Logica Uma Abordagem Introdutoria

Márcia da Silva Martins

Lógica - Uma Abordagem Introdutória

Copyright� Editora Ciência Moderna Ltda., 2012

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FICHA CATALOGRÁFICA

MARTINS, Márcia da Silva.

Lógica - Uma Abordagem Introdutória

Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda., 2012.

1. Lógica MatemáticaI — Título

ISBN: 978-85-399-0255-2 CDD 510.3

Editora Ciência Moderna Ltda.R. Alice Figueiredo, 46 – Riachuelo Rio de Janeiro, RJ – Brasil CEP: 20.950-150Tel: (21) 2201-6662/ Fax: (21) 2201-6896E-MAIL: [email protected] 04/12

Para Miguel & Vítor

Meus fiéis companheirosdesta jornada chamada vida

Prefácio

A lógica é usualmente ensinada nos cursos de Filosofia, Matemática, Ciência daComputação, Sistemas de Informação, entre outros.

Recentemente essa disciplina vem ocupando significativo espaço nos concursospara uma diversidade de instituições governamentais e privadas, para diferentes níveisde escolaridade.

O estudo do raciocínio lógico ganhou espaço tornando-se indispensável a umaboa formação em variadas áreas.

Motivada por tais fatores e pelo desejo de dar corpo às notas de aulas que venhopreparando, lapidando e utilizando ao longo dos anos, decidi por organizá-las deforma sistemática e didática para o leitor que busca uma iniciação em Lógica.

O foco do trabalho é a noção de consequência lógica que vige entre premissas econclusão de argumentos, noção crucial no âmbito da Lógica.

Trata-se de um livro introdutório que apresenta a Lógica Sentencial Clássica, tambémchamada de Lógica Proposicional, em três etapas: uma linguagem formal, o aparatosemântico e o aparato dedutivo, a saber: Sistema Axiomático, Sistema de DeduçãoNatural, Sistema de Tableaux Semânticos e Sistema de Resolução, Também apresentaa Lógica de Predicados de Primeira Ordem em três etapas: sintaxe, semântica e o SistemaDedutivo de Tableaux Semânticos.

O livro contém muitos exemplos e exercícios elaborados ao longo dos vinte e oitoanos de exercício do magistério, de modo a estimular o leitor a se debruçar sobre ostópicos abordados, sem contudo, se tornar uma atividade enfadonha.

Ao realizar os exercícios propostos, lembre-se que, segundo Lichtenberg, o que seé obrigado a descobrir por si próprio deixa um caminho na mente que se pode percorrernovamente sempre que se tiver necessidade.

A autora

Agradeço pelo incentivo incondicional,

aos meus pais Armando (in memoriam) e Nilce,ao meu marido Miguel e a meu filho Vítor, aos meus irmãos

e à minha família no sentido amplo, aos professores e alunos doInstituto de Matemática e Estatística da UFF,

a Doris Aragon (in memoriam), Ilka Dias de Castro, Rosa Baldi,Cicero Mauro Fialho Rodrigues, Paulo Alcoforado, Ana Isabel Spinola,

Jorge Petrúcio Viana, Marisa Ortegoza, Renata Pereira de Freitas,Valéria Zuma Medeiros, Haroldo Belo, Paulo Trales, Roberto Zaremba Bezerra,

Wanderley Moura Rezende, Jorge Bria e a tantos outros amigos que, cada qualcom seu modo particular de ser, enriquecem o meu caminhar.

Gostaria também de agradecer a Juliana Bravin pelo trabalho de ilustrações, e àEditora Ciência Moderna pelo acolhimento do presente projeto.

Márcia da Silva Martins

Sumário

Capítulo 1

Lógica ......................................................................................................................................................... 1

Algumas palavras iniciais ..................................................................................................................... 1

Argumentos .......................................................................................................................................... 2

Validade de Argumentos ....................................................................................................................... 4

Exercícios Propostos ............................................................................................................................. 5

Relações entre premissas e conclusão ................................................................................................... 5

Argumento Correto ........................................................................................................................ 5

Argumento Dedutivo x Argumento Indutivo ................................................................................... 6

Falácia ................................................................................................................................................. 6

A Lógica na atualidade ................................................................................................................... 7

Lógica Clássica ............................................................................................................................... 7

As Extensões da Lógica Clássica ............................................................................................................ 8

Desvios da Lógica Clássica: Lógicas Heterodoxas .................................................................................... 8

Capítulo 2

Um Breve Histórico .................................................................................................................................... 11

Algumas reflexões .............................................................................................................................. 14

Capítulo 3

Lógica Sentencial - Sintaxe ........................................................................................................................ 17

Exercícios Propostos ........................................................................................................................... 21

Algumas curiosidades sobre o uso dos conectivos nas línguas naturais. ................................................. 22

Linguagem objeto e metalinguagem .................................................................................................... 24

X Lógica - Uma Abordagem Introdutória

Uso e menção .................................................................................................................................... 24

Sintaxe da LS .............................................................................................................................. 24Alfabeto da linguagem da Lógica Sentencial (LS) .......................................................................... 25Regras de Formação das Fórmulas ................................................................................................ 25Omissão de parênteses nas fórmulas ............................................................................................ 26Subfórmulas de uma fórmula ....................................................................................................... 26

Tradução de Sentenças das linguagens naturais para a linguagem da LS ............................................... 27Exercícios Propostos ........................................................................................................................... 28Argumentos da língua Portuguesa e sua Forma .................................................................................... 31Exercícios Propostos ........................................................................................................................... 32

Capítulo 4Semântica da Lógica Sentencial .................................................................................................................. 33

Dando significado à linguagem da LS ................................................................................................... 33Conectivos por Funções-de-verdade .............................................................................................. 35O valor-de-verdade I*(a) de uma fórmula a em uma interpretação I . ........................................... 36

Tabela-de-verdade .............................................................................................................................. 38Classificação das fórmulas da LS ................................................................................................... 39Conjunto das Fórmulas da LS ........................................................................................................ 41

Conjunto Satisfazível ........................................................................................................................... 42Consequência Tautológica entre duas fórmulas .............................................................................. 43Consequência Tautológica entre fórmula e conjunto de fórmulas ..................................................... 45Propriedades da relação de consequência tautológica .................................................................... 46

Equivalência Tautológica ...................................................................................................................... 46Completude Funcional: Interdefinibilidade dos conectivos lógicos ........................................................... 48

Outros conectivos ........................................................................................................................ 49Exercícios Propostos ........................................................................................................................... 50

Capítulo 5Sistemas Dedutivos ................................................................................................................................... 55

As noções de Prova, Teorema e Consequência Dedutiva ....................................................................... 55Relação entre a semântica da LS e os Sistemas ................................................................................... 56

XISumário

Dedutivos para a LS ........................................................................................................................... 56

Teorema da Corretude da LS ........................................................................................................ 56

Teorema da Completude da LS ..................................................................................................... 56

Outras Propriedades de um Sistema Dedutivo SD .......................................................................... 57

Consistência ......................................................................................................................... 57

Decidibilidade ....................................................................................................................... 57

A utilidade das ferramentas fornecidas pelos Sistemas Dedutivos .......................................................... 57

Sistema Axiomático ............................................................................................................................ 58

Apresentação Axiomática ............................................................................................................ 58

Sistema Axiomático para a LS ............................................................................................................. 59

Linguagem .................................................................................................................................. 59

Esquemas de Axiomas ................................................................................................................. 59

Regra de Inferência ..................................................................................................................... 60

Prova .......................................................................................................................................... 60

Teorema ...................................................................................................................................... 60

Consequência Dedutiva no Sistema Axiomático para a LS ..................................................................... 62

Metateorema da Dedução ............................................................................................................ 63

Relação entre Consistência e Satisfazibilidade ................................................................................ 65


Sistema de Dedução Natural para a LS ................................................................................................ 66

Linguagem .................................................................................................................................. 66

Regras de Inferências .................................................................................................................. 67

A noção de derivação de uma fórmula a partir de um conjunto de fórmulas ................................... 68

As noções Teorema e Prova no Sistema de Dedução para a LS ...................................................... 69

Exercício Proposto .............................................................................................................................. 72

Exercício Resolvido ............................................................................................................................. 72

Solução do problema via dedução natural: .................................................................................... 72

Sistema Dedutivo de Tableaux Semânticos para a Lógica Sentencial ...................................................... 75

Linguagem .................................................................................................................................. 75

Regras de Inferências .................................................................................................................. 75

Tableau associado a um conjunto de fórmulas ............................................................................... 76

Ramos de um Tableau .................................................................................................................. 77

Tableau Fechado .......................................................................................................................... 77

XII Lógica - Uma Abordagem Introdutória

Prova .......................................................................................................................................... 77

Teorema ...................................................................................................................................... 77

Sistema Refutacional .......................................................................................................................... 78

Consequência Dedutiva no Sistema de Tableaux Semânticos .......................................................... 78


Sistema Dedutivo de Resolução para a LS ............................................................................................ 80

Cláusula ...................................................................................................................................... 82

Representação de cláusulas na notação de conjunto ...................................................................... 82

Representação de fórmulas que estão na FNC na notação de conjunto ........................................... 82

Linguagem .................................................................................................................................. 83

Regra de Inferência ..................................................................................................................... 83

Expansão por resolução ...................................................................................................................... 84

Prova .......................................................................................................................................... 85

Teorema ...................................................................................................................................... 85

Consequência Dedutiva no Sistema de Resolução .......................................................................... 85


Exercícios de Revisão da LS ................................................................................................................ 87

Capítulo 6

Raciocínio Lógico - LS ................................................................................................................................. 93

Capítulo 7

As Limitações da LS e a Necessidade de Ampliar o seu Arcabouço .............................................................. 101

Quantificadores Universal e Existencial .............................................................................................. 103

Capítulo 8

Sintaxe da Lógica de Predicados de Primeira Ordem (LPPO) ...................................................................... 105

A Linguagem da LPPO ....................................................................................................................... 105

Termos ...................................................................................................................................... 107

Fórmulas ................................................................................................................................... 107

Expressões bem formadas da linguagem da LPPO .............................................................................. 108

XIIISumário

Escopo de um quantificador ....................................................................................................... 108

Ocorrência livre ou ligada de uma variável .................................................................................. 109

Fórmula Aberta e Fórmula Fechada ............................................................................................. 110

Substituição ............................................................................................................................... 110

Variável Substituível por um termo em uma fórmula ................................................................... 111

Tradução de expressões das Linguagens Naturais para a Linguagem da LPPO ............................... 111

Exercícios Propostos ......................................................................................................................... 114

Capítulo 9

Semântica da LPPO ................................................................................................................................. 119

Satisfazibilidade de uma fórmula em uma Estrutura ........................................................................... 120

Classificação das Fórmulas da LPPO ................................................................................................... 121

Consequência Lógica (Consequência semântica) ................................................................................ 122

Equivalência lógica ........................................................................................................................... 123


Capítulo 10

Sistema Dedutivo de Tableaux Semânticos para a LPPO ............................................................................ 129

Tableau associado a um conjunto de fórmulas .................................................................................... 130

Ramos de um Tableau ....................................................................................................................... 131

Tableau Fechado ........................................................................................................................ 131

Consequência Dedutiva no Sistema de Tableaux Semânticos ........................................................ 132

O Sistema Dedutivo de Tableaux Semânticos para a LS é Correto e Completo. ..................................... 133


Capítulo 11

Raciocínio Lógico – LPPO ......................................................................................................................... 141

Bibliografia .............................................................................................................................................. 147

Capítulo 1Lógica

‘A Ciência, pelo caminho da exatidão só tem dois olhos:a Matemática e a Lógica’.

De Morgan

Algumas palavras iniciaisA palavra ‘lógica’ é utilizada em diversas acepções. No cotidiano, por exemplo, é

comum fazer-se uso dela para sugerir obviedade, evidência, etc. Porém, no presentetexto, ‘lógica’ será entendida como um campo de estudo.

Lógica, linguagem, argumentação, são palavras extremamente interligadas, vistoque nos fazemos entender, defendemos nossos pontos de vista, justificamos teoriasatravés do recurso à linguagem, oral ou escrita.

Compreendemos uns aos outros e nos fazemos entender, através do discurso.

Então, poderíamos pensar em definir a lógica como a área do conhecimento quetem como objeto de estudo o discurso. Porém, se assim fosse, qual seria a função deoutros domínios do conhecimento tais como a geografia, a física, a história, etc? Estestambém estão comprometidos com o discurso.

O lógico, contudo, se ocupa da coerência do discurso sem levar em conta o temasobre o qual esse versa. O ponto central desta questão está na distinção entre verdadelógica e verdade factual. Uma verdade lógica é sustentada em virtude da sua forma,mas não em decorrência do conteúdo por ela expresso. Por exemplo, a afirmação ‘Joãoestá vivo ou João não está vivo’ é tida como uma verdade lógica. Ela será sempreverdadeira, independente de quem seja João ou do que seja estar vivo. Enquanto queuma verdade factual decorre do fato por ela expresso, como por exemplo: João foipresidente do País.

2 Lógica - Uma Abordagem Introdutória

Poderíamos dizer que os profissionais de outros ramos distintos da lógica estãorealmente comprometidos com a coerência de seus discursos, porém tal coerênciadecorre diretamente do objeto de estudo concernente a cada profissão. Por exemplo,aos geógrafos cabe a tarefa de enunciar afirmações verdadeiras sobre aspectosgeográficos, tais como, por exemplo, as implicações decorrentes da movimentação dasplacas tectônicas, etc.

Ao lógico, está delegada a tarefa de investigar o fator determinante da coerênciado discurso, das argumentações, independente do tema sobre o qual esses façamreferência.

Os lógicos, então, engendraram linguagens artificiais, com o intuito de realizar aabstração do conteúdo dos discursos, e colocar em relevo a forma destes para que asrelações intrínsecas pudessem ser investigadas, livres da sobrecargas das informaçõesnão essenciais a esse tipo de análise.

As linguagem artificiais construídas com esse fim são usualmente chamadas delinguagens formais.

Frente a isso, faz sentido dizer que a lógica se ocupa das verdades formais.

ArgumentosPara propósitos de iniciarmos nalgum ponto, poderíamos dizer que a Lógica,

enquanto domínio do conhecimento.. tem como objeto de estudo e investigação avalidade de argumentos.

Por argumento queremos significar a explicitação de um raciocínio em algumalinguagem.

Usualmente, na explicitação de um raciocínio, uma ou mais proposições sãoenunciadas para justificar, ou fornecer subsídios para outra proposição.

A explicitação do raciocínio em uma determinada linguagem dá origem a um objetolinguístico conhecido pelo nome de argumento, que é constituído de sentenças, dentreas quais uma delas é chamada conclusão e as demais premissas.

Por exemplo, nos argumentos (i) e (ii) que se seguem, a proposição: João serácampeão; é expressa pelas respectivas conclusões. Vejamos:

3Capítulo 1 - Lógica

(i) Se João vencer o último jogo, então será campeão.João venceu o último jogo.Logo, João será campeão.

(ii) John will be the champion, if he wins the last game.John won the last game.Then, John will be the champion.

Embora ‘João será campeão’ e ‘John will be the champion’ sejam sentenças distintas,expressam a mesma proposição.

Segundo Irving Copi, é necessário distinguir as sentenças das proposições paracuja afirmação elas podem ser usadas. Duas sentenças (ou orações declarativas) queconstituem claramente duas orações distintas, porque consistem de diferentes palavras,dispostas de modo diferente, podem ter o mesmo significado, no mesmo contexto, eexpressar a mesma proposição.

É o caso, por exemplos das duas seguintes sentenças: (a) A fábrica foi invadidapelos operários, e (b) Os operários invadiram a fábrica.

‘A diferença entre sentenças, i.é.,orações declarativas, e proposições é evidenciadaao observar que uma oração declarativa faz parte de uma linguagem determinada, alinguagem em que ela é enunciada, ao passo que as proposições não são peculiares anenhuma das linguagens em que podem ser expressas.’

As três sentenças que se seguem são diferentes, embora expressem a mesmaproposição: (c) Eu te amo; (d) I love you e (e) Je t´aime.

Copi também afirma que os termos ‘proposição’ e ‘enunciado’ não são sinônimos,mas no contexto da investigação lógica, são usados numa acepção quase idêntica.

Cabe observar que uma mesma sentença pode desempenhar o papel de premissaem um dado argumento e de conclusão em outro. Por exemplo, a sentença ‘João serácampeão’ que figura como conclusão em (i), desempenha o papel de premissa em (iii):

(iii) João será campeão.Se João for campeão, então será condecorado.Logo, João será condecorado.

Em alguns argumentos, a conclusão vem precedida de uma palavra conclusiva talcomo ‘logo’, ‘portanto’, ‘consequentemente’, etc., conforme ilustra o exemplo abaixo.


Exemplo:A condição necessária para que João seja admitido na empresa, é que eleobtenha média superior a sete no concurso, porém sua média foi inferiora sete. Logo, ele não foi admitido.

Em outros argumentos, a conclusão vem seguida de uma palavra explicativa talcomo ‘pois’, ‘porque’, etc., conforme ilustra o exemplo abaixo:

Exemplo:Eu não fui viajar, pois só iria caso meu salário tivesse sido aumentado,mas isso não aconteceu.

É no âmbito da lógica que se estuda o fator determinante da validade de umargumento. Em tal contexto investigam-se as relações que subsistem entre premissase conclusão para que se possa classificar os argumentos como válidos ou inválidos.

Validade de ArgumentosOs argumentos válidos são aqueles em que a verdade das premissas garante a

verdade da conclusão; ou em outras palavras, são aqueles em que, ao admitirmos queas premissas sejam simultaneamente verdadeiras, então a conclusão será verdadeira.Outra formulação similar a essas duas é: um argumento será válido se for impossívelque sua conclusão seja falsa, sempre que suas premissas sejam admitidas verdadeiras.

Vejamos os seguintes exemplos:

Exemplo1: O argumento abaixo é válido.

Eu não fui viajar, pois só iria caso meu salário tivesse sido aumentado,porém isso não aconteceu.

Exemplo 2: O argumento abaixo é válido.

A condição necessária para que o João seja admitido na empresa, é queele obtenha média superior a sete no concurso, porém isso não aconte-ceu. Logo, ele não foi admitido.

Exemplo 3: O argumento abaixo é inválido.

Maria vai à missa apenas aos domingos. Hoje é domingo. Logo, Maria foià missa hoje.


Trata-se de um argumento inválido, visto que é possível que hoje seja domingosem que, contudo, Maria tenha ido à missa.

O que uma das premissas assegura é que só aos domingos Maria vai à missa. Elanão assegura que Maria vai à missa todos os domingos.

Exercícios Propostos1) Tente reescrever os argumentos que figuram nos exemplos 1, 2 e 3, parafraseando-os.

2) Quantas premissas possuem cada um dos referidos argumentos e quais são elas?

Relações entre premissas e conclusãoA validade pode ser encarada como uma relação que vige entre premissas e

conclusão.

Há outro tipo de relação que se dá entre premissas e conclusão de argumentos queé igualmente importante no âmbito da Lógica: é a relação de dedutibilidade.

Diz-se que a conclusão de um argumento é dedutível do conjunto de premissas doargumento se pudermos extrair a conclusão das premissas a partir de um número finitode aplicações de certas regras anteriormente explicitadas.

Existe relação entre os conceitos de validade e de dedutibilidade. É usual chamar-se a relação de dedutibilidade de relação de consequência sintática.

Ao longo do texto será abordada a relação que subsiste entre consequênciasemântica e consequência sintática.

Argumento Correto

Um Argumento correto é um argumento válido cujas premissas são verdadeiras.

Exemplo: O argumento abaixo é correto.

3 é um número par ou primo. 3 não é um número par. Logo, 3 é umnúmero primo.


Atenção, pois existem argumentos que embora premissas e conclusão sejamverdadeiras, são inválidos e assim sendo não são corretos, conforme ilustra o exemploa seguir:

Apenas números reais são racionais.Dois é um número racional.Logo, dois é um número real.

Argumento Dedutivo x Argumento Indutivo

A diferença entre argumentos dedutivos e argumentos indutivos está diretamenteligada ao grau de garantia que as premissas fornecem a conclusão.

Tal diferença não confere a um tipo ou ao outro a qualificação de ser um bom ou ummau argumento.

A conclusão dos argumentos dedutivos válidos nunca contém mais informaçõesdo que as contidas nas premissas. As premissas dos argumentos dedutivos válidosgarantem em 100% a verdade da conclusão, enquanto que isto não se dá com osargumentos indutivos. Nesses, há sempre um grau de incerteza de que a conclusãosegue-se das premissas. Há apenas uma probabilidade de que a conclusão decorra daspremissas.

Exemplos:

(i) Argumento Dedutivo VálidoTodos os pássaros voam.Piu é um pássaro.Logo, Piu voa

(ii) Argumento IndutivoTodos os animais examinados até o momento não contraíram o vírus.Logo, o próximo animal a ser examinado não contraiu o vírus.

FaláciaÉ um argumento inválido que parece válido. Do ponto de vista estritamente lógico,

não há qualquer distinção entre argumentos inválidos que são enganadores porqueparecem válidos, e argumentos inválidos que não são enganadores porque não parecemválidos. Mas essa distinção é relevante, visto que são as falácias que são especialmente


enganosas. Os argumentos inválidos cuja invalidade é evidente não são enganadorese, se todos os argumentos inválidos fossem assim, não seria necessário estudar lógicapara saber evitar erros de argumentação. Mostra-se que um argumento é falacioso,mostrando que é possível, ou provável que suas premissas sejam verdadeiras, porémsua conclusão seja falsa.

Exemplo:Apenas homens casados têm filhos.João é um homem casado.Logo, João tem filhos.

A Lógica na atualidade

Há uma grande variedade de Lógicas, cada qual engendrada com um determinado fim.

Lógica Clássica

Caracteriza-se por respeitar três princípios basilares:

(i) Princípio da identidade

(ii) Princípio do terceiro-excluído

(iii) Princípio da não contradição

Segundo (i), (ii) e (ii), nessa lógica qualquer sentença implica a si mesma; qualquersentença é verdadeira ou falsa, não restando uma terceira possibilidade; e nenhumasentença é verdadeira e falsa simultaneamente.

O núcleo da Lógica Clássica é chamado de ‘Lógica Sentencial’ (LS) e é nesseâmbito que se estudam as sentenças e as formas de combinar sentenças a partir decertas partículas chamadas conectivos lógicos – ‘não’, ‘e’, ‘ou’, ‘se,...então’ e ‘se esomente se’. Tais conectivos são chamados conectivos por função-de-verdade, emvirtude da maneira como são definidos: como funções.

No campo rotulado por LS, são apresentadas técnicas de testar e classificar comoválidos ou inválidos argumentos cuja validade (ou invalidade) decorre essencialmenteda presença dos conectivos acima citados.


As Extensões da Lógica ClássicaSe caracterizam por (i) estender o arcabouço da Lógica Clássica, introduzindo

conectivos, distintos dos conectivos por função-de-verdade, e (ii) obedecer osprincípios basilares da LS.

São exemplos: Lógicas Modais, Lógica Epistêmica, Lógica Deôntica.

Desvios da Lógica Clássica: Lógicas HeterodoxasEstas são chamadas ‘Lógicas Rivais’ ou ‘Lógicas Heterodoxas’ e se caracterizam

por derrogarem algum dos princípios basilares da Lógica Clássica.

São exemplos:

Lógica Paraconsistente - Inclui-se entre as chamadas lógicas não-clás-sicas heterodoxas, por derrogar o princípio da contradição. Segundo aLógica Paraconsistente, uma sentença e a sua negação podem ser ambasverdadeiras. Um dos mais importantes nomes da Lógica Paraconsistenteé o brasileiro Newton C. A. da Costa, considerado seu criador. As teoriasdo lógico brasileiro são de grande importância para diversas áreas, alémda matemática, filosofia e computação.

Lógica intuicionista, ou lógica construtivista, é o sistema de lógica sim-bólica desenvolvido por Arend Heyting para prover uma base formalpara o intuicionismo de Brouwer. ‘A lógica intuicionista é normalmenteconhecida, grosso modo, como a lógica não-clássica que rejeita o princí-pio do terceiro excluído. Entretanto, sua principal motivação surgiu noâmbito matemático e estava fortemente relacionada com questões relati-vas ao conceito de infinito.’

Lógicas Polivalentes - Em 1920, Jan Lukasiewicz concebeu a ideia deusar um sistema de lógica trivalente para dar conta de afirmações a res-peito do futuro (os chamados futuros contingentes, de Aristóteles).

Lógica Paracompleta - Uma dada lógica ou sistema lógico é ditaparacompleta quando ela não adota a lei do terceiro excluído. Na mes-ma pode acontecer de tanto uma fórmula quanto a sua negação seremambas falsas.


Lógica Fuzzy ou Difusa – Em 1965 o Prof. Lotfi Zadeh, U.C Berkeley,apresenta os conceitos fundamentais da Lógica Fuzzy. A Lógica Fuzzyou Lógica Difusa diferente da Lógica Clássica, que apenas permite aclassificação de Verdadeiro ou Falso, é capaz de atribuir valores lógi-cos intermediários. Trabalhar em uma lógica que permite classificardados ou informações vagas, imprecisas e ambíguas, abre muitas pos-sibilidades de desenvolver soluções para problemas que envolvemmuitas variáveis.

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Logica Uma Abordagem Introdutoria