Luiz Rijo Calculo de Uma Variavel Com Matematica Vol2

Luiz Rijo

Clculo deUma Varivel

com

Mathematica

Vol. 2

udv uv vdu

CAPTULO 1

Aplicaes da IntegralIniciar o MathKernel

In[1]:= 2 + 2Out[1]= 4

1.1 Comprimento de arco

Frmula do comprimento de arco no intervalo [a, b]

s = ab !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 + f' HxL2 x

Frmula do comprimento de arco no intervalo [a, x]

s[x] = ax !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 + f' HtL2 t (1)

Daqui e do Teorema Fundamental do Clculo segue-se que

s ' [x] = !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 + f' HxL2 (2)Observe que este resultado independe do ponto a particular, a partir do qual comeamos a medir o comprimento doarco. Se escolhessemos outro ponto c, em vez de a, isto s faria alterar a expresso (1) por uma constante aditivaeno mudaria a derivada (2).

EXEMPLO 1. (GA2, pg. 20) Vamos calcular o comprimento de arco dado por

f HxL = cosh x = x + xccccccccccccccccccc2In[2]:= H Definio da funo cosh x = Hx + xL2 L

f@x_D := x + xccccccccccccccccccc2

In[18]:= H Grfico da funo f HxL LPlot@f@xD, 8x, 0, 3

In[6]:= H Clculo numrico do arco aplicando a frmula H1L LNIntegrateA!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 + 4 f'@xD^2 , 8x, 0, 2

In[11]:= H Grfico da funo y = x23 LPlot@y@xD, 8x, 0, 1

In[31]:= H Definio da funo y HxL = Hx+1L32 LClear@x, yD;y@x_D := Hx + 1L32

In[36]:= H Grfico da funo y = Hx + 1L32 LPlot@y@xD, 8x, 1, 5

In[69]:= H Grfico da funo y = ln x LPlot@y@xD, 8x, 1, 2

In[111]:= H Grfico da funo y = ln H1 x2L LPlot@y@xD, 8x, 12, 12

In[13]:= H Grfico da funo y = 23 Hx2 + 1L32 LPlot@y@xD, 8x, 2, 0

In[21]:= H Grfico da funo y = x33 + 14 x LPlot@y@xD, 8x, 1, 3

In[35]:= H Grfico da funo y = x LPlot@y@xD, 8x, 1, 1

In[117]:= H Grfico da semicircunferncia de raio r = 3 Lr = 3;Plot@f@xD, 8x, 3, 3

In[52]:= H Volume do slido de revoluo Lr = 4;h = 2; r2 h 32 5

Out[54]=128 cccccccccccccc5

Mtodo das cascas cilndricas

Frmula do volume dos slidos de revoluo pelo mtodo das cascas cilndricas

V = ab 2 x f HxL x (5)

EXEMPLO 4. (GA2, pg. 8) Vamos calcular o volume do slido gerado por rotao, em torno do eixo 0x, da regio do plano 0xy delimitada pela curva y = 2x - x2 e o eixo 0x. Essa curva o trecho da parbola y = 1 - Hx - 1L2 , que comea na origem, atinge um mximo no ponto x = 1 e volta ao valor zero no ponto x = 2.

In[4]:= H Grfico da da funo y= !!!x Lf@x_D := 2 x x2Plot@f@xD, 8x, 0, 2

In[7]:= H Grfico da funo y = 3 x2 Lf@x_D := 3 x2Plot@f@xD, 8x, 0, 2

In[43]:= H Volume do slido de revoluo pela frmula H5L Lf@x_D := 1 x2Integrate@2 x f@xD, 8x, 0, 1

In[61]:= H Grfico da funo y= Hx + 1L13 Lf@x_D := Hx + 1L13Plot@f@xD, 8x, 0, 7

In[91]:= H Volume do slido de revoluo pela frmula H4L Lf@x_D := 1xIntegrate@ f@xD2, 8x, 1, a< , Assumptions a > 1D

Out[92]=H1 + aL ccccccccccccccccccccccccca

In[93]:= Limit@%, a DOut[93]=

9. y = x-13 , y = 0, x = 1 e e x = e (0 < e < 1), em volta de 0x. Considere este volume com e 0 e interprete o resultado geometricamente. Considere, tambm, o caso e >1 e o limite com e .

In[8]:= H Grfico da funo y = x13 Lf@x_D := x13Plot@f@xD, 8x, 0, 1 1 LIntegrate@ f@xD2, 8x, 1, < , Assumptions > 1D

Out[16]= 3 H1 + 13L

In[17]:= H Limite quando LLimit@%, D

Out[17]=

10. y = !!!x , x = 0 e y = 1, em volta de 0y.

16 Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb

In[104]:= H Grfico da funo y = !!!x Lf@x_D := !!!!xPlot@f@xD, 8x, 0, 1

In[20]:= H Volume do slido de revoluo pela frmula H5L Lf@x_D := x2 x 4 Integrate@2 x f@xD, 8x, 0, 1

In[46]:= H Grfico da funo y = sen x Lf@x_D := Sin@xDPlot@f@xD, 8x, 0,

In[65]:= H Limite quando n LLimit@%, n D

Out[65]= 0

18. y = 0, y = x2 e a reta tangente a esta curva em x = 1, em volta de 0x.

In[73]:= H Grfico da funes y = x2, y = 2 x 1 LPlot@8x2, 2 x 1

22. Considere uma calota determinada numa esfera de raio r por um plano cuja distncia ao centro da esfera h < r. Mostre que o volume da calota

2 p r23 -p h33 - p r2 h .

1.3 Volume de um slido qualquer

Frmula do volume de um slido qualquer

V = ab A HxL x

Esta frmula serve para exprimir o volume de qualquer slido, desde que se conhea as reas A(x) de suas seiestransversais, relativamente a um eixo 0x.

EXEMPLO 1. Vamos calcular o volume de um slido cuja base o crculo x2 + y2 r2 e cujas sees perpendicu-lares ao eixo Ox so tringulos issceles ABC, retngulos em A.

A rea do tingulo dada por r2 - x2.

In[83]:= H Volume do slido LA@x_D := r2 x2Integrate@A@xD, 8x, r, r

ExercciosCalcule o volume dos slidos descritos nos Exerccios 1 a 6.

1. A base do slido o tringulo 0 y 1, e as sees perpendiculares ao eixo 0x nos pontos de abscissasx so semicrculos de dimetro y.

A rea do semi-crculo de dimetro y dada por pH1 - xL2 2In[89]:= H Volume do slido L

A@x_D := H1 xL2 2Integrate@A@xD, 8x, 0, 1

In[13]:= r = 1;Plot@8Sqrt@r^2 x^2D, Sqrt@r^2 x^2D

In[106]:= H Grfico das funes y = Hx + xL LPlot@8Hx + xL, Hx + xL

Com esta frmula geral, o clculo da rea da elpse no exemplo anterior fica imediato: a rea da elpse o produto do fator k = b/a pela rea do crculo de raio a, ou seja A = (b/a) pa2 = p a b.

ExercciosNos Exerccios 1 a 9, calcule a rea da figura delineada pelas curvas dada e faa o grfico em cada caso.

1. y = 2 x3 e y = 2 x, x = 0 e x =1.

In[114]:= H Grfico das funes y = 2 x3 e y = 2 x LPlot@82 x^3, 2 x

In[10]:= H Grfico das funes y = x2 e y = !!!x LPlotA9x2, !!!!x =, 8x, 0, 1

In[134]:= H Grfico das funes y = x e y = x LPlot@8x, x

In[27]:= H Grfico da funo y = sen3 HxL, 0 x LPlot@Sin@xD3, 8x, 0,

In[176]:= H Grfico das funes y = !!!x ln HxL, y = x ln HxL, 1 x 2 Lp1 = PlotA9!!!!x Log@xD, x Log@xD=, 8x, 1, 2

CAPTULO 2

Aproximao de Funes por PolinmiosIniciar o MathKernel

In[1]:= 2 + 2 H Este comando inicia o MathKernel LOut[1]= 4

2.1 Introduo

De todas as funes que temos utilizado at agora as mais simples so as funes polinomiais. Nas funespolinomiais, como por exemplo

p(x) = 5 - 3x - x2 + 2 x3,

so entram operaes elementares, soma, subtrao e multiplicao.

Funes no polinomiais, como

f(x) = x I2 + !!!x M, y = sen x, g(x) = arc tg x,

envolvem operaes no elementares. Consequentemente, elas so mais complicadas de serem manuseadasalgebricamente que as funes polinomiais.

Felizmente, isto no chaga ser um problema srie. Pois, funes no polinomiais podem ser aproximadas porpolinmios. Por exemplo, o polinmio liear

p(x) = 1 + x/2

aproxima a funo !!!!!!!!!!!!!1 + x para |x| pequeno.

A possibilidade de aproximar funes por polinmios de suma importncia, pois permite obter propriedades dasfunes em termos de propriedades anlogas dos polinmios que as aproximam. E no s isso, o clculo devalores numricos de uma certa funo, em geral, s pode ser feito aproximadamente, utilizando-se um polinmioqure aproxime a funo.

Vizinhana

A aproximao de uma funo por um polinmio se processa na vizinhana de um ponto x0 , por isso mesmoconveniente esclarecer este conceito. Chamamos vizinhana de um ponto x0 a qualquer intervalo com centro nesseponto, isto , qualquer conjunto do tipo

VdHx0L = 8x : x0 - d < x < x0 + d< onde d um nmero positivo que caracteriza a vizinhana em questo. A vizinhana VdHx0L tambm pode sersimbolizada por | x - x0 < d .

2.2 Aproximao linear

Frmula da aproximao linear de f(x) na vizinhana de x = 0

f(x) = f(0) + f'(0) x + R(x)

em que o erro R(x) = f '' HcL x2 2 onde c um nmero compreendido entre 0 e x.

EXEMPLO 1. (GA2, pg. 23) Vamos aproximar a funo f(x) = !!!!!!!!!!!!!1 + x numa vizinhana de x = 0.In[11]:= H Aprxomimao linear de !!!!!!!!!!!!!!1 + x na vizinhana de x0 = 0 L

f@x_D := Sqrt@1 + x Dx0 = 0;dfdx = D@f@xD, xD . x x0;f@x0D + dfdx Hx x0L

Out[14]= 1 + xcccc2

EXEMPLO 2. (GA2, pg. 24) Utilizar o resultado do exemplo anterir para determinar uma aproximao de !!!!!!48 .

Notemos que !!!!!!48 = !!!!!!!!!!!!!!49 1 = 7 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 149

In[6]:= H Aprxomimao !!!!!!48 Lf@x_D := Sqrt@1 + x Dx0 = 0;dfdx = D@f@xD, xD . x x0;7 Hf@x0D dfdx Hx x0LL . x 149% N

Out[9]=97ccccccc14

Out[10]= 6.92857

Aproximao num ponto qualquer


Frmula da aproximao linear de f(x) na vizinhana de um ponto qualquer x0

f(x) = f Hx0L + f ' Hx0L (x - x0 ) + R(x)em que R(x) = f '' HcL Hx x0L2 2 onde c um nmero compreendido entre x0 e x.

In[1]:= H GA2, Figura 2.4, pg. 22, Lp1 = Plot@x^2 + .5,8x, .5, 1

In[1]:= p1 = Plot@82 x^2 + 2, 2 x + 32

In[16]:= Show@8p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8, p9, p10, p11, p12, p13, p14, p15

In[1]:= H Aprxomimao linear de cos HxL na vizinhana de x0 = 0 LClear@x, fD;f@x_D := Cos@xDx0 = 0;dfdx = D@f@xD, xD . x x0;f@x0D + dfdx Hx x0L

Out[5]= 1

In[6]:= Plot@8f@xD, %

In[1]:= H Aprxomimao linear de sen HxL na vizinhana de x0 = 2 Lf@x_D := Sin@xDx0 = Pi2;dfdx = D@f@xD, xD . x x0;f@x0D + dfdx Hx x0L

Out[4]= 1


In[17]:= Show@8p1, p2, p3, p4

In[1]:= H Aproximao linear de 100013 L10 H1 + 3H31000LL% N

Out[1]=1001ccccccccccccc100

Out[2]= 10.01

18. cos 0,01

Aplicando a aproximao linear cos HxL = 1 x, vemIn[1]:= H Aproximao linear de cos H0,01L L

1 0.01Out[1]= 0.99

19. tg 0,5

Aplicando a aproximao linear tg HxL = x, vemIn[1]:= H Aproximao linear de tg H0.5L L

0.5Out[1]= 0.5

20. arc tg 0,02

Aplicando a aproximao linear arctg HxL = x, vemIn[1]:= H Aproximao linear de arctg H0,02L L

0.02Out[1]= 0.02

2.3 Frmula de Taylor

Seja f(x) uma funo derivvel at a ordem n + 1, numa vizinhana V de x = 0, o polinmio de Taylor

p(x) = f(0) + f'(0)x + f'' H0Lccccccccccccccc2! x2 + ... + fHnL H0Lcccccccccccccccn! xn

aproxima f(x) em V.

Series[f[x], {x, 0, n}] gera a frmula de Taylor de grau n.

In[1]:= H Desenvolvimento de Taylor de f HxL de grau 5 LClear@x, fD;Series@f@xD, 8x, 0, 5

Normal[eries[f[x], {x, 0, n}]] gera a frmula de Taylor de grau n sem o termo 0 @xDn.

EXEMPLO 1. (GA2, pg. 26) Determinar a frmula de Taylor da funo f(x) = ex de grau 7.

In[1]:= H Desenvolvimento de Taylor de f HxL = ex de grau 7 Lf@x_D := Exp@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7

In[1]:= H Desenvolvimento de Taylor de f HxL = log H1 xL de grau 11 LClear@x, fD;f@x_D := Log@1 xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 11

11. f(x) = arctg x.

In[1]:= H Desenvolvimento de Taylor de f HxL = arctg x de grau 7 LClear@x, fD;f@x_D := ArcTan@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7

In[18]:= H Desenvolvimento de Taylor de f HxL = !!!!!!!!!!!!!!1 + x LClear@x, fD;f@x_D := !!!!!!!!!!!!!1 + xNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 5

2.4 Unicidade da frmula de Taylor

Quando duas funes f e g so tais que o quociente f(x)/g(x) tende a zero com x tendendo a um certo x0, dizemosque f de ordem pequena em relao a g, para x x0 e escrevemos

f(x) = o(g(x)), x x0 .

Por exemplo,

sen2 x = o(x) e cos 1/x = o(1/x)

pois ambos quocientes

sen2 xx = (sen x)

sen xx e cosH1xL1x = x cos (1/x)

tendem a zero com x 0.

Quando apenas sabemos que o quociente f(x)/g(x) permanece limitado numa vizinhana de x0 , dizemos que f deordem grande em relao a g, para, x x0 e escrevemos

f(x) = O(g(x)), x x0.

Por exemplo,ex 1 x = O Hx2L e sen x x = O Hx3L com x 0.

EXEMPLO 1. (GA2, pg. 35) Determinar a frmula de Taylor da funo f(x) = 1/(1 - x)

In[1]:= H Desenvolvimento de Taylor de f HxL = 1H1 xL. LClear@x, fD;f@x_D := 1H1 xLNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7

In[27]:= H Frmula de Taylor de Hex + exL2 LClear@x, fD;f@x_D := Hx + xL2Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 9

In[1]:= H Frmula de Taylor de f HxL = sin 2 x LClear@x, fD;f@x_D := Sin@2 xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 9

14. Determine a frmula de Taylor de f(x) = sec x

In[1]:= H Frmula de Taylor de f HxL = sec x LClear@x, fD;f@x_D := Sec@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7

In[5]:= H Calcula diretamente o limite de f HxL LLimit@f@xD, x 0D

Out[5]=1cccc6

18. limh0 (!!!!!!!!!!!!!1 + h - 1) sen 2 h

In[1]:= H Calcule o limh0 I!!!!!!!!!!!!!!1 + h 1M sen 2 h LClear@h, fD;f@h_D := I!!!!!!!!!!!!1 + h 1M Sin@ 2 hDNormal@Series@f@hD, 8h, 0, 5

In[4]:= H Calcula o limite do desenvolvimento de Maclaurin de f HxL LLimit@%, x 0D

Out[4]= 1cccc2

In[5]:= H Calcula diretamente o limite de f HxL LLimit@f@xD, x 0D

Out[5]= 1cccc2

21. limx0 (ex2 - 1)/ sen 3 x2

In[1]:= H Calcule o limx0 Hex21Lsen 3 x2 LClear@x, fD;f@x_D := HExp@x2D 1LSin@3 x2DNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7

2.5 Frmula de Taylor na forma geral

Seja f(x) uma funo derivvel at a ordem n + 1, numa vizinhana V de x = a, o polinmio de Taylor de ordemn

p(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f'' HaLccccccccccccccc2! Hx aL2 + ... + fHnL HaLcccccccccccccccn! Hx aLn

aproxima f(x) em V.

Series[f[x], {x, a, n}] gera a frmula de Taylor de grau n na vizinhana do ponto a.

In[1]:= H Desenvolvimento em sriede Taylor de f HxL na vizinhana V de x = a L

Clear@x, fD;Series@f@xD, 8x, a, 5

In[84]:= f@x_D := Cos@xDex2 = Normal@Series@f@xD, 8x, 4, 2 46 180

Out[85]=1ccccccccc!!!2

ccccccccccccccccccc180 !!!2 2ccccccccccccccccccccccccc64800 !!!2

Esses trs termos da srie de Taylor so suficientes para se obter o valor do co seno de 460 com seis casas decimais exatas. De fato,In[86]:= N@ex2D

Cos@46 180D NOut[86]= 0.694658Out[87]= 0.694658

Animao

Vamos usar a frmula de Taylor de cos(x), relativa ao ponto a = p/4, para ilustrar graficamente o comportamento da aproximao para pontos distantes de a.

In[88]:= H Frmula de Taylor de cos HxL relativa ao ponto a = 4 LClear@x, fD;f@x_D := Cos@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 4, 5

In[93]:= H Animao da aproximao de Taylorda funo sen x relativa ao ponto de a = 4 L

Show@GraphicsArray@88plots@@1DD, plots@@2DD, plots@@3DD

In[1]:= H Frmula de Taylor de f HxL = ex, a arbitrrio LClear@x, fD;f@x_D := Exp@xDNormal@Series@f@xD, 8x, a, 5

In[1]:= H Frmula de Taylor de f HxL = cos x, x = 4 LClear@x, fD;f@x_D := Cos@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 4, 4

In[1]:= H Frmula de Taylor de f HxL = sen x, a = LClear@x, fD;f@x_D := Sin@xDNormal@Series@f@xD, 8x, , 9

CAPTULO 3

Seqencias InfinitasIniciar o MathKernel


3.1 Introduo

O Estudo da aproximao de funes por polinmios, feito no captulo anterior, leva, naturalmente consideraes de soma infinita. Por exemplo, vimos que a funo ex tem a seguinte frmula de Taylor:

ex = 1 + x + x22! +x33! +

x44! + . . .+xnn! + . . . RnHxL

onde RnHxL= ec xn + 1 Hn + 1L e c um nmero entre 0 e x. Veremos mais adiante que tende a zero con n , o que sugere que se n crescer acima de qualquer nmero dado, RnHxL tender a zero e a funo ex ser dada, exatamente, pela 'soma infinita"

ex = 1 + x + x22! +x33! +

x44! + . . .+xnn! + . . . RnHxL

Do mesmo modo, a frmula

lnHx + 1L = 1 - x22 + x33 - . . . -

H-1Ln xnn +H-1Ln xn + 1Hn + 1L Hn + cLn + 1

sugere que se possa exprimir ln(1 + x) em termos da seguinte "soma infinita":

lnHx + 1L = 1 - x22 + x33 -

x44Muitas funes que aparecem no Clculo so passveis de desenvolvimentos desse tipo, em que a funo passa a ser um "polinmio infinito". Isto facilita muito o tratamento das funes. Entretanto, temos de interpretar essas "somas infinitas" e saber o seu significado preciso. Lidar com o infinito sempre foi um problema dif[icil.; e os matemticos sabem disso h mais de dois milnios. E para que o leiter tenmha uma idia das dificuldades que podem surgir, vamos logo dar um exemplo simples e bastante esclarecedor. Considere a srie infinita

S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 . . .

Se escrevermos S = (1 - 1) + (1 - 1) + ( 1 - 1) . . . teremos, evidentemente, S = 0. Mas, tambm podemos escrever

S = 1 - (1 - 1) - (1 - 1) - (1 - 1) - ...

e agora concluimos que S = 1. Ainda h uma terceira possibilidade,

S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ...) = 1 - S, donde 2S = 1, donde S = 1/2.

Afinal, S = 0, S = 1 ou S = 1/2? Por que trs respostas diferentes?


3.2 Seqncia infinita

Uma seqncia ou sucesso infinita a1,a2,a3, , ...,an, ... que uma funo f, definida no conjunto dos nmeros inteiros positivos, atribuindo a n o valor an; assim

f: 1 f(1) = a1, f: 2 f(2) = a2, f: 3 f(3) = a3, etc.

3.3 Conceito de limite

Diz-se que uma seqncia HanL converge para um nmero L ou tem limite L se, dado qualquer numro e > 0, sempre possvel encontrar um nmero N tal que

n > N |an - L| < e .

Seqncias divergentes

Diz-se que uma seqncia an tem limite + , ou que divergente para +, se, dado qualquer numro K, porgrande que seja, sempre possvel determinar um nmero N tal que

n > N an > K.

Diz-se que uma seqncia an tem limite - , ou que divergente para -, se, dado qualquer numro K, pode-sedeterminar N tal que n > N an < K.

Algumas seqncias especiais

Rijo Cal 2 Capitulo 3.nb 3

3.4 Propriedades do limite

Diz-se que uma seqncia HanL converge para um nmero L ou tem limite L se, dado qualquer numro e > 0, sempre possvel encontrar um nmero N tal que

n > N |an - L| < e

Propriedade do tringulo

Conseqncias da desigualdade do tringulo

Operaes com limites

Teorema: Se HanL e HbnL convergem para os limites a e b, respectivamente, ento i) an + bn a + b;

ii) anbn ab;

iii) an /bn a/b, no pressuposto de que os denominadores no se anulam;

iv) kan ka, onde k um nmero qualquer.

3.5 Seqncias montonas

Uma seqncia HanL chama-se crescente se a1 < a2 < a3 < . . ., isto , se an < an + 1 para todo n; e drescente se a1 >a2 > a3 > . . .Se an an +1 para todo n, a seqencia chamada no-decescente, ao passo que ela no-crescentese a desigualdade for an an + 1 . As seqncias crescentes, decrescentes, no-crescentes e no-decrescentes sochamadas seqncias montonas. Essas seqncias tm a importante propriedade de serem covergentes, casosejam limitadas.

ExercciosDetermine a soma das sries dadas nos Exerccios 1 a 11.


1.

In[2]:= H Limite da seqncia n! e nn LLimit@n!, n DLimit@nn, n D

Out[2]= Out[3]=

2.

In[92]:= H Limite da seqncia 0, 32, 23, 54, 45, ... ,1n + H1L^n LLimit@1n + H1Ln, n D

Out[92]= LimitAH1Ln + 1ccccn , n E

3.

In[92]:= H Limite da seqncia 1, 10, 2, 102, 3, 103... LLimit@1n + H1Ln, n D


4.

In[92]:= H Limite da seqncia 2, 3, 5, 7,9, 11, 13 ... pn Hnsimo nmero primoL LLimit@1n + H1Ln, n D


5.

In[93]:= H Limite da seqncia ncos !!!n Hn2 1L LLimit@n Cos@nDHn2 + 1L, n D

Out[93]= 0

6.

In[94]:= H Limite da seqncia sen Hn2 1LHn2 1L LLimit@Sin@n2 + 1DHn2 + 1L, n D

Out[94]= 0


7.

In[96]:= H Limite da seqncia n2sen H1nL LLimit@n2 Sin@1nD, n D

Out[96]=

8.

In[97]:= H Limite da seqncia Hn 1LHn + 1L LLimit@Hn 1LH n + 1L, n D

Out[97]= 1

9.

In[99]:= H Limite da seqncia H4 n2 3 n + 1LHn2 + 10 n + 5L LLimit@H4 n2 3 n + 1LH n2 + 10 n + 5L, n D

Out[99]= 4

10.

In[101]:= H Limite da seqncia H2 + 3 nL H2 n 10LH4 n2 1L LLimit@H2 + 3 nL H2 n 1LH 4 n2 1L, n D

Out[101]=3cccc2

11.

In[102]:= H Limite da seqncia I3 n !!!n + 1MI7 2 n !!!n M LLimitAI3 n!!!!n + 1M I7 2 n!!!!n M, n E

Out[102]= 3cccc2

12.

In[104]:= H Limite da seqncia I3 !!!n + 2M I1 5 !!!n MH10 5 nL LLimitAI3 !!!!n + 2M I1 5!!!!n M H10 5 nL, n E

Out[104]= 3

13.

In[105]:= H Limite da seqncia I2 !!!n M I!!!n 1MI!!!n + 7M LLimitAI2 !!!!n M I!!!!n 1M I!!!!n + 7M, n E

Out[105]=


14.

In[2]:= H Limite da seqncia !!!!!!!!!!!!!!!!n2 + 1 !!!n LLimitA!!!!!!!!!!!!!!!n2 + 1 !!!!n , n E

Out[2]=

15.

In[3]:= H Limite da seqncia !!!!!!!!!!!!!!n + 1 !!!n LLimitA!!!!!!!!!!!!!n + 1 !!!!!n , n E

Out[3]= 0

16.

In[4]:= H Limite da seqncia n2Hn + 1L n2Hn + a + 1L LLimit@n2 Hn + 1L n2 Hn + a + 1L , n D

Out[4]= a

17.

In[5]:= H Limite da seqncia Tanh HnL LLimit@Tanh@nD , n D

Out[5]= 1

18.

In[6]:= H Limite da seqncia nenH1 + e2 nL LLimit@n n H1 + 2 nL , n D

Out[6]= 0

19.

In[7]:= H Limite da seqncia I3 !!!!!!n! + e2 nMI5 !!!!!!n! enM LLimitAI3!!!!!!!n! + 2 nM I5!!!!!!!n! nM, n ESeries::esss : Essential singularity encountered in GammaA 1ccccn + 1 + O@nD

3E.

Series::esss : Essential singularity encountered in GammaA 1ccccn + 1 + O@nD3E.

Series::esss : Essential singularity encountered in GammaA 1ccccn + 1 + O@nD3E.

General::stop : Further output ofSeries::esss will be suppressed during this calculation.

Out[7]= LimitA 2 n + 3 !!!!!!!n!ccccccccccccccccccccccccccccccn + 5 !!!!!!!n! , n E


20.

In[8]:= H Limite da seqncia n2 H1 Cos@anDL LLimit@n2 H1 Cos@anDL , n D

Out[8]=a2ccccccc2

22.

In[11]:= H Limite da seqncia log HnLn LLimit@Log@nDn, n D

Out[11]= 0

23.

In[12]:= H Limite da seqncia Hlog HnLLkn LLimit@HLog@nDLk n, n D

Out[12]= 0

24.

In[14]:= H Limite da seqncia log HnLn1k LLimit@Log@nDn1k, n D

Out[14]= Limit@n1k Log@nD, n D

29.

In[16]:= H Limite da seqncia n1n LLimit@n1n, n D

Out[16]= 1


CAPTULO 4

Sries InfinitasIniciar o MathKernel


4.1 Definio e primeiros resultados

As sries infinitas surgem quando procuramos somar todos os elementos de uma dada swqncia HanL : a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . . (4.1)

Embora seja impossvel somar infinitos nmeros, um aps outro, podemos considerar as somas parciais

S1 = a1 , S2 = a2 + a2 , S3 = a1 + a2 + a3 , etc.

Em geral, denotamos por por Sn a soma dos primeiros n elementos da sequncia HanL , que chamada soma parcial ou reduzida de ordem n associada a seqncia:

Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an = j = 1

n a j.

Desse modo formamos uma nova seqncia infinita,

S1 , S2 , S3 . . . Sn , . . .

Supondo que ela tenha limite S ento,

Definimos a soma infinita (4.1) como sendo este limite, que tambm se denota com o smbolo j = 1

n a j , isto

a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . . = S = lim Sn = limn j = 1

n a j =

n = 1

an.

Sum[an, {n, }] acha a soma da srie a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . .

EXEMPLO 1. Consideremos o polinmio de Taylor da exponencial

ex = 1 + x + x2

cccccccc2! +x3cccccccc3! +

x4cccccccc4! + . . .+xnccccccccn! + . . .RnHxL

Fazendo x = 1, nesta expresso, obtemos o nmero e como soma de uma srie infinita

ex = 2 + 1cccccc2! + 1cccccc3! + 1cccccc4! + . . .+ 1ccccccn!In[9]:= H A soma da srie 1 +

n = 1

1n! L

1 + Sum@1n!, 8n,

EXEMPLO 4. A srie

1cccc3 + 1cccccc15 + 1cccccc35 + . . .+ 1cccccccccccccccccccccccccccccccccH2 n 1 L H2 n + 1 L + . . .= n = 1 1cccccccccccccccccccccccccccccccccH2 n 1 L H2 n + 1 L

e uma srie convergente. De fato,

In[12]:= H A soma da srie n = 1

1cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccH2 n 1 L H2 n + 1 L L

SumA 1cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccH2 n 1 L H2 n + 1 L , 8n,

Srie de termos no negativos

Teorema. Uma srie de termos no- negativos n = 1

pn converge se a seqncia de suas reduzidas for limitada; e

diverge para + se essa seqncia no for limitada. No caso de ser convergente,, a soma da srie independe daordem de seus termos.


1.

In[18]:= H Determinar a soma da srie 1 + 23 + 49 + 816 + ...=n=1

H 2cccc3 Ln L

Sum@H23Ln, 8n, 0,

6.

In[24]:= H Determinar a soma da srie 5 + 107 + 2049 + ... L5 Sum@H27Ln, 8n, 0,

13.

In[32]:= H Determinar a soma da srie n=1 1cccccccccccccccccc5 n 72 L

Sum@1H5 n 72L, 8n, 1,

25.

In[43]:= H Determinar a soma da srie Hx2LnH2 nL! LSum@Hx^2Ln H2 nL!, 8n, 0,

2.

In[49]:= H Verificar se a srie n=0 5 n+1ccccccccccccccccccccccc3 n2+2 n10 converge ou diverge L

Sum@H5 n + 1LH3 n2 + 2 n 10L , 8n, 0,

7.

In[58]:= H Verificar se a srie n=3 !!!!n +1cccccccccccn24 converge ou diverge L

SumAI!!!!n + 1M Hn2 4L, 8n, 3,

13.

In[11]:= H Verificar se a srie n=1 Log@nDccccccccccccccn2 converge ou diverge L

Sum@Log@nDn2, 8n, 1,

19.

In[20]:= H Verificar se a srie n=1 Hn3HExp HnL 1LL converge ou diverge L

Sum@n3 Hn 1L, 8n, 1,

4.3 Teste da razo, Convergncia absoluta e condicional

Teorema. Seja n=1 an uma srie de termos positivos tal que an+1 /an converge para um certo limite r. Ento, asrie converge se r < 1 e diverge se r > 1. Se r = 1, nada se pode concluir.

Convergncia absoluta

Diz-se que uma srie n=1 an (cujos termos no so necessariamente positivos) converge absolutamente, ou absolutamente convergente, se a srie n=1 an convergente.

Teorema. Toda srie absolutamente convergente convergente, isto , n=1 an converge n=1 anconverge. Alm disso, a soma da srie dada independe da ordem em que se considera seus termos.

Sries alternadas

Uma srie cujos termos so alternadamente positivos e negativos chamada srie alternada.

Teorema. Se (an ) uma seqncia de termos positivos tal que a1 a2 ... an ... e an 0, ento asrie alternada n=1 H1Ln an converge.


1.

In[12]:= H Verificar se a srie n=1 n23n converge ou diverge L

Sum@n2 3n, 8n, 1,

3.

In[14]:= H Verificar se a srie n=1 n!!!!n converge ou diverge L

SumAn !!!!n , 8n, 1,

8.

In[23]:= H Verificar se a srie n=1 nkHen + sin H3 nLL converge ou diverge L

Sum@nk Hn + Sin@3 nDL, 8n, 1,

12.

In[27]:= H Verificar se a sriek=0

Icos HkL sin HkLIk !!!k M converge ou diverge LSumAHCos@kD Sin@ kDL Ik!!!!k M, 8k, 0,

15.

In[32]:= H Verificar se a srie k=1 1cccccen sin H1nL converge ou diverge L

Sum@1n Sin@1nD, 8n, 1,

1.

In[38]:= H Use o teste da integral paraestabelecer a convergncia da srie n=1

1ccccccccccccccccnH1 + epsL LSum@1nH1+epsL , 8n, 1,

6.

In[50]:= H Use o teste da integral paraestabelecer a convergncia da srie n=1 1cccccccn3 r L

Sum@1nr , 8n, 1,

11.

In[6]:= H Use o teste da integral paraestabelecer a convergncia da srie n=1 nr en L

Sum@nr n , 8n, 1,

CAPTULO 5

Sries de potnciaisIniciar o MathKernel


5.1 Primeiros exemplos e propriedades

Chama-se srie de potncias a toda srie da forma a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ... = n = 1 an xn . Uma tal srie tambm chamada de srie de Taylor relativa a x = 0 ou srie de Maclaurin. Em geral elas soobtidas das frmulas de Taylor quando o restotende a zero con n .

Series[f[x], {x, 0, n}] gera os primeiros n termos da srie de potncia da funo f(x).

Sum[an, {n, }] acha a soma da srie de potncia a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ... = n = 1 an xn .

EXEMPLO 1. funo exponencial. Foi com esse procedimento que obtivemos a srie de potncia da funo exponencial

ex = 1 + x + x2

cccccccc2! +x3cccccccc3! +

x4cccccccc4! + . . .+xnccccccccn! + . . . = n = 0

xnccccccccn!

Vimos que esta srie converge qualquer que seja o valor de x.

In[7]:= H Srie de potncias da funo esponencial LSeries@x, 8x, 0, 5

In[2]:= H Srie de potncias da funo esponencial L

SumA xn

ccccccccn! , 8n, 0,

EXEMPLO 4. srie binomial. Considerando a identidade

H1 + xL = 1 + x + H 1Lcccccccccccccccc2! x2 + . . . + H 1L . . . H n + 1Lcccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccn! n2. . .e fazendo n para obter a srie binomial

H1 + xL = 1 + x + H 1Lcccccccccccccccc2! x2 + . . . + H 1L . . . H n + 1Lcccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccn! n2 + . . . = n = 0 JnN x

n

In[21]:= H Srie binomial LSeries@H1 + xL, 8x, 0, 4 | x0 |

Teorema 2. A toda srie de potncias n = 1

an que converge em algum valor x' 0 e diverge em algum valor x'',

corresponde um nmero positivo r tal que a srie converge absolutamenmte se | x | < r e diverge se | x | > r.

Raio de convergncia e intervalo de convergncia

O nmero r no teorema anterior chamado de raio de convergncia da srie.

Derivao e Integrao

Toda srie de potncias pode ser derivada ou integrada termo a termo; e as sries resultantes tm o mesmo interva-los de convergncia das sries originais.

EXEMPLO 9. A srie

ln H1 xL = x x2ccccc2 + x3ccccc2 . . . = n = 0 x

ncccccnpode ser obtida por integrao , termo a termo, da srie

1ccccccccc1 x = 1 + x + x2 + . . . xn = n = 0 xn

In[23]:= H Srie do ln H1 xL LSeries@Log@1 xD, 8x, 0, 6

EXEMPLO 10. Trocando x por - x2 na srie do exemplo anterior nos leva a srie

1ccccccccccc1 + x2 = 1 x2 + x4 x6 + . . . = n = 0 H1Ln x2 n

Integrando termo a termo de 0 a x, encontramos a srie de potncias de arctan (x).

arctan HxL = x x3ccccc3 + x5ccccc5 x

7ccccc7 . . . = n = 0 H1Ln x2 n + 1cccccccccccccccccccccc2 n + 1

In[26]:= H Srie de arctan HxL LSeries@ArcTan@xD, 8x, 0, 8

5.

In[33]:= H n =10 H2 n +8L3 xH2 n + 1L LSum@H2 n + 8L3 xH2 n + 1L, 8n, 0,

12.

In[43]:= H n = 1 ln HnL xn LSum@Log@nD xn, 8n, 1,

25.

In[50]:= H Hn + 2L xn2n + 1 LSum@Hn + 2L xn 2n + 1, 8n, 0,

fcil demonstrar que o desenvolvimento de um funo f em srie de potncias relativa a um pomto x0 nico,isto , s existe uma srie de potencias an Hx x0Ln .Convm enfatizar o fato de que o teorema da unicidade se refere ao desenvolvimento da funo num determinadoponto. Isto no impede que uma dada funo tenha a sries de potncias com coefficientes diferentes relativa-mente a pontos distintos.

Multiplicao e diviso de sries

Sejam f e g duas funes com sries de potncias an xn e bn xn , respectivamente, no intervalo | x | < r.Ento, a funo f g representada, neste intervalo, , pela srie produto, assim definida

f(x) g(x) = Ha0 + a1 + a2 x2 + . . . L Hb 0 + b1 + b2 x2 + . . . L =a0 b0 + Ha0 b1 + a1 b0L x + Ha0 b2 + a1 b1 + a2 b0L x2 + . . .Essa regra de multiplicao , juntamente com o teorema anterior sobre unicidade, permite-nos obter, facilmente, asrie quociente de duas sries.

EXEMPLO 1. Vamos obter os primeiros termos da srie da funo ex !!!!!!!!!!!!!1 + x em potncias de x, multiplicando os fatores que ai aparecem

ex !!!!!!!!!!!1 + x = ikjj1 + x + x

2ccccccc2 +

x3ccccccc6 +x4ccccccc24 + . . .

y{zz ikjj1 + xcccc2

x2ccccccc8 +x3ccccccc16 . . .

y{zz

= 1 + 3cccc2 x +7cccc8 x

2 + 17ccccccc48 x3 + . .

In[1]:= H Os primeiros termos da srie da funo ex !!!!!!!!!!!!!!1 + x LSeriesAx !!!!!!!!!!!1 + x , 8x, 0, 5

J1HxL = x2 - x316 +

x5384 - . . . = n = 0 H1Lncccccccccccccccccccccn! H1 + n L! H xcccc2 L2 n + 1

amplamente usada em Geofsica.

In[5]:= H Funo de Bessel J1 HxL LSeries@BesselJ@0, xD, 8x, 0, 6

CAPTULO 6

Equaes DiferenciaisIniciar o MathKernel


6.1 Primeiros exemplos

Chama-se equaes diferenciais a uma equao que envolve uma ou mais derivadas de uma funo que se desejaencontrar. Assim, se y = y(x) uma funo da varivel independente x, so equaes diferenciais cada uma dasseguintes equaes:

y' + 3 x y = 2, y - sen x y y' = 7, y'' + 9 x y' -7 y = x.

As duas primeiras dessas equaes so de primeira ordem, por envolverem apenas a derivasda primeira da funo y: ja terceira uma equao de segunda ordem, visto ser esta a ordem mais alta das derivadas que nela comparecem.

Um dos problemas mais simples que se formula naturalmente em termo de uma equao diferencial ocorre toda vezque a taxa de variao de uma funo propocional prpria funo. Simbolicamente,

y' = k y

o que corresponde equao diferencial

y' - k y = 0

A nica funo que a sua derivada proporcional a prpria funo a funo exponencial. Assim, a soluo daequao

y' - k y = 0

a funo y = C ek x

Dsolve[equation, y[x], x] fornece a soluo geral, y[x], da equao diferencial equation cuja varivel idependente x.

In[28]:= H Soluciona a equao diferencial y' k y = 0 LClear@x, yD;DSolve@y'@xD k y@xD m 0, y@xD, xD

Out[29]= 88y@xD k x C@1D Automatic traa os eixos x e y.HeadLength -> determina o tamanho da seta que representa o vetor. = 0, suprime a ponta da seta.

In[175]:=

A expresso y = C ek x chama-se soluo geral da equao y' - k y = 0 . Isto porque qualquer soluo particular podeser obtida a partir da soluo geral, com ajuste conveniente da constante C. A situao com equaes diferenciais sempre assim, elas possuem infinitas solues. Em geral, quando se modela um problema por meio de uma equaodiferencial, necessrio prescrever condiies adicionais para individualizar a soluo do problema que se desejaresolver. Assim, o problema tpico envolvendo uma equao diferencial o problema de valor inicial, que consiste emresolver a equao, sujeita condio inicial y(0) = C, onde C um valor dado.

In[160]:=

ou seja, pondo w = k/m,

v ' = g - w v

In[193]:= H Problema do praquedista, v H0L = 0 LClear@g, , t, vDDSolve@8v'@tD == g v@tD, v@0D m 0

In[268]:= H Problema do praquedista, v H0L = 15 LClear@g, , t, vDsol4 = DSolve@8v'@tD == g v@tD, v@0D m 15

Dado um operador L e uma funo h, as equaes L u = 0 e L u = h so chamadas de equao homognea e equaono-homognea, respectivamente. Um outro fato importante sobre operadores lineares que qualquer soluo daequao no=homognea pode ser obtida como a soma de uma soluio particular qualquer desta equao com umasoluo conveniente da equao homognea. Mais explicitamente, de v0 satisfaz L v0 = 0, ebto qualquer soluo vde L v = h pode ser escrtita na forma v = u + v0 , onde u uma soluo conveniente de L u = 0.

Exerccios7. Verifique que a funo y(x) = -1 - x + (1 + C) ex soluo do seguinte problema de valor inicial: y ' - y = x, y(0) = C.

In[278]:= H Soluciona a equao diferencial y' y = x LClear@x, yD;DSolve@y'@xD y@xD m x, y@xD, xD

Out[279]= 88y@xD 1 x + x C@1D

A equao de Bessel de ordem zero dada por

x y'' + x y' + x2 y = 0

em que x(t).

In[9]:= H Soluciona a equao de Bessel LClear@x, tD;DSolve@x2 y''@xD + x y'@xD + x2 y@xD m 0, y@xD, xD

Out[10]= 88y@xD BesselJ@0, xD C@1D + BesselY@0, xD C@2D

6.3 Modelos populacionais

O problema de valor inicial

p'(t) = k p(t), p(0) = p0 ,

que tem soluo p(t) = p0 e-kt , o mais simples de crescimento populacional. Este modelo, chamado modelo maltu-siano, valido para intervalo de tempo no muito grande.

O modelo logstico

Um modelo mais preciso que o maltusiano foi proposto em 1883 pelo matemtico-bilogo holands F. W. Verhulst.

p'(t) = (a - b p(t)) p(t), p(0) = p0 ,

em que a a constante de proporcionalidade que aparece na taxa de nascimento ap(t), e b a constante associada taxade mortalidade bp(t). Verhulst chamou esta equao diferencial de equao logstica.

In[19]:= H Soluciona a equao de Airy LClear@t, pD;DSolve@8 p'@tD == Ha b p@tDL p@tD, p@0D m p0

CAPTULO 7

Limites e integrais imprpriasIniciar o MathKernel


7.1 Limite de uma funo no infinito

Diz-se que uma funo f(x), com x + se , dado qualquer nmero e > 0, for sempre possvel encontrar um nmero R tal que

x > R | f(x) - L | < e.

Escreve-se

limx + f HxL = L ou mesmo limx f HxL = L .

EXEMPLO 1. A funo L + sen(x)/x converge para L com x +

In[58]:= H Limte de L + sen HxLx com x + LLimit@L + Sin@xDx, x D

Out[58]= L

EXEMPLO 2. A funo x/(x + 12) converge para 1 com x +

In[59]:= H Limte de xHx + 12L com x + LLimit@x Hx + 12L, x D

Out[59]= 1

EXEMPLO 3. A funo ax com a < 1 converge para 0 com x +

In[60]:= H Limte de ax com x + LClear@aDLimit@ax , x , Assumptions a < 1D

Out[61]= Limit@ax, x , Assumptions a < 1D

EXEMPLO 4. A funo Hx2 + cos2 xL H3 x + 10L diverge para + com x + In[62]:= H Limte de Hx2 + cos2 xLH3 x + 10L com x + L

Clear@aDLimit@ Hx2 + Cos@xD2LH3 x + 10L, x D

Out[63]=

A definio de que f(x) L com x inteiramente anloga definio anterior. Diz-se que uma funo f(x), com x - se , dado qualquer nmero e > 0, for sempre possvel encontrar um nmero R tal que

x > R | f(x) - L | < e.

Do mesmo modo, as definies de

limx + f HxL = + , limx + f HxL = - , limx - f HxL = + , limx - f HxL = - , so formuladas de maneira semelhante.

Teorema. Sejam f e g duas funes definidas num semi-eixo x > x0 , tendo limites F e G, respectivamente, com x . Ento, f + g, f g, (k f), onde k uma constante qualquer, so funes convergentes alm de que, (a) limx @ f HxL + gHxLD = limx f HxL + limx gHxL = F + G; (b) limx k f HxL = k limx f HxL = k F; em particular, k = -1 nos d limx @- f HxL D = -F (c) limx @ f HxL gHxLD = limx f HxL . limx gHxL = F G; (d) se, alm das hipteses acima, G 0, wnto existe limite de f g , igual F/G.

ExercciosEm cada um dos Exerccios 3 a 6 calcule o limite

3. limx @3 x2DIn[64]:= H Limte de 3x2 com x + L

Clear@xDLimit@ 3x2, x D

Out[65]= 0

4. limx A 5 cosHxL !!!x E

In[66]:= H Limte de 5 cosHxL!!!x com x + LClear@xDLimitA 5 Cos@xD !!!!x , x E

Out[67]= 0

5. limx @H6 x + 1L H2 x + 3LD

2 Rijo Cal 2 Captulo 7.nb

In[68]:= H Limte de H6 x + 1LH2 x + 3L com x + LClear@xDLimit@ H6 x + 1L H2 x + 3L, x D

Out[69]= 3

6. limx AH3 x + 1L I!!!x + 1ME

In[70]:= H Limte de H3 x +1LI!!!x + 1M com x + LClear@aDLimitA H3 x + 1L I!!!!x + 1M, x E

Out[71]=

Em cada um dos Exerccios 7 a 26 calcule o limite proposto

7. limx AI2 x + !!!x M Hx - cos xLE

In[80]:= H Limte de I2 x + !!!x MHx - cos xL com x + LLimitA I2 x + !!!!x M Hx Cos@xDL, x E

Out[80]= 2 Null

8. limx AIsen x - 3 x !!!x M H cos x + 5 x2LE

In[82]:= H Limte de Isen x 3 x !!!x MH cos x + 5 x2L com x + LClear@xDLimitA ISin@xD 3 x !!!!x M HCos@xD + 5 x2L, x E

Out[83]= 0

9. limx @H1 + x + 3 x2L H 1 - 7 x + 2 x2LDIn[84]:= H Limte de H1 + x + 3 x2LH1 7 x + 2 x2L com x - L

Limit@ H1 + x + 3 x2LH1 7 x + 2 x2L, x DOut[84]=

3 Nullccccccccccccccccc2

10. limx AI1 + x !!!x M I !!!x - 3ME

In[85]:= H Limte de I1 x !!!x MI!!!x 3M com x LLimitA I1 x !!!!x M I!!!!x 3M, x E

Out[85]= Null

11. limx AIsen x + !!!!!!!-x M H 2 + cos xLE

In[86]:= H Limte de Isen x + !!!!!!x MH2 + cos xL com x - LLimitA ISin@xD + !!!!!!x M H2 + Cos@xDL, x E

Out[86]= Null

12. limx @ln x H 1 + ln xLDIn[89]:= H Limte de ln xH1 + ln xL com x L

Limit@ Log@xDH1 + Log@xDL, x D

Rijo Cal 2 Captulo 7.nb 3

13. limx @H1 - x2L H 3 + exLDIn[90]:= H Limte de H1 x2LH3 + exL com x - L

Limit@ H1 x2LH3 + xL, x DOut[90]= Null HL

14. limx AI3 x2 - x !!!x M I 4 x2 + x - !!!x ME

In[91]:= H Limte de I3 x2 x !!!x MI4 x2 + x !!!x M com x LLimitA I3 x2 x !!!!x M I4 x2 + x !!!!x M, x E

Out[91]=3 Nullccccccccccccccccc4

15. limx AI!!!x + ln xM I !!!x ln x - 1ME

In[92]:= H Limte de I!!!x = ln xMI!!!x ln x 1M com x LLimitA I!!!!x + Log@xDM I!!!!x Log@xD 1M, x E

Out[92]= 0

7.2 Integrais imprprias - intervalo ilimitado

Teorema. Seja f(x) uma funo no decrescente e limitada superiormente num semi-eixo x a. Ento, f(x) converge para o seu supremo com x .

Teorema. Sejam f e g funes contnuas no semi-eixo x a. Se

0 f (x) g (x) e a g HxL x

converge, emto tambm converge a integral imprpria de f, isto

a f HxL x < .

Por outro lado, se

0 f (x) g (x) e a f HxL x

diverge, emto tambm converge a integral imprpria de g, isto

a g HxL x < ..

EXEMPLO 1. Determine a integral 1 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!H1 - cos xL x3 x


In[93]:= H Integral imprpria exata LIntegrateA!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!H1 Cos@xDLx3 , 8x, 1,

In[113]:= H Integral imprpria exata LIntegrate@Hx + 4 L2 HHx 1L6 + 1L, 8x, ,

Os valores das integrais exata e numrica coincidem at a terceira casa decimal.

EXEMPLO 6. Determine a integral 1 senHxL x x

A integral dada absolutamente convergente

In[118]:= H Integral imprpria analtica LIntegrate@Sin@xDx, 8x, 1,

In[129]:= H Integral imprpria analtica LNIntegrate@xHx2 + x + 1L, 8x, 0, Oscillatory in NIntegrate. More

NIntegrate::ncvb : NIntegrate failed to converge to prescribed accuracy after 7recursive bisections in x near x = 2.288332793335697`*^56. More

Out[129]= 23952.5

3. 0 Hx2 - x - 1L Hx4 + 1L x

In[131]:= H Integral imprpria exata LIntegrate@Hx2 x 1LHx4 + 1L, 8x, 0,

In[146]:= H Integral imprpria exata LIntegrate@Log@xDx3, 8x, 1,

In[164]:= H Integral imprpria exata LIntegrate@x Log@xDHx + 1L2, 8x, 1,

In[171]:= H Integral imprpria exata LNIntegrate@x Hx + Sin@xDL2, 8x, 1, Oscillatory in NIntegrate. More

NIntegrate::ncvb : NIntegrate failed to converge to prescribed accuracy after 7recursive bisections in x near x = 2.288332793335697`*^56. More

Out[171]= 23952.7

14. 1 x Hx + cos xL3 x

In[172]:= H Integral imprpria exata LIntegrate@x Hx + Cos@xDL3, 8x, 1,

A integral dada no converge

17. - -x2 Hx + 1L2 x

In[26]:= H Integral imprpria exata LIntegrateAx2 Hx + 1L2, 8x, ,

In[33]:= H Integral imprpria exata LIntegrateACos@xD Ix !!!!x + 1M, 8x, 0,

In[40]:= H Integral imprpria exata LIntegrateAI1 + 2 CosA!!!!!!!!!!!!!!x2 + 1 EM Hx + 1L2, 8x, 0,

In[46]:= H Integral imprpria exata LIntegrate@xr x, 8x, 1,

7.3 Limites e integrais imprprias - intervalo limitado

Teorema. Seja f(x) uma funo no-decrescente e limitada superiormente num semi-eixo a x < b. Ento, f(x) converge para o seu supremo S com x b_ .

Teorema. Sejam f e g funes contnuas e no limitadas no intervalo a x < b. Se 0 f (x) g (x) e a

b g HxL xconverge, emto tambm converge a integral imprpria de f, isto

ab f HxL x = limx b- a

b f HxL x < .Por outro lado, se

0 f (x) g (x) e ab f HxL x

diverge, emto tambm converge a integral imprpria de g, isto

a g HxL x = ..

Teorema. Seja f (x) uma funo contnua em a x < b, no-limitada e no necessariamente positiva. Ento, a integral

ab f HxL x

converge se ela for absolutamente convergente, isto , se for convergente a integral

ab f HxL x .

EXEMPLO 1. Determine a integral 0x t !!!!!!!!!!!!!!!!H1 + t2L !!!!!!!!!!!!1 - t t


In[190]:= H Grfico da funo LPlotAt !!!!!!!!!!!!!1 + t2 !!!!!!!!!!!!!1 t , 8t, 0, 1

In[191]:= H Integral imprpria exata LIntegrateASin@1H1 tLD !!!!!!!!!!!!!1 t , 8t, 0, 1

In[203]:= H Grfico da funo LPlotASinA!!!!!!!!!!!!!!x2 + 1 E Hx23 Hx2 + 1LL, 8x, 0, 1

In[210]:= H Integral imprpria exata LIntegrate@x Hx32 Hx2 + 1LL, 8x, 0, 1

In[215]:= H Integral imprpria exata LIntegrateA1 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x Hx2 + 1L , 8x, 0,

In[223]:= H Grfico da funo LPlotAx !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x H1 xL , 8x, 0, 1

In[226]:= H Grfico da funo LPlotALog@xD !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!6 x x2 5 , 8x, 1, 5

In[2]:= H Integral imprpria exata LIntegrateA1 !!!!!!!!!!!!!!!4 t2 , 8t, 2, 2

20. 01tN -1t t

In[14]:= H Integral imprpria exata LIntegrate@tN 1t, 8t, 0, 1

In[28]:= H Grfico da funo f HtL = 1 se t < 1, f HtL = 0 se t > 1 LPlot@Sign@tD, 8t, 2, 2

CAPTULO 8

Sees CnicasIniciar o MathKernel


J falamos da perbola e da hiprbole no primeiro volume, porm, apenas como grficos das funes y = k x2 e y = k/x, e de funes obtidas dessas por translao.

8.1 A Elipse

A elipse o lugar geomtrico dos pontos do plano cuja soma das distncias a dois pontos fixos F e F+ constante. Os pontos F e F+ so chamados focos da elipse e o ponto mdio do segmento FF+ = 2c chamado centro.

Equao cannica da elipse x2a2 +

y2b2 = 1. Os segmentos a e b so chamados semi-eixos maior e menor da elipse, respectivamente. A excentridade da elipse definida pelo qociente e = c/a.

A circunferncia uma elpse em que a = b = r. O segmento r chamado o raio da circunferncia.

In[1]:=

In[3]:=

In[7]:= Show@Show@Graphics@Circle@83, 2

Exerccios Determinar os semi-eixos a e b, os focos e a ecentricidade das elipses de equaes dadas nos Exerccios 1 a 6. Faa os grficos respectivos.

1. x2 + 4 y2 = 8

A equao cannica da elipse x2ccccccc8 +

y2ccccccc2 = 1.

In[1]:= a = !!!!8b = !!!!2c = Sqrt@a^2 b^2De = ca

Out[1]= 2 !!!2Out[2]=

!!!2Out[3]=

!!!6

Out[4]=!!!3ccccccccc2

Os semi-eixos a = 2!!!2 e b = !!!2 , os focos !!!6 e a ecentricidade c = !!!3 /2 .In[5]:= Show@Graphics@Circle@80, 0

Os semi-eixos a = !!!2 e b = 3 , os focos !!!7 e a ecentricidade c = !!!!!!!!!7 2 .In[10]:= Show@Graphics@Circle@80, 0

In[15]:= Show@Graphics@Circle@80, 0

In[20]:= Show@Show@Graphics@Circle@812, 23

In[25]:= ShowAShowAGraphicsACircleA81, 1

In[30]:= ShowAShowAGraphicsACircleA82, 3

In[35]:= Clear@aDb = 10;Solve@Sqrt@b^2 a^2Da m 0.206, aD

Out[37]= 88a 9.79434

8.2 A Hiprbole

A hiperble o lugar geomtrico dos pontos do plano cuja diferena das distncias a dois pontos fixos F e F+ constante. Os pontos F e F+ so chamados focos da hiprbole e o ponto mdio do segmento FF+ = 2c chamado centro.

Equao cannica da elipse x2a2 -

y2b2 = 1. Os segmentos a e b so chamados semi-eixos maior e menor da hipr-pole, respectivamente. A excentridade da elipse definida pelo qociente e = c/a.

Uma hiprbole dita equltera quando a = b. Neste caso a equao cannica passa a ser x2 + y2 = a2 .

Os grficos da hiperble x2 b2 - y2 b2 = 1 e das duas assintotas y = b x/a, sendo a = 4 e b = 4 !!!2

In[1]:=

In[5]:= a = 4;Show@8Plot@8x, x

In[1]:= a = 3b = 2c = !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!a^2 + b^2e = ca

Out[1]= 3Out[2]= 2Out[3]=

!!!!!!13

Out[4]=!!!!!!13cccccccccccc3

Os semi-eixos a = 3 e b = 2 , os focos (!!!!!!13 , 0 ) e a ecentricidade c = !!!!!!13 /3 .In[5]:= Show@8Plot@8ba x, ba x

In[10]:= Show@8Plot@8ba x, ba x

Dividindo os dois lados da equao 25 x2 9 y2 = 225 por 225, vemx2ccccccc9

y2ccccccc25 = 1.

In[16]:= a = 3b = 5c = !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!a^2 + b^2e = ca

Out[16]= 3Out[17]= 5Out[18]=

!!!!!!34


Os semi-eixos a = 3 e b = 5 , os focos (!!!!!!34 , 0 ) e a ecentricidade c = !!!!!!34 /3 .In[20]:= Show@8Plot@8ba x, ba x

In[21]:= a = 3b = 3c = !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!a^2 + b^2e = ca

Out[21]= 3Out[22]= 3Out[23]= 3 !!!2Out[24]=

!!!2

Os semi-eixos a = 3 e b = 3 , os focos (3 !!!2 , 0 ) e a ecentricidade c = !!!2 .In[25]:= Show@8Plot@8x, x

In[30]:= Show@8Plot@8x, x

In[36]:= a = 2b = 2c = !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!a^2 + b^2e = ca

Out[36]= 2Out[37]= 2Out[38]= 2 !!!2Out[39]=

!!!2

Os semi-eixos a = 2 e b = 2 , os focos (2!!!2 , 0 ) e a ecentricidade c = !!!2 .In[40]:= Show@8Plot@8x, x

Reescrevendo a equao x2 25 y2 = 1, vemx2ccccccc1

y2ccccccccccccccc125 = 1.

In[51]:= a = 1b = 15c = !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!a^2 + b^2e = ca

Out[51]= 1

Out[52]=1cccc5



Os semi-eixos a = 1 e b =1/ 5 , os focos (!!!!!!26 5, 0 ) e a ecentricidade c = !!!!!!26 /5 .


In[60]:= Show@8Plot@8a b x, a b x

In[65]:= Show@8Plot@8ba Hx 1L 2, ba Hx 1L 2

In[70]:= Show@8Plot@8Hx 1L 2, Hx 1L 2

In[75]:= Show@8Plot@8Hx + 2L 3, Hx + 2L 3

In[80]:= ShowA9PlotA9!!!!!!!!!!32 Hx 2L + 3, !!!!!!!!!!32 Hx 2L + 3=,8x, 3, 8

In[82]:= Show@8Plot@852 x + 32, 52 x + 32

8.3 A Parbola

A parbola o lugar geomtrico dos pontos do plano que so equidistantes de uma reta fixa e de um ponto fixo. A reta chamada diretriz e o ponto fixo o foco da parbola.

Equao cannica da parbola x2 + Hy - pL2 = Hy + pL2 ou equivalentemente x2 = 4 py. O eixo de simetria chamado o eixo da parbola. A origem do sistema de coordenadas, que pertence parbola, chama o deu vrtice. A equao da diretriz y = - p e o foco o ponto F = (0, p).

A equao y2 = 4 px tambm representa uma parbola em que a diretriz x = p e o foco F = (p, 0).

In[1]:= p1 = Show@Plot@x^2, 8x, 2, 2

isto

x2 - 2 x + 1 - 4 y + 4 = -2 y + 1

e finalmente,

y = x2 2 - x + 2In[19]:=

Portanto,

Hx + 2 xb 2 a L2 = 1a Hy + H b^2 - 4 ac L 4 a L

Isto sugere a transformao de eixo dada por,

X = x + b 2 a e Y = y + Hb2 - 4 acL /4aPondo ainda p = 1/4a, a equao da parabla assume a forma cannica

X 2 = 4pY

Exerccios Faa o grfics das equaes dadas nos Exerccios 1 a 7, indicando a diretriz, o foco e o vrtice, em cada caso.

1. y = x2

In[198]:=

In[36]:= ImplicitPlot@y^2 + 5 x m 0, 8x, 6, 0

In[51]:= ImplicitPlot@y 3 x2 12 x 4 m 0, 8x, 5, 1

8.4 Rotao de eixos

In[183]:= q1 = Show@[email protected], 5

In[201]:= k = 8;Plot@8x, x, kx

8.5 As Qudricas

A equao geral do segundo grau em duas variveis x e y tem a forma

ax2 + b x y + c y2 + dx + ey + f = 0 (1)

Chama-se qudricas toda curva plana cujos pontos (x, y) so solues da equao (1).

O parmetro D = 4 a c - b2 chamado o discriminante da equao (1). O discriminante invariante com relao rotao dos eixos de coordenadas.

O discriminante usado para distinguir as qudricas:

Caso 1: D = 4 a c - b2 > 0. A equao (1) representa uma elpse, um ponto ou um conjunto vazio.

Caso 2: D = 4 a c - b2 < 0. A equao (1) representa uma hiprbole ou duas retas.

Caso 3: D = 4 a c - b2 = 0. A equao (1) representa uma parbola, duas retas paralelas, uma reta ou o con-junto vazio.

EXEMPLO 1. A equao 13 x2 10 x y + 13 y2 + 34 !!!2 x 2 !!!2 y 22 = 0 representa uma elipseValor do discriminante D = 4 a c - b2

In[218]:= a = 13; b = 10; c = 13;4 a c b2

Out[219]= 576

O discriminante maior que zero, portanto a equao representa, de fato, uma elpse.

In[203]:=

EXEMPLO 2. A equao 2 x2 x y + 5 x y + 3 = 0 representa duas retasValor do discriminante D = 4 a c - b2

In[220]:= a = 2; b = 1; c = 0;4 a c b2

Out[221]= 1

O discriminante menor que zero, portanto a equao pode representa uma hiprbole ou duas retas.

In[113]:= Factor@2 x^2 x y + 5 x y + 3DOut[113]= H1 + xL H3 + 2 x yL

Daqui segue-se que a equao original representa duas retas: x = -1 e y = 2x + 3.

In[115]:= Plot@81, 2 x + 3

ExercciosIndique, nos Exerccios 1 a 18, as qudricas de equaes dadas e efetue as transformaes necessrias para se obterm as respectivas equaes cnicas. Faa o grfico em cada caso.

1. 3 x2 + 2 !!!3 x y + y2 - 5 x = 0 Valor do discriminante D = a c - b2

In[214]:= a = 3; b = 2 !!!!3 ; c = 1;4 a c b2

Out[215]= 0

O discriminante igual a zero, portanto a equao pode representar uma parbola.

In[133]:= FactorA3 x2 + 2 !!!!3 x y + y2 5 xEOut[133]= 5 x + 3 x2 + 2 !!!3 x y + y2

In[134]:= ImplicitPlotA3 x2 + 2 !!!!3 x y + y2 5 x m 0, 8x, 2, 10

Daqui segue-se que a equao original representa duas retas: x = 0 e y = x/3 + 1/3.

In[140]:= Plot@80, x3 + 13

In[148]:= Plot@80, 2 x + 12

In[161]:= Factor@x y + x + yDOut[161]= x + y + x y

In[170]:= ImplicitPlot@x y + x + y m 0, 8x, 3, 2

In[234]:= a = 1; b = !!!!3 ; c = 0;4 a c b2

Out[235]= 3

O discriminante menor que zero, portanto a equao pode representa uma hiprbole ou duas retas.

In[177]:= FactorAx2 + !!!!3 x y 1EOut[177]= 1 + x2 + !!!3 x y

In[185]:= ImplicitPlotAx2 + !!!!3 x y 1 m 0, 8x, 2, 2

In[188]:= Plot@8x + 1, x 1

In[195]:= Plot@8x2 32, x2 + 32

In[202]:= Plot@82 x, 2 x + 3

In[15]:= Factor@ 4 x y x2 4 y2DOut[15]= Hx 2 yL2

Daqui segue-se que a equao original representa uma reta: y = x/2.

In[16]:= Plot@x2, 8x, 2, 2

In[252]:= a = 1; b = 1; c = 1;4 a c b2

Out[253]= 3

O discriminante maior que zero, portanto a equao pode representa uma elpse, um ponto ou o conjunto vazio.

In[23]:= Factor@ x2 + x y + y2DOut[23]= x2 + x y + y2

Daqui segue-se que a equao original representa o ponto (0, 0).

18. x2 - 3 y2 + 2 x y - x + y = 0

Valor do discriminante D = 4 a c - b2

In[254]:= a = 1; b = 2; c = 3;4 a c b2

Out[255]= 16

O discriminante menor que zero, portanto a equao pode representa uma hyperble ou duas retas.

In[27]:= Factor@ x2 3 y2 + 2 x y x + yDOut[27]= Hx yL H1 + x + 3 yL

Daqui segue-se que a equao original representa duas reta: y = x e y = -x/3 + 1/3

In[28]:= Plot@8x, x3 + 13

CAPTULO 9

Vetores e Curvas no PlanoIniciar o MathKernel


Ativar o pacote Add-On para traar setas.

In[2]:=

Ativar o pacote Add-On para traar setas.

In[2]:=

In[90]:= H Soma e subtrao de vetores LShowAPlotA0, 8x, 0, 2.5

In[83]:= H Representao geomtrica de vetores LShow@Plot@0, 8x, 3, 4

In[84]:= H Soma e subtrao de vetores LShow@Plot@0, 8x, 8, 3

In[36]:= H Operaes com vetores La = 81, 2

Por exemplo, vetores paralelos so linearmente dependentes; e qualquer conjunto de vetores que inclui o vetor nulo linearmente dependente.

Um conjunto de vetores v1, v2, . . . , vn linearmente independentes se satisfaz a negativa da condio de dependncia linear, isto , se

a1 v1 + a2 v2 + . . . + an vn = 0 a1 = a2 = . . . = an = 0.

Espao vetorial

Espao vetorial generalizao (num serto sentido) do conjuto de vetores no plano. Por exemplo, vetores no espeo tridimensional formam um espao vetorial. Analogamente, o conjunto das matrizes 2 por 2 de nimros reais tambm forma um espao vetorial.

9.2 Produto escalar

Dado um vetor v = (x, y), definimos o seu mdulo, designado por v , como sendo v = !!!!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2

In[85]:= Show@Plot@0, 8x, 0, 2

O produto escalar comutativo

v 1 . v 2 = v 2 . v 1. O produto escalar ser sempre zero quando um dos vetores for o vetor nulo.

Geometricamente, o produto escalar de dois vetores o produto de seus mdulos pelo co-seno do ngulo que eles formam:

v 1 . v 2 = | v 1 | | v 1 | cosqDiz-se que dois vetores so ortogonais se o seu produto escalar for zero. Com efeito, basta fazer cos(p/2) = 0 na expresso anterior.

O produto escalar dos vetores u = 8u1, u2< e v = 8v1, v2< dado por u . v.

Vetores ortogonais

Diz-se que dois vetores so ortogonais se o seu produto escalar for zero. Com efeito, basta fazer cos(p/2) = 0 na expresso v 1 . v 2 = | v 1 | | v 1 | cosq

Exemplo 1 Os vetores (1, 5/2) e (5, -2) so ortogonaisIn[166]:= a = 81, 52

In[91]:= Show@Plot@0, 8x, 1, 4

In[87]:= Show@Plot@0, 8x, 4, 3

In[10]:= Show@Plot@0, 8x, 0, 2

In[17]:= Show@Plot@0, 8x, 0, 2

In[27]:= Show@Plot@0, 8x, 0, 1.5

In[39]:= v = 82, 1

In[54]:= Show@Plot@0, 8x, 2, 2

In[63]:= v = 865, 72

In[121]:= v1 = 82, 1

In[218]:= v = 81, 2

In[264]:= Show@Plot@0, 8x, .1, 4

In[292]:= v = 81, 43

In[317]:= Show@Plot@0, 8x, 1, 1

In[368]:= v = 82, 1

In[413]:= Show@Plot@0, 8x, 5, 2

9.3 Equao da reta

Coma sabemos a equao da reta tem a forma

ax + by + c = 0.

Seja p0 = Hx0 , y0 ) um ponto fixo na reta e p = (x, y) um ponto genrico. Ento, ax0 + by0 + c = 0.

Substituindo esta equao da anterior, obtemos

aHx - x0 L + bHy - y0L = 0.Para interpretar este resultado em termos de vetor, seja v = (a, b). Como p - p0 = ( x - x0 , y - y0 ), a ltima equao pode ser escrita na forma

( x - x0 , y - y0 ).(a, b) = 0 ou (p - p0 ). v = 0.

Geometricamente, esta equao traduz a condio de que os vetores p - p0 e v so ortogonais. Em outras palavras, toda reta de equao

ax + by + c = 0

perpendivular ao vetor (a, b). O vetor unitrio nesta direo

u = Ha, bL!!!!!!!!!!!!!!!!a2 + b2 o vetor normal unitrio reta. Note-se que os vetores (b, -a) e (-b, a) so normais ao vetor (a, b). Logo toda reta de equao ax + by + c = 0 paralela aos vetores (b, -a) e (-b, a).

Exemplo 1 A reta 3 x 2 y + 4 =0 perpendicular ao vetor u = H3, 2L. Como ela passa pelo ponto p0 = H0, 2L,podemos escrever a sua equao na forma Hp p0L.u = 0,em que o ponto p seu ponto genrico.

Exemplo 2 Vamos obter a equao da reta pelo ponto p0 = H1, 2L,perpendicular direo u = H3, 2L. Ento,

In[7]:= H8x, y< 81, 2

sabemos a equao da reta tem a forma

p - p0 = tu ,

onde t 'e um escalar varivel. Esta condio equivale a

x - x0 = tm, y - y0 = tn,

ou

x = x0 + tm, y = y0 + tn.

Estas so as equaes paramtricas da reta, justamente porque a varivel independente o parmetro t: diferente s valores de t conduzem a diferentes pontos p = (x, y) da reta.

Exemplo 3 Dada a reta de equao

2 x + 5 y 10 = 0,vamos determinar a equao da reta pelo ponto p0 = H4, 2L,normal reta dada. Ento,Soluo 1

In[16]:= H8x, y< 84, 2

6.4 Projees e Bases

Sejam u = (u1 , u2 ) e v = (v1 , v2 ) dois vetores no colineares (portanto, nenhum deles o vetor nulo), ento qualquer outro vetor w = (a, b) pode ser expresso, de maneira unvoca, na forma w = xu + yv .Os nmeros x e y so chamados as componentes de w relativamente aos vetores u e v , respectivamente. Qualquer par de vetores u e v , no colineares, chamado uma base. Dizemos que w combinao linear de u e v . Dize-mos tambm que o vetor xu a projeo de w sobre a direo u segundo a direo v . Do mesmo modo, yv a projeo de w sobre a direo v segundo a direo u . A equao w = xu + yv equivalente ao sistema linear de equaes u1 x + v1 y = a,

u2 x + v2 y = b.

A soluo deste sistema de equaes fornece as coordenadas do vetor (a, b) com respeito base formada pelos vetores u = (u1 , u2 ) e v = (v1 , v2 ).

In[30]:= Show@Plot@0, 8x, 0, 2.5

Exemplo

Seja exprimir o vetor w = (7 3 , -8 3) como combinao linear de u = (1 , 2) e v = (-1 , 2).

Podemos escrever (3/3, - 8/3) = x (1, 2) + y (-1, 2) ou ainda

x - y = 7/3;

2x + 2y = - 8/3.

Resolvendo este sisyema:

In[34]:= Solve@8x y == 73, 2 x + 2 y == 83

In[85]:= ShowAPlotA0, 8x, 0, 2.5

In[54]:= Show@Plot@0, 8x, 0, 2.5

In[19]:= 8w1, w2< = 81, 1

In[8]:= H Velocidade de lanamento v = 5 ms e g = 10 ms2 LParametricPlot@85 t, 10 t^22

Uma funo de uma varivel real t representada por

f(t) = (x(t), y(t))

denominada de funo vetorial.

Exemplo 4. A funo vetorial

P(t) = (sen t, cos2 t ), 0 t p/2 equivalente s equaws paramtricas

x = sen t e y = cos2 t , com 0 t p/2.

Como sen2 t + cos2 t = 1, estas equaes nos conduzem equao cartesiana

y = 1 - x2

que uma equao de um parbola.

In[14]:= H Ramo da parbola de 0 t 2 ou de 0 x 1 LParametricPlot@8Sin@tD , Cos@tD^2

In[24]:= H Grfico da curva parametrizada Ht3, t2L com t real LParametricPlot@8t^3 , t^2

In[5]:= H Traar o grfico da curva x = 2 t, y = 3 t1 LParametricPlot@82 t, 3 t 1

In[9]:= H Traar o grfico da curva x = t2 1, y = 3 t2 + 2 LParametricPlot@8t^2 1, 3 t^2 + 2

In[18]:= H Traar o grfico da curva x = t 2, y = t2LParametricPlot@8 t 2, t^2

In[21]:= H Traar o grfico da curva x = sen t, y = cos 2 t, 2 t 2LParametricPlot@8 Sin@tD, Cos@2 tD

In[27]:= H Traar o grfico da curva x = 3 cos t, y = 2 sen t, 0 t LParametricPlot@8 3 Cos@tD, 2 Sin@tD

In[32]:= H Traar o grfico da curva x = 1 cost, y = sen t 2 , t 0 LParametricPlot@8 1 Cos@tD, Sin@ tD 2

In[8]:= H Determinar o vetor derivada da funo vetorial P HtL = Ht2,t3tL LClear@tDD@8t^2, t^3 t

In[19]:= H Derivada de P HtL= r Hsen t,cos tL LClear@tDD@8r Sin@ tD, r Cos@ tD

In[41]:= H Comprimento do arco de P HtL = Ht, t2L, 0 t 1. LClear@tDx@t_D := ty@t_D := t^2Integrate@Sqrt@D@x@tD, tD^2 + D@y@tD, tD^2D, 8t, 0, 1

12.

P(t) = (t , log t ), 1 t 2.

In[66]:= H Comprimento do arco de P HtL = Ht, log tL, 1 t 2. LClear@tDx@t_D := ty@t_D := Log@tDIntegrate@Sqrt@D@x@tD, tD^2 + D@y@tD, tD^2D, 8t, 1, 2

In[13]:= t = 12;81t^2, 1

In[34]:= Show@ParametricPlot@88t, t2 1

As cordenadas cartesianas x, y de um ponto P so obtidas de suas coordenadas polares r, q mediante as equaes:

x = r cos q e y = r sen q.

Por outro lado, as cordenadas polares r, q de um ponto P so obtidas de suas coordenadas cartesianas x, y mediante as equaes: . r = !!!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2 e q = arc tg yx .

In[58]:=

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Luiz Rijo Calculo de Uma Variavel Com Matematica Vol2