Lista de Cálculo Diferencial e Integral I

Taxas de Variação e Taxas Relacionadas

1. Um forno industrial coze a temperatura constante de 608 graus centígrados. A temperatura doforno, desde o início em que é ligado até atingir a temperatura de cozedura, é dada por: T (t) =20t2 + 5t+ 32

t+ 2, t em minutos e T (t) em ◦C. Determine:

(a) a temperatura inicial do forno?

(b) a variação da temperatura no intervalo de tempo [2, 10].

(c) a variação instantânea da temperatura para t = 10.

R: 16◦C, 17,875◦C, 19,29◦C por minuto.

2. O valor de um automóvel ao �m de t anos é dado por V (t) = 50000e−0.12t, sendo V dado em reais et em anos.

(a) Por qual preço foi comprado o automóvel?

(b) Represente gra�camente a função e determine o valor aproximado do automóvel daqui a 5 anos.

(c) A taxa de variação é negativa para qualquer valor de t. Justi�que esta a�rmação e interpreteeste fato no contexto da situação.

(d) Em que momento a taxa de variação é -2500 reais ao ano?

(e) Mostre que o grá�co V ′ tem uma assíntota horizontal. Qual o seu signi�cado relativo à situação?

R: (a) 50000 reais (d) 7,3 anos.

3. Um carro está a s(t) = 16t32 − 24t+ 16 km a leste de uma parada no instante t horas. Pergunta-se:

(a) Qual é a velocidade no instante t =1

4h e qual é o sentido que ele se move?

(b) Qual a posição do carro quando sua velocidade é nula?

R: (a) v(1/4) = −12km/h e está indo na direção oeste (b) s(1) = 8km

4. Dois corpos têm movimento em uma mesma reta segundo as equações s1 = t3 + 4t2 + t − 1 es2 = 2t3 − 5t2 + t+ 2. Determine a velocidade e as posições desses dois corpos no instante em que assuas acelerações são iguais. Considere s1 e s2 em metros e t em segundos.R: t = 3s; v1(3) = 52m/s; v2(3) = 25m/s; s1(3) = 65m; s2(3) = 14m

5. Dois pontos partem da origem do eixo x no instante t = 0 e se movem ao longo desse eixo de acordocom as equações x1 = t2 − 2t e x2 = 8t− t2, com x1 e x2 em metros e t em segundos.

(a) Em que instante os dois têm mesma velocidade?

(b) Qual a velocidade desses pontos no instante em que eles têm a mesma posição?

R: (a) 2,5s (b) t = 0s ⇒ v1 = −2cm/s e v2 = 8cm/s; t = 5s ⇒ v1 = 8cm/s e v2 = −2cm/s

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6. Um dos lados de um triângulo equilátero aumenta à razão de 2, 5cm/s. Qual a taxa de crescimentoda área do triângulo no instante em que cada lado mede 12cm?R: 1√3.

7. Dois carros, um dirigindo-se para leste com velocidade de 80 km/h, o outro dirigindo-se para sul comvelocidade de 50 km/h, estão viajando em direção ao encontro das rodovias. A que velocidade oscarros se aproximam um do outro, no momento em que o primeiro carro está a 400 m e o segundoestá a 300 m da interseção das rodovias?R: 94km/h

8. Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto com raio da base de 5m e altura de 10m. Seinstante t = 0s, a água começa a �uir no tanque à razão de 25m3/h, determine:

(a) com que velocidade sobe o nível da água?

(b) quanto tempo levará para encher o tanque?

R: (a) 1πm/h (b) 31, 4h.

9. Um avião (A) voa a 124m/s, paralelamente ao solo, a uma altitude de 1220m no sentido oeste,tomando como referência um holofote (H), �xado no solo, que o focaliza e que se encontra à esquerdada projeção vertical (P) do avião e sabendo que a luz do holofote deverá permanecer iluminandoo avião, qual será a velocidade com que θ estará variando quando a distância entre o holofote e aprojeção vertical do avião for de 610m?R: 0, 08rad/s

10. Um balão está subindo verticalmente acima de uma estrada a uma velocidade constante de1

3m/s.

Quando ele está a 17m acima do solo, uma bicicleta que se desloca a uma velocidade constante de5m/s passa por baixo dele. A que taxa a distância entre a bicicleta e o balão aumentará 3s depois?R: 27/

√61m/s.

11. Uma piscina tem 24m de comprimento e seus extremos são trapézios isósceles com altura de 6m, umabase menor 6m e uma base maior de 8m. A água está sendo bombeada para a piscina à razão de10m3/mim. Com que velocidade o nível de água está subindo quando a profundidade da água é de2m?R:0, 0625m/min.

12. Uma bola derrete de tal forma que a área de sua superfície decresce a uma taxa de 1cm3/min, encontrea taxa segundo a qual o diâmetro decresce quando o diâmetro é 10cm.R: −120π cm/mim

13. Suponha que as aresta x, y e z de um paralelepípedo de faces retangulares estão vairando a umavelocidade de 1m/s, −2m/s e 1m/s, respectivamente. Encontre a taxa de variação:

(a) do volume

(b) da área super�cial

(c) da diagonal

do paralelepípedo quando x = 4m, y = 3m e z = 2m.R: (a) 2m3/s (b) 0m2/s (c) n0m/s.

14. Um cabo de cobre tem diâmetro de 1cm a 0◦C. Suponha que seu comprimento é de 1m e não sealtera com a variação da temperatura. Se seu diâmetro aumenta a uma velocidade de 0, 02cm/◦C,calcule a taxa de variação do volume desse cabo quando a temperatura está a 20◦C.R: 1, 4cm3/◦C.

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15. Às 7 horas dois navios partem de um ponto O em rotas que formam um ângulo de 120◦. Os navios Ae B deslocam-se a 20km/h e 25km/h, respectivamente. Determine qual é a velocidade de afastamentodesses navios às 9 horas.R: 5√61km/h

16. Dada uma escada de 4 metros de comprimento apoiada em uma parede. A base da escada está a 2mde distância da parede, mas de repente ela começa a deslizar pelo chão a 2m/s. Assim conforme abase da escada se afasta da parede o topo dela desliza em2 direção ao chão. Qual a velocidade que otopo da escada desce quando ele está a 3m de altura?R: −83 m/s.

17. A lei de Boyle para a expansão de um gás é PV = C, onde P é a pressão, V é o volume de gás e Cé uma constante. Encontre a taxa de variação do volume por variante de uma unidade de pressão noinstante em que P = 4 e V = 8. Interprete o sinal na resposta.R: −2.

18. Um vazamento de óleo se espalha sobre a superfície de um lago formando uma mancha circular. Emdeterminado instante, a mancha tem um raio de 100 metros, que cresce a uma taxa de variaçãoinstantânea de 10 metros por hora. Usando π = 3, estima-se que, nesse instante, a área da superfíciedo lago coberta pela mancha de óleo está crescendo, em m2/h, a uma taxa instantânea igual a:R: 6000m2/h.

19. Um avião decola formando um ângulo de 45o com a superfície. Se sua velocidade é constante e de400m/s, calcule a variação da altura que o avião adquire em relação ao tempo.R: 200

√2m/s

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