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  • Programao Linear Modelos tpicos

    INVESTIGAO OPERACIONAL (MS edio de 2006)

    II-1

    II. Exemplos Tpicos de Formulao Matemtica do Modelo de PL

    Nota: Os exemplos apresentados devem ser resolvidos recorrendo ao software do autor. Faa sempre um boneco que ajude a fixar as variveis de deciso e as restries tcnicas.

    1. Utilizao de Mquinas Uma metalomecnica utiliza 3 mquinas (M1 , M2 , M3 ) na manufactura de 3 produtos (A, B e C). Uma unidade do produto A necessita 4 horas da mquina M1 , 2 horas da mquina M2 e 1 hora da mquina

    M3. Para o produto B so necessrias, respectivamente 3, 5, 2 horas enquanto para o produto C so

    necessrias 2, 4, 5 horas. O lucro de venda, por unidade, de 35 u.m. para A, 45 u.m. para B e 40 u.m. para C. Estando prevista a disponibilidade de 180 horas de M1 , 155 horas de M2 e 160 horas de M3 de que modo se

    optimiza a produo? Para formular o modelo de PL de interesse organizar a informao disponvel no quadro seguinte:

    Produto A B C

    Horas disponveis

    Mquina 1 4 3 2 180 Mquina 2 2 5 4 155 Mquina 3 1 2 5 160 Lucro (u.m.) 35 45 40

    necessrio decidir o nvel de produo dos produtos A, B e C pelo que se consideram 3 Variveis de Deciso xA , xB e xC .

    Os valores para estes nveis de produo s so admissveis se, alm de no negativos e inteiros

    (xA , xB , xC 0 e Int.), forem possveis no tempo disponvel de cada uma das trs mquinas pelo que as Restries Tcnicas e Lgicas so as seguintes:

    4xA + 3xB + 2xC 180 2xA + 5xB + 4xC 155 xA + 2xB + 5xC 160 xA , xB , xC 0 e Inteiro

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    A deciso sobre os nveis de produo efectuada luz do critrio da maximizao do lucro total da venda pelo que, atendendo aos lucros unitrios, se tem a Funo Objectivo para Maximizar:

    Max f(X) = 35xA + 45xB + 40xC Recorrendo ao software do autor a entrada de dados a seguinte:

    e a soluo ptima a seguinte:

    Produzir 34 unidades de A, 2 unidades de B e 19 unidades de C. Lucro total mximo = 2040 u.m.

    II-2

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    II-3

    2. Turnos de Produo Uma fbrica txtil labora em 3 turnos : 7 s 15 horas ; 15 s 23 horas ; 23 s 7 horas. Em cada turno necessita de modelistas, costureiras e embaladoras que auferem por hora de trabalho, respectivamente 23, 19 e 7.5 u.m. As modelistas e costureiras auferem um adicional de 2 u.m./hora quando trabalham no ltimo dos turnos indicados sendo o salrio das embaladoras, neste turno, de 8.5 u.m./h. As necessidades da produo exigem, em cada turno, 1 hora de modelista por cada 3 horas de costureira no podendo haver mais do que um total de 200 horas de embaladora em cada turno. Pretende-se que o total de horas de trabalho de modelistas e costureiras seja no mnimo de 400 horas no turno da manh, 376 horas no turno da tarde e 270 horas no turno da noite. Devendo haver, no mnimo, 600 horas de trabalho em cada turno, como fixar o contributo de cada par categoria/turno em horas completas ? necessrio decidir o nmero de horas de trabalho, em cada turno, por cada tipo de trabalhador pelo que se consideram as seguintes Variveis de Deciso:

    Horas de trabalho 1 turno 2 turno 3 turno Modelistas x11 x12 x13 Costureiras x21 x22 x23 Embaladoras x31 x32 X33

    Para estas variveis s so admissveis valores que, alm de no negativos e inteiros

    (xij 0 e Int. ; i, j =1, 2, 3), satisfaam as seguintes condies: a. Em cada turno, 1 hora de modelista por cada 3 horas de costureira; no primeiro turno as modelistas

    fazem x11 horas e as costureiras fazem x21 horas o que exige que para x11 = 1 hora o valor de x12

    deve ser 3 horas. A Restrio Tcnica ento:

    1 turno: 3x11 = x21 ou 3x11 - x21 = 0

    Para os turnos seguintes tm-se de forma similar as Restries Tcnicas:

    2 turno: 3x12 = x22 ou 3x12 - x22 = 0 3 turno: 3x13 = x23 3x13 - x23 = 0

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    II-4

    b. Em cada turno, o nmero de horas das embaladoras no deve exceder 200 horas; estas operrias fazem, em cada turno, respectivamente x31 , x32 e x33 horas de trabalho pelo que se estabelecem as

    Restries Tcnicas:

    1 turno: x31 200 2 turno: x32 200 3 turno: x33 200

    c. O total de horas das modelistas e costureiras, em cada turno, no deve ser inferior a 400 horas no

    turno da manh, 376 horas no turno da tarde e 270 horas no turno da noite; atendendo s variveis de deciso estabelecidas tm-se as Restries Tcnicas:

    1 turno: x11 + x21 400 2turno: x12 + x22 376 3 turno: x13 + x23 270

    d. O total de horas de trabalho em cada turno no deve ser inferior a 600 horas; no primeiro turno, o

    total de horas de trabalho igual soma de x11 , x21 e x31 do que resulta a Restrio Tcnica:

    1 turno: x11 + x21 + x31 600

    Para os turnos seguintes tm-se de forma similar as Restries Tcnicas:

    2turno: x12 + x22 + x32 600 3 turno: x13 + x23 + x33 600

    Como j foi referido, os valores das variveis de deciso s so admissveis se no negativos e inteiros pelo

    que as Restries Lgicas so xij 0 e Inteiro ( i=1 a 3 ; j=1 a 3) A deciso sobre o nvel das horas de trabalho em cada turno de produo efectuada luz do critrio da minimizao do custo total pelo que, atendendo aos custos unitrios da mo de obra, se tem a Funo Objectivo para Minimizar:

    Min f(X) = 23x11 + 23x12 + 25x13 + 19x21 + 19x22 + 21x23 + 7.5x31 + 7.5x32 + 8.5x33

    Nota: Os custos/hora da mo de obra so nos 1 e 2 turnos 23, 19 e 7.5 u.m. respectivamente para modelistas, costureiras e embaladoras. No 3 turno aqueles custos aumentam 2 u.m. para as duas

    primeiras categorias e de 1 u.m. para as embaladoras.

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    Recorrendo ao software do autor a entrada de dados a seguinte:

    e a soluo ptima a seguinte:

    ptimo 1 turno 2 turno 3 turno

    Modelistas 100 h 100 h 100 h Costureiras 300 h 300 h 300 h Embaladoras 200 h 200 h 200 h

    Custo Total Mnimo

    29500 u.m.

    II-5

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    II-6

    3. Produo de Conjuntos de peas Uma empresa produz 3 componentes (A, B, C) para mquinas de barbear. A Seco 1 produz os componentes A e B e a Seco 2 produz apenas o componente C. As actuais condies de produo so as seguintes:

    Produo / hora A B C Tempo disponvel por semana (h)

    Seco 1 8 5 100 Seco 2 14 30

    A montagem de 1 mquina de barbear necessita de 1 componente A, 1 componente B e 1 componente C pelo que a produo deve ser equilibrada para garantir esta exigncia. Sendo de 10 u.m. o lucro unitrio da venda da mquina de barbear como optimizar a produo ? necessrio calcular o nmero de componentes a produzir em cada Seco pelo que as Variveis de Deciso so:

    A B C Seco 1: x1A x1B no produz Seco 2: no produz no produz x2C

    Na seco 1, so feitas 8 peas A por hora de laborao pelo que para produzir uma unidade de A so

    necessrias 1/8 horas. De forma similar tem-se 1/5 horas para uma pea B e 1/14 horas para uma pea C.

    Atendendo ao tempo semanal disponvel em cada seco, tm-se as Restries Tcnicas:

    Seco 1: 1/8 x1A + 1/5 x1B 100 Seco 2: 1/14 x2C 30

    O conjunto de montagem tem um componente de cada tipo; para equilibrar a produo necessrio que:

    N de comp. A = N de comp. B = N de comp. C: x1A = x1B = x2C

    As duas Restries Tcnicas a estabelecer traduzem a relao transitiva:

    x1A = x1B x1B = x2C

    A deciso sobre o nmero de "conjuntos de peas" a produzir efectuada luz do critrio da maximizar o lucro total da venda das mquinas de barbear. Como o nmero destas igual ao nmero de componentes A (ou B ou C), atendendo ao lucro unitrio da venda tem-se a Funo Objectivo para Maximizar:

    Max f(X) = 10x1A ou Max f(X) = 10x1B ou Max f(X) = 10x2C Os valores das variveis de deciso (nveis de produo de A, B e C) s so admissveis se no negativos e

    inteiros pelo que as Restries Lgicas so x1A , x1B , x2C 0 e Inteiro

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    Recorrendo ao software do autor a entrada de dados a seguinte:

    e a soluo ptima a seguinte:

    Produzir 307 unidades de A, 307 unidades de B e 307 unidades de C Lucro total mximo = 3070 u.m.

    II-7

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    II-8

    4. Optimizao de Necessidades de Pessoal Uma empresa tem vrias cervejarias em Lisboa que funcionam todos os dias da semana durante 8 horas consecutivas. Os seus empregados trabalham semanalmente, 5 dias consecutivos podendo a empresa fixar o 1 dia de servio em qualquer dia da semana. As necessidades mnimas de pessoal em cada dia da semana so as seguintes:

    Domingo Segunda Tera Quarta Quinta Sexta Sbado N mnimo de empregados 90 50 30 70 60 70 100

    Como minimizar o total de empregados necessrios satisfao das necessidades referidas ? necessrio calcular o nmero de empregados que, em cada dia, iniciam os seus 5 dias consecutivos de trabalho pelo que as Variveis de Deciso so:

    Domingo Segunda Tera Quarta Quinta Sexta Sbado x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

    Os x1 empregados que iniciam os seus 5 dias no Domingo, mantm-se at Quinta (so 5 dias consecutivos).

    Estabelecendo idntico raciocnio para os restantes dias da semana estabelece-se o seguinte quadro:

    Domingo Segunda Tera Quarta Quinta Sexta Sbado x1 x1 x1 x1 x1 x2 x2 x2 x2 x2 x3 x3 x3 x3 x3