UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARAN - UTFPR

Campus Londrina

1

Disciplina: Clculo Diferencial e Integral III

1 LISTA: SEQUNCIAS E SRIES CONVERGENTES E DIVERGENTES

1. Ache os quatro primeiros termos da sequncia dada e lim nn

a

, se existir.

a) 3 2

n

n

b) 1 0,1 n

2. Determine se a sequncia converge ou diverge; se convergir, ache o limite.

a) 5

66

n

b) arctg n

c) 1.000 n d) ln

1n n

n

e) 4

2

4 1

2 1

n

n

f)

4

ne

n

g) 1

1

n

n

h) 2 2

2 1 2 1

n n

n n

Resposta: a) C; 0 b) C; 2

c) D d) C;0

e)D f) D g) C; e h) C; 1

2

3. Determine se a sequncia dada crescente, decrescente ou monotnica. A

sequncia limitada?

a) 1

2 3na

n

b) cos

2n

na

c) 2 1

n

na

n

Resposta: a) decrescendo; sim b) No monotnica; sim c) decrescendo; sim

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2

Srie telescpica , srie geomtrica e teste do n-simo termo

4. Dada a srie infinita, obtenha uma frmula para nS em termos de n . Determine

tambm se a srie infinita convergente ou divergente; se for convergente,

encontre a sua soma.

a) 1

1

2 1 2 1n n n

b) 1

5

3 1 3 2n n n

c)

1

ln1n

n

n

Resposta:

a) 1

;2 1 2

n

nS

n

b)

5 5;

3 1 3n

nS

n

c) ln 1 ; divergentenS n

5. Determine se a srie converge ou diverge. Se for convergente, obtenha a sua

soma.

a) 1

2

3

n

n

b) 1

1ln

n n

c) 1

n

n

e

d) 1

10

3nn

e)

1

1

3

4

n

nn

f)

1

1

2n n n

g) 1

2 0,1 0,2n n

n

h) 2

1 1n

n

n

i)

1

3 2

6

n n

nn

j) 2

1

1n

n e

k) 1

0

4

5

n

nn

l)

2

1

1

2n

n

n n

m) 2

1

2

4 3n n n

n)

1

ln2 5n

n

n

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3

Resposta:

a) 2 b) D c) 1

1e d) 5

e) 1

7 f)

3

4 g)

17

36 h) D

i) 3

2

6. Seja 2

3 1n

na

n

.

a) Determine se na convergente.

b) Determine se na convergente.

Resposta: a) C b) D

Teste da integral

7. Verifique as condies do teste da integral e determine se a srie converge ou

diverge.

a) 1

n

n

ne

b) 1

1

lnn n n

c) 32

ln

n

n

n

d) 1

21

n

n

e

n

Resposta:

a) C b) D c) C

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4

Teste da comparao e teste da comparao no limite

8. Determine se a srie converge ou diverge.

a) 2

1

1

1n n n

b)

1

5

2 3nn

c) 2

1

1

n

n

n

d) 1

3

2nn n

e) 1

1

1 2n n n n

f)

1

3 cos

3nn

n

g) 5

1 4n

n

n

h)

2

2 61

1

1n

n n

n n

Resposta:

a) C b) C c) D d) C e) C f) C g) C h) D

Sries alternadas

9. Determine se a srie converge ou diverge.

a)

1

1

1n

n n

b)

1

21

4 1

n

n

n

n

c)

1

21

1

4 1

n

n n

d) 1

1

14

n

n

n

n

e) 1

1ln

n

n

n

n

f) 1

ln1

n

n

n

n

Resposta:

a) C b) D c) C d) D e) C

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5

Convergncia Absoluta, teste da razo e teste da raiz

10.Determine se a srie absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

a) 1

2

3

n

n

b)

1

1

21

!

nn

n n

c) 2

1 !n

n

n

d) 11

!1

2

n

nn

n

e) 31

1 2sen

nn

n

f)

1

22

11

ln

n

n n n

g) 1n

sen n

n

h) 2 ln

nn

n

n

i) 1 !

n

n

n

n

j)

1

1

1n

n n n

k)

3

1

3n

n n

l)

1

1

5

n

n n

m) 1

15

n

n

n

n

n) 1

1

2 !n n

o)

11

3

4

n

nn

n

p)

1

3 41

11

1

n

n n

Resposta:

a) AC b) AC c) AC d) D

e) AC f) AC g) AC h) AC

i) D j) AC k) D l) CC

m) AC n) AC o) AC p) CC

11.Determine se a srie converge ou diverge. Se convergir, ache a sua soma.

a)

12

2 1

n nn

n b)

12

1

n nn

n

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6

c)

12 239

1

n nn d)

1 1ln

n n

n

e)

1

145

n

nn f)

1

11

n

n

g)

1

132n

nn h) 1

2

2 5 2 3n n n

i) 2

1

1

4 1n n

j)

1

3 2

6

n n

nn

Resposta: d) D f) D g) D h) C; 1

5

i) C; 1

2 j) C;

3

2

12.Deixa-se cair uma bola de borracha de uma altura de 10 metros. A bola repica aproximadamente metade da distncia aps cada queda. Use uma srie geomtrica

para aproximar o percurso total feito pela bola at o repouso completo.

Resposta: 30m

13.Mostre que a funo f determinada pelo n-simo termo da srie verifica a hiptese

do teste da integral. Use o teste da integral para determinar se a srie converge ou diverge.

a)

1

2 3

n

nen b)

3

ln

n n

n

Resposta: a) C b) D

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7

14.Se a srie de termos positivos, determine se converge ou diverge; se a srie

contm termos negativos, determine se absolutamente convergente,

condicionalmente convergente ou divergente.

a)

1 3 21

1

n nnn b)

1ne

n

n

e

c)

1

1

3

2

n

n

d)

1

1

11

n

n

n

n

e)

11

12

5

3

nn

n

n f)

12

2

nn

n

n

n

g)

1 1ln

!

n n

n h)

1

2

!12n

n

n

e

i)

1

12 29n

nn

j)

1

ln1

n

n

n

n

k) 1

11

n

nn n

l) 21

1 cos

n

n

n

Resposta: a) C b) D c) AC d)CC e)D f)C

g)D h) C i) AC j) CC k) D l) C

Srie de Potncias

15.Ache o intervalo de convergncia da srie.

a) nn

n

nx

n 1

41

2

0

b) nn

nx

n4

10

1

0

c)

0 3

1

n

n

nx

n d)

n

n

xn

n

22 1

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8

e) nn

nx

n10

2

1

1

f) nn

nn

xn

n3

11

1

g) 1

1

11

n n

n

xn

h)

2

0

2

2 !

nn

n

xn

i) 1

11 2 1

6

n n

nn

xn

Resposta: b) 6,14 c) 3,3 d) 1,1

e) 12, 8 f) converge s se 3x g) 1,1 h) ,

i) 5 7

,2 2

16.Desenvolva f x em srie de potncias.

a) 1

1 3f x

x

b)

1

2 7f x

x

c) 3xf x xe d) 3 xf x x e

e) 2 2ln 1 , 1f x x x x f) , 1f x arctg x x

Resposta: a) 0

13 ,

3

n n

n

x x

b) 0

1 7 21 ,

2 2 7

nn n

n

x x

c) 1

0

3

!

nn

n

xn

d) 30

11

!

n n

n

xn

e) 2 40

11

1

n n

n

xn

f) 2 1 / 20

11

2 1

n n

n

xn

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9

17.Ache a srie de Maclaurin para xf e indique o raio de convergncia.

a) 2cos xxf d) xxexf 2 b) xsenxxf 2 e) xxf 2ln c) xsenxxf cos f) xxf 2cos

Resposta:

c)

22 121

2 1 !

nn nx

n

f) (Use a frmula do ngulo metade)

2 12

1

21 1

2 !

nn n

n

xn

18.Ache uma srie de Taylor para xf em c .

a) 3

;cos

cxxf c) 4

;

csenxxf

b) 2;1

cx

xf d) 3; cexf x

Resposta:

b) 10

11 2

2

n n

nn

x

c)

2 1 2

0 0

1 11 1

4 42 2 1 ! 2 2 !

n nn n

n n

x xn n

19. (a) Desenvolva f x em srie de potncia e indique o intervalo de convergncia.

(b) Represente f x e f x dx em srie de potncias.

a) 1

1 3f x

x

b)

1

2 7f x

x

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10

Resposta:

a) 1 1

0 1 0

33 ; 3 ;

1

nn n n n n

n n n

x n x xn

b)

1 1

0 1 0

1 7 1 7 1 71 ; 1 ; 1

2 2 2 2 2 1 2

n n nn n nn n n

n nn n n

nx x x

n

20.Ache uma srie de potncias de 2 1

1

xf x

x

e determine o raio de convergncia.

R: 2

1 2 ; 1n

n

x x r

21. Ache a srie de Maclaurin para xf e indique o raio de convergncia. d) 2cos xxf e) xxexf 2 e) 3f x x sen x f) xxf 2ln

f) xsenxxf cos g) xxf 2cos g) cos 2f x x

(Sugesto: item (g); use a frmula do ngulo metade)

Resposta:

b)

2 12 2

0

31

2 1 !

nn n

n

xn

d)

22

0

21

2 !

nn n

n

xn

g)

2 12

1

21 1

2 !

nn n

n

xn

22. Ache uma srie de Taylor para xf em c.(No preciso verificar que lim 0n

nR x

)

d) 3

;cos

cxxf c) 4

;

csenxxf

e) 2;1

cx

xf d) 3; cexf x

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11

Resposta:

b) 10

11 2

2

n n

nn

x

c)

2 1 2

0 0

1 11 1

4 42 2 1 ! 2 2 !

n nn n

n n

x xn n

23. Use os dois primeiros termos no-nulos de uma srie de Maclaurin para aproximar

o nmero e estime o erro na aproximao.

a) 1

e d) 1e

b) cos 3 e) ln1,5

c) 0,5

2

0

cos x dx

Resposta:

d) a) 0,5 ; 0,125 b) 70,9986 ; 3,13 10

e) c) 60,4969 ; 9,04 10

24. Aproxime f por um polinmio de Taylor com grau n em c . b) Use a Desigualdade

de Taylor para estimar a preciso da aproximao nf x P x quando x estiver no intervalo dado.

a) , 4, 2, 4 4,2f x x c n x

b) , , 5, 04 2

f x senx c n x

c) 3 4 , 16, 3, 15 17f x x c n x

Resposta:

a) 2 51 12 4 4 ; 1,5625 10

4 64x x

b) 2 3 4 5

1 1 1 1 1 1; 0,00033

4 4 4 4 42 2 2 2 6 2 24 2 120 2x x x x x

c) 2 33 3 5

8 16 16 16 ; 0,00000348 1024 65536

x x x