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA Profa.: M. Rosangela Soares

ALUNO: ______________________________________________________________

1. Considere as matrizes ( )A aijx

=2 2

, tal que ai j i j

i jij =+ =

≠

,

,

0 e ( )B bij

x=

2 2, tal que b i jij = −2 3 .

Determine A B+ .

2. Determine x y. para que se tenha 1 2

18 4

1 1

3 4

x y

x

y

y x

−+

=

+−

.

3. Considere as matrizes A B C=−

= −

=

−

1 1

3 2

5 4

1 0

0 2

3 4, e . Mostre as seguintes propriedades:

a) ( ) ( )A B C A B C+ + = + + (associativa na adição). b) ( ) ( )A B B A+ = + (comutativa na adição). c) ( )A A+ − = 0 (matriz oposta).

d) ( )λ λ λA B A B+ = + ∀λ ∈ℜ, - λ = -2 (distributiva por escalar). e) ( ) ( )AB C A BC= (associativa na multiplicação). f) ( )A B C AC BC+ = + (distributiva à direita). g) ( )A B C AB AC+ = + (distributiva à esquerda). h) AB BA≠ (as matrizes não comutam necessariamente).

i) ( )A At t= .

j) ( )A B A Bt t t+ = + .

k) ( ) ( )λ λA At t= ∀λ ∈ℜ, .

l) ( )AB B At t t= (é falso ( )AB A Bt t t= ). 4. Considere as seguintes matrizes:

=

=

−−

=

−=

−=

116

45 e

43

21 ,

562

431 ,

76

05 ,

43

21EDCBA .

a) Determine 5 2A B− e 2 3A B+ . b) Determine A AA2 = e AC .

c) Mostre que as matrizes D e E comutam* e A e B não comutam*. (* DE = ED e AB ≠ BA)

5. Encontre as matrizes de ordem 2 e 3 que comutam, respectivamente, com:

a) 1 1

0 1

b)

1 1 0

0 1 1

0 0 1

6. Determine, se possível, x ∈ℜ para que a matriz

0 2 1

0 4

1 0

2

3

x

x x

x x

−+

seja:

a) simétrica. b) anti-simétrica

7. Dada a matriz A = −

2 0 2

1 1 2

0 3 0

, mostre que S AAt= é uma matriz simétrica. (O produto de uma

matriz quadrada A pela sua transposta At é uma matriz simétrica). Prove este resultado para matrizes de ordem 2 e 3 genéricas.

8. Seja A =

1 2

3 6. Ache uma matriz ( )B bij

x=

2 3, com todos os elementos distintos, tal que AB = 0 .

(observe que AB = 0 não implica A B= =0 0 ou ).

9. Seja A =−

− −− −

2 1 1

3 4 3

5 5 4

. Mostre que A é idempotente, isto é, A A2 = . Mostre que A A nn = ∀ ≥, 2 .

10. Seja

−−−−

−=

444

333

111

B . Mostre que B é nilpotente de índice 2, isto é , 0B2 = . Mostre que

2n,0Bn ≥∀= .

11. Dada a matriz M =−

∈ℜcos sen

sen cos ,

θ θθ θ θ

0

0

0 0 1

, calcule tMM e conclua que 1t MM −= .

12. Considere o polinômio ( ) xxxg 32 += . Calcule ( )Ag , sendo A = −

1 2

3 4.

13. Prove que se A, B e C são matrizes inversíveis de ordem n, então ( )ABC C B A− − − −=1 1 1 1. 14. Sejam A, B e C matrizes inversíveis de mesma ordem. Resolva as equações em X, sabendo-se que: a) A X B C. . = b) ( )A B X A. + = c) A C X B C. . . = d) ( ) ( )A B A X C C. . . .

− −=1 1 e) A B X B At t. . . − =1

15. Mostre que se A é uma matriz inversível de ordem 2, então ( ) ( )A At t− −=1 1 .

16. Resolva as equações matriciais abaixo:

a) 3 4

2 3

1

1

=

−−

. X

b)

1 0 0

2 1 0

2 3 1

5

7

2

=

.Y c)

2 2

5 5

1 2

3 5

1 7

2 7

+

=

.W

Respostas

1. 1 4

1 2

−

2. 10

4. a) −

−

−

5 10

27 34

17 4

12 13 e b)

7 6

9 22

5 9 6

5 33 32

−−

−− −

e

5. a) x y

xx y

0

∈ℜ, , b)

x y z

x y

x

x y z0

0 0

∀ ∈ℜ, , ,

6. a) x = 0 b) x = −2

7. S = −−

8 6 0

6 6 3

0 3 9

8. B = − − −

2 4 6

1 2 3. Existem outras.

11. MM I M Mt t= ⇒ = −1 . M é chamada de matriz ortogonal.

12.

− 220

010

14. a) X A C B= − −1 1. . b) X I B= − c) ( )X B C A C= − −

. . .1 1 d) X B= e) ( )X B A A Bt t=

− −1 1. . .

16. a) X = −

1

1 b) Y = −

5

3

1

c) W =− −

1 21

0 13

Exercícios do livro de Algebra Linear – Boldrini/Costa/ Figueredo/Wetzler – 3ª edição Página 11 – 13 Exercícios: 01; 02; 03; 04; 05; 06; 07; 10; 13 e 15.