Trabalho Final de Tópicos Especiais em Lógica.

Júlio César Caldeira Police Filho.

Lucas de M. Rodrigues Vargas.

Lógica epistêmica e doxática, ensaio introdutório.

A lógica epistêmica pode ser concebida se substituirmos o operador de necessidade, numa lógica modal alética, por K. Nesta interpretação, K significará “sabe que”, ou, “conhece que”. Este operador será acompanhado de um subscrito que indicará o agente do conhecimento, p. ex., Kap, pode ser interpretado como, “a conhece que [sabe que] p”. Onde p pode ser substituído por qualquer sentença asserível. Para cada agente x, teremos um operador K. O operador K é binário e intencional. Por ‘intencional’, entendemos aqueles operadores que não são extensionais. Por ‘extensional’, entendemos aqueles operadores cujos quais, acrescentando-se uma proposição p, o valor de verdade da proposição complexa resultante, depende apenas do valor de verdade de p. Vemos que o operador de conhecimento, neste sentido, é intencional, no exemplo que segue. Seja p a proposição “10+15=25”. Façamos com que ‘a’ designe o agente referente à descrição definida “meu primo de dois anos”. A fórmula bem formada, adicionando o operador K, é Kap, que se traduz por “meu primo de dois anos sabe que 10+15=25”. Esta afirmação é presumivelmente falsa, mesmo sendo ‘p’, em si, verdadeira.

Definido o operador K, podemos agora definir outro operador da lógica epistêmica, P.

Pa = ¬Ka¬p

Pa pode ser lido, então, como “a não sabe que p não é o caso”. Novamente, para cada agente x teremos um operador P.

Podemos ter também, a lógica doxática, que é parte integrante da lógica epistêmica, se substituirmos o operador de necessidade, numa lógica modal alética, por B. B, assim como K, é binário e intencional e pode ser lido como “acredita que”. Bap pode

ser lido como “a acredita que p”. Onde ‘a’ é um agente de crença e ‘p’ uma sentença judicável. Para cada agente x, teremos um operador B. Vemos que B é intencional, no sentido antes citado, no exemplo que segue. Seja p, a proposição, “a Terra gira em torno do Sol”, e, o agente ‘a’, Ptolomeu. A fbf formada, acrescentando-se o operador de crença, é “Bap”. Essa fbf é traduzível como “Ptolomeu acredita(va) que a Terra gira(va) em torno do Sol”, o que é falso, embora p seja verdadeira em si, visto que Ptolomeu acreditava exatamente no contrário (CF. Claudius Ptolomeu, Almagesto).

Podemos, agora, definir o operador de crença ‘C’.

Ca = ¬Ba¬p

Ca pode ser lido, então, como, “a não acredita que p não é o caso”, e, para cada agente x, teremos um operador C.

Semântica.

Para além das estipulações feitas acima, a semântica da lógica epistêmica e doxática se completam com o acréscimo da semântica da lógica modal alética.

Temos:

Letras proposicionais:

Constantes individuais: a, b, c, d,..., a1, b1,...

Variáveis individuais: x, y, z, x1, y1, z1,...

Variáveis de predicados: q, r, s...

Constantes de predicados: Q, R, S...

Operador monádico: ¬

Operadores diádicos: &, V, → e ≡ (obviamente já estabelecemos os operadores K, B, P, C).

Operadores diádicos para acessibilidade:

‘E’ será o operador para acessibilidade epistêmica e ‘D‘será o operador para acessibilidade doxática.

Tendo acesso a um mundo possível, certo agente epistêmico pode acessar todos os outros mundos possíveis que mantenham uma relação de acessibilidade com o primeiro mundo em questão.

Parênteses: ()

Sintaxe 1- Toda letra proposicional é fbf (fórmula bem formada). 2- Se α é fbf, ¬α será fbf. 3- Se α é fbf e β uma letra proposicional referente a indivíduos, então, Kβα, Bβα,

Pβα e Cβα, serão fbf’s. 4- Se * é um operador diádico e, α e β, são fbf’s, então, (α*β) será fbf. 5- Nada mais será fbf.

Regras Epistêmica: Como regras no sistema temos as regras subjacentes em um sistema modal alético S4, com algumas diferenças na nomenclatura. Temos: Regras proposicionais, negação modal, PR, KR, Reflexividade e Transitividade. Somando-se a essas, temos: (onde w e v são metavariáveis para mundos possíveis). KPN: ¬Kxα(w) ˫ Px¬α(w) e ¬Pxα(w) ˫ Kx¬α(w); PR: Pxα(w), wExv ˫ α(v); KR: Kxα(w), wExv ˫ α(v) KT: Kxα(w) ˫ α(w); KKR: Kxα(w), wExv ˫ Kxα(v); TrKR: KxKyα(w) ˫ Kxα(w). As duas regras KPN são semelhantes às regras de equivalência entre necessário e possível. As regras PR e KR são muito similares às regras de possibilidade e necessidade no sistema de Kripke. A regra KT pressupõe a reflexibilidade no sistema e, KKR, a transitividade. Logo, temos o sistema S4 como base. TrKR é chamada de “regra de transmissibilidade do conhecimento”. Ela diz que, se x sabe que y sabe que α, então x sabe que α. Os principais axiomas da lógica epistêmica são estabelecidos por: K1: (Kx(X→Y)→(KxX→KxY)) - Axioma distributivo. K2: (KxX→X) - Axioma da verdade. K3: (KxX→KxKxX) - Axioma da introspecção positiva. K4: (KxKyX→KxX) - Axioma da Transmissibilidade do Conhecimento.

Doxática: Como regras no sistema temos as regras subjacentes em um sistema modal alético S4, com algumas diferenças na nomenclatura. Temos: Regras proposicionais, negação modal, CR, BR, Reflexividade e Transitividade. Somando-se a essas, temos: (onde w e v são metavariáveis para mundos possíveis). BCN: ¬Bxα(w) ˫ Cx¬α(w) e ¬Cxα(w) ˫ Bx¬α(w) CR: Cxα(w), wDxV ˫ α(v), onde v é novo no caminho. BR: Bxα(w), wDxv ˫ α(v) BBR: Bxα(w), wDxv ˫ Bxα(v) BCR: Bxα(w) ˫ Cxα(w)

Os principais axiomas da lógica doxática são estabelecidos por: B1 (Bx(X→Y)→(BxX→BxY) - Axioma distributivo. B2 (BxX→¬Bx¬X) - Este axioma diz que, da crença de um agente em algo (x), se segue sua não crença na negação desse algo (¬x). B3 (BxX→BxBxX) - Este axioma diz que, da crença de um agente em algo x, se segue que este agente acredita que acredita em x.

Problemáticas Bem, como quase tudo na Filosofia, a lógica epistêmica e sua funcionalidade não são totalmente indiscutíveis. O primeiro destaque é para o Axioma da introspecção positiva: (KxX→KxKxX). Este axioma diz que se um agente x conhece algo X, então, esse agente conhece que conhece X. Muito se argumenta a favor da invalidade desse princípio, uma vez que, um agente x pode conhecer algo (X) sem, necessariamente, conhecer que conhece, pois, para tanto, este agente deveria possuir noção do conceito de conhecimento, o que nem sempre é o caso. Outro axioma problemático é o Axioma distributivo: (Kx(X→Y)→(KxX→KxY)). O problema aqui seria a pressuposição do conhecimento, por parte do agente x, de uma série de regras lógicas. Em outras palavras, é pressuposto a omnisciência lógica do agente, o que é controverso.

Agentes Em lógica epistêmica é necessário definir o nível de ciência do agente ao estabelecer as regras de acessibilidade entre os mundos e axiomas no sistema. Para isso são definidos três tipos de onisciência: lógica, dedutiva e factual. A onisciência lógica se divide em dois tipos, forte e fraca. Quando forte o agente conhece todas as verdades lógicas do sistema, a onisciência lógica fraca possibilita ao agente conhecer automaticamente somente as verdades lógicas da lógica de primeira ordem. Já a onisciência dedutiva consiste em que o agente conheça todas as consequências das verdades já assumidas. A onisciência factual permite que o agente conheça todas as verdades do sistema. Para que o esses tipos de onisciência sejam regulados é preciso definir as regras de acessibilidade e axiomas do sistema. (Retomando) Em S5 temos as regras: K1: (Kx(X→Y)→(KxX→KxY)) K2: (KxX→X) K3: (KxX→KxKxX) K4: (KxKyX→KxX) O agente S5 tem onisciência lógica forte e onisciência dedutiva, além de saber o que conhece e o que não conhece. O agente S4 é muito parecido com o S5 e carrega os mesmos axiomas, com exceção de K5, o que possibilita que o agente S4 possa ter não saber o que não conhece. Ter falsa crença sobre seu próprio conhecimento.

O agente T tem os mesmos axiomas de S4 com exceção de K3, ou seja, este agente pode enganar-se sobre aquilo que sabe.

Referências Vanessa, Jeane. Alguns Aspectos da Relação entre lógica epistêmica e

epistemologia. Disponível em:

www.inquietude.org/index.php/revista/article/download/76/106. Acesso em: 14

de julh. (2014).

Girle, Rod. Modal Logics and Philosophy. Second Edition. 2009.

Branquinho, João. Enciclopédia de termos lógico-filosóficos / João Branquinho,

Desidério Murcho, Nelson Gonçalvez. - São Paulo: Martins Fontes. 2006.