Matemtica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves3 Material didtico elaborado por: Professor Mestre Anderson Dias Gonalves TODOS OS DIREITOS RESERVADOS Este material foi desenvolvido com o objetivo nico e exclusivo para o uso nas aulas ministradas pelo Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves. A reproduo deste material fica autorizada desde que concedida pelo autor. Contato: andersonmatematico@gmail.com site: www.treinarteducacional.com.br/anderson Copyright Anderson Dias Gonalves 2011. Matemtica 4Matemtica Bsica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves Sumrio CAPTULO 1 Conjuntos 1. Introduo ...................................................................................................................................... 6 2. Noes de conjuntos .................................................................................................................... 6 3. Principais Conjuntos Numricos ................................................................................................ 7 4. O Conjunto dos nmeros reais ................................................................................................... 9 6. Subconjuntos ............................................................................................................................... 10 7. Operaes entre conjuntos ....................................................................................................... 10 8. Nmero de elementos de um conjunto ................................................................................... 11 9. Intervalos ...................................................................................................................................... 12 1. Introduo .................................................................................................................................... 13 2. Expresses numricas ............................................................................................................... 13 4. Mnimo Mltiplo Comum (m.m.c) ............................................................................................. 14 5. Mximo Divisor Comum (m.d.c) ............................................................................................... 14 6. Fraes ordinrias ...................................................................................................................... 15 7. Propriedades de Fraes .......................................................................................................... 16 8. Potncias ...................................................................................................................................... 19 9. Propriedades de Potncias ....................................................................................................... 19 10. Radicais ...................................................................................................................................... 22 11. Operaes algbricas .............................................................................................................. 25 1. Introduo .................................................................................................................................... 29 2. Nmeros e Grandezas Proporcionais ..................................................................................... 29 3. Grandeza Diretamente Proporcional ....................................................................................... 29 4. Grandeza Inversamente Proporcional ..................................................................................... 29 5. Razo e proporo ..................................................................................................................... 30 6. Propriedades das propores ................................................................................................... 31 7. Regra de trs simples ................................................................................................................ 34 8. Regra de trs composta............................................................................................................. 35 9. Porcentagem ............................................................................................................................... 39 10. Fator de multiplicao .............................................................................................................. 40 11. Ponto percentual ....................................................................................................................... 41 1. Introduo .................................................................................................................................... 42 2. Equaes de 1 grau .................................................................................................................. 42 3. Sistema de equao do 1 grau com duas incgnitas .......................................................... 43 4. Mtodo de soluo para um sistema ....................................................................................... 44 Matemtica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves5 5. Equaes do 2 grau .................................................................................................................. 46 6. Equaes irracionais .................................................................................................................. 48 7. Inequaes do 1 grau ............................................................................................................... 50 1. Introduo .................................................................................................................................... 51 2. Conceito de funo ..................................................................................................................... 51 3. Determinando o domnio de uma funo ................................................................................ 52 4. Representao grfica de uma funo ................................................................................... 53 5. Marcando os pontos no plano cartesiano ............................................................................... 54 6. Grficos de uma funo ............................................................................................................. 54 1. Introduo .................................................................................................................................... 59 2. Modelos lineares ......................................................................................................................... 59 3. Inclinao e taxa de variao ................................................................................................... 62 4.Funo linear geral ...................................................................................................................... 63 5. Obteno de uma funo linear ............................................................................................... 63 1. Introduo .................................................................................................................................... 70 2. Um modelo de funo quadrtica ............................................................................................ 70 3. Caracterizao de uma funo quadrtica ............................................................................. 72 4. Vrtice da parbola de uma funo quadrtica. .................................................................... 74 5. Principais pontos de uma parbola. ........................................................................................ 74 6. Imagem de uma funo quadrtica valor mximo e valo mnimo ................................... 75 7. Crescimento e decrescimento de uma funo quadrtica ................................................... 76 Referncia Bibliogrfica ................................................................................................................. 79 Matemtica 6Matemtica Bsica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves Captulo 1 CONJUNTOS Amatemticaapresentainvenestosutisquepoderoservirno s para satisfazer os curiosos como, tambm para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens. Renn Descartes 1. Introduo IntroduziremosnessecaptuloalinguagemdeConjuntosqueserutilizada sistematicamente nos captulos posteriores. Todo o estudo sobre funes est solidificado sobre a teoria dos conjuntos. Porestarazovamosdarumaatenoespecialnalinguagemutilizadapara representao e operaes de Conjuntos. 2. Noes de conjuntos AnoodeconjuntoamaissimplesefundamentaldaMatemtica,poisapartirdela podemos expressar todos os conceitos matemticos. Um conjunto (ou coleo) formado de objetos, chamados os seus elementos. A relao bsica entre um objeto e um conjunto a relao de pertinncia. Quando um objetox um dos elementos que compem o conjuntoA, dizemos quex pertence aA e escrevemos: 1 A x e Se, pormxno um dos elementos do conjuntoA, dizemos quexno pertence aA e escrevemos: A x e Um conjuntoA fica definido (ou determinado, ou caracterizado) quando se d uma regra que permita decidir se um objeto arbitrriox pertence ou no aA. Podemos definir Conjuntos de diversas maneiras, entre elas: -Por extenso. Por uma listagem de seus elementos, escritos entre chaves e separados por vrgula ou ponto-e-vrgula. } 5 , 3 , 1 { = A

-Por compreenso. Atribuindo uma caracterstica comum a todos os seus elementos. sete} que menormparnmero um / { x x B = -Atravs de Diagramas (diagrama de Venn). 1 Curso de Anlise Elon Lages Lima 1 3 5 Matemtica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves7 3. Principais Conjuntos Numricos Oconjuntodosnmerosnaturais,... 3 , 2 , 1 serrepresentadopelosmboloN .Portanto temos: ,...} 3 , 2 , 1 { = N Oconjuntodosnmerosinteiros(positivos,negativosezero)serrepresentadopelo smboloZ . Assim temos: ,...} 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 {..., = Z O conjuntoQ, dos nmeros racionais, formado pelas fraes qp, ondep eqpertencem aZ , sendo0 = q . Em smbolos temos: )`= e e = 0 , , / q Z q Z pqpQ Os nmeros racionais podem ser representados dos seguintes modos: 1 - Decimal finito: 75 , 147= 2 - Decimal infinito .... 3333 , 031= Nosegundomodotemosaschamadasdzimasperidicas.Nmerosracionaisque expressos na forma de decimal resultam em nmeros com casas decimais infinitas. Efetuaradivisoeencontrardzimasperidicasnohdificuldades;pormfazera operaoinversarequerumpoucomaisdetrabalho.Afraoquedorigemaumadzima peridica recebe o nome de frao geratriz.Veja os exemplos abaixo: Exemplo1. Encontre a frao geratriz da dzima... 555 , 0 . Seja... 555 , 0 = x entox umafraogeratriznaforma qp.Algebricamentepodemosrealizar sem perda de generalidade algumas operaes comx . Vejamos: ... 555 , 0 = x(multiplicando os dois termos por 10) ... 555 , 5 10 = x (podemos separar a parte inteira, da parte decimal) ... 555 , 0 5 10 + = x (sabemos que... 555 , 0 = x ) 955 95 105 10= == + =x xx xx x Matemtica 8Matemtica Bsica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves A frao geratriz da dzima peridica... 555 , 0 95. Uma dzima peridica possui perodos, podendo ser simples ou composto. Veja o exemplo abaixo com os principais elementos de uma dzima. Exemplo 2. Seja o nmero... 4565656 , 3 . Temos o seguinte: 3 : representa a parte inteira da dzima (I); 4: representa o anti-perodo da dzima, ou seja, a parte que no se repete aos a vrgula (A); 56 : representa a parte peridica composta da dzima, nesse caso, perodo dois (2). No exemplo 1 o perodo da dzima simples (1). Vamosencontrarafraogeratrizdadzima... 4565656 , 3 .Deformaanlogaaoexemplo1, temos: ... 4565656 , 3 = x (multiplicando por 10 os dois termos) ... 565656 , 34 10 = x(I) (multiplicando por 100 os dois termos) ... 5656 , 3456 1000 = x (II) (vamos agora resolver o sistema linear formado por (I) e (II)) ==) ...( 5656 , 34 10) ...( 5656 , 3456 1000I xII x(subtraindo II de I) 3422 990 = x49517119903422= = x que a frao geratriz da dzima... 4565656 , 3 Regra prtica para encontrar a frao geratriz

.. 00 ... 999IA IAP (1) onde: I : parte inteira da dzima peridica; A:anti-perodo da dzima peridica; P :parte peridica da dzima; ... 999 : um(1) nove para cada perodo; ... 00: um(1) zero para cada ante-perodo. Exemplo 3. Encontre a frao geratriz da dzima dada por... 4565656 , 33 = I4 = A56 = P Aplicando a frmula (1) temos: 4951711990342299056 3456.. 00 ... 999= == IA IAP Assimcomoexistemnmerosdecimaisquepodemsertransformadosemfrao,com numerador e denominador inteiros, h os que no admitem tal representao. Onmerocujarepresentaonopodesertransformadaemumafraoumnmero irracional, e seu conjunto representado porI . Veja alguns exemplos: Matemtica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves9 -Onmero1.... 0,21211211 noumadzimaperidica,poisosalgarismosdepoisda vrgula no se repetem. -Osnmeros... 4142136 , 1 2 = ,... 7320508 , 1 3 = e... 141592 , 3 = t ,porno apresentarem representao infinita peridica, tambm so nmeros irracionais. Os conjuntos numricosN ,ZeQ cumprem as relaes de inclusoZ N ceQ Z c . Abreviadamente, temosQ Z N c c . 4. O Conjunto dos nmeros reais O conjunto formado pelos nmeros racionais() Qe irracionais( ) I chamado de conjunto dos nmeros reais, e representado porR . Em outras palavras podemos dizer que: I= Q R Podemos representar o conjunto dos Reais em uma reta que chamamos Reta Real, veja a figura abaixo. Nela podemos representar todo e qualquer nmero real. 5. Exerccios propostos 1) Complete com e ou e a)N ___ 7 b) Q ___ 2c)I ___21 d)Q ___49 e)Q ___ .... 16666 , 0f)R ___ 64 g)Q ___ 232 , 3h)Z ___ 273 2) Determine, por extenso, os seguintes conjuntos: a){ } 4 1 / s s e x N xb){ } 3 3 / s < e x Z xc){ } 5 0 / < s e x Z xd){ } 3 / s e x N xe){ } 4 0 / < s e x Z x 3) Encontre as fraes geratrizes para cada uma das dzimas abaixo. a)... 4333 , 2b)... 144 , 0c)... 31,5343434d).. 0,2919191.e)... 4676767 , 3 Matemtica 10Matemtica Bsica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves 4) Seja ba a frao geratriz da dzima... 363636 , 1 . Qual a dzima peridica equivalente frao ab? 6. Subconjuntos Dados dois conjuntosA eB , dizemos queA subconjunto deB quando todo elemento deA tambm elemento deB . Para indicar este fato, usa-se a notao2 B Ac QuandoB Ac ,diz-setambmqueApartedeB ,queAestincludoemB ,ou contido emB . A relaoB Acchama-se relao de incluso. A relao de inclusoB Ac Reflexiva -B Ac , seja qual for o conjunto A; Anti-simtrica seB AceA B c , entoB A = ; Transitiva seB AceC B c , entoC A c . 7. Operaes entre conjuntos A reunio dos conjuntosA eB o conjunto, designado porB A , formado por todos os elementos que pertencem aA ouB . Em outras palavras: { } B x A x x B A e e =ou/ Exemplo 4. Sejam os conjuntos{1,2,3,5} = Ae{3,4,5,7} = B , ento,7} {1,2,3,4,5 = B A . AinterseodosconjuntosAeB oconjuntodesignadoporB A ,formadopelos elementos comuns aA eB . Assim, afirmar queB A x esignifica dizer que se tem, ao mesmo tempo,A x eeB x e . Em outras palavras: { } B x A x x B A e e = e / Exemplo 5. Sejam os conjuntos{1,2,3} = Ae} {2,3,4,5,6 = B ento{2,3} = B A . Quando a interseo entre os conjuntosA eB um conjunto vazio, ou seja,{ } = B A,A eB chamado de conjuntos disjuntos. Exemplo 6. Sejam os conjuntos{1,2,3} = Ae{4,5,6} = B ento{} = B A . A diferena entre os conjuntosA eB o conjuntoB A , formado pelos elementos deA que no pertencem aB . Em outras palavras: { } B x A x x B A e e = e /Exemplo 7. Sejam os conjuntos} {1,2,3,6,7 = Ae} {2,3,4,5,6 = B ento{1,7} = B A . 2 Curso de Anlise Elon Lages Lima Matemtica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves11 Quando se temA B c , a diferenaB Achama-se complementar deBem relao A, e escreve-se: B C B AA= Exemplo 8. Sejam os conjuntos,9} {1,2,3,5,7 = Ae{3,5,9} = B ento { } 9 , 2 , 1 = = B C B AA. 8. Nmero de elementos de um conjunto SeAumconjuntofinito,designamospor) (A n onmerodeelementosdeA.Por exemplo, se{ } 5 , 1 , 0 = A , ento3 ) ( = A n . Para determinar o nmero de elementos da reunio de dois conjuntosA eBdividimos o problema em dois casos: 1 caso: Os conjuntosA eBso disjuntos. Neste caso, claro que: ) ( ) ( ) ( B n A n AUB n + = 2 caso: Os conjuntosA eBno so disjuntos. Neste caso, quando somamos) (A ncom) (B ncontamos os elementos deB Aduas vezes. Portanto: ) ( ) ( ) ( ) ( B A n B n A n AUB n + = 3 caso: Os conjuntosA, B eCno so disjuntos. Neste caso, quando somamos) (A n , ) (B n e ) (C ntemos: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( C B A C B n C A n B A n C n B n A n C AUB n + + + = Exerccios propostos 5) Sejam{ } 4 , 3 , 2 , 1 = Ae{ } 7 , 5 , 3 , 2 = B . Determine: a)B A b)B A c)B A d)A B 6) Sejam{ } 5 , 3 , 2 , 1 , 0 = Ae{ } 4 , 3 , 2 , 1 = B . Determine: a)) ( B A n b)) ( B A n c)) ( B A n d)) ( A B n 7)Numapesquisasobreprefernciadedetergentes realizadanumapopulaode100pessoas, constatou-seque62consomemoprodutoA;47consomemoprodutoBe10pessoasno consomemnemAnemB.Pergunta-se:quantaspessoasdessapopulaoconsomemtantoo produto A quanto o produto B? 8)Numacomunidadeconstitudade1800pessoashtrsprogramasdeTVfavoritos:Esporte (E),novela(N)eHumanismo(H).Atabelaabaixoindicaquantaspessoasassistemaesses programas. Matemtica 12Matemtica Bsica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves ProgramasENHE e NE e HN e HE, N e HNenhum Telespectadores40012201080220180800100x 9. Intervalos Chamamosdeintervaloadeterminadossubconjuntosdosnmerosreais.Assim,dados dois nmeros reaisaeb , comb a < , temos: 1 - Intervalo aberto:( ) { } b x a R x b a < < e = / , 2 - Intervalo fechado:| | { } b x a R x b a s s e = / , 3 - Intervalo semi-aberto direita:{ } b x a R x b a s < e = / ] , ( 4 - Intervalo semi-aberto esquerda:{ } b x a R x b a < s e = / ) , [ 5 - Intervalos infinitos } / { ) , ( a x R x a > e = +} / { ) , [ a x R x a > e = +} / { ) , ( a x R x a < e = } / { ] , ( a x R x a s e = Observao:R = + ) , ( Exerccios propostos 9) Se{ } 5 2 / < s e = x R x Ae{ } 8 3 / < s e = x R x B , determineB A B AeB A . 10) Se{ } 0 2 / s s e = x R x A e{ } 3 2 / < s e = x R x B , determineB A B AeB A . 11) DetermineB A B AeB A quando: a){ } 3 0 / < < e = x R x Ae{ } 5 1 / < < e = x R x B b){ } 1 4 / s < e = x R x Ae{ } 3 2 / s s e = x R x B c){ } 2 2 / < s e = x R x Ae{ } 0 / s e = x R x B 12) Determine em termos de desigualdades os seguintes intervalos: a)| | 5 , 10 b)| | 6 , 3 c)| | 9 , 0 d)| | 8 , 4 e)| | + , 5 Matemtica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves13 Captulo 2 EXPRESSES NUMRICAS A matemtica apresenta invenes to sutis que podero servir no s para satisfazer os curiosos como, tambm para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens. Renn Descartes 1. Introduo Nessecaptulo,vocestudarasexpressesnumricas,conceitosbsicospararesolver equaes, sistemas e funes. 2. Expresses numricas Pararesolverexpressesnumricasrealizamosprimeiroasoperaesdemultiplicaoe diviso,naordememqueestasestiveremindicadas,edepoisadiesesubtraes.Em expresses que aparecem sinais de reunio: ( ), parnteses, [ ], colchetes e { }, chaves, efetuam-seasoperaeseliminando-se,naordem:parnteses,colchetesechaves,isto,dossinais interioresparaosexteriores.Quandofrentedosinaldareunioeliminadoestiverosinal negativo, trocam-se todos os sinais dos termos internos. Exemplo: a) 2 + [ 2 ( 3 + 2 ) 1 ] = 2 + [ 2 5 1 ] = 2 + [ 2 6 ] b) 2 + { 3 [ 1 + ( 2 5 + 4 ) ] + 8 } = 11 c) { 2 [ 3 * 4 : 2 2 ( 3 1 ) ] } + 1 = { 2 [ 12 : 2 2 * 2 ] } + 1 = { 2 [ 6 4] } + 1 3. Decomposio de um nmero em um produto de fatores primos Adecomposiodeumnmeroemumprodutodefatoresprimosfeitapormeiodo dispositivo prtico que ser mostrado nos exemplos a seguir. Exemplos: OBS: Nmero primo aquele divisvel somente por ele mesmo e pelo nmero 1. 3053 21 5 15 30 30 = 2 * 3 * 521 731 721 21 = 3 * 7 Matemtica 14Matemtica Bsica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves 4. Mnimo Mltiplo Comum (m.m.c) Um nmero inteiro mnimo mltiplo comum (m.m.c) entre dois ou mais nmeros inteiros se, e somente se, ele for o menor nmero positivo obtido na interseo dos conjuntos do mltiplos dessesnmeros.Assimporexemploparaobterom.m.centreosnmeros36e24,podemos determinar os mltiplos deles. { } (36) 0, 36, 72, 108,... m = { } (24) 0, 24, 48, 72, 96,... m = Assim, temos que: m.m.c (36,24)=72. Outromtododeobterom.m.catravsdamultiplicaodefatoresprimoscommaiores expoentes. Veja o exemplo abaixo: Calcular o m.m.c. entre 12, 16 e 45 2 12\12\452 06\08\452 03\04\452 03\02\4523 03\01\453 01\01\155 01\01\0501\01\017204 2.3 .5 720 = O m.m.c. entre 12, 16 e 45 720 a) m.m.c. (4; 3) = 12 b) m.m.c. (3; 5; 8) = 120 c) m.m.c. (8; 4) = 8 d) m.m.c. (60; 15; 20, 12) = 60 5. Mximo Divisor Comum (m.d.c) Um nmero inteiro um mximo divisor comum dentre dois ou mais nmeros inteiros se, e somentese,eleforomaiornmeroobtidodainterseodosconjuntosdosdivisoresdesses nmeros.Assim,porexemplo,paraobteramximodivisorcomumentre36e24,podemos determinar os divisores deles. { } (36) 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 d = ( ) (24) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 d = Assim, temos que: m.d.c(24,36)=mximo{ } (36) (24) d d =12 m.d.c(24,36)=12 Umsegundomododeseobterom.d.cmultiplicando-seosfatoresprimoscomumcomos menores expoentes. 2 23 12 136 2 .324 2 .3(36, 24) 2 .3 12 mdc=== = Matemtica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves15 6. Fraes ordinrias Definio:Fraoumquocienteindicadoondeodividendoonumeradoreodivisoro denominador. As fraes que sero apresentadas a seguir, partem de um inteiro, e ao dividir formam as fraes 21=0,5 43=0,7541=0,25 81=0,12587 = 0,875 A frao prpria quando o numerador menor do que o denominador: 21, 53, 210120, etc. Afraoeimprpriaquandoonumeradormaiorqueodenominador,sendopossvel represent-la por um nmero misto e reciprocamente. Exemplos: a) 710 = 173pois710 possui resto 3 b) 528 = 553pois 528possui resto 3 c) 311 = 332 d) 231 = 37 e) -141 = -45 Matemtica 16Matemtica Bsica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves 7. Propriedades de Fraes P1: Multiplicao por um nmero real Multiplicandooudividindoostermosdeumafraoporumnmerodiferentedezeroobtm-se uma frao equivalente inicial. Exemplos: a) 42 2 * 22 * 1 21= =b) 2015 5 * 45 * 3 43= =c) 32 10 : 3010 : 20 3020= =d) 21-4 : 84 : 4-84- = = P2: Soma algbrica de fraes Reduzem-se ao menor denominador comum e somam-se algebricamente os numeradores. OBS: O menor denominador comum o m.m.c. dos denominadores. Exemplos: a) 65 62 3 62 63 31 21=+= + = +b) 32 64 64 - 5 3 64-65 63 32-65 21= =+= + = +c) 311 -34-1216-1224 - 16 9 - 1 1224-1216 129-1212 -34 43-121= = =+= + = +d) 125-1248 - 15 28 1248-1215 12284 -45 374 -411312 =+= + = + = + P3: Multiplicao de fraes Multiplicam-se os numeradores entre si, da mesma maneira se faz com os denominadores. Exemplos: a) 103 53*21=b) 81-21*41=|.|

\|c) 152 52*31=|.|

\||.|

\|d)( )143-72*41* 3 =|.|

\||.|

\| P4: Diviso de fraes Multiplica-se a frao dividendo pelo inverso da frao divisora. Exemplos: a) 21123 13*21 3121= = =Matemtica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves17 b) ( )311 -34-12*32-2132= =|.|

\|= c) 61 31*21 321= =d) 217215 23*15 325= = =e) ( ) ( )27251 -2752-94*313 49313 412314= =|.|

\| == Exerccios de fixao 1) Transforme em nmero misto: a) 23 = b) 512 = c) 3100 = 2) Transforme em frao ordinria: a) 511= b) 432= c) 10110 = 3)Compararasfraes(sugesto:reduzi-lasaomenordenominadorecompararos numeradores). OBS.: a < b l-se a menor do que b a > b l-se a maior do que b a) 21, 32 b) 32, 65 c) 74, 83 4) Resolva as operaes com fraes a)= +101 51 b)=34-32 Matemtica 18Matemtica Bsica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves c)= +61 31-21 d)= + 5 -213322e)=52*31 f)=52*31*73 g)=|.|

\||.|

\| 52- *61-h)=|.|

\| 311 - *512i)=2131 j)=|.|

\| 51- :32 k)=41*32:21 l)=511 :522m)=|.|

\|+21:42 31 n)=+ 3311 o)=++ 2122111 p)=+ 313 :412521 *751-431 -852411813 Matemtica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves19 8. Potncias Definio: Potncia de grau n de um nmero A o produto de n fatores iguais a A. =grau. seuo determina que potncia, da expoente o n potncia; da base a A... * A* A* A* A* AA vezes nn Assim: 2 = 2 * 2 * 2 = 82 = 8 (- 1)4 = (- 1) * (- 1) * (- 1) * (- 1) = 1(- 1)4 = 1 CASOS PARTICULARES: a)A potncia de expoente 1 (1 grau) igual base: A1 = A; 21 = 2 b)Toda potncia de 1 igual a 1: 1 = 1; 1 = 1 c)Toda potncia de 0 igual a 0: 0 = 0; 0 = 0 d)Toda potncia de expoente par positiva: (- 2)4 = 16; 24 = 16; (- 3) = 9; 3 = 9 e)Toda potncia de expoente mpar tem o sinal da base: 3 = 27 ; (- 3) = - 27 25 = 32 ; (- 2)5 = - 32 9. Propriedades de Potncias P1: Multiplicao de potncias de mesma base Mantm-se a base comum e soma-se os expoentes. .m n mnb b b +=Exemplo: 5 * 57 = 59 = 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 1 953 125 P2: Diviso de potncias de mesma base Mantm-se a base comum e diminuem-se os expoentes. mmnnbbb=Exemplo:37 : 33 = 34 = 3 * 3 * 3 * 3 = 81 P3: Potncia de uma potncia Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. .( )n m n mb b =Exemplo: 3 2 6(5 ) 5 =Observao: 23 2 3(5 ) 5 =De modo geral temos que:( )mn m nb b = P4: Potncia de um produto Elevam-se cada fator desse produto ao mesmo expoente. Matemtica 20Matemtica Bsica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves ( . ) .m m mab a b =Exemplo: 2 2 2(5.3) 5 .3 = P5: Potncia de um quociente Elevam-se o numerador e o denominador ao mesmo expoente. Paran inteiro e0 b = , tem-se: nnna ab b| | = |\ . Exemplo: 2225 53 3| | = |\ . Observao: Expoente nulo Toda potncia de base diferente de zero e expoente zero igual a unidade. Realmente:1 a 1 a : aa a a : a04 40 4 - 4 4 4=== = Exemplo:(- 5)0 = 1 P6: Expoente negativo Qualquernmerodiferentedezero,elevadoaexpoentenegativoigualaumafraocujo numeradoraunidadeecujodenominadoramesmabasedapotnciaelevadaaomesmo expoente com o sinal positivo. 1nnbb=Exemplo:251 5 * 51 51522= = = P7: Potncias de 10 Efetuam-seaspotnciasde10escrevendodireitadaunidadetantoszerosquantasforemas unidades do expoente. Exemplos: a) 10 = 100 b) 107 = 10 000 000 c) 200 = 2 * 100 = 2 * 10 d) 4000 = 4 * 10 e) 300 000 = 3 * 105 f)3 * 108 = 300 000 000 P8: Nmeros decimais Todo nmero decimal equivalente a um produto do qual um fator o nmero escrito como inteiro, e outro uma potncia de dez com expoente negativo, com tantas unidades no expoente quantas so as ordens decimais. Realmente:4 -410 * 251025 000 10250025 , 0 = = = Exemplos: a) 0,001 = 10-3 b) 0,002 = 2 * 10-3 c) 0,00008 = 8 * 10-5 d) 1,255 = 1255 * 10-3 Matemtica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves21 e) 2 * 10-3 = 0,002 Exerccios de fixao 1) Resolva as potncias abaixo a)(- 4) = b) (- 2)4 = c) (- 4)4 = d) 2 * 25 = e) 3 * 3 * 35 = f)35 : 34 = g) 34 : 3 * 35 = h) 24 * 54 = i)(- 35) * (- 55) = j)153 : 33 = k) (- 46) : 26 = l)(3)2 = m)(2)5 = n) 32 = o) [ (3) ] = p) (2 * 3) = q) (3 * 5 * 2)4 = r) 535|.|

\|= s) 3432||.|

\|= t) 233 253 * 2||.|

\|= u) 2 * 3-1 = v) 432 =w)(2-3 * 5-2)-4 = x) 2x + 1 * 4x = y) 32x * 24x = z) 54x : 252x = 2) Exprimir, utilizando potncias de 10: a)20 000 = b)4 800 000 = c)0,01 = d)0,000045 = 3) Efetuar, utilizando potncia de 10: a) 80000 48 * 000 2 = b) 00002 , 00,000032 * 28 = Matemtica 22Matemtica Bsica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves 10. Radicais Definio:Denomina-seraizdendicen(ouraizn-sima)dea ,aonmeroouexpressoque, elevado potncia n reproduza . OBS: Representa-se a raiz pelo smbolon - ndice da raiza - radicando - radicalna Assim: a)4 16 =porque4 = 16 b)2 83=porque2 = 8 c)3 814= porque34 = 81 P1: Extrair do radical possvel retirar um fator do radical, bastante que se divida o expoente do radicando pelo ndice do radical. Exemplos: a)3 2 3 * 2 122= =b)5 6 5 3 * 2 5 3 * 2 1802 2= = =c) 4 2 4 4 82 5 * 3 2 * 5 * 3 =d) 2 4 : 8 4 83 3 3 = = Reciprocamente, para introduzir um fator no radical, multiplica-se o expoente do fator pelo ndice do radical. Assim: 3 3 32 * 3 2 3 = P2: Adio e subtrao de radicais semelhantes Radicaisdemesmondiceemesmoradicandososemelhantes.Naadioesubtraode radicais semelhantes, operam-se os coeficientes e conserva-se o radical. Exemplos: a)2 2 - 2 10 - 2 8 2 10 - 2 5 2 3 = = +b) 3 3 3 3 3 3 32 3 2 6 - 2 9 2 - 2 5 - 2 6 2 3 = = + P3: Multiplicao e diviso de radicais de mesmo ndice Multiplicam-se (dividem-se) os radicandos e d-se ao produto (quociente) o ndice comum. Exemplo: a)6 3 * 2 3 * 2 = =b)326 26= =c)30 2 * 5 * 3 2 * 5 * 3 = =d) 44444 4215 215 23 * 5= = P4: Potenciao de radicais Matemtica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves23 Eleva-se o radicando potncia indicada e conserva-se o ndice. Exemplo: a)( )44 33427 3 3 = =b)( )5 2 452225 23 * 2 3 * 2 3 * 2 = =|.|

\| P5: Radiciao de radicais Multiplicam-se os ndices e conserva-se o radicando. Exemplos: a) 4 2 * 23 3 3 = =b) 24343 3 = P6: Expoente fracionrio Uma potncia com expoente fracionrio pode ser convertida numa raiz, cujo radicando a base, o ndice o denominador do expoente, sendo o numerador o expoente do radicando. mn mna a = Exemplos: a) qp qpa a =b)a a21=c) 332324 2 2 = =d) 434 36 6 = P7: Racionalizao de denominadores 1 Caso: O denominador um radical do 2 grau. Neste caso multiplica-se pelo prprio radical o numerador e o denominador da frao. Exemplo: a) 22 42 2 * 22 * 1 21= = =b) 63 3 * 23 9 23 3 * 3 23 * 1 3 21= = = =c) 36 96 3 * 33 * 2 32= = =d) 1512 3012 2 6 * 512 2 36 512 2 6 * 6 56 * 2 2 6 52 2= = = = = Matemtica 24Matemtica Bsica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves 2 Caso: O denominador uma soma ou diferena de dois termos em que um deles, ou ambos, soradicaisdo2grau.Nestecasomultiplica-seonumeradoreodenominadorpelaexpresso conjugada do denominador. Observao: A expresso conjugada de a + b a b. Na racionalizao aparecer no denominador um produto do tipo: (a + b) * (a b) = a - b Assim:(5 + 3) * (5 3) = 5 - 3 = 25 9 = 16 Exemplos: a) ( )( ) ( )( ) ( )32 - 5 2 - 52 - 5 2 - 52 - 5 2 - 5 * 2 52 - 5 * 1 2 512 2= = =+=+ b) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) 3 - 2 * 513 - 2 * 5 3 - 43 - 2 * 5 3 - 23 - 2 * 5 3 - 2 * 3 23 - 2 * 5 3 2522= = = =+=+ Exerccios de fixao 1) Efetue as operaes abaixo: a)= + 5 10 5 2 - 5b)= + 8 - 2 3 32c)= + 729 - 3 3 34 d)= 6 * 3e)( ) ( )= 4 - * 2 -3 3 f)=2844 g)( ) = 263 h)=|.|

\|3 * 223 2 i)= 33 3 j)= 23 k)= 2 23 l)= 2 2 23 3 3 2) Dar a resposta sob forma de radical, das expresses seguintes: a) 432= b) 212 = c) 21212||.|

\| = d)( )613 * 2= Matemtica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves25 3) Racionalizar o denominador das fraes seguintes: a) 51 = b) 73 = c) 2 23 = d) 2 - 52 = e) 11 - 45 = 4) Simplifique: a) 28 - 50 = b)2352= c) 1 21-2 - 11+ = 11. Operaes algbricas Expresses algbricas So indicaes de operaes envolvendo letras ou letras e nmeros. Exemplos: a)5ax 4b b)ax + bx + c c)7ab Observao:Noexemploc,ondenoapareceindicaodesomaoudediferena,temosum monmio em que 7 o coeficiente numrico e ab a parte literal. Operaes com expresses algbricas 1) Soma algbrica Somentepossvelsomarousubtrairtermossemelhantes(monmiosquepossuemamesma parte literal). Para somar ou subtrair termos semelhantes (reduzir termos semelhantes) repete-se a parte literal e opera-se com os coeficientes. Exemplo: 3xy 4xy + 7xy + 5xy = 8xy + 3xy 2) Multiplicao Multiplica-se cada termo do primeiro fator por todos os termos do segundo fator e reproduzem-sos termos semelhantes. Exemplo: (3ay) * (2ay) = 6ay Matemtica 26Matemtica Bsica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves 3) Diviso 1 Caso: Diviso de monmios: Divide-se o coeficiente numrico do dividendo pelo 1 coeficiente do divisor, e a parte literal do dividendo pela do divisor, observando-se as regras para diviso de potncias de mesma base. 2Caso:Divisodepolinmiopormonmio:Divide-secadatermododividendopelomonmio divisor. Exemplo: (42abx4) : (7ax) = 6abx 4) Produtos notveis Hcertosprodutosdepolinmios,que,porsuaimportncia,devemserconhecidosdesdelogo. Vejamos alguns deles: a) Quadrado da soma de dois termos: O quadrado da soma de dois termos igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo. Exemplo: (2+ x) = 2 + 2 * 2x + x = 4 + 4x + x b) Quadrado da diferena de dois termos: O quadrado da diferena de dois termos igual ao quadrado do primeiro menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo. Exemplo: (x 3) = x + 2 * x * (- 3) + (- 3) = x - 6x + 9 c) Produto da soma de dois termos por sua diferena: O produto da soma de dois termos por sua diferena igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo. Exemplo: (1-3 ) * (1 +3 ) = 1 - ( 3 ) = 1 3 = - 2 5) Fatorao Fatorar um polinmio escreve-lo sob a forma de um produto indicado. Fator comum dos termos deumpolinmioomonmiocujocoeficientenumricoomximodivisorcomumdos coeficientesdostermosdopolinmioecujaparteliteralformadapelasletrascomunscomos menores expoentes. Apresentando um fator comum, o polinmio pode ser escrito como o produto de dois fatores: o 1 o fator comum e o 2 obtido dividindo-se o polinmio original pelo fator comum. Exemplos: a) Fatorando o polinmio 4ax + 8ax + 2axtem-se: ( ) a 4ax 2x2ax 2axx a 2 2ax x a 8 2ax ax 42axx a 2 x a 8 ax 4 + + = |.|

\|+ + = + +b) Fatorar: 5xy + x4y + 2x. O fator comum x. Assim:5xy + x4y + 2x = x (5y + xy + 2) (a + b) = a + 2ab + b (a - b) = a - 2ab + b (a + b) * (a b) = a - b Matemtica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves27 Exerccios de fixao 1) Efetuar: a)2 2 2 24b - 3ab 5a - 4b 7ab - a 3 + += b) ( ) ( )2 2 3 3 2 23xy y 8x - 2y - 3y y 7x - xy 3 + += c) ( ) ( ) ( ) xy * y 8x - * xy 72 2 = d) ( ) ( ) b - a * c b a + += e) ( ) ( ) y - x * x y 3x - x2 2 3+= f) ( ) 2x : 2x - 2x 4x - x 62 4 5 2+= g) ( ) abc : abc c b 3a bc 2a2 3 3 2 += h) ( ) ( )2 23 - 3x2 x+ += i) ( )228a xy 3 += j) ( ) ( ) 3c ab 5 * 3c ab 5 += 2) Fatores as expresses seguintes usando a fatorao por agrupamento a) 22 4 3 6 x x xy y + b) 2a a ab b +c) 2x xy x y + ++d)3 7 21 ab b a + 3) Simplifique as expresses algbricas a) 26 915x xx b) 222510 25xx x+ + c) 3 22 22035xyzxyz d) 2 2223 3x xy yx xy x y+ ++ e) 3636xx x+ 4) Simplifique as expresses a seguir. a) 4162xx b) 525 102+ + +xx x 5) Efetue as operaes com expresses algbricas, reduzindo os resultados forma mais simples: Matemtica 28Matemtica Bsica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves a) 2(3 2 9) (3 1)( 4) x x x x + +b) 4 6 2( 1)2a ba a b + + +c) 2 2 2( 4) 2( 3) ( 5) x x x + + d)( 6)( 2) ( 4)( 4) x x x x + + + e) 6( 1)( 2)(2 5) 2( 1)x xx x + 6) Desenvolva: a) 2( 5) a +b) 213y| | |\ . c) 2152y| |+ |\ . d) 2(4 7) x Matemtica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves29 ______________Captulo 3 NMEROS E GRANDEZAS PORPORCIONAIS A matemtica apresenta invenes to sutis que podero servir no s para satisfazer os curiosos como, tambm para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens. Renn Descartes 1. Introduo Nestecaptulo,vocanalisarasquestesrelacionadascomNmeroseGrandezas Proporcionais, bem como razo e proporo. Sero mostradas as definies tcnicas deste tema, e realizados exemplos e aplicao de propriedades sobre Nmeros e Grandezas Proporcionais.2. Nmeros e Grandezas Proporcionais Grandeza todo valor que, ao ser relacionado a um outro de tal forma, quando h a variao de um, como conseqncia o outro varia tambm.

Emnossodia-a-diaquasetudoseassociaaduasoumaisgrandezas.Porexemplo: quandofalamosem:velocidade,tempo,peso,espao,etc.,estamoslidandodiretamentecom grandezas que esto relacionadas entre si.

Exemplo: Uma moto percorre um determinado espao fsico em um tempo maior ou menor dependendo da velocidade que ela poder chegar ou imprimir em seu percurso realizado.Assimtambmaquantidadedetrabalhoaserrealizadoemumdeterminadotempo depende do nmero de operrios empregados e trabalhando diretamente na obra a ser concluda o que se deseja concluir.

Arelaodedependnciaentreduas grandezas,dependendodacondioapresentada, pode ser classificada como Diretamente proporcional ou Inversamente proporcional.

3. Grandeza Diretamente Proporcional

definidocomoGrandezaDiretamenteProporcionalasgrandezasquesodiretamente proporcionaisquandoavariaodeumaimplicanavariaooumudanadaoutra,namesma proporo, mesma direo e sentido.

Exemplo:01KgdecarnecustaY,seapessoacomprar02Kgsdecarneentoela pagar 02 y.

Exemplo: Se uma pessoa compra 10 borrachas ao custo de R$ 1,00, ento se ela comprar 20 borrachas o custo total ser de R$ 2,00, calculando o preo unitrio de R$ 0,10.

4. Grandeza Inversamente Proporcional

Duasgrandezassoinversamenteproporcionaisquandoavariaodeumaimplica necessariamentenavariaodaoutra,namesmaproporo,porm,emsentidoedireo contrrios.

Exemplo: Velocidade e tempo.Matemtica 30Matemtica Bsica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves

Um carro percorre a uma velocidade de 100 Km/h, o total de 10 metros em 10 segundos. Seestemesmocarroaumentarpara200km/hgastarapenas05segundosparapercorreros mesmos 10 metros. 5. Razo e proporo Arazoentredoisnmeros,dadosumacertaordem,sendoosegundonmerosempre diferente de zero, o quociente indicado do primeiro pelo segundo.

Exemplo: a razo de 9 para 12 = 912

a razo de 5 para 10 = 510

a razo de 6 para 18 = 618

Obs.Importante.:1)L-se:noveestparadozesendoqueo1nmeroantecedentee2 nmero conseqente. Ento: cinco est para dez, sendo 5 o antecedente e 10 o conseqente.

seis est para dezoito, sendo 6 o antecedente e 18 o conseqente.

PROPORO a sentena matemtica que exprime igualdade entre duas razes.a cb d= , L-se: a est para b, assim como c est para d.

Exemplo: 2 45 3=

Obs.: Cada elemento de uma proporo denominado termo da proporo sendo que os 1 e 3 termos so chamados de termos antecedentes e os 2 e 4 so chamados termos conseqentes e queos1e3termosdeumaproporoformamosmeioseos2e4termos,formamos extremos. Matemtica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves31 6. Propriedades das propores

P1: Propriedade Fundamental

Em toda proporo o produto dos meios sempre igual ao produto dos extremos. 2 42.10 4.55 10==

P2: Composio

Em toda proporo, a soma dos primeiros termos est para o primeiro ou para o segundo, assim como a soma dos dois ltimos est para o terceiro ou para o quarto termo.a c a b c d a b c db d a c b d+ + + += = =

Aplicao:

Asomadedoisnmeros80earazoentreomenoreomaior2/3.Acharovalordesses nmeros.

a = menor

b = maior

Conclui-se: se o menor vale a= 32, o maior ento ser 80 32 = 48.

P3: Decomposio

Em qualquer proporo, a diferena entre os dois primeiros termos est para o primeiro ou para o segundo, assim como a diferena entre os dois est para o terceiro ou para o quarto termo.

a c a b c d a b c db d a c b d = = =

Aplicao:

Determinar dois nmeros, sabendo-se que a razo entre eles de 7/3 e que a diferena 48.

a = maior

b = menor

Matemtica 32Matemtica Bsica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves

a b = 48

Portanto,

Se a b = 48, ento b = 84 48 = 36

P4: Soma dos termos Emtodaproporoasomadosantecedentesestparaasomadosconseqentes,assim como qualquer antecedente est para seu conseqente.a c a c a cb d b d b d+= = =+

Aplicao:

Calcular a e b, sendo que a+b = 63 e a/3 = b/4

Ento a soma de a+b = 63, sendo a = 27 e b=36 = 63.

P5: Diferena dos termos Emqualquerproporo,adiferenadosantecedentesestaparaadiferenadosconseqentes, assim como qualquer antecedente est para o seu conseqente.a c a c a cb d b d b d= = =

P6: Multiplicao dos termos Emqualquerproporo,oprodutodosantecedentesestparaoprodutodosconseqentes, assim como o quadrado de um antecedente est para o quadrado de seu conseqente.2 22 2..a c a c a cb d b d b d= = = = Aplicao:

A rea de um retngulo de 150 m e a razo da largura para o comprimento de 2/3. Encontrar essas medidas.

a = largura b = comprimento

a = 150 x 4 : 6 = 100, a = 100, a = 10Matemtica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves33

a = largura = 10m, b= comprimento = 15m Exerccios de Fixao 1)UmprmiodeR$600.000,00vaiserdivididoentreosacertadoresdeumbingo.Observeatabelae responda: Nmero de acertadoresPrmio 3R$ 200.000,00 4R$ 150.000,00 a)QualarazoentreonmerodeacertadoresdoprmiodeR$200.000,00paraoprmiode R$150.000,00?

b) Qual a razo entre os prmios da tabela acima, considerando 3 acertadores e 4 acertadores?

c) O nmero de acertadores e os prmios so grandezas diretamente ou inversamente proporcionais? 2) Diga se diretamente ou inversamente proporcional:

a) Nmero de pessoas em um churrasco e a quantidade (gramas) que cada pessoa poder consumir. b) A rea de um retngulo e o seu comprimento, sendo a largura constante. c) Nmero de erros em uma prova e a nota obtida. d) Nmero de operrios e o tempo necessrio para eles construrem uma casa. e) Quantidade de alimento e o nmero de dias que poder sobreviver um nufrago. 3) Os nmeros x, y e 32 so diretamente proporcionais aos nmeros 40, 72, 128. Determine os nmeros x e y. 4) Sabendo que a, b, c e 120 so diretamente proporcionais aos nmeros 180, 120, 200 e 480, determine os nmeros a, b e c. Matemtica 34Matemtica Bsica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves 7. Regra de trs simples Regra de trs simples um processo prtico para resolver problemas que envolvam quatro valoresdosquaisconhecemostrsdeles.Devemos,portanto,determinarumvalorapartirdos trs j conhecidos. Passos utilizados numa regra de trs simples: 1) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espcie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espcies diferentes em correspondncia. 2) Identificar se as grandezas so diretamente ou inversamente proporcionais. 3) Montar a proporo e resolver a equao. Exemplos: 1)Comumarea deabsoroderaiossolaresde1,2m2,umalanchacommotormovidoa energiasolarconsegueproduzir400wattsporhoradeenergia.Aumentando-seessareapara 1,5m2, qual ser a energia produzida? Soluo: montando a tabela: rea (m2)Energia (Wh) 1,2400 1,5x Identificao do tipo de relao: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contm o x (2 coluna). Observeque:Aumentandoareadeabsoro,aenergiasolaraumenta.Comoaspalavras correspondem(aumentando-aumenta),podemosafirmarqueasgrandezassodiretamente proporcionais. Assim sendo, temos: 1, 2 4001, 2 400.1, 51, 5400.1, 55001, 2xxx= == = Logo, a energia produzida ser de 500 watts por hora. 2)Umtrem,deslocando-seaumavelocidademdiade400Km/h,fazumdeterminadopercurso em3horas.Emquantotempofariaessemesmopercurso,seavelocidadeutilizadafossede 480km/h? Soluo: montando a tabela: Velocidade (Km/h)Tempo (h) 4003 480x Matemtica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves35 Identificao do tipo de relao: Observeque:Aumentandoavelocidade,otempodopercursodiminui.Comoaspalavrasso contrrias(aumentando-diminui),podemosafirmarqueasgrandezassoinversamente proporcionais.Quandotemosgrandezasinversamenteproporcionais,parasuaresoluo invertemosumadasduasfraeseresolvemoscomosefossediretamenteproporcional.Veja abaixo: 480 3400 x=3.4002, 5480x = = Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos. 8. Regra de trs composta A regra de trs composta utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Exemplos: 1)Em8horas,20caminhesdescarregam160m3deareia.Em5horas,quantoscaminhes sero necessrios para descarregar 125m3? Soluo: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espcie e, em cada linha, as grandezas de espcies diferentes que se correspondem: HorasCaminhesVolume 820160 5x125 Identificao dos tipos de relao: Devemoscompararcadagrandezacomaquelaondeestox. Observeque: Aumentandoonmerodehorasdetrabalho,podemosdiminuironmerodecaminhes. Portanto a relao inversamente proporcional (seta para cima na 1 coluna). Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o nmero de caminhes. Portanto a relao diretamente proporcional (seta para baixo na 3 coluna). DevemosigualararazoquecontmotermoxcomoprodutodasoutrasrazesTODAS relacionadas de forma diretamente proporcional. Montando a proporo e resolvendo a equao temos: 20 160 5.125 8 x =Invertermos os termos. Invertermos os termos. Matemtica 36Matemtica Bsica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves 20.125.825160.5x = =Logo, sero necessrios 25 caminhes. Exerccios de fixao 1) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preo? 2) Uma equipe de operrios, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Seonmerodehorasdeservioforreduzidopara5horas,emqueprazoessaequipefaro mesmo trabalho? 3)Numafbricadebrinquedos,8homensmontam20carrinhosem5dias.Quantoscarrinhos sero montados por 4 homens em 16 dias? 4) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual ser o tempo necessrio para completar esse muro? 5)Trstorneirasenchemumapiscinaem10horas.Quantashoraslevaro10torneiraspara encher 2 piscinas?Resposta: 6 horas. 6)Umaequipecompostade15homensextrai,em30dias,3,6toneladasdecarvo.Sefor aumentadapara20homens,emquantosdiasconseguiroextrair5,6toneladasdecarvo?Resposta: 35 dias. 7) Vinte operrios, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levar uma turma de 16 operrios, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m?Resposta: 15 dias. 8) Um caminhoneiro entrega uma carga em um ms, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade mdia de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade mdia de 60 km/h?Resposta: 10 horas por dia. 9) Com uma certa quantidade de fio, uma fbrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em50minutos.Quantosmetrosdetecido,com1metroe20centmetrosdelargura,seriam produzidos em 25 minutos?Resposta: 2025 metros. Matemtica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves37 Exerccios Complementares 1 Em um banco, contatou-se que um caixa leva, em mdia, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes ? 2 Paguei R$ 6,00 por 1.250 kg de uma substncia. Quanto pagaria por 0,750 kg dessa mesma substncia ? 3 Seis mquinas escavam um tnel em 2 dias. Quantas mquinas idnticas sero necessrias para escavar esse tnel em um dia e meio ? 4Umafonte fornece39litrosdeguaem5 minutos.Quantoslitros forneceremumahora e meia ? 5Abrimos32caixaseencontramos160bombons.Quantascaixasiguaisnecessitamospara obter 385 bombons ? 6Umautomvelpercorre380kmem5horas.Quantosquilmetrospercorrerem7horas, mantendo a mesma velocidade mdia ? 7Umautomvelgasta24litrosdegasolinaparapercorrer192 km.Quantoslitrosde gasolina gastar para percorrer 120 km ? 8 Uma torneira despeja 30 litros de gua a cada 15 minutos. Quanto tempo levar para encher um reservatrio de 4m3 de volume? 9 Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma que a nova foto tenha 10,5 m de largura. Qual ser o comprimento da foto ampliada? 10 Uma foto mede 2,5 cm por 3,5 cm e se quer ampli-la de tal maneira que o lado maior mea 14 cm. Quanto deve medir o lado menor da foto ampliada ? 11Duaspiscinastmomesmocomprimento,amesmalarguraeprofundidadesdiferentes.A piscina A tem 1,75 m de profundidade e um volume de gua de 35 m3. Qual o volume de gua da piscina B, que tem 2 m de profundidade? 12Nummapa,adistnciaRio-Bahia,quede1.600km,estrepresentadapor24cm.A quantos centmetros corresponde, nesse mapa, a distncia Braslia-Salvador, que de 1200 km ? 13 Uma vara de 3 m em posio vertical projeta uma sombra de 0,80 m. Nesse mesmo instante, um prdio projeta uma sombra de 2,40 m. Qual a altura do prdio ? 14 Uma tbua de 2 m, quando colocada verticalmente, produz uma sombra de 80 cm. Qual a altura de um edifcio que, no mesmo instante, projeta uma sombra de 12 m ? 15 Uma folha de alumnio tem 400 cm2 de rea e tem uma massa de 900 g. Qual ser, em g, a massa de uma pea quadrada, da mesma folha de alumnio, que tem 40 cm de lado? ( Determine a rea da pea quadrada ). 16 Uma rua tem 600 m de comprimento e est sendo asfaltada. Em seis dias foram asfaltados 180 m da rua Supondo-se que o ritmo de trabalho continue o mesmo, em quantos dias o trabalho estar terminado?Matemtica 38Matemtica Bsica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves 17 Um muro dever ter 49 m de comprimento. Em quatro dias, foram construdos 14 m do muro. Supondo-se que o trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo, em quantos dias ser construdo o restante do muro? 18Numafbricadecalados,trabalham16operriosqueproduzem,em8horasdeservio dirio,240paresdecalados.QuantosoperriosSonecessriosparaproduzir600paresde calados por dia, com 10 horas de trabalho dirio? 19Meiadziadedatilgrafospreparam720pginasem18dias.Emquantosdias8 datilgrafos, com a mesma capacidade dos primeiros, prepararo 800 pginas ? 20 Para erguer um muro com 2,5 m de altura e 30 m de comprimento, certo nmero de operrios levou24dias.Emquantosdiasessemesmonmerodeoperriosergueriaum murode2 mde altura e 25 m de comprimento ? 21 Um automvel, com velocidade mdia de 60 km/h, roda 8 h por dia e leva 6 dias para fazer certopercurso.Seasuavelocidadefossede80km/heserodasse9 horaspordia,em quanto tempo ele faria o mesmo percurso? 22 Dois carregadores levam caixas do depsito para um caminho. Um deles leva 4 caixas por vez e demora 3 minutos para ir e voltar. O outro leva 6 caixas por vez e demora 5 minutos para ir e voltar. Enquanto o mais rpido leva 240 caixas, quantas caixas leva o outro ? 23 O consumo de 8 lmpadas, acesas durante 5 horas por dia, em 18 dias, de 14 quilowatts. Qualseroconsumoem15dias,deixandoapenas6dessaslmpadasacesasdurante4horas por dia? 24Com16mquinasdecosturaaprontaram720uniformesem6diasdetrabalho.Quantas mquinas sero necessrias para confeccionar 2.160 uniformes em 24 dias? 25 Uma famlia composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de po. Quantos quilos de po sero necessrios para aliment-la durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas? 26Quinzeoperriostrabalhandooitohoraspordia,em16dias,constroemummurode80 metrosdecomprimento.Emquantashoraspordia,10operriosconstruiroummurode90 metros de comprimento, da mesma altura e espessura do anterior, em 24 dias ? 27 Os desabamentos, em sua maioria, so causados por grande acmulo de lixo nas encostas dosmorros.Se10pessoasretiram135toneladasdelixoem9dias,quantastoneladassero retiradas por 40 pessoas em 30 dias ? 28Umafrotadecaminhespercorreu3000kmparatransportarumamercadoria,com velocidademdiade60km/h,gastando10dias.Quantosdiasseronecessriosparaque,nas mesmas condies, uma frota idntica percorra 4 500 km com uma velocidade mdia de 50 km/h ? 29 Se 12 recenseadores visitam 1440 famlias em 5 dias de trabalho de 8 horas por dia, quantas famlias sero visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4 horas por dia ? 30 Um grupo de jovens, em 16 dias, fabricam 320 colares de 1,20 m de cada. Quantos colares de 1,25 m sero fabricados em 5 dias ? Matemtica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves39 9. Porcentagem frequenteousodeexpressesquerefletemacrscimosoureduesempreos,nmerosou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos: A gasolina teve um aumento de 15% Significa que em cada R$100 houve um acrscimo de R$15,00 O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00 Dos jogadores que jogam no Grmio, 90% so craques. Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grmio, 90 so craques. Razocentesimal:Todaarazoquetemparaconsequenteonmero100denomina-serazo centesimal. Alguns exemplos: Podemos representar uma razo centesimal de outras formas:

Asexpresses7%,16%e125%sochamadastaxascentesimaisoutaxaspercentuais. Considere o seguinte problema: Joovendeu50%dosseus50cavalos.Quantoscavaloselevendeu? Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos. Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos a seguinte definio: Porcentagem o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.

Exemplos: -Calcular 10% de 300.

-Calcular 25% de 200kg.

Logo, 50kg o valor correspondente porcentagem procurada.

Matemtica 40Matemtica Bsica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves Exerccios Resolvidos 1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

Portanto o jogador fez 6 gols de falta.

2)SeeucompreiumaaodeumclubeporR$250,00earevendiporR$300,00,qualataxa percentual de lucro obtida? Montamosumaequao,ondesomandoosR$250,00iniciaiscomaporcentagemque aumentou em relao a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.

Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%. 10. Fator de multiplicao Se,porexemplo,humacrscimode10%aumdeterminadovalor,podemoscalcularonovo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que o fator de multiplicao. Se o acrscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo: Acrscimo ou LucroFator de Multiplicao 10%1,10 15%1,15 20%1,20 47%1,47 67%1,67

Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00 No caso de haver um decrscimo, o fator de multiplicao ser: Fator de Multiplicao =1 - taxa de desconto (na forma decimal) Veja a tabela abaixo: DescontoFator de Multiplicao 10%0,90 25%0,75 34%0,66 60%0,40 90%0,10 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00 Matemtica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves41 11. Ponto percentual Ponto percentual o nome da unidade na qualpode ser expressa ovalor absoluto da diferena entre quaisquer pares de porcentagens. Porexemplo:seumadeterminadataxadejuroscairde24%aoanopara12%aoano,pode-se dizerquehouvereduode50%{[(valorinicial)-(valorfinal)]/(valorinicial)},masnoquehouve reduode12%.Dizerquehouveumareduode12%implicaqueovalorfinalsejade12% menor que o valor inicial, no nosso exemplo, a taxa final seria 21,12% ao invs de 12%. OPontoPercentualumaunidadequepodeexpressaressadiferena,voltandoaonosso exemplo, correto dizer que houve reduo de 12 pontos percentuais na tal taxa de juros. Exerccios de fixao 1. Uma compra foi efetuada no valor de R$ 1.500,00. Obteve-se um desconto de 5%. Qual foi o valor pago em reais? 2. Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorizao (acrscimo) de 0,12% sobre o seu preo. Quanto ele passou a custar? 3. Uma impressora a laser custou R$ 18800,00 para uma grfica. No perodo de um ms, ela apresentou um lucro de R$ 120,00. De quantos por cento foi o lucro sobre o preo de compra? 4. Um determinado produto teve um acrscimo de 10%, sobre o seu preo de tabela. Aps certo perodo, teve um decrscimo tambm de 5% sobre o preo que foi aumentado, obtendo assim o preo atual. Qual o percentual que o preo atual corresponde em relao ao primeiro valor (preo de tabela)? 5. De um exame para habilitao de motoristas participaram 380 candidatos; sabe-se que a taxa percentual de reprovao foi de 15%. Calcule o nmero de aprovados. 6. Uma bolsa vendida por R$32,00. Se seu preo fosse aumentado em 20%, quanto passaria a custar? 7. Certa mercadoria, que custava R$24,00, passou a custar R$30,00. Calcule a taxa percentual do aumento. 8. Qual o preo de uma mercadoria que custa R$50,00 aps dois aumentos sucessivos de 25% e 20%, respectivamente? 9. Qual o preo da mercadoria que custa R$100,00 aps dois descontos sucessivos, de 30% e de 20%. 10. Um comerciante aumenta o preo original P de certa mercadoria em 80%. Em seguida anuncia essa mercadoria com desconto de 20%, resultando um preo final de R$ 72,00. Calcule o valor do preo original P. Matemtica 42Matemtica Bsica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves _ Captulo 4 EQUAES E SISTEMAS A matemtica apresenta invenes to sutis que podero servir no s para satisfazer os curiosos como, tambm para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens. Renn Descartes 1. Introduo Nesse captulo, voc analisar as equaes de 1 e 2 grau suas solues. Estudar tambm os sistemas lineares de duas variveis, entendendo os mtodos e resoluo e suas aplicaes. 2. Equaes de 1 grau Equao uma igualdade que s se verifica para determinados valores atribudos s letras (que se denominam incgnitas). Incgnita:Quantidadedesconhecidadeumaequaooudeumproblema;aquiloque desconhecido e se procura saber; enigma; mistrio. Exemplo: a)membro 2 membro 15 2 - x = s verdade para x = 7 b)3 7 x y + = s verdade para alguns valores de x e y, como por exemplo x = 2 e y = 1 ou x = 1 e y = 4. Osvaloresatribudossincgnitas quetornam verdadeirasasigualdadesdenominam-se razes da equao. Se a equao contiver apenas uma incgnita e se o maior expoente dessa incgnita for 1 ento a equao dita equao do 1 grau a uma incgnita. 1) Resoluo de uma equao do 1 grau a uma incgnita Resolver uma equao determinar sua raiz. No caso de uma equao do 1 grau a uma incgnita,consegue-seresolve-laisolando-seaincgnitano1membro,transferindo-se parao2membroostermosquenocontenhamaincgnitaefetuando-seaoperao inversa(asoperaesinversasso:adioesubtrao;multiplicaoediviso; potenciao e radiciao). Exemplos: a)x + 2 = 7 x + 2 2 = 7 2 x = 5 b)x 3 = 0 x 3 + 3 = 0 + 3 x = 3 c)4x 28 22x 8 x 2 = = =d)15x5 * 33 x * 3 53x= = = Matemtica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves43 Se a equao envolver simultaneamente denominadores e adio ou subtrao, o primeiro passo ser eliminar os denominadores, o que se faz mediante a aplicao da seguinte regra: Os passos seguintes so descritos no exemplo a seguir: 56 - 4x 31 3x -22 - 3x =+ 1 Passo: Eliminam-se os denominadores, se houver: m.m.c. (2; 3; 5) = 30 Logo: 15 * (3x 2) 10 * (3x + 1) = 6 * (4x 6) 2 Passo: Eliminam-se os parnteses, efetuando as multiplicaes indicadas: 45x 30 30x 10 = 24x 36 3Passo:Transpem-seostermosquecontmaincgnitaparao1membro,eos independentes (os que no contm a incgnita) para o 2, efetuando as operaes necessrias: 45x 30x 24x = - 36 + 30 + 10 4 Passo: Reduzem-se os termos semelhantes em cada membro: -9x = 4 5Passo:Divide-seos doismembrospelovalorqueoxestsendomultiplicado,desta maneira isola-se a incgnita: 9 -4 9x 9= 6 Passo: Sendo o divisor ou o dividendo negativo, a frao passa a ser negativa tambm: 94- x = VERIFICAO OU PROVA REAL Substitui-se a raiz encontrada em cada um dos membros da equao dada. Os valores numricos devem ser iguais 3. Sistema de equao do 1 grau com duas incgnitas A forma genrica de um sistema : = += +p ny mxc by ax onde a, b, c, m, n, p e9(Reais) 1)Equaoaduasincgnitas:Umaequaoaduasincgnitasadmiteinfinitassolues.Por exemplo, a equao 2x y = 4 verificada para um nmero ilimitado de pares de valores de x e y; entre estes pares estariam: (x = 4; y = 4), (x = 2; y = 0), (x = -1; y = -6), etc. 2)Sistemadeduasequaesaduasincgnitas:resolverumsistemadesuasequaesaduas incgnitas determinar os valores de x e y que satisfaam simultaneamente s duas equaes. Por exemplo o sistema:

=== = +1 y3 x para soluotem3 y 3 x 216 y x 5 Calcula-se o m.m.c. dos denominadores; divide-se o m.m.c. encontrado por cada um dos denominadores e multiplicam-se os resultados pelos respectivos numeradores. Matemtica 44Matemtica Bsica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves Pois apenas estes valores satisfazem simultaneamente s duas igualdades. (Verifique!) 4. Mtodo de soluo para um sistema M1. Substituio 1) Seja o sistema: = = +2 equao 1 y 2 x 51 equao 8 y 3 x 2 2) Isola-se uma das incgnitas em uma das equaes, por exemplo, o valor de x na equao 1: 3 equao2y 3 8xy 3 8 x 28 y 3 x 2= == + 3) Substitui-se x da equao 2 pelo seu valor (equao 3): 4 equao 1 y 223y - 8* 5 = |.|

\| 4) Resolve-se a equao 4 determinando-se o valor de y: ( )2 y38 y 192 y 4 y 15 402 y 4 y 3 8 * 5= == = 5) O valor obtido para y levado equao 3 (em que j est isolado) e determina-se x: ( )1 x26 8x22 * 3 8x= == 6) A soluo do sistema : { } 1, 2 S = M1. Comparao 1) Seja o sistema: = = +7 y 2 x 533 y 3 x 7 2) Isola-se a mesma incgnita nas duas equaes: 7y 3 33x=e 5y 2 7x+= 3) Igualam-se os segundos membros pois os primeiros so iguais (x = x): 5y 2 773y - 33 +=4) Resolve-se a equao e determina-se y: ( ) ( )4 y16 y 29y 14 49 y 15 165y 2 7 * 7 y 3 33 * 5= =+ = + = Matemtica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves45 5) O valor de y levado a qualquer das equaes em que x est isolado e determina-se o valor de x: ( )3 x721712 3374 * 3 3373y - 33x= === = 6) A soluo do sistema : { } 3, 4 S = M1. Adio Este mtodo consiste em somar, membro a membro, as duas equaes com o objetivo de, nesta operao,eliminaruma dasincgnitasesvantajosonocasodeoscoeficientesdeumadas incgnitas serem simtricos. Exemplos: a)= = +2 equao 0 y x1 equao 4 y x Somando, membro a membro, vem: 2 x4 x 2 ==Substituindo o valor de x na equao 1 (ou na equao 2, fica a critrio do aluno), vem: 2 y 4 y 2 == + b)== + = = +6 2y - 10x7 2y 3x

(2) * 3 y x 57 y 2 x 3 Somando, membro a membro, vem: 1 x13 x 13 ==Substituindo o valor de x na 1 equao (ou na 2, fica a critrio do aluno), vem: 2 y 4 2y 7 2y 3 7 2y 1 * 3 === += + Exerccios de fixao 1) Resolver as seguintes equaes: a)8 x 4 =b)10 x 5 = c)8 x 7 = +d)7 x 2 3 = e)12 x 4 x 4 16 + = +f)x 5 27 x 13 x 7 8 = +g) 433x 2=h) 10x 341=i)( ) 3 x 4 5 x 4 2 x 9 + = + +j)( ) ( ) 5 x 4 10 x 2 7 * 5 x 2 * 3 + = k)1436 x 52x 1232 x= l) 6x 5 92312x3x 4 383 x 5 = ++ 2) Resolver os seguintes sistemas de equaes: Matemtica 46Matemtica Bsica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves a) = + = +24 y x 312 y x b) = += +1 y 2 x 719 y 6 x 5 c) = = +2 y 4 x 312 y 5 x d) =+= +223 y31 x 225y4x 5. Equaes do 2 grau Uma equao do 2 grau na incgnitax , toda igualdade do tipo: Onde, , a b c so nmeros reais e0 a = . A equao chamada de 2 grau ou quadrtica devido incgnitaxapresentar o maior expoente igual a 2. Se tivermos b= 0 e c = 0 teremos uma equao completa. Se tivermos b = 0 ou c = 0 teremos uma equao incompleta. Resolvendo Equaes de 2 Grau Quando a equao de 2 grau for incompleta sua resoluo bastante simples, veja: 1 caso: b = 0 e c = 0; temos ento:20 ax =Exemplo: 3 x = 0 x = 0 x = 0 S = {0} 20 ax bx c + +=Matemtica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves47 2 caso: c = 0 e b=0; temos ento: 20 ax bx + =Exemplo: 3 x - 12 x = 0 x . (3 x 12) = 0 x = 0 ou 3 x 12= 0 3 x = 12 x = 4 S = {0; 4} 3 caso: b = 0 e c=0; temos ento: 20 ax c +=Exemplo: x - 4 = 0 x = 4 x =4 x = 2 e x = -2S = {-2; 2} Aresoluodaequaocompletade2grauobtidaatravsdeumafrmularesolutivado2 grau: 2bxa A=Onde: 24 b ac A = A > 0tm-se duas razes reais e diferentes A= 0tm-se duas razes reais e iguais A < 0 tm-se duas razes imaginrias Exerccios de fixao 1) Determinar as razes das seguintes equaes quadrticas: a)0 6 x 7 x2= + b)0 28 x 3 x2= +c)0 2 x 5 x 32= + d)0 3 x 16 x 162= + +e)0 16 x 42= f)0 18 x 22= g)x 5 x 32=h)0 x 8 x 22= +i)( ) ( )2 23 x 4 3 x 2 = 2) Prever a natureza das razes das equaes: a)0 1 x 3 x 22= + b)0 3 x x2= + +c)0 2 x 4 x 22= + Matemtica 48Matemtica Bsica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves 6. Equaes irracionais Definio:Umaequaodenominadairracionalquandoapresentaincgnitasobradicalou incgnita com expoente fracionrio. Resoluo de uma equao irracional Duranteoprocessodesoluodeumaequaoirracionalcomndicedoradicaliguala2(ou outro qualquer) necessrio elevar ao quadrado (ou em caso de expoente diferente de 2, eleva-se ao que se fizer necessrio) ambos os membros da equao e esta operao pode provocar o aparecimento de razes estranhas, isto , valores que realmente no verificam a equao original. Estefatoobrigaquetodaraizobtidadeveserverificadanaequaooriginaleverificandoa igualdade. Exemplos: a) Determinar as razes da equao:0 4 5 x = Isola-se o radical em um dos membros: 4 5 x = Elevam-se ambos os membros ao quadrado, para eliminar a raiz: ( )224 5 x = 16 5 x = Determina-se x e verifica-se na equao original. 21 x = b) Determinar as razes da equao:x 2 4 x = +Isolando o radical no 1 membro: 2 x 4 x + = +Elevando-se ambos os membros ao quadrado: ( ) ( )0 x 3 x4 x 4 x 4 x2 x 4 x2222= ++ + = ++ = + As razes da equao do 2 grau so: ( )-3x 0 x 0 3x e 0 3 x x2 1= == + = + Verificando as razes na equao irracional: Para x1=00 00 2 20 2 4 0x 2 4 x== = += + Para x2=-33 13 2 13 2 4 3 = = = + Observe que apenas x=0 verifica a igualdade, assim a raiz da equao original 0. Matemtica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves49 Exerccios de fixao Resolva as equaes abaixo a)0 4 x = b)0 2 x = +c)0 2 1 x = +d)15 x 2 x = e)x 2 4 7 x 2 = +f)9 x 2 4 x 1 x + = + +g)1 2 x 2 x = +h)3 x 9 x2= Matemtica 50Matemtica Bsica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves 7. Inequaes do 1 grau Smbolos de desigualdadesSo smbolos que permitem uma comparao entre duas grandezas. Exemplos: a)7 > 5 (7 maior do que 5). b)3 < 6 (3 menor do que 6). c)xs1 (x menor ou igual a 1). d)y>4(y maior ou igual a 4). e)1 < xs 4 (x maior do que 1e menor ou igual a 4). Inequao do 1 grau uma desigualdade condicionada em que a incgnita de 1 grau. Exemplo: 2x > 4 A veracidade da desigualdade est condicionada ao valor de x. Observa-se que o 1 membro ser maior do que o 2 membro quando se atribui a x qualquer valor maior do que 2. Isto : x > 2 x>2indicaumconjuntodevaloresdenominadosoluodainequao.Paradeterminar-seo conjunto-soluodeumainequaodo1grauisola-sexno1membrodeformasoluode uma equao do 1 grau, e sempre que se multiplicar ou dividir a inequao por um nmero negativo, inverte-se o sinal da desigualdade. Exemplos: a) 2 x2 x 4 2 x 2 x 4> s s s b) 0 x 0 x 2 1 1 x 2 1 1 x 2>> >> + Exerccios de fixao 1) Resolver as seguintes inequaes: a)1 1 x 2 s +b)2 x x 3 + s c)16 x 5 x >d)( ) x 7 5 x 3 1 x 2 > + +e)15x 421x52 > f) 32x 73x 7+ s g)47x 294x 3+ < a > b (a maior do que b) a < b (a menor do que b) a>b (a maior ou igual a b) asb (a menor ou igual a b) Matemtica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves51 Captulo 5 FUNES Para Tales...a questo primordial no era o que sabemos, mas como sabemos. Aristteles 1. Introduo Nesse captulo, voc notar como muitas situaes prticas nas reas de administrao, economia e cincias contbeis podem ser representadas por funes matemticas. Nas anlises iniciaisdessasfunes,seroressaltadosconceitoscomoconceitodefuno,valordeuma funo,domniodeumafuno,operaescomfuneserepresentaogrfica,sempre associada a aplicaes nas reas administrativas, econmica e contbil. Oconceitodefunoverdadeiramentefundamentalemmatemtica.Nolinguajardo dia-a-diadizemosocomportamentodomercadodeaesumafunodaconfianado consumidorouapressoarterialdopacienteumafunodosmedicamentosquelheforam prescritos. Em cada caso, a palavra funo expressa a idia de que o conhecimento de um fato nos informa de outro fato. Em matemtica, as funes mais importantes so tais que, conhecendo um nmero, obtemos outro nmero. ApartedaMatemticamodernagiraemtornodosconceitosdefuno,limite,clculo diferencialeintegral,eocupalugardedestaqueemvrioseixostemticosdela,bemcomoem outras reas de conhecimento. 2. Conceito de funo RefernciaHistrica:LeonhardEuler(1707-1783),mdico,telogo,astrnomoe matemtico suo, desenvolveu trabalhos em quase todos os ramos da Matemtica Pura e Aplicada, com destaque para a Anlise- estudo dos processos infinitos- desenvolvendo a idia de funo. Foi o responsvel tambm pela adoo do smbolo) (x f para representar uma funo dex . Hoje, funo uma das idias essenciais em Matemtica. Umfabricantegostariadesabercomoolucrodesuaempresaestrelacionadocomo nveldeproduo;umbilogogostariadesabercomootamanhodaumapopulaodecerta culturadebactriasmudaraolongodotempo;umpsiclogogostariadeconhecerarelao entreotempodeaprendizadodeumindivduoeotamanhodoseuvocabulrio;euqumico gostaria de saber como a velocidade inicial de uma reao qumica est relacionada quantidade desubstratoutilizada.Emcadaumadessassituaesestamospreocupadoscomamesma questo;comoumaquantidadedependedaoutra?Arelaoentreduasquantidades convenientemente descrita em matemtica pelo uso do conceito de funo. Definio:UmafunoB A f : constadetrspartes:umconjuntoA,chamadode domniodafuno(ouconjuntoondeafunodefinida),umconjuntoB ,chamadode contradomniodafuno,ouoconjuntoondeafunotomavalores,eumaregraquepermite associar, de modo bem determinado, a cada elementoA x e , um nico elementoB x f y e = ) ( , chamado o valor que a funo assume emx . Uma funo uma regra que associa a cada elemento de um conjunto A um nico elemento de um conjunto B. Matemtica 52Matemtica Bsica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves Exemplo 1 - Um exemplo de funo dado pela conhecida relao entre a rea de um crculo e seuraio.Denotandoporx ey oraioeareadeumcrculo,respectivamente,sabemosda geometria elementar que: 2x y t = Essaequaodefiney comoumafunodex ,jqueacadavaloradmissveldex(isto,a cada nmero no-negativo representando o raio de certo crculo) corresponde precisamente a um nmero 2x y t = queforneceareadocrculo.Aregradefinindoestfunoreapodeser escrita como: 2) ( x x f t = Para calcular a rea de um crculo de raiocm 5 , simplesmente substitumosxna funo acima pelo nmero 5. Assim, a rea do crculo dada por: 2 225 5 ) 5 ( cm f t t = = De modo geral, para calcularmos uma funo num valor especfico dex , substitumosxpor tal valor. Exemplo 2 - Considere a funof definida pela regra1 2 ) (2+ = x x x f . Calcule: a)) 1 ( f2 1 1 2 1 ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 (2= + = + = fb)) ( h a f +1 2 4 2 1 ) 2 ( 2 1 ) ( ) ( 2 ) (2 2 2 2 2+ + + = + + + = + + + = + h a h ah a h a h ah a h a h a h a f 3. Determinando o domnio de uma funo Suponhamosquenosdadaafuno) (x f y = .Entoavarivelx chamadade varivelindependente.Avarively ,cujovalordependedex ,chamadadevarivel dependente. Paradeterminarmosodomniodeumafuno,precisamosencontrarquaisrestries devem ser colocadas sobre a varivel independentex , caso existam.Emgeral,seumafunodefinidaporumaregrarelacionandox a) (x f semmeno explcita de seu domnio, entende-se que o domnio consistir em todos os valores dex para os quais) (x f um nmero real. Como relao a isso, voc deve ter em mente que (1) diviso por zeronopermitidae(2)araizquadrada(oudeordempar)deumnmeronegativonoest definida. Exemplo 3 Determine o domnio de cada uma das funes abaixo. a)1 ) ( = x x fComo a raiz quadrada de um nmero negativo no est definida no conjunto dos nmeros reais, temosarestriodeque0 1> x ,resolvendoadesigualdadeencontramos1 > x .Logo,o domnio def o intervalo| ) , 1 , ou ainda,{ } 1 / > e = x R x D . Matemtica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves53 b) 41) (2=xx fA nica restrio emx que42 x seja diferente de zero, uma vez que a diviso por zero no permitida. Dessa forma temos que: 0 42= x42= x4 = x 2 = xLogo, domnio def , nesse caso, consiste em todos os nmeros reais diferentes de2 e2 , ou seja,{ } 2 / = e = x R x D . c)3 ) (2 = x x fNesse exemplo, qualquer nmero real satisfaz a equao, e, portanto o domnio def o conjunto dos nmeros reais, ou seja,R D = 4. Representao grfica de uma funo RefernciaHistrica:Aodesenvolveroplanocartesiano,noinciodosculoXVII,Ren Descartesrevolucionouamaneiradeencararamatemtica.AnteriormenteaDescartes,a lgebraeageometriaconstituamramosseparadosdamatemtica,comapequena superposio. Introduzindo as coordenadas na geometria, Descartes abriu aos matemticos a possibilidadederesolverproblemasalgebricamenteegraficamente.Nosanosde1980,a introduodeinstrumentosgrficosdefcilmanejo,acarretououtrarevoluonaformade estudarmatemtica.Comestanovatecnologia,podemosestabeleceraanalisarmodelos matemticos de forma muito mais simples do que anteriormente. O plano cartesiano ortogonal constitudo por dois eixosxeyperpendiculares (ngulo reto) entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal o eixo dasabscissas (eixoOx ) e o eixovertical o eixo dasordenadas (eixoOy ). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todososnmerosreais,obtm-seoplanocartesianoortogonal.Cadaponto) , ( b a P = doplano cartesiano formado por um par ordenado de nmeros, indicados entre parnteses, a abscissa e a ordenada respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas de um ponto. FIG. 2.1 O plano cartesiano Matemtica 54Matemtica Bsica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves 5. Marcando os pontos no plano cartesiano Abelezadosistemacartesianoresidenofatodepermitirvisualizarrelaesentreduas variveis. Para marcar os pontos no plano, procedemos da seguinte maneira: Sejaoponto) 4 , 3 ( = P ,onmero3 acoordenadadaabscissa,ousejadeveser marcada no eixox , j o nmero4 a coordenada da ordenada e deve ser marcado no eixoy ; imaginesevocpudessetraarumaretaperpendicularacadaumdoseixosnospontos marcados, teramos a seguinte figura. FIG. 2.2 Marcao de pontos. 6. Grficos de uma funo Sef umafunocomdomnioA,entocadanmerorealx deAestassociado precisamenteumnmeroreal) (x f .Podemostambmexpressarestefatoutilizandopares ordenados de nmero reais. Desta forma obtemos um par ordenado)) ( , ( x f x para cadax emA. Comoparesordenadosdenmerosreaiscorrespondemapontosnoplano,encontramosassim uma maneira de exibir uma funo graficamente. GRFICO DE UMA FUNO DE UMA VARIVEL O grfico de uma funof o conjunto de todos os pontos) , ( y x n plano cartesianoxytal quex est no domnio def e) (x f y = Afiguraabaixonosmostraogrficodeumafuno.Observequeodomniodef oconjunto dos nmeros reais do eixox , enquanto a imagemfse encontra sobre o eixoy . FIG 2.3 O grfico defMatemtica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves55 Representao grfica de uma funo Vamosagoraconstruirgrficosdefunesdeterminadasporleisdeformao) (x f y =emumsistemadecoordenadascartesianasortogonais.Paraconstruirogrficodeumafuno dada por) (x f y = , comD x e , no plano cartesiano, devemos: -Construir uma tabela com valores de x escolhidos convenientemente em D e com valores correspondentes para) (x f y = ; -A cada par ordenado( ) y x,da tabela associar um ponto no plano cartesiano; -Marcar um nmero suficiente de pontos, at que se tenha uma idia do grfico da funo (esboo do grfico). Exemplo 4 Construa o grfico da funo dada por1 2 ) ( + = x x f . Inicialmente escolhemos alguns nmeros aleatrios no domnio da funo dada para colocarmos natabela.Comonessecasotemoscomodomniooconjuntodosnmerosreais,podemos escolher qualquer um. Veja a tabela abaixo. x1 2 ) ( + = = x x f y Pontos -23 1 ) 2 ( 2 ) 2 ( = + = f ) 3 , 2 ( -11 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( = + = f ) 1 , 1 ( 01 1 ) 0 ( 2 ) 0 ( = + = f ) 1 , 0 (13 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( = + = f ) 3 , 1 (25 1 ) 2 ( 2 ) 2 ( = + = f ) 5 , 2 ( Agora,colocamosnoplanocartesianoosparesordenadosencontradosnatabelaacima.Desta forma, temos um esboo do grfico da funo dada por1 2 ) ( + = x x f . FIG 2.4 Pontos no plano cartesiano Com base nos pontos plotados do grfico acima que tipo de grfico seria mais adequado para a representao desses pontos? Vemos que a melhor aproximao para esse conjunto de pontos uma reta. Veja a figura 2.5. Matemtica 56Matemtica Bsica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves FIG 2.5 O grfico de1 2 ) ( + = x x f Exemplo 5 Construa o grfico da funo dada por3 2 ) (2 = x x x fx3 2 ) (2 = = x x x f yPontos -2 5 3 ) 2 ( 2 ) 2 ( ) 2 (2= = f) 5 , 2 (-1 0 3 ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 (2= = f) 0 , 1 (0 3 3 ) 0 ( 2 ) 0 ( ) 0 (2 = = f) 3 , 0 (1 4 3 ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 (2 = = f) 4 , 1 ( 2 3 3 ) 2 ( 2 ) 2 ( ) 2 (2 = = f) 3 , 2 (3 0 3 ) 3 ( 2 ) 3 ( ) 3 (2= = f) 0 , 3 (4 5 3 ) 4 ( 2 ) 4 ( ) 4 (2= = f) 5 , 3 (

FIG 2.6 Pontos no plano cartesiano Com base nos pontos plotados do grfico acima que tipo de grfico seria mais adequado para a representao desses pontos? Vemos que a melhor aproximao para esse conjunto de pontos uma parbola. Veja a figura 2.7. Matemtica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves57 FIG 2.7 O grfico de3 2 ) (2 = x x x f Exerccios propostos 1) Sejaf definida por xxx f1) (+= . a) Determine o domnio defb) Calcule) 3 ( fc) Calcule) ( h a f + 2) Calcule o domnio de cada uma das funes abaixo a) 8 21) (+=xxx f b) 53) (=xx fc) 93 10) (2+=xxx f d)4 ) ( + = x x f e)4 10 ) (2+ = x x x f3) SejaR R f *:uma funo definida por xx x f2) ( + = . a) Calcule) 3 ( fb) Calcule|.|

\|21fc) Calcule( ) 1 + K f 4)Sejamasfunesdefinidaspor3 2 ) ( = x x f ea x x g + = 3 ) ( .Determineovalordeasabendo que8 ) 2 ( ) 2 ( = + g f . 5) Marque no plano cartesiano os pontos abaixo a)) 1 , 3 ( b)) 5 , 5 ( c)) 6 , 2 ( d)) 4 , 0 ( e)) 0 , 3 (

6) O grfico de uma funof mostrado na figura abaixo. Com base nessa figura responda: a) Qual o valor aproximado de) 5 ( f ? E o valor de) 1 ( f ? b) Qual o domnio def ? c) Qual a imagem def ? Matemtica 58Matemtica Bsica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves 7) Sejaf a funo definida por6 5 ) ( + = x x f . Calcule) 3 ( f ,) 3 ( f ,) ( a f e) 3 (+ a f . 8) Sejaf a funo definida por s +> +=1 se , 1 21 se , 32) (22x xxxx f , calcule) 1 ( f ,) 0 ( f ,) 1 ( fe) 2 ( f . 9) Considere o grfico da funof mostrado na figura a seguir: a) Determine o valor de) 0 ( f . b) Determine os valores dex para os quais) (i 4 ) ( = x fe) (ii 0 ) ( = x fc) Determine o domnio def . d) Determine a imagem def . 10) Seja a funof definida pela regra6 ) (2 = x x x f . a) Determine o domnio defb) Calcule) (x f para3 , 2 , 1 ,21, 0 , 1 , 2 , 3 = xc) Use os resultados obtidos em (a) e (b) para esboar o grfico def . Matemtica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves59 Captulo 6 FUNO LINEAR NohramodaMatemtica,pormaisabstratoqueseja,que no possa um dia vir a ser aplicado aos fenmenos do mundo real.Lobachevsky 1. Introduo Nesse captulo, voc analisar as funes constantes, linear e suas aplicaes estudando conceitos como taxa de variao; funo receita, custo, lucro, demanda, oferta e break-even point (pontodeequilbrio).Vocestudartambmdiferentesmaneirasdeobtereinterpretar graficamente a funo linear e a obteno de uma equao linear que passa por dois pontos. 2. Modelos lineares Analisaremosagoraasfuneslineares(1grau);estasrepresentamumdostiposde funes mais simples e de grande utilizao. Funo Linear No exemplo a seguir, a tabela traz o custo para a produo de camisetas. Quantidade (q)05102050100 Custo (R$)100110120140200300 Notamosque,quandohumaumentode5 unidadesproduzidas,ocustoaumenta 00 , 10 $ R ;sehumaumentode10unidades,ocustoaumentaem00 , 20 $ R .Conclumosque uma variao na varivel independente gera uma variao proporcional na varivel dependente. isso o que caracteriza uma funo linear. Para um maior entendimento da funo linear desse exemplo, podemos calcular a taxa de variaomdia,ousimplesmentetaxadevariaodavariveldependente,C ,emrelao varivel independente,q , pela razo: 25100 5100 110q em variaoC em variaohorizontal Variao vertical Variaoinclinao = == = = = m 25105 10110 120= == m Nesse exemplo, a razo2 = md o acrscimo no custo correspondente ao acrscimo de 1 unidade na quantidade. Notamos ainda que, mesmo se no forem produzidas camisetas, haver um custo fixo de 00 , 100 $ R . Tal custo pode ser atribudo manuteno das instalaes, impostos, despesas com pessoal etc. Demodogeral,podemosdizerqueafunocustoobtidapelasomadeumaparte varivel, o Custo Varivel, com uma parte fixa, o Custo Fixo. Em outras palavras temos: V FC C C + =Matemtica 60Matemtica Bsica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves Para nosso exemplo, podemos modelar a funo custo pela relao: 100 2 ) ( + = q q C O grfico da funo linear uma reta, onde2 = m nos d a inclinao da reta e termo independente 100 representa o ponto em que a reta intersecta o eixo vertical) ( y .Observe o grfico abaixo. FIG 3.1 Produo de camisetas Dadaafunocustoparaaproduodascamisetas,vamosanalisaragoraafuno Receita obtida com a comercializao das unidades. Paraumproduto,areceitaR dadapelamultiplicaodopreounitrio,p ,pela quantidade,q , comercializada, ou seja,q p R . = . Supondoporexemploqueopreoparaacomercializaodecadacamisetasejade 00 , 7 $ R , obtemos a funo Receita, que dada por: q q R 7 ) ( = Ogrficoparaessafunoumaretaquepassapelaorigemdoseixoscoordenados.Vejao grfico abaixo. FIG 3.2 Funo Receita Das funes Custo e Receita natural que passemos a questionar sobre o a funo Lucro. De modo geral, podemos expressar a funo Lucro fazendo "Receita menos Custo", ou seja: Custo - Receita Lucro = 20014010020 50 qCC=2q+100vari ao em C=60vari ao em q=30 2807010 40 qRR=7qvariao em R=210variao em q=30 Matemtica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves61 Para nosso exemplo, se chamarmosLo lucro e supondo que as quantidades produzidas de camisetas so as mesmas comercializadas, ento temos: 100 5 ) () 100 2 ( 7 ) ( =+ = =q q Lq q q LC R L Nesse caso, notamos que a funo Lucro tambm uma funo linear, cujo grfico uma reta de inclinao5 = me que corta o eixo da vertical em -100. Veja o grfico abaixo. FIG 3.3 Funo Lucro Podemosobservarpelogrficoquearetaquecortaoeixohorizontalem20 = q .Naverdade, podemos obter facilmente esse valor fazendo0 ) ( = q L , ou seja: 20100 50 100 50 ) (=== =qqqq L Podemos fazer a seguinte anlise: -se20 < q , temos lucro negativo -se20 > q , temos lucro positivo Naverdade,podemosobteraquantidadequeresultaemlucrozerofazendoReceita=Custo,ou seja, ) ( ) (0 ) ( ) (0 ) (q C q Rq C q Rq L== = Graficamente, o ponto em que a receita igual ao custo chamado de break-even pointi (ponto de equilbrio) e dado pelo encontro das curvas que representam a Receita e o Custo. Em nosso exemplo, dado pelo encontro das retasq q R 7 ) ( =e100 2 ) ( + = q q C . A interpretao do break-even point mostrado nos grficos abaixo. 20 40 qL100-100L=5q-100 Matemtica 62Matemtica Bsica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves FIG 3.4 Ponto de Equilbrio Como podemos observar, a funo linear pode ser til para representar o custo, a receita e o lucro na comercializao de um determinado produto. 3. Inclinao e taxa de variao Vamos utilizar o smboloA(a letra grega delta maiscula) para indicar variao em, onde x A significa variao emx ey A variao emy . A inclinao de uma funo linear) (x f y =pode ser calculada a partir de valores da funo em dois pontos, 1xe 2x , por meio da seguinte frmula: 1 21 2) ( ) (horizontal Variao vertical Variaoinclinaox xx f x fxym= = = =AA A quantidade 1 21 2) ( ) (x xx f x f chamada de quociente das diferenas, pois isto exatamente o que ela . Como a inclinao = xyAA, a inclinao representa a taxa de variao dey em relao a x . As unidades da inclinao so as unidades dey divididas pelas unidades dex . 1001402020-1000qqR,CLR=7qC=2q+100L=5q-100b reak-even point Matemtica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves63 FIG 3.5 Coeficiente de inclinao 4.Funo linear geral Uma funo linear dada por: b mx x f y + = = ) (Seu grfico uma reta tal que: -m a inclinao ou taxa de variao, ou ainda coeficiente angular; -b chamado de coeficiente linear que a interseo da reta com o eixo vertical, ou o valor dey quandox zero; Graficamentem, d a inclinao da reta que representa a funo. Comojfoidito,mnodataxadevariaodafuno,querepresentaseafunoest crescendo ou decrescendo e, graficamente,m representa a inclinao da reta, sendo mais ou menos inclinada positiva ou negativamente. Se0 > m , temos uma taxa de variao positiva, logo a funo crescente e a reta ser inclinada positivamente e, quanto maior for o valor dem, maior ser o crescimento dey a cada aumento dex, tendo a reta maior inclinao positiva. Se0 < m ,temosumataxadevariaonegativa,logoafunodecrescenteearetaser inclinada negativamente. 5. Obteno de uma funo linear Trabalhandocomfenmenosquepermitemarepresentaodomodelomatemticopor meiodeumafunolinear,importanteaobtenocorretadaexpressoquerepresentatal funo.Emoutraspalavras,sepudermosrepresentaromodelopormeiodeumaexpressodo tipob mx y + = , importante obtermos de maneira correta os parmetrosm eb . Paraaobtenodem(coeficientedeinclinao),devemosestaratentosparaas informaesquedizemrespeitostaxadevariao,ouseja,qualavariaodavarivel dependente em relao varivel dependente, assim podemos utilizar a equao: xymAA=Para a obteno do valor deb , utilizaremos um valor dex , seu correspondenteye o valor de m obtido anteriormente, substituindo tais valores emb mx y + = , desta forma obteremos o valor deb . Exemplo1:Umoperriotemseusalriodadoporumvalorfixomaisumapartevarivelque diretamenteproporcionalaonmerodehorasextrastrabalhadas.Sabe-sequeemummsem que so feitas 12 horas extras, o salrio de R$ 840,00, e que em um ms em que so feitas 20 horas extras, o salrio de R$1000,00. Obtenha a relao que d o salrio em funo das horas extras. Soluo: Pelo enunciado, a funo pode ser obtida pela expressob mx y + = , ondey representa o salrio ex o nmero de horas extras, ento teremos as correspondncias: Matemtica 64Matemtica Bsica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves 1000 20840 12= == =y xy x Obteremos o coeficiente de inclinao da seguinte maneira: 20816012 20840 1000= == =xymAA Para encontrarmos o valor deb substituiremos o valor de20 = m na equaob mx y + =e um dos pares dexey dados, como por exemplo,) 840 ; 12 ( ) ; ( = y x , desta forma temos o seguinte: 600) 12 ( 20 84020=+ =+ =bbb x y Assim, a funo do salrio dada por600 20 ) ( + = = x x f y . Exemplo 2: Obtenha a equao da reta que passa pelos pontos e (5,30) e (15,10). Soluo: Pelo enunciado, a funo pode ser obtida pela expressob mx y + = . Obteremos o coeficiente de inclinao da seguinte maneira: 210205 1530 10 === =xymAA Para encontrarmos o valor deb substituiremos o valor de2 = m na equaob mx y + =e um dos pares dexey dados, como por exemplo,) 30 ; 5 ( ) ; ( = y x , desta forma temos o seguinte: 40) 5 ( 2 302=+ =+ =bbb x y Assim, a funo do salrio dada por40 2 ) ( + = = x x f y . 6. Retas paralelas e retas perpendiculares O coeficiente de inclinao de uma reta constitui um recurso conveniente para determinar se duas retas so paralelas ou perpendiculares. 1. Duas retas distintas no-verticais so paralelas se e somente se seus coeficientes angulares so iguais, ou seja, 2 1m m = 2. Duas retas distintas no-verticais so perpendiculares se e somente se o produto de seus coeficientes angulares for igual a -1, ou seja, 1 .2 1 = m m Exemplo 3: Determine a equao de reta que passa pelo ponto) 1 ; 2 ( e : a) Paralela reta5 3 2 = y x ; Matemtica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves65 b) Perpendicular reta5 3 2 = y x ; Soluo: Inicialmente, vamos colocar a equao linear da forma reduzida. 3 2 5 (-1) y x = + 3 2 52 53 3y xy x= = Assim, temos que 32= m . a) A equao de reta tem de passar pelo ponto) 1 ; 2 ( e ser paralela equao 3532 = x yque apresenta 32= m . Pela definio acima, vemos que duas retas so paralelas se e somente se, apresentarem o mesmo coeficiente de inclinao. Desta forma a reta que passa pelo ponto) 1 ; 2 (tambm deve ter o coeficiente de inclinao igual 32. Assim, temos o seguinte: b x yb mx y+ =+ =32 Substituindo o ponto) 1 ; 2 ( , na equao acima encontramos o valor deb . 37) 2 (32132 =+ = + =bbb x y Logo, temos que 3732 = x y a equao de reta que passa pelo ponto) 1 ; 2 (e paralela equao de5 3 2 = y x . b) Agora queremos encontrar uma reta que passe pelo ponto) 1 ; 2 ( , porm que seja perpendicular equao de reta dada por5 3 2 = y x . Sabemos que 32= m , e ainda, duas retas so perpendiculares se seus coeficientes quando multiplicados resulta em1 . 23132.11 = =mm A equao da reta que passa pelo ponto) 1 ; 2 ( e perpendicular reta de equao5 3 2 = y xapresenta 23 = m . Sendo assim temos: Matemtica 66Matemtica Bsica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves b x y + =23 Substituindo o ponto) 1 ; 2 ( , na equao acima encontramos o valor deb . 32y x b = + 3( 1) (2)22bb = += Logo, temos que223+ = x y a equao de reta que passa pelo ponto) 1 ; 2 (e perpendicular equao de5 3 2 = y x . 7. Interseces de retas Finalmente,lembramosque,quandotrabalhamossimultaneamentecomduasoumais funeslineares,podemosinvestigarsetaisfunestmvaloresemcomum,ouseja,seh encontro das retas que representam as funes. Uma aplicao comum em administrao, economia e contbeis, que envolve os pontos de interseco,aanlisedopontodeequilbrio(break-evenpoint).Olanamentodeumnovo produtoexigetipicamenteuminvestimentoespecial.Umavezvendidoumnmerosuficientede unidades,demodoqueareceitatotalpasseasuperaracustototal,avendadoprodutoatinge seupontodeequilbrio.Ocustototaldaproduodex unidadesrepresentadoporC ea receita total da venda dexunidades do produto representada porR . Podemos ento achar o pontodeequilbrioigualandoocustoC receitaR ,(comojfoimostradoanteriormente)e resolvendoaequaoemfunodex .Matematicamente,issosignificadizerqueestamos resolvendo um sistema de equao linear. Parainvestigaodospontoscomunsdeduasretasdiferentes,bastaresolvermoso sistema formado por elas, ou seja, resolver o sistema: + =+ ==2 21 1b x m yb x m yS Observaes: SeStiver apenas uma soluo, notamos que as retas se encontram em um nico ponto comum, dizemos que tal sistema possvel e determinado; SeS notiversoluo,notamosqueasretasnoseinterceptam,ouseja,soparalelase dizemos que o sistema impossvel. Matemtica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves67 FIG 3.6 Interpretao grfica da soluo de um sistema. Exemplo 4: Encontre os pontos de interseco (se houver) das funes2 + = x ye1 2 = x y Existem vrias maneiras de se resolver um sistema linear de duas equaes (comparao, substituio, soma, escalonamento e determinante), porm, utilizaremos aqui o mtodo da comparao. =+ =1 22x yx y Na primeira equao temos que2 + = x ye na segunda1 2 = x y , comoy y = , ento: 13 3(-1) 3 32 1 21 2 2== = = = + xxxx xx x Se1 = x , substituindo em qualquer uma das equaes (na primeira, por exemplo) temos: 1 2 1 = + = y , logo a soluo para esse sistema ) 1 , 1 ( = S . Exerccios propostos 1) Em um posto de combustvel, o preo da gasolina de60 , 2 $ Rpor litro. a)Determineumaexpressoque relacioneovalorpago) (V em funodaquantidadedelitros ) (qabastecidos por consumidor. b)Supondoqueotanquedecombustveldeumcarrocomporte50litros,esboceogrficoda funo obtida no item anterior. 2) Um vendedor de planos de sade recebe de salrio00 , 300 $ R , mais uma comisso de00 , 5 $ Rpor plano vendido. a) Determine uma expresso que relacione o salrio total) (Sem funo da quantidade de planos ) (xvendidos. b)Sabendoqueseusalrioemummsfoide00 , 1550 $ R ,qualfoiaquantidadedeplanos vendidos? c) Esboce o grfico da funo obtida no item (a). Matemtica 68Matemtica Bsica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonalves 3)Ovalorinicialdeumcarro00 , 000 . 20 $ R ,eacadaanoessevalordepreciadoem 00 , 250 . 1 $ R . a)Determineumaexpressoquerelacioneovalordocarroemfunodonmerodeanos passados aps a compra. b) Aps quanto tempo o carro vale a metade do valor inicial? c) Esboce o grfico da funo obtida no item (a). 4)Ocustodeumprodutocalculadopela frmulaq q C 20 10 ) ( + = ,naqualindicaocusto(em reais) eq , a quantidade produzida (em unidade). a) Construa o grfico da funo) (q C . b)