LUGARES GEOMÉTRICOS

O objectivo desta apresentação é o estudo mais aprofundado de alguns lugares geométricos de que já ouviste falar.

Definição: Um lugar geométrico é um conjunto de pontos do plano ou do espaço que têm uma propriedade comum.

LUGARES GEOMÉTRICOS

… no plano

Um jardineiro quer construiu um canteiro, com a ajuda de uma corda de 2 metros de comprimento, que tem as pontas amarradas a duas estacas (fig.1).

No terreno ficou desenhada uma linha curva chamada circunferência, que vai limitar o canteiro de flores.

O jardineiro coloca a estaca mais pequena num ponto do terreno (ponto C) e com a corda sempre esticada foi deslocando a outra estaca, fazendo um sulco no terreno.

O jardineiro desenhou um lugar geométrico.

Circunferência

Todos os pontos estão situados à mesma distância (2 metros) do ponto onde se encontra espetada a estaca (o centro da circunferência), a essa distância chamamos raio.

A circunferência de centro C e raio 2 metros é o lugar geométrico dos pontos do plano que distam 2 metros do ponto C.

2 metros

O jardineiro desenhou uma circunferência sobre o chão com raio de 2 metros.

Circunferência

Uma circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de um ponto fixo chamado centro da circunferência.

À distância de qualquer ponto da circunferência ao seu centro dá-se o nome de raio da circunferência.

Na figura, o raio da circunferência corresponde ao comprimento do segmento de recta [PC].

r

Círculo

Os pontos A e B da figura abaixo estão situados no interior da circunferência. A distância destes pontos ao centro da circunferência é menor do que o raio.

Um círculo é formado por todos os pontos interiores à circunferência e pela circunferência.

Assim, o círculo é o lugar geométrico dos pontos pertencentes a uma circunferência ou ao seu interior.

r

Exterior de uma Circunferência

Na figura abaixo estão representados os pontos D e E. A distância destes pontos ao centro da circunferência é maior do que o raio da circunferência. Os pontos D e E são pontos exteriores à circunferência.

A região assinalada a amarelo, o exterior de uma circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que distam do centro da circunferência mais do que o seu raio.

r

Coroa Circular

Considerando duas circunferências concêntricas (com o mesmo centro) e raios diferentes, podemos definir um lugar geométrico do plano situado entre as duas circunferências, incluindo-as. Essa região do plano designa-se por coroa circular.

A região assinalada a amarelo representa uma coroa circular. Os seus pontos encontram-se a uma distância do ponto C maior ou igual do que e menor ou igual do que .

BC AC

r

r’

Mediatriz de um segmento de recta

Dois amigos brincam todas as tardes no campo, perto das suas casas. Tentam sempre despedir-se num ponto que esteja a igual distância de cada uma das casas. Cada dia descobrem um novo ponto nestas condições.

O lugar geométrico dos pontos do plano, equidistantes dos extremos de um segmento de recta, é a recta perpendicular ao meio desse segmento de recta e chama-se Mediatriz.

Propriedades da Mediatriz de um segmento de recta:

Um ponto qualquer da mediatriz de um segmento de recta é equidistante dos extremos desse segmento.

O ponto médio do segmento de recta é o ponto da mediatriz desse segmento que se encontra à menor distância dos extremos desse segmento de recta.

Construção da Mediatriz de um segmento de recta

1. Com um compasso com centro em A, desenhas um arcode circunferência de raio superior a metade de .AB

2. Com o mesmo raio (sem mexer na abertura do compasso) com centro no ponto B, desenhas outro arco de circunferência.

3. Finalmente desenhas a recta que passa pelos pontos de intersecção dos dois arcos (pontos P e Q) e tens a recta mediatriz de [AB].

Exemplo 1:

• Pretende-se construir uma estrada que diste igualmente de duas localidades.

A estrada vai ter de corresponder à mediatriz do segmento de recta que une as duas localidades.

Desta forma, qualquer ponto da estrada é equidistante das duas localidades.

Exemplo 2:

• O Professor de Educação Física quer que o João se coloque num lugar que seja equidistante de três colegas, de acordo com o que mostra a figura. Em que lugar se deve colocar o João?

O João deve ficar colocado na posição indicada. O ponto assinalado chama-se circuncentro do triângulo e corresponde à intersecção das mediatrizes dos lados do triângulo.

Circuncentro de um triângulo e Circunferência circunscrita

Circuncentro de um triângulo é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados do triângulo.

O é o circuncentro do triângulo [LMP];

a circunferência é circunscrita ao triângulo [LMP] (passa pelos 3 vértices do triângulo).

Bissectriz de um ângulo

A bissectriz de um ângulo é uma semi-recta que divide o ângulo em outros dois ângulos geometricamente iguais.

Bissectriz de um ângulo

Cada um dos pontos da bissectriz de um ângulo é equidistante dos lados do ângulo.

Por exemplo:

AP = BP e CQ = DQ

Podemos agora definir a bissectriz de um ângulo como o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes dos lados desse ângulo.

Construção da Bissectriz de um ângulo

1. Com um compasso desenha-se um arco AB.

2. Com centro em A e em B desenham-se dois arcos que intersectam em C. C dista igualmente de A e de B.

ˆ ˆCVA CVB

3. Une-se V com C.

é bissectriz do ângulo .VC

ˆAVB

Pretende-se colocar candeeiros entre duas ruas de modo a que cada um deles esteja a igual distância de ambas as ruas.

Como a figura ilustra, os candeeiros deveriam ficar segundo a bissectriz do ângulo cujos lados são representados pelas duas ruas A e B.

Exemplo:

Teremos de determinar a bissectriz do ângulo formado pelas duas ruas (linha a amarelo).

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… no espaço

Superfície Esférica

O vidro do qual é feito o abajur do candeeiro de tecto (a amarelo) pode imaginar-se como sendo uma região do espaço cujos pontos se encontram todos a igual distância de um ponto central fixo.

O abajur representa uma superfície esférica.

Ao lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes de um ponto fixo chamado centro, dá-se o nome de superfície esférica.

Uma Superfície Esférica de centro C e raio r é o lugar geométrico de todos os pontos do espaço que estão a uma distância r de um ponto fixo C.

O ponto P é um ponto da Superfície Esférica de centro C e raio r.

Esfera

Se considerares agora todos os pontos da superfície esférica e todos aqueles que lhe são interiores, tens um novo lugar geométrico denominado esfera.

Assim, a esfera é o lugar geométrico de todos os pontos do espaço que se encontram a igual ou menor distância de um ponto fixo chamado centro.

A distância do centro da esfera a um qualquer ponto da superfície esférica, chama-se raio da esfera.

Uma Esfera de centro C e raio r é o lugar geométrico de todos os pontos do espaço que estão a uma distância menor ou igual a r de um ponto fixo C.

O ponto R é um ponto da Esfera de centro C e raio r.

r

Plano Mediador

Supõe que tens dois candeeiros no chão da tua sala, como se representa na figura ao lado.

Pretendes saber quais são os lugares da sala que estão equidistantes dos dois candeeiros.

Considerando o segmento de recta cujos extremos são as bases dos dois candeeiros, os pontos do plano representado a verde são equidistantes das bases.

O plano representado a verde denomina-se Plano Mediador do segmento de recta.

O Plano Mediador de um segmento de recta é o lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes dos extremos do segmento de recta.

O plano mediador é perpendicular ao segmento de recta e contém o ponto médio desse segmento de recta.

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Disjunção e Conjunção de condições

Reunião e Intersecção de conjuntos

Já conheces vários lugares geométricos no plano e no espaço:

r

r r

Disjunção e Conjunção de condiçõesPodemos criar mais lugares geométricos através da combinação de dois ou mais lugares geométricos (regiões) que já conhecemos.

a - lugar geométrico dos pontos do plano cuja distância a O é menor ou igual a 4.

b - lugar geométrico dos pontos do plano cuja distância a P é menor ou igual a 2.

Exemplo:

Região A

Região B

4 cmO

2 cm

P

2.º caso

1.º caso

Reunião e intersecção de conjuntos

4 cmO

2 cm

P

Região A

Região B

No 1.º caso são pontos que pertencem pelo menos a um dos dois círculos (todos os pontos que pertencem a um dos dois círculos).

Obtém-se através da disjunção das condições a e b que definem os dois círculos, corresponde à reunião das regiões definidas pelas condições.

A Ba b

Conjunto dos pontos do plano cuja distância a O é menor ou igual a 4 ou cuja distância a P é menor ou igual a 2.

:a b

Lê-se: “ou”

:A B

Conjunto dos pontos do plano cuja distância a O é menor ou igual a 4 ou cuja distância a P é menor ou igual a 2.

:a b

:A B

No 2.º caso são pontos que pertencem apenas aos dois círculos (todos os pontos comuns).

Obtém-se através da conjunção das condições a e b que definem os dois círculos, corresponde à intersecção das regiões definidas pelas condições.

A Ba b

Conjunto dos pontos do plano cuja distância a O é menor ou igual a 4 e cuja distância a P é menor ou igual a 2.

:a b

Lê-se: “e”

:A B

Conjunto dos pontos do plano cuja distância a O é menor ou igual a 4 e cuja distância a P é menor ou igual a 2.

:a b

a bA condição é satisfeita quando são satisfeitas simultaneamente as condições a e b.

A condição é satisfeita quando pelo menos uma das condições é satisfeita, a ou b ou (a e b).

a b

Reunião

Intersecção

Disjunção

Conjunção

(ou)

(e)