Sumário Introdução Evolução Histórica da Lógica Modal Modalidades Aléticas Lógicas Modais Lógica Epistêmica Lógica Temporal Lógica Deôntica Lógica

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  • Sumrio Introduo Evoluo Histrica da Lgica Modal Modalidades Alticas Lgicas Modais Lgica Epistmica Lgica Temporal Lgica Dentica Lgica Doxstica Outras Lgicas Modais Semntica de Kripke Aplicaes
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  • Introduo Lgica Modal o estudo do comportamento dedutivo de expresses que tratam de modos quanto ao: Possibilidade Necessidade Probabilidade Tempo Outros
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  • Evoluo Histrica da Lgica Modal 1933 - Rudolf Carnap e Kurt Gdel Possibilidade, Necessidade e Probabilidade 1937 - Robert Feyes Sistema T de Lgica Modal 1951 - Georg Henrik Von Wright Sistema M, que elaborado sobre o Sistema T 1955 - C.I.Lewis Sistemas modais S1, S2, S3, S4 e S5, sobre o Sistema M 1965 - Saul Kripke Sistema modal normal mnimo K
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  • Modalidades Alticas O termo "altica" deriva da palavra grega "aleteia" que quer dizer verdade. Tipos de Proposies: Necessrias Proposies que necessariamente so verdadeiras ou falsas, ou seja, sua negao impossvel. 2+2 = 4
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  • Modalidades Alticas O termo "altica" deriva da palavra grega "aleteia" que quer dizer verdade. Tipos de Proposies: Possveis Proposies que podem levar a uma ocorrncia, ou seja, ela no necessariamente falsa Pode estar chovendo em Natal agora
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  • Modalidades Alticas O termo "altica" deriva da palavra grega "aleteia" que quer dizer verdade. Tipos de Proposies: Contingentes Proposies que podem ser ou no verdades Scrates era um filsofo
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  • Modalidades Alticas O termo "altica" deriva da palavra grega "aleteia" que quer dizer verdade. Tipos de Proposies: Impossveis Proposies que marcam a impossibilidade de um acontecimento Uma pedra tem emoes
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  • Possibilidade Fsica Uma dada proposio dita fisicamente possvel quando permitida pelas leis naturais ou cientficas. Possivelmente existe um tomo com nmero atmico 150 Possibilidade Lgica x Fsica possvel acelerar um objeto alm da velocidade da luz
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  • Possibilidade Metafsica O que Real, Natural ou Sobrenatural? A Metafsica tenta esclarecer as noes de como as pessoas entendem o mundo, incluindo a existncia e a natureza do relacionamento entre objetos e suas propriedades, espao, tempo, causalidade, e possibilidade. No ponto de vista da filosofia, existe uma ponderao sobre as propriedades que um objeto possui independentemente das leis cientficas. Possivelmente irei falar com Deus hoje Possibilidade Metafsica x Possibilidade Lgica Est chovendo e no est chovendo
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  • Lgicas Modais Alfabeto Operadores Unrios Bsicos (L) - Necessrio (M) - Possvel Smbolos Absurdo/Contradio: Pontuao: ( e ) Conectivos: ,, e
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  • Lgicas Modais Definio do sistema base
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  • Exemplos : possvel que seja verdade : necessrio que seja verdade : aquilo que necessrio possvel : se algo verdadeiro, ento possvel : algo que verdadeiro necessariamente possvel : aquilo que possvel necessariamente possvel
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  • Construo de sistemas
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  • Outros axiomas
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  • Lgica Epistmica Epistemologia a parte da filosofia que trata da natureza e limitaes do conhecimento A Lgica Epistmica um sub-campo da lgica modal que trata do raciocnio sobre o conhecimento.
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  • Modelagem da Lgica Epistmica A lgica epistmica modelada utilizando o conceito matemtico das estruturas Kripke, e utilizando o sistema da lgica modal.
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  • Sintaxe Operadores Unrios Bsicos: K Sabe-se que Substitui Trs outros operadores modais podem ser adicionados linguagem. E( g )- "todos os agentes no grupo G conhecem...". C( g ) - " do conhecimento comum de todos os agentes em g..." D( g ) - "o conhecimento distribudo a todos os agentes em g..."
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  • Semntica Modelo de Kripke: Dado um conjunto de proposies primitivas , Um modelo de Kripke M para n agentes sobre ( S, , K1, K2,..., Kn ) onde: S: um conjunto no vazio de estados ou mundos possveis. : uma interpretao que associa cada estado de S com um valor verdade de uma proposio de . K1,..., Kn: So relaes binrias em S para n nmeros de agentes.
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  • Semntica A valor verdade depende no s da estrutura, mas depende tambm do estado atual. Para mostrar que uma frmula verdade para um certo estado escrevemos ( M, s ) . Normalmente lido como verdade em ( M, s ).
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  • Propriedades Assumindo que Ki uma relao de equivalncia, algumas propriedades do conhecimento podem ser derivadas. Axioma da Distribuio (K) Axioma da Verdade (T) Axioma da Introspeco Positiva (4) Axioma da Introspeco Negativa (5) Regra da Generalizao do Conhecimento (N)
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  • Propriedades Axioma da Distribuio (K) Se um agente conhece e se ele sabe que , ento ele tambm conhece . ( Ki Ki ( ) ) Ki
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  • Propriedades Axioma da Verdade (T) Se o agente conhece fatos, ento os fatos devem ser verdadeiros. Ki
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  • Propriedades Axioma da Introspeco Positiva (4) O agente sabe o que ele sabe. Ki Ki Ki
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  • Propriedades Axioma da Introspeco Negativa (5) O agentes sabe o que no ele sabe. Ki Ki Ki
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  • Propriedades Regra da Generalizao do Conhecimento (N) Se verdade em todo mundo que o agente considera como mundo possveis, ento o agente deve conhecer em todos os mundos possveis. Se M ento M Ki
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  • Propriedades Lgica Epistmica tambm lida com a crena, e no s apenas com o conhecimento. Para isso o operador modal K pode ser substitudo por B. Operador unrio bsico: B Acredita-se que Devido a isso o Axioma da Verdade perde o sentido e substitudo pelo Axioma da Constituio.
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  • Propriedades Axioma da Constituio (conhecido como D) O agente no acredita na contradio Bi
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  • Lgica Temporal A lgica temporal outro subconjunto da lgica modal que possui como objetivo de permitir a variao da veracidade das asseres ao longo do tempo.
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  • Lgica Temporal Operadores Unrios Bsicos: G Sempre no futuro Substitui F Alguma vez no futuro Substitui usual introduzir outro operador unrio. O - No prximo instante
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  • Lgica Dentica A lgica dentica estuda a validade de argumentos nos quais frases regidas por expresses como obrigatrio que..., permitido que... desempenham papel relevante. Operadores Denticos O operador de Obrigao P operador de Permisso Pp = Op Op = Pp
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  • Lgica Dentica A lgica dentica no possui o axioma T (reflexividade). Na lgica dentica no podem valer as frases Op p - Pois esta afirma que o que obrigatrio verdadeiro, ou seja, que a norma sempre cumprida. p Pp - Segundo esta, o que verdadeiro permitido.
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  • O Sistema Base Seja o operador de obrigao (O) tomado como primitivo. Com o seu auxlio, os trs axiomas do sistema- padro podem ser formulados, da seguinte maneira: A1. Op Op A2. O(p & q) (Op & Oq) A3. O(p p) Como P, por definio equivale a Op, o axioma A1 diz o mesmo que a frmula Op Pp.
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  • O Sistema Base As regras de inferncia do sistema padro so as seguintes: Regra da substituio de variveis proposicionais: O resultado da substituio uniforme de uma varivel proposicional por uma frmula, num teorema, tambm um teorema. Regra do modus ponens: Se p e p q forem teoremas, ento q tambm o ser. Regra da extensionalidade dentica: Se p e q forem frases equivalentes, ento Pp e Pq tambm o sero.
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  • O Sistema Base A partir dos axiomas e regras do sistema base, os seguintes teoremas podem ser derivados, dentre outros: (Op & Op) [(Op Oq) & Op] Oq [(Op Oq) & Pp] Pq [O(p q) & (Fp & Fq)]
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  • O Sistema Base {O[p (q r)] & (Fq & Fr)} Fp Op O(p q) Fp O(p q) p (p Oq) Fp F(p & q)
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  • Lgica Doxstica Lgica Doxstica uma Lgica Modal voltada para o raciocnio sobre as crenas O termo doxstica tem origens no grego antigo onde doxa significa crena Normalmente, uma lgica doxstica utiliza Bx com o significado acredita-se que x verdadeiro e o seguinte conjunto como sendo conjunto das crenas. : { b1, b2,..., bn }, onde b1 = B(x), b2 = B(p)...
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  • Tipos de raciocnio Para demonstrar as propriedades do conjunto de crenas, Raymond Smullyan definiu os seguintes tipos de raciocnios: Raciocnio Preciso: Nunca cr em qualquer proposio falsa p(Bp p)
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  • Tipos de raciocnio Raciocnio Impreciso: Existe uma proposio na qual se cr e esta falsa p(Bp ^ p) Raciocnio Presunoso: Acredita nunca ser impreciso. B( p(Bp ^ p)) Raciocnio Consistente: Nunca cr simultaneamente em uma proposio e em sua negao p(Bp ^ Bp) Raciocnio Normal: Sempre que se cr em p, se cr tambm que se cr em p p(Bp BBp)
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  • Tipos de raciocnio Raciocnio Peculiar: Existe alguma proposio p tal que acredita-se em p e acredita-se tambm que no se cr em p p ( Bp ^ B Bp ) Raciocnio Regular: Sua crena distributiva sobre as operaes