5Lista de exercícios nº 3

Diagramas de esforços solicitantes

1 - Traçar os diagramas de esforços solicitantes e indicar as reações de apoio:

6

Obs.: A viga é carregada por um momento uniformemente distribuído ao longo de seu comprimento.

7

8

Reações de apoio:M

M M Y l YMl

Y Y Y

YMl

X X

A

B B

A B

A

A

∑

∑

∑

=

⇒ − + ⋅ = ⇒ = −

= ⇒ + =

⇒ = +

= ⇒ =

0

2 0

0 0

0 0

0 00

0

Reações de apoio:( ) ( )

Y kN

Y kNX

A

B

A

=⋅ ⋅ + + ⋅

=

= ⋅ + − ==

6 4 2 2 12 16

18

6 4 12 18 180

Diagramas: 0 4≤ ≤x( )

( )

( )

M x x x

V x x

V x m

M M x kNm

= −

= −

= ⇒ =

= = =

18 3

18 6

0 3

3 27

2

max

9Determinar as reações de apoio e traçar os diagramas de esforços solicitantes da estrutura abaixo:

3 - Determinar os esforços solicitantes na seção S:

10

Determinação das reações de apoio:

X XY Y YM Y

A

A B

A B

= ⇒ + = ∴ = −= ⇒ + = + + =

= ⇒ − ⋅ − ⋅ + − ⋅ = ∴ =

∑

∑

∑

0 6 00 24 6 8 38

0 24 3 6 6 12 8 15 0

X 6kN

Y 19kN

A

B

Y YA B= − ∴ =38 Y 19kNA

Determinação dos esforços solicitantes:

N kNV V kNM M kNm

S

S S

S S

== − ∴ = −

= ⋅ − ⋅ ⋅ ∴ = +

619 24 5

19 6 4 6 3 42

Sugestão: Para conferir os resultados obtidos, determine agora os esforços solicitantes vindo pela direita.Deverão ser obtidos os mesmos esforços solicitantes nos dois casos.4 - A partir dos diagramas de V e M, determinar os esforços externos ativos e reativos:

11

5 - Traçar os diagramas de esforços solicitantes:

12

Reações de apoio (para 5.2):

( )[ ]

M Y X

Y X

X em

Y Y Y

A B

C B

A C

C∑

∑

∑

= ⇒ − − + + =

+ =

= ⇒ = − ← ⇒ = ↑

= ⇒ + = ⇒ = ↑

0 2 2 2 6 8 4 0

2 4 1

0 1

0 4

. . . .

. ...................................( )

...X Y

Y

B C

A

2kN 3kN

1kN

13

Reações de apoio: Reações de apoio:

( )[ ]

X O XY Y YM

Y

em

A

A B

A

B

= ⇒ = + − = →= ⇒ + + + =

= ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ + ⋅ = ⇒ = − ↓

⇒ = ↑

∑

∑

∑

2 9 18 180 5 5 0 1

0 18 4 5 18 9 5 3 5 6

18 4 5 9 0

1

.....................( )

,

,

18kN

23kN

13kNB

A

Y

Y

( )

( )[ ]

X X

Y Y Y

M Y

em

B

A B

A B

= ⇒ − + == − ←

= ⇒ + =

= ⇒ − ⋅ + + ⋅ − ⋅ +

+ ⋅ = ⇒ = ↑

⇒ = − ↓

∑

∑

∑

0 32 1 0

0 3 1

0 6 15 6 4 3 6

1 3 0

1

.

..............

,

X 5kN

Y 4,5kN

Y 1,5kN

B

B

A

146 - A estrutura da figura está em equilíbrio sob a ação de um determinado carregamento. Conhecidos osdiagramas de esforços solicitantes, pede-se isolar o nó C e indicar os esforços solicitantes e os esforçosexternos que nele atuam:

15

7 - Determinar N, V e M nas seções A,B,C,D e E e traçar os diagramas de esforços solicitantes:

Reações de apoio:

( )[ ]

X P X X O

Y Y P

M X a Y a X Y em

A E

A

O E A E A

= ⇒ + + =

= ⇒ − = ⇔ = ↑

= ⇒ − − = ⇔ = − ⇒ = ← ⇒ =

∑

∑

∑

0 222

1

0 222

0

0 0 1

. .................................................................( )

. . ...

Y P

X P X 0

A

E A

168 - Traçar os diagramas de esforços solicitantes:

17

189 - Determinar as reações de apoio e traçar os diagramas de esforços solicitantes:

Cálculo dasreações:Adotando-se inicialmente todas as reações com sentido concordando com a orientação de seusrespectivos eixos, tem-se:rR X P

Y YZ Z Z PM Pa a Z Z P

M Pa P a Z a

M PA P a Y a O

D

C D

C D F

D x F F

D y C D

D z C

= ⇒ =⇒ + =⇒ + + =• = ⇒ = ⇒ =

• = ⇒ + = ⇒ = ⇒ = −

• = ⇒ + + = ⇒ = − ⇒ =

∑

∑

∑

0 30

30 2 2

0 252

2

0 2 3 2

,

,

,

.

.

. .

Z 3P Z P

Y 3,5P Y 3,5P

C

C D

19

Cálculo das reações:rR X

Y YZ Z ZM Z

M YM Z Z Y

B

B D

A B C

B Y C

B Z D

B X A C D

= ⇒ + = ⇒ = −⇒ + =⇒ + + =• = ⇒ + = ⇒ = −

• = ⇒ = ⇒ = ⇒ =• = ⇒ + + = + ⇒ = ⇒ =

∑

∑

∑

0 3 06

20 4 32 0

0 4 340 4 4 2 2 2 61

X 3kN

Z 1,5kN

Y 3kN Y 3kNZ 2,5kN Z 1kN

B

C

D B

A B

,

,

,

. .

. .. . . . .