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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO CENTRO DE CIÊNCIAS JURÍDICAS E ECONÔMICAS - CCJE
COPPEAD
Localização de Depósitos: Um Modelo de Análise Aplicado ao Setor de
Distribuição de Combustíveis
MARCUS AMORIM LEAL
MESTRADO EM ADMINISTRAÇÃO
ORIENTADOR: PROFESSOR PAULO FERNANDO FLEURY
Rio de Janeiro
Abril de 1995
Localização de Depósitos: Um Modelo de Análise Aplicado ao Setor de
Distribuição de Combustíveis
MARCUS AMORIM LEAL
TESE APRESENTADA À COPPEADIUFRJ COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSÀRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS
(M.SC.)
APROVADO POR:
Presidente
Prof. Eduardo Saliby
c Prof. Alberto Ricardo von Ellenrieder
Escola Politécnica IUSP
Rio de Janeiro
Abril de 1995
ii
Leal, Marcus Amorim
Localização de depósitos: um modelo de análise
aplicado ao setor de distribuição de combustíveis! Marcus
Amorim Leal. Rio de Janeiro: Coppead, 1995.
x, 73. il.
Tese - Universidade Federal do Rio de Janeiro,
COPPEAD.
1. Logística. 2. Localização Industrial. 3. Tese (Mestr.
COPPEADIUFRJ). L Título
iii
Agradecimentos
À minha familía, e em especial aos meus avós, pelo apoio e incentivo;
Ao Professor FIem)' por sua valiosa orientação;
Ao amigo César Lavalle pelas sugestões, e por seu importante incentivo; e
À Cia Brasileira de Petróleo Ipiranga pelo apoio e colaboração.
iv
RESUMO DA TESE APRESENTADA À COPPEADIUFRJ COMO PARTE DOS
REQUISITOS NECESSÀRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM
CIÊNCIAS (M.SC.)
Localização de Depósitos: Um Modelo de Análise Aplicado ao Setor de
Distribuição de Combustíveis
MARCUS AMO�LEAL
ABRIUl995
ORIENTADOR: PROF. PAULO FERNANDO FLEURY
PROGRAMA: ADMINISTRAÇÃO
Neste trabalho abordamos o problema de localização de depósitos: como determinar o
número ideal de instalações em um sistema logísitico, a sua distribuição geográfica, a sua
capacidade nominal, e a alocação de clientes e fábricas. Após uma cuidadosa revisão da
bibliografia disponível sobre o tema, selecionamos um modelo matemático sugerido por
Eilon, Watson-Gandy e Christofides (1971) para o tratamento do problema. Adaptamos o
modelo para o setor de distribuição de combustíveis, e ilustramos a sua aplicação através do
estudo de um caso prático: o sistema de distribuição Cia. Brasileira de Petróleo Ipiranga (CBPI) no Estado de São Paulo. Por fim, as soluções propostas pelo modelo são avaliadas
através de análise de sensibilidade.
v
ABSTRACT OF THE THESIS PRESENTED TO COPPEADIUFRJ AS PARTIAL
FULFILLMENT FOR THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCES (M.Sc.)
Localização de Depósitos: Um Modelo de Análise Aplicado ao Setor de
Distribuição de Combustíveis
MARCUS AMO�LEAL
APRIUl995
CHAIRMAN: PROF. PAULO FERNANDO FLEURY
DEPARTMENT: ADMlNISTRATION
This work presents a decision model for the warehouse location problem: how to detennine
the optimum number of facilities in a logistica! system, its spacial distribution, its capacity,
and the a!location of customers and factories. After a careful review of the avaiJable literature on the subject, we selected a rnatemathical model suggested by Eilon, Watson
Gandy e Christofides (1971) for treating the problem. We adapt the model for the fuel
distribution industry, and iIIustrate its aplication throw a case study: Cia Brasileira de
Petróleo Ipiranga distribution system in the state of São Paulo. Fina!ly, the solutions proposed by the model are assessed throw sensitivity analysis.
vi
Lista de Figuras
Figura 1.1 - Cadeia Produtiva
Figura 1.2 - Sistema de Distribuição de Combustíveis
Figura 3.1 - Determinação do Estoque de Segurança
Figura 4.1 - Sistema de Distribuição da CBPI no Estado de São Paulo
Figura 4.2 - Custo de Operação das Bases da CBPI
Figura 5.1 - Comparação Entre o Sistema Atual e o Sistema Proposto
Figura 5.2 - Alocação dos Municípios às Bases
Figura 5.3 - Custo Mínimo x No. de Bases
Figura 5.4 - Variação dos Custos com o No. de Bases
Figura 5.5 - Variação dos Custos com o No. de Bases
Figura 5.6 - Comparação Entre o Sistema Atual e o Sistema Ideal com 7 Bases
Figura 5.7 - Alocação dos Municípios às Bases
Figura 5.8 - Solução Ótima Com Incremento Homogêneo de 60% no Volume Total
Demaudado
Figura 5.9 - Solução Ótima Com Custo Variável de Operação das Bases Nulo
Figura 5.10 - Solução Ótima com Custo de Entrega Igual ao Custo de Transferência
Figura 5.11 - Solução Ótima com uma Redução de 25% uo Frete de Transferência
Figura 5.12 - Solução Ótima com uma Redução de 50% no Frete de Transferência
Figura A.I - Coordenadas Esféricas
vii
Lista de Tabelas
Tabela 4.1 - Distâncias Viárias
Tabela 5.1 - Qualidade da Solução Final em Função do Tamanho do Conjunto Inicial
Tabela 5.2 - Custo Total (Operacional) x No. de Bases
Tabela 5.3 - Custos de Oportunidade dos Estoques x No. de Bases
Tabela 5.4 - (Custo Operacional + Custos de Estoque) x No. de Bases
Tabela 5.5 - Custo Total x Volume Total Demandado
Tabela 5.6 - Resumo dos Resultados
viii
Sumário
1 - Introdução
1.1 - O Sistema Logístico
1.2 - O Setor de Distribuição de Combustíveis
2 - Revisão Bibliográfica
2.1 - Modelos de Localização no Plano
2.2 - Modelos de Localização em Rede
2.3 - Modelos de Localização Discreta
2.4 - O Problema Dinâmico
2.5 - Aplicações Comerciais
3 - O Modelo Utilizado
3.1 - Custos Logísticos
3.1.1 - Custos de Manutenção dos Depósitos
3.1.2 - Custo de Estoques
3.1.3 - Custos de Transporte
3.1.4 - Custo Total
3.2 - O Modelo de Eilon, Watson-Gandy e Christofides
3.2.1 - Restrições de Capacidade e Número de Depósitos
3.3 - A Implementação do Modelo
3.3.1 - Arquivos de Entrada
3.3.2 - Arquivos de Saída
4 - Uma Aplicação ao Setor de Distribuição de Combustiveis
4.1 - Metodologia
4.1.1 - Produtos
4.1.2 - Localização e Demanda dos Pontos de Consumo
4.1.3 - Coordenadas Espaciais
4.1.4 - Redes de Transporte
ix
Pág.
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33
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35
4.1.5 - Meios de Transporte e Custos Associados
4.1.6 - Custos de Manutenção de Bases e Estoques
4.2 - Projeto de .Experimentos
4.2.1 - Número de Tentativas e Tamanho do Conjunto Inicial
4.2.2 - Volume e Distribuição da Demanda
4.2.3 - Custo de Operação das Bases
4.2.4 - Custos de Transferência e Distribuição
5 - Apresentação e Analise dos Resultados
5.1 - Solução do Caso Base
5;1.1 - Relação Entre o Custo Mínimo e o Número de Bases Ativas no
Sistema
5.1.2 - Custos de Oportunidade
5.2 - Volume e Distribuição da Demanda
5.3 - Custo de Operação das Bases
5.4 - Custos de Transferência e Distribuição
5.5 - Resumo dos Resultados Obtidos
6 - Conclusão
6.1 - O Modelo Utilizado
6.2 - Sugestões Para Novos Trabalhos
Bibliografia e Referências Bibliográficas
Anexo I - Listagem do Programa
Anexo 11 - Determinação da Menor Distância Entre Dois
Pontos em Uma Superfície Esférica
x
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73
1 - Introdução
Este trabalho versa sobre a localização de depósitos, um tema que vem ganhando crescente
destaque com o desenvolvimento da logística comercial. A despeito da transparente
importância da logística para a performance de empresas dos mais diferentes setores, até
duas décadas atrás esta era uma área relativamente pouco explorada por administradores. As
diversas atividades relacionadas à logística como transportes, gestão de estoques e
processamento de pedidos, normalmente eram gerenciadas de forma independente através
das diferentes áreas organizacionais. Como resultado, incorriam-se em custos desnecessários
e maiores dificuldades de controle e coordenação dos fluxos de bens e serviços.
Com o avanço da tecnología da informação, e a difusão do conceito de custo total,
introduziu-se gradativamente uma nova abordagem para o gerenciamento das atividades logísticas: a administração integrada. Como as atividades logísticas usualmente requerem
sistemas de controle e outras capacidades bastante similares, através da integração é possível
eliminar duplicidades funcionais dentro da organização e criar uma maior especialização
gerencial, obtendo-se redução de custos e ganhos de eficiência.
A administração integrada permite ainda uma visão mais precisa dos trade-offs existentes
entre as diferentes atividades logísticas. Decisões envolvendo o sistema logístico muitas
vezes têm impactos opostos sobre a performance das áreas funcionais da empresa,
constituindo-se em potenciais fontes de conflito (vendas e gerência financeira por exemplo,
podem ter preferências bastante distintas em relação ao volume e sortimento de produtos
mantidos em estoques). Através da análise integrada as decisões são deslocadas para uma
perspectiva mais ampla, que permite avaliar o impacto total de cada opção sobre a
performance global da empresa.
Na medida em que as necessidades que devem ser atendidas através do sistema logístico
tornam-se mais claras, o desenvolvimento de novas soluções é facilitado. Como a
administração é integrada, as inovações podem ser implementadas com maior rapidez e
autonomia, conferindo maior grau de flexibilidade à função logistica.
Atualmente observa-se que mais do que apenas propiciar expressivas reduções de custos ou
melhorias nos niveis de serviço, o recente desenvolvimento da logística elevou-a à condição de importante fator competitivo em muitos setores da economia ( Bowersox; Closs, DJ. &
I
Helferich, 1986). São cada vez mais comuns os exemplos de empresas que vem alavancando
consistentemente a sua posição de mercado através de uma maior capacitação logística.
1.1 - O Sistema Logístico
Podemos descrever uma cadeia produtiva típica através de um modelo simples composto
por fornecedores, fábricas, depósitos e clientes, como ilustrado pelo esquema abaixo:
Fornecedores f---C:>I Fábricas Depósitos Clientes
Figura 1.1 - Cadeia Produtiva
As fábricas recebem insumos de empresas fornecedoras, convertendo-os através de algum
tipo de processo, em produtos de maior valor agregado. Estes produtos são então enviados
para depósitos a partir dos quais, posteriormente, serão distribuídos para os clientes.
Para que a cadeia produtiva possa se completar é necessário o suporte de um sistema
logístico, responsável pelas atividades de transporte, gestão de estoques, manuseio de
materiais, embalagem, previsão e processamento de pedidos, compras e suporte à produção.
A estrutura deste sistema, e consequentemente a sua performance, são determinados a partir
de decisões básicas condicionadas pelo mercado, pela estratégia de atuação, e pelos recursos
de cada empresa. Tais decisões comumente incluem o número, capacidade e localização dos
depósitos a serem instalados; políticas de estoque e compras; meios de transporte a serem
empregados; a rota e a programação de veículos; consolidação de cargas; os níveis de
atendimento (qualidade) obedecidos; e os sistemas de controle e transmissão de
informações.
Dentro deste amplo conjunto de decisões que definem a estrutura do sistema logístico, a
localização de depósitos ocupa uma posição singular. Além dos custos relativamente
elevados envolvidos na abertura e fechamento de depósitos, as decisões de localização, na
medida em que definem a própria estrutura fisica do sistema logístico, limitam os níveis de
custo e serviço que poderão ser alcançados. Como a decisão de localização não é facilmente
reversível, a importância do processo de análise de localização torna-se critica para o
desempenho da função logística, e por extensão, da própria empresa.
2
Neste trabalho pretendemos abordar os diferentes problemas envolvidos na análise de
localização, mais especificamente, como determinar o número ideal de depósitos em um
sistema logístico, a sua distribuição geográfica, a sua capacidade nominal, e a alocação dos
clientes e fábricas a cada um dos diferentes depósitos. Iremos apresentar um modelo de
decisão para o tratamento do problema, e ilustraremos a sua aplicação através do estudo de
um caso prático: o sistema de distribuição de combustíveis da Cia. Brasileira de Petróleo
Ipiranga (CBPI) no Estado de São Paulo.
1.2 - O Setor de Distribuição de Combustíveis
o setor de produção e distribuição de combustíveis no Brasil é composto por refinarias e
outros pontos de suprimento da Petrobrás; usinas de álcool; as bases de combustíveis
(depósitos) das empresas distribuidoras; os postos de combustíveisl e os consumidores
finais, como ilustrado na figura a seguir:
Refinarias t-{ Grandes ) Clientes
-!>( Bases I -c{ Postos 1>\ Clientes J J
� l. Usinas �
, Bases J L �
� ( Bases
Figura 1.2 - Sistema de Distribuição de Combustíveis
Algumas bases, além de enviar produtos diretamente para os postos e para grandes clientes
(empresas aéreas e rodoviárias, etc), são responsáveis pelo suprimento de outras bases. As
bases supridas diretamente pela Petrobrás são denominadas bases primárias; as bases
supridas por bases primárias são denominadas bases secundárias, e assim por diante. A
transferência de produtos entre as bases pode se dar através de caminhões-tanque,
I Muitos postos não são de propriedade da empresa distribuidora de eombustlvcis, ocupando efetivamente a posição de cliente.
3
cabotagem e ferrovia, enquanto a transferência entre bases e postos se dá exclusivamente
através de caminhões-tanque.
Por mais de quarenta anos o setor de produção e distribuição de combustíveis no Brasil foi
rigidamente controlado pelo Governo Federal. As atividades de extração, importação e
refino de petróleo foram mantidas sob monopólio da Petrobrás2, limitando-se a atuação de
empresas privadas à distribuição e à comercialização dos combustíveis, mesmo assim, sob
severas restrições que até 1990 incluíam:
- Controle dos preços finais dos produtos para o consumidor;
- Sistema de equalização de fretes com o objetivo de viabilizar um preço único para os
combustíveis em todo o território nacionaP ;
- Definição do número, localização, tancagem e estoques mínimos das bases de
combustíveis;
- Autorização para a abertura de postos de combustíveis;
- Limite das frotas de veículos utilizadas no transporte de combustíveis.
A ampla regulamentação e o controle de preços e margens impostos pelo Governo, limitava
a estratégia competitiva das empresas distribuidoras, contribuíndo para uma redução nos
níveis globais de eficiência do setor (Arkader & Fleury, 1993). Somente a partir de 1990
este cenário começou a mudar, quando o Governo Federal adotou uma política de
desregulamentação gradativa do mercado: o preço final dos produtos para o consumidor foi
parcialmente Iiberad04, as restrições para a abertura e instalação de bases e postos de
combustíveis foram flexibilizadas, e o sistema de equalização de fretes vem sendo
gradualmente eliminado. Novas medidas, como o estabelecimento de preços regionais para
os combustíveis, são esperadas a curto e médio prazo.
Em um ambiente sobremaneira mais competitivo do que o que vigorou nas últimas décadas,
sem a tutela do Estado, novos padrões de eficiência tomaram-se necessários para o sucesso.
Com a liberação de preços e a redução/extinção dos subsídios ao setor, as empresas deverão
colocar maior ênfase no controle de custos e desenvolver a capacidade de definir preços. O
2 Existem duas refinarias privadas no país (Rio Grande c Manguinhos) cuja produção corrcsponde a menos de 0,5% da produção nacional. 3 Este sistema envolvia a fixação dos valores dos fretes de transferência e entrega de produtos, subsidiado através do Fundo de Unificação de Preços (FUP). 4 O preço máximo dos combustíveis para o consumidor ainda é fixado pelo Governo, entretanto, as distribuidoras e os postos estão autorizados a dar descontos.
4
modelo logístico presentemente adotado deverá ser cuidadosamente reavaliado, buscando-se
novas soluções de menor custo. Neste processo, a análise de localização das bases
desempenhará um papel importante, redefinindo a estrutura fisica do sistema de distribuição.
O modelo desenvolvido neste trabalho tem como objetivo contribuir na análise de
localização das bases, e por extensão, na reavaliação do sistema logístico das distribuidoras
de combustíveis.
No próximo capítulo apresentamos diversas abordagens sugeridas na literatura para o
problema de localização de depósitos. No Capítulo 3 descrevemos os diferentes custos que
afetam a decisão de localização, derivando a partir daí uma função custo total. O modelo
utilizado neste trabalho também é pormenorizadamente comentado. No Capítulo 4 discutimos as diversas premissas e hipóteses básicas adotadas na aplicação do modelo ao
setor de distribuição de combustíveis. No Capítulo 5 apresentamos os resultados da análise
de localização das bases de combustíveis da CBPI no Estado de São Paulo, e por fim, no
Capítulo 6, as principais conclusões deste trabalho.
5
2 - Revisão Bibliográfica - Teoria da Localização
A denominada "teoria da localização" é um campo de estudos bastante extenso, abrangendo
ãreas tão distintas quanto geografia, economia e pesquisa operacional. Seguindo os
propósitos deste trabalho, procuramos enfocar aqui apenas os modelos de análise
desenvolvidos especificamente para tratar do problema de localização de depósitos.
Devemos observar inicialmente que as análises associadas à localização de depósitos
possuem algumas caracteristicas distintas das análises associadas à localização de instalações
industriais. As decisões envolvendo a localização de fábricas usualmente são fundamentadas
em análises extremamente abrangentes, que costumam compreender estudos detalhados de
disponibilidade e custo de mão-de-obra, infra-estrutura, acessibilidade a matéria-prima e
energia, disponibilidade de meios de transporte, concorrência, impacto ambiental da planta,
vantagens fiscais associadas às regiões, além de uma avaliação das perspectivas de evolução
a médio e longo prazo destes e de outros fatores específicos. A decisão de localização é
normalmente de longo prazo, já que uma fábrica possui uma vida útil e um pay-back
relativamente longos, envolvendo um nível relativamente elevado de risco e .incerteza.
Ademais, a instalação da fábrica é onerosa, mobilizando recursos importantes, e podendo
implicar em grande impacto no desempenho futuro da empresa.
Em contraste, as decisões envolvendo a localização de depósitos são de modo geral menos
complexas. A operação de instalação ou fechamento de um depósito pode ser extremamente
flexível, não requerendo estudos tão abrangentes. Existem diversos exemplos de empresas
que empregam depósitos sazonais, operados apenas durante periodos de maior demanda.
Ainda que a flexibilidade de instalação de depósitos não seja uma verdade para todas as
empresas, sem dúvida esta flexibilidade é maior do que a associada às plantas industriais, e
por conseguinte, determina um risco relativamente menor.
Os modelos sugeridos na literatura para tratar especificamente do problema de localização
de depósitos podem ser classificados segundo os seguintes critérios principais:
- Conjunto de pontos e1egiveis para a localização de depósitos;
- Número de produtos tratados pelo modelo;
- Restrições de capacidade e quantidade de depósitos;
- Padrões de demanda (determinístico, estocástico e/ou dependente da localização dos
depósitos); e
6
- Horizonte temporal de análise (estático ou dinâmico).
o primeiro critério de classificação refere-se ao conjunto de localizações considerado para a
instalação de depósitos. Três tipos de abordagem são adotadas: o conjunto discreto de
pontos, o conjunto infinito e a localização em rede.
Evidentemente, em uma situação real, existe apenas um número limitado de pontos onde
uma empresa pode instalar os seus depósitos. Cada um destes pontos possui uma estrutura
de custos característica (valorização imobiliária, mão-de-obra, infra-estrutura, etc) e uma
posição geográfica que serão determinantes para a decisão de localização. Os modelos de
localização discreta restringem a sua análise justamente a este conjunto finito de pontos
(conjunto potencial), previamente selecionado através de estudos preliminares. Como
qualquer solução fornecida por estes modelos estará sempre limitada pelo conjunto
potencial, é importante que a seleção de pontos elegíveis seja cuidadosamente conduzida,
evitando-se a exclusão de localizações que poderiam favorecer a minimização do custo de
operação do sistema logístico.
A obtenção de um conjunto potencial nem sempre demonstra ser uma tarefa simples. Mesmo
após o descarte de pontos com baixa probabilidade ou inviáveis para a localização (acidentes
geográficos, áreas residenciais ou com alta valorização imobiliária), a quantidade de
alternativas remanescentes costuma ser demasiadamente elevada para garantir eficiência
computacional. Paralelamente, a coleta de dados referentes a cada uma das alternativas de
localização pode ser extremamente dispendiosa, além de carecer da qualidade necessária
para produzir a precisão de análise desejada. Os modelos de localização no plano superam
estas dificuldades considerando qualquer ponto em um plano como um potencial candidato
para a localização (conjunto infinito). Os custos, distâncias e outros parâmetros de análise
são descritos através de funções matemáticas genéricas, reduzindo-se portanto o custo de
coleta de informações e o tempo de análise.
Ainda que o conhecimento da infraestrutura viária seja importante para qualquer problema
de localização, já que esta irá determinar padrões de custo e a acessibilidade às diversas
localidades consideradas, nem sempre o seu papel é crítico para a análise. Em regíões
desenvolvidas, onde o acesso ás redes de transporte pode ser garantido praticamente a partir
de qualquer ponto, e os custos de transporte são uniformes, os percursos viários podem ser
satisfatoriamente aproximados por retas. No entanto, se os erros introduzidos através desta
abordagem forem significativos, deve-se empregar modelos de localização em rede, os quais
7
consideram explicitamente a malha viária (na localização de depósitos fluviais ou
ferroviários por exemplo, apenas pontos da malha são considerados elegíveis para a
instalação de depósitos).
o segundo critério de classificação considerado refere-se ao número de diferentes produtos
envolvidos na análise. Em algumas situações, mesmo que um depósito opere com produtos
diferentes, os padrões de demanda e os custos de operação e transferência podem ser tais
que para efeitos de análise, apenas uma única categoria homogênea de produtos precise ser
considerada. Quando isto não for o caso, modelos de análise que tratam especificamente de
depósitos multi-produtos devem ser empregados.
o terceiro critério de classificação refere-se às restrições de capacidade e quantidade de
depósitos. Em uma situação real, a quantidade de depósitos que uma empresa pode instalar
é limitada pelo seu orçamento de capital. Adicionalmente, a capacidade máxima (e mínima)
dos depósitos pode ser restrita por diferentes motivos como viabilidade técnica ou
econômica, segurança, regulamentação, etc. Conforme veremos adiante, existem modelos
que tratam especificamente de restrições simples de capacidade, e restrições sobre a
quantidade de depósitos instalados.
o quarto critério de classificação refere-se ao padrão de demanda. Apesar da maior parte
dos modelos de .localização disponiveis na literatura concentrarem-se na minimização de
uma função custo total, ressalta-se que a maximização do lucro não é equivalente à
minimização de custos. A distância entre um depósito e os clientes a serem atendidos pelo
mesmo pode afetar diretamente o volume de vendas da empresa. Na medida em que a
empresa afasta-se geograficamente de seu mercado, cresce o custo de transporte associado e
aumenta o poder relativo da concorrência. Adicionalmente, o nível de serviço oferecido
(prazo de entrega, confiabilidade, etc), também poderá decrescer com a distância. Assim, a
probabilidade de interação entre a empresa e seus clientes é sensível à localização dos
depósitos, levando-nos à conclusão que o ponto de operação que maximiza a contribuição
do sistema logístico para o lucro da empresa não é necessariamente equivalente ao ponto
que minimiza o seu custo de operação.
Além de ser afetada pela localização dos depósitos, a demanda dos clientes quase sempre
terá um comportamento estocástico, variando de acordo com o ciclo econômico, a evolução
da concorrência, e outros fatores que afetam o desempenho do mercado. A maior parte dos
modelos sugeridos na literatura trata a demanda como uma constante. Para mercados
8
maduros, ou sistemas com um grande número de pontos de demanda, esta aproximação não
terá grande impacto sobre a solução final. Entretanto, em algumas situações específicas, faz
se necessária a aplicação de modelos que consideram o comportamento estocástico da
demanda e/ou a sua dependência em relação à estrutura do sistema logístico da empresa.
Por fim, os modelos sugeridos podem ser classificados ainda em relação ao horizonte
temporal considerado para o tratamento do problema. A maior parte dos modelos
restringem-se ao tratamento do problema estático no qual a localização dos pontos de
demanda e a própria demanda permanecem constantes no tempo. Muitas vezes deve-se
considerar um horizonte mais amplo para efeitos de análise, sendo necessário então o
emprego de modelos dinâmicos que incorporam tendências de evolução esperadas.
Para a apresentação dos principais modelos de localização sugeridos na literatura, seguindo
os objetivos deste trabalho e uma certa ordem cronológica, iremos empregar apenas a
classificação referente ao conjunto de pontos elegíveis para a localização de depósitos.
2.1 - Modelos de Localização no Plano
Os modelos de análise incluídos nesta categoria adotam algumas hipóteses comuns em
relação ao problema de localização. As principais são:5
- Qualquer ponto no plano é elegível para a localização de um depósito;
- Um plano é uma aproximação satisfatória de uma superficie esférica;
- O cálculo de distâncias em linha reta é uma aproximação satisfatória do percurso viário;
- O tempo/custo associado ao percurso entre dois pontos quaisquer é proporcional à
distância deste percurso; e
- Os custos de instalaçã% peração dos depósitos e os custos de transporte são homogêneos
para a região analisada.
Para muitas situações, as hipóteses acima podem determinar um afastamento excessivo da
realidade, invalidando, ou ao menos reduzindo o interesse no modelo de análise
considerado. Ainda que o conjunto de problemas que podem ser resolvidos com exatidão
pelos modelos de localização no plano seja limitado, tais modelos são capazes de fornecer
uma análise qualitativa poderosa, capaz de contribuir de maneira relevante para a
5 As hipóteses apresentadas serão discutidas detalhadamentc em outras seções deste trabalho.
9
compreensão do problema de localização. Ademais, o baixo custo de aplicação destes
modelos em relação àqueles que tratam de conjuntos de pontos discretos para a localização,
tem determinado a sua ampla utilização na análise de problemas reais.
o primeiro trabalho que trata da localização de instalações no plano foi publicado
originalmente em 1909 por Alfred Weber, e posteriormente traduzido para o inglês ( 1929).
Neste trabalho, considerado o marco inicial da moderna teoria de localização, Weber se
preocupa com a minimização dos custos de transporte relacionados a um processo
industrial. Com tal propósito o autor classifica as matérias-primas, em relação à sua
disponibilidade fisica, como ubíquas (disponíveis em qualquer localidade; ex: água) ou
localizadas (ex: minério). Adicionalmente, os diversos processos industriais são também
classificados em relação a dois fatores: a relação entre o peso da matéria-prima localizada
requerida no processo de uma unidade de produto, por peso final desta unidade, e o peso
relativo das matérias-primas localizadas incorporadas na composição final do produto.
Weber argumenta que uma indústria com um processo que requer uma elevada quantidade
de matéria-prima localizada por unidade de produto, mas que incorpora apenas uma
pequena parcela do peso desta matéria-prima em sua composição final, deve ser localizada
perto das fontes de matéria-prima (um exemplo desta situação é a indústria de celulose); e
uma indústria com uma baixa relação entre o peso da matéria-prima localizada por unidade
de produto, deve ser localizada perto dos centros consumidores (um exemplo desta situação
é a indústria de remgerantes). Finalmente, uma indústria com uma relação equivalente entre
o peso da matéria-prima localizada por unidade de produto e o peso da matéria-prima
localizada incorporada no peso do produto final, pode ser localizada em qualquer lugar entre
os pontos de suprimento e consumo. A despeito das importantes contribuições deste
trabalho, o método considerado por Weber é bastante simples, e restringe-se à localização
de uma única instalação industrial.
Em 1934 Keefer descreveu um modelo mais completo, ainda que também bastante simples,
para o problema de localização de um único depósito. O modelo, conhecido como método
de centro de gravidade, consiste em encontrar as coordenadas do centro de gravidade da
demanda dos clientes, através da aplicação da seguinte fórmula:
xo (2.1)
10
onde Wj representa a demanda do cliente j e Xj a sua respectiva coordenada espacial. O
centro de gravidade do sistema é utilizado então para a localização do depósito. Um método
similar sugerido por Mossman e Morton (1965) considera o centro de gravidade ponderado
não apenas pela demanda, mas também pelos diferentes custos de transporte vigentes em
cada região. A localização do depósito passa a ser determinada então pela seguinte fórmula:
xo L II1.Ij. Aí" LII1·Ij
(2.2)
onde lj representa o custo de transporte por unidade de volume e distância a partir do cliente
j. Devido a simplicidade envolvida, o método do centro de gravidade é ainda hoje
largamente empregado. Não obstante, Vergin e Rogers {I 967) demonstraram que o mesmo
só fornece a solução ótima para o problema de localização em casos muito particulares.
Miehle (1958) e Westner & Kantner (1958), em dois trabalhos desenvolvidos paralelamente,
sugerem um método para a resolução do problema de localização de m depósitos que supera
diversas deficiências dos métodos de centro de gravidade. O método é iterativo e baseia-se
na minimização de uma função objetivo (custo total) como a descrita abaixo:
k m m D
CT = E ltl. vli;.dLj + E lt2. v2ij.d2ij .=t ft ,=t /t
onde:
k - número de fábricas;
m - número de depósitos;
n - número de clientes;
tI - custo de transporte por unidade de volume e distância entre fábricas e depósitos;
t2 - custo de transporte por unidade de volume e distância entre depósitos e clientes;
vI ij - volume total de produtos transportados entre a fabrica i e o depósito j;
v2ij - volume total de produtos transportados entre o depósito i e o cliente j;
dIij - distância entre a fábrica i e o depósito j: «5q-xj>2+(!Yi-yi)1/2; e
d2ij - distância entre o depósito i e o cliente j: «Xi-Cxj)2+(Yi-CYj)2) 1/2
1 1
(2.3)
Para a minimização da função objetivo os autores utilizam cálculo diferencial. Derivando
parcialmente a equação acima em relação a xi e Yj (as coordenadas dos depósitos), e
igualando estas expressões a zero, obtemos:
e
acI' k n -,-. =-LctLvl;;.(fxj- xi)/dlji) + Lct2.v2ij.(xi-CXj)/d2ij) = O (2.4)
(]Xl j=l j =t
aCT k n - =-L(tl.V);;.(fyj - Yi)/dlji) + L(t2.v2ij.(Yi - cYj)/d2ij) = O (2.5) ay; j='- j='-
Resolvendo estas equações para xi e Yj, encontramos as fórmulas utilizadas para o cálculo da
localização ótima dos depósitos:
k n L(tl . vh.fxj I dl ji) + L(12. V2ij.CXj I d2ij)
Xi J='- j='-k n (2.6)
J�(t1. vIji. I dlji) +
J�(12. v2ij. I d2ij)
e k n
L(I1. vIji.fyj I dI;;) + L(t2. V2ij.CYj / d2ij)
y; j'" J'" k n (2.7)
J�(ll. vIji. / di;;) + L( t2. v2g./ d2u)
J='-
Como as equações acima não podem ser resolvidas simultaneamente para todos os pontos
(Xi,yj), utiliza-se um método de cálculo iterativo. Em cada iteração, as coordenadas (Xi,yj)
são avaliadas substituindo-se no lado direito das fórmulas acima os valores destas mesmas
variáveis obtidos na iteração anterior (localização e volumes transferidos). O valor das
coordenadas encontradas correspondem a uma nova localização para os diversos depósitos.
Através de iterações sucessivas, o método converge para um ponto de mínimo.
Eilon, Watson-Gandy e Christofides (1971), apresentaram um trabalho baseados nos
modelos de Mieh1e e Westner & Kantner mas que incorpora além dos custos de transporte,
custos de operação dos depósitos não lineares e descontínuos. O método concentra-se na
minimização da função objetivo descrita abaixo:
12
onde:
m k m m n CT = 1:(CV(vJ +CF) + 1: 1:t1. vLj.dLj + L Lt2. v2ij.d2;j
l=l l=l )=1. i=l. j=l.
CV(Vi) - custo variável do depósito i;
CF - custo fixo de um depósito;
vi - fluxo total de produtos através do depósito i;
(2.8)
e as demais variáveis são idênticas ao modelo anteriormente descrito. A principal diferença
no método de resolução envolve a forma como os clientes e fábricas são alocadas aos
depósitos. Além do custo de transporte, o método considera também as economias de escala
obtidas na operação dos depósitos. Este modelo será descrito com maiores detalhes em
outra seção deste trabalho.
2.2 - Modelos de Localização em Rede
o problema de localização em malhas viárias foi introduzido a partir do trabalho de Hakimi
publicado em 1964. Hakimi definiu dois problemas principais denominados n-medianas (n
median) e n-centros (n-center). O problema de n-medianas consiste em localizar n
instalações do tipo A (medianas) em uma malha viária que possui m instalações do tipo B.
Busca-se instalar as medianas de forma a minimizar o somatório da distância ponderada
entre cada instalação do tipo B e a mediana mais próxima. No problema de n-centros busca
se localizar n instalações do tipo A (centros) de forma a minimizar a maior distância entre
um centro e uma instalação do tipo B.
Como ilustração do problema de n-medianas poderíamos considerar a localização de
barracas de sorvete ou de revistas em um bairro. Busca-se minimizar a distância que os
moradores devem andar para adquirir os produtos. Um exemplo do problema de n-centros
seria a localização de hospitais ou instalações do corpo de bombeiros. A distância máxima
entre estes e qualquer habitante deve ser a menor possível.
Se a malha viária puder ser representada por um rede conexa, Hakimi demonstrou em seu
trabalho que as localizações das n-medianas e dos n-centros coincidirão sempre com os nós
da rede. Neste caso, o problema de localização torna-se discreto, e pode ser analisado
através de modelos tradicionais, alguns dos quais descritos na próxima seção. Nos casos em
que a malha viária pode ser representada por uma árvore (rede conexa acíclica), tal como
13
uma rede fluvial, modelos específicos para a resolução do problema, bem mais eficientes,
foram desenvolvidos (por exemplo, Tansel, Francis, Lowe & Chem (1982».
2.3 - Modelos de Localização Discreta
Nos últimos 20 anos o problema de localização de depósitos em um conjunto discreto de
pontos vem despertando enorme interesse de pesquisadores, constituindo-se no foco
principal de inúmeros trabalhos na área de pesquisa operacional (programação linear,
programação inteira, programação dinâmica, programação multi-objetivo, etc), alguns dos
quais serão apresentados nesta seção. A complexidade do problema considerado decorre
sobretudo do grande número de variáveis e restrições requeridas na modelagem, do
comportamento não-linear da função custo total, e do elevado número de configurações
possíveis para o sistema. Apenas como ilustração, se conseguíssemos avaliar em apenas um
nanosegundo cada configuração possível de um problema composto por um conjunto
potencial de 60 pontos, levariamos pouco mais de 36 mil anos para a avaliação completa de
todas as possibilidades6 ! A eficiência computacional, como pode ser facilmente percebido, é
um requisito essencial para o sucesso dos modelos que tratam do problema de localização
discreta. Neste sentido, restringimos a nossa atenção neste trabalho àqueles modelos que
apresentam níveis satisfatórios de eficiência computacional.
A formulação matemática do problema de localização discreta é relativamente simples.
Desejamos instalar depósitos de forma a minímizar o custo total do sistema, representado
pela função objetivo. Existem n pontos elegíveis para a localização dos depósitos, e m
clientes que devem ser atendidos pelos mesmos. Cada depósito possui uma capacidade
máxima qj, e cada cliente tem uma demanda ri que deve ser integralmente atendida. Devido
a restrições econômicas, o número de depósitos a serem instalados deve ser superior a Nmin e inferior a Nmax .
Para representar cada uma das possíveis configurações do sistema são necessárias duas variáveis de decisão. Utilizamos uma variável dummy (O ou 1) para representar a decisão de instalar um depósito em cada um dos n pontos possíveis:
. _{ 1, se o ponto j for selecionado para a localizaç ãJde um depósito; y,- O ' . , caso contrá no.
6 O número de configurações possíveis para um sistema com n pontos para a localização é igual a 2n_l.
14
e uma variável contínua Xij que representa o percentual da demanda do cliente i que foi
atendida pelo depósito j.
A cada um dos n pontos elegíveis para a instalação de um depósito está associado um custo
fixo (�) que pode representar o custo de aquisição, aluguel ou construção do depósito, e
custos fixos de operação. Adicionalmente, a cada par cliente-depósito está associado um
custo variável de suprimento (Cij) referente ao transporte dos produtos, custos variáveis de
operação e suprimento do depósito. É importante observar que o custo de transporte de
produtos entre as f'abricas (pontos de suprimento primário) e os depósitos está embutido no
parâmetro Cij, diferentemente dos modelos de localização no plano que consideram
explicitamente este custo de transferência na função objetivo.
Utilizando as variáveis e os parâmetros acima descritos podemos formalizar o problema de
localização discreta através do seguinte conjunto de equações:
tal que:
Min. t-.r ij.)'j + t c •. X;i] J� i=t
n X;X;i =1, i =!, . .. ,m.
m ,�X;i.Ti:5,% j =\, ... ,n.
)'j-Xij� vi,j n
Nmn :5, J�)'j :5,Nn.x
Yi E{O,\}, j = I, . . . , n.
(2.9)
(2.10)
(2.11)
(2.12)
(2.13)
(2.14)
A equação (2.10) garante que todos os clientes serão integralmente atendidos; a equação
(2.11) garante que nenhum depósito ultrapassará a sua capacidade máxima; a equação (2.12)
garante que apenas depósitos selecionados poderão efetuar transferência de produtos; e a
equação (2.13) garante que o número de depósitos instalados permanecerá dentro dos
limites previamente estabelecidos ( Nmin ,Nmax ) .
A formulação acima pode ser facilmente estendida para o problema de localização com
multi-produtos, onde cada depósito instalado poderá atender a demanda de m clientes por p
15
produtos. Neste caso precisamos apenas acrescentar um índice adicional às variáveis de decisão e parâmetros de capacidade e demanda. A função objetivo de um problema multiproduto pode ser representada como:
(2.15)
onde: k - índice de produtos; �k - custo fixo associado à instalaçã% peração de um depósito que trabalha com o produto k no local j;
Cijk - custo variável associado à transferência do produto k a partir do depósito j para o cliente i;
Yjk - decisão de instalar um depósito no local j que trabalha com o produto k; e Xijk - percentual da demanda do cliente i pelo produto k atendida a partir do depósito j.
As restrições para o problema podem ser modificadas de forma análoga e não serão aqui apresentadas. É importante observar ainda que o custo fixo associado a cada depósito depende do tipo de produto que será tratado. Um depósito que eventualmente venha a atuar na distribuição de congelados, por exemplo, terá que adquirir frigorificos.
Por fim, a formulação acima pode ser utilizada também para um problema dinâmico. Neste caso o índice k passaria a representar períodos ao invés de produtos. A única modificação em relação à formulação anterior seria a exclusão do índice k de �k e Yjk, já que os depósitos serão instalados em caráter definitivo para o horizonte de análise.
Os primeiros modelos a tratarem do problema de localização discreta limitavam-se ao problema sem restrições de capacidade, representado pelas equações (2.9), (2.10), (2.12) e (2.14), e ao qual denominamos aqui LSR. Um trabalho bastante difundido foi apresentado por Kuehn & Hamburger em 19637. O modelo de solução utilizava uma heurística8 baseada em três premissas:
7 Em seu trabalho Kuehn e Hamburger apresentaram ainda uma série de 12 problemas de localização que atualmente são considerados como uma espécie de padrão para a mensuração da eficiência computacional de algoritmos qoe tratam do problema de localização.
8 Não garante portanto a obtenção da solução ótima.
16
- Os pontos com maior potencial para a localização de depósitos são aqueles próximos a
pontos de demanda.
- Soluções quase-ótimas para o problema de localização poderão ser obtidas se em cada
estágio do processo de solução o depósito que proporcionar a maior redução na função
custo total for adicionado ao sistema.
- Somente um pequeno subconjunto de localizações possíveis para depósitos precisa ser
avaliado para se determinar qual depósito deve ser adicionado ao sistema.
O algoritmo proposto pelos autores utiliza uma rotina principal que a cada iteração adiciona
ao sistema o depósito que proporcionar a maior redução na função custo total. Quando não
for mais possível obter economias através da instalação de depósitos, uma nova rotina
procura obter reduções adicionais na função custo total através da eliminação e realocação
dos depósitos já selecionados.
Em 1966 Efroymson & Ray, através da reformulação do problema LSR, conseguiram
desenvolver um método de solução baseado no algoritmo de branch and bound que garante
a obtenção da solução ótima. Como não há restrições de capacidade, quando a função custo
total é linear as variáveis Xij assumem apenas os valores O ou 1 para a solução ótima. Com
base nesta observação, conforme sugerem os autores, podemos resolver o problema
buscando para cada cliente o local que apresenta o menor custo de suprimento, e instalando
aí um depósito.
O modelo de Efroymson & Ray foi posteriormente refinado por Khumawala (1972) que
através de modificações nos critérios de seleção empregados pelo algoritmo de branch and
bound conseguiu obter ganhos expressivos de eficiência. Uma extensão deste modelo para o
problema de localização discreta com restrições de capacidade (LCR) foi apresentada em
1977 por Akinc & Khumawala, e novamente, estendido em 1982 (Van Roy & Erlenkotter)
para o problema de localização dinâmica.
Erlenkotter (1978) apresentou um dos mais eficientes algoritmos conhecidos para a o
tratamento do problema LSR Também baseado no algoritmo de branch and bound, o
modelo sugerido pelo autor concentra-se na resolução de uma formulação dual condensada do problema considerado, o que proporciona uma significativa redução do tempo de
processamento requerido. Nauss (1978) apresentou uma variante deste algoritmo para o
problema LCR que supera por ampla margem a performance computacional do modelo
sugerido por Akinc & Khumawala (1977).
17
Ainda em 1978 Geoffiin, Graves e Lee apresentaram um eficiente modelo para a resolução
do problema de localização discreta com multi-produtos e restrições de capacidade, o qual
foi utilizado na implementação de diversos pacotes comerciais. O modelo proposto é
baseado em um algoritmo de decomposição (a1gortimo de Benders) que permite a
subdivisão do problema principal em uma sequência de problemas de transporte facilmente
tratáveis.
2.4 - O Problema Dinâmico
Os métodos de análise revistos até o momento concentram-se basicamente em uma situação
estática nas quais os padrões de demanda e custo permanecem constantes ao longo do
tempo. A formulação do problema dinâmico é uma extensão simples do problema LCR
apresentado na seção anterior, e pode ser resolvido por métodos de programação linear,
como Van Roy & Erlenkotter (1982).
Além da ampliação do número de variáveis e parâmetros (acréscimo de um índice extra), o
problema dinâmico apresenta ainda uma dificuldade adicional relacionada à necessidade de
previsão de diversos parâmetros (ex.: demanda, frete, custos de operação, etc). Na maioria
dos casos, a baixa qualidade das estimativas efetuadas não justificará o emprego de modelos
de análise específicos para o problema dinâmico (os modelos estáticos podem ser aplicados
periodicamente para se avaliar a conveniência do atual sistema de distribuição).
Bailou (1968) sugere um método bastante interessante para o tratamento do problema
dinâmico. Para o horizonte temporal de análise9, devem ser estimados os parâmetros
relevantes para cada período. Calcula-se então a média de cada parâmetro, eventualmente
ponderada pela grau de confiabilidade da estimativa, e aplica-se um modelo de localização
estático (discreto ou não). A solução encontrada usualmente será uma estimativa satisfatória
do ponto ótimo. O autor observa ainda que a aplicação do método deve ser acompanhada
por uma extensa análise de sensibilidade, já que as previsões de parâmetros raramente terão
um grau elevado de confiabilidade.
9 É importante observar que o horizonte temporal de análise deve ser fixado de tal forma que as previsões efetuados para cada período mantenham um grau razoável de precisão. Quando a qualidade das estimativas for insatisfatória, sugere-se a aplicação periódica de modelos estáticos de localização.
18
2.5 - Aplicações Comerciais
Existem no mercado diversos sistemas de softwares dedicados ao problema de localização
de depósitos e outras instalações. Recentemente, Bailou & Masters (1993) apresentaram
uma pesquisa sobre os principais sistemas disponíveis no mercado norte-americano e a sua
utilização em empresas.
Conforme a versão e a capacidade do sistema, os preços de aquisição variam largamente na
faixa entre US$ 5.000 e US$ 90.000. A maioria dos sistemas avaliados roda em
computadores ffiM PC ou compatíveis. Entretanto, os sistemas que utilizam técnicas de
programação linear e programação inteira, devido aos problemas de eficiência
computacional inerentes a estas metodologias, requerem configurações avançadas (486 com
memória expandida) ou máquinas mais potentes.
Em relação à capacidade técníca, os autores observaram que a maior parcela dos sistemas
avaliados concentra-se na minímização de custos através de técnicas de programação linear
e/ou programação inteira. Poucos sistemas tratam da maximização de lucro. Entre os custos
considerados estão transportes, operação dos depósitos, manipulação dos produtos e custos
fixos de instalação. Os custos de estoque, por serem não lineares, usualmente são
aproximados através de funções degrau ou são incluídos apenas no cálculo do custo final de
cada solução. Restrições em relação ao nível de serviços não são consideradas de forma
satisfatória.
Em relação à utilização dos sistemas, Bailou & Masters observaram que em mais de 50%
das empresas estudadas pelo menos dois modelos de localização distintos são empregados
durante o processo de análise. Como a representação de uma situação real através de um
modelo matemático invariavelmente envolve aproximações significativas, os usuários têm
demonstrado uma preocupação menor com a precisão matemática da metodologia de
solução empregada pelo sistema de localização. Segundo a pesquisa, as características mais
valorizadas na escolha de um sistema de localização incluem a interface com o usuárío
(''user mendliness"), a forma de apresentação dos resultados (gráficos) e o suporte técnico oferecido.
19
3 - O Modelo Utilizado
A escolha de um modelo matemático como auxiliar na análise de um problema de
localização deve ser efetuada com base nos objetivos estipulados para o processo de análise,
considerando-se obviamente as diversas restrições pertinentes. Como a aplicação de
modelos sofisticados usualmente é sobremaneira dispendiosa, nem sempre apresentando
vantagens em relação a modelos menos complexos no tratamento de situações simples, a
relação custo-beneficio deve ser cuidadosamente estimada.
Com o intuito de selecionar um modelo adequado para nossas aplicações, buscamos definir
claramente os objetivos deste trabalho e as restrições básicas do processo. Inicialmente
pretendíamos conduzir uma análise sobre a localização das bases de combustíveis da CBPI
no Estado de São Paulo. Mais do que apenas desenvolver uma solução fechada composta
apenas pelo número, localização e capacidade ótima das bases, desejávamos investigar como
o custo ideal deste sistema de distribuição relacionava-se a diversos parâmetros e variáveis,
como o número de bases, custos de transporte e operação, e alocação de pontos de
demanda, dentre outros. Para conduzir esta análise qualitativa dispúnhamos de um número
limitado de informações: a demanda anual por produto (diesel e gasolina) de cada um dos
municípios paulistas; a localização geográfica destes municípios; o volume anual de produtos
transferidos a partir de cada uma das bases da CBPI em São Paulo; o custo anual de
operação e a localização destas bases; e a localização de todos os pontos de suprimento
(dutos e refinarias) da Petrobrás em São Paulo.
À luz dos objetivos e restrições acima avaliamos os modelos de localização em rede,
localização discreta e localização no plano descritos no capítulo anterior. A utilização de
modelos de localização em rede implicaria no levantamento e representação das malhas
viária e ferroviária do Estado de São Paulo, além de uma série de outras informações.
Ademais, o nível de eficiência computacional destes modelos é relativamente pequeno para
problemas genéricos (Francis, McGinnis & White; 1983).
Para a aplicação de modelos de localização discreta deveríamos especificar quais os pontos
dentre os 363 municípios aqui considerados seriam elegíveis para a localização de depósitos.
Mesmo que conseguíssemos reduzir este número para um conjunto potencial composto por
50 munícípios, por exemplo, a quantidade de informações requeridas para a aplicação do
modelo ainda assim seria demasiada (matriz de distâncias 5Ox363, custo de
instalaçã% peração em 50 diferentes munícípios, etc).
20
Os modelos de localização no plano, por sua vez, necessitam de uma quantidade muito menor de informações e apresentam uma eficiência computacional satisfatória mesmo para problemas de grandes dimensões, como no caso em questão. Considerando-se ainda a nossa preocupação com a análise qualitativa do problema, decidimo-nos pela seleção de um modelo de localização no plano, especificamente o modelo desenvolvido por Eilon, WatsonGandy e Christofides ( 1 971).
O modelo de localização selecionado concentra-se na minimização do custo logístico total do sistema de distribuição. Por conseguinte, para sua melhor compreensão devemos analisar os diferentes custos envolvidos na decisão de localização.
3.1 - Custos Logísticos
Existem diversos custos associados ao sistema logístico das empresas. Entretanto, nem todos os custos são efetivamente afetados pela decisão de localização dos depósitos, podendo ser negligenciados para efeito da análise. Os principais custos associados ao sistema de distribuição comercial podem ser agrupados em custos de manutenção dos depósitos, custo de estoque, e os custos de transporte entre fábricas, depósitos e c1ienteslO .
3.1.1 - Custos de Manutenção dos Depósitos
O custo de manutenção dos depósitos é formado basicamente pelo aluguel ou depreciação do imóvel; o custo dos equipamentos e outros investimentos necessários para a sua operação; os custos administrativos e de pessoal; taxas, tarifas públicas e seguros. Estes custos podem ser agrupados, conforme o seu comportamento, em custos fixos e variáveis. Fatores como a1ugueVdepreciação, taxas e seguros, normalmente são independentes do nível de atividade de um depósito específico. Por outro lado, o custo de manipulação de produtos e o custo de mão-de-obra comumente mantém uma relação direta com o volume de atividades do depósito.
Podemos modelar o custo de manutenção associado a um determinado depósito i por uma função do tipo CVi(vi) + CFi, composta por dois fatores representando respectivamente os
10 Em grande parte dos casos os custos de transporte dos insumos, quando não são de responsabilidade do fornecedor, podem ser agregados diretamente ao seu preço para efeito de análisc. Neste trabalho, por simplicidade, estaremos adotando esta suposição.
2 1
custos variáveis (CVi(vi) é uma função do fluxo Vi de produtos no depósito i) e os custos
fixos (CFi é uma constante para o depósito i). Tanto os custos variáveis quanto os custos
fixos dependem da localização do depósito i, já que a valorização imobiliária, alíquotas de
imposto, prêmios de seguro e custo de mão-de-obra podem variar para diferentes regiões.
Caso as diferenças regionais sejam pouco representativas, podemos modelar os custos do
depósito por uma função mais genérica do tipo CV(vi) + CF.
3.1.2 - Custo de Estoques
Os custos de maior relevância associados a estoques compreendem os custos de
manipulação, o custo de oportunidade do capital investido e o custo de obsolescência e
perda dos produtos. Os custos de manipulação correspondem basicamente aos custos de
operação de depósitos já tratados na seção precedente, não sendo aqui portanto
reconsiderados. Tanto o custo de oportunidade quanto os custos de obsolescência e perda
são diretamente proporcionais ao volume médio total de estoques do sistema, o qual pode
ser representado pela equação seguinte:
" Q E = D-' +ES) +ETr
;=1 2
onde:
E - estoque médio de um sistema de distribuição composto por n depósitos;
Qi - lote econômico de entrega para o depósito i (estoque básico);
ESi - estoque de segurança para o depósito i; e
ETr - estoque médio total em trânsito no sistema.
(3.1)
A equação acima considera os três tipos de estoques necessários à operação de um depósito:
estoque em trânsito, estoque básico e estoque de segurança. O estoque em trânsito é
composto pelas mercadorias localizadas no interior de veículos de carga enviados para
suprir um depósito ou os pontos de demanda atendidos pelo mesmo. O estoque básico
corresponde ao estoque operacional de um depósito, determinado a partir da política de
suprimento empregada (lote econômico). O estoque de segurança é o estoque adicional
mantido no depósito com o objetivo de evitar a falta de estoque decorrente de eventuais
flutuações na demanda de clientes e no tempo de suprimento do depósito.
Os três tipos de estoque mencionados são impactados de diferentes maneiras pela variação
no número de depósitos que compõe o sistema de distribuição. O estoque em trânsito
22
depende do tempo gasto na transferência de mercadorias entre os pontos de suprimento,
depósitos e pontos de demanda, sendo diretamente proporcional às distâncias percorridas.
Na medida em que varia o número de depósitos no sistema, varia a distância total
percorrida, e por conseguinte, também o estoque em trânsito.
o estoque operacional médio de cada depósito depende da política de suprimento adotada.
Quando se empregam lotes econômicos de entrega (Qj), o estoque médio de cada depósito é
equivalente à metade do lote econômico mais o estoque de segurança. Para a determinação
do lote econômico diversas técnicas podem ser adotadas, sendo a mais comum baseada na
equação:
Q =p.D C m /
onde:
Q - o lote econômico de entrega (em unidades de volume);
D - a demanda total do sistemall (em unidades de volume);
C - o custo de suprir um depósito com um lote econômico (em unidades monetárias);
m - o número de depósitos no sistema; e
i - custo de oportunidade do estoque (em unidades monetárias por unidade de volume).
(3.2)
Para encontrar o estoque médio do sistema, basta multiplicar o estoque médio de cada
depósito (Q/2) pelo número total de depósitos no sistema (m):
E _ m p.D e _�D.cm B,otol - . -2 m.i 2 .i
que, segundo a equação acima, é proporcional à raiz quadrada do número de depósitos.
(3.3)
Como o custo de entrega C geralmente não é constante para um sistema logístico, variando
com o número de depósitos e as suas respectivas localizações, a equação (3.3) infelizmente
tem pouca utilidade para o tipo de análise aqui considerado. Observa-se em situações reais
que o lote econômico de entrega é determinado sobretudo pelas restrições do meio de
transporte empregado (ex.: capacidade) ou pelos lotes de produção/compra da empresa. Na
medida em que incrementa-se o número de depósitos no sistema, o somatório dos lotes
1 1 Apenas para efeitos de análise, estamos assumindo que a demanda atendida por cada depósito do sistema é aproximadamente igual. Neste caso, D/n.
23
econômicos dos depósitos tende a decrescer nesta mesma razão (Bowersox, Closs & Helferich, 1986, pp.283), resultando portanto numa variação pouco significativa do estoque
médio total.
Por fim, o estoque de segurança de cada depósito depende da volatilidade da demanda da
região que este atende, da incerteza existente em relação ao tempo necessário para o
reabastecimento do depósito após a colocação de um pedido (Iead time), e do nível de
serviço mantido pela empresa. Apenas para ilustrar uma forma comum de cálculo do
estoque de segurança, vamos supor que a demanda observada por um depósito durante o
lead time possa ser representada por uma variável aleatória z com distribuição normal de
média z e desvio padrão a. Se a empresa deseja reduzir a probabilidade de falta de estoque
durante o período de reabastecimento do depósito para um nível f, será necessário manter
um estoque de segurança igual a k.a, onde k, o fator de serviço, pode ser facilmente
determinado através da relação f= Pr[ z > z+ k.a].
0,40
0,35
0,30
0,25 � 0,20
0,15
0,10
0,05
0,00 I ! I I -3,00 -2,50 -2,00 -1,50 -1,00 .0,50 0,00 0,50 1 ,00 1 ,50 2,00 2,50 3,00
k
Figura 3,1 - Determinação do Estoque de Segurança
Ao excluirem-se depósitos do sistema de distribuição, cada depósito remanescente passa a
ser responsável pelo atendimento de um número maior de clientes, Como a distribuição da
demanda de diferentes clientes raramente será perfeitamente correlacionada, o desvio padrão
da demanda dos clientes somados será inferior à soma dos desvios padrões das demandas
24
individuaisl2 . Assim, o estoque de segurança total do sistema decresce com o número de
depósitos.
Podemos modelar o custo total dos estoques de um sistema de distribuição (CE) através de
duas funções que dependam respectivamente do número de depósitos do sistema e da
distância ponderada percorrida por mercadorias entre pontos de suprimento, depósitos e
pontos de demanda, conforme a equação abaixo:
onde:
k m m n CE = I: Dl . v l . dlij + I: I:k2.�2ij.d2ij +E(m)
i =1 j=4 i=t j:t (3.3)
k I ,k2 - constantes proporcionais à velocidade do meio de transporte empregado para a
transferência de produtos, e ao custo de oportunidade/obsolescência/perda de estoque por
unidade de volume;
v I ij - volume total de produtos transportados entre a fábrica i e o depósito j;
v2ij - volume total de produtos transportados entre o depósito i e o cliente j;
dI ij - distância entre a fábrica i e o depósito j;
d2ij - distância entre o depósito i e o cliente j; e
E(m) - custo de estoque como função apenas do número mde depósitos no sistema.
3.1.3 - Custos de Transporte
Os custos de transporte usualmente irão depender de uma extensa lista de fatores, dentre os
quais podemos citar como mais relevantes:
- Meio de transporte utilizado para a transferência de mercadorias (rodovia, ferrovia,
cabotagem, etc);
- Características da mercadoria transportada, tais como volume, peso, perecibilidade,
fragilidade, etc;
- A distância percorrida; e
- Propriedade do meio de transporte (próprio, público, privado).
12 Se x e y são duas variáveis nonnais e z = x+y temos que z = x+y e u, =�U; +u/ +2ur.Uy. pr,y . Na
situação em questão, pr,y, a correlação entre x e y, usualmente será menor que um, daí u, <Ur +Uy.
25
Para cada uma das combinações específicas dos fatores acima teremos um comportamento distinto dos custos associados. O custo de transporte para uma empresa proprietária de uma frota de caminhões deverá incluir os custos de manutenção dos veículos, combustível, mãode-obra, seguro, depreciação e o custo de oportunidade do capital. Por outro lado, uma empresa usuária de serviços de transporte de terceiros provavelmente incorrerá apenas no custo de frete (e seguro) relacionado ao volume e peso da mercadoria transportada, e da distância a ser percorrida.
Seguindo os propósitos deste trabalho, iremos modelar os custos associados a transportes através de uma equação que depende apenas do volume (ou peso) da mercadoria transportada, da distância percorrida, e do meio de transporte utilizado. O custo de transportar um volume vij de produto , pelo meio de transporte tq, através da distância entre o ponto i e o ponto j (dij)' será equivalente a T(tq,Vij,dij).
3.1.4 - Custo Total
Para um sistema de distribuição composto por k tãbricas, m depósitos e n clientes, e que utiliza o meio de transporte tI entre as fábricas e os depósitos, e o meio de transporte t2 entre os depósitos e os clientes, podemos representar a função custo total (Cl) através da seguinte equação:
m k m
CT = nCV(v;) +CF) + � };(T(tl, vlij,dlij) +kl. v1.dlij) + l� 1� J� m • L DT(t2, v2ij,d2ij) +k2. v2ij.d2ij) +E(m) (3.4)
i=t )=4
Se o custo de transporte for uma função linear da distância e do volume de produtos transportados a função T(tq,Vjj,dij) toma-se tq.Vij -dij e a equação acima pode ser reescrita como:
m k m m n CT = DCV(v;) +CF) + L Dtl + k2). vl ij.d l ij + L Dt2 + k2). v2ij.d2ij +E(m)
1 =1 i=l }=4 i=t j�
(3.5)
26
onde tI e t2 representam o frete unitário por unidade de volume e distância para os meios de transporte empregados respectivamente na transferência de produtos entre pontos de suprimento e depósitos, e destes para os pontos de demanda.
3.2 - O Modelo de Eilon, Watson-Gandy e Christofides
o modelo apresentado por Eilon, Watson-Gandy e Christofides concentra-se na mínimização da equação (2.8), modificada aqui para incluir especificamente os custos de estoque (equação (3.5» . Os pontos ideais para a localização dos depósitos (mínimos da função) podem ser determinados através da derivação da equação (3.5) em relação às coordenadas dos depósitos (Xi,Yi). Igualando as derivadas parciais a zero e resolvendo a expressão para Xi e Yi obtemos os seguintes resultados:
1 n
J�«tI +kI). vlj;.fxj / dli;) + 1:«t2 +k2). v2;j.cXj / d2;j)
Xi j=< • • (3.6)
�:C(t1 +kI). vI;;. / dlj;) J=<
+ I:« t2 +k2). V2;j. / d2;j) J=<
e k n
J�« tl +kI). vIj;.fyj / dI;;) + I:«t2 +k2). v2;j.cYj / d2;;) y; J=<
• n (3.7)
J�«t1 +kl). vIj;. / dIj;) + J�«t2 +k2). v2;;. / d2;j)
A partir das expressões acima não podemos calcular diretamente as coordenadas Xi e Yi, já que os termos dIji e d2ij que aparecem no lado direito das equações dependem da localização dos depósitos a ser determinada. Os autores sugerem então um método iterativo para o cálculo destes pontos. Inicialmente um conjunto qualquer de n pontos\3 é escolhido para a localização dos depósitos. Cada depósito é alocado à fábrica (ponto de suprimento) mais próxima, e cada cliente (ponto de demanda) é alocado ao depósito com o menor custo de suprimento (custo de transferência + custo de entrega). Utilizando-se as equações (3.6) e (3.7) calcula-se então um novo vetor de coordenadas para a localização dos depósitos.
A partir da segunda iteração, o critério de alocação dos clientes aos depósitos passa a considerar também os custos de operação. O volume total transferido por cada depósito na iteração anterior é utilizado para calcular o seu custo marginal de operação, que somado ao
13 Onde n » n', o número ótimo de depósitos para o sistema de distribuição considerado.
27
custo marginal de suprimento de cada cliente constitui o novo critério de alocação. A cada iteração, as coordenadas dos depósitos são sucessivamente recalculadas até que nenhuma redução adicional no valor da função objetivo seja obtida. O último vetor de coordenadas calculado é o conjunto de pontos ideal para a localização dos n depósitos.
Como o problema de localização envolve não apenas a determinação dos pontos de localização de depósitos mas também do número de depósitos, o método considerado prossegue removendo do sistema o depósito com o menor volume de transferências. Para o conjunto de n-I depósitos um novo vetor (Xi * Si *) é calculado através dos procedimentos já descritos. Como a função custo total é convexa em relação ao número de depósitos que compõe o sistema, quando o custo da solução para k-I depósitos for superior à solução para k depósitos, tem-se que n * = k é o número ótimo de depósitos (critério de parada do algoritmo). O vetor de coordenadas (xt st) obtidas para n = k representa a localização ideal dos depósitos buscada.
Algumas observações devem ser feitas em relação ao modelo apresentado. Conforme mencionamos, a sua aplicação requer um conjunto de pontos para a localização inicial dos depósitos. Os métodos para a escolha destes pontos de maneira geral são ineficazesl4 , e a escolha pode ser efetuada portanto de forma aleatória dentro da região onde estão localizados os clientes e as fábricas, A única restrição observada refere-se ao tamanho do conjunto inicial, que deve ser, conforme nossa experiência, no mínimo três vezes superior ao número ótimo estimado de depósitos, Um conjunto inicial com um número reduzido de pontos raramente irá convergir para o mínimo global do problema,
Em relação à convergência do modelo observamos que a despeito da convergência das equações (3,6) e (3.7), conforme demonstrada por diversos autores dentre os quais Kuhn e Kuenne (1962), a utilização de um critério de alocação de clientes baseado no custo marginal mínimo impede a convergência teórica do método de solução. Não obstante, conforme relatado por Eilon, Watson-Gandy e Christofides, e também comprovado em nossos experimentos, o método de solução proposto converge satisfutoriamente para os mais diferentes tipos de situação, não constituindo-se portanto em qualquer empecilho à sua aplicação,
14 Alguns critérios para a seleção do conjunto inicial, como a distribuição geográlica homogênea, por exemplo, foram testadas neste trabalho, Nenhum critério de seleção obteve um impacto positivo sobre a eficácia do modelo,
28
Em relação á eficácia do modelo devemos fazer apenas uma ressalva. Como a função
objetivo é uma função convexa com diversos pontos de mínimo (mínimos locais), a
aplicação do modelo de localização poderá levar á seleção de qualquer um destes mínimos
locais, dependendo da localização inicial dos depósitos. Como não há nenhum método
conhecido que garanta a obtenção do mínimo global, deve-se repetir a aplicação do modelo
por sucessivas vezes utilizando-se diferentes conjuntos iniciais. Como a obtenção de cada
mínimo local está relacionada ao conjunto inicial utilizado, para um número suficientemente
grande de tentativas, obter-se-á a solução ótima procurada.
Por fim, devemos ressaltar ainda que o método de alocação de clientes a bases originalmente
empregado no modelo também não garante a alocação ótima (única neste caso). Outros
métodos de alocação mais eficazesl5 foram testados neste trabalho, mas conforme pudemos
constatar, a sua utilização não implica numa maior eficácia do modelo de solução.
Considerando-se adicionalmente a elevada eficiência computacional do método original de
alocação, optamos pela sua utilização na forma sugerida pelos autores.
3.2.1 - Restrições de Capacidade e Número de Depósitos
Ainda que não considerado por Eilon, Watson-Gandy e Christofides em seu trabalho, o
modelo de solução apresentado pode ser facilmente adaptado para o tratamento de
restrições de capacidade dos depósitos e do número de depósitos a serem instalados. A
primeira restrição implica numa modificação do critério de alocação de clientes. Cada cliente
deve ser alocado ao depósito com o menor custo marginal total (suprimento + operação),
que possua capacidade ociosa suficiente para atender ao cliente. Aqui é importante que os
clientes sejam alocados por ordem de volume demandado. Em uma situação com um
número reduzido de depósitos, após a alocação dos clientes com menor volume de
demanda, eventualmente nenhum depósito terá capacidade ociosa suficiente para atender aos
clientes de maior volume.
15 A heurística abaixo, ainda que menos eficiente do ponto de vista computacional, é mais eficaz do que o método de alocação considerado no modelo de Watson-Gandy e Christofides: (I) Alocar os clientes aos depósitos considerando-se apenas o custo de suprimento (transferência + entrega); (2) Para cada cliente calcular a maior economia possível na função custo total decorrente de sua realocação para outro dcp6sito; (3) Realocar apenas o cliente que proporcione a maior redução na função custo total; (4) Repetir os passos (2) e (3) até que nenhuma redução adicional na função custo total seja possível.
29
A segunda restrição não precisa ser explicitamente incorporada ao modelo de solução.
Podemos identificar o número ideal de instalações simplesmente pela comparação do custo
ótimo para cada número fixo de depósitos dentro da faixa desejada. O modelo de solução
deve conter apenas uma pequena adaptação para prosseguir no processamento após o ponto
de mínimo, quando a curva de custo passa a crescer com a redução do número de depósitos.
3.3 - A Implementação do Modelo
O modelo utilizado neste trabalho, com restrições de capacidade, foi implementado
utilizando-se Turbo Pascal 7.0. A configuração mínima recomendada para a execução do
programa é um computador do tipo PC com processador 486DX 33MHz. Equipamentos
menos potentes devem contar necessariamente com um co-processador aritmético. O
programa, denominado LOCAL.PAS, encontra-se no Anexo I. Todas as variáveis e rotinas
estão devidamente comentadas.
Considerando o tipo de aplicação para a qual o programa se destina, optamos por
implementar as suas entradas e saídas sob a forma de arquivos texto que podem ser
facilmente manipuláveis através de planilhas eletrônicas e editores. Ademais, como a análise
de um problema de localização usualmente irá requerer repetidas execuções do programa,
tal trabalho pode ser bastante facilitado através da utilização de arquivos de processamento
em lote (.BAT). Uma saida adicional no vídeo, com o número de iterações, número de
depósitos e o custo total foi incluída apenas com a finalidade de permitir o acompanhamento
do processamento do programa.
3.3.1 - Arquivos de Entrada
O programa de localização requer quatro arquivos com dados de entradal6 :
- BASE].TXT - Este arquivo contém a localização dos pontos de suprimento (fábricas).
Cada linha do arquivo deve conter as coordenadas x e y de um ponto de suprimento.
- BASE_S. TXT - Este arquivo contém o conjunto inicial de pontos para a localização dos
depósitos. Cada linha do arquivo deve conter as coordenadas x e y de um depósito inicial.
16 Todos os dados devem ser separados por espaços.
30
- CLlENTES.TXT - Este arquivo contém a localização, demanda, e o nome de cada cliente
que deve ser atendido pelo sistema. Cada linha do arquivo deve conter respectivamente o
código do cliente (município), a sua demanda, as coordenadas x e y, e opcionalmente o
nome do cliente (município).
- CUSTOS.TXT - Este arquivo contém os parâmetros de custo e restrições do problema
considerado. O arquivo contém apenas uma linha com as seguintes informações: custo
unitário de transferência por unidade de volume e distância, custo unitário de entrega por
unidade de volume e distância, custo fixo de operação dos depósitos, custo variável de
operação dos depósitos, expoente representando o ganho de escala, e capacidade máxima
dos depósitos.
3.3.2 - Arquivos de Saída
São os seguintes os arquivos de saída gerados pelo programa de localização:
LOCAL. TXT - Este arquivo contém o custo do conjunto inicial de pontos fornecidos para a
localização dos depósitos, o custo ótimo final, o tempo total de processamento, a
localização e demanda dos depósitos e a respectiva alocação aos pontos de suprimento.
ALOCATXT - Este arquivo contém a alocação dos clientes aos depósitos.
INT.TXT - Este arquivo contém o custo ótimo para os diferentes números de bases
considerados durante o processamento, e o tempo de processamento decorrido até cada
solução.
CDEC.TXT - Este arquivo contém o custo ótimo para os diferentes números de base
considerados durante o processamento, decomposto em custos totais de transferência,
entrega e operação das bases.
31
4 - Uma Aplicação ao Setor de Distribuição de Combustíveis
Neste e no próximo capítulo ilustraremos a aplicação do modelo de localização apresentado
através do estudo de um caso real. Iremos analisar a localização geográfica dos depósitos de
combustíveis da Cia. Brasileira de Petróleo Ipiranga no Estado de São Paulo em 199317 .
Este sistema logístico, representado pela figura abaixo, era composto por l i bases
( depósitos), 6 pontos de suprimento da Petrobrás, e inúmeros pontos de consumo (postos
de combustíveis e grandes clientes) localizados em 363 diferentes municípios, com uma
demanda anual total de 1 .01 9.784 m3 de combustíveisl8 . Ressaltamos que o sistema em
consideração inclui também alguns municípios do Paraná (33) e do Mato Grosso do Sul
(12), abastecidos pelas bases de Presidente Prudente e Ourinbos.
-2200
-2300
o -2400
-2500
-2600
-2700
•
-2800
00 0 ° o CO O o o o
o i}>0'b C o o o o 8 o o . () S.J.Ril>riI o o o ()
o o qp��.I V o oU o co o o o"'f... o o o -c fJ�cPret6 0 ..... 0 Cb o Oo o � or )'6. o
I.':f 0r.-.. o o o h ó"'OO o o
•
'-V O O t..J cP
• o o
o SP
o MS
• PR
• Ptos. de Sup.
• Bases
-5500 -5400 -5300 -5200 -5 1 00 -5000 -4900 -4800 -4700 -4600 -4500
Figura 4.1 - Sistema de Distribuição da CBPI no Estado de São Paulo
17 Antes, portanto, da aquisição da Cia. Allantic de Petróleo. 18 Este total inclui apenas gasolina e óleo diesel.
32
4.1 - Metodologia
Conforme a disponibilidade e o custo de obtenção das informações relativas ao sistema de
distribuição focado nesta análise, diversas aproximações foram necessárias para viabilizar a
aplicação do modelo de localização. Nas seções seguintes descrevemos detalhadamente as
aproximações efetuadas.
4.1.1 - Produtos
As empresas de distribuição de combustíveis atuam na comercialização de quatro categorias
principais de produtos: gasolina, álcool, diesel e óleos lubrificantes. O volume total de
lubrificantes comercializado é pequeno em relação ao volume dos combustíveis, não
afetando portanto a decisão de localização das bases.
Gasolina e óleo diesel são produzidos e distribuídos de forma semelhante, podendo ser
agrupados em uma mesma categoria de produtos para efeito de análise. O álcool, no
entanto, deve ser considerado à parte como uma categoria distinta, já que é fornecido às
distribuidoras através de pontos de suprimento diferentes dos derivados (usinas e centros
coletores, ou diretamente pela PetrobrásI9).
Para analisar um sistema de distribuição com multi-produtos, pode-se utilizar o modelo de
localização descrito no capítulo anterior, desde que os custos representados pela função
objetivo (3.5) sejam desmembrados em termos específicos correspondentes a cada família de
produtos. Não obstante, neste estudo optamos por desconsiderar completamente o álcool na
determinação da localização das bases. Isto porque, com a gradual liberação do setor de
distribuição de combustíveis, diversos profissionais da área acreditam que o fornecimento de
álcool para os postos de serviços deverá ser efetuado diretamente através das usinas,
desaparecendo a atual etapa de armazenamento nas bases. Nesta situação, a localização das
bases seria determinada preponderantemente pelo sistema de distribuição de derivados.
4.1.2 - Localização e Demauda dos Pontos de Consumo
O tratamento individual dos pontos de consumo requer um número extremamente elevado
de informações acerca da sua localização e histórico de vendas. Por conseguinte, optamos
19 Importação C outros casos específicos.
33
por considerar a demanda dos postos de combustíveis e grandes clientes agregada por
municípios. Esta abordagem, além de não introduzir erros significativos na análise,
considerando-se que o centro geográfico de cada município usualmente representa uma
estimativa razoável do ponto médio de localização dos postos, reduz sensivelmente o custo
de coleta de informações20 , e o esforço de processamento requerido.
4.1.3 - Coordenadas Espaciais
De maneira geral a especificação da localização de pontos na superficie da Terra é efetuada
através de coordenadas esféricas (latitude e longitude) mensuráveis, por exemplo, através de
instrumentos de posicionamento global (GPS)21 . Entretanto, em função das dificuldades
matemáticas envolvidas no tratamento de coordenadas esféricas, sobretudo na área de
cálculo diferencial, o modelo de localização de Eilon, Watson-Gandy e Christofides trabalha
apenas com coordenadas cartesianas. Como em superficies esféricas a menor distância entre
dois pontos não é uma linha reta (mas um arco denominado geodésica), a utilização do
teorema de Pitágoras para o cálculo de distâncias introduz um erro tanto maior quanto a
curvatura da superficie considerada. Para o caso aqui estudado, o erro máximo na
mensuração de distâncias utilizando-se o sistema de coordenadas cartesianas é inferior a
10%22 .
Observamos ainda que para a aplicação deste modelo de análise, devemos converter as
coordenadas terrestres dos municípios (longitude e latitude) em coordenadas cartesianas.
Esta conversão pode ser efetuada mediante a aplicação das fórmulas abaixo, onde S é a
latitude sul em graus, e W a longitude oeste em graus de um ponto qualquer sobre a
superficie da Terra, e RT é o raio médio do globo terrestre (6370Km):
y = RT.n.S/180
x = RT.cos(S).1t. WII 80
(4.1)
(4.2)
Inversamente, partindo-se das coordenadas (x,y) de um ponto, podemos encontrar a sua
latitude e longitude através da aplicação das fórmulas seguintes:
20 As coordenadas do centro geográfico dos municípios podem ser facilmente obtidas em meios magnéticos
através do IBGE. 21 Nos EUA pode-se adquirir GPS portáteis por preços inferiores a US$ 1500,00. 22 Vide Anexo 11.
34
4.1.4 - Redes de Transporte
S = (180.y)/(RT.1t)
W = ( l 80.x)/(RT.1t.cos(S»
(4.3)
(4.4)
Confonne já colocamos, no modelo de localização de Eilon, Watson-Gandy e Christofides
todas as distãncias entre clientes, depósitos e fábricas são calculadas em linha reta,
desconsiderando-se portanto o percurso viário dispoIÚvel. Dependendo das características
da malha viária da região analisada, esta aproximação poderá introduzir erros significativos.
Uma alternativa para reduzir tais erros é a utilização de um fator multiplicativo no cálculo
das distãncias. Se d é a distância em linha reta entre dois pontos quaisquer, introduzindo-se
o fator de correção fc, a distãncia considerada na análise passa a ser fc.d.
Especificamente para o Estado de São Paulo, que possui malhas ferroviárias e rodoviárias
desenvolvidas, os erros introduzidos com o cálculo de distãncias em linha reta não afetam
substancialmente os resultados da análise, e nenhum fator de correção precisa ser
empregado. Na tabela seguinte apresentamos uma comparação entre as distãncias reais por
percurso rodoviário entre municípios de São Paulo, e as distãncias calculadas em linha reta
através do emprego de coordenadas cartesianas.
Fluxos Distância Estimativa Erro
Rod. (Km) (Km) (%)
Araraquara -Paulínia 164 175 6 85
Bauru - Ourinhos 125 92 -26,04
Bauru - PaulíIÚa 231 217 -5,90
Bauru - Pres.Prudente 280 247 -I 1,76
Bauru - S.J.Rio Preto 227 1 89 -16,86
Paulínia - Ourinhos 341 271 -20,51
Paulínia - Pres.Prudente 539 463 -14,01
Paulínia - Rib. Preto 205 214 4 19
Paulínia - S.J.Rio Preto 330 367 1 1 ,22
Paulínia - Sertãozinho 222 229 3 00
Tabela 4.1 - Distâncias Viárias
35
o erro máximo para os exemplos coletados foi de -26,04% para o percurso entre Bauru e
Ourinhos; e o erro absoluto médio foi de 12%. Os erros positivos observados podem ser
explicados devido ao fato das distâncias rodoviárias não considerarem o centro geográfico
do município.
4.1.5 - Meios de Transporte e Custos Associados
A transferência de produtos entre bases pode ser efetuada através de cabotagem, trens ou
caminhões. No Estado de São Paulo a maioria das transferências entre bases é efetuada
através de ferrovias. Como no modelo empregado apenas um parâmetro de custo para
transferências pode ser definido, decidimos adotar o frete ferroviário como o custo padrão.
Para o cálculo deste parâmetro, pode-se utilizar os custos de frete estabelecidos pela
empresa transportadora (Rede Ferroviária Federal - RFFSA). Para o Estado de São Paulo, o
custo médio calculado em 06/08/93 para um m3 por Km foi de US$ 0,038.
O transporte de produtos entre as bases e os postos de combustíveis (entrega) é efetuado
exclusivamente através de transporte rodoviário. Os custos envolvidos variam conforme a
propriedade da frota de veículos responsável pela distribuição. No caso de frota própria,
para uma estimativa precisa do custo de transporte rodoviário deveríamos considerar o
preço de aquisição de veículos; a capacidade de transporte (volume); a vida útil em anos e
Kms; consumo; impostos; custo de mão-de-obra e custo médio de manutenção. Devido às
dificuldades associadas à mensuração destes fatores, e falta de informações confiáveis,
baseamos as nossas estimativas de custo nos valores de frete rodoviário estabelecidos pelo
Departamento Nacional de Combustível (DNC) para fins de ressarcimento. Para o Estado de
São Paulo, o custo médio do frete calculado em 06/08/93 para um m3 por Km foi de US$
0,053.
4.1.6 - Custos de Manutenção de Bases e Estoques
o custo de manutenção das bases, como já discutido, é composto por uma extensa lista de
fatores, muitos dos quais de dificil mensuração, e que variam de acordo com a forma como a
base é operada e o meio de transporte principal utilizado para a transferência de produtos
(cabotagem, rodovia, ferrovia ou duto). As empresas de distribuição utilizam, além das
bases de sua propriedade, bases alugadas de terceiros e bases operadas em sistema de pool.
36
Para estimar o custo médio de operação de uma base, ajustamos uma curva simples do tipo
y=A.xB +k (onde A, B e K são constantes, e x e y correspondem respectivamente ao
volume de saídas de combustíveis em m3, e ao custo total de operação em dólares), aos
dados fornecidos pela CBPI sobre a operação de suas bases próprias nos anos de 1992 e
1 993 . Utilizando uma amostra com dezoito pontos, obtivemos a curva sólida representada
na figura seguinte:
450000
400000
360000
300000
� 260000
� 200000 u
1 60000
1 00000
60000
o
•
/ ;..
II V
o
Custo de Operaçllo das Bases
� �
• • � . - ./.
� . • Real • •
-- Estimado
� US$ 20.000
.............; I I 200000 400000 600000 800000 1000000 1200000
Saldas �m3l
Figura 4.2 - CUlIto de Operação das Bases da CBPI
o valor obtido para a constante B foi de 0,42, demonstrando uma acentuada economia de
escala na operação das bases. O valor obtido para a constante K foi de aproximadamente
US$ 20.000. O coeficiente de explicação da regressão (R2) foi de 0,72. O erro médio entre
o custo real de operação das bases e o custo estimado através da equação ajustada foi de
apenas 1%. O erro máximo para o custo de operação de uma única base foi de +27%, e o
erro absoluto médio para todas as bases foi equivalente a 1 5%.
Além dos custos específicos de operação das bases, para uma análise precisa do problema de
localização deveríamos considerar também o custo de oportunidade do capital investido. No
entanto, devido à complexidade envolvida na determinação do investimento médio em uma
base de distribuição, e do próprio custo de oportunidade do capital para a CBPI, optamos
por desconsiderar este fator na análise inicial do problema.
37
Por motivos análogos, os custos de estoque também não foram incorporados ao modelo de
análise. Não obstante, no capítulo 5 apresentamos uma estimativa parcial destes custos com
o objetivo de ilustrar o seu impacto potencial sobre a solução final do problema de
localização.
4.2 - Projeto de Experimentos
Antes de procedermos com a aplicação do modelo de localização ao caso estudado,
devemos definir experimentos que nos permitam avaliar a sensibilidade dos resultados
gerados a mudanças nos diversos parâmetros de custo e volume considerados. Esta análise
de sensibilidade faz-se necessária não apenas devido aos possíveis erros introduzidos na
determinação destes parâmetros (decorrentes de simplificações e incertezas), mas também
pelo próprio comportamento dinâmico do mercado e das práticas operacionais das empresas.
Na seção seguinte definimos os experimentos adotados para a avaliação do caso base (a
situação na qual todos os parâmetros são utilizados tal como foram determinados nas seções
precedentes). Posteriormente descrevemos as modificações efetuadas nos diversos
parâmetros com o intuito de avaliar a robustez dos resultados inicialmente obtidos.
4.2.1 - Número de Tentativas e Tamanho do Conjunto Inicial
Como já ressaltamos, o modelo de análise utilizado neste trabalho não garante a obtenção da
solução ótima (mínimo global) para o problema de localização. Entretanto, como as
soluções geradas estão associadas ao conjunto de pontos utilizado para a localização inicial
dos depósitos, repetindo-se a aplicação do modelo com diferentes conjuntos iniciais,
esperamos obter a solução desejada após um número razoável de tentativas.
Além do número de tentativas efetuadas, outro parâmetro relevante para a obtenção da
solução ótima é o t�anho do conjunto inicial utilizado. Devido á estrutura lógica do
algoritmo desenvolvido por Eilon, Watson-Gandy e Christofides, o número inicial de pontos
selecionados para a localização dos depósitos deve ser, no mínimo, igual ao número ótimo
de depósitos para o problema considerado. No entanto, quanto maior este conjunto inicial,
provavelmente mais eficaz (porém menos eficiente) será o desempenho do modelo.
38
Para avaliar estes dois parâmetros, iremos repetir a aplicação do modelo de localização para
um total de quarenta conjuntos iniciais distintos. Estes conjuntos terão quatro tamanhos
diferentes (10, 20, 30 e SO pontos), e serão escolhidos aleatoriamente a partir das
coordenadas dos municípios de São Paulo. Os resultados obtidos serão consolidados e
comparados.
4.2.2 - Volume e Distribuição da Demanda
Ainda que o comportamento da demanda no setor de combustíveis seja relativamente estável
em comparação aos demais setores da economia brasileira, inúmeros fatores como a
conjuntura econômica e a política governamental podem determinar mudanças significativas.
Específicamente no caso da CBPI, a consolidação de suas operações com a Atlantic deverá
implicar em modificações não apenas no volume de demanda observado, mas também na sua
própria distribuição geográfica.
Para avaliar a sensibilidade da solução obtida para o caso base a mudanças no volume e
distribuição da demanda por combustíveis, iremos testar seis modificações nos parâmetros
inicialmente adotados:
- Aumentos homogêneos do volume total demandado pelos municípios, em relação aos
registros de 1993, em 30%, 4S% e 60%; e
- Aumento do volume total demandado pelos municípios segundo os mesmos índices acima,
à exceção dos municípios de São Paulo, Guarulhos e Barueri, cuja demanda permanece
constante.
4.2.3 - Custo de Operação das Bases
Com a gradativa desregulamentação do setor de combustíveis, é cada vez maior a
preocupação das distribuidoras com a sua eficiência operacional. Diversos estudos vem
sendo conduzidos por estas empresas com o intuito de avaliar e reestruturar seus sistemas de
distribuição. Dentre as prováveis consequências deste movimento, seguindo inclusive uma
tendência internacional, deverão ser efetuados substanciais investimentos na automação das
bases e na ampliação do seu horário de funcionamento (que poderá alcançar até 24 horas
por dia). Tais modificações deverão incrementar ainda mais os ganhos de escala atualmente
observados nas operações de armazenagem.
39
Para avaliar os efeitos de um aumento na economia de escala de operação das bases sobre a
solução do caso base, iremos reduzir em 10% o fator B da equação y=A.xB +k que
representa o custo de operação (seção 4. 1 .6). Analogamente, buscando avaliar possíveis
erros no ajuste desta curva, testaremos as consequências de uma perda de escala da mesma
ordem de grandeza. Por último, iremos investigar como se comporta a solução do problema
com o custo variável de operação das bases igual a zero (A = O).
4.2.4 - Custos de Transferência e Distribuição
Outra possível consequência da desregulamentação é a utilização de caminhões-tanque para
a transferência de combustíveis entre bases, substituindo o transporte ferroviário. Apesar
dos custos do frete ferroviário serem relativamente menores, a baixa qualidade do serviço
provido pela RFFSA, com impactos significativos sobre os custos de perda e de estoques em
trânsito de produtos, eventualmente pode tomar economicamente mais interessante a
adoção da transferência através de rodovias.
Considerando os cenários possíveis, iremos averiguar como se comporta a solução do
problema na medida em que os fretes de transferência e de entrega se igualam, quer seja pela
redução do frete de entrega, ou pelo aumento do frete de transferência. Por fim, iremos
investigar os efeitos de reduções de 25% e 50% no frete ferroviário.
40
5 - Apresentação e Análise dos Resultados
Neste capítulo iremos apresentar e analisar os resultados obtidos através da implementação
do modelo de localização de Eilon, Watson-Gandy e Christofides, para os experimentos
descritos na seção 4.2 deste trabalho.
5.1 - Solução do Caso Base
De acordo com o modelo e as premissas adotadas, o sistema de distribuição de derivados
ideal para o Estado de São Paulo seria composto por apenas 8 bases (vide figura abaixo).
Em relação ao sistema atual, as modificações propostas incluem o fechamento de duas bases
na Grande São Paulo (Barueri e Guarulhos), e as bases de Santos, Presidente Prudente e
Bauru. Duas novas bases deveriam ser instaladas próximas às cidades de Araçatuba e
Araraquara.
-2200
'Õ o o ·2300 n
U o Q.
Q) o o g00o::> -2400 o o o o
rell.p,ud. 'b
° n v -2500 o o
-2600 o
-2700 O
-2800
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• Bases Ideais
o 0 <0 00 p Oq 6f
� Ir·J·co I"Po.
O O o 00 <ti
Santo.
v
-5500 -5400 -5300 -5200 -5100 -roo:J -4900 -4800 -4700 -4600 -4500
Figura 5.] - Comparação Entre o Sistema Atual e o Sistema Proposto
41
o custo teórico correspondente à solução ótima seria de US$ 10.480.890. Para podermos
comparar este resultado com o custo de operação do sistema atual, iremos adotar a hipótese
de que os municípios são alocados às bases da Ipiranga seguindo-se apenas um critério de
menor distância23 . Neste caso, o custo da solução ótima proposta pelo modelo - US$
10.784.400 - representaria uma economia de US$ 303 .510 em relação ao custo estimado de
operação do sistema atual (desconsiderando-se os custos de oportunidade).
Utilizando-se o método de alocação de municípios descrito no rodapé da página 29, ao invés
do critério simples de menor distância, a estimativa do custo de operação do sistema da
Ipiranga em São Paulo seria de US$ 10.706.662. Portanto, apenas através da utilização de
uma metodologia mais eficaz de alocação, poderia-se conseguir uma redução de US$ 77 mil
nos custos de operação. Em relação a esta nova estimativa, o custo da solução ótima
representaria uma economia de US$ 225.772.
Finalmente, se as bases de Barueri, Guaralhos e Santos fossem desativadas, e os municípios
fossem alocados seguindo o algoritmo otimizante, o sistema composto pelas bases de Bauru,
Ipiranga, Durinhos, Presidente Prudente, Ribeirão Preto, São José dos Campos e São José
do Rio Preto teria um custo estimado de operação de US$ 10.572.3 19, uma economia de
U$S 212.000 em relação ao sistema atual.
Na figura seguinte apresentamos a alocação dos municípios às bases propostas. Pode-se
notar que em decorrência dos ganhos de escala existentes na operação das bases, e dos
custos de suprimento das mesmas, os municípios nem sempre são alocados às bases mais
próximas.
23 Cada município é alocadao à base mais próxima.
42
-2200
• -ZlOO
• -2400
O
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-2600
-2700 •
-2800
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-5500 -5400 -5300 -5200 -5100 .5(0) -4900 -4800 4700 -4800 4500
Figura 5.2 - Alocação dos Municípios às Ba.'ieS
Na tabela abaixo apresentamos um sumário dos resultados obtidos para o caso base nas 40
aplicações do modelo, conforme discutido no projeto de experimentos. Os dados estão
agrupados segundo os quatro diferentes tamanhos de conjunto inicial considerados (T).
T=lO T=20 T=30 T=50
Melhor Solução (US$) 10.507.559 10.480.890 10.480.890 10.480.890 �C!. de Tentativas que Atingiram O 1 2 2 o Otimo Global Desvio Médio (%) 2 74 2,1 3 0 90 0,80 [Pior Solução - Desvioio/ol 6,51 6, 1 8 1,53 1,73 Tempo Médio de Proces. (m:s) 0:54 3 : 1 9 5:55 12:37 lem PC DX 486 - 33Mhz
Tabela 5.1 - Qualidade da Solução Final em Função do Tamanho do Conjunto Inicial
Como podemos observar, a qualidade da solução gerada (desvio médio em relação à solução
ótima, e pior desvio) tende a crescer com o aumento do conjunto de pontos utilizado para a
localização inicial das bases. À exceção dos conjuntos com apenas dez pontos, todos os
demais tamanhos considerados permitiram a obtenção da solução ótima. Comparando os
43
tempos médios de processamento do modelo em um computador padrão PC com um
processador DX486 - 33Mhz, optamos por utilizar apenas conjuntos iniciais com 30 pontos
para proceder com os demais experimentos deste trabalho.
5.1.1 - Relação Entre o Custo Mínimo e o Número de Bases Ativas no Sistema
No gráfico e na tabela seguinte relacionamos a variação do custo total mínimo de operação
do sistema com o número de bases instaladas. Como esperado, este custo decresce
continuamente com o número de bases até o ponto ótimo, aumentando a partir de então.
Especificamente no problema considerado, percebe-se ainda que a variação do custo total
como função do número de bases é relativamente pequena na região próxima ao ponto
ótimo. Para um intervalo de 5 até I 1 bases por exemplo, a variação do custo total é inferior
a 2% do custo mínimo.
Custo Total
13.000.000 ,-_______________________ _
1 2�.000+_-----------------------�
1 2000.000 +r _______________________ � Custo Mínino
Oi '" 1 1 .�.000 -j-_-'-:::...��----------""""-------� a
1 1 .000.000 -j-_______ -----':::OOO--.:::--___ --""""----+-
1 0.�.000 -j-_______________ .=...;--e:'--__ _
10.000.000 +-t--l-t-+-+-+--+--rl -+1 -+-1 -ll--l 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o m m � � � v M N � o m � � w � v M N � o m OO � � � v M N � M N N N N N N N N N N � � � � � � � � � �
N o . d e Bases
Figura 5.3 - Custo Mínimo x No. de Bases
44
No. de Bases Custo Total Desvio (%) No. de Bases Custo Total Desvio (%) (USS) (USS)
30 12 . 106.773 15,51 1 5 10.838.219 3,41
29 1 1.699.521 1 1 ,63 14 10.799.214 3,04
28 1 1.647.500 1 1 , 13 13 10.755.310 2,62
27 1 1 .591.293 10,59 1 2 10.735.167 2,43
26 1 1 .528.417 9,99 1 1 10.649.956 1 ,61
25 1 1 .471 .826 9,45 10 10.577.697 0,92
24 1 1.405.505 8,82 9 10.498.697 0,J'l
23 1 1 .342.772 8,22 8 10.480.890 0,00
22 1 1.285.559 7,68 7 10.513.347 0,31
2 1 1 1 .219.878 7,05 6 10.603.629 1 , 1
20 1 1. 1 39.548 6,28 5 10.635.663 1 ,48
19 1 1 .077.694 5,69 4 10.755.849 2,62
18 1 1.024.676 5,19 3 1 1 . 187.230 6,74
17 10.968.806 4,66 2 1 1 .496.200 9,6\
16 10.882.381 3,83 1 12.819.309 22,31
Tabela 5.2 - Custo Total (Operacional) x No. de Bases
Na figura seguinte apresentamos a variação de cada um dos componentes do custo total
(custo de entrega, custo de transferência e custo de operação das bases) com o número de
bases. Com o decréscimo do número de bases, o volume médio de produtos transferido por
instalação aumenta, gerando economias de escala que determinam uma redução no custo
total de operação. O custo de tranferência também diminui na medida em que um número
menor de bases deve ser atendido e a localização destas aproxima-se cada vez mais dos
pontos de suprimento. Para o Estado de São Paulo, um sistema composto por apenas uma
base teria custo de transferência zero, já que a única instalação seria posicionada em Paulínia
(um ponto de suprimento). Os custos de entrega, inversamente, aumentam com o
descréscimo do número de bases. Com menos bases a distância média total dos clientes à
base mais próxima aumenta, impactando positivamente o custo total de entrega.
45
14.000.000
1 2.000.000
10.000.000
8.000.000 ii 111 a.
6.000.000
4.000.000
2.000.000
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No . de Bases
Figura 5.4 - Variação dos Custos com o No. de Bases
5.1.2 - Custos de Oportunidade
--- Tatol
--- Base
--- Transf.
--- Entrega
Caso incluíssemos em nossa análise os custos de oportunidade do capital investido em cada
base e em estoques, os custos correspondentes às soluções apresentados na tabela 5.2
sofreriam incrementos. Apenas para ilustrar esta metodologia, vamos considerar uma
estimativa para o custo de oportunidade dos estoques das bases.
o estoque médio de uma base pode ser definido a partir de cinco variáveis principais: o
tempo médio necessário para que a base seja abastecida a partir de um ponto de suprimento;
a facilidade ou grau de confiança com que este abastecimento pode ser efetuado; o intervalo
de tempo entre dois abastecimentos consecutivos (frequência de abastecimento); a demanda
média e a volatilidade da demanda atendida pela base. A partir destas variáveis é possível
determinar através de técnicas conhecidas24 os estoque médios e estoques de segurança
necessários para a manutenção de níveis de atendimento condizentes com a política da
empresa. Neste exemplo, por simplicidade, iremos assumir que o estoque de cada base é
proporcional à demanda atendida e à distância entre a base e o seu respectivo ponto de
suprimento. Além do estoque necessário para cobrir a demanda esperada entre dois
24 Ver por exemplo BaIlou, 1985.
46
abastecimentos consecutivos, iremos supor, com base em dados empiricos obtidos junto à
CBPI, que a cada 500 km de distância entre a base e o seu ponto de suprimento é necessàrio
a manutenção de cinco dias de estoque de segurança.
Seja Di a distância entre a base i e o seu respectivo ponto de suprimento, e seja Vi a
demanda anual atendida por esta base. Se t é o tempo médio entre dois abastecimentos consecutivos, o estoque médio desta base em dias, E. , pode ser calculado como:
I
E; =5D; / 500 +t 1 2 (5.1)
o custo de oportunidade correspondente, cllj, é igual a:
(5.2)
onde r é o custo anual do capital por unidade monetària, e cp é o custo unitàrio médio de
uma unidade de produto. O custo de oportunidade total relativo aos estoques do sistema,
CE, é o simples somatório dos custos das bases:
(5.3)
Supondo um custo de capital equivalente a 20% ao ano, um custo unitàrio médio de US$
350 por metro cúbico de produto, e uma frequência de abastecimento de 0,25/dia (um
abastecimento a cada quatro dias), calculamos na tabela seguinte uma estimativa dos custos
de oportunidade correspondentes ao sistema São Paulo.
47
No. de Distância Custo Total Estoque Bases Total de dos Estoques Médio do
Transf. (US$) Sistema (Krn) (dias)
15 2.816 968.762 4,95
14 2.814 968.590 4,95
1 3 2.346 963.596 4,93
12 2.084 944.913 4,83
1 1 1 .909 938.951 4,80
10 1 .638 929.071 4,75
9 1 .591 922.122 4,71
8 1 .404 914.322 4,68 7 1 .245 869.833 4,45
6 1 .040 860.007 4,40
5 791 773.483 3,95
4 421 773.599 3,96 3 341 771.723 3,95
2 122 667.618 3,41
1 O 391.541 2,00
Tabela 5.3 - Custos de Oportumdade dos Estoques x No. de Bases
A coluna Distância Total de Transferência apresenta o somatório das distâncias entre cada base
e o seu respectivo ponto de suprimento. Ainda que a distância total de transferência
decresça com o número de bases, eventualmente o estoque médio total do sistema pode
aumentar, como na passagem da configuração com cinco para quatro bases na tabela acima.
Isto ocorre porque, como já colocado, o estoque médio do sistema depende do somatório
do produto entre a distância entre cada base e seu ponto de suprimento, e o volume total
demandado pela base.
Na tabela e no gráfico seguintes apresentamos o custo total (custo operacional + custos de
oportunidade) do sistema como função do número de bases.
48
No. de Custo de Costo Custo Total Bases Estoque Operacional (US$)
CUSS) (USS) 15 968.762 10.838.219 1 1.806.981
14 968.590 10.799.214 1 1 .767.804
13 963.596 10.755.310 1 1 .718.906
12 944.913 10.735.167 1 1 .680.080
1 1 938.951 10.649.956 11 .588.907
10 929.071 10.577.697 1 1.506.768
9 922.122 10.498.697 1 1 .420.819 8 914.322 10.480.890 1 1 .395.212 7 869.833 10.513.347 1 1 .383.180
6 860.007 10.603.629 1 1.463.636
5 773.483 10.635.663 1 l .409. 146
4 773.599 10.755.849. 1 1.529.448 3 771.723 1 1 . 187.230 1 1 .958.953
2 667.618 1 1.496.200 12.163.818 1 391.541 12.819.309 13.210.850
. Tabela 5.4 - (Costo OperacIOnal + Custos de Estoque) x No. de Bases
14.000.000
12.000.000 -' 10.000.000
8.000.000 -0 - Custo de E stoque
C/l 2 6.000.000
- Custo Operacional
- Custo Total
4.000.000
2.000.000
O � 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1
No. de B ases
Figura 5.5 - Variação dos Custos com o No. de Bases
A introdução de custos de oportunidade na análise reduz o número ótima de bases no
sistema de 8 para 7 instalações (vide figuras 5.6 e 5.7), a um custo total de US$ 1 1 .383 . 1 80.
49
Vale observar ainda que através de uma análise simples da relação "número de bases x custo
operacional" apresentada na tabela 5.2, pode-se estabelecer limites para a variação dos
custos de oportunidade (ou quaisquer outros não explicitamente considerados) acima dos
quais as soluções originalmente propostas sofrerão modificações. Isto é importante na
medida em que em algumas situações, por motivos diversos, torna-se sobremaneira difícil
acessar alguns dos custos envolvidos na análise de localização. Se o analista possui apenas
uma sensibilidade em relação à dimensão de como os custos de oportunidade variam em
relação ao número de bases no sistema, através da abordagem sugerida, esta informação
eventualmente pode ser incluída em sua avaliação.
-2200
o
o -2400
'b -2500
-2600
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-2800
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Figura 5.6 - Comparação Entre o Sistema Atual e o Sistema Ideal com 7 Bases
50
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• -2400 •
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-5600 -5400 -5300 -5200 -5100 -5OCO -4900 -4800 -4700 -4600 -4600
Figura 5_7 - Alocação dos Municípios às Bases
5_2 - Volume e Distribuição da Demanda
Para aumentos homogêneos de até 30% no volume de derivados demandado pelos
municípios, a solução obtida para o caso base permanece como solução ótima do problema
considerado. Para aumentos de demanda superiores a este nível, o número ótimo de bases
no sistema tende a crescer. Isto ocorre porque a econornía no custo de entrega
proporcionada pelo acréscimo de bases mais do que compensa os custos adicionais de
transferência, as perdas de escala nas bases e o incremento nos custos fixos.
Na tabela seguinte sumarizamos os resultados encontrados na aplicação do modelo ao caso
base incrementando-se o volume total demandado respectivamente em 30%, 45% e 60%,
conforme descrito na seção 4.2.
51
Problema Número <''osto Variação Custo de Custo de Custo de Custo
Analisado ótimo Mínimo do Custo Operação Transfer. Entrega Unit.1rio
de Bases (US$ mil) Total em (%) (%) (%) (USS/m3)
Relação ao
Ca.'IO Base
(%)
Caso Base 8 10.480 0,00 1 5,02 49,32 35,66 1 0,28
30% 8 13 .312 27,02 1 3,02 50,48 36,50 1 0,04
45% 9 14.710 40,36 13 , 12 5 1 ,80 35,08 9,95
60% 1 0 1 6.099 53,62 1 3,27 54,84 3 1 ,89 9,87 Tabela 5.5 - Custo Total x Volume Total Demandado
A figura seguinte ilustra a solução ideal obtida para um aumento de demanda de 60%. É interessante observar que em relação ao caso base, a única modificação na configuração
proposta é a inclusão de duas novas instalações, próximas a Bauru e Itapeva (entre São
Paulo e Durinhos). A localização das demais bases permanece praticamente inaltera,da.
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• Bases AtJais
• Bases Ideais
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Figura 5.8 - Solução ótima Com Incremento Homogêneo de 60% no Volume Total Demandado
52
Para mudanças na distribuição da demanda entre o município de São Paulo e demais
municípios do estado, conforme descrito na seção 4.2, os resultados obtidos foram
equivalentes àqueles já apresentados para incrementos homogêneos de demanda, com
soluções idênticas. A solução ótima para um aumento de volume de 30% apresenta 8 bases
ativas e um custo total de US$ 1 3 .304.059 (custo unitário de US$ 1 0,21/ m3). A solução
ótima para um aumento de demanda de 60% apresenta 1 0 bases ativas e um custo total de
US$ 1 6.084.626 (custo unitário de US$ 10, 14/ m3).
5.3 - Custo de Operação das Bases
Reduzindo-·se em 10% o fator que representa a economia de escala na operação das bases
(equivalente a um incremento na economia de escala), o número ótimo de bases para o
problema considerado aumenta de 8 para 1 1 instalações, com um custo rninimo de US$
9,925 milhões. Incrementando este mesmo fator em 10"10 (equivalente a uma perda na
economia de escala), o número ótimo de bases no sistema reduz-se para 7 instalações, com
um custo mínimo de US$ 1 1 ,3 1 0 milhões. Estes resultados, que poderiam contrariar nossas
expectativas iniciais, decorrem das variações no custo de operação de cada base. Uma maior
economia de escala produz um efeito favorável a um incremento no volume total de
derivados operado em cada base (melhor relação custo/volume), mas este mesmo
decréscímo reduz o custo de operação de cada base para um volume fixo operado. Como o
número total de bases no sistema depende do trade-olf entre custo de operação das
instalações e os custos de transporte, a redução do custo de operação de cada instalação
pode justificar a inclusão de novas bases. Mesmo ocorrendo um incremento no custo total
de operação das mesmas, um número maior de bases proporciona uma redução no custo
total do sistema através de reduções superiores nos custos de transporte 25 .
Esta conclusão é corroborada pelo resultado obtido ao reduzir-se a zero o custo variável de
operação das bases. Neste caso, o sistema ideal, conforme pode ser observado na figura 5.9,
conta com 23 instalações, e tem um custo correspondente de US$ 8.71 5 .756. A diferença
entre o custo desta solução e o da solução obtida para o caso base é de US$ 375.000 (4,3%
do custo ótimo).
25 O custo total de transporte diminui com O aumento do número de bases desde que o custo unitário de transferência seja inferior ao custo unitário de entrega. Quanto maior o número de bases, maior O custo de operação das mesmas.
53
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Figura 5.9 - Solução ótima Com Custo Variável de Operação das Bases Nulo
5.4 - Custos de Trausferência e Distribuição
A diminuição da diferença relativa entre os custos unitários de entrega e transferência, como
consequência de incrementos no frete de transferência, determina uma redução no número
ótimo de bases no sistema considerado. No caso limite em que os custos unitários de entrega
e transferência são equivalentes, a solução ótima para o sistema é composta por apenas três
bases localizadas em Paulínea, São Paulo e São José dos Campos (vide figura 5. 1 0). O custo
total correspondente a esta configuração é igual a US$ 1 1 ,463 milhões, dos quais apenas 7%
decorrem da operação das bases, e a parcela restante aos custos de entrega (os custos de
transferência são nulos, já que as três bases consideradas estão localízadas junto a pontos de
suprimento).
No caso em que a diminuição da diferença relativa entre os custos unitários de entrega e
transferência decorre de reduções no frete de entrega, também ocorre uma diminuição do
número ótimo de bases no sistema. No caso lírnite em que os custos unitários de entrega e
54
transferência são equivalentes, a solução encontrada é a mesma da figura 5 . 10, com apenas
três bases e um custo de operação correspondente de US$ 8.452. 5 1 8.
-2200
, -2300
o -2400 o
'b -2500 o
-2600
-2700
o
-2800
<õ o 0--<) o
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.0
-5500 -5400 -5300 -5200 -5100 '5CXXl -4900 -4BOO -4700 -4600 -4500
Figura 5.10 - Solução ótima com Custo de Entrega Igual ao Custo de Transferência
Finalmente, uma redução no custo unitário de transferência favorece um aumento no
número ótimo de bases. Para o problema considerado, reduções de 25% e 50% no frete de
transferência elevam o número de bases no sistema para respectivamente 10 e 1 5
instalações. Cabe ressaltar entretanto, que a diferença de custo entre estas duas soluções e
uma configuração com apenas 8 bases é inferior a US$ 60 mil em ambos os casos. Somente
com reduções de frete em níveis muito superiores aos considerados (acima de 70%), tomar
se-ia efetivamente interessante adicionar novas bases ao sistema.
Na página seguinte apresentamos as soluções com 8 bases correspondentes às reduções
descritas no frete de transferência. As diferenças entre estas duas configurações e a solução
para o caso base com 8 instalações são residuais (vide tabela 5 ,6).
55
-2200
o
-2300
o
-2400
o -2500
o • •
•
-2600 • • • •
• •
-2700 •
• o • o
-2800
-5500 -5400 -5300 -5200 -5100 -5000 -4900 -4800 -4700 -4600 -4500
-2200
-2300
-2400
-2500
-2600
-2700
-2800
Fi ra 5.11 - Solu io Ótima com uma Redu io de 25% DO Frete de Transferência
o
• • o
o
-5500 -5400 -5300 -5200 -5100 -5000 -4900 -4800 -4700 -4600 -4500
Figura 5.12 - Solução ótima com uma Redução de 50% no Frete de Transferência
56
5.5 - Resumo dos Resultados Obtidos
Os resultados obtidos a partir de variações nos diversos parâmetros utilizados para caracterizar o sistema de distribuição de combustíveis da CBPI, demonstram que a solução obtida para o caso base é relativamente robusta. Mesmo para variações significativas nos parâmetros considerados, a solução ótima para o sistema permaneceu no intervalo de 7 a 1 1
bases com apenas duas exceções: a redução da diferença entre fretes de entrega e transferência, e a redução de 50% no frete de transferência. Ademais, a diferença máxima entre o custo da solução ótima de cada experimento e a solução do caso base, como ilustrado pela tabela abaixo, não ultrapassou US$ 1 02 miJ26 . A diferença média de custos foi d US$ 40 '\ e apenas nn .
Experimento Número Ótimo de
Bases Para o
Experimento
Custo
Correspondente
Custo de Custo de
Operação Operação
Estimado do Estimado da
Sistema Atual27 Solução Para o
Caso Base28
(US$ mil) (US$ mil) (US$ mil)
Caso Base 8 10.480 \0.784 1 0.480
Demanda +30%29 8 13 .3 12 1 3 .638 13 .312
Demanda +45% 9 1 4.710 1 5 .056 14.722
Demanda +60% 1 0 1 6.099 1 6.468 1 6. 1 1 8
Escala + 10% 7 1 1 .3 1 0 1 1 .773 1 1 .336
Escala -10% 1 1 9.925 1 0. 1 62 9.943
Custo Varo Nulo 23 8.715 9. 1 05 9.066
Frete Transf.=Ent. 3 1 1 .463 1 1 .923 1 1 .565
Frete Ent.=Transf. 3 8.452 8.952 8. 554
Frete Transe. -25% 1 0 9 . 101 9.463 9.132
Frete Transe. -50% 15 7.692 8.008 7.747
Tabela 5.6 - Resumo dos Resultados
26 Desconsiderando-se o experimento com custos variáveis de operação das bases nulos, o que não corresponde a uma situação real. 27 O custo de operação do sistema atual foi estimado através do critério de menor distância. 28 Solução descrita na seção 5. 1. 29 Representamos apenas os resultados obtidos para aumentos homogêneos de demanda. Os resultados para aumentos não-homogêneos são equivalentes.
57
6 - Conclusão
Neste trabalho desenvolvemos uma implementação do algoritmo apresentado por Eilon,
Watson-Gandy e Christofides (1971) para a análise do problema de localização de depósitos
em um sistema logístico. Ilustramos a aplicação do modelo através da análise do sistema de
distribuição de combustíveis da Cia. Brasileira de Petróleo Ipiranga no Estado de São Paulo.
Os resultados apresentados no capítulo anterior, gerados a partir de premissas já discutidas,
indicam que o sistema de distribuição ideal para o Estado de São Paulo deveria contar com
apenas 8 bases, ao invés das 1 1 existentes quando da realização deste estudo. Não obstante,
dadas as restrições que obrigam a manutenção das bases primárias de Santos e da Grande
São Paulo, o número de bases operadas pela CBPI é condizente com os resultados obtidos
nesta análise. Quanto à localização das instalações, as únicas alterações relevantes sugeridas
incluem a transferência das bases de Presidente Prudente e Bauru respectivamente para os
municípios de Araçatuba e Araraquara, proporcionando uma economia de aproximadamente
US$ 100.000/ano no custo operacional do sistema. A localização atual das demais bases
coincide com as localizações ótimas apontadas pelo modelo.
Adicionalmente, os resultados da análise de sensibilidade (tabela 5.6), indicam que a solução
proposta para o problema focado neste trabalho é relativamente robusta. Para todos os
experimentos avaliados (com exceção da eliminação dos custos variáveis das bases, o que
não corresponde a uma situação real), a diferença entre o custo da solução ótima para cada
caso e o custo da solução proposta para o caso base não ultrapassou US$ 102 mil/ano,
tendo um valor médio de US$ 40 mi1Iano.
Observamos ainda que as principais modificações introduzidas nos parâmetros do modelo,
não determinaram deslocamentos sensíveis nas localizações propostas para a instalação de
bases (vide figuras 5 . 1 , 5.6, 5.8 e 5 . 10). Variações moderadas nos parâmetros levaram à
deleção ou ao acréscimo de bases ao sistema, mas não implicaram no deslocamento espacial
de bases. Portanto, para o problema analisado, parecem existir pontos ideais para a
localização de bases, os quais não tendem a se modificar com a variação homogênea da
demanda ou alterações moderadas nos parâmetros considerados pelo modelo. Com o
incremento da demanda por exemplo (seção 5.2), a nova solução ótima para o problema
inclui todas as instalações da solução ótima correspondente ao cenário inicial (caso base),
mais uma ou duas bases adicionais. Assim, novas bases podem ser acrescentadas ao sistema
quando a evolução dos parâmetros assim fizer necessário, sem implicar em perda de
58
eficiência do sistema como um todo. Esta propriedade tem implicações importantes na
medida em que facilita sobremaneira a tarefa de planejamento da operação do sistema
logístico no longo prazo.
Por fim, um resultado adicional desta análise que deve ser ressaltado, refere-se ao critério
adotado na alocação dos clientes (municípios) às bases. Apesar da menor distância ser uma
forma natural de alocação, tal método não conduz á minimização do custo operacional do
sistema. Segundo nossas estimativas, através da simples adoção de um critério de alocação
mais "inteligente" poderia-se obter uma redução de custos no sistema de distribuição de São
Paulo superior a US$ 7S.000/ano.
6.1 - O Modelo Utilizado
o modelo desenvolvido neste trabalho, quer seja pelo baixo custo e simplicidade de
operação, quer . seja pela abrangência dos resultados passíveis de serem gerados,
demonstrou-se bastante poderoso como instrumento auxiliar na análise do problema de
localização. Como bem ilustrado, a utilização do modelo permitiu uma avaliação clara dos
diferentes trade-offs envolvidos na minimização do custo operacional do sistema de
distribuição, e principalmente, como estes são afetados por modificações nos parâmetros
relevantes.
A despeito de algumas hipóteses pouco realistas adotadas neste estudo, os resultados
obtidos aparentemente são condizentes com os dados referentes á situação real observada.
Obviamente, uma decisão final para o problema considerado deveria incluir uma análise mais
pormenorizada das conclusões obtidas, e de possíveis impactos decorrentes de restrições do
problema que não foram adequadamente representadas.
Em algumas situações, as hipóteses básicas do modelo poderão determinar um afastamento
excessivo da realidade, limitando ou mesmo eliminando a sua eficácia como instrumento de
análise. Todavia, muitas destas restrições poderão ser contornadas através de modificações
na implementação desenvolvida, como aquela sugerida na seção 4. 1 . 1 deste trabalho para o
caso multi-produtos. Finalmente, em situações extremas, o programa apresentado no Anexo
I pode ser adaptado para funcionar como uma rotina de cálculo de custos de soluções pré-
59
selecionadas30 , compondo um programa de busca direta ou simulação, mais flexível e
melhor capaz de retratar as restrições da realidade estudada.
6.2 - Sugestões Para Novos Trabalhos
Dentre as inúmeras possibilidades de novos estudos com as quais nos deparamos durante a
consecução deste trabalho, pelo menos duas merecem destaque. Uma primeira sugestão
seria a aplicação do instrumental aqui desenvolvido para a avaliação do sistema de
distribuição da CBPI nas demais regiões do Brasil. Considerando-se as restrições do
modelo, e a importância estratégica dos diferentes mercados em que a empresa atua, esta
análise poderia restringir-se ao Sul e Sudeste do pais. Ademais, seria interessante avaliar o
impacto da aquisição da Cia. Atlantic de Petróleo pela CBPI sobre a solução já apresentada
para o Estado de São Paulo.
A nossa segunda sugestão seria o desenvolvimento de um modelo analitico baseado em um
algoritmo de busca direta, ou simulação, capaz de tratar problemas de localização cujas
restrições dificultem o emprego do modelo de Eilon, Watson-Gandy e Christofides (malhas
viárias irregulares e com cobertura limitada, diferentes modais para transferência de
produtos, custos regionais de operação heterogêneos, etc). Um modelo alternativo poderia
ser utilizado inclusive em conjunto com o instrumental apresentado, enriquecendo ainda
mais os resultados da análise.
'ONeste caso, o algoritmo de alocação originalmente empregado deve ser substituído por aquele apresentado no rodapé da página 29.
60
Bibliografia e Referências Bibliográficas
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Technology, 1958.
63
Anexo I Listagem do Programa
PROGRAM LOCOO {$G+}{$N+};
USES CRT,DOS;
(*** CONSTANTES E VARIÁVEIS ***)
CONST MAX = 400; (* Número máximo de bases e clientes no sistema *) PRECISA0 = 100; (* Diferenças de custo inferiores a este valor são consideradas nulas *)
TYPE VETOR = RECORD X,Y: REAL
END;
NOME = STRlNG[25]; LOCAL = ARRA Y[l..MAX] OF VETOR; DEMANDA = ARRAY[ I .. MAX] OF REAL; FORNEC = ARRA Y[l..MAX] OF INTEGER; LISTA = ARRA Y[l..MAX] OF NOME;
V AR NBP, NBS, NCL, (* Número de bases primárias, secundárias e clientes no sistema *) I,I,N, (* Variáveis auxiliares *) BA, (* Número de bases ativas no sistema *) INT J INTEGER; (* Número de iterações efetuadas pelo algortimo *)
CMUNIC: LONGINT; (* Código dos municípios *)
FlRST: BOOLEAN; (* Variável auxiliar - assume valor !rue para primeira iteração do algortirno *)
BP, BS, CL, (* Localização das bases primárias, secundárias e clientes *) BS_I, (* Localização das bases secundárias na iteração anterior *) BSN _I: LOCAL; (* LocaIi7.açãO ótima das bases secundárias para NBS+ I *)
DMAX, DTOT, (* Demanda máxima e demanda total das bases secundárias *) NMIN, (* Número rninimo de bases seco necessárias para atender restrições de demanda *) CIN!, (* Custo total para o sistema inicial *)
CTBP, CTBS, CFBS, ALFA, BETA, CTOT, CTOT_I, CTOTN_I, D: REAL;
(* Custos de transferência e distribuição *) (* Custos ftxos de operação das bases *) (* Parâmetros alfa e beta da função custo de operação das bases *)
(* Custo total do sistema *) (* Custo total do sistema na iteração anterior *) (* Custo total rninimo do sistema para NBS + 1 *)
BASE _ P, BASE _ S, CLIENTES, CUSTOS, (* Arquivos de entrada *) ALOC, LOC, CINT, CDEC: TEXT; (* Arquivos de saída *)
DBP, DBS, DCL, (* Demanda das bses primárias, secundárias e clientes *) DBS_1, (* Demanda das bases secundárias na iteração anterior *) DBSN _I: DEMANDA; (* Demanda ótima das bases secundárias para NBS + 1*)
SBS, SCL, (* Arma7.ena índice da base prim.que atende cada base seco e *)
64
(* índice da base sec.que atende cada cliente SBS _1, SCL _1, (* Idem para iteração anterio *) SBSN _I, SCLN _I : FORNEC; (0 Idem para solução ótima com NBS + I *)
NOME _ CL: LISTA; (* Nome dos municípios *)
HORA, MIN, SEG, CSEG: WORD; (* Tempo de processamento *)
(**0 FUNÇÕES E PROCEOURES ***)
FUNCTION POT<X, Y: REAL):REAL; (* Calcula xAy *) BEGIN
IF X<>O.O THEN POT:= Exp(Y*LN(X)
ELSE POT:= O.O
END;
FUNCTION DIST(L1,L2: VETOR): REAL; (* Calcula distância entre LI e L2 *) VAR O: REAL; BEGIN
0:= SQRT(SQR(LI.X-L2.x)+SQR(LI .Y -L2. Y» ; IF (0<0. 1) THEN
DIST:= O.I ELSE
DIST:= O END;
*)
FUNCTION FBP(l,J: INTEGER):INTEGER; (* Retoma I se existe fluxo entre BP[I) e BS[l) *)
BEGIN IF SBSll) = I THEN
FBP:= 1 ELSE
FBP:= O END;
(* e zero caso contrário 0)
FUNCTION FBS(I,J: INTEGER):INTEGER; (0 Retoma I se existe fluxo entre BS[I) e CL[J) *) (* e zero caso contrário *)
BEGIN IF SCL[J) = I THEN
FBS:= 1 ELSE
FBS:= O END;
FUNCTION CUSTO: REAL; (* Calcula o custo total do sistema *) VAR I,J: INTEGER;
C: REAL; BEGIN
C:=O; FOR 1:= 1 TO NBS DO
BEGIN C:= C+CFBS+ALFA*POT(DBS[l),BETA}+
CTBP*OBS[I)*OIST(BP[SBS[Ill,BS[I) ; FOR J:= 1 TO NCL DO
65
C:= C+CTBS*DCL[J]*DIST(BS[Ij,CL[J])*FBS(I,J); END;
CUSTO:= C; END;
FUNCTION X(N: INTEGER): REAL; (* Calcula novo valor para a coordenada X *) V AR I: INTEGER;
TI,T2,T3,T4: REAL; BEGIN
TI :=O; T2:=O; T3:=O; T4:= 0; FOR l:=1 TO NBP DO
Tl:= TI +CTBP*DBS[Nj*BP[1]X*FBP(I,N)/DIST(BP[ I],BS _ I [N]); FOR 1:=1 TONCL DO
T2:= T2+CTBS*DCL[1]*CL[ IjX*FBS(N,I)/DIST(CL[I],BS _ lIN]); FOR 1:=1 TO NBP DO
T3:= T3+CTBP*DBSINj*FBP(I,N)/DIST(BPflj,BS_l[N]); FOR 1:=1 TO NCL DO
T4:= T4+CTBS*DCL[I]*FBS(N,I)/DIST(CLII],BS_I LNj); IF (T3+T4)>O THEN
x= (TI+T2)/(T3+T4) ELSE
X:= O; END;
FUNCTION Y(N: INTEGER): REAL; (* Calcula novo valor para a coordenada Y *) VAR I: INTEGER;
TI ,T2,T3,T4: REAL; BEGIN
TI :=O; T2:=O; T3:=O; T4:= 0; FOR 1:=1 TO NBPDO
TI := TI +CTBP*DBS[N]*BP[1].Y*FBP(I,N)/DIST(BP[I],BS _ I[N]); FOR [;=1 TO NCL DO
T2:= T2+CTBS*DCL[I]*CL[I]. Y*FBS(N,I)/DIST(CL[I],BS _I [N]); FOR 1:=1 TO NBP DO
T3:= T3+CTBP*DBS [Nj*FBP(I,N)/DIST(BP[lj,BS _I [N]); FOR 1:=1 TO NCL DO
T4:= T4+CTBS*DCL[1]*FBS(N,I)/DIST(CL[I],BS_I[N]); IF (T3+T4)>O THEN
Y:= (TI+T2)/(T3+T4) ELSE Y:=O;
END;
PROCEDURE C _ DEC; ("Calcula c imprime os três componentes do custo total *) VAR I,J: INTEGER;
CTR, CEN, COP, CTOT: REAL; BEGIN
CTR:= O; CEN:= O; COP:= O;
66
FOR 1:= I TO NBS DO BEGIN
COP:= COP+CFBS+ALFA *POT(DBS(I),BETA); CTR:= CTR+CTBP*DBS(l]*DIST(BP[SBS(Ill,BS(l)); FOR J:= I TO NCL DO
CEN:= CEN+CTBS*DCL(J)*DIST(BS[I),CL[J))*FBS(I,J); END;
CTOT:= COP+CTR+CEN; WRJTE(CDEC,CTOT:9:0,COP:9:0, CTR:9:0, CEN:9:0); WRJTELN(CDEC,IOO*(COP/CTOT):6:2,IOO*(CTRlCTOT):6:2,IOO*(CEN/CTOT):6:2);
END;
PROCEDURE DEMANBP (BP,BS: LOCAL; NBP,NBS: INTEGER; DBS: DEMANDA; V AR DBP: DEMANDA);
(* Calcula a demanda das bases primárias *) V AR I,J: INTEGER; BEGIN
FOR 1:= I TO NBP DO BEGIN
DBP[I):= O; FOR J:= I TO NBS DO
DBP(I):= DBP(I)+DBS[J)*FBP(I,J); END
END;
PROCEDURE ALOCABP (BP,BS: LOCAL; NBP,NBS: INTEGER; V AR SBS: FORNEC); (* Alaca bases secundárias às bases primárias segundo menor distância *)
VAR I,J,N: INTEGER; D: REAL;
BEGIN FOR 1:= I TO NBS DO
BEGIN D:= DIST(BP[I),BS[I]); N:= I ; FOR J:= 2 TO NBP DO
BEGIN IF DIST(BP[J],BS[I)) < D THEN
BEGIN D:= DIST(BP(J],BS(I) ; N:=J;
END; END' ,
SBSII):=N END
END;
PROCEDURE ALOCACL (BS,CL: LOCAL; NBS,NCLS: INTEGER; V AR DBS: DEMANDA; DBS_I: DEMANDA; VAR SCL: FORNEC);
(* A1aca clientes às bases secundárias segundo menor custo marginal *) V AR I,J,N,N _I : INTEGER;
MIN,CMARG,CMARG_I , CT,CT_I, CMO: REAL; CM: DEMANDA; S: FORNEC; FIRST: BOOLEAN;
BEGIN
67
FOR 1:= I TONBS DO DBS[I):= O;
FOR 1:= I TO NCL DO BEGIN
N:=O; MIN:= O; FIRST:= TRUE; FOR J:= 1 TONBS DO
IF «(DCL[I]+DBS[l) <= DMAX) THEN BEGIN
]F DBS[J] = O THEN CMO:= O
ELSE CMO:= ALFA *(POT(DBSfl]+DBS _I [J],BET A)
POT(DBS _I[J],BETA» IDBSIJ]; CMARG:= (CTBP*DIST(BP[SBS[J]J,BSIJ])+
CTBS*DIST(BS[J],CL[I) ) +CMO; ]F FIRST OR (CMARG<MIN) THEN
BEGlN FIRST:= F ALSE; MIN:= CMARG; N:= J
END END;
SCL[l):= N; DBS[N):= DBS(N)+DCL[1);
END; END;
PROCEDURE QUICKSORT(V AR LOC:LOCAL; V AR DEM:DEMANDA; V AR L: LISTA; LO,lll: INfEGER);
(* Ordena clientes por volume demandado utilizando o algortimo QUICKSORT *) VAR
I,J: INfEGER; X,Y: REAL; Z: VETOR; N: NOME;
BEGIN I:=LO; J:=lll; X:=DEM[(LO+lll) DIV 2J; REPEAT
WHILE DEM[I» X DO 1:=1+1 ;
WHILE X>DEM[J] DO J:=J-I;
IF 1<=1 THEN BEGIN
Y:=DEM[I]; DEMll]:=DEM(1); DEM[JI:=Y; Z:=LOC(I]; LOC[I]:=LOCIJ]; LOC[J] :=Z; N:= LIIJ; L[I]:= L[J];
68
LIl]:= N; 1:=1+ I ; J:=J-I ;
END; UNTIL 1>1; IF LO<J THEN
QUlCKSORT(LOC,DEM,L,LO,J); IF I<HI THEN
QUlCKSORT(LOC,DEM,L,I,HI); END;
(**0 ROTINA PRINCIPAL DO PROGRAMA ***)
BEGIN CLRSCR; (* Inicialização das variáveis *) SETTIME(O,O,O,O); CTOT_1 := O; DTOT:=O; NBP:=O; NBS:=O; NCL:=O; FlRST:= TRUE; ASSIGN(BASE], 'BASE _P.TXT'); ASSIGN(BASE _S,'BASE _S. TXT'); ASSIGN(CLIENTES,'CLlENTES. TXT'); ASSIGN(CUSTOS,'CUSTOS.TXT'); ASSIGN(ALOC,'ALOC.TXT'); ASSIGN(LOC,'LOCAL.TXT'); ASSIGN(CINT,'INT.TXT'); ASSIGN(CDEC,'CDEC.TXT');
RESET(CUSTOS); (* Leitura dos arquivos de entrada O) READ(CUSTOS,CTBP); READ(CUSTOS,CTBS); READ(CUSTOS,CFBS); READ(CUSTOS,ALFA); READ(CUSTOS,BETA); READ(CUSTOS,DMAX);
CLOSE(CUSTOS); RESET(BASE _P); REPEAT
NBP:= NBP+l; READLN(BASE ],BP[NBP)X,BP[NBP). Y);
UNTIL EOF(BASE_P); CLOSE(BASE ]); RESET(BASE _ S); REPEAT
NBS:= NBS+l; DBS_l[NBS]:= o; READLN(BASE _S,BSINBS)X,BS[NBS).Y);
UNTIL EOF(BASE _ S); CLOSE(BASE _ S); RESET(CLIENTES); REPEAT
69
NCL:= NCL+I; READLN(CLlENTES,CMUNIC,DCL[NCL],
CLINCLJ.X,CL[NCL].Y,NOME_CL[NCL]); UNTlL EOF(CLIENTES); CWSE(CLIENTES); REWRITE(CINT); WRITELN(CINT,'NBS':4,' BA':4,'CUSTO ':IO,'TEMPO':6); REWRITE{CDEC); WRITELN(CDEC,'NBS ':4,'TOTAL ':9,'OPER. ':9,'fRANSF.':9,
'ENTR. ':9, 'OP(%)':6,'TR(%)':6,'EN(%)':6);
FOR r:= I TO NCL 00 (* Cálculo do número mínimo de bases necessária para atender DTOT *) DTOT:= DTOT+DCL[l];
NMIN:= DTOTIDMAX; 1F FRAC(NMlN) <> O THEN
NMIN:=INT(NMIN)+ I; 1F NBS<NMIN THEN
BEGIN WRITELN('NUMERO MINJMO DE BASES SECUNDARIAS > ',NMIN:6:0); HALT
END;
QUICKSORT(CL,DCL,NOME_CL,I,NCL); (* Ordenação dos Clientes *)
REPEAT (* Inicio do processo de minimização *) INTJ=O; ALOCABP(BP,BS,NBP,NBS,SBS); ALOCACL(BS,CL,NBS,NCL,DBS,dbs_I,SCL); CTOT:= CUSTO;
1F FIRST THEN (* Primeira iteração *) BEGIN
CTOTNJ= CTOT+PRECISAO; CINI:= CTOT; FIRST:= F ALSE; WRITELN('CUSTO INICIAL :',CINI: 12:0);
END;
REPEAT (* Encontra custo ótimo para o número de bases secundárias igual a NBS *) INC(lNTJ); WRITE('NBS:',NBS:2,' - INT J',INT J2); BS_I:= BS; OBS_l:= DBS; SBS_l := SBS; SCL_1:= SCL; FOR 1:= 1 TO NBS 00
BEGIN BSII).X:= X(I); BS[I).Y:= Y(I);
END; ALOCABP(BP,BS,NBP,NBS,SBS); ALOCACL(BS,CL,NBS,NCL,DBS,dbs_I,SCL); WRITE(CTOT: 10:0);
70
CTOTJ= CTOT; CTOT:= CUSTO; WRITELN(CTOT: 15:0);
UNTlL «CTOT _I-CTOT) < PRECISA0); (* Verifica convergência *)
CTOT:= CTOT _I; (0 Atualização das variáveis *) BS:= BS_I ; DBS:= DBS_I; SBS:= SBS_I; SCL:= SCL_I; WRITE(CDEC,NBS:4); (* Calcula e imprime custo decomposto *) C DEC' - , BA:=O; FOR 1:= I TO NBS DO (* Verifica número de bases ativas no sistema *)
IF DBS[I]>O THEN lNC(BA);
WRITE(CINT,NBS:4,BA:4,CTOT:IO:O); GETTIME(HORA,MIN,SEG,CSEG); WRITELN(ClNT,MlN:3,':',SEG:2); IF (CTOT<CTOTN_I) THEN (* Verifica convergência *)
BEGlN BSN_l:= BS; DBSN_I:= DBS; SBSN_I:= SBS; SCLN_I:= SCL; CTOTNJ= CTOT; lF (NBS > NMIN) THEN (* Verifica e reduz número de bases secundárias no sistema 0)
BEGlN N:=I; D:= DBS[I); FOR 1:=1 TO NBS DO
lF DBS[I] < D THEN BEGIN
D:= DBSll); N:= I;
END; FOR 1:= (N+ I) TO NBS DO BEGlN
BS[I-l):= BSll]; DBS_I[I-I):= DBS_I[I)
END; NBS:= NBS-I;
END ELSE
NBS:= ROUND(NMIN-l); END;
UNTlL (CTOT>CTOTN_l) OR (NBS<NMIN); (* Verifica convergência e NBS *)
NBS:=NBS+ I ; (* Atualização das variáveis 0) BS:= BSN_I; SBS:= SBSN_I; DBS:= DBSN_l; SCL:= SCLN_l ; CTOT:= CTOTN_I;
71
GEITIME(HORA,MlN,SEG,CSEG); (' Rotinas de Saída *) CLOSE(ClNT); CLOSE(CDEC); REWRITE(LOC); WRITELN; WRITELN('CUSTO MlNIMO FINAL:',CTOT: 10:0); WRITELN('NO. DE BASES SECUNDARIAS:', NBS); WRITELN(LOC); WRITELN(LOC,'·········· SOLUCAO FINAL •••••••••• ': 50); WRITELN(LOC); WRITELN(LOC,'TEMPO DE PROCESSAMENTO:',MlN:2,':',SEG:2); WRITELN(LOC,'NO. DE BASES SECUNDARIAS:', NBS); WRITELN(LOC,'CUSTO INlCIAL:',CINI: 10:0); WRITELN(LOC,'CUSTO FINAL :',CTOT:IO:0); WRITELN(LOC); WRITELN(LOC,'LOCALIZACAO OTIMA E DEMANDA':32); WRITELN(LOC,'X ':10,'Y ': 10,'0 ': IO,'BP':5); FOR 1:=1 TO NBS 00
WRITELN(LOC,BS[I]X:I0:0,BS[I].Y:I0:0,DBS[I]:10:0,SBS[I]:5); CLOSE(LOC); REWRITE(ALOC); WRITELN(ALOC); WRITELN(ALOC,'ALOCACAO DE CLIENTES':30); WRITELN(ALOC,'CLIENTE ' : 18,'BS':17); FOR 1:=1 TO NCL 00
WRITELN(ALOC,CL[I].x: l0:0,cl[i].y:lO:O,' ,',SCL[I]:5); CLOSE(ALOC);
END.
72
Anexo 11 Determinação da Menor Distância Entre Dois Pontos
Em Uma Superfície Esférica
A menor distância entre dois pontos em uma superfície esférica corresponde ao
comprimento do arco27 que liga estes pontos. Para determinar a distância entre dois pontos
quaisquer A e B na superfície da Terra, devemos calcular o comprimento do arco AB
através da resolução do triângulo oblíquo MBC representado na figura abaixo.
c �-,+�o;;::- Polo
Equador
Meridiano de A Merld anD de B
Figura A.I - Coordenadas Esféricas
Dados as latitudes ('I'A'�) e longitudes (ÀA,ÀB) correspondentes aos pontos A e B
respectivamente, temos que:
(A.I) C = ÀA - ÀB = ÂÀ
(A.2) a = 90 - �
(A.3) b = 90 - 'l'A
Para um triângulo esférico oblíquo MBC são válidas as seguintes relações (Analogias de
Neper):
(A.4) tg 1/2 (A+B) = cos 1/2 (a-b) . sec 1/2 (a+b) . cotg C/2
27 Este arco é denominado geodésica.
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![Depósitos Cilindricos [Modo de Compatibilidad]](https://img.document.onl/doc/110x75/577c7d5a1a28abe0549e6f62/depositos-cilindricos-modo-de-compatibilidad.jpg)
