ESCOLA SECUNDÁRIA FRANCISCO DE HOLANDA Matemática A - 10º ANO

INTRODUÇÃO À LÓGICA BIVALENTE E À TEORIA DE CONJUNTOS - REVISÕES

2015/2016

1. Considera as proposições:

p: “O Tiago pratica voleibol.”

q: “O Tiago pratica surf.”

s: “O Tiago não pratica ténis.”

1.1. Qual das expressões seguintes é a tradução simbólica da proposição:

“Se o Tiago não pratica surf, então o Tiago pratica ténis ou pratica voleibol.”

(A) ( )q p s∧ ∨ ∼ (B) ( )q s p⇒ ∧∼ ∼

(C) ( )s p q∨ ⇒∼ ∼ (D) ( )q s p⇒ ∨∼ ∼

1.2. Sabendo que a proposição ( ) ( )p q s p⇒ ∧ ∨∼ ∼ é verdadeira, pode afirmar-se que:

(A) O Tiago pratica voleibol, não pratica surf e não pratica ténis.

(B) O Tiago pratica voleibol e ténis mas não pratica surf.

(C) O Tiago não pratica voleibol, nem ténis nem surf.

(D) O Tiago pratica voleibol e surf mas não pratica ténis.

2. Considera a seguinte tabela de verdade:

a b p

V V V

V F F

F V V

F F V

A proposição p é equivalente a:

(A) a b∨ ∼ (B) a b∧∼

(C) b a⇒ (D) a b∨∼

3. Considera em ℝ as condições:

( ) : 20 3 47p x x− ≥ e ( ) 2: 4 4 5 0q x x x− < < ∧ + <

Das seguintes proposições indica a que é verdadeira:

(A) ( ):x p x∃ ∈ℕ (B) ( ),x q x∀ ∈ℝ ∼

(C) ( ),x p x−∀ ∈ℝ (D) ( ):x q x∃ ∈ℝ

4. Sejam a, b, c e d proposições elementares.

4.1. Admite que a e b são proposições verdadeiras e c e d são proposições falsas.

Indica o valor lógico de:

a) ( ) ( )a c b c∨ ⇒ ∧∼ ∼

b) ( ) ( ) ( )a c d a b⇒ ∧ ∨ ∧ ∼ ∼ ∼

4.2. Mostra que ( )⇒ ⇒∼a b b é equivalente a b por cada um dos seguintes processos:

a) Completando a seguinte tabela de verdade:

b) Utilizando as propriedades das operações lógicas e simplificando a expressão.

5. Indica o valor lógico das proposições a, b e c sabendo que a proposição ( )a b c⇒ ∧∼ é verdadeira. Explica

o teu raciocínio.

6. Sejam p, q e r proposições elementares.

Considera a proposição ( )p q r q ∧ ⇒ ⇒ ∼

6.1. Mostra que a proposição dada é equivalente a ( )q p r∨ ∧∼ ∼

6.2. Determina o valor lógico da proposição dada, sabendo que a proposição q tem valor lógico falso.

7. Considera os conjuntos:

{ }: 5A x x π= ∈ − < ≤ℝ , 1 3 1

: 34 2

x xB x

− − = ∈ − < ℝ e { }2: 25 0C x x= ∈ − =ℝ

7.1. Representa na forma de intervalo ou reunião de intervalos.

a) \B A

b) A B∩

7.2. Representa em extensão cada um dos conjuntos:

a) { }:D x x A= ∈ ∈ℤ

b) { }:E x x A x B= ∈ ∈ ∧ ∈ℤ

7.3. Indica, justificando, o valor lógico de cada uma das seguintes proposições.

a) ,x x B−∀ ∈ ∉ℤ

b) :x C x A∃ ∈ ∈

7.4. Escreve a negação de cada uma das proposições referidas em 7.3.

8. Considera as condições ( ) 1: 5

2

xp x

+ ≤ e ( ) :0,1 1q x x <

8.1. Justifica que, em ℕ , as condições ( )p x e ( )q x são equivalentes.

8.2. Diz, justificando, qual é o valor lógico da proposição ( ) ( ),x p x q x∀ ∈ ⇒ℝ

8.3. Escreve a implicação contrarrecíproca de 1

5 0,1 12

xx

+ ≤ ⇒ <

a b ∼ b ⇒∼a b ( )⇒ ⇒∼a b b

V V

V F

F V

F F

9. Indica, justificando, o valor lógico de cada uma das seguintes proposições:

9.1. 1

, 1 02

xx

−∀ ∈ − ≤ℤ

9.2. 2, 0x x∀ ∈ >ℝ

9.3. 2,x x x∀ ∈ =ℝ

9.4. : 2 1n n∃ ∈ +ℕ é um número par

10. Considera em ℝ as condições:

( ) :12 3 0a x x− ≥ , ( ) : 3 3b x x− < < e ( ) 7 2 1:

6 2

xc x

− <

Sejam A, B e C os conjuntos-solução das condições ( )a x , ( )b x e ( )c x

10.1. Representa em extensão

a) ( ){ }:x b x∈ℕ

b) ( ) ( ){ }:x a x c x∈ ∧ℕ

10.2. Representa na forma de intervalo ou reunião de intervalos:

a) A C∩

b) ∩A B

10.3. Determina o valor lógico de cada uma das proposições, indicando um contraexemplo no caso de

considerares falso.

a) ( ),x a x−∀ ∈ℤ

b) ( ):x c x∃ ∈ℕ ∼

c) ( ) ( ),x b x c x∀ ∈ ⇒ℝ

11. Representa cada uma das seguintes expressões na forma , , ,na b a b n∈ ∈ℝ ℕ

11.1. 75 12+ 10.2. 44 4162 2 16− × 10.3. ( )2

3 2 27 7− + −

10.4. ( ) ( )2

2 3 5 54+ − − 10.5. 5 6 2

4033

× − 10.6. 6

3

12

6

12. Na figura está representado um triângulo equilátero [ABC] tal que

4 512AB =

Seja M o ponto médio de [AB]

12.1. Determina o perímetro do triângulo. Apresenta o resultado na forma

, , ,na b a b n∈ ∈ℝ ℕ , sendo b o menor possível.

12.2. Mostra que 42 18CM =

12.3. Mostra que a área do triângulo é 4 6

A B

C

M

Soluções:

1.1. (D)

1.2. (A)

2. (D)

3. (B)

4.1. a) Verdadeiro. b) Falso.

5. a é verdadeira, b é falsa e c é verdadeira.

6.2. Verdadeira.

7.1.

] [\ ,B A π= +∞

115,

5A B

∩ = − −

7.2. { }4, 3, 2, 1,0,1,2,3D = − − − −

{ }2, 1,0,1,2,3E = − −

7.3. a) Falso. b) Falso.

7.4.

:x x B−∃ ∈ ∈ℤ

,x C x A∀ ∈ ∉

8.2. Verdadeira.

8.3. 1

0,1 1 52

xx

+≥ ⇒ >

9.1. Verdadeiro. 9.2. Falso. 9.3. Falso. 9.4. Falso.

10.1. a) { }1,2

b) { }3,4

10.2. a) ] ]2,4

b) ] ] [ ], 3 3,4−∞ − ∪

10.3. a) Verdadeiro. b) Verdadeiro. c) Falso.

11.1. 7 3

11.2. 4 2

11.3. 3−

11.4. 5 6

11.5. 10

3−

11.6. 6 2

12.1. 412 2