M

 

MEIONO

TRABA

Trabalho r

Mestrado

10 de Junh

OS C ENS

ALHO N

realizado p

no Ensino

ho de 2012

 

COMSINO

Nº 4

por Liete S

da Matem

2

MPUO

oares Mart

mática no E

UTAC

ta Salvador

nsino Bási

CION

r Inácio

ico e no Se

NAIS

ecundário

S

 

I N D I C

Introduçã

Pontos no

Definição 

Elementos

Classificaç

Classificaç

Centros de

Cir

Inc

Ort

Bar

Recta de E

Conclusão

Referência

C E

o 

táveis de u

de Triângu

s do Triâng

ção de triân

ção de triân

e um Triân

cuncentro 

centro de um

tocentro de

ricentro de

Euler 

o 

as Bibliográ

um triângul

ulo 

gulo  

ngulos quan

ngulos quan

gulo  

de um triân

m triângulo

e um triâng

e um triâng

áficas 

lo 

nto ao com

nto aos seu

ngulo 

o 

gulo 

ulo 

mprimento d

us ângulos 

MEIOS

dos seus la

COMPUTA

dos  

ACIONAIS NNO ENSINO

Página 1

O

I N T R O

Este  trabaMatemáticpágina wetrabalho  sautoria  degeométricexploração

A primeirdesenvolv“Casa  dasrelativame

Categoria

Pontos nDescritivoe incentroPoderá serPara ver ede utilidad

InteractivTempo: VCategorizTema: GeUnidade DPalavras­Enviado p 

A  geometcidadãos normalmepouco esp

O ensino dcálculos. 

D U Ç Ã O

alho  foi  reaca. Consisteeb da "Casasejam  criae  J.  Richtercas de grano de polied

a  fase do  tver,  não  fois  Ciênciasente a tema

: Document

notáveis do : Estudo do) usando or manipulaeste objectodes.  

vidade: AcVariável zado em: Dometria ­ T Didáctica: ­Chave: Ma por: Erika B

ria  e  a  mea  que  a  eente deixadpaço à acção

da geometr

O

alizado  no e na elabora das Ciêncidas  ou  nor  –  Gebertnde qualidadros. 

trabalho,  qi  fácil  cons”.  Após  uas relacion

tos/Matemá

e um triâdos pontoso Geogebra.ado pelos alo deverá te

tivo 

DocumentoTriângulosVárias atematica, Bizarr 

edida  são  descola,  no da para os fo dos aluno

ria reduz‐s

âmbito  daração de umias". Preten  software t  e  U.  H.  Kade – ou no

que  consistsiderando uma  intensados com a

ática/3º Cicl

ângulo s notáveis d. lunos de for instalado

os/Matemás (8ºano)

 

duas  áreasentanto, 

finais dos aos na comp

se,  tradicio

a  disciplinam trabalho nde‐se aindCinderella

Kortenkampo software 

iu na  escoa  panópliasa  análisea matemáti

lo do EB

de um triân

orma autóno o Geogebr

ática/3º Ci

  da  Matemnão  tem anos lectivoreensão do

nalmente, 

MEIOS

a  de Meiosescrito incda que toda–  programp  focado  nPoly – pro

lha do  tema  de  temase  dos  matica, acabei p

ngulo (baric

noma ou utira, que pod

iclo do EB

mática  funddado  a  deos e tratados conceito

à aplicação

COMPUTA

s  Computacorporandoas as ilustrama  de  Geona  investigograma de 

ma ou do as  disponibilteriais  dispor escolhe

centro, orto

ilizado peloderá encont

damentais evida  atena a partir ds geométri

o de fórmu

ACIONAIS N

cionais  no o um tema rações que cometria  Digação  de  coGeometria

ssunto a  ablizados  na poníveis  ner o seguin

ocentro, cir

o professortrara na no

para  o  dianção.  A  gedas definiçicos.  

ulas e à rea

NO ENSINO

Página 2

Ensino  daretirado daconstem nonâmica  daonstruçõesa focado na

bordar e  apágina  daneste  site,te: 

rcuncentro

r na aula. ossa página

a‐a‐dia  doseometria  éões, dando

alização de

O

2

a a o a s a 

a a , 

o 

a 

s é o 

e 

Na  resoluapropriadprocessos

Os  alunostarefas  expeças poliutilização 

Tanto  os desenvolvcom a Mat

Neste meuBaricentro

Começo pde triângu

Todas as ipermitiu  iNeste  trab“Cinderellaexplorada

 

 

ução  de  prdo para  rea e justificá‐

s  devem  rexploratóriasigonais enccompleme

recursos ver a intuiçtemática. 

u trabalho o de um tri

or fazer umulos, concei

ilustrações interagir e balho  as  ila”,  no  casoas de forma

roblemas  galizar  exper‐los com rig

ecorrer  a  ss  e  de  invcaixáveis  eenta a abord

computacção geomét

resolvi desângulo, mu

ma revisão itos necessá

foram exeficar a  conlustrações o  efectivo a dinâmica, 

geométricoriências,  elgor progres

software  destigação. e  sólidos dedagem dinâ

cionais  comtrica, a cap

senvolver ouitas vezes 

sobre a deários para 

cutadas nonhecer, umaparecem de  utilizaçcom a utili

s,  é  imporlaborar  estssivo.  

e  GeometrOs  materiae enchimenâmica ao es

mo  os  moacidade de

os conceitoreferidos c

efinição de a introduçã

o software m pouco mecomo  ima

ção  em  salização do s

MEIOS

rtante  que tratégias,  f

ria  Dinâmicais  manipunto em acrstudo da Ge

odelos  geoe visualizaç

os de Circucomo os po

triângulo eão do tema

de geometelhor,  as pagens  retira  de  aula, oftware.  

COMPUTA

os  alunosformular  co

ca,  sobretuuláveis  (porílico)  conseometria.  

ométricos ção e uma 

uncentro, Inntos notáv

e uma refea escolhido.

ria dinâmicotencialidaradas  de  fias  mesma

ACIONAIS N

s  tenham onjecturas, 

udo  na  reaor  exemplostituem rec

concretos relação ma

ncentro, Orveis de um t

rência aos . 

ca “Cindereades deste icheiros  quas  ilustraçõ

NO ENSINO

Página 3

um  tempodescrever

alização  deo,  tangram,cursos  cuja

permitemais afectiva

rtocentro etriângulo. 

elementos

ella”. O queprograma.ue  criei  noões  seriam

O

3

o r 

e , a 

m a 

e 

s 

e . o m 

P O N T O

• Triân

Figura pla

• Elem

Observand

‐ Os ponto

‐ Os segmtriângulo. 

‐  Os  ângucujos vértcontêm  oângulos in

‐ Os ângulum dos ladlado adjac

 • Class

 

 

 

 

 

 

Figura

O S N O T

ngulo

ana limitada

mentos do

do o triâng

os A, B e C s

entos de r

ulos  internotices são osos  lados  dnternos:  

∠ ABC

 los externodos do triâcente. 

Ângulo

sificação

3

Á V E I S

a por três s

o Triângu

ulo conseg

são os vérti

ecta AB, BC

os  do  triâns vértices ddo  triângul

, ∠ACB e ∠

os  são os ânângulo e pe

os α, β e γ.  

de triâng

D E U M

segmentos 

ulo

gue‐se ident

ces. 

C e AC são 

ngulo  são do triângulolo.  Assim 

∠ BAC. 

ngulos  formlo prolonga

gulos qu

T R I Â N

de recta (a

tificar algu

os  lados do

os  ânguloo e os ladotemos  trê

mados poramento do

uanto ao c

MEIOS

G U L O

a que se cha

ns dos seu

o 

os os ês 

  

comprim

α

Figu

Figura

COMPUTA

amam lado

s elemento

mento dos

ura 1

a 2

ACIONAIS N

s). 

os: 

s seus lad

β

NO ENSINO

Página 4

dos:

γ

O

4

‐ Triângu

‐ Triângu

‐ Triângu

 

• Class

 

‐ Triângu

‐ Triângu

‐ Triângu

 

• Cent

Dado um ttriângulo. possíveis triângulo. 

 

 

 

 

Figura

lo Equiláte

ulo  Isóscel

lo Escalen

sificação

lo Acutâng

lo Isóscele

lo Escalen

tros de um

triângulo eNo  entanpara defin

a 4

ero: os lad

es: dois  ladiferente

no: os três l

de triâng

gulo: tem t

es: tem um

no: tem um 

m Triâng

equilátero, nto,  quandir esse pon

os têm tod

dos com o e. 

ados têm t

gulos qu

três ângulo

 ângulo rec

ângulo obt

gulo:

é mais ou o  o  triângnto. De  seg

os o mesm

mesmo co

odos comp

uanto aos

s agudos.

cto. 

tuso. 

menos intgulo  não  éguida,  vere

MEIOS

o comprim

ompriment

primentos d

seus âng

uitivo o qué  equiláteremos algum

COMPUTA

mento. 

to e um  lad

diferentes. 

gulos:

ue se entenro,  existemmas definiç

ACIONAIS N

do com com

nde pelo cem  várias  aões de  cen

NO ENSINO

Página 5

mprimento

entro desseabordagensntro de um

O

5

o 

 

e s m 

Cir

O Circunce

Construçã

‐  Dado  o os  pontoslados do tr

‐  Pelos  prectas segmentosrespectiva

‐  Essas ponto  G, triângulo. 

 

 

Como o cirentão  é  ocircunferê

 

 

 

No  casocircuncenttriângulo 

Ver figura

 

 

 

 

rcuncent

entro de um

o (ver figur

triângulo s  médios  driângulo, p

pontos  E,  Fperpend

s  de  rectaamente. 

rectas  intque  é  o 

rcuncentroo  centro  dncia circun

  de  umtro  (ponto [ABC]. 

a 6. 

tro de um

m triângulo

ra 5): 

[ABC]  encde  cada  umontos E, F e

F  e  D  traiculares a  BC ,  AB

tersectam‐Circuncent

o do triângude  uma  cirnscrita de [A

m  triânguG)  encont

m triângul

o é o ponto 

contrar m  dos e D. 

çar  as aos 

  e AC, 

se  no tro  do 

ulo [ABC] ercunferêncABC]. 

lo  acutânra‐se no  in

lo 

de intersec

está à mesmcia  que  pa

ngulo,  o nterior  do 

Figura 5

MEIOS

cção das me

ma distânciassa  pelos 

COMPUTA

ediatrizes d

ia dos três vpontos  A,

ACIONAIS N

dos seus la

vértices do,  B  e  C,  c

NO ENSINO

Página 6

ados. 

o triângulo,chamada  a

O

6

, a 

 

No caso dtriângulo (

Quando  selados do tfigura 8). 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Inc

O Incentrodas bissec

 

Construçã

‐  Dado  o dos ângulo

‐  As  bisseque se des

 

 

Figura

de o  triângu(ver figura 

e  trata  de triângulo, q

centro de

o de um trictrizes dos 

o (ver figur

triângulo os A, B e C. 

ectrizes  insigna por in

a 7

ulo ser obt7). 

um  triânguque coincid

e um triâ

iângulo é oseus ângul

ra 9): 

[ABC]  traç

ntersectam‐ncentro do 

tusângulo o

ulo  rectângde também 

ângulo 

o ponto de os internos

çar  as  bisse

‐se  num  ptriângulo.

o circuncen

gulo  o  circcom o diâ

intersecçãs. 

ectrizes 

ponto  D 

Figura 9

MEIOS

ntro  (ponto

cuncentro  (âmetro da c

ão 

Figura

COMPUTA

o D) encon

(ponto M) circunferên

8

ACIONAIS N

ntra‐se no e

coincide  concia circun

NO ENSINO

Página 7

exterior do

om um dosnscrita (ver

O

7

o 

s r 

Como o Incentro  deinscrita (v

Construçã

‐  Pelo  poperpendicintersecçãlados do  tG. 

‐  Estes  pocircunscriIncentro. 

 

 

Or

O Ortocen

A altura dforma a en

 

Construçã

‐  Por  cad[ABC]  tralado opost

‐ As rectasse designa

 

 

 

 

Important

ncentro de u  uma  circuver figura 1

o (ver figur

nto  D  (Incculares  aosão  de  cada triângulo d

ontos  pertta  no  triâ

rtocentro

tro de um t

de um  triânncontrar o 

o (ver figur

da  um  dosçar  as  rectto de cada v

s intersectaa por Ortoc

tes definiçõ

um triânguunferência 0) 

ra 10): 

centro)  tras  lados  douma  das  r

definem os 

tencem  à  cângulo  cujo

o de um t

triângulo é 

ngulo,  é dalado opost

ra 11): 

s  vértices tas  perpenvértice. 

am‐se numcentro do tr

ões sobre o

ulo está à mtangente 

açar  as  reco  triângulorectas  compontos E, 

circunferêno  centro  é

  riângulo

o ponto de

ada pelo  seo ao vértice

do  triângundiculares 

m ponto G qriângulo. 

o ortocentro

mesma distâaos  lados 

ctas o,  a m  os F e 

ncia é  o 

 

e intersecçã

egmento dee, formand

ulo ao 

que 

o do triâng

F

Fig

MEIOS

ância dos trdo  triângu

ão das suas

e  recta,  trado um ângu

ulo: 

igura 10

gura 11

COMPUTA

rês lados dulo,  chama

s três altura

açado a parlo recto. 

ACIONAIS N

do triânguloada  de  circ

as. 

rtir de um 

NO ENSINO

Página 8

o, então é ocunferência

vértice de

O

8

o a 

e 

 

‐ No caspont

 

 

 

 

 

 

 

‐  No  cacoinc

 

 

 

Figur

so de um trto da região

aso  de  umcide com o 

a 13

riângulo aco interior d

m  triângulovértice do 

cutângulo odo triângulo

o  rectânguângulo rec

o ortocentroo. 

orttriâ

ulo  o  ortocto. 

MEIOS

o é um 

 

 

‐ No caso tocentro é uângulo. 

 

 

 

 

centro 

F

COMPUTA

de um triâum ponto 

Figur

Figura 14

ACIONAIS N

ângulo obtuda região e

ra 12

NO ENSINO

Página 9

usângulo oexterior do

O

9

o o 

Ba

O Baricent

A medianaponto méd

 

Construçã

‐  Dado  o pontos E, F

‐ Unir cada

‐ O ponto d

O baricenttriângulo d

O baricent

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

aricentro

tro de um t

a de um triâdio do lado

o (ver figur

triângulo F e D. 

a um dos p

de intersec

tro é o cende materia

tro divide c

Figura 1

o de um tr

triângulo é 

ângulo, é dao oposto. 

ra 15): 

[ABC]  enco

ontos enco

cção dessas

ntro de graal homogén

cada media

5

riângulo 

o ponto de

ada pelo se

ontrar  os  p

ontrados (E

s rectas é o 

vidade do eo pelo seu

ana na razã

GBDG

 

e intersecçã

egmento de

pontos  mé

E, F e D) com

Baricentro

triângulo. u baricentr

o de 2:1 (T

 GAFG

 CGGE

MEIOS

ão das suas

e recta, que

dios  de  ca

m o vértice

o do triângu

Isto quer do, ele fica e

Teorema de 

GE

 21 

COMPUTA

s medianas

e une um vé

ada  um  dos

e oposto. 

ulo. 

dizer que, sem equilíbr

Ceva). 

ACIONAIS N

. 

értice do tr

s  lados  do

se suspendrio. 

NO ENSINO

Página 10

riângulo ao

  triângulo,

dermos um

O

0

o 

, 

m 

• Ap

 

Podemos [ABC].  Ent

igual a 12. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

licação do

construir tão  o  triân

Figura 1

o Teorema

o  triângulongulo  [DEF

6

 de Ceva 

o  [DEF],  unF]  é semelh

nindo  os  pante ao triâ

AC 2 EF

AB 2 DF

CB 2 DE

MEIOS

pontos  médângulo [AB

COMPUTA

dios  de  cadC]  com  a  r

ACIONAIS N

da  lado  dorazão  de  s

NO ENSINO

Página 11

o  triânguloemelhança

O

o a 

 

• Recta

Num triânno circuncque se inte

Estes  trêsdesigna‐se 

 

Figura 17

a de Eule

ngulo qualqcentro, ponersectam n

  “centros” e por Recta

7

er

quer [ABC]nto G; as meno ortocent

dum triâna de Euler. 

 

] desenhamedianas, qutro, ponto K

ngulo, pont

mos as medue se intersK. 

os G, H e K

 

MEIOS

diatrizes deectam no b

K,  são  colin

COMPUTA

e cada  ladobaricentro, 

neares e a 

ACIONAIS N

o, que se  inponto H, e

recta que 

NO ENSINO

Página 12

ntersectam as alturas,

os  contém

O

2

m , 

m 

 

C O N C L

A  utilizaçMatemátic

As ferram

Deste modao  fornectrabalhar resposta q

Trabalhanproprieda

Existem,  dque permi

Como quado  professpareçam professor.ser  usadapromove a

A tecnologsobre  os proporciopresença, 

 

 

 

 

 

 

 

L U S Ã O

ção  das  teca e, em pa

entas tecno

do, a tecnoer  um  mecom progrque a tecno

ndo  com  uades das fig

disponíveisitem trabal

alquer outrsor,  podenpoder  trab. Pelo contr  a  tecnologa sua realiz

gia pode asobjectos 

nadas  pelocontribui p

cnologias rticular, ao

ológicas pe

logia enriqio  de  visuramas de geologia pode 

um  prograguras, pode

s na  Internlhar proble

ro instrumendo  ser  usabalhar  de rário, o seugia, mas  tazação e o en

ssim constivisualiza

o  softwarepara o dese

é  hoje  imo da geome

ermitem o a

quece a exteualizar  noçeometria dproporcio

ma  de  geom ainda ex

net,  pequenemas intere

ento de ensada  de momodo  indu papel é eambém  na nvolviment

tuir um codos  no  ee,  o  que  penvolvimen

mprescindívtria.  

acesso a mo

ensão e a qões  geoméinâmica, a nar. 

ometria  dixplorar rela

nos programessantes do

sino, a formdo  adequaependenteessencial dselecção  dto dos seus

ntexto parecrã  e  ospara  alémnto da comu

MEIOS

vel  quando

odelos visu

qualidade détricas  sobaprendizag

inâmica,  oações e form

mas  interao ponto de v

ma como aado  ou  não  com  a  teesde  logo adas  tarefass alunos.  

a discussões  efeitos do  desen

unicação m

COMPUTA

o  nos  refe

uais podero

das investigbre  diferengem dos al

s  alunos  pmular e tes

activos,  desvista da geo

 tecnologia.  Embora, ecnologia, ao definir s  que  prop

es entre osdas  divernvolvimentmatemática.

ACIONAIS N

rimos  ao 

osos. 

gações em ntes  perspeunos é aux

podem  invtar conject

signados poometria.  

a é utilizadpor  vezes,esta  não  squando e cpõe  e  na  fo

s alunos e orsas  transo  dos  con. 

NO ENSINO

Página 13

ensino  da

geometria,ectivas.  Aoxiliada pela

vestigar  asturas.  

or  applets,

da depende  os  alunossubstitui  ocomo deveorma  como

o professorsformaçõesnceitos  em

O

3

a 

, o a 

s 

, 

e s o e o 

r s m 

 

R E F E R Ê

Apontame

Universida

http://ww

http://ww

http://are

http://siti

http://ww

Ê N C I A S

entos  de 

ade de Coim

ww.casadas

ww.apm.pt/

ea.dgidc.mi

io.dgidc.mi

ww.cindere

S B I B L I O

Geometria

mbra, 2011

sciencias.or

/apm/revis

n‐edu.pt/m

n‐edu.pt/m

ella.de/tiki‐

O G R Á F

a,  António

1  

rg/ 

sta/educ67

materiais_N

matematica

‐index.php

I C A S

o  Salguei

7/Tecnolog

NPMEB/070

a/Documen

MEIOS

ro,  Depar

gias.pdf 

0_Brochura

nts/Program

COMPUTA

rtamento 

a_Geometr

maMatema

ACIONAIS N

de  Matem

ia.pdf 

atica.pdf 

NO ENSINO

Página 14

mática  da

O

4

a